Định lý. Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành các phần tỉ lệ với các cạnh kề.
Bằng chứng. Xét tam giác ABC (Hình 259) và phân giác của góc B. Qua đỉnh C vẽ đường thẳng CM, song song với phân giác BC cho đến khi nó cắt điểm M và tiếp tục cạnh AB. Vì BK là phân giác của góc ABC nên . Hơn nữa, là các góc tương ứng đối với các đường thẳng song song và là các góc chéo đối với các đường thẳng song song. Do đó và do đó - cân, từ đó . Theo định lý về các đường thẳng song song cắt các cạnh của một góc, ta có và theo quan điểm ta có , đó là điều ta cần chứng minh.
Đường phân giác của góc B ngoài của tam giác ABC (Hình 260) có tính chất tương tự: các đoạn AL và CL nối từ đỉnh A và C đến điểm L của giao điểm của đường phân giác với phần tiếp theo của cạnh AC tỉ lệ với cạnh của tam giác:
Tính chất này được chứng minh theo cách tương tự như tính chất trước: trong Hình 2. 260 đường thẳng phụ SM vẽ song song với phân giác BL. Bản thân người đọc sẽ bị thuyết phục về sự bằng nhau của các góc VMS và VSM, và do đó các cạnh VM và BC của tam giác VMS, sau đó sẽ thu được ngay tỷ lệ cần thiết.
Có thể nói rằng đường phân giác của một góc ngoài cũng chia cạnh đối diện thành các phần tỉ lệ với các cạnh liền kề; bạn chỉ cần đồng ý cho phép “phân chia bên ngoài” phân khúc.
Điểm L, nằm bên ngoài đoạn AC (trên phần tiếp theo của nó), chia nó ra bên ngoài trong quan hệ nếu Do đó, các đường phân giác của một góc của một tam giác (trong và ngoài) chia cạnh đối diện (trong và ngoài) thành các phần tỉ lệ với các cạnh liền kề.
Bài 1. Các cạnh của hình thang bằng 12 và 15, hai đáy bằng 24 và 16. Tìm các cạnh của tam giác tạo thành cơ sở lớn hình thang và các cạnh mở rộng của nó.
Giải pháp. Trong ký hiệu của Hình. 261, chúng ta có một tỷ lệ cho đoạn đóng vai trò là phần tiếp theo của cạnh bên, từ đó chúng ta dễ dàng tìm thấy Theo cách tương tự, chúng ta xác định cạnh thứ hai của tam giác trùng với cạnh lớn: .
Bài 2. Hai đáy của hình thang là 6 và 15. Độ dài đoạn thẳng song song với hai đáy và chia đôi là bao nhiêu? bên theo tỉ lệ 1:2, tính từ các đỉnh của đáy nhỏ?
Giải pháp. Hãy chuyển sang hình. 262, mô tả một hình thang. Qua đỉnh C của đáy nhỏ ta vẽ một đường thẳng song song với cạnh AB, cắt hình bình hành khỏi hình thang. Vì , thì từ đây ta tìm được . Do đó, toàn bộ đoạn thẳng chưa biết KL bằng Lưu ý rằng để giải bài toán này ta không cần biết các cạnh bên của hình thang.
Bài 3. Phân giác của góc B trong tam giác ABC cắt cạnh AC thành các đoạn cách hai đỉnh A và C một khoảng bao nhiêu thì phân giác của góc ngoài B cắt đoạn AC?
Giải pháp. Mỗi đường phân giác của góc B chia AC theo cùng một tỷ lệ, nhưng một đường phân giác ở trong và một đường phân giác ở ngoài. Gọi L là giao điểm của đoạn AC tiếp tục và phân giác của góc ngoài B. Vì AK Hãy ký hiệu khoảng cách chưa biết AL khi đó và ta sẽ có tỉ số. Giải của nó cho ta khoảng cách cần tìm
Tự mình hoàn thành bản vẽ.
Bài tập
1. Một hình thang có đáy 8 và 18 được chia bằng các đường thẳng: song song với các căn cứ, thành sáu sọc có chiều rộng bằng nhau. Tìm độ dài các đoạn thẳng chia hình thang thành các dải.
2. Chu vi của tam giác là 32. Phân giác của góc A chia cạnh BC thành các phần bằng 5 và 3. Tìm độ dài các cạnh của tam giác.
3. Căn cứ tam giác cân bằng a, cạnh b. Tìm độ dài đoạn nối giao điểm của các đường phân giác của góc đáy với các cạnh.
Hướng dẫn
Nếu như tam giác đã cho cân hoặc đều, nghĩa là anh ta có
hai hoặc ba cạnh thì phân giác của nó tùy theo tính chất tam giác, cũng sẽ là trung vị. Và do đó, phần đối diện sẽ bị chia đôi bởi đường phân giác.
Đo cạnh đối diện bằng thước kẻ tam giác, nơi đường phân giác sẽ có xu hướng. Chia cạnh này làm đôi và đặt một dấu chấm ở giữa cạnh.
Vẽ đường thẳng đi qua điểm dựng hình và đỉnh đối diện. Đây sẽ là đường phân giác tam giác.
Nguồn:
- Đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao của một tam giác
Chia một góc làm đôi và tính độ dài của đoạn thẳng vẽ từ đỉnh của nó sang cạnh đối diện là điều mà những người thợ cắt, người khảo sát, người lắp đặt và những người thuộc một số ngành nghề khác cần phải làm được.
