กำหนดจำนวนบวกและลบ จำนวนบวกและลบ

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

การแนะนำ

โลกแห่งตัวเลขนั้นลึกลับและน่าสนใจมาก ตัวเลขมีความสำคัญมากในโลกของเรา ฉันต้องการเรียนรู้ให้มากที่สุดเกี่ยวกับที่มาของตัวเลขและความหมายในชีวิตของเรา จะใช้อย่างไรและมีบทบาทอย่างไรในชีวิตของเรา?

ปีที่แล้วในบทเรียนคณิตศาสตร์เราเริ่มศึกษาหัวข้อ "เชิงบวกและ ตัวเลขติดลบ- ฉันมีคำถาม: ตัวเลขติดลบปรากฏขึ้นเมื่อใด ในประเทศใด ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ได้ศึกษาปัญหานี้ ฉันอ่านในวิกิพีเดียว่าจำนวนลบเป็นองค์ประกอบของเซตของจำนวนลบ ซึ่ง (รวมศูนย์ด้วย) ปรากฏในคณิตศาสตร์เมื่อขยายเซต ตัวเลขธรรมชาติ- จุดประสงค์ของการขยายคือเพื่อให้สามารถดำเนินการลบกับจำนวนใดๆ ก็ได้ จากผลของการขยายตัว จะได้ชุด (วงแหวน) ของจำนวนเต็ม ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขบวก (ธรรมชาติ) ตัวเลขลบ และศูนย์

ด้วยเหตุนี้ ฉันจึงตัดสินใจสำรวจประวัติความเป็นมาของจำนวนลบ

งานนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของจำนวนลบและจำนวนบวก

วัตถุประสงค์ของการศึกษาคือจำนวนลบและ ตัวเลขบวก

ประวัติความเป็นมาของจำนวนบวกและลบ

ผู้คนใช้เวลานานกว่าจะคุ้นเคยกับตัวเลขติดลบ ตัวเลขติดลบดูเหมือนจะเข้าใจยากสำหรับพวกเขา พวกเขาไม่ได้ใช้มัน พวกเขาแค่ไม่เห็นมัน ความหมายพิเศษ- ตัวเลขเหล่านี้ปรากฏช้ากว่าจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนสามัญมาก

ข้อมูลแรกเกี่ยวกับจำนวนลบถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีนในศตวรรษที่ 2 พ.ศ จ. และถึงอย่างนั้นก็รู้เพียงกฎสำหรับการบวกและการลบจำนวนบวกและลบเท่านั้น กฎการคูณและการหารใช้ไม่ได้

ปริมาณที่เป็นบวกในคณิตศาสตร์จีนเรียกว่า "เฉิน" ส่วนเชิงลบคือ "ฟู" มีการแสดงเป็นสีต่างๆ: "เฉิน" - แดง, "ฟู" - ดำ สามารถดูได้ในหนังสือ “เลขคณิตในเก้าบท” (ผู้เขียน Zhang Can) วิธีการพรรณนานี้ใช้ในประเทศจีนจนถึงกลางศตวรรษที่ 12 จนกระทั่งหลี่เย่เสนอการกำหนดจำนวนลบที่สะดวกกว่า - ตัวเลขที่แสดงจำนวนลบจะถูกขีดฆ่าด้วยเส้นทแยงมุมจากขวาไปซ้าย

เฉพาะในศตวรรษที่ 7 เท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเริ่มใช้ตัวเลขติดลบอย่างกว้างขวาง แต่ก็ปฏิบัติต่อตัวเลขเหล่านี้ด้วยความไม่ไว้วางใจอยู่บ้าง Bhaskhara เขียนโดยตรงว่า: “ผู้คนไม่เห็นด้วยกับจำนวนลบเชิงนามธรรม…” นี่คือวิธีที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Brahmagupta กำหนดกฎของการบวกและการลบ: "ทรัพย์สินและทรัพย์สินคือทรัพย์สิน ผลรวมของหนี้ทั้งสองคือหนี้ ผลรวมของทรัพย์สินและศูนย์คือทรัพย์สิน ผลรวมของศูนย์สองตัวคือศูนย์... หนี้ซึ่งลบออกจากศูนย์จะกลายเป็นทรัพย์สิน และทรัพย์สินกลายเป็นหนี้ ถ้าจำเป็นต้องริบทรัพย์สินจากหนี้ และหนี้จากทรัพย์สิน ก็เอาเงินก้อนนั้นไป” “ผลรวมของทรัพย์สินทั้งสองคือทรัพย์สิน”

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

ชาวอินเดียเรียกเลขบวกว่า dhana หรือ sva (ทรัพย์สิน) และเลขลบว่า rina หรือ kshaya (หนี้) นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียที่พยายามค้นหาตัวอย่างของการลบดังกล่าวในชีวิต ได้ตีความมันจากมุมมองของการคำนวณทางการค้า หากพ่อค้ามีเงิน 5,000 รูเบิล และซื้อสินค้าในราคา 3,000 รูเบิล เขาเหลือ 5,000 - 3,000 = 2,000 รูเบิล หากเขามี 3,000 รูเบิล แต่ซื้อ 5,000 รูเบิล เขายังคงเป็นหนี้ 2,000 รูเบิล ตามนี้เชื่อกันว่าที่นี่มีการลบ 3,000 - 5,000 ผลลัพธ์คือตัวเลข 2,000 โดยมีจุดอยู่ด้านบนหมายถึง "หนี้สองพัน" การตีความก็คือ ตัวละครเทียมพ่อค้าไม่เคยพบจำนวนหนี้โดยลบ 3,000 - 5,000 แต่ลบ 5,000 - 3,000 เสมอ

เข้ามาอีกหน่อย. อินเดียโบราณและจีนพวกเขาเดาว่าแทนที่จะใช้คำว่า "หนี้ 10 หยวน" พวกเขาควรเขียนเพียง "10 หยวน" แต่วาดอักษรอียิปต์โบราณเหล่านี้ด้วยหมึกสีดำ และในสมัยโบราณไม่มีเครื่องหมาย "+" และ "-" สำหรับตัวเลขหรือการกระทำ

ชาวกรีกก็ไม่ได้ใช้สัญลักษณ์ในตอนแรกเช่นกัน นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ไดโอแฟนทัส ไม่รู้จักจำนวนลบเลย และหากเขาได้แก้สมการแล้ว รากที่เป็นลบจากนั้นจึงละทิ้งไปว่า "ไม่พร้อมใช้งาน" และไดโอแฟนทัสพยายามกำหนดปัญหาและเขียนสมการเพื่อหลีกเลี่ยงรากที่เป็นลบ แต่ในไม่ช้า ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียก็เริ่มแสดงการลบด้วยเครื่องหมาย

กฎสำหรับจัดการกับจำนวนบวกและลบถูกเสนอไว้แล้วในศตวรรษที่ 3 ในอียิปต์ การแนะนำปริมาณที่เป็นลบเกิดขึ้นครั้งแรกกับไดโอแฟนทัส เขายังใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับพวกเขาด้วยซ้ำ ในเวลาเดียวกัน ไดโอแฟนทัสใช้อุปมาอุปไมยเช่น "ให้เราบวกค่าลบทั้งสองด้าน" และยังกำหนดกฎของสัญญาณ: "ค่าลบคูณด้วยค่าลบจะให้ค่าบวก ในขณะที่ค่าลบคูณด้วยค่าบวกจะให้ เชิงลบ”

ในยุโรป ตัวเลขติดลบเริ่มใช้ตั้งแต่ศตวรรษที่ 12-13 แต่ยังไม่ถึงศตวรรษที่ 16 นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ถือว่าพวกเขา "เท็จ" "จินตนาการ" หรือ "ไร้สาระ" ตรงกันข้ามกับจำนวนบวก - "จริง" ตัวเลขที่เป็นบวกยังถูกตีความว่าเป็น “ทรัพย์สิน” และตัวเลขที่ติดลบคือ “หนี้สิน” “การขาดแคลน” แม้แต่นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง แบลส ปาสคาล ยังแย้งว่า 0 − 4 = 0 เนื่องจากไม่มีอะไรจะน้อยกว่าไม่มีอะไรเลย ในยุโรป แนวคิดเรื่องปริมาณลบเข้ามาค่อนข้างใกล้เข้ามา ต้นศตวรรษที่สิบสามศตวรรษ เลโอนาร์โด ฟีโบนักชีแห่งเมืองปิซา ในการแข่งขันการแก้ปัญหากับนักคณิตศาสตร์ในศาลของ Frederick II นั้น Leonardo of Pisa ถูกขอให้แก้ปัญหา: จำเป็นต้องค้นหาเมืองหลวงของบุคคลหลายคน ฟีโบนัชชีที่ได้รับ ค่าลบ- “กรณีนี้” ฟีโบนัชชีกล่าว “เป็นไปไม่ได้ เว้นแต่เราจะยอมรับว่าไม่มีเงินทุน แต่เป็นหนี้” อย่างไรก็ตาม ตัวเลขติดลบถูกใช้ครั้งแรกอย่างชัดเจนในช่วงปลายศตวรรษที่ 15 โดย Chuquet นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ผู้เขียนบทความที่เขียนด้วยลายมือเกี่ยวกับเลขคณิตและพีชคณิต “ศาสตร์แห่งตัวเลขใน” สามส่วน- สัญลักษณ์ของ Shuque ใกล้เคียงกับความทันสมัย

การรับรู้จำนวนลบได้รับการอำนวยความสะดวกโดยผลงานของนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส เรอเน เดการ์ต เขาเสนอการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบ - เขาแนะนำเส้นพิกัด (1637)

ตัวเลขบวกจะแสดงบนแกนตัวเลขโดยจุดที่อยู่ทางด้านขวาของจุดเริ่มต้น 0 ตัวเลขลบ - ไปทางซ้าย การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบมีส่วนทำให้จดจำได้

ในปี 1544 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันมิคาอิล สตีเฟลเป็นคนแรกที่ถือว่าจำนวนลบเป็นจำนวนที่น้อยกว่าศูนย์ (เช่น "น้อยกว่าไม่มีเลย") จากจุดนี้ไป ตัวเลขติดลบจะไม่ถูกมองว่าเป็นหนี้อีกต่อไป แต่ถือเป็นรูปแบบใหม่โดยสิ้นเชิง สตีเฟลเขียนเองว่า “ศูนย์อยู่ระหว่างตัวเลขจริงและตัวเลขไร้สาระ...”

