อะไรที่เรียกว่ายกกำลังของตัวเลข? คำนวณนิพจน์

เครื่องคิดเลขช่วยให้คุณเพิ่มเลขยกกำลังออนไลน์ได้อย่างรวดเร็ว ฐานของระดับอาจเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ (ทั้งจำนวนเต็มและจำนวนจริง) เลขชี้กำลังอาจเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจริงก็ได้ และอาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ โปรดทราบว่าสำหรับจำนวนลบ การยกกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มนั้นไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้นเครื่องคิดเลขจะรายงานข้อผิดพลาดหากคุณพยายามดำเนินการ

เครื่องคิดเลขปริญญา

ยกขึ้นสู่อำนาจ

การยกกำลัง: 20880

พลังธรรมชาติของตัวเลขคืออะไร?

จำนวน p เรียกว่ากำลังที่ n ของจำนวน ถ้า p เท่ากับจำนวน a คูณด้วยตัวมันเอง n ครั้ง: p = a n = a·...·a
n - เรียกว่า เลขชี้กำลังและหมายเลข a คือ พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา.

จะเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติได้อย่างไร?

เพื่อทำความเข้าใจวิธีการสร้าง ตัวเลขที่แตกต่างกันสำหรับพลังธรรมชาติ ลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่างที่ 1- ยกเลขสามยกกำลังสี่ นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 3 4
สารละลาย: ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น 3 4 = 3·3·3·3 = 81
คำตอบ: 3 4 = 81 .

ตัวอย่างที่ 2- ยกเลขห้าขึ้นยกกำลังห้า นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 5 5
สารละลาย: ในทำนองเดียวกัน 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125
คำตอบ: 5 5 = 3125 .

ดังนั้นการที่จะเพิ่มจำนวนให้เป็น ระดับธรรมชาติคุณแค่ต้องคูณมันเอง n ครั้ง

กำลังลบของตัวเลขคืออะไร?

กำลังลบ -n ของ a คือค่าที่หารด้วย a ยกกำลัง n: a -n =

ในกรณีนี้ องศาที่เป็นลบจะมีเฉพาะกับตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น ตั้งแต่ใน มิฉะนั้นการหารด้วยศูนย์จะเกิดขึ้น

จะเพิ่มจำนวนให้เป็นจำนวนเต็มลบได้อย่างไร?

หากต้องการเพิ่มจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ให้เป็นค่าลบ คุณต้องคำนวณค่าของจำนวนนี้ให้เป็นค่าบวกเท่าเดิม แล้วหาร 1 ด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 1- ยกเลข 2 ขึ้นเป็นลบยกกำลังที่ 4 นั่นคือคุณต้องคำนวณ 2 -4

สารละลาย: ตามที่ระบุไว้ข้างต้น 2 -4 = = = 0.0625

คำตอบ: 2 -4 = 0.0625 .

ในบทความนี้เราจะมาดูกันว่ามันคืออะไร ระดับของ- ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของกำลังของตัวเลข ในขณะที่เราจะพิจารณารายละเอียดเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเริ่มจากเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในเนื้อหาคุณจะพบตัวอย่างองศามากมายซึ่งครอบคลุมรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดที่เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ, กำลังสองของตัวเลข, ยกกำลังสามของตัวเลข

เรามาเริ่มกันที่ เมื่อมองไปข้างหน้า สมมุติว่า นิยามของการยกกำลังของจำนวน a ด้วย ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ n ถูกกำหนดไว้สำหรับ a ซึ่งเราจะเรียก พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาและ n ซึ่งเราจะเรียกว่า เลขชี้กำลัง- นอกจากนี้ เรายังสังเกตด้วยว่าระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นถูกกำหนดผ่านผลคูณ ดังนั้นเพื่อที่จะเข้าใจเนื้อหาด้านล่าง คุณจะต้องมีความเข้าใจเรื่องการคูณตัวเลข

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ nคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ a n ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a นั่นคือ
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลัง 1 ก็คือตัวเลข a ซึ่งก็คือ a 1 =a

เป็นเรื่องที่ควรพูดถึงทันทีเกี่ยวกับกฎการอ่านองศา วิธีการสากลการอ่านค่า a n คือ: “a ยกกำลัง n” ในบางกรณี สามารถใช้ตัวเลือกต่อไปนี้ได้: “a กำลัง n” และ “กำลัง n ของ a” ตัวอย่างเช่น ลองยกกำลัง 8 12 ซึ่งก็คือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "ยกกำลังสิบสองของแปด"

กำลังสองของตัวเลข เช่นเดียวกับกำลังสามของตัวเลข มีชื่อเป็นของตัวเอง เรียกว่ากำลังสองของตัวเลข ยกกำลังสองจำนวนเช่น 7 2 อ่านว่า “เจ็ดกำลังสอง” หรือ “กำลังสองของเลขเจ็ด” เรียกว่ากำลังสามของจำนวน ตัวเลขกำลังสามเช่น 5 3 อ่านว่า "ห้าลูกบาศก์" หรืออาจพูดว่า "ลูกบาศก์ของเลข 5" ก็ได้

ถึงเวลาที่ต้องนำมา ตัวอย่างองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ- เริ่มจากดีกรี 5 7 โดยที่ 5 คือฐานของดีกรี และ 7 เป็นเลขชี้กำลัง อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4.32 คือฐาน และ จำนวนธรรมชาติ 9 – เลขชี้กำลัง (4.32) 9 .

โปรดทราบว่าใน ตัวอย่างสุดท้ายฐานของระดับ 4.32 เขียนไว้ในวงเล็บ: เพื่อหลีกเลี่ยงความคลาดเคลื่อน เราจะใส่ฐานของระดับที่แตกต่างจากจำนวนธรรมชาติทั้งหมดในวงเล็บ ตามตัวอย่าง เราให้องศาต่อไปนี้พร้อมเลขชี้กำลังธรรมชาติ ฐานของพวกมันไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ จึงเขียนอยู่ในวงเล็บ เพื่อความชัดเจนโดยสมบูรณ์ ณ จุดนี้เราจะแสดงความแตกต่างที่มีอยู่ในบันทึกของรูปแบบ (−2) 3 และ −2 3 นิพจน์ (−2) 3 คือกำลังของ −2 โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็น 3 และนิพจน์ −2 3 (เขียนได้เป็น −(2 3) ) สอดคล้องกับตัวเลข ค่าของกำลัง 2 3 .

