ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คุณต้องมี:

1. วิเคราะห์วัตถุหรือกระบวนการจริงอย่างรอบคอบ
2. เน้นคุณสมบัติและคุณสมบัติที่สำคัญที่สุด
3. กำหนดตัวแปร เช่น พารามิเตอร์ที่มีค่าส่งผลต่อคุณสมบัติหลักและคุณสมบัติของวัตถุ
4. อธิบายการพึ่งพาคุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุกระบวนการหรือระบบกับค่าของตัวแปรโดยใช้ความสัมพันธ์เชิงตรรกะ - คณิตศาสตร์ (สมการความเท่าเทียมกันอสมการการสร้างเชิงตรรกะ - คณิตศาสตร์)
5. เน้นความเชื่อมโยงภายในของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ โดยใช้ข้อจำกัด สมการ ความเท่าเทียมกัน อสมการ การสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์
6. ระบุความเชื่อมโยงภายนอกและอธิบายโดยใช้ข้อจำกัด สมการ ความเท่าเทียมกัน อสมการ การสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ นอกเหนือจากการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ และร่างคำอธิบายทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังรวมถึง:

1. การสร้างอัลกอริทึมที่จำลองพฤติกรรมของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบ
2. การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองและวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจากการทดลองทางคอมพิวเตอร์และเต็มรูปแบบ
3. การปรับโมเดล
4. โดยใช้แบบจำลอง

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการและระบบที่กำลังศึกษาขึ้นอยู่กับ:

1. ธรรมชาติของกระบวนการหรือระบบจริง และรวบรวมบนพื้นฐานของกฎฟิสิกส์ เคมี กลศาสตร์ อุณหพลศาสตร์ อุทกพลศาสตร์ วิศวกรรมไฟฟ้า ทฤษฎีพลาสติก ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฯลฯ
2. ความน่าเชื่อถือและความแม่นยำที่ต้องการของการศึกษาและการวิจัยกระบวนการและระบบจริง

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเริ่มต้นด้วยการสร้างและการวิเคราะห์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดและหยาบที่สุดของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่กำลังพิจารณา ในอนาคต หากจำเป็น โมเดลจะได้รับการปรับปรุงและทำให้การโต้ตอบกับวัตถุมีความสมบูรณ์มากขึ้น

ลองยกตัวอย่างง่ายๆ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ผิวของโต๊ะ โดยทั่วไปทำได้โดยการวัดความยาวและความกว้าง แล้วคูณตัวเลขผลลัพธ์ ขั้นตอนเบื้องต้นนี้แท้จริงแล้วหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: วัตถุจริง (พื้นผิวตาราง) ถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม - สี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนาดที่ได้จากการวัดความยาวและความกว้างของพื้นผิวโต๊ะถูกกำหนดให้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้า และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดังกล่าวจะถูกประมาณให้เป็นพื้นที่ที่ต้องการของตาราง อย่างไรก็ตาม โมเดลสี่เหลี่ยมสำหรับโต๊ะนั้นเป็นโมเดลที่ง่ายที่สุดและหยาบที่สุด หากคุณใช้แนวทางแก้ไขปัญหาที่จริงจังกว่านี้ ก่อนที่จะใช้แบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อกำหนดพื้นที่ของตาราง จะต้องตรวจสอบแบบจำลองนี้ก่อน การตรวจสอบสามารถทำได้ดังนี้: วัดความยาวของด้านตรงข้ามของโต๊ะตลอดจนความยาวของเส้นทแยงมุมและเปรียบเทียบกัน หากด้วยระดับความแม่นยำที่ต้องการ ความยาวของด้านตรงข้ามและความยาวของเส้นทแยงมุมเท่ากันเป็นคู่ พื้นผิวของโต๊ะก็ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจริงๆ มิฉะนั้น จะต้องปฏิเสธแบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้าและแทนที่ด้วยแบบจำลองสี่เหลี่ยมทั่วไป ด้วยข้อกำหนดด้านความแม่นยำที่สูงขึ้น อาจจำเป็นต้องปรับแต่งแบบจำลองเพิ่มเติมอีก เช่น โดยคำนึงถึงการปัดเศษของมุมโต๊ะ

จากตัวอย่างง่ายๆ นี้ แสดงให้เห็นว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกกำหนดโดยวัตถุ กระบวนการ หรืออย่างเฉพาะเจาะจง ระบบ.

หรือ (จะชี้แจงพรุ่งนี้)

วิธีแก้คณิตศาสตร์ รุ่น:

1 การสร้างแบบจำลองตามกฎแห่งธรรมชาติ (วิธีวิเคราะห์)

2. วิธีการอย่างเป็นทางการโดยใช้วิธีทางสถิติ ผลการประมวลผลและการวัดผล (วิธีทางสถิติ)

3. การสร้างแบบจำลองตามแบบจำลองขององค์ประกอบ (ระบบที่ซับซ้อน)

1, วิเคราะห์ - ใช้กับการศึกษาอย่างเพียงพอ ทราบรูปแบบทั่วไปแล้ว โมเดล.

2. การทดลอง ในกรณีที่ไม่มีข้อมูล

3. การเลียนแบบ ม. - สำรวจคุณสมบัติของวัตถุ โดยทั่วไป.

ตัวอย่างการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการสร้างและศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสังคมศาสตร์ทั้งหมดที่ใช้คณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างยิ่งในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โดยแทนที่วัตถุด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จากนั้นจึงศึกษาวัตถุชิ้นหลัง การเชื่อมโยงระหว่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กับความเป็นจริงนั้นดำเนินการโดยใช้ห่วงโซ่ของสมมติฐาน การสร้างอุดมคติ และความเรียบง่าย ตามกฎแล้วใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายวัตถุในอุดมคติที่สร้างขึ้นในขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย

เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีโมเดล?

บ่อยครั้งเมื่อศึกษาวัตถุใด ๆ มักเกิดปัญหาขึ้น บางครั้งต้นฉบับเองก็ไม่พร้อมใช้งาน หรือไม่แนะนำให้ใช้ หรือการดึงดูดต้นฉบับมีราคาแพง ปัญหาทั้งหมดนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การจำลอง ในแง่หนึ่ง แบบจำลองสามารถแทนที่วัตถุที่กำลังศึกษาอยู่ได้

ตัวอย่างโมเดลที่ง่ายที่สุด

§ ภาพถ่ายสามารถเรียกได้ว่าเป็นแบบอย่างของบุคคล เพื่อที่จะจดจำบุคคลได้ เพียงแค่ดูรูปถ่ายของเขาก็พอ

§ สถาปนิกได้สร้างแบบจำลองพื้นที่อยู่อาศัยใหม่ เขาสามารถย้ายตึกสูงจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่งด้วยการขยับมือ ในความเป็นจริงสิ่งนี้คงเป็นไปไม่ได้

ประเภทโมเดล

โมเดลสามารถแบ่งออกเป็น วัสดุ"และ สมบูรณ์แบบ- ตัวอย่างข้างต้นเป็นแบบจำลองวัสดุ โมเดลในอุดมคติมักมีรูปร่างที่เป็นเอกลักษณ์ แนวคิดที่แท้จริงถูกแทนที่ด้วยสัญญาณบางอย่างซึ่งสามารถบันทึกลงบนกระดาษในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ ฯลฯ ได้อย่างง่ายดาย

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อยู่ในคลาสของการสร้างแบบจำลองเชิงสัญลักษณ์ นอกจากนี้ แบบจำลองยังสามารถสร้างขึ้นได้จากวัตถุทางคณิตศาสตร์ใดๆ เช่น ตัวเลข ฟังก์ชัน สมการ ฯลฯ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

§ สามารถสังเกตได้หลายขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์:

1. ทำความเข้าใจปัญหา ระบุคุณสมบัติ คุณสมบัติ ปริมาณ และพารามิเตอร์ที่สำคัญที่สุดสำหรับเรา

2. การแนะนำสัญกรณ์

3. จัดทำระบบข้อ จำกัด ที่ค่าที่ป้อนต้องเป็นไปตาม

4. การกำหนดและการบันทึกเงื่อนไขที่ต้องเป็นไปตามโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดที่ต้องการ

กระบวนการสร้างโมเดลไม่ได้สิ้นสุดด้วยการสร้างแบบจำลอง แต่เพียงเริ่มต้นด้วยการสร้างโมเดลเท่านั้น เมื่อรวบรวมแบบจำลองแล้ว พวกเขาเลือกวิธีการค้นหาคำตอบและแก้ไขปัญหา เมื่อพบคำตอบแล้วจึงนำไปเปรียบเทียบกับความเป็นจริง และเป็นไปได้ว่าคำตอบนั้นไม่เป็นที่พอใจ ซึ่งในกรณีนี้โมเดลมีการปรับเปลี่ยนหรือแม้กระทั่งเลือกโมเดลที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ตัวอย่างของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

งาน

สมาคมการผลิตซึ่งรวมถึงโรงงานเฟอร์นิเจอร์สองแห่ง จำเป็นต้องปรับปรุงพื้นที่จอดเครื่องจักร นอกจากนี้โรงงานเฟอร์นิเจอร์แห่งแรกจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องจักรสามเครื่องและเครื่องจักรที่สอง - เจ็ดเครื่อง สามารถสั่งซื้อได้ที่โรงงานเครื่องมือกลสองแห่ง โรงงานแห่งแรกสามารถผลิตเครื่องจักรได้ไม่เกิน 6 เครื่อง และโรงงานแห่งที่สองจะยอมรับคำสั่งซื้อหากมีอย่างน้อยสามเครื่อง คุณต้องกำหนดวิธีการสั่งซื้อ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 วิธีการทางคณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์เริ่มมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ สาขาวิชาใหม่ๆ เกิดขึ้น เช่น “เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์” “เคมีคณิตศาสตร์” “ภาษาศาสตร์คณิตศาสตร์” ฯลฯ ศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุและปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้อง ตลอดจนวิธีการศึกษาแบบจำลองเหล่านี้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นคำอธิบายโดยประมาณของปรากฏการณ์หรือวัตถุในโลกแห่งความจริงในภาษาคณิตศาสตร์ วัตถุประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองคือเพื่อสำรวจวัตถุเหล่านี้และทำนายผลลัพธ์ของการสังเกตในอนาคต อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองยังเป็นวิธีการหนึ่งในการทำความเข้าใจโลกรอบตัวเรา ทำให้สามารถควบคุมโลกได้

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในกรณีที่การทดลองเต็มรูปแบบเป็นไปไม่ได้หรือยากด้วยเหตุผลใดก็ตาม ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างการทดลองทางธรรมชาติในประวัติศาสตร์เพื่อตรวจสอบ "จะเกิดอะไรขึ้นถ้า..." เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีทางจักรวาลวิทยาอย่างใดอย่างหนึ่ง เป็นไปได้แต่ไม่น่าจะสมเหตุสมผลในการทดลองกับการแพร่กระจายของโรค เช่น โรคระบาด หรือทำการระเบิดนิวเคลียร์เพื่อศึกษาผลที่ตามมา อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์โดยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ก่อน

2. ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) การสร้างแบบจำลอง- ในขั้นตอนนี้ มีการระบุวัตถุที่ "ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์" บางอย่าง เช่น ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ การออกแบบ แผนเศรษฐกิจ กระบวนการผลิต ฯลฯ ในกรณีนี้ ตามกฎแล้ว การอธิบายสถานการณ์ที่ชัดเจนเป็นเรื่องยาก ขั้นแรก มีการระบุคุณสมบัติหลักของปรากฏการณ์และความเชื่อมโยงระหว่างสิ่งเหล่านั้นในระดับคุณภาพ จากนั้นการพึ่งพาเชิงคุณภาพที่พบจะถูกกำหนดในภาษาคณิตศาสตร์นั่นคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้น นี่เป็นขั้นตอนที่ยากที่สุดในการสร้างแบบจำลอง

2) การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แบบจำลองนำไปสู่- ในขั้นตอนนี้ให้ความสนใจอย่างมากกับการพัฒนาอัลกอริธึมและวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งสามารถหาผลลัพธ์ได้อย่างแม่นยำและภายในระยะเวลาที่ยอมรับได้

3) การตีความผลที่ตามมาจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ผลที่ตามมาที่ได้รับจากแบบจำลองในภาษาคณิตศาสตร์จะถูกตีความในภาษาที่ยอมรับในสาขานั้น

4) การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองในขั้นตอนนี้ จะมีการพิจารณาว่าผลการทดลองสอดคล้องกับผลที่ตามมาทางทฤษฎีของแบบจำลองด้วยความแม่นยำระดับหนึ่งหรือไม่

5) การปรับเปลี่ยนแบบจำลองในขั้นตอนนี้ แบบจำลองนั้นมีความซับซ้อนเพื่อให้เหมาะสมกับความเป็นจริงมากขึ้น หรือแบบจำลองนั้นถูกทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ในทางปฏิบัติ

