ควรเป็นแบบวิศวกรรม - อันที่มีปุ่มที่มีเครื่องหมายรูท: "√" โดยปกติแล้วหากต้องการแยกรากก็เพียงพอที่จะพิมพ์ตัวเลขแล้วกดปุ่ม: "√"
โทรศัพท์มือถือสมัยใหม่ส่วนใหญ่มีแอปพลิเคชั่นเครื่องคิดเลขพร้อมฟังก์ชั่นการแยกรูท ขั้นตอนการค้นหารากของตัวเลขโดยใช้เครื่องคิดเลขทางโทรศัพท์จะคล้ายกับขั้นตอนข้างต้น
ตัวอย่าง.
หาได้จาก 2.
เปิดเครื่องคิดเลข (หากปิดอยู่) แล้วกดปุ่มต่อเนื่องโดยมีรูปสองและรูท (“2” “√”) ตามกฎแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องกดปุ่ม “=” ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลขเช่น 1.4142 (จำนวนหลักและ “ความกลม” ขึ้นอยู่กับความลึกของบิตและการตั้งค่าเครื่องคิดเลข)
หมายเหตุ: เมื่อพยายามค้นหาราก เครื่องคิดเลขมักจะแสดงข้อผิดพลาด
หากคุณสามารถเข้าถึงคอมพิวเตอร์ได้ การค้นหารากของตัวเลขนั้นง่ายมาก
1. คุณสามารถใช้แอปพลิเคชันเครื่องคิดเลขซึ่งมีอยู่ในคอมพิวเตอร์เกือบทุกเครื่อง สำหรับ Windows XP สามารถเปิดโปรแกรมนี้ได้ดังต่อไปนี้:
“เริ่ม” - “โปรแกรมทั้งหมด” - “อุปกรณ์เสริม” - “เครื่องคิดเลข”
ควรตั้งค่ามุมมองเป็น "ปกติ" จะดีกว่า อย่างไรก็ตาม ปุ่มสำหรับแยกรูทนั้นต่างจากเครื่องคิดเลขจริง ๆ ตรงที่มีเครื่องหมาย "sqrt" ไม่ใช่ "√"
หากคุณไม่สามารถเข้าใช้เครื่องคิดเลขตามวิธีการที่ระบุได้ คุณสามารถเรียกใช้เครื่องคิดเลขมาตรฐานแบบ "ด้วยตนเอง" ได้:
"เริ่ม" - "เรียกใช้" - "คำนวณ"
2. หากต้องการค้นหารากของตัวเลข คุณสามารถใช้บางโปรแกรมที่ติดตั้งบนคอมพิวเตอร์ของคุณได้ นอกจากนี้โปรแกรมยังมีเครื่องคิดเลขในตัวอีกด้วย
ตัวอย่างเช่น สำหรับแอปพลิเคชัน MS Excel คุณสามารถดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้:
เปิดตัว MS Excel
เราเขียนหมายเลขที่เราต้องแยกรากลงในเซลล์ใด ๆ
ย้ายตัวชี้เซลล์ไปยังตำแหน่งอื่น
กดปุ่มเลือกฟังก์ชั่น (fx)
เลือกฟังก์ชั่น "รูท"
เราระบุเซลล์ที่มีตัวเลขเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน
คลิก "ตกลง" หรือ "เข้าสู่"
ข้อดีของวิธีนี้ก็คือ ตอนนี้ก็เพียงพอที่จะป้อนค่าใดๆ ลงในเซลล์ด้วยตัวเลข เช่นเดียวกับในฟังก์ชัน .
บันทึก.
