Logaritmalarla ilgili bölüm “Matematiksel Analiz” okul dersinde büyük önem taşımaktadır. Logaritmik fonksiyonlara ilişkin problemler, eşitsizlikler ve denklemlere ilişkin problemlerden farklı ilkelere dayanmaktadır. Logaritma ve logaritmik fonksiyon kavramlarının tanımları ve temel özelliklerinin bilinmesi, tipik USE problemlerinin başarılı çözümünü sağlayacaktır.
Logaritmik fonksiyonun ne olduğunu açıklamaya başlamadan önce logaritmanın tanımına bakmakta fayda var.
Spesifik bir örneğe bakalım: a log a x = x, burada a › 0, a ≠ 1.
Logaritmanın temel özellikleri birkaç noktada sıralanabilir:
Logaritma
Logaritma, bir kavramın özelliklerini kullanarak bir sayının veya ifadenin logaritmasını bulmayı sağlayan matematiksel bir işlemdir.
Örnekler:
Logaritma fonksiyonu ve özellikleri
Logaritmik fonksiyon şu şekildedir:
Bir fonksiyonun grafiğinin a › 1 olduğunda artan, 0 ‹ a ‹ 1 olduğunda azalan olabileceğini hemen belirtelim. Buna bağlı olarak fonksiyon eğrisi şu ya da bu şekilde olacaktır.
Logaritmaları çizmenin özellikleri ve yöntemi şunlardır:
- f(x)'in tanım kümesi tüm pozitif sayıların kümesidir, yani. x, (0; + ∞) aralığından herhangi bir değeri alabilir;
- ODZ işlevi tüm gerçek sayıların kümesidir; y, (— ∞; +∞) aralığındaki herhangi bir sayıya eşit olabilir;
- logaritmanın tabanı a › 1 ise f(x) tüm tanım kümesi boyunca artar;
- logaritmanın tabanı 0 ‹ a ‹ 1 ise F azalıyor;
- logaritmik fonksiyon ne çift ne de tektir;
- grafik eğrisi her zaman koordinatları (1;0) olan noktadan geçer.
Her iki grafik türünü de oluşturmak çok kolaydır; bir örnek kullanarak sürece bakalım;
Öncelikle basit logaritmanın özelliklerini ve fonksiyonlarını hatırlamanız gerekir. Onların yardımıyla x ve y'nin belirli değerleri için bir tablo oluşturmanız gerekir. Daha sonra ortaya çıkan noktaları koordinat ekseninde işaretlemeli ve bunları düzgün bir çizgiyle birleştirmelisiniz. Bu eğri gerekli grafik olacaktır.
Logaritmik fonksiyon, y= a x ile verilen üstel fonksiyonun tersidir. Bunu doğrulamak için her iki eğriyi de aynı koordinat eksenine çizmek yeterlidir.
Her iki çizginin de birbirinin ayna görüntüsü olduğu açıktır. Y = x düz çizgisini çizerek simetri eksenini görebilirsiniz.
Sorunun cevabını hızlı bir şekilde bulmak için, y = log 2 x için noktaların değerlerini hesaplamanız ve ardından koordinat noktasının kökenini OY ekseni boyunca üç bölüm aşağıya ve 2 bölüme taşımanız gerekir. OX ekseni boyunca sola.
Kanıt olarak y = log 2 (x+2)-3 grafiğindeki noktalar için bir hesaplama tablosu oluşturalım ve elde edilen değerleri şekille karşılaştıralım.
Gördüğünüz gibi tablodaki koordinatlar ile grafikteki noktalar çakışıyor, dolayısıyla eksenler boyunca aktarım doğru bir şekilde gerçekleştirildi.
Tipik Birleşik Devlet Sınavı problemlerini çözme örnekleri
Test problemlerinin çoğu iki kısma ayrılabilir: tanım kümesinin aranması, grafik çizimine göre fonksiyon tipinin belirtilmesi, fonksiyonun artan/azalan olup olmadığının belirlenmesi.
Görevleri hızlı bir şekilde cevaplamak için, logaritma üssü a › 1 ise f(x)'in arttığını ve 0 ‹ a ‹ 1 ise f(x)'in arttığını açıkça anlamak gerekir. Ancak sadece taban değil, argüman da şekli büyük ölçüde etkileyebilir. fonksiyon eğrisinin.
