Sự phụ thuộc tuyến tính Và độc lập tuyến tính vectơ.
Cơ sở của vectơ. Hệ tọa độ Affine

Có một xe đẩy sôcôla trong khán phòng và mỗi du khách hôm nay sẽ nhận được một cặp đôi ngọt ngào - hình học giải tích với đại số tuyến tính. Bài viết này sẽ bao gồm hai phần cùng một lúc. toán cao hơn và chúng ta sẽ xem chúng hoạt động như thế nào trong một gói. Hãy nghỉ ngơi, ăn Twix! ...chết tiệt, thật là một điều vô nghĩa. Mặc dù, được thôi, tôi sẽ không ghi điểm nhưng cuối cùng thì bạn cũng nên có thái độ tích cực trong việc học.

Sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ, độc lập vector tuyến tính, cơ sở của vectơ và các thuật ngữ khác không chỉ có ý nghĩa hình học mà trên hết còn có ý nghĩa đại số. Chính khái niệm về “vectơ” theo quan điểm đại số tuyến tính- đây không phải lúc nào cũng là vectơ “thông thường” mà chúng ta có thể mô tả trên mặt phẳng hoặc trong không gian. Bạn không cần phải tìm đâu xa để chứng minh, hãy thử vẽ một vectơ không gian năm chiều . Hoặc vectơ thời tiết mà tôi vừa đến Gismeteo để tìm: – nhiệt độ và áp suất khí quyển tương ứng. Tất nhiên, ví dụ này không chính xác xét từ quan điểm của các thuộc tính không gian vector, tuy nhiên, không ai cấm chính thức hóa các tham số này dưới dạng vectơ. Hơi thở của mùa thu...

Không, tôi sẽ không làm bạn nhàm chán với lý thuyết, không gian vectơ tuyến tính, nhiệm vụ là hiểuđịnh nghĩa và định lý. Các thuật ngữ mới (sự phụ thuộc tuyến tính, tính độc lập, tổ hợp tuyến tính, cơ sở, v.v.) áp dụng cho tất cả các vectơ theo quan điểm đại số, nhưng sẽ đưa ra các ví dụ hình học. Vì vậy, mọi thứ đều đơn giản, dễ tiếp cận và rõ ràng. Ngoài nhiệm vụ hình học giải tích chúng ta sẽ xem xét một số nhiệm vụ điển hìnhđại số Để nắm vững tài liệu, nên làm quen với các bài học Vector cho người giả Và Làm thế nào để tính định thức?

Sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập của vectơ phẳng.
Cơ sở mặt phẳng và hệ tọa độ affine

Hãy xem xét mặt phẳng của bạn bàn máy tính(chỉ cần một chiếc bàn, bàn cạnh giường ngủ, sàn nhà, trần nhà, bất cứ thứ gì bạn thích). Nhiệm vụ sẽ bao gồm các hành động sau:

1) Chọn cơ sở mặt phẳng. Nói một cách đại khái, một mặt bàn có chiều dài và chiều rộng, do đó, trực quan là cần có hai vectơ để xây dựng cơ sở. Một vectơ rõ ràng là không đủ, ba vectơ là quá nhiều.

2) Dựa trên cơ sở đã chọn thiết lập hệ tọa độ(lưới tọa độ) để gán tọa độ cho tất cả các đối tượng trên bàn.

Đừng ngạc nhiên, lúc đầu những lời giải thích sẽ nằm trên đầu ngón tay. Hơn nữa, về phía bạn. Hãy đặt ngón trỏ trái trên mép bàn để anh ấy nhìn vào màn hình. Đây sẽ là một vectơ. Bây giờ đặt ngón tay út tay phải trên cạnh bàn theo cách tương tự - sao cho nó hướng vào màn hình điều khiển. Đây sẽ là một vectơ. Cười lên, bạn trông thật tuyệt! Chúng ta có thể nói gì về vectơ? Vectơ dữ liệu thẳng hàng, có nghĩa là tuyến tínhđược thể hiện qua nhau:
, vâng, hoặc ngược lại: , trong đó một số khác 0.

Bạn có thể xem hình ảnh của hành động này trong lớp. Vector cho người giả, trong đó tôi đã giải thích quy tắc nhân một vectơ với một số.

Ngón tay của bạn có đặt chân đế trên mặt phẳng của bàn máy tính không? Rõ ràng là không. Các vectơ cộng tuyến di chuyển qua lại trên một mình hướng, và một mặt phẳng có chiều dài và chiều rộng.

Các vectơ như vậy được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Thẩm quyền giải quyết: Các từ “tuyến tính”, “tuyến tính” biểu thị thực tế là trong phương trình toán học, biểu thức không chứa hình vuông, hình khối, lũy thừa khác, logarit, sin, v.v. Chỉ có các biểu thức và phụ thuộc tuyến tính (cấp 1).

Hai vectơ phẳng phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng thẳng hàng.