มีวิธีที่แปลกใหม่กว่าหลายวิธีในการค้นหารากของตัวเลข ตัวอย่างเช่น ใน “มุม” โดยใช้กฎสไลด์หรือตาราง Bradis อย่างไรก็ตาม วิธีการเหล่านี้ไม่ได้กล่าวถึงในบทความนี้ เนื่องจากมีความซับซ้อนและไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ
วิดีโอในหัวข้อ
แหล่งที่มา:
- วิธีค้นหารากของตัวเลข
บางครั้งสถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อคุณต้องทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์บางประเภท รวมถึงการแยกรากที่สองและรากที่มากขึ้นของตัวเลข รากที่ n ของตัวเลขคือตัวเลขที่มีกำลัง n คือตัวเลข a
คำแนะนำ
หากต้องการค้นหาราก "n" ของ ให้ทำดังต่อไปนี้
บนคอมพิวเตอร์ของคุณคลิก "เริ่ม" - "โปรแกรมทั้งหมด" - "อุปกรณ์เสริม" จากนั้นไปที่ส่วนย่อย "บริการ" และเลือก "เครื่องคิดเลข" คุณสามารถทำได้ด้วยตนเอง: คลิก Start พิมพ์ "calk" ในกล่อง Run แล้วกด Enter จะเปิด. หากต้องการแยกรากที่สองของตัวเลข ให้ใส่ลงในเครื่องคิดเลขแล้วกดปุ่ม "sqrt" เครื่องคิดเลขจะแยกรากระดับที่สองที่เรียกว่ารากที่สองออกจากตัวเลขที่ป้อน
ในการที่จะแยกรากที่มีดีกรีสูงกว่าวินาที คุณต้องใช้เครื่องคิดเลขประเภทอื่น ในการดำเนินการนี้ในอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขให้คลิกปุ่ม "ดู" และเลือกบรรทัด "วิศวกรรม" หรือ "วิทยาศาสตร์" จากเมนู เครื่องคิดเลขประเภทนี้มีฟังก์ชันที่จำเป็นในการคำนวณรากที่ n
หากต้องการแยกรากของระดับที่สาม () บนเครื่องคิดเลข "วิศวกรรม" ให้ป้อนหมายเลขที่ต้องการแล้วกดปุ่ม "3√" หากต้องการรับรูทที่มีดีกรีสูงกว่า 3 ให้ป้อนตัวเลขที่ต้องการ กดปุ่มที่มีไอคอน "y√x" จากนั้นป้อนตัวเลข - เลขชี้กำลัง หลังจากนั้นกดเครื่องหมายเท่ากับ (ปุ่ม “=”) แล้วคุณจะได้รูทที่ต้องการ
หากเครื่องคิดเลขของคุณไม่มีฟังก์ชัน "y√x" ให้ทำดังนี้
หากต้องการแยกรากที่สาม ให้ป้อนนิพจน์ราก จากนั้นทำเครื่องหมายในช่องซึ่งอยู่ถัดจากคำจารึกว่า "Inv" ด้วยการกระทำนี้ คุณจะย้อนกลับฟังก์ชันของปุ่มเครื่องคิดเลข กล่าวคือ เมื่อคลิกที่ปุ่มลูกบาศก์ คุณจะแยกรากของลูกบาศก์ออก บนปุ่มที่คุณ
วิธีการแยกราก จากหมายเลข ในบทความนี้ เราจะเรียนรู้วิธีการหารากที่สองของตัวเลขสี่และห้าหลัก
ลองใช้รากที่สองของ 1936 เป็นตัวอย่าง
เพราะฉะนั้น, 
.
หลักสุดท้ายในหมายเลข 1936 คือหมายเลข 6 กำลังสองของหมายเลข 4 และหมายเลข 6 สิ้นสุดที่ 6 ดังนั้น 1936 อาจเป็นกำลังสองของหมายเลข 44 หรือหมายเลข 46 ยังคงต้องตรวจสอบโดยใช้การคูณ
วิธี,
ลองหารากที่สองของจำนวน 15129 กัน
เพราะฉะนั้น, 
.
หลักสุดท้ายในหมายเลข 15129 คือหมายเลข 9 กำลังสองของหมายเลข 3 และหมายเลข 7 ลงท้ายด้วย 9 ดังนั้น 15129 อาจเป็นกำลังสองของหมายเลข 123 หรือหมายเลข 127 ลองตรวจสอบโดยใช้การคูณกัน
วิธี, 
วิธีแยกรูท - วิดีโอ
และตอนนี้ฉันขอแนะนำให้คุณดูวิดีโอของ Anna Denisova - “วิธีการสกัดราก "ผู้เขียนเว็บไซต์" ฟิสิกส์ง่ายๆ" ซึ่งเธออธิบายวิธีหารากที่สองและรากที่สามโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
วิดีโอกล่าวถึงวิธีการแยกรากหลายวิธี:
1. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแยกรากที่สอง
2. โดยการเลือกโดยใช้กำลังสองของผลรวม
3. วิธีการแบบบาบิโลน
4. วิธีการแยกรากที่สองของคอลัมน์
5. วิธีที่รวดเร็วในการแยกรากที่สาม
6. วิธีการแยกรากที่สามในคอลัมน์
ข้อเท็จจริง 1.
\(\bullet\) ลองใช้จำนวนที่ไม่เป็นลบ \(a\) (นั่นคือ \(a\geqslant 0\) ) จากนั้น (เลขคณิต) รากที่สองจากตัวเลข \(a\) เรียกว่าตัวเลขที่ไม่เป็นลบ \(b\) เมื่อยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(เหมือนกับ )\quad a=b^2\]จากคำจำกัดความก็เป็นไปตามนั้น \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ข้อจำกัดเหล่านี้เป็นเงื่อนไขสำคัญสำหรับการมีอยู่ของรากที่สองและควรจำไว้!