Bạn sẽ cần
- Dụng cụ Bút chì Thước đo góc Bảng sin và cosine công thức toán học và các khái niệm: Định nghĩa đường phân giác Định lý sin và cos Định lý đường phân giác
Hướng dẫn
Xây dựng một hình tam giác có kích thước yêu cầu, tùy thuộc vào những gì được cung cấp cho bạn? dfe cạnh và góc giữa chúng, ba cạnh hoặc hai góc và cạnh nằm giữa chúng.
Dán nhãn các đỉnh của các góc và các cạnh bằng các chữ cái Latinh truyền thống A, B và C. Các đỉnh của các góc được ký hiệu là , và các cạnh đối diện được ký hiệu bằng chữ thường. Dán nhãn các góc chữ cái Hy Lạp?,? Và?
Sử dụng các định lý về sin và cos, tính các góc và cạnh tam giác.
Hãy nhớ các đường phân giác. Bisector - chia một góc làm đôi. Phân giác góc tam giác chia hình đối diện thành hai đoạn bằng tỉ số của hai cạnh kề tam giác.
Vẽ các tia phân giác của các góc. Dán nhãn các đoạn kết quả bằng tên của các góc được viết chữ thường, với chỉ số l. Bên c được chia thành các đoạn a và b với chỉ số l.
Tính độ dài của các đoạn kết quả bằng cách sử dụng định luật sin.
Video về chủ đề
Xin lưu ý
Độ dài của đoạn thẳng, đồng thời là cạnh của tam giác được tạo bởi một trong các cạnh của tam giác ban đầu, đường phân giác và chính đoạn đó, được tính bằng định luật sin. Để tính độ dài của một đoạn khác có cùng cạnh, hãy sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn thu được và các cạnh liền kề của tam giác ban đầu.
Để tránh nhầm lẫn, hãy vẽ các đường phân giác góc độ khác nhau màu sắc khác nhau.
Phân giác góc gọi là tia bắt đầu từ đỉnh góc và chia nó thành hai phần bằng nhau. Những thứ kia. chi tiêu đường phân giác, bạn cần tìm phần giữa góc. Cách dễ nhất để làm điều này là sử dụng la bàn. Trong trường hợp này, bạn không cần thực hiện bất kỳ phép tính nào và kết quả sẽ không phụ thuộc vào việc số lượng có góc một số nguyên.
Bạn sẽ cần
- compa, bút chì, thước kẻ.
Hướng dẫn
Để lại chiều rộng của la bàn mở như nhau, đặt kim ở cuối đoạn trên một trong các cạnh và vẽ một phần hình tròn sao cho nó nằm bên trong góc. Làm tương tự với cái thứ hai. Bạn sẽ có hai phần của vòng tròn giao nhau bên trong góc- khoảng ở giữa. Các phần của đường tròn có thể giao nhau tại một hoặc hai điểm.
Video về chủ đề
Lời khuyên hữu ích
Để dựng đường phân giác của một góc, bạn có thể dùng thước đo góc, nhưng phương pháp này yêu cầu độ chính xác cao hơn. Hơn nữa, nếu giá trị góc không phải là số nguyên thì khả năng xảy ra lỗi khi dựng đường phân giác sẽ tăng lên.
Khi xây dựng hoặc phát triển các dự án thiết kế nhà, thường cần phải xây dựng góc, bằng với những gì đã có sẵn. Mẫu đến để giải cứu kiến thức trường học hình học.
Hướng dẫn
Một góc được tạo bởi hai đường thẳng xuất phát từ một điểm. Điểm này sẽ được gọi là đỉnh của góc và các đường thẳng sẽ là các cạnh của góc.
Sử dụng ba để chỉ các góc: một ở trên cùng, hai ở hai bên. Gọi điện góc, bắt đầu bằng chữ cái đứng ở một bên, sau đó gọi chữ cái đứng ở phía trên, rồi đến chữ cái ở phía bên kia. Sử dụng những cái khác để chỉ ra các góc nếu bạn thích cách khác. Đôi khi chỉ có một chữ cái được đặt tên ở trên cùng. Và bạn có thể biểu thị các góc bằng các chữ cái Hy Lạp, ví dụ: α, β, γ.
Có những tình huống cần thiết góc, sao cho nó hẹp hơn góc đã cho. Nếu không thể sử dụng thước đo góc khi thi công thì bạn chỉ có thể thực hiện bằng thước kẻ và la bàn. Giả sử, trên một đường thẳng được đánh dấu bằng chữ MN, bạn cần dựng góc tại điểm K sao cho bằng góc B. Nghĩa là từ điểm K kẻ đường thẳng MN góc, sẽ bằng góc B.
Bắt đầu bằng cách đánh dấu một điểm ở mỗi bên. góc đã cho, ví dụ: điểm A và C, sau đó nối điểm C và A bằng một đường thẳng. Get tre góc nik ABC.
Bây giờ dựng tre tương tự trên đoạn thẳng MN góc sao cho đỉnh B của nó nằm trên đường thẳng tại điểm K. Áp dụng quy tắc dựng tam giác góc nnik trong ba. Nằm cách đoạn KL từ điểm K. Nó phải bằng đoạn BC. Đạt được điểm L.
