การแยกราก: วิธีการ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข การเปลี่ยนจากรากไปสู่พลังและด้านหลัง ตัวอย่าง วิธีแก้ตัวอย่างด้วยพลังและราก

ถึงเวลาที่จะจัดการมันแล้ว วิธีการสกัดราก- ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของราก โดยเฉพาะความเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวน b ใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ

ด้านล่างเราจะดูวิธีการหลักในการแยกรากทีละรายการ

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - แยกรากออกจากจำนวนธรรมชาติโดยใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

ถ้าเป็นโต๊ะสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ เป็นต้น หากคุณไม่มีมัน ก็สมเหตุสมผลที่จะใช้วิธีการแยกราก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสลายจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงเป็นพิเศษถึงสิ่งที่เป็นไปได้สำหรับรากที่มีเลขชี้กำลังคี่

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาวิธีการที่ช่วยให้เราค้นหาตัวเลขของค่ารูทได้ตามลำดับ

มาเริ่มกันเลย.

การใช้โต๊ะสี่เหลี่ยม โต๊ะลูกบาศก์ ฯลฯ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากได้ ตารางเหล่านี้คืออะไร?

ตารางกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 99 รวม (แสดงด้านล่าง) ประกอบด้วยสองโซน โซนแรกของตารางตั้งอยู่บนพื้นหลังสีเทา โดยการเลือกแถวที่ต้องการและคอลัมน์เฉพาะ จะทำให้คุณสามารถเขียนตัวเลขได้ตั้งแต่ 0 ถึง 99 ตัวอย่างเช่น ลองเลือกแถวที่มี 8 สิบและคอลัมน์ 3 หน่วย ซึ่งเราได้กำหนดหมายเลข 83 ไว้แล้ว โซนที่สองครอบครองส่วนที่เหลือของตาราง แต่ละเซลล์จะอยู่ที่จุดตัดของแถวหนึ่งกับคอลัมน์หนึ่ง และประกอบด้วยกำลังสองของตัวเลขที่ตรงกันตั้งแต่ 0 ถึง 99 ที่จุดตัดของแถว 8 สิบและคอลัมน์ 3 ที่เราเลือกจะมีเซลล์ที่มีหมายเลข 6,889 ซึ่งเป็นกำลังสองของหมายเลข 83

ตารางลูกบาศก์ ตารางกำลังสี่ของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 และอื่นๆ คล้ายกับตารางสี่เหลี่ยม มีเพียงลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ในโซนที่สอง ตัวเลขที่สอดคล้องกัน

ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากที่สอง รากที่สาม รากที่สี่ ฯลฯ ตามลำดับจากตัวเลขในตารางเหล่านี้ ให้เราอธิบายหลักการใช้งานเมื่อทำการแยกราก

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยกรากที่ n ของตัวเลข a ในขณะที่ตัวเลข a อยู่ในตารางของกำลังที่ n เมื่อใช้ตารางนี้เราจะพบตัวเลข b โดยที่ a=b n แล้ว ดังนั้นเลข b จะเป็นรากที่ต้องการของดีกรีที่ n

ตามตัวอย่าง เราจะแสดงวิธีใช้ตารางคิวบ์เพื่อแยกรากที่สามของ 19,683 เราพบเลข 19,683 ในตารางลูกบาศก์ จากนั้นเราพบว่าเลขนี้คือเลขกำลังสามของเลข 27 ดังนั้น .

เห็นได้ชัดว่าตารางเลขยกกำลัง n สะดวกมากในการแยกราก อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้มักจะไม่อยู่ในมือ และการคอมไพล์ต้องใช้เวลาพอสมควร ยิ่งไปกว่านั้น มักจะจำเป็นต้องแยกรากออกจากตัวเลขที่ไม่อยู่ในตารางที่เกี่ยวข้อง ในกรณีเหล่านี้ คุณต้องหันไปใช้วิธีอื่นในการสกัดราก

แยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

วิธีที่สะดวกพอสมควรในการแยกรากของจำนวนธรรมชาติ (หากแยกรากออกแล้ว) ก็คือการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ของเขา ประเด็นคือสิ่งนี้: หลังจากนั้นมันค่อนข้างง่ายที่จะแทนมันเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ต้องการซึ่งช่วยให้คุณได้รับค่าของรูท มาชี้แจงประเด็นนี้กัน

ให้รากที่ n ของจำนวนธรรมชาติ a มีค่าเท่ากับ b ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b n เป็นจริง จำนวน b ก็เหมือนกับจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดได้ p 1 , p 2 , …, p m ในรูปแบบ p 1 ·p 2 ·…·p m และเลขราก a ในกรณีนี้ แสดงเป็น (p 1 ·p 2 ·…·p m) n เนื่องจากการสลายตัวของจำนวนหนึ่งไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของจำนวนราก a ไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ซึ่งทำให้สามารถคำนวณค่าของรากได้ เช่น.

โปรดสังเกตว่าถ้าการสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบได้ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ดังนั้นรากที่ n ของจำนวน a จะยังไม่ถูกดึงออกจนหมด

ลองคิดดูเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หารากที่สองของ 144

สารละลาย.

หากคุณดูตารางกำลังสองที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า คุณจะเห็นได้ชัดเจนว่า 144 = 12 2 ซึ่งชัดเจนว่ารากที่สองของ 144 เท่ากับ 12

แต่เมื่อคำนึงถึงประเด็นนี้ เราสนใจว่ารากจะถูกแยกออกมาอย่างไรโดยการแยกเลขราก 144 ให้เป็นจำนวนเฉพาะ ลองดูวิธีแก้ปัญหานี้

มาย่อยสลายกันเถอะ 144 ถึงตัวประกอบเฉพาะ:

นั่นคือ 144=2·2·2·2·3·3 ขึ้นอยู่กับการสลายตัวที่เกิดขึ้น การเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้สามารถดำเนินการได้: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2- เพราะฉะนั้น, .

การใช้คุณสมบัติของดีกรีและคุณสมบัติของราก อาจทำให้สูตรการแก้ปัญหาแตกต่างออกไปเล็กน้อย:

คำตอบ:

หากต้องการรวมวัสดุ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของรูท

สารละลาย.

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก 243 มีรูปแบบ 243=3 5 ดังนั้น, .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ค่ารูตเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

สารละลาย.

เพื่อตอบคำถามนี้ ลองแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วดูว่าสามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้หรือไม่

เรามี 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. การขยายตัวที่เกิดขึ้นไม่สามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้ เนื่องจากกำลังของตัวประกอบเฉพาะ 7 ไม่ใช่ผลคูณของสาม ดังนั้น จึงไม่สามารถแยกรากที่สามของ 285,768 ได้อย่างสมบูรณ์

คำตอบ:

เลขที่

แยกรากออกจากเลขเศษส่วน

ได้เวลาหาวิธีแยกรากของเศษส่วนแล้ว ให้เขียนเลขรากเศษส่วนเป็น p/q ตามคุณสมบัติของรากของผลหาร ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง จากความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามนั้น กฎการแยกรากของเศษส่วน: รากของเศษส่วนเท่ากับผลหารของรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน

ลองดูตัวอย่างการแยกรากออกจากเศษส่วน

ตัวอย่าง.

รากที่สองของเศษส่วนร่วม 25/169 คืออะไร?

สารละลาย.

จากการใช้ตารางกำลังสอง เราพบว่ารากที่สองของตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับ 5 และรากที่สองของตัวส่วนเท่ากับ 13 แล้ว - เป็นการเสร็จสิ้นการแยกรากของเศษส่วนร่วม 25/169

คำตอบ:

รากของเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละจะถูกแยกออกมาหลังจากแทนที่จำนวนรากด้วยเศษส่วนสามัญ

ตัวอย่าง.

หารากที่สามของเศษส่วนทศนิยม 474.552

สารละลาย.