3. การจำแนกประเภทของแบบจำลอง

โมเดลสามารถจำแนกตามเกณฑ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ตามลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข แบบจำลองสามารถแบ่งออกเป็นเชิงฟังก์ชันและเชิงโครงสร้าง ในกรณีแรก ปริมาณทั้งหมดที่แสดงถึงปรากฏการณ์หรือวัตถุจะแสดงออกมาในเชิงปริมาณ ยิ่งไปกว่านั้น บางส่วนยังถือเป็นตัวแปรอิสระ ในขณะที่บางตัวถือเป็นฟังก์ชันของปริมาณเหล่านี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักเป็นระบบสมการประเภทต่างๆ (ดิฟเฟอเรนเชียล พีชคณิต ฯลฯ) ที่สร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่พิจารณา ในกรณีที่สอง โมเดลจะกำหนดลักษณะโครงสร้างของวัตถุที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยแต่ละส่วน ซึ่งมีการเชื่อมต่อบางอย่างระหว่างนั้น โดยทั่วไปแล้ว การเชื่อมต่อเหล่านี้ไม่สามารถวัดปริมาณได้ การสร้างแบบจำลองดังกล่าวจะสะดวกที่จะใช้ทฤษฎีกราฟ กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงชุดของจุด (จุดยอด) บนระนาบหรือในอวกาศ ซึ่งบางจุดเชื่อมต่อกันด้วยเส้น (ขอบ)

ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูลและผลลัพธ์เบื้องต้น แบบจำลองการทำนายสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและแบบความน่าจะเป็น-สถิติ แบบจำลองประเภทแรกให้คำทำนายที่แน่นอนและไม่คลุมเครือ แบบจำลองประเภทที่สองนั้นขึ้นอยู่กับข้อมูลทางสถิติ และการคาดการณ์ที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือนั้นมีความน่าจะเป็นโดยธรรมชาติ

4. ตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) ปัญหาการเคลื่อนที่ของกระสุนปืน

พิจารณาปัญหาทางกลไกต่อไปนี้

กระสุนปืนถูกปล่อยจากโลกด้วยความเร็วเริ่มต้น v 0 = 30 m/s ที่มุม a = 45° ถึงพื้นผิว; จำเป็นต้องค้นหาวิถีการเคลื่อนที่และระยะทาง S ระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของวิถีนี้

ดังที่ทราบจากหลักสูตรฟิสิกส์ของโรงเรียน การเคลื่อนที่ของกระสุนปืนถูกอธิบายโดยสูตร:

โดยที่ t คือเวลา g = 10 m/s 2 คือความเร่งของการตกอย่างอิสระ สูตรเหล่านี้เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา การแสดง t ถึง x จากสมการแรกและแทนที่เป็นสมการที่สอง เราได้สมการสำหรับวิถีการเคลื่อนที่ของกระสุนปืน:

เส้นโค้งนี้ (พาราโบลา) ตัดแกน x ที่จุดสองจุด: x 1 = 0 (จุดเริ่มต้นของวิถี) และ (สถานที่ที่กระสุนปืนตกลงมา) เราได้รับค่าแทนค่าที่กำหนดของ v0 และ a ลงในสูตรผลลัพธ์

คำตอบ: y = x – 90x 2, S = 90 ม.

โปรดทราบว่าเมื่อสร้างแบบจำลองนี้ มีการใช้สมมติฐานหลายประการ เช่น สันนิษฐานว่าโลกแบน และอากาศและการหมุนของโลกไม่ส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของกระสุนปืน

2) ปัญหาเกี่ยวกับถังที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด

จำเป็นต้องค้นหาความสูง h 0 และรัศมี r 0 ของถังดีบุกที่มีปริมาตร V = 30 m 3 โดยมีรูปร่างเป็นทรงกระบอกกลมปิด ซึ่งพื้นที่ผิว S น้อยที่สุด (ในกรณีนี้ น้อยที่สุด จะใช้ปริมาณดีบุกในการผลิต)

ให้เราเขียนสูตรต่อไปนี้สำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกสูง h และรัศมี r:

V = p r 2 ชั่วโมง, S = 2p r(r + h)

เมื่อแสดง h ถึง r และ V จากสูตรแรกและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรที่สอง เราจะได้:

ดังนั้น จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ปัญหาจึงอยู่ที่การกำหนดค่าของ r ซึ่งฟังก์ชัน S(r) ถึงค่าต่ำสุด ให้เราค้นหาค่าเหล่านั้นของ r 0 ซึ่งเป็นอนุพันธ์

ไปที่ศูนย์: คุณสามารถตรวจสอบว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน S(r) เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่ออาร์กิวเมนต์ r ผ่านจุด r 0 ดังนั้น ณ จุด r0 ฟังก์ชัน S(r) จึงมีค่าต่ำสุด ค่าที่สอดคล้องกันคือ h 0 = 2r 0 แทนที่ค่าที่กำหนด V ลงในนิพจน์สำหรับ r 0 และ h 0 เราจะได้รัศมีที่ต้องการ และความสูง

3) ปัญหาด้านการขนส่ง

เมืองนี้มีโกดังแป้งสองแห่งและร้านเบเกอรี่สองแห่ง ในแต่ละวัน มีการขนส่งแป้ง 50 ตันจากคลังสินค้าแห่งแรก และ 70 ตันจากคลังสินค้าแห่งที่สองไปยังโรงงาน โดย 40 ตันไปยังคลังสินค้าแห่งแรก และ 80 ตันไปยังคลังสินค้าที่สอง

ให้เราแสดงโดย ก ij คือต้นทุนการขนส่งแป้ง 1 ตันจากคลังสินค้าที่ i ไปยังโรงงานที่ j (i, j = 1.2) อนุญาต

ก 11 = 1.2 รูเบิล ก 12 = 1.6 รูเบิล ก 21 = 0.8 ถู. ก 22 = 1 ถู

ควรวางแผนการขนส่งอย่างไรให้ต้นทุนน้อยที่สุด?

เรามาลองกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ให้กับโจทย์กันดีกว่า ให้เราแสดงด้วย x 1 และ x 2 ปริมาณแป้งที่ต้องขนส่งจากคลังสินค้าแห่งแรกไปยังโรงงานที่หนึ่งและที่สองและโดย x 3 และ x 4 - จากคลังสินค้าแห่งที่สองไปยังโรงงานที่หนึ่งและสองตามลำดับ แล้ว:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80 (1)

ต้นทุนรวมของการขนส่งทั้งหมดถูกกำหนดโดยสูตร

ฉ = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ปัญหาคือการหาตัวเลขสี่จำนวน x 1, x 2, x 3 และ x 4 ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดทั้งหมดและให้ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน f ให้เราแก้ระบบสมการ (1) สำหรับ xi (i = 1, 2, 3, 4) โดยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ เราเข้าใจแล้ว

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

และ x 4 ไม่สามารถกำหนดได้โดยเฉพาะ เนื่องจาก x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4) จึงตามมาจากสมการ (2) ที่30Ј x 4 Ј 70 แทนที่นิพจน์สำหรับ x 1, x 2, x 3 ลงในสูตรสำหรับ f เราได้

ฉ = 148 – 0.2x 4.

ง่ายที่จะเห็นว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้บรรลุได้ที่ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ x 4 นั่นคือที่ x 4 = 70 ค่าที่สอดคล้องกันของค่าที่ไม่รู้จักอื่น ๆ จะถูกกำหนดโดยสูตร (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0

4) ปัญหาการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี

ให้ N(0) เป็นจำนวนอะตอมตั้งต้นของสารกัมมันตภาพรังสี และ N(t) เป็นจำนวนอะตอมที่ไม่สลายตัว ณ เวลา t มีการทดลองพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนอะตอมเหล่านี้ N"(t) เป็นสัดส่วนกับ N(t) นั่นคือ N"(t)=–l N(t) l >0 คือ ค่าคงที่กัมมันตภาพรังสีของสารที่กำหนด ในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แสดงให้เห็นว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ N(t) = N(0)e –l t เวลา T ในระหว่างที่จำนวนอะตอมเริ่มต้นลดลงครึ่งหนึ่งเรียกว่าครึ่งชีวิต และเป็นลักษณะสำคัญของกัมมันตภาพรังสีของสาร ในการหาค่า T เราต้องใส่สูตรลงไป แล้ว ตัวอย่างเช่น สำหรับเรดอน l = 2.084 · 10 –6 ดังนั้น T = 3.15 วัน

5) ปัญหาพนักงานขายเดินทาง

พนักงานขายที่กำลังเดินทางซึ่งอาศัยอยู่ในเมือง A 1 จำเป็นต้องไปเยือนเมือง A 2 , A 3 และ A 4 โดยแต่ละเมืองเพียงครั้งเดียว จากนั้นจึงกลับมาที่ A 1 เป็นที่ทราบกันว่าเมืองทุกเมืองเชื่อมต่อกันเป็นคู่ด้วยถนน และความยาวของถนน b ij ระหว่างเมือง A i และ A j (i, j = 1, 2, 3, 4) มีดังนี้:

ข 12 = 30, ข 14 = 20, ข 23 = 50, ข 24 = 40, ข 13 = 70, ข 34 = 60

มีความจำเป็นต้องกำหนดลำดับการเยี่ยมชมเมืองโดยที่ความยาวของเส้นทางที่สอดคล้องกันนั้นน้อยที่สุด

ให้เราวาดภาพแต่ละเมืองเป็นจุดบนเครื่องบินและทำเครื่องหมายด้วยป้ายกำกับ Ai (i = 1, 2, 3, 4) มาเชื่อมโยงจุดเหล่านี้ด้วยเส้นตรง: พวกมันจะเป็นตัวแทนของถนนระหว่างเมืองต่างๆ สำหรับ “ถนน” แต่ละเส้น เราจะระบุความยาวเป็นกิโลเมตร (รูปที่ 2) ผลลัพธ์ที่ได้คือกราฟ - วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยชุดของจุดจำนวนหนึ่งบนระนาบ (เรียกว่าจุดยอด) และชุดของเส้นบางชุดที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ (เรียกว่าขอบ) นอกจากนี้ กราฟนี้ยังมีป้ายกำกับ เนื่องจากจุดยอดและขอบของกราฟถูกกำหนดป้ายกำกับบางอัน - ตัวเลข (ขอบ) หรือสัญลักษณ์ (จุดยอด) วงจรบนกราฟคือลำดับของจุดยอด V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 โดยที่จุดยอด V 1 , ..., V k ต่างกัน และจุดยอดคู่ใดๆ V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) และคู่ V 1, V k เชื่อมต่อกันด้วยขอบ ดังนั้น ปัญหาที่กำลังพิจารณาคือการหาวงจรบนกราฟที่ผ่านจุดยอดทั้งสี่ซึ่งผลรวมของน้ำหนักขอบทั้งหมดจะน้อยที่สุด ให้เราค้นหารอบต่างๆ ทั้งหมดที่ผ่านจุดยอดสี่จุดและเริ่มต้นที่ A 1:

1) ก 1, 4, 3, 2, 1;
2) เอ 1, เอ 3, เอ 2, เอ 4, เอ 1;
3) ก 1, 3, 4, 2, 1

ให้เราหาความยาวของวัฏจักรเหล่านี้ (เป็นกิโลเมตร): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200 ดังนั้น เส้นทางที่สั้นที่สุดจะเป็นเส้นทางแรก

โปรดทราบว่าหากมีจุดยอด n จุดในกราฟและจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกันเป็นคู่ด้วยขอบ (กราฟดังกล่าวเรียกว่าสมบูรณ์) ดังนั้นจำนวนรอบที่ผ่านจุดยอดทั้งหมดจึงเท่ากับ ดังนั้น ในกรณีของเรา จะมีสามรอบพอดี

6) ปัญหาการหาความเชื่อมโยงระหว่างโครงสร้างและคุณสมบัติของสาร

ลองดูสารประกอบเคมีหลายชนิดที่เรียกว่าอัลเคนปกติ ประกอบด้วยคาร์บอน n อะตอมและไฮโดรเจน n + 2 อะตอม (n = 1, 2 ... ) เชื่อมต่อกันดังแสดงในรูปที่ 3 สำหรับ n = 3 ให้ทราบค่าการทดลองของจุดเดือดของสารประกอบเหล่านี้:

ใช่ (3) = – 42° ใช่ (4) = 0° ใช่ (5) = 28° ใช่ (6) = 69°

จำเป็นต้องค้นหาความสัมพันธ์โดยประมาณระหว่างจุดเดือดกับจำนวน n ของสารประกอบเหล่านี้ ให้เราสมมติว่าการพึ่งพานี้มีรูปแบบ

คุณ" กไม่มี+ข

ที่ไหน ก, b - ค่าคงที่ที่จะถูกกำหนด การค้นหา กและ b เราแทนที่สูตรนี้ตามลำดับ n = 3, 4, 5, 6 และค่าที่สอดคล้องกันของจุดเดือด เรามี:

– 42 » 3 ก+ ข, 0 » 4 ก+ ข, 28 » 5 ก+ ข, 69 » 6 ก+ข.

เพื่อกำหนดสิ่งที่ดีที่สุด กและ b มีวิธีการที่แตกต่างกันมากมาย ลองใช้สิ่งที่ง่ายที่สุดกันดีกว่า ลองเขียน b ผ่านดูสิ กจากสมการเหล่านี้:

ข » – 42 – 3 ก, ข " – 4 ก, ข » 28 – 5 ก, ข » 69 – 6 ก.

ให้เราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้ตามที่ต้องการ b นั่นคือเราใส่ b » 16 – 4.5 ก- ให้เราแทนค่า b นี้ลงในระบบสมการดั้งเดิมและคำนวณ กเราได้รับเพื่อ กค่าต่อไปนี้: ก» 37, ก» 28, ก» 28, ก 36. เอาตามความจำเป็นเถอะ กค่าเฉลี่ยของตัวเลขเหล่านี้คือสมมุติ ก 34. ดังนั้น สมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

ป » 34น – 139.

เรามาตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองบนสารประกอบสี่ตัวดั้งเดิมซึ่งเราคำนวณจุดเดือดโดยใช้สูตรผลลัพธ์:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°

ดังนั้น ข้อผิดพลาดในการคำนวณคุณสมบัตินี้สำหรับสารประกอบเหล่านี้จะต้องไม่เกิน 5° เราใช้สมการผลลัพธ์ในการคำนวณจุดเดือดของสารประกอบที่มี n = 7 ซึ่งไม่รวมอยู่ในเซตดั้งเดิม ซึ่งเราแทน n = 7 ลงในสมการนี้: y р (7) = 99° ผลลัพธ์ค่อนข้างแม่นยำ โดยทราบกันว่าค่าการทดลองของจุดเดือด y (7) = 98°

7) ปัญหาในการกำหนดความน่าเชื่อถือของวงจรไฟฟ้า

ที่นี่เราจะดูตัวอย่างของแบบจำลองความน่าจะเป็น อันดับแรก เรานำเสนอข้อมูลบางส่วนจากทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นสาขาวิชาทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่มที่สังเกตได้ระหว่างการทดลองซ้ำหลายครั้ง ให้เราเรียกเหตุการณ์สุ่ม A ว่าเป็นผลที่เป็นไปได้ของการทดลองบางอย่าง เหตุการณ์ A 1, ..., A k จะสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์หากเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจำเป็นต้องเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลอง เหตุการณ์จะเรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในประสบการณ์เดียว ปล่อยให้เหตุการณ์ A เกิดขึ้น m ครั้งระหว่างการทดสอบซ้ำ n เท่า ความถี่ของเหตุการณ์ A คือตัวเลข W = แน่นอนว่าค่าของ W ไม่สามารถทำนายได้อย่างแม่นยำจนกว่าจะทำการทดลองจำนวน n ชุด อย่างไรก็ตาม ธรรมชาติของเหตุการณ์สุ่มเป็นเช่นนั้นในทางปฏิบัติ บางครั้งอาจสังเกตเห็นผลกระทบต่อไปนี้: เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ค่าในทางปฏิบัติก็จะไม่กลายเป็นแบบสุ่มและจะคงตัวรอบๆ จำนวน P(A ที่ไม่ใช่จำนวนสุ่ม) ซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์ A สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ (ซึ่งไม่เคยเกิดขึ้นในการทดลอง) P(A)=0 และสำหรับเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ (ซึ่งมักจะเกิดขึ้นในประสบการณ์) P(A)=1 หากเหตุการณ์ A 1 , ..., A k รวมกลุ่มของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ดังนั้น P(A 1)+...+P(A k)=1

ตัวอย่างเช่น การทดลองประกอบด้วยการทอยลูกเต๋าและสังเกตจำนวนคะแนน X ที่โยนออกมา จากนั้นเราจะแนะนำเหตุการณ์สุ่มต่อไปนี้ A i = (X = i), i = 1, ..., 6 พวกเขา รวมกันเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นที่เข้ากันไม่ได้และมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้น P(A i) = (i = 1, ..., 6)

ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ A + B ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นในประสบการณ์ ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ AB ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน สำหรับเหตุการณ์อิสระ A และ B สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B)

8) ให้เราพิจารณาสิ่งต่อไปนี้ งาน- สมมติว่าองค์ประกอบทั้งสามเชื่อมต่อแบบอนุกรมกับวงจรไฟฟ้าและทำงานแยกจากกัน ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวขององค์ประกอบที่ 1, 2 และ 3 ตามลำดับเท่ากับ P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2 เราจะพิจารณาวงจรที่เชื่อถือได้หากความน่าจะเป็นที่ไม่มีกระแสไฟฟ้าในวงจรมีค่าไม่เกิน 0.4 มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าวงจรที่กำหนดมีความน่าเชื่อถือหรือไม่

เนื่องจากองค์ประกอบต่างๆ เชื่อมต่อกันแบบอนุกรม จะไม่มีกระแสไฟฟ้าในวงจร (เหตุการณ์ A) หากองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวล้มเหลว ให้ A i เป็นเหตุการณ์ที่สมาชิก i-th ทำงาน (i = 1, 2, 3) จากนั้น P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8 แน่นอนว่า A 1 A 2 A 3 เป็นเหตุการณ์ที่องค์ประกอบทั้งสามทำงานพร้อมกัน และ

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612

จากนั้น P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1 ดังนั้น P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

โดยสรุป เราสังเกตว่าตัวอย่างที่ให้มาของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (รวมถึงเชิงฟังก์ชันและโครงสร้าง เชิงกำหนด และความน่าจะเป็น) เป็นเพียงตัวอย่างในธรรมชาติ และเห็นได้ชัดว่า ไม่ได้ทำให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อันหลากหลายที่เกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและมนุษยศาสตร์หมดไป

การบรรยายครั้งที่ 1

พื้นฐานระเบียบวิธีของการสร้างแบบจำลอง

สถานะปัจจุบันของปัญหาการสร้างแบบจำลองระบบ

แนวคิดการสร้างแบบจำลองและการจำลอง

การสร้างแบบจำลองถือได้ว่าเป็นการทดแทนวัตถุที่กำลังศึกษา (ต้นฉบับ) ด้วยภาพ คำอธิบาย หรือวัตถุอื่น ๆ ที่เรียกว่า แบบอย่างและจัดให้มีพฤติกรรมที่ใกล้เคียงกับต้นฉบับภายใต้กรอบสมมติฐานบางประการและข้อผิดพลาดที่ยอมรับได้ โดยปกติการสร้างแบบจำลองจะดำเนินการโดยมีเป้าหมายเพื่อทำความเข้าใจคุณสมบัติของต้นฉบับโดยการศึกษาแบบจำลอง ไม่ใช่ตัววัตถุเอง แน่นอนว่าการสร้างแบบจำลองนั้นสมเหตุสมผลเมื่อทำได้ง่ายกว่าการสร้างต้นฉบับเอง หรือเมื่อด้วยเหตุผลบางประการ เป็นการดีกว่าที่จะไม่สร้างต้นฉบับเลย

ภายใต้ แบบอย่างเข้าใจว่าเป็นวัตถุทางกายภาพหรือนามธรรมซึ่งมีคุณสมบัติในแง่หนึ่งคล้ายกับคุณสมบัติของวัตถุที่กำลังศึกษา ในกรณีนี้ข้อกำหนดสำหรับแบบจำลองจะถูกกำหนดโดยปัญหาที่ได้รับการแก้ไขและวิธีการที่มีอยู่ มีข้อกำหนดทั่วไปหลายประการสำหรับรุ่น:

2) ความครบถ้วน – การให้ข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดแก่ผู้รับ

เกี่ยวกับวัตถุ

3) ความยืดหยุ่น - ความสามารถในการจำลองสถานการณ์ที่แตกต่างกันในทุกสิ่ง

ช่วงของการเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขและพารามิเตอร์

4) ความซับซ้อนของการพัฒนาต้องเป็นที่ยอมรับของที่มีอยู่

เวลาและซอฟต์แวร์

การสร้างแบบจำลองเป็นกระบวนการสร้างแบบจำลองของวัตถุและศึกษาคุณสมบัติของวัตถุโดยการตรวจสอบแบบจำลอง

ดังนั้นการสร้างแบบจำลองจึงมี 2 ขั้นตอนหลัก:

1) การพัฒนาแบบจำลอง

2) การศึกษาแบบจำลองและการสรุปผล

ในเวลาเดียวกันในแต่ละขั้นตอนงานที่แตกต่างกันจะได้รับการแก้ไขและ

วิธีการและวิธีการที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานแล้ว

ในทางปฏิบัติ มีการใช้วิธีการสร้างแบบจำลองต่างๆ โมเดลทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสองคลาสใหญ่ ๆ ขึ้นอยู่กับวิธีการนำไปใช้: กายภาพและคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยปกติจะถือเป็นวิธีในการศึกษากระบวนการหรือปรากฏการณ์โดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ภายใต้ การสร้างแบบจำลองทางกายภาพหมายถึง การศึกษาวัตถุและปรากฏการณ์บนแบบจำลองทางกายภาพ เมื่อกระบวนการที่กำลังศึกษาถูกทำซ้ำโดยยังคงรักษาธรรมชาติทางกายภาพไว้ หรือใช้ปรากฏการณ์ทางกายภาพอื่นที่คล้ายกับที่กำลังศึกษาอยู่ โดยที่ โมเดลทางกายภาพตามกฎแล้ว พวกเขาถือว่าคุณสมบัติทางกายภาพที่แท้จริงของเครื่องบินต้นฉบับนั้นมีความสำคัญในสถานการณ์เฉพาะ ตัวอย่างเช่น เมื่อออกแบบเครื่องบินลำใหม่ จะมีการสร้างแบบจำลองที่มีคุณสมบัติทางอากาศพลศาสตร์เหมือนกัน เมื่อวางแผนการพัฒนา สถาปนิกจะสร้างแบบจำลองที่สะท้อนถึงการจัดวางองค์ประกอบเชิงพื้นที่ ในเรื่องนี้เรียกอีกอย่างว่าการสร้างแบบจำลองทางกายภาพ การสร้างต้นแบบ.

การสร้างแบบจำลองครึ่งชีวิตคือการศึกษาระบบควบคุมที่สามารถควบคุมได้ในการสร้างแบบจำลองที่ซับซ้อนโดยมีการรวมอุปกรณ์จริงไว้ในแบบจำลอง นอกเหนือจากอุปกรณ์จริงแล้ว แบบจำลองปิดยังรวมถึงเครื่องจำลองอิทธิพลและการรบกวน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสภาพแวดล้อมภายนอก และกระบวนการที่ไม่ทราบคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำเพียงพอ การรวมอุปกรณ์จริงหรือระบบจริงไว้ในวงจรของการสร้างแบบจำลองกระบวนการที่ซับซ้อน ทำให้สามารถลดความไม่แน่นอนเชิงนิรนัยและสำรวจกระบวนการที่ไม่มีคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนได้ การใช้การสร้างแบบจำลองกึ่งธรรมชาติ การวิจัยจะดำเนินการโดยคำนึงถึงค่าคงที่เวลาเล็กน้อยและความเป็นเส้นตรงที่มีอยู่ในอุปกรณ์จริง เมื่อศึกษาแบบจำลองโดยใช้อุปกรณ์จริงจะใช้แนวคิด การจำลองแบบไดนามิกเมื่อศึกษาระบบและปรากฏการณ์ที่ซับซ้อน - วิวัฒนาการ, การเลียนแบบและ การสร้างแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์.

แน่นอนว่าประโยชน์ที่แท้จริงของการสร้างแบบจำลองจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อตรงตามเงื่อนไขสองประการเท่านั้น:

1) โมเดลให้การแสดงคุณสมบัติที่ถูกต้อง (เพียงพอ)

ต้นฉบับที่มีนัยสำคัญจากมุมมองของการดำเนินงานที่กำลังศึกษา

2) โมเดลช่วยให้คุณขจัดปัญหาที่ระบุไว้ข้างต้นโดยธรรมชาติ

ดำเนินการวิจัยวัตถุจริง

2. แนวคิดพื้นฐานของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติโดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์นั้นดำเนินการอย่างสม่ำเสมอโดยการกำหนดปัญหา (การพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์) การเลือกวิธีในการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เป็นผลลัพธ์ และการวิเคราะห์ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับ การกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์มักจะนำเสนอในรูปแบบของภาพเรขาคณิต ฟังก์ชัน ระบบสมการ ฯลฯ คำอธิบายของวัตถุ (ปรากฏการณ์) สามารถแสดงได้โดยใช้รูปแบบต่อเนื่องหรือแบบไม่ต่อเนื่อง กำหนดไว้หรือสุ่ม และรูปแบบทางคณิตศาสตร์อื่นๆ

ทฤษฎีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ช่วยให้มั่นใจได้ถึงการระบุรูปแบบการเกิดปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในโลกโดยรอบหรือการทำงานของระบบและอุปกรณ์โดยใช้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์และการสร้างแบบจำลองโดยไม่ต้องทำการทดสอบเต็มรูปแบบ ในกรณีนี้ มีการใช้บทบัญญัติและกฎทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายปรากฏการณ์ ระบบ หรืออุปกรณ์จำลองในระดับหนึ่งของอุดมคติ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (MM)เป็นคำอธิบายอย่างเป็นทางการของระบบ (หรือการดำเนินการ) ในภาษานามธรรมบางภาษา เช่น ในรูปแบบของชุดความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ หรือแผนภาพอัลกอริทึม เช่น เช่น คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ให้การจำลองการทำงานของระบบหรืออุปกรณ์ในระดับที่ใกล้เคียงกับพฤติกรรมจริงที่ได้รับระหว่างการทดสอบระบบหรืออุปกรณ์อย่างเต็มรูปแบบ

MM ใดๆ ก็ตามที่อธิบายวัตถุ ปรากฏการณ์ หรือกระบวนการจริงโดยมีความใกล้เคียงกับความเป็นจริงในระดับหนึ่ง ประเภทของ MM ขึ้นอยู่กับทั้งลักษณะของวัตถุจริงและวัตถุประสงค์ของการศึกษา

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ปรากฏการณ์ทางสังคม เศรษฐกิจ ชีวภาพ และกายภาพ วัตถุ ระบบ และอุปกรณ์ต่างๆ เป็นหนึ่งในวิธีที่สำคัญที่สุดในการทำความเข้าใจธรรมชาติและการออกแบบระบบและอุปกรณ์ที่หลากหลาย มีตัวอย่างที่ทราบกันดีอยู่แล้วของการใช้การสร้างแบบจำลองอย่างมีประสิทธิภาพในการสร้างเทคโนโลยีนิวเคลียร์ ระบบการบินและอวกาศ ในการพยากรณ์ปรากฏการณ์ในชั้นบรรยากาศและมหาสมุทร สภาพอากาศ ฯลฯ

อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองที่จริงจังดังกล่าวมักต้องใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์และการทำงานหลายปีโดยทีมนักวิทยาศาสตร์ขนาดใหญ่ เพื่อเตรียมข้อมูลสำหรับการสร้างแบบจำลองและการดีบัก อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบและอุปกรณ์ที่ซับซ้อนไม่เพียงช่วยประหยัดเงินในการวิจัยและการทดสอบเท่านั้น แต่ยังสามารถกำจัดภัยพิบัติด้านสิ่งแวดล้อมได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ช่วยให้คุณสามารถละทิ้งการทดสอบอาวุธนิวเคลียร์และอาวุธนิวเคลียร์แสนสาหัสเพื่อสนับสนุนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ หรือการทดสอบระบบการบินและอวกาศก่อนการบินจริง ระหว่างนั้น การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในระดับการแก้ปัญหาที่ง่ายกว่า เช่น จากสาขาเครื่องกล วิศวกรรมไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ วิศวกรรมวิทยุ และสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอื่น ๆ อีกมากมายในปัจจุบันได้กลายเป็น พร้อมใช้งานบนพีซีสมัยใหม่ และเมื่อใช้แบบจำลองทั่วไป ก็เป็นไปได้ที่จะจำลองระบบที่ค่อนข้างซับซ้อน เช่น ระบบโทรคมนาคมและเครือข่าย เรดาร์ หรือระบบนำทางด้วยวิทยุ

จุดประสงค์ของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการวิเคราะห์กระบวนการจริง (ในธรรมชาติหรือเทคโนโลยี) โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ ในทางกลับกัน จำเป็นต้องมีการศึกษากระบวนการ MM อย่างเป็นทางการ แบบจำลองอาจเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรซึ่งมีพฤติกรรมคล้ายกับพฤติกรรมของระบบจริง การกระทำที่เป็นไปได้ของ "ผู้เล่น" สองคนขึ้นไป เช่น ในเกมทฤษฎี หรืออาจแสดงถึงตัวแปรที่แท้จริงของส่วนที่เชื่อมต่อถึงกันของระบบปฏิบัติการ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อศึกษาคุณลักษณะของระบบ แบ่งได้เป็น เชิงวิเคราะห์ การจำลอง และผสมผสาน ในทางกลับกัน MM จะถูกแบ่งออกเป็นการจำลองและการวิเคราะห์

การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์

สำหรับ การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์เป็นลักษณะเฉพาะที่กระบวนการการทำงานของระบบเขียนในรูปแบบของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันบางอย่าง (พีชคณิต, เชิงอนุพันธ์, สมการอินทิกรัล) แบบจำลองการวิเคราะห์สามารถศึกษาได้โดยใช้วิธีการต่อไปนี้:

1) เชิงวิเคราะห์ เมื่อพวกเขาพยายามเพื่อให้ได้มาซึ่งการพึ่งพาที่ชัดเจนสำหรับคุณลักษณะของระบบในรูปแบบทั่วไป

2) ตัวเลขเมื่อไม่สามารถหาคำตอบของสมการในรูปแบบทั่วไปได้และได้รับการแก้ไขสำหรับข้อมูลเริ่มต้นเฉพาะ

3) เชิงคุณภาพเมื่อไม่มีวิธีแก้ปัญหาจะพบคุณสมบัติบางอย่าง

แบบจำลองการวิเคราะห์สามารถรับได้สำหรับระบบที่ค่อนข้างง่ายเท่านั้น สำหรับระบบที่ซับซ้อน มักจะเกิดปัญหาทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่เกิดขึ้น หากต้องการใช้วิธีการวิเคราะห์ จะต้องทำให้โมเดลดั้งเดิมง่ายขึ้นอย่างมาก อย่างไรก็ตาม การวิจัยโดยใช้แบบจำลองอย่างง่ายจะช่วยให้ได้ผลลัพธ์เชิงบ่งชี้เท่านั้น แบบจำลองการวิเคราะห์สะท้อนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรและพารามิเตอร์อินพุตและเอาต์พุตได้อย่างถูกต้องทางคณิตศาสตร์ แต่โครงสร้างของมันไม่ได้สะท้อนถึงโครงสร้างภายในของวัตถุ

ในระหว่างการสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ ผลลัพธ์จะถูกนำเสนอในรูปแบบของการแสดงออกเชิงวิเคราะห์ เช่น โดยการเชื่อมต่อ อาร์.ซี.- วงจรไปยังแหล่งจ่ายแรงดันคงที่ อี(ร, คและ อี- ส่วนประกอบของรุ่นนี้) เราสามารถสร้างนิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับการพึ่งพาเวลาของแรงดันไฟฟ้าได้ ยู(ที) บนตัวเก็บประจุ ค:

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น (DE) นี้เป็นแบบจำลองการวิเคราะห์ของวงจรเชิงเส้นอย่างง่ายนี้ โซลูชันการวิเคราะห์ภายใต้สภาวะเริ่มต้น ยู(0) = 0 หมายถึงตัวเก็บประจุที่คายประจุแล้ว คเมื่อเริ่มต้นการสร้างแบบจำลอง ช่วยให้คุณค้นหาการพึ่งพาที่ต้องการ - ในรูปแบบของสูตร:

ยู(ที) = อี(1− อดีตพี(- ที/RC)). (2)

อย่างไรก็ตาม แม้แต่ในตัวอย่างนี้ที่ง่ายที่สุด ก็ยังต้องใช้ความพยายามบางอย่างในการแก้ DE (1) หรือนำไปใช้ ระบบคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์(SCM) พร้อมการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ – ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ สำหรับกรณีที่ไม่สำคัญนี้ การแก้ปัญหาการสร้างแบบจำลองเชิงเส้น อาร์.ซี.- วงจรให้การวิเคราะห์ (2) ในรูปแบบที่ค่อนข้างทั่วไป - เหมาะสำหรับการอธิบายการทำงานของวงจรสำหรับพิกัดส่วนประกอบใด ๆ ร, คและ อีและอธิบายประจุเลขชี้กำลังของตัวเก็บประจุ คผ่านตัวต้านทาน รจากแหล่งจ่ายแรงดันคงที่ อี.

แน่นอนว่าการค้นหาโซลูชันเชิงวิเคราะห์ในระหว่างการสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการระบุรูปแบบทางทฤษฎีทั่วไปของวงจรเชิงเส้น ระบบ และอุปกรณ์ต่างๆ อย่างไรก็ตาม ความซับซ้อนของมันจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่ออิทธิพลต่อแบบจำลองมีความซับซ้อนมากขึ้น รวมถึงลำดับและจำนวนของ สมการสถานะที่อธิบายวัตถุแบบจำลองเพิ่มขึ้น คุณสามารถได้รับผลลัพธ์ที่มองเห็นได้ไม่มากก็น้อยเมื่อสร้างโมเดลออบเจ็กต์ในลำดับที่สองหรือสาม แต่ด้วยลำดับที่สูงกว่า นิพจน์เชิงวิเคราะห์จะยุ่งยากมากเกินไป ซับซ้อน และเข้าใจยาก ตัวอย่างเช่น แม้แต่แอมพลิฟายเออร์อิเล็กทรอนิกส์แบบธรรมดาก็มักจะมีส่วนประกอบหลายสิบชิ้น อย่างไรก็ตาม SCM สมัยใหม่จำนวนมาก เช่น ระบบคณิตศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ เมเปิ้ล, มาเธมาติกาหรือสิ่งแวดล้อม แมทแล็บมีความสามารถในการแก้ปัญหาการสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อนโดยอัตโนมัติเป็นส่วนใหญ่

การสร้างแบบจำลองประเภทหนึ่งคือ การสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลขซึ่งประกอบด้วยการได้มาซึ่งข้อมูลเชิงปริมาณที่จำเป็นเกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบหรืออุปกรณ์โดยวิธีตัวเลขที่เหมาะสม เช่น วิธีออยเลอร์ หรือวิธีรุงเง-คุตตะ ในทางปฏิบัติ การสร้างแบบจำลองระบบและอุปกรณ์ไม่เชิงเส้นโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลขมีประสิทธิภาพมากกว่าการสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ของวงจร ระบบ หรืออุปกรณ์เชิงเส้นส่วนตัวส่วนบุคคล ตัวอย่างเช่น สำหรับการแก้ปัญหาระบบ DE (1) หรือ DE ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น ไม่สามารถรับวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบการวิเคราะห์ได้ แต่การใช้ข้อมูลการจำลองเชิงตัวเลข คุณจะได้รับข้อมูลที่ค่อนข้างครบถ้วนเกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบและอุปกรณ์จำลองเช่นกัน เป็นกราฟการสร้างการพึ่งพาที่อธิบายพฤติกรรมนี้

การสร้างแบบจำลองการจำลอง

ที่ การเลียนแบบ 10และการสร้างแบบจำลอง อัลกอริธึมที่ใช้แบบจำลองจะสร้างกระบวนการทำงานของระบบขึ้นมาใหม่เมื่อเวลาผ่านไป ปรากฏการณ์เบื้องต้นที่ประกอบขึ้นเป็นกระบวนการจะถูกจำลองขึ้น โดยคงโครงสร้างเชิงตรรกะและลำดับของเหตุการณ์ไว้ตามกาลเวลา

ข้อได้เปรียบหลักของแบบจำลองเมื่อเปรียบเทียบกับแบบจำลองเชิงวิเคราะห์คือความสามารถในการแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น

แบบจำลองการจำลองทำให้ง่ายต่อการคำนึงถึงการมีอยู่ขององค์ประกอบที่ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง คุณลักษณะที่ไม่เป็นเชิงเส้น อิทธิพลแบบสุ่ม ฯลฯ ดังนั้น วิธีการนี้จึงใช้กันอย่างแพร่หลายในขั้นตอนการออกแบบระบบที่ซับซ้อน วิธีการหลักในการใช้การสร้างแบบจำลองการจำลองคือคอมพิวเตอร์ซึ่งช่วยให้สามารถสร้างแบบจำลองระบบและสัญญาณดิจิทัลได้

ในเรื่องนี้ขอนิยามคำว่า “ การสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์” ซึ่งมีการใช้มากขึ้นในวรรณคดี สมมุติว่า การสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์เป็นการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ ดังนั้นเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์จึงเกี่ยวข้องกับการดำเนินการต่อไปนี้:

1) การกำหนดวัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลอง

2) การพัฒนาแบบจำลองแนวความคิด

3) การทำให้แบบจำลองเป็นทางการ

4) การใช้งานซอฟต์แวร์ของแบบจำลอง;

5) การวางแผนการทดลองแบบจำลอง

6) การดำเนินการตามแผนการทดลอง

7) การวิเคราะห์และการตีความผลการสร้างแบบจำลอง

ที่ การสร้างแบบจำลองการจำลอง MM ที่ใช้สร้างอัลกอริทึม (“ตรรกะ”) ของการทำงานของระบบภายใต้การศึกษาเมื่อเวลาผ่านไปสำหรับการผสมผสานค่าต่างๆ ของพารามิเตอร์ระบบและสภาพแวดล้อมภายนอก

ตัวอย่างของแบบจำลองการวิเคราะห์ที่ง่ายที่สุดคือสมการของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรง เมื่อศึกษากระบวนการดังกล่าวโดยใช้แบบจำลองสถานการณ์ ควรสังเกตการเปลี่ยนแปลงเส้นทางที่เดินทางในช่วงเวลาหนึ่ง เห็นได้ชัดว่าในบางกรณีการสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์จะดีกว่า ในกรณีอื่น ๆ - การจำลอง (หรือทั้งสองอย่างรวมกัน) เพื่อให้ตัดสินใจได้สำเร็จ คุณต้องตอบคำถามสองข้อ

จุดประสงค์ของการสร้างแบบจำลองคืออะไร?

ปรากฏการณ์จำลองสามารถจัดประเภทได้ในระดับใด

สามารถรับคำตอบสำหรับคำถามทั้งสองนี้ได้ในช่วงสองขั้นตอนแรกของการสร้างแบบจำลอง

แบบจำลองการจำลองไม่เพียงแต่ในคุณสมบัติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงโครงสร้างที่สอดคล้องกับวัตถุที่สร้างแบบจำลองด้วย ในกรณีนี้ มีความสอดคล้องที่ชัดเจนและชัดเจนระหว่างกระบวนการที่ได้รับในแบบจำลองและกระบวนการที่เกิดขึ้นที่วัตถุ ข้อเสียของการจำลองคือต้องใช้เวลานานในการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่ดี

ผลลัพธ์ของการสร้างแบบจำลองการจำลองการทำงานของระบบสุ่มคือการทำให้เกิดตัวแปรสุ่มหรือกระบวนการ ดังนั้นในการค้นหาคุณลักษณะของระบบ จึงจำเป็นต้องมีการทำซ้ำหลายครั้งและการประมวลผลข้อมูลในภายหลัง บ่อยที่สุดในกรณีนี้ จะใช้ประเภทของการจำลอง - เชิงสถิติ

การสร้างแบบจำลอง(หรือวิธีมอนติคาร์โล) เช่น การทำซ้ำปัจจัยสุ่ม เหตุการณ์ ปริมาณ กระบวนการ สนามในแบบจำลอง

จากผลของการสร้างแบบจำลองทางสถิติ จะมีการพิจารณาการประมาณเกณฑ์คุณภาพความน่าจะเป็น ทั่วไปและเฉพาะเจาะจง ที่แสดงคุณลักษณะการทำงานและประสิทธิภาพของระบบที่ได้รับการจัดการ การสร้างแบบจำลองทางสถิติถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และประยุกต์ในสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ วิธีการสร้างแบบจำลองทางสถิติใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาระบบไดนามิกที่ซับซ้อน เพื่อประเมินการทำงานและประสิทธิภาพ

ขั้นตอนสุดท้ายของการสร้างแบบจำลองทางสถิติขึ้นอยู่กับการประมวลผลทางคณิตศาสตร์ของผลลัพธ์ที่ได้รับ ในที่นี้ มีการใช้วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์ (การประมาณค่าแบบอิงพารามิเตอร์และแบบไม่อิงพารามิเตอร์ การทดสอบสมมติฐาน) ตัวอย่างของตัวประมาณค่าพารามิเตอร์คือค่าเฉลี่ยตัวอย่างของการวัดประสิทธิภาพ ในบรรดาวิธีการแบบไม่มีพารามิเตอร์นั้นแพร่หลาย วิธีฮิสโตแกรม.