เกือบจะพร้อมกันกับ Stiefel แนวคิดเรื่องตัวเลขติดลบได้รับการปกป้องโดย Bombelli Raffaele (ประมาณปี 1530-1572) นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวอิตาลีผู้ค้นพบผลงานของ Diophantus อีกครั้ง

ในทำนองเดียวกัน จิราร์ดถือว่าจำนวนลบเป็นที่ยอมรับและมีประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อบ่งชี้ถึงการขาดบางสิ่งบางอย่าง

นักฟิสิกส์ทุกคนเกี่ยวข้องกับตัวเลขอยู่ตลอดเวลา เขามักจะวัด คำนวณ และคำนวณบางอย่างอยู่เสมอ ทุกที่ในเอกสารของเขามีตัวเลข ตัวเลข และตัวเลข หากคุณดูบันทึกของนักฟิสิกส์อย่างใกล้ชิด คุณจะพบว่าเมื่อเขียนตัวเลข เขามักจะใช้เครื่องหมาย "+" และ "-" (เช่น เทอร์โมมิเตอร์ สเกลความลึกและความสูง)

เฉพาะใน ต้น XIXวี. ทฤษฎีจำนวนลบได้เสร็จสิ้นการพัฒนา และ "จำนวนไร้สาระ" ได้รับการยอมรับในระดับสากล

คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องจำนวน

ใน โลกสมัยใหม่ผู้คนใช้ตัวเลขอยู่ตลอดเวลาโดยไม่ได้คำนึงถึงที่มาของมันด้วยซ้ำ หากไม่มีความรู้ในอดีตก็ไม่สามารถเข้าใจปัจจุบันได้ ตัวเลขเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ แนวคิดเรื่องจำนวนที่พัฒนาขึ้นโดยเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการศึกษาปริมาณ การเชื่อมต่อนี้ยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ในทุกส่วน คณิตศาสตร์สมัยใหม่ต้องพิจารณา ขนาดที่แตกต่างกันและใช้ตัวเลข ตัวเลขเป็นนามธรรมที่ใช้ ลักษณะเชิงปริมาณวัตถุ กลับปรากฏตัวขึ้นแล้ว สังคมดึกดำบรรพ์จากความต้องการในการนับ แนวคิดเรื่องจำนวนได้เปลี่ยนแปลงและเพิ่มคุณค่าและกลายเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด

มีอยู่ จำนวนมากคำจำกัดความของแนวคิด "ตัวเลข"

อันดับแรก คำจำกัดความทางวิทยาศาสตร์ยุคลิดให้ตัวเลขในองค์ประกอบของเขาซึ่งเห็นได้ชัดว่าเขาได้รับสืบทอดมาจาก Eudoxus แห่ง Cnidus เพื่อนร่วมชาติของเขา (ประมาณ 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล): "หน่วยคือตามที่แต่ละสิ่งที่มีอยู่เรียกว่าหนึ่ง . ตัวเลขคือชุดที่ประกอบด้วยหน่วย” นี่คือวิธีที่ Magnitsky นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียให้คำจำกัดความแนวคิดเรื่องตัวเลขไว้ใน "เลขคณิต" ของเขา (1703) อริสโตเติลให้คำจำกัดความต่อไปนี้แม้จะเร็วกว่ายุคลิด: “ตัวเลขคือเซตที่วัดโดยใช้หน่วย” ใน “เลขคณิตทั่วไป” ของเขา (1707) ผู้ยิ่งใหญ่ นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษช่างเครื่อง นักดาราศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ ไอแซก นิวตัน เขียนว่า “ตามจำนวนแล้ว เราหมายถึงชุดของหน่วยไม่มากนัก แต่เป็นความสัมพันธ์เชิงนามธรรมของปริมาณหนึ่งกับปริมาณอีกจำนวนหนึ่งที่เป็นชนิดเดียวกันซึ่งถือเป็นหน่วย ตัวเลขมีสามประเภท: จำนวนเต็ม เศษส่วน และจำนวนตรรกยะ จำนวนเต็มคือสิ่งที่วัดด้วยหนึ่ง เศษส่วนคือผลคูณของหนึ่ง ส่วนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่สมส่วนกับหนึ่ง”

นักคณิตศาสตร์ Mariupol S.F. Klyuykov ยังมีส่วนทำให้คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องตัวเลข: “ตัวเลขคือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โลกแห่งความเป็นจริงมนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นเพื่อความรู้ของเขา” นอกจากนี้เขายังได้นำสิ่งที่เรียกว่า "จำนวนเชิงฟังก์ชัน" มาใช้ในการจำแนกตัวเลขแบบเดิมๆ ซึ่งหมายถึงสิ่งที่มักเรียกว่าฟังก์ชันทั่วโลก

จำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นเมื่อนับวัตถุ ฉันเรียนเรื่องนี้ตอนป.5 จากนั้น ฉันได้เรียนรู้ว่าความต้องการของมนุษย์ในการวัดปริมาณไม่ได้แสดงเป็นจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากขยายชุดของจำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วน ก็เป็นไปได้ที่จะหารจำนวนเต็มใดๆ ด้วยจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์) ปรากฏขึ้น ตัวเลขเศษส่วน- ลบจำนวนเต็มจากจำนวนเต็มอื่นเมื่อค่าที่ลบออกมากกว่าค่าลบ เป็นเวลานานดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ สิ่งที่น่าสนใจสำหรับฉันคือความจริงที่ว่า เป็นเวลานานแล้วที่นักคณิตศาสตร์หลายคนไม่รู้จักจำนวนลบ โดยเชื่อว่าตัวเลขเหล่านั้นไม่สอดคล้องกับปรากฏการณ์จริงใดๆ

ที่มาของคำว่าบวกและลบ

เงื่อนไขมาจากคำว่าบวก - "มากกว่า" ลบ - "น้อยกว่า" ในตอนแรกการกระทำจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวแรก p; ม. นักคณิตศาสตร์หลายคนชอบหรือเกิดใหม่ สัญญาณที่ทันสมัย“+”, “-” ไม่ชัดเจนทั้งหมด เครื่องหมาย “+” อาจมาจากตัวย่อ เช่น "และ". อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นจากแนวทางปฏิบัติทางการค้า: ปริมาณไวน์ที่ขายได้มีเครื่องหมาย "-" บนถัง และเมื่อมีการคืนสต็อกไวน์ ก็ถูกขีดฆ่า ส่งผลให้มีเครื่องหมาย "+"

ในอิตาลี ผู้ให้กู้เงินเมื่อให้ยืมเงินให้ใส่จำนวนหนี้และขีดหน้าชื่อลูกหนี้เช่นเครื่องหมายลบของเราและเมื่อลูกหนี้คืนเงินให้พวกเขาก็ขีดฆ่ามันกลับกลายเป็นว่าเป็นบวกของเรา

เครื่องหมาย “+” สมัยใหม่ปรากฏในเยอรมนีในช่วงทศวรรษสุดท้ายของศตวรรษที่ 15 ในหนังสือของวิดมันน์ซึ่งเป็นคู่มือการนับพ่อค้า (ค.ศ. 1489) ยาน วิดมาน ชาวเช็กได้เขียน "+" และ "-" ไว้สำหรับการบวกและการลบแล้ว

หลังจากนั้นไม่นาน Michel Stiefel นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันก็เขียน "Complete Arithmetic" ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1544 ประกอบด้วยรายการตัวเลขต่อไปนี้: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. เขาเรียกตัวเลขประเภทแรกว่า “น้อยกว่าไม่มีอะไร” หรือ “ต่ำกว่าไม่มีอะไรเลย” เขาเรียกตัวเลขประเภทที่สองว่า “มากกว่าไม่มีอะไร” หรือ “สูงกว่าไม่มีอะไรเลย” แน่นอน คุณเข้าใจชื่อเหล่านี้ เพราะ "ไม่มีอะไร" คือ 0

ตัวเลขติดลบในอียิปต์

อย่างไรก็ตาม แม้จะมีข้อสงสัยดังกล่าว แต่ก็มีการเสนอกฎสำหรับการดำเนินการด้วยจำนวนบวกและลบในศตวรรษที่ 3 ในอียิปต์ การแนะนำปริมาณที่เป็นลบเกิดขึ้นครั้งแรกกับไดโอแฟนทัส เขายังใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับพวกเขาด้วยซ้ำ (ปัจจุบันเราใช้เครื่องหมายลบเพื่อจุดประสงค์นี้) จริงอยู่ นักวิทยาศาสตร์โต้แย้งว่าสัญลักษณ์ของไดโอแฟนตัสหมายถึงจำนวนลบหรือเพียงการดำเนินการลบ เพราะในจำนวนลบของไดโอแฟนตัสไม่ได้เกิดขึ้นอย่างโดดเดี่ยว แต่อยู่ในรูปแบบของความแตกต่างเชิงบวกเท่านั้น และเขาถือว่าเฉพาะจำนวนบวกที่เป็นเหตุผลเป็นคำตอบของปัญหา แต่ในเวลาเดียวกัน ไดโอแฟนทัสใช้อุปมาอุปไมยเช่น "ให้เราบวกค่าลบทั้งสองด้าน" และยังกำหนดกฎของสัญญาณ: "ค่าลบคูณด้วยค่าลบจะได้ค่าบวก ในขณะที่ค่าลบคูณด้วยค่าบวก ให้ค่าลบ” (นั่นคือ ซึ่งปัจจุบันมีการกำหนดสูตรไว้แล้ว: “ลบทีละลบให้บวก ลบด้วยบวกให้ลบ”)

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

ตัวเลขติดลบในเอเชียโบราณ

ในคณิตศาสตร์จีน ปริมาณบวกเรียกว่า “เฉิน” ปริมาณลบเรียกว่า “ฟู” มีการแสดงเป็นสีต่างๆ: "เฉิน" - แดง, "ฟู" - ดำ วิธีการพรรณนานี้ใช้ในประเทศจีนจนถึงกลางศตวรรษที่ 12 จนกระทั่งหลี่เย่เสนอการกำหนดจำนวนลบที่สะดวกกว่า - ตัวเลขที่แสดงจำนวนลบจะถูกขีดฆ่าด้วยเส้นทแยงมุมจากขวาไปซ้าย นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียที่พยายามค้นหาตัวอย่างของการลบดังกล่าวในชีวิต ได้ตีความมันจากมุมมองของการคำนวณทางการค้า

