Hệ thống phương trình tuyến tính với hai ẩn số - đây là hai hoặc nhiều phương trình tuyến tính mà cần phải tìm tất cả chúng giải pháp chung. Chúng ta sẽ xét hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn số. Hình ảnh tổng quát của hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số được thể hiện trên hình dưới đây:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Ở đây x và y là các biến chưa biết, a1, a2, b1, b2, c1, c2 là một số số thực. Giải hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn số là một cặp số (x,y) sao cho nếu ta thay các số này vào các phương trình của hệ thì mỗi phương trình của hệ sẽ trở thành một đẳng thức thực. Có một số cách để giải hệ phương trình tuyến tính. Chúng ta hãy xem xét một trong những cách giải hệ phương trình tuyến tính, đó là phương pháp cộng.
Thuật toán giải bằng phương pháp cộng
Một thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính có hai ẩn số bằng phương pháp cộng.
1. Nếu được yêu cầu, bởi các phép biến đổi tương đương cân bằng các hệ số của một trong các biến chưa biết trong cả hai phương trình.
2. Bằng cách cộng hoặc trừ các phương trình thu được, thu được phương trình tuyến tính với một ẩn số
3. Giải phương trình thu được với một ẩn số và tìm một trong các biến.
4. Thay biểu thức thu được vào bất kỳ phương trình nào trong hai phương trình của hệ và giải phương trình này, thu được biến thứ hai.
5. Kiểm tra giải pháp.
Ví dụ về giải pháp sử dụng phương pháp cộng
Để rõ ràng hơn, chúng ta hãy giải hệ phương trình tuyến tính sau với hai ẩn số bằng phương pháp cộng:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Vì không có biến nào có hệ số giống hệt nhau nên chúng ta cân bằng các hệ số của biến y. Để làm điều này, nhân phương trình thứ nhất với ba và phương trình thứ hai với hai.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
chúng tôi nhận được hệ phương trình sau:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Bây giờ chúng ta trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai. Chúng tôi trình bày điều khoản tương tự và giải phương trình tuyến tính thu được.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào phương trình đầu tiên từ hệ thống ban đầu của chúng tôi và giải phương trình kết quả.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;
Kết quả là một cặp số x=6 và y=14. Chúng tôi đang kiểm tra. Hãy thực hiện một sự thay thế.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Như bạn có thể thấy, chúng ta có hai đẳng thức đúng, do đó, chúng ta đã tìm ra nghiệm đúng.
Hướng dẫn
Phương pháp bổ sung.
Bạn cần phải viết hai cái ngay dưới nhau:
549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Trong phương trình được chọn tùy ý (từ hệ thống), hãy chèn số 11 thay vì “trò chơi” đã tìm thấy và tính ẩn số thứ hai:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Đáp án của hệ phương trình này là x=116, y=11.
Phương pháp đồ họa.
Nó bao gồm việc tìm kiếm một cách thực tế tọa độ của điểm mà tại đó các đường thẳng được viết dưới dạng toán học trong một hệ phương trình. Đồ thị của cả hai đường phải được vẽ riêng biệt trong cùng một hệ tọa độ. Nhìn chung: – y=khx+b. Để dựng một đường thẳng, chỉ cần tìm tọa độ của hai điểm và chọn x tùy ý.
Giả sử hệ đã cho: 2x – y=4
Y=-3x+1.
Một đường thẳng được dựng bằng cách sử dụng đường thẳng đầu tiên, để thuận tiện nên viết nó ra: y=2x-4. Nghĩ ra các giá trị (dễ dàng hơn) cho x, thay nó vào phương trình, giải và tìm y. Chúng ta có hai điểm dọc theo đó một đường thẳng được xây dựng. (xem hình ảnh)
x 0 1
y -4 -2
Một đường thẳng được dựng bằng phương trình thứ hai: y=-3x+1.
Cũng xây dựng một đường thẳng. (xem hình ảnh)
năm 1 -5
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng dựng trên đồ thị (nếu các đường thẳng không cắt nhau thì hệ phương trình không có - vì vậy).
Video về chủ đề
Nếu cùng một hệ phương trình được giải bằng ba theo những cách khác nhau, câu trả lời sẽ giống nhau (nếu giải pháp đúng).
Nguồn:
- đại số lớp 8
- giải phương trình hai ẩn trực tuyến
- Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính với hai
Hệ thống phương trình là một tập hợp các bản ghi toán học, mỗi bản ghi chứa một số biến. Có một số cách để giải quyết chúng.
Bạn sẽ cần
- -thước kẻ và bút chì;
- -máy tính.
Hướng dẫn
Chúng ta hãy xem xét trình tự giải hệ thống, bao gồm các phương trình tuyến tính có dạng: a1x + b1y = c1 và a2x + b2y = c2. Trong đó x và y là các biến chưa biết và b,c là các số hạng tự do. Khi áp dụng phương pháp này, mỗi hệ biểu diễn tọa độ các điểm tương ứng với mỗi phương trình. Để bắt đầu, trong mỗi trường hợp, hãy biểu diễn một biến theo một biến khác. Sau đó đặt biến x thành bất kỳ số lượng giá trị nào. Hai là đủ. Thay thế vào phương trình và tìm y. Xây dựng một hệ tọa độ, đánh dấu các điểm kết quả trên đó và vẽ một đường thẳng qua chúng. Các tính toán tương tự phải được thực hiện cho các phần khác của hệ thống.
Hệ thống có giải pháp duy nhất, nếu các đường được xây dựng giao nhau và một điểm chung. Nó không tương thích nếu song song với nhau. Và nó có vô số giải pháp khi các đường thẳng hợp nhất với nhau.
Phương pháp nàyđược coi là rất trực quan. Nhược điểm chính là các ẩn số được tính toán có giá trị gần đúng. Một kết quả chính xác hơn được đưa ra bởi cái gọi là phương pháp đại số.
Bất kỳ nghiệm nào của hệ phương trình đều đáng được kiểm tra. Để thực hiện việc này, hãy thay thế các giá trị kết quả thay vì các biến. Bạn cũng có thể tìm ra giải pháp của nó bằng một số phương pháp. Nếu giải pháp của hệ thống là chính xác thì mọi người sẽ trở nên giống nhau.
Thường có những phương trình trong đó một trong các số hạng chưa được biết. Để giải phương trình các bạn cần nhớ và thực hiện với các số đã cho bộ cụ thể hành động.
Bạn sẽ cần
- - một tờ giấy;
- - bút hoặc bút chì.
Hướng dẫn
Hãy tưởng tượng trước mặt bạn có 8 con thỏ và bạn chỉ có 5 củ cà rốt. Nghĩ mà xem, bạn vẫn cần mua thêm cà rốt để mỗi con thỏ được một củ.
Hãy trình bày bài toán này dưới dạng phương trình: 5 + x = 8. Hãy thay số 3 vào vị trí của x. Thật vậy, 5 + 3 = 8.
Khi thay một số cho x, bạn làm tương tự như khi bạn lấy 8 trừ 5. Vì vậy, để tìm không rõ số hạng, trừ số hạng đã biết khỏi tổng.