โปรดจำไว้ว่าตัวเลขใดๆ เมื่อยกกำลังสองแล้วให้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ \(100^2=10000\geqslant 0\) และ \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) เท่ากับเท่าไร? เรารู้ว่า \(5^2=25\) และ \((-5)^2=25\) เนื่องจากตามคำจำกัดความ เราจะต้องค้นหาจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(-5\) จึงไม่เหมาะสม ดังนั้น \(\sqrt(25)=5\) (เนื่องจาก \(25=5^2\) )
การค้นหาค่าของ \(\sqrt a\) เรียกว่าการหารากที่สองของตัวเลข \(a\) และตัวเลข \(a\) เรียกว่านิพจน์ราก
\(\bullet\) ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ นิพจน์ \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) ฯลฯ ไม่สมเหตุสมผลเลย
ข้อเท็จจริง 2.
สำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็ว จะเป็นประโยชน์ในการเรียนรู้ตารางกำลังสองของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ \(1\) ถึง \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(อาร์เรย์)\]
ข้อเท็จจริง 3.
การดำเนินการใดที่คุณสามารถดำเนินการกับรากที่สองได้?
\(\กระสุน\) ผลรวมหรือผลต่างของรากที่สองไม่เท่ากับรากที่สองของผลรวมหรือผลต่าง กล่าวคือ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ดังนั้น หากคุณต้องการคำนวณ เช่น \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ในตอนแรกคุณจะต้องค้นหาค่าของ \(\sqrt(25)\) และ \(\ sqrt(49)\ ) แล้วพับมัน เพราะฉะนั้น, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] หากไม่พบค่า \(\sqrt a\) หรือ \(\sqrt b\) เมื่อเพิ่ม \(\sqrt a+\sqrt b\) แสดงว่านิพจน์ดังกล่าวจะไม่ถูกแปลงเพิ่มเติมและคงอยู่เหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) เราสามารถหา \(\sqrt(49)\) คือ \(7\) แต่ \(\sqrt 2\) ไม่สามารถแปลงเป็น ยังไงก็ตาม นั่นคือเหตุผล \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\)- ขออภัย ไม่สามารถทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นได้อีก\(\bullet\) ผลคูณ/ผลหารของรากที่สองเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์/ผลหาร นั่นคือ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (โดยมีเงื่อนไขว่าความเสมอภาคทั้งสองฝ่ายสมเหตุสมผล)
ตัวอย่าง: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\)- \(\bullet\) การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ ทำให้สะดวกในการค้นหารากที่สองของจำนวนมากโดยการแยกตัวประกอบพวกมัน
ลองดูตัวอย่าง \(\sqrt(44100)\) มาหากัน ตั้งแต่ \(44100:100=441\) แล้ว \(44100=100\cdot 441\) ตามเกณฑ์การหารลงตัว จำนวน \(441\) หารด้วย \(9\) ลงตัว (เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 9 และหารด้วย 9 ลงตัว) ดังนั้น \(441:9=49\) นั่นคือ \(441=9\ cdot 49\)
ดังนั้นเราจึงได้: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]ลองดูตัวอย่างอื่น: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) มาแสดงวิธีการป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองโดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ \(5\sqrt2\) (รูปแบบย่อสำหรับนิพจน์ \(5\cdot \sqrt2\)) เนื่องจาก \(5=\sqrt(25)\) ดังนั้น \
โปรดทราบด้วยว่า ตัวอย่างเช่น
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)
ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? เรามาอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่ 1) ดังที่คุณเข้าใจแล้ว เราไม่สามารถแปลงตัวเลข \(\sqrt2\) ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ลองจินตนาการว่า \(\sqrt2\) เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง \(a\) ดังนั้น นิพจน์ \(\sqrt2+3\sqrt2\) ไม่มีอะไรมากไปกว่า \(a+3a\) (ตัวเลขหนึ่งตัว \(a\) บวกกับตัวเลขเดียวกันอีกสามจำนวน \(a\)) และเรารู้ว่านี่เท่ากับตัวเลขสี่ตัว \(a\) นั่นคือ \(4\sqrt2\)
ข้อเท็จจริง 4.
