จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของตัวอักษรของคำว่า "กรวย" ซึ่งตัวอักษรนั้น ก) เหตุการณ์นี้เชื่อถือได้ เนื่องจากในภาษารัสเซียไม่มีคำนามที่ประกอบด้วยพยัญชนะเท่านั้น

ในวิชาเชิงผสม พวกเขาศึกษาคำถามเกี่ยวกับจำนวนการรวมกันบางประเภทที่สามารถสร้างขึ้นจากวัตถุที่กำหนด (องค์ประกอบ)

การกำเนิดของ Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งมีความเกี่ยวข้องกับผลงานของ B. Pascal และ P. Fermat ในทฤษฎี การพนัน- G.V. มีส่วนสนับสนุนอย่างมากในการพัฒนาวิธีการเชิงผสมผสาน ไลบ์นิซ, เจ. เบอร์นูลลี และแอล. ออยเลอร์.

แบลส ปาสกาล นักปรัชญา นักเขียน นักคณิตศาสตร์ และนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส (ค.ศ. 1623–1662) แสดงให้เห็นความโดดเด่นของเขา ทักษะทางคณิตศาสตร์- ความสนใจทางคณิตศาสตร์ของปาสคาลมีความหลากหลายมาก ปาสคาลได้พิสูจน์สิ่งหนึ่งแล้ว
จากทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตฉายภาพ (ทฤษฎีบทของปาสคาล) ได้ออกแบบเครื่องบวก (เครื่องบวกของปาสคาล) ได้ให้วิธีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม (สามเหลี่ยมของปาสคาล) เป็นครั้งแรกที่นิยามและประยุกต์วิธีการพิสูจน์ได้อย่างแม่นยำ การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ถือเป็นก้าวสำคัญในการพัฒนาการวิเคราะห์ที่ไร้ขอบเขต บทบาทที่สำคัญในต้นกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ในด้านอุทกสถิต ปาสคาลได้กำหนดกฎพื้นฐานขึ้นมา (กฎของปาสคาล) “จดหมายถึงจังหวัด” ของปาสคาลเป็นผลงานชิ้นเอกของร้อยแก้วคลาสสิกของฝรั่งเศส

กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ (ค.ศ. 1646–1716) เป็นนักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักประดิษฐ์ ทนายความ นักประวัติศาสตร์ และนักภาษาศาสตร์ชาวเยอรมัน ในด้านคณิตศาสตร์ เขาได้พัฒนาอนุพันธ์และ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์. การมีส่วนร่วมที่สำคัญมีส่วนทำให้เกิดการผสมผสาน โดยเฉพาะชื่อของเขามีความเกี่ยวข้องกับปัญหาทางทฤษฎีจำนวน

Gottfried Wilhelm Leibniz มีรูปลักษณ์ที่น่าประทับใจเพียงเล็กน้อยดังนั้นจึงให้ความรู้สึกเป็นคนที่ค่อนข้างธรรมดา วันหนึ่งเขาเข้าไปในปารีส ร้านหนังสือด้วยความหวังที่จะซื้อหนังสือจากเพื่อนนักปรัชญาของเขา เมื่อแขกคนหนึ่งถามถึงหนังสือเล่มนี้ คนขายหนังสือก็ตรวจดูตั้งแต่หัวจรดเท้าแล้วพูดเยาะเย้ยว่า “ทำไมคุณถึงต้องการมัน? คุณสามารถอ่านหนังสือประเภทนี้ได้จริงหรือ?” ก่อนที่นักวิทยาศาสตร์จะมีเวลาตอบ ผู้เขียนหนังสือเล่มนี้ก็เข้าไปในร้านพร้อมกับคำว่า "สวัสดีและเคารพต่อ Great Leibniz!" ผู้ขายไม่สามารถเข้าใจได้ว่านี่คือไลบ์นิซผู้โด่งดังซึ่งมีหนังสือเป็นที่ต้องการอย่างมากในหมู่นักวิทยาศาสตร์

