Teorem 1.İki, üç ve genel olarak cebirsel toplamın limiti belli bir sayı fonksiyonlar eşittir cebirsel toplam bu fonksiyonların sınırları, yani.
Kanıt. İspatı iki terim için yapalım, çünkü aynı şekilde herhangi bir sayıda terim için de yapılabilir. Hadi.Sonra f(x)=b+b(x) Ve g(x)=c+в(x), Nerede B Ve V- sonsuz küçük fonksiyonlar. Buradan,
f(x) + g(x)=(b + c) + (b(x) + c(x)).
Çünkü b+c Orada devamlı, A b(x) + c(x)- fonksiyon sonsuz küçükse, o zaman
Teorem 2.İkinin, üçün ve genel olarak çarpımının limiti sonlu sayı işlevler ürüne eşit bu fonksiyonların sınırları:
Kanıt. Bırak olsun. Buradan, f(x)=b+b(x) Ve g(x)=c+в(x) Ve
fg = (b + b)(c + c) = bc + (bc + cb + bc).
İş M.Ö. sabit bir değer vardır. İşlev bв + c b + bv Sonsuz küçük fonksiyonların özelliklerine göre sonsuz küçük bir miktar vardır. Bu yüzden.
Sonuç 1. Sabit çarpan limit işaretinin ötesine alınabilir:
Sonuç 2. Derece sınırı güce eşit sınır:
Örnek..
Teorem 3. Paydanın limiti sıfırdan farklıysa, iki fonksiyonun bölümünün limiti bu fonksiyonların limitlerinin bölümüne eşittir;
Kanıt. Bırak olsun. Buradan, f(x)=b+b(x) Ve g(x)=c+в(x), Nerede b, c- sonsuz derecede küçük. Hadi bölümü ele alalım
Kesir sonsuz küçük bir fonksiyondur çünkü payı sonsuzdur küçük fonksiyon ve paydanın bir sınırı vardır C 2 ?0.
3. Düşünelim. Şu tarihte: x>1 kesrin payı 1'e, paydası ise 0'a eğilimlidir. sonsuz küçük bir fonksiyondur x> 1, o zaman.
Teorem 4.Üç fonksiyon verilsin f(x), u(x) Ve v(x), eşitsizlikleri tatmin eden u (x)?f(x)? v(x). Eğer işlevler sen(x) Ve v(x) aynı limite sahip x>a(veya x>?), ardından fonksiyon f(x) aynı sınıra doğru eğilim gösterir, yani Eğer
Bu teoremin anlamı şekilden açıkça görülmektedir.
Teorem 4'ün kanıtı örneğin ders kitabında bulunabilir: Piskunov N. S. Diferansiyel ve integral hesabı, cilt 1 - M.: Nauka, 1985.
Teorem 5. Eğer x>a(veya x>?) işlev y=f(x) negatif olmayan değerleri kabul eder sen?0 ve aynı zamanda sınıra doğru yöneliyor B ise bu sınır negatif olamaz: b?0.
Kanıt. Kanıtı çelişkili olarak gerçekleştireceğiz. Diyelim ki B<0 , Daha sonra |y - b|?|b| ve bu nedenle fark modülü şu durumlarda sıfıra düşmez: x>a. Ama sonra sen sınıra ulaşmıyor B en x>a bu da teoremin koşullarıyla çelişiyor.
Teorem 6. Eğer iki fonksiyon f(x) Ve g(x) argümanın tüm değerleri için X eşitsizliği gidermek f(x)? g(x) ve sınırları varsa eşitsizlik vardır b?c.
Kanıt. Teoremin koşullarına göre f(x)-g(x) ?0 bu nedenle Teorem 5'e göre veya.
Limitlerle ilgili temel teoremler.
1. İki, üç ve genellikle belirli sayıda değişkenin cebirsel toplamının limiti, bu değişkenlerin limitlerinin cebirsel toplamına eşittir;
lim (u 1 + u 2 + … + sen n) = lim u 1 + lim u 2 + … + lim u n
2. Belirli sayıda değişkenin çarpımının limiti, bu değişkenlerin limitlerinin çarpımına eşittir;
lim (u 1 × u 2 × … × sen n) = lim u 1 × lim u 2 × … × lim u n
3. Paydanın limiti sıfırdan farklıysa, iki değişkenin bölümünün limiti bu değişkenlerin limitlerinin bölümüne eşittir; Eğer lim V ¹ 0 .
