İşlev sınırı- sayı A Değişim sürecinde bu değişken miktar süresiz olarak yaklaşırsa, bazı değişken miktarların limiti olacaktır. A.
Veya başka bir deyişle sayı A fonksiyonun sınırıdır y = f(x) bu noktada x 0, eğer fonksiyonun tanım kümesindeki herhangi bir nokta dizisi eşit değilse x 0 ve bu noktaya yakınlaşan x 0 (lim x n = x0), karşılık gelen fonksiyon değerlerinin sırası sayıya yakınsar A.
Sonsuza giden bir argüman verildiğinde limiti şuna eşit olan bir fonksiyonun grafiği: L:
Anlam Aöyle fonksiyonun limiti (sınır değeri) f(x) bu noktada x 0 herhangi bir nokta dizisi olması durumunda 
, yakınsayan x 0, ancak içermeyen x 0 unsurlarından biri olarak (yani delinmiş bölgede) x 0), fonksiyon değerleri dizisi 
yakınsar A.
Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limiti.
Anlam A olacak fonksiyonun sınırı f(x) bu noktada x 0 negatif olmayan herhangi bir sayı için önceden alınmışsa ε karşılık gelen negatif olmayan sayı bulunacaktır δ = δ(ε) öyle ki her argüman için X, koşulu karşılayan 0 < | x - x0 | < δ eşitsizlik giderilecek | f(x)A |< ε .
Limitin özünü ve onu bulmanın temel kurallarını anlarsanız çok basit olacaktır. Fonksiyonun limiti nedir F (X) en X için çabalamak A eşittir A, şu şekilde yazılır:
Ayrıca değişkenin yöneldiği değer X, sadece bir sayı değil aynı zamanda sonsuz (∞) olabilir, bazen +∞ veya -∞ olabilir ya da hiç limit olmayabilir.
Nasıl olduğunu anlamak için bir fonksiyonun sınırlarını bulmaÇözüm örneklerine bakmak en iyisidir.
Fonksiyonun limitlerini bulmak gerekiyor F (x) = 1/Xşurada:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
İlk limite bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için basitçe değiştirebilirsiniz X eğilimi olan sayı, yani 2, şunu elde ederiz:
Fonksiyonun ikinci limitini bulalım. Burada bunun yerine saf 0'ı kullanın X imkansız çünkü 0'a bölemezsiniz. Fakat sıfıra yakın değerler alabiliriz örneğin 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 vb. ve fonksiyonun değeri F (X) artacak: 100; 1000; 10000; 100.000 vb. Böylece, ne zaman olduğu anlaşılabilir. X→ 0 limit işaretinin altındaki fonksiyonun değeri sınırsız olarak artacaktır yani. sonsuzluğa doğru çabala. Bunun anlamı:
Üçüncü sınıra gelince. Önceki durumda olduğu gibi aynı durum, ikame edilemez ∞ en saf haliyle. Sınırsız artış durumunu dikkate almamız gerekiyor X. 1000'i birer birer yerine koyuyoruz; 10000; 100000 ve benzeri, fonksiyonun değerine sahibiz F (x) = 1/X azalacak: 0,001; 0,0001; 0,00001; ve benzeri, sıfıra doğru yönelerek. Bu yüzden:
Fonksiyonun limitini hesaplamak gerekir 
İkinci örneği çözmeye başladığımızda belirsizlik görüyoruz. Buradan pay ve paydanın en yüksek derecesini buluyoruz - bu x 3, pay ve paydadaki parantezlerden çıkarırız ve ardından şu şekilde azaltırız:
Cevap 
İlk adım bu sınırı bulmak, bunun yerine 1 değerini değiştirin X bu da belirsizliğe yol açıyor. Bunu çözmek için payı çarpanlara ayıralım ve bunu ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma yöntemini kullanarak yapalım. x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ d=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x 2= 1.
Yani pay şöyle olacaktır:
Cevap 
Bu, onun belirli değerinin veya fonksiyonun düştüğü, sınırla sınırlı olan belirli bir alanın tanımıdır.
Sınırları çözmek için kuralları izleyin:
Özünü ve ana noktasını anladıktan sonra limit çözme kuralları, bunları nasıl çözeceğinize dair temel bir anlayışa sahip olacaksınız.
Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti:
|f(x) - a|< ε
при |x| >N
Cauchy limitinin belirlenmesi
f fonksiyonu olsun (X)|x| ile sonsuzdaki noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlanır. > a sayısına fonksiyonun limiti denir F (X) x sonsuza doğru yöneldiğinden (), eğer herhangi bir pozitif sayı için, ne kadar küçük olursa olsun, ε > 0
, bir N ε sayısı var >K, ε'ya bağlı olarak, tüm x'ler için |x| > N ε, fonksiyon değerleri a noktasının ε-komşuluğuna aittir:
|f (x) - a|< ε
.
Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti şu şekilde gösterilir:
.
Veya adresinde.
Aşağıdaki gösterim de sıklıkla kullanılır:
.
Bu tanımı varoluş ve evrenselliğin mantıksal sembollerini kullanarak yazalım:
.