โปรดทราบว่ามีสัญลักษณ์ยกกำลังของตัวเลข a โดยมีเลขชี้กำลัง n อยู่ในรูป a^n ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีหลายค่า เลขยกกำลังจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 4^9 เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งสำหรับยกกำลังของ 4 9 และนี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมของการเขียนองศาโดยใช้สัญลักษณ์ “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . ต่อไปนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ระดับในรูปแบบ a n เป็นหลัก

ปัญหาหนึ่งที่ตรงกันข้ามกับการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือปัญหาการหาฐานของกำลังโดย คุณค่าที่ทราบองศาและ ตัวบ่งชี้ที่ทราบ- ภารกิจนี้นำไปสู่.

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า สรุปตัวเลขประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วนอย่างละจำนวน จำนวนเศษส่วนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมบวกหรือลบได้ เรากำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มเป็น ย่อหน้าก่อนหน้าดังนั้น เพื่อให้คำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะสมบูรณ์ คุณจะต้องให้ความหมายของระดับของตัวเลข a ด้วย ตัวบ่งชี้เศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ มาทำกัน.

ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ - หากเราคำนึงถึงผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันและวิธีการกำหนด ก็มีเหตุผลที่จะยอมรับโดยมีเงื่อนไขว่าสำหรับ m, n และนิพจน์ที่กำหนดให้นั้นสมเหตุสมผล

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)

การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: หากกำหนดให้ m, n และนิพจน์นั้นสมเหตุสมผลแล้ว กำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n จะเรียกว่ารากที่ n ของ a ยกกำลัง m

ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายว่า m, n และนิพจน์ใดที่สมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดของ m, n และ a มีสองแนวทางหลัก

วิธีที่ง่ายที่สุดคือกำหนดข้อจำกัดให้กับ a โดยการใช้ a≥0 สำหรับค่าบวก m และ a>0 สำหรับค่าลบ m (เนื่องจากสำหรับ m≤0 ระดับ 0 ของ m ไม่ได้ถูกกำหนดไว้) แล้วเราก็ได้ คำจำกัดความต่อไปนี้องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่ารากที่ n ของจำนวน a ยกกำลัง m นั่นคือ

กำลังเศษส่วนของศูนย์จะถูกกำหนดด้วยข้อแม้เดียวที่ตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก

คำนิยาม.

กำลังของศูนย์กับเศษส่วน ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวกม./นโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จึงนิยามได้ว่า .
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบแบบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้ประการหนึ่ง: สำหรับลบ a และ m และ n บางค่า นิพจน์นี้สมเหตุสมผล และเราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยนำเงื่อนไข a≥0 มาใช้ ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n คือการพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังเลขคู่และเลขคี่ของรากแยกกัน วิธีนี้ต้องใช้ เงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของเลข a ซึ่งมีเลขยกกำลังคือ ถือเป็นกำลังของเลข a โดยเลขยกกำลังนั้นสอดคล้องกัน เศษส่วนที่ลดไม่ได้(ความสำคัญของเงื่อนไขนี้จะอธิบายไว้ด้านล่าง) นั่นคือ ถ้า m/n เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ k ระดับจะถูกแทนที่ด้วย

สำหรับเลขคู่ n และค่าบวก m นิพจน์นี้สมเหตุสมผลสำหรับค่า a ใดๆ ที่ไม่ใช่ค่าลบ (รากคู่ของ จำนวนลบไม่สมเหตุสมผล) สำหรับลบ m ตัวเลข a จะต้องแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหารด้วยศูนย์) และสำหรับเลขคี่ n และบวก m จำนวน a สามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากของดีกรีคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และสำหรับลบ m จำนวน a จะต้องแตกต่างจากศูนย์ (เพื่อไม่ให้หารด้วย ศูนย์).

การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

คำนิยาม.

ให้ m/n เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m/n นั้นใช้สำหรับ

ให้เราอธิบายว่าทำไมดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดได้จึงถูกแทนที่ด้วยดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่ลดไม่ได้ หากเรากำหนดระดับเป็น และไม่ได้สำรองไว้เกี่ยวกับการลดทอนไม่ได้ของเศษส่วน m/n เราก็จะต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่คล้ายกับต่อไปนี้: เนื่องจาก 6/10 = 3/5 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงต้องคงอยู่ , แต่ , ก.

เมื่อไรจำนวนนั้นก็คูณด้วยตัวมันเอง ถึงตัวฉันเอง, งานเรียกว่า ระดับ.

ดังนั้น 2.2 = 4, กำลังสองหรือกำลังสองของ 2
2.2.2 = 8 ลูกบาศก์หรือยกกำลังสาม
2.2.2.2 = 16 องศาที่ 4

นอกจากนี้ 10.10 = 100 ซึ่งเป็นกำลังสองของ 10
10.10.10 = 1,000 ระดับที่สาม
10.10.10.10 = 10,000 ยกกำลังสี่

และ aa = aa กำลังสองของ a
a.a.a = aaa กำลังสามของ a
a.a.a.a = aaaa กำลังสี่ของ a

เบอร์เดิมเรียกว่า รากเลขยกกำลังนี้เพราะเป็นเลขที่ใช้สร้างเลขยกกำลัง

อย่างไรก็ตาม มันไม่สะดวกนักโดยเฉพาะในกรณีนี้ ระดับสูงให้เขียนตัวประกอบทั้งหมดที่ประกอบเป็นองศา ดังนั้นจึงใช้วิธีจดชวเลข รากของดีกรีเขียนเพียงครั้งเดียวและทางด้านขวาและสูงขึ้นเล็กน้อยใกล้ ๆ แต่ด้วยแบบอักษรที่เล็กกว่าเล็กน้อยเขียนได้กี่ครั้ง รากทำหน้าที่เป็นปัจจัย- หมายเลขหรือตัวอักษรนี้เรียกว่า เลขชี้กำลังหรือ ระดับตัวเลข ดังนั้น 2 เท่ากับ a.a หรือ aa เพราะต้องคูณราก a ด้วยตัวเองสองครั้งจึงจะได้กำลัง aa นอกจากนี้ 3 ยังหมายถึง aaa นั่นคือ ตรงนี้ a ซ้ำกัน สามครั้งเป็นตัวคูณ

