1) โดเมนฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.
โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มุ่งมั่น. พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับ
ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น
2) ฟังก์ชั่นศูนย์.
ฟังก์ชันศูนย์คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์
3) ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน.
ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งค่าฟังก์ชันเป็นเพียงค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น
4) ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน.
ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันลดลง (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน
5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).
ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความคือความเท่าเทียมกัน ฉ(-x) = ฉ(x)-
กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด เอ็กซ์ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับค่าใดๆ จากขอบเขตของคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงฉ(-x) = - ฉ(x
-.
กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.
ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตหากมีจำนวนบวก M โดยที่ |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่จำกัด
7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น คุณสมบัติและกราฟของพวกเขา
1. ฟังก์ชันเชิงเส้น
ฟังก์ชันเชิงเส้น เรียกว่าฟังก์ชันในรูปแบบ โดยที่ x เป็นตัวแปร a และ b เป็นจำนวนจริง
ตัวเลข กเรียกว่าความชันของเส้นตรง ซึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นนี้กับทิศทางบวกของแกน x กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง มันถูกกำหนดโดยสองจุด
คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น
1. โดเมนของคำจำกัดความ - เซตของจำนวนจริงทั้งหมด: D(y)=R
2. ชุดค่าคือชุดของจำนวนจริงทั้งหมด: E(y)=R
3. ฟังก์ชันจะใช้ค่าศูนย์เมื่อหรือ
4. ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
5. ฟังก์ชันเชิงเส้นมีความต่อเนื่องตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ
2. ฟังก์ชันกำลังสอง
ฟังก์ชันในรูปแบบที่ x เป็นตัวแปร เรียกว่าสัมประสิทธิ์ a, b, c เป็นจำนวนจริง กำลังสอง
สื่อการสอนนี้มีไว้เพื่อการอ้างอิงเท่านั้นและเกี่ยวข้องกับหัวข้อต่างๆ มากมาย บทความนี้จะให้ภาพรวมของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและกล่าวถึงประเด็นที่สำคัญที่สุด - วิธีสร้างกราฟอย่างถูกต้องและรวดเร็ว- ในระหว่างการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงโดยที่ไม่มีความรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน มันจะเป็นเรื่องยาก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องจำไว้ว่ากราฟของพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ มีลักษณะอย่างไร และจำไว้บ้าง ความหมายของฟังก์ชันต่างๆ เราจะพูดถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันหลักด้วย
ฉันไม่ได้อ้างว่าเนื้อหามีความสมบูรณ์และครบถ้วนทางวิทยาศาสตร์ ก่อนอื่นจะเน้นไปที่การปฏิบัติ - สิ่งเหล่านั้นด้วย เราเผชิญหน้าอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอนในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง- แผนภูมิสำหรับหุ่น? คุณสามารถพูดอย่างนั้นได้เช่นกัน
เนื่องจากมีการร้องขอจากผู้อ่านเป็นจำนวนมาก สารบัญที่คลิกได้:
นอกจากนี้ยังมีเรื่องย่อที่สั้นเป็นพิเศษในหัวข้อนี้
– ฝึกฝนแผนภูมิ 16 ประเภทโดยศึกษาหกหน้า!
จริงๆ นะ หก แม้แต่ฉันก็แปลกใจด้วยซ้ำ ข้อมูลสรุปนี้มีกราฟิกที่ได้รับการปรับปรุงและพร้อมใช้งานโดยมีค่าธรรมเนียมเล็กน้อย สามารถดูเวอร์ชันสาธิตได้ สะดวกในการพิมพ์ไฟล์เพื่อให้กราฟอยู่ใกล้แค่เอื้อม ขอบคุณสำหรับการสนับสนุนโครงการ!
และเริ่มกันเลย:
จะสร้างแกนพิกัดอย่างถูกต้องได้อย่างไร?