\(\bullet\) พวกเขามักจะพูดว่า “คุณไม่สามารถแยกราก” เมื่อคุณไม่สามารถกำจัดเครื่องหมาย \(\sqrt () \ \) ของราก (ราก) เมื่อค้นหาค่าของตัวเลข . ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหารากของตัวเลข \(16\) เพราะ \(16=4^2\) ดังนั้น \(\sqrt(16)=4\) แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของตัวเลข \(3\) กล่าวคือ หา \(\sqrt3\) เพราะไม่มีตัวเลขยกกำลังสองที่จะให้ \(3\)
ตัวเลขดังกล่าว (หรือสำนวนที่มีตัวเลขดังกล่าว) ถือเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น ตัวเลข \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)ฯลฯ ไม่มีเหตุผล
ตัวเลขที่ไม่ลงตัวเช่นกัน \(\pi\) (ตัวเลข “pi” ประมาณเท่ากับ \(3.14\)), \(e\) (ตัวเลขนี้เรียกว่าเลขออยเลอร์ ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ \(2.7 \)) ฯลฯ
\(\bullet\) โปรดทราบว่าจำนวนใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ และจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมดรวมกันรวมกันเป็นชุดที่เรียกว่า ชุดของจำนวนจริงชุดนี้แสดงด้วยตัวอักษร \(\mathbb(R)\)
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งหมดที่เรารู้ในปัจจุบันเรียกว่าจำนวนจริง
ข้อเท็จจริง 5.
\(\bullet\) โมดูลัสของจำนวนจริง \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ \(|a|\) เท่ากับระยะห่างจากจุด \(a\) ถึง \(0\) บน เส้นจริง ตัวอย่างเช่น \(|3|\) และ \(|-3|\) เท่ากับ 3 เนื่องจากระยะห่างจากจุด \(3\) และ \(-3\) ถึง \(0\) คือ เหมือนกันและเท่ากับ \(3 \)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(|a|=a\)
ตัวอย่าง: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ดังนั้น \(|a|=-a\) ตัวอย่าง: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
ว่ากันว่าสำหรับจำนวนลบ โมดูลัสจะ "กิน" ลบ ในขณะที่จำนวนบวกและจำนวน \(0\) จะไม่เปลี่ยนแปลงโดยโมดูลัสแต่ กฎนี้ใช้กับตัวเลขเท่านั้น หากภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสของคุณ มี \(x\) ที่ไม่รู้จัก (หรือบางอย่างที่ไม่รู้จัก) ตัวอย่างเช่น \(|x|\) ซึ่งเราไม่รู้ว่ามันเป็นค่าบวก ศูนย์ หรือค่าลบ ให้กำจัดออกไป ของโมดูลัสเราทำไม่ได้ ในกรณีนี้ นิพจน์นี้ยังคงเหมือนเดิม: \(|x|\)บ่อยครั้งมากที่เกิดข้อผิดพลาดต่อไปนี้ พวกเขาบอกว่า \(\sqrt(a^2)\) และ \((\sqrt a)^2\) เป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน สิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ \(a\) เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ แต่ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ นี่จะเป็นเท็จ พิจารณาตัวอย่างนี้ก็พอแล้ว ลองใช้แทน \(a\) จำนวน \(-1\) ดังนั้น \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) แต่นิพจน์ \((\sqrt (-1))^2\) ไม่มีอยู่เลย (หลังจากทั้งหมด ไม่สามารถใช้เครื่องหมายรูทใส่ตัวเลขติดลบได้!)
ดังนั้นเราจึงดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่า \(\sqrt(a^2)\) ไม่เท่ากับ \((\sqrt a)^2\) !ตัวอย่าง: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), เพราะ \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) เนื่องจาก \(\sqrt(a^2)=|a|\) ดังนั้น \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(นิพจน์ \(2n\) หมายถึงเลขคู่)
นั่นคือเมื่อหารากของตัวเลขที่อยู่ในระดับหนึ่ง ระดับนี้จะลดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่าง:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (โปรดทราบว่าหากไม่ได้ระบุโมดูล ปรากฎว่ารากของตัวเลขเท่ากับ \(-25\ ) ; แต่เราจำได้ว่า ตามคำจำกัดความของรูท สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้: เมื่อแยกรูท เราควรจะได้จำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่เป็นกำลังคู่จึงไม่เป็นลบ)
ข้อเท็จจริง 6.
จะเปรียบเทียบรากที่สองสองตัวได้อย่างไร?<\sqrt b\)
, то \(a
\(\bullet\) สำหรับรากที่สอง มันจะเป็นจริง: ถ้า \(\sqrt a 1) เปรียบเทียบ \(\sqrt(50)\) และ \(6\sqrt2\) ขั้นแรก เรามาแปลงนิพจน์ที่สองเป็น\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
- ดังนั้น เนื่องจาก \(50
2) \(\sqrt(50)\) ตั้งอยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
เนื่องจาก \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) และ \(49 3) ลองเปรียบเทียบ \(\sqrt 2-1\) และ \(0.5\) สมมติว่า \(\sqrt2-1>0.5\) :\[\begin(ชิด) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((เพิ่มหนึ่งอันทั้งสองด้าน))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((กำลังสองทั้งสองด้าน))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(ชิด)\]<0,5\)
.