เลขชี้กำลังของดีกรีแรกคือ 1 แต่โดยปกติแล้วจะไม่เขียนลงไป ดังนั้น 1 เขียนเป็น a

คุณไม่ควรสับสนองศาด้วย ค่าสัมประสิทธิ์- ค่าสัมประสิทธิ์จะแสดงความถี่ในการรับค่าดังกล่าว ส่วนหนึ่งทั้งหมดนี้. กำลังแสดงว่ามีการใช้ปริมาณบ่อยแค่ไหน ปัจจัยทำงาน.
ดังนั้น 4a = a + a + a + a แต่ 4 = a.a.a.a

รูปแบบสัญกรณ์ยกกำลังมีข้อได้เปรียบพิเศษที่ทำให้เราสามารถแสดงออกได้ ไม่ทราบระดับ. เพื่อจุดประสงค์นี้ เลขชี้กำลังจะถูกเขียนแทนตัวเลข จดหมาย- ในกระบวนการแก้ปัญหาเราสามารถได้ปริมาณที่เรารู้คือ บางระดับของขนาดอื่น แต่จนถึงขณะนี้เรายังไม่ทราบว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ หรืออย่างอื่นที่มีระดับสูงกว่า ดังนั้น ในนิพจน์ a x เลขชี้กำลังหมายความว่านิพจน์นี้มี บางระดับปริญญา แม้จะไม่ได้ระบุรายละเอียดก็ตาม ระดับไหน- ดังนั้น b m และ d n ยกกำลัง m และ n เมื่อพบเลขชี้กำลังแล้ว ตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยจดหมาย ดังนั้น ถ้า m=3 แล้ว b m = b 3 ; แต่ถ้า m = 5 แล้ว b m =b 5

วิธีการเขียนค่าโดยใช้กำลังก็เป็นข้อได้เปรียบอย่างมากเมื่อใช้ การแสดงออก- ดังนั้น (a + b + d) 3 คือ (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d) นั่นคือ ลูกบาศก์ของตรีโกณมิติ (a + b + d) . แต่ถ้าเราเขียนพจน์นี้หลังจากยกให้เป็นลูกบาศก์แล้ว ก็จะได้หน้าตาแบบนี้
ก 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

หากเราใช้ชุดกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง 1 เราจะพบว่าผลคูณนั้นเพิ่มขึ้น ตัวคูณทั่วไป หรือลดลงโดย ตัวหารร่วม และตัวประกอบหรือตัวหารนี้คือจำนวนเดิมที่ถูกยกกำลัง

ดังนั้นในซีรีส์ aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
หรือ 5, 4, 3, 2, 1;
ตัวชี้หากนับจากขวาไปซ้ายคือ 1, 2, 3, 4, 5; และความแตกต่างระหว่างค่าของพวกเขาคือ 1 ถ้าเราเริ่มต้น ด้านขวา คูณโดย a เราจะได้ค่าหลายค่าสำเร็จ

ดังนั้น a.a = a 2 เทอมที่สอง และ 3 .a = 4
a 2 .a = a 3 เทอมที่สาม ก 4 .a = 5 .

ถ้าเราเริ่มต้น ซ้าย แบ่งถึง
เราได้รับ 5:a = a 4 และ 3:a = a 2
ก 4:a = ก 3 ก 2:ก = ก 1

แต่กระบวนการแบ่งแยกนี้สามารถดำเนินต่อไปได้ต่อไปและเราก็ได้ ชุดใหม่ค่านิยม

ดังนั้น a:a = a/a = 1 (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa

แถวที่สมบูรณ์จะเป็น: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa

หรือ 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3

นี่คือค่าต่างๆ ด้านขวาจากอันหนึ่งที่มีอยู่ ย้อนกลับค่าทางด้านซ้ายของหนึ่ง ดังนั้นจึงสามารถเรียกองศาเหล่านี้ได้ พลังผกผันก. เรายังบอกได้ว่ากำลังทางซ้ายคือการผกผันของกำลังทางขวา

ดังนั้น 1:(1/a) = 1.(a/1) = a และ 1:(1/a 3) = 3

สามารถใช้แผนการบันทึกเดียวกันได้ พหุนาม- ดังนั้น สำหรับ a + b เราได้เซต
(ก + ข) 3 , (ก + ข) 2 , (ก + ข) 1, 1/(ก + ข) 1/(ก + ข) 2 , 1/(ก + ข) 3 .

เพื่อความสะดวก จึงมีการใช้อำนาจในการเขียนอีกรูปแบบหนึ่ง

ตามแบบฟอร์มนี้ 1/a หรือ 1/a 1 = a -1 และ 1/aaa หรือ 1/a 3 = a -3
1/aa หรือ 1/a 2 = a -2 1/aaa หรือ 1/a 4 = a -4

และจะทำซีรีย์ให้ครบ 1 ด้วยอินดิเคเตอร์ได้อย่างไร ความแตกต่างทั้งหมด, a/a หรือ 1 ถือว่าไม่มีดีกรีและเขียนเป็น 0

จากนั้นคำนึงถึงกำลังทางตรงและทางผกผัน
แทนที่จะเป็น aaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
คุณสามารถเขียน 4, 3, 2, 1, 0, a -1, a -2, a -3, a -4
หรือ +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4

และชุดของระดับเฉพาะบุคคลเท่านั้นจะมีลักษณะดังนี้:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

รากของปริญญาสามารถแสดงได้ด้วยตัวอักษรมากกว่าหนึ่งตัว

ดังนั้น aa.aa หรือ (aa) 2 จึงเป็นกำลังสองของ aa
และ aa.aa.aa หรือ (aa) 3 คือกำลังสามของ aa