ในทางปฏิบัติ นักเรียนมักจะทำแบบทดสอบในสมุดบันทึกแยกกันโดยเรียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำไมคุณถึงต้องมีเครื่องหมายตาหมากรุก? โดยหลักการแล้วงานนี้สามารถทำได้บนแผ่น A4 และกรงจำเป็นสำหรับการออกแบบภาพวาดคุณภาพสูงและแม่นยำเท่านั้น
การวาดกราฟฟังก์ชันใดๆ จะเริ่มต้นด้วยแกนพิกัด.
การวาดภาพอาจเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ
ก่อนอื่นมาพิจารณากรณีสองมิติก่อน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน:
1) วาดแกนพิกัด แกนนั้นเรียกว่า แกน x และแกนก็คือ แกน y - เราพยายามวาดมันอยู่เสมอ เรียบร้อยและไม่คดเคี้ยว- ลูกศรไม่ควรมีลักษณะคล้ายกับเคราของ Papa Carlo
2) เราเซ็นชื่อแกนด้วยตัวอักษรขนาดใหญ่ "X" และ "Y" อย่าลืมติดป้ายแกนด้วย.
3) ตั้งสเกลตามแกน: วาดศูนย์และสองอัน- เมื่อวาดภาพ สเกลที่สะดวกและใช้บ่อยที่สุดคือ 1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย) - หากเป็นไปได้ ให้ติดไว้ อย่างไรก็ตามในบางครั้งอาจเกิดขึ้นว่าภาพวาดไม่พอดีกับแผ่นสมุดบันทึก - จากนั้นเราจะลดขนาดลง: 1 หน่วย = 1 เซลล์ (รูปวาดทางด้านขวา) เป็นเรื่องยาก แต่บังเอิญว่าขนาดของภาพวาดต้องลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) มากยิ่งขึ้น
ไม่จำเป็นต้อง "ปืนกล" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….เพราะระนาบพิกัดไม่ใช่อนุสาวรีย์ของเดส์การตส์ และนักเรียนก็ไม่ใช่นกพิราบ เราใส่ ศูนย์และ สองหน่วยตามแนวแกน- บางครั้ง แทนหน่วย จะสะดวกในการ "ทำเครื่องหมาย" ค่าอื่น ๆ เช่น "สอง" บนแกน Abscissa และ "สาม" บนแกนกำหนด - และระบบนี้ (0, 2 และ 3) จะกำหนดตารางพิกัดโดยไม่ซ้ำกันด้วย
ควรประมาณขนาดโดยประมาณของแบบร่างก่อนสร้างแบบร่าง- ตัวอย่างเช่น หากงานจำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด , , แสดงว่ามาตราส่วนยอดนิยมของ 1 หน่วย = 2 เซลล์จะไม่ทำงาน ทำไม ลองดูที่ประเด็น - ที่นี่คุณจะต้องวัดลงไปสิบห้าเซนติเมตรและเห็นได้ชัดว่าภาพวาดจะไม่พอดี (หรือแทบจะไม่พอดี) บนแผ่นสมุดบันทึก ดังนั้นเราจึงเลือกสเกลที่เล็กกว่าทันที: 1 หน่วย = 1 เซลล์
โดยวิธีการประมาณเซนติเมตรและเซลล์โน๊ตบุ๊ค เซลล์โน้ตบุ๊ก 30 เซลล์มี 15 เซนติเมตร จริงหรือ? เพื่อความสนุกสนาน ใช้ไม้บรรทัดวัดสมุดบันทึกของคุณให้มีความสูง 15 เซนติเมตร ในสหภาพโซเวียต สิ่งนี้อาจเป็นเรื่องจริง... เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณวัดเซนติเมตรเดียวกันนี้ในแนวนอนและแนวตั้ง ผลลัพธ์ (ในเซลล์) จะแตกต่างออกไป! พูดอย่างเคร่งครัด สมุดบันทึกสมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะเป็นตาหมากรุก แต่เป็นทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า สิ่งนี้อาจดูไร้สาระ แต่การวาดภาพวงกลมที่มีเข็มทิศในสถานการณ์เช่นนี้ไม่สะดวกอย่างยิ่ง พูดตามตรง ในช่วงเวลาดังกล่าวคุณเริ่มคิดถึงความถูกต้องของสหายสตาลินที่ถูกส่งไปยังค่ายเพื่อทำงานแฮ็กในการผลิต ไม่ต้องพูดถึงอุตสาหกรรมรถยนต์ในประเทศ เครื่องบินตก หรือโรงไฟฟ้าระเบิด