Onay işaretiyle işaretlenen F(x) doğru yanıtlardır. Bu durumda şüpheler örnek 2 ve 3'te ortaya çıkmaktadır. Kütüğün önündeki “-” işareti artarak azalarak veya tam tersi şekilde değişmektedir.
Bu nedenle, y=-log 3 x grafiği tüm tanım alanı boyunca azalır ve 0 ‹ a ‹ 1 olmasına rağmen y= -log (1/3) x grafiği artar.
Cevap: 3,4,5.
Cevap: 4.
Bu tür görevler kolay kabul edilir ve 1-2 puanla puanlanır.
Görev 3.
Fonksiyonun azalan mı yoksa artan mı olduğunu belirleyin ve tanımının tanım kümesini belirtin.
Y = log 0,7 (0,1x-5)
Logaritmanın tabanı birden küçük fakat sıfırdan büyük olduğundan x'in fonksiyonu azalmaktadır. Logaritmanın özelliklerine göre argümanın da sıfırdan büyük olması gerekir. Eşitsizliği çözelim:
Cevap: tanım alanı D(x) – aralık (50; + ∞).
Cevap: 3, 1, OX ekseni, sağ.
Bu tür görevler ortalama olarak sınıflandırılır ve 3 - 4 puanla puanlanır.
Görev 5. Bir fonksiyonun değer aralığını bulun:
Logaritmanın özelliklerinden argümanın yalnızca pozitif olabileceği bilinmektedir. Bu nedenle fonksiyonun kabul edilebilir değer aralığını hesaplayacağız. Bunu yapmak için iki eşitsizlik sistemini çözmeniz gerekecek.
Gerçek logaritma
Gerçek sayı günlüğünün logaritması A B src = "/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border = "0"> ile anlamlıdır.
En yaygın kullanılan logaritma türleri şunlardır:
Logaritmik sayıyı bir değişken olarak düşünürsek, logaritmik fonksiyon, Örneğin: . Bu fonksiyon sayı doğrusunda sağ tarafta tanımlanmıştır: X> 0, süreklidir ve türevlenebilirdir (bkz. Şekil 1).
Özellikler
Doğal logaritmalar
Eşitlik doğru olduğunda
| (1) |
özellikle,
Bu seri daha hızlı yakınsar ve ayrıca formülün sol tarafı artık herhangi bir pozitif sayının logaritmasını ifade edebilir.
Ondalık logaritmayla ilişki: .
Ondalık logaritmalar
Pirinç. 2. Logaritmik ölçek
10 tabanına göre logaritma (sembol: lg A) hesap makinelerinin icadından önce hesaplamalar için yaygın olarak kullanılıyordu. Ondalık logaritmaların eşit olmayan ölçeği genellikle slayt kurallarında da işaretlenir. Benzer bir ölçek, bilimin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır, örneğin:
- Kimya - hidrojen iyonlarının aktivitesi ().
- Müzik teorisi - müzik notalarının frekanslarına göre notaların bir ölçeği.
Logaritmik ölçek aynı zamanda güç ilişkilerindeki üssü ve üsdeki katsayıyı tanımlamak için de yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu durumda, bir veya iki eksen boyunca logaritmik ölçekte oluşturulan grafik, incelenmesi daha kolay olan düz bir çizgi şeklini alır.
Karmaşık logaritma
Çok değerli işlev
Riemann yüzeyi
Karmaşık bir logaritmik fonksiyon, Riemann yüzeyinin bir örneğidir; hayali kısmı (Şekil 3), spiral gibi bükülmüş sonsuz sayıda daldan oluşur. Bu yüzey basitçe bağlantılıdır; onun tek sıfırı (birinci dereceden) elde edilir z= 1, tekil noktalar: z= 0 ve (sonsuz dereceden dallanma noktaları).
Logaritmanın Riemann yüzeyi, 0 noktası olmayan karmaşık düzlemin evrensel kaplamasıdır.