กำลังทั้งหมดของหมายเลข 1 เหมือนกัน: 1.1 หรือ 1.1.1 จะเท่ากับ 1

การยกกำลังคือการค้นหาค่าของตัวเลขใดๆ โดยการคูณตัวเลขนั้นด้วยตัวมันเอง กฎสำหรับการยกกำลัง:

คูณปริมาณด้วยตัวเองหลาย ๆ ครั้งตามที่ระบุในการยกกำลังของตัวเลข

กฎนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับตัวอย่างทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นระหว่างกระบวนการยกกำลัง แต่เป็นการถูกต้องที่จะให้คำอธิบายว่าจะใช้กับบางกรณีอย่างไร

หากมีการยกกำลังเพียงพจน์เดียว ก็จะคูณด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้งตามที่ระบุโดยเลขชี้กำลัง

กำลังสี่ของ a คือ 4 หรือ aaaa (ข้อ 195)
ยกกำลังที่หกของ y คือ y 6 หรือ yyyyyy
กำลัง N ของ x คือ x n หรือ xxx..... n ครั้งซ้ำ

หากจำเป็นต้องยกนิพจน์หลายพจน์มายกกำลังให้ยึดหลักที่ว่า กำลังของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของปัจจัยเหล่านี้ยกกำลัง

ดังนั้น (ใช่) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay
แต่ ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2
ดังนั้น (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 ม. 3 x 3

ดังนั้นในการค้นหาพลังของผลิตภัณฑ์เราสามารถดำเนินการกับผลิตภัณฑ์ทั้งหมดได้ในคราวเดียวหรือเราจะดำเนินการกับแต่ละปัจจัยแยกกันแล้วจึงคูณค่าของมันด้วยกำลัง

ตัวอย่างที่ 1 กำลังที่สี่ของ dhy คือ (dhy) 4 หรือ d 4 h 4 y 4

ตัวอย่างที่ 2 กำลังที่สามคือ 4b มี (4b) 3 หรือ 4 3 b 3 หรือ 64b 3

ตัวอย่างที่ 3 กำลัง N ของ 6ad คือ (6ad) n หรือ 6 n a n d n

ตัวอย่างที่ 4 ยกกำลังที่สามของ 3m.2y คือ (3m.2y) 3 หรือ 27m 3 .8y 3

ระดับของทวินามที่ประกอบด้วยพจน์ที่เชื่อมต่อด้วย + และ - คำนวณโดยการคูณพจน์ของมัน ใช่,

(a + b) 1 = a + b ระดับแรก
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, กำลังสอง (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, กำลังสาม
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 กำลังสี่

กำลังสองของ a - b คือ a 2 - 2ab + b 2

กำลังสองของ a + b + h คือ 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

แบบฝึกหัดที่ 1. ค้นหาลูกบาศก์ a + 2d + 3

แบบฝึกหัดที่ 2. จงหากำลังที่สี่ของ b + 2

แบบฝึกหัดที่ 3. จงหากำลังที่ห้าของ x + 1

แบบฝึกหัดที่ 4 ค้นหายกกำลังที่หก 1 - b

ผลรวมกำลังสอง จำนวนเงินและ ความแตกต่างทวินามเกิดขึ้นบ่อยครั้งในพีชคณิตซึ่งจำเป็นต้องรู้จักมันเป็นอย่างดี

ถ้าเราคูณ a + h ด้วยตัวมันเอง หรือ a - h ด้วยตัวมันเอง
เราได้รับ: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 เช่นกัน (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2

จากนี้ จะเห็นได้ชัดว่าในแต่ละกรณี เทอมแรกและเทอมสุดท้ายคือกำลังสองของ a และ h และ สมาชิกโดยเฉลี่ยเป็นสองเท่าของผลคูณของ a และ h จากตรงนี้ คุณสามารถหากำลังสองของผลรวมและผลต่างของทวินามได้โดยใช้กฎต่อไปนี้

กำลังสองของทวินาม ซึ่งทั้งสองเทอมเป็นบวก เท่ากับกำลังสองเทอมแรก + สองเท่าผลคูณของทั้งสองเทอม + กำลังสองของเทอมสุดท้าย

สี่เหลี่ยม ความแตกต่างทวินามจะเท่ากับกำลังสองของเทอมแรก ลบ 2 เท่าของผลคูณของทั้งสองเทอม บวกกำลังสองของเทอมที่สอง

ตัวอย่างที่ 1 สแควร์ 2a + b มี 4a 2 + 4ab + b 2

ตัวอย่างที่ 2 สแควร์ ab + cd มี 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2

ตัวอย่างที่ 3 สแควร์ 3d - h มี 9d 2 + 6dh + h 2

ตัวอย่างที่ 4 กำลังสอง a - 1 คือ 2 - 2a + 1

สำหรับวิธีการหากำลังที่สูงกว่าของทวินาม โปรดดูหัวข้อต่อไปนี้

ในหลายกรณี การเขียนลงไปจะได้ผลดี องศาโดยไม่ต้องคูณ

ดังนั้น กำลังสองของ a + b คือ (a + b) 2
กำลัง N ของ bc + 8 + x คือ (bc + 8 + x) n

ในกรณีเช่นนี้ วงเล็บจะครอบคลุมถึง ทั้งหมดสมาชิกในระดับปริญญาตรี

แต่ถ้ารากของดีกรีประกอบด้วยหลายตัว ตัวคูณวงเล็บอาจครอบคลุมนิพจน์ทั้งหมด หรืออาจใช้แยกจากปัจจัยก็ได้ ขึ้นอยู่กับความสะดวก

ดังนั้น กำลังสอง (a + b)(c + d) จะเป็น [(a + b).(c + d)] 2 หรือ (a + b) 2 .(c + d) 2

สำหรับนิพจน์แรก ผลลัพธ์จะเป็นกำลังสองของผลคูณของตัวประกอบสองตัว และตัวที่สองคือผลคูณของกำลังสองของตัวประกอบทั้งสอง แต่พวกเขามีความเท่าเทียมกัน

ลูกบาศก์ a.(b + d) คือ 3 หรือ 3.(b + d) 3.