ลองจินตนาการถึงเศษส่วนทศนิยมดั้งเดิมว่าเป็นเศษส่วนธรรมดา: 474.552=474552/1000 แล้ว - ยังคงต้องแยกรากที่สามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ เพราะ 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 และ 1 000 = 10 3 จากนั้น และ - สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณให้เสร็จสิ้น .

คำตอบ:

.

การหารากของจำนวนลบ

คุ้มค่าที่จะอาศัยการแยกรากออกจากจำนวนลบ เมื่อศึกษาราก เราบอกว่าเมื่อเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคี่ ก็อาจมีเลขลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากได้ เราให้ความหมายเหล่านี้แก่รายการเหล่านี้: สำหรับจำนวนลบ −a และเลขชี้กำลังคี่ของราก 2 n−1 - ความเท่าเทียมกันนี้ให้ กฎสำหรับการแยกรากคี่ออกจากจำนวนลบ: หากต้องการแยกรากของจำนวนลบ คุณต้องหารากของจำนวนบวกตรงข้าม และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของราก

สารละลาย.

มาแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้มีจำนวนบวกอยู่ใต้เครื่องหมายรูท: - ตอนนี้แทนที่จำนวนคละด้วยเศษส่วนสามัญ: - เราใช้กฎในการแยกรากของเศษส่วนสามัญ: - ยังคงต้องคำนวณรากในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์: .

นี่เป็นบทสรุปสั้นๆ ของวิธีแก้ปัญหา: .

คำตอบ:

.

การกำหนดค่ารูตในระดับบิต

ในกรณีทั่วไป ใต้รากจะมีตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นกำลังที่ n ของจำนวนใดๆ ได้ด้วยการใช้เทคนิคที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ในกรณีนี้ จำเป็นต้องทราบความหมายของรากที่กำหนด อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับสัญญาณบางอย่าง ในกรณีนี้หากต้องการแยกรูทคุณสามารถใช้อัลกอริธึมที่ช่วยให้คุณได้รับค่าตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการตามลำดับตามลำดับ

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมนี้คือการค้นหาว่าบิตที่สำคัญที่สุดของค่ารูตคืออะไร ในการทำเช่นนี้ ตัวเลข 0, 10, 100, ... จะถูกยกกำลัง n ตามลำดับจนกระทั่งถึงช่วงเวลาที่ตัวเลขเกินจำนวนราก จากนั้นตัวเลขที่เรายกกำลัง n ในขั้นตอนก่อนหน้าจะระบุตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาขั้นตอนนี้ของอัลกอริทึมเมื่อแยกรากที่สองของห้า นำตัวเลข 0, 10, 100, ... มายกกำลังสองจนกระทั่งเราได้ตัวเลขที่มากกว่า 5 เรามี 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 ซึ่งหมายความว่าหลักที่สำคัญที่สุดจะเป็นหลักหน่วย ค่าของบิตนี้และค่าที่ต่ำกว่าจะพบได้ในขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูต

ขั้นตอนที่ตามมาทั้งหมดของอัลกอริธึมมีวัตถุประสงค์เพื่อชี้แจงค่าของรูทตามลำดับโดยการค้นหาค่าของบิตถัดไปของค่ารูทที่ต้องการโดยเริ่มจากค่าสูงสุดและเลื่อนไปที่ค่าต่ำสุด ตัวอย่างเช่น ค่าของรูตในขั้นตอนแรกกลายเป็น 2 ในขั้นตอนที่สอง – 2.2 ในขั้นตอนที่สาม – 2.23 และต่อ ๆ ไปใน 2.236067977… ให้เราอธิบายว่าจะหาค่าของบิตได้อย่างไร

พบตัวเลขโดยการค้นหาผ่านค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., 9 ในกรณีนี้ กำลังที่ n ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องจะถูกคำนวณแบบขนาน และนำไปเปรียบเทียบกับจำนวนราก หากในบางขั้นตอนค่าของระดับเกินจำนวนรากจะถือว่าพบค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าก่อนหน้าและจะเปลี่ยนไปใช้ขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูตหากไม่เกิดขึ้น แล้วค่าของหลักนี้คือ 9

ให้เราอธิบายประเด็นเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างเดียวกันในการแยกรากที่สองของห้า

ก่อนอื่นเราจะหาค่าของหลักหน่วย เราจะผ่านค่า 0, 1, 2, ..., 9 โดยคำนวณ 0 2, 1 2, ..., 9 2 ตามลำดับจนกว่าเราจะได้ค่าที่มากกว่าเลขราก 5 สะดวกในการนำเสนอการคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

ดังนั้นค่าของหลักหน่วยคือ 2 (เนื่องจาก 2 2<5 , а 2 3 >5) มาดูค่าของตำแหน่งในสิบกันดีกว่า. ในกรณีนี้เราจะยกกำลังสองตัวเลข 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 เปรียบเทียบค่าผลลัพธ์กับเลขราก 5:

ตั้งแต่ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 แล้วค่าของตำแหน่งในสิบคือ 2 คุณสามารถดำเนินการค้นหามูลค่าของตำแหน่งที่ร้อยได้:

นี่คือวิธีที่หาค่าถัดไปของรากของห้าได้ ซึ่งก็คือ 2.23 ดังนั้นคุณจึงสามารถค้นหาค่าต่อไปได้: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ในการรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์การแยกรากด้วยความแม่นยำระดับหนึ่งในร้อยโดยใช้อัลกอริธึมที่พิจารณา

ขั้นแรกเรากำหนดตัวเลขที่สำคัญที่สุด ในการทำเช่นนี้ เรายกกำลังสามของตัวเลข 0, 10, 100 เป็นต้น จนเราได้จำนวนที่มากกว่า 2,151,186 เรามี 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 ดังนั้นเลขนัยสำคัญที่สุดคือหลักสิบ

มากำหนดมูลค่าของมันกัน

ตั้งแต่ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 แล้วค่าหลักสิบคือ 1 มาดูหน่วยกันต่อ

ดังนั้น ค่าของหลักหน่วยคือ 2 เรามาต่อกันที่สิบกันดีกว่า

เนื่องจากแม้แต่ 12.9 3 ก็น้อยกว่าเลขราก 2 151.186 ดังนั้นค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 9 ยังคงดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมโดยจะให้ค่าของรูทแก่เราด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ในขั้นตอนนี้ ค่าของรากจะพบว่าแม่นยำถึงหนึ่งในร้อย: .

โดยสรุปของบทความนี้ผมอยากจะบอกว่ามีวิธีอื่นอีกมากมายในการแยกราก แต่สำหรับงานส่วนใหญ่ งานที่เราศึกษาข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

บรรณานุกรม.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

การแปลงนิพจน์ที่มีรากและกำลังมักต้องกลับไปกลับมาระหว่างรากและกำลัง ในบทความนี้ เราจะมาดูกันว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเกิดขึ้นได้อย่างไร อะไรเป็นรากฐานของการเปลี่ยนผ่าน และจุดใดที่เกิดข้อผิดพลาดบ่อยที่สุด เราจะมอบตัวอย่างทั่วไปทั้งหมดนี้พร้อมการวิเคราะห์โซลูชันโดยละเอียด

การนำทางหน้า

การเปลี่ยนจากยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเป็นราก

ความเป็นไปได้ที่จะย้ายจากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนไปยังรูทนั้นถูกกำหนดโดยคำจำกัดความของดีกรีนั้นเอง ลองนึกถึงวิธีการหาค่านี้: กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่ารากที่ n ของ m นั่นคือ โดยที่ a>0 , m∈Z, n∈ N กำลังเศษส่วนของศูนย์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือในกรณีนี้ m จะไม่ถือเป็นจำนวนเต็มอีกต่อไป แต่เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การหารด้วยศูนย์จะไม่เกิดขึ้น

ดังนั้นระดับจึงสามารถถูกแทนที่ด้วยรูทได้เสมอ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถไปจาก ไปยัง และระดับสามารถถูกแทนที่ด้วยรากได้ แต่คุณไม่ควรย้ายจากการแสดงออกไปยังรากเนื่องจากระดับในตอนแรกไม่สมเหตุสมผล (ไม่ได้กำหนดระดับของจำนวนลบ) แม้ว่ารากจะมีความหมายก็ตาม

