Bài viết này được dành để nghiên cứu chi tiết về các công thức giảm lượng giác. Một danh sách đầy đủ các công thức rút gọn được đưa ra, các ví dụ về cách sử dụng chúng được đưa ra và bằng chứng về tính đúng đắn của các công thức được đưa ra. Bài viết còn cung cấp một quy tắc ghi nhớ cho phép bạn suy ra các công thức rút gọn mà không cần phải thuộc lòng từng công thức.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Công thức giảm. Danh sách
Công thức rút gọn cho phép bạn quy đổi các hàm lượng giác cơ bản của các góc có độ lớn tùy ý thành các hàm góc nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ (từ 0 đến π 2 radian). Thao tác với các góc từ 0 đến 90 độ sẽ thuận tiện hơn nhiều so với thao tác với các giá trị lớn tùy ý, đó là lý do tại sao các công thức rút gọn được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán lượng giác.
Trước khi viết ra các công thức, chúng ta hãy làm rõ một số điểm quan trọng để hiểu.
- Đối số của hàm lượng giác trong công thức rút gọn là các góc có dạng ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Ở đây z là số nguyên bất kỳ và α là góc quay tùy ý.
- Không cần thiết phải học hết các công thức rút gọn, số lượng trong đó khá ấn tượng. Có một quy tắc ghi nhớ giúp bạn dễ dàng rút ra công thức mong muốn. Chúng ta sẽ nói về quy tắc ghi nhớ sau.
Bây giờ chúng ta hãy chuyển trực tiếp đến các công thức rút gọn.
Công thức rút gọn cho phép bạn chuyển từ làm việc với các góc lớn tùy ý và tùy ý sang làm việc với các góc từ 0 đến 90 độ. Hãy viết tất cả các công thức dưới dạng bảng.
công thức khử
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = tg α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Trong trường hợp này, các công thức được viết bằng radian. Tuy nhiên, bạn cũng có thể viết chúng bằng độ. Chỉ cần chuyển đổi radian sang độ, thay thế π bằng 180 độ là đủ.
Ví dụ về sử dụng công thức rút gọn
Chúng tôi sẽ chỉ ra cách sử dụng các công thức rút gọn và cách sử dụng các công thức này để giải các ví dụ thực tế.
Góc dưới dấu của hàm lượng giác có thể được biểu diễn không phải bằng một mà bằng nhiều cách. Ví dụ: đối số của hàm lượng giác có thể được biểu diễn dưới dạng ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Hãy chứng minh điều này.
Hãy lấy góc α = 16 π 3. Góc này có thể được viết như thế này:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Tùy theo cách biểu diễn góc mà sử dụng công thức rút gọn thích hợp.
Hãy lấy cùng một góc α = 16 π 3 và tính tiếp tuyến của nó
Ví dụ 1: Sử dụng công thức rút gọn
α = 16 π 3 , t g α = ?
Hãy biểu diễn góc α = 16 π 3 dưới dạng α = π + π 3 + 2 π 2
Biểu diễn góc này sẽ tương ứng với công thức rút gọn
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Sử dụng bảng, chúng tôi chỉ ra giá trị của tiếp tuyến
Bây giờ chúng ta sử dụng cách biểu diễn khác của góc α = 16 π 3.
Ví dụ 2: Sử dụng công thức rút gọn
α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Cuối cùng, để biểu diễn góc thứ ba, chúng ta viết
Ví dụ 3. Sử dụng công thức rút gọn
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3
Bây giờ hãy đưa ra một ví dụ về việc sử dụng các công thức rút gọn phức tạp hơn
Ví dụ 4. Sử dụng công thức rút gọn
Hãy tưởng tượng sin 197° thông qua sin và cosin của một góc nhọn.
Để có thể áp dụng các công thức rút gọn cần biểu diễn góc α = 197° theo một trong các dạng
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Theo điều kiện của bài toán, góc phải nhọn. Theo đó, chúng ta có hai cách biểu diễn nó:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
chúng tôi nhận được
sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)
Bây giờ chúng ta hãy xem các công thức rút gọn cho sin và chọn công thức thích hợp
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270° - 73° + 360° z) = - cos 73°
quy tắc ghi nhớ
Có nhiều công thức rút gọn và may mắn thay, bạn không cần phải ghi nhớ chúng. Có những quy luật mà nhờ đó có thể suy ra các công thức rút gọn cho các góc và hàm lượng giác khác nhau. Những mẫu này được gọi là quy tắc ghi nhớ. Mnemonics là nghệ thuật ghi nhớ. Quy tắc ghi nhớ bao gồm ba phần hoặc có ba giai đoạn.
quy tắc ghi nhớ
1. Đối số của hàm gốc được biểu diễn dưới một trong các dạng sau:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Góc α phải nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.
