Cách tìm thể tích hình cầu nếu biết đường kính. Công thức tính thể tích của quả bóng và diện tích bề mặt của nó

Một quả bóng và một quả cầu trước hết là những hình hình học, và nếu quả bóng là một vật thể hình học thì quả cầu là bề mặt của quả bóng. Những con số này đã được quan tâm từ hàng ngàn năm trước trước Công nguyên.

Sau đó, khi người ta phát hiện ra rằng Trái Đất có hình cầu và bầu trời thiên cầu, một hướng thú vị mới trong hình học đã phát triển - hình học trên hình cầu hoặc hình cầu. Để nói về kích thước và thể tích của một quả bóng, trước tiên bạn phải xác định nó.

Quả bóng

Một quả cầu có bán kính R có tâm tại điểm O trong hình học là một vật thể được tạo bởi mọi điểm trong không gian có tài sản chung. Những điểm này nằm ở khoảng cách không vượt quá bán kính của quả bóng, nghĩa là chúng lấp đầy toàn bộ không gian nhỏ hơn bán kính của quả bóng theo mọi hướng tính từ tâm của nó. Nếu chúng ta chỉ xét những điểm cách đều tâm quả bóng, chúng ta sẽ xét bề mặt của nó hoặc vỏ quả bóng.

Làm thế nào tôi có thể lấy được bóng? Chúng ta có thể cắt một hình tròn ra khỏi giấy và bắt đầu xoay nó quanh đường kính của chính nó. Nghĩa là đường kính của đường tròn sẽ là trục quay. nhân vật có học thức- sẽ có một quả bóng. Vì vậy, quả bóng còn được gọi là vật thể cách mạng. Bởi vì nó có thể được hình thành bằng cách quay một hình phẳng - hình tròn.

Hãy lấy một chiếc máy bay nào đó và cắt quả bóng của chúng ta bằng nó. Giống như chúng ta cắt một quả cam bằng dao. Phần mà chúng ta cắt ra khỏi quả bóng được gọi là đoạn hình cầu.

TRONG Hy Lạp cổ đại họ không chỉ biết cách làm việc với một quả bóng và một quả cầu như với các hình hình học chẳng hạn, sử dụng chúng trong xây dựng mà còn biết cách tính diện tích bề mặt của một quả bóng và thể tích của một quả bóng.

Hình cầu là tên gọi khác của bề mặt của quả bóng. Hình cầu không phải là một vật thể - nó là bề mặt của một vật thể xoay. Tuy nhiên, vì cả Trái đất và nhiều vật thể đều có dạng hình cầu, chẳng hạn như một giọt nước, nên việc nghiên cứu các mối quan hệ hình học bên trong quả cầu đã trở nên phổ biến.

Ví dụ: nếu chúng ta nối hai điểm của một hình cầu với nhau bằng một đường thẳng thì đường thẳng này sẽ được gọi là dây cung, và nếu điều này hợp âm sẽ trôi qua qua tâm của hình cầu trùng với tâm của quả cầu thì dây cung gọi là đường kính của hình cầu.

Nếu chúng ta vẽ một đường thẳng tiếp xúc với hình cầu chỉ tại một điểm thì đường thẳng này sẽ được gọi là tiếp tuyến. Ngoài ra, tiếp tuyến này của hình cầu tại điểm này sẽ vuông góc với bán kính của hình cầu vẽ tới điểm tiếp xúc.

Nếu chúng ta kéo dài dây cung thành một đường thẳng theo hướng này hay hướng khác so với hình cầu thì dây cung này sẽ được gọi là cát tuyến. Hoặc chúng ta có thể nói khác đi - cát tuyến của hình cầu chứa hợp âm của nó.

Khối lượng bóng

Công thức tính thể tích của quả bóng là:

trong đó R là bán kính của quả bóng.

Nếu bạn cần tìm thể tích của một đoạn hình cầu, hãy sử dụng công thức:

V seg =πh 2 (R-h/3), h là chiều cao của đoạn hình cầu.