พูดถึงคุณภาพหรือคำแนะนำสั้นๆเกี่ยวกับเครื่องเขียน วันนี้โน้ตบุ๊กส่วนใหญ่ที่ลดราคาพูดน้อยที่สุดคือไร้สาระ เพราะมันเปียกไม่เพียงแต่จากปากกาเจลเท่านั้น แต่ยังมาจากปากกาลูกลื่นด้วย! พวกเขาประหยัดเงินบนกระดาษ ในการทำการทดสอบให้เสร็จสิ้น ฉันแนะนำให้ใช้สมุดบันทึกจากโรงงานผลิตเยื่อและกระดาษ Arkhangelsk (18 แผ่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส) หรือ "Pyaterochka" แม้ว่าจะมีราคาแพงกว่าก็ตาม ขอแนะนำให้เลือกปากกาเจล แม้แต่รีฟิลเจลจีนที่ถูกที่สุดก็ยังดีกว่าปากกาลูกลื่นซึ่งทำให้กระดาษเปื้อนหรือฉีกได้มาก ปากกาลูกลื่น "คู่แข่ง" เพียงหนึ่งเดียวที่ฉันจำได้คือ Erich Krause เธอเขียนได้ชัดเจน สวยงาม และสม่ำเสมอ ไม่ว่าจะเขียนเต็มแกนหรือแทบจะว่างเปล่าก็ตาม
นอกจากนี้: วิสัยทัศน์ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านสายตาของเรขาคณิตวิเคราะห์มีกล่าวถึงในบทความนี้ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับไตรมาสประสานงานมีอยู่ในย่อหน้าที่สองของบทเรียน อสมการเชิงเส้น.
เคสสามมิติ
มันเกือบจะเหมือนกันที่นี่
1) วาดแกนพิกัด มาตรฐาน: ใช้แกน – ชี้ขึ้น, แกน – ชี้ไปทางขวา, แกน – ชี้ลงไปทางซ้าย อย่างเคร่งครัดที่มุม 45 องศา
2) ติดป้ายกำกับแกน
3) ตั้งสเกลตามแกน สเกลตามแกนจะเล็กกว่าสเกลตามแกนอื่นๆ สองเท่า- โปรดทราบว่าในภาพวาดที่ถูกต้องฉันใช้ "รอยบาก" ที่ไม่ได้มาตรฐานตามแกน (ความเป็นไปได้นี้ได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว)- จากมุมมองของฉัน สิ่งนี้แม่นยำกว่า เร็วกว่า และสวยงามกว่า - ไม่จำเป็นต้องมองหาจุดกึ่งกลางของเซลล์ใต้กล้องจุลทรรศน์และ "แกะสลัก" หน่วยที่อยู่ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัด
เมื่อทำการวาดภาพ 3 มิติ ให้ให้ความสำคัญกับขนาดอีกครั้ง
1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย)
กฎทั้งหมดนี้มีไว้เพื่ออะไร? กฎเกณฑ์มีไว้เพื่อทำลาย นั่นคือสิ่งที่ฉันจะทำตอนนี้ ความจริงก็คือฉันจะวาดรูปบทความในภายหลังใน Excel และแกนพิกัดจะดูไม่ถูกต้องจากมุมมองของการออกแบบที่ถูกต้อง ฉันสามารถวาดกราฟทั้งหมดด้วยมือได้ แต่จริงๆ แล้วมันน่ากลัวที่จะวาดกราฟเหล่านี้ เนื่องจาก Excel ไม่เต็มใจที่จะวาดกราฟให้แม่นยำมากขึ้น
กราฟและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น
ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ โดยตรง- ในการสร้างเส้นตรง การรู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว
ตัวอย่างที่ 1
สร้างกราฟของฟังก์ชัน มาหาสองประเด็นกัน การเลือกศูนย์เป็นจุดใดจุดหนึ่งจะเป็นประโยชน์
ถ้าอย่างนั้น
ลองพิจารณาอีกประเด็นหนึ่ง เช่น 1
ถ้าอย่างนั้น
เมื่อทำงานเสร็จมักจะสรุปพิกัดของจุดต่างๆ ไว้ในตาราง:
และค่าต่างๆ จะถูกคำนวณด้วยวาจาหรือแบบร่างซึ่งเป็นเครื่องคิดเลข
พบสองจุด มาวาดรูปกัน:
เมื่อเตรียมภาพวาด เราจะเซ็นชื่อกราฟิกเสมอ.