Bu, değerlerin fonksiyonun alanına ait olduğunu varsayar.
Tek taraflı sınırlar
Bir fonksiyonun sonsuzdaki sol limiti:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
Fonksiyonun yalnızca x değişkeninin pozitif veya negatif değerleri için (daha kesin olarak veya noktasının yakınında) tanımlandığı durumlar vardır. Ayrıca x'in pozitif ve negatif değerleri için sonsuzdaki limitler farklı değerlere sahip olabilir. Daha sonra tek taraflı limitler kullanılır.
Sonsuzda sol sınır veya x eksi sonsuza () doğru yönelirken limit şu şekilde tanımlanır:
.
Sonsuzda sağ limit veya x artı sonsuza doğru yönelirken limit ():
.
Sonsuzdaki tek taraflı limitler genellikle şu şekilde gösterilir:
;
.
Bir fonksiyonun sonsuzda sonsuz limiti
Bir fonksiyonun sonsuzdaki sonsuz limiti:
|f(x)| > |x| için M > H
Cauchy'ye göre sonsuz sınırın tanımı
f fonksiyonu olsun (X)|x| ile sonsuzdaki noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlanır. > K, burada K pozitif bir sayıdır. f fonksiyonunun limiti (X) x sonsuza doğru yöneldiğinden (), sonsuza eşittir, eğer herhangi bir keyfi büyük sayı için M > 0
, böyle bir sayı var N M >K, M'ye bağlı olarak tüm x'ler için |x| > N M , fonksiyon değerleri sonsuzdaki noktanın komşuluğuna aittir:
|f (x) | > M.
X sonsuza doğru yönelirken sonsuz sınır şu şekilde gösterilir:
.
Veya adresinde.
Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak bir fonksiyonun sonsuz limitinin tanımı şu şekilde yazılabilir:
.
Benzer şekilde, belirli işaretlerin sonsuz sınırlarının tanımları eşit ve tanıtılmıştır:
.
.
Sonsuzda tek taraflı limitlerin tanımları.
Sol sınırlar.
.
.
.
Doğru sınırlar.
.
.
.
Heine'ye göre bir fonksiyonun limitinin belirlenmesi
f fonksiyonu olsun (X) x noktasının sonsuzda bir komşuluğunda tanımlı 0
, nerede veya veya .
a sayısına (sonlu veya sonsuzda) f fonksiyonunun limiti denir (X) x noktasında 0
:
,
herhangi bir sıra için ise (xn), x'e yakınsıyor 0
:
,
elemanları mahalleye ait olan dizi (f(xn))şuna yakınsar:
.
Sonsuzdaki işaretsiz bir noktanın komşuluğunu komşuluk olarak alırsak: x sonsuza doğru gittiği için bir fonksiyonun limitinin tanımını elde ederiz. 0 Eğer x noktasının sonsuzda sol ya da sağ kenar komşuluğunu alırsak
: veya , o zaman x'in sırasıyla eksi sonsuza ve artı sonsuza eğiliminde olması nedeniyle limitin tanımını elde ederiz.
Heine ve Cauchy'nin limit tanımları eşdeğerdir.
Örnekler
Örnek 1
.
Bunu göstermek için Cauchy'nin tanımını kullanmak
.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
.
Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım.
;
.
Kesrin payı ve paydası polinom olduğundan fonksiyon, paydanın sıfırlandığı noktalar dışındaki tüm x'ler için tanımlanır. Bu noktaları bulalım. İkinci dereceden bir denklemin çözümü. ;
Denklemin kökleri:
O zamandan beri ve .
.
Bu nedenle fonksiyon adresinde tanımlanır.
.
Bunu daha sonra kullanacağız. -1
:
.
Bir fonksiyonun sonsuzdaki sonlu limitinin Cauchy'ye göre tanımını yazalım:
Farkı dönüştürelim:
;
;
;
.
Pay ve paydayı bölün ve çarpın
.
.
İzin vermek .
Daha sonra
Yani şunu bulduk:
Şunu takip ediyor
ve .
Her zaman artırabileceğinize göre alalım.
Bir fonksiyonun sonsuzdaki sonlu limitinin Cauchy'ye göre tanımını yazalım:
O zaman herkes için
1)
;
2)
.
.
Bu şu anlama geliyor.
Eksi sonsuza eşit bir fonksiyonun limitinin tanımını yazalım:
.
İzin vermek . Daha sonra
;
.
Pay ve paydayı bölün ve çarpın
.
Pozitif sayıları girin ve:
.
Bundan, herhangi bir pozitif M sayısı için bir sayı olduğu sonucu çıkar;
.
Bu şu anlama geliyor.
2) x artı sonsuza doğru gittiği için çözüm
Orijinal fonksiyonu dönüştürelim. Kesrin payını ve paydasını ile çarpın ve kareler farkı formülünü uygulayın:
.
Sahibiz:
.
Fonksiyonun sağ limitinin tanımını şu şekilde yazalım:
.
Gösterimi tanıtalım: .
Bu nedenle fonksiyon adresinde tanımlanır.
.
Pay ve paydayı şu şekilde çarpın:
.
İzin vermek
.