ในอนาคตสิ่งต่อไปนี้จะมีบทบาทสำคัญ

เล็มมาอนุญาตในชุดขององค์ประกอบและในชุด - องค์ประกอบ จากนั้นจำนวนคู่ที่แตกต่างทั้งหมดซึ่งจะเท่ากับ

การพิสูจน์.อันที่จริง ด้วยองค์ประกอบเดียวจากชุดหนึ่ง เราสามารถสร้างคู่ที่แตกต่างกันเช่นนั้นได้ และรวมเป็นชุดขององค์ประกอบด้วย

ตำแหน่ง การเรียงสับเปลี่ยน การรวมกัน

ขอให้เรามีองค์ประกอบสามชุด เราจะเลือกสององค์ประกอบเหล่านี้ได้อย่างไร? -

คำนิยาม.ตำแหน่งของหลาย ๆ องค์ประกอบต่างๆโดยองค์ประกอบคือการรวมกันที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่กำหนดโดยองค์ประกอบ > และแตกต่างกันในองค์ประกอบเองหรือตามลำดับขององค์ประกอบ

จำนวนตำแหน่งทั้งหมดของชุดองค์ประกอบตามองค์ประกอบจะแสดงด้วย (จาก จดหมายเริ่มต้น คำภาษาฝรั่งเศส“การจัดเตรียม” ซึ่งหมายถึงการจัดวาง) โดยที่ และ .

ทฤษฎีบท.จำนวนตำแหน่งของชุดองค์ประกอบตามองค์ประกอบจะเท่ากับ

การพิสูจน์.สมมติว่าเรามีองค์ประกอบ ปล่อยให้เป็นตำแหน่งที่เป็นไปได้ เราจะสร้างตำแหน่งเหล่านี้ตามลำดับ ขั้นแรก เรามากำหนดองค์ประกอบตำแหน่งแรกกันก่อน สามารถเลือกได้จากชุดองค์ประกอบที่กำหนด ในรูปแบบต่างๆ- หลังจากเลือกองค์ประกอบแรกแล้ว ยังมีวิธีเลือกองค์ประกอบที่สอง ฯลฯ เนื่องจากแต่ละตัวเลือกดังกล่าวทำให้เกิดตำแหน่งใหม่ ตัวเลือกทั้งหมดเหล่านี้จึงสามารถรวมเข้าด้วยกันได้อย่างอิสระ ดังนั้นเราจึงมี:

ตัวอย่าง.ธงสามารถประกอบด้วยแถบแนวนอนสามแถบได้กี่วิธี? สีต่างๆถ้ามีวัสดุห้าสี?

สารละลาย.จำนวนธงสามแบนด์ที่ต้องการ:

คำนิยาม.การเรียงสับเปลี่ยนชุดขององค์ประกอบคือการจัดเรียงองค์ประกอบต่างๆ ในลำดับที่แน่นอน.

ดังนั้นการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันทั้งหมดของเซตขององค์ประกอบทั้งสามจึงเป็นดังนี้

ระบุจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบทั้งหมด (จากตัวอักษรเริ่มต้นของคำภาษาฝรั่งเศส "การเรียงสับเปลี่ยน" ซึ่งหมายถึง "การเรียงสับเปลี่ยน", "การเคลื่อนไหว") ดังนั้นจำนวนทั้งหมด การเรียงสับเปลี่ยนต่างๆคำนวณโดยสูตร

ตัวอย่าง.สามารถวางเรือโกงบนกระดานหมากรุกได้กี่วิธีเพื่อไม่ให้โจมตีกัน?

สารละลาย.จำนวนเรือที่ต้องการ

ตามคำนิยาม!