Diện tích bề mặt của quả bóng hoặc hình cầu

Để tính diện tích hình cầu hoặc diện tích bề mặt của quả bóng (chúng giống nhau):

trong đó R là bán kính của hình cầu.

Archimedes rất thích quả bóng và quả cầu, ông thậm chí còn yêu cầu để lại một bức vẽ trên lăng mộ của mình, trong đó có một quả bóng được khắc trong một hình trụ. Archimedes tin rằng thể tích của một quả bóng và bề mặt của nó bằng 2/3 thể tích và bề mặt của hình trụ chứa quả bóng đó.”

trong đó V là bắt buộc khối lượng của quả bóng, π – 3,14, R – bán kính.

Do đó, với bán kính 10 cm khối lượng của quả bóng bằng:

V.

3,14 × 10 3

= 4186,7

cm khối.

Trong hình học quả bóngđược định nghĩa là một vật thể nhất định, là tập hợp tất cả các điểm trong không gian nằm cách tâm một khoảng không quá một điểm cho trước, gọi là bán kính của quả bóng. Bề mặt của quả bóng được gọi là hình cầu và bản thân quả bóng được hình thành bằng cách quay một hình bán nguyệt quanh đường kính của nó, không chuyển động.

Các kỹ sư thiết kế và kiến ​​trúc sư rất hay gặp phải khối hình học này, họ thường phải tính thể tích của một quả cầu. Ví dụ, trong thiết kế hệ thống treo trước của đại đa số ô tô hiện đại, cái gọi là khớp bi được sử dụng, trong đó, như bạn có thể dễ dàng đoán từ chính cái tên, quả bóng là một trong những thành phần chính. Với sự giúp đỡ của họ, các trục của bánh lái và đòn bẩy được kết nối. Về việc nó sẽ đúng như thế nào tính toán khối lượng của chúng phần lớn không chỉ phụ thuộc vào độ bền của các bộ phận này và tính chính xác trong hoạt động của chúng mà còn phụ thuộc vào an toàn giao thông.

Trong công nghệ phân phối rộng nhấtđã nhận được các bộ phận như vòng bi, với sự trợ giúp của chúng, các trục được cố định trong các bộ phận cố định của các bộ phận và cụm lắp ráp khác nhau và đảm bảo chuyển động quay của chúng. Cần lưu ý rằng khi tính toán chúng, người thiết kế cần tìm thể tích của quả cầu(hay đúng hơn là những quả bóng được đặt trong lồng) với bằng cấp cao sự chính xác. Đối với việc sản xuất các quả bóng chịu lực kim loại, chúng được sản xuất từ ​​​​dây kim loại bằng quy trình phức tạp bao gồm các giai đoạn tạo hình, làm cứng, mài thô, hoàn thiện và làm sạch. Nhân tiện, những quả bóng được đưa vào thiết kế của tất cả bút bi, được sản xuất bằng cách sử dụng chính xác cùng một công nghệ.

Khá thường xuyên, các quả bóng cũng được sử dụng trong kiến ​​​​trúc, nơi chúng thường là yếu tố trang trí của các tòa nhà và các công trình kiến ​​​​trúc khác. Trong hầu hết các trường hợp, chúng được làm bằng đá granit, thường đòi hỏi chi phí cao lao động chân tay. Tất nhiên là tuân thủ điều này độ chính xác cao việc sản xuất những quả bóng này, giống như những quả bóng được sử dụng trong các đơn vị và cơ chế khác nhau, là không bắt buộc.

Một trò chơi thú vị và phổ biến như bida là không thể tưởng tượng được nếu không có bóng. Để sản xuất, chúng được sử dụng vật liệu khác nhau(xương, đá, kim loại, nhựa) và các quy trình công nghệ khác nhau được sử dụng. Một trong những yêu cầu chính đối với bóng bi-a là độ bền cao và khả năng chịu được tải trọng cơ học cao (chủ yếu là sốc). Ngoài ra, bề mặt của chúng phải là hình cầu chính xác để đảm bảo bề mặt bàn bida được mịn và lăn đều.