รูปแบบที่พิจารณาจะขึ้นอยู่กับการทดสอบทางสถิติซ้ำของระบบและวิธีการทางสถิติของตัวแปรสุ่มอิสระ รูปแบบนี้ไม่ได้เป็นไปตามธรรมชาติเสมอไปในทางปฏิบัติและเหมาะสมที่สุดในแง่ของต้นทุน การลดเวลาการทดสอบระบบสามารถทำได้โดยการใช้วิธีการประเมินที่แม่นยำยิ่งขึ้น ดังที่ทราบจากสถิติทางคณิตศาสตร์ การประมาณค่าที่มีประสิทธิผลมีความแม่นยำสูงสุดสำหรับขนาดตัวอย่างที่กำหนด การกรองที่เหมาะสมที่สุดและวิธีการที่เป็นไปได้สูงสุดเป็นวิธีการทั่วไปในการรับการประมาณค่าดังกล่าว ในปัญหาการสร้างแบบจำลองทางสถิติ การใช้งานการประมวลผลของกระบวนการสุ่มเป็นสิ่งจำเป็นไม่เพียงแต่สำหรับการวิเคราะห์กระบวนการเอาท์พุตเท่านั้น

การควบคุมลักษณะของอิทธิพลสุ่มอินพุตก็มีความสำคัญเช่นกัน การควบคุมประกอบด้วยการตรวจสอบความสอดคล้องของการแจกแจงของกระบวนการที่สร้างขึ้นกับการแจกแจงที่กำหนด ปัญหานี้มักมีการกำหนดไว้เป็น ปัญหาการทดสอบสมมติฐาน.

แนวโน้มทั่วไปในการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์ของระบบควบคุมที่ซับซ้อนคือความปรารถนาที่จะลดเวลาการสร้างแบบจำลองและดำเนินการวิจัยแบบเรียลไทม์ สะดวกในการแสดงอัลกอริธึมการคำนวณในรูปแบบที่เกิดซ้ำทำให้สามารถนำไปใช้งานในอัตราการรับข้อมูลปัจจุบัน

หลักการของระบบในการสร้างแบบจำลอง

หลักการพื้นฐานของทฤษฎีระบบ

หลักการพื้นฐานของทฤษฎีระบบเกิดขึ้นระหว่างการศึกษาระบบไดนามิกและองค์ประกอบการทำงานของระบบ ระบบเข้าใจว่าเป็นกลุ่มขององค์ประกอบที่เชื่อมต่อถึงกันซึ่งทำงานร่วมกันเพื่อบรรลุภารกิจที่กำหนดไว้ล่วงหน้า การวิเคราะห์ระบบช่วยให้เราสามารถกำหนดวิธีที่สมจริงที่สุดในการปฏิบัติงานที่กำหนด เพื่อให้มั่นใจว่ามีความพึงพอใจสูงสุดตามข้อกำหนดที่ระบุไว้

องค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีระบบไม่ได้ถูกสร้างขึ้นผ่านสมมติฐาน แต่ถูกค้นพบโดยการทดลอง ในการเริ่มสร้างระบบ จำเป็นต้องมีคุณลักษณะทั่วไปของกระบวนการทางเทคโนโลยี เช่นเดียวกับหลักการของการสร้างเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ที่กระบวนการหรือคำอธิบายทางทฤษฎีต้องเป็นไปตามนั้น การสร้างแบบจำลองเป็นหนึ่งในวิธีที่สำคัญที่สุดในการวิจัยและการทดลองทางวิทยาศาสตร์

เมื่อสร้างแบบจำลองของวัตถุ จะใช้แนวทางเชิงระบบซึ่งเป็นวิธีการในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนการพิจารณาวัตถุว่าเป็นระบบที่ทำงานในสภาพแวดล้อมบางอย่าง แนวทางที่เป็นระบบเกี่ยวข้องกับการเปิดเผยความสมบูรณ์ของวัตถุ การระบุและศึกษาโครงสร้างภายใน รวมถึงการเชื่อมต่อกับสภาพแวดล้อมภายนอก ในกรณีนี้ วัตถุนั้นถูกนำเสนอเป็นส่วนหนึ่งของโลกแห่งความเป็นจริง ซึ่งถูกแยกและศึกษาเกี่ยวกับปัญหาในการสร้างแบบจำลอง นอกจากนี้ แนวทางของระบบยังเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนผ่านจากแบบทั่วไปไปสู่แบบเฉพาะเจาะจงอย่างสม่ำเสมอ เมื่อเป้าหมายการออกแบบเป็นพื้นฐานของการพิจารณา และวัตถุนั้นถูกพิจารณาโดยสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อม

อ็อบเจ็กต์ที่ซับซ้อนสามารถแบ่งออกเป็นระบบย่อย ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอ็อบเจ็กต์ที่ตรงตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

1) ระบบย่อยเป็นส่วนที่เป็นอิสระตามหน้าที่ของวัตถุ เชื่อมต่อกับระบบย่อยอื่น ๆ แลกเปลี่ยนข้อมูลและพลังงานกับระบบย่อยนั้น

2) สำหรับแต่ละระบบย่อยฟังก์ชั่นหรือคุณสมบัติที่ไม่ตรงกับคุณสมบัติของทั้งระบบสามารถกำหนดได้;

3) แต่ละระบบย่อยสามารถถูกแบ่งเพิ่มเติมตามระดับขององค์ประกอบได้

ในกรณีนี้ องค์ประกอบหนึ่งถูกเข้าใจว่าเป็นระบบย่อยระดับล่าง ซึ่งการแบ่งย่อยเพิ่มเติมนั้นไม่เหมาะสมจากมุมมองของปัญหาที่กำลังแก้ไข

ดังนั้น ระบบสามารถถูกกำหนดให้เป็นตัวแทนของวัตถุในรูปแบบของชุดของระบบย่อย องค์ประกอบ และการเชื่อมต่อเพื่อวัตถุประสงค์ในการสร้าง การวิจัย หรือการปรับปรุง ในกรณีนี้ การแสดงระบบที่ขยายใหญ่ขึ้น รวมถึงระบบย่อยหลักและการเชื่อมต่อระหว่างกัน เรียกว่าโครงสร้างมหภาค และการเปิดเผยรายละเอียดโครงสร้างภายในของระบบจนถึงระดับองค์ประกอบเรียกว่าโครงสร้างจุลภาค

นอกจากระบบแล้ว ยังมีระบบขั้นสูงอีกด้วย - ระบบระดับที่สูงกว่าซึ่งรวมถึงวัตถุที่ต้องการด้วย และการทำงานของระบบใดๆ ก็ตามสามารถกำหนดได้ผ่านระบบขั้นสูงเท่านั้น

คุ้มค่าที่จะเน้นแนวคิดเรื่องสภาพแวดล้อมในฐานะชุดของวัตถุในโลกภายนอกที่มีอิทธิพลอย่างมากต่อประสิทธิภาพของระบบ แต่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของระบบและระบบขั้นสูงของมัน

ในการเชื่อมต่อกับแนวทางระบบในการสร้างแบบจำลอง จะใช้แนวคิดของโครงสร้างพื้นฐานซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ของระบบกับสภาพแวดล้อม (สภาพแวดล้อม) ในกรณีนี้ การระบุ คำอธิบาย และการศึกษาคุณสมบัติของวัตถุที่จำเป็น ภายในกรอบงานของงานเฉพาะเรียกว่าการแบ่งชั้นของวัตถุ และแบบจำลองใดๆ ของวัตถุนั้นเป็นคำอธิบายแบบแบ่งชั้น

สำหรับแนวทางเชิงระบบ สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดโครงสร้างของระบบ เช่น ชุดของการเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบของระบบซึ่งสะท้อนถึงปฏิสัมพันธ์ของพวกเขา ในการดำเนินการนี้ ขั้นแรกเราจะพิจารณาแนวทางเชิงโครงสร้างและฟังก์ชันในการสร้างแบบจำลอง

ด้วยวิธีการเชิงโครงสร้าง องค์ประกอบขององค์ประกอบที่เลือกของระบบและการเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบเหล่านั้นจะถูกเปิดเผย ชุดองค์ประกอบและการเชื่อมต่อช่วยให้เราสามารถตัดสินโครงสร้างของระบบได้ คำอธิบายทั่วไปที่สุดของโครงสร้างคือคำอธิบายทอพอโลยี ช่วยให้คุณสามารถกำหนดส่วนประกอบของระบบและการเชื่อมต่อโดยใช้กราฟ คำอธิบายการทำงานโดยทั่วไปน้อยกว่า เมื่อพิจารณาแต่ละฟังก์ชัน เช่น อัลกอริธึมสำหรับพฤติกรรมของระบบ ในกรณีนี้ มีการนำแนวทางการทำงานมาใช้ซึ่งกำหนดฟังก์ชันที่ระบบดำเนินการ

ตามแนวทางของระบบ สามารถเสนอลำดับของการพัฒนาแบบจำลองได้ เมื่อแยกขั้นตอนการออกแบบหลักออกเป็น 2 ขั้นตอน ได้แก่ การออกแบบมาโครและการออกแบบไมโคร

ในขั้นตอนการออกแบบมหภาค จะมีการสร้างแบบจำลองของสภาพแวดล้อมภายนอก ระบุทรัพยากรและข้อจำกัด เลือกแบบจำลองระบบและเกณฑ์สำหรับการประเมินความเพียงพอ

ขั้นตอนการออกแบบระดับไมโครนั้นขึ้นอยู่กับประเภทของรุ่นที่เลือกเป็นส่วนใหญ่ โดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับการสร้างระบบการสร้างแบบจำลองข้อมูล คณิตศาสตร์ เทคนิค และซอฟต์แวร์ ในขั้นตอนนี้จะมีการกำหนดลักษณะทางเทคนิคหลักของแบบจำลองที่สร้างขึ้นเวลาที่ต้องใช้ในการทำงานและต้นทุนทรัพยากรเพื่อให้ได้คุณภาพที่ระบุของแบบจำลอง

ไม่ว่าแบบจำลองจะเป็นประเภทใดเมื่อสร้างมันจำเป็นต้องได้รับคำแนะนำจากหลักการหลายประการของแนวทางที่เป็นระบบ:

1) ความก้าวหน้าอย่างต่อเนื่องตลอดขั้นตอนของการสร้างแบบจำลอง

2) การประสานงานของข้อมูล ทรัพยากร ความน่าเชื่อถือ และคุณลักษณะอื่น ๆ

3) ความสัมพันธ์ที่ถูกต้องระหว่างระดับต่างๆ ของการสร้างแบบจำลอง

4) ความสมบูรณ์ของแต่ละขั้นตอนของการออกแบบแบบจำลอง

ตัวอย่างที่ 1.5.1

ปล่อยให้ภูมิภาคเศรษฐกิจบางแห่งผลิตผลิตภัณฑ์หลายประเภท (n) เพียงลำพังและสำหรับประชากรในภูมิภาคนี้เท่านั้น สันนิษฐานว่ากระบวนการทางเทคโนโลยีได้ดำเนินการไปแล้วและได้ศึกษาความต้องการของประชากรสำหรับสินค้าเหล่านี้แล้ว มีความจำเป็นต้องกำหนดปริมาณผลผลิตต่อปีโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าปริมาณนี้จะต้องให้ทั้งการบริโภคขั้นสุดท้ายและเชิงอุตสาหกรรม

เรามาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหานี้กัน ตามเงื่อนไขจะได้รับสิ่งต่อไปนี้: ประเภทของผลิตภัณฑ์ความต้องการและกระบวนการทางเทคโนโลยี คุณต้องค้นหาปริมาณผลผลิตของผลิตภัณฑ์แต่ละประเภท

ให้เราแสดงปริมาณที่ทราบ:

ค ฉัน– ความต้องการของประชากร ฉันสินค้าชิ้นนั้น ( ฉัน=1,...,n); ก ฉัน- ปริมาณ ฉันผลิตภัณฑ์ที่ต้องการในการผลิตหน่วยของผลิตภัณฑ์ j โดยใช้เทคโนโลยีที่กำหนด ( ฉัน=1,...,n ; เจ=1,...,n);

เอ็กซ์ ฉัน – ปริมาณเอาท์พุต ฉัน- สินค้าตัวที่ ( ฉัน=1,...,n- จำนวนทั้งสิ้น กับ =(ค 1 ,..., ค n ) เรียกว่า เวกเตอร์อุปสงค์ ตัวเลข ก ฉัน– ค่าสัมประสิทธิ์ทางเทคโนโลยีและจำนวนทั้งสิ้น เอ็กซ์ =(เอ็กซ์ 1 ,..., เอ็กซ์ n ) – ปล่อยเวกเตอร์

ตามเงื่อนไขของปัญหาเวกเตอร์ เอ็กซ์ แบ่งออกเป็นสองส่วน: สำหรับการบริโภคขั้นสุดท้าย (vector กับ ) และเพื่อการสืบพันธุ์ (vector x-ส - ลองคำนวณส่วนของเวกเตอร์นั้นดู เอ็กซ์ ซึ่งเข้าสู่การสืบพันธุ์ ตามการกำหนดการผลิตของเรา เอ็กซ์ เจปริมาณของผลิตภัณฑ์ jth ที่จัดมาให้ ก ฉัน · เอ็กซ์ เจปริมาณ ฉัน-สินค้าตัวที่.