Farkı dönüştürelim:
;
.
Pay ve paydayı bölün ve çarpın
.
Pozitif sayıları girin ve:
.
İzin vermek .
ve .
Bu herhangi bir pozitif sayı için geçerli olduğundan, o zaman
.
Kullanılan literatür:
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.
Dikkate değer ilk limit aşağıdaki eşitliktir:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(denklem)
$\alpha\to(0)$ için $\sin\alpha\to(0)$ elimizde olduğundan, ilk kayda değer limitin $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizliği ortaya çıkardığını söylüyorlar. Genel olarak konuşursak, formül (1)'de $\alpha$ değişkeni yerine, iki koşul karşılandığı sürece sinüs işaretinin altına ve paydaya herhangi bir ifade yerleştirilebilir:
- Sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadeler aynı anda sıfıra yönelir; $\frac(0)(0)$ biçiminde belirsizlik vardır.
- Sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadeler aynıdır.
İlk dikkate değer limitten elde edilen sonuçlar da sıklıkla kullanılır:
\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(denklem)
Bu sayfada on bir örnek çözülmüştür. Örnek No. 1, formül (2)-(4)'ün ispatına ayrılmıştır. 2, No. 3, No. 4 ve No. 5'teki örnekler ayrıntılı yorumlar içeren çözümler içermektedir. 6-10 numaralı örnekler, önceki örneklerde ayrıntılı açıklamalar verildiği için neredeyse hiç yorum içermeyen çözümler içermektedir. Çözüm, bulunabilecek bazı trigonometrik formülleri kullanır.
$\frac (0) (0)$ belirsizliğiyle birlikte trigonometrik fonksiyonların varlığının mutlaka ilk dikkate değer limitin uygulanması anlamına gelmediğini belirtmek isterim. Bazen basit trigonometrik dönüşümler yeterlidir - örneğin bkz.
Örnek No.1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) olduğunu kanıtlayın (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ olduğundan, o zaman:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ve $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ olduğundan, O:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$ değişikliğini yapalım. $\sin(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ koşulundan $y\to(0)$ olur. Ek olarak, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ olan bir sıfır mahallesi vardır, yani:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ eşitliği kanıtlanmıştır.
c) $\alpha=\tg(y)$ yerine koyalım. $\tg(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ ve $y\to(0)$ koşulları eşdeğerdir. Ek olarak, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ olan bir sıfır mahallesi vardır, bu nedenle a) noktasının sonuçlarına dayanarak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ eşitliği kanıtlandı.
a), b), c) eşitlikleri sıklıkla ilk dikkate değer limitle birlikte kullanılır.
Örnek No.2
Limiti hesaplayın $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ve $\lim_( x olduğundan \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, yani ve kesrin hem payı hem de paydası aynı anda sıfıra yöneliyorsa, burada $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizlikle karşı karşıyayız, yani. Tamamlamak. Ek olarak, sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadelerin çakıştığı (yani ve karşılandığı) açıktır:
Yani sayfanın başında listelenen her iki koşul da karşılanmıştır. Buradan formülün uygulanabilir olduğu sonucu çıkar; $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Cevap: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Örnek No.3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$'ı bulun.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ve $\lim_(x\to(0))x=0$ olduğundan, $\frac formundaki bir belirsizlikle uğraşıyoruz (0 )(0)$, yani Tamamlamak. Ancak sinüs işaretinin altındaki ifadeler ile paydadaki ifadeler örtüşmemektedir. Burada paydadaki ifadeyi istediğiniz forma ayarlamanız gerekir. $9x$ ifadesinin paydada olmasına ihtiyacımız var, o zaman bu doğru olacaktır. Aslında paydada $9$ faktörünü kaçırıyoruz ki bunu girmek o kadar da zor değil; sadece paydadaki ifadeyi $9$ ile çarpmanız yeterli. Doğal olarak, $9$ ile çarpma işlemini telafi etmek için hemen $9$'a bölmeniz gerekecektir:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Artık paydadaki ve sinüs işaretinin altındaki ifadeler çakışıyor. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ limitinin her iki koşulu da karşılandı. Bu nedenle, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Bu da şu anlama geliyor:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Örnek No. 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$'ı bulun.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ve $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ olduğundan, burada formun belirsizliğiyle ilgileniyoruz $\frac(0)(0)$. Ancak birinci dikkat çekici sınırın şekli ihlal edilmiştir. $\sin(5x)$ içeren bir pay, $5x$ paydasını gerektirir. Bu durumda en kolay yol payı $5x$'a bölüp hemen $5x$ ile çarpmaktır. Ek olarak, paydayla benzer bir işlem gerçekleştireceğiz, $\tg(8x)$'ı $8x$ ile çarpıp böleceğiz:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$ azaltıp $\frac(5)(8)$ sabitini limit işaretinin dışına çıkarırsak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$'ın ilk dikkat çekici limitin gerekliliklerini tamamen karşıladığını unutmayın. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$'ı bulmak için aşağıdaki formül uygulanabilir:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Örnek No. 5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$'ı bulun.