Cuối cùng, không có như vậy cơ thể hình học, giống như những quả bóng, không một cây thông Noel hay Năm mới nào hoàn chỉnh. Những đồ trang trí này trong hầu hết các trường hợp được làm từ thủy tinh bằng phương pháp thổi và trong quá trình sản xuất chúng sự chú ý lớn nhất Trọng tâm không phải là độ chính xác về kích thước mà là tính thẩm mỹ của sản phẩm. Quá trìnhĐồng thời, những quả bóng Giáng sinh gần như được tự động hóa hoàn toàn và những quả bóng Giáng sinh chỉ được đóng gói thủ công.

Bán kính của quả bóng (ký hiệu là r hoặc R) là đoạn nối tâm quả bóng với một điểm bất kỳ trên bề mặt của nó. Giống như hình tròn, bán kính của quả bóng là một đại lượng quan trọng cần thiết để tìm đường kính, chu vi, diện tích bề mặt và/hoặc thể tích của quả bóng. Nhưng bán kính của quả bóng cũng có thể được tìm thấy bằng cách giá trị đã chođường kính, chu vi và các đại lượng khác. Sử dụng một công thức mà bạn có thể thay thế các giá trị này.

bước

Công thức tính bán kính

Tính bán kính từ đường kính. Bán kính bằng một nửađường kính, vì vậy hãy sử dụng công thức g = D/2. Đây là công thức tương tự được sử dụng để tính bán kính và đường kính của hình tròn.

• Ví dụ, cho một quả bóng có đường kính 16 cm Bán kính của quả bóng này: r = 16/2 =. 8 cm. Nếu đường kính là 42 cm thì bán kính là 21 cm (42/2=21).

1. Tính bán kính từ chu vi. Sử dụng công thức: r = C/2π. Vì chu vi hình tròn là C = πD = 2πr nên chia công thức tính chu vi cho 2π sẽ được công thức tính bán kính.

   • Ví dụ: Cho một quả bóng có chu vi 20 cm, bán kính của quả bóng này là: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Công thức tương tự được sử dụng để tính bán kính và chu vi của một hình tròn.

2. Tính bán kính từ thể tích của hình cầu. Sử dụng công thức: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Thể tích của quả bóng được tính theo công thức V = (4/3)πr 3. Tách r ở một vế của phương trình, bạn thu được công thức ((V/π)(3/4)) 3 = r, tức là để tính bán kính, hãy chia thể tích của quả bóng cho π, nhân kết quả với 3/4 và nâng kết quả thu được lên lũy thừa 1/3 (hoặc lấy căn bậc ba).

   • Ví dụ, cho một quả bóng có thể tích 100 cm 3 . Bán kính của quả bóng này được tính như sau:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 cm= r

3. Tính bán kính từ diện tích bề mặt. Sử dụng công thức: g = √(A/(4 π)). Diện tích bề mặt của quả bóng được tính theo công thức A = 4πr 2. Tách r về một vế của phương trình, ta được công thức √(A/(4π)) = r, tức là để tính bán kính ta cần trích xuất căn bậc hai từ diện tích bề mặt chia cho 4π. Thay vì lấy căn, biểu thức (A/(4π)) có thể được nâng lên lũy thừa 1/2.

   • Ví dụ, cho một hình cầu có diện tích bề mặt là 1200 cm 3 . Bán kính của quả bóng này được tính như sau:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 cm= r

   Xác định đại lượng cơ bản

   1. Hãy nhớ các đại lượng cơ bản liên quan đến việc tính bán kính của quả bóng. Bán kính của quả bóng là đoạn nối tâm quả bóng với bất kỳ điểm nào trên bề mặt của nó. Bán kính của quả bóng có thể được tính từ các giá trị đường kính, chu vi, thể tích hoặc diện tích bề mặt cho trước.