Bắt chéo các ngón tay của bạn trên bàn sao cho có bất kỳ góc nào giữa chúng không phải là 0 hoặc 180 độ. Hai vectơ phẳngtuyến tính Không phụ thuộc khi và chỉ nếu chúng không thẳng hàng. Vì vậy, cơ sở đã đạt được. Không cần phải xấu hổ khi cơ sở hóa ra bị “nghiêng” với các vectơ không vuông góc có độ dài khác nhau. Chúng ta sẽ sớm thấy rằng không chỉ góc 90 độ là phù hợp cho cấu trúc của nó, mà không chỉ các vectơ đơn vị có độ dài bằng nhau

Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược mở rộng theo cơ sở:
, đâu là số thực. Những con số được gọi tọa độ vector trong cơ sở này.

Người ta cũng nói rằng vectơtrình bày như kết hợp tuyến tính vectơ cơ sở. Tức là biểu thức được gọi phân rã véc tơtheo cơ sở hoặc kết hợp tuyến tính các vectơ cơ sở.

Ví dụ, chúng ta có thể nói rằng vectơ được phân tách dọc theo cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng hoặc chúng ta có thể nói rằng nó được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

Hãy xây dựng định nghĩa cơ sở chính thức: Cơ sở của máy bayđược gọi là một cặp vectơ độc lập tuyến tính (không cộng tuyến), , trong khi bất kì vectơ phẳng là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở.

Một điểm thiết yếu của định nghĩa là thực tế là các vectơ được lấy V. theo một thứ tự nhất định . căn cứ - đây là hai căn cứ hoàn toàn khác nhau! Như người ta nói, bạn không thể thay thế ngón út của bàn tay trái bằng ngón út của bàn tay phải.

Chúng ta đã tìm ra cơ sở nhưng việc thiết lập lưới tọa độ và gán tọa độ cho từng mục trên bàn máy tính của bạn là chưa đủ. Tại sao nó không đủ? Các vectơ tự do và di chuyển khắp toàn bộ mặt phẳng. Vậy làm thế nào để bạn gán tọa độ cho những chỗ bẩn nhỏ còn sót lại trên bàn sau một ngày cuối tuần hoang dã? Một điểm khởi đầu là cần thiết. Và mốc như vậy là một điểm quen thuộc với mọi người - nguồn gốc của tọa độ. Hãy hiểu hệ tọa độ:

Tôi sẽ bắt đầu với hệ thống “trường học”. Đã có trong bài học giới thiệu Vector cho người giả Tôi đã nhấn mạnh một số khác biệt giữa hệ tọa độ hình chữ nhật và cơ sở trực giao. Đây là hình ảnh tiêu chuẩn:

Khi họ nói về hệ tọa độ chữ nhật, thì thông thường chúng có nghĩa là gốc tọa độ, trục tọa độ và chia tỷ lệ dọc theo các trục. Hãy thử gõ “hệ tọa độ hình chữ nhật” vào công cụ tìm kiếm, bạn sẽ thấy nhiều nguồn sẽ cho bạn biết về trục tọa độ quen thuộc từ lớp 5-6 và cách vẽ điểm trên mặt phẳng.

Mặt khác, có vẻ như hệ thống hình chữ nhật tọa độ có thể được xác định hoàn toàn thông qua cơ sở trực chuẩn. Và điều đó gần như đúng. Âm thanh của từ ngữ như sau:

nguồn gốc, Và trực giao cơ sở được thiết lập Hệ tọa độ mặt phẳng hình chữ nhật Descartes . Tức là hệ tọa độ chữ nhật chắc chắnđược xác định bởi một điểm và hai vectơ trực giao đơn vị. Đó là lý do tại sao bạn thấy hình vẽ mà tôi đưa ra ở trên - trong bài toán hình học Thông thường (nhưng không phải luôn luôn) cả vectơ và trục tọa độ đều được vẽ.

Tôi nghĩ mọi người đều hiểu rằng việc sử dụng một điểm (gốc) và một cơ sở trực chuẩn BẤT KỲ ĐIỂM NÀO trên mặt phẳng và BẤT CỨ Vectơ nào trên mặt phẳng tọa độ có thể được chỉ định. Nói một cách hình tượng, “mọi thứ trên một mặt phẳng đều có thể được đánh số”.

Họ có nghĩa vụ vectơ tọa độ bị cô lập? Không, chúng có thể có độ dài khác 0 tùy ý. Hãy xem xét điểm và hai vectơ trực giaođộ dài khác 0 tùy ý:

Cơ sở như vậy được gọi là trực giao. Gốc tọa độ với vectơ được xác định bởi lưới tọa độ và bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng, bất kỳ vectơ nào cũng có tọa độ của nó trong một cơ sở nhất định. Ví dụ, hoặc. Sự bất tiện rõ ràng là các vectơ tọa độ V. trường hợp chung có độ dài khác nhau ngoài sự thống nhất. Nếu độ dài bằng 1 thì thu được cơ sở trực chuẩn thông thường.

