ปริญญาที่มีตัวบ่งชี้เหตุผล

ฟังก์ชั่นเพาเวอร์ IV

§ 71. กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์และลบ

ในมาตรา 69 เราได้พิสูจน์แล้ว (ดูทฤษฎีบท 2) ว่าสำหรับ เสื้อ > หน้า

(ก =/= 0)

เป็นเรื่องปกติที่เราต้องการขยายสูตรนี้ออกไปเมื่อใด ต < ป - แต่แล้วจำนวน. ที - พี จะเป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ A. จนถึงตอนนี้เราคุยกันแค่เรื่ององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้น ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับความจำเป็นในการนำกำลังของจำนวนจริงที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์และลบมาพิจารณาด้วย

คำจำกัดความ 1. หมายเลขใดก็ได้ ก , ไม่ เท่ากับศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง, นั่นคือเมื่อใด ก =/= 0

ก 0 = 1. (1)

ตัวอย่างเช่น (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1 ตัวเลข 0 ไม่มีระดับศูนย์ นั่นคือไม่ได้กำหนดนิพจน์ 0 0

คำจำกัดความ 2. ถ้า ก=/= 0 และ ป - จำนวนธรรมชาติ, ที่

ก - n = 1 /ก n (2)

นั่นคือ กำลังของจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์และเป็นจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้เชิงลบเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นหนึ่ง และตัวส่วนเป็นกำลังของจำนวน a เท่ากัน แต่มีเลขชี้กำลังตรงข้ามกับกำลังที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น,

เมื่อยอมรับคำจำกัดความเหล่านี้แล้วก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเมื่อใด ก =/= 0 สูตร

เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ต และ n และไม่ใช่แค่สำหรับ เสื้อ > หน้า - เพื่อพิสูจน์ มันก็เพียงพอแล้วที่จะจำกัดตัวเองให้พิจารณาสองกรณี: เสื้อ = น และ ต< .п เนื่องจากกรณีนี้ ม > น ได้กล่าวไว้แล้วในมาตรา 69

อนุญาต เสื้อ = น - แล้ว - วิธี, ด้านซ้ายความเสมอภาค (3) เท่ากับ 1 ด้านขวาที่ เสื้อ = น กลายเป็น

ก ม - น = ก นะ - เอ็น = ก 0 .

แต่ตามคำนิยาม ก 0 = 1 ดังนั้น ทางขวามือของความเสมอภาค (3) ก็เท่ากับ 1 เช่นกัน ดังนั้น เมื่อ เสื้อ = น สูตร (3) ถูกต้อง

ทีนี้สมมุติว่า ต< п - หารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย ก ม , เราได้รับ:

เพราะ n > เสื้อ , ที่ . นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เราสามารถเขียนนิยามของกำลังกับเลขชี้กำลังเป็นลบได้ .

ดังนั้นเมื่อ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ สูตร (3) ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ต และ ป .

ความคิดเห็น เลขชี้กำลังติดลบช่วยให้คุณสามารถเขียนเศษส่วนโดยไม่มีตัวส่วนได้ ตัวอย่างเช่น,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; เลย ก / ข = ข - 1

อย่างไรก็ตาม คุณไม่ควรคิดว่าด้วยสัญลักษณ์นี้ เศษส่วนจะกลายเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น 3 - 1 เป็นเศษส่วนเดียวกันกับ 1/3, 2 5 - 1 เป็นเศษส่วนเดียวกันกับ 2/5 เป็นต้น

การออกกำลังกาย

529. คำนวณ:

530. เขียนเศษส่วนโดยไม่มีตัวส่วน:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. เขียนเศษส่วนทศนิยมเหล่านี้ในรูปแบบของนิพจน์ทั้งหมดโดยใช้เลขชี้กำลังลบ:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

ระดับแรก

ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?