Tarihsel eskiz
Gerçek logaritma
Karmaşık hesaplamalara olan ihtiyaç 16. yüzyılda hızla arttı ve zorlukların çoğu, çok basamaklı sayıları çarpma ve bölmeyle ilgiliydi. Yüzyılın sonunda, birkaç matematikçi neredeyse aynı anda şu fikri ortaya attı: Emek yoğun çarpma işlemini basit toplama işlemiyle değiştirmek, geometrik ve aritmetik ilerlemeleri geometrik olan orijinal olanla karşılaştırmak için özel tablolar kullanmak. Daha sonra bölme işleminin yerini otomatik olarak ölçülemeyecek kadar basit ve daha güvenilir çıkarma işlemi alır. Bu fikrini kitabında ilk yayınlayan oydu. Aritmetika integrali"Ancak Michael Stiefel fikrini hayata geçirmek için ciddi bir çaba göstermedi.
1620'lerde Edmund Wingate ve William Oughtred, vazgeçilmez bir mühendis aracı olan cep hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce ilk hesap cetvelini icat etti.
Logaritmanın modern anlayışına yakın bir anlayışı (bir kuvvete yükseltmenin ters işlemi olarak) ilk kez Wallis ve Johann Bernoulli ile ortaya çıktı ve nihayet 18. yüzyılda Euler tarafından meşrulaştırıldı. “Sonsuz Analizine Giriş” () kitabında Euler, hem üstel hem de logaritmik fonksiyonların modern tanımlarını vermiş, bunları kuvvet serilerine genişletmiş ve özellikle doğal logaritmanın rolüne dikkat çekmiştir.
Euler ayrıca logaritmik fonksiyonu karmaşık alana genişletme konusunda da itibar sahibidir.
Karmaşık logaritma
Logaritmaları karmaşık sayılara genişletmeye yönelik ilk girişimler 17. ve 18. yüzyılların başında Leibniz ve Johann Bernoulli tarafından yapıldı, ancak öncelikle logaritma kavramının henüz açıkça tanımlanmamış olması nedeniyle bütünsel bir teori yaratmada başarısız oldular. Bu konudaki tartışma ilk olarak Leibniz ile Bernoulli arasında, 18. yüzyılın ortalarında ise d'Alembert ile Euler arasında yaşandı. Bernoulli ve d'Alembert bunun belirlenmesi gerektiğine inanıyordu log(-x) = log(x). Negatif ve karmaşık sayıların logaritmasının tam teorisi 1747-1751'de Euler tarafından yayınlandı ve esasen modern olandan farklı değil.
Anlaşmazlık devam etse de (D'Alembert kendi bakış açısını savundu ve bunu Ansiklopedisindeki bir makalede ve diğer eserlerinde ayrıntılı olarak tartıştı), Euler'in bakış açısı hızla evrensel kabul gördü.
Logaritmik tablolar
Logaritmik tablolar
Logaritmanın özelliklerinden, çok basamaklı sayıların emek yoğun çarpması yerine, (tablolardan) bulup logaritmalarını toplamanın ve ardından aynı tabloları kullanarak potansiyelleştirme gerçekleştirmenin, yani bulmanın yeterli olduğu sonucu çıkar. sonucun logaritmasından elde edilen değeri. Bölme işlemi yalnızca logaritmaların çıkarılması bakımından farklılık gösterir. Laplace, logaritmanın icadının hesaplama sürecini büyük ölçüde hızlandırarak "gökbilimcilerin ömrünü uzattığını" söyledi.
Bir sayıdaki virgülün yerini değiştirirken N rakam, bu sayının ondalık logaritmasının değeri olarak değişir N. Örneğin log8314.63 = log8.31463 + 3. 1'den 10'a kadar olan sayılar için bir ondalık logaritma tablosu derlemenin yeterli olduğu anlaşılmaktadır.
İlk logaritma tabloları John Napier () tarafından yayınlandı ve yalnızca trigonometrik fonksiyonların logaritmalarını ve hatalarını içeriyordu. Ondan bağımsız olarak Kepler'in () arkadaşı Joost Bürgi tablolarını yayınladı. 1617'de Oxford matematik profesörü Henry Briggs, sayıların 1'den 1000'e kadar 8 (daha sonra 14) basamaklı ondalık logaritmasını içeren tablolar yayınladı. Ancak Briggs'in tablolarında da hatalar vardı. Vega tablolarına () dayanan ilk hatasız baskı yalnızca 1857'de Berlin'de (Bremiwer tabloları) ortaya çıktı.