มันจะมีประโยชน์ในการจำกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น:
สังเกตว่าฉันวางลายเซ็นอย่างไร ลายเซ็นไม่ควรทำให้เกิดความแตกต่างเมื่อศึกษาภาพวาด- ในกรณีนี้ การวางลายเซ็นไว้ข้างจุดตัดของเส้นหรือที่มุมขวาล่างระหว่างกราฟเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาอย่างยิ่ง
1) ฟังก์ชันเชิงเส้นของรูปแบบ () เรียกว่า สัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น, . กราฟสัดส่วนตรงจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นการสร้างเส้นตรงจึงง่ายขึ้น - การหาเพียงจุดเดียวก็เพียงพอแล้ว
2) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันจะถูกพล็อตทันทีโดยไม่พบจุดใดๆ นั่นคือ ควรเข้าใจรายการดังนี้: “ค่า y จะเท่ากับ –4 เสมอ สำหรับค่า x ใดๆ ก็ตาม”
3) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันก็จะถูกพล็อตทันทีเช่นกัน ควรทำความเข้าใจรายการดังนี้: “x เสมอ สำหรับค่า y ใดๆ เท่ากับ 1”
บางคนก็จะถามว่าทำไมถึงจำชั้น ป.6 ได้! มันก็เป็นเช่นนั้น บางทีก็เป็นเช่นนั้น แต่ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของการฝึกฝน ฉันได้พบกับนักเรียนดีๆ หลายสิบคนที่รู้สึกงุนงงกับงานสร้างกราฟแบบ or
การสร้างเส้นตรงเป็นการกระทำที่พบบ่อยที่สุดเมื่อวาดภาพ
เส้นตรงจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในหลักสูตรเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ และผู้ที่สนใจสามารถดูบทความได้ สมการของเส้นตรงบนระนาบ.
กราฟของกำลังสอง ฟังก์ชันลูกบาศก์ กราฟของพหุนาม
พาราโบลา กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง () แสดงถึงพาราโบลา พิจารณากรณีที่มีชื่อเสียง:
ลองนึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันกัน
ดังนั้น วิธีแก้สมการของเรา: – ณ จุดนี้เองที่จุดยอดของพาราโบลาอยู่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น สามารถเรียนรู้ได้จากบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์และบทเรียนเรื่องเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชัน ในระหว่างนี้ มาคำนวณค่า "Y" ที่เกี่ยวข้องกัน:
ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่จุดนั้น
ตอนนี้เราพบจุดอื่นๆ ในขณะที่ใช้ความสมมาตรของพาราโบลาอย่างโจ่งแจ้ง ควรสังเกตว่าฟังก์ชั่น – ไม่เท่ากันแต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครยกเลิกความสมมาตรของพาราโบลาได้
ส่วนจะหาแต้มที่เหลือจะเป็นอย่างไรผมว่าน่าจะชัดเจนจากตารางสุดท้ายครับ
อัลกอริธึมการก่อสร้างนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นหลักการ "กระสวย" หรือ "ไปมา" กับ Anfisa Chekhova
มาวาดรูปกันเถอะ:
จากกราฟที่ตรวจสอบ คุณลักษณะที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งคือ:
สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง () ต่อไปนี้เป็นจริง:
ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น.
ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง.
ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับเส้นโค้งหาได้จากบทเรียนไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา
ฟังก์ชันกำหนดพาราโบลาลูกบาศก์มาให้ นี่คือภาพวาดที่คุ้นเคยจากโรงเรียน:
ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน
กราฟของฟังก์ชัน
มันแสดงถึงกิ่งหนึ่งของพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:
ในกรณีนี้แกนคือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของไฮเปอร์โบลาที่
มันจะเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่หากเมื่อคุณวาดรูปวาด คุณปล่อยให้กราฟตัดกับเส้นกำกับอย่างไม่ระมัดระวัง
ลิมิตด้านเดียวบอกเราว่าไฮเปอร์โบลา ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.
ลองตรวจสอบฟังก์ชันที่ระยะอนันต์: นั่นคือถ้าเราเริ่มเคลื่อนที่ไปตามแกนไปทางซ้าย (หรือขวา) ไปจนถึงระยะอนันต์ "เกม" จะอยู่ในขั้นตอนที่เป็นระเบียบ ปิดอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเข้าใกล้ศูนย์ และกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาก็ตามมาด้วย ปิดอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเข้าใกล้แกน
แกนก็คือ เส้นกำกับแนวนอน สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า "x" มีแนวโน้มบวกหรือลบอนันต์
ฟังก์ชั่นคือ แปลกดังนั้นไฮเปอร์โบลาจึงมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ข้อเท็จจริงนี้ชัดเจนจากภาพวาด นอกจากนี้ยังตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ได้อย่างง่ายดาย: .
กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ () แสดงถึงสองกิ่งของไฮเปอร์โบลา.
ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในพิกัดไตรมาสที่หนึ่งและสาม(ดูภาพด้านบน)
ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์พิกัดที่สองและสี่.
รูปแบบที่ระบุของที่อยู่อาศัยไฮเปอร์โบลานั้นง่ายต่อการวิเคราะห์จากมุมมองของการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ
ตัวอย่างที่ 3
สร้างกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลา
เราใช้วิธีการก่อสร้างแบบ point-wise และมีข้อดีในการเลือกค่าเพื่อให้สามารถหารด้วยทั้งหมดได้:
มาวาดรูปกันเถอะ:
การสร้างกิ่งด้านซ้ายของไฮเปอร์โบลาไม่ใช่เรื่องยาก ความแปลกของฟังก์ชันจะช่วยได้ โดยคร่าวแล้ว ในตารางการสร้างแบบ pointwise เราบวกลบกับแต่ละตัวเลขในใจ ใส่จุดที่สอดคล้องกันแล้ววาดกิ่งที่สอง
ข้อมูลเรขาคณิตโดยละเอียดเกี่ยวกับเส้นที่พิจารณามีอยู่ในบทความไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ในส่วนนี้ ฉันจะพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังทันที เนื่องจากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงใน 95% ของกรณี เลขชี้กำลังจะปรากฏขึ้น
ฉันขอเตือนคุณว่านี่คือจำนวนอตรรกยะ: สิ่งนี้จะต้องใช้ในการสร้างกราฟซึ่งอันที่จริงฉันจะสร้างโดยไม่มีพิธีการ สามแต้มก็น่าจะเพียงพอแล้ว:
ตอนนี้เราปล่อยให้กราฟของฟังก์ชันอยู่คนเดียวก่อน แล้วเราจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:
กราฟฟังก์ชัน ฯลฯ โดยพื้นฐานแล้วมีลักษณะเหมือนกัน
ฉันต้องบอกว่ากรณีที่สองเกิดขึ้นไม่บ่อยนักในทางปฏิบัติ แต่ก็เกิดขึ้นจริง ดังนั้นฉันจึงถือว่าจำเป็นต้องรวมไว้ในบทความนี้
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
พิจารณาฟังก์ชันที่มีลอการิทึมธรรมชาติ
มาวาดภาพแบบจุดต่อจุดกัน:
หากคุณลืมว่าลอการิทึมคืออะไร โปรดดูหนังสือเรียนในโรงเรียนของคุณ
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:
โดเมน:
ช่วงของค่า: .
ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกจำกัดจากด้านบน: แม้ว่าจะช้า แต่สาขาของลอการิทึมขึ้นไปถึงอนันต์
ให้เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ศูนย์ทางด้านขวา: - แกนก็คือ เส้นกำกับแนวตั้ง
สำหรับกราฟของฟังก์ชันที่ "x" มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากด้านขวา
จำเป็นต้องรู้และจดจำค่าทั่วไปของลอการิทึม: .