Çünkü $\lim_(x\to(0)(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) ve $\'ı unutmayın lim_(x\to(0))x^2=0$, o zaman $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bununla birlikte, ilk dikkate değer limiti uygulamak için paydaki kosinüsten kurtulmalı, sinüslere (daha sonra formülü uygulamak için) veya teğetlere (daha sonra formülü uygulamak için) geçmelisiniz. Bu, aşağıdaki dönüşümle yapılabilir:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Sınıra geri dönelim:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kesri zaten ilk dikkate değer limit için gereken forma yakındır. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kesiriyle biraz çalışalım ve onu ilk kayda değer limite ayarlayalım (paydaki ve sinüs altındaki ifadelerin eşleşmesi gerektiğine dikkat edin):
$$\frac(\sin^2(5x)(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Söz konusu sınıra dönelim:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Örnek No. 6
$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(0)(1-\cos(6x))=0$ ve $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ olduğundan, o zaman $\frac(0)(0)$ belirsizliğiyle uğraşıyoruz. İlk dikkat çeken limitin yardımıyla bunu açığa çıkaralım. Bunu yapmak için kosinüslerden sinüslere geçelim. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ olduğundan, o zaman:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Verilen limitteki sinüslere geçerek şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\sağ)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Örnek No.7
$\alpha\neq'e bağlı olarak $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ limitini hesaplayın \ beta$.
Ayrıntılı açıklamalar daha önce verilmişti, ancak burada yine $\frac(0)(0)$ belirsizliğinin olduğunu not ediyoruz. Formülü kullanarak kosinüslerden sinüslere geçelim
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Bu formülü kullanarak şunları elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Örnek No. 8
$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(0)(\tg(x)-\sin(x))=0$ olduğundan ( $\sin(0)=\tg(0)=0$) ve $\'ı unutmayın lim_(x\to(0))x^3=0$, o zaman burada $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bunu şu şekilde parçalayalım:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Örnek No. 9
$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ve $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - olduğundan) 3)(2)=0$ ise $\frac(0)(0)$ formunda belirsizlik vardır. Genişletmeye geçmeden önce, yeni değişkenin sıfıra yöneleceği şekilde bir değişken değişikliği yapmak uygundur (formüllerde $\alpha \to 0$ değişkeninin olduğuna dikkat edin). En kolay yol $t=x-3$ değişkenini tanıtmaktır. Bununla birlikte, daha sonraki dönüşümlerin kolaylığı açısından (bu fayda aşağıdaki çözüm sürecinde görülebilir), şu değiştirmeyi yapmaya değer: $t=\frac(x-3)(2)$. Bu durumda her iki değişikliğin de geçerli olduğunu unutmayın, sadece ikinci değişiklik kesirlerle daha az çalışmanıza izin verecektir. $x\to(3)$ olduğundan, $t\to(0)$ olur.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ için(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Cevap: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Örnek No. 10
Limiti bulun $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Bir kez daha belirsizlikle karşı karşıyayız $\frac(0)(0)$. Genişletmeye geçmeden önce, yeni değişkenin sıfıra yaklaşacağı şekilde bir değişken değişikliği yapmak uygundur (formüllerde değişkenin $\alpha\to(0)$ olduğunu unutmayın). En kolay yol $t=\frac(\pi)(2)-x$ değişkenini tanıtmaktır. $x\to\frac(\pi)(2)$ olduğundan, $t\to(0)$'a:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\sol|\frac(0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Örnek No. 11
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) limitlerini bulun \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Bu durumda ilk harika limiti kullanmak zorunda değiliz. Hem birinci hem de ikinci limitlerin yalnızca trigonometrik fonksiyonları ve sayıları içerdiğini lütfen unutmayın. Çoğu zaman bu tür örneklerde limit işaretinin altında yer alan ifadeyi basitleştirmek mümkündür. Üstelik yukarıda bahsedilen basitleştirme ve bazı faktörlerin azaltılması sonrasında belirsizlik ortadan kalkıyor. Bu örneği tek bir amaç için verdim: Limit işareti altında trigonometrik fonksiyonların varlığının mutlaka ilk dikkate değer limitin kullanılması anlamına gelmediğini göstermek.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ olduğundan ( $\sin\frac(\pi)(2)=1$ olduğunu unutmayın) ve $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (size $\cos\frac(\pi)(2)=0$ olduğunu hatırlatmama izin verin), o zaman elimizde $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşmak. Ancak bu, ilk harika sınırı kullanmamız gerekeceği anlamına gelmez. Belirsizliği ortaya çıkarmak için $\cos^2x=1-\sin^2x$ değerini hesaba katmak yeterlidir:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Demidovich’in çözüm kitabında (No. 475) da benzer bir çözüm var. İkinci limite gelince, bu bölümdeki önceki örneklerde olduğu gibi $\frac(0)(0)$ şeklinde bir belirsizliğimiz var. Neden ortaya çıkıyor? Bunun nedeni $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ve $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ olmasıdır. Bu değerleri pay ve paydadaki ifadeleri dönüştürmek için kullanırız. Eylemlerimizin amacı pay ve paydadaki toplamları çarpım olarak yazmaktır. Bu arada, genellikle benzer bir türde, yeni değişken sıfıra yönelecek şekilde yapılan bir değişkeni değiştirmek uygundur (örneğin, bu sayfadaki 9 veya 10 numaralı örneklere bakın). Bununla birlikte, bu örnekte değiştirmenin bir anlamı yoktur, ancak istenirse $t=x-\frac(2\pi)(3)$ değişkeninin değiştirilmesinin uygulanması zor değildir.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ için\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\sağ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Gördüğünüz gibi ilk harika limiti uygulamamıza gerek yoktu. Elbette isterseniz bunu yapabilirsiniz (aşağıdaki nota bakın), ancak bu gerekli değildir.