อย่างที่คุณเห็น การเปลี่ยนจากกำลังของตัวเลขไปเป็นรากนั้นไม่มีอะไรยุ่งยากเลย การเปลี่ยนไปใช้รากของกำลังด้วยเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนซึ่งขึ้นอยู่กับการแสดงออกโดยพลการนั้นดำเนินการในทำนองเดียวกัน โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงนี้ดำเนินการกับ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น การแสดงออก บน ODZ ทั้งหมดของตัวแปร x สำหรับนิพจน์นี้สามารถแทนที่ได้ด้วยรูท - และตั้งแต่ระดับปริญญา ไปที่รูท การแทนที่ดังกล่าวจะเกิดขึ้นสำหรับชุดตัวแปร x, y และ z จาก ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

แทนที่รากด้วยพลัง

การแทนที่แบบย้อนกลับก็เป็นไปได้เช่นกัน กล่าวคือ การแทนที่รากด้วยกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน มันขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันด้วยซึ่งในกรณีนี้จะใช้จากขวาไปซ้ายนั่นคือในรูปแบบ

ในแง่บวก การเปลี่ยนแปลงที่ระบุนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแทนที่ดีกรีด้วย และไปจากรากถึงดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนของรูปแบบ

และสำหรับค่าลบ a ความเท่าเทียมกันไม่สมเหตุสมผล แต่รากยังสมเหตุสมผลอยู่ ตัวอย่างเช่น รากมีเหตุผล แต่ไม่สามารถแทนที่ด้วยพลังได้ เป็นไปได้ไหมที่จะแปลงพวกมันให้เป็นสำนวนที่มีพลัง? เป็นไปได้หากคุณดำเนินการแปลงเบื้องต้น ซึ่งประกอบด้วยการไปที่รากที่มีจำนวนไม่เป็นลบอยู่ข้างใต้ ซึ่งจากนั้นจะถูกแทนที่ด้วยยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน ให้เราแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเหล่านี้คืออะไรและจะดำเนินการอย่างไร

ในกรณีของการรูท คุณสามารถทำการแปลงดังต่อไปนี้: - และเนื่องจาก 4 เป็นจำนวนบวก รากสุดท้ายจึงสามารถแทนที่ด้วยกำลังได้ และในกรณีที่สอง การหารากคี่ของจำนวนลบ−a (โดยที่ a เป็นบวก) แสดงออกมาด้วยความเท่าเทียมกัน ช่วยให้คุณสามารถแทนที่รูทด้วยนิพจน์ที่รากที่สามของทั้งสองสามารถถูกแทนที่ด้วยดีกรีแล้ว และจะอยู่ในรูปแบบ

ยังคงต้องพิจารณาว่ารากที่สำนวนอยู่นั้นถูกแทนที่ด้วยพลังที่มีสำนวนเหล่านี้อยู่ในฐานอย่างไร ไม่จำเป็นต้องรีบแทนที่ด้วย เราใช้ตัวอักษร A เพื่อแสดงถึงสำนวนบางอย่าง เรามายกตัวอย่างเพื่ออธิบายว่าเราหมายถึงอะไร ฉันแค่อยากจะแทนที่รูตด้วยดีกรีตามความเท่าเทียมกัน แต่การแทนที่ดังกล่าวมีความเหมาะสมภายใต้เงื่อนไข x−3≥0 เท่านั้น และสำหรับค่าอื่น ๆ ของตัวแปร x จาก ODZ (เป็นไปตามเงื่อนไข x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

เนื่องจากการใช้สูตรที่ไม่ถูกต้อง จึงมักเกิดข้อผิดพลาดเมื่อย้ายจากรากไปสู่กำลัง ตัวอย่างเช่น ในตำราเรียน มอบหมายงานให้นำเสนอนิพจน์ในรูปกำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะ และให้คำตอบ ซึ่งทำให้เกิดคำถาม เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้ระบุข้อจำกัด b>0 และในตำราเรียนมีการเปลี่ยนแปลงจากการแสดงออก มีแนวโน้มมากที่สุดผ่านการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกที่ไม่ลงตัวต่อไปนี้

ถึงการแสดงออก การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดยังทำให้เกิดคำถาม เนื่องจากจะทำให้ DZ แคบลง

คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: “ เราจะย้ายจากรูทไปสู่กำลังสำหรับค่าตัวแปรทั้งหมดจาก ODZ ได้อย่างไร?” การทดแทนนี้ดำเนินการตามข้อความต่อไปนี้:

ก่อนที่จะพิสูจน์ผลลัพธ์ที่บันทึกไว้ เราจะยกตัวอย่างการใช้งานสำหรับการเปลี่ยนจากรากไปสู่พลัง ก่อนอื่น กลับไปที่นิพจน์ก่อน มันควรจะถูกแทนที่ด้วยไม่ใช่ แต่ด้วย (ในกรณีนี้ m=2 เป็นจำนวนเต็มคู่ n=3 เป็นจำนวนเต็มธรรมชาติ) ตัวอย่างอื่น: .

ตอนนี้เหตุผลที่สัญญาไว้ของผลลัพธ์

เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มคี่ และ n เป็นจำนวนเต็มธรรมชาติคู่ ดังนั้นสำหรับชุดตัวแปรใดๆ จาก ODZ สำหรับนิพจน์ ค่าของนิพจน์ A จะเป็นค่าบวก (ถ้า m<0 ) или неотрицательно (если m>0) นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม .

เรามาดูผลลัพธ์ที่สองกันดีกว่า ให้ m เป็นจำนวนเต็มคี่บวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติคี่ สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรจาก ODZ ซึ่งค่าของนิพจน์ A ไม่เป็นลบ และซึ่งมันเป็นลบ

ผลลัพธ์ต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันสำหรับจำนวนเต็มลบและจำนวนคี่ m และจำนวนเต็มธรรมชาติคี่ n สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรจาก ODZ ซึ่งค่าของนิพจน์ A เป็นบวก และซึ่งมันเป็นลบ

ในที่สุดผลลัพธ์สุดท้าย ให้ m เป็นจำนวนเต็มคู่ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรจาก ODZ ซึ่งค่าของนิพจน์ A เป็นบวก (ถ้า m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), - และซึ่งมันเป็นลบ, . ดังนั้นหาก m เป็นจำนวนเต็มคู่ n คือจำนวนธรรมชาติใด ๆ ดังนั้นสำหรับชุดค่าใด ๆ ของตัวแปรจาก ODZ สำหรับนิพจน์ก็สามารถแทนที่ได้ด้วย

บรรณานุกรม.

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
2. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 11: ทางการศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ย. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. – อ.: การศึกษา, 2552.- 336 หน้า: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.

Excel ใช้ฟังก์ชันในตัวและตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อแยกรากและเพิ่มตัวเลขยกกำลัง ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างของฟังก์ชัน SQRT ใน Excel

ฟังก์ชัน SQRT ในตัวจะส่งกลับค่ารากที่สองที่เป็นบวก ในเมนูฟังก์ชั่น อยู่ภายใต้หมวดคณิตศาสตร์

ไวยากรณ์ของฟังก์ชัน: =ROOT(ตัวเลข)

อาร์กิวเมนต์เดียวที่จำเป็นคือจำนวนบวกที่ฟังก์ชันคำนวณรากที่สอง ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นค่าลบ Excel จะส่งกลับข้อผิดพลาด #NUM!