คำนิยาม.การรวมกันขององค์ประกอบที่แตกต่างกันตามองค์ประกอบคือการรวมกันที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่กำหนดตามองค์ประกอบและแตกต่างกันในองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ (หรืออีกนัยหนึ่งคือ - ชุดย่อยขององค์ประกอบที่กำหนดขององค์ประกอบที่กำหนด)

ดังที่คุณเห็นแล้วว่า ลำดับขององค์ประกอบจะไม่ถูกนำมาพิจารณาในการรวมกัน ซึ่งต่างจากตำแหน่ง จำนวนการรวมองค์ประกอบทั้งหมดในแต่ละองค์ประกอบจะถูกระบุ (จากตัวอักษรเริ่มต้นของคำภาษาฝรั่งเศส "การรวมกัน" ซึ่งหมายถึง "การรวมกัน")

ตัวเลข

ชุดค่าผสมทั้งหมดจากชุดสองชุดคือ

คุณสมบัติของตัวเลข (\sf C)_n^k

อันที่จริงแต่ละเซตย่อย -element ของชุด -element ที่กำหนดนั้นสอดคล้องกับเซตย่อย -element เดียวเท่านั้นของเซตเดียวกัน

แน่นอนว่าเราสามารถเลือกเซตย่อยขององค์ประกอบได้ ดังต่อไปนี้: แก้ไของค์ประกอบหนึ่ง; จำนวนเซ็ตย่อยขององค์ประกอบที่มีองค์ประกอบนี้เท่ากับ ; จำนวนเซ็ตย่อยขององค์ประกอบที่ไม่มีองค์ประกอบนี้จะเท่ากับ

สามเหลี่ยมปาสคาล

ในรูปสามเหลี่ยมนี้ จำนวนสุดขั้วในแต่ละแถวจะเท่ากับ 1 และจำนวนที่ไม่สุดขีดแต่ละจำนวนจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวของแถวก่อนหน้าที่อยู่ด้านบน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนี้จึงช่วยให้คุณคำนวณตัวเลขได้

ทฤษฎีบท.

การพิสูจน์.ลองพิจารณาชุดขององค์ประกอบและแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยสองวิธี: สามารถสร้างลำดับได้กี่ลำดับจากองค์ประกอบขององค์ประกอบที่กำหนด
เซตในแต่ละอันไม่มีองค์ประกอบใดปรากฏขึ้นสองครั้ง?

1 วิธี. เราเลือกสมาชิกตัวแรกของลำดับ จากนั้นจึงเลือกตัวที่สอง สาม ฯลฯ สมาชิก

วิธีที่ 2 ขั้นแรกเรามาเลือกองค์ประกอบจากชุดที่กำหนด จากนั้นจึงจัดเรียงตามลำดับ

คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วย:

ตัวอย่าง.คุณสามารถเลือก 5 หมายเลขจาก 36 หมายเลขในเกม “Sportloto” ได้กี่วิธี?

จำนวนวิธีที่ต้องการ

งาน

1. ป้ายทะเบียนรถยนต์ประกอบด้วยตัวอักษรรัสเซีย 3 ตัว (33 ตัวอักษร) และตัวเลข 4 ตัว เลขทะเบียนมีกี่แบบ?
2. บนเปียโนมี 88 คีย์ คุณสามารถสร้างเสียง 6 เสียงติดต่อกันได้กี่วิธี?
3. มีตัวเลขหกหลักกี่ตัวที่หารด้วย 5 ลงตัว?
4. เหรียญ 7 เหรียญที่แตกต่างกันสามารถใส่ในกระเป๋าสามช่องได้กี่วิธี?
5. คุณสามารถสร้างตัวเลขห้าหลักได้กี่ตัว สัญกรณ์ทศนิยมหมายเลข 5 ใดปรากฏขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง?
6. 20 คนสามารถนั่งได้กี่วิธี? โต๊ะกลมเมื่อพิจารณาวิธีการเหมือนกันว่าสามารถหาจากกันได้โดยการเคลื่อนที่เป็นวงกลมหรือไม่?
7. มีตัวเลขห้าหลักจำนวนเท่าใดที่หารด้วย 5 ที่ไม่ได้เขียนลงไป? ตัวเลขที่เหมือนกัน?
8. บน กระดาษตาหมากรุกเมื่อด้านเซลล์ยาว 1 ซม. ให้วาดวงกลมรัศมี 100 ซม. ที่ไม่ผ่านยอดของเซลล์และไม่สัมผัสด้านข้างของเซลล์ วงกลมนี้สามารถตัดกันได้กี่เซลล์?
9. สามารถจัดเรียงตัวเลขเรียงกันเพื่อให้ตัวเลขอยู่ติดกันและเรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้กี่วิธี?
10. จากหลักสามารถสร้างตัวเลขห้าหลักได้กี่หลักหากแต่ละหลักสามารถใช้ได้เพียงครั้งเดียว?
11. จากคำว่า ROT โดยการจัดเรียงตัวอักษรใหม่คุณจะได้คำต่อไปนี้: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO พวกเขาเรียกว่าแอนนาแกรม คุณสามารถสร้างแอนนาแกรมจากคำว่า LOGARITHM ได้กี่อัน
12. โทรเลย แยกการแสดงจำนวนธรรมชาติเป็นผลรวม ตัวเลขธรรมชาติ- ตัวอย่างเช่น นี่คือพาร์ติชั่นทั้งหมดของตัวเลข:

พาร์ติชันจะถือว่าแตกต่างกันหากต่างกันทั้งในด้านตัวเลขหรือตามลำดับข้อกำหนด

มีพาร์ติชั่นของตัวเลขจำนวนเท่าใดในเทอม?
13. มีกี่ตัว ตัวเลขสามหลักด้วยลำดับเลขไม่เพิ่มขึ้น?
14. มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใดที่ไม่เรียงลำดับหลัก?
15. คน 17 คนสามารถนั่งเรียงกันได้กี่วิธีจึงจะนั่งติดกัน?
16. เด็กหญิงและเด็กชายนั่งสุ่มเรียงกันเป็นแถว พวกเขาสามารถนั่งได้กี่วิธีเพื่อไม่ให้ผู้หญิงสองคนนั่งติดกัน?
17. เด็กหญิงและเด็กชายนั่งสุ่มเรียงกันเป็นแถว สามารถนั่งได้กี่วิธีเพื่อให้สาว ๆ ทุกคนนั่งติดกัน?

ตัวอย่าง. เค โอ เอ็น พวกเขายืนอยู่ข้างกันหรือเปล่า?

• ตัวอย่าง.มีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรของคำว่า "กรวย" จำนวนเท่าใดในตัวอักษร เค โอ เอ็น พวกเขายืนอยู่ข้างกันหรือเปล่า?

• สารละลาย.

• ให้ตัวอักษร 5 ตัว โดย 3 ตัวต้องอยู่ติดกัน

• ตัวอักษรสามตัว เค โอ เอ็น สามารถยืนข้างหนึ่งใน = 3 ได้! = 6 วิธี

• สำหรับแต่ละวิธีในการติดตัวอักษร เค โอ เอ็น เราได้รับ = 3! = 6 วิธี

• การจัดเรียงตัวอักษรใหม่ "ติดกาว" เรา.

• จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของตัวอักษรของคำว่า "กรวย" ซึ่งตัวอักษรนั้น

• เค โอ เอ็น ยืนติดกันเท่ากับ 6 · 6 = 36 การเรียงสับเปลี่ยน - แอนนาแกรม

• คำตอบ: 36 แอนนาแกรม

ตัวอย่าง.

• ตัวอย่าง.นับจำนวนภาพของตัวอักษร A, B, C, D, D, E, F, Z, I, K มีตัวอักษรที่มี: 1) แกนตั้งของสมมาตร; 2) แกนนอนของสมมาตร

• สารละลาย.

• 1) ตัวอักษรที่มีแกนตั้งสมมาตร: A, D, F – ตัวอักษร 3 ตัว (เราไม่คำนึงถึงความหนาขององค์ประกอบบางส่วนของตัวอักษร A, D ทางด้านขวา)

• 2) ตัวอักษรที่มีแกนสมมาตรแนวนอน: V, E, ZH, Z, K – 5 ตัวอักษร

• คำตอบ: 1) 3 ตัวอักษร 2) 5 ตัวอักษร

ตัวอย่าง.