      Sử dụng các giá trị của các đại lượng này để tìm bán kính. Bán kính có thể được tính từ các giá trị cho trước về đường kính, chu vi, thể tích và diện tích bề mặt. Hơn nữa, các giá trị được chỉ định có thể được tìm thấy từ một giá trị bán kính nhất định. Để tính bán kính, chỉ cần chuyển đổi các công thức để tìm số lượng đã cho. Dưới đây là các công thức (bao gồm bán kính) để tính đường kính, chu vi, thể tích và diện tích bề mặt.

   Tìm bán kính từ khoảng cách giữa hai điểm

   1. Tìm tọa độ (x,y,z) của tâm quả bóng. Bán kính bóng bằng khoảng cách giữa tâm của nó và một điểm bất kỳ trên bề mặt quả bóng. Nếu biết tọa độ tâm quả bóng và bất kỳ điểm nào nằm trên bề mặt của nó, bạn có thể tìm bán kính của quả bóng bằng một công thức đặc biệt bằng cách tính khoảng cách giữa hai điểm. Đầu tiên hãy tìm tọa độ tâm của quả bóng. Hãy nhớ rằng vì quả bóng được hình ba chiều, thì điểm sẽ có ba tọa độ (x,y,z) chứ không phải hai (x,y).

      • Hãy xem một ví dụ. Cho một quả bóng có tọa độ trung tâm (4,-1,12) . Sử dụng các tọa độ này để tìm bán kính của quả bóng.

   2. Tìm tọa độ một điểm nằm trên mặt quả bóng. Bây giờ chúng ta cần tìm tọa độ (x,y,z) bất kìđiểm nằm trên bề mặt quả bóng. Vì tất cả các điểm nằm trên bề mặt quả bóng đều nằm cách tâm quả bóng một khoảng như nhau nên bạn có thể chọn bất kỳ điểm nào để tính bán kính của quả bóng.

      • Trong ví dụ của chúng ta, giả sử rằng một số điểm nằm trên bề mặt quả bóng có tọa độ (3,3,0) . Bằng cách tính khoảng cách giữa điểm này và tâm quả bóng, bạn sẽ tìm được bán kính.

   3. Tính bán kính bằng công thức d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Sau khi tìm ra tọa độ tâm quả bóng và một điểm nằm trên bề mặt của nó, bạn có thể tìm thấy khoảng cách giữa chúng bằng bán kính của quả bóng. Khoảng cách giữa hai điểm được tính theo công thức d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), trong đó d là khoảng cách giữa các điểm , (x 1, y 1 ,z 1) – tọa độ tâm quả bóng, (x 2 , y 2 , z 2) – tọa độ của một điểm nằm trên bề mặt quả bóng.

      • Trong ví dụ đang xem xét, thay vì (x 1 ,y 1 ,z 1) thay thế (4,-1,12), và thay vì (x 2 ,y 2 ,z 2) thay thế (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Đây là bán kính mong muốn của quả bóng.

   4. Hãy nhớ rằng trong trường hợp chung r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Tất cả các điểm nằm trên bề mặt quả bóng đều nằm ở cùng một khoảng cách tính từ tâm quả bóng. Nếu trong công thức tìm khoảng cách giữa hai điểm “d” được thay thế bằng “r”, bạn sẽ nhận được công thức tính bán kính của quả bóng từ tọa độ đã biết (x 1,y 1,z 1) của tâm của quả bóng và tọa độ (x 2,y 2,z 2 ) bất kỳ điểm nào nằm trên bề mặt quả bóng.