คุณสามารถระบุค่าเฉพาะหรือการอ้างอิงไปยังเซลล์ที่มีค่าตัวเลขเป็นอาร์กิวเมนต์ได้

ลองดูตัวอย่าง

ฟังก์ชันส่งคืนรากที่สองของตัวเลข 36 อาร์กิวเมนต์เป็นค่าเฉพาะ

ฟังก์ชัน ABS ส่งคืนค่าสัมบูรณ์เป็น -36 การใช้งานช่วยให้เราหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเมื่อแยกรากที่สองของจำนวนลบ

ฟังก์ชันนี้ใช้รากที่สองของผลรวมของ 13 และค่าของเซลล์ C1



ฟังก์ชันการยกกำลังใน Excel

ไวยากรณ์ของฟังก์ชัน: =POWER(ค่า, ตัวเลข) จำเป็นต้องมีข้อโต้แย้งทั้งสอง

Value คือค่าตัวเลขจริงใดๆ ตัวเลขเป็นตัวบ่งชี้ถึงกำลังที่ต้องเพิ่มค่าที่กำหนด

ลองดูตัวอย่าง

ในเซลล์ C2 - ผลลัพธ์ของการยกกำลังสองหมายเลข 10

ฟังก์ชันส่งคืนตัวเลข 100 ยกเป็น 3/4

การยกกำลังโดยใช้ตัวดำเนินการ

หากต้องการเพิ่มตัวเลขยกกำลังใน Excel คุณสามารถใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ “^” หากต้องการเข้าไปให้กด Shift + 6 (พร้อมรูปแบบแป้นพิมพ์ภาษาอังกฤษ)

เพื่อให้ Excel ถือว่าข้อมูลที่ป้อนเป็นสูตร เครื่องหมาย “=” จะถูกวางไว้ก่อน ต่อไปเป็นตัวเลขที่ต้องยกกำลัง และหลังเครื่องหมาย “^” คือค่าของดีกรี

แทนที่จะใช้ค่าใดๆ ของสูตรทางคณิตศาสตร์นี้ คุณสามารถใช้การอ้างอิงเซลล์ที่มีตัวเลขได้

วิธีนี้จะสะดวกถ้าคุณต้องการสร้างค่าหลายค่า

โดยการคัดลอกสูตรไปยังทั้งคอลัมน์ เราได้ผลลัพธ์อย่างรวดเร็วจากการเพิ่มตัวเลขในคอลัมน์ A เป็นกำลังสาม

การแยกรากที่ n

ROOT คือฟังก์ชันรากที่สองใน Excel จะแยกรากของพลังที่ 3, 4 และพลังอื่น ๆ ได้อย่างไร?

เรามาจำกฎทางคณิตศาสตร์ข้อหนึ่งกัน: เพื่อแยกรากที่ n คุณต้องเพิ่มตัวเลขยกกำลัง 1/n

ตัวอย่างเช่น หากต้องการแยกรากที่สาม เราจะยกกำลัง 1/3

ลองใช้สูตรเพื่อแยกรากขององศาต่างๆ ใน ​​Excel

สูตรส่งคืนค่ารากที่สามของตัวเลข 21 หากต้องการยกกำลังเศษส่วน จะใช้ตัวดำเนินการ “^”

ขอแสดงความยินดี: วันนี้เราจะดูที่ราก - หนึ่งในหัวข้อที่น่าเหลือเชื่อที่สุดในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 :)

หลายคนสับสนเกี่ยวกับราก ไม่ใช่เพราะมันซับซ้อน (ซึ่งมีความซับซ้อนมากเกี่ยวกับมัน - คำจำกัดความสองสามข้อและคุณสมบัติอีกสองสามอย่าง) แต่เนื่องจากในตำราเรียนส่วนใหญ่รากถูกกำหนดผ่านป่าที่มีเพียงผู้เขียนหนังสือเรียนเท่านั้น ตนเองก็สามารถเข้าใจงานเขียนนี้ได้ และถึงอย่างนั้นก็มีเพียงวิสกี้ดีๆ สักขวดเท่านั้น :)

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะให้คำจำกัดความของรูทที่ถูกต้องและมีความสามารถมากที่สุด - สิ่งเดียวที่คุณควรจำจริงๆ จากนั้นฉันจะอธิบาย: เหตุใดจึงจำเป็นทั้งหมดนี้และจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

แต่ก่อนอื่น จำประเด็นสำคัญประการหนึ่งที่ผู้รวบรวมตำราเรียนหลายคน "ลืม" ด้วยเหตุผลบางประการ:

รากสามารถเป็นระดับคู่ได้ ($\sqrt(a)$ ที่เราชื่นชอบ เช่นเดียวกับ $\sqrt(a)$ ทุกประเภทและแม้แต่ $\sqrt(a)$) และระดับคี่ (ทุกประเภทของ $\sqrt (ก)$, $\ sqrt(ก)$ ฯลฯ) และคำจำกัดความของรากของดีกรีคี่นั้นค่อนข้างแตกต่างไปจากอันที่เป็นเลขคู่

อาจเป็นไปได้ว่า 95% ของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับรากเหง้าถูกซ่อนอยู่ใน "ค่อนข้างแตกต่าง" นี้ ดังนั้นเรามาทำความเข้าใจคำศัพท์กันให้ชัดเจน:

คำนิยาม. แม้กระทั่งราก nจากจำนวน $a$ เป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ ไม่เป็นลบตัวเลข $b$ เป็นเช่นนั้น $((b)^(n))=a$ และรากที่เป็นคี่ของตัวเลขเดียวกัน $a$ โดยทั่วไปจะเป็นตัวเลข $b$ ใดๆ ที่มีความเท่าเทียมกันเท่ากัน: $((b)^(n))=a$

ไม่ว่าในกรณีใด รูทจะแสดงดังนี้:

\(ก)\]

จำนวน $n$ ในสัญลักษณ์ดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลังราก และจำนวน $a$ เรียกว่านิพจน์ราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ $n=2$ เราจะได้รากที่สอง "ที่ชื่นชอบ" ของเรา (ยังไงก็ตาม นี่คือรากของดีกรีคู่) และสำหรับ $n=3$ เราจะได้รากที่สาม (ดีกรีคี่) ซึ่งก็คือ มักพบในปัญหาและสมการด้วย

ตัวอย่าง. ตัวอย่างคลาสสิกของรากที่สอง:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(จัดแนว)\]

อย่างไรก็ตาม $\sqrt(0)=0$ และ $\sqrt(1)=1$ ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจาก $((0)^(2))=0$ และ $((1)^(2))=1$

รากของคิวบ์ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน - ไม่จำเป็นต้องกลัวมัน:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(จัดแนว)\]

“ตัวอย่างที่แปลกใหม่” สองสามอย่าง:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(จัดแนว)\]

หากคุณไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างระดับคู่และระดับคี่ ให้อ่านคำจำกัดความอีกครั้ง มันสำคัญมาก!

ในระหว่างนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะหนึ่งที่ไม่พึงประสงค์ของราก เนื่องจากเราจำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความที่แยกจากกันสำหรับเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่

ทำไมเราถึงต้องการรากเลย?

หลังจากอ่านคำจำกัดความแล้ว นักเรียนหลายคนจะถามว่า “นักคณิตศาสตร์สูบบุหรี่อะไรเมื่อพวกเขาคิดเรื่องนี้ขึ้นมา” และจริงๆ แล้ว: เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีรากเหล่านี้ทั้งหมด?