3. İlgili fonksiyon değerleri için ise u = u(x), z = z(x), v = v(x) eşitsizlikler giderildi sen £ z £ v ve aynı zamanda sen(x) Ve v(x) en X ® bir (veya X ® ¥ ) aynı sınıra eğilimlidir B, O z = z(x) en X ® bir (veya X ® ¥) aynı sınıra doğru yönelmektedir.
Teorem 4, önemli bir ilişkinin geçerliliğini kanıtlamamızı sağlar. Birinci dikkate değer sınır
. 
(2.1)
(2.1)'den sonsuz küçüklerin denkliği gelir X Ve sin x: sin x ~x.
| sen |
| y = sinx |
| X |
| y = x |
| Pirinç. 2.3 |
Limitler teorisinin bir diğer önemli ilişkisi, ikinci dikkate değer sınır ise görüş: 
(2.2)
Sayı e– irrasyonel (aynı zamanda sayı P) ve sonsuz bir ondalık sayı olarak yazılabilir periyodik olmayan kesir e = 2,71828…; oynar önemli rol V hesaplamalı matematiközellikle temel olarak hizmet veren doğal logaritma, belirtilen ln x = log e x. İşlev y = ex isminde üstel işlev (bazen şu şekilde yazılır: deneyim x). Aşağıdaki eşitlikler limit teorisi problemlerinin çözümünde faydalı olabilir: 
. Ayrıca sonsuz küçük miktarları eşdeğerleriyle de değiştirebilirsiniz:
Fonksiyonların sürekliliği.İşlev y = f(x) A Eğer:
1.Bu fonksiyon noktanın belli bir komşuluğunda tanımlanır A ve tam da bu noktada;
2. Fonksiyonun bir sınırı vardır 
ve fonksiyonun bu noktadaki değerine eşittir, yani. 
. Başka bir tanım da önerilebilir. Tartışmaya izin ver x 0 bir artış alacak Dx ve değeri alacak x = x 0 + Dx. İÇİNDE genel durum fonksiyon ayrıca bir miktar artış alacaktır Dу = f(х 0 + Dх) – f(х 0).
İşlev f(x) bir noktada sürekli denir x 0, eğer bu noktada ve onun bazı komşuluklarında tanımlanmışsa ve argümanın sonsuz küçük bir artışı, fonksiyonun sonsuz küçük bir artışına karşılık geliyorsa, yani;
(2.3) veya (2.3`)
İşte teoremin formülasyonu: Her temel fonksiyon tanımlandığı her noktada süreklidir ve limitler teorisindeki problemlerin çözümü için önemli olan bir sonuç elde ederiz. Süreklilik koşulunu forma yazalım. 
ya da aynı şey nedir? 
. Ancak 
ve bu nedenle 
(2.4), yani. herhangi biri için sürekli fonksiyon tanım alanının tüm noktalarında ilişki (2.4) geçerlidir – bir fonksiyonun limiti fonksiyona eşit sınır(limit ve fonksiyonun sembolleri (ve ilgili işlemler) değiştirilebilir): .
Örnek:
Bazı durumlarda aşağıdaki ilişkiyi kullanmak uygundur:
Eğer bir fonksiyonsa diyorlar ki f(x) belirli bir aralığın her noktasında sürekli (a, b), Nerede A< b
ise fonksiyon bu aralıkta süreklidir. Süreklilik koşulunun ihlal edildiği tanım kümesinin içinde veya sınırında bulunan noktaya denir. kırılma noktası. Sonlu sınırlar varsa 
Ve 
ve üç sayının tümü değil b 1, b2 Ve f(a) birbirine eşit, periyot A isminde Birinci türden süreksizlik noktası. Bu noktalar noktalara bölünmüştür. zıplamak, Ne zaman b 1 ¹ b 2(atlama b 2 - b 1) ve noktalar onarılabilir boşluk, Ne zaman b1 = b2. Birinci türden süreksizlik noktaları olmayan süreksizlik noktalarına noktalar denir. ikinci türden kopma. Bu noktalarda tek taraflı limitlerden en az biri mevcut değildir (Örnek: “sonsuz” boşluk: 
).