Giả sử bạn có 20 con thỏ và chỉ có 5 củ cà rốt. Hãy làm lành nhé. Một phương trình là một đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nhất định của các chữ cái có trong nó. Những chữ cái cần tìm nghĩa được gọi là . Viết phương trình với một ẩn số, gọi nó là x. Khi giải bài toán về con thỏ, chúng ta nhận được phương trình sau: 5 + x = 20.
Hãy tìm sự khác biệt giữa 20 và 5. Khi trừ, số bị trừ là số bị giảm. Số bị trừ được gọi là , và kết quả cuối cùng gọi là sự khác biệt. Vậy x = 20 – 5; x = 15. Bạn cần mua 15 củ cà rốt cho thỏ.
Kiểm tra: 5 + 15 = 20. Phương trình được giải đúng. Tất nhiên, khi chúng ta đang nói vềĐối với những cái đơn giản như vậy thì không cần thiết phải thực hiện kiểm tra. Tuy nhiên, khi bạn có các phương trình có số có ba chữ số, bốn chữ số, v.v., bạn nhất định phải kiểm tra để chắc chắn tuyệt đối về kết quả làm bài của mình.
Video về chủ đề
Lời khuyên hữu ích
Để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần cộng số bị trừ vào hiệu.
Để tìm phần trừ chưa biết, bạn cần trừ đi phần chênh lệch từ số trừ.
Bài 4: Cách giải hệ phương trình ba phương trình với ba ẩn số
Một hệ ba phương trình với ba ẩn số có thể không có nghiệm dù có đủ số phương trình. Bạn có thể thử giải nó bằng phương pháp thay thế hoặc sử dụng phương pháp Cramer. Phương pháp của Cramer ngoài việc giải hệ còn cho phép đánh giá xem hệ có giải được hay không trước khi tìm giá trị của ẩn số.
Hướng dẫn
Phương pháp thay thế bao gồm tuần tự một ẩn số thông qua hai ẩn số khác và thay thế kết quả thu được vào các phương trình của hệ thống. Cho hệ ba phương trình cái nhìn tổng quát:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Biểu thị x từ phương trình thứ nhất: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - và thay thế vào phương trình thứ hai và thứ ba, sau đó biểu thị y từ phương trình thứ hai và thay thế vào phương trình thứ ba. Bạn sẽ nhận được biểu thức tuyến tính cho z thông qua các hệ số của hệ phương trình. Bây giờ hãy “ngược lại”: thay z vào phương trình thứ hai và giải tìm y, sau đó thay z và y vào phương trình thứ nhất và giải tìm x. Quá trình này thường được thể hiện trong hình trước khi tìm z. Viết thêm ở dạng tổng quát sẽ quá cồng kềnh; trong thực tế, bằng cách thay thế , bạn có thể dễ dàng tìm thấy cả ba ẩn số.
Phương pháp của Cramer bao gồm xây dựng một ma trận của hệ thống và tính định thức của ma trận này, cũng như ba phương pháp nữa ma trận phụ. Ma trận hệ thống bao gồm các hệ số cho các số hạng chưa biết của phương trình. Một cột chứa các số ở vế phải của phương trình, một cột chứa các vế phải. Nó không được sử dụng trong hệ thống, nhưng được sử dụng khi giải hệ thống.
Video về chủ đề
Xin lưu ý
Tất cả các phương trình trong hệ thống phải cung cấp thêm thông tin độc lập với các phương trình khác. Nếu không, hệ thống sẽ được xác định dưới mức và sẽ không thể tìm ra giải pháp rõ ràng.
Lời khuyên hữu ích
Sau khi giải hệ phương trình, thay các giá trị tìm được vào hệ ban đầu và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn tất cả các phương trình hay không.
Tự nó phương trình với ba không rõ có nhiều nghiệm nên thường được bổ sung bằng hai phương trình hoặc điều kiện nữa. Tùy thuộc vào dữ liệu ban đầu là gì, quá trình đưa ra quyết định sẽ phụ thuộc phần lớn.
Bạn sẽ cần
- - một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số.
Hướng dẫn
Nếu hai trong ba hệ thống chỉ có hai trong số ba ẩn số, hãy thử biểu diễn một số biến theo các biến khác và thay chúng thành phương trình với ba không rõ. Mục tiêu của bạn trong trường hợp này là biến nó thành bình thường phương trình với một người không quen biết. Nếu đây là , thì giải pháp tiếp theo khá đơn giản - thay giá trị tìm được vào các phương trình khác và tìm tất cả các ẩn số khác.
Một số hệ phương trình có thể được trừ từ phương trình này bằng phương trình khác. Xem liệu có thể nhân một trong hoặc một biến để loại bỏ hai ẩn số cùng một lúc hay không. Nếu có cơ hội như vậy, hãy tận dụng nó, rất có thể giải pháp tiếp theo sẽ không khó. Đừng quên rằng khi nhân với một số bạn phải nhân như bên trái, và cái đúng. Tương tự như vậy, khi trừ các phương trình, bạn phải nhớ rằng vế phải cũng phải bị trừ.
Nếu các phương pháp trước đó không hiệu quả, hãy sử dụng một cách tổng quát nghiệm của bất kỳ phương trình nào có ba không rõ. Để làm điều này, hãy viết lại các phương trình ở dạng a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Bây giờ hãy tạo ma trận các hệ số cho x (A), ma trận ẩn số (X) và ma trận các biến tự do (B). Xin lưu ý rằng bằng cách nhân ma trận các hệ số với ma trận ẩn số, bạn sẽ nhận được ma trận các số hạng tự do, nghĩa là A*X=B.
Tìm ma trận A lũy thừa (-1) bằng cách tìm đầu tiên , lưu ý là không nên bằng 0. Sau đó, nhân ma trận kết quả với ma trận B, kết quả bạn sẽ nhận được ma trận X mong muốn, cho biết tất cả các giá trị.
Bạn cũng có thể tìm nghiệm của hệ ba phương trình bằng phương pháp Cramer. Để làm điều này, hãy tìm định thức bậc ba ∆ tương ứng với ma trận hệ thống. Sau đó lần lượt tìm thêm ba định thức ∆1, ∆2 và ∆3, thay giá trị của các số hạng tự do thay cho giá trị của các cột tương ứng. Bây giờ hãy tìm x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Nguồn:
- Giải phương trình có ba ẩn số
Khi bắt đầu giải một hệ phương trình, hãy tìm hiểu xem chúng thuộc loại phương trình nào. Các phương pháp giải phương trình tuyến tính đã được nghiên cứu khá tốt. Các phương trình phi tuyến thường không được giải. Chỉ có một trường hợp đặc biệt, mỗi trường hợp thực tế là riêng lẻ. Vì vậy, việc nghiên cứu các kỹ thuật giải nên bắt đầu bằng các phương trình tuyến tính. Những phương trình như vậy thậm chí có thể được giải hoàn toàn bằng thuật toán.
mẫu số của những ẩn số được tìm thấy là hoàn toàn giống nhau. Có, và các tử số cho thấy một số mô hình trong cách xây dựng chúng. Nếu số chiều của hệ phương trình lớn hơn 2 thì phương pháp khử sẽ dẫn đến việc tính toán rất cồng kềnh. Để tránh chúng, chúng được thiết kế hoàn toàn phương pháp thuật toán giải pháp. Đơn giản nhất trong số đó là thuật toán Cramer (công thức của Cramer). Vì bạn nên tìm hiểu hệ thống chung phương trình từ n phương trình.