หากพ่อค้ามีเงิน 5,000 รูเบิล และซื้อสินค้าในราคา 3,000 รูเบิล เขาเหลือ 5,000 - 3,000 = 2,000 รูเบิล หากเขามี 3,000 รูเบิล แต่ซื้อ 5,000 รูเบิล เขายังคงเป็นหนี้ 2,000 รูเบิล ตามนี้เชื่อกันว่าที่นี่มีการลบ 3,000 - 5,000 ผลลัพธ์คือตัวเลข 2,000 โดยมีจุดอยู่ด้านบนหมายถึง "หนี้สองพัน"

การตีความนี้เป็นของปลอมพ่อค้าไม่เคยพบจำนวนหนี้ด้วยการลบ 3,000 - 5,000 แต่จะลบ 5,000 - 3,000 เสมอ นอกจากนี้บนพื้นฐานนี้เป็นไปได้ที่จะอธิบายกฎการบวกและการลบ "ตัวเลข" เท่านั้น ด้วยจุด” แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายกฎของการคูณหรือการหาร

ในศตวรรษที่ 5-6 ตัวเลขติดลบปรากฏขึ้นและแพร่หลายมากในคณิตศาสตร์อินเดีย ในอินเดีย มีการใช้จำนวนลบอย่างเป็นระบบ เช่นเดียวกับที่เราทำอยู่ตอนนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียใช้จำนวนลบมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 n. AD: พระพรหมคุปต์เป็นผู้กำหนดกฎเกณฑ์ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกเขา ในงานของเขาเราอ่านว่า: “ทรัพย์สินและทรัพย์สินก็คือทรัพย์สิน ผลรวมของหนี้สองอย่างคือหนี้ ผลรวมของทรัพย์สินและศูนย์คือทรัพย์สิน ผลรวมของศูนย์สองตัวคือศูนย์... หนี้ซึ่งลบออกจากศูนย์จะกลายเป็นทรัพย์สิน และทรัพย์สินกลายเป็นหนี้ ถ้าจำเป็นต้องเอาทรัพย์สินไปจากหนี้ และเอาหนี้ไปจากทรัพย์สิน ก็เอาเงินไป”

ชาวอินเดียเรียกเลขบวกว่า dhana หรือ sva (ทรัพย์สิน) และเลขลบว่า rina หรือ kshaya (หนี้) อย่างไรก็ตาม ในอินเดียมีปัญหาในการทำความเข้าใจและยอมรับตัวเลขติดลบ

ตัวเลขติดลบในยุโรป

นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปไม่เห็นด้วยกับสิ่งเหล่านี้มาเป็นเวลานานเนื่องจากการตีความ "ทรัพย์สิน - หนี้" ทำให้เกิดความสับสนและความสงสัย อันที่จริง ทรัพย์สินและหนี้สินจะ “บวก” หรือ “ลบ” ทรัพย์สินและหนี้ได้อย่างไร ทรัพย์สิน “ทวีคูณ” หรือ “แบ่ง” ทรัพย์สินด้วยหนี้มีความหมายที่แท้จริงอย่างไร? (G.I. Glazer, ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในโรงเรียนเกรด IV-VI. มอสโก, Prosveshchenie, 1981)

นั่นคือสาเหตุที่จำนวนลบเข้ามาแทนที่ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยความยากลำบากอย่างยิ่ง ในยุโรป เลโอนาร์โด ฟีโบนักชีแห่งปิซาค่อนข้างใกล้เคียงกับแนวคิดเรื่องปริมาณลบเมื่อต้นศตวรรษที่ 13 แต่ชูเกต์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสใช้ตัวเลขลบอย่างชัดเจนเป็นครั้งแรกในช่วงปลายศตวรรษที่ 15 ผู้เขียนบทความที่เขียนด้วยลายมือเกี่ยวกับเลขคณิตและพีชคณิต “ศาสตร์แห่งตัวเลขในสามส่วน” สัญลักษณ์ Shuquet กำลังเข้าใกล้สมัยใหม่ (พจนานุกรมสารานุกรมทางคณิตศาสตร์ M. , สารานุกรมโซเวียต, 1988)

การตีความตัวเลขลบสมัยใหม่

ในปี ค.ศ. 1544 Michael Stiefel นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ถือว่าตัวเลขติดลบเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าศูนย์เป็นครั้งแรก (เช่น "น้อยกว่าไม่มีเลย") จากจุดนี้ไป ตัวเลขติดลบจะไม่ถูกมองว่าเป็นหนี้อีกต่อไป แต่ถือเป็นรูปแบบใหม่โดยสิ้นเชิง สตีเฟลเขียนเองว่า “ศูนย์อยู่ระหว่างตัวเลขจริงและตัวเลขไร้สาระ…” (G.I. Glazer, History of Mathematics in School Grade IV-VI. Moscow, Prosveshchenie, 1981)

หลังจากนั้น Stiefel ทุ่มเทงานของเขาให้กับวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด ซึ่งเขาเป็นอัจฉริยะที่เรียนรู้ด้วยตนเอง ครั้งแรกในยุโรปหลังจาก Nicola Chuquet เริ่มทำงานด้วยตัวเลขติดลบ

เรอเน เดส์การตส์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังใน "เรขาคณิต" (1637) อธิบายการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบ จำนวนบวกจะแสดงบนแกนตัวเลขโดยจุดที่อยู่ทางด้านขวาของจุดเริ่มต้น 0 ตัวเลขลบ - ไปทางซ้าย การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบทำให้เข้าใจธรรมชาติของจำนวนลบได้ชัดเจนขึ้น และมีส่วนช่วยในการจดจำตัวเลขเหล่านั้น

เกือบจะพร้อมกันกับ Stiefel แนวคิดเรื่องตัวเลขติดลบได้รับการปกป้องโดย R. Bombelli Raffaele (ประมาณปี 1530-1572) นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวอิตาลีผู้ค้นพบผลงานของ Diophantus อีกครั้ง

ในทางกลับกัน บอมเบลลีและจิราร์ดถือว่าจำนวนลบเป็นที่ยอมรับและมีประโยชน์ โดยเฉพาะในการบ่งชี้ว่าขาดบางสิ่งบางอย่าง การกำหนดสมัยใหม่สำหรับจำนวนบวกและลบที่มีเครื่องหมาย “+” และ “-” ถูกใช้โดย Widmann นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน สำนวน "ต่ำกว่าไม่มีอะไรเลย" แสดงให้เห็นว่าสตีเฟลและคนอื่นๆ คิดในใจว่าตัวเลขบวกและลบเป็นจุดบนสเกลแนวตั้ง (เช่น สเกลเทอร์โมมิเตอร์) จากนั้นได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ A. Girard แนวคิดเรื่องจำนวนลบเป็นจุดบนเส้นหนึ่งซึ่งอยู่อีกด้านหนึ่งของศูนย์มากกว่าจำนวนบวกกลายเป็นสิ่งที่ชี้ขาดในการให้สิทธิการเป็นพลเมืองแก่ตัวเลขเหล่านี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฐานะ ผลการพัฒนาวิธีพิกัดโดย P. Fermat และ R. Descartes

บทสรุป

ในงานของฉัน ฉันได้ศึกษาประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของจำนวนลบ ในระหว่างการวิจัย ฉันสรุปว่า:

วิทยาศาสตร์สมัยใหม่ต้องเผชิญกับธรรมชาติที่ซับซ้อนมากมายจนต้องศึกษาตัวเลขเหล่านี้จึงจำเป็นต้องประดิษฐ์ตัวเลขประเภทใหม่ขึ้นมา

เมื่อแนะนำตัวเลขใหม่ คุ้มค่ามากมีสองสถานการณ์:

ก) กฎการดำเนินการเหนือสิ่งเหล่านั้นจะต้องถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์และไม่นำไปสู่ความขัดแย้ง

b) ระบบตัวเลขใหม่ควรช่วยแก้ไขปัญหาใหม่หรือปรับปรุงวิธีแก้ปัญหาที่ทราบอยู่แล้ว

ในปัจจุบัน การวางนัยทั่วไปของตัวเลขมีเจ็ดระดับที่ยอมรับกันโดยทั่วไป ได้แก่ ตัวเลขธรรมชาติ ตรรกศาสตร์ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน เวกเตอร์ เมทริกซ์ และจำนวนทรานส์ฟินิท นักวิทยาศาสตร์บางคนเสนอให้พิจารณาฟังก์ชันเป็นตัวเลขเชิงฟังก์ชันและขยายระดับของลักษณะทั่วไปของตัวเลขเป็นสิบสองระดับ

ฉันจะพยายามศึกษาชุดตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด

แอปพลิเคชัน

บทกวี

“การบวกจำนวนลบและจำนวนด้วย สัญญาณที่แตกต่างกัน»

ถ้าอยากพับจริงๆ

ตัวเลขเป็นลบ ไม่ต้องกังวล:

เราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของโมดูลอย่างรวดเร็ว

จากนั้นนำไปบวกเครื่องหมายลบลงไป

หากให้ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน

เพื่อหาผลรวม เราทุกคนอยู่ตรงนี้แล้ว

เราสามารถเลือกโมดูลที่ใหญ่กว่าได้อย่างรวดเร็ว

จากนั้นเราจะลบอันที่เล็กกว่า

สิ่งสำคัญที่สุดคืออย่าลืมป้าย!

คุณจะใส่อันไหน? - เราอยากจะถาม

เราจะบอกความลับแก่คุณ ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว

เขียนเครื่องหมายตรงส่วนที่โมดูลใหญ่กว่าในคำตอบของคุณ

กฎสำหรับการบวกจำนวนบวกและลบ

บวกลบกับลบ,

คุณสามารถรับลบได้

ถ้าคุณบวก ลบ บวก

มันจะกลายเป็นเรื่องน่าอายมั้ย?!

คุณเลือกเครื่องหมายของหมายเลข

อันไหนแรงกว่ากัน อย่าหาว!

นำพวกมันออกจากโมดูล

สร้างสันติกับตัวเลขทั้งหมด!

กฎการคูณสามารถตีความได้ดังนี้:

“ เพื่อนของเพื่อนของฉันคือเพื่อนของฉัน”: + ∙ + = + .