      • Bình phương cả hai vế của phương trình này và bạn nhận được r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Lưu ý rằng phương trình này tương ứng với phương trình hình cầu r 2 = x 2 + y 2 + z 2 có tâm tại tọa độ (0,0,0).
   • Đừng quên thứ tự thực hiện các phép toán. Nếu bạn không nhớ thứ tự này và máy tính của bạn có thể hoạt động với dấu ngoặc đơn, hãy sử dụng chúng.
   • Bài viết này nói về việc tính bán kính của một quả bóng. Nhưng nếu bạn gặp khó khăn khi học hình học, tốt nhất bạn nên bắt đầu bằng cách tính các đại lượng liên quan đến một quả bóng bằng cách sử dụng giá trị đã biết bán kính.
   • π (Pi) là một chữ cái trong bảng chữ cái Hy Lạp biểu thị một hằng số, bằng tỷ lệđường kính của một vòng tròn với chu vi của nó. Pi là số vô tỉ, không được viết dưới dạng quan hệ số thực. Có nhiều phép tính gần đúng, ví dụ: tỷ lệ 333/106 sẽ cho phép bạn tìm Pi trong vòng bốn chữ số sau dấu thập phân. Theo quy định, họ sử dụng giá trị gần đúng Pi bằng 3,14.

Nhiều vật thể chúng ta gặp trong đời hoặc từng nghe nói đến có dạng hình cầu, chẳng hạn như quả bóng đá, giọt nước rơi khi mưa hoặc hành tinh của chúng ta. Về vấn đề này, cần xem xét câu hỏi làm thế nào để tìm thể tích của một hình cầu.

Hình bóng trong hình học

Trước khi trả lời câu hỏi về quả bóng, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về cơ thể này. Một số người nhầm lẫn nó với một hình cầu. Nhìn bề ngoài, chúng thực sự giống nhau, nhưng quả bóng là một vật thể được lấp đầy bên trong, trong khi quả cầu chỉ là lớp vỏ bên ngoài của một quả bóng có độ dày vô cùng nhỏ.

Từ quan điểm hình học, một quả bóng có thể được biểu diễn bằng một tập hợp các điểm và những điểm nằm trên bề mặt của nó (chúng tạo thành một hình cầu) có cùng khoảng cách tính từ tâm của hình. Khoảng cách này được gọi là bán kính. Trên thực tế, bán kính là tham số duy nhất có thể được sử dụng để mô tả bất kỳ thuộc tính nào của quả bóng, chẳng hạn như diện tích bề mặt hoặc thể tích của nó.

Hình ảnh dưới đây cho thấy một ví dụ về một quả bóng.

Nếu bạn nhìn kỹ vào vật thể hình tròn hoàn hảo này, bạn có thể đoán được cách lấy nó từ một hình tròn thông thường. Để làm điều này, chỉ cần xoay cái này hình phẳng quanh một trục trùng với đường kính của nó.

Một trong những cổ vật nổi tiếng nguồn văn học, trong đó thảo luận đầy đủ chi tiết về các thuộc tính của điều này hình thể tích, là tác phẩm của triết gia Hy Lạp Euclid - “Các yếu tố”.

Diện tích bề mặt và thể tích

Khi xem xét câu hỏi làm thế nào để tìm thể tích của một quả bóng, ngoài giá trị này, cần đưa ra công thức tính diện tích của nó, vì cả hai biểu thức có thể liên quan với nhau, như sẽ được trình bày dưới đây.

Vì vậy, để tính thể tích của quả bóng, bạn nên áp dụng một trong hai công thức sau:

• V = 4/3 *pi * R3;
• V = 67/16 * R3.

Ở đây R là bán kính của hình. Công thức đầu tiên được đưa ra là chính xác, tuy nhiên, để tận dụng được điều này, bạn phải sử dụng số tương ứng số thập phân của pi. Biểu thức thứ hai hoàn toàn kết quả tốt, khác với lần đầu chỉ 0,03%. Đối với một hàng vấn đề thực tếđộ chính xác này là quá đủ.