Từ điểm K vẽ đường tròn có bán kính bằng đoạn BA. Từ L vẽ đường tròn bán kính CA. Nối điểm kết quả (P) giao điểm của hai đường tròn với K. Nhận được ba góc KPL, sẽ bằng ba góc sách ABC. Đây là cách bạn có được góc K. Nó sẽ bằng góc B. Để thuận tiện và nhanh chóng hơn, hãy tách khỏi đỉnh B phân đoạn bằng nhau, sử dụng một lỗ la bàn, không di chuyển hai chân, vẽ một đường tròn có cùng bán kính tính từ điểm K.
Video về chủ đề
Mẹo 5: Cách dựng tam giác khi biết hai cạnh và đường trung tuyến
Tam giác là đơn giản nhất hình hình học, có ba đỉnh được nối thành từng cặp bằng các đoạn tạo thành các cạnh của đa giác này. Đoạn thẳng nối đỉnh với điểm giữa của cạnh đối diện gọi là đường trung tuyến. Biết độ dài của hai cạnh và đường trung tuyến nối tại một trong các đỉnh, bạn có thể dựng một tam giác mà không cần có thông tin về độ dài cạnh thứ ba hoặc kích thước của các góc.
Hướng dẫn
Từ điểm A vẽ một đoạn có chiều dài bằng một trong các cạnh đã biết của tam giác (a). Đánh dấu điểm cuối của đoạn này bằng chữ B. Sau đó, một trong các cạnh (AB) của tam giác mong muốn có thể được coi là đã được dựng.
Dùng compa vẽ một đường tròn có bán kính bằng hai lần chiều dài đường trung tuyến (2∗m) và có tâm tại điểm A.
Dùng compa vẽ đường tròn thứ hai có bán kính bằng chiều dài bên được biết đến(b) và tâm ở điểm B. Đặt la bàn sang một bên một lúc, nhưng hãy để la bàn đã đo trên đó - bạn sẽ cần nó lại sau một lát.
Vẽ đoạn thẳng nối điểm A với giao điểm của hai đoạn thẳng bạn đã vẽ. Một nửa đoạn này sẽ là đoạn bạn đang xây - hãy đo nửa này và đặt điểm M. Tại thời điểm này, bạn có một cạnh của tam giác mong muốn (AB) và đường trung tuyến của nó (AM).
Dùng compa vẽ một đường tròn có bán kính bằng chiều dài cạnh thứ hai đã biết (b) và có tâm tại điểm A.
Vẽ một đoạn bắt đầu tại điểm B, đi qua điểm M và kết thúc tại giao điểm của đường thẳng với đường tròn bạn đã vẽ ở bước trước. Chỉ định điểm giao nhau bằng chữ C. Bây giờ cạnh BC, chưa biết theo các điều kiện của bài toán, đã được xây dựng theo điểm mong muốn.
Khả năng chia bất kỳ góc nào bằng đường phân giác không chỉ cần thiết để đạt điểm “A” trong môn toán. Kiến thức này sẽ rất hữu ích cho các nhà xây dựng, nhà thiết kế, nhà khảo sát và thợ may. Trong cuộc sống, bạn cần có khả năng chia đôi nhiều thứ.
Mọi người ở trường đều biết đến một câu chuyện cười về một con chuột chạy quanh các góc và chia góc làm đôi. Tên của loài gặm nhấm nhanh nhẹn và thông minh này là Bisector. Người ta không biết con chuột chia góc như thế nào và các nhà toán học sách giáo khoa trường học"Hình học" các phương pháp sau đây có thể được đề xuất.
Sử dụng thước đo góc
Cách dễ nhất để thực hiện đường phân giác là sử dụng một thiết bị. Bạn cần gắn thước đo góc vào một cạnh của góc, căn chỉnh điểm tham chiếu với đầu O của nó. Sau đó đo góc theo độ hoặc radian rồi chia cho hai. Sử dụng cùng một thước đo góc, đặt các độ thu được ở một trong các cạnh và vẽ một đường thẳng sẽ trở thành đường phân giác đến điểm bắt đầu của góc O.Sử dụng la bàn
Bạn cần lấy một chiếc la bàn và di chuyển nó đến bất kỳ kích thước tùy ý nào (trong giới hạn của hình vẽ). Đặt đầu nhọn ở điểm bắt đầu của góc O, vẽ một cung cắt nhau các tia, đánh dấu hai điểm trên chúng. Chúng được chỉ định là A1 và A2. Sau đó, đặt xen kẽ la bàn tại các điểm này, vẽ hai hình tròn có cùng đường kính tùy ý (theo tỷ lệ của hình vẽ). Các điểm giao nhau của chúng được chỉ định là C và B. Tiếp theo, bạn cần vẽ một đường thẳng đi qua các điểm O, C và B, đây sẽ là đường phân giác mong muốn.Sử dụng thước kẻ
Để vẽ đường phân giác của một góc bằng thước kẻ, bạn cần vẽ các đoạn từ điểm O lên các tia (cạnh) cùng chiều dài và chỉ định chúng là các điểm A và B. Sau đó, bạn nên nối chúng bằng một đường thẳng và dùng thước kẻ chia đoạn kết quả làm đôi, chỉ định điểm C. Sẽ thu được một đường phân giác nếu bạn vẽ một đường thẳng đi qua các điểm C và Ô.Không có công cụ
Nếu không dụng cụ đo lường, bạn có thể sử dụng sự khéo léo của mình. Chỉ cần vẽ một góc trên giấy can hoặc giấy mỏng thông thường và cẩn thận gấp mảnh giấy sao cho các tia của góc thẳng hàng. Đường gấp trong bản vẽ sẽ là đường phân giác mong muốn.Góc thẳng
Một góc lớn hơn 180 độ có thể được chia bằng một đường phân giác bằng các phương pháp tương tự. Chỉ cần chia không phải nó mà là góc nhọn liền kề với nó, còn lại từ đường tròn. Phần tiếp theo của đường phân giác tìm thấy sẽ trở thành đường thẳng mong muốn, chia góc mở ra làm đôi.Các góc trong một tam giác
Cần nhớ rằng trong một tam giác đều, đường phân giác cũng là đường trung tuyến và đường cao. Do đó, có thể tìm thấy đường phân giác trong nó bằng cách hạ thấp đường vuông góc với cạnh đối diện với góc (chiều cao) hoặc chia cạnh này làm đôi và nối điểm giữa với góc đối diện(trung vị).Video về chủ đề
quy tắc ghi nhớ“Đường phân giác là một con chuột chạy quanh các góc và chia chúng làm đôi” mô tả bản chất của khái niệm nhưng không đưa ra khuyến nghị về cách xây dựng đường phân giác. Để vẽ nó, ngoài thước kẻ, bạn sẽ cần một compa và thước kẻ.