Hệ thống n tuyến tính phương trình đại số với n ẩn số có dạng (xem hình 1a). Trong đó aij là các hệ số của hệ,
xj – ẩn số, bi – số hạng tự do (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Một hệ thống như vậy có thể được viết gọn dưới dạng ma trận AX=B. Ở đây A là ma trận các hệ số của hệ, X là ma trận cột các ẩn số, B là ma trận cột các số hạng tự do (xem Hình 1b). Theo phương pháp của Cramer, mỗi ẩn số xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Định thức ∆ của ma trận hệ số được gọi là định thức chính và ∆i là định thức phụ. Đối với mỗi ẩn số, định thức phụ được tìm thấy bằng cách thay thế cột thứ i của định thức chính bằng cột chứa các số hạng tự do. Phương pháp Cramer cho trường hợp hệ thống bậc hai và bậc ba được trình bày chi tiết trong Hình 2. 2.
Hệ thống này là sự kết hợp của hai hoặc nhiều đẳng thức, mỗi đẳng thức chứa hai hoặc nhiều ẩn số. Có hai cách chính để giải hệ phương trình tuyến tính được sử dụng trong chương trình giảng dạy ở trường. Một trong số chúng được gọi là phương pháp, phương pháp còn lại - phương pháp cộng.
Dạng chuẩn của hệ hai phương trình
Tại mẫu chuẩn phương trình đầu tiên có dạng a1*x+b1*y=c1, phương trình thứ hai có dạng a2*x+b2*y=c2, v.v. Ví dụ, trong trường hợp có hai phần của hệ thống, cả hai đều cho a1, a2, b1, b2, c1, c2 đều là một số hệ số số được biểu diễn trong các phương trình cụ thể. Lần lượt, x và y đại diện cho những ẩn số có giá trị cần được xác định. Các giá trị cần thiết biến cả hai phương trình đồng thời thành sự bình đẳng thực sự.Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng
Để giải hệ, tức là tìm các giá trị của x và y sẽ biến chúng thành các đẳng thức thực sự, bạn cần thực hiện một số bước đơn giản. Cách đầu tiên là biến đổi một trong hai phương trình sao cho các hệ số số của biến x hoặc y trong cả hai phương trình có cùng độ lớn nhưng khác nhau về dấu.Ví dụ, cho một hệ gồm hai phương trình. Cái đầu tiên có dạng 2x+4y=8, cái thứ hai có dạng 6x+2y=6. Một trong những lựa chọn để hoàn thành nhiệm vụ là nhân phương trình thứ hai với hệ số -2, hệ số này sẽ dẫn đến dạng -12x-4y=-12. Việc lựa chọn đúng hệ số là một trong những nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình giải một hệ bằng phép cộng, vì nó xác định toàn bộ di chuyển thêm các thủ tục tìm ẩn số.
Bây giờ cần phải cộng hai phương trình của hệ. Rõ ràng, sự tiêu diệt lẫn nhau của các biến có hệ số bằng nhau về giá trị nhưng trái dấu sẽ dẫn đến dạng -10x=-4. Sau đó, cần phải giải phương trình đơn giản này, từ đó suy ra rõ ràng x = 0,4.
Bước cuối cùng trong quá trình giải là thay thế giá trị tìm được của một trong các biến vào bất kỳ đẳng thức ban đầu nào có sẵn trong hệ thống. Ví dụ: thay x=0,4 vào phương trình đầu tiên, bạn có thể nhận được biểu thức 2*0,4+4y=8, từ đó y=1,8. Do đó, x=0,4 và y=1,8 là nghiệm của hệ ví dụ.
Để đảm bảo rằng các nghiệm đã được tìm thấy chính xác, sẽ rất hữu ích khi kiểm tra bằng cách thay thế các giá trị tìm thấy vào phương trình thứ hai của hệ thống. Ví dụ, trong trong trường hợp này chúng ta nhận được đẳng thức có dạng 0,4*6+1,8*2=6, điều này đúng.
Video về chủ đề
Tài liệu trong bài viết này dành cho người lần đầu làm quen với hệ phương trình. Ở đây chúng tôi sẽ giới thiệu định nghĩa của hệ phương trình và nghiệm của nó, đồng thời xem xét các loại hệ phương trình phổ biến nhất. Như thường lệ, chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ giải thích.
Điều hướng trang.
Hệ phương trình là gì?
Chúng ta sẽ dần dần tiếp cận định nghĩa của hệ phương trình. Đầu tiên, hãy nói rằng thật thuận tiện khi đưa ra nó, chỉ ra hai điểm: thứ nhất, loại bản ghi và thứ hai, ý nghĩa được nhúng trong bản ghi này. Chúng ta hãy lần lượt xem xét chúng, sau đó khái quát hóa lý luận thành định nghĩa của hệ phương trình.
Hãy để có một vài người trong số họ ở phía trước của chúng tôi. Ví dụ: hãy lấy hai phương trình 2 x+y=−3 và x=5. Hãy viết chúng bên dưới cái kia và kết hợp chúng ở bên trái bằng dấu ngoặc nhọn:
Các bản ghi thuộc loại này, là một số phương trình được sắp xếp trong một cột và được nối ở bên trái bằng dấu ngoặc nhọn, là các bản ghi của hệ phương trình.
Những mục như vậy có ý nghĩa gì? Họ xác định tập hợp tất cả các nghiệm như vậy cho các phương trình của hệ thống là nghiệm của từng phương trình.
Sẽ không hại gì khi mô tả nó bằng cách khác. Giả sử rằng một số nghiệm của phương trình đầu tiên là nghiệm của tất cả các phương trình khác của hệ. Vì vậy, bản ghi hệ thống chỉ có nghĩa là chúng.
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng chấp nhận một cách thỏa đáng định nghĩa của một hệ phương trình.
Sự định nghĩa.
Hệ phương trình gọi các bản ghi là các phương trình nằm bên dưới phương trình kia, được nối ở bên trái bằng dấu ngoặc nhọn, biểu thị tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình cũng là nghiệm của từng phương trình của hệ.
Một định nghĩa tương tự được đưa ra trong sách giáo khoa, nhưng nó không được đưa ra ở đó cho trường hợp chung, và cho hai phương trình hữu tỉ với hai biến.
Các loại chính
Rõ ràng là có vô số phương trình khác nhau. Đương nhiên, cũng có vô số hệ phương trình được biên soạn bằng cách sử dụng chúng. Vì vậy, để thuận tiện cho việc nghiên cứu và làm việc với các hệ phương trình, nên chia chúng thành các nhóm theo những đặc điểm giống nhau, sau đó chuyển sang xem xét các hệ phương trình thuộc loại riêng lẻ.
Phép chia đầu tiên tự gợi ý bằng số lượng phương trình có trong hệ thống. Nếu có hai phương trình thì ta có thể nói rằng ta có hệ hai phương trình, nếu có ba phương trình thì ta có hệ ba phương trình, v.v. Rõ ràng là không có ý nghĩa gì khi nói về hệ thống một phương trình, vì trong trường hợp này, về bản chất, chúng ta đang xử lý chính phương trình đó chứ không phải hệ thống.