Bằng giá trị này đối với hình cầu, nghĩa là được biểu thị bằng công thức S = 4 * pi * R2. Nếu chúng ta biểu thị bán kính từ đây và sau đó thay thế nó vào công thức đầu tiên cho thể tích, thì chúng ta nhận được: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi)).

Vì vậy, chúng ta đã xem xét các câu hỏi về cách tìm thể tích của một quả bóng thông qua bán kính và diện tích bề mặt của nó. Những biểu thức này có thể được áp dụng thành công trong thực tế. Phần sau của bài viết chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ về việc sử dụng chúng.

Vấn đề về hạt mưa

Nước khi ở trạng thái không trọng lượng sẽ có dạng giọt hình cầu. Điều này là do sự hiện diện của sức mạnh sức căng bề mặt, có xu hướng giảm thiểu diện tích bề mặt. Quả bóng lần lượt có giá trị thấp nhất trong số tất cả hình dạng hình học với cùng khối lượng.

Khi mưa, giọt nước rơi xuống ở trạng thái không trọng lượng nên có dạng hình cầu (ở đây chúng ta bỏ qua lực cản của không khí). Cần xác định thể tích, diện tích bề mặt và bán kính của giọt nước này nếu biết khối lượng của nó là 0,05 gam.

Thể tích rất dễ xác định; để làm điều này, hãy chia khối lượng đã biết cho mật độ của H 2 O (ρ = 1 g/cm 3). Khi đó V = 0,05 / 1 = 0,05 cm 3.

Biết cách tìm thể tích của quả bóng, chúng ta biểu diễn bán kính từ công thức và thay giá trị thu được vào, ta có: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4) * 3,1416)) = 0,2285 cm.

Bây giờ chúng ta thay giá trị bán kính vào biểu thức cho diện tích bề mặt của hình, chúng ta nhận được: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 cm 2.

Như vậy, biết cách tìm thể tích của một quả bóng, chúng ta đã nhận được đáp án cho tất cả các câu hỏi của bài toán: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 và V = 0,05 cm 3.

Trước khi bắt đầu nghiên cứu khái niệm về quả bóng, thể tích của quả bóng là bao nhiêu và xem xét các công thức tính các thông số của nó, bạn cần nhớ lại khái niệm về hình tròn đã được học trước đó trong khóa học hình học. Xét cho cùng, hầu hết các hành động trong không gian ba chiều đều tương tự hoặc bắt nguồn từ hình học hai chiều, được điều chỉnh để có hình thức tọa độ thứ ba và bậc thứ ba.

Một vòng tròn là gì?

Hình tròn là một hình trên mặt phẳng Descartes (thể hiện trong Hình 1); định nghĩa phổ biến nhất là “ quỹ tích mọi điểm trên mặt phẳng, khoảng cách từ đó đến điểm nhất định(giữa) không vượt quá một mức nhất định số không âm, được gọi là bán kính."

Như chúng ta có thể thấy từ hình, điểm O là tâm của hình và tập hợp tất cả các điểm lấp đầy đường tròn, ví dụ: A, B, C, K, E, không còn nữa bán kính nhất định(không vượt ra ngoài vòng tròn hiển thị trong Hình 2).

Nếu bán kính bằng 0, thì đường tròn biến thành một điểm.

Vấn đề với sự hiểu biết

Học sinh thường nhầm lẫn các khái niệm này. Thật dễ dàng để nhớ với một sự tương tự. Cái vòng mà trẻ em quay trong lớp văn hóa thể chất, - vòng tròn. Bằng cách hiểu điều này hoặc nhớ rằng các chữ cái đầu tiên của cả hai từ đều là “O”, trẻ sẽ hiểu được sự khác biệt một cách dễ nhớ.