“ ศัตรูของศัตรูคือเพื่อนของฉัน”: ─ ∙ ─ = +

“ มิตรของศัตรูก็คือศัตรูของฉัน”: + ∙ ─ = ─

“ ศัตรูของเพื่อนก็คือศัตรูของฉัน”: ─ ∙ + = ─

เครื่องหมายคูณคือจุด โดยมีเครื่องหมาย 3 ประการ:

ครอบคลุมสองข้อที่สามจะให้คำตอบ

ตัวอย่างเช่น.

จะตรวจสอบสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ 2∙(-3) ได้อย่างไร?

เรามาปิดเครื่องหมายบวกและลบด้วยมือของเรากัน ยังคงมีเครื่องหมายลบ

อ้างอิง

    "เรื่องราว โลกโบราณ"ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 โคลปาคอฟ, เซลันสกายา.

    “ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในสมัยโบราณ” โดย E. Kolman

    "คู่มือนักเรียน" สำนักพิมพ์ "VES" เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2546

    สารานุกรมทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม ยาคุเชวา จี.เอ็ม. ฯลฯ

    Vigasin A.A., Goder G.I., “ประวัติศาสตร์โลกโบราณ” หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5, 2544

    วิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี.

    การเกิดขึ้นและการพัฒนา วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์: หนังสือ. สำหรับคุณครู. - อ.: การศึกษา, 2530.

    เกลฟ์แมน อี.จี. "ตัวเลขบวกและลบ" คู่มือการฝึกอบรมในวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ปี 2544

    ศีรษะ. เอ็ด M.D. Aksyonova - อ.: อแวนตา+, 1998.

    Glazer G. I. "ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน", มอสโก, "Prosveshchenie", 1981

    สารานุกรมเด็ก "ฉันรู้จักโลก", มอสโก, "การตรัสรู้", 1995

    ประวัติคณิตศาสตร์ในโรงเรียน ระดับ IV-VI จี.ไอ. เกลเซอร์, มอสโก, การศึกษา, 2524

    ม.: ฟิโล. LLC "คำ": OLMA-PRESS, 2005

    มาลีกิน เค.เอ.

    พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์ ม., ซ. สารานุกรม, 1988.

    Nurk E.R., Telgmaa A.E. "คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6", มอสโก, "การตรัสรู้", 2532

    หนังสือเรียน ป.5. วิเลนคิน, โชคอฟ, เชสโนคอฟ, ชวาร์ตสเบิร์ก

    ฟรีดแมน แอล.เอ็ม. "เรียนคณิตศาสตร์" สิ่งพิมพ์ทางการศึกษา, 1994

    เช่น Gelfman และคณะ ตัวเลขบวกและลบในโรงละคร Buratino หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.6 พิมพ์ครั้งที่ 3 แก้ไขแล้ว - Tomsk: สำนักพิมพ์ มหาวิทยาลัยทอมสค์, 1998

    สารานุกรมสำหรับเด็ก. ต.11. คณิตศาสตร์

จำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม และเลข 0 เรียกว่าจำนวนเต็ม ตัวเลขบวก(จำนวนเต็มและเศษส่วน) ตัวเลขติดลบ(จำนวนเต็มและเศษส่วน) และเลข 0 รวมกันเป็นหมู่ จำนวนตรรกยะ.

จำนวนตรรกยะระบุด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ร- หมายเลข 0 หมายถึงจำนวนเต็มตรรกยะ เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนบวกธรรมชาติและเศษส่วนก่อนหน้านี้ มาดูตัวเลขลบซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะกันดีกว่า

จำนวนลบมีความเกี่ยวข้องกับคำว่า “หนี้” มาตั้งแต่สมัยโบราณในขณะที่ จำนวนบวกสามารถเชื่อมโยงกับคำว่า “ความพร้อม” หรือ “รายได้” ซึ่งหมายความว่าจำนวนเต็มบวกและเศษส่วนในการคำนวณคือสิ่งที่เรามี และจำนวนเต็มลบและเศษส่วนคือสิ่งที่ประกอบขึ้นเป็นหนี้ ดังนั้นผลลัพธ์ของการคำนวณคือความแตกต่างระหว่างจำนวนเงินที่มีอยู่กับหนี้ของเรา

จำนวนเต็มลบและเศษส่วนจะเขียนด้วยเครื่องหมายลบ (“-”) ข้างหน้าตัวเลข ค่าตัวเลขของจำนวนลบคือโมดูลัส ตามลำดับ โมดูลัสของจำนวนคือค่าของตัวเลข (ทั้งบวกและลบ) ที่มีเครื่องหมายบวก โมดูลัสจำนวนเขียนดังนี้: |2|; |-2|.

ถึงทุกคน จำนวนตรรกยะมีจุดเดียวตรงกับเส้นจำนวน ลองดูที่แกนตัวเลข (รูปด้านล่าง) ทำเครื่องหมายจุดไว้ เกี่ยวกับ.

จุด เกี่ยวกับลองจับคู่เลข 0 กัน โดยเลข 0 ทำหน้าที่เป็นขอบเขตระหว่าง ตัวเลขบวกและลบ: ทางด้านขวาของ 0 - ตัวเลขบวกซึ่งค่าจะแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึงบวกอนันต์ และทางด้านซ้ายของ 0 - ตัวเลขติดลบซึ่งค่าจะแปรผันตั้งแต่ 0 ถึงลบอนันต์ด้วย

กฎ. จำนวนใดๆ ที่อยู่ทางขวาบนแกนจำนวน จำนวนมากขึ้นยืนอยู่ทางซ้าย

ตามกฎนี้ จำนวนบวกจะเพิ่มขึ้นจากซ้ายไปขวา และจำนวนลบจะลดลงจากขวาไปซ้าย (ในเวลาเดียวกัน โมดูลของจำนวนลบจะเพิ่มขึ้น)

คุณสมบัติของตัวเลขบนเส้นจำนวน

    จำนวนบวกทุกจำนวนและ 0 มีค่ามากกว่าจำนวนลบใดๆ

    จำนวนบวกทุกจำนวนมีค่ามากกว่า 0 จำนวนลบทุกจำนวนมีค่าน้อยกว่า 0

    จำนวนลบทุกจำนวนมีค่าน้อยกว่าจำนวนบวก จำนวนบวกหรือลบทางด้านขวาจะมากกว่าจำนวนบวกหรือลบทางด้านซ้ายบนเส้นจำนวน

คำนิยาม. ตัวเลขที่แตกต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้นเรียกว่าตัวเลขตรงข้าม

เช่น ตัวเลข 2 และ -2, 6 และ -6 -10 และ 10 จำนวนตรงข้ามจะอยู่บนเส้นจำนวนเข้า ทิศทางตรงกันข้ามจากจุด O แต่อยู่ห่างจากจุดนั้นเท่ากัน

เศษส่วนแทนจำนวนสามัญหรือ ทศนิยมให้ทำตามกฎเดียวกันกับเส้นจำนวนเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนสองส่วน เศษส่วนที่อยู่ทางขวาบนแกนตัวเลขจะมากกว่า เศษส่วนติดลบมีขนาดเล็กกว่าเศษส่วนบวก ใดๆ เศษส่วนบวกมากกว่า 0; ใดๆ เศษส่วนติดลบน้อยกว่า 0

จำนวนลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของศูนย์ สำหรับจำนวนบวกนั้น ความสัมพันธ์เชิงลำดับถูกกำหนดไว้ ซึ่งช่วยให้สามารถเปรียบเทียบจำนวนเต็มหนึ่งกับอีกจำนวนหนึ่งได้

สำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน nมีจำนวนลบเพียงตัวเดียวเท่านั้น ซึ่งแสดงแทน -nซึ่งเติมเต็ม nถึงศูนย์: n + (− n) = 0 - ทั้งสองหมายเลขถูกเรียก ตรงข้ามสำหรับกันและกัน การลบจำนวนเต็ม กเทียบเท่ากับการบวกกับสิ่งที่ตรงกันข้าม: -ก.

คุณสมบัติของจำนวนลบ

จำนวนลบเป็นไปตามกฎเดียวกันกับจำนวนธรรมชาติ แต่มีคุณสมบัติพิเศษบางประการ

ภาพสเก็ตช์ประวัติศาสตร์

วรรณกรรม

  • วีก็อดสกี้ เอ็ม. ยา.นำทางไป คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา- - อ.: AST, 2546. - ISBN 5-17-009554-6
  • เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ในโรงเรียน - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2507 - 376 หน้า

ลิงค์

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

หนังสือ

  • คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 หนังสือการศึกษาและการประชุมเชิงปฏิบัติการ ใน 2 ส่วน. ส่วนที่ 2 จำนวนบวกและลบ หนังสือการศึกษาและการประชุมเชิงปฏิบัติการสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 รวมอยู่ด้วย องค์ประกอบของศูนย์การศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 พัฒนาโดยทีมนักเขียน นำโดย E. G. Gelfman และ M. A. Kholodnaya ภายใต้กรอบของ...

