Tính thể tích của quả bóng dựa trên đường kính của nó. Hình bóng trong hình học

Một quả bóng và một quả cầu về cơ bản là những hình hình học, và nếu một quả bóng là cơ thể hình học, thì hình cầu là bề mặt của một quả bóng. Những con số này đã được quan tâm từ hàng ngàn năm trước trước Công nguyên.

Sau đó, khi người ta phát hiện ra rằng Trái Đất có hình cầu và bầu trời thiên cầu, một hướng thú vị mới trong hình học đã phát triển - hình học trên hình cầu hoặc hình cầu. Để nói về kích thước và thể tích của một quả bóng, trước tiên bạn phải xác định nó.

Quả bóng

Một quả cầu có bán kính R có tâm tại điểm O trong hình học là một vật thể được tạo bởi mọi điểm trong không gian có tài sản chung. Những điểm này nằm ở khoảng cách không vượt quá bán kính của quả bóng, nghĩa là chúng lấp đầy toàn bộ không gian nhỏ hơn bán kính của quả bóng theo mọi hướng tính từ tâm của nó. Nếu chúng ta chỉ xét những điểm cách đều tâm quả bóng, chúng ta sẽ xét bề mặt của nó hoặc vỏ quả bóng.

Làm thế nào tôi có thể lấy được bóng? Chúng ta có thể cắt một hình tròn ra khỏi giấy và bắt đầu xoay nó quanh đường kính của chính nó. Nghĩa là đường kính của đường tròn sẽ là trục quay. nhân vật có học thức- sẽ có một quả bóng. Vì vậy, quả bóng còn được gọi là vật thể cách mạng. Bởi vì nó có thể được hình thành bằng cách quay hình phẳng- vòng tròn.

Hãy lấy một chiếc máy bay nào đó và cắt quả bóng của chúng ta bằng nó. Giống như chúng ta cắt một quả cam bằng dao. Phần mà chúng ta cắt ra khỏi quả bóng được gọi là đoạn hình cầu.

TRONG Hy Lạp cổ đại họ không chỉ biết cách làm việc với một quả bóng và một quả cầu như với các hình hình học chẳng hạn, sử dụng chúng trong xây dựng mà còn biết cách tính diện tích bề mặt của một quả bóng và thể tích của một quả bóng.

Hình cầu là tên gọi khác của bề mặt của quả bóng. Hình cầu không phải là một vật thể - nó là bề mặt của một vật thể xoay. Tuy nhiên, vì cả Trái đất và nhiều vật thể đều có dạng hình cầu, chẳng hạn như một giọt nước, nên việc nghiên cứu các mối quan hệ hình học bên trong quả cầu đã trở nên phổ biến.

Ví dụ: nếu chúng ta nối hai điểm của một hình cầu với nhau bằng một đường thẳng thì đường thẳng này sẽ được gọi là dây cung, và nếu điều này hợp âm sẽ trôi qua qua tâm của hình cầu trùng với tâm của quả cầu thì dây cung gọi là đường kính của hình cầu.

Nếu chúng ta vẽ một đường thẳng tiếp xúc với hình cầu chỉ tại một điểm thì đường thẳng này sẽ được gọi là tiếp tuyến. Ngoài ra, tiếp tuyến này của hình cầu tại điểm này sẽ vuông góc với bán kính của hình cầu vẽ tới điểm tiếp xúc.

Nếu chúng ta kéo dài dây cung thành một đường thẳng theo hướng này hay hướng khác so với hình cầu thì dây cung này sẽ được gọi là cát tuyến. Hoặc chúng ta có thể nói khác đi - cát tuyến của hình cầu chứa hợp âm của nó.

Khối lượng bóng

Công thức tính thể tích của quả bóng là:

trong đó R là bán kính của quả bóng.

Nếu bạn cần tìm thể tích của một đoạn hình cầu, hãy sử dụng công thức:

V seg =πh 2 (R-h/3), h là chiều cao của đoạn hình cầu.

Diện tích bề mặt của quả bóng hoặc hình cầu

Để tính diện tích hình cầu hoặc diện tích bề mặt của quả bóng (chúng giống nhau):

trong đó R là bán kính của hình cầu.

Archimedes rất thích quả bóng và quả cầu, ông thậm chí còn yêu cầu để lại một bức vẽ trên lăng mộ của mình, trong đó có một quả bóng được khắc trong một hình trụ. Archimedes tin rằng thể tích của một hình cầu và bề mặt của nó bằng hai phần ba thể tích và bề mặt của hình trụ chứa hình cầu đó.”