แล้วจำนวนเงิน ก i1 · เอ็กซ์ 1 +...+ ก ใน · เอ็กซ์ nแสดงค่านั้น ฉัน-ผลิตภัณฑ์ลำดับที่ 1 ซึ่งจำเป็นสำหรับการเปิดตัวทั้งหมด เอ็กซ์ =(เอ็กซ์ 1 ,..., เอ็กซ์ n ).

ดังนั้นจึงต้องได้รับความเท่าเทียมกัน:

เมื่อขยายเหตุผลนี้ไปยังผลิตภัณฑ์ทุกประเภท เราก็ได้รุ่นที่ต้องการ:

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น n นี้สำหรับ เอ็กซ์ 1 ,...,เอ็กซ์ nและหาเวกเตอร์การปลดปล่อยที่ต้องการ

เพื่อที่จะเขียนแบบจำลองนี้ในรูปแบบที่มีขนาดกะทัดรัด (เวกเตอร์) เราขอแนะนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้:

สี่เหลี่ยม (
) -เมทริกซ์ กเรียกว่าเมทริกซ์เทคโนโลยี เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าโมเดลของเราตอนนี้เขียนดังนี้: x-s=อาหรือ

(1.6)

เราได้รับรุ่นคลาสสิค” อินพุต-เอาท์พุต " ผู้เขียนคือ V. Leontiev นักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกันผู้โด่งดัง

ตัวอย่างที่ 1.5.2

โรงกลั่นน้ำมันมีน้ำมันอยู่ 2 เกรด คือ เกรด กจำนวน 10 หน่วย เกรด ใน- 15 ยูนิต เมื่อกลั่นน้ำมันจะได้วัสดุสองชนิด: น้ำมันเบนซิน (เราหมายถึง บี) และน้ำมันเชื้อเพลิง ( ม- มีสามตัวเลือกสำหรับกระบวนการเทคโนโลยีการประมวลผล:

ฉัน: 1 ยูนิต ก+2 หน่วย ในให้ 3 หน่วย บี+2 หน่วย ม

II: 2 หน่วย ก+1 หน่วย ในให้ 1 หน่วย บี+ 5 หน่วย ม

สาม: 2 ยูนิต ก+2 หน่วย ในให้ 1 หน่วย บี+2 หน่วย ม

ราคาน้ำมันเบนซินอยู่ที่ 10 ดอลลาร์ต่อหน่วย น้ำมันเตาอยู่ที่ 1 ดอลลาร์ต่อหน่วย

มีความจำเป็นต้องกำหนดการผสมผสานกระบวนการทางเทคโนโลยีที่ได้เปรียบที่สุดสำหรับการประมวลผลปริมาณน้ำมันที่มีอยู่

ก่อนการสร้างแบบจำลอง ให้เราชี้แจงประเด็นต่อไปนี้ จากเงื่อนไขของปัญหาตามมาว่าควรเข้าใจ "ความสามารถในการทำกำไร" ของกระบวนการทางเทคโนโลยีสำหรับโรงงานในแง่ของการได้รับรายได้สูงสุดจากการขายผลิตภัณฑ์สำเร็จรูป (น้ำมันเบนซินและน้ำมันเชื้อเพลิง) ในเรื่องนี้เป็นที่ชัดเจนว่า “การตัดสินใจ (ตัดสินใจ)” ของโรงงานประกอบด้วยการกำหนดว่าจะใช้เทคโนโลยีใดและกี่ครั้ง แน่นอนว่ามีตัวเลือกที่เป็นไปได้ค่อนข้างมาก

ให้เราแสดงปริมาณที่ไม่ทราบ:

เอ็กซ์ ฉัน– ปริมาณการใช้ ฉันกระบวนการทางเทคโนโลยี (ไอ=1,2,3)- พารามิเตอร์รุ่นอื่นๆ (ราคาน้ำมันสำรอง น้ำมันเบนซิน และน้ำมันเชื้อเพลิง) เป็นที่รู้จัก.

ทีนี้การตัดสินใจเฉพาะเจาะจงอย่างหนึ่งของพืชก็คือการเลือกเวกเตอร์หนึ่งตัว เอ็กซ์ =(x 1 ,เอ็กซ์ 2 ,เอ็กซ์ 3 ) ซึ่งรายได้ของโรงงานจะเท่ากับ (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) ดอลลาร์ ในที่นี้ 32 ดอลลาร์คือรายได้ที่ได้รับจากแอปพลิเคชันหนึ่งของกระบวนการทางเทคโนโลยีครั้งแรก ($10 3 หน่วย บี+ 1 ดอลลาร์ ·2 หน่วย ม= 32 ดอลลาร์) ค่าสัมประสิทธิ์ 15 และ 12 สำหรับกระบวนการทางเทคโนโลยีที่สองและสามตามลำดับมีความหมายคล้ายกัน การบัญชีสำรองน้ำมันนำไปสู่เงื่อนไขดังต่อไปนี้:

เพื่อความหลากหลาย ก:

เพื่อความหลากหลาย ใน:,

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่เท่าเทียมกันแรก 1, 2, 2 คืออัตราการใช้น้ำมันเกรด A สำหรับการใช้กระบวนการทางเทคโนโลยีเพียงครั้งเดียว ฉัน,ครั้งที่สอง,สามตามลำดับ ค่าสัมประสิทธิ์ของอสมการที่สองมีความหมายคล้ายกันสำหรับน้ำมันเกรด B

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยรวมมีรูปแบบดังนี้

ค้นหาเวกเตอร์ดังกล่าว x = (x 1 ,เอ็กซ์ 2 ,เอ็กซ์ 3 ) เพื่อเพิ่มขีดสุด

ฉ(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

ภายใต้เงื่อนไขดังต่อไปนี้:

รูปแบบย่อของรายการนี้คือ:

ภายใต้ข้อจำกัด

(1.7)

เรามีปัญหาที่เรียกว่าการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

โมเดล (1.7.) เป็นตัวอย่างของโมเดลการปรับให้เหมาะสมของประเภทที่กำหนด (พร้อมองค์ประกอบที่กำหนดไว้อย่างดี)

ตัวอย่างที่ 1.5.3

นักลงทุนจำเป็นต้องกำหนดส่วนผสมที่ดีที่สุดของหุ้น พันธบัตร และหลักทรัพย์อื่นๆ ที่จะซื้อในจำนวนหนึ่ง เพื่อให้ได้กำไรที่แน่นอนโดยมีความเสี่ยงน้อยที่สุดสำหรับตัวเอง กำไรต่อดอลลาร์ลงทุนในหลักทรัพย์ เจ- ประเภท โดยมีตัวบ่งชี้สองตัวคือ: กำไรที่คาดหวังและกำไรจริง สำหรับนักลงทุน เป็นที่พึงประสงค์ว่ากำไรที่คาดหวังต่อการลงทุนหนึ่งดอลลาร์ไม่ต่ำกว่ามูลค่าที่กำหนดสำหรับหลักทรัพย์ทั้งชุด ข.

โปรดทราบว่าเพื่อที่จะจำลองปัญหานี้ได้อย่างถูกต้อง นักคณิตศาสตร์จำเป็นต้องมีความรู้พื้นฐานในสาขาทฤษฎีพอร์ตโฟลิโอของหลักทรัพย์

ให้เราแสดงพารามิเตอร์ที่ทราบของปัญหา:

n– จำนวนหลักทรัพย์ประเภทต่างๆ ก เจ– กำไรจริง (เลขสุ่ม) จากหลักทรัพย์ประเภท j – กำไรที่คาดหวังจาก เจ- ประเภทการรักษาความปลอดภัย

ให้เราแสดงปริมาณที่ไม่ทราบ :

ย เจ - กองทุนที่จัดสรรเพื่อซื้อหลักทรัพย์ประเภทนั้น เจ.

เมื่อใช้สัญกรณ์ของเรา จำนวนเงินลงทุนทั้งหมดจะแสดงเป็น - เพื่อให้โมเดลง่ายขึ้น เราแนะนำปริมาณใหม่

.

ดังนั้น, เอ็กซ์ ฉัน- นี่คือส่วนแบ่งของกองทุนทั้งหมดที่จัดสรรเพื่อการได้มาซึ่งหลักทรัพย์ประเภทนั้น เจ.

มันชัดเจนว่า

จากเงื่อนไขของปัญหา เห็นได้ชัดว่าเป้าหมายของนักลงทุนคือการบรรลุผลกำไรในระดับหนึ่งโดยมีความเสี่ยงน้อยที่สุด โดยพื้นฐานแล้ว ความเสี่ยงคือการวัดความเบี่ยงเบนของกำไรจริงจากที่คาดไว้ ดังนั้นจึงสามารถระบุได้ด้วยความแปรปรวนร่วมของกำไรสำหรับหลักทรัพย์ประเภท i และประเภท j โดยที่ M คือการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาเดิมมีรูปแบบดังนี้

ภายใต้ข้อจำกัด

,
,
,
. (1.8)

เราได้รับแบบจำลอง Markowitz ที่รู้จักกันดีสำหรับการปรับโครงสร้างของพอร์ตหลักทรัพย์ให้เหมาะสม

โมเดล (1.8.) เป็นตัวอย่างของโมเดลการปรับให้เหมาะสมของประเภทสุ่ม (พร้อมองค์ประกอบของการสุ่ม)

ตัวอย่างที่ 1.5.4

บนพื้นฐานขององค์กรการค้า มีผลิตภัณฑ์ประเภทใดประเภทหนึ่งขั้นต่ำให้เลือก ต้องนำผลิตภัณฑ์ที่กำหนดเข้าร้านเพียงประเภทเดียวเท่านั้น คุณต้องเลือกประเภทสินค้าให้เหมาะสมที่จะนำเข้าร้าน หากเป็นประเภทสินค้า เจจะเป็นที่ต้องการร้านค้าจะทำกำไรจากการขาย ร เจหากไม่เป็นที่ต้องการ - ขาดทุน ถาม เจ .

ก่อนการสร้างแบบจำลอง เราจะหารือเกี่ยวกับประเด็นพื้นฐานบางประการ ในปัญหานี้ ผู้มีอำนาจตัดสินใจ (DM) คือร้านค้า อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ (กำไรสูงสุด) ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของเขาเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับว่าสินค้านำเข้าจะเป็นที่ต้องการหรือไม่ นั่นคือ ประชากรจะซื้อหรือไม่ (สันนิษฐานว่าด้วยเหตุผลบางประการร้านค้าไม่ มีโอกาสศึกษาความต้องการของประชาชน) ดังนั้นประชากรจึงถือเป็นผู้มีอำนาจตัดสินใจคนที่สองในการเลือกประเภทผลิตภัณฑ์ตามความต้องการ “การตัดสินใจ” ที่เลวร้ายที่สุดของประชากรสำหรับร้านค้าคือ “สินค้านำเข้าไม่เป็นที่ต้องการ” ดังนั้น เพื่อคำนึงถึงสถานการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ร้านค้าจำเป็นต้องถือว่าประชากรเป็น "ศัตรู" (ตามเงื่อนไข) โดยปฏิบัติตามเป้าหมายตรงกันข้าม - เพื่อลดผลกำไรของร้านค้า

ดังนั้นเราจึงมีปัญหาในการตัดสินใจเมื่อมีผู้เข้าร่วมสองคนที่บรรลุเป้าหมายที่ตรงกันข้าม ให้เราชี้แจงว่าร้านค้าเลือกสินค้าประเภทใดประเภทหนึ่งเพื่อขาย (ไม่มีตัวเลือกการตัดสินใจ) และประชากรเลือกประเภทสินค้าประเภทใดประเภทหนึ่งที่เป็นที่ต้องการมากที่สุด ( nตัวเลือกการแก้ปัญหา)

ในการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เรามาวาดตารางกัน nเส้นและ nคอลัมน์ (รวม n 2 เซลล์) และยอมรับว่าแถวสอดคล้องกับการเลือกร้านค้า และคอลัมน์ขึ้นอยู่กับการเลือกประชากร แล้วเซลล์ (ฉัน เจ)สอดคล้องกับสถานการณ์ที่ร้านค้าเลือก ฉันประเภทสินค้าที่ ( ฉัน-บรรทัดที่ ) และประชากรเลือก เจประเภทสินค้าที่ ( เจ-คอลัมน์ที่ th) ในแต่ละเซลล์เราเขียนการประเมินเชิงตัวเลข (กำไรหรือขาดทุน) ของสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องจากมุมมองของร้านค้า:

ตัวเลข ถาม ฉันเขียนด้วยเครื่องหมายลบเพื่อสะท้อนถึงการสูญเสียของร้านค้า ในแต่ละสถานการณ์ "กำไร" ของประชากร (ตามเงื่อนไข) เท่ากับ "กำไร" ของร้านค้าโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

รูปแบบย่อของรุ่นนี้คือ:

(1.9)

เราได้เกมที่เรียกว่าเมทริกซ์ Model (1.9.) คือตัวอย่างโมเดลการตัดสินใจของเกม

ตามตำราเรียนของ Sovetov และ Yakovlev: "แบบจำลอง (lat. modulus - การวัด) เป็นวัตถุทดแทนสำหรับวัตถุดั้งเดิมซึ่งช่วยให้มั่นใจในการศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ" (หน้า 6) “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยอีกวัตถุหนึ่งเพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมโดยใช้วัตถุแบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” (หน้า 6) “โดยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะเข้าใจกระบวนการสร้างความสอดคล้องกับวัตถุจริงที่กำหนดกับวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ซึ่งทำให้เราได้รับคุณลักษณะของ วัตถุจริงอยู่ระหว่างการพิจารณา ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับทั้งลักษณะของวัตถุจริงและงานศึกษาวัตถุ ตลอดจนความน่าเชื่อถือและความแม่นยำที่ต้องการในการแก้ปัญหานี้”

สุดท้ายนี้ คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: “สมการที่แสดงความคิด».