เราเห็นว่าเราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้องและ \(\sqrt 2-1
คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ/อสมการได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองฝ่ายไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ในอสมการจากตัวอย่างที่แล้ว คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ ในอสมการ \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) ควรจำไว้ว่า \[\begin(ชิด) &\sqrt 2\ประมาณ 1.4\\ &\sqrt 3\ประมาณ 1.7 \end(ชิด)\]การรู้ความหมายโดยประมาณของตัวเลขเหล่านี้จะช่วยคุณในการเปรียบเทียบตัวเลขได้!
\(\bullet\) เพื่อที่จะแยกราก (หากสามารถแยกได้) จากจำนวนจำนวนมากที่ไม่อยู่ในตารางกำลังสอง คุณต้องพิจารณาว่ามันอยู่ระหว่าง "ร้อย" ก่อน จากนั้น - ระหว่าง " หลักสิบ” แล้วกำหนดหลักสุดท้ายของจำนวนนี้ มาแสดงวิธีการทำงานด้วยตัวอย่าง
\(\sqrt(28224)\) กันเถอะ เรารู้ว่า \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) ฯลฯ โปรดทราบว่า \(28224\) อยู่ระหว่างและ \(10\,000\) \(40\,000\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่างและ \(100\) \(200\)
ตอนนี้เรามาดูกันว่าตัวเลขของเราอยู่ระหว่าง "สิบ" ไหน (เช่น ระหว่าง \(120\) ถึง \(130\)) จากตารางสี่เหลี่ยมเรารู้ว่า \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ฯลฯ จากนั้น \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ดังนั้นเราจึงเห็นว่า \(28224\) อยู่ระหว่างและ \(160^2\) \(170^2\) ดังนั้น ตัวเลข \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(160\) และ \(170\)
ลองกำหนดหลักสุดท้าย จำไว้ว่าตัวเลขหลักเดียวตัวใดเมื่อยกกำลังสอง ให้ \(4\) ต่อท้าย? เหล่านี้คือ \(2^2\) และ \(8^2\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) จะลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 มาตรวจสอบกัน มาหา \(162^2\) และ \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ดังนั้น \(\sqrt(28224)=168\) เอาล่ะ!
เพื่อที่จะแก้ปัญหาการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ คุณต้องศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีก่อนซึ่งจะแนะนำให้คุณรู้จักกับทฤษฎีบท สูตร อัลกอริธึม ฯลฯ มากมาย เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่านี่ค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตามการค้นหาแหล่งที่มาซึ่งนำเสนอทฤษฎีสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่ง่ายและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมทุกระดับนั้นเป็นงานที่ค่อนข้างยาก หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่สามารถเก็บไว้ในมือได้ตลอดเวลา และการค้นหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้แต่บนอินเทอร์เน็ต
- เหตุใดการเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จึงสำคัญไม่เพียงแต่สำหรับผู้ที่เข้าสอบ Unified State เท่านั้น- การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับใครก็ตามที่ต้องการได้รับคำตอบสำหรับคำถามที่หลากหลายที่เกี่ยวข้องกับความรู้เกี่ยวกับโลกรอบตัวพวกเขา ทุกสิ่งในธรรมชาติมีระเบียบและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนให้เห็นในวิทยาศาสตร์อย่างชัดเจน ซึ่งทำให้สามารถเข้าใจโลกได้
- เพราะมันจะทำให้มีสติปัญญา- โดยการศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนการแก้ปัญหาต่าง ๆ บุคคลจะเรียนรู้ที่จะคิดและมีเหตุผลอย่างมีเหตุผลเพื่อกำหนดความคิดอย่างมีประสิทธิภาพและชัดเจน เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ สรุป และสรุปผล
เราขอเชิญคุณประเมินข้อดีทั้งหมดของแนวทางการจัดระบบและการนำเสนอสื่อการศึกษาเป็นการส่วนตัว