เวลมยาคินา คริสตินา และนิโคลาเอวา เอฟเจเนีย

งานวิจัยนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาการใช้จำนวนบวกและลบในชีวิตมนุษย์

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

MBOU "โรงยิมหมายเลข 1" ของเขตเทศบาล Kovylkinsky

การประยุกต์จำนวนบวกและลบในชีวิตมนุษย์

งานวิจัย

สมบูรณ์:

นักเรียนชั้น 6B

เวลมยาคินา คริสตินา และนิโคลาเอวา เอฟเจเนีย

หัวหน้า: ครูสอนคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์

โซโคโลวา นาตาลียา เซอร์เกฟนา

โควิลคิโน 2015

บทนำ 2

1. ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของจำนวนบวกและลบ 4

2.การใช้จำนวนบวกและลบ 6

บทสรุปที่ 13

รายการอ้างอิง 14

การแนะนำ

การแนะนำจำนวนบวกและลบมีความสัมพันธ์กับความจำเป็นในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ที่ให้ วิธีการทั่วไปโซลูชั่น ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยไม่คำนึงถึงเนื้อหาเฉพาะและข้อมูลตัวเลขเริ่มต้น

หลังจากศึกษาจำนวนบวกและลบในบทเรียนคณิตศาสตร์แล้ว เราจึงตัดสินใจว่าจะใช้ตัวเลขเหล่านี้ที่ไหนนอกจากคณิตศาสตร์ และปรากฎว่าจำนวนบวกและลบมีการใช้งานค่อนข้างกว้าง

นี้ งานวิจัยมีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาการใช้จำนวนบวกและลบในชีวิตมนุษย์

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อนี้อยู่ที่การศึกษาการใช้จำนวนบวกและลบ

วัตถุประสงค์ของงาน: สำรวจการใช้จำนวนบวกและลบในชีวิตมนุษย์

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:ขอบเขตการประยุกต์ใช้จำนวนบวกและลบในชีวิตมนุษย์

หัวข้อการวิจัย:จำนวนบวกและลบ

วิธีการวิจัย:การอ่านและวิเคราะห์วรรณกรรมที่ใช้และการสังเกต

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายของการศึกษา จึงได้กำหนดภารกิจต่อไปนี้:

1. ศึกษาวรรณกรรมในหัวข้อนี้

2. เข้าใจแก่นแท้ของจำนวนบวกและลบในชีวิตมนุษย์

3. สำรวจการประยุกต์ใช้จำนวนบวกและลบในด้านต่างๆ

4. วาดข้อสรุป

  1. ประวัติความเป็นมาของจำนวนบวกและลบ

ตัวเลขบวกและลบปรากฏขึ้นครั้งแรกในจีนโบราณเมื่อประมาณ 2,100 ปีที่แล้ว

ในศตวรรษที่สอง พ.ศ จ. นักวิทยาศาสตร์ชาวจีน จาง คาน เขียนหนังสือเลขคณิตในเก้าบท จากเนื้อหาของหนังสือเป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่งานอิสระโดยสิ้นเชิง แต่เป็นการนำหนังสือเล่มอื่น ๆ ที่เขียนไว้ก่อนหน้าจางคานมาทำใหม่ ในหนังสือเล่มนี้ พบปริมาณที่เป็นลบเป็นครั้งแรกในทางวิทยาศาสตร์ สิ่งเหล่านี้เข้าใจแตกต่างจากวิธีที่เราเข้าใจและนำไปใช้ เขาไม่มีความเข้าใจที่สมบูรณ์และชัดเจนเกี่ยวกับธรรมชาติของปริมาณที่เป็นลบและบวก และกฎเกณฑ์ในการปฏิบัติงานกับปริมาณเหล่านั้น เขาเข้าใจว่าจำนวนลบทุกจำนวนคือหนี้ และจำนวนบวกทุกจำนวนคือทรัพย์สิน เขาดำเนินการกับตัวเลขติดลบไม่เหมือนที่เราทำ แต่ใช้เหตุผลเกี่ยวกับหนี้ ตัวอย่างเช่น หากคุณบวกหนี้อีกก้อนหนึ่งเข้ากับหนี้ก้อนเดียว ผลลัพธ์ก็คือหนี้ ไม่ใช่ทรัพย์สิน (เช่น ตามของเรา (- a) + (- a) = - 2a ตอนนั้นจึงไม่ทราบเครื่องหมายลบ ดังนั้นใน เพื่อแยกแยะตัวเลข โดยแสดงหนี้ Zhan Can เขียนด้วยหมึกที่แตกต่างจากตัวเลขที่แสดงคุณสมบัติ (บวก) ในคณิตศาสตร์จีน ปริมาณบวกเรียกว่า "chen" และแสดงด้วยสีแดง และปริมาณลบคือ "fu" และแสดงเป็นสีดำ วิธีการแทนนี้ใช้ในประเทศจีนจนถึงกลางศตวรรษที่ 12 จนกระทั่งหลี่เย่เสนอการกำหนดจำนวนลบที่สะดวกกว่า - ตัวเลขที่แสดงถึงจำนวนลบจะถูกขีดฆ่าในแนวทแยงจากขวาไปซ้าย แม้ว่านักวิทยาศาสตร์ชาวจีนจะอธิบายปริมาณที่เป็นลบว่าเป็นหนี้ และปริมาณที่เป็นบวกนั้นเป็นทรัพย์สิน แต่พวกเขาก็ยังคงหลีกเลี่ยงการใช้มันในวงกว้าง เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้ดูเหมือนจะเข้าใจยาก แต่การกระทำกับพวกมันก็ไม่ชัดเจน หากปัญหานำไปสู่การแก้ปัญหาเชิงลบ พวกเขาก็พยายาม เพื่อแทนที่เงื่อนไข (เช่นชาวกรีก) เพื่อว่าในที่สุดจะได้วิธีแก้ปัญหาเชิงบวก ในศตวรรษ V-VI ตัวเลขติดลบปรากฏขึ้นและแพร่กระจายอย่างกว้างขวางอินเดียน คณิตศาสตร์. กฎการคูณและการหารต่างจากจีนที่อินเดียรู้จักอยู่แล้ว ในอินเดีย มีการใช้จำนวนลบอย่างเป็นระบบ เช่นเดียวกับที่เราทำอยู่ตอนนี้ ในงานของนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดียผู้โดดเด่น Brahmagupta (598 - ประมาณ 660) เราอ่านว่า: "ทรัพย์สินและทรัพย์สินคือทรัพย์สินผลรวมของหนี้ทั้งสองคือหนี้ ผลรวมของทรัพย์สินและศูนย์คือทรัพย์สิน ผลรวมของศูนย์สองตัวคือศูนย์... หนี้ซึ่งลบออกจากศูนย์จะกลายเป็นทรัพย์สิน และทรัพย์สินกลายเป็นหนี้ ถ้าจำเป็นต้องริบทรัพย์สินจากหนี้ และหนี้จากทรัพย์สิน ก็เอาเงินก้อนนั้นไป”

เครื่องหมาย "+" และ "-" ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการค้าขาย ผู้ผลิตไวน์ติดเครื่องหมาย “-” บนถังเปล่า บ่งชี้ถึงการลดลง หากถังเต็ม เครื่องหมายจะถูกขีดฆ่าและได้รับเครื่องหมาย “+” ซึ่งหมายถึงกำไร สัญญาณเหล่านี้ถูกนำมาใช้เป็นสัญญาณทางคณิตศาสตร์โดย Jan Widmann ใน XV

ใน วิทยาศาสตร์ยุโรปในที่สุดจำนวนลบและบวกก็ถูกนำมาใช้ตั้งแต่สมัยของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อาร์. เดการ์ต (ค.ศ. 1596 - 1650) ซึ่งให้การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนบวกและลบเป็นส่วนที่กำหนด ในปี ค.ศ. 1637 เขาได้แนะนำ "เส้นพิกัด"

ในปี ค.ศ. 1831 เกาส์ยืนยันอย่างเต็มที่ว่าจำนวนที่เป็นลบมีสิทธิเทียบเท่ากับจำนวนที่เป็นบวกอย่างแน่นอน และการที่ตัวเลขเหล่านี้ไม่สามารถนำไปใช้ได้ในทุกกรณีก็ไม่สำคัญ

ประวัติศาสตร์ของการเกิดขึ้นของจำนวนลบและบวกสิ้นสุดลงในศตวรรษที่ 19 เมื่อวิลเลียม แฮมิลตัน และแฮร์มันน์ กราสมันน์ สร้างขึ้น ทฤษฎีที่สมบูรณ์ตัวเลขบวกและลบ นับจากนี้เป็นต้นไปประวัติศาสตร์ของการพัฒนาแนวคิดทางคณิตศาสตร์นี้เริ่มต้นขึ้น

  1. การใช้จำนวนบวกและลบ
  1. ยา

สายตาสั้นและสายตายาว

ตัวเลขติดลบแสดงถึงพยาธิสภาพของดวงตา สายตาสั้น (สายตาสั้น) แสดงออกโดยการมองเห็นลดลง เพื่อให้ดวงตามองเห็นวัตถุที่อยู่ห่างไกลได้ชัดเจนในกรณีสายตาสั้น จึงมีการใช้เลนส์แยก (เนกาทีฟ)สายตาสั้น (-), สายตายาว (+).

สายตายาว (สายตายาว) เป็นการหักเหของดวงตาชนิดหนึ่งซึ่งภาพของวัตถุไม่ได้เน้นที่บริเวณใดส่วนหนึ่งของเรตินา แต่อยู่ในระนาบด้านหลัง สถานะของระบบการมองเห็นนี้นำไปสู่ภาพเบลอที่เรตินารับรู้

สาเหตุของภาวะสายตายาวอาจเป็นเพราะลูกตาสั้นหรือพลังการหักเหของแสงที่อ่อนแอของสื่อออปติคอลของดวงตา เมื่อเพิ่มขึ้น คุณจะมั่นใจได้ว่ารังสีจะโฟกัสไปที่จุดโฟกัสระหว่างการมองเห็นปกติ

เมื่ออายุมากขึ้น การมองเห็น โดยเฉพาะการมองเห็นในระยะใกล้ เสื่อมลงมากขึ้น เนื่องจากความสามารถในการรองรับของดวงตาลดลง เนื่องจาก การเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องกับอายุในเลนส์ - ความยืดหยุ่นของเลนส์ลดลง กล้ามเนื้อที่ยึดเลนส์ลดลง และเป็นผลให้การมองเห็นลดลง นั่นเป็นเหตุผลสายตายาวที่เกี่ยวข้องกับอายุ (สายตายาวตามอายุ ) ปรากฏในคนเกือบทุกคนหลังจาก 40–50 ปี

ผู้ที่มีสายตายาวในระดับต่ำ การมองเห็นสูงมักจะคงอยู่ทั้งในระยะไกลและใกล้ แต่อาจมีอาการเมื่อยล้าได้ ปวดศีรษะ, เวียนศีรษะ เมื่อมีภาวะสายตายาวเกินปานกลาง การมองเห็นระยะไกลยังคงดี แต่การมองเห็นในระยะใกล้นั้นทำได้ยาก ด้วยสายตายาวสูง - สายตาไม่ดีทั้งระยะไกลและใกล้ เนื่องจากความเป็นไปได้ทั้งหมดของดวงตาในการโฟกัสภาพของวัตถุที่อยู่ห่างไกลบนเรตินาได้หมดลงแล้ว

สายตายาวรวมถึงที่เกี่ยวข้องกับอายุสามารถตรวจพบได้โดยใช้ความระมัดระวังเท่านั้นการตรวจวินิจฉัย (ด้วยการขยายยาของรูม่านตา เลนส์จะผ่อนคลายและการหักเหของดวงตาที่แท้จริงจะปรากฏขึ้น)