• ตัวอย่าง.ผู้ที่อาศัยอยู่ในดาวเคราะห์ XO มีตัวอักษรสามตัว: A, O, X คำในภาษาประกอบด้วยตัวอักษรไม่เกินสามตัว (สามารถเขียนตัวอักษรในคำซ้ำได้) จำนวนคำที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในคำศัพท์ของผู้อยู่อาศัยในโลกนี้คืออะไร?

• สารละลาย.คำอาจเป็นตัวอักษรตัวเดียว สองตัวอักษร หรือสามตัวอักษรก็ได้

• คำหนึ่งตัวอักษร: A, O, X – 3 คำ

• คำที่มีตัวอักษรสองตัว: AO, AH, AA, OO, OA, OX, XX, HA, XO – 9 คำ (3·3=9, เลือกตัวอักษรสองตัวที่มีการซ้ำกัน)

• คำที่มีตัวอักษรสามตัว: 3·9 = 27 คำ (ตัวเลือกสามในสามที่มีการซ้ำกัน ตัวเลือกตัวอักษรตัวแรก - สามวิธี เพิ่มคำสองตัวอักษรที่เป็นไปได้แต่ละคำจากทั้งหมด 9 คำที่เป็นไปได้ในแต่ละตัวอักษรตัวแรก)

• ดังนั้นในพจนานุกรมของผู้อยู่อาศัยในโลก XO สามารถมีได้สูงสุด 3 + 9 + +27 = 39 คำ

• คำตอบ: 39 คำ

ตัวอย่างหมายเลข 1

• ตัวอย่างหมายเลข 1ตั๋วสอบวรรณกรรมทั้งหมดเขียนด้วยบัตรที่มีตัวเลขสองหลัก เพ็ญญ่าสุ่มเลือกไพ่หนึ่งใบ อธิบายเหตุการณ์ต่อไปนี้ว่าแน่นอน เป็นไปไม่ได้ หรือสุ่ม:

• เหตุการณ์ A - มีหมายเลขเฉพาะบนไพ่ที่เลือก

• เหตุการณ์ B – มีหมายเลขประกอบอยู่บนการ์ด

• เหตุการณ์ C – มีตัวเลขบนไพ่ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

• เหตุการณ์ D – มีเลขคู่หรือคี่อยู่บนไพ่

• สารละลาย.

• เหตุการณ์ A และ B เป็นการสุ่มเพราะอาจจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้

• เหตุการณ์ C เป็นไปไม่ได้ ให้จำคำจำกัดความของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบไว้

• เหตุการณ์ D แน่นอน เนื่องจากตัวเลขสองหลักใดๆ อาจเป็นเลขคู่หรือคี่

• คุณเปิดหนังสือไปที่หน้าใดก็ได้และอ่านคำนามแรกที่คุณเจอ ปรากฎว่า: ก) การสะกดคำที่เลือกมีสระ; b) การสะกดคำที่เลือกมีตัวอักษร "o"; c) ไม่มีการสะกดคำที่เลือก; d) มีเครื่องหมายอ่อนในการสะกดคำที่เลือก

• สารละลาย.

• ก) เหตุการณ์นี้เชื่อถือได้ เนื่องจากในภาษารัสเซียไม่มีคำนามที่ประกอบด้วยพยัญชนะเท่านั้น

• b) กิจกรรมนี้เป็นแบบสุ่ม

• c) เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ (ดูจุด ก))

• d) กิจกรรมนี้เป็นแบบสุ่ม

ตัวอย่าง.

• ตัวอย่าง.อธิบายผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ต่อไปนี้

• “พระราชินีทรงประสูติในตอนกลางคืน ไม่ว่าจะเป็นพระราชโอรส (เหตุการณ์ ก) หรือพระราชธิดา (เหตุการณ์ ข)...”

• สารละลาย.