İlk dikkate değer limiti kullanan çözüm nedir? göster\gizle
İlk dikkate değer limiti kullanarak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ sağ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Cevap: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Limit teorisine yönelik hazır cevapları analiz etmeye devam ediyoruz ve bugün yalnızca bir fonksiyondaki değişkenin veya bir dizideki bir sayının sonsuza doğru yöneldiği duruma odaklanacağız. Sonsuza giden bir değişkenin limitinin hesaplanmasına ilişkin talimatlar daha önce verilmişti; burada yalnızca herkes için açık ve basit olmayan bireysel durumlar üzerinde duracağız.
Örnek 35. Pay ve paydanın kök fonksiyonlarını içerdiği kesir şeklinde bir dizimiz var.
Sayı sonsuza doğru gittiğinde limiti bulmamız gerekir.
Burada paydaki irrasyonelliği ortaya çıkarmaya gerek yoktur, yalnızca kökleri dikkatlice analiz edin ve sayının daha yüksek gücünün nerede bulunduğunu bulun.
İlkinde payın kökleri n^4 çarpanıdır, yani n^2 parantez içinden çıkarılabilir.
Aynısını payda için de yapalım.
Daha sonra radikal ifadelerin sınıra geçerken ne anlama geldiğini değerlendiriyoruz.
Sıfıra bölme işlemimiz var ki bu okul dersinde yanlıştır, ancak sınıra geçişte bu kabul edilebilir.
Yalnızca "fonksiyonun nereye gittiğini tahmin etmek için" bir değişiklikle.
Bu nedenle ortaya çıkan sonucun değişmeyeceğini anlasalar da tüm öğretmenler yukarıdaki gösterimi doğru olarak yorumlayamazlar.
Teoriye göre öğretmenlerin gereksinimlerine göre derlenen cevaba bakalım.
Basitleştirmek için yalnızca kök altındaki ana eklentileri değerlendireceğiz. 
Ayrıca payda kuvvet 2'ye eşit, paydada ise 2/3 olduğundan pay daha hızlı büyür, bu da limitin sonsuza doğru yöneldiği anlamına gelir.
İşareti n^2, n^(2/3) çarpanlarına bağlıdır, dolayısıyla pozitiftir.
Örnek 36. Üstel fonksiyonların bölünmesine ilişkin bir limit örneğini düşünün. Bu türden çok az pratik örnek vardır, bu nedenle tüm öğrenciler ortaya çıkan belirsizlikleri nasıl açıklayacaklarını kolayca göremeyebilirler.
Pay ve payda için maksimum faktör 8^n'dir ve bununla basitleştiririz 
Daha sonra her dönemin katkısını değerlendiriyoruz
Değişken sonsuza giderken 3/8 terimleri sıfıra yönelir, çünkü 3/8<1
(свойство степенно-показательной функции).
Örnek 37. Faktöriyelli bir dizinin limiti, faktöriyelin pay ve payda için en büyük ortak faktöre yazılmasıyla ortaya çıkar.
Daha sonra bunu azaltıyoruz ve pay ve paydadaki sayı göstergelerinin değerine göre limiti değerlendiriyoruz.
Örneğimizde payda daha hızlı büyüdüğü için limit sıfırdır. 
Burada aşağıdakiler kullanılır
faktöriyel özellik.
Örnek 38. L'Hopital kurallarını uygulamadan, kesrin pay ve paydasındaki değişkenin maksimum göstergelerini karşılaştırıyoruz.
Payda 4>2 değişkeninin en yüksek üssünü içerdiğinden daha hızlı büyür.
Buradan fonksiyonun limitinin sıfıra doğru gittiği sonucuna varırız.
Örnek 39. Kesrin pay ve paydasından x^4'ü çıkararak sonsuz bölü sonsuz formunun özelliğini ortaya koyuyoruz.
Limite geçme sonucunda sonsuzluk elde ederiz.
Örnek 40. Polinomların bir bölümü var; değişken sonsuza doğru gittiği için limiti belirlememiz gerekiyor.
Değişkenin pay ve paydadaki en yüksek derecesi 3'e eşittir, bu da sınırın var olduğu ve mevcut sınıra eşit olduğu anlamına gelir.
x^3'ü çıkaralım ve limite kadar geçiş yapalım
Örnek 41. Bir üzeri sonsuzluğun kuvveti olan bir tekilliğimiz var.
Bu, parantez içindeki ifadenin ve göstergenin kendisinin ikinci önemli sınırın altına getirilmesi gerektiği anlamına gelir.