2. Xác định dấu của hàm số lượng giác ban đầu. Hàm viết ở bên phải công thức sẽ có dấu tương tự.
3. Đối với các góc ± α + 2 πz và π ± α + 2 πz, tên của hàm ban đầu không thay đổi và đối với các góc π 2 ± α + 2 πz và 3 π 2 ± α + 2 πz, nó lần lượt thay đổi thành “đồng chức năng”. Sin - cosin. Tiếp tuyến - cotang.
Để sử dụng hướng dẫn ghi nhớ các công thức rút gọn, bạn cần xác định được dấu của hàm lượng giác dựa trên các phần tư của vòng tròn đơn vị. Hãy xem xét các ví dụ về việc sử dụng quy tắc ghi nhớ.
Ví dụ 1: Sử dụng quy tắc ghi nhớ
Chúng ta hãy viết các công thức rút gọn của cos π 2 - α + 2 πz và t g π - α + 2 πz. α là log của quý đầu tiên.
1. Vì với điều kiện α là log của quý đầu tiên nên ta bỏ qua điểm đầu tiên của quy tắc.
2. Xác định dấu của các hàm cos π 2 - α + 2 πz và t g π - α + 2 πz. Góc π 2 - α + 2 πz cũng là góc của phần tư thứ nhất, và góc π - α + 2 πz cũng là góc của phần tư thứ hai. Trong quý đầu tiên, hàm cosin dương và tiếp tuyến trong quý thứ hai có dấu trừ. Hãy viết ra các công thức cần thiết sẽ trông như thế nào ở giai đoạn này.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Theo điểm thứ ba, đối với góc π 2 - α + 2 π tên hàm đổi thành Khổng Tử, còn đối với góc π - α + 2 πz vẫn giữ nguyên. Hãy viết ra:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Bây giờ chúng ta hãy xem các công thức được đưa ra ở trên và đảm bảo rằng quy tắc ghi nhớ hoạt động.
Hãy xem một ví dụ với góc cụ thể α = 777°. Chúng ta hãy giảm sin alpha thành hàm lượng giác của một góc nhọn.
Ví dụ 2: Sử dụng quy tắc ghi nhớ
1. Vẽ góc α = 777° theo dạng yêu cầu
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Góc ban đầu là góc của phần tư thứ nhất. Điều này có nghĩa là sin của góc có dấu dương. Kết quả là chúng ta có:
3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Bây giờ chúng ta hãy xem một ví dụ cho thấy tầm quan trọng của việc xác định chính xác dấu của hàm lượng giác và biểu diễn chính xác góc khi sử dụng quy tắc ghi nhớ. Hãy lặp lại nó một lần nữa.
Quan trọng!
Góc α phải nhọn!
Hãy tính tang của góc 5 π 3. Từ bảng giá trị của các hàm lượng giác chính, bạn có thể lấy ngay giá trị t g 5 π 3 = - 3, nhưng chúng ta sẽ áp dụng quy tắc ghi nhớ.
Ví dụ 3: Sử dụng quy tắc ghi nhớ
Hãy tưởng tượng góc α = 5 π 3 ở dạng cần tìm và sử dụng quy tắc
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Nếu chúng ta biểu diễn góc alpha dưới dạng 5 π 3 = π + 2 π 3 thì kết quả áp dụng quy tắc ghi nhớ sẽ không chính xác.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Kết quả sai là do góc 2 π 3 không nhọn.
Việc chứng minh các công thức rút gọn dựa trên tính chất tuần hoàn và tính đối xứng của các hàm lượng giác, cũng như tính chất dịch chuyển theo các góc π 2 và 3 π 2. Việc chứng minh tính đúng đắn của tất cả các công thức rút gọn có thể được thực hiện mà không cần tính đến số hạng 2 πz, vì nó biểu thị sự thay đổi góc bằng một số nguyên các vòng quay đầy đủ và phản ánh chính xác tính chất tuần hoàn.