Hướng dẫn
Giả sử bạn cần xây dựng đường phân giác góc A. Lấy một la bàn, đặt đầu la bàn vào điểm A (góc) và vẽ một đường tròn có hình . Nơi nó giao nhau với các cạnh của góc, đặt điểm B và C.
Đo bán kính của hình tròn đầu tiên. Vẽ một hình khác có cùng bán kính, đặt compa tại điểm B.
Vẽ đường tròn tiếp theo (có kích thước bằng các hình trước) có tâm tại điểm C.
Cả ba đường tròn phải cắt nhau tại một điểm - gọi nó là F. Dùng thước vẽ một tia đi qua hai điểm A và F. Đây sẽ là đường phân giác mong muốn của góc A.
Có một số quy tắc sẽ giúp bạn tìm thấy. Ví dụ, nó ngược lại ở chỗ, bằng tỷ lệ hai cạnh kề nhau. Trong hình cân
Hôm nay sẽ rất bài học dễ dàng. Chúng ta sẽ chỉ xem xét một đối tượng - đường phân giác của góc - và chứng minh tính chất quan trọng nhất của nó, tính chất này sẽ rất hữu ích cho chúng ta trong tương lai.
Đừng thư giãn: đôi khi những học sinh muốn đạt được điểm cao trong cùng một kỳ thi OGE hoặc Unified State, trong bài học đầu tiên, họ thậm chí không thể hình thành chính xác định nghĩa về đường phân giác.
Và thay vì thực sự làm nhiệm vụ thú vị, chúng ta lãng phí thời gian vào những việc đơn giản như vậy. Vì vậy, hãy đọc, xem và áp dụng nó. :)
Đầu tiên một chút câu hỏi lạ: Góc là gì? Đúng vậy: một góc đơn giản là hai tia phát ra từ cùng một điểm. Ví dụ:
Ví dụ về các góc: nhọn, tù và phải Như bạn có thể thấy trong hình, các góc có thể nhọn, tù, thẳng - bây giờ điều đó không thành vấn đề. Thông thường, để thuận tiện, một điểm bổ sung được đánh dấu trên mỗi tia và người ta nói rằng phía trước chúng ta là góc $AOB$ (viết là $\góc AOB$).
Captain Obviousness dường như đang ám chỉ rằng ngoài các tia $OA$ và $OB$, luôn có thể vẽ thêm một loạt tia nữa từ điểm $O$. Nhưng trong số đó sẽ có một người đặc biệt - anh ta được gọi là người chia đôi.
Sự định nghĩa. Tia phân giác của một góc là tia ló ra từ đỉnh của góc đó và chia đôi góc đó.
Đối với các góc trên, các đường phân giác sẽ có dạng như sau:
Ví dụ về các đường phân giác của góc nhọn, góc tù và góc vuông
Vì trong các hình vẽ thực, không phải lúc nào cũng rõ ràng rằng một tia nào đó (trong trường hợp của chúng ta là tia $OM$) chia góc ban đầu thành hai góc bằng nhau, nên trong hình học, người ta thường đánh dấu các góc bằng nhau với cùng số cung ( trong bản vẽ của chúng ta, đây là 1 cung cho góc nhọn, hai cung cho góc tù, ba cho góc thẳng).
Được rồi, chúng tôi đã sắp xếp định nghĩa. Bây giờ bạn cần hiểu đường phân giác có những tính chất gì.
Tính chất cơ bản của đường phân giác của một góc
Trong thực tế, đường phân giác có rất nhiều tính chất. Và chúng ta chắc chắn sẽ xem xét chúng trong bài học tiếp theo. Nhưng có một mẹo mà bạn cần hiểu ngay bây giờ:
Định lý. Đường phân giác của một góc là quỹ tích các điểm cách đều hai cạnh của một góc cho trước.
Được dịch từ toán học sang tiếng Nga, điều này có nghĩa là hai sự thật cùng một lúc:
- Bất kỳ điểm nào nằm trên đường phân giác của một góc nhất định đều cách các cạnh của góc đó một khoảng bằng nhau.