สายตาสั้น เป็นโรคตาที่บุคคลมีปัญหาในการมองเห็นวัตถุที่อยู่ไกลแต่มองเห็นวัตถุที่อยู่ใกล้ได้ดี สายตาสั้นเรียกอีกอย่างว่าสายตาสั้น

เชื่อกันว่าประมาณแปดร้อยล้านคนมีภาวะสายตาสั้น ทุกคนสามารถเป็นโรคสายตาสั้นได้ ทั้งเด็กและผู้ใหญ่

ดวงตาของเราประกอบด้วยกระจกตาและเลนส์ ส่วนประกอบของดวงตาเหล่านี้สามารถส่งรังสีได้โดยการหักเหแสง และมีภาพปรากฏบนเรตินา แล้วภาพนี้ก็กลายเป็น แรงกระตุ้นของเส้นประสาทและถ่ายทอดไปตามเส้นประสาทตาไปยังสมอง

ถ้ากระจกตาและเลนส์หักเหรังสีจนโฟกัสไปที่เรตินา ภาพก็จะชัดเจน ดังนั้นคนที่ไม่มีโรคตาจะมองเห็นได้ดี

ด้วยสายตาสั้น ภาพจะดูพร่ามัวและไม่ชัดเจน สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้จากสาเหตุดังต่อไปนี้:

– หากดวงตายาวขึ้นอย่างมาก จอประสาทตาจะเคลื่อนออกจากตำแหน่งโฟกัสที่มั่นคง ในผู้ที่มีสายตาสั้น ดวงตาจะยาวถึงสามสิบมิลลิเมตร และอันปกติ คนที่มีสุขภาพดีขนาดของดวงตาคือยี่สิบสามถึงยี่สิบสี่มิลลิเมตร - หากเลนส์และกระจกตาหักเหแสงมากเกินไป

ตามสถิติ บุคคลที่สามทุกคนบนโลกต้องทนทุกข์ทรมานจากภาวะสายตาสั้น นั่นก็คือ สายตาสั้น เป็นเรื่องยากสำหรับคนเช่นนี้ที่จะเห็นวัตถุที่อยู่ไกลจากพวกเขา แต่ในขณะเดียวกันหากวางหนังสือหรือสมุดบันทึกไว้ใกล้กับดวงตาของคนสายตาสั้นก็จะมองเห็นวัตถุเหล่านี้ได้ดี.

2) เครื่องวัดอุณหภูมิ

มาดูสเกลของเทอร์โมมิเตอร์วัดข้างถนนทั่วไปกัน

มีแบบฟอร์มแสดงในระดับ 1 พิมพ์เฉพาะตัวเลขบวกเท่านั้น ดังนั้นเมื่อระบุ ค่าตัวเลขต้องอธิบายอุณหภูมิเพิ่มเติมอีก 20 องศาเซลเซียส (สูงกว่าศูนย์) สิ่งนี้ไม่สะดวกสำหรับนักฟิสิกส์เพราะคุณไม่สามารถใส่คำลงในสูตรได้! ดังนั้นในวิชาฟิสิกส์จึงใช้สเกลที่มีจำนวนลบ (สเกล 2)

3) ยอดคงเหลือในโทรศัพท์

เมื่อตรวจสอบยอดเงินคงเหลือในโทรศัพท์หรือแท็บเล็ต คุณจะเห็นหมายเลขที่มีเครื่องหมาย (-) ซึ่งหมายความว่าผู้สมัครสมาชิกรายนี้มีหนี้และไม่สามารถโทรออกได้จนกว่าเขาจะเติมเงินในบัญชี ซึ่งเป็นหมายเลขที่ไม่มีเครื่องหมาย (-) หมายความว่าสามารถเรียกหรือทำหน้าที่อย่างใดอย่างหนึ่งได้

  1. ระดับน้ำทะเล

มาดูกัน การ์ดทางกายภาพความสงบ. พื้นที่ดินบนนั้นทาด้วยสีเขียวและเฉดสีต่างๆ สีน้ำตาลและทะเลและมหาสมุทรก็ทาเป็นสีน้ำเงินและสีน้ำเงิน แต่ละสีมีความสูงของตัวเอง (สำหรับพื้นดิน) หรือความลึก (สำหรับทะเลและมหาสมุทร) มาตราส่วนความลึกและความสูงถูกวาดบนแผนที่ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสีใดสีหนึ่งหมายถึงความสูง (ความลึก) ตัวอย่างเช่น:

มาตราส่วนความลึกและความสูงเป็นเมตร

ลึกกว่า 5,000 2000 200 0 200 1,000 2000 4000 สูงกว่า

ในระดับนี้เราเห็นเพียงตัวเลขบวกและศูนย์ ความสูง (และความลึกด้วย) ซึ่งพื้นผิวน้ำในมหาสมุทรโลกตั้งอยู่นั้นถือเป็นศูนย์ ใช้ในระดับนี้เท่านั้น ตัวเลขที่ไม่เป็นลบไม่สะดวกสำหรับนักคณิตศาสตร์หรือนักฟิสิกส์ นักฟิสิกส์คิดขนาดนี้

สเกลส่วนสูงเป็นเมตร

น้อยกว่า -5,000 -2000 -200 0 200 1000 2000 4000 เพิ่มเติม

การใช้มาตราส่วนดังกล่าวก็เพียงพอแล้วที่จะระบุตัวเลขโดยไม่มีคำเพิ่มเติม: คำตอบของตัวเลขที่เป็นบวก สถานที่ต่างๆบนพื้นดินเหนือผิวทะเล ตัวเลขติดลบตรงกับจุดใต้ผิวน้ำทะเล

ในมาตราส่วนความสูงที่เราพิจารณา ความสูงของผิวน้ำในมหาสมุทรโลกถือเป็นศูนย์ มาตราส่วนนี้ใช้ในวิชามาตรวิทยาและการทำแผนที่

ในทางตรงกันข้าม ในชีวิตประจำวันเรามักจะถือว่าความสูงของพื้นผิวโลก (ในที่ที่เราอยู่) เป็นความสูงเป็นศูนย์

5) คุณสมบัติของมนุษย์

แต่ละคนมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว! อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้คิดเสมอไปว่าลักษณะนิสัยใดที่นิยามเราในฐานะบุคคล สิ่งใดที่ดึงดูดผู้คนให้เข้ามาหาเรา และสิ่งใดที่ขับไล่เรา เน้นเชิงบวกและ คุณสมบัติเชิงลบบุคคล. ตัวอย่างเช่น, คุณสมบัติเชิงบวกกิจกรรม, ความสูงส่ง, พลวัต, ความกล้าหาญ, องค์กร, ความมุ่งมั่น, ความเป็นอิสระ, ความกล้าหาญ, ความซื่อสัตย์, พลังงาน, เชิงลบ, ความก้าวร้าว, อารมณ์ร้อน, การแข่งขัน, การวิพากษ์วิจารณ์, ความดื้อรั้น, ความเห็นแก่ตัว

6) ฟิสิกส์และหวี

วางกระดาษทิชชู่ชิ้นเล็กๆ หลายชิ้นไว้บนโต๊ะ ใช้หวีพลาสติกที่สะอาดและแห้งแล้วสางให้ทั่วเส้นผม 2-3 ครั้ง เมื่อหวีผม คุณจะได้ยินเสียงแตกเล็กน้อย จากนั้นค่อย ๆ ขยับหวีไปทางเศษกระดาษ คุณจะเห็นว่ามันถูกดึงดูดไปที่หวีก่อนแล้วจึงผลักไสออกไป

หวีเดียวกันสามารถดึงดูดน้ำได้ สถานที่ท่องเที่ยวแห่งนี้สังเกตได้ง่ายหากคุณนำหวีไปวางบนกระแสน้ำบางๆ ที่ไหลจากก๊อกน้ำอย่างสงบ จะเห็นว่ากระแสน้ำมีความโค้งงออย่างเห็นได้ชัด

ตอนนี้ม้วนสองหลอดยาว 2-3 ซม. จากกระดาษบาง ๆ (โดยเฉพาะกระดาษทิชชู่) และเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.5 ซม. แขวนไว้บนเส้นไหม (เพื่อให้สัมผัสกันเบาๆ) หลังจากหวีผมแล้ว ให้แตะหลอดกระดาษด้วยหวี - พวกมันจะแยกออกจากกันทันทีและยังคงอยู่ในตำแหน่งนี้ (นั่นคือด้ายจะเบี่ยงเบนไป) เราจะเห็นว่าท่อจะผลักกัน

หากคุณมีแท่งแก้ว (หรือหลอดหรือหลอดทดลอง) และผ้าไหม การทดลองก็สามารถดำเนินต่อไปได้

ถูแท่งบนผ้าไหมแล้วนำไปวางบนเศษกระดาษ - พวกมันจะเริ่ม "กระโดด" ลงบนแท่งในลักษณะเดียวกับหวีแล้วเลื่อนออก กระแสน้ำยังถูกเบี่ยงเบนด้วยก้านแก้ว และท่อกระดาษที่คุณสัมผัสกับก้านจะผลักกัน

บัดนี้จงเอาไม้อันหนึ่งซึ่งท่านใช้หวีแตะกับหลอดอันที่สองแล้วนำมาประกบกัน คุณจะเห็นว่าพวกเขาดึงดูดกัน ดังนั้นในการทดลองเหล่านี้ จึงมีการแสดงพลังที่น่าดึงดูดและน่ารังเกียจออกมา ในการทดลอง เราพบว่าวัตถุมีประจุ (นักฟิสิกส์เรียกว่าวัตถุมีประจุ) สามารถดึงดูดเข้าหากัน และยังสามารถผลักกันได้อีกด้วย นี่คือคำอธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่ามีสองประเภทสองพันธุ์ ค่าไฟฟ้าและประจุชนิดเดียวกันจะผลักกันและประจุ ประเภทต่างๆถูกดึงดูด