Một quả bóng là một vật thể hình học xoay được hình thành bằng cách quay một vòng tròn hoặc hình bán nguyệt quanh đường kính của nó. Ngoài ra, quả bóng là một không gian được giới hạn bởi một bề mặt hình cầu. Có nhiều vật thể hình cầu thực tế và các bài toán liên quan đòi hỏi phải xác định thể tích của hình cầu.

Quả bóng và quả cầu

Hình tròn là hình hình học cổ xưa nhất và các nhà khoa học cổ đại gắn liền với nó ý nghĩa thiêng liêng. Hình tròn là biểu tượng của thời gian và không gian vô tận, biểu tượng của Vũ trụ và sự tồn tại. Theo Pythagoras, hình tròn là hình đẹp nhất. TRONG không gian ba chiều vòng tròn biến thành một hình cầu, lý tưởng, mang tính vũ trụ và đẹp đẽ như vòng tròn.

Sphere có nghĩa là "quả bóng" trong tiếng Hy Lạp cổ. Hình cầu là một bề mặt được hình thành số vô hạn các điểm cách đều tâm của hình. Không gian, giới hạn trong phạm vi, và có một quả bóng. Quả bóng là một hình hình học lý tưởng mà nhiều người có thể chọn hình dạng của nó vật thật. Ví dụ, trong cuộc sống thực Súng thần công, vòng bi hoặc quả bóng có hình dạng của một quả bóng, về bản chất - giọt nước, thân cây hoặc quả mọng, trong không gian - các ngôi sao, thiên thạch hoặc hành tinh.

Khối lượng bóng

Xác định thể tích của hình cầu - nhiệm vụ khó khăn, bởi vì một khối hình học như vậy không thể chia thành các hình khối hoặc lăng kính tam giác, các công thức khối lượng đã được biết đến. Khoa học hiện đại cho phép bạn tính thể tích của một hình cầu bằng cách sử dụng tích phân xác định, nhưng làm thế nào mà công thức thể tích có nguồn gốc từ thời Hy Lạp cổ đại, khi chưa ai từng nghe nói đến tích phân? Archimedes đã tính thể tích của một hình cầu bằng cách sử dụng hình nón và hình trụ, vì công thức tính thể tích của những hình này đã được nhà triết học và toán học Hy Lạp cổ đại Democritus xác định.

Archimedes biểu diễn nửa hình cầu bằng cách sử dụng các hình nón và hình trụ giống hệt nhau, với bán kính của mỗi hình bằng chiều cao của nó R = h. Nhà khoa học cổ đại đã tưởng tượng ra một hình nón và một hình trụ bị vỡ thành số vô hạn xi lanh nhỏ. Archimedes nhận ra rằng nếu trừ thể tích của hình nón Vk khỏi thể tích của hình trụ Vc, thì ông sẽ thu được thể tích của một bán cầu Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Thể tích của hình nón được tính bằng công thức đơn giản:

Vk = 1/3 × Vậy × h,

nhưng biết rằng vậy là trong trường hợp này là diện tích hình tròn và h = R thì công thức chuyển thành:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Thể tích của hình trụ được tính theo công thức:

Vc = pi × R 2 × h,

nhưng giả sử chiều cao của hình trụ bằng bán kính của nó thì ta có:

Vc = pi × R 3 .

Sử dụng các công thức này, Archimedes thu được:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 hoặc Vsh = 4/3 pi × R 3

Định nghĩa hiện đại của công thức tính thể tích của quả bóng bắt nguồn từ tích phân diện tích của bề mặt hình cầu, nhưng kết quả vẫn như cũ

Vsh = 4/3 pi × R 3

Tính thể tích của một quả bóng có thể cần thiết cả trong đời sống thực và khi giải các bài toán trừu tượng. Để tính thể tích hình cầu bằng máy tính trực tuyến, bạn chỉ cần biết một tham số để chọn: đường kính hoặc bán kính của hình cầu. Hãy xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ từ cuộc sống

Súng thần công

Giả sử bạn muốn biết cần bao nhiêu gang để đúc một viên đạn đại bác cỡ nòng 6 foot. Bạn biết rằng đường kính của lõi như vậy là 9,6 cm. Nhập số này vào ô “Đường kính” của máy tính và bạn sẽ nhận được câu trả lời là

Vì vậy, để nấu chảy một viên đạn đại bác có cỡ nòng nhất định, bạn sẽ cần 463 cm khối hoặc 0,463 lít gang.

Bóng bay

Hãy để bạn tò mò về lượng không khí cần thiết để bơm khinh khí cầu hình cầu lý tưởng. Bạn biết rằng bán kính của quả bóng đã chọn là 10 cm. Nhập giá trị này vào ô tính “Bán kính” và bạn sẽ nhận được kết quả.

