“Uygunluk” kelimesi Rusçada oldukça sık kullanılır; bir şey arasındaki ilişki, bir bakıma tutarlılık, eşitlik anlamına gelir ( açıklayıcı sözlükÖzhegova).
Hayatta sıklıkla şunu duyarsınız: “Bu ders kitabı bu programa karşılık geliyor, ancak bu ders kitabı uymuyor (ancak başka bir programa karşılık gelebilir); Bu elma en yüksek dereceye tekabül ediyor ama bu yalnızca ilki.” Sınavdaki bu cevabın “mükemmel” notuna karşılık geldiğini, bu cevabın ise “iyi” notuna karşılık geldiğini söylüyoruz. Bu kişinin 46 beden kıyafete (uyma anlamında) uyduğunu söylüyoruz. Talimatlara uygun olarak bunu yapmalısınız, aksi halde yapmamalısınız. Numara arasında bir yazışma var. güneşli günler yıllık ve mahsul verimi.
Bu örnekleri analiz etmeye çalışırsanız, her durumda şunu fark edeceksiniz: hakkında konuşuyoruz yaklaşık iki nesne sınıfı ve aynı sınıftaki nesneler arasında şu şekilde kurulur: belirli kurallar başka bir sınıfın nesneleri ile bazı bağlantılar. Örneğin, belirli bir bedene uyan kıyafetler söz konusu olduğunda, nesnelerin bir sınıfı insanlar, diğer sınıftaki nesneler ise bazı nesnelerdir. doğal sayılar, giyim boyutlarının rolünü oynuyor. Örneğin doğal bir algoritma kullanarak - belirli bir elbiseyi deneyerek veya uygunluğunu "gözle" belirleyerek, uyumluluğun sağlanacağı kuralı belirleyebiliriz.
Aralarında yazışmanın kurulduğu nesne sınıflarının ve yazışmayı kurma kuralının tamamen tanımlandığı yazışmaları ele alacağız. Okulda bu tür yazışmaların çok sayıda örneği incelendi. Öncelikle bunlar elbette fonksiyonlardır. Herhangi bir işlev bir yazışma örneğidir. Aslında, örneğin işlevi düşünün en = X+ 3. Fonksiyonun tanım alanı hakkında özel olarak söylenmemişse, argümanın her sayısal değerinin olduğu kabul edilir. X karşılık gelir sayısal değer en kuralına göre bulunan: to X 3 eklemeniz gerekir. Bu durumda kümeler arasında yazışma kurulur R Ve R gerçek sayılar.
İki küme arasında bağlantı kurmanın X Ve e kümenin elemanlarından oluşan nesne çiftlerinin dikkate alınmasıyla ilişkili X ve kümenin karşılık gelen elemanları e.
Tanım. Uyumluluk setler arasında X Ve e Kartezyen çarpımın boş olmayan herhangi bir alt kümesini çağırın X ´ e.
Birçok X isminde kalkış alanı maçlar, ayarla e – varış alanı uyumluluk.
Kümeler arasındaki yazışmalar genellikle belirtilir büyük harflerle Latin alfabesi, Örneğin, R, S, T. Eğer R– kümeler arasında bazı yazışmalar X Ve e, o zaman yazışmanın tanımına göre, RÍ X´ e Ve R≠ Æ. Kümeler arasındaki zaman yazışmaları X Ve e Kartezyen çarpımın her alt kümesidir X ´ e yani sıralı çiftlerden oluşan bir küme ise, yazışmaları belirleme yöntemleri esas olarak kümeleri belirleme yöntemleriyle aynıdır. Yani eşleştirme R setler arasında X Ve eşunları ayarlayabilirsiniz:
a) tüm eleman çiftlerinin listelenmesi ( x, y) Î R;
b) belirten karakteristik özellik, tüm çiftlerin sahip olduğu ( x, y) setleri R ve onun elementi olmayan hiçbir çift ona sahip değildir.
ÖRNEKLER.
1) Uyumluluk R setler arasında X= (20, 25) ve e= (4, 5, 6) karakteristik özelliği belirtilerek belirtilir: “ Xçoklu en»,
X Î X, en Î e. Sonra birçok R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.
2) Uyumluluk R setler arasında X= (2, 4, 6, 8) ve
e= (1, 3, 5) bir dizi çift tarafından verilir R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.
Eğer R– iki kişi arasındaki yazışmalar sayısal kümeler X Ve e, ardından karşılık gelen tüm sayı çiftlerini gösterir R Açık koordinat düzlemi yazışma grafiği adı verilen bir şekil elde ederiz R. Tersine, koordinat düzlemindeki herhangi bir nokta alt kümesi, sayısal kümeler arasındaki bazı yazışmaların grafiği olarak kabul edilir. X Ve e.
Eşleşen grafik
Sonlu kümeler arasındaki yazışmaları görsel olarak görüntülemek için grafiklere ek olarak grafikler de kullanılır. (İtibaren Yunanca kelime“grapho” – yazarım, karşılaştırırım: grafik, telgraf).
Kümeler arasında bir yazışma grafiği oluşturmak için X Ve e kümelerin her birinin elemanları düzlemdeki noktalar olarak gösterilir, ardından oklar çizilir. X Î Xİle en Î e, eğer çiftse ( x, y) bu yazışmaya aittir. Sonuç, noktalar ve oklardan oluşan bir çizimdir.
ÖRNEK Yazışma R setler arasında X= (2, 3, 4, 5) ve e= (4, 9) çiftlerin listelenmesiyle verilir R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.
Aynı şekilde 4 tane de yazabilirsiniz. R 4, 3R 9. Ve genel olarak, eğer bir çift
(x, y) Î R, o zaman elementin olduğunu söylüyorlar X Î Xöğeyle eşleşiyor en Î e ve yaz xRу. Eleman 2 О X elemanın ters görüntüsü denir
4Î e uyumluluğa tabi R ve 4 olarak belirlenmiştir R-1 2. Benzer şekilde 4 yazabilirsiniz R -1 4, 9R -1 3.
Seçenek 1
№
X ve Y kümeleri arasındaki yazışma herhangi bir _________________________________ ___________________________________________________________________ X x Y'dir.
№2. Şekillerde kümeler arası uyumlar grafiklerle belirtilmiştir. Eşleşme tanımı alanının, eşleşme kaynağı kümesiyle çakışmadığı bir eşleşme grafiği belirtin.
№
1
) grafik, 2) grafik, 3) çiftlerin listesi, 4) karakteristik özellik
A 
) B) A<
B
№4. Hangi şekil ters yazışma grafiklerini göstermektedir?
A 
) b) c) d)
№5. M = (A, B, C, D, E) ve N = (1, 2, 3, 4, 5) kümeleri arasında Q: “element M Rus alfabesinde numaranın altına giriyor N " Belirt doğru ifadeler:
Setler M ve N eşit güçtedir.