เพื่อเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา มีไว้เพื่ออะไร วิธีใช้ความรู้ของคุณ ชีวิตประจำวันอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าความรู้ในระดับปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จมากขึ้น ผ่าน OGEหรือการสอบ Unified State และการเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยในฝันของคุณ

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับแรก

การขึ้นสู่อำนาจก็เช่นเดียวกัน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่น การบวก การลบ การคูณ หรือการหาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่าง ภาษามนุษย์มาก ตัวอย่างง่ายๆ- ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ- แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเทคนิคการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองยกกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง- เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์- มันหมายความว่าอะไร? มาก คำถามที่ดี- ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัว คุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State สิ่งนี้สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้ คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (โดยวิธีการวัดปริมาตรและของเหลว ลูกบาศก์เมตร- ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระน้ำ: ก้นวัดหนึ่งเมตรและลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับจำนวนลูกบาศก์ที่วัดหนึ่งเมตรต่อหนึ่งเมตรจะพอดีกับสระของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา- เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุดเพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญานั้นถูกคิดค้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาของตนเอง ปัญหาชีวิตและไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่งตอนนี้และ “นับด้วยนิ้วของคุณ” นั่นหมายความว่าคุณเก่งมาก คนที่ทำงานหนักและ..โง่ แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก มาดูเพิ่มเติมว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญา และสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร- ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว- ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

ก็เข้า. ปริทัศน์เพื่อเป็นการสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ดีกรีที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” อ่านว่า “ถึงดีกรี” และเขียนได้ดังนี้

กำลังของจำนวน c ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ

คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ- ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็น สรุปตัวเลข- คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

มีอีกไหม ตัวเลขอตรรกยะ- ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? ในระยะสั้นไม่มีที่สิ้นสุด ทศนิยม- ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้

มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?

A-ไพรเออรี่:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด:

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้- อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? - อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

คุณจัดการหรือไม่?

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการกฎก็สามารถนำไปใช้ได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน

ทั้งหมด จำนวนบวก และไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ

ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคยให้เราถามตัวเองว่า: ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

ดังนั้นเราจึงคูณตัวเลขด้วย และเราได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปเกี่ยวข้องและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็น ระดับศูนย์- นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่าดีกรีลบคืออะไร ลองทำแบบในกัน ครั้งสุดท้าย: คูณบ้าง หมายเลขปกติเช่นเดียวกันจนถึงระดับลบ:

จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:

ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

สรุป:

I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!

มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดเรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:

ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:

ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่

ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ

นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ กรณีพิเศษสามารถขยายได้: .

ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองเท่านั้น รายการที่แตกต่างกันหมายเลขเดียวกัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นหาก:

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

องศาด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยราก เช่น:

5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข

...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามีบางอย่างเกิดขึ้น” กระบวนการย้อนกลับ"คือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

โดยวิธีการทางวิทยาศาสตร์มีปริญญาด้วย ตัวบ่งชี้ที่ซับซ้อนนั่นคือตัวบ่งชี้ไม่เท่ากัน เบอร์จริง.

แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:

ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:

ในกรณีนี้,

ปรากฎว่า:

คำตอบ: .

2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับสูง

การกำหนดระดับ

ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:

• — ฐานระดับ;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:

สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติขององศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

A-ไพรเออรี่:

ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

Q.E.D.

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลผลิตแห่งอำนาจเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด: !

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีกำลังเป็นจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? -

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เราสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้ กฎง่ายๆ:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบ, สร้างขึ้นใน แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:

ก่อนที่คุณจะแยกมันออกจากกัน กฎข้อสุดท้ายเรามาแก้ตัวอย่างกัน

คำนวณนิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!

เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกัน กฎข้อที่ 3 ก็สามารถนำไปใช้ได้ แต่อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ดูเหมือนว่านี้:

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนที่กำลังเป็นศูนย์คือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเองนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียงความแน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างสะอาด วัตถุทางคณิตศาสตร์ซึ่งนักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่องดีกรีให้ครอบคลุมปริภูมิตัวเลขทั้งหมด

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วถ้าเราเห็นจะทำยังไง. ตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวองศา? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

1. มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
• จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำว่า...

คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีในการสอบ!

มีกฎว่าตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ยกกำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับ 1:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

อย่างไรก็ตาม เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้?

เมื่อตัวเลขถูกยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ หมายความว่าตัวเลขนั้นจะถูกคูณด้วยตัวมันเองมากเท่ากับเลขชี้กำลัง:
43 = 4...

0 0

ในพีชคณิต การเพิ่มกำลังเป็นศูนย์เป็นเรื่องปกติ องศา 0 คืออะไร? ตัวเลขใดสามารถยกกำลังเป็นศูนย์ได้ และตัวเลขใดไม่สามารถยกกำลังได้

คำนิยาม.

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์ ยกเว้นศูนย์ จะเท่ากับ 1:

ดังนั้นไม่ว่าเลขใดก็ตามจะเพิ่มกำลัง 0 ผลลัพธ์ก็จะเหมือนเดิมเสมอ - หนึ่ง

และ 1 ยกกำลัง 0 และ 2 ยกกำลัง 0 และจำนวนอื่น ๆ - จำนวนเต็ม, เศษส่วน, บวก, ลบ, เหตุผล, ไม่ลงตัว - เมื่อยกกำลังเป็นศูนย์จะให้หนึ่ง

ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือศูนย์

ไม่ได้กำหนดกำลังเป็นศูนย์ถึงศูนย์ นิพจน์ดังกล่าวไม่มีความหมาย

นั่นคือตัวเลขใดๆ ก็ตามยกเว้นศูนย์สามารถยกกำลังเป็นศูนย์ได้

เมื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วยเลขยกกำลัง หากได้ตัวเลขยกกำลังเป็นศูนย์ คุณสามารถแทนที่มันด้วยเลขหนึ่งได้:

ถ้า...

0 0

ภายใน หลักสูตรของโรงเรียนนิพจน์ $%0^0$% ถือว่าไม่ได้ถูกกำหนดไว้

จากมุมมอง คณิตศาสตร์สมัยใหม่จะสะดวกที่จะสมมติว่า $%0^0=1$% แนวคิดที่นี่มีดังต่อไปนี้ ให้มีผลคูณของตัวเลข $%n$% ในรูปแบบ $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$% สำหรับ $%n\ge2$% ทั้งหมด ความเท่าเทียมกัน $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% ถืออยู่ เป็นการสะดวกที่จะพิจารณาว่าความเท่าเทียมกันนี้มีความหมายสำหรับ $%n=1$% เช่นกัน โดยสมมติว่า $%p_0=1$% ตรรกะคือ: เมื่อคำนวณผลิตภัณฑ์ อันดับแรกเราจะหา 1 แล้วคูณตามลำดับด้วย $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$% นี่คืออัลกอริธึมที่ใช้ในการค้นหาผลิตภัณฑ์เมื่อมีการเขียนโปรแกรม หากไม่เกิดการคูณด้วยเหตุผลบางประการ ผลคูณจะยังคงเท่ากับ 1

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การพิจารณาแนวคิดเช่น "ผลคูณของปัจจัย 0" จะมีความหมายก็สะดวก โดยพิจารณาว่ามีค่าเท่ากับ 1 ตามคำจำกัดความ ในกรณีนี้ เราสามารถพูดถึง "ผลิตภัณฑ์ว่าง" ได้เช่นกัน ถ้าเราคูณตัวเลขด้วยสิ่งนี้...