Sürekli fonksiyonların bazı özelliklerini ele alalım (teoremlerin kanıtları önerilen literatürde bulunabilir).
1. Eğer fonksiyon f(x) bazı segmentlerde sürekli , o zaman bu parça üzerinde en az bir nokta var x = x 1 fonksiyonun bu noktadaki değeri ilişkiyi sağlayacak şekilde f(x1) ³f(x) , Nerede X– doğru parçası üzerinde başka herhangi bir nokta ve en az bir nokta var x 2 fonksiyonun bu noktadaki değeri ilişkiyi sağlayacak şekildef(x 2) ≤ f(x).
| sen 1 |
| sen 2 |
| sen 3 |
| X |
| A |
| M |
| M |
| V |
| Pirinç. 2.4 |
(Aralıkta şunu unutmayın (a, b) teorem doğru olmayabilir. Örnek: y = x– fonksiyonun aralığı yok (a, b) en büyük ve en düşük değerler, Çünkü değerlere ulaşamıyor A Ve B!)
| en |
| en 2 |
| A |
| V |
| X |
| en 1 |
| Pirinç. 2.5 |
| X |
3. Eğer fonksiyon f(x) segmentte tanımlanmış ve sürekli ve bu bölümün sonunda eşit olmayan değerler alır f(a) = Bir Ve f(b) = B sayı ne olursa olsunM , sayıların arasına alınmış A Ve İÇİNDEöyle bir nokta var ki x = c arasında sonuçlandırılmıştır A Ve B, Ne f(c) = M (Teorem 2'nin Teorem 3'ün özel bir durumu olduğunu görmek kolaydır).
FONKSİYONLAR VE LİMİTLER IX
§ 212. Fonksiyonların limitlerine ilişkin temel teoremler
Her şeyden önce, her işlev için geçerli olmadığını unutmayın. en = F (X ) bir sınır var F (X ). Yani örneğin ne zaman X -> π / 2 fonksiyon değeri en = tg X (Şek. 303) veya sınırsız olarak büyüyün (ile X < π / 2) veya sınırsız azalma (ile X > π / 2).
Bu nedenle sayı belirtilemez B , bu fonksiyonun değerlerinin yöneleceği yer.
Başka bir örnek. İzin vermek
Bu fonksiyonun grafiği Şekil 304’te gösterilmektedir.
Argüman değerleri ne zaman X 0'a yaklaşıldığında negatif kalır, karşılık gelen fonksiyon değerleri 1'e yönelir. Argüman değerleri ne zaman X 0'a yaklaşmak, pozitif kalmak, karşılık gelen fonksiyon değerleri -2'ye yönelmek. Tam da aynı noktada X = 0, fonksiyon 0'a döner. Açıkçası, tüm değerlerin yöneleceği bir sayı belirtin en yaklaşırken X 0'a, hayır. Bu yüzden bu fonksiyon hiçbir sınırı yok X -> 0.
Gelecekte bir fonksiyonun limitinden bahsederken her zaman bu limitin var olduğunu varsayacağız.
Bir limitin varlığı varsayımı F (X ) bu limitin fonksiyonun değeriyle çakıştığı anlamına gelmez F (X ) noktada x = bir . Örneğin grafiği Şekil 305'te sunulan fonksiyonu düşünün.
Açıkçası sınır F (X ) var ve 1'e eşit. Ancak bu noktanın kendisinde X = 0 ise fonksiyon 2'ye eşit bir değer alır. Bu nedenle bu durumda
F (X ) =/= F (0).
Eğer fonksiyon y = f (X ) koşulu karşılıyor
F (X ) = F (A ),
sonra denir sürekli bu noktada x = bir . Belirtilen koşul karşılanmazsa işlev F (X ) denir patlayıcı bu noktada x = bir ."
Tüm temel işlevler(Örneğin, y = x n , en = günah X , en = tg X , en = ten rengi 2 X + tg X vb.) tanımlandıkları her noktada süreklidirler.