- Và ngược lại: nếu một điểm nằm cách các cạnh của một góc một khoảng bằng nhau thì đảm bảo nằm trên phân giác của góc đó.
Trước khi chứng minh những nhận định này, chúng ta hãy làm rõ một điểm: chính xác thì khoảng cách từ một điểm đến cạnh của một góc được gọi là gì? Ở đây, cách xác định chính xác khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng sẽ giúp chúng ta:
Sự định nghĩa. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ một điểm cho trước đến đường thẳng đó.
Ví dụ, xét một đường thẳng $l$ và một điểm $A$ không nằm trên đường thẳng này. Chúng ta hãy vẽ đường vuông góc với $AH$, trong đó $H\in l$. Khi đó độ dài đường vuông góc này sẽ là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $l$.
Biểu diễn đồ họa khoảng cách từ một điểm đến một đường Vì một góc chỉ đơn giản là hai tia và mỗi tia là một đoạn thẳng nên dễ dàng xác định khoảng cách từ một điểm đến các cạnh của một góc. Đây chỉ là hai đường vuông góc:
Tính khoảng cách từ điểm đó đến các cạnh của góc Thế thôi! Bây giờ chúng ta biết khoảng cách là gì và phân giác là gì. Vì vậy, chúng ta có thể chứng minh tính chất chính.
Như đã hứa, chúng ta sẽ chia phần chứng minh thành hai phần:
1. Khoảng cách từ điểm trên tia phân giác đến các cạnh của góc bằng nhau
Xét một góc tùy ý có đỉnh $O$ và phân giác $OM$:
Hãy chứng minh rằng điểm $M$ này cách các cạnh của góc một khoảng bằng nhau.
Bằng chứng. Chúng ta hãy vẽ các đường vuông góc từ điểm $M$ tới các cạnh của góc. Hãy gọi chúng là $M((H)_(1))$ và $M((H)_(2))$:
Vẽ đường vuông góc với các cạnh của góc
Chúng ta thu được hai tam giác vuông: $\vartriangle OM((H)_(1))$ và $\vartriangle OM((H)_(2))$. Chúng có cạnh huyền chung $OM$ và các góc bằng nhau:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ theo điều kiện (vì $OM$ là phân giác);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ theo cách xây dựng;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, vì tổng hợp góc nhọn của tam giác vuông luôn bằng 90 độ.
Do đó, các tam giác có cạnh bằng nhau và hai góc kề nhau (xem dấu bằng của các tam giác). Do đó, cụ thể là $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, tức là. khoảng cách từ điểm $O$ đến các cạnh của góc thực sự bằng nhau. Q.E.D. :)
2. Nếu các khoảng cách bằng nhau thì điểm nằm trên đường phân giác
Hiện nay tình huống ngược lại. Cho một góc $O$ và một điểm $M$ cách đều các cạnh của góc này:
Hãy chứng minh rằng tia $OM$ là tia phân giác, tức là $\góc MO((H)_(1))=\góc MO((H)_(2))$.
Bằng chứng. Đầu tiên, hãy vẽ tia $OM$ này, nếu không sẽ không có gì để chứng minh:
Tiến hành chùm tia $OM$ bên trong góc
Một lần nữa chúng ta nhận được hai hình tam giác vuông: $\vartriangle OM((H)_(1))$ và $\vartriangle OM((H)_(2))$. Hiển nhiên chúng bằng nhau vì:
- Cạnh huyền $OM$ - chung;
- Các chân $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ theo điều kiện (xét cho cùng, điểm $M$ cách đều các cạnh của góc);
- Các chân còn lại cũng bằng nhau, vì bởi định lý Pythagore $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Do đó, các tam giác $\vartriangle OM((H)_(1))$ và $\vartriangle OM((H)_(2))$ có ba cạnh. Cụ thể, các góc của chúng bằng nhau: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Và điều này chỉ có nghĩa là $OM$ là một đường phân giác.
Để kết thúc chứng minh, chúng ta đánh dấu các góc bằng nhau bằng các cung màu đỏ:
Đường phân giác chia góc $\góc ((H)_(1))O((H)_(2))$ thành hai phần bằng nhau
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp. Ta đã chứng minh rằng tia phân giác của một góc là quỹ tích của các điểm cách đều hai cạnh của góc đó :)
Bây giờ chúng ta đã ít nhiều quyết định về thuật ngữ, đã đến lúc chuyển sang cấp độ mới. Trong bài học tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu thêm tính chất phức tạp phân giác và học cách sử dụng chúng để giải quyết các vấn đề thực tế.
Trình độ trung cấp
Phân giác của một tam giác. Lý thuyết chi tiết với các ví dụ (2019)
Phân giác của tam giác và tính chất của nó
Bạn có biết trung điểm của một đoạn thẳng là gì không? Tất nhiên là có. Còn tâm của vòng tròn thì sao? Như nhau. Trung điểm của một góc là gì? Bạn có thể nói rằng điều này không xảy ra. Nhưng tại sao một đoạn có thể chia làm đôi còn một góc thì không? Điều đó hoàn toàn có thể - không phải là một dấu chấm, mà là…. đường kẻ.
Bạn có nhớ câu chuyện cười: đường phân giác là một con chuột chạy quanh các góc và chia đôi góc đó. Vì vậy, định nghĩa thực sự của đường phân giác rất giống với trò đùa này:
Phân giác của một tam giác- đây là đoạn phân giác của một góc của tam giác nối đỉnh của góc này với một điểm ở cạnh đối diện.