Điều này có nghĩa là để thổi phồng một quả bóng bay như vậy, bạn sẽ cần 4188 cm khối hoặc 4,18 lít không khí.

Phần kết luận

Nhu cầu xác định thể tích của quả bóng có thể nảy sinh nhiều nhất tình huống khác nhau: từ trừu tượng nhiệm vụ học tậpđến nghiên cứu khoa học và vấn đề sản xuất. Để giải quyết bất kỳ câu hỏi phức tạp nào, hãy sử dụng máy tính trực tuyến của chúng tôi, máy tính này sẽ ngay lập tức cung cấp cho bạn kết quả chính xác và các phép tính toán học cần thiết.

Quả bóngĐây là một khối hình học được hình thành do sự quay của một hình bán nguyệt trên trục đường kính của nó.

Tính khối lượng của quả bóng

Khối lượng bóng có thể được tính bằng công thức:

R - bán kính quả bóng

V – thể tích của quả bóng

Tìm thể tích của hình cầu có bán kính cm.

Để tính thể tích của quả bóng, người ta sử dụng công thức sau:

trong đó thể tích cần thiết của quả bóng là – , là bán kính.

Vậy với bán kính cm thì thể tích của quả bóng bằng:

V.

3,14×103

= 4186,7

cm khối.

Trong hình học quả bóngđược định nghĩa là một vật thể nhất định, là tập hợp tất cả các điểm trong không gian nằm cách tâm một khoảng không quá một điểm cho trước, gọi là bán kính của quả bóng.

Bề mặt của quả bóng được gọi là hình cầu và bản thân quả bóng được hình thành bằng cách quay một hình bán nguyệt quanh đường kính của nó, không chuyển động.

Các kỹ sư thiết kế và kiến ​​trúc sư rất hay gặp phải khối hình học này, họ thường phải tính thể tích của một quả cầu. Ví dụ, trong thiết kế hệ thống treo trước của đại đa số ô tô hiện đại, cái gọi là khớp bi được sử dụng, trong đó, như bạn có thể dễ dàng đoán từ chính cái tên, quả bóng là một trong những thành phần chính.

Với sự giúp đỡ của họ, các trục của bánh lái và đòn bẩy được kết nối. Về việc nó sẽ đúng như thế nào tính toán khối lượng của chúng phần lớn không chỉ phụ thuộc vào độ bền của các bộ phận này và tính chính xác trong hoạt động của chúng mà còn phụ thuộc vào an toàn giao thông.

Trong công nghệ phân phối rộng nhấtđã nhận được các bộ phận như vòng bi, với sự trợ giúp của chúng, các trục được cố định trong các bộ phận cố định của các bộ phận và cụm lắp ráp khác nhau và đảm bảo chuyển động quay của chúng.

Cần lưu ý rằng khi tính toán chúng, người thiết kế cần tìm thể tích của quả bóng (hay nói đúng hơn là những quả bóng được đặt trong lồng) với trình độ cao sự chính xác. Đối với việc sản xuất các quả bóng kim loại cho vòng bi, chúng được làm từ dây kim loại bằng cách sử dụng phức hợp quy trình công nghệ, bao gồm các công đoạn tạo hình, làm cứng, mài thô, mài hoàn thiện và làm sạch.

Nhân tiện, những quả bóng được đưa vào thiết kế của tất cả bút bi, được sản xuất bằng cách sử dụng chính xác cùng một công nghệ.

Khá thường xuyên, các quả bóng cũng được sử dụng trong kiến ​​​​trúc, nơi chúng thường là yếu tố trang trí của các tòa nhà và các công trình kiến ​​​​trúc khác.

Trong hầu hết các trường hợp, chúng được làm bằng đá granit, thường đòi hỏi chi phí cao lao động chân tay. Tất nhiên là tuân thủ điều này độ chính xác cao việc sản xuất những quả bóng này, giống như những quả bóng được sử dụng trong các đơn vị và cơ chế khác nhau, là không bắt buộc.

Một trò chơi thú vị và phổ biến như bida là không thể tưởng tượng được nếu không có bóng. Để sản xuất, chúng được sử dụng vật liệu khác nhau(xương, đá, kim loại, nhựa) và các quy trình công nghệ khác nhau được sử dụng.

Một trong những yêu cầu chính đối với bóng bi-a là độ bền cao và khả năng chịu được tải trọng cơ học cao (chủ yếu là sốc). Ngoài ra, bề mặt của chúng phải là hình cầu chính xác để đảm bảo bề mặt bàn bida được mịn và lăn đều.