โดยหลักการแล้ว กราฟของลอการิทึมถึงฐานจะมีลักษณะเหมือนกัน: , , (ลอการิทึมฐานสิบถึงฐาน 10) เป็นต้น ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งฐานมีขนาดใหญ่เท่าใด กราฟก็จะแบนราบมากขึ้นเท่านั้น
เราจะไม่พิจารณากรณีนี้ ฉันจำไม่ได้ว่าครั้งสุดท้ายที่ฉันสร้างกราฟด้วยพื้นฐานดังกล่าว และลอการิทึมดูเหมือนจะพบได้น้อยมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง
ในตอนท้ายของย่อหน้านี้ ฉันจะพูดข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม– เหล่านี้เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันสองฟังก์ชัน- หากคุณดูกราฟของลอการิทึมอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่านี่คือเลขชี้กำลังเดียวกัน แต่มีความแตกต่างกันเล็กน้อย
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การทรมานตรีโกณมิติเริ่มต้นที่โรงเรียนที่ไหน? ขวา. จากไซน์
ลองพลอตฟังก์ชันกัน
เส้นนี้เรียกว่า ไซนัสอยด์.
ฉันขอเตือนคุณว่า "pi" เป็นจำนวนอตรรกยะ และในวิชาตรีโกณมิติ มันทำให้ดวงตาของคุณพร่ามัว
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:
ฟังก์ชั่นนี้คือ เป็นระยะๆด้วยระยะเวลา มันหมายความว่าอะไร? มาดูส่วนกัน ทางด้านซ้ายและขวาของกราฟ ส่วนเดียวกันของกราฟจะถูกทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
โดเมน: นั่นคือ สำหรับค่าใดๆ ของ “x” จะมีค่าไซน์
ช่วงของค่า: . ฟังก์ชั่นคือ ถูก จำกัด: นั่นคือ "เกม" ทั้งหมดจะอยู่ในส่วนนี้อย่างเคร่งครัด
สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น: หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือมันเกิดขึ้น แต่สมการเหล่านี้ไม่มีคำตอบ
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ กราฟ"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"
ฟังก์ชันกำลัง โดเมนของคำจำกัดความ
เพื่อนๆ ในบทเรียนที่แล้ว เราได้เรียนรู้วิธีทำงานกับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะ ในบทนี้ เราจะดูฟังก์ชันกำลังและจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะในกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นตรรกยะเราจะพิจารณาฟังก์ชันในรูปแบบ: $y=x^(\frac(m)(n))$
ก่อนอื่นให้เราพิจารณาฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง $\frac(m)(n)>1$
ให้เราได้รับฟังก์ชันเฉพาะ $y=x^2*5$
ตามคำจำกัดความที่เราให้ไปในบทเรียนที่แล้ว: ถ้า $x≥0$ แล้วโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของเราคือรังสี $(x)$ ลองพรรณนากราฟของฟังก์ชันของเราในเชิงแผนผัง
คุณสมบัติของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. ไม่เป็นคู่หรือคี่
3. เพิ่มขึ้น $$
ข) $(2,10)$,
c) บนเรย์ $$
สารละลาย.
พวกคุณจำได้ไหมว่าเราหาค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ได้อย่างไร?