ต้องคำนึงถึงป้ายที่อยู่ด้านหน้าสมาชิกที่เกี่ยวข้องด้วย สิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้ว่าเมื่อรากของระดับหนึ่งเป็นบวก พลังบวกทั้งหมดของระดับนั้นก็จะเป็นบวกเช่นกัน แต่เมื่อรากเป็นลบค่าด้วย แปลกกำลังเป็นลบในขณะที่ค่า สม่ำเสมอองศาเป็นบวก

ระดับที่สอง (-a) คือ +a 2
ระดับที่สาม (-a) คือ -a 3
กำลังที่สี่ (-a) คือ +a 4
กำลังที่ห้า (-a) คือ -a 5

ดังนั้นแต่อย่างใด แปลกปริญญามีเครื่องหมายเดียวกับตัวเลข แต่ สม่ำเสมอระดับเป็นบวกไม่ว่าตัวเลขจะมีเครื่องหมายลบหรือบวกก็ตาม
ดังนั้น +a.+a = +a 2
และ -a.-a = +a 2

ปริมาณที่ได้ยกกำลังแล้วจะถูกยกกำลังอีกครั้งโดยการคูณเลขชี้กำลัง

กำลังที่สามของ 2 คือ 2.3 = 6

สำหรับ 2 = aa; ลูกบาศก์ aa คือ aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; ซึ่งเป็นกำลังที่หกของ a แต่เป็นกำลังที่สามของ 2

กำลังสี่ของ 3 b 2 คือ 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

กำลังที่สามของ 4a 2 x คือ 64a 6 x 3

กำลังที่ห้าของ (a + b) 2 คือ (a + b) 10

กำลัง N ของ 3 คือ 3n

กำลัง N ของ (x - y) m คือ (x - y) mn

(ก 3 .ข 3) 2 = ก 6 .ข 6

(ก 3 ข 2 ชั่วโมง 4) 3 = ก 9 ข 6 ชั่วโมง 12

กฎนี้ใช้บังคับอย่างเท่าเทียมกันกับ เชิงลบองศา

ตัวอย่างที่ 1 กำลังที่สามของ -2 คือ -3.3 =a -6

สำหรับ -2 = 1/aa และกำลังสามของอันนี้
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

กำลังที่สี่ของ 2 b -3 คือ 8 b -12 หรือ 8 /b 12

สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ b 3 x -1 โดยมี b 6 x -2

กำลัง N ของ ax -m คือ x -mn หรือ 1/x

อย่างไรก็ตามเราต้องจำไว้ตรงนี้ว่าถ้าเป็นป้าย ก่อนหน้าองศาคือ "-" ดังนั้นจะต้องเปลี่ยนเป็น "+" ทุกครั้งที่ดีกรีเป็นเลขคู่

ตัวอย่างที่ 1 กำลังสอง -a 3 คือ +a 6 กำลังสองของ -a 3 คือ -a 3 .-a 3 ซึ่งตามกฎของเครื่องหมายในการคูณคือ +a 6

2. แต่ลูกบาศก์ -a 3 คือ -a 9 สำหรับ -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9

3. ยกกำลัง N -a 3 คือ 3n

ในที่นี้ผลลัพธ์อาจเป็นค่าบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับว่า n เป็นคู่หรือคี่

ถ้า เศษส่วนยกกำลังแล้วตัวเศษและส่วนก็ยกกำลัง

กำลังสองของ a/b คือ a 2 /b 2 ตามกฎแล้ว การคูณเศษส่วน,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 ข 2

กำลังสอง สาม และ n ของ 1/a คือ 1/a 2, 1/a 3 และ 1/a n

ตัวอย่าง ทวินามโดยมีพจน์ใดพจน์หนึ่งเป็นเศษส่วน

1. หากำลังสองของ x + 1/2 และ x - 1/2
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. กำลังสองของ a + 2/3 คือ 2 + 4a/3 + 4/9

3. สี่เหลี่ยมจัตุรัส x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4

4 กำลังสองของ x - b/m คือ x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2

ก่อนหน้านี้ก็แสดงให้เห็นแล้วว่า สัมประสิทธิ์เศษส่วน สามารถย้ายจากตัวเศษไปยังตัวส่วนหรือจากตัวส่วนไปยังตัวเศษได้ การใช้โครงร่างการเขียนอำนาจต่างตอบแทนก็ชัดเจนว่า ตัวคูณใดๆยังสามารถเคลื่อนย้ายได้ ถ้าเครื่องหมายปริญญามีการเปลี่ยนแปลง.

ดังนั้น ในเศษส่วน ax -2 /y เราสามารถย้าย x จากตัวเศษไปยังตัวส่วนได้
จากนั้น ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2

ในเศษส่วน a/คูณ 3 เราสามารถย้าย y จากตัวส่วนไปยังตัวเศษได้
จากนั้น a/คูณ 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถย้ายตัวประกอบที่มีเลขชี้กำลังบวกไปเป็นตัวเศษหรือตัวประกอบได้ ระดับลบเข้าไปในตัวส่วน

ดังนั้น ax 3 /b = a/bx -3 สำหรับ x 3 ค่าผกผันคือ x -3 ซึ่งก็คือ x 3 = 1/x -3

ดังนั้นตัวส่วนของเศษส่วนใดๆ จึงสามารถลบออกได้ทั้งหมด หรือตัวเศษสามารถลดเหลือ 1 ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนความหมายของนิพจน์

ดังนั้น a/b = 1/ba -1 หรือ ab -1

เราหาได้ว่าจริงๆ แล้วกำลังของตัวเลขคืออะไร ตอนนี้เราต้องเข้าใจวิธีคำนวณอย่างถูกต้องเช่น ยกตัวเลขขึ้นสู่อำนาจ ในเนื้อหานี้ เราจะวิเคราะห์กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณองศาในกรณีของเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ธรรมชาติ เศษส่วน ตรรกยะ และอตรรกยะ คำจำกัดความทั้งหมดจะแสดงพร้อมตัวอย่าง

