ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)
เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?
เพื่อเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา มีไว้เพื่ออะไร วิธีใช้ความรู้ของคุณ ชีวิตประจำวันอ่านบทความนี้
และแน่นอนว่าความรู้ในระดับปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จมากขึ้น ผ่าน OGEหรือการสอบ Unified State และการเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยในฝันของคุณ
ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)
โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)
ระดับแรก
การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร
ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่าง ภาษามนุษย์มาก ตัวอย่างง่ายๆ- ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้
เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม
ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด
ตอนนี้การคูณ
ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า
ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ- แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…
นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.
และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:
นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเคล็ดลับการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.
การยกจำนวนให้เป็นกำลัง
หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองยกกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด
สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางยกกำลังตัวเลข- เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก
เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์- มันหมายความว่าอะไร? มาก คำถามที่ดี- ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์
ตัวอย่างชีวิตจริง #1
เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน
ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ
คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()
คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State สิ่งนี้สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข
ตัวอย่างชีวิตจริง #2
นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้ คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?
ตัวอย่างชีวิตจริง #3
ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (โดยวิธีการวัดปริมาตรและของเหลว ลูกบาศก์เมตร- ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระน้ำ: ก้นวัดหนึ่งเมตรและลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับจำนวนลูกบาศก์ที่วัดหนึ่งเมตรต่อหนึ่งเมตรจะพอดีกับสระของคุณ
เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?
ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .
สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา- เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้
ในที่สุดเพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญานั้นถูกคิดค้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาของตนเอง ปัญหาชีวิตและไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต
ตัวอย่างชีวิตจริง #4
คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่งตอนนี้และ “นับด้วยนิ้วของคุณ” นั่นหมายความว่าคุณเก่งมาก คนที่ทำงานหนักและ..โง่ แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?
ตัวอย่างชีวิตจริง #5
คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ
ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น
เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน
ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร- ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...
ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว- ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน
นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี
โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ระดับที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” จะอ่านว่า “ถึงระดับ” และเขียนดังนี้:
กำลังของจำนวน c ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ
คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ- ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?
ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ
เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่ายังขาดอยู่ ตัวเลขธรรมชาติสำหรับวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?
นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเส้นรอบวงของวงกลมหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง เราก็จะได้ จำนวนอตรรกยะ.
สรุป:
ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
- จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
- การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
- การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:
คำนิยาม.ยกหมายเลขไปที่ ระดับธรรมชาติ- หมายถึง การคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง:
.
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้
มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?
A-ไพรเออรี่:
มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?
ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ
แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย:
ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:
เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!
คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด
2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข
เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:
ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:
โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด:
จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?
แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย
กำลังที่มีฐานลบ
ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด
แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?
อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้- อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่
ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?
เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? - อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก
แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.
พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
คุณจัดการหรือไม่?
นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ
ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)
ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!
6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน
การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง
ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:
ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการกฎก็สามารถนำไปใช้ได้
แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้
เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย
แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!
กลับไปที่ตัวอย่าง:
และอีกครั้งด้วยสูตร:
ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน
จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ
ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:
เช่นเคยให้เราถามตัวเองว่า: ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?
พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:
ดังนั้นเราจึงคูณตัวเลขด้วย และเราได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.
เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:
ทำซ้ำกฎ:
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง
แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)
ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วข้อใดเป็นจริง? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปเกี่ยวข้องและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็น ระดับศูนย์- นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย
เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่าดีกรีลบคืออะไร ลองทำแบบในกัน ครั้งสุดท้าย: คูณบ้าง หมายเลขปกติเช่นเดียวกันจนถึงระดับลบ:
จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:
ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:
เรามาตั้งกฎกัน:
จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)
สรุป:
I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.
ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:
สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:
งานสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:
ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!
มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป
ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดเรียกว่าตรรกยะ?
คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ
เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:
ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:
ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":
ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?
สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่
ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ
นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:
ปรากฎว่า เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ กรณีพิเศษสามารถขยายได้: .
ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:
แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้
ไม่มี!
ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล
แล้วการแสดงออกล่ะ?
แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น
ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ
และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองเท่านั้น รายการที่แตกต่างกันหมายเลขเดียวกัน
หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)
เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา ฐานบวกขององศา c เท่านั้น ตัวบ่งชี้เศษส่วน .