İçinde paydayla aynı olan ifadeyi vurgulamak için payı yazalım.
Daha sonra bir artı bir terim içeren bir ifadeye geçiyoruz.
Derece 1/(terim) faktörüyle ayırt edilmelidir.
Böylece kesirli fonksiyonun limitinin üssünün üssünü elde ederiz. 
Tekilliği değerlendirmek için ikinci limiti kullandık: 
Örnek 42. Bir üzeri sonsuzluğun kuvveti olan bir tekilliğimiz var.
Bunu ortaya çıkarmak için işlevi ikinci dikkate değer sınıra indirgemek gerekir.
Bunun nasıl yapılacağı aşağıdaki formülde ayrıntılı olarak gösterilmiştir. 
Buna benzer pek çok sorun bulabilirsiniz. Bunların özü, üs içinde gerekli dereceyi elde etmektir ve parantez içindeki terimin birdeki ters değerine eşittir.
Bu yöntemi kullanarak üssü elde ederiz. Daha fazla hesaplama, üs derecesinin limitinin hesaplanmasına indirgenir.
Burada üstel fonksiyon sonsuza eğilimlidir çünkü değer birden e=2.72>1'den büyüktür.
Örnek 43 Kesrin paydasında sonsuz eksi sonsuz türünde bir belirsizlik var, bu aslında sıfıra bölmeye eşittir.
Kökten kurtulmak için eşlenik ifadeyle çarpıyoruz ve ardından kareler farkı formülünü kullanarak paydayı yeniden yazıyoruz.
Sonsuzluğun belirsizliğini sonsuza bölerek elde ederiz, böylece değişkeni en büyük ölçüde çıkarırız ve onu azaltırız.
Daha sonra her terimin katkısını değerlendiriyoruz ve fonksiyonun sonsuzdaki limitini buluyoruz. 
Limitler teorisi matematiksel analizin dallarından biridir. Çeşitli türlerdeki limitleri çözmek için düzinelerce yöntem olduğundan, limitleri çözme sorunu oldukça kapsamlıdır. Bunu veya bu sınırı çözmenize izin veren düzinelerce nüans ve püf noktası var. Yine de pratikte en sık karşılaşılan ana limit türlerini anlamaya çalışacağız.
Limit kavramıyla başlayalım. Ama önce kısa bir tarihsel arka plan. 19. yüzyılda matan kavramının pek çok kavramına kesin tanımlar veren ve temellerini atan Fransız Augustin Louis Cauchy yaşadı. Bu saygın matematikçinin, çok sayıda matematiksel analiz teoremini kanıtladığı ve bir teoremin diğerinden daha öldürücü olduğu için tüm fizik ve matematik bölümü öğrencilerinin kabuslarında olduğunu, öyle olduğunu ve olacağını söylemek gerekir. Bu bağlamda, henüz dikkate almayacağız Cauchy limitinin belirlenmesi, ama iki şey yapmaya çalışalım:
1. Limitin ne olduğunu anlayın.
2. Ana limit türlerini çözmeyi öğrenin.
Bazı bilimsel olmayan açıklamalar için özür dilerim, malzemenin bir çaydanlık için bile anlaşılır olması önemli ki bu da aslında projenin görevi.
Peki sınır nedir?
Ve neden tüylü büyükanneye bir örnek....
Herhangi bir limit üç bölümden oluşur:
1) İyi bilinen limit simgesi.
2) Bu durumda limit simgesinin altındaki girişler. Girişte "X bire eğilimlidir" yazıyor. Çoğu zaman - tam olarak, pratikte "X" yerine başka değişkenler olmasına rağmen. Pratik görevlerde, birinin yeri kesinlikle herhangi bir sayı ve sonsuz () olabilir.
3) Bu durumda limit işaretinin altındaki fonksiyonlar.
Kaydın kendisi 
şu şekilde okunur: "x birliğe doğru giderken bir fonksiyonun limiti."
Bir sonraki önemli soruya bakalım - “x” ifadesi ne anlama geliyor? çabalıyor birine"? Peki "çabalamak" ne anlama geliyor?
Limit kavramı tabiri caizse bir kavramdır, dinamik. Bir dizi oluşturalım: önce , sonra , , …, 
, ….
Yani “x” ifadesi çabalıyor bire” şu şekilde anlaşılmalıdır: “x” sürekli olarak değerleri alır birliğe sonsuz derecede yakın olan ve pratik olarak onunla örtüşen.
Yukarıdaki örnek nasıl çözülür? Yukarıdakilere dayanarak, limit işaretinin altındaki fonksiyona bir tane koymanız yeterlidir:
Yani ilk kural: Herhangi bir limit verildiğinde, ilk önce sayıyı fonksiyona yerleştirmeye çalışırız..
En basit sınırı düşündük, ancak bunlar pratikte de ortaya çıkıyor ve çok da nadir değil!
Sonsuzlukla örnek:
Ne olduğunu bulalım mı? Sınırsız arttığında durum budur: önce, sonra, sonra, sonra vb. sonsuza kadar.
Şu anda fonksiyona ne olacak?
