5. Đường song song
Hai đường thẳng được gọi là song song, nếu nằm trong cùng một mặt phẳng thì chúng không cắt nhau.
Sự song song của các đường thẳng được biểu thị bằng dấu || (ví dụ AB||CD).
Định lý. Hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song.
Chứng minh: Nếu các đường vuông góc cắt nhau tại một điểm nào đó thì từ điểm này hai đường vuông góc sẽ vẽ được một đường thẳng, điều này không thể xảy ra.
Tên các góc có được khi hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba
Dấu hiệu của sự song song.
Khi hai đường thẳng cắt đường thẳng thứ ba thì:
mọi góc tương ứng đều bằng nhau,
hoặc một số góc ngang bằng nhau,
hoặc tổng của hai góc một bên trong hoặc hai góc ngoài một cạnh bất kỳ bằng 180 độ,
thì hai đường thẳng song song.
Tiên đề đường thẳng song song.
Qua cùng một điểm không thể vẽ được hai đường thẳng khác nhau song song với cùng một đường thẳng.Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng cắt một trong các đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường kia.
Hệ quả 2. Hai đường thẳng song song với đường thứ ba thì song song.
Góc có các cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc.
Định lý. Nếu các cạnh của góc này song song với các cạnh của góc kia thì các góc đó bằng nhau hoặc cộng lại bằng hai góc vuông.
Định lý. Nếu các cạnh của góc này lần lượt vuông góc với các cạnh của góc khác thì các góc đó bằng nhau hoặc cộng lại thành hai góc vuông.
Tổng các góc của một tam giác và một đa giác.
Định lý. Tổng các góc của một tam giác bằng hai góc vuông.
Hậu quả
:1. Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong.
2. Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì các góc thứ ba cũng bằng nhau.
3. Tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông bằng một góc vuông.
Định lý. Tổng các góc
n-giác là 180*(n-2) độ.Định lý. Tổng các góc ngoài của đa giác bằng bốn góc vuông.
2. Cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm C. Có đường thẳng thứ ba nào nằm với chúng trong cùng một mặt phẳng và có một điểm chung với mỗi đường thẳng này không?
3.
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là 8 cm, một đoạn thẳng có chiều dài 17 cm nằm giữa chúng sao cho hai đầu của nó thuộc các mặt phẳng. Tìm hình chiếu của đoạn này lên mỗi mặt phẳng.
5. Hoàn thành câu để có phát biểu đúng:
D) Tôi không biết
6. Đường thẳng a và b vuông góc. Điểm A và B thuộc đường thẳng a, điểm C và D thuộc đường thẳng b. Các đường thẳng AC và BD có nằm trong cùng một mặt phẳng không?
7. Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 vẽ các đường chéo của các mặt AC và B1D1. vị trí tương đối của họ là gì?
8. Cạnh của hình lập phương ABCDA1B1C1D1 bằng m. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC1.
A) 2m B) 1/2m C) m D) Tôi không biết
9. Xác định xem câu nói đó có đúng không:
A) có B) không C) không phải lúc nào cũng D) Tôi không biết
10. Trong hình lập phương ABCDA1B1C1D1, tìm góc giữa các mặt phẳng BCD và ВСС1В1.
A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°
11. Có lăng kính nào chỉ có một mặt vuông góc với đáy không?
A) có B) không C) Tôi không biết
12. Đường chéo của một hình bình hành hình chữ nhật có thể nhỏ hơn cạnh bên của nó không?
A) có B) không C) Tôi không biết
13. Diện tích xung quanh của hình lập phương có cạnh 10 là bao nhiêu?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Tổng diện tích bề mặt của hình lập phương là bao nhiêu nếu đường chéo của nó là d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Phần trục của bất kỳ kim tự tháp thông thường là gì?
A) tam giác đều
B) hình chữ nhật
B) hình thang
D) tam giác cân
hãy giúp tôi giải bài kiểm tra1. Hai mặt phẳng không trùng nhau có thể có bao nhiêu đường chung?