7) การนับเวลา

ใน ประเทศต่างๆแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นใน อียิปต์โบราณทุกครั้งที่ฉันเริ่มปกครอง กษัตริย์องค์ใหม่การนับปีก็เริ่มต้นใหม่อีกครั้ง ปีแรกในรัชสมัยของกษัตริย์ถือเป็นปีแรกปีที่สอง-ปีที่สองเป็นต้น เมื่อกษัตริย์องค์นี้สิ้นพระชนม์และมีองค์ใหม่ขึ้นครองราชย์ ปีแรกก็เริ่มขึ้นอีกครั้ง ในปีที่สอง และปีที่สาม การนับปีที่ใช้โดยผู้อยู่อาศัยของแห่งหนึ่ง เมืองโบราณสันติภาพ-โรม ชาวโรมันถือว่าปีที่ก่อตั้งเมืองเป็นปีแรก ปีถัดไปเป็นปีที่สอง และต่อๆ ไป

การนับปีที่เราใช้มีมายาวนานแล้วและเกี่ยวข้องกับการเคารพสักการะของพระเยซูคริสต์ผู้ก่อตั้ง ศาสนาคริสต์- นับเป็นเวลาหลายปีนับตั้งแต่การประสูติของพระเยซูคริสต์ได้ถูกนำไปใช้ในประเทศต่างๆ ในประเทศของเรา ซาร์ปีเตอร์มหาราชได้แนะนำเมื่อสามร้อยปีก่อน เราเรียกเวลาที่คำนวณจากการประสูติของพระเยซูคริสต์ ยุคของเรา (และเราเขียนในรูปแบบย่อ NE) ยุคของเราดำเนินไปเป็นเวลาสองพันปี พิจารณา "ไทม์ไลน์" ในรูป

Foundation Beginning การกล่าวถึงมอสโกครั้งแรกของ A. S. Pushkin

การจลาจลของกรุงโรม

สปาร์ตัก

บทสรุป

ทำงานกับ แหล่งต่างๆและการสำรวจ ปรากฏการณ์ต่างๆและกระบวนการต่างๆ เราพบว่ามีการใช้ทั้งเชิงลบและบวกในการแพทย์ ฟิสิกส์ ภูมิศาสตร์ ประวัติศาสตร์ วิธีการที่ทันสมัยการสื่อสารในการศึกษาคุณภาพของมนุษย์และกิจกรรมอื่น ๆ ของมนุษย์ หัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้องและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายและใช้งานโดยผู้คน

กิจกรรมนี้สามารถใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์เพื่อกระตุ้นให้นักเรียนเรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนบวกและลบ

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

  1. Vigasin A.A., Goder G.I., “ประวัติศาสตร์โลกโบราณ”, หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5, 2544
  2. วีกอฟสกายา วี.วี. - การพัฒนาตามบทเรียนในวิชาคณิตศาสตร์: ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6" - อ.: VAKO, 2551
  3. หนังสือพิมพ์ "คณิตศาสตร์" ฉบับที่ 4, 2553.
  4. เกลฟ์แมน อี.จี. “จำนวนบวกและลบ” หนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 พ.ศ. 2544

เรารู้ว่าถ้าเราบวกจำนวนธรรมชาติสองตัวขึ้นไป ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนธรรมชาติ หากคุณคูณจำนวนธรรมชาติด้วยกัน ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขใดหากคุณลบจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่งออกจากจำนวนธรรมชาติตัวเดียว หากคุณลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย ถ้าจะเป็นเลขอะไร. จำนวนที่น้อยกว่าลบเพิ่มเหรอ? ตัวอย่างเช่น ถ้าเราลบ 7 จาก 5 ผลลัพธ์ของการกระทำดังกล่าวจะไม่ใช่จำนวนธรรมชาติอีกต่อไป แต่จะเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าศูนย์ ซึ่งเราจะเขียนเป็นจำนวนธรรมชาติ แต่มีเครื่องหมายลบ ดังนั้น - เรียกว่า จำนวนธรรมชาติลบ ในบทนี้ เราจะเรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนลบ ดังนั้นเราจึงขยายชุดของจำนวนธรรมชาติโดยการบวก "0" และจำนวนเต็มลบเข้าไป ชุดขยายใหม่จะประกอบด้วยตัวเลข:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าจำนวนเต็ม ดังนั้น ผลลัพธ์ของตัวอย่าง 5 -7 = -2 จะเป็นจำนวนเต็ม

คำนิยาม. จำนวนเต็ม ได้แก่ ตัวเลขธรรมชาติ ตัวเลขธรรมชาติลบ และเลข “0”

เราเห็นภาพชุดนี้บนเทอร์โมมิเตอร์สำหรับวัดอุณหภูมิภายนอก

อุณหภูมิอาจเป็น "ลบ" เช่น ลบอาจมี "บวก" เช่น เชิงบวก. อุณหภูมิ 0 องศาไม่ใช่ทั้งบวกและลบ โดยเลข 0 คือขอบเขตที่แยกตัวเลขบวกออกจากลบ

ลองพลอตจำนวนเต็มบนเส้นจำนวนกัน

การวาดแกน

เราจะเห็นว่าบนแกนจำนวนนั้นมีอยู่ ชุดอนันต์ตัวเลข จำนวนบวกและลบคั่นด้วยศูนย์ จำนวนเต็มลบ เช่น -1 จะถูกอ่านว่า "ลบหนึ่ง" หรือ "หนึ่งลบ"

จำนวนเต็มบวก เช่น "+3" อ่านว่าเป็นบวก 3 หรือเรียกง่ายๆ ว่า "สาม" นั่นคือสำหรับตัวเลขบวก (ธรรมชาติ) เครื่องหมาย "+" จะไม่ถูกเขียน และคำว่า "บวก" จะไม่ออกเสียง

ตัวอย่าง: ทำเครื่องหมาย +5, +6, -7, -3, -1, 0 ฯลฯ บนแกนตัวเลข

เมื่อคุณเลื่อนไปทางขวาตามแกนตัวเลข ตัวเลขจะเพิ่มขึ้น และเมื่อคุณเลื่อนไปทางซ้าย ตัวเลขเหล่านั้นจะลดลง หากเราต้องการเพิ่มจำนวน 2 เราก็เลื่อนไปทางขวาตาม แกนพิกัดโดย 2 หน่วย ตัวอย่าง: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 เป็นต้น ในทางกลับกัน หากเราต้องการลดจำนวนลง 3 เราก็จะเลื่อนไปทางซ้าย 3 หน่วย ตัวอย่างเช่น: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; ฯลฯ

1. พยายามเพิ่มจำนวน (-4) ใน 3 ขั้นตอน เพิ่มขึ้นทีละ 2 หน่วยในแต่ละครั้ง

เมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกนตัวเลขดังแสดงในรูป เราจะได้ 2 ตามผลลัพธ์

2. ลดเลข 6 ใน 6 ขั้นตอน โดยลดลง 2 หน่วยในแต่ละขั้นตอน

3. เพิ่มตัวเลข (-1) ในสามขั้นตอน โดยเพิ่มขึ้นทีละ 4 หน่วยในแต่ละขั้นตอน

การใช้เส้นพิกัดทำให้ง่ายต่อการเปรียบเทียบจำนวนเต็ม: ตัวเลขสองตัวที่มากกว่าคือตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวาบนเส้นพิกัด และตัวเลขที่เล็กกว่าคือตัวเลขที่อยู่ทางด้านซ้าย

4. เปรียบเทียบตัวเลขโดยใช้ > หรือ< , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 และ 2; 0 และ -5; -34 และ -67; -72 และ 0 เป็นต้น

5. จำไว้ว่าเราจดบันทึกไว้อย่างไร พิกัดเรย์จุดที่มีพิกัดตามธรรมชาติ จุดมักเรียกว่าทุน ในตัวอักษรละติน- วาดเส้นพิกัด และใช้ส่วนของหน่วยที่สะดวก วาดจุดด้วยพิกัด:

ก) ก(10),ข(20),ค(30),ม(-10),ยังไม่มี(-20)
ข) ค (100) ข (200) เค (300) เอฟ (-100)
ข) คุณ(1,000),อี(2000),ร(-3000)

6. เขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง -8 ถึง 5, ระหว่าง -15 ถึง -7, ระหว่าง -1 ถึง 1

ในการเปรียบเทียบตัวเลข เราต้องสามารถตอบได้ว่าจำนวนหนึ่งมากกว่าหรือน้อยกว่าอีกจำนวนหนึ่งมีกี่หน่วย

มาวาดเส้นพิกัดกันเถอะ ลองวาดจุดด้วยพิกัดตั้งแต่ -5 ถึง 5 กัน หมายเลข 3 คือน้อยกว่า 5 สองหน่วย น้อยกว่า 4 หนึ่งหน่วย และมากกว่าศูนย์ 3 หน่วย ตัวเลข -1 มีค่าน้อยกว่าศูนย์ 1 ตัว และมากกว่า -3 2 หน่วย

7. ตอบจำนวนหน่วย:

3 น้อยกว่า 4; -2 น้อยกว่า 3; -5 น้อยกว่า -4; 2 มากกว่า -1; 0 มากกว่า -5; 4 ส่วน -1

8. วาดเส้นพิกัด เขียนเลข 7 หลัก แต่ละเลขจะน้อยกว่าเลขก่อนหน้า 2 หน่วย โดยเริ่มจาก 6 เลขตัวสุดท้ายในชุดนี้คืออะไร? ถ้าเขียนได้ไม่จำกัดจำนวนจะมีได้กี่ตัว?

9. เขียนตัวเลข 10 ตัว โดยแต่ละจำนวนมากกว่าตัวเลขก่อนหน้า 3 หน่วย เริ่มต้นด้วย (-6) จะมีจำนวนดังกล่าวได้กี่จำนวนหากซีรีส์ไม่ได้จำกัดแค่สิบ?

ตัวเลขตรงข้าม.

บนเส้นจำนวน สำหรับจำนวนบวกทุกจำนวน (หรือจำนวนธรรมชาติ) จะมีจำนวนลบอยู่ทางด้านซ้ายของศูนย์ที่ระยะห่างเท่ากัน ตัวอย่างเช่น: 3 และ -3; 7 และ -7; 11 และ -11.