• ราชินีให้กำเนิดลูกชายหรือลูกสาว (A B)

• คำตอบ:เหตุการณ์ที่ซับซ้อน 4 เหตุการณ์ ซึ่งเป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ 2 เหตุการณ์

ตัวอย่าง. โอ, ที, เค, อาร์

• ตัวอย่าง.ตัวอักษรเขียนบนไพ่สี่ใบ โอ, ที, เค, อาร์ไพ่ถูกพลิกและสับ จากนั้นพวกเขาก็เปิดการ์ดเหล่านี้แบบสุ่ม ทีละใบ และวางไว้เรียงกัน ความน่าจะเป็นที่คำว่า "ตุ่น" จะออกมาเป็นเท่าไร?

• สารละลาย.ผลลัพธ์คือการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดขององค์ประกอบทั้งสี่ ( โอ, ที, เค, อาร์- จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ n = = 4! = 24.

• กิจกรรม A – “หลังจากเปิดไพ่แล้วจะได้คำว่า “ตุ่น”; = 1 (มีเพียงตัวเลือกเดียวสำหรับการจัดเรียงตัวอักษร - "ตุ่น"; = .

• คำตอบ:

ตัวอย่าง โอในวินาที ที,ในวันที่สาม กับ,ในวันที่สี่ พี

• ตัวอย่าง- เราหยิบไพ่สี่ใบ พวกเขาเขียนจดหมายถึงจดหมายฉบับแรก โอในวินาที ที,ในวันที่สาม กับ,ในวันที่สี่ พีไพ่ถูกพลิกและสับ จากนั้นพวกเขาก็สุ่มเปิดไพ่ใบแล้วใบเล่าและวางมันไว้ข้างๆ ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์คือคำว่า "หยุด" หรือคำว่า "โพสต์" เป็นเท่าใด

• สารละลาย.ผลลัพธ์ – การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวอักษร 4 ตัว จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

• น = = 4! = 24.

• เหตุการณ์ A – “คำว่า “หยุด” หรือ “โพสต์” ออกมา จำนวนผลลัพธ์ที่ดี = 1 (“หยุด”) + 1 (“โพสต์”) = 2 (ตามกฎของผลรวมของผลลัพธ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน)

• ความน่าจะเป็น = .

• คำตอบ: 1/12.

• ตัวอย่างหมายเลข 1เราวัดความยาวของคำ (จำนวนตัวอักษร) ในข้อความที่ตัดตอนมาจากบทกวีของ A.S. Pushkin เรื่อง "The Bronze Horseman" จำเป็นต้องสร้างฮิสโตแกรมของการแจกแจงหลายหลากและความถี่โดยเลือกช่วงเวลา 1-3, 4-6, 7-9 สำหรับตัวเลือกการสุ่มตัวอย่าง

• “...เขาช่างน่ากลัวในความมืดมิดโดยรอบ! 6, 2, 1, 9, 4

• คิดอะไรบนคิ้ว! 5, 4, 2, 4

• พลังอะไรที่ซ่อนอยู่ในตัวเขา และไฟอะไรอยู่ในม้าตัวนี้! 5, 4, 1, 3, 7

• ขี่ม้าไปไหนล่ะ ม้าภูมิใจ 1, 1, 3, 4, 5, 5

• แล้วคุณจะเอากีบไปไว้ที่ไหน…” 1, 3, 8, 2, 6

• ทางด้านขวาของข้อความ แทนที่จะเป็นคำ ความยาวจะถูกเขียนทีละบรรทัด หลังจากการคำนวณเราจะจัดทำตาราง

ตัวอย่าง.

• ตัวอย่าง.เมื่อตรวจสอบงาน 70 รายการในภาษารัสเซีย จำนวนข้อผิดพลาดในการสะกดของนักเรียนจะถูกบันทึกไว้ ชุดข้อมูลที่ได้จะถูกนำเสนอในรูปแบบของตารางความถี่:

• อะไรคือความแตกต่างที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น? โดยทั่วไปมีข้อผิดพลาดจำนวนเท่าใดสำหรับนักเรียนกลุ่มนี้ ระบุลักษณะทางสถิติที่ใช้ในการตอบคำถามที่ถูกตั้ง

• สารละลาย.