ในคำนำฉบับพิมพ์ครั้งแรกของเขา "ในอาณาจักรแห่งความเฉลียวฉลาด" (1908) E. I. Ignatiev เขียนว่า: "... ความคิดริเริ่มทางปัญญาสติปัญญาที่รวดเร็วและ "ความเฉลียวฉลาด" ไม่สามารถ "เจาะ" หรือ "ใส่" ในหัวของใครก็ได้ ผลลัพธ์จะเชื่อถือได้ก็ต่อเมื่อมีการแนะนำความรู้ทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่ง่ายและน่าพึงพอใจ โดยใช้วัตถุและตัวอย่างจากสถานการณ์ปกติและในชีวิตประจำวัน คัดเลือกด้วยไหวพริบและความบันเทิงที่เหมาะสม”
ในคำนำของฉบับปี 1911 “บทบาทของความทรงจำในคณิตศาสตร์” E.I. Ignatiev เขียนว่า “... ในวิชาคณิตศาสตร์ ไม่ใช่สูตรที่ควรจำ แต่เป็นกระบวนการคิด”
หากต้องการแยกรากที่สอง จะมีตารางกำลังสองสำหรับตัวเลขสองหลัก คุณสามารถแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะและแยกรากที่สองของผลคูณได้ ตารางสี่เหลี่ยมบางครั้งไม่เพียงพอ การแยกรากด้วยการแยกตัวประกอบเป็นงานที่ใช้เวลานาน ซึ่งไม่ได้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการเสมอไป ลองหารากที่สองของ 209764 ดูไหม? การแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะจะได้ผลคูณ 2*2*52441 โดยการลองผิดลองถูกการเลือก - แน่นอนว่าสามารถทำได้หากคุณแน่ใจว่านี่คือจำนวนเต็ม วิธีที่ผมอยากเสนอให้คุณหาค่ารากที่สองได้ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม
กาลครั้งหนึ่งที่สถาบัน (Perm State Pedagogical Institute) เราได้รับการแนะนำให้รู้จักกับวิธีนี้ซึ่งตอนนี้ฉันอยากจะพูดถึง ฉันไม่เคยสงสัยว่าวิธีนี้มีหลักฐานหรือไม่ ดังนั้นตอนนี้ฉันต้องอนุมานหลักฐานบางส่วนด้วยตัวเอง
พื้นฐานของวิธีนี้คือองค์ประกอบของตัวเลข =
=& เช่น & 2 =596334.
1. แบ่งตัวเลข (5963364) เป็นคู่จากขวาไปซ้าย (5`96`33`64)
2. แยกรากที่สองของกลุ่มแรกทางซ้าย ( - หมายเลข 2) นี่คือวิธีที่เราได้ตัวเลขตัวแรกของ &
3. ค้นหากำลังสองของหลักแรก (2 2 =4)
4. จงหาผลต่างระหว่างกลุ่มแรกกับกำลังสองของหลักแรก (5-4=1)
5. เราลบตัวเลขสองหลักถัดไป (เราได้หมายเลข 196)
6. เพิ่มตัวเลขตัวแรกที่เราพบเป็นสองเท่าแล้วเขียนไว้ทางด้านซ้ายหลังเส้น (2*2=4)
7. ตอนนี้เราต้องหาหลักที่สองของตัวเลข &: สองเท่าของหลักแรกที่เราพบกลายเป็นหลักสิบของตัวเลข ซึ่งเมื่อคูณด้วยจำนวนหน่วยแล้ว จะต้องได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 196 (นี่คือ เลข 4, 44*4=176) 4 คือหลักที่สองของ &
8. ค้นหาความแตกต่าง (196-176=20)
9. เราทำลายกลุ่มถัดไป (เราได้หมายเลข 2033)
10. เพิ่มเลข 24 เป็นสองเท่า เราได้ 48
มีสิบ 11.48 ในจำนวน เมื่อคูณด้วยจำนวนหลักเราควรได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 2033 (484*4=1936) หลักหน่วยที่เราพบ (4) คือหลักที่สามของตัวเลข &
ข้าพเจ้าได้ให้หลักฐานไว้แล้วในกรณีดังต่อไปนี้
1. แยกรากที่สองของตัวเลขสามหลัก
2. แยกรากที่สองของตัวเลขสี่หลัก
วิธีโดยประมาณในการแยกรากที่สอง (โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข)
1. ชาวบาบิโลนโบราณใช้วิธีการต่อไปนี้เพื่อค้นหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวน x พวกเขาแสดงตัวเลข x เป็นผลรวมของ a 2 + b โดยที่ 2 คือกำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติ a (a 2 ? x) ที่ใกล้กับตัวเลข x มากที่สุด และใช้สูตร 
. (1)
โดยใช้สูตร (1) เราแยกรากที่สองจากหมายเลข 28:
ผลลัพธ์ของการแยกรากของ 28 โดยใช้ MK คือ 5.2915026
ดังที่คุณเห็นแล้วว่าวิธีแบบบาบิโลนให้ค่าประมาณค่าที่แน่นอนของรากได้ดี
2. ไอแซก นิวตันได้พัฒนาวิธีการหารากที่สองซึ่งมีมาตั้งแต่สมัยนกกระสาแห่งอเล็กซานเดรีย (ประมาณ ค.ศ. 100) วิธีการนี้ (เรียกว่าวิธีของนิวตัน) มีดังต่อไปนี้
อนุญาต 1- การประมาณค่าแรกของตัวเลข (ในฐานะ 1 คุณสามารถรับค่าของรากที่สองของจำนวนธรรมชาติได้ - กำลังสองที่แน่นอนไม่เกิน เอ็กซ์) .