การจำแนกรุ่น

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างเป็นรูปขั้วคู่ ตัวอย่างเช่น หนึ่งในชุดไดโคโทมียอดนิยม:

และอื่น ๆ โมเดลที่สร้างขึ้นแต่ละโมเดลเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดไว้หรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว ประเภทผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: มีความเข้มข้นในแง่หนึ่ง (ในแง่ของพารามิเตอร์) โมเดลแบบกระจายในอีกประการหนึ่ง ฯลฯ

จำแนกตามวิธีการนำเสนอวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทอย่างเป็นทางการแล้ว โมเดลยังแตกต่างกันในลักษณะที่เป็นตัวแทนของวัตถุ:

• แบบจำลองโครงสร้างหรือฟังก์ชัน

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุเป็นระบบที่มีโครงสร้างและกลไกการทำงานของตัวเอง โมเดลการทำงานอย่าใช้การนำเสนอดังกล่าวและสะท้อนเฉพาะพฤติกรรมการรับรู้ภายนอก (การทำงาน) ของวัตถุ ในการแสดงออกถึงขีดสุด พวกเขาเรียกอีกอย่างว่ารุ่น "กล่องดำ" ประเภทของโมเดลแบบรวมก็เป็นไปได้เช่นกัน ซึ่งบางครั้งเรียกว่า “ กล่องสีเทา».

เนื้อหาและรูปแบบที่เป็นทางการ

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าโครงสร้างในอุดมคติพิเศษจะถูกสร้างขึ้นก่อน โมเดลเนื้อหา- ไม่มีคำศัพท์เฉพาะที่นี่ และผู้เขียนคนอื่นๆ เรียกสิ่งนี้ว่าวัตถุในอุดมคติ รูปแบบความคิด , โมเดลเก็งกำไรหรือ รุ่นก่อน- ในกรณีนี้จะเรียกว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้าย โมเดลที่เป็นทางการหรือเพียงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการทำให้แบบจำลองมีความหมายที่กำหนดอย่างเป็นทางการ (แบบจำลองก่อน) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายสามารถดำเนินการได้โดยใช้ชุดอุดมคติสำเร็จรูป เช่นเดียวกับในกลศาสตร์ โดยที่สปริงในอุดมคติ ตัวเครื่องแข็ง ลูกตุ้มในอุดมคติ ตัวกลางที่ยืดหยุ่น ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในสาขาความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีอย่างเป็นทางการที่สมบูรณ์ (สาขาฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา จิตวิทยา และสาขาอื่นๆ ส่วนใหญ่) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายจะยากขึ้นอย่างมาก

การจำแนกเนื้อหาของแบบจำลอง

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้เพียงครั้งเดียวและตลอดไป Richard Feynman กำหนดสิ่งนี้ไว้อย่างชัดเจน:

“เรามีโอกาสที่จะหักล้างทฤษฎีอยู่เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณได้ตั้งสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ โดยคำนวณว่าสมมติฐานนั้นนำไปสู่จุดใด และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันเพียงหมายความว่าคุณล้มเหลวในการปฏิเสธมัน”

ถ้าแบบจำลองแบบแรกถูกสร้างขึ้นก็หมายความว่าแบบจำลองนั้นเป็นที่ยอมรับชั่วคราวว่าเป็นความจริงและสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นเพียงการหยุดชั่วคราวเท่านั้น: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถเป็นเพียงชั่วคราวเท่านั้น

ประเภทที่ 2: แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยา (เราประพฤติตนราวกับว่า…)

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาประกอบด้วยกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันได้อย่างเพียงพอด้วยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่สอดคล้องกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุนั้น ดังนั้นแบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบ และการค้นหา “กลไกที่แท้จริง” จะต้องดำเนินต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls รวมถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของแบบจำลองในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา และอาจเกิดขึ้นได้ว่าข้อมูลและทฤษฎีใหม่ ๆ ยืนยันแบบจำลองเชิงปรากฏการณ์วิทยา และพวกเขาได้รับการส่งเสริมให้เป็นสถานะของสมมติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับสมมติฐานประเภทแรก และสามารถแปลเป็นความรู้ประเภทที่สองได้ ดังนั้นแบบจำลองควาร์กจึงค่อย ๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมนิยมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีการแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์มันจึงกลายเป็นประเภทแรก แต่แบบจำลองอีเทอร์ได้เดินทางจากประเภท 1 ไปเป็นประเภท 2 และขณะนี้อยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์แล้ว

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างโมเดล แต่การทำให้เข้าใจง่ายมาในรูปแบบที่แตกต่างกัน Peierls ระบุการลดความซับซ้อนสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

ประเภทที่ 3: การประมาณ (เราพิจารณาบางสิ่งที่ใหญ่หรือเล็กมาก)

หากเป็นไปได้ที่จะสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะสามารถแก้ไขได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก็ตาม เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณ (แบบจำลองประเภท 3) ในหมู่พวกเขา โมเดลการตอบสนองเชิงเส้น- สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

มาแล้วประเภทที่ 8 ซึ่งแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบชีววิทยา

ประเภทที่ 8: การสาธิตคุณสมบัติ (สิ่งสำคัญคือการแสดงความสอดคล้องภายในของความเป็นไปได้)

สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองทางความคิดด้วยโดยมีตัวตนในจินตนาการแสดงให้เห็นสิ่งนั้น น่าจะเป็นปรากฏการณ์สอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและสอดคล้องกันภายใน นี่คือความแตกต่างที่สำคัญจากรุ่นประเภท 7 ซึ่งเผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

การทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดอย่างหนึ่งคือเรขาคณิตของ Lobachevsky (Lobachevsky เรียกมันว่า "เรขาคณิตในจินตนาการ") อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลน์ศาสตร์อย่างเป็นทางการของการสั่นสะเทือนทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของไอน์สไตน์-โพโดลสกี-โรเซนถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภท 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ด้วยวิธีที่ไม่ได้วางแผนไว้โดยสิ้นเชิง ในที่สุดมันก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลควอนตัม

ตัวอย่าง

พิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยสปริงซึ่งจับจ้องอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและมีมวลของมวลติดอยู่ที่ปลายอิสระของสปริง เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ได้ในทิศทางของแกนสปริงเท่านั้น (เช่น การเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวแกน) เรามาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้กัน เราจะอธิบายสถานะของระบบตามระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล ให้เราอธิบายปฏิสัมพันธ์ของสปริงและโหลดที่ใช้ กฎของฮุค() จากนั้นใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์:

โดยที่ หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของเทียบกับเวลา: .

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบฟิสิคัลที่พิจารณา รุ่นนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจำแนกอย่างเป็นทางการ โมเดลนี้เป็นแบบเชิงเส้น กำหนดได้ ไดนามิก มีความเข้มข้น ต่อเนื่อง ในกระบวนการก่อสร้าง เราได้ตั้งสมมติฐานหลายประการ (เกี่ยวกับการไม่มีแรงภายนอก การไม่มีแรงเสียดทาน การเบี่ยงเบนเล็กน้อย ฯลฯ) ซึ่งในความเป็นจริงอาจไม่เป็นไปตามนั้น

เมื่อเทียบกับความเป็นจริง ส่วนใหญ่มักเป็นโมเดลประเภทที่ 4 ลดความซับซ้อน(“เราจะละรายละเอียดบางส่วนเพื่อความชัดเจน”) เนื่องจากคุณสมบัติสากลที่สำคัญบางประการ (เช่น การกระจาย) จะถูกละเว้น ในการประมาณค่าบางอย่าง (เช่น แม้ว่าความเบี่ยงเบนของโหลดจากสมดุลจะมีน้อย โดยมีแรงเสียดทานต่ำ โดยใช้เวลาไม่นานเกินไปและขึ้นอยู่กับเงื่อนไขอื่นๆ บางประการ) แบบจำลองดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจากปัจจัยที่ละทิ้งมี ผลกระทบเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของมัน อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้สามารถปรับแต่งได้โดยคำนึงถึงปัจจัยบางประการเหล่านี้ สิ่งนี้จะนำไปสู่รูปแบบใหม่ที่มีขอบเขตการบังคับใช้ที่กว้างขึ้น (แม้ว่าจะถูกจำกัดอีกครั้ง)

อย่างไรก็ตาม เมื่อปรับแต่งแบบจำลอง ความซับซ้อนของการวิจัยทางคณิตศาสตร์อาจเพิ่มขึ้นอย่างมาก และทำให้แบบจำลองนั้นไร้ประโยชน์อย่างแท้จริง บ่อยครั้งที่แบบจำลองที่เรียบง่ายกว่าช่วยให้สามารถสำรวจระบบจริงได้ดีขึ้นและลึกกว่าแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า (และอย่างเป็นทางการ "ถูกต้องมากกว่า")

หากเราใช้แบบจำลองฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์กับวัตถุที่อยู่ห่างไกลจากหลักฟิสิกส์ สถานะที่สำคัญของมันอาจจะแตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา แบบจำลองนี้น่าจะจัดอยู่ในประเภท 6 การเปรียบเทียบ(“มาพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติบางอย่างเท่านั้น”)

รุ่นที่แข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างหนึ่งของแบบจำลองที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการมีอุดมคติอันแข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง เพื่อแก้ไขปัญหาการบังคับใช้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำเป็นต้องศึกษาแบบจำลอง "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของแบบจำลอง "แข็ง" สามารถกำหนดได้โดยใช้สมการต่อไปนี้:

ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันบางอย่างที่สามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการขึ้นต่อกันของค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืดตัวของสปริง - พารามิเตอร์เล็กๆ น้อยๆ เราไม่สนใจรูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชันในขณะนี้ หากเราพิสูจน์ได้ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองแบบอ่อนไม่ได้แตกต่างโดยพื้นฐานจากพฤติกรรมของแบบจำลองแบบแข็ง (โดยไม่คำนึงถึงปัจจัยที่ก่อกวนอย่างชัดเจน หากมีขนาดเล็กเพียงพอ) ปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการศึกษาแบบจำลองแบบยากเท่านั้น มิฉะนั้นการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น การแก้สมการของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกคือฟังก์ชันในรูปแบบ ซึ่งก็คือการออสซิลเลเตอร์ที่มีแอมพลิจูดคงที่ ต่อจากนั้นออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งอย่างไม่มีกำหนดด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากเมื่อพิจารณาถึงระบบที่มีแรงเสียดทานน้อยตามอำเภอใจ (จะมีอยู่ในระบบจริงเสมอ) เราจึงได้รับการสั่นสะเทือนแบบหน่วง พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบรักษาพฤติกรรมเชิงคุณภาพไว้ภายใต้การรบกวนเล็กน้อย ระบบจะถือว่ามีความเสถียรทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบที่มีโครงสร้างไม่เสถียร (ไม่หยาบ) อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในระยะเวลาที่จำกัดได้

ความเก่งกาจของรุ่น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญ ความเก่งกาจ: ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่เพียงอธิบายพฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังอธิบายกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ด้วย ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม ความผันผวนของระดับของเหลวในภาชนะรูปตัว A หรือการเปลี่ยนแปลงความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น โดยการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจะศึกษาปรากฏการณ์ทั้งกลุ่มที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นได้ทันที มันเป็นมอร์ฟิสซึ่มของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ ที่เป็นแรงบันดาลใจให้ลุดวิก ฟอน แบร์ทาลันฟฟี่สร้าง "ทฤษฎีทั่วไปของระบบ"

ปัญหาทางตรงและทางผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ขั้นแรก คุณต้องสร้างไดอะแกรมพื้นฐานของวัตถุแบบจำลองขึ้นมา และทำซ้ำภายในกรอบของอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้น ตู้รถไฟจึงกลายเป็นระบบของแผ่นเพลทและตัวถังที่ซับซ้อนมากขึ้นจากวัสดุที่แตกต่างกัน วัสดุแต่ละชนิดจะถูกระบุให้เป็นอุดมคติเชิงกลมาตรฐาน (ความหนาแน่น โมดูลัสยืดหยุ่น ลักษณะความแข็งแรงมาตรฐาน) หลังจากนั้นจึงร่างสมการขึ้นมาตลอดทาง รายละเอียดจะถูกละทิ้งว่าไม่สำคัญ มีการคำนวณ เมื่อเปรียบเทียบกับการวัด โมเดลจะได้รับการปรับปรุง และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะมีประโยชน์ที่จะแยกกระบวนการนี้ออกเป็นส่วนประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาสองประเภทหลักที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ทางตรงและทางผกผัน