İşlev en = F (X ) denir aralıkta sürekli [a, b ] eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise. Örneğin, fonksiyon en = tg X aralıkta süreklidir[- π / 4 , π / 4 ], işlevler en = günah X Ve sen =çünkü X herhangi bir aralıkta sürekli vb.
Fonksiyonların limitlerine ilişkin ana teoremleri kanıt olmadan sunuyoruz. Bu teoremler, daha önce sayı dizilerinin limitlerini incelerken (yine kanıt olmadan) dikkate aldığımız teoremlere oldukça benzer.
1. Bir sabitin limiti bu sabitin kendisine eşittir:
c = c .
2. Sabit faktör limit işaretinin ötesine alınabilir:
[ k F (X )] = k F (X ).
3. Fonksiyonların toplamının (farkının) sınırı toplamına eşit Bu fonksiyonların limitleri arasındaki (farklar):
[ F (X ) ± G (X )] = F (X ) ± G (X ).
4. Fonksiyonların çarpımının limiti, bu fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir:
[ F (X ) G (X )] = F (X ) G (X ).
5. İki fonksiyonun oranının limiti orana eşit bölenin limiti olmadığı sürece bu fonksiyonların limitleri sıfıra eşit:
Fonksiyonların limitlerini bulmayla ilgili birkaç tipik örneğe bakalım.
Örnek 1. Bulmak
Şu tarihte: X -> 3 Bu kesrin payı ve paydası sıfıra yakındır. Bu nedenle burada teoremin bir bölümün limitine doğrudan uygulanması imkansızdır. Fakat verilen kesir kısaltılabilir:
(Lütfen aşağıdakilere dikkat edin önemli özellik, ele alınan örneğin özelliği. Limit hakkında konuştuğumuzda F (X ), o zaman genellikle fonksiyonun olduğunu varsayarız. F (X ) noktaya yeterince yakın tüm noktalarda tanımlanır x = bir . Ancak işlev yalnızca şunun için tanımlanır: pozitif değerler X . Bu nedenle, bu fonksiyonun limitini değerlendirirken aslında şunu varsayıyoruz: X -> 0, her zaman pozitif kalıyor. Bu gibi durumlarda sadece limitten değil, aynı zamanda tek taraflı olarak Sınır. Benzer örneklerle daha sonra bu bölümdeki alıştırmalarda karşılaşacağız.)
Bir fonksiyonun limitinin ana teoremlerinin ve özelliklerinin formülasyonu verilmiştir. Sonlu ve tanımları sonsuz sınırlar Cauchy ve Heine'ye göre sonlu noktalarda ve sonsuzda (iki taraflı ve tek taraflı). Aritmetik özellikler dikkate alınır; eşitsizliklerle ilgili teoremler; Cauchy yakınsama kriteri; sınır karmaşık fonksiyon; Sonsuz küçük, sonsuz büyük ve sonsuz küçük özellikleri monoton fonksiyonlar. Bir fonksiyonun tanımı verilmiştir.
Fonksiyon Tanımı
İşlev y = f (X) X kümesinin her bir x elemanının, Y kümesinin bir ve yalnızca bir y elemanı ile ilişkili olduğu bir yasadır (kuraldır).
Eleman x ∈ X isminde fonksiyon argümanı veya bağımsız değişken.
Eleman y ∈ Y isminde fonksiyon değeri veya bağımlı değişken.
X kümesi denir fonksiyonun alanı.
y öğeleri kümesi ∈ Y X kümesinde ön görüntüleri olanlara denir alan veya fonksiyon değerleri kümesi.
Gerçek fonksiyon çağrılır yukarıdan sınırlı (aşağıdan) eşitsizliğin herkes için geçerli olduğu bir M sayısı varsa:
.
Sayısal işlev isminde sınırlı, eğer herkes için öyle bir M sayısı varsa:
.
Üst kenar veya kesin üst sınır gerçek fonksiyon değerlerinin aralığını yukarıdan sınırlayan en küçük sayıdır. Yani bu, herkes için ve herhangi biri için, işlev değeri s′'yi aşan bir argümanın bulunduğu bir s sayısıdır: .