0 0

ศูนย์ - มันคือศูนย์ กล่าวโดยคร่าวๆ คือ กำลังใดๆ ของตัวเลขเป็นผลคูณของ 1 และเลขชี้กำลังคูณกับตัวเลขนี้ สองในสาม สมมุติว่า 1*2*2*2 สองในลบของอันแรกคือ 1/2 และจำเป็นต้องไม่มีรูระหว่างการเปลี่ยนจาก องศาบวกเป็นลบและในทางกลับกัน

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

นั่นคือประเด็นทั้งหมด

เรียบง่ายและชัดเจน ขอบคุณ

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

ตัวอย่างเช่น คุณเพียงแค่ต้องมีสูตรบางอย่างที่ถูกต้อง ตัวชี้วัดเชิงบวก- ตัวอย่างเช่น x^n*x^m=x^(m+n) - ยังคงใช้ได้
อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับนิยามของระดับลบและระดับตรรกยะ (เช่น 5 ยกกำลัง 3/4)

>และเหตุใดสิ่งนี้จึงจำเป็น?
ตัวอย่างเช่น ในสถิติและทฤษฎี พวกเขามักจะเล่นกับเลขยกกำลังเป็นศูนย์

ก พลังเชิงลบพวกเขารบกวนคุณหรือเปล่า?
...

0 0

เรายังคงพิจารณาคุณสมบัติขององศาต่อไป เช่น 16:8 = 2 เนื่องจาก 16=24 และ 8=23 ดังนั้น การหารจึงสามารถเขียนในรูปแบบเลขชี้กำลังเป็น 24:23=2 แต่ถ้าเราลบเลขชี้กำลัง แล้ว 24:23=21 ดังนั้นเราต้องยอมรับว่า 2 และ 21 เป็นสิ่งเดียวกัน ดังนั้น 21 = 2

กฎเดียวกันนี้ใช้กับกฎอื่น ๆ เลขชี้กำลังดังนั้นกฎจึงสามารถกำหนดได้ในรูปแบบทั่วไป:

จำนวนใดๆ ที่ยกกำลัง 1 ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ข้อสรุปนี้อาจทำให้คุณประหลาดใจ คุณยังคงสามารถเข้าใจความหมายของนิพจน์ 21 = 2 ได้ แม้ว่านิพจน์ "เลขหนึ่งสองคูณด้วยตัวมันเอง" จะฟังดูค่อนข้างแปลกก็ตาม แต่สำนวน 20 หมายความว่า “ไม่ใช่เลขสองตัวเดียว...

0 0

คำจำกัดความของปริญญา:

1. ระดับศูนย์

จำนวนใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ถูกยกกำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง ไม่ได้กำหนดกำลังเป็นศูนย์ถึงศูนย์

2. ระดับธรรมชาติอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

จำนวน x ใดๆ ที่ถูกยกขึ้นเป็นกำลังธรรมชาติที่ไม่ใช่ศูนย์จะเท่ากับการคูณจำนวน n จำนวน x เข้าด้วยกัน

3.1 แม้แต่รูท ระดับธรรมชาติแตกต่างจากศูนย์

รากของพลังธรรมชาติคู่ n นอกเหนือจากศูนย์ ของจำนวนบวก x ใดๆ ก็คือจำนวนบวก y ซึ่งเมื่อยกกำลัง n จะได้จำนวนเดิม x

3.2 รากของดีกรีธรรมชาติคี่

รากของกำลังธรรมชาติคี่ n ของจำนวนใดๆ x คือจำนวน y ที่เมื่อยกกำลัง n จะได้จำนวนเดิม x

3.3 รากของพลังธรรมชาติใดๆ ที่เป็นกำลังเศษส่วน

การแยกรากของกำลังธรรมชาติใดๆ n นอกเหนือจากศูนย์ จากจำนวน x ใดๆ ก็เหมือนกับการเพิ่มจำนวน x นี้ให้เป็นกำลังเศษส่วน 1/n

0 0

สวัสดีรัสเซลที่รัก!

เมื่อแนะนำแนวคิดเรื่องปริญญา จะมีรายการต่อไปนี้: "ค่าของนิพจน์ a^0 =1" ! สิ่งนี้จะมีผลใช้บังคับ แนวคิดเชิงตรรกะองศาและไม่มีอะไรอื่น!
เป็นเรื่องน่ายกย่องเมื่อชายหนุ่มพยายามเข้าถึงจุดต่ำสุด! แต่มีบางสิ่งที่ควรมองข้าม!
คุณสามารถสร้างคณิตศาสตร์ใหม่ได้ก็ต่อเมื่อคุณได้ศึกษาไปแล้วเท่านั้น เปิดมานานหลายศตวรรษกลับ!
แน่นอน ถ้าเราแยกว่าคุณไม่ใช่ "ของโลกนี้" และคุณได้รับมากกว่าพวกเราคนบาปที่เหลือมาก!