Ngày xửa ngày xưa, các nhà thiên văn học và toán học cổ đại đã khám phá ra rất nhiều tính chất thú vị các đường phân giác. Kiến thức này đã đơn giản hóa rất nhiều cuộc sống của con người. Việc xây dựng, đếm khoảng cách, thậm chí điều chỉnh cách bắn của đại bác đã trở nên dễ dàng hơn... Kiến thức về những đặc tính này sẽ giúp chúng ta giải quyết một số nhiệm vụ GIA và Kỳ thi Thống nhất!
Kiến thức đầu tiên sẽ giúp ích cho việc này là phân giác của một tam giác cân.
Nhân tiện, bạn có nhớ tất cả các điều khoản này không? Bạn có nhớ chúng khác nhau như thế nào không? KHÔNG? Không đáng sợ. Hãy tìm ra nó ngay bây giờ.
Vì thế, đáy của một tam giác cân- đây là bên không bằng bên nào. Nhìn vào bức tranh, bạn nghĩ đó là bên nào? Đúng vậy - đây là một bên.
Đường trung tuyến là đường kẻ từ đỉnh của một tam giác và chia phía đối diện(điều này một lần nữa) một nửa.
Lưu ý rằng chúng ta không nói "Trung tuyến của một tam giác cân". Bạn có biết tại sao không? Bởi vì đường trung tuyến vẽ từ một đỉnh của một tam giác sẽ chia đôi cạnh đối diện trong BẤT KỲ tam giác nào.
Vâng, chiều cao là một đường thẳng được vẽ từ đỉnh và vuông góc với đáy. Bạn có để ý không? Chúng ta lại nói về bất kỳ tam giác nào, không chỉ tam giác cân. Chiều cao trong BẤT KỲ tam giác nào luôn vuông góc với đáy.
Vì vậy, bạn đã tìm ra nó? Vâng gần như vậy. Để hiểu rõ hơn và nhớ mãi đường phân giác, đường trung bình và chiều cao là gì, bạn cần so sánh chúng với nhau và hiểu chúng giống nhau như thế nào và chúng khác nhau như thế nào. Đồng thời, để ghi nhớ tốt hơn, hãy mô tả mọi thứ” ngôn ngữ con người" Khi đó bạn sẽ dễ dàng thao tác bằng ngôn ngữ toán học, nhưng lúc đầu bạn không hiểu ngôn ngữ này và bạn cần hiểu mọi thứ bằng ngôn ngữ của mình.
Vậy chúng giống nhau như thế nào? Đường phân giác, đường trung bình và chiều cao - tất cả chúng đều “đi ra” từ đỉnh của tam giác và nằm ở phía đối diện và “làm điều gì đó” theo góc mà chúng đi ra hoặc với phía đối diện. Tôi nghĩ nó đơn giản, phải không?
Chúng khác nhau như thế nào?
- Đường phân giác chia góc mà nó ló ra làm đôi.
- Đường trung tuyến chia cạnh đối diện làm đôi.
- Chiều cao luôn vuông góc với phía đối diện.
Bây giờ thế là xong. Thật dễ hiểu. Và một khi bạn hiểu, bạn có thể nhớ.
Hiện nay câu hỏi tiếp theo. Tại sao trong trường hợp tam giác cân, đường phân giác vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao?
Bạn chỉ cần nhìn vào hình và đảm bảo rằng đường trung tuyến chia thành hai phần hoàn toàn tam giác bằng nhau. Thế thôi! Nhưng các nhà toán học không thích tin vào mắt mình. Họ cần phải chứng minh mọi thứ. Từ đáng sợ? Không có gì giống như vậy - thật đơn giản! Hãy nhìn xem: cả hai đều có các cạnh bằng nhau và chúng thường có một cạnh chung và. (- đường phân giác!) Và thế là hai tam giác có hai các cạnh bằng nhau và góc giữa chúng. Chúng ta nhớ lại dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau của các tam giác (nếu bạn không nhớ, hãy xem chủ đề) và kết luận rằng, do đó = và.
Điều này đã tốt rồi - nó có nghĩa là nó đã trở thành mức trung bình.
Nhưng nó là gì?
Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh - . Và chúng tôi đã có nó. Vì vậy, quá! Cuối cùng, hoan hô! Và.
Bạn có thấy bằng chứng này hơi nặng nề không? Nhìn vào bức tranh - hai hình tam giác giống hệt nhau đã nói lên điều đó.
Trong mọi trường hợp, hãy nhớ chắc chắn:
Bây giờ khó khăn hơn: chúng ta sẽ tính góc giữa các đường phân giác trong một tam giác bất kỳ!Đừng sợ, nó không khó đến thế đâu. Nhìn vào bức tranh:
Hãy đếm nó. Bạn có nhớ điều đó không? tổng các góc của một tam giác là?
Hãy áp dụng thực tế tuyệt vời này.
Một mặt, từ:
Đó là.
Bây giờ chúng ta hãy xem:
Nhưng phân giác, phân giác!
Chúng ta hãy nhớ về:
Bây giờ qua những lá thư
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
Không ngạc nhiên sao? Hoá ra là thế góc giữa hai tia phân giác của hai góc chỉ phụ thuộc vào góc thứ ba!
Vâng, chúng tôi đã xem xét hai đường phân giác. Nếu có ba người trong số họ thì sao?!! Liệu tất cả chúng có giao nhau tại một điểm không?