Üst kenar fonksiyonlar şu şekilde gösterilebilir:
.
Sırasıyla alt kenar veya kesin alt sınır
Gerçek bir fonksiyona, değer aralığını aşağıdan sınırlayan en büyük sayı denir. Yani bu, herkes için ve herhangi biri için, işlev değeri i′'den küçük olan bir argümanın bulunduğu bir i sayısıdır: .
Bir fonksiyonun infimumu şu şekilde gösterilebilir:
.
Bir fonksiyonun limitini belirleme
Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin belirlenmesi
Uç noktalarda fonksiyonun sonlu sınırları
Fonksiyonun bazı mahallelerde tanımlanmasına izin verin bitiş noktası belki de konunun kendisi hariç.
.
herhangi biri için eşitsizliğin geçerli olduğu tüm x'ler için buna bağlı olarak böyle bir şey varsa
.
Bir fonksiyonun limiti şu şekilde gösterilir:
Veya adresinde.
.
Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak bir fonksiyonun limitinin tanımı şu şekilde yazılabilir:
Tek taraflı sınırlar.
.
Bir noktada sol sınır (sol taraftaki sınır):
.
Bir noktada sağ limit (sağ limit):
;
.
Sol ve sağ sınırlar genellikle şu şekilde gösterilir:
Bir fonksiyonun sonsuzdaki noktalardaki sonlu limitleri
.
.
.
Sonsuz noktalardaki limitler de benzer şekilde belirlenir.
;
;
.
Genellikle şu şekilde anılırlar:
Bir noktanın komşuluğu kavramını kullanma
.
Bir noktanın delikli komşuluğu kavramını ortaya koyarsak, o zaman bir fonksiyonun sonlu ve sonsuz uzak noktalardaki sonlu limitinin birleşik bir tanımını verebiliriz:
;
;
.
Burada uç noktalar için
;
;
.
Sonsuzdaki noktaların herhangi bir komşuluğu delinir:
Sonsuz Fonksiyon Limitleri
Tanım Fonksiyonun bir noktanın delinmiş bir komşuluğunda (sonlu veya sonsuzda) tanımlandığını varsayalım. (X) F 0
x → x olarak sonsuza eşittir eğer herhangi biri içinse, keyfi olarak büyük sayı > 0
M > 0
, bir δ M sayısı var
.
M'ye bağlı olarak, noktanın delinmiş δ M - mahallesine ait tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: Şeytan son sınır
.
Bir fonksiyonun limiti şu şekilde gösterilir:
şu şekilde ifade edilir:
.
Ayrıca ve'ye eşit belirli işaretlerin sonsuz sınırlarının tanımlarını da girebilirsiniz:
.
.
Bir fonksiyonun limitinin evrensel tanımı
Bir noktanın komşuluk kavramını kullanarak şunu verebiliriz: evrensel çözünürlüklü Bir fonksiyonun hem sonlu (iki taraflı ve tek taraflı) hem de sonsuzdaki noktalar için geçerli olan sonlu ve sonsuz limiti:
.
Heine'ye göre bir fonksiyonun limitinin belirlenmesi
Fonksiyonun bir X kümesi üzerinde tanımlı olmasına izin verin: .
a sayısına fonksiyonun limiti denirşu noktada:
,
x'e yakınsayan herhangi bir dizi için 0
:
,
elemanları X kümesine ait olan: ,
.
Bu tanımı varoluş ve evrensellik mantıksal sembollerini kullanarak yazalım:
.
Eğer x noktasının sol taraftaki komşuluğunu bir X kümesi olarak alırsak 0 sonra sol limitin tanımını elde ederiz. Sağ el ise sağ limitin tanımını elde ederiz. Sonsuzdaki bir noktanın komşuluğunu bir X kümesi olarak alırsak, bir fonksiyonun sonsuzdaki limitinin tanımını elde ederiz.
Teorem
Bir fonksiyonun limitinin Cauchy ve Heine tanımları eşdeğerdir.
Kanıt
Bir fonksiyonun limitinin özellikleri ve teoremleri
Ayrıca, söz konusu fonksiyonların, sonlu bir sayı veya aşağıdaki sembollerden biri olan noktanın karşılık gelen komşuluğunda tanımlandığını varsayıyoruz: .