หมายเหตุ: Anna Misheva พยายามพิสูจน์สิ่งที่พิสูจน์ไม่ได้! น่ายกย่องเช่นกัน!
แต่มี "แต่" ที่ยิ่งใหญ่อย่างหนึ่ง - มันหายไปจากการพิสูจน์ของเธอ องค์ประกอบสำคัญ: กรณีหารด้วย ZERO!

ดูด้วยตัวคุณเองว่าจะเกิดอะไรขึ้น: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

แต่คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!

โปรดระวังให้มากขึ้น!

มีมวล ด้วยความปรารถนาดีและความสุขในชีวิตส่วนตัวของคุณ...

0 0

คำตอบ:

ไม่มีชื่อ

หากเราคำนึงถึงว่า a^x=e^x*ln(a) แล้วปรากฎว่า 0^0=1 (ลิมิต สำหรับ x->0)
แม้ว่าคำตอบ “ความไม่แน่นอน” ก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน

ศูนย์ในทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ความว่างเปล่า แต่เป็นตัวเลขที่ใกล้เคียงกับ "ไม่มีอะไร" มาก เช่นเดียวกับอนันต์ที่ย้อนกลับเท่านั้น

เขียนลงไป:
0^0 = 0^(เอ-เอ) = 0^เอ * 0^(-เอ) = 0^เอ / 0^เอ = 0 / 0
ปรากฎว่าในกรณีนี้เรากำลังหารด้วยศูนย์และการดำเนินการนี้ในสนามของจำนวนจริงไม่ได้ถูกกำหนดไว้

6 ปีที่แล้ว

RPI.su เป็นฐานข้อมูลคำถามและคำตอบภาษารัสเซียที่ใหญ่ที่สุด โครงการของเราถูกนำมาใช้เป็นบริการต่อเนื่องของบริการยอดนิยม otvety.google.ru ซึ่งถูกปิดและลบไปเมื่อวันที่ 30 เมษายน 2558 เราตัดสินใจที่จะรื้อฟื้นบริการ Google Answers ที่เป็นประโยชน์อีกครั้ง เพื่อให้ทุกคนสามารถค้นหาคำตอบสำหรับคำถามของตนอย่างเปิดเผยจากชุมชนอินเทอร์เน็ต

คำถามทั้งหมดที่เพิ่มลงในไซต์ Google Answers ได้รับการคัดลอกและเก็บไว้ที่นี่ ชื่อผู้ใช้เก่าก็จะแสดงตามเดิมเช่นกัน คุณเพียงแค่ต้องลงทะเบียนอีกครั้งเพื่อให้สามารถถามคำถามหรือตอบผู้อื่นได้

หากต้องการติดต่อเราหากมีคำถามเกี่ยวกับเว็บไซต์ (โฆษณา ความร่วมมือ ข้อเสนอแนะเกี่ยวกับบริการ) โปรดเขียนถึงเรา [ป้องกันอีเมล]- ทุกอย่างเท่านั้น ปัญหาทั่วไปโพสต์บนเว็บไซต์พวกเขาจะไม่ได้รับการตอบกลับทางไปรษณีย์

0 จะเท่ากับอะไรหากยกกำลังเป็นศูนย์?