Q yazışmasının tanım alanı, onun değer kümesiyle çakışır.
№6. (Pratik görev). A = (1, 2, 3, 4, 5) ve B = (2, 4, 6, 8,10) kümeleri arasında bir T yazışması belirtilir: “ A az B 2"ye kadar
T eşleşen çiftleri listeleyin
Verilenin tersi olan T -1 yazışmasını ayarlayın, çiftlerini listeleyin
Aynı koordinat sisteminde T ve T -1 arasındaki yazışma grafiklerini oluşturun
“Kümeler arasındaki yazışmalar” konusunu test edin
Seçenek 2
№1. Cümledeki eksik kelimeleri doldurun:
X ve Y kümeleri arasındaki yazışma bir __________________________ kümesidir ve bunun ilk bileşeni X kümesine _____________________ ve ikincisi ___________________'dır.
№2. Şekillerde kümeler arası karşılıklar grafiklerle belirtilmiştir. Eşleşme değeri kümesinin, eşleşme varış kümesiyle eşleştiği bir eşleşme grafiği sağlayın.
№3. Eşleştirme yönteminin adını ve görüntüsünü eşleştirin.
1), çiftlerin listelenmesi 2) karakteristik özellik, 3) grafik, 4) grafik
a) b) A<
B
c) P = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)
№4. Hangi şekil bire bir yazışma grafiğini göstermektedir?
A ) b) c) d)
№5. A = ( 1, 2, 3, 4, ) ve B = ( 2, 4, 6, 8, 9) kümeleri arasında bir Q yazışması belirtilir: “ A az B 3 kez." Lütfen doğru ifadeleri belirtin:
Yazışmalar birebirdir.
Yazışma " B Daha A 3 kere" bunun tersidir.
Q'nun eşleşen alanı, başlangıç kümesiyle çakışmıyor.
№6. (Pratik görev). M = (1, 2, 3, 4, 5) ve N = (1, 2, 4, 6, 8,10) kümeleri arasında bir T yazışması belirtilir: M 2 = N
Eşleşen T çiftlerini listeleyin.
Verilenin tersi T -1 yazışma çiftlerini listeleyin, grafiğini oluşturun.
Aynı koordinat sisteminde T ve T -1 arasındaki yazışma grafiklerini oluşturun.
“Kümeler arasındaki yazışmalar” konusunu test edin
Cevap tablosu.
Seçenek 1.
Seçenek 2.
Altküme; Kümelerin Kartezyen çarpımı
Sıralı çiftler; aittir; Y'yi ayarla
1d, 2a, 3c, 4b
1c, 2b, 3d, 4a
a, b
b,c
Değerlendirme kriteri:
№1 – 2 puan
№2 – 1 puan
№3 – 1 puan
№4 – 1 puan
№5 – 3 puan
№6 – 4 puan
Toplam 12 puan.
İşaretler:
12-11 puan – 5
10 – 9 puan – 4
8 – 6 puan – 3
6 puandan az – 2
Seçenek 1
№1. Cümledeki eksik kelimeleri doldurun:
X kümesindeki bir bağıntı herhangi bir _________________________________ _________________________________________________________________ X x X'tir.
№2. Verilen A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) kümesinde farklı ilişkiler:
Sütunları belirtin:
№
denklik ilişkisi.
sıra ilişkisi
Düzlemdeki düz çizgiler kümesinde paralellik ilişkisi
№
A ) b) c) d)
№5. Bir grup ev ve onların özellikleri üzerinde tanımlanan ilişkileri karşılaştırın:
"aynı sayıda kata sahip"
"daha fazla dairem var"
“2 yıl önce inşa edilecek”
Yansıma
Simetri
Antisimetri
Geçişlilik
№X daha yaşlı değil en", bir grup çocuk üzerinde tanımlandı. Bu ilişki düzenli bir ilişki midir?
Olga7 yaşında
Nikolay 8 yaşında
Valentine 9 yaşında
Anadolu 8 yaşında
Svetlana 7 yaşında
Peter 7 yaşında
“Kümeler arasındaki ilişkiler” konusunu test edin
Seçenek 2
№1. Cümledeki eksik kelimeleri doldurun:
Bir X kümesi üzerindeki ilişki, her iki bileşeni de X kümesine _____________________ olan bir __________________________ kümesidir.
№2. (2, 3, 5, 7, 9) kümesinde çeşitli ilişkiler verilmiştir:
Sütunları belirtin:
№
3. Grafiği kullanarak ilişkilerden hangilerinin olduğunu belirleyin:
sıra ilişkisi
N kümesindeki "küçük veya eşit" ilişkisi
№4. Hangi şekil kümeler arasındaki ilişkilerin grafiğini göstermektedir?
A ) b) c) d)
№5. Sınıftaki öğrenci kümesinde tanımlanan ilişkileri ve bunların özelliklerini karşılaştırın:
"aynı sokakta yaşıyoruz"
"1 yaş büyük ol"
"okula daha yakın yaşamak"
Yansıma
Simetri
Antisimetri
Geçişlilik
№6. (Pratik görev). Bir ilişki grafiği oluşturun " X ile aynı cinsiyete sahip en", bir grup çocuk üzerinde tanımlandı. Bu ilişki bir denklik ilişkisi midir?
olga
Nikolai
Sevgililer günü
Anadolu
Svetlana
Peter
“Kümeler arasındaki ilişkiler” konusunu test edin
Cevap tablosu.
Seçenek 1.
Seçenek 2.
Altküme; Bir kümenin Kartezyen çarpımı (Kartezyen kare)
Sıralı çiftler; ait olmak; X'i ayarla
1a, 2a, 3a,b, 4b, 5a, 6b, 7b
1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c
1a, 2b, 3a, d
1a,b,2c
a – 1, 2, 4; b-3, 4; c – 3
a – 1, 2, 4; b – 3, c – 3, 4
Değerlendirme kriteri:
№1 – 2 puan
№2 – 7 puan
№3 – 3 puan
№4 – 1 puan
№5 – 3 puan
№6 – 2 puan
Toplam 18 puan.
İşaretler:
18-17 puan – 5
16 – 13 puan – 4
12 – 9 puan – 3
9 puandan az – 2
Bir sistemdeki elemanların yakın bağlantısı fiziksel olarak veya daha doğrusu, doğal ilişkiler aralarında veya sistemin diğer temel özellikleri, örneğin insan toplumunun gelişimini karakterize eden ekonomik, sosyal.