! Ghi chú : trong cơ sở trực giao, cũng như dưới đây trong các cơ sở affine của mặt phẳng và không gian, các đơn vị dọc theo trục được xem xét CÓ ĐIỀU KIỆN. Ví dụ: một đơn vị dọc theo trục x chứa 4 cm, một đơn vị dọc theo trục hoành chứa 2 cm. Thông tin này đủ để chuyển đổi tọa độ “không chuẩn” thành “cm thông thường của chúng ta”, nếu cần.

Và câu hỏi thứ hai, thực tế đã được trả lời, là liệu góc giữa các vectơ cơ sở có phải bằng 90 độ hay không? KHÔNG! Như định nghĩa nêu rõ, các vectơ cơ sở phải là chỉ không thẳng hàng. Theo đó, góc có thể là bất cứ thứ gì ngoại trừ 0 và 180 độ.

Một điểm trên mặt phẳng gọi là nguồn gốc, Và không thẳng hàng vectơ, , bộ hệ tọa độ mặt phẳng affine :

Đôi khi hệ tọa độ như vậy được gọi là xiên hệ thống. Ví dụ: hình vẽ hiển thị các điểm và vectơ:

Như bạn đã hiểu, hệ tọa độ affine thậm chí còn kém thuận tiện hơn; các công thức tính độ dài của vectơ và đoạn mà chúng ta đã thảo luận trong phần thứ hai của bài học, không hoạt động trong đó. Vector cho người giả, nhiều công thức ngon liên quan đến tích vô hướng của vectơ. Nhưng các quy tắc cộng vectơ và nhân vectơ với một số, công thức chia đoạn trong quan hệ này, cũng như một số loại bài toán khác mà chúng ta sẽ xem xét sau đây đều hợp lệ.

Và kết luận là trường hợp đặc biệt thuận tiện nhất của hệ tọa độ affine là hệ chữ nhật Descartes. Đó là lý do tại sao bạn thường xuyên phải gặp cô ấy nhất, bạn thân mến. ...Tuy nhiên, mọi thứ trong cuộc sống này đều là tương đối - có nhiều tình huống trong đó một góc xiên (hoặc một góc nào đó khác chẳng hạn, vùng cực) hệ tọa độ. Và người máy có thể thích những hệ thống như vậy =)

Hãy chuyển sang phần thực tế. Tất cả các bài toán trong bài này đều đúng cho cả hệ tọa độ chữ nhật và trường hợp affine tổng quát. Không có gì phức tạp ở đây; tất cả tài liệu đều có thể truy cập được ngay cả đối với một học sinh.

Làm thế nào để xác định độ cộng tuyến của vectơ phẳng?

Điều điển hình. Để có hai vectơ phẳng thẳng hàng thì tọa độ tương ứng của chúng tỉ lệ thuận với nhau Về cơ bản, đây là sự trình bày chi tiết theo từng tọa độ của mối quan hệ rõ ràng.

Ví dụ 1

a) Kiểm tra xem các vectơ có thẳng hàng không .
b) Các vectơ có phải là cơ sở không? ?

Giải pháp:
a) Hãy cùng tìm hiểu xem có tồn tại vectơ không hệ số tỷ lệ, sao cho các đẳng thức được thỏa mãn:

Tôi chắc chắn sẽ kể cho bạn nghe về phiên bản “dở hơi” của việc áp dụng quy tắc này, nó hoạt động khá hiệu quả trong thực tế. Ý tưởng là lập tức lập tỷ lệ và xem nó có đúng không:

Hãy lập một tỷ lệ từ các tỷ lệ tọa độ tương ứng của các vectơ:

Hãy rút ngắn:
, do đó tọa độ tương ứng tỷ lệ thuận, do đó,

Mối quan hệ có thể được thực hiện theo cách khác; đây là một lựa chọn tương đương:

Để tự kiểm tra, bạn có thể sử dụng thực tế là các vectơ cộng tuyến được biểu diễn tuyến tính qua nhau. TRONG trong trường hợp này có sự bình đẳng . Tính hợp lệ của chúng có thể được xác minh dễ dàng thông qua các phép toán cơ bản với vectơ:

b) Hai vectơ phẳng tạo thành một cơ sở nếu chúng không thẳng hàng (độc lập tuyến tính). Chúng tôi kiểm tra các vectơ cho sự cộng tuyến . Hãy tạo ra một hệ thống:

Từ phương trình thứ nhất suy ra , từ phương trình thứ hai suy ra , nghĩa là hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Do đó, tọa độ tương ứng của các vectơ không tỷ lệ thuận.