, , 
, …
Yani: eğer ise fonksiyon eksi sonsuza doğru yönelir:
Kabaca söylersek ilk kuralımıza göre fonksiyonda “X” yerine sonsuzluğu koyarız ve cevaba ulaşırız.
Sonsuzluğa başka bir örnek:
Tekrar sonsuza kadar artırmaya başlıyoruz ve fonksiyonun davranışına bakıyoruz: 
Sonuç: fonksiyon sınırsız arttığında:
Ve bir dizi örnek daha:
Lütfen aşağıdakileri kendiniz zihinsel olarak analiz etmeye çalışın ve en basit sınır türlerini hatırlayın:
, , , , 
, , , , 
,
Herhangi bir yerde şüpheniz varsa, bir hesap makinesi alıp biraz pratik yapabilirsiniz.
Bu durumda , , dizisini oluşturmaya çalışın . Eğer öyleyse , , .
! Not: Açıkçası, birkaç sayıdan oluşan diziler oluşturmaya yönelik bu yaklaşım yanlıştır, ancak en basit örnekleri anlamak için oldukça uygundur.
Ayrıca şu hususa da dikkat edin. Üstte büyük bir sayıyla, hatta bir milyonla bir sınır verilse bile: yine de aynıdır. 
çünkü er ya da geç "X" o kadar devasa değerler almaya başlayacak ki, bir milyon karşılaştırıldığında gerçek bir mikrop olacak.
Yukarıdakilerden neyi hatırlamanız ve anlamanız gerekiyor?
1) Herhangi bir limit verildiğinde, önce sayıyı fonksiyonda yerine koymaya çalışırız.
2) Aşağıdaki gibi en basit sınırları anlamalı ve hemen çözmelisiniz: 
. . . vesaire.
Üstelik limitin çok iyi bir geometrik anlamı var. Konuyu daha iyi anlamak için öğretim materyalini okumanızı tavsiye ederim. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bu makaleyi okuduktan sonra, yalnızca limitin ne olduğunu anlamakla kalmayacak, aynı zamanda genel olarak bir fonksiyonun limitinin ne olduğuyla ilgili ilginç durumları da öğreneceksiniz. mevcut değil!
Uygulamada maalesef çok az hediye var. Bu nedenle daha karmaşık sınırları dikkate almaya geçiyoruz. Bu arada bu konu hakkında yoğun kurs pdf formatında, özellikle hazırlanmak için ÇOK az zamanınız varsa kullanışlıdır. Ancak site materyalleri elbette daha kötü değil:
Şimdi fonksiyon, payı ve paydası polinomlar içeren bir kesir olduğunda limit grubunu ele alacağız.
Örnek:
Limiti hesapla 
Kuralımıza göre fonksiyonun yerine sonsuzluğu koymaya çalışacağız. En üstte ne elde ederiz? Sonsuzluk. Peki aşağıda ne olur? Ayrıca sonsuzluk. Böylece tür belirsizliği denilen durumla karşı karşıyayız. Öyle düşünülebilir ve cevap hazırdır, ancak genel durumda durum hiç de böyle değildir ve şimdi ele alacağımız bazı çözüm tekniklerinin uygulanması gerekir.
Bu tür limitler nasıl çözülür?
İlk önce paya bakıyoruz ve en yüksek gücü buluyoruz: 
Payın baş kuvveti ikidir.
Şimdi paydaya bakıyoruz ve en yüksek kuvvetini de buluyoruz: 
Paydanın en yüksek derecesi ikidir.
Daha sonra pay ve paydanın en büyük kuvvetini seçiyoruz: bu örnekte bunlar aynı ve ikiye eşittir.
Yani çözüm yöntemi şu şekildedir: Belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı en büyük kuvvete bölmek gerekir.
İşte cevap, hiç de sonsuzluk değil.
Bir kararın tasarımında temel olarak önemli olan nedir?
Öncelikle varsa belirsizliği belirtiyoruz.
İkinci olarak ara açıklamalar için çözüme ara verilmesi tavsiye edilir. Ben genelde işaretini kullanıyorum, herhangi bir matematiksel anlamı yok ama çözümün ara bir açıklama için kesintiye uğradığı anlamına geliyor.
Üçüncüsü, limitte neyin nereye gittiğini işaretlemeniz tavsiye edilir. İş elle hazırlandığında bunu şu şekilde yapmak daha uygundur: 
Notlar için basit bir kalem kullanmak daha iyidir.
Elbette bunların hiçbirini yapmanıza gerek yok ama o zaman belki öğretmen çözümdeki eksikliklere dikkat çekecek veya ödevle ilgili ek sorular sormaya başlayacaktır. İhtiyacın var mı?
Örnek 2
Sınırı bulun 
Yine pay ve paydada en yüksek dereceyi buluyoruz: 
Payda maksimum derece: 3
Paydadaki maksimum derece: 4
Seçmek en büyük değer, bu durumda dört.
Algoritmamıza göre belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı 'ye bölüyoruz.