Việc phân chia tiếp theo dựa trên số lượng biến liên quan đến việc viết phương trình của hệ thống. Nếu có một biến, thì chúng ta đang xử lý hệ phương trình có một biến (họ cũng nói với một ẩn số), nếu có hai biến, thì với hệ phương trình có hai biến (có hai ẩn số), v.v. Ví dụ, 
là hệ phương trình hai biến x và y.
Điều này đề cập đến số lượng tất cả các biến khác nhau có liên quan đến việc ghi lại. Chúng không nhất thiết phải được đưa vào bản ghi của từng phương trình cùng một lúc; sự hiện diện của chúng trong ít nhất một phương trình là đủ. Ví dụ, 
là hệ phương trình ba biến x, y và z. Trong phương trình đầu tiên, biến x được biểu thị rõ ràng, còn y và z là ẩn (chúng ta có thể giả sử rằng các biến này bằng 0) và trong phương trình thứ hai có x và z, nhưng biến y không được biểu thị rõ ràng. Nói cách khác, phương trình đầu tiên có thể được xem là 
, và số thứ hai – dưới dạng x+0·y−3·z=0.
Điểm thứ ba mà các hệ phương trình khác nhau là loại phương trình.
Ở trường, việc nghiên cứu hệ phương trình bắt đầu bằng hệ hai phương trình tuyến tính hai biến. Nghĩa là, những hệ thống như vậy tạo thành hai phương trình tuyến tính. Dưới đây là một vài ví dụ: 
Và 
. Họ học những điều cơ bản khi làm việc với các hệ phương trình.
Khi quyết định thêm nhiệm vụ phức tạp Bạn cũng có thể gặp hệ ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.
Hơn nữa ở lớp 9, các phương trình phi tuyến được thêm vào hệ phương trình hai biến, hầu hết là toàn bộ phương trình bậc hai, ít thường xuyên hơn - nhiều hơn độ cao. Những hệ thống này được gọi là hệ thống phương trình phi tuyến, nếu cần, làm rõ số phương trình và ẩn số. Hãy để chúng tôi đưa ra các ví dụ về các hệ phương trình phi tuyến như vậy: 
Và .
Và sau đó trong các hệ thống cũng có, chẳng hạn như . Chúng thường được gọi đơn giản là hệ phương trình mà không chỉ rõ phương trình nào. Điều đáng lưu ý ở đây là hầu hết hệ phương trình thường được gọi đơn giản là “hệ phương trình” và chỉ làm rõ thêm nếu cần thiết.
Ở trường trung học, khi tài liệu được nghiên cứu, các dạng vô tỉ, lượng giác, logarit và phương trình hàm mũ
: 
, 
, 
.
Nếu chúng ta nhìn sâu hơn vào chương trình giảng dạy đại học năm thứ nhất, trọng tâm chính là nghiên cứu và giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE), tức là các phương trình trong đó vế trái chứa đa thức bậc một, và phía bên phải chứa những con số nhất định. Nhưng ở đó, không giống như trường học, họ không còn lấy hai phương trình tuyến tính hai biến nữa mà là một số phương trình tùy ý với bất kỳ số nào các biến, thường không khớp với số lượng phương trình.
Giải pháp cho một hệ phương trình là gì?
Thuật ngữ “giải hệ phương trình” đề cập trực tiếp đến hệ phương trình. Ở trường đưa ra định nghĩa giải hệ phương trình hai biến :
Sự định nghĩa.
Giải hệ phương trình hai biếnđược gọi là một cặp giá trị của các biến này biến mỗi phương trình của hệ thành phương trình đúng, hay nói cách khác là nghiệm của từng phương trình của hệ.
Ví dụ: một cặp giá trị biến x=5, y=2 (có thể viết là (5, 2)) là nghiệm của hệ phương trình theo định nghĩa, vì các phương trình của hệ khi x= 5, y=2 được thay thế vào chúng, trở thành chính xác đẳng thức số 5+2=7 và 5−2=3 tương ứng. Nhưng cặp giá trị x=3, y=0 không phải là nghiệm của hệ này, vì khi thay các giá trị này vào phương trình, giá trị đầu tiên trong chúng sẽ chuyển thành đẳng thức sai 3+0=7.
Các định nghĩa tương tự có thể được xây dựng cho các hệ thống có một biến, cũng như cho các hệ thống có ba, bốn, v.v. các biến.
Sự định nghĩa.
Giải hệ phương trình một biến sẽ có một giá trị của biến là nghiệm của mọi phương trình của hệ, tức là biến mọi phương trình thành các đẳng thức số đúng.
Hãy đưa ra một ví dụ. Xét hệ phương trình với một biến t có dạng 
. Số −2 là nghiệm của nó, vì cả hai (−2) 2 =4 và 5·(−2+2)=0 đều là các đẳng thức số thực. Và t=1 không phải là nghiệm của hệ, vì việc thay giá trị này sẽ cho hai đẳng thức sai 1 2 =4 và 5·(1+2)=0.
Sự định nghĩa.
Giải quyết một hệ thống với ba, bốn, v.v. biến gọi là ba, bốn, v.v. giá trị của các biến tương ứng, biến tất cả các phương trình của hệ thành các đẳng thức thực.
Như vậy, theo định nghĩa, bộ ba giá trị của các biến x=1, y=2, z=0 là nghiệm của hệ 
, vì 2·1=2, 5·2=10 và 1+2+0=3 là các đẳng thức số thực. Và (1, 0, 5) không phải là nghiệm của hệ này, vì khi thay các giá trị này của các biến vào phương trình của hệ, giá trị thứ hai của chúng trở thành đẳng thức sai 5·0=10, và thứ ba cũng vậy 1+0+5=3.
Lưu ý rằng hệ phương trình có thể không có nghiệm, chúng có thể có số cuối cùng nghiệm, ví dụ một, hai, ..., nhưng có thể có vô số nghiệm. Bạn sẽ thấy điều này khi bạn nghiên cứu sâu hơn về chủ đề này.
Khi tính đến các định nghĩa của hệ phương trình và nghiệm của chúng, chúng ta có thể kết luận rằng nghiệm của hệ phương trình là giao của các tập nghiệm của tất cả các phương trình của nó.
Để kết luận, đây là một vài định nghĩa liên quan:
Sự định nghĩa.
không khớp, nếu nó không có giải pháp, trong nếu không thì hệ thống được gọi là chung.
Sự định nghĩa.
Hệ phương trình được gọi là không chắc chắn, nếu nó có vô số nghiệm và chắc chắn, nếu nó có hữu hạn nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả.
Ví dụ, những thuật ngữ này được giới thiệu trong sách giáo khoa, nhưng chúng khá hiếm khi được sử dụng ở trường; chúng thường được nghe thấy nhiều hơn ở các cơ sở giáo dục đại học.
Tài liệu tham khảo.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 7 giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Đại số: Lớp 9: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovich A. G.Đại số. lớp 7. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 17, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Mordkovich A. G.Đại số. lớp 9. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần thứ 13, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu phân tích toán học. lớp 11. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông ( cấp độ hồ sơ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần 2, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01027-2.
- đại số và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: ốm - ISBN 5-09-013651-3.
- A. G. Kurosh. Khóa học đại số cao hơn.