Cuối cùng, không một cây thông Noel hay cây Giáng sinh nào có thể làm được nếu không có những khối hình học như những quả bóng. Những đồ trang trí này trong hầu hết các trường hợp được làm từ thủy tinh bằng phương pháp thổi và trong quá trình sản xuất chúng sự chú ý lớn nhất Trọng tâm không phải là độ chính xác về kích thước mà là tính thẩm mỹ của sản phẩm.

Quy trình công nghệ gần như được tự động hóa hoàn toàn và những quả bóng Giáng sinh chỉ được đóng gói thủ công.

Hình cầu là một trong những vật thể hình học đơn giản nhất trong đó tất cả các điểm trên bề mặt của nó đều cách tâm của hình ảnh một khoảng bằng nhau. Khoảng cách từ tâm hình cầu đến bất kỳ điểm nào trên bề mặt của nó được gọi là bán kính.

Khối lượng bóng

Đường kính của quả bóng được gọi là gấp đôi bán kính.

Cách tìm thể tích hình cầu xung quanh bán kính của nó

Nếu biết bán kính của một hình cầu, chúng ta có thể dễ dàng tính được độ lớn của nó. Để làm điều này, nhân khối lập phương với bán kính và bốn số Pi, sau đó kết quả sẽ được chia cho ba. Công thức xác định thể tích của quả bóng dựa vào bán kính của nó là như sau: .
Đối với những người đã quên, chúng tôi nhớ rằng Pi là một giá trị cố định và bằng 3,14.

Cách tìm thể tích hình cầu theo đường kính

Nếu biết đường kính của quả cầu từ các điều kiện của bài toán thì thể tích của nó được tính bằng công thức công thức sau: , đó là.

số Pi phải được nhân với đường kính của đường kính, sau đó kết quả được chia cho 6.

Cách xác định khối lượng của quả bóng

Trọng lượng cơ thể là đại lượng vật lý, biểu thị mức quán tính của nó. Cân nặng cơ thể vật lý phụ thuộc vào thể tích không gian bị chiếm dụng và mật độ của vật liệu mà nó được lắp ráp. Khối lượng cơ thể mẫu đúng(giả sử tiết tấu) không khó để tính toán và nếu vật liệu chế tạo ra nó cũng được biết đến, với số lượng lớn nó được phép rất nguyên thủy.

hướng dẫn

Đầu tiên Nhập số tiền tiết tấu .

Cách tính thể tích của quả bóng

Để làm điều này, chỉ cần biết một trong các thông số của bạn - bán kính, đường kính, bề mặt, v.v. Hãy cho tôi biết nếu bạn biết đường kính tiết tấu(d), thể tích của nó (V) được phép xác định bằng 1/6 sản phẩm có đường kính tăng dần trong hình lập phương có số Pi: ​​V = π * d? / 6. Qua bán kính tiết tấu(r) thể tích được biểu thị bằng một phần ba tích số Pi, gấp bốn lần khi bán kính đặt trong hình lập phương: V = 4 * π * r? / 3.

thứ haiđếm với số lượng lớntiết tấu(m), nhân thể tích của nó với mật độ tuyệt vời của vật chất (p): m = p * V.

Nếu đây là vật liệu tiết tấu không đồng nhất thì chúng ta phải lấy mật độ trung bình. Trong công thức này chúng tôi thay thế khối lượng tiết tấu thông qua các thông số đã biết của nó, nó được phép thực hiện theo đường kính đã biết tiết tấu công thức m = p * π * d? / 6 và đối với bán kính chính m = p * 4 * π * r? / 3.

thứ ba Sử dụng để tính toán, ví dụ như một máy tính thông thường phần mềm, được bao gồm trong cơ bản hệ điều hành Windows, bất kỳ phiên bản mạnh nào đang được sử dụng hiện nay.

Cách dễ nhất để bắt đầu là nhấn win + r để mở hộp thoại thông thường để chạy chương trình, sau đó nhập lệnh calc và nhấp vào OK.

Trong menu "Máy tính", mở rộng phần "Xem" và chọn dòng "Kỹ sư" hoặc "Nhà khoa học" (tùy theo phiên bản HĐH bạn đang sử dụng) - giao diện của chế độ này có nút nhập số Pi bằng một bấm vào. Các phép tính nhân, chia trong máy tính này không phải đặt ra câu hỏi mà được xác định khi tính khối lượng tiết tấu sẽ có một số nút có ký hiệu x^2 và x^3.