ดังนั้นหาก:
- - จำนวนธรรมชาติ
- - จำนวนเต็ม;
ตัวอย่าง:
องศาด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลมีประโยชน์มากสำหรับการแปลงนิพจน์ด้วยราก เช่น:
5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน
วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม
ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.
กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น
ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)
เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น
ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง
...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข
...องศาด้วยจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้เชิงลบ - ราวกับว่ามีบางอย่างเกิดขึ้น” กระบวนการย้อนกลับ"คือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร
โดยวิธีการทางวิทยาศาสตร์มีปริญญาด้วย ตัวบ่งชี้ที่ซับซ้อนนั่นคือตัวบ่งชี้ไม่เท่ากัน เบอร์จริง.
แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน
เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))
ตัวอย่างเช่น:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:
1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:
ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:
ในกรณีนี้,
ปรากฎว่า:
คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:
คำตอบ: 16
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:
ระดับสูง
การกำหนดระดับ
ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:
- — พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา;
- - เลขชี้กำลัง
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)
การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)
หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:
การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:
สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้
หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:
(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)
อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.
ตัวอย่าง:
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
- - จำนวนธรรมชาติ
- - จำนวนเต็ม;
ตัวอย่าง:
คุณสมบัติขององศา
เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ
มาดูกันว่าคืออะไรและ?
A-ไพรเออรี่:
ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:
แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:
Q.E.D.
ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย : .
ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:
หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลผลิตแห่งอำนาจเท่านั้น!
คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด
เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:
มาจัดเรียงงานนี้ใหม่ดังนี้:
ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:
โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด: !
จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย
กำลังที่มีฐานเป็นลบ
ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .
อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?
เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? -
อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก
แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -
และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป เราสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้ กฎง่ายๆ:
- สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
- จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
- จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
- ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์
พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม
ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)
ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ
และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:
ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:
ก่อนที่คุณจะแยกมันออกจากกัน กฎข้อสุดท้ายเรามาแก้ตัวอย่างกัน
คำนวณนิพจน์:
โซลูชั่น :
ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!
เราได้รับ:
ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกัน กฎข้อที่ 3 ก็สามารถนำไปใช้ได้ แต่อย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้
ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:
เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!
กลับไปที่ตัวอย่าง:
และอีกครั้งด้วยสูตร:
ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:
เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:
ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:
ตัวอย่าง:
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)
เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนที่กำลังเป็นศูนย์คือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเองนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียงความแน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร
เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างสะอาด วัตถุทางคณิตศาสตร์ซึ่งนักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่องดีกรีให้ครอบคลุมปริภูมิตัวเลขทั้งหมด
อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน
แล้วถ้าเราเห็นจะทำยังไง. ตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวองศา? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)
ตัวอย่างเช่น:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
| 1) | 2) | 3) |
คำตอบ:
- มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
- เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
- ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:
สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน
ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:
ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติขององศา
- จำนวนลบยกขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
- จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
- จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
- ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
- จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน
ตอนนี้คุณมีคำว่า...
คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่
บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ
บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ
เขียนในความคิดเห็น
และขอให้โชคดีในการสอบ!
ในบทความนี้เราจะมาดูกันว่ามันคืออะไร ระดับของ- ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของกำลังของตัวเลข ในขณะที่เราจะพิจารณารายละเอียดเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเริ่มจากเลขชี้กำลังธรรมชาติและลงท้ายด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในเนื้อหาคุณจะพบตัวอย่างองศามากมายซึ่งครอบคลุมรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดที่เกิดขึ้น
การนำทางหน้า
ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ, กำลังสองของตัวเลข, ยกกำลังสามของตัวเลข
เรามาเริ่มกันที่ เมื่อมองไปข้างหน้า สมมติว่านิยามกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n ให้ไว้สำหรับ a ซึ่งเราจะเรียกว่า พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาและ n ซึ่งเราจะเรียกว่า เลขชี้กำลัง- นอกจากนี้เรายังสังเกตด้วยว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาตินั้นถูกกำหนดผ่านผลคูณ ดังนั้นเพื่อที่จะเข้าใจเนื้อหาด้านล่าง คุณจะต้องมีความเข้าใจเรื่องการคูณตัวเลข
คำนิยาม.
กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ nคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ a n ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับ a นั่นคือ
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลัง 1 คือตัวเลข a นั่นเอง ซึ่งก็คือ a 1 =a
เป็นเรื่องที่ควรพูดถึงทันทีเกี่ยวกับกฎการอ่านองศา วิธีการสากลการอ่านค่า a n คือ: “a ยกกำลัง n” ในบางกรณี สามารถใช้ตัวเลือกต่อไปนี้ได้: “a กำลัง n” และ “กำลัง n ของ a” ตัวอย่างเช่น ลองยกกำลัง 8 12 ซึ่งก็คือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "แปดยกกำลังสิบสอง" หรือ "ยกกำลังสิบสองของแปด"
กำลังสองของตัวเลข เช่นเดียวกับกำลังสามของตัวเลข มีชื่อเป็นของตัวเอง เรียกว่ากำลังสองของตัวเลข ยกกำลังสองจำนวนเช่น 7 2 อ่านว่า “เจ็ดกำลังสอง” หรือ “กำลังสองของเลขเจ็ด” เรียกว่ากำลังสามของจำนวน ตัวเลขกำลังสามเช่น 5 3 อ่านว่า "ห้าลูกบาศก์" หรืออาจพูดว่า "ลูกบาศก์ของเลข 5" ก็ได้
ถึงเวลาที่ต้องนำมา ตัวอย่างองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ- เริ่มจากดีกรี 5 7 โดยที่ 5 คือฐานของดีกรี และ 7 เป็นเลขชี้กำลัง อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4.32 เป็นฐาน และเลขธรรมชาติ 9 เป็นเลขชี้กำลัง (4.32) 9
โปรดทราบว่าใน ตัวอย่างสุดท้ายฐานของระดับ 4.32 เขียนไว้ในวงเล็บ: เพื่อหลีกเลี่ยงความคลาดเคลื่อน เราจะใส่ฐานทั้งหมดของระดับที่แตกต่างจากจำนวนธรรมชาติในวงเล็บ ตามตัวอย่าง เราให้องศาต่อไปนี้กับเลขชี้กำลังธรรมชาติ 
ฐานของพวกมันไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ จึงเขียนอยู่ในวงเล็บ เพื่อความชัดเจนโดยสมบูรณ์ ณ จุดนี้เราจะแสดงความแตกต่างที่มีอยู่ในบันทึกของรูปแบบ (−2) 3 และ −2 3 นิพจน์ (−2) 3 คือกำลังของ −2 โดยมีเลขชี้กำลังธรรมชาติเป็น 3 และนิพจน์ −2 3 (เขียนได้เป็น −(2 3) ) สอดคล้องกับตัวเลข ค่าของกำลัง 2 3 .
โปรดทราบว่ามีสัญลักษณ์ยกกำลังของตัวเลข a โดยมีเลขชี้กำลัง n อยู่ในรูป a^n ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีหลายค่า เลขยกกำลังจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 4^9 เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งสำหรับยกกำลังของ 4 9 และนี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมของการเขียนองศาโดยใช้สัญลักษณ์ “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . ต่อไปนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ระดับในรูปแบบ a n เป็นหลัก
ปัญหาหนึ่งที่ตรงกันข้ามกับการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือปัญหาการหาฐานของกำลังโดย คุณค่าที่ทราบองศาและ ตัวบ่งชี้ที่ทราบ- ภารกิจนี้นำไปสู่.
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า สรุปตัวเลขประกอบด้วยจำนวนเต็มและจำนวนเศษส่วน และจำนวนเศษส่วนแต่ละจำนวนสามารถแสดงเป็นบวกหรือลบได้ เศษส่วนทั่วไป- เรากำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มเป็น ย่อหน้าก่อนหน้าดังนั้น เพื่อให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะสมบูรณ์ คุณต้องให้ความหมายกับดีกรีของตัวเลข a พร้อมด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ มาทำกัน.
ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ 
- หากเราคำนึงถึงผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันและวิธีการกำหนด ก็มีเหตุผลที่จะยอมรับมัน โดยมีเงื่อนไขว่าเมื่อให้ m, n และ a นิพจน์นั้นสมเหตุสมผล
เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)
การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: หากกำหนดให้ m, n และนิพจน์นั้นสมเหตุสมผลแล้ว กำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n จะเรียกว่ารากที่ n ของ a ยกกำลัง m
ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายว่า m, n และนิพจน์ใดที่สมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดของ m, n และ a มีสองแนวทางหลัก
วิธีที่ง่ายที่สุดคือกำหนดข้อจำกัดให้กับ a โดยการใช้ a≥0 สำหรับค่าบวก m และ a>0 สำหรับค่าลบ m (เนื่องจากสำหรับ m≤0 ไม่ได้กำหนดระดับ 0 ของ m) แล้วเราก็ได้ คำจำกัดความต่อไปนี้องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน
คำนิยาม.
ระดับ จำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/nโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่ารากที่ n ของจำนวน a ยกกำลัง m นั่นคือ
กำลังเศษส่วนของศูนย์จะถูกกำหนดด้วยข้อแม้เดียวที่ตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก
คำนิยาม.
กำลังของศูนย์กับเศษส่วน ตัวบ่งชี้ที่เป็นบวกม./นโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จึงนิยามได้ว่า 
.
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบแบบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล
ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้ประการหนึ่ง: สำหรับลบ a และ m และ n บางค่า นิพจน์นี้สมเหตุสมผล และเราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยนำเงื่อนไข a≥0 มาใช้ ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล 
หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ 
ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ
อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n คือการพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังเลขคู่และเลขคี่ของรากแยกกัน วิธีนี้ต้องใช้ เงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของจำนวน a ซึ่งมีเลขยกกำลังคือ ถือเป็นกำลังของจำนวน a โดยมีเลขยกกำลังที่สอดคล้องกัน เศษส่วนที่ลดไม่ได้(ความสำคัญของเงื่อนไขนี้จะอธิบายไว้ด้านล่าง) นั่นคือ ถ้า m/n เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ k ระดับจะถูกแทนที่ด้วย
สำหรับเลขคู่ n และค่าบวก m นิพจน์นี้สมเหตุสมผลสำหรับค่า a ใดๆ ที่ไม่ใช่ค่าลบ (รากคู่ของ จำนวนลบไม่สมเหตุสมผล) สำหรับค่าลบ m ตัวเลข a จะต้องแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหารด้วยศูนย์) และสำหรับเลขคี่ n และบวก m จำนวน a สามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากของดีกรีคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และสำหรับลบ m จำนวน a จะต้องไม่เป็นศูนย์ (เพื่อไม่ให้หารด้วย ศูนย์).
การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน
คำนิยาม.
ให้ m/n เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m/n นั้นใช้สำหรับ
ให้เราอธิบายว่าทำไมดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดได้จึงถูกแทนที่ด้วยดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่ลดไม่ได้ก่อน หากเรากำหนดระดับเป็น และไม่ได้สำรองไว้เกี่ยวกับการลดทอนไม่ได้ของเศษส่วน m/n เราก็จะต้องเผชิญกับสถานการณ์ที่คล้ายกับต่อไปนี้: เนื่องจาก 6/10 = 3/5 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงต้องคงอยู่ 
, แต่ 
, ก.
สูตรปริญญาใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อน การแสดงออกที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ
ตัวเลข คเป็น n- กำลังของตัวเลข กเมื่อไร:
การดำเนินงานที่มีองศา
1. การคูณกำลังของ c พื้นฐานเดียวกันตัวชี้วัดของพวกเขารวมกัน:
เช้า·a n = a m + n
2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก:
3. กำลังของผลคูณ 2 หรือ มากกว่าปัจจัยเท่ากับผลคูณของกำลังของปัจจัยเหล่านี้:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. ระดับของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:
(ก/ข) n = n /b n
5. การยกกำลังให้เป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:
(ก) n = ก ม n .
แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน
ตัวอย่างเช่น. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
การดำเนินการที่มีราก
1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:
2. รากฐานของทัศนคติ เท่ากับอัตราส่วนเงินปันผลและตัวหารของราก:
3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนรากเป็นกำลังนี้:
4. หากเพิ่มระดับรากเข้าไป nครั้งหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็สร้างเป็น nยกกำลัง th เป็นจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:
5.ถ้าลดระดับรากลง nแยกรากไปพร้อมๆ กัน n- กำลังของจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:
องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบกำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นเลขยกกำลังของจำนวนเดียวกันโดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ตัวบ่งชี้ที่ไม่เป็นบวก:
สูตร เช้า:a n =a ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม> nแต่ยังมี ม< n.