Bu tür bağlantıların derinliği, ilgili sistem hiyerarşisindeki sistemin seviyesine bağlıdır. konu alanı incelenen konunun varlığı karmaşık nesne. Bağlantılar, hem sistemi oluşturan doğa ve toplum unsurları arasındaki genel ilişkileri hem de belirli sınırlı sayıdaki unsurlarla ilgili özel ilişkileri içerir. Yukarıdakilerle bağlantılı olarak, bu bağlantılara ya denir genel kanunlar doğa (esas) veya özel sınırlı sayıda olguyla ilgili (ampirik yasalar) ya da bazı tekrarlar şeklinde kendini gösteren eğilimlere kitle fenomeni ve aradım düzenlilikler.
Temel bağlantılara kanun denir. Hukuk, her şeyle ilişkili olarak evrensellik özelliği taşıyan felsefi bir kategoridir. doğal nesneler, fenomenler, olaylar. Bu bağlamda kanunun tanımı şu şekildedir: Bir yasa, herhangi bir olgu arasında temel, istikrarlı ve tekrarlanan bir ilişkidir.
Kanun, sistemlerin kendi aralarında belirli bir bağlantıyı ifade eder, kurucu unsurlar Nesnelerin ve olguların yanı sıra nesnelerin ve olguların kendi içindeki ilişkileri.
Her bağlantı kanun değildir. Gerekli ve tesadüfi olabilir, Kanun gerekli bir bağlantıdır. Uzayda bir arada var olan şeyler (genel anlamda maddi oluşumlar) arasındaki temel bağlantıyı ifade eder.
Yukarıda söylenen her şey aşağıdakiler için geçerlidir: işletme kanunları(varoluş doğal çevre veya insan tarafından yapay olarak yaratılmıştır). Ayrıca var gelişme yasaları olayların zaman içindeki eğilimini, yönünü veya sırasını ifade eder. Tüm doğa yasaları- insan eliyle yapılmazlar, dünyada nesnel olarak var olurlar, nesnelerin ilişkilerini ifade ederler ve aynı zamanda insan bilincine de yansırlar.
Daha önce de belirtildiği gibi yasalar genellik derecesine göre bölünmüştür. Evrensel yasalar felsefi yasalardır. Doğanın temel yasaları da genel olarak iki büyük sınıfa ayrılır. Çok sayıda veya hatta mutlak çeşitlilikte bilimler tarafından incelenen daha genel olanlara (bunlar, örneğin enerjinin ve bilginin korunumu yasalarını vb. içerir). Ve daha az genel kanunlar, şuna kadar uzanır: sınırlı alanlar, belirli bilimler (fizik, kimya, biyoloji) tarafından incelenir.
Ampirik yasalar, tüm teknik bilimleri içeren özel bilimler tarafından incelenir. Örnek olarak malzemelerin mukavemeti disiplinini verebiliriz. Disiplinin konularıyla ilgili deneysel verilere dayanarak, tüm temel yasaların ve ampirik yasaların uygulandığı konuları ve sistemleri inceler. mekanik gövdeler Hooke kanununa uyar: Bir cismin deformasyonu, cisme etki eden kuvvetle doğru orantılıdır (ve tersi).
İÇİNDE teknik bilimler daha spesifik konulara dayanan bölümler var ampirik bağlantılar aksiyom olarak kabul edilir.
Bazı yasalar katı bir niceliksel bağımlılık ifade eder ve sabittir matematiksel formüller diğerleri henüz resmileştirmeye uygun değilken, örneğin bir tür olayın diğerinin meydana gelmesi nedeniyle zorunlu niteliğini belirtir.
Bazı kanunlar - azimli, yani - yani nedensellik temelinde kurulurlar - soruşturma bağlantıları kesin niceliksel ilişkiler, diğerleri - istatistiksel Belirli koşullar altında bir olayın meydana gelme olasılığının belirlenmesi.
Doğada yasalar kendiliğinden oluşan bir güç gibi hareket eder. Ancak kanunları bilerek, amaca uygun olarak kullanılabilirler. pratik aktiviteler(Buhar motorlarındaki buhar basıncı kuvveti gibi, içten yanmalı motorlardaki sıkıştırılmış gaz kuvveti gibi).
Toplumsal-tarihsel yasalar doğa yasalarından pek farklı değildir ancak aralarında işlerler. düşünen insanlar. Bu yasaları bilmek yardımcı olur daha iyi organizasyon ekonomi ve toplum.
Bu nedenle doğa ve toplum yasalarının incelenmesi insanlığın birincil görevidir. Yalnızca yasaların bilgisi ve bunların doğru kullanımına yönelik önlemlerin geliştirilmesi, gelişen ve büyüyen insanlığa gıda ve onun var olabileceği yapay olarak yaratılmış koşulların ortamını sağlayabilir.
Ortaya çıkan yeni sorunları çözme hızı, rezervin miktarına bağlıdır. bilimsel bilgi insanlar için para biriktirdi şu anda nasıl işlendiği ve anlaşıldığı. Bilimsel bilgiyi anlamak formülasyona yol açar bilimsel problem Bunun çözümü, bu konu yelpazesindeki teorinin tamamlanmasına ve pratik konularda daha kesin sonuçların kullanılmasına yol açabilir. Bilimsel sorun- sadece açıklanan anlamda felsefi bir kategori değil, aynı zamanda nasıl olduğuna bağlı olarak pratik bir kategori teorik bilim ve insanların yaşamlarındaki pratik uygulaması.
Bir teorinin bütünlüğü için bilimsel bir problemin öneminin bu açıklayıcı kısmından tanımı şu şekildedir: bilimsel bir problem, herhangi bir olgunun, nesnenin, sürecin açıklanmasında karşıt konumlar şeklinde ortaya çıkan ve bir çözüm gerektiren çelişkili bir durumdur. çözmek için yeterli tek teori.
Başarılı bir çözüm için önemli bir ön koşul, doğru konumlandırma. Alınan bilgilerdeki çelişkileri görün ampirik bilgi bunlara dikkat etmek ve bu çelişkiyi ortadan kaldırma sorusunu gündeme getirmek, bilimsel bir sorunu çözmeye başlamak ve bilimi ilerlemeye doğru ilerletmek anlamına gelir. Bilimde, problemleri formüle edebilen kişilerin, formüle edilmiş problemi özel olarak çözen araştırmacılardan daha fazla saygı görmesi sebepsiz değildir. Yanlış problemlerin formüle edilmesi bilimde büyük durgunluğa yol açmaktadır.
“Bilimsel problem” kategorisi doğrudan kategoriyle ilgilidir. "varsayım". Hipotezler öncelikle bilimsel bir problemin çelişkilerini teorik olarak ortadan kaldırmak için kullanılır. Bu tür hipotezler (varsayımlar), eğer başarılı olursa, temel teorilere (Newton'un iki fiziksel cisim arasındaki çekim kuvveti hakkındaki varsayımı) bile dönüşebilir.