Phần kết luận: các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Phiên bản đơn giản hóa của giải pháp trông như thế này:

Hãy lập tỷ lệ từ tọa độ tương ứng của các vectơ :
, có nghĩa là các vectơ này độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Thông thường, tùy chọn này không bị người đánh giá từ chối, nhưng sẽ có vấn đề phát sinh trong trường hợp một số tọa độ bằng 0. Như thế này: . Hoặc như thế này: . Hoặc như thế này: . Làm thế nào để làm việc thông qua tỷ lệ ở đây? (thực sự, bạn không thể chia cho số 0). Chính vì lý do này mà tôi gọi giải pháp đơn giản hóa là “foppish”.

Trả lời: a) , b) hình thức.

Bé nhỏ ví dụ sáng tạo Vì quyết định độc lập:

Ví dụ 2

Tại giá trị nào của tham số là các vectơ liệu chúng có thẳng hàng không?

Trong dung dịch mẫu, thông số được tìm thấy thông qua tỷ lệ.

Có một cách đại số rất hay để kiểm tra tính cộng tuyến của các vectơ. Hãy hệ thống hóa kiến ​​thức của chúng ta và thêm nó vào điểm thứ năm:

Đối với hai vectơ phẳng các mệnh đề sau là tương đương:

2) các vectơ tạo thành một cơ sở;
3) các vectơ không thẳng hàng;

+ 5) định thức gồm tọa độ của các vectơ này khác 0.

Tương ứng, các phát biểu ngược lại sau đây là tương đương:
1) vectơ phụ thuộc tuyến tính;
2) vectơ không tạo thành cơ sở;
3) các vectơ thẳng hàng;
4) các vectơ có thể được biểu diễn tuyến tính qua nhau;
+ 5) định thức gồm tọa độ của các vectơ này, bằng 0 .

Tôi thực sự, thực sự hy vọng rằng ngay bây giờ bạn đã hiểu tất cả các điều khoản và tuyên bố bạn gặp phải.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn điểm thứ năm mới: hai vectơ phẳng là thẳng hàng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ đã cho bằng 0:. Tất nhiên, để áp dụng tính năng này, bạn cần có khả năng tìm yếu tố quyết định.

Hãy quyết định Ví dụ 1 theo cách thứ hai:

a) Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ của vectơ :
, nghĩa là các vectơ này thẳng hàng.

b) Hai vectơ phẳng tạo thành một cơ sở nếu chúng không thẳng hàng (độc lập tuyến tính). Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ :
, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở.

Trả lời: a) , b) hình thức.

Nó trông nhỏ gọn và đẹp hơn nhiều so với một giải pháp có tỷ lệ.

Với sự trợ giúp của tài liệu đã xem xét, có thể thiết lập không chỉ tính chất thẳng hàng của các vectơ mà còn có thể chứng minh tính song song của các đoạn thẳng và đường thẳng. Hãy xem xét một số vấn đề với các hình dạng hình học cụ thể.

Ví dụ 3

Các đỉnh của một tứ giác đã cho. Chứng minh tứ giác là hình bình hành.

Bằng chứng: Không cần tạo hình vẽ trong bài toán vì lời giải sẽ thuần túy mang tính phân tích. Hãy nhớ lại định nghĩa của hình bình hành:
Hình bình hành Tứ giác có các cạnh đối song song được gọi là tứ giác.

Vì vậy cần chứng minh:
1) sự song song của các cạnh đối diện và;
2) sự song song của các cạnh đối diện và.

Chúng tôi chứng minh:

1) Tìm các vectơ:

2) Tìm các vectơ:

Kết quả là cùng một vectơ (“kiểu trường học” - vectơ bằng nhau). Sự hợp tác là khá rõ ràng, nhưng tốt hơn hết là nên chính thức hóa quyết định một cách rõ ràng, có sự sắp xếp. Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ:
, có nghĩa là các vectơ này thẳng hàng và .

Phần kết luận: Các mặt đối diện các tứ giác song song thành từng cặp, có nghĩa là theo định nghĩa nó là hình bình hành. Q.E.D.

Thêm số liệu tốt và khác biệt:

Ví dụ 4

Các đỉnh của một tứ giác đã cho. Chứng minh tứ giác là hình thang.

Tất nhiên, để xây dựng chứng minh chặt chẽ hơn, tốt hơn hết là bạn nên lấy định nghĩa về hình thang, nhưng chỉ cần nhớ nó trông như thế nào là đủ.

Đây là một nhiệm vụ để bạn tự giải quyết. Giải pháp hoàn chỉnhở cuối bài học.

Và bây giờ là lúc di chuyển từ từ từ máy bay vào không gian:

Làm thế nào để xác định độ cộng tuyến của vectơ không gian?

Quy tắc này rất giống nhau. Để hai vectơ không gian thẳng hàng thì tọa độ tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau.

Ví dụ 5

Tìm hiểu xem các vectơ không gian sau có thẳng hàng hay không:

MỘT) ;
b)
V)

Giải pháp:
a) Hãy kiểm tra xem tọa độ tương ứng của các vectơ có hệ số tỷ lệ hay không:

Hệ không có nghiệm nên các vectơ không thẳng hàng.