Hay nó sẽ như thế này?
Bạn nghĩ thế nào? Vì thế các nhà toán học đã suy nghĩ và chứng minh:
Điều đó không tuyệt vời sao?
Bạn có muốn biết tại sao điều này xảy ra?
Vậy...hai tam giác vuông: và. Họ có:
- Cạnh huyền chung.
- (vì nó là tia phân giác!)
Điều này có nghĩa - theo góc và cạnh huyền. Do đó, các chân tương ứng của các hình tam giác này bằng nhau! Đó là.
Chúng ta đã chứng minh rằng điểm cách xa các cạnh của góc bằng (hoặc bằng nhau). Điểm 1 đã được giải quyết. Bây giờ hãy chuyển sang điểm 2.
Tại sao 2 là đúng?
Và hãy kết nối các dấu chấm và.
Điều này có nghĩa là nó nằm trên đường phân giác!
Thế thôi!
Làm thế nào tất cả điều này có thể được áp dụng khi giải quyết vấn đề? Ví dụ, trong các bài toán thường có câu sau: “Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh của một góc…”. Vâng, bạn cần phải tìm một cái gì đó.
Rồi bạn nhanh chóng nhận ra rằng
Và bạn có thể sử dụng sự bình đẳng.
3. Ba đường phân giác trong một tam giác cắt nhau tại một điểm
Từ tính chất của đường phân giác trở thành quỹ tích các điểm cách đều hai cạnh của góc thì phát biểu sau:
Làm thế nào chính xác nó đi ra? Nhưng hãy nhìn xem: hai đường phân giác chắc chắn sẽ cắt nhau phải không?
Và đường phân giác thứ ba có thể như thế này:
Nhưng trên thực tế, mọi thứ tốt hơn nhiều!
Hãy xét giao điểm của hai đường phân giác. Hãy gọi nó là .
Chúng ta đã sử dụng gì ở đây cả hai lần? Đúng điểm 1, tất nhiên rồi! Nếu một điểm nằm trên đường phân giác thì cách xa các cạnh của góc bằng nhau.
Và thế là nó đã xảy ra.
Nhưng hãy nhìn kỹ vào hai đẳng thức này! Rốt cuộc, họ theo sau điều đó và do đó, .
Và bây giờ nó sẽ phát huy tác dụng điểm 2: nếu khoảng cách tới các cạnh của một góc bằng nhau thì điểm nằm trên tia phân giác...góc nào? Nhìn vào bức tranh một lần nữa:
và là khoảng cách đến các cạnh của góc, và chúng bằng nhau, nghĩa là điểm nằm trên phân giác của góc. Đường phân giác thứ ba đi qua cùng một điểm! Ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm! Và như một món quà bổ sung -
Bán kính khắc vòng tròn.
(Để chắc chắn, hãy xem chủ đề khác).
Chà, bây giờ bạn sẽ không bao giờ quên:
Giao điểm các đường phân giác của một tam giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đó.
Chúng ta hãy chuyển sang tính chất tiếp theo... Wow, đường phân giác có nhiều tính chất, phải không? Và điều đó thật tuyệt, bởi vì nhiều tài sản hơn, càng có nhiều công cụ để giải bài toán phân giác.
4. Phân giác và độ song song, phân giác của các góc kề nhau
Việc chia góc làm đôi trong một số trường hợp dẫn đến kết quả hoàn toàn không mong đợi. Ở đây, ví dụ,
Trường hợp 1
Tuyệt vời phải không? Hãy hiểu tại sao lại như vậy.
Một mặt, chúng ta vẽ một đường phân giác!
Nhưng mặt khác, có những góc nằm ngang (hãy nhớ chủ đề).
Và bây giờ hóa ra là vậy; ném ra giữa: ! - cân!
Trường hợp 2
Hãy tưởng tượng một hình tam giác (hoặc nhìn vào bức tranh)
Hãy tiếp tục bên ngoài điểm. Bây giờ chúng ta có hai góc:
- - góc trong
- - góc ngoài là ở ngoài phải không?
Vì vậy, bây giờ có người muốn vẽ không phải một mà là hai đường phân giác cùng một lúc: cả cho và cho. Điều gì sẽ xảy ra?
Liệu nó có thành công không? hình chữ nhật!
Đáng ngạc nhiên, đây chính xác là trường hợp.
Hãy tìm ra nó.
Bạn nghĩ số tiền đó là bao nhiêu?
Tất nhiên, - xét cho cùng, tất cả chúng cùng nhau tạo thành một góc sao cho nó trở thành một đường thẳng.
Bây giờ hãy nhớ rằng và là các đường phân giác và thấy rằng bên trong góc có chính xác một nửa từ tổng của cả bốn góc: và - - chính xác là vậy. Bạn cũng có thể viết nó dưới dạng một phương trình:
Vì vậy, khó tin nhưng có thật:
Góc giữa các đường phân giác của góc trong và góc ngoài của một tam giác bằng nhau.
Trường hợp 3
Bạn có thấy mọi thứ ở đây đều giống như các góc bên trong và bên ngoài không?
Hoặc hãy suy nghĩ lại tại sao điều này lại xảy ra?
Một lần nữa, đối với các góc liền kề,
(tương ứng với các căn cứ song song).