A) 1 B) 2 C) vô số D) không có E) Tôi không biết
2. Cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm C. Có đường thẳng thứ ba nào nằm với chúng trong cùng một mặt phẳng và có một điểm chung với mỗi đường thẳng này không?
A) luôn luôn có B) luôn luôn không C) nói dối, nhưng không phải luôn luôn D) Tôi không biết
3. Xác định xem câu nói đó có đúng không:
Hai mặt phẳng song song nếu chúng cùng song song với một đường thẳng.
A) có B) không C) không biết D) không phải lúc nào cũng vậy
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là 8 cm. Một đoạn thẳng có chiều dài 17 cm nằm giữa chúng sao cho hai đầu của nó thuộc các mặt phẳng. Tìm hình chiếu của đoạn này lên mỗi mặt phẳng.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Tôi không biết
5. Hoàn thành cụm từ để phát biểu đúng:
Nếu một đường thẳng nằm trên một trong hai mặt phẳng vuông góc và vuông góc với giao tuyến của chúng thì...
A) song song với một mặt phẳng khác
B) cắt với một mặt phẳng khác
B) vuông góc với một mặt phẳng khác
D) Tôi không biết
6. Đường thẳng a và b vuông góc. Điểm A và B thuộc đường thẳng a, điểm C và D thuộc đường thẳng b. Các đường thẳng AC và BD có nằm trong cùng một mặt phẳng không?
A) có B) không C) không phải lúc nào cũng D) Tôi không biết
7. Trong hình lập phương ABCDA1B1C1D1 vẽ các đường chéo của các mặt AC và B1D1. vị trí tương đối của họ là gì?
A) cắt nhau B) cắt nhau C) song song D) không biết
8. Cạnh của hình lập phương ABCDA1B1C1D1 bằng m. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC1.
A) 2m B) B) m D) Tôi không biết
9. Xác định xem câu nói đó có đúng không:
Nếu hai đường thẳng tạo thành các góc bằng nhau trong cùng một mặt phẳng thì chúng song song.
A) có B) không C) không phải lúc nào cũng D) Tôi không biết
10. Trong hình lập phương ABCDA1B1C1D1, tìm góc giữa các mặt phẳng BCD và ВСС1В1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Có lăng kính nào chỉ có một mặt vuông góc với đáy không?
A) có B) không C) Tôi không biết
12. Đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật có thể nhỏ hơn cạnh bên của nó không?
A) có B) không C) Tôi không biết
13. Diện tích xung quanh của hình lập phương có cạnh 10 là bao nhiêu?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Tổng diện tích bề mặt của hình lập phương là bao nhiêu nếu đường chéo của nó là d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Mặt cắt trục của bất kỳ hình chóp thông thường nào là gì?
A) tam giác đều
B) hình chữ nhật
B) hình thang
D) tam giác cân
những điểm không nằm trên cùng một đường thẳng?
2. Hai mặt phẳng khác nhau có thể chỉ có hai điểm chung không?
Trực tiếp một vàb cắt nhau tại một điểm M.Đường thẳng c không đi qua điểm M cắt đường thẳng MỘT Và b. Cả ba đường thẳng này có nằm trong cùng một mặt phẳng không? Vị trí tương đối của các đường là gì: 1) MỘT 1 D Và MN; 2) MỘT 1 D Và V 1C; 3) MN Và A 1B1(Hình 1). Trực tiếp MỘT Và b cắt nhau bằng một đường thẳng Với. Có thể thẳng MỘT Và b có song song không? Hai đường thẳng song song với cùng một mặt phẳng. Chúng ta có thể nói rằng những đường thẳng này song song với nhau không? Nếu không, vị trí tương đối của họ là gì? Trên hình 2 có các đường thẳng kiểu song song. Điểm MỘT Và TRONG tương ứng thuộc loại trực tiếp; b nằm trong một mặt phẳng α, a\\b. Vị trí tương đối của dòng b và c là gì? Cho một hình tứ giác ABCD và máy bay α. Đường chéo của nó AC Và BD song song với mặt phẳng α. Vị trí lẫn nhau là gì AB và máy bay α? Máy bay α và β song song với nhau. Giao nhau tại một điểm M thẳng MỘT Và b giao nhau với mặt phẳng α tương ứng tại các điểm TRONG Và MỘT, và mặt phẳng β - tại các điểm E Và F Tìm một thái độ
10. Độ phẳng α đi qua đường chéo của đáy hình bình hành và điểm giữa của một trong các cạnh của đế trên. Xác định loại phần.