Hipotezler, belirli bir yapıya sahip oldukları ve incelenen nesnenin ve onun unsurlarının davranışını belirleyen faktörlerin etkileşim yönteminin bir tanımını temsil ettikleri teknik bilimlerde de kullanılır. Bu durumda hipotez denir. çalışma hipotezi, olduğu gibi bilimsel problem deneysel verilere dayanarak kanıtlanabilir veya reddedilebilir.
Dolayısıyla hipotez, kanıtlanmamış ancak olası görünen bir olgu, nesne veya olaydaki olası (olası) bir değişim modeli hakkında bir varsayımdır.
Hipotezin faydası, araştırmacıları problemleri formüle etmeye harekete geçirmesidir. deneysel çalışma Belirtilen hipotezin doğruluğunu kanıtlamak için. Ve eğer farklı bir sonuç elde edilirse, biriken materyal hipotezi düzeltmemize ve daha fazla bilimsel araştırma çalışması planlamamıza olanak sağlayacaktır.
Daha genel bir formülasyonla, bilimsel metodolojinin bir yöntemi olarak modelleme, incelenen nesne hakkında resmi olmayan anlamlı fikirlerden matematiksel modellerin kullanımına geçişten oluşur.
Aksiyomlar, teorem türetme kuralları ve yazışma kuralları temelinde elde edilen modellerin teorik düzeyi, ileri sürülen hipotezlerin analiz edilmesiyle elde edilen sonuçların formüle edilmesiyle hipotik-tümdengelimli hükümler temelinde daha da arttırılır. Bu durumda kullanılan matematiksel aygıt yalnızca yeni bilgi edinmenin bir aracıdır ve hiçbir şekilde nihai hedef metodolojik analiz.
Derleme için matematiksel model amacı yaratılmadan önce eksik olan bilgileri elde etmektir, yani. ortaya çıkan model buluşsal olmalıdır. Metodolojiyi dönüştüren şey bu eylemdir. deneysel bilim sonuçlarının pratikte doğrulanmasına olanak tanır.
Model ve özellikleri.
Resmileştirme mevcut bilgi incelenmekte olan sistem hakkında (modelin derleyicisi tarafından) sistemin gerekli özelliklerini elde etmek için bir model oluşturur: tutarlılık; bütünlük; aksiyom sisteminin bağımsızlığı; içerik. İyi bir örnek bu özelliklerin yerine getirilmesi, 19. yüzyılda Lobaçevski, Gauss, Bolyai'nin Öklid dışı geometri teorileridir. İtalyan Beltrami şunu gösterdi: gerçek bedenler, yüzeyinde Lobaçevski geometrisinin yasalarının karşılandığı yüzey.
İnsan bilgisinin teorik anlayışının şafağında, teorilerin gelişimi her zaman özel durumlardan genele doğru ilerledi. Günümüzde nesnelerin modellenmesine yönelik yöntemler matematiksel bir modelin yapılandırılmasına dayalı olarak ortaya çıkmıştır. Bu tür bilginin gelişim zinciri şu şekildedir: ters sıra. İlk olarak, incelenen olayın (nesnenin) aksiyomatik bir matematiksel açıklaması ortaya çıkar ve buna dayanarak formüle edilir. kavramsal model– paradigma. Bununla birlikte uyum ilkeleri de değişiyor. doğal süreçler Ve teorik şemalar(modeller). Modele göre hesaplama sonuçlarının deneylerin deneysel verileriyle basit bir tesadüfü yerine, şunu düşünüyoruz: karşılaştırmalı özellikler onların matematiksel algoritmalar diğer (dolaylı) parametrelerde sonuçlara ulaşmak. Bu ilkeler örneğin aşağıdaki ilkeleri içerir: sadelik ve güzellik bilimsel teoriler . Üstelik bu durumda model, yorumlamanın yanı sıra yeni bir matematiksel aparatla tanıtılmaktadır; Buradaki başlangıç noktası, deneyimde kendini gösteren belirli bir özü matematik dilinde açıklayabilen matematiksel formalizmdir. Deneysel doğrulamayı zorlaştıran da bu adımdır, çünkü yalnızca açıklama denklemi değil, aynı zamanda yorumu da deneyimle doğrulanmalıdır.
Girildi matematiksel aparat bu durumda, daha sonra teori ile deneyim arasında bir tutarsızlığa yol açabilecek yapıcı olmayan unsurlar içerir. Bunun tam olarak modernin özgüllüğü olduğuna dikkat edilmelidir. bilimsel araştırma. Öte yandan, modern bilimsel araştırmanın bu özelliği, önerilen umut verici aparatın bir kenara atılma olasılığını tehdit ediyor. Bunun olmasını önlemek için, konunun bu yönünü ayrı ayrı ele almak, deney temelindeki tutarsızlıkları ortadan kaldırmak gerekir (bir örnek olabilir: kuantum fiziği ve elektrodinamik).
Eski sistem klasik fizik yorumlar bilimsel gerçekler yaklaşık matematiksel olarak oluşturulmuş bir teorinin adım adım "yaratılmasına" dönüştü gerçek süreç orijinal modele. Araştırmacıları böyle bir eylem algoritmasına iten şeyin ne olduğu sorusu ortaya çıkıyor; Teorik bir tablo oluşturmanın bu yolunun dürtüleri nelerdir? Buna bilim metodolojisi çok kesin bir yanıt veriyor: Gerçeğin içsel değeri; yenilik değeri.
Yukarıdakilerin tümü aşağıdaki araştırma ilkeleri kullanılarak elde edilir: a) intihal yasağı; b) Gerekçelerin eleştirel revizyonunun kabul edilebilirliği bilimsel araştırma; c) hakikat karşısında herkesin (dahiler dahil) eşitliği; d) sahtecilik ve sahtekarlığın yasaklanması
Bunun bir örneği Einstein-Lorentz bağlantısıdır. O zamanlar resmi olmayan derecelendirmeye göre ilki o zamanlar daha az otoriterdi, ancak görelilik teorisinin unsurları şuna dönüştü: temel teori. .
Matematiksel modelleme üzerine çok sayıda çalışmaya rağmen, kesin kavramın formüle edilmesinde bazı zorluklar ortaya çıkmıştır. matematiksel modelleme. Onlar (modeller) ve içerikleri çok çeşitlidir. Genel olarak, modelden gerçeklikle karşılaştırmadan daha fazlasının gerekli olduğu açıktır: model mutlaka simüle edilen nesnelerin ve olayların özellikleri hakkında bilgi sağlamalıdır. Bu nedenle kabul edilebilir bir model tanımı, kısmi belirsizlikleri içermeyen bir tanım olmalıdır. Örneğin: belirli bir nesnenin modeli, orijinaliyle karşılaştırılan, modellenen ve belirli özellikler nesnenin seçilen özelliklerini belirli bir şekilde yansıtır (kaydeder).