“Đơn giản hóa” được chính thức hóa bằng cách kiểm tra tỷ lệ. Trong trường hợp này:
– tọa độ tương ứng không tỷ lệ, nghĩa là các vectơ không thẳng hàng.

Trả lời: các vectơ không thẳng hàng.

b-c) Đây là những điểm cho quyết định độc lập. Hãy thử nó theo hai cách.

Có một phương pháp kiểm tra tính cộng tuyến của vectơ không gian thông qua định thức bậc ba, phương pháp nàyđược đề cập trong bài viết Tích vectơ của vectơ.

Tương tự như trường hợp mặt phẳng, các công cụ được xem xét có thể được sử dụng để nghiên cứu tính song song của các đoạn không gian và đường thẳng.

Chào mừng đến với phần thứ hai:

Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập của vectơ trong không gian ba chiều.
Cơ sở không gian và hệ tọa độ affine

Nhiều mô hình mà chúng ta đã xem xét trên mặt phẳng sẽ có giá trị trong không gian. Tôi đã cố gắng giảm thiểu phần ghi chú lý thuyết vì chia sẻ của sư tử thông tin đã được nhai lại rồi. Tuy nhiên, tôi khuyên bạn nên đọc kỹ phần giới thiệu vì các thuật ngữ và khái niệm mới sẽ xuất hiện.

Bây giờ, thay vì mặt phẳng của bàn máy tính, chúng ta khám phá không gian ba chiều. Đầu tiên, hãy tạo cơ sở của nó. Bây giờ có người ở trong nhà, có người ở ngoài trời, nhưng dù thế nào đi nữa, chúng ta cũng không thể thoát khỏi ba chiều: chiều rộng, chiều dài và chiều cao. Vì vậy, để xây dựng một cơ sở sẽ phải mất ba vectơ không gian. Một hoặc hai vectơ là không đủ, vectơ thứ tư là thừa.

Và một lần nữa chúng tôi làm ấm ngón tay của mình. Hãy giơ tay lên và dang rộng ra các mặt khác nhau ngón tay cái, ngón trỏ và ngón giữa . Đây sẽ là các vectơ, chúng nhìn theo các hướng khác nhau, chúng có độ dài khác nhau và có góc độ khác nhau giữa họ. Xin chúc mừng, cơ sở của không gian ba chiều đã sẵn sàng! Nhân tiện, không cần phải chứng minh điều này với giáo viên, dù bạn có vặn ngón tay đến đâu nhưng cũng không thoát khỏi định nghĩa =)

Tiếp theo hãy hỏi vấn đề quan trọng, ba vectơ bất kỳ có tạo thành một cơ sở không không gian ba chiều ? Hãy ấn mạnh ba ngón tay lên mặt bàn máy tính. Chuyện gì đã xảy ra thế? Ba vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng và nói một cách đại khái, chúng ta đã mất một trong các chiều - chiều cao. Các vectơ như vậy là đồng phẳng và khá rõ ràng là cơ sở của không gian ba chiều không được tạo ra.

Cần lưu ý rằng các vectơ đồng phẳng không nhất thiết phải nằm trong cùng một mặt phẳng; chúng có thể nằm trong cùng một mặt phẳng. mặt phẳng song song(đừng làm điều này bằng ngón tay, chỉ có Salvador Dali mới làm được theo cách này =)).

Sự định nghĩa: vectơ được gọi là đồng phẳng, nếu có một mặt phẳng mà chúng song song với nó. Điều hợp lý khi nói thêm ở đây là nếu một mặt phẳng như vậy không tồn tại thì các vectơ sẽ không đồng phẳng.

Ba vectơ đồng phẳng luôn phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là chúng được biểu diễn tuyến tính thông qua nhau. Để đơn giản, chúng ta hãy tưởng tượng lần nữa rằng chúng nằm trong cùng một mặt phẳng. Thứ nhất, vectơ không chỉ đồng phẳng mà còn có thể thẳng hàng, khi đó bất kỳ vectơ nào cũng có thể biểu diễn qua bất kỳ vectơ nào. Trong trường hợp thứ hai, ví dụ, nếu các vectơ không thẳng hàng, thì vectơ thứ ba được biểu thị thông qua chúng theo một cách duy nhất: (và tại sao thì dễ đoán từ các tài liệu ở phần trước).

Điều ngược lại cũng đúng: ba vectơ không đồng phẳng luôn độc lập tuyến tính, nghĩa là chúng không được thể hiện qua nhau theo bất kỳ cách nào. Và rõ ràng, chỉ những vectơ như vậy mới có thể tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

Sự định nghĩa: Cơ sở của không gian ba chiềuđược gọi là bộ ba vectơ độc lập tuyến tính (không đồng phẳng), thực hiện theo một thứ tự nhất định và bất kỳ vectơ không gian nào cách duy nhấtđược phân rã trên một cơ sở nhất định, tọa độ của vectơ trong cơ sở này ở đâu

Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta cũng có thể nói rằng vectơ được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính các vectơ cơ sở.