- Ilyin V. A., Poznyak E. G. Hình học giải tích: Sách giáo khoa: Dành cho đại học. – tái bản lần thứ 5. – M.: Khoa học. Fizmatlit, 1999. – 224 tr. - (Tốt toán cao hơn và thảm. vật lý). – ISBN 5-02-015234 – X (Số 3)
Trước tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp khi số phương trình bằng số lượng biến, tức là m = n. Khi đó ma trận của hệ là ma trận vuông và định thức của nó được gọi là định thức của hệ.
Phương pháp ma trận nghịch đảo
Ta xét tổng quát hệ phương trình AX = B với không suy biến ma trận vuông A. Trong trường hợp này có ma trận nghịch đảo A -1. Hãy nhân cả hai vế với A -1 ở bên trái. Ta được A -1 AX = A -1 B. Do đó EX = A -1 B và
Đẳng thức cuối cùng là một công thức ma trận để tìm nghiệm của các hệ phương trình như vậy. Việc sử dụng công thức này được gọi là phương pháp ma trận nghịch đảo
Ví dụ: hãy sử dụng phương pháp này để giải hệ phương trình sau:
;
Khi kết thúc việc giải hệ, bạn có thể kiểm tra bằng cách thay các giá trị tìm được vào phương trình của hệ. Khi làm như vậy, chúng phải biến thành những đẳng thức thực sự.
Đối với ví dụ được xem xét, hãy kiểm tra:
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận vuông sử dụng công thức Cramer
Đặt n= 2:
Nếu chúng ta nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 22 và cả hai vế của phương trình thứ hai với (-a 12), rồi cộng các phương trình thu được, thì chúng ta loại bỏ biến x 2 khỏi hệ thống. Tương tự, bạn có thể loại bỏ biến x 1 (bằng cách nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với (-a 21) và cả hai vế của phương trình thứ hai với 11). Kết quả là, chúng tôi nhận được hệ thống:
Biểu thức trong ngoặc là định thức của hệ
Hãy biểu thị
Khi đó hệ sẽ có dạng:
Từ hệ thống thu được, suy ra rằng nếu định thức của hệ thống là 0 thì hệ thống sẽ nhất quán và xác định. Giải pháp duy nhất của nó có thể được tính bằng công thức:
Nếu = 0, a 1 0 và/hoặc 2 0 thì hệ phương trình sẽ có dạng 0*x 1 = 2 và/hoặc 0*x 1 = 2. Trong trường hợp này, hệ thống sẽ không nhất quán.
Trong trường hợp khi = 1 = 2 = 0, hệ sẽ nhất quán và không xác định (sẽ có vô số nghiệm), vì nó sẽ có dạng:
Định lý Cramer(ta sẽ bỏ phần chứng minh). Nếu định thức của ma trận của hệ phương trình không bằng 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất, được xác định bởi các công thức:
,
trong đó j là định thức của ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bằng cột chứa các số hạng tự do.
Các công thức trên được gọi là Công thức Cramer.
Ví dụ: hãy sử dụng phương pháp này để giải một hệ đã được giải trước đó bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:
Nhược điểm của các phương pháp được xem xét:
1) cường độ lao động đáng kể (tính các yếu tố quyết định và tìm ma trận nghịch đảo);
2) phạm vi giới hạn (đối với hệ thống có ma trận vuông).
Các tình huống kinh tế thực tế thường được mô hình hóa bằng các hệ thống trong đó số lượng phương trình và biến số khá đáng kể và có nhiều phương trình hơn biến số. Vì vậy, trong thực tế, phương pháp sau đây phổ biến hơn.
Phương pháp Gaussian (phương pháp loại bỏ tuần tự các biến)
Phương pháp này dùng để giải hệ m phương trình tuyến tính với n biến ở dạng tổng quát. Bản chất của nó nằm ở việc áp dụng một hệ các phép biến đổi tương đương cho ma trận mở rộng, nhờ đó hệ phương trình được chuyển đổi sang dạng mà các nghiệm của nó trở nên dễ tìm (nếu có).
Đây là kiểu mà bên trái phần trên Ma trận của hệ thống sẽ là ma trận bậc thang. Điều này đạt được bằng cách sử dụng các kỹ thuật tương tự đã được sử dụng để thu được ma trận bước nhằm xác định thứ hạng. Trong trường hợp này, các phép biến đổi cơ bản được áp dụng cho ma trận mở rộng, điều này sẽ cho phép người ta thu được hệ phương trình tương đương. Sau đó, ma trận mở rộng sẽ có dạng:
Lấy được ma trận như vậy gọi là thẳng về phía trước Phương pháp Gauss.
Việc tìm giá trị của các biến từ hệ phương trình tương ứng được gọi là ngược lại Phương pháp Gauss. Hãy xem xét nó.
Lưu ý rằng phương trình (m – r) cuối cùng sẽ có dạng:
Nếu ít nhất một trong các số 
không bằng 0 thì đẳng thức tương ứng sẽ sai và toàn bộ hệ thống sẽ không nhất quán.
Vì vậy, đối với bất kỳ hệ thống khớp 
. Trong trường hợp này, phương trình (m – r) cuối cùng cho bất kỳ giá trị nào của biến sẽ là đồng nhất thức 0 = 0 và chúng có thể bị bỏ qua khi giải hệ (chỉ cần loại bỏ các hàng tương ứng).
Sau này, hệ thống sẽ trông như sau:
Đầu tiên chúng ta xét trường hợp r=n. Khi đó hệ sẽ có dạng:
Từ phương trình cuối cùng của hệ, x r có thể được tìm thấy duy nhất.
Biết x r, chúng ta có thể biểu thị rõ ràng x r -1 từ nó. Khi đó, từ phương trình trước, biết x r và x r -1, chúng ta có thể biểu thị x r -2, v.v. lên đến x1.
Vì vậy, trong trường hợp này hệ thống sẽ được liên kết và xác định.
Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi r
Từ phương trình này, chúng ta có thể biểu thị biến cơ bản x r theo các biến không cơ bản:
Phương trình áp chót sẽ như sau:
Bằng cách thay thế biểu thức kết quả thay vì x r, sẽ có thể biểu thị biến cơ bản x r -1 theo các biến không cơ bản. Vân vân. đến biếnx 1 . Để có được nghiệm của hệ, bạn có thể đánh đồng các biến không cơ bản với các giá trị tùy ý, sau đó tính toán các biến cơ bản bằng cách sử dụng các công thức thu được. Như vậy, trong trường hợp này hệ thống sẽ nhất quán và không xác định (có vô số nghiệm).
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
Chúng ta sẽ gọi tập hợp các biến cơ bản cơ sở hệ thống. Chúng ta cũng sẽ gọi tập hợp các cột hệ số cho chúng cơ sở(cột cơ sở), hoặc thứ yếu cơ bản ma trận hệ thống. Giải pháp của hệ thống trong đó tất cả các biến không cơ bản đều bằng 0 sẽ được gọi là giải pháp cơ bản.
Trong ví dụ trước, nghiệm cơ bản sẽ là (4/5; -17/5; 0; 0) (các biến x 3 và x 4 (c 1 và c 2) được đặt bằng 0 và các biến cơ bản x 1 và x 2 được tính thông qua chúng). Để đưa ra một ví dụ về nghiệm không cơ bản, chúng ta cần đánh đồng x 3 và x 4 (c 1 và c 2) với các số tùy ý không đồng thời bằng 0 và tính các biến còn lại thông qua chúng. Ví dụ, với c 1 = 1 và c 2 = 0, chúng ta thu được nghiệm không cơ bản - (4/5; -12/5; 1; 0). Bằng cách thay thế, dễ dàng xác minh được rằng cả hai nghiệm đều đúng.