ทำไมตัวเลขยกกำลัง 0 จึงเท่ากับ 1? มีกฎว่าตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ยกกำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับ 1: 20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1 อย่างไรก็ตาม ทำไมจึงเป็นเช่นนี้ เมื่อตัวเลขถูกยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ หมายความว่าตัวเลขนั้นถูกคูณด้วยตัวมันเองมากเท่ากับเลขชี้กำลัง: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 เมื่อเลขชี้กำลังเท่ากับ 1 แล้วระหว่างการก่อสร้างจะมีตัวประกอบเพียงตัวเดียว (ถ้าเราพูดถึงปัจจัยได้เลย) ดังนั้นผลลัพธ์ของการก่อสร้าง เท่ากับฐานองศา: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 แต่ตัวบ่งชี้ศูนย์ในกรณีนี้ล่ะ? อะไรคูณด้วยอะไร? เราลองไปทางอื่นกัน เป็นที่รู้กันว่าถ้าสององศามีฐานเท่ากันแต่ ตัวชี้วัดที่แตกต่างกันจากนั้นฐานสามารถคงไว้เหมือนเดิม และสามารถบวกเลขชี้กำลังเข้าด้วยกันได้ (หากเลขยกกำลังถูกคูณ) หรือเลขชี้กำลังของตัวหารสามารถลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผลได้ (หากเลขยกกำลังถูกหาร) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 45 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 ทีนี้ลองพิจารณาตัวอย่างนี้: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ใช้ทรัพย์สินแห่งอำนาจด้วย พื้นฐานเดียวกันและมาคำนวณตามลำดับที่ปรากฏ: 82 ۞ 82 = 64 ۞ 64 = 1 ดังนั้นเราจึงได้หน่วยที่มีค่า ดังนั้น เลขชี้กำลังที่เป็นศูนย์จึงดูเหมือนจะบ่งบอกว่าตัวเลขนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่หารด้วยตัวมันเอง และจากที่นี่จะชัดเจนว่าทำไมสำนวน 00 จึงไม่สมเหตุสมผล ท้ายที่สุดแล้ว คุณไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ คุณสามารถให้เหตุผลแตกต่างออกไปได้ ตัวอย่างเช่น หากมีการคูณกำลังของ 52 × 50 = 52+0 = 52 ก็จะตามมาว่า 52 คูณด้วย 1 ดังนั้น 50 = 1

จากคุณสมบัติของกำลัง: a^n / a^m = a^(n-m) ถ้า n=m ผลลัพธ์จะเป็น 1 ยกเว้นตามธรรมชาติ a=0 ในกรณีนี้ (เนื่องจากศูนย์ถึงยกกำลังใดๆ จะเป็นศูนย์) หารด้วย ศูนย์จะเกิดขึ้น ดังนั้นจึงไม่มี 0^0

การบัญชีในภาษาต่างๆ

ชื่อตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 เป็นต้นไป ภาษายอดนิยมความสงบ.