Model bilinen her şeyi yansıtmalıdır (bazen bazı bilinen özellikler) bir nesne hakkında ve tahmin veya şekil yeni bilgi herhangi bir yeni varoluş koşulunda onun hakkında. Modellemenin amacı Böylece, - fonksiyon model tarafından dikkate alınan olayların bir açıklaması varsa temsil (açıklama). Bu durumda model bir teori görevi görür. Ve buna rağmen, modelin matematiksel (biçimsel) ve maddi yönleri arasındaki keskin zıtlık genellikle savunulamaz. Modelin oluşumunun spesifik yönünü dikkate alarak matematiğin şu şekilde hareket ettiğini özetleyebiliriz: en önemli araçÇalışma boyunca incelenen olgu hakkında anlamlı fikirler geliştirmek.
Konu 8. İlişkiler ve yazışmalar
Bir kümenin elemanları arasındaki ikili ilişki kavramı
Günlük yaşamda sürekli olarak iki nesne arasındaki ilişkiden bahsederiz. Örneğin, x yönetimde çalışıyor, x bir baba, x ve y arkadaş - bunlar insanlar arasındaki ilişkiler. Sayılar daha fazla sayı m, bir sayı y'ye bölünebilir, sayılar ve y 3'e bölündüğünde aynı kalanı verir - bunlar sayılar arasındaki ilişkilerdir.
Herhangi bir matematik teorisi, bir dizi nesne veya öğeyle ilgilenir. İnşa etmek matematiksel teori Yalnızca öğelerin kendilerine değil, aynı zamanda aralarındaki ilişkilere de ihtiyacımız var. Sayılar için ilişki kavramı anlamlıdır: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.
Bütün bu ilişkiler iki nesneyle ilgilidir. Bu yüzden bunlara ikili ilişkiler deniyor.
Belirli ilişkileri ele aldığımızda, her zaman belirli bir kümenin elemanlarından oluşan sıralı çiftlerle uğraşırız. Örneğin X = (2, 6, 10, 14) kümesinde dikkate alınan “x sayısı y sayısından 4 büyüktür” ilişkisi için bunlar (6,2), (10) sıralı ikilileri olacaktır. , 6), (14, 10 ). Bunlar Kartezyen çarpım X X'in bir alt kümesidir.
Tanım. Bir X kümesinin elemanları arasındaki ikili ilişki veya bir X kümesi üzerindeki ilişki, Kartezyen X X çarpımının herhangi bir alt kümesidir.
İkili ilişkiler genellikle belirtilir büyük harflerle Latin alfabesi: P, T, S, R, Q, vb. Yani, eğer P bir X kümesi üzerinde bir ilişki ise, o zaman P X X. P'deki çiftlerin tüm ilk elemanlarının kümesine P ilişkisinin tanım bölgesi denir. P ilişkisinin değerleri kümesi, P'den gelen çiftlerin tüm ikinci elemanlarının kümesidir.
Çoğu durumda kullanımı uygundur grafik görüntü ikili ilişki.
X kümesinin elemanları noktalarla temsil edilir ve oklar karşılık gelen elemanları birbirine bağlar, böylece (x,y)P(xPy) oluşursa ok noktalardan noktalara çizilir. Ortaya çıkan çizime P ilişki grafiği adı verilir ve X kümesinin elemanlarını temsil eden noktalar
grafiğin köşeleri.
Örneğin, X = (5, 10, 20, 30,40) kümesinde tanımlanan P: “sayı - sayının böleni” ilişkisinin grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 54.
Başlangıcı ve sonu aynı nokta olan bir grafiğin oklarına döngü denir. Eğer ilişki grafiği P'de tüm okların yönleri şu şekilde değiştirilirse:
tersi durumda, P'nin tersi olarak adlandırılan yeni bir ilişki elde edilecektir. P -1 ile gösterilir.
xPy yP -1 x olduğunu unutmayın.
İkili ilişkileri belirleme yöntemleri, özellikleri
X kümesinin elemanları arasındaki R ilişkisi, elemanları sıralı çiftlerden oluşan bir küme olduğundan, herhangi bir kümeyle aynı yollarla belirtilebilir. Çoğu zaman, X kümesindeki R ilişkisi, R ilişkisindeki eleman çiftlerinin karakteristik özelliği kullanılarak belirlenir. Bu özellik iki değişkenli bir cümle olarak formüle edilmiştir. Örneğin X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) kümesindeki ilişkiler arasında aşağıdakileri dikkate alabiliriz: “sayı daha az sayı
y 2 keredir”, “sayı u sayısının böleni” vb. Bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisi, X kümesinden alınan tüm eleman çiftlerinin listelenmesiyle de tanımlanabilir ve ilişkiyle bağlı
R.
Örneğin, (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, | 4), ardından sette |
X = (1, 2, 3, 4) bazılarını ayarlayacağız | |
davranış | R = ((x, y)| x X, y< y} . |
Aynı R ilişkisi bir grafik kullanılarak belirtilebilir (Şekil). Vurgulayalım en önemli özellikler ikili ilişkiler.
Tanım 1. Bir X kümesi üzerindeki R ilişkisine, eğer X kümesindeki her öğe kendisiyle bu ilişki içindeyse dönüşlü denir.
Kısaca konuşmak gerekirse bu tanımşu şekilde yazılabilir: R, herhangi bir x X için X xRx üzerinde dönüşlüdür.
Açıkçası, eğer bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisi dönüşlü ise, o zaman ilişki grafiğinin her köşesinde bir döngü vardır. Bunun tersi ifade de doğrudur.
Dönüşlü ilişkilere örnek olarak şu ilişkiler gösterilebilir: “düzlemdeki tüm üçgenler kümesinde eşit olmak”, “x ≤ y”.
Dönüşlülük özelliğine sahip olmayan ilişkilerin (örneğin, çizgilerin diklik ilişkisi) bulunduğunu unutmayın.
Tanım 2. Bir X kümesi üzerindeki R ilişkisine, eğer X'in herhangi bir elemanı için aşağıdaki koşul karşılanıyorsa simetrik denir: eğer x ve y, R ilişkisi içindeyse, o zaman y de bu ilişkidedir.
Kısaca: R, X xRy yRx üzerinde simetriktir.
Simetrik bir ilişki grafiği şu özelliğe sahiptir: Bir çift öğeyi birbirine bağlayan bir ok varsa, o zaman aynı öğeleri bağlayan ancak ters yöne giden ikinci bir ok da mutlaka vardır. Bunun tersi de doğrudur.