Cho một mặt phẳng và một điểm không nằm trên đó:
Đường vuông góc hạ từ một điểm cho trước xuống một mặt phẳng cho trước là đoạn nối một điểm cho trước với một điểm trên mặt phẳng đó và nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó;
- điểm cuối của đoạn thẳng này nằm trong mặt phẳng gọi là đáy của đường vuông góc;
- khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng;
Đường nghiêng vẽ từ một điểm cho trước đến một mặt phẳng cho trước là đoạn thẳng nối một điểm đã cho với một điểm trên mặt phẳng không vuông góc với mặt phẳng đó;
- điểm cuối của đoạn nằm trong mặt phẳng gọi là đế nghiêng;
Đoạn nối các đáy của đường vuông góc và đường xiên vẽ từ cùng một điểm được gọi là hình chiếu xiên.
Trong hình vẽ, từ điểm A kẻ đường vuông góc AB và góc nghiêng AC với mặt phẳng. Điểm B là đáy đường vuông góc, C là đáy đường vuông góc, BC là hình chiếu của đường nghiêng AC lên mặt phẳng.
Định lý ba đường vuông góc:
Nếu một đường thẳng vẽ trên mặt phẳng đi qua đế nghiêng, vuông góc với nó phép chiếu, thì nó vuông góc nghiêng. Và ngược lại: Nếu một đường thẳng trong mặt phẳng vuông góc với một đường nghiêng thì nó vuông góc và hình chiếu xiên.
Hai mặt phẳng cắt nhau được gọi là vuông góc nếu mặt phẳng thứ ba vuông góc với giao tuyến của các mặt phẳng này và cắt chúng dọc theo các đường vuông góc.
Ví dụ số 1
Một đường thẳng đi qua tâm của một đường tròn nội tiếp một tam giác, vuông góc với mặt phẳng của tam giác. Chứng minh rằng mỗi điểm trên đường thẳng này cách đều các cạnh của tam giác.
Gọi A, B, C là điểm tiếp xúc của các cạnh của tam giác với đường tròn, O là tâm đường tròn và S là điểm nằm trên đường vuông góc. Vì bán kính OA vuông góc với cạnh của tam giác nên theo định lý ba đường vuông góc, đoạn SA vuông góc với cạnh này và chiều dài của nó là khoảng cách từ điểm S đến cạnh của tam giác. Theo định lý Pythagore, SA=, trong đó r là bán kính của đường tròn nội tiếp. Tương tự ta tìm được: 
, tức là mọi khoảng cách từ điểm S đến các cạnh của tam giác đều bằng nhau.
Câu hỏi bảo mật:
- Đường vuông góc rơi từ một điểm cho trước xuống mặt phẳng là gì?
- Hình chiếu xiên là gì?
Phần thực hành:
1. Cho đường thẳng a và một mặt phẳng. Qua một đường thẳng vẽ một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đó.
2. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì mọi điểm của nó đều cách mặt phẳng một khoảng bằng nhau.
3. Vẽ hai hình nghiêng từ một điểm lên một mặt phẳng, trong đó một hình lớn hơn hình kia 20 cm. Tìm các hình chiếu nghiêng là 10 cm và 30 cm.
4. Cạnh của hình vuông là 4 cm. Điểm cách đều các đỉnh của hình vuông là điểm giao nhau của hai đường chéo của nó là 6 cm. Tìm khoảng cách từ điểm này đến các đỉnh của hình vuông.