16 công thức đầu tiên tuân theo trực tiếp các tính chất của các hàm lượng giác cơ bản: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.
Đây là bằng chứng về các công thức rút gọn của sin và cosin
sinπ 2 + α = cos α và cos π 2 + α = - sin α
Chúng ta hãy xem một vòng tròn đơn vị, điểm bắt đầu của nó, sau khi quay qua một góc α, sẽ đến điểm A 1 x, y, và sau khi quay qua một góc π 2 + α - đến điểm A 2. Từ cả hai điểm chúng ta vẽ các đường vuông góc với trục hoành.
Hai tam giác vuông O A 1 H 1 và O A 2 H 2 bằng nhau ở cạnh huyền và các góc kề nhau. Từ vị trí các điểm trên đường tròn và sự bằng nhau của các tam giác, ta có thể kết luận điểm A 2 có tọa độ A 2 - y, x. Sử dụng định nghĩa của sin và cosin, ta viết:
sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
sinπ 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Xét các đẳng thức cơ bản của lượng giác và những điều vừa được chứng minh, ta có thể viết
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α
Để chứng minh công thức rút gọn với đối số π 2 - α phải biểu diễn dưới dạng π 2 + (- α). Ví dụ:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α
Chứng minh sử dụng tính chất của hàm lượng giác với các đối số trái dấu.
Tất cả các công thức rút gọn khác có thể được chứng minh dựa trên những công thức đã viết ở trên.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Bài học và trình bày chuyên đề: “Ứng dụng công thức rút gọn trong giải bài toán”
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 10
1C: Trường học. Nhiệm vụ xây dựng tương tác cho lớp 7-10
1C: Trường học. Chúng tôi giải quyết các vấn đề trong hình học. Nhiệm vụ tương tác về xây dựng không gian cho lớp 10–11
Những gì chúng ta sẽ nghiên cứu:
1. Hãy lặp lại một chút.
2. Quy tắc về công thức rút gọn.
3. Bảng chuyển đổi công thức rút gọn.
4. Ví dụ.
Ôn tập các hàm lượng giác
Các bạn ơi, các bạn đã từng gặp những công thức ma quái nhưng vẫn chưa gọi chúng như vậy. Bạn nghĩ gì: ở đâu?
Nhìn vào bản vẽ của chúng tôi. Đúng vậy, khi các định nghĩa về hàm lượng giác được giới thiệu.
Quy tắc cho công thức rút gọn
Hãy giới thiệu quy tắc cơ bản: Nếu dưới dấu của hàm lượng giác có một số có dạng π×n/2 + t, trong đó n là số nguyên bất kỳ, thì hàm lượng giác của chúng ta có thể được rút gọn về dạng đơn giản hơn, sẽ chứa chỉ có đối số t. Những công thức như vậy được gọi là công thức ma.
Hãy nhớ lại một số công thức:
- sin(t + 2π*k) = sin(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- sin(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- sin(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tan(t + π*k) = tan(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
có rất nhiều công thức ma, hãy đưa ra một quy tắc để chúng ta xác định hàm lượng giác khi sử dụng công thức ma:
- Nếu dấu của hàm lượng giác chứa các số có dạng: π + t, π - t, 2π + t và 2π - t, thì hàm sẽ không thay đổi, tức là sin sẽ vẫn là sin, cotang sẽ vẫn là cotang.
- Nếu dấu của hàm lượng giác chứa các số có dạng: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t và 3π/2 - t thì hàm số sẽ thay đổi thành hàm số liên quan, tức là sin sẽ trở thành cosin, cotang sẽ trở thành tiếp tuyến. - Trước hàm kết quả, bạn cần đặt dấu hiệu cho thấy hàm được chuyển đổi sẽ có điều kiện 0
Những quy tắc này cũng được áp dụng khi đối số của hàm được tính theo độ!