Khái niệm hệ tọa độ được giới thiệu giống hệt như đối với trường hợp một điểm và ba tuyến tính bất kỳ; vectơ độc lập:

nguồn gốc, Và không đồng phẳng vectơ, thực hiện theo một thứ tự nhất định, bộ hệ tọa độ affine của không gian ba chiều :

Chắc chắn, lưới tọa độ“xiên” và bất tiện, tuy nhiên, hệ tọa độ được xây dựng cho phép chúng ta chắc chắn xác định tọa độ của bất kỳ vectơ nào và tọa độ của bất kỳ điểm nào trong không gian. Tương tự như mặt phẳng, một số công thức mà tôi đã đề cập sẽ không hoạt động trong hệ tọa độ affine của không gian.

Trường hợp đặc biệt quen thuộc và tiện lợi nhất của hệ tọa độ affine, như mọi người đoán, là hệ tọa độ không gian hình chữ nhật:

Một điểm trong không gian gọi là nguồn gốc, Và trực giao cơ sở được thiết lập Hệ tọa độ không gian hình chữ nhật Descartes . Hình ảnh quen thuộc:

Trước khi chuyển sang các công việc thực tế, chúng ta hãy hệ thống hóa lại thông tin một lần nữa:

Vì ba vectơ dấu cách các câu lệnh sau là tương đương:
1) các vectơ độc lập tuyến tính;
2) các vectơ tạo thành một cơ sở;
3) các vectơ không đồng phẳng;
4) các vectơ không thể được biểu diễn tuyến tính qua nhau;
5) định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này, khác 0.

Tôi nghĩ những tuyên bố ngược lại là có thể hiểu được.

Sự phụ thuộc/độc lập tuyến tính của vectơ không gian thường được kiểm tra bằng cách sử dụng định thức (điểm 5). Còn lại nhiệm vụ thực tế sẽ có tính chất đại số rõ rệt. Đã đến lúc treo cây gậy hình học và cầm cây gậy bóng chày của đại số tuyến tính:

Ba vectơ không gian là đồng phẳng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ đã cho bằng 0: .

Tôi muốn bạn chú ý đến một sắc thái kỹ thuật nhỏ: tọa độ của vectơ có thể được viết không chỉ theo cột mà còn theo hàng (giá trị của định thức sẽ không thay đổi vì điều này - xem tính chất của định thức). Nhưng nó tốt hơn nhiều trong các cột vì nó có lợi hơn cho việc giải quyết một số vấn đề thực tế.

Đối với những độc giả hơi quên phương pháp tính định thức, hoặc có thể hiểu rất ít về chúng, tôi xin giới thiệu một trong những bài học lâu đời nhất của tôi: Làm thế nào để tính định thức?

Ví dụ 6

Kiểm tra xem các vectơ sau có phải là cơ sở của không gian ba chiều hay không:

Giải pháp: Trên thực tế, toàn bộ lời giải đều bắt nguồn từ việc tính định thức.

a) Tính định thức được tạo thành từ tọa độ vectơ (định thức được biểu thị ở dòng đầu tiên):

, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính (không đồng phẳng) và tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

Trả lời: các vectơ này tạo thành một cơ sở

b) Đây là điểm để quyết định độc lập. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Gặp gỡ và nhiệm vụ sáng tạo:

Ví dụ 7

Tại giá trị nào của tham số thì các vectơ sẽ đồng phẳng?

Giải pháp: Các vectơ là đồng phẳng khi và chỉ khi định thức gồm tọa độ của các vectơ này bằng 0:

Về cơ bản, bạn cần giải một phương trình với định thức. Chúng ta lao xuống các số 0 như thả diều trên cá giật - tốt nhất là mở định thức ở dòng thứ hai và loại bỏ ngay các điểm trừ:

Chúng tôi thực hiện đơn giản hóa hơn nữa và giảm vấn đề thành phương trình tuyến tính đơn giản nhất:

Trả lời: Tại

Thật dễ dàng để kiểm tra ở đây; để làm điều này, bạn cần thay thế giá trị kết quả vào định thức ban đầu và đảm bảo rằng , mở nó lại.

Để kết luận, chúng ta hãy nhìn vào một cái nữa nhiệm vụ điển hình, có tính chất đại số nhiều hơn và thường được đưa vào tiến trình của đại số tuyến tính. Nó phổ biến đến mức nó xứng đáng có chủ đề riêng:

Chứng minh 3 vectơ là cơ sở của không gian ba chiều
và tìm tọa độ của vectơ thứ 4 trong cơ sở này

Ví dụ 8

Các vectơ được cho. Chứng minh rằng các vectơ tạo thành một cơ sở trong không gian ba chiều và tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở đó.