THIẾT KẾ NƯỚC VÀ VỆ SINH

E-mail: [email được bảo vệ]

Giờ làm việc: Thứ Hai-Thứ Sáu từ 9-00 đến 18-00 (không ăn trưa)

Tính thể tích hình cầu bằng bán kính hoặc đường kính

Hình cầu là một khối hình học là tập hợp của tất cả các điểm trong không gian nằm cách tâm một khoảng nhất định.

Cách tính thể tích của quả bóng

Đặc tính toán học chính của một quả bóng là bán kính của nó.

Số quả bóng là đặc tính định lượng con số này trong vũ trụ.

Công thức tính thể tích của quả bóng:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r là bán kính hình cầu;
d là đường kính của hình cầu.

Xem thêm bài viết về mọi người hình dạng hình học(tuyến tính 1D, 2D phẳng và 3D 3D).

Trang này là công cụ tính toán trên web đơn giản nhất để tính thể tích hình cầu theo bán kính hoặc đường kính.

Bán kính của quả bóng (ký hiệu là r hoặc R) là đoạn nối tâm quả bóng với một điểm bất kỳ trên bề mặt của nó. Giống như hình tròn, bán kính của quả bóng là một đại lượng quan trọng cần thiết để tìm đường kính, chu vi, diện tích bề mặt và/hoặc thể tích của quả bóng. Nhưng bán kính của quả bóng cũng có thể được tìm thấy bằng cách giá trị đã chođường kính, chu vi và các đại lượng khác. Sử dụng một công thức mà bạn có thể thay thế các giá trị này.

bước

Công thức tính bán kính

Tính bán kính từ đường kính. Bán kính bằng một nửađường kính, vì vậy hãy sử dụng công thức g = D/2. Đây là công thức tương tự được sử dụng để tính bán kính và đường kính của hình tròn.

• Ví dụ, cho một quả bóng có đường kính 16 cm Bán kính của quả bóng này: r = 16/2 =. 8 cm. Nếu đường kính là 42 cm thì bán kính là 21 cm (42/2=21).

1. Tính bán kính từ chu vi. Sử dụng công thức: r = C/2π. Vì chu vi hình tròn là C = πD = 2πr nên chia công thức tính chu vi cho 2π sẽ được công thức tính bán kính.

   • Ví dụ: Cho một quả bóng có chu vi 20 cm, bán kính của quả bóng này là: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Công thức tương tự được sử dụng để tính bán kính và chu vi của một hình tròn.

2. Tính bán kính từ thể tích của hình cầu. Sử dụng công thức: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Thể tích của quả bóng được tính theo công thức V = (4/3)πr 3. Tách r ở một vế của phương trình, bạn thu được công thức ((V/π)(3/4)) 3 = r, tức là để tính bán kính, hãy chia thể tích của quả bóng cho π, nhân kết quả với 3/4 và nâng kết quả thu được lên lũy thừa 1/3 (hoặc lấy căn bậc ba).

   • Ví dụ, cho một quả bóng có thể tích 100 cm 3 . Bán kính của quả bóng này được tính như sau:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 cm= r

3. Tính bán kính từ diện tích bề mặt. Sử dụng công thức: g = √(A/(4 π)). Diện tích bề mặt của quả bóng được tính theo công thức A = 4πr 2. Tách r về một vế của phương trình, ta được công thức √(A/(4π)) = r, tức là để tính bán kính ta cần trích xuất căn bậc hai từ diện tích bề mặt chia cho 4π. Thay vì lấy căn, biểu thức (A/(4π)) có thể được nâng lên lũy thừa 1/2.

   • Ví dụ, cho một hình cầu có diện tích bề mặt là 1200 cm 3 . Bán kính của quả bóng này được tính như sau:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 cm= r

   Xác định đại lượng cơ bản

   1. Hãy nhớ các đại lượng cơ bản liên quan đến việc tính bán kính của quả bóng. Bán kính của quả bóng là đoạn nối tâm quả bóng với bất kỳ điểm nào trên bề mặt của nó. Bán kính của quả bóng có thể được tính từ các giá trị đường kính, chu vi, thể tích hoặc diện tích bề mặt cho trước.

      Sử dụng các giá trị của các đại lượng này để tìm bán kính. Bán kính có thể được tính từ các giá trị cho trước về đường kính, chu vi, thể tích và diện tích bề mặt. Hơn nữa, các giá trị được chỉ định có thể được tìm thấy từ một giá trị bán kính nhất định. Để tính bán kính, chỉ cần chuyển đổi các công thức để tìm các giá trị được hiển thị. Dưới đây là các công thức (bao gồm bán kính) để tính đường kính, chu vi, thể tích và diện tích bề mặt.