เพื่อตอบคำถามนี้ ย้อนกลับไปโรงเรียนประถมกันสักพัก ข้อควรจำ: ในสมัยที่ห่างไกล เมื่อต้นไม้เขียวขจีและเกี๊ยวอร่อยมากขึ้น ความกังวลหลักของเราคือการคูณตัวเลขให้ถูกต้อง ก็ประมาณ "ห้าคูณห้า - ยี่สิบห้า" แค่นั้นเอง แต่คุณสามารถคูณตัวเลขได้ไม่ใช่เป็นคู่ แต่คูณเป็นแฝด สี่เท่า และโดยทั่วไปคือทั้งเซต:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่ประเด็น เคล็ดลับนั้นแตกต่างออกไป นักคณิตศาสตร์เป็นคนเกียจคร้าน ดังนั้นพวกเขาจึงเป็นเรื่องยากลำบากในการเขียนการคูณสิบห้าดังนี้:

นั่นเป็นเหตุผลที่พวกเขาได้รับปริญญา ทำไมไม่เขียนจำนวนปัจจัยเป็นตัวยกแทนสตริงยาวล่ะ บางสิ่งเช่นนี้:

สะดวกมาก! การคำนวณทั้งหมดลดลงอย่างมาก และคุณไม่จำเป็นต้องเปลืองแผ่นหนังและสมุดโน้ตจำนวนมากเพื่อเขียนลงไปถึง 5,183 แผ่น บันทึกนี้เรียกว่ากำลังของตัวเลข พบคุณสมบัติมากมายในนั้น แต่ความสุขกลับกลายเป็นว่ามีอายุสั้น

หลังจากงานเลี้ยงสังสรรค์สุดอลังการ ซึ่งจัดขึ้นเพื่อ "การค้นพบ" องศาเท่านั้น ทันใดนั้นนักคณิตศาสตร์หัวแข็งบางคนก็ถามขึ้นว่า "จะเป็นอย่างไรถ้าเรารู้ระดับของตัวเลขแต่ไม่ทราบตัวเลขนั้นเอง" ทีนี้ หากเรารู้ว่าจำนวน $b$ ยกกำลังที่ 5 ให้ 243 แล้วเราจะเดาได้อย่างไรว่าจำนวน $b$ นั้นเท่ากับเท่าใด

ปัญหานี้กลายเป็นปัญหาระดับโลกมากกว่าที่เห็นในครั้งแรก เพราะปรากฎว่าสำหรับพาวเวอร์ "สำเร็จรูป" ส่วนใหญ่ไม่มีตัวเลข "เริ่มต้น" ดังกล่าว ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\ลูกศรขวา b=3\cdot 3\cdot 3\ลูกศรขวา b=3; \\ & ((b)^(3))=64\ลูกศรขวา b=4\cdot 4\cdot 4\ลูกศรขวา b=4 \\ \end(จัดแนว)\]

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า $((b)^(3))=$50? ปรากฎว่าเราต้องหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง ก็จะได้ 50 แต่จำนวนนี้คืออะไร? มันมากกว่า 3 อย่างชัดเจน เนื่องจาก 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. นั่นคือ ตัวเลขนี้อยู่ระหว่างสามถึงสี่ แต่คุณจะไม่เข้าใจว่ามันเท่ากับอะไร

นี่คือเหตุผลว่าทำไมนักคณิตศาสตร์ถึงมีรากที่ $n$th นี่เป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีการใช้สัญลักษณ์ราก $\sqrt(*)$ เพื่อกำหนดจำนวน $b$ ซึ่งในระดับที่ระบุจะทำให้เราทราบค่าที่ทราบก่อนหน้านี้

\[\sqrt[n](a)=b\ลูกศรขวา ((b)^(n))=a\]

ฉันไม่เถียง: บ่อยครั้งที่รากเหล่านี้คำนวณได้ง่าย - เราเห็นตัวอย่างหลายประการข้างต้น แต่ในกรณีส่วนใหญ่ หากคุณนึกถึงตัวเลขใดๆ ก็ตามแล้วพยายามแยกรากของระดับใดๆ ออกมา คุณจะต้องเจอกับความเลวร้ายอย่างยิ่ง

มีอะไรอยู่! แม้แต่ $\sqrt(2)$ ที่ง่ายที่สุดและคุ้นเคยที่สุดก็ไม่สามารถแสดงในรูปแบบปกติของเราได้ - เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน และถ้าคุณใส่ตัวเลขนี้ลงในเครื่องคิดเลข คุณจะเห็นสิ่งนี้:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

อย่างที่คุณเห็น หลังจากจุดทศนิยมจะมีลำดับตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดซึ่งไม่เป็นไปตามตรรกะใดๆ แน่นอนว่าคุณสามารถปัดเศษตัวเลขนี้เพื่อเปรียบเทียบกับตัวเลขอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น:

\[\sqrt(2)=1.4142...\ประมาณ 1.4 \lt 1.5\]

หรือนี่คืออีกตัวอย่างหนึ่ง:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ประมาณ 1.7 \gt 1.5\]

แต่ประการแรกการปัดเศษทั้งหมดนี้ค่อนข้างหยาบ และประการที่สอง คุณต้องสามารถทำงานกับค่าโดยประมาณได้ ไม่เช่นนั้นคุณจะพบข้อผิดพลาดที่ไม่ชัดเจนมากมาย (โดยวิธีการ ทักษะในการเปรียบเทียบและการปัดเศษจะต้องได้รับการทดสอบในโปรไฟล์ Unified State Examination)

ดังนั้น ในทางคณิตศาสตร์แบบจริงจัง คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีราก - พวกมันเป็นตัวแทนที่เท่ากันของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด $\mathbb(R)$ เช่นเดียวกับเศษส่วนและจำนวนเต็มที่เราคุ้นเคยมานานแล้ว

การไม่สามารถแสดงรากเป็นเศษส่วนของรูปแบบ $\frac(p)(q)$ หมายความว่ารากนี้ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ และไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำ ยกเว้นด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างรากหรือการออกแบบอื่นๆ ที่ออกแบบมาโดยเฉพาะสำหรับสิ่งนี้ (ลอการิทึม ยกกำลัง ขีดจำกัด ฯลฯ) แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

ลองดูตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ที่หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้ว จำนวนอตรรกยะจะยังคงอยู่ในคำตอบ

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ประมาณ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ประมาณ -1.2599... \\ \end(align)\]

โดยธรรมชาติแล้วจากการปรากฏตัวของรูตแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเดาว่าตัวเลขใดจะเกิดขึ้นหลังจุดทศนิยม อย่างไรก็ตาม คุณสามารถไว้วางใจในเครื่องคิดเลขได้ แต่แม้แต่เครื่องคำนวณวันที่ที่ทันสมัยที่สุดก็ยังให้แค่ตัวเลขสองสามหลักแรกของจำนวนอตรรกยะเท่านั้น ดังนั้นจึงถูกต้องกว่ามากถ้าเขียนคำตอบในรูปแบบ $\sqrt(5)$ และ $\sqrt(-2)$

นี่คือเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงถูกประดิษฐ์ขึ้น เพื่อบันทึกคำตอบได้อย่างสะดวก

เหตุใดจึงต้องมีคำจำกัดความสองคำ?

ผู้อ่านที่สนใจอาจสังเกตเห็นแล้วว่ารากที่สองทั้งหมดที่ระบุในตัวอย่างนั้นนำมาจากจำนวนบวก อย่างน้อยก็ตั้งแต่เริ่มต้น แต่รากที่สามสามารถแยกออกจากจำนวนใดก็ได้อย่างใจเย็นไม่ว่าจะเป็นค่าบวกหรือค่าลบ

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? ดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(2))$:

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองให้ค่ารากสองค่า: บวกและลบ

ลองคำนวณ $\sqrt(4)$ โดยใช้กราฟนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เส้นแนวนอน $y=4$ จะถูกวาดบนกราฟ (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง) ซึ่งตัดกับพาราโบลาที่จุดสองจุด: $((x)_(1))=2$ และ $((x )_(2)) =-2$. นี่ค่อนข้างสมเหตุสมผลเนื่องจาก

ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลขแรก - เป็นบวกดังนั้นจึงเป็นราก:

แต่แล้วจะทำอย่างไรกับประเด็นที่สอง? เหมือนสี่มีสองรากพร้อมกันเหรอ? ท้ายที่สุด ถ้าเรายกกำลังสองจำนวน −2 เราก็จะได้ 4 ด้วย ทำไมไม่เขียน $\sqrt(4)=-2$ ล่ะ? แล้วทำไมครูถึงมองกระทู้แบบนี้เหมือนอยากกินเธอล่ะ :)