Rusya'da ilk logaritma tabloları 1703 yılında L. F. Magnitsky'nin katılımıyla yayınlandı. SSCB'de çeşitli logaritma tabloları koleksiyonları yayınlandı.
- Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları. 44. baskı, M., 1973.
Sayfa 1
Logaritmik fonksiyon (80), tam z düzlemi üzerinde sonsuz tabakalı bir Riemann yüzeyi olan - i / /: i şeridine keserek tüm w düzleminin ters eşlemesini gerçekleştirir.
Logaritmik fonksiyon: y logax; burada logaritma tabanı a, bire eşit olmayan pozitif bir sayıdır.
Logaritmik fonksiyon, algoritmaların tasarımında ve analizinde özel bir rol oynar, bu nedenle daha ayrıntılı olarak ele alınmaya değer. Çoğunlukla sabit faktörün atlandığı analitik sonuçlarla uğraştığımız için tabanı atlayarak log TV gösterimini kullanırız. Logaritma tabanını değiştirmek, logaritmanın değerini yalnızca sabit bir faktör kadar değiştirir, ancak belirli bağlamlarda logaritma tabanının özel anlamları ortaya çıkar.
Logaritmik fonksiyon üstel fonksiyonun tersidir. Grafiği (Şekil 247), üstel fonksiyonun grafiğinden (aynı tabanla), çizimin birinci koordinat açısının açıortayı boyunca bükülmesiyle elde edilir. Herhangi bir ters fonksiyonun grafiği de elde edilir.
Logaritmik fonksiyon daha sonra üstel fonksiyonun tersi olarak tanıtılır. Her iki fonksiyonun özellikleri de bu tanımlardan kolaylıkla elde edilebilir. Gauss'un onayını alan da bu tanımdı; Gauss, aynı zamanda Göttingen Scientific News'in incelemesinde kendisine verilen değerlendirmeye katılmadığını da ifade etti. Aynı zamanda Gauss konuya da Cunha'dan daha geniş bir bakış açısıyla yaklaştı. İkincisi, kendisini gerçek bölgedeki üstel ve logaritmik fonksiyonları dikkate almakla sınırlandırırken Gauss, tanımlarını karmaşık değişkenleri kapsayacak şekilde genişletti.
Logaritmik fonksiyon y logax, tüm tanım alanı boyunca monotondur.
Logaritmik fonksiyon tüm tanım alanı boyunca sürekli ve türevlenebilirdir.
Bir logaritmik fonksiyon, eğer a I ise monoton olarak artar. 0 a 1 için, a tabanlı bir logaritmik fonksiyon monoton olarak azalır.
Logaritmik fonksiyon yalnızca x'in pozitif değerleri için tanımlanır ve bire bir aralığı (0; 4 - os.) görüntüler.
Logaritmik fonksiyon y loga x üstel fonksiyon yax'ın ters fonksiyonudur.
Logaritmik fonksiyon: y ogax, burada logaritma tabanı a, bire eşit olmayan pozitif bir sayıdır.
Logaritmik fonksiyonlar, gerinim oranının düşük olduğu koşullar altında polietilen sürünmesinin doğasına ilişkin fiziksel kavramlarla iyi bir şekilde birleşir. Bu bakımdan Andraade denklemiyle örtüşürler, dolayısıyla bazen deneysel verilere yaklaşmak için kullanılırlar.
Logaritmik fonksiyon veya doğal logaritma ve In z, aşkın denklem g ei'nin u'ya göre çözülmesiyle belirlenir. X ve y'nin gerçek değerleri bölgesinde, x 0 koşulu altında bu denklem benzersiz bir çözümü kabul eder.
10. sınıfta cebir dersi
Konu: “Logaritmik fonksiyon, özellikleri ve grafiği”
Hedefler:
eğitici: Geçmiş deneyimlerden yararlanarak logaritmik fonksiyon kavramını tanıtın, tanımını verin. Logaritmik fonksiyonun temel özelliklerini inceleyin. Logaritmik bir fonksiyonun grafiğini oluşturma yeteneğini geliştirin.
Gelişimsel: Ana şeyi vurgulama, karşılaştırma, genelleme yeteneğini geliştirin. Öğrenciler arasında grafik kültürü oluşturmak.
Eğitici: Matematik ile çevredeki gerçeklik arasındaki ilişkiyi gösterin. İletişim becerilerini, diyalogu ve bir takımda çalışma yeteneğini geliştirin.