   Tìm bán kính từ khoảng cách giữa hai điểm

   1. Tìm tọa độ (x,y,z) của tâm quả bóng. Bán kính bóng bằng khoảng cách giữa tâm của nó và một điểm bất kỳ trên bề mặt quả bóng. Nếu biết tọa độ tâm quả bóng và bất kỳ điểm nào nằm trên bề mặt của nó, bạn có thể tìm bán kính của quả bóng bằng một công thức đặc biệt bằng cách tính khoảng cách giữa hai điểm. Đầu tiên hãy tìm tọa độ tâm của quả bóng. Hãy nhớ rằng vì quả bóng được hình ba chiều, thì điểm sẽ có ba tọa độ (x, y, z) chứ không phải hai (x, y).

      • Hãy xem một ví dụ. Cho một quả bóng có tọa độ trung tâm (4,-1,12) . Sử dụng các tọa độ này để tìm bán kính của quả bóng.

   2. Tìm tọa độ của một điểm nằm trên bề mặt quả bóng. Bây giờ chúng ta cần tìm tọa độ (x,y,z) bất kìđiểm nằm trên bề mặt quả bóng. Vì tất cả các điểm nằm trên bề mặt quả bóng đều nằm cách tâm quả bóng một khoảng như nhau nên bạn có thể chọn bất kỳ điểm nào để tính bán kính của quả bóng.

      • Trong ví dụ của chúng ta, giả sử rằng một số điểm nằm trên bề mặt quả bóng có tọa độ (3,3,0) . Bằng cách tính khoảng cách giữa điểm này và tâm quả bóng, bạn sẽ tìm được bán kính.

   3. Tính bán kính bằng công thức d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Sau khi tìm ra tọa độ tâm quả bóng và một điểm nằm trên bề mặt của nó, bạn có thể tìm thấy khoảng cách giữa chúng bằng bán kính của quả bóng. Khoảng cách giữa hai điểm được tính theo công thức d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), trong đó d là khoảng cách giữa các điểm , (x 1, y 1 ,z 1) – tọa độ tâm quả bóng, (x 2 , y 2 , z 2) – tọa độ của một điểm nằm trên bề mặt quả bóng.

      • Trong ví dụ đang xem xét, thay vì (x 1 ,y 1 ,z 1) thay thế (4,-1,12), và thay vì (x 2 ,y 2 ,z 2) thay thế (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Đây là bán kính mong muốn của quả bóng.

   4. Hãy nhớ rằng trong trường hợp chung r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Tất cả các điểm nằm trên bề mặt quả bóng đều nằm ở cùng một khoảng cách tính từ tâm quả bóng. Nếu trong công thức tìm khoảng cách giữa hai điểm “d” được thay thế bằng “r”, bạn sẽ có công thức tính bán kính của quả bóng từ tọa độ đã biết (x 1,y 1,z 1) của tâm quả bóng và tọa độ (x 2,y 2,z 2 ) bất kỳ điểm nào nằm trên bề mặt quả bóng.

      • Bình phương cả hai vế của phương trình này và bạn nhận được r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Lưu ý rằng phương trình này tương ứng với phương trình của hình cầu r 2 = x 2 + y 2 + z 2 có tâm tại tọa độ (0,0,0).
   • Đừng quên thứ tự thực hiện các phép toán. Nếu bạn không nhớ thứ tự này và máy tính của bạn có thể hoạt động với dấu ngoặc đơn, hãy sử dụng chúng.
   • Bài viết này nói về việc tính bán kính của một quả bóng. Nhưng nếu bạn gặp khó khăn khi học hình học, tốt nhất bạn nên bắt đầu bằng cách tính các đại lượng liên quan đến một quả bóng bằng cách sử dụng giá trị đã biết bán kính.
   • π (Pi) là một chữ cái trong bảng chữ cái Hy Lạp biểu thị một hằng số, bằng tỷ lệđường kính của một vòng tròn với chu vi của nó. Pi là số vô tỉ, không được viết dưới dạng quan hệ số thực. Có nhiều phép tính gần đúng, ví dụ: tỷ lệ 333/106 sẽ cho phép bạn tìm Pi trong vòng bốn chữ số sau dấu thập phân. Theo quy định, họ sử dụng giá trị gần đúng Pi bằng 3,14.

Trước khi bắt đầu nghiên cứu khái niệm về quả bóng, thể tích của quả bóng là bao nhiêu và xem xét các công thức tính các thông số của nó, bạn cần nhớ lại khái niệm về hình tròn đã học trước đó trong khóa học hình học. Xét cho cùng, hầu hết các hành động trong không gian ba chiều đều tương tự hoặc bắt nguồn từ hình học hai chiều, được điều chỉnh để có hình thức tọa độ thứ ba và cấp độ thứ ba.