ปัญหาคือถ้าคุณไม่กำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม รูปสี่เหลี่ยมจะมีรากที่สองสองตัว - บวกและลบ และจำนวนบวกใดๆ ก็จะมีสองตัวด้วย แต่จำนวนลบจะไม่มีรากเลย - เห็นได้จากกราฟเดียวกัน เนื่องจากพาราโบลาไม่เคยตกต่ำกว่าแกน ย, เช่น. ไม่ยอมรับค่าลบ

ปัญหาที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับรากทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่:

1. พูดอย่างเคร่งครัด แต่ละจำนวนบวกจะมีรากสองตัวที่มีเลขชี้กำลังคู่ $n$;
2. จากจำนวนลบ รากที่มีเลขคู่ $n$ จะไม่ถูกแยกออกมาเลย

นั่นคือเหตุผลว่าทำไมในคำจำกัดความรากของระดับเลขคู่ $n$ จึงกำหนดไว้โดยเฉพาะว่าคำตอบต้องเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ นี่คือวิธีที่เรากำจัดความคลุมเครือ

แต่สำหรับ $n$ แปลก ๆ ก็ไม่มีปัญหาดังกล่าว หากต้องการดูสิ่งนี้ ลองดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(3))$:

พาราโบลาลูกบาศก์สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้นรากที่สามจึงสามารถนำมาจากจำนวนใดก็ได้

จากกราฟนี้สามารถสรุปได้สองประการ:

1. กิ่งก้านของลูกบาศก์พาราโบลานั้นแตกต่างจากแบบปกติตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง - ทั้งขึ้นและลง ดังนั้นไม่ว่าเราจะวาดเส้นแนวนอนด้วยความสูงเท่าใด เส้นนี้จะตัดกับกราฟของเราอย่างแน่นอน ดังนั้น คิวบ์รูทจึงสามารถแยกออกจากจำนวนใดๆ ก็ได้เสมอ
2. นอกจากนี้ จุดตัดดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันเสมอ ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคิดว่าหมายเลขใดที่ถือว่าเป็นรากที่ "ถูกต้อง" และหมายเลขใดที่จะเพิกเฉย นั่นคือเหตุผลว่าทำไมการหารากของดีกรีคี่จึงง่ายกว่าการหาดีกรีคู่ (ไม่มีข้อกำหนดสำหรับการไม่ลบ)

น่าเสียดายที่เรื่องง่ายๆ เหล่านี้ไม่ได้อธิบายไว้ในหนังสือเรียนส่วนใหญ่ ในทางกลับกัน สมองของเราเริ่มทะยานขึ้นด้วยรากทางคณิตศาสตร์ทุกประเภทและคุณสมบัติของมัน

ใช่ ฉันไม่เถียง: คุณต้องรู้ด้วยว่ารูตเลขคณิตคืออะไร และฉันจะพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดในบทเรียนแยกต่างหาก วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องนี้ด้วย เพราะถ้าไม่มีความคิดทั้งหมดเกี่ยวกับรากของการคูณ $n$-th ก็จะไม่สมบูรณ์

แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจคำจำกัดความที่ฉันให้ไว้ข้างต้นให้ชัดเจน มิฉะนั้นเนื่องจากคำศัพท์มากมาย ความยุ่งเหยิงดังกล่าวจะเริ่มต้นขึ้นในหัวของคุณซึ่งสุดท้ายแล้วคุณจะไม่เข้าใจอะไรเลย

สิ่งที่คุณต้องทำคือเข้าใจความแตกต่างระหว่างตัวบ่งชี้คู่และคี่ ดังนั้น มารวบรวมทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับรูตอีกครั้ง:

1. รากของดีกรีคู่นั้นมาจากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น และตัวมันเองจะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ สำหรับจำนวนลบ รากดังกล่าวไม่ได้ถูกกำหนดไว้
2. แต่รากของระดับคี่นั้นมาจากจำนวนใดๆ ก็ตามและตัวมันเองสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ สำหรับจำนวนบวกก็จะเป็นค่าบวก และสำหรับจำนวนลบ ตามที่ตัวหมวกบอกเป็นนัย ค่าจะเป็นค่าลบ

มันยากไหม? ไม่ มันไม่ใช่เรื่องยาก ก็เป็นที่ชัดเจน? ใช่ มันชัดเจนมาก! ตอนนี้เราจะมาฝึกการคำนวณกันสักหน่อย

คุณสมบัติพื้นฐานและข้อจำกัด

รากมีคุณสมบัติและข้อจำกัดแปลก ๆ มากมาย ซึ่งจะกล่าวถึงในบทเรียนแยกต่างหาก ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ "เคล็ดลับ" ที่สำคัญที่สุดซึ่งใช้เฉพาะกับรูทที่มีดัชนีคู่เท่านั้น ลองเขียนคุณสมบัตินี้เป็นสูตร:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ซ้าย| x\ขวา|\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเรายกจำนวนขึ้นเป็นกำลังคู่แล้วแยกรากของกำลังเดียวกัน เราจะไม่ได้จำนวนเดิม แต่เป็นโมดูลัสของมัน นี่เป็นทฤษฎีบทง่ายๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย (ก็เพียงพอที่จะพิจารณา $x$ ที่ไม่เป็นลบแยกกัน แล้วแยกกันเป็นลบ) ครูพูดถึงเรื่องนี้อยู่ตลอดเวลาโดยมีอยู่ในตำราเรียนของโรงเรียนทุกเล่ม แต่ทันทีที่ต้องแก้สมการไร้เหตุผล (เช่น สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์) นักเรียนก็ลืมสูตรนี้ไปอย่างเป็นเอกฉันท์

เพื่อให้เข้าใจปัญหาโดยละเอียด เราจะลืมสูตรทั้งหมดสักครู่แล้วลองคำนวณตัวเลขสองตัวตรงๆ กัน:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ คนส่วนใหญ่จะแก้ตัวอย่างแรก แต่หลายๆ คนกลับติดอยู่กับตัวอย่างที่สอง หากต้องการแก้ไขเรื่องไร้สาระโดยไม่มีปัญหา ให้พิจารณาขั้นตอนต่อไปนี้เสมอ:

1. ขั้นแรกให้ยกกำลังสี่ มันเป็นเรื่องง่าย คุณจะได้รับหมายเลขใหม่ที่สามารถพบได้แม้ในตารางสูตรคูณ
2. และตอนนี้จากหมายเลขใหม่นี้จำเป็นต้องแยกรูทที่สี่ออก เหล่านั้น. ไม่มี "การลดลง" ของรากและพลังเกิดขึ้น - สิ่งเหล่านี้เป็นการกระทำตามลำดับ

ลองดูที่นิพจน์แรก: $\sqrt(((3)^(4)))$. แน่นอนว่าคุณต้องคำนวณนิพจน์ใต้รูตก่อน:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

จากนั้นเราก็แยกรากที่สี่ของหมายเลข 81:

ทีนี้ลองทำแบบเดียวกันกับนิพจน์ที่สองกัน ขั้นแรก เรายกเลข −3 ขึ้นเป็นกำลังที่สี่ ซึ่งต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ซ้าย(-3 \ขวา)=81\]

เราได้จำนวนบวกเนื่องจากจำนวน minuses ทั้งหมดของผลิตภัณฑ์คือ 4 และพวกมันทั้งหมดจะหักล้างกัน (เพราะว่าลบสำหรับลบจะให้บวก) จากนั้นเราก็แยกรากอีกครั้ง:

โดยหลักการแล้ว ไม่สามารถเขียนบรรทัดนี้ได้ เนื่องจากไม่ใช่เกมง่ายๆ ที่คำตอบจะเหมือนกัน เหล่านั้น. รากคู่ของพลังเท่ากัน "เผา" minuses และในแง่นี้ผลลัพธ์จึงแยกไม่ออกจากโมดูลปกติ:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \ขวา|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \ขวา|=3. \\ \end(จัดแนว)\]

การคำนวณเหล่านี้สอดคล้องกับคำนิยามรากของดีกรีคู่ โดยผลลัพธ์จะเป็นค่าที่ไม่เป็นลบเสมอ และเครื่องหมายกรณฑ์จะมีจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ มิฉะนั้น รูทจะไม่ได้ถูกกำหนดไว้