Giải pháp: Đầu tiên, hãy giải quyết điều kiện. Theo điều kiện, bốn vectơ đã cho và như bạn có thể thấy, chúng đã có tọa độ trên một số cơ sở. Cơ sở này là gì thì chúng tôi không quan tâm. Bạn có quan tâm không? điều tiếp theo: ba vectơ có thể hình thành một cơ sở mới. Và giai đoạn đầu hoàn toàn trùng khớp với lời giải của Ví dụ 6, cần kiểm tra xem các vectơ có thực sự độc lập tuyến tính hay không:

Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ vectơ:

, có nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính và tạo thành cơ sở của không gian ba chiều.

! Quan trọng : tọa độ vectơ nhất thiết viết ra thành cộtđịnh thức, không phải trong chuỗi. Nếu không, sẽ có sự nhầm lẫn trong thuật toán giải tiếp theo.

cơ sở(tiếng Hy Lạp cổ βασις, cơ sở) - một tập hợp các vectơ trong không gian vectơ sao cho bất kỳ vectơ nào trong không gian này có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ từ tập hợp này - vectơ cơ sở

Một cơ sở trong không gian Rn là một hệ bất kỳ từ N-vectơ độc lập tuyến tính. Mỗi vectơ từ R n không có trong cơ sở có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở, tức là trải rộng trên cơ sở.
Gọi là cơ sở của không gian R n và . Khi đó tồn tại các số λ 1, λ 2, …, λ n sao cho .
Các hệ số khai triển λ 1, λ 2, ..., λ n gọi là các tọa độ vectơ trong cơ sở B. Nếu cho cơ sở thì các hệ số vectơ được xác định duy nhất.

Bình luận. Trong mỗi N không gian vectơ chiều, bạn có thể chọn vô số cơ sở khác nhau. Trong các cơ sở khác nhau, cùng một vectơ có tọa độ khác nhau, nhưng là những cái duy nhất trong cơ sở được chọn. Ví dụ. Khai triển vectơ vào cơ sở của nó.
Giải pháp. . Hãy thay thế tọa độ của tất cả các vectơ và thực hiện các hành động trên chúng:

Cân bằng tọa độ, ta thu được hệ phương trình:

Hãy giải quyết nó: .
Vì vậy, chúng tôi có được sự phân hủy: .
Trong cơ sở, vectơ có tọa độ .

Kết thúc công việc -

Chủ đề này thuộc chuyên mục:

Khái niệm vectơ. Các phép toán tuyến tính trên vectơ

Vectơ là một đoạn có hướng có độ dài nhất định, nghĩa là đoạn có độ dài nhất định có một trong các điểm giới hạn của nó.

Nếu bạn cần tài liệu bổ sung về chủ đề này hoặc bạn không tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tìm kiếm trong cơ sở dữ liệu tác phẩm của chúng tôi:

Chúng ta sẽ làm gì với tài liệu nhận được:

Nếu tài liệu này hữu ích với bạn, bạn có thể lưu nó vào trang của mình trong mạng xã hội:

Cơ sở của không gian họ gọi một hệ vectơ như vậy trong đó tất cả các vectơ khác trong không gian có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ có trong cơ sở.
Trong thực tế, tất cả điều này được thực hiện khá đơn giản. Cơ sở, theo quy luật, được kiểm tra trên mặt phẳng hoặc trong không gian, và để làm được điều này, bạn cần tìm định thức của ma trận bậc hai, bậc ba bao gồm các tọa độ vectơ. Dưới đây được viết bằng sơ đồ điều kiện theo đó các vectơ tạo thành cơ sở

ĐẾN khai triển vectơ b thành các vectơ cơ sở
e,e...,e[n] cần tìm các hệ số x, ..., x[n] sao cho tổ hợp tuyến tính của các vectơ e,e...,e[n] bằng vectơ b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Vì điều này phương trình vectơ nên được chuyển đổi sang hệ thống phương trình tuyến tính và tìm giải pháp. Việc thực hiện này cũng khá đơn giản.
Các hệ số tìm được x, ..., x[n] được gọi là tọa độ của vectơ b trong cơ sở e,e...,e[n].
Hãy chuyển sang khía cạnh thực tế của chủ đề.

Phân tách một vectơ thành các vectơ cơ sở

Nhiệm vụ 1. Kiểm tra xem các vectơ a1, a2 có tạo thành cơ sở trên mặt phẳng không

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Giải: Ta soạn định thức từ tọa độ của vectơ và tính toán

Định thức không bằng 0, kể từ đây các vectơ độc lập tuyến tính, có nghĩa là chúng tạo thành một cơ sở.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Giải: Ta tính định thức gồm các vectơ

Định thức bằng 13 (không bằng 0) - từ đó suy ra các vectơ a1, a2 là cơ sở trên mặt phẳng.

---=================---

Chúng ta hãy xem các ví dụ điển hình của chương trình MAUP trong môn “Toán cao cấp”.