Chúng ta cũng có thể tạo một bảng biến đổi của các hàm lượng giác:
Ví dụ về sử dụng công thức rút gọn
1. Biến đổi cos(π + t). Tên của hàm vẫn được giữ nguyên, tức là chúng ta nhận được cos(t). Chúng ta hãy giả sử thêm rằng π/2 
2. Biến đổi sin(π/2 + t). Tên của hàm thay đổi, tức là chúng ta nhận được cos(t). Tiếp theo, giả sử rằng 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. Biến đổi tg(π + t). Tên của hàm vẫn được giữ nguyên, tức là chúng ta nhận được tan(t). Chúng ta hãy giả sử thêm rằng 0 
4. Biến đổi ctg(270 0 + t). Tên của hàm thay đổi, nghĩa là ta nhận được tg(t). Chúng ta hãy giả sử thêm rằng 0 
Các bài toán về công thức rút gọn cho nghiệm độc lập
Các bạn, hãy tự chuyển đổi nó bằng cách sử dụng các quy tắc của chúng tôi:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) cot(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
Và một bài toán B11 khác cùng chủ đề - từ Kỳ thi thực tế Thống nhất môn toán.
Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
Trong video hướng dẫn ngắn này, chúng ta sẽ học cách áp dụng công thức khửđể giải các bài toán thực tế B11 trong Kỳ thi Thống nhất môn Toán. Như bạn có thể thấy, chúng ta có hai biểu thức lượng giác, mỗi biểu thức chứa sin và cosin, cũng như một số đối số số khá thô bạo.
Trước khi giải những bài toán này, chúng ta hãy nhớ công thức rút gọn là gì. Vì vậy, nếu chúng ta có các biểu thức như:
Khi đó chúng ta có thể loại bỏ số hạng đầu tiên (có dạng k · π/2) theo các quy tắc đặc biệt. Hãy vẽ một đường tròn lượng giác và đánh dấu các điểm chính trên đó: 0, π/2; π; 3π/2 và 2π. Sau đó, chúng ta xét số hạng đầu tiên dưới dấu của hàm lượng giác. Chúng tôi có:
- Nếu số hạng chúng ta quan tâm nằm trên trục tung của đường tròn lượng giác (ví dụ: 3π/2; π/2, v.v.), thì hàm ban đầu được thay thế bằng một đồng hàm: sin được thay thế bằng cosin, và cosin, ngược lại, bằng sin.
- Nếu số hạng của chúng ta nằm trên trục hoành thì hàm số ban đầu không thay đổi. Chúng tôi chỉ cần loại bỏ thuật ngữ đầu tiên trong biểu thức và thế là xong.
Do đó, chúng ta thu được một hàm lượng giác không chứa các số hạng có dạng k · π/2. Tuy nhiên, công việc với các công thức rút gọn không kết thúc ở đó. Thực tế là hàm mới của chúng ta, thu được sau khi “loại bỏ” số hạng đầu tiên, có thể có dấu cộng hoặc dấu trừ ở phía trước. Làm thế nào để nhận biết dấu hiệu này? Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu.
Hãy tưởng tượng rằng góc α còn lại bên trong hàm lượng giác sau khi biến đổi có số đo độ rất nhỏ. Nhưng “biện pháp nhỏ” nghĩa là gì? Giả sử α ∈ (0; 30°) - điều này là khá đủ. Hãy lấy một ví dụ về hàm:
Sau đó, theo giả định của chúng ta rằng α ∈ (0; 30°), chúng ta kết luận rằng góc 3π/2 − α nằm trong một phần tư tọa độ thứ ba, tức là 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Chúng ta hãy nhớ dấu của hàm số ban đầu, tức là y = sin x trên khoảng này. Rõ ràng, sin ở phần tư tọa độ thứ ba là âm, vì theo định nghĩa, sin là tọa độ của điểm cuối của bán kính chuyển động (nói tóm lại, sin là tọa độ y). Vâng, tọa độ y ở nửa mặt phẳng dưới luôn nhận giá trị âm. Điều này có nghĩa là trong quý 3 y cũng âm.
Dựa trên những phản ánh này, chúng ta có thể viết biểu thức cuối cùng:
Bài toán B11 - Phương án 1
Những kỹ thuật tương tự này khá phù hợp để giải bài B11 trong kỳ thi Thống nhất môn toán. Sự khác biệt duy nhất là trong nhiều bài toán B11 thực tế, thay vì thước đo radian (tức là các số π, π/2, 2π, v.v.) người ta sử dụng thước đo độ (tức là 90°, 180°, 270°, v.v.). Hãy nhìn vào nhiệm vụ đầu tiên:
Trước tiên chúng ta hãy nhìn vào tử số. cos 41° là một giá trị không ở dạng bảng nên chúng ta không thể làm gì với nó. Bây giờ chúng ta hãy để nó như vậy.