พวกเขาบอกว่าเลข -3 ตรงข้ามกับเลข 3 และในทางกลับกัน -3 ก็ตรงข้ามกับ 3

คำจำกัดความ: ตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้นเรียกว่าตรงกันข้าม

เรารู้ว่าถ้าเราคูณตัวเลขด้วย +1 ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แล้วถ้าคูณตัวเลขด้วย (-1) จะเกิดอะไรขึ้น? เบอร์นี้จะเปลี่ยนเครื่องหมาย ตัวอย่างเช่น ถ้า 7 คูณด้วย (-1) หรือลบ ผลลัพธ์จะเป็น (-7) ตัวเลขจะกลายเป็นลบ ถ้า (-10) คูณด้วย (-1) เราจะได้ (+10) นั่นคือ เราได้จำนวนบวกแล้ว ดังนั้นเราจึงเห็นว่าได้จำนวนที่ตรงกันข้าม การคูณอย่างง่ายตัวเลขเดิมด้วย (-1) เราเห็นบนแกนตัวเลขว่าแต่ละจำนวนจะมีจำนวนตรงข้ามกันเพียงตัวเดียว ตัวอย่างเช่น สำหรับ (4) สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็น (-4) สำหรับตัวเลข (-10) สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็น (+10) ลองหาจำนวนตรงข้ามของศูนย์กัน เขาไปแล้ว. เหล่านั้น. 0 เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับตัวมันเอง

ทีนี้ลองดูแกนตัวเลข จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณบวกเลขตรงข้าม 2 ตัว เราได้รับเงินจำนวนนั้น ตัวเลขตรงข้ามเท่ากับ 0

1. เกม: ให้สนามแข่งขันแบ่งออกเป็นสองสนาม: ซ้ายและขวา มีเส้นแบ่งระหว่างพวกเขา มีตัวเลขอยู่บนสนาม ลากผ่านเส้นหมายถึงคูณด้วย (-1) ไม่เช่นนั้นเมื่อผ่านเส้นแบ่งตัวเลขจะกลายเป็นตรงกันข้าม

ให้ช่องด้านซ้ายมีตัวเลข (5) ถ้าเลขทั้งห้าข้ามเส้นแบ่งครั้งเดียว (5) จะเปลี่ยนเป็นเลขอะไร? 2 ครั้ง? 3 ครั้ง?

2. กรอกตารางต่อไปนี้:

3. จากคู่ที่หลากหลายให้เลือกคู่ตรงข้าม ตัวนี้รับกี่คู่ครับ?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

การบวกและการลบจำนวนเต็ม

การบวก (หรือเครื่องหมาย "+") หมายถึงการเลื่อนไปทางขวาบนเส้นจำนวน

  1. 1+3 = 4
  1. -1 + 4 = 3
  2. -3 + 2 = -1

การลบ (หรือเครื่องหมาย "-") หมายถึงการเลื่อนไปทางซ้ายบนเส้นจำนวน

  1. 3 – 2 = 1
  2. 2 – 4 = -2
  3. 3 – 6 = -3
  4. -3 + 5 = 2
  5. -2 – 5 = -7
  6. -1 + 6 = 5
  7. 1 – 4 = -3

จงแก้ตัวอย่างต่อไปนี้โดยใช้เส้นจำนวน:

  1. -3+1=
  2. 2)-4-1=
  3. -5-1=
  4. -2-7=
  5. -1+3=
  6. -1-4=
  7. -6+7=

ในจีนโบราณ เมื่อเขียนสมการ ค่าสัมประสิทธิ์ของ minuends และ subtrahends เขียนเป็นตัวเลข สีที่ต่างกัน- กำไรจะแสดงเป็นสีแดง และขาดทุนจะแสดงเป็นสีน้ำเงิน ตัวอย่าง เราขายวัว 3 ตัว และซื้อม้า 2 ตัว ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: แม่บ้านนำมันฝรั่งไปตลาดและขายในราคา 300 รูเบิล เราจะบวกเงินนี้เข้ากับทรัพย์สินของแม่บ้านแล้วเขียนเป็น +300 (สีแดง) จากนั้นเธอก็ใช้เงิน 100 รูเบิล (เราจะเขียนเงินจำนวนนี้ เป็น (-100)( สีน้ำเงิน) ปรากฎว่าพนักงานต้อนรับกลับมาจากตลาดพร้อมกำไร 200 รูเบิล (หรือ +200) มิฉะนั้นตัวเลขที่เขียนด้วยสีแดงจะถูกเพิ่มเสมอและตัวเลขที่เขียนด้วยสีน้ำเงิน สีถูกลบออก โดยการเปรียบเทียบ เราจะใช้สีฟ้าเพื่อแสดงจำนวนลบ

ดังนั้น เราสามารถพิจารณาตัวเลขที่เป็นบวกทั้งหมดว่าเป็นชัยชนะ และตัวเลขที่เป็นลบถือเป็นการขาดทุน หนี้สิน หรือการขาดทุน

ตัวอย่าง: -4 + 9 = +5 ผลลัพธ์ (+5) ถือได้ว่าเป็นชัยชนะในทุกเกม หลังจากเสีย 4 แต้มแรกแล้วชนะ 9 แต้ม ผลลัพธ์จะเป็นชนะ 5 แต้ม แก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

11. ในเกมล็อตโต้ Petya ชนะ 6 แต้มก่อน แพ้ 3 แต้ม ชนะอีกครั้ง 2 แต้ม แพ้ 5 แต้ม ผลการแข่งขันของ Petya เป็นอย่างไร?

12 (*) แม่เอาขนมใส่แจกัน Masha กินลูกกวาด 4 ลูก Misha กินลูกกวาด 5 ลูก Olya กินลูกกวาด 3 ลูก แม่ใส่ขนมอีก 10 ลูกในแจกัน และในแจกันมีขนม 12 ลูก ตอนแรกมีลูกอมกี่ลูก?

13. ในบ้านมีบันได 1 ขั้นทอดจากชั้นใต้ดินไปยังชั้น 2 บันไดประกอบด้วยสองขั้น ขั้นละ 15 ขั้น (ขั้นหนึ่งจากชั้นใต้ดินถึงชั้นหนึ่ง และขั้นที่สองจากชั้นหนึ่งถึงชั้นสอง) เพชรยาอยู่ชั้นหนึ่ง ขั้นแรกเขาปีนบันไดขึ้น 7 ขั้น แล้วลง 13 ขั้น Petya อยู่ที่ไหน?

14. ตั๊กแตนกระโดดไปตามแกนตัวเลข ตั๊กแตนกระโดดหนึ่งอันมี 3 ส่วนบนแกน ตั๊กแตนกระโดดไปทางขวา 3 ครั้งก่อนแล้วจึงกระโดดไปทางซ้าย 5 ครั้ง ตั๊กแตนจะจบลงที่ใดหลังจากการกระโดดเหล่านี้หากเริ่มแรกเขาอยู่ใน 1) “+1”; 2) “-6”; 4) “+5”; ) “+ 3";7) "-1"

จนถึงตอนนี้เราเริ่มคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าตัวเลขที่เป็นปัญหาตอบคำถามว่า "เท่าไหร่" แต่จำนวนติดลบไม่สามารถตอบคำถามว่า “เท่าไหร่” ได้ ในแง่ชีวิตประจำวัน ตัวเลขติดลบเกี่ยวข้องกับหนี้สิน การสูญเสีย ด้วยการกระทำต่างๆ เช่น การด้อยค่า การกระโดดน้อยเกินไป น้ำหนักน้อยเกินไป เป็นต้น ในกรณีทั้งหมดเหล่านี้ เราเพียงแต่ลบหนี้ การขาดทุน น้ำหนักที่น้อยเกินไป ตัวอย่างเช่น,

  1. สำหรับคำถามที่ว่า “หนึ่งพันที่ไม่มี 100” คืออะไร เราต้องลบ 100 จาก 1,000 และรับ 900
  2. สำนวน "3 ชั่วโมงถึงหนึ่งในสี่" หมายความว่าเราต้องลบ 15 นาทีจาก 3 ชั่วโมง ดังนั้นเราจึงได้ 2 ชั่วโมง 45 นาที

ตอนนี้แก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

15. ซาช่าซื้อมา 200ก. น้ำมันแต่คนขายไร้ยางอายน้ำหนักต่ำกว่า 5 กรัม Sasha ซื้อเนยเท่าไหร่?

16.ระยะวิ่ง 5 กม. Volodya ออกจากการแข่งขันก่อนจะถึงเส้นชัย 200 ม. Volodya วิ่งไปไกลแค่ไหน?

17. เมื่อเติมน้ำผลไม้ลงในขวดสามลิตร แม่ไม่ได้เติมน้ำผลไม้ 100 มล. น้ำผลไม้อยู่ในขวดเท่าไหร่?

18. ภาพยนตร์ควรเริ่มตอนแปดนาทีถึงยี่สิบนาที หนังควรเริ่มฉายกี่โมงและกี่โมง?

19. ทันย่ามี 200 รูเบิล และเธอเป็นหนี้ Petya 50 รูเบิล หลังจากที่เธอชำระหนี้แล้วธัญญ่ามีเงินเหลืออยู่เท่าไหร่?

20. Petya และ Vanya ไปที่ร้าน Petya ต้องการซื้อหนังสือราคา 5 รูเบิล แต่เขามีเงินเพียง 3 รูเบิลเขาจึงยืม 2 รูเบิลจาก Vanya และซื้อหนังสือ คุณมีเงินเท่าไหร่หลังจากซื้อจาก Petya?

3 - 5 = -2 (จากสิ่งที่เขามีก่อนการซื้อลบราคาซื้อเราจะได้ -2 รูเบิลนั่นคือหนี้สองรูเบิล)

21. ในระหว่างวัน อุณหภูมิอากาศอยู่ที่ 3°C หรือ +3° และในเวลากลางคืน 4°F หรือ -4° อุณหภูมิลดลงกี่องศาคะ? และอุณหภูมิกลางคืนต่ำกว่าอุณหภูมิกลางวันกี่องศา?

22. ทันย่าตกลงที่จะพบกับ Volodya เวลาตีสี่ถึงเจ็ดโมง พวกเขาตกลงที่จะพบกันเวลาใดและกี่โมง?

23. ทิมและเพื่อนไปที่ร้านเพื่อซื้อหนังสือราคา 97 รูเบิล แต่เมื่อพวกเขามาที่ร้านปรากฎว่าหนังสือเล่มนี้มีราคาสูงขึ้นและเริ่มมีราคา 105 รูเบิล ทิมยืมเงินที่หายไปจากเพื่อนแต่ยังคงซื้อหนังสือเล่มนี้อยู่ ทิมเป็นหนี้เพื่อนของเขาเท่าไหร่?