ถัดไป การประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น 2ตัวเลข
พบได้ตามสูตร 
.
บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาเราต้องเผชิญกับปัญหาจำนวนมากซึ่งเราต้องแยกออกมา รากที่สอง- นักเรียนหลายคนตัดสินใจว่านี่เป็นข้อผิดพลาดและเริ่มแก้ไขตัวอย่างทั้งหมดใหม่ ไม่ควรทำเช่นนี้ไม่ว่าในกรณีใด! มีสองเหตุผลสำหรับสิ่งนี้:
- รากจำนวนมากมักปรากฏอยู่ในปัญหา โดยเฉพาะในข้อความ
- มีอัลกอริธึมที่ใช้คำนวณรากเหล่านี้เกือบจะเป็นปากเปล่า
เราจะพิจารณาอัลกอริทึมนี้ในวันนี้ บางทีบางสิ่งอาจดูไม่เข้าใจสำหรับคุณ แต่ถ้าคุณใส่ใจกับบทเรียนนี้ คุณจะได้รับอาวุธที่ทรงพลังในการต่อต้าน รากที่สอง.
ดังนั้นอัลกอริทึม:
- จำกัดรากที่ต้องการด้านบนและด้านล่างให้เป็นตัวเลขที่ทวีคูณของ 10 ดังนั้น เราจะลดช่วงการค้นหาลงเหลือ 10 หมายเลข
- จากตัวเลขทั้ง 10 นี้ ให้กำจัดสิ่งที่ไม่สามารถหยั่งรากได้อย่างแน่นอน เป็นผลให้ตัวเลข 1-2 จะยังคงอยู่
- ยกกำลังสองตัวเลข 1-2 นี้ ผู้ที่มีกำลังสองเท่ากับตัวเลขเดิมจะเป็นราก
ก่อนที่จะนำอัลกอริทึมนี้ไปปฏิบัติ มาดูแต่ละขั้นตอนกันก่อน
ข้อจำกัดของรูท
ก่อนอื่น เราต้องค้นหาก่อนว่ารูทของเราอยู่ระหว่างเลขใด เป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่ตัวเลขจะเป็นทวีคูณของสิบ:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
เราได้รับชุดตัวเลข:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
ตัวเลขเหล่านี้บอกอะไรเรา? ง่ายมาก: เรามีขอบเขต ตัวอย่างเช่น หมายเลข 1296 อยู่ระหว่าง 900 ถึง 1600 ดังนั้นรากของมันต้องไม่น้อยกว่า 30 และมากกว่า 40:
[คำบรรยายภาพ]
เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ที่ใช้หารากที่สองได้ ตัวอย่างเช่น 3364:
[คำบรรยายภาพ]ดังนั้น แทนที่จะเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถเข้าใจได้ เราจะได้ช่วงที่เฉพาะเจาะจงมากซึ่งมีรากดั้งเดิมอยู่ หากต้องการจำกัดพื้นที่การค้นหาให้แคบลง ให้ไปยังขั้นตอนที่สอง
กำจัดตัวเลขที่ไม่จำเป็นอย่างเห็นได้ชัด
เรามีตัวเลข 10 ตัว - ตัวเลือกสำหรับรูท เราได้มันมาเร็วมาก โดยไม่ต้องคิดที่ซับซ้อนและการคูณในคอลัมน์เดียว ถึงเวลาที่จะเดินหน้าต่อไป
เชื่อหรือไม่ว่า ตอนนี้เราจะลดจำนวนผู้สมัครให้เหลือสอง - อีกครั้งโดยไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนใดๆ! ก็เพียงพอที่จะรู้กฎพิเศษ นี่คือ:
หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมจะขึ้นอยู่กับหลักสุดท้ายเท่านั้น หมายเลขเดิม.