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องการยกกำลัง

เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความ 1

การยกกำลัง- นี่คือการคำนวณค่ากำลังของจำนวนหนึ่ง

นั่นคือคำว่า “การคำนวณมูลค่าของพลัง” และ “การเพิ่มพลัง” มีความหมายเดียวกัน ดังนั้น หากปัญหาบอกว่า “เพิ่มเลข 0, 5 ให้เป็นกำลังที่ห้า” ควรเข้าใจว่าเป็น “การคำนวณค่าของกำลัง (0, 5) 5

ตอนนี้เรานำเสนอกฎพื้นฐานที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อทำการคำนวณดังกล่าว

โปรดจำไว้ว่ากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติคืออะไร สำหรับกำลังที่มีฐาน a และเลขชี้กำลัง n นี่จะเป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนที่ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a สิ่งนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

ในการคำนวณค่าของดีกรี คุณต้องทำการคูณ นั่นคือ คูณฐานของดีกรี หมายเลขที่ระบุครั้งหนึ่ง. แนวคิดเรื่องปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการคูณอย่างรวดเร็ว ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข: เพิ่ม - 2 ยกกำลัง 4

สารละลาย

จากนิยามข้างต้น เราเขียนว่า (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) ต่อไปเราแค่ต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้และรับ 16

ลองยกตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณค่า 3 2 7 2

สารละลาย

รายการนี้สามารถเขียนใหม่เป็น 3 2 7 · 3 2 7 ก่อนหน้านี้ เราดูวิธีการคูณตัวเลขคละที่กล่าวถึงในเงื่อนไขอย่างถูกต้อง

มาทำตามขั้นตอนเหล่านี้แล้วได้คำตอบ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

หากปัญหาบ่งชี้ถึงความจำเป็นในการยกจำนวนอตรรกยะให้เป็นกำลังธรรมชาติ เราจะต้องปัดฐานของพวกมันให้เป็นตัวเลขที่จะทำให้เราได้คำตอบที่มีความแม่นยำที่ต้องการ ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3

ดำเนินการกำลังสองของ π

สารละลาย

ก่อนอื่น ปัดให้เป็นร้อยก่อน จากนั้น π 2 data (3, 14) 2 = 9, 8596 ถ้า π γ 3 14159 เราจะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น: π 2 data (3, 14159) 2 = 9, 8695877281

โปรดทราบว่าความจำเป็นในการคำนวณยกกำลังของจำนวนอตรรกยะนั้นเกิดขึ้นได้ยากในทางปฏิบัติ จากนั้นเราสามารถเขียนคำตอบเป็นกำลัง (ln 6) 3 เอง หรือแปลงถ้าเป็นไปได้: 5 7 = 125 5

ควรระบุแยกกันว่ากำลังแรกของตัวเลขคืออะไร ที่นี่คุณเพียงจำไว้ว่าตัวเลขใดๆ ที่ถูกยกกำลัง 1 จะยังคงอยู่โดยตัวมันเอง:

ชัดเจนจากบันทึกนี้ .

มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับพื้นฐานของปริญญา

ตัวอย่างที่ 4

ดังนั้น (− 9) 1 = − 9 และ 7 3 ยกกำลังแรกจะยังคงเท่ากับ 7 3

เพื่อความสะดวก เราจะพิจารณาสามกรณีแยกกัน: ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเป็นศูนย์ และถ้าเป็นจำนวนเต็มลบ

ในกรณีแรก นี่เหมือนกับการปลุกพลังธรรมชาติ นั่นคือทั้งหมด ตัวเลขบวกอยู่ในชุดของธรรมชาติ เราได้พูดคุยไปแล้วข้างต้นเกี่ยวกับวิธีการทำงานกับระดับดังกล่าว

ตอนนี้เรามาดูวิธีการสร้างอย่างถูกต้อง ระดับศูนย์- สำหรับฐานอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ การคำนวณนี้จะให้ผลลัพธ์เป็น 1 เสมอ ก่อนหน้านี้เราได้อธิบายไปแล้วว่ากำลัง 0 ของ a สามารถกำหนดให้กับจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0 และ 0 = 1

ตัวอย่างที่ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ไม่ได้กำหนดไว้

เหลือเพียงกรณีของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม เราได้คุยกันไปแล้วว่ากำลังดังกล่าวสามารถเขียนเป็นเศษส่วน 1 az โดยที่ a คือตัวเลขใดๆ และ z เป็นจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้เชิงลบ- เราเห็นว่าตัวส่วนของเศษส่วนนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่ากำลังธรรมดาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวก และเราได้เรียนรู้วิธีการคำนวณไปแล้ว เรามายกตัวอย่างงานกัน

ตัวอย่างที่ 6

ยก 3 ยกกำลัง - 2

สารละลาย

จากคำจำกัดความข้างต้น เราเขียนว่า 2 - 3 = 1 2 3

ลองคำนวณตัวส่วนของเศษส่วนนี้แล้วได้ 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8

ดังนั้นคำตอบคือ: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

ตัวอย่างที่ 7

เพิ่ม 1.43 ยกกำลัง -2

สารละลาย

มาจัดรูปแบบใหม่: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

เราคำนวณกำลังสองในตัวส่วน: 1.43·1.43 ทศนิยมสามารถคูณได้ดังนี้:

ผลลัพธ์ที่ได้คือ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 สิ่งที่เราต้องทำคือเขียนผลลัพธ์นี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วนธรรมดา ซึ่งเราต้องคูณด้วย 10,000 (ดูเนื้อหาเกี่ยวกับการแปลงเศษส่วน)

คำตอบ: (1, 43) - 2 = 10,000 20449

กรณีพิเศษคือการยกตัวเลขขึ้นเป็นลบยกกำลังหนึ่ง ค่าของระดับนี้เท่ากับส่วนกลับของค่าเดิมของฐาน: a - 1 = 1 a 1 = 1 a

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอย่าง: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

วิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นเศษส่วน

ในการดำเนินการนี้เราต้องจำไว้ คำจำกัดความพื้นฐานกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน: a m n = a m n สำหรับค่าบวก a จำนวนเต็ม m และ n ธรรมชาติ

คำจำกัดความ 2

ดังนั้นการคำนวณกำลังเศษส่วนจะต้องดำเนินการในสองขั้นตอน: การยกกำลังเป็นจำนวนเต็มและการค้นหาราก n ปริญญา.