Simetrik ilişkilere örnek olarak şu ilişkiler gösterilebilir: “düzlemin tüm düz çizgileri kümesinde karşılıklı olarak dik olmak”, “düzlemin tüm dikdörtgenleri kümesinde benzer olmak”.
Tanım 3. X kümesindeki hiçbir öğe ve y için hem xRy hem de yRx'in aynı anda mevcut olması durumunda, X kümesindeki R ilişkisine asimetrik denir. Asimetrik ilişkiye bir örnek: “baba olmak” (eğer babaya ise, o zaman baba olamazsın).
Tanım 4. X kümesindeki R ilişkisine antisem-
Örneğin, tamsayılar kümesindeki "küçüktür" ilişkisi antisimetriktir.
Antisimetrik ilişki grafiğinin özel bir özelliği vardır: Grafiğin iki köşesi bir okla birbirine bağlıysa, o zaman yalnızca bir ok vardır. Bunun tersi ifade de doğrudur. Asimetri özelliği, antisimetri özelliği ile yansıma eksikliğinin birleşimidir.
Tanım 5. Bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisine, herhangi bir x, y, z X elemanı için aşağıdaki koşul karşılanıyorsa geçişli denir: eğer x, R ilişkisindeyse ve y, R cz ilişkisindeyse, o zaman x elemanı şu şekildedir: R'nin z elemanı ile ilişkisi içinde.
Kısaca: R, X xRy ve yRz xRz üzerinde geçişlidir.
Örneğin, bir düzlemdeki doğrular kümesinde tanımlanan "bir x doğrusu bir doğruya paraleldir" ilişkisi geçişlidir.
Geçişli ilişki grafiğinin özel bir özelliği vardır: x'ten ky'ye ve oty'den z'ye giden her ok çifti ile birlikte x'ten z'ye giden bir ok da içerir. Bunun tersi de doğrudur.
Geçişlilik özelliğine sahip olmayan ilişkilerin bulunduğunu unutmayın. Örneğin “rafta yan yana durmak” ilişkisi geçişli değildir.
Denklik ilişkisi
X bir grup insan olsun. Bu kümede şu yasayı kullanarak bir R ikili ilişkisini tanımlarız: aRb, eğer a ve b aynı yılda doğmuşsa.
R ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişlilik özelliklerine sahip olduğunu doğrulamak kolaydır. R ilişkisine eşdeğerlik ilişkisi denir.
Tanım 1. Bir X kümesi üzerindeki R ikili ilişkisi, dönüşlü, simetrik ve geçişli ise eşdeğerlik ilişkisi olarak adlandırılır.
Tekrar bir grup insan için kanunla tanımlanan R ilişkisine dönelim: a ve b aynı yılda doğmuşsa aRb.
Her a kişisiyle birlikte, aynı yıl sa'da doğan K a kişilerini düşünün. İki K a ve K b kümesinin hiçbiri yoktur ortak unsurlar veya tamamen çakışıyor.
Ka kümeleri kümesi, tüm insanlardan oluşan kümenin sınıflara bölünmesini temsil eder, çünkü yapısından iki koşulun karşılandığı sonucu çıkar: her kişi bir sınıfa dahildir ve her kişi yalnızca bir sınıfa dahildir. Her sınıfın aynı yılda doğan kişilerden oluştuğunu unutmayın.
Böylece, R eşdeğerlik ilişkisi, X kümesinin sınıflara (eşdeğerlik sınıfları) bir bölümünü oluşturur. Bunun tersi de doğrudur.
Teorem. X kümesindeki her eşdeğerlik ilişkisi, X kümesinin sınıflara (eşdeğerlik sınıfları) bölünmesine karşılık gelir. Kümelerin her bölümü, X kümesindeki bir denklik ilişkisine karşılık gelir.
Bu teoremi kanıt olmadan kabul ediyoruz.
Teoremden, bir kümenin sınıflara bölünmesi sonucu elde edilen her sınıfın, temsilcilerinden herhangi biri (biri) tarafından belirlendiği, bu da belirli bir kümenin tüm öğelerini incelemek yerine yalnızca koleksiyonun incelenmesini mümkün kıldığı sonucu çıkar. bireysel temsilciler her sınıf.
Sıra ilişkisi
Sürekli olarak sipariş ilişkilerini kullanırız günlük yaşam. Tanım 1. Her antisimetrik ve geçişli R ilişkisi
bazı X kümelerine sıra ilişkisi denir.
Üzerinde bir sıra ilişkisinin verildiği bir X kümesine sıralı küme denir.
X = (2, 4, 10, 24) kümesini alalım. “x büyüktür” ilişkisine göre sıralanır (Şekil 63).
Şimdi "x böler" düzeninin başka bir ilişkisini ele alalım.
y" (Şek. 64).
Bu incelemenin sonucu garip görünebilir. "x büyüktür" ve "x böler" ilişkileri X kümesini farklı şekillerde sıralar. X-büyük ilişkisi herhangi iki sayıyı karşılaştırmanıza olanak tanır
X kümesi. “x böler” ilişkisinin ise böyle bir özelliği yoktur. Yani 10 ve 24 sayı çiftinin bu ilişkiyle ilişkisi yoktur.
Tanım 2. Bir X kümesi üzerindeki R sıra ilişkisine ilişki denir doğrusal sıra, eğer şu özelliğe sahipse: u herhangi bir öğe için
X kümesi ya xRy ya da yRx'tir.
Üzerinde doğrusal sıra ilişkisi verilen bir X kümesine doğrusal sıralı denir.
Doğrusal olarak sıralanmış kümelerin bir takım özellikleri vardır. a, b, c, R doğrusal sıra ilişkisinin belirtildiği X kümesinin elemanları olsun. Eğer aRb ve bRc ise b elemanının a ve . elemanları arasında yer aldığını söyleriz.
Doğrusal olarak sıralanmış bir X kümesine, herhangi iki öğesi arasında yalnızca sonlu bir öğe kümesi bulunuyorsa ayrık küme denir.
Herhangi ikisi için ise çeşitli unsurlar Doğrusal sıralı X kümesinin arasında kümenin bir elemanı varsa, bu durumda X kümesine yoğun denir.
Kümeler arasındaki yazışma kavramı. Yazışmaları belirtme yöntemleri
X ve Y şeklinde iki küme verilsin. Her bir x X elemanı için eşleştiği Y elemanına belirtilirse, X ve Y kümeleri arasında bir yazışmanın kurulduğu söylenir.
Başka bir deyişle, X ve Y kümelerinin elemanları arasındaki yazışma, bu kümelerin X ve Y Kartezyen çarpımının herhangi bir G alt kümesidir: G X Y .