ตัวอย่างเช่น. ก4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
ให้เป็นสูตร เช้า:a n =a ม - nยุติธรรมเมื่อ ม.=นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์
องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์ยกกำลังของจำนวนใดๆ ไม่ใช่ เท่ากับศูนย์โดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์เท่ากับหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อเพิ่มจำนวนจริง กในระดับ ม./นคุณต้องแยกรากออก nระดับของ ม- ยกกำลังของเลขนี้ ก.
ลักษณะสำคัญอย่างหนึ่งในพีชคณิตและในคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็คือปริญญา แน่นอนว่าในศตวรรษที่ 21 การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้ด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์ แต่การพัฒนาสมองจะดีกว่าถ้าเรียนรู้วิธีทำด้วยตัวเอง
ในบทความนี้เราจะดูมากที่สุด คำถามสำคัญเกี่ยวข้องกับคำจำกัดความนี้ กล่าวคือ มาทำความเข้าใจกันดีกว่าว่ามันคืออะไรโดยทั่วไป และหน้าที่หลักของมันคืออะไร มีคุณสมบัติใดบ้างในคณิตศาสตร์
เรามาดูตัวอย่างว่าการคำนวณมีลักษณะอย่างไรและมีสูตรพื้นฐานอะไรบ้าง มาดูประเภทปริมาณหลักๆ และความแตกต่างจากฟังก์ชันอื่นๆ กัน
มาทำความเข้าใจวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ปริมาณนี้กันดีกว่า งานต่างๆ- เราจะแสดงพร้อมตัวอย่างวิธีการยกกำลังเป็นศูนย์ การไม่มีเหตุผล ลบ ฯลฯ
เครื่องคำนวณเลขยกกำลังออนไลน์
เลขยกกำลังคืออะไร
นิพจน์ "ยกกำลังจำนวน" หมายถึงอะไร?
กำลัง n ของจำนวนเป็นผลคูณของปัจจัยที่มีขนาด n ครั้งติดต่อกัน
ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่านี้:
n = a * a * a * …a n
ตัวอย่างเช่น:
- 2 3 = 2 ในระดับที่สาม = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 เพื่อก้าว สอง = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 ก้าว สี่ = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 ใน 5 ขั้นตอน = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100,000;
- 10 4 = 10 ใน 4 ขั้นตอน = 10 * 10 * 10 * 10 = 10,000
ด้านล่างเป็นตารางสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์ตั้งแต่ 1 ถึง 10
ตารางองศาตั้งแต่ 1 ถึง 10
ด้านล่างนี้คือผลลัพธ์ของการเพิ่มจำนวนธรรมชาติเป็นค่าบวก - “ตั้งแต่ 1 ถึง 100”
| ช-โล | เซนต์ที่ 2 | ขั้นตอนที่ 3 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
คุณสมบัติขององศา
ลักษณะดังกล่าวเป็นอย่างไร ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์- มาดูคุณสมบัติพื้นฐานกัน
นักวิทยาศาสตร์ได้กำหนดไว้ดังต่อไปนี้ ลักษณะสัญญาณของทุกองศา:
- n * a m = (a) (n+m) ;
- n: a m = (a) (n-m) ;
- (ก) ม. =(ก) (ข*ม.) .
ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32 ในทางกลับกัน 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32
ในทำนองเดียวกัน: 2 3: 2 2 = 8/4 =2 มิฉะนั้น 2 3-2 = 2 1 =2
(2 3) 2 = 8 2 = 64 จะเป็นอย่างไรหากแตกต่าง? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64
อย่างที่คุณเห็นกฎทำงาน
แต่แล้วยังไงล่ะ ด้วยการบวกและการลบ- มันง่ายมาก การยกกำลังจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบ
ลองดูตัวอย่าง:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16 โปรดทราบ: กฎจะไม่ถือเป็นผลหากคุณลบออกก่อน: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4
แต่ในกรณีนี้ คุณต้องคำนวณการบวกก่อน เนื่องจากมีการดำเนินการในวงเล็บ: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512
วิธีการผลิต การคำนวณเพิ่มเติม กรณีที่ยากลำบาก - คำสั่งซื้อเหมือนกัน:
- หากมีวงเล็บเหลี่ยมคุณต้องเริ่มต้นด้วยวงเล็บเหล่านั้น
- แล้วยกกำลัง;
- จากนั้นจึงดำเนินการการคูณและการหาร
- หลังจากบวกลบ
กิน คุณสมบัติเฉพาะไม่ธรรมดาสำหรับทุกองศา:
- รากที่ n ของตัวเลข a ถึงระดับ m จะถูกเขียนเป็น: a m / n
- เมื่อเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลัง: ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะต้องปฏิบัติตามขั้นตอนนี้
- เมื่อสร้างงาน ตัวเลขที่แตกต่างกันนิพจน์จะสอดคล้องกับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้กับกำลังที่กำหนด นั่นคือ: (a * b) n = a n * bn
- เมื่อเพิ่มจำนวนเป็นลบ คุณต้องหาร 1 ด้วยตัวเลขในศตวรรษเดียวกัน แต่มีเครื่องหมาย "+"
- หากตัวส่วนของเศษส่วนเป็นกำลังลบ นิพจน์นี้จะเท่ากับผลคูณของตัวเศษและตัวส่วนเป็นกำลังบวก
- จำนวนใดๆ ยกกำลัง 0 = 1 และยกกำลัง 1 = เพื่อตัวคุณเอง
กฎเหล่านี้มีความสำคัญในบางกรณี เราจะพิจารณากฎเหล่านี้โดยละเอียดด้านล่าง
องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ
จะทำอย่างไรเมื่อ ลบปริญญาเช่น เมื่อตัวบ่งชี้เป็นลบ?
ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 4 และ 5(ดูจุดด้านบน) ปรากฎว่า:
ก (- n) = 1 / n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1 / 25
และในทางกลับกัน:
1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8
เกิดอะไรขึ้นถ้ามันเป็นเศษส่วน?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ
เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นระดับที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับจำนวนเต็ม
สิ่งที่ต้องจำ:
0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ฯลฯ
ก 1 = ก, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...ฯลฯ
นอกจากนี้ หาก (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมาย “+” หากจำนวนลบยกกำลังคี่ ก็จะกลับกัน
คุณสมบัติทั่วไปก็เท่านั้นเอง สัญญาณเฉพาะตามที่อธิบายไว้ข้างต้นก็เป็นลักษณะเฉพาะของพวกเขาเช่นกัน
ระดับเศษส่วน
ประเภทนี้สามารถเขียนเป็นรูปแบบ: A m / n อ่านว่า: รากที่ n ของเลข A ยกกำลัง m
คุณสามารถทำอะไรก็ได้ที่คุณต้องการด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน เช่น ลดขนาด แบ่งออกเป็นส่วน ๆ เพิ่มกำลังอื่น ฯลฯ
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
ให้ α เป็นจำนวนอตรรกยะ และ A ˃ 0
เพื่อทำความเข้าใจแก่นแท้ของปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ดังกล่าว ลองดูกรณีต่างๆ ที่เป็นไปได้:
- A = 1 ผลลัพธ์จะเท่ากับ 1 เนื่องจากมีสัจพจน์ - 1 ในทุกกำลังมีค่าเท่ากับหนึ่ง
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – จำนวนตรรกยะ;
- 0˂А˂1.
ในกรณีนี้ เป็นอีกวิธีหนึ่ง: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 ภายใต้เงื่อนไขเดียวกันกับในย่อหน้าที่สอง
ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังคือตัวเลข πมันมีเหตุผล
r 1 – ในกรณีนี้เท่ากับ 3;
r 2 – จะเท่ากับ 4
จากนั้น สำหรับ A = 1, 1 π = 1
A = 2 แล้วก็ 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16