Một vòng tròn là gì?

Hình tròn là một hình trên mặt phẳng Descartes (thể hiện trong Hình 1); định nghĩa phổ biến nhất là “ quỹ tích mọi điểm trên mặt phẳng, khoảng cách từ đó đến điểm nhất định(giữa) không vượt quá một mức nhất định số không âm, được gọi là bán kính."

Như chúng ta có thể thấy từ hình, điểm O là tâm của hình và tập hợp tất cả các điểm lấp đầy đường tròn, ví dụ: A, B, C, K, E, không còn nữa bán kính nhất định(không vượt ra ngoài vòng tròn hiển thị trong Hình 2).

Nếu bán kính bằng 0, thì đường tròn biến thành một điểm.

Vấn đề với sự hiểu biết

Học sinh thường nhầm lẫn các khái niệm này. Thật dễ dàng để nhớ với một sự tương tự. Cái vòng mà trẻ em quay trong lớp văn hóa thể chất, - vòng tròn. Bằng cách hiểu điều này hoặc nhớ rằng các chữ cái đầu tiên của cả hai từ đều là “O”, trẻ sẽ hiểu được sự khác biệt một cách dễ nhớ.

Giới thiệu khái niệm “quả bóng”

Một quả bóng là một vật thể (Hình 3) được giới hạn bởi một bề mặt hình cầu nhất định. “Bề mặt hình cầu” là gì sẽ trở nên rõ ràng theo định nghĩa của nó: đây là quỹ tích hình học của tất cả các điểm trên bề mặt, khoảng cách từ đó đến một điểm nhất định (tâm) không vượt quá một số không âm nhất định gọi là bán kính. Như bạn có thể thấy, các khái niệm về hình tròn và bề mặt hình cầu là tương tự nhau, chỉ có không gian nơi chúng nằm là khác nhau. Nếu chúng ta mô tả một quả bóng trong không gian hai chiều, chúng ta sẽ có một hình tròn có ranh giới là một hình tròn (viền của quả bóng là một bề mặt hình cầu). Trong hình vẽ chúng ta thấy một bề mặt hình cầu có bán kính OA = OB.

Bóng đóng và mở

Trong không gian vectơ và không gian mêtric, hai khái niệm liên quan đến bề mặt cầu cũng được xem xét. Nếu quả bóng bao gồm quả cầu này thì gọi là đóng, nếu không thì gọi là quả bóng mở. Đây là những khái niệm “cao cấp” hơn; chúng được nghiên cứu ở các viện nghiên cứu như một phần của phần giới thiệu về phân tích. Đối với một điều đơn giản, ngay cả sử dụng trong gia đình Các công thức được học trong khóa học lập thể lớp 10-11 là đủ. Đây là những thứ mà hầu hết mọi người bình thường đều có thể truy cập được. người có học thức các khái niệm sẽ được thảo luận thêm.

Những khái niệm bạn cần biết cho các phép tính sau

Bán kính và đường kính.

Bán kính của quả bóng và đường kính của nó được xác định tương tự như đối với hình tròn.

Bán kính là đoạn nối bất kỳ điểm nào trên đường biên của quả bóng và điểm là tâm của quả bóng.

Đường kính là đoạn nối hai điểm trên ranh giới của quả bóng và đi qua tâm của nó. Hình 5a thể hiện rõ các đoạn nào là bán kính của quả bóng và Hình 5b thể hiện đường kính của hình cầu (các đoạn đi qua điểm O).

Các phần trong một hình cầu (quả bóng)

Bất kỳ phần nào của hình cầu là một hình tròn. Nếu đi qua tâm quả cầu gọi là hình tròn lớn (đường tròn đường kính AB), các đoạn còn lại gọi là hình tròn nhỏ (đường tròn đường kính DC).

Diện tích của các vòng tròn này được tính bằng các công thức sau:

Ở đây S là ký hiệu diện tích, R là bán kính, D là đường kính. Ngoài ra còn có một hằng số bằng 3,14. Nhưng đừng nhầm lẫn việc tính diện tích vòng tròn lớn họ sử dụng bán kính hoặc đường kính của chính quả bóng (quả cầu) và để xác định diện tích, cần phải có kích thước bán kính của hình tròn nhỏ.

Có thể vẽ được vô số phần như vậy đi qua hai điểm có cùng đường kính nằm trên đường biên của quả bóng. Ví dụ: hành tinh của chúng ta: hai điểm ở phía Bắc và Nam Cực, đâu là điểm kết thúc trục trái đất, và trong ý nghĩa hình học- các đầu của đường kính và các kinh tuyến đi qua hai điểm này (Hình 7). Tức là số vòng tròn lớn số lượng của một hình cầu có xu hướng vô cùng.