กล่าวอีกนัยหนึ่ง แค่ดูที่หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมแล้วเราจะเข้าใจทันทีว่าตัวเลขเดิมสิ้นสุดที่ใด
มีเพียง 10 หลักเท่านั้นที่จะมาอยู่อันดับสุดท้ายได้ ลองหาดูว่าพวกมันกลายเป็นอะไรเมื่อยกกำลังสอง ลองดูที่ตาราง:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
ตารางนี้เป็นอีกขั้นตอนหนึ่งในการคำนวณรูท อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขในบรรทัดที่สองกลายเป็นสมมาตรสัมพันธ์กับห้าตัว ตัวอย่างเช่น:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
อย่างที่คุณเห็นตัวเลขหลักสุดท้ายจะเหมือนกันในทั้งสองกรณี ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น รากของ 3364 จะต้องลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 ในทางกลับกัน เราจำข้อจำกัดจากย่อหน้าก่อนหน้าได้ เราได้รับ:
[คำบรรยายภาพ] สี่เหลี่ยมสีแดงแสดงว่าเรายังไม่ทราบตัวเลขนี้ แต่รากอยู่ในช่วง 50 ถึง 60 ซึ่งมีเพียงตัวเลขสองตัวที่ลงท้ายด้วย 2 และ 8 เท่านั้น:
[คำบรรยายภาพ]แค่นั้นแหละ! จากรากที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราเหลือเพียงสองทางเลือกเท่านั้น! และนี่คือในกรณีที่ยากที่สุด เพราะหลักสุดท้ายอาจเป็น 5 หรือ 0 แล้วจะมีผู้สมัครเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะเป็นราก!
การคำนวณขั้นสุดท้าย
ดังนั้นเราจึงเหลือหมายเลขผู้สมัคร 2 ตัว. จะรู้ได้อย่างไรว่าอันไหนคือต้นตอ? คำตอบนั้นชัดเจน: ยกกำลังสองตัวเลขทั้งสอง ตัวที่ยกกำลังสองให้ตัวเลขเดิมจะเป็นราก
ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลข 3364 เราพบหมายเลขที่เป็นตัวเลือกสองตัว: 52 และ 58 ลองยกกำลังสองกัน:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364
แค่นั้นแหละ! ปรากฎว่ารูตอยู่ที่ 58! ในเวลาเดียวกัน เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ฉันใช้สูตรกำลังสองของผลรวมและผลต่าง ด้วยเหตุนี้ ฉันจึงไม่ต้องคูณตัวเลขลงในคอลัมน์ด้วยซ้ำ! นี่เป็นอีกระดับหนึ่งของการปรับการคำนวณให้เหมาะสม แต่แน่นอนว่าเป็นทางเลือกโดยสมบูรณ์ :)
ตัวอย่างการคำนวณราก
แน่นอนว่าทฤษฎีก็ดี แต่ลองตรวจสอบในทางปฏิบัติ
[คำบรรยายภาพ]
ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าหมายเลข 576 อยู่ระหว่างหมายเลขใด:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
ทีนี้มาดูตัวเลขสุดท้ายกัน เท่ากับ 6. สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อใด? เฉพาะในกรณีที่รากลงท้ายด้วย 4 หรือ 6 เราได้ตัวเลขสองตัว:
สิ่งที่เหลืออยู่คือการยกกำลังสองแต่ละหมายเลขแล้วเปรียบเทียบกับตัวเลขดั้งเดิม:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
ยอดเยี่ยม! สี่เหลี่ยมแรกกลายเป็นเลขเดิม นี่คือราก
งาน. คำนวณรากที่สอง:
[คำบรรยายภาพ]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
ลองดูที่หลักสุดท้าย:
1369 → 9;
33; 37.
ยกกำลังสอง:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1,089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369
นี่คือคำตอบ: 37.
งาน. คำนวณรากที่สอง:
[คำบรรยายภาพ]
เราจำกัดจำนวน:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
ลองดูที่หลักสุดท้าย:
2704 → 4;
52; 58.
ยกกำลังสอง:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
เราได้รับคำตอบ: 52 ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสองอีกต่อไป
งาน. คำนวณรากที่สอง:
[คำบรรยายภาพ]
เราจำกัดจำนวน:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
ลองดูที่หลักสุดท้าย:
4225 → 5;
65.
อย่างที่คุณเห็นหลังจากขั้นตอนที่สองเหลือเพียงตัวเลือกเดียว: 65 นี่คือรูทที่ต้องการ แต่เรายังคงยกกำลังสองและตรวจสอบ:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
ทุกอย่างถูกต้อง เราเขียนคำตอบ
บทสรุป
อนิจจาไม่ดีกว่า มาดูสาเหตุกัน มีสองคน:
- ในการสอบคณิตศาสตร์ทั่วไป ไม่ว่าจะเป็นการสอบ State หรือ Unified State Exam ห้ามใช้เครื่องคิดเลข และถ้าคุณนำเครื่องคิดเลขมาเรียน คุณจะถูกไล่ออกจากข้อสอบได้ง่ายๆ
- อย่าเป็นเหมือนคนอเมริกันโง่ ๆ ซึ่งไม่เหมือนกับราก - ไม่สามารถบวกเลขจำนวนเฉพาะสองตัวได้ และเมื่อพวกเขาเห็นเศษส่วน พวกเขามักจะมีอาการวิตกกังวล