Görevin tamamı şöyle görünebilir:
Pay ve paydayı şuna bölün:
Örnek 3
Sınırı bulun 
Paydaki maksimum “X” derecesi: 2
Paydadaki “X”in maksimum derecesi: 1 (şu şekilde yazılabilir)
Belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı 'ye bölmek gerekir. Nihai çözüm şöyle görünebilir:
Pay ve paydayı şuna bölün:
Gösterim sıfıra bölmek anlamına gelmez (sıfıra bölemezsiniz), sonsuz küçük bir sayıya bölmek anlamına gelir.
Böylece tür belirsizliğini açığa çıkararak şunları yapabiliriz: son sayı, sıfır veya sonsuz.
Tür belirsizliği ve bunları çözme yöntemi ile sınırlar
Bir sonraki limit grubu, biraz önce ele alınan limitlere benzer: pay ve payda polinomlar içerir, ancak "x" artık sonsuza gitme eğiliminde değildir, ancak sonlu sayı.
Örnek 4
Limiti çöz 
Öncelikle kesrin yerine -1 koymayı deneyelim: 
Bu durumda belirsizlik adı verilen durum elde edilir.
Genel kural: pay ve payda polinomlar içeriyorsa ve formda belirsizlik varsa, bunu açıklayın pay ve paydayı çarpanlarına ayırmanız gerekir.
Bunu yapmak için çoğunlukla ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz ve/veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmanız gerekir. Bunları unuttuysanız sayfayı ziyaret edin Matematiksel formüller ve tablolar ve öğretim materyalini okuyun Okul matematik dersi için sıcak formüller. Bu arada, yazdırmak en iyisidir; çok sık gereklidir ve bilgiler kağıttan daha iyi emilir.
O halde hadi limitimizi çözelim 
Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın
Payı çarpanlara ayırmak için ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerekir: 
İlk önce diskriminantı buluyoruz:
Ve bunun karekökü: .
Diskriminant büyükse, örneğin 361, bir hesap makinesi kullanırız; karekök çıkarma işlevi en basit hesap makinesindedir.
! Kök bütünüyle çıkarılmazsa (virgüllü kesirli bir sayı elde edilirse), diskriminantın yanlış hesaplanmış olması veya görevde bir yazım hatası olması muhtemeldir.
Daha sonra kökleri buluyoruz: 
Böylece:
Tüm. Pay çarpanlara ayrılmıştır.
Payda. Payda zaten en basit faktördür ve onu basitleştirmenin bir yolu yoktur.
Açıkçası, şu şekilde kısaltılabilir:
Şimdi limit işaretinin altında kalan ifadeyi -1 ile değiştiriyoruz:
Doğal olarak bir testte, testte veya sınavda çözüm hiçbir zaman bu kadar detaylı yazılmaz. Son versiyonda tasarım şöyle görünmelidir:
Payı çarpanlarına ayıralım. 
Örnek 5
Limiti hesapla 
İlk olarak çözümün “bitiş” versiyonu
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
Pay:
Payda: 
, 
Bu örnekte önemli olan nedir?
Öncelikle payın nasıl ortaya çıktığını iyi anlamalısınız, önce parantezlerden 2'yi çıkardık, sonra kareler farkı formülünü kullandık. Bilmeniz ve görmeniz gereken formül budur.
Tavsiye: Bir limitte (neredeyse her türde) bir sayıyı parantezlerden çıkarmak mümkünse, o zaman bunu her zaman yaparız.
Ayrıca bu sayıların sınır simgesinin ötesine taşınması tavsiye edilir.. Ne için? Evet, sırf yolumuza çıkmasınlar diye. Önemli olan daha sonra çözüm sırasında bu sayıları kaybetmemek.
Lütfen çözümün son aşamasında limit simgesinden ikisini ve ardından eksiyi çıkardığımı unutmayın.
! Önemli
Çözüm sırasında tip parçası çok sık ortaya çıkıyor. Bu oranı azaltınyasak
. Öncelikle payın veya paydanın işaretini değiştirmeniz gerekir (parantez içine -1 koyun).
yani limit hesaplanırken dikkate alınan bir eksi işareti belirir ve onu kaybetmeye hiç gerek yoktur.
Genel olarak, bu tür limitleri bulurken çoğu zaman iki ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerektiğini fark ettim, yani hem pay hem de payda ikinci dereceden üç terimli sayılar içeriyor.
Pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpma yöntemi
Formun belirsizliğini dikkate almaya devam ediyoruz
Bir sonraki limit türü önceki türe benzer. Tek şey polinomlara ek olarak kökleri de ekleyeceğiz.
Örnek 6
Sınırı bulun 
Karar vermeye başlayalım.
İlk önce limit işaretinin altındaki ifadeye 3'ü koymaya çalışıyoruz
Bir kez daha tekrar ediyorum - HERHANGİ bir limit için yapmanız gereken ilk şey budur. Bu eylem genellikle zihinsel olarak veya taslak halinde gerçekleştirilir.
Ortadan kaldırılması gereken bir form belirsizliği elde edildi. 
Muhtemelen fark ettiğiniz gibi payımız kök farkını içermektedir. Ve matematikte mümkünse köklerden kurtulmak gelenekseldir. Ne için? Ve onlarsız hayat daha kolaydır.