หมายเหตุเกี่ยวกับขั้นตอน

1. สัญกรณ์ $\sqrt(((a)^(2)))$ หมายความว่าเราต้องยกกำลังสองตัวเลข $a$ ก่อนแล้วจึงหารากที่สองของค่าผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงมั่นใจได้ว่าจะมีจำนวนที่ไม่เป็นลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากเสมอ เนื่องจาก $((a)^(2))\ge 0$ ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม
2. แต่ในทางกลับกัน สัญกรณ์ $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ หมายความว่าเราหารากของจำนวน $a$ ก่อนแล้วจึงยกกำลังสองผลลัพธ์ ดังนั้นจำนวน $a$ จะเป็นค่าลบไม่ได้ไม่ว่าในกรณีใด นี่เป็นข้อกำหนดบังคับที่รวมอยู่ในคำจำกัดความ

ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใดเราไม่ควรลดรากและองศาโดยไม่ได้ตั้งใจดังนั้นจึงถูกกล่าวหาว่า "ทำให้ง่ายขึ้น" การแสดงออกดั้งเดิม เพราะถ้ามีจำนวนลบอยู่ใต้ราก และเลขชี้กำลังของมันคือเลขคู่ เราจะได้ปัญหามากมาย

อย่างไรก็ตาม ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้คู่เท่านั้น

การลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรูท

โดยธรรมชาติแล้ว รากที่มีเลขชี้กำลังคี่ก็มีลักษณะเฉพาะของตัวเองเช่นกัน ซึ่งโดยหลักการแล้วจะไม่มีเลขคู่เลย กล่าวคือ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

กล่าวโดยย่อ คุณสามารถลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรากของดีกรีคี่ได้ นี่เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากที่ช่วยให้คุณ "ทิ้ง" ข้อเสียทั้งหมด:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6 \end(จัดแนว)\]

คุณสมบัติอย่างง่ายนี้ทำให้การคำนวณหลายอย่างง่ายขึ้นอย่างมาก ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องกังวล: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการแสดงออกเชิงลบถูกซ่อนอยู่ใต้รูท แต่ระดับที่รูทกลับกลายเป็นเท่ากัน? มันก็เพียงพอแล้วที่จะ "โยน" minuses ทั้งหมดที่อยู่นอกรากออกไปหลังจากนั้นก็สามารถคูณซึ่งกันและกันแบ่งและทำสิ่งที่น่าสงสัยมากมายโดยทั่วไปซึ่งในกรณีของราก "คลาสสิก" รับประกันว่าจะนำเราไปสู่ ข้อผิดพลาด

และนี่คือคำจำกัดความอีกประการหนึ่งที่เข้ามาในฉาก - คำเดียวกับที่โรงเรียนส่วนใหญ่เริ่มศึกษาการแสดงออกที่ไม่มีเหตุผล และหากปราศจากเหตุผลของเราก็จะไม่สมบูรณ์ พบกับเรา!

รากเลขคณิต

สมมติว่าใต้เครื่องหมายรูตจะมีได้เฉพาะจำนวนบวกเท่านั้น หรือในกรณีที่รุนแรง อาจเป็นศูนย์ก็ได้ ลืมตัวบ่งชี้คู่/คี่ ลืมคำจำกัดความทั้งหมดที่ให้ไว้ข้างต้น เราจะใช้เฉพาะกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แล้วไงล่ะ?

จากนั้นเราจะได้รากทางคณิตศาสตร์ซึ่งบางส่วนทับซ้อนกับคำจำกัดความ "มาตรฐาน" ของเรา แต่ก็ยังแตกต่างจากคำจำกัดความเหล่านั้น

คำนิยาม. รากเลขคณิตของระดับ $n$th ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ $a$ คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ $b$ โดยที่ $((b)^(n))=a$

ดังที่เราเห็น เราไม่สนใจเรื่องความเท่าเทียมอีกต่อไป ในทางกลับกัน ข้อจำกัดใหม่ปรากฏขึ้น: การแสดงออกที่รุนแรงตอนนี้ไม่เป็นลบเสมอ และรากเองก็ไม่เป็นลบเช่นกัน

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่ารากเลขคณิตแตกต่างจากรากปกติอย่างไร ลองดูกราฟของสแควร์และพาราโบลาลูกบาศก์ที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว:

พื้นที่ค้นหารากเลขคณิต - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบ

อย่างที่คุณเห็น จากนี้ไปเราจะสนใจเฉพาะกราฟที่อยู่ในไตรมาสพิกัดแรกเท่านั้น โดยที่พิกัด $x$ และ $y$ เป็นบวก (หรืออย่างน้อยเป็นศูนย์) คุณไม่จำเป็นต้องดูตัวบ่งชี้อีกต่อไปเพื่อทำความเข้าใจว่าเรามีสิทธิ์ใส่จำนวนลบไว้ใต้รากหรือไม่ เพราะจำนวนติดลบไม่ถือเป็นหลักการอีกต่อไป

คุณอาจถามว่า “ทำไมเราจึงต้องมีคำจำกัดความที่ทำหมันเช่นนี้?” หรือ: “เหตุใดเราจึงใช้คำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ข้างต้นไม่ได้”

ฉันจะให้คุณสมบัติเพียงรายการเดียวเนื่องจากคำจำกัดความใหม่มีความเหมาะสม ตัวอย่างเช่น กฎสำหรับการยกกำลัง:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

โปรดทราบ: เราสามารถยกนิพจน์รากให้เป็นกำลังใดก็ได้และในเวลาเดียวกันก็คูณเลขชี้กำลังรูตด้วยกำลังเดียวกัน - และผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกัน! นี่คือตัวอย่าง:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

แล้วเรื่องใหญ่คืออะไร? ทำไมเราไม่ทำเช่นนี้มาก่อน? นี่คือเหตุผล ลองพิจารณานิพจน์ง่ายๆ: $\sqrt(-2)$ - จำนวนนี้ค่อนข้างปกติในความเข้าใจแบบคลาสสิกของเรา แต่เป็นที่ยอมรับไม่ได้อย่างแน่นอนจากมุมมองของรากเลขคณิต ลองแปลงมันดู:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรกเราลบเครื่องหมายลบออกจากใต้ราก (เรามีสิทธิ์ทุกประการเนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่) และในกรณีที่สองเราใช้สูตรด้านบน เหล่านั้น. จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ทุกอย่างเป็นไปตามกฎเกณฑ์

ว้าย! จำนวนเดียวกันจะเป็นทั้งบวกและลบได้อย่างไร? ไม่มีทาง. เพียงแต่ว่าสูตรสำหรับการยกกำลังซึ่งใช้ได้ผลดีกับจำนวนบวกและศูนย์นั้น เริ่มก่อให้เกิดความบาปโดยสมบูรณ์ในกรณีของจำนวนลบ

เพื่อที่จะกำจัดความคลุมเครือดังกล่าวจึงมีการคิดค้นรากทางคณิตศาสตร์ขึ้นมา มีบทเรียนใหญ่แยกต่างหากสำหรับพวกเขาโดยเราจะพิจารณาคุณสมบัติทั้งหมดอย่างละเอียด ดังนั้นเราจะไม่อยู่กับพวกเขาตอนนี้ - บทเรียนกลายเป็นเรื่องยาวเกินไปแล้ว

รากพีชคณิต: สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม

ฉันคิดอยู่นานว่าจะแยกหัวข้อนี้ออกเป็นย่อหน้าแยกกันหรือไม่ ในที่สุดฉันก็ตัดสินใจทิ้งมันไว้ที่นี่ เนื้อหานี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเข้าใจรากเหง้าที่ดียิ่งขึ้น - ไม่ได้อยู่ในระดับ "โรงเรียน" โดยเฉลี่ยอีกต่อไป แต่อยู่ในระดับที่ใกล้เคียงกับระดับโอลิมปิก