Và một lần nữa, họ làm lành chính xác một nửa từ số tiền
Phần kết luận: Nếu bài toán có đường phân giác liền kề góc hoặc phân giác liên quan các góc của hình bình hành hoặc hình thang thì trong bài toán này chắc chắn tham gia tam giác vuông, và thậm chí có thể là cả một hình chữ nhật.
5. Phân giác và cạnh đối diện
Hóa ra đường phân giác của một góc của một tam giác chia cạnh đối diện không chỉ theo một cách nào đó mà còn theo một cách đặc biệt và rất thú vị:
Đó là:
Một sự thật đáng kinh ngạc phải không?
Bây giờ chúng tôi sẽ chứng minh sự thật này, nhưng hãy sẵn sàng: nó sẽ khó khăn hơn một chút so với trước đây.
Một lần nữa - thoát ra “không gian” - đội hình bổ sung!
Hãy đi thẳng.
Để làm gì? Chúng ta sẽ xem bây giờ.
Hãy tiếp tục phân giác cho đến khi nó giao nhau với đường thẳng.
Đây có phải là hình ảnh quen thuộc? Vâng, vâng, vâng, giống hệt như ở điểm 4, trường hợp 1 - hóa ra là (- phân giác)
Nằm chéo
Vì vậy, điều đó cũng vậy.
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào các hình tam giác và.
Bạn có thể nói gì về họ?
Họ... giống nhau. Vâng, vâng, các góc của chúng bằng với các góc thẳng đứng. Vì vậy, ở hai góc.
Bây giờ chúng ta có quyền viết ra mối quan hệ của các bên liên quan.
Và bây giờ trong ký hiệu ngắn gọn:
Ồ! Làm tôi nhớ đến điều gì đó phải không? Đây không phải là điều chúng ta muốn chứng minh sao? Vâng, vâng, chính xác là như vậy!
Bạn thấy cuộc “đi bộ ngoài không gian” đã tỏ ra tuyệt vời như thế nào - việc xây dựng một đường thẳng bổ sung - nếu không có nó thì sẽ không có chuyện gì xảy ra! Và vì vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng
Bây giờ bạn có thể sử dụng nó một cách an toàn! Chúng ta hãy xem xét thêm một tính chất của các đường phân giác của các góc trong một tam giác - đừng lo lắng, bây giờ phần khó nhất đã qua - nó sẽ dễ dàng hơn.
Chúng tôi hiểu điều đó
Định lý 1:
Định lý 2:
Định lý 3:
Định lý 4:
Định lý 5:
Định lý 6:
Đường phân giác của một tam giác là đoạn chia góc của tam giác thành hai phần góc bằng nhau. Ví dụ: nếu góc của một tam giác là 120 0 thì bằng cách vẽ đường phân giác, chúng ta sẽ dựng được hai góc mỗi góc 60 0.
Và vì một tam giác có ba góc nên có thể vẽ được ba đường phân giác. Tất cả đều có một điểm giới hạn. Điểm này là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Nói cách khác, điểm giao nhau này được gọi là tâm nội tiếp của tam giác.
Khi hai đường phân giác của một góc trong và ngoài cắt nhau thì được một góc bằng 90 0. Góc ngoài trong một tam giác góc kề với góc trong tam giác.
Cơm. 1. Tam giác có 3 đường phân giác
Đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn nối với nhau:
$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$
Các điểm phân giác cách đều các cạnh của góc, nghĩa là chúng cách đều các cạnh của góc. Nghĩa là, nếu từ bất kỳ điểm nào của đường phân giác chúng ta vẽ các đường vuông góc với mỗi cạnh của góc của tam giác thì các đường vuông góc này sẽ bằng nhau..
Nếu bạn vẽ đường trung tuyến, đường phân giác và chiều cao từ một đỉnh thì đường trung tuyến sẽ là đoạn dài nhất và chiều cao sẽ ngắn nhất.
Một số tính chất của đường phân giác
TRONG một số loại tam giác thì đường phân giác có tính chất đặc biệt. Điều này chủ yếu áp dụng cho tam giác cân. Hình này có hai cạnh giống nhau và cạnh thứ ba được gọi là đáy.
Nếu bạn vẽ một đường phân giác từ đỉnh của một góc của một tam giác cân tới đáy thì nó sẽ có cả tính chất chiều cao và tính chất trung tuyến. Theo đó, độ dài đường phân giác trùng với độ dài đường trung tuyến và chiều cao.
định nghĩa:
- Chiều cao- Đường vuông góc kẻ từ đỉnh của tam giác tới cạnh đối diện.
- trung vị- Đoạn thẳng nối đỉnh của một tam giác và trung điểm của cạnh đối diện.
Cơm. 2. Đường phân giác trong tam giác cân
Điều này cũng áp dụng tam giác đều, tức là một tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Bài tập ví dụ
Cho tam giác ABC: BR là đường phân giác, AB = 6 cm, BC = 4 cm, RC = 2 cm.
Cơm. 3. Đường phân giác trong một tam giác
Giải pháp:
Đường phân giác chia cạnh của tam giác theo một tỉ lệ nhất định. Hãy sử dụng tỷ lệ này và thể hiện AR. Sau đó, chúng ta tìm độ dài của cạnh thứ ba là tổng các đoạn mà đường phân giác chia cạnh này thành.
- $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
- $RC=(6\over(4))*2=3 cm$
Khi đó toàn bộ đoạn AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 cm.
Tổng số lượt xếp hạng nhận được: 107.