Bir eşleşme bir küme olduğundan, herhangi bir kümeyle aynı yöntemlerle belirtilebilir: tüm çiftleri (x, y) listeleyerek;
X ve Y kümeleri sonlu olduğunda, elemanlar arasındaki yazışmalar, X kümesinin elemanlarının sol sütuna ve Y kümesinin elemanlarının üst satıra yazıldığı bir tabloda belirtilebilir. G ile eşleşen öğe çiftleri, karşılık gelen sütun ve satırların kesişiminde olacaktır.
İki sonlu küme arasındaki yazışma bir grafik kullanılarak da gösterilebilir. X ve Y kümeleri oval olarak gösterilir, X ve Y kümelerinin elemanları noktalarla gösterilir ve karşılık gelen elemanlar oklarla bağlanır, böylece (x,y) G oluşursa ok noktalardan şu noktalara çizilir: puan.
Örneğin, Şekil 2'de gösterilen grafik. 16, “Yazar x eseri yazdı.” yazışmasını kurar.
Kümeler ve Y sayısal olduğunda, koordinat düzleminde G'nin bir karşılık gelme grafiğini oluşturmak mümkündür.
Yazışma verilenin tersidir. Bire bir yazışmalar
R, X = (1, 2, 4, 5, 6) kümelerinin elemanları arasındaki “Sayı sayıdan beş kat daha azdır” yazışması olsun ve
Y = (10, 5, 20, 13, 25).
Bu yazışmanın grafiği Şekil 2'deki gibi olacaktır. 23. Bu grafiğin oklarının yönünü şu şekilde değiştirirseniz:
tam tersi, daha sonra yeni yazışmanın bir grafiğini (Şekil 22) elde ederiz: "Y sayısı, x sayısından beş kat daha büyüktür".
Y ve X kümeleri arasında.
Bu yazışmalara ters yazışma denir
R'ye karşılık gelir ve R-1 ile gösterilir. | ||
Tanım. İzin vermek | R - uyumluluk | |
X ve Y kümelerinin elemanları. Uyumluluk R-1 | ||
Y ve X kümelerinin elemanlarına verilenin tersi denir, |
||
(y, x) olduğunda R -1 ancak ve ancak (x, | y) R. |
|
R ve R-1 yazışmalarına karşılıklı olarak ters denir. | ||
X ve Y kümeleri sayısal ise grafik | ||
yazışma R -1 , yazışmanın tersi R, aşağıdakilerden oluşur | ||
puan, simetrik noktalar R yazışma grafikleri | ||
birincinin açıortayına göre ve | üçüncü | |
açıları koordine edin.
Bir durum hayal edelim: Oditoryumda her koltukta bir seyirci var ve her seyirci için bir yer var. Bu durumda set arasında şunu söylüyorlar:
Oditoryumdaki koltuklar ve seyircilerin çokluğu birebir yazışmalar kurmuştur.
Tanım. X ve Y şeklinde iki küme verilsin. X kümesinin her öğesinin Y kümesinin tek bir öğesine karşılık geldiği ve Y kümesinin her öğesinin X kümesinden yalnızca bir öğeye karşılık geldiği X ve Y kümelerinin öğeleri arasındaki yazışmalara bire bir denir.
Bire bir yazışma örneklerine bakalım. Örnek 1. Her okulda, her sınıfta
harika bir dergiye karşılık gelir. Bu yazışmalar birebirdir.
Örnek 2. Verilen ABC üçgeni (Şekil 25).A 1 C 1 üçgenin orta çizgisi. X, A 1 C 1 doğru parçası üzerindeki noktaların kümesi olsun, Y ise AC üzerindeki noktaların kümesi olsun.
A 1 C 1 bölümünün rastgele bir x noktasını üçgenin B köşesine düz bir çizgi parçasıyla bağlarız ve
AC ile nokta noktasında kesişene kadar devam edelim. Bu şekilde oluşturulan nokta ile noktaları eşleştirelim. Bu durumda X ve Y kümeleri arasında bire bir yazışma kurulacaktır.
Tanım. Eğer aralarında bir şekilde bire bir uygunluk kurulabiliyorsa, X ve Y kümelerine eşdeğer veya eşit derecede güçlü kümeler denir. İki kümenin denkliği şu şekilde gösterilir: X ~ Y.
Güç kavramı nicelik kavramının genelleştirilmesidir. Bu, miktar kavramının sonsuz kümelere genişletilmesidir.
Matematiksel bir teori oluşturmak için yalnızca öğelerin kendilerine değil, aynı zamanda aralarındaki ilişkilere de ihtiyacınız vardır. Sayılar için eşitlik kavramı anlamlıdır: a = b. A ve b sayıları farklıysa, öyle mi? b ise a > b veya a mümkündür
İki düz düzlem dik, paralel veya belirli bir açıda kesişebilir.
Bütün bu ilişkiler iki nesneyle ilgilidir. Bu yüzden bunlara ikili ilişkiler deniyor.
Matematikteki nesneler arasındaki ilişkileri incelemek için ikili ilişkiler teorisi oluşturuldu.
Belirli ilişkileri ele aldığımızda, her zaman belirli bir kümenin elemanlarından oluşan sıralı çiftlerle uğraşırız. Örneğin X = (2, 6, 10, 14) kümesinde dikkate alınan “4’ten büyük” ilişkisi için bunlar (2, 6), (6, 10), (10, 14) ve “bölünmüş” ilişkiler için - (6, 2), (10, 2), (14, 2).
“4'ten büyük”, “bölünebilir” ilişkilerini tanımlayan çiftler kümesinin Kartezyen çarpımın alt kümeleri olduğu belirtilebilir.
X' X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).
Tanım 1. Bir X kümesinin elemanları arasındaki ikili ilişki veya bir X kümesi üzerindeki ilişki, X ` X Kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesidir.
İkili ilişkiler genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: P, T, S, R, Q, vb. Yani, eğer P, X kümesindeki bir ilişki ise, o zaman P Ì X ´ X. Genellikle çeşitli özel semboller kullanılır. ilişkileri yazmak için, örneğin , =, >, ~, ½½, ^, vb. P'deki çiftlerin tüm ilk elemanlarının kümesine P ilişkisinin tanım alanı denir. P ilişkisinin değerleri kümesi P çiftlerinin tüm ikinci elemanlarının kümesidir.
Açıklık sağlamak amacıyla, ikili ilişkiler özel bir grafik çizimi kullanılarak grafiksel olarak gösterilmektedir. X kümesinin elemanları noktalarla temsil edilir. Eğer (x, y) Î Р(хРу) doğruysa, x noktasından y noktasına bir ok çizilir. Böyle bir çizime P ilişki grafiği denir ve X kümesinin elemanlarını temsil eden noktalar grafiğin köşeleridir. Grafiğin kenarları olarak oklar.