Rõ ràng là trong một hệ vô định có thể có vô số nghiệm không cơ bản. Có thể có bao nhiêu giải pháp cơ bản? Mỗi hàng của ma trận được chuyển đổi phải tương ứng với một biến cơ sở. Có n biến trong bài toán và r đường cơ sở. Do đó, số lượng tất cả các tập hợp biến cơ bản có thể có không thể vượt quá số tổ hợp của n nhân với 2. Nó có thể ít hơn 
, bởi vì không phải lúc nào cũng có thể chuyển đổi hệ thống sang dạng mà tập hợp các biến cụ thể này làm cơ sở.
Đây là loại gì? Đây là kiểu khi ma trận hình thành từ các cột hệ số cho các biến này sẽ được bậc thang, đồng thời sẽ gồm r hàng. Những thứ kia. hạng của ma trận hệ số đối với các biến này phải bằng r. Nó không thể lớn hơn vì số cột bằng nhau. Nếu nó nhỏ hơn r thì điều này cho thấy sự phụ thuộc tuyến tính của các cột vào các biến. Các cột như vậy không thể tạo thành cơ sở.
Hãy xem xét những giải pháp cơ bản khác có thể được tìm thấy trong ví dụ đã thảo luận ở trên. Để làm điều này, hãy xem xét tất cả các kết hợp có thể có của bốn biến, mỗi biến có hai biến cơ bản. Sẽ có những sự kết hợp như vậy 
, và một trong số chúng (x 1 và x 2) đã được xem xét.
Lấy các biến x 1 và x 3. Hãy tìm hạng của ma trận các hệ số của chúng:
Vì nó bằng hai nên chúng có thể là cơ bản. Chúng ta hãy đánh đồng các biến không cơ bản x 2 và x 4 bằng 0: x 2 = x 4 = 0. Khi đó từ công thức x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 suy ra x 1 = 4 /5, và từ công thức x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 thì x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Như vậy, ta thu được nghiệm cơ bản (4/5; 0; 17/5; 0).
Tương tự, bạn có thể thu được nghiệm cơ bản của các biến cơ bản x 1 và x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 và x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 và x 4 – (0; 0; 9; 4).
Các biến x 2 và x 3 trong ví dụ này không thể được coi là biến cơ bản, vì hạng của ma trận tương ứng bằng một, tức là. ít hơn hai:
.
Cũng có thể áp dụng một cách tiếp cận khác để xác định liệu có thể xây dựng cơ sở từ các biến số nhất định hay không. Khi giải ví dụ, do chuyển ma trận hệ sang dạng từng bước nên có dạng:
Bằng cách chọn các cặp biến, có thể tính được các phần tử tương ứng của ma trận này. Dễ dàng chứng minh rằng với tất cả các cặp ngoại trừ x 2 và x 3 thì chúng không bằng 0, tức là. các cột độc lập tuyến tính. Và chỉ dành cho các cột có biến x 2 và x 3 
, trong đó chỉ ra sự phụ thuộc tuyến tính của họ.
Hãy xem một ví dụ khác. Hãy giải hệ phương trình
Vì vậy, phương trình tương ứng với hàng thứ ba của ma trận cuối cùng là mâu thuẫn - dẫn đến đẳng thức sai 0 = -1, do đó hệ thống này không nhất quán.
Phương pháp Jordan-Gauss 3 là sự phát triển của phương pháp Gaussian. Bản chất của nó là ma trận mở rộng của hệ thống được chuyển đổi sang dạng trong đó các hệ số của các biến tạo thành ma trận đơn vị cho đến hoán vị của các hàng hoặc cột 4 (trong đó r là thứ hạng của ma trận hệ thống).
Hãy giải hệ thống bằng phương pháp này:
Xét ma trận mở rộng của hệ thống:
Trong ma trận này, chúng tôi chọn một phần tử đơn vị. Ví dụ: hệ số của x 2 trong ràng buộc thứ ba là 5. Hãy đảm bảo rằng các hàng còn lại trong cột này chứa số 0, tức là hãy làm cho cột đơn. Trong quá trình chuyển đổi chúng ta sẽ gọi đây là cộtdễ dãi(dẫn đầu, then chốt). Hạn chế thứ ba (thứ ba đường kẻ) chúng tôi cũng sẽ gọi dễ dãi. chính tôi yếu tố, đứng ở giao điểm của hàng và cột phân giải (ở đây là một), còn được gọi là dễ dãi.
Dòng đầu tiên chứa hệ số (-1). Để có số 0 ở vị trí của nó, hãy nhân dòng thứ ba với (-1) và trừ kết quả từ dòng đầu tiên (tức là chỉ cần cộng dòng đầu tiên với dòng thứ ba).
Dòng thứ hai chứa hệ số 2. Để có số 0 ở vị trí của nó, hãy nhân dòng thứ ba với 2 và trừ kết quả từ dòng đầu tiên.
Kết quả của việc chuyển đổi sẽ như sau:
Từ ma trận này, có thể thấy rõ rằng một trong hai hạn chế đầu tiên có thể bị xóa (các hàng tương ứng tỷ lệ thuận với nhau, tức là các phương trình này nối tiếp nhau). Hãy gạch bỏ, ví dụ, thứ hai:
Vì vậy, hệ thống mới có hai phương trình. Một cột đơn vị (giây) được lấy và đơn vị ở đây xuất hiện ở hàng thứ hai. Chúng ta hãy nhớ rằng phương trình thứ hai của hệ thống mới sẽ tương ứng với biến cơ bản x 2.
Hãy chọn một biến cơ sở cho hàng đầu tiên. Đây có thể là bất kỳ biến nào ngoại trừ x 3 (vì đối với x 3, ràng buộc đầu tiên có hệ số bằng 0, tức là tập hợp các biến x 2 và x 3 không thể cơ bản ở đây). Bạn có thể lấy biến đầu tiên hoặc thứ tư.
Hãy chọn x 1. Khi đó phần tử phân giải sẽ là 5 và cả hai vế của phương trình phân giải sẽ phải chia cho 5 để có được một trong cột đầu tiên của hàng đầu tiên.
Hãy đảm bảo rằng các hàng còn lại (tức là hàng thứ hai) có số 0 ở cột đầu tiên. Vì bây giờ dòng thứ hai không chứa 0 mà là 3, nên chúng ta cần trừ khỏi dòng thứ hai các phần tử của dòng đầu tiên được chuyển đổi, nhân với 3:
Từ ma trận kết quả, người ta có thể trích xuất trực tiếp một nghiệm cơ bản, đánh đồng các biến không cơ bản bằng 0 và các biến cơ bản thành số hạng tự do trong các phương trình tương ứng: (0,8; -3,4; 0; 0). Bạn cũng có thể rút ra công thức tổng quát biểu diễn các biến cơ bản thông qua các biến không cơ bản: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Các công thức này mô tả toàn bộ tập vô hạn nghiệm của hệ (xét x 3 và x 4 là số tùy ý, có thể tính x 1 và x 2).