Ders türü: Kombine
Öğretim yöntemleri: Kısmen arama, etkileşimli.
Ders ilerlemesi.
1. Geçmiş deneyimlerin güncellenmesi:
Öğrencilere logaritmanın tanımını, özelliklerini, yeni bir tabana geçme formüllerini, en basit logaritmik ve üstel denklemleri çözmeyi, logaritmik ifadeler için kabul edilebilir değer aralığını bulma örneklerini kullanarak sözlü alıştırmalar sunulur.
Sözlü egzersizlerSözlü çalışma.
1) Logaritmanın tanımını kullanarak hesaplayın: kayıt 2 8; kayıt 4 16;.
2) Temel logaritmik özdeşliği kullanarak hesaplayın:
3) Tanımı kullanarak denklemi çözün:
4) İfadenin hangi x değerlerinde anlamlı olduğunu öğrenin:
5) Logaritmanın özelliklerini kullanarak ifadenin değerini bulun:
2. Konuyu inceleyin.Öğrencilerden üstel denklemleri çözmeleri istenir: 2 x =y; () x = y. x değişkenini y değişkeni cinsinden ifade ederek. Bu çalışmanın sonucunda öğrencilere yabancı olan fonksiyonları tanımlayan formüller elde edilmiştir. ,. Soru : “Bu fonksiyona ne ad verirsiniz?” Öğrenciler, değişken logaritma işaretinin altında olduğundan bunun logaritmik olduğunu söylüyorlar: .
Soru . Bir fonksiyon tanımlayın. Tanım: y=log formülüyle verilen bir fonksiyon A x'e a (a>0, a) tabanlı logaritmik denir 1)
III. Fonksiyon çalışması y=günlük A X
Daha yakın zamanlarda, pozitif bir sayının pozitif ve 1 olmayan bir a tabanına göre logaritması kavramını tanıttık. Herhangi bir pozitif sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulabilirsiniz. Ancak o zaman y=log biçiminde bir fonksiyon düşünmelisiniz. balta, ve grafikleri ve özellikleri hakkında.y=log formülüyle verilen fonksiyon A x'e a (a>0, a) tabanlı logaritmik denir 1)
Logaritmik fonksiyonun temel özellikleri:
1. Logaritmik fonksiyonun tanım alanı, pozitif gerçek sayılar kümesinin tamamı olacaktır. Kısaca söylemek gerekirse, buna da denirR+. Bu bariz bir özelliktir, çünkü her pozitif sayının a tabanına göre bir logaritması vardır.D(F)=R+
2. Logaritmik fonksiyonun aralığı gerçek sayılar kümesinin tamamı olacaktır.e(F)= (-∞; +∞)
3 . Logaritmik bir fonksiyonun grafiği her zaman (1;0) noktasından geçer.
4 . Lyaşın logaritmik fonksiyonuhayır bir anda>1 ve azalır 0'da<х<1.
5 . Fonksiyon çift veya tek değildir. Logaritmik fonksiyon - genel bir fonksiyonA.
6 . Fonksiyonun maksimum veya minimum noktası yoktur, tanım alanında süreklidir.
Aşağıdaki şekilde azalan logaritmik fonksiyonun grafiği gösterilmektedir - (0
Aynı koordinat ekseninde aynı tabanlara sahip üstel ve logaritmik fonksiyonlar oluşturursanız, bu fonksiyonların grafikleri y = x düz çizgisine göre simetrik olacaktır. Bu ifade aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
Yukarıdaki ifade hem artan hem de azalan logaritmik ve üstel fonksiyonlar için geçerli olacaktır.
Bir örnek düşünün: f(x) = log logaritmik fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun 8 (4 - 5x).
Logaritmik fonksiyonun özelliklerine dayanarak, tanım alanı R+ pozitif gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Daha sonra verilen fonksiyon 4 - 5x>0 olan x için tanımlanacaktır. Bu eşitsizliği çözersek x elde ederiz<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) aralığı (-∞;0,8) olacaktır
GeoGebra'daki logaritmik fonksiyonların grafikleri
Logaritmik Fonksiyon Grafikleri
1) doğal logaritma y = ln (x)
2) ondalık logaritma y = log(x)
3) 2 tabanı logaritması y = ld (x)
V. Konuyu pekiştirmek
Logaritmik fonksiyonun elde edilen özelliklerini kullanarak aşağıdaki problemleri çözeceğiz:
1. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun: y=log 8 (4-5x);y=log 0,5 (2x+8);
3. Fonksiyonların grafiklerini şematik olarak oluşturun: y=log 2 (x+2) -3 y= log 2 (x) +2
Logaritmik fonksiyon kavramı
Öncelikle logaritmanın gerçekte ne olduğunu hatırlayalım.