ภาษา	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ภาษาอังกฤษ	ศูนย์	หนึ่ง	สอง	สาม	สี่	ห้า	หก	เจ็ด	แปด	เก้า
บัลแกเรีย	ศูนย์	สิ่งหนึ่ง	สอง	สาม	สี่	สัตว์เลี้ยง	เสา	เรากำลังเตรียมตัวให้พร้อม	แกน	อุทิศ
ภาษาฮังการี	ว่าง	เอกี้	เก็ตโต	ฮารอม	เนกี้	OT	หมวก	เฮ้	นิวยอร์ก	กิโลแคลอรี
ภาษาดัตช์	ไม่มี	อีน	ทวี	แห้ง	เวียร์	วิจฟ	เซส	เซเว่น	สำเร็จ	เนเกน
ภาษาเดนมาร์ก	ไม่มี	ห้องน้ำในตัว	ถึง	ทรี	ไฟ	ผู้หญิง	เพศ	ซิฟ	อ๊อตเต้	พรรณี
สเปน	ซีโร	อูโน่	สิ่งที่ควรทำ	สาม	คัวโตร	ซินโก	แผ่นดินไหว	อยู่เฉยๆ	โอ้โห	ใหม่
ภาษาอิตาลี	ศูนย์	อูโน่	เนื่องจาก	ทรี	ควอตโตร	ชิงเคว	เซอิ	sette	อ็อตโต	ใหม่
ลิทัวเนีย	โมฆะ	เวียนนา	ดู่	พยายาม	เกอตูริ	เพนกิ	ðedi	เซปตีนี	เสริม	เดวีนี่
เยอรมัน	โมฆะ	เอิ่ม	สเว่ย	เดร	เวียร์	สนุก	เชคส์	ซีเบน	สำเร็จ	นูน
ภาษารัสเซีย	ศูนย์	หนึ่ง	สอง	สาม	สี่	ห้า	หก	เจ็ด	แปด	เก้า
ขัด	ศูนย์	เจเดน	ดีวา	ทริปซี่	cztery	พาย	เซ¶æ	เสียม	โอเซียม	dziewiêæ
โปรตุเกส	อืม	ดอยส์	เทรส	ควอโตร	ซินโก	แผ่นดินไหว	เซ็ต	โออิโตะ	ใหม่
ภาษาฝรั่งเศส	ศูนย์	ยกเลิก	deux	ทรอยส์	สี่เหลี่ยม	cinq	หก	กันยายน	ฮุ่ย	เนิฟ
เช็ก	นูลา	เจดน่า	ดีวีเอ	ตอย	เอตอย	หลุม	¹est	เซดเอ็ม	ออสเอ็ม	devìt
ภาษาสวีเดน	ไม่มี	เอต	ทีวีวา	ทรี	ไฟรา	ผู้หญิง	เพศ	ซจู	อัตตา	นีโอ
เอสโตเนีย	โมฆะ	โอเค	คัก	โคล์ม	เนลี	viis	kuus	เซทเซ่	คาเฮกซา	เออเฮกซา

กำลังลบและกำลังของตัวเลขเป็นศูนย์

กำลังศูนย์ ลบ และเศษส่วน

ตัวบ่งชี้เป็นศูนย์

ตั้งตรง หมายเลขที่กำหนดในระดับหนึ่งหมายถึงการทำซ้ำด้วยตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งที่มีหน่วยอยู่ในเลขชี้กำลัง

ตามคำจำกัดความนี้ นิพจน์: ก 0 ไม่สมเหตุสมผลเลย แต่สำหรับกฎการหารยกกำลังของจำนวนเดียวกันนั้นให้ใช้ได้แม้ในกรณีที่เลขชี้กำลังของตัวหาร เท่ากับตัวบ่งชี้ของเงินปันผลได้มีคำนิยามไว้ดังนี้

กำลังศูนย์ของตัวเลขใดๆ จะเท่ากับหนึ่ง

ตัวบ่งชี้เชิงลบ

การแสดงออก เช้าในตัวมันเองไม่มีความหมาย แต่เพื่อให้กฎการหารยกกำลังของจำนวนเท่ากันนั้นใช้ได้แม้ว่าเลขชี้กำลังของตัวหารจะมากกว่าเลขยกกำลังของเงินปันผลก็ตาม จึงได้นำคำจำกัดความดังกล่าวมาใช้:

ตัวอย่างที่ 1 หากตัวเลขที่กำหนดประกอบด้วย 5 ร้อย 7 สิบ 2 หน่วยและ 9 ในร้อย ก็สามารถอธิบายได้ดังนี้:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

ตัวอย่างที่ 2 หากตัวเลขที่กำหนดประกอบด้วยหน่วยสิบ หน่วย b c ที่สิบ และ d ในพัน ก็สามารถแสดงได้ดังนี้:

ก× 10 1 + ข× 10 0 + ค× 10 -1 + ง× 10 -3

การดำเนินการกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

เมื่อคูณเลขยกกำลังจำนวนเท่ากัน เลขยกกำลังก็จะถูกบวกด้วย

เมื่อหารยกกำลังของจำนวนเดียวกัน เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

หากต้องการยกระดับผลิตภัณฑ์ให้มีกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มแต่ละปัจจัยแยกกันเป็นกำลังนี้:

หากต้องการเพิ่มเศษส่วนเป็นยกกำลัง ก็เพียงพอที่จะยกทั้งสองเทอมของเศษส่วนแยกกันเป็นกำลังนี้:

เมื่อยกกำลังเป็นอีกกำลังหนึ่ง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ

ตัวบ่งชี้เศษส่วน

ถ้า เคไม่ใช่ผลคูณของ nแล้วนิพจน์: ไม่สมเหตุสมผล แต่เพื่อให้กฎในการแยกรากของดีกรีเกิดขึ้นกับค่าใดๆ ของเลขชี้กำลัง จึงได้มีการนำคำจำกัดความมาใช้งาน:

ต้องขอบคุณการเปิดตัวสัญลักษณ์ใหม่ การแยกรากจึงสามารถแทนที่ด้วยการยกกำลังได้เสมอ

การดำเนินการกับกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน

การดำเนินการกับเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนจะดำเนินการตามกฎเดียวกันกับที่กำหนดไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

เมื่อพิสูจน์ตำแหน่งนี้ ก่อนอื่นเราจะถือว่าเงื่อนไขของเศษส่วน: และ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเลขชี้กำลังนั้นเป็นค่าบวก

ในกรณีพิเศษ nหรือ ถามอาจจะเท่ากับหนึ่ง

เมื่อคูณกำลังของจำนวนเดียวกัน ระบบจะบวกเลขชี้กำลังเศษส่วน:

เมื่อทำการหารยกกำลังของจำนวนเดียวกันด้วยเศษส่วน เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล:

หากต้องการยกกำลังเป็นอีกกำลังหนึ่งในกรณีของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน ก็เพียงพอที่จะคูณเลขยกกำลัง:

หากต้องการแยกรากของกำลังเศษส่วน ก็เพียงพอที่จะหารเลขชี้กำลังด้วยเลขชี้กำลังของราก:

กฎการดำเนินการใช้ไม่เพียงแต่กับ เชิงบวก ตัวชี้วัดเศษส่วนแต่ยังเพื่อ เชิงลบ.

มีกฎว่าตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ยกกำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับ 1:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
อย่างไรก็ตาม เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้?
เมื่อตัวเลขถูกยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ หมายความว่าตัวเลขนั้นจะถูกคูณด้วยตัวมันเองมากเท่ากับเลขชี้กำลัง:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
เมื่อเลขชี้กำลังเท่ากับ 1 แสดงว่าในระหว่างการก่อสร้างมีเพียงปัจจัยเดียวเท่านั้น (ถ้าเราสามารถพูดถึงปัจจัยตรงนี้ได้เลย) ดังนั้นผลลัพธ์ของการก่อสร้างจึงเท่ากับฐานของระดับ:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
แต่ตัวบ่งชี้ศูนย์ในกรณีนี้ล่ะ? อะไรคูณด้วยอะไร?
เราลองไปทางอื่นกัน

ทำไมตัวเลขยกกำลัง 0 จึงเท่ากับ 1?

เป็นที่ทราบกันดีว่าหากกำลังทั้งสองมีฐานเท่ากัน แต่มีเลขยกกำลังต่างกัน ฐานก็สามารถให้เท่ากันได้ และสามารถบวกเลขยกกำลังเข้าด้วยกันได้ (หากคูณเลขยกกำลัง) หรือเลขชี้กำลังของตัวหารสามารถ ให้หักออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล (ถ้าหารลงตัว):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ۞ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างนี้:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่ใช้คุณสมบัติของพลังที่มีฐานเดียวกันและทำการคำนวณตามลำดับที่ปรากฏ:
8 2 ۞ 8 2 = 64 ۞ 64 = 1
ดังนั้นเราจึงได้รับหน่วยโลภ ดังนั้น เลขชี้กำลังที่เป็นศูนย์จึงดูเหมือนจะบ่งบอกว่าตัวเลขนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่หารด้วยตัวมันเอง
และจากตรงนี้ก็ชัดเจนว่าเหตุใดนิพจน์ 0 0 จึงไม่สมเหตุสมผล คุณไม่สามารถหารด้วย 0.