Lưu ý rằng bản chất của các phép biến đổi ở từng giai đoạn của phương pháp Jordan-Gauss như sau:
1) đường phân giải được chia cho phần tử độ phân giải để có được đơn vị ở vị trí của nó,
2) từ tất cả các hàng khác, độ phân giải được chuyển đổi sẽ bị trừ đi, nhân với phần tử ở hàng đã cho trong cột độ phân giải, để có số 0 thay cho phần tử này.
Chúng ta hãy xem xét lại ma trận mở rộng đã biến đổi của hệ thống:
Từ bản ghi này rõ ràng là hạng của ma trận của hệ A bằng r.
Trong quá trình suy luận, chúng tôi đã xác định rằng hệ thống sẽ hợp tác khi và chỉ khi 
. Điều này có nghĩa là ma trận mở rộng của hệ thống sẽ có dạng:
Bằng cách loại bỏ các hàng 0, chúng ta thu được rằng hạng của ma trận mở rộng của hệ thống cũng bằng r.
Định lý Kronecker-Capelli. Một hệ phương trình tuyến tính là nhất quán khi và chỉ khi hạng của ma trận của hệ đó bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ đó.
Hãy nhớ lại rằng thứ hạng của ma trận bằng số lượng tối đa các hàng độc lập tuyến tính của nó. Từ đó, nếu hạng của ma trận mở rộng nhỏ hơn số phương trình thì các phương trình của hệ phụ thuộc tuyến tính và một hoặc nhiều trong số chúng có thể bị loại khỏi hệ (vì chúng là một phương trình tuyến tính). sự kết hợp của những cái khác). Hệ phương trình chỉ độc lập tuyến tính nếu hạng của ma trận mở rộng bằng số phương trình.
Hơn nữa, đối với các hệ phương trình tuyến tính đồng thời, có thể lập luận rằng nếu hạng của ma trận bằng số biến thì hệ có nghiệm duy nhất, còn nếu nó nhỏ hơn số biến thì hệ thống là vô thời hạn và có vô số nghiệm.
1Ví dụ: giả sử ma trận có năm hàng (thứ tự hàng ban đầu là 12345). Chúng ta cần thay đổi dòng thứ hai và dòng thứ năm. Để dòng thứ hai thay thế cho dòng thứ năm và “di chuyển” xuống dưới, chúng ta lần lượt thay đổi các dòng liền kề ba lần: dòng thứ hai và thứ ba (13245), dòng thứ hai và thứ tư (13425) và dòng thứ hai và thứ năm (13452) ). Sau đó, để hàng thứ năm thay thế hàng thứ hai trong ma trận ban đầu, cần phải “chuyển” hàng thứ năm lên trên chỉ bằng hai lần thay đổi liên tiếp: hàng thứ năm và thứ tư (13542) và hàng thứ năm và thứ ba. (15342).
2Số kết hợp từ n đến r 
họ gọi số lượng của tất cả các tập hợp con phần tử r khác nhau của một tập hợp phần tử n (những tập hợp có thành phần phần tử khác nhau được coi là các tập hợp khác nhau; thứ tự lựa chọn không quan trọng). Nó được tính bằng công thức: 
. 
0!=1.)
Chúng ta hãy nhớ lại ý nghĩa của dấu “!” (giai thừa):
3 Vì phương pháp này phổ biến hơn phương pháp Gaussian đã thảo luận trước đó và về cơ bản là sự kết hợp giữa các bước tiến và bước lùi của phương pháp Gaussian, nên đôi khi nó còn được gọi là phương pháp Gaussian, bỏ qua phần đầu tiên của tên. 
.
4Ví dụ,
5Nếu không có đơn vị nào trong ma trận hệ thống, thì có thể, chẳng hạn, chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho hai, và khi đó hệ số thứ nhất sẽ trở thành đơn vị; hoặc tương tự
Đáng tin cậy hơn phương pháp đồ họa được thảo luận trong đoạn trước.
Chúng tôi đã sử dụng phương pháp này ở lớp 7 để giải các hệ phương trình tuyến tính. Thuật toán được phát triển ở lớp 7 khá phù hợp để giải hệ hai phương trình bất kỳ (không nhất thiết là tuyến tính) với hai biến x và y (tất nhiên, các biến có thể được ký hiệu bằng các chữ cái khác, điều này không quan trọng). Trên thực tế, chúng ta đã sử dụng thuật toán này trong đoạn trước, khi bài toán về một số có hai chữ số dẫn đến một mô hình toán học, đó là một hệ phương trình. Chúng tôi đã giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thay thế (xem ví dụ 1 từ § 4).
Thuật toán sử dụng phương pháp thế khi giải hệ hai phương trình hai biến x, y.
1. Biểu thị y theo x từ một phương trình của hệ.
2. Thay biểu thức thu được thay cho y vào một phương trình khác của hệ.
3. Giải phương trình tìm được x.
4. Thay lần lượt từng nghiệm của phương trình tìm được ở bước thứ ba thay x vào biểu thức y đến x thu được ở bước đầu tiên.
5. Viết câu trả lời dưới dạng các cặp giá trị (x; y), tương ứng tìm được ở bước thứ ba và thứ tư.
4) Thay từng giá trị tìm được của y vào công thức x = 5 - 3. Nếu thì 
5) Cặp (2; 1) và nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Trả lời: (2; 1);
Phương pháp cộng đại số
Phương pháp này, giống như phương pháp thay thế, đã quen thuộc với bạn từ môn đại số lớp 7, nơi nó được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính. Chúng ta hãy nhớ lại bản chất của phương pháp bằng ví dụ sau.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
Hãy nhân tất cả các số hạng của phương trình thứ nhất của hệ với 3 và giữ nguyên phương trình thứ hai: 
Trừ phương trình thứ hai của hệ khỏi phương trình đầu tiên của nó:
Bằng phép cộng đại số của hai phương trình của hệ ban đầu, thu được một phương trình đơn giản hơn phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ đã cho. Với phương trình đơn giản hơn này, chúng ta có quyền thay thế bất kỳ phương trình nào của một hệ đã cho, chẳng hạn như phương trình thứ hai. Khi đó hệ phương trình đã cho sẽ được thay thế bằng hệ phương trình đơn giản hơn:
Hệ này có thể giải bằng phương pháp thay thế. Từ phương trình thứ hai chúng ta tìm được. Thay biểu thức này thay cho y vào phương trình đầu tiên của hệ, chúng ta nhận được.
Vẫn còn để thay thế các giá trị tìm thấy của x vào công thức
Nếu x = 2 thì
Vì vậy, chúng tôi tìm thấy hai giải pháp cho hệ thống: 
Phương pháp giới thiệu biến mới
Các bạn đã được làm quen với phương pháp đưa biến mới khi giải phương trình hữu tỉ với một biến trong môn đại số lớp 8. Bản chất của phương pháp giải hệ phương trình này là như nhau, nhưng từ quan điểm kỹ thuật, có một số tính năng mà chúng ta sẽ thảo luận trong các ví dụ sau.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
Hãy giới thiệu một biến mới khi đó phương trình đầu tiên của hệ có thể được viết lại dưới dạng đơn giản hơn: Giải phương trình này theo biến t:
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện và do đó là nghiệm của một phương trình hữu tỉ có biến t. Nhưng điều đó có nghĩa là nơi chúng ta tìm được x = 2y, hoặc
Do đó, bằng cách sử dụng phương pháp giới thiệu một biến mới, chúng tôi đã có thể “phân tầng” phương trình đầu tiên của hệ thống, có vẻ ngoài khá phức tạp, thành hai phương trình đơn giản hơn:
x = 2 y; y - 2x.