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào mẫu số:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Rõ ràng đây là một công thức rút gọn nên sin được thay thế bằng cosin. Ngoài ra, góc 41° nằm trên đoạn thẳng (0°; 90°), tức là trong góc phần tư tọa độ thứ nhất - chính xác theo yêu cầu để áp dụng các công thức rút gọn. Nhưng 90° + 41° là quý tọa độ thứ hai. Hàm ban đầu y = sin x dương ở đó, vì vậy chúng ta đặt dấu cộng trước cosin ở bước cuối cùng (nói cách khác, chúng ta không đặt bất cứ thứ gì).
Nó vẫn còn để đối phó với yếu tố cuối cùng:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Ở đây chúng ta thấy rằng 180° là trục ngang. Do đó, bản thân hàm số sẽ không thay đổi: đã có cosin - và cosin cũng sẽ giữ nguyên. Nhưng câu hỏi lại được đặt ra: liệu cộng hay trừ sẽ xuất hiện trước biểu thức thu được cos 60°? Lưu ý rằng 180° là quý tọa độ thứ ba. Cosin ở đây là âm, do đó, cosine cuối cùng sẽ có dấu trừ ở phía trước nó. Tổng cộng, chúng ta có được công thức −cos 60° = −0,5 - đây là một giá trị dạng bảng, vì vậy mọi thứ đều dễ dàng tính toán.
Bây giờ chúng ta thay thế các số kết quả vào công thức ban đầu và nhận được:
Như bạn có thể thấy, số cos 41° trong tử số và mẫu số của phân số có thể dễ dàng giảm đi và biểu thức thông thường vẫn giữ nguyên, bằng −10. Trong trường hợp này, dấu trừ có thể được lấy ra và đặt trước dấu phân số hoặc “giữ” bên cạnh thừa số thứ hai cho đến bước cuối cùng của phép tính. Trong mọi trường hợp, câu trả lời sẽ là −10. Thế là xong, bài toán B11 đã được giải quyết!
Bài toán B14 – phương án 2
Hãy chuyển sang nhiệm vụ thứ hai. Chúng ta lại có một phân số trước mắt:
Chà, 27° nằm trong phần tư tọa độ đầu tiên, vì vậy chúng ta sẽ không thay đổi bất cứ điều gì ở đây. Nhưng sin 117° cần phải được viết (không có ô vuông vào lúc này):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Rõ ràng, trước chúng ta một lần nữa công thức khử: 90° là trục tung nên sin sẽ đổi thành cosin. Ngoài ra, góc α = 117° = 90° + 27° nằm trong góc phần tư tọa độ thứ hai. Hàm ban đầu y = sin x ở đó dương nên sau tất cả các phép biến đổi vẫn có dấu cộng đằng trước cosin. Nói cách khác, không có gì được thêm vào ở đó - chúng ta để nguyên như vậy: cos 27°.
Ta quay lại biểu thức ban đầu cần tính:
Như chúng ta thấy, sau các phép biến đổi, đồng nhất thức lượng giác chính xuất hiện ở mẫu số: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Tổng −4: 1 = −4 - vì vậy chúng ta đã tìm ra đáp án cho bài toán thứ hai B11.
Như bạn có thể thấy, với sự trợ giúp của các công thức rút gọn, các bài toán như vậy trong Kỳ thi Thống nhất về toán học được giải theo đúng nghĩa đen trong một vài dòng. Không có sin của tổng và cosin của hiệu. Tất cả những gì chúng ta cần nhớ chỉ là vòng tròn lượng giác.
Chúng thuộc phần lượng giác của toán học. Bản chất của chúng là giảm các hàm lượng giác của các góc thành dạng “đơn giản” hơn. Có thể viết nhiều về tầm quan trọng của việc biết chúng. Hiện đã có 32 công thức này!
Đừng lo lắng, bạn không cần phải học chúng như nhiều công thức khác trong môn toán. Không cần phải lấp đầy đầu bạn những thông tin không cần thiết, bạn cần phải nhớ “chìa khóa” hoặc các định luật, và việc ghi nhớ hoặc rút ra công thức cần thiết sẽ không thành vấn đề. Nhân tiện, khi tôi viết trong các bài báo “... bạn cần phải học!!!” - điều này có nghĩa là nó thực sự cần thiết để học nó.