Örnek. P bağıntısı olsun: kümede verilen “x sayısı y sayısının böleni olsun”
X = (5, 10, 20, 30, 40), Şekil 25'te gösterilmektedir.
Başlangıcı ve sonu aynı nokta olan bir grafiğin oklarına döngü denir. P ilişki grafiğindeki tüm okların yönlerini tersine değiştirirseniz, P'nin tersi olarak adlandırılan yeni bir ilişki elde edersiniz. P–1 ile gösterilir. xРу Û уР–1х olduğuna dikkat edin.
İkili ilişkileri belirleme yöntemleri.
X kümesinin elemanları arasındaki R ilişkisi, elemanları sıralı çiftlerden oluşan bir küme olduğundan, herhangi bir kümeyle aynı yollarla belirtilebilir.
1. Çoğu zaman, X kümesindeki R ilişkisi, R ilişkisindeki eleman çiftlerinin karakteristik özelliği kullanılarak belirtilir. Bu özellik, iki değişkenli bir cümle biçiminde formüle edilir.
Örneğin X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) kümesindeki ilişkiler arasında şunları düşünebiliriz: “x sayısı, sayıdan 2 kat küçüktür. y”, “x sayısı y sayısına bölendir”, “x sayısı y sayısından büyüktür” ve diğerleri.
2. X kümesindeki R ilişkisi, X kümesinin R ilişkisiyle ilişkili tüm eleman çiftlerinin listelenmesiyle de tanımlanabilir.
Örneğin, (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) çiftlerinden oluşan bir küme yazarsak, o zaman X = (1, 2, 3, 4) kümesinde bir R ilişkisini tanımlayacağız. Aynı R ilişkisi de verilebilir
3. bir grafik kullanarak (Şekil 26).
İkili ilişkilerin özellikleri.
Tanım 2. Bir X kümesi üzerindeki R ilişkisine, eğer X kümesindeki her öğe kendisiyle bu ilişki içindeyse dönüşlü denir.
Kısaca: R, herhangi bir x О X için X Û xRx üzerinde dönüşlüdür.
ya da aynı şey: ilişki grafiğinin her köşesinde bir döngü vardır. Bunun tersi de doğrudur: Eğer bir ilişki grafiğinin her köşesi bir döngüye sahip değilse, o zaman bu bir yansımalı ilişkidir.
Örnek. Dönüşlü ilişkiler: “düzlemin tüm üçgenleri kümesinde eşit olmak”, “? ve £ tüm gerçek sayılar kümesinde."
Dönüşlülük özelliğine sahip olmayan ilişkilerin bulunduğunu unutmayın ("x, y'den büyüktür" örneğini verin)
Tanım 3. Bir X kümesi üzerindeki R ikili ilişkisine, X'ten gelen her bir x için (x, x) Ï R, yani X üzerinde anti-yansımalı denir. X'in her x'i için xRx koşulu sağlanmıyor.
Eğer bir R ilişkisi anti-yansımalı ise, o zaman grafiğinin hiçbir tepe noktasında döngü yoktur. Tersine: Grafiğin hiçbir tepe noktasında döngü yoksa, grafik yansıma önleyici bir ilişkiyi temsil eder.
Yansıma karşıtı ilişkilere örnekler: "yaşlı olmak", "daha küçük olmak", "kız olmak" vb.
Tanım 4. Bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisine, eğer herhangi bir x elemanı için, simetrik denir. 
Î X koşulu sağlanmıştır: eğer x ve y bir R ilişkisi içindeyse, o zaman y ve x de bu ilişkidedir.
Kısaca: R, X Û xRу Û yRx üzerinde simetriktir.
Simetrik bir ilişki grafiği şu özelliğe sahiptir: Bir çift öğeyi birbirine bağlayan bir ok varsa, o zaman aynı öğeleri bağlayan ancak ters yöne giden ikinci bir ok da mutlaka vardır. Bunun tersi de doğrudur.
Simetrik ilişkilere örnek olarak şu ilişkiler gösterilebilir: “düzlemin tüm düz çizgileri kümesinde karşılıklı olarak dik olmak”, “düzlemin tüm dikdörtgenleri kümesinde benzer olmak”.
Tanım 5. X kümesindeki hiçbir x ve y elemanı için hem xRy hem de yRx aynı anda meydana gelemiyorsa, o zaman X kümesindeki R ilişkisine asimetrik denir.
Asimetrik ilişkiye bir örnek: “baba olmak” (eğer x, y'nin babası ise, o zaman y, x'in babası olamaz).
Tanım 6. Bir X kümesi üzerindeki R bağıntısı aşağıdaki durumlarda antisimetrik olarak adlandırılır: farklı unsurlar x, y О X X öğesinin y öğesiyle R ilişkisi içinde olduğu gerçeğinden, y öğesinin x öğesiyle R ilişkisinde olmadığı sonucu çıkar.
Kısaca: R, X Û xRу ve x üzerinde antisimetrik midir? sen? .
Örneğin, tamsayılar kümesindeki "küçüktür" ilişkisi antisimetriktir.
Antisimetrik ilişki grafiğinin özel bir özelliği vardır: Grafiğin iki köşesi bir okla birbirine bağlıysa, o zaman yalnızca bir ok vardır. Bunun tersi ifade de doğrudur.
Ne simetri özelliğine ne de antisimetri özelliğine sahip olan ilişkilerin mevcut olduğuna dikkat edin.
Tanım7. Bir X kümesindeki R ilişkisine, herhangi bir x, y, z О X elemanı için aşağıdaki koşul karşılanıyorsa geçişli denir: eğer x, y ile R ilişkisindeyse ve y, R ile z ilişkisindeyse, o zaman x elemanı R'nin z elemanı ile ilişkisi vardır.
Kısaca: R, X Û xRу ve уRz üzerinde geçişlidir? xRz.
Örneğin bir düzlemdeki doğrular kümesinde tanımlanan "x doğrusu y doğrusuna paraleldir" ilişkisi geçişlidir.
Geçişli ilişki grafiğinin özelliği, x'ten y'ye ve y'den z'ye giden her ok çifti için, aynı zamanda x'ten z'ye giden bir oku da içermesidir. Bunun tersi de doğrudur.
Geçişlilik özelliğine sahip olmayan ilişkilerin bulunduğunu unutmayın. Örneğin “rafta yan yana durmak” ilişkisi geçişli değildir.
Tüm genel özellikler ilişkiler üç gruba ayrılabilir:
dönüşlülük (her ilişki dönüşlü veya yansıma karşıtıdır),
simetri (ilişki her zaman simetrik, asimetrik veya antisimetriktir),
geçişlilik (her ilişki geçişlidir veya geçişsizdir). Olan ilişkiler belirli bir setözelliklere özel adlar verilir.