เรามีความเท่าเทียมกัน a m n = a m n ซึ่งเมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติของรากแล้วมักจะใช้ในการแก้ปัญหาในรูปแบบ a m n = a n m ซึ่งหมายความว่าถ้าเรายกจำนวน a เป็นเศษส่วนยกกำลัง m / n จากนั้นเราหารากที่ n ของ a ก่อน จากนั้นเราจะยกผลลัพธ์เป็นยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม m

ลองอธิบายด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณ 8 - 2 3 .

สารละลาย

วิธีที่ 1: ตามคำจำกัดความพื้นฐาน เราสามารถแสดงค่านี้ได้ดังนี้: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

ทีนี้มาคำนวณดีกรีใต้รูทแล้วแยกรูทที่สามออกจากผลลัพธ์: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

วิธีที่ 2 แปลงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

หลังจากนั้นเราแยกราก 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 และยกกำลังสองผลลัพธ์: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน คุณสามารถใช้มันตามที่คุณต้องการ

มีหลายกรณีที่ระดับมีตัวบ่งชี้แสดงอยู่ หมายเลขผสมหรือ ทศนิยม- เพื่อความสะดวกในการคำนวณควรแทนที่จะดีกว่า เศษส่วนสามัญและนับตามข้างบน

ตัวอย่างที่ 10

ยก 44, 89 ยกกำลัง 2, 5

สารละลาย

มาแปลงค่าตัวบ่งชี้เป็น เศษส่วนทั่วไป - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

ตอนนี้เราดำเนินการตามลำดับการกระทำทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

คำตอบ: 13 501, 25107.

ถ้าตัวเศษและส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วนประกอบด้วย ตัวเลขใหญ่แล้วจึงคำนวณหากำลังดังกล่าวด้วย ตัวชี้วัดที่มีเหตุผล- เพียงพอ การทำงานอย่างหนัก- มักจะต้องใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

ให้เราแยกกันพิจารณาเรื่องกำลังที่มีฐานเป็นศูนย์และเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน การแสดงออกของรูปแบบ 0 m n สามารถให้ความหมายต่อไปนี้: ถ้า m n > 0 ดังนั้น 0 m n = 0 m n = 0; ถ้าม< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную ระดับบวกนำไปสู่ศูนย์: 0 7 12 = 0, 0 3 2 5 = 0, 0 0, 024 = 0 และถึงจำนวนเต็มลบ - ไม่สำคัญ: 0 - 4 3

วิธีเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังอตรรกยะ

ความจำเป็นในการคำนวณค่าของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น จำนวนอตรรกยะ,ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก. ในทางปฏิบัติ งานมักจะจำกัดอยู่เพียงการคำนวณเท่านั้น ค่าโดยประมาณ(ไม่เกินจำนวนหลักทศนิยมที่กำหนด) โดยปกติจะคำนวณบนคอมพิวเตอร์เนื่องจากความซับซ้อนของการคำนวณดังนั้นเราจะไม่เน้นรายละเอียดนี้เราจะระบุเฉพาะบทบัญญัติหลักเท่านั้น

หากเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของยกกำลัง a ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว a เราจะหาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังแล้วนับจากนั้น ผลลัพธ์จะเป็นคำตอบโดยประมาณ ยิ่งการประมาณทศนิยมแม่นยำมากเท่าใด คำตอบก็ยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น มาแสดงด้วยตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 11

คำนวณค่าประมาณ 21, 174367....

สารละลาย

ให้เราจำกัดตัวเองให้มีค่าประมาณทศนิยม a n = 1, 17 เรามาคำนวณโดยใช้ตัวเลขนี้: 2 1, 17 data 2, 250116 ตัวอย่างเช่น หากเราใช้การประมาณ a n = 1, 1743 คำตอบก็จะแม่นยำมากขึ้นอีกหน่อย: 2 1, 174367 - - 2 1, 1743 2, 256833

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การยกกำลังเป็นการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับการคูณอย่างใกล้ชิด การดำเนินการนี้เป็นผลมาจากการคูณตัวเลขซ้ำๆ ด้วยตัวมันเอง ลองแทนมันด้วยสูตร: a1 * a2 * … * an = an

ตัวอย่างเช่น a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8

โดยทั่วไปแล้ว การยกกำลังมักใช้ใน สูตรต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ฟังก์ชันนี้มีวัตถุประสงค์ทางวิทยาศาสตร์มากกว่าฟังก์ชันหลักทั้งสี่: การบวก การลบ การคูณ การหาร

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

การเพิ่มจำนวนเป็นยกกำลังไม่ใช่การดำเนินการที่ซับซ้อน มันเกี่ยวข้องกับการคูณในลักษณะเดียวกันกับความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการบวก สัญกรณ์ a คือสัญกรณ์สั้นๆ ของตัวเลข "a" ตัวที่ n คูณกัน

พิจารณาการยกกำลังให้ได้มากที่สุด ตัวอย่างง่ายๆไปสู่สิ่งที่ซับซ้อน

เช่น 42 42 = 4 * 4 = 16 สี่ยกกำลังสอง (ยกกำลังสอง) เท่ากับสิบหก หากคุณไม่เข้าใจการคูณ 4 * 4 โปรดอ่านบทความเกี่ยวกับการคูณของเรา

ลองดูตัวอย่างอื่น: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 - ห้ายกกำลังสาม (ยกกำลังสาม) เท่ากับ หนึ่งร้อยยี่สิบห้า

อีกตัวอย่างหนึ่ง: 9^3 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 - เก้าลูกบาศก์เท่ากับเจ็ดร้อยยี่สิบเก้า

สูตรการยกกำลัง

หากต้องการเพิ่มกำลังอย่างถูกต้อง คุณต้องจำและรู้สูตรที่ให้ไว้ด้านล่าง ไม่มีอะไรที่เป็นธรรมชาติเป็นพิเศษในเรื่องนี้ สิ่งสำคัญคือการเข้าใจแก่นแท้ จากนั้นพวกเขาจะไม่เพียงจดจำเท่านั้น แต่ยังดูง่ายอีกด้วย