Nếu bạn không quen thuộc với các công thức rút gọn, thì sự đơn giản trong việc suy ra chúng sẽ làm bạn ngạc nhiên - có một “định luật” mà bạn có thể dễ dàng thực hiện điều này. Và bạn có thể viết bất kỳ công thức nào trong số 32 công thức trong 5 giây.
Tôi sẽ chỉ liệt kê một số bài toán sẽ xuất hiện trong Kỳ thi Thống nhất cấp Bang về toán, những bài toán mà nếu không biết các công thức này thì khả năng cao là sẽ trượt khi giải được. Ví dụ:
– các bài toán giải tam giác vuông, trong đó chúng ta đang nói về góc ngoài và các bài toán về góc trong, một số công thức này cũng cần thiết.
– Nhiệm vụ tính giá trị của biểu thức lượng giác; chuyển đổi các biểu thức lượng giác số; chuyển đổi các biểu thức lượng giác theo nghĩa đen.
– các bài toán về tiếp tuyến và ý nghĩa hình học của tiếp tuyến, cần có công thức rút gọn cho tiếp tuyến, cũng như các vấn đề khác.
– Các bài toán lập thể, trong quá trình giải thường phải xác định sin hoặc cosin của một góc nằm trong khoảng từ 90 đến 180 độ.
Và đây chỉ là những điểm liên quan đến Kỳ thi Thống nhất. Và trong bản thân khóa học đại số có rất nhiều bài toán, đơn giản là không thể giải được nếu không có kiến thức về các công thức rút gọn.
Vậy điều này dẫn đến điều gì và làm thế nào để các công thức quy định giúp chúng ta giải quyết vấn đề dễ dàng hơn?
Ví dụ: bạn cần xác định sin, cos, tiếp tuyến hoặc cotang của bất kỳ góc nào từ 0 đến 450 độ:
góc alpha nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ
* * *
Vì vậy, cần phải hiểu “luật” hoạt động ở đây:
1. Xác định dấu của hàm số trong góc phần tư tương ứng.
Hãy để tôi nhắc nhở bạn:
2. Hãy nhớ những điều sau:
chức năng thay đổi thành đồng chức năng
chức năng không thay đổi thành đồng chức năng
Khái niệm này có ý nghĩa gì - một hàm thay đổi thành một hàm đồng chức?
Trả lời: sin chuyển thành cosin hoặc ngược lại, tiếp tuyến với cotang hoặc ngược lại.
Thế thôi!
Bây giờ, theo định luật đã trình bày, chúng ta sẽ tự viết ra một số công thức rút gọn:
Góc này nằm trong quý 3, cosin ở quý 3 âm. Chúng ta không thay đổi hàm thành đồng hàm vì chúng ta có 180 độ, nghĩa là:
Góc nằm ở phần tư thứ nhất, sin ở phần tư thứ nhất là dương. Chúng tôi không thay đổi hàm thành đồng hàm vì chúng tôi có 360 độ, có nghĩa là:
Đây là một xác nhận bổ sung khác rằng sin của các góc liền kề bằng nhau:
Góc nằm ở phần tư thứ hai, sin ở phần tư thứ hai là dương. Chúng tôi không thay đổi hàm thành đồng hàm vì chúng tôi có 180 độ, có nghĩa là:
Trong tương lai, bằng cách sử dụng tính chất tuần hoàn, độ chẵn (độ lẻ), bạn có thể dễ dàng xác định giá trị của bất kỳ góc nào: 1050 0, -750 0, 2370 0 và bất kỳ giá trị nào khác. Chắc chắn sẽ có bài viết về vấn đề này trong tương lai, đừng bỏ lỡ nhé!
Khi sử dụng công thức rút gọn để giải các bài toán chắc chắn tôi sẽ tham khảo bài viết này để các bạn luôn có thể ôn lại trí nhớ về lý thuyết đã trình bày ở trên. Thế thôi. Tôi hy vọng tài liệu này hữu ích cho bạn.
Nhận tài liệu bài viết ở định dạng PDF
Trân trọng, Alexander.
P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.