Tanım 1
$b\in R$ sayısının $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) tabanına göre logaritması, sayıyı elde etmek için $a$ sayısının yükseltilmesi gereken $c$ sayısıdır $b$.
$f\left(x\right)=a^x$ üstel fonksiyonunu düşünün, burada $a >1$. Bu fonksiyon artan ve süreklidir ve gerçek ekseni $(0,+\infty)$ aralığına eşler. O halde, bir ters sürekli fonksiyonun varlığına ilişkin teoreme göre, $Y=(0,+\infty)$ kümesinde bir ters fonksiyon $x=f^(-1)(y)$ vardır, bu da aynı zamanda süreklidir ve $Y $ cinsinden artar ve $(0,+\infty)$ aralığını tüm gerçek eksene eşler. Bu ters fonksiyona $a\ (a >1)$ tabanına göre logaritmik fonksiyon adı verilir ve $y=((log)_a x\ )$ ile gösterilir.
Şimdi $f\left(x\right)=a^x$ üstel fonksiyonunu düşünün, burada $0
Böylece $a$ tabanının tüm olası değerleri için logaritmik bir fonksiyon tanımlamış olduk. Bu iki durumu ayrıca ayrı ayrı ele alalım.
1%24"> Fonksiyon $y=((log)_a x\ ),\ a >1$
düşünelim özellikler bu fonksiyon.
$Oy$ ekseniyle hiçbir kesişme yoktur.
Fonksiyon $x\in (1,+\infty)$ için pozitif ve $x\in (0,1)$ için negatiftir.
$y"=\frac(1)(xlna)$;
Minimum ve maksimum puanlar:
Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar;
$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;
\[-\frac(1)(x^2lna)Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir;
$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;
Fonksiyon grafiği (Şekil 1).
Şekil 1. $y=((log)_a x\ ),\ a >1$ fonksiyonunun grafiği
Fonksiyon $y=((log)_a x\ ), \ 0
Bu fonksiyonun özelliklerine bakalım.
Etki alanı -- aralık $(0,+\infty)$;
Aralık: tüm gerçek sayılar;
Fonksiyon ne çift ne de tektir.
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları:
$Oy$ ekseniyle hiçbir kesişme yoktur.
$y=0$ için, $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ $Ox$ ekseniyle kesişim: (1,0).
Fonksiyon $x\in (0,1)$ için pozitif ve $x\in (1,+\infty)$ için negatiftir.
$y"=\frac(1)(xlna)$;
Minimum ve maksimum puanlar:
\[\frac(1)(xlna)=0-kökler\ hayır\]
Maksimum ve minimum puan yoktur.
$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;
Dışbükey ve içbükey aralıklar:
\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]
Fonksiyon grafiği (Şekil 2).
Logaritmik fonksiyonların araştırılması ve oluşturulmasına örnekler
Örnek 1
$y=2-((log)_2 x\ )$ fonksiyonunu keşfedin ve grafiğini çizin
Etki alanı -- aralık $(0,+\infty)$;
Aralık: tüm gerçek sayılar;
Fonksiyon ne çift ne de tektir.
Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları:
$Oy$ ekseniyle hiçbir kesişme yoktur.
$y=0$ olduğunda, $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ $Ox$ ekseni ile kesişim: (4,0).
Fonksiyon $x\in (0,4)$ için pozitif ve $x\in (4,+\infty)$ için negatiftir.
$y"=-\frac(1)(xln2)$;
Minimum ve maksimum puanlar:
\[-\frac(1)(xln2)=0-kökler\ hayır\]
Maksimum ve minimum puan yoktur.
Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca azalır;
$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;
Dışbükey ve içbükey aralıklar:
\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]
Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca içbükeydir;
$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=-\infty ,\ $;
Şekil 3.