ถูกต้อง, เราใช้อนุพันธ์ มาแก้ตัวอย่างของเราแล้วทำซ้ำอัลกอริธึมเพื่อค้นหาค่าที่น้อยที่สุดและมากที่สุด
1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. อนุพันธ์มีอยู่ทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม ดังนั้นจึงไม่มีจุดวิกฤต มาหาจุดคงที่:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ และ $x_2=\sqrt(64)=4$
เซ็กเมนต์ที่กำหนดมีเพียงโซลูชันเดียว $x_2=4$
มาสร้างตารางค่าฟังก์ชันของเราที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสุดขั้ว:
คำตอบ: $y_(ชื่อ)=-862.65$ ที่ $x=9$; $y_(สูงสุด)=38.4$ ที่ $x=4$
ตัวอย่าง. แก้สมการ: $x^(\frac(4)(3))=24-x$
สารละลาย. กราฟของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(4)(3))$ เพิ่มขึ้น และกราฟของฟังก์ชัน $y=24-x$ ลดลง พวกคุณและฉันรู้: หากฟังก์ชันหนึ่งเพิ่มขึ้นและอีกฟังก์ชันหนึ่งลดลง ฟังก์ชันเหล่านั้นจะตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น นั่นคือ เรามีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น
บันทึก:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
นั่นคือ $x=8$ เราได้ความเสมอภาคที่ถูกต้อง $16=16$ นี่คือคำตอบของสมการของเรา
คำตอบ: $x=8$.
ตัวอย่าง.
สร้างกราฟฟังก์ชัน: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$
สารละลาย.
กราฟของฟังก์ชันได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(3)(4))$ โดยเลื่อนไปทางขวา 3 หน่วยและขึ้น 2 หน่วย
ตัวอย่าง. เขียนสมการแทนเจนต์บนเส้นตรง $y=x^(-\frac(4)(5))$ ที่จุด $x=1$
สารละลาย. สมการแทนเจนต์ถูกกำหนดโดยสูตรที่เรารู้:
$y=f(ก)+ฉ"(ก)(x-a)$.
ในกรณีของเรา $a=1$
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
มาหาอนุพันธ์กัน:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
มาคำนวณกัน:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
ลองหาสมการแทนเจนต์:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
คำตอบ: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$
ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ
1. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน: $y=x^\frac(4)(3)$ บนส่วน:ก) $$
ข) $(4.50)$.
c) บนเรย์ $$
3. แก้สมการ: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. สร้างกราฟของฟังก์ชัน: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$
5. สร้างสมการแทนเจนต์ของเส้นตรง $y=x^(-\frac(3)(7))$ ที่จุด $x=1$
ฟังก์ชันกำลัง สมบัติและกราฟ วัสดุสาธิต บทเรียน-บรรยาย แนวคิดของฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 สงวนลิขสิทธิ์. ลิขสิทธิ์ด้วย ลิขสิทธิ์ด้วย
ความก้าวหน้าของบทเรียน: การทำซ้ำ การทำงาน. คุณสมบัติของฟังก์ชัน การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ 1. คำจำกัดความของฟังก์ชันกำลัง คำจำกัดความของฟังก์ชันกำลัง 2. คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง การรวมเนื้อหาที่ศึกษา การนับวาจา การนับวาจา สรุปบทเรียน การบ้าน การบ้าน.
โดเมนของคำจำกัดความและโดเมนของค่าของฟังก์ชัน ค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระจะสร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน x y=f(x) f โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน โดเมนของค่าของฟังก์ชันทั้งหมด ค่าที่ตัวแปรตามสร้างโดเมนของค่าของฟังก์ชัน Function คุณสมบัติของฟังก์ชัน
กราฟของฟังก์ชัน ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยที่ xY y x.75 3 0.6 4 0.5 กราฟของฟังก์ชันคือเซตของจุดทั้งหมดของระนาบพิกัด ซึ่ง abscissas ซึ่งเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์ และพิกัดจะเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน การทำงาน. คุณสมบัติของฟังก์ชัน
Y x โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชัน 4 y=f(x) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: โดเมนของค่าของฟังก์ชัน: ฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันคู่ y x y=f(x) กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนของ op-amp ฟังก์ชัน y=f(x) จะถูกเรียกแม้ว่า f(-x) = f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันคี่ y x y=f(x) กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด O(0;0) ฟังก์ชัน y=f(x) เรียกว่าคี่ ถ้า f(-x) = -f(x) สำหรับ x ใดๆ จากขอบเขตฟังก์ชัน นิยามฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน
นิยามของฟังก์ชันกำลัง ฟังก์ชันโดยที่ p เป็นจำนวนจริงที่กำหนดเรียกว่าฟังก์ชันกำลัง p y=x p P=x y 0 ความก้าวหน้าของบทเรียน
ฟังก์ชันกำลัง x y 1. โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันกำลังของรูปแบบ โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนจริงทั้งหมด 2. ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นเลขคี่ กราฟของพวกเขามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง
ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกตรรกยะ โดเมนของคำจำกัดความคือตัวเลขบวกทั้งหมดและเลข 0 ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังดังกล่าวก็เป็นตัวเลขบวกทั้งหมดและเลข 0 ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่เป็นคู่หรือคี่ . y x คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง
ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบตรรกยะ โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นจำนวนบวกทั้งหมด ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ ฟังก์ชันดังกล่าวลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด y x คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง ความคืบหน้าของบทเรียน
1. ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ
2. การเปลี่ยนแปลง:
การถ่ายโอนแบบขนาน
สมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด
สมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด
สมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง y = x;
การยืดและอัดตามแนวแกนพิกัด
3. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คุณสมบัติ และกราฟ การแปลงที่คล้ายกัน
4. ฟังก์ชันลอการิทึม คุณสมบัติ และกราฟ
5. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสมบัติและกราฟ การแปลงที่คล้ายกัน (y = sin x; y = cos x; y = tan x);
ฟังก์ชัน: y = x\n - คุณสมบัติและกราฟ
ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ
y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/xเป็นต้น ฟังก์ชันทั้งหมดนี้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลัง เช่น ฟังก์ชัน y = x พีโดยที่ p คือจำนวนจริงที่กำหนด
คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงและโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับค่าที่ xและ พีปริญญาก็สมเหตุสมผล xp- ให้เราดำเนินการพิจารณาที่คล้ายกันสำหรับกรณีต่าง ๆ ขึ้นอยู่กับ
เลขชี้กำลัง พี
- ดัชนี พี = 2n- จำนวนธรรมชาติคู่
y = x2n, ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ มีคุณสมบัติดังนี้
- ขอบเขตคำจำกัดความ - จำนวนจริงทั้งหมด เช่น เซต R
- ชุดของค่า - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบเช่น y มากกว่าหรือเท่ากับ 0
- การทำงาน y = x2nแม้กระทั่งเพราะว่า x 2n = (-x) 2n
- ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา x< 0 และเพิ่มขึ้นตามระยะ x > 0
กราฟของฟังก์ชัน y = x2nมีรูปแบบเหมือนกับกราฟของฟังก์ชัน เป็นต้น ย = x 4.
2. ตัวบ่งชี้ พี = 2n - 1- จำนวนธรรมชาติคี่
ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง y = x2n-1โดยที่ เป็นจำนวนธรรมชาติ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
- โดเมนคำจำกัดความ - ตั้งค่า R;
- ชุดของค่า - ชุด R;
- การทำงาน y = x2n-1แปลก เนื่องจาก (- x) 2n-1= x2n-1;
- ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นบนแกนจริงทั้งหมด
กราฟของฟังก์ชัน y = x2n-1 ย = x 3.
3. ตัวบ่งชี้ พี = -2n, ที่ไหน ไม่มีจำนวนธรรมชาติ
ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง y = x -2n = 1/x 2nมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- ชุดของค่า - ตัวเลขบวก y>0;
- ฟังก์ชัน ย = 1/x 2nแม้กระทั่งเพราะว่า 1/(-x)2น= 1/x2n;
- ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x0
กราฟของฟังก์ชัน y = 1/x 2nมีรูปแบบเดียวกับกราฟของฟังก์ชัน y เป็นต้น = 1/x2.
4. ตัวบ่งชี้ พี = -(2n-1), ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ
ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง y = x -(2n-1)มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- โดเมนคำจำกัดความ - ตั้งค่า R ยกเว้น x = 0;
- ชุดค่า - ชุด R ยกเว้น y = 0;
- การทำงาน y = x -(2n-1)แปลก เนื่องจาก (- x) -(2n-1) = -x -(2n-1);
- ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา x< 0 และ x > 0.
กราฟของฟังก์ชัน y = x -(2n-1)มีรูปแบบเหมือนกับกราฟของฟังก์ชัน เป็นต้น y = 1/x 3.