Giới thiệu khái niệm “quả bóng”

Một quả bóng là một vật thể (Hình 3) được giới hạn bởi một bề mặt hình cầu nhất định. “Bề mặt hình cầu” là gì sẽ trở nên rõ ràng theo định nghĩa của nó: đây là quỹ tích hình học của tất cả các điểm trên bề mặt, khoảng cách từ đó đến một điểm nhất định (tâm) không vượt quá một số không âm nhất định gọi là bán kính. Như bạn có thể thấy, các khái niệm về hình tròn và bề mặt hình cầu là tương tự nhau, chỉ có không gian nơi chúng nằm là khác nhau. Nếu chúng ta mô tả một quả bóng trong không gian hai chiều, chúng ta sẽ có một hình tròn có ranh giới là một hình tròn (viền của quả bóng là một bề mặt hình cầu). Trong hình vẽ chúng ta thấy một bề mặt hình cầu có bán kính OA = OB.

Bóng đóng và mở

Trong không gian vectơ và không gian mêtric, hai khái niệm liên quan đến bề mặt cầu cũng được xem xét. Nếu quả bóng bao gồm quả cầu này thì gọi là đóng, nếu không thì gọi là quả bóng mở. Đây là những khái niệm “cao cấp” hơn; chúng được nghiên cứu ở các viện nghiên cứu như một phần của phần giới thiệu về phân tích. Đối với một điều đơn giản, ngay cả sử dụng trong gia đình Các công thức được học trong khóa học lập thể lớp 10-11 là đủ. Đây là những thứ mà hầu hết mọi người bình thường đều có thể truy cập được. người có học thức các khái niệm sẽ được thảo luận thêm.

Những khái niệm bạn cần biết cho các phép tính sau

Bán kính và đường kính.

Bán kính của quả bóng và đường kính của nó được xác định tương tự như đối với hình tròn.

Bán kính là đoạn nối bất kỳ điểm nào trên đường biên của quả bóng và điểm là tâm của quả bóng.

Đường kính là đoạn nối hai điểm trên ranh giới của quả bóng và đi qua tâm của nó. Hình 5a thể hiện rõ các đoạn nào là bán kính của quả bóng và Hình 5b thể hiện đường kính của hình cầu (các đoạn đi qua điểm O).

Các phần trong một hình cầu (quả bóng)

Bất kỳ phần nào của hình cầu là một hình tròn. Nếu đi qua tâm quả cầu thì gọi là hình tròn lớn (đường tròn đường kính AB), các đoạn còn lại gọi là hình tròn nhỏ (đường tròn đường kính DC).

Diện tích của các vòng tròn này được tính bằng các công thức sau:

Ở đây S là ký hiệu diện tích, R là bán kính, D là đường kính. Ngoài ra còn có một hằng số bằng 3,14. Nhưng đừng nhầm lẫn việc tính diện tích vòng tròn lớn họ sử dụng bán kính hoặc đường kính của chính quả bóng (quả cầu) và để xác định diện tích, cần phải có kích thước bán kính của hình tròn nhỏ.

Có thể vẽ được vô số phần như vậy đi qua hai điểm có cùng đường kính nằm trên đường biên của quả bóng. Ví dụ: hành tinh của chúng ta: hai điểm ở phía Bắc và Nam Cực, đâu là điểm kết thúc trục trái đất, và trong ý nghĩa hình học- các đầu của đường kính và các kinh tuyến đi qua hai điểm này (Hình 7). Tức là số vòng tròn lớn số lượng của một hình cầu có xu hướng vô cùng.

Bộ phận bóng

Nếu bạn cắt một “mảnh” khỏi hình cầu bằng một mặt phẳng nhất định (Hình 8), thì nó sẽ được gọi là đoạn hình cầu hoặc hình cầu. Nó sẽ có chiều cao - vuông góc từ tâm mặt phẳng cắt đến mặt cầu O 1 K. Điểm K trên mặt cầu nơi có độ cao được gọi là đỉnh đoạn hình cầu. Một đường tròn nhỏ có bán kính O 1 T (trong trong trường hợp này Theo hình vẽ, mặt phẳng không đi qua tâm hình cầu mà nếu tiết diện đi qua tâm thì đường tròn tiết diện sẽ lớn), được tạo thành khi cắt một đoạn hình cầu, sẽ gọi là đáy của mảnh bóng của chúng ta - một đoạn hình cầu.