A = 1/2 จากนั้น (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8
องศาดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะทั้งหมด การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติเฉพาะที่อธิบายไว้ข้างต้น
บทสรุป
สรุป - ปริมาณเหล่านี้จำเป็นสำหรับอะไร ข้อดีของฟังก์ชันดังกล่าวคืออะไร? แน่นอนว่าก่อนอื่น พวกเขาทำให้ชีวิตของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ง่ายขึ้นเมื่อแก้ไขตัวอย่าง เนื่องจากช่วยให้พวกเขาสามารถลดการคำนวณ ลดขั้นตอนอัลกอริธึม จัดระบบข้อมูล และอื่นๆ อีกมากมาย
ความรู้นี้จะมีประโยชน์ที่ไหนอีก? ในการทำงานเฉพาะด้าน: การแพทย์ เภสัชวิทยา ทันตกรรม การก่อสร้าง เทคโนโลยี วิศวกรรม การออกแบบ ฯลฯ
ก่อสร้างใน ระดับลบ– หนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของคณิตศาสตร์ซึ่งมักพบเมื่อแก้ปัญหาพีชคณิต ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำโดยละเอียด
วิธียกพลังลบ-ทฤษฎี
เมื่อเรายกจำนวนขึ้นเป็นกำลังธรรมดา เราจะคูณค่าของมันหลายครั้ง เช่น 3 3 = 3×3×3 = 27. ค เศษส่วนติดลบมันกลับกัน แบบฟอร์มทั่วไปตามสูตรก็จะมี มุมมองถัดไป: a -n = 1/a n ดังนั้น หากต้องการเพิ่มจำนวนเป็นลบ คุณต้องหารหนึ่งด้วย หมายเลขที่กำหนดแต่ในระดับบวก
วิธียกกำลังเป็นลบ - ตัวอย่างเลขธรรมดา
โปรดคำนึงถึงกฎข้างต้น เรามาแก้ตัวอย่างกัน
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
คำตอบ: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
ตอบ -4 -2 = 1/16
แต่ทำไมคำตอบในตัวอย่างแรกและตัวอย่างที่สองถึงเหมือนกัน? ความจริงก็คือเมื่อจำนวนลบยกกำลังเป็นคู่ (2, 4, 6 ฯลฯ) เครื่องหมายจะกลายเป็นบวก ถ้าดีกรีเป็นเลขคู่ ค่าลบจะคงอยู่:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
วิธีเพิ่มตัวเลขจาก 0 ถึง 1 ให้เป็นกำลังลบ
จำได้ว่าเมื่อเพิ่มตัวเลขในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 นิ้ว ระดับบวกค่าจะลดลงตามระดับที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 0.5 2 = 0.25 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
ตัวอย่างที่ 3: คำนวณ 0.5 -2
วิธีแก้: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4
คำตอบ: 0.5 -2 = 4
การวิเคราะห์ (ลำดับของการกระทำ):
- เราแปล ทศนิยม 0.5 ถึงเศษส่วน 1/2 แบบนั้นง่ายกว่า
เพิ่ม 1/2 ให้เป็นพลังลบ 1/(2) -2 . หาร 1 ด้วย 1/(2) 2 เราจะได้ 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
ตัวอย่างที่ 4: คำนวณ 0.5 -3
วิธีแก้: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
ตัวอย่างที่ 5: คำนวณ -0.5 -3
วิธีแก้: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
คำตอบ: -0.5 -3 = -8
จากตัวอย่างที่ 4 และ 5 เราสามารถสรุปได้หลายประการ:
- สำหรับจำนวนบวกในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 (ตัวอย่างที่ 4) เมื่อยกกำลังเป็นลบ ไม่ว่ากำลังเป็นคู่หรือคี่ไม่สำคัญก็ตาม ค่าของนิพจน์จะเป็นค่าบวก ในขณะเดียวกันกว่า ระดับมากขึ้นยิ่งค่ามากขึ้น
- สำหรับจำนวนลบในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 (ตัวอย่าง 5) เมื่อยกกำลังเป็นลบ ไม่ว่ากำลังเป็นคู่หรือคี่ไม่สำคัญก็ตาม ค่าของนิพจน์จะเป็นลบ ในกรณีนี้ ยิ่งระดับสูง ค่าก็จะยิ่งต่ำลง
วิธียกกำลังเป็นลบ - ยกกำลังในรูปของเลขเศษส่วน
นิพจน์ ประเภทนี้มีรูปแบบดังนี้ a -m/n โดยที่ a – หมายเลขปกติ, m เป็นตัวเศษของดีกรี, n เป็นตัวส่วนของดีกรี
ลองดูตัวอย่าง:
คำนวณ: 8 -1/3
วิธีแก้ปัญหา (ลำดับของการกระทำ):
- เรามาจำกฎการเพิ่มจำนวนให้เป็นลบกัน เราได้: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3
- โปรดสังเกตว่าตัวส่วนมีเลข 8 อยู่ในกำลังเศษส่วน รูปแบบทั่วไปในการคำนวณกำลังเศษส่วนมีดังนี้: a m/n = n √8 m
- ดังนั้น 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1) เราได้รับ รากที่สามจากแปดซึ่งเท่ากับ 2 จากตรงนี้ 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2
- คำตอบ: 8 -1/3 = 2