การยกระดับ monomial สู่อำนาจ

monomial คืออะไร? นี่คือผลคูณของตัวเลขและตัวแปรในปริมาณใดๆ ตัวอย่างเช่น สองคือ monomial และบทความนี้เกี่ยวกับการยก monomial ดังกล่าวขึ้นสู่อำนาจอย่างแม่นยำ

การใช้สูตรสำหรับการยกกำลังจะทำให้การคำนวณการยกกำลังของเอกพจน์ไม่ใช่เรื่องยาก

ตัวอย่างเช่น, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6- หากคุณยกกำลังแบบโมโนเมียล แต่ละองค์ประกอบของโมโนเมียลจะถูกยกกำลัง

โดยการเพิ่มตัวแปรที่มีกำลังอยู่แล้วให้เป็นกำลังนั้น ก็จะคูณกำลัง ตัวอย่างเช่น (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

กลายเป็นพลังลบ

องศาลบ – หมายเลขซึ่งกันและกัน- เลขคู่กันคืออะไร? ส่วนกลับของจำนวน X ใดๆ คือ 1/X นั่นคือ X-1=1/X นี่คือสาระสำคัญของระดับลบ

ลองพิจารณาตัวอย่าง (3ป)^-3:

(3ป)^-3 = 1/(27ป^3)

ทำไมเป็นอย่างนั้น? เนื่องจากมีลบอยู่ในดีกรี เราก็แค่โอนมันไปที่ตัวส่วน การแสดงออกนี้แล้วยกกำลังสาม ง่ายใช่มั้ย?

ยกกำลังเป็นเศษส่วน

เรามาเริ่มพิจารณาประเด็นกันที่ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- 43/2. องศา 3/2 หมายถึงอะไร? 3 – ตัวเศษ หมายถึง การเพิ่มจำนวน (เป็น ในกรณีนี้ 4) ต่อลูกบาศก์เมตร เลข 2 เป็นตัวส่วน มันคือการแยกรากที่สองของตัวเลข (ในกรณีนี้คือ 4)

จากนั้นเราจะได้รากที่สองของ 43 = 2^3 = 8 คำตอบ: 8.

ดังนั้น ตัวหารของดีกรีเศษส่วนอาจเป็น 3 หรือ 4 หรือจำนวนใดๆ ก็ตามจนถึงอนันต์ และตัวเลขนี้จะเป็นตัวกำหนดดีกรี รากที่สอง, สกัดจาก หมายเลขที่กำหนด- แน่นอนว่าตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้

การหยั่งรากไปสู่พลัง

หากรากถูกยกขึ้นเป็นพลัง เท่าๆ กันรากนั้นเอง ดังนั้นคำตอบจะเป็นนิพจน์ราก ตัวอย่างเช่น (√x)2 = x ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใด ระดับของรากและระดับของการเพิ่มรากจะเท่ากัน

ถ้า (√x)^4 จากนั้น (√x)^4=x^2 ในการตรวจสอบผลเฉลย เราจะแปลงนิพจน์ให้เป็นนิพจน์ที่มีกำลังเศษส่วน เนื่องจากรากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวส่วนจึงเป็น 2 และถ้ารากยกกำลังสี่ ตัวเศษจะเป็น 4 เราจะได้ 4/2=2 คำตอบ: x = 2

ถึงอย่างไร ตัวเลือกที่ดีที่สุดเพียงแปลงนิพจน์ให้เป็นนิพจน์ด้วยกำลังเศษส่วน ถ้าเศษส่วนไม่หักล้าง นี่คือคำตอบ โดยที่รากของตัวเลขที่กำหนดนั้นไม่ได้ถูกแยกออกจากกัน

การยกจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง

จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร? จำนวนเชิงซ้อน– นิพจน์ที่มีสูตร a + b * i; ก, ข – ตัวเลขจริง- i คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังสองแล้วจะได้เลข -1

ลองดูตัวอย่าง (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i

สมัครเรียนหลักสูตร "เร่งคิดเลขในใจ ไม่ใช่" คิดเลขในใจ"เพื่อเรียนรู้วิธีการบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกำลังสองและแม้แต่การหยั่งรากอย่างรวดเร็วและถูกต้อง ใน 30 วันคุณจะได้เรียนรู้วิธีใช้เคล็ดลับง่ายๆ เพื่อทำให้ง่ายขึ้น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์- แต่ละบทเรียนประกอบด้วยเทคนิคใหม่ๆ ตัวอย่างที่ชัดเจนและ งานที่เป็นประโยชน์.

การยกกำลังออนไลน์

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขของเรา คุณสามารถคำนวณการเพิ่มจำนวนเป็นกำลังได้:

การยกกำลังเกรด 7

เด็กนักเรียนเริ่มมีอำนาจเฉพาะในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น, ก=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

การนำเสนอการยกกำลัง

การนำเสนอเรื่องการยกระดับอำนาจ ออกแบบมาสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การนำเสนออาจมีความกระจ่างบ้าง ช่วงเวลาที่ไม่ชัดเจนแต่ช่วงเวลาดังกล่าวอาจไม่เกิดขึ้นด้วยบทความของเรา

บรรทัดล่าง

เรามองเพียงปลายภูเขาน้ำแข็งเพื่อทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ให้ดีขึ้น - ลงทะเบียนเรียนหลักสูตรของเรา: การเร่งความเร็วของการคำนวณทางจิต - ไม่ใช่การคำนวณทางจิต

จากหลักสูตรนี้ คุณจะไม่เพียงแต่ได้เรียนรู้เทคนิคมากมายสำหรับการทำให้ง่ายขึ้นและ การคูณอย่างรวดเร็วการบวก การคูณ การหาร การคำนวณเปอร์เซ็นต์ แต่คุณจะได้ฝึกฝนในงานพิเศษและเกมการศึกษาด้วย! การคำนวณทางจิตยังต้องอาศัยความสนใจและสมาธิอย่างมากซึ่งได้รับการฝึกฝนอย่างแข็งขันเมื่อแก้ไขปัญหาที่น่าสนใจ