Aynı zamanda tek taraflı bir sınır noktası da olabilir, yani veya şeklinde olabilir.
Komşuluk, iki taraflı bir limit için iki taraflı, tek taraflı bir limit için ise tek taraflıdır. (X) Temel özellikler Eğer f fonksiyonunun değerleri sonlu sayıda x noktasını değiştirin (veya tanımsız hale getirin) 1, x 2, x 3, ... x n ise bu değişiklik fonksiyonun limitinin varlığını ve değerini hiçbir şekilde etkilemeyecektir. 0 .
keyfi nokta 0
X (X) Eğer sonlu bir limit varsa, o zaman x noktasının delinmiş bir komşuluğu vardır.
.
f fonksiyonu burada 0
sınırlı:
.
Fonksiyonun x noktasında olmasına izin verin 0
sıfır olmayan sonlu limit:
O halde, aralığındaki herhangi bir c sayısı için, x noktasının böyle bir delikli komşuluğu vardır.
ne için,
, Eğer ;
, Eğer . 0
,
Eğer noktanın delinmiş bir komşuluğunda , bir sabit ise, o zaman .
Eğer x noktasının bazı delinmiş komşuluklarında ve sonlu limitler varsa
,
Eğer noktanın delinmiş bir komşuluğunda , bir sabit ise, o zaman .
O .
,
Eğer , ve noktanın bazı mahallelerinde
Özellikle, eğer bir noktanın bazı mahallelerindeyse
o zaman eğer , o zaman ve ; 0
:
,
eğer , o zaman ve . Eğer x noktasının delinmiş bir mahallesindeyse:
ve sonlu (veya belirli bir işaretin sonsuz) vardır
.
eşit sınırlar
, O
Ana özelliklerin kanıtları sayfada verilmiştir.
Fonksiyonlar ve noktasının bazı delinmiş mahallelerinde tanımlansın.
Ve sonlu sınırlar olsun:
Ve . Ve C bir sabit olsun, yani verilen numara
;
;
;
ne için,
. Daha sonra
Eğer öyleyse.
Aritmetik özelliklerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Bir fonksiyonun limitlerinin aritmetik özellikleri".
Teorem
Bir fonksiyonun limitinin varlığına ilişkin Cauchy kriteri 0
Sonlu bir x'in delinmiş bir komşuluğunda veya sonsuz noktasında tanımlanan bir fonksiyon için > 0
, bu noktada sonlu bir limite sahip olduğundan, herhangi bir ε için gerekli ve yeterlidir. 0
x noktasının öyle delikli bir mahallesi vardı ki
.
, herhangi bir nokta için ve bu komşuluktan itibaren aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
Karmaşık bir fonksiyonun limiti
Karmaşık bir fonksiyonun sınırına ilişkin teorem
Fonksiyonun bir limiti olsun ve bir noktanın delinmiş mahallesini, bir noktanın delinmiş komşuluğuna eşleyin.
Fonksiyon bu komşuluk üzerinde tanımlansın ve üzerinde bir limit olsun.
.
İşte son veya sonsuz uzaklıktaki noktalar: .
.
Mahalleler ve onlara karşılık gelen sınırlar iki taraflı veya tek taraflı olabilir.
.
O halde karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve bu şuna eşittir:
Karmaşık bir fonksiyonun limit teoremi, fonksiyon bir noktada tanımlanmadığında veya limitten farklı bir değere sahip olduğunda uygulanır.
Bu teoremi uygulamak için, fonksiyonun değer kümesinin noktayı içermediği noktanın delinmiş bir komşuluğu olmalıdır: Eğer fonksiyon noktasında sürekli ise, o zaman limit işareti sürekli fonksiyonun argümanına uygulanabilir: Aşağıdaki bu duruma karşılık gelen bir teoremdir. 0
Bir fonksiyonun sürekli fonksiyonunun limiti üzerine teorem 0
:
.
g fonksiyonunun bir limiti olsun 0
(T)
t → t olarak (X) ve x'e eşittir 0
.
İşte t noktası sonlu veya sonsuz uzaklıkta olabilir: . Ve f fonksiyonuna izin verin x noktasında süreklidir:
.