งานตรง: ถือว่าทราบโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมดแล้ว ภารกิจหลักคือดำเนินการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานจะรับน้ำหนักคงที่ได้เท่าใด มันจะตอบสนองต่อภาระแบบไดนามิกอย่างไร (เช่น การเดินทัพของกองทหาร หรือต่อเส้นทางของรถไฟด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน) วิธีที่เครื่องบินจะเอาชนะกำแพงกั้นเสียง ไม่ว่ามันจะพังทลายจากการกระพือปีกก็ตาม - นี่เป็นตัวอย่างทั่วไปของปัญหาโดยตรง การตั้งค่าปัญหาโดยตรงที่ถูกต้อง (การถามคำถามที่ถูกต้อง) ต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ได้ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานก็อาจพังทลายลงได้ แม้ว่าจะได้สร้างแบบจำลองที่ดีสำหรับพฤติกรรมของมันแล้วก็ตาม ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 สะพานโลหะข้ามแม่น้ำเทย์พังทลายลงในบริเตนใหญ่ นักออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานโดยคำนวณว่าจะมีปัจจัยด้านความปลอดภัย 20 เท่าสำหรับการกระทำของน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมเรื่องลมไป พัดอยู่ในสถานที่เหล่านั้นอย่างต่อเนื่อง และผ่านไปหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ในกรณีที่ง่ายที่สุด (เช่น สมการออสซิลเลเตอร์ตัวหนึ่ง) ปัญหาโดยตรงนั้นง่ายมากและลดลงเหลือเพียงคำตอบที่ชัดเจนของสมการนี้

ปัญหาผกผัน: ทราบแบบจำลองที่เป็นไปได้หลายแบบ ต้องเลือกแบบจำลองเฉพาะตามข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวัตถุ บ่อยครั้งที่ทราบโครงสร้างของแบบจำลอง และจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติม หรือข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ( ปัญหาการออกแบบ- ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถมาถึงได้โดยไม่คำนึงถึงกระบวนการแก้ไขปัญหาผกผัน ( การสังเกตแบบพาสซีฟ) หรือเป็นผลจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษระหว่างการแก้ปัญหา ( การเฝ้าระวังอย่างแข็งขัน).

หนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของการแก้ปัญหาผกผันอย่างเชี่ยวชาญโดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่คือวิธีการที่สร้างขึ้นโดย I. Newton เพื่อสร้างแรงเสียดทานขึ้นใหม่จากการสั่นแบบหน่วงที่สังเกตได้

อีกตัวอย่างหนึ่งคือสถิติทางคณิตศาสตร์ หน้าที่ของวิทยาศาสตร์นี้คือการพัฒนาวิธีการบันทึก อธิบาย และวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสังเกตและการทดลอง เพื่อสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์สุ่มมวล เหล่านั้น. ชุดของแบบจำลองที่เป็นไปได้นั้นจำกัดอยู่เพียงแบบจำลองความน่าจะเป็น ในงานเฉพาะ ชุดโมเดลจะถูกจำกัดมากขึ้น

ระบบจำลองคอมพิวเตอร์

เพื่อรองรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนา เช่น Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim เป็นต้น ซึ่งช่วยให้คุณสร้างแบบจำลองที่เป็นทางการและแบบบล็อกของกระบวนการและอุปกรณ์ทั้งแบบง่ายและซับซ้อน และเปลี่ยนพารามิเตอร์ของโมเดลได้อย่างง่ายดายระหว่าง การสร้างแบบจำลอง บล็อกโมเดลแสดงด้วยบล็อก (ส่วนใหญ่มักเป็นกราฟิก) ชุดและการเชื่อมต่อที่ระบุโดยไดอะแกรมโมเดล

ตัวอย่างเพิ่มเติม

แบบจำลองของมัลธัส

อัตราการเติบโตเป็นสัดส่วนกับขนาดประชากรในปัจจุบัน มันถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์

โดยที่ พารามิเตอร์ที่กำหนดโดยความแตกต่างระหว่างอัตราการเกิดและอัตราการตาย การแก้สมการนี้คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หากอัตราการเกิดเกินอัตราการตาย () ขนาดประชากรจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดและรวดเร็วมาก เป็นที่ชัดเจนว่าในความเป็นจริงสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากมีทรัพยากรที่จำกัด เมื่อถึงขนาดประชากรวิกฤติ แบบจำลองจะไม่เพียงพอ เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัด การปรับแต่งแบบจำลอง Malthus อาจเป็นแบบจำลองลอจิสติกส์ ซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ Verhulst

ขนาดประชากร "สมดุล" อยู่ที่ไหน ซึ่งอัตราการเกิดจะได้รับการชดเชยด้วยอัตราการเสียชีวิตอย่างแน่นอน ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะมีค่าสมดุล และพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

ระบบล่าเหยื่อ

สมมติว่ามีสัตว์สองประเภทอาศัยอยู่ในพื้นที่หนึ่ง: กระต่าย (กินพืช) และสุนัขจิ้งจอก (กินกระต่าย) ให้จำนวนกระต่ายจำนวนสุนัขจิ้งจอก จากการใช้แบบจำลอง Malthus พร้อมกับการแก้ไขที่จำเป็นเพื่อคำนึงถึงการกินกระต่ายโดยสุนัขจิ้งจอก เราจึงได้ระบบต่อไปนี้ชื่อ ถาดรุ่น - Volterra:

ระบบนี้มีสถานะสมดุลเมื่อจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอกคงที่ การเบี่ยงเบนจากสถานะนี้ส่งผลให้เกิดความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ เช่นเดียวกับฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่เสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลอง (เช่น โดยคำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัดซึ่งกระต่ายต้องการ) สามารถนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรมได้ ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลอาจคงที่ และความผันผวนของตัวเลขจะหายไป สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลที่ตามมาที่เป็นหายนะ จนถึงการสูญพันธุ์อย่างสมบูรณ์ของสายพันธุ์ใดสายพันธุ์หนึ่ง แบบจำลอง Volterra-Lotka ไม่ได้ตอบคำถามว่าสถานการณ์ใดที่เกิดขึ้นเหล่านี้: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

หมายเหตุ

1. “การเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง” (สารานุกรมบริตานิกา)
2. โนวิก ไอ.บี., ในประเด็นทางปรัชญาของการสร้างแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ ม., ความรู้, 2507.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ฉบับที่ 3 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2544 - 343 น. ไอ 5-06-003860-2
4. Samarsky A.A. , มิคาอิลอฟ A.P.การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ไอเดีย วิธีการ ตัวอย่าง. - ฉบับที่ 2, ฉบับที่. - อ.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. มิชคิส เอ.ดี.,องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ฉบับที่ 3, ฉบับที่. - อ.: คมคนิกา, 2550 - 192 กับ ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. การสร้างแบบจำลองกระบวนการทางเทคโนโลยี: หนังสือเรียน / A.G. Sevostyanov, P.A. เซโวสยานอฟ – อ.: อุตสาหกรรมเบาและอาหาร พ.ศ. 2527 - 344 หน้า
7. วิกิพจนานุกรม: แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
8. CliffsNotes.com อภิธานศัพท์วิทยาศาสตร์โลก 20 กันยายน 2553
9. แนวทางการลดแบบจำลองและการแบ่งหยาบหยาบสำหรับปรากฏการณ์หลายระดับ, สปริงเกอร์, ซีรีส์ความซับซ้อน, เบอร์ลิน-ไฮเดลเบิร์ก-นิวยอร์ก, 2549. XII+562 หน้า ไอ 3-540-35885-4
10. “ทฤษฎีถือเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ - เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้นชนิดใดที่ใช้ ...โดยไม่ปฏิเสธอย่างหลัง หากเขาต้องสร้างคำจำกัดความของเอนทิตีที่สำคัญดังกล่าวขึ้นมาใหม่ นักฟิสิกส์ยุคใหม่ก็คือความไม่เชิงเส้น ก็มีแนวโน้มว่าจะกระทำการที่แตกต่างออกไป และหากให้ความสำคัญกับความไม่เชิงเส้นมากกว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามสองประการจะมีความสำคัญและแพร่หลายมากกว่า จะนิยามความเป็นเชิงเส้นว่า “ไม่ ความไม่เชิงเส้น” ดานิลอฟ ยู.,บรรยายเรื่องพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น. การแนะนำเบื้องต้น ซีรีส์ “Synergetics: จากอดีตสู่อนาคต” ฉบับที่ 2 - อ.: URSS, 2549 - 208 หน้า ไอ 5-484-00183-8
11. “ระบบไดนามิกที่สร้างแบบจำลองโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจำนวนจำกัดเรียกว่าระบบเข้มข้นหรือระบบจุด พวกมันถูกอธิบายโดยใช้สเปซเฟสที่มีขอบเขตจำกัด และมีลักษณะเฉพาะด้วยระดับความอิสระจำนวนจำกัด ระบบเดียวกันภายใต้เงื่อนไขที่ต่างกันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นแบบรวมศูนย์หรือแบบกระจาย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบแบบกระจาย ได้แก่ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการอินทิกรัล หรือสมการหน่วงเวลาธรรมดา จำนวนระดับความเป็นอิสระของระบบแบบกระจายนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และจำเป็นต้องมีข้อมูลจำนวนอนันต์เพื่อกำหนดสถานะของระบบ” อนิชเชนโก้ วี.เอส., ระบบไดนามิก, วารสารการศึกษาของโซรอส, 1997, ฉบับที่ 11, หน้า. 77-84.
12. “ขึ้นอยู่กับลักษณะของกระบวนการที่กำลังศึกษาในระบบ S การสร้างแบบจำลองทุกประเภทสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและสุ่ม คงที่และไดนามิก ไม่ต่อเนื่อง ต่อเนื่อง และต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่อง การสร้างแบบจำลองเชิงกำหนดสะท้อนถึงกระบวนการที่กำหนดขึ้น กล่าวคือ กระบวนการที่ถือว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่มใดๆ การสร้างแบบจำลองสุ่มแสดงให้เห็นกระบวนการและเหตุการณ์ความน่าจะเป็น ... การสร้างแบบจำลองแบบคงที่ทำหน้าที่อธิบายพฤติกรรมของวัตถุ ณ เวลาใดก็ได้ และการสร้างแบบจำลองแบบไดนามิกสะท้อนถึงพฤติกรรมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง การสร้างแบบจำลองแบบแยกส่วนใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่ถือว่าแยกส่วน ตามลำดับ การสร้างแบบจำลองแบบต่อเนื่องช่วยให้เราสามารถสะท้อนกระบวนการที่ต่อเนื่องในระบบได้ และการสร้างแบบจำลองแบบต่อเนื่องแบบแยกส่วนใช้สำหรับกรณีที่ต้องการเน้นการมีอยู่ของกระบวนการทั้งแบบแยกส่วนและแบบต่อเนื่อง ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A.ไอ 5-06-003860-2
13. โดยทั่วไปแล้ว แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะสะท้อนถึงโครงสร้าง (อุปกรณ์) ของวัตถุแบบจำลอง คุณสมบัติและความสัมพันธ์ของส่วนประกอบของวัตถุนี้ซึ่งจำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์ของการวิจัย แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้าง หากแบบจำลองสะท้อนเฉพาะวิธีที่วัตถุทำงาน - ตัวอย่างเช่นวิธีที่วัตถุตอบสนองต่ออิทธิพลภายนอก - สิ่งนั้นเรียกว่าการทำงานหรือในเชิงเปรียบเทียบว่าเป็นกล่องดำ สามารถรวมโมเดลเข้าด้วยกันได้ มิชคิส เอ.ดี.ไอ 978-5-484-00953-4
14. “ขั้นตอนเริ่มต้นที่ชัดเจน แต่สำคัญที่สุดของการสร้างหรือเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการได้ภาพที่ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เกี่ยวกับวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองและปรับปรุงแบบจำลองที่มีความหมาย โดยอาศัยการอภิปรายอย่างไม่เป็นทางการ คุณไม่ควรสละเวลาและความพยายามในขั้นตอนนี้ ความสำเร็จของการศึกษาทั้งหมดขึ้นอยู่กับมันเป็นหลัก มันเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งที่งานสำคัญที่ใช้ไปกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ผลหรือสูญเปล่าเนื่องจากขาดความสนใจต่อประเด็นนี้เพียงพอ” มิชคิส เอ.ดี.,องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ฉบับที่ 3, ฉบับที่. - อ.: คมนิกา, 2550. - 192 กับ ISBN 978-5-484-00953-4, หน้า. 35.
15. « คำอธิบายของแบบจำลองแนวคิดของระบบในขั้นตอนย่อยของการสร้างแบบจำลองระบบนี้: ก) โมเดลเชิงแนวคิด M ได้รับการอธิบายด้วยคำศัพท์และแนวคิดเชิงนามธรรม; b) คำอธิบายของแบบจำลองถูกกำหนดโดยใช้โครงร่างทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน c) สมมติฐานและสมมติฐานได้รับการยอมรับในที่สุด d) การเลือกขั้นตอนสำหรับการประมาณกระบวนการจริงเมื่อสร้างแบบจำลองนั้นสมเหตุสมผล” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ฉบับที่ 3 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2544 - 343 น. ไอ 5-06-003860-2, น. 93.
16. เบลคมัน ไอ.ไอ., มิชคิส เอ.ดี.,