Tiếp theo là gì? Và khi đó, mỗi phương trình đơn giản thu được phải được xét lần lượt trong một hệ có phương trình x 2 - y 2 = 3 mà chúng ta vẫn chưa nhớ được. Nói cách khác, vấn đề nằm ở việc giải hai hệ phương trình:
Chúng ta cần tìm lời giải cho hệ thứ nhất, hệ thứ hai và đưa tất cả các cặp giá trị thu được vào đáp án. Giải hệ phương trình thứ nhất:
Hãy sử dụng phương pháp thay thế, đặc biệt là vì mọi thứ đã sẵn sàng cho nó ở đây: hãy thay biểu thức 2y thay vì x vào phương trình thứ hai của hệ. chúng tôi nhận được
Vì x = 2y nên ta lần lượt tìm được x 1 = 2, x 2 = 2. Như vậy thu được hai nghiệm của hệ đã cho: (2; 1) và (-2; -1). Giải hệ phương trình thứ hai:
Hãy sử dụng lại phương pháp thay thế: thay biểu thức 2x thay vì y vào phương trình thứ hai của hệ. chúng tôi nhận được
Phương trình này không có nghiệm, nghĩa là hệ phương trình không có nghiệm. Vì vậy, chỉ cần đưa các giải pháp của hệ thống đầu tiên vào câu trả lời.
Trả lời: (2; 1); (-2;-1).
Phương pháp đưa biến mới khi giải hệ hai phương trình hai biến được sử dụng ở hai phiên bản. Tùy chọn đầu tiên: một biến mới được giới thiệu và sử dụng chỉ trong một phương trình của hệ thống. Đây chính xác là những gì đã xảy ra trong ví dụ 3. Tùy chọn thứ hai: hai biến mới được đưa vào và sử dụng đồng thời trong cả hai phương trình của hệ thống. Đây sẽ là trường hợp trong ví dụ 4.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
Hãy giới thiệu hai biến mới:
Chúng ta hãy tính đến điều đó sau đó
Điều này sẽ cho phép bạn viết lại hệ thống đã cho ở dạng đơn giản hơn nhiều, nhưng đối với các biến mới a và b:
Vì a = 1 nên từ phương trình a + 6 = 2 ta tìm được: 1 + 6 = 2; 6=1. Như vậy, xét các biến a và b, ta có một nghiệm:
Trở lại các biến x và y ta thu được hệ phương trình
Ta áp dụng phép cộng đại số để giải hệ này:
Từ đó từ phương trình 2x + y = 3 ta tìm được:
Như vậy, đối với các biến x và y, ta có một nghiệm:
Chúng ta hãy kết thúc đoạn này bằng một cuộc thảo luận lý thuyết ngắn gọn nhưng khá nghiêm túc. Bạn đã có được một số kinh nghiệm trong việc giải các phương trình khác nhau: tuyến tính, bậc hai, hữu tỷ, vô tỷ. Bạn biết rằng ý tưởng chính của việc giải một phương trình là chuyển dần từ phương trình này sang phương trình khác, đơn giản hơn nhưng tương đương với phương trình đã cho. Trong đoạn trước chúng ta đã giới thiệu khái niệm về sự tương đương của phương trình hai biến. Khái niệm này cũng được sử dụng cho các hệ phương trình.
Sự định nghĩa.
Hai hệ phương trình với các biến x và y được gọi là tương đương nếu chúng có cùng nghiệm hoặc cả hai hệ đều không có nghiệm.
Cả ba phương pháp (thay thế, cộng đại số và đưa biến mới) mà chúng ta thảo luận trong phần này đều hoàn toàn đúng xét theo quan điểm tương đương. Nói cách khác, bằng cách sử dụng các phương pháp này, chúng ta thay thế hệ phương trình này bằng hệ phương trình khác, đơn giản hơn nhưng tương đương với hệ phương trình ban đầu.
Phương pháp đồ họa để giải hệ phương trình
Chúng ta đã học cách giải hệ phương trình theo những cách phổ biến và đáng tin cậy như phương pháp thay thế, phép cộng đại số và đưa vào các biến mới. Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại phương pháp mà bạn đã học ở bài trước. Tức là hãy nhắc lại những gì bạn biết về phương pháp giải đồ họa.
Phương pháp giải hệ phương trình bằng đồ họa bao gồm việc xây dựng đồ thị cho từng phương trình cụ thể có trong một hệ đã cho và nằm trong cùng một mặt phẳng tọa độ, cũng như nơi cần tìm giao điểm của các điểm của chúng. đồ thị. Để giải hệ phương trình này là tọa độ của điểm này (x; y).
Cần nhớ rằng thông thường một hệ đồ thị của các phương trình có một nghiệm đúng duy nhất hoặc vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét từng giải pháp này một cách chi tiết hơn. Và do đó, một hệ phương trình có thể có nghiệm duy nhất nếu các đường thẳng là đồ thị của phương trình của hệ đó cắt nhau. Nếu các đường thẳng này song song thì hệ phương trình như vậy hoàn toàn không có nghiệm. Nếu đồ thị trực tiếp của các phương trình của hệ trùng nhau thì hệ đó cho phép tìm được nhiều nghiệm.
Bây giờ chúng ta cùng xem thuật toán giải hệ hai phương trình với 2 ẩn số bằng phương pháp đồ thị:
Đầu tiên, đầu tiên chúng ta xây dựng đồ thị của phương trình thứ 1;
Bước thứ hai sẽ là xây dựng một biểu đồ liên quan đến phương trình thứ hai;
Thứ ba, chúng ta cần tìm các giao điểm của đồ thị.
Và kết quả là ta được tọa độ của từng giao điểm, đây sẽ là nghiệm của hệ phương trình.
Hãy xem xét phương pháp này chi tiết hơn bằng cách sử dụng một ví dụ. Ta được hệ phương trình cần giải:
Giải phương trình
1. Đầu tiên, chúng ta sẽ xây dựng đồ thị của phương trình này: x2+y2=9.
Nhưng cần lưu ý rằng đồ thị của các phương trình này sẽ là một hình tròn có tâm ở gốc tọa độ và bán kính của nó sẽ bằng ba.
2. Bước tiếp theo của chúng ta sẽ là vẽ đồ thị của một phương trình như: y = x – 3.
Trong trường hợp này, chúng ta phải dựng một đường thẳng và tìm các điểm (0;−3) và (3;0).
3. Hãy xem chúng ta có gì nào. Ta thấy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A và B.
Bây giờ chúng ta đang tìm tọa độ của những điểm này. Chúng ta thấy tọa độ (3;0) tương ứng với điểm A và tọa độ (0;−3) tương ứng với điểm B.
Và kết quả là chúng ta nhận được gì?
Các số (3;0) và (0;−3) thu được khi đường thẳng cắt đường tròn chính xác là nghiệm của cả hai phương trình của hệ. Và từ đó suy ra rằng những con số này cũng là nghiệm của hệ phương trình này.
Nghĩa là, đáp án của nghiệm này là các số: (3;0) và (0;−3).