5. Vẽ hai mặt phẳng nghiêng từ một điểm lên một mặt phẳng có độ dài bằng 10 cm và 17 cm. Tìm hình chiếu của các mặt nghiêng đó là 9 cm.
6. Vẽ hai mặt phẳng nghiêng từ một điểm lên một mặt phẳng có độ dài lần lượt là 23 cm và 33 cm. Tìm khoảng cách từ điểm này đến mặt phẳng biết hình chiếu của các mặt nghiêng tỉ lệ 2:3.
8. Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ABC. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. Tìm MC.
9. Chân của tam giác vuông ABC (C = 90°) có độ dài bằng 4 cm và 3 cm. Điểm M nằm cách mặt phẳng của tam giác ABC một khoảng √6 cm và cách các đỉnh của nó như nhau. Tìm khoảng cách từ điểm M đến các đỉnh của tam giác.
Văn học:
1. Toán: sách giáo khoa dành cho người mới bắt đầu học. và thứ Tư giáo sư giáo dục / M.I. Bashmak. –M.: Trung tâm xuất bản “Học viện”, 2010.
Công việc độc lập số 5.
Giải các bài toán liên quan đến việc đếm số vị trí và hoán vị.
Mục đích của bài học: nắm vững các phương pháp giải các bài toán liên quan đến tính số lượng mẫu
Phần lý thuyết:
Tổ hợp là một phần của toán học nhằm giải các bài toán chọn và sắp xếp các phần tử của một tập hợp hữu hạn nhất định theo các quy tắc nhất định, tức là Tổ hợp giải quyết vấn đề chọn các phần tử từ một tập hợp hữu hạn và sắp xếp các phần tử này theo một thứ tự nào đó.
Sự sắp xếp của n - phần tử theo m - phần tử () là sự kết hợp được tạo thành từ n phần tử cho trước bởi m - phần tử khác nhau về bản thân các phần tử hoặc theo thứ tự của các phần tử.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Ví dụ số 1. Từ các số 1...9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số?
Hoán vị của n - phần tử là số vị trí của n - phần tử này bởi n - phần tử.
N(n-1)(n-2)…1=n!
Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách lên kệ?
Tổ hợp n - phần tử của m - phần tử là tổ hợp được tạo thành từ các phần tử n - phần tử cho trước, khác nhau ít nhất một phần tử.
Ví dụ số 3. Một nhóm có 30 học sinh. Để vượt qua bài kiểm tra, họ phải được chia thành ba nhóm. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?
Câu hỏi bảo mật:
1. Nêu mục tiêu của tổ hợp.
2. Số tổ hợp n phần tử của m được gọi là bao nhiêu?
3. Số lần sắp xếp của n phần tử trong m được gọi là bao nhiêu?
4. Thế nào gọi là hoán vị của n phần tử?
Phần thực hành:
1. Có bao nhiêu cách để một nhóm 25 người cử 4 sinh viên đi dự một hội thảo khoa học và thực tiễn?
2. Mười học sinh bắt tay nhau. Có bao nhiêu cái bắt tay?
3. Có bao nhiêu cách làm một lá cờ sọc ba màu từ bảy mảnh vải có màu sắc khác nhau?
4. Phải xuất bản bao nhiêu từ điển để có thể dịch từ bất kỳ ngôn ngữ nào trong số năm ngôn ngữ sang bất kỳ ngôn ngữ nào trong số đó?
5. Tính toán:
6. Tính toán:
7. Tính: 5! + 6!
8. Tìm số cách sắp xếp của 10 phần tử của 4.
9. Tính toán:
10. Ba mươi học sinh trao đổi ảnh. Có tổng cộng bao nhiêu bức ảnh?
11. Có bao nhiêu cách chọn ra ba người trong số tám ứng viên cho ba vị trí?
12. Giải phương trình:
13. Tính giá trị của biểu thức:
14. Tính giá trị của biểu thức.