Nếu chúng ta nối từng điểm cơ sở của một đoạn hình cầu với tâm của hình cầu, chúng ta sẽ có được một hình gọi là “khu vực hình cầu”.

Nếu hai mặt phẳng đi qua một hình cầu và song song với nhau thì phần hình cầu nằm giữa chúng được gọi là lớp hình cầu (Hình 9 cho thấy một hình cầu có hai mặt phẳng và một lớp hình cầu riêng biệt).

Bề mặt (phần được đánh dấu trong Hình 9 bên phải) của phần này của quả cầu được gọi là vành đai (một lần nữa, để hiểu rõ hơn, có thể rút ra một sự tương tự với quả địa cầu, cụ thể là với anh ấy vùng khí hậu- Bắc cực, nhiệt đới, ôn đới, v.v.), và các vòng tròn cắt ngang sẽ là đáy của lớp hình cầu. Chiều cao của lớp là một phần của đường kính được vẽ vuông góc với các mặt phẳng cắt tính từ tâm của các đế. Ngoài ra còn có khái niệm về một quả cầu hình cầu. Nó được hình thành khi các mặt phẳng song song với nhau không giao nhau với hình cầu mà chạm vào nó tại một điểm.

Công thức tính thể tích của quả bóng và diện tích bề mặt của nó

Quả bóng được hình thành bằng cách quay quanh đường kính cố định của hình bán nguyệt hoặc hình tròn. Để tính toán thông số khác nhauĐối tượng này sẽ không cần nhiều dữ liệu.

Thể tích của một hình cầu, công thức tính được đưa ra ở trên, được suy ra thông qua tích phân. Chúng ta hãy tìm ra nó từng điểm một.

Chúng ta xem xét một đường tròn trong mặt phẳng hai chiều, bởi vì, như đã đề cập ở trên, chính đường tròn là cơ sở cho cấu tạo của quả bóng. Chúng tôi chỉ sử dụng phần thứ tư của nó (Hình 10).

Chúng ta lấy một đường tròn có bán kính đơn vị và tâm ở gốc tọa độ. Phương trình của một vòng tròn như vậy trông giống như như sau: X 2 + Y 2 = R 2. Chúng ta biểu diễn Y từ đây: Y 2 = R 2 - X 2.

Hãy nhớ lưu ý rằng hàm thu được không âm, liên tục và giảm dần trên đoạn X (0; R), bởi vì giá trị của X trong trường hợp khi chúng ta xét một phần tư hình tròn nằm từ 0 đến giá trị của bán kính, nghĩa là bằng một.

Điều tiếp theo chúng ta làm là xoay vòng tròn một phần tư quanh trục x. Kết quả là chúng ta có được một bán cầu. Để xác định khối lượng của nó, chúng tôi sẽ sử dụng các phương pháp tích phân.

Vì đây chỉ là thể tích của một bán cầu nên ta nhân đôi kết quả, từ đó ta thấy thể tích của quả bóng bằng:

Sắc thái nhỏ

Nếu bạn cần tính thể tích của một quả bóng thông qua đường kính của nó, hãy nhớ rằng bán kính bằng một nửa đường kính và thay giá trị này vào công thức trên.

Bạn cũng có thể đạt được công thức tính thể tích của một quả bóng thông qua diện tích bề mặt tiếp giáp của nó - hình cầu. Chúng ta hãy nhớ lại rằng diện tích của một hình cầu được tính theo công thức S = 4πr 2, tích hợp mà chúng ta cũng đi đến công thức trên về thể tích của hình cầu. Từ các công thức tương tự, bạn có thể biểu thị bán kính nếu câu lệnh có chứa giá trị thể tích.