ดังนั้น: นอกเหนือจากคำจำกัดความ "คลาสสิก" ของรากที่ $n$th ของตัวเลขและการหารที่เกี่ยวข้องกันเป็นเลขชี้กำลังคู่และคี่แล้ว ยังมีคำจำกัดความ "ผู้ใหญ่" อีกประเภทหนึ่งที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันและรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ เลย สิ่งนี้เรียกว่ารากพีชคณิต

คำนิยาม. รากพีชคณิต $n$th ของ $a$ ใดๆ คือเซตของตัวเลข $b$ ทั้งหมด โดยที่ $((b)^(n))=a$ ไม่มีการกำหนดไว้สำหรับรากดังกล่าว ดังนั้นเราจะใส่เส้นประไว้ด้านบน:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

ความแตกต่างพื้นฐานจากคำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ตอนต้นบทเรียนก็คือ รากพีชคณิตไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นเซต และเนื่องจากเราทำงานกับจำนวนจริง ชุดนี้จึงมีเพียงสามประเภทเท่านั้น:

1. ชุดเปล่า. เกิดขึ้นเมื่อคุณต้องการค้นหารากพีชคณิตของระดับเลขคู่จากจำนวนลบ
2. ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว รากทั้งหมดของเลขยกกำลังคี่ เช่นเดียวกับรากของเลขยกกำลังคู่ของศูนย์ อยู่ในหมวดหมู่นี้
3. ในที่สุด เซตนี้สามารถมีตัวเลขสองตัวได้ - $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))=-((x)_(1))$ เดียวกันกับที่เราเห็นบน ฟังก์ชันกำลังสองของกราฟ ดังนั้นการจัดเรียงดังกล่าวจึงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อแยกรากของระดับเลขคู่ออกจากจำนวนบวกเท่านั้น

กรณีสุดท้ายสมควรได้รับการพิจารณาโดยละเอียดยิ่งขึ้น ลองนับตัวอย่างสักสองสามตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง

ตัวอย่าง. ประเมินนิพจน์:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

สารละลาย. สำนวนแรกนั้นง่าย:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

มันคือตัวเลขสองตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของเซต เพราะแต่ละอันกำลังสองให้สี่

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ตรงนี้เราเห็นชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว นี่เป็นตรรกะที่ค่อนข้างมาก เนื่องจากเลขชี้กำลังรูทเป็นเลขคี่

สุดท้ายนี้ สำนวนสุดท้าย:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

เราได้รับชุดเปล่า เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงสักตัวเดียวที่เมื่อยกกำลังสี่ (เช่น คู่!) จะทำให้เราได้จำนวนลบ −16

หมายเหตุสุดท้าย โปรดทราบ: ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันสังเกตเห็นทุกที่ที่เราทำงานกับจำนวนจริง เนื่องจากมีตัวเลขเชิงซ้อนด้วย จึงค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะคำนวณ $\sqrt(-16)$ ตรงนั้น และอื่นๆ อีกมากมายที่แปลกประหลาด

อย่างไรก็ตาม จำนวนเชิงซ้อนแทบไม่เคยปรากฏในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนสมัยใหม่เลย พวกเขาถูกลบออกจากตำราเรียนส่วนใหญ่เนื่องจากเจ้าหน้าที่ของเราถือว่าหัวข้อนี้ "ยากเกินกว่าจะเข้าใจ"

นั่นคือทั้งหมดที่ ในบทต่อไป เราจะดูคุณสมบัติที่สำคัญทั้งหมดของราก และสุดท้ายจะเรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว :)

การดำเนินการที่มีอำนาจและราก องศาที่มีลบ ,

ศูนย์และเศษส่วน ตัวบ่งชี้ เกี่ยวกับสำนวนที่ไม่มีความหมาย

การดำเนินงานที่มีองศา

1. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกัน:

เช้า · n = a m + n .

2. เมื่อทำการหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของพวกมัน จะถูกหักออก .

3. ระดับของผลคูณของปัจจัยตั้งแต่สองตัวขึ้นไปจะเท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัยเหล่านี้

(เอบีซี… ) n = n· บีเอ็น · ซีเอ็น…

4. ระดับของอัตราส่วน (เศษส่วน) เท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผล (ตัวเศษ) และตัวหาร (ตัวส่วน):

(มี/ข ) n = ก n / ข n .

5. เมื่อยกกำลังเป็นกำลัง เลขยกกำลังจะถูกคูณ:

(เช้า ) n = a ม n .

สูตรข้างต้นทั้งหมดอ่านและดำเนินการทั้งสองทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่าง (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900/225 = 4 .

การดำเนินการที่มีราก ในสูตรด้านล่างทั้งหมดจะมีสัญลักษณ์ วิธี รากเลขคณิต(การแสดงออกที่รุนแรงเป็นบวก)

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการมีค่าเท่ากับผลคูณ รากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของรากของเงินปันผลและตัวหาร:

3. เมื่อหยั่งรากไปสู่พลัง ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มพลังนี้ เลขฐาน:

4. หากเราเพิ่มระดับของรากเข้าไปม ยกให้เป็นม ยกกำลัง th เป็นจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5. ถ้าเราลดระดับของรากลงไปม แยกรากออกครั้งเดียวและในเวลาเดียวกันม ยกกำลังของจำนวนราก แล้วค่าของรากจะไม่ใช่จะเปลี่ยน:

การขยายแนวคิดเรื่องปริญญา จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณาองศาด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้นแต่การกระทำด้วย องศาและรากยังสามารถนำไปสู่ เชิงลบ, ศูนย์และ เศษส่วนตัวชี้วัด เลขชี้กำลังทั้งหมดนี้จำเป็นต้องมีคำจำกัดความเพิ่มเติม

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ กำลังของเลขคตัวใดตัวหนึ่ง เลขชี้กำลังลบ (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งหาร ด้วยกำลังของจำนวนเดียวกันโดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ตัวบ่งชี้เชิงลบ:

ตตอนนี้เป็นสูตร เช้า: หนึ่ง= เช้า - n สามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับม, มากกว่า nแต่ยังมี ม, น้อยกว่า n .

ตัวอย่าง ก 4 :ก 7 =ก 4 - 7 =ก - 3 .

หากเราต้องการสูตรเช้า : หนึ่ง= เช้า - nยุติธรรมเมื่อใดม. = น, เราต้องการคำจำกัดความของดีกรีศูนย์

องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์ กำลังของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังคือ 1

ตัวอย่าง. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เพื่อเพิ่มจำนวนจริงและกำลัง m/n คุณต้องแยกรากออกกำลังที่ n ของ m - ยกกำลังของเลขนี้ตอบ :

เกี่ยวกับสำนวนที่ไม่มีความหมาย มีสำนวนดังกล่าวหลายประการหมายเลขใดก็ได้

ที่จริง ถ้าเราสมมุติว่านิพจน์นี้เท่ากับตัวเลขจำนวนหนึ่ง xจากนั้นตามคำจำกัดความของการดำเนินการหารเรามี: 0 = 0 · x- แต่ความเท่าเทียมกันนี้เกิดขึ้นเมื่อ จำนวน x ใดๆซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

กรณีที่ 3

0 0 - หมายเลขใดก็ได้

จริงหรือ,

วิธีแก้ปัญหา ลองพิจารณาสามกรณีหลัก:

1) x = 0 – ค่านี้ไม่เป็นไปตามสมการนี้

(ทำไม?).

2) เมื่อใด x> 0 เราได้รับ: เอ็กซ์/เอ็กซ์ = 1 เช่น 1 = 1 ซึ่งหมายความว่า

อะไร x– หมายเลขใด ๆ แต่คำนึงถึงว่าใน

ในกรณีของเรา x> 0 คำตอบคือx > 0 ;

3) เมื่อใด x < 0 получаем: – เอ็กซ์/เอ็กซ์= 1 เช่น อี - –1 = 1 ดังนั้น

ในกรณีนี้ไม่มีวิธีแก้ไข

ดังนั้น, x > 0.