Bộ phận bóng

Nếu bạn cắt một “mảnh” khỏi hình cầu bằng một mặt phẳng nhất định (Hình 8), thì nó sẽ được gọi là đoạn hình cầu hoặc hình cầu. Nó sẽ có chiều cao - vuông góc từ tâm mặt phẳng cắt đến mặt cầu O 1 K. Điểm K trên mặt cầu nơi có độ cao được gọi là đỉnh đoạn hình cầu. Và một đường tròn nhỏ có bán kính O 1 T (trong trường hợp này, theo hình vẽ, mặt phẳng không đi qua tâm hình cầu, nhưng nếu tiết diện đi qua tâm thì tiết diện đường tròn sẽ là lớn), được hình thành bằng cách cắt bỏ đoạn hình cầu, sẽ được gọi là đáy của mảnh bóng - đoạn hình cầu của chúng ta.

Nếu chúng ta nối từng điểm cơ sở của một đoạn hình cầu với tâm của hình cầu, chúng ta sẽ có được một hình gọi là “khu vực hình cầu”.

Nếu hai mặt phẳng đi qua một hình cầu và song song với nhau thì phần hình cầu nằm giữa chúng được gọi là lớp hình cầu (Hình 9 cho thấy một hình cầu có hai mặt phẳng và một lớp hình cầu riêng biệt).

Bề mặt (phần được đánh dấu trong Hình 9 bên phải) của phần này của quả cầu được gọi là vành đai (một lần nữa, để hiểu rõ hơn, có thể rút ra một sự tương tự với quả địa cầu, cụ thể là với anh ấy vùng khí hậu- Bắc cực, nhiệt đới, ôn đới, v.v.), và các vòng tròn cắt ngang sẽ là đáy của lớp hình cầu. Chiều cao của lớp là một phần của đường kính được vẽ vuông góc với các mặt phẳng cắt tính từ tâm của các đế. Ngoài ra còn có khái niệm về một quả cầu hình cầu. Nó được hình thành khi các mặt phẳng song song với nhau không giao nhau với hình cầu mà chạm vào nó tại một điểm.

Công thức tính thể tích của quả bóng và diện tích bề mặt của nó

Quả bóng được hình thành bằng cách quay quanh đường kính cố định của hình bán nguyệt hoặc hình tròn. Để tính toán thông số khác nhauđối tượng này sẽ không cần nhiều dữ liệu.

Thể tích của một hình cầu, công thức tính được đưa ra ở trên, được suy ra thông qua tích phân. Chúng ta hãy tìm ra nó từng điểm một.

Chúng ta xem xét một đường tròn trong mặt phẳng hai chiều, bởi vì, như đã đề cập ở trên, chính đường tròn là cơ sở cho cấu tạo của quả bóng. Chúng tôi chỉ sử dụng phần thứ tư của nó (Hình 10).

Chúng ta lấy một đường tròn có bán kính đơn vị và tâm ở gốc tọa độ. Phương trình của đường tròn như sau: X 2 + Y 2 = R 2. Chúng ta biểu diễn Y từ đây: Y 2 = R 2 - X 2.

Hãy nhớ lưu ý rằng hàm thu được không âm, liên tục và giảm dần trên đoạn X (0; R), bởi vì giá trị của X trong trường hợp khi chúng ta xét một phần tư hình tròn nằm từ 0 đến giá trị của bán kính, nghĩa là thống nhất.

Điều tiếp theo chúng ta làm là xoay vòng tròn một phần tư quanh trục x. Kết quả là chúng ta có được một bán cầu. Để xác định khối lượng của nó, chúng tôi sẽ sử dụng các phương pháp tích phân.

Vì đây chỉ là thể tích của một bán cầu nên ta nhân đôi kết quả, từ đó ta thấy thể tích của quả bóng bằng:

Sắc thái nhỏ

Nếu bạn cần tính thể tích của một quả bóng thông qua đường kính của nó, hãy nhớ rằng bán kính bằng một nửa đường kính và thay giá trị này vào công thức trên.

Bạn cũng có thể đạt được công thức tính thể tích của một quả bóng thông qua diện tích bề mặt tiếp giáp của nó - hình cầu. Chúng ta hãy nhớ lại rằng diện tích của một hình cầu được tính theo công thức S = 4πr 2, tích hợp mà chúng ta cũng đi đến công thức trên về thể tích của hình cầu. Từ các công thức tương tự, bạn có thể biểu thị bán kính nếu câu lệnh chứa giá trị thể tích.