Nhiệm vụ 2. Chứng minh các vectơ a1, a2, a3 tạo thành cơ sở của không gian vectơ ba chiều và khai triển vectơ b theo cơ sở này (khi giải hệ phương trình tuyến tính phương trình đại số sử dụng phương pháp Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lời giải: Đầu tiên xét hệ vectơ a1, a2, a3 và kiểm tra định thức của ma trận A

được xây dựng trên các vectơ khác 0. Ma trận chứa một phần tử bằng 0, vì vậy sẽ thích hợp hơn khi tính định thức ở dạng biểu đồ ở cột đầu tiên hoặc hàng thứ ba.

Theo kết quả tính toán, chúng tôi thấy rằng định thức khác 0, do đó các vectơ a1, a2, a3 độc lập tuyến tính.
Theo định nghĩa, các vectơ tạo thành một cơ sở trong R3. Hãy viết đồ thị của vectơ b dựa trên

Các vectơ bằng nhau khi tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau.
Do đó, từ phương trình vectơ ta thu được hệ phương trình tuyến tính

Hãy giải quyết SLAE Phương pháp Cramer. Để làm được điều này ta viết hệ phương trình dưới dạng

Yếu tố quyết định chính SLAE luôn bằng định thức gồm các vectơ cơ sở

Vì vậy, trong thực tế nó không được tính hai lần. Để tìm các định thức phụ, chúng ta đặt một cột các số hạng tự do thay cho mỗi cột của định thức chính. Các yếu tố quyết định được tính bằng quy tắc tam giác



Hãy thay thế các định thức tìm được vào công thức Cramer



Vì vậy, khai triển của vectơ b theo cơ sở có dạng b=-4a1+3a2-a3. Tọa độ của vectơ b trên cơ sở a1, a2, a3 sẽ là (-4,3, 1).

2)a1(1; -5; 2), a2(2; 3; 0), a3(1; -1; 1), b(3; 5; 1).
Giải pháp: Chúng tôi kiểm tra các vectơ để tìm cơ sở - chúng tôi tạo định thức từ tọa độ của vectơ và tính toán nó

Định thức không bằng 0, do đó vectơ tạo thành một cơ sở trong không gian. Vẫn còn phải tìm lịch trình của vectơ b thông qua cơ sở này. Để làm điều này, chúng ta viết phương trình vectơ

và chuyển đổi sang hệ phương trình tuyến tính

Hãy viết nó ra phương trình ma trận

Tiếp theo, đối với công thức Cramer, chúng ta tìm các định thức phụ trợ



Chúng tôi áp dụng công thức Cramer



Vì vậy, một vectơ b đã cho có lịch trình đi qua hai vectơ cơ sở b=-2a1+5a3 và tọa độ của nó trong cơ sở bằng b(-2,0, 5).

Phép tính vectơ và ứng dụng của nó giá trị lớn có nhiệm vụ phân rã bao gồm việc biểu diễn một vectơ đã cho dưới dạng tổng của một số vectơ được gọi là các thành phần của một vectơ đã cho

vectơ. Bài toán này, nói chung có vô số nghiệm, sẽ hoàn toàn được xác định nếu chúng ta xác định một số phần tử của các vectơ thành phần.

2. Ví dụ về sự phân rã.

Chúng ta hãy xem xét một số trường hợp phân hủy rất phổ biến.

1. Phân tách một vectơ c đã cho thành hai vectơ thành phần, trong đó một vectơ a có độ lớn và hướng.

Vấn đề nằm ở việc xác định sự khác biệt giữa hai vectơ. Thật vậy, nếu các vectơ là thành phần của vectơ c thì đẳng thức phải thỏa mãn

Từ đây xác định được vectơ thành phần thứ hai

2. Phân tích vectơ c đã cho thành hai thành phần, trong đó một thành phần phải nằm trong mặt phẳng đã cho và thứ hai phải nằm trên một đường thẳng cho trước a.

Để xác định các vectơ thành phần, chúng ta di chuyển vectơ c sao cho điểm đầu của nó trùng với giao điểm của đường thẳng đã cho với mặt phẳng (điểm O - xem Hình 18). Từ điểm cuối của vectơ c (điểm C) vẽ đường thẳng tới

giao điểm với mặt phẳng (B là giao điểm), rồi từ điểm C vẽ đường thẳng song song

Các vectơ và sẽ là những vectơ mong muốn, tức là. Đương nhiên, có thể khai triển được chỉ định nếu đường thẳng a và mặt phẳng không song song.

3. Cho ba vectơ đồng phẳng a, b và c và các vectơ không thẳng hàng. Cần phải phân tích vectơ c thành các vectơ

Chúng ta hãy đưa cả ba vectơ đã cho về một điểm O. Khi đó, do tính đồng phẳng nên chúng sẽ nằm trong cùng một mặt phẳng. TRÊN vectơ đã cho với cách xây dựng một hình bình hành trên đường chéo, các cạnh của nó song song với đường tác dụng của các vectơ (Hình 19). Việc xây dựng này luôn có thể thực hiện được (trừ khi các vectơ thẳng hàng) và duy nhất. Từ hình. 19 rõ ràng là thế