O halde f karmaşık fonksiyonunun bir limiti vardır.
(g(t))
ve f'ye eşittir
(x0)
Sonsuz Fonksiyon Limitleri
Teoremlerin kanıtları sayfada verilmiştir.
.
"Karmaşık bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği". Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar
Sonsuz küçük fonksiyonlar Bir fonksiyona sonsuz küçük denirse
Toplam, fark ve ürün
,
sonlu sayıda sonsuz küçük fonksiyonun içinde sonsuz küçük bir fonksiyondur.
Sınırlı bir fonksiyonun çarpımı
noktanın bazı delinmiş komşuluklarında, sonsuz küçük bir at'ye kadar, bir at sonsuz küçük fonksiyondur.
Sonsuz Fonksiyon Limitleri
Bir fonksiyonun sonlu bir limite sahip olması için gerekli ve yeterlidir.
.
Toplam veya fark sınırlı işlev, noktanın bazı delinmiş komşuluklarında ve sonsuz büyük bir fonksiyon sonsuzdur harika fonksiyon.
Eğer fonksiyon için sonsuz büyükse ve fonksiyon noktanın bazı delinmiş komşuluklarında sınırlıysa, o zaman
.
Eğer fonksiyon, noktanın bazı delinmiş komşuluklarında eşitsizliği sağlıyorsa:
,
ve fonksiyon şu noktada sonsuz küçüktür:
ve (noktanın bazı delinmiş mahallelerinde), sonra
.
Özelliklerin kanıtları bölümde sunulmuştur.
"Sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri".
Sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki ilişki
Önceki iki özellikten sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki bağlantı çıkar.
Eğer bir fonksiyon noktasında sonsuz büyükse, o zaman fonksiyon noktasında sonsuz küçüktür.
Bir fonksiyon ve için sonsuz küçükse, o zaman fonksiyon için sonsuz büyüktür.
Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyon arasındaki ilişki sembolik olarak ifade edilebilir:
,
.
Sonsuz küçük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, yani noktanın delinmiş bazı komşuluklarında pozitif (veya negatif), bu durumda bu gerçek şu şekilde ifade edilebilir:
.
Aynı şekilde, eğer sonsuz büyük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, o zaman şunu yazarlar:
.
Sonra sonsuz küçükler ile sonsuz arasındaki sembolik bağlantı harika özellikler aşağıdaki ilişkilerle desteklenebilir:
,
,
,
.
Ek formüller, sonsuzluk simgelerini bağlayan sayfada bulunabilir
"Sonsuzluğu işaret eden noktalar ve özellikleri."
Monoton fonksiyonların limitleri
Sonsuz Fonksiyon Limitleri
Bazı setlerde tanımlanmış fonksiyon gerçek sayılar X denir kesinlikle artıyor, eğer hepsi için aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse:
.
Buna göre, kesinlikle azalıyor fonksiyonunda aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
İçin azalmayan:
.
İçin artmayan:
.
Buradan kesin olarak artan bir fonksiyonun aynı zamanda azalmadığı sonucu çıkar. Kesinlikle azalan bir fonksiyon aynı zamanda artmayandır.
Fonksiyon çağrılır monoton azalmıyor veya artmıyorsa.
Teorem
Fonksiyonun, olduğu aralıkta azalmamasına izin verin.
Yukarıda M sayısıyla sınırlıysa, o zaman sonlu bir limit vardır.
Yukarıdan sınırlı değilse, o zaman .
Eğer aşağıdan m sayısı kadar sınırlıysa, o zaman sonlu bir sınır vardır.
Aşağıdan sınırlı değilse, o zaman .
Fonksiyonun, olduğu aralıkta azalmamasına izin verin.
;
.
O zaman a ve b noktalarında tek taraflı limitler vardır:
Artmayan bir fonksiyon için benzer bir teorem.
;
.
Fonksiyonun, olduğu aralıkta artmamasına izin verin.
Sonra tek taraflı sınırlar var:
Teoremin kanıtı sayfada sunulmuştur.
"Monotonik fonksiyonların sınırları". Kullanılan literatür: L.D. Kudryavtsev. Kuyu
matematiksel analiz