• ความแตกต่างที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนข้อผิดพลาด: 6 – 0 = 6

• จำนวนข้อผิดพลาดโดยทั่วไป: 3 (เกิดขึ้น 26 ครั้งจากทั้งหมด 70 ครั้ง)

• ใช้มาตราส่วนและแฟชั่น

• คำตอบ: 6; 3.

การวิจัยทางสถิติ ตารางความถี่ ภาษา.

• การวิจัยทางสถิติจากข้อความวรรณกรรมจำนวนมาก พวกเขาแสดงให้เห็นว่าความถี่ของการเกิดตัวอักษรตัวใดตัวหนึ่ง (หรือช่องว่างระหว่างคำ) มีแนวโน้มที่จะคงที่บางอย่างเมื่อปริมาณของข้อความเพิ่มขึ้น ตารางที่มีตัวอักษรของภาษาใดภาษาหนึ่งและค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องจะถูกเรียก ตารางความถี่ ภาษา.

• ผู้เขียนแต่ละคนมีตารางความถี่ในการใช้ตัวอักษร คำ สำนวนวรรณกรรมเฉพาะ ฯลฯ ของตนเอง เมื่อใช้ตารางความถี่นี้ คุณสามารถระบุผู้เขียนได้แม่นยำพอๆ กับการใช้ลายนิ้วมือ

ตัวอย่างเช่น, จนถึง วันนี้ข้อพิพาทเกี่ยวกับการประพันธ์ดำเนินต่อไป " ดอน เงียบๆ- มีคนจำนวนไม่น้อยที่เชื่อว่าเมื่ออายุ 23 ปี M.A. Sholokhov มีความลึกซึ้งและจริงใจมาก หนังสือดีๆฉันไม่สามารถเขียนได้ มีการหยิบยกข้อโต้แย้งและผู้เขียนผู้สมัครที่แตกต่างกันออกไป การอภิปรายร้อนแรงเป็นพิเศษในช่วงเวลาที่มอบรางวัล M.A. Sholokhov รางวัลโนเบลในวรรณคดี (2508) การวิเคราะห์ทางสถิตินวนิยายและการเปรียบเทียบกับตำราซึ่ง M.A. Sholokhov ผู้ประพันธ์ไม่ต้องสงสัยเลยอย่างไรก็ตามยืนยันสมมติฐานเกี่ยวกับ M.A. Sholokhov ในฐานะผู้เขียนที่แท้จริงของ "Quiet Don"

ตัวอย่างหมายเลข 1

• ตัวอย่างหมายเลข 1ตัวอย่างประกอบด้วยตัวอักษรทั้งหมดที่อยู่ในโคลงสั้น ๆ

• “...ต้นนี้เป็นต้นสน

• และชะตากรรมของต้นสนก็ชัดเจน..."

• เขียนชุดข้อมูลตัวอย่าง

• ค้นหาขนาดตัวอย่าง

• กำหนดจำนวนหลายหลากและความถี่ของตัวเลือก "o"

• เปอร์เซ็นต์ความถี่สูงสุดของตัวเลือกตัวอย่างคือเท่าใด

• สารละลาย

• 1) ชุดข้อมูลตัวอย่าง (ตัวเลือกค่า):

• a, b, c, d, f, i, n, o, p, s, t, y, b, s, e, i

• 2). ขนาดตัวอย่างคือจำนวนตัวอักษรทั้งหมดในโคลงสั้น ๆ: n = 30

• 3). ตัวเลือกหลายหลาก "o" คือ 4 ความถี่ของตัวเลือกเท่ากัน

• 4) ตัวเลือก “c” มีความถี่เปอร์เซ็นต์สูงสุด: หลายหลากคือ 6, ความถี่

• , เปอร์เซ็นต์ความถี่ 20%.

• คำตอบ: 1) 16 ตัวอักษร; 2). 30; 3). 4 และ 0.133; 4) 20%.

ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ)ตัวอย่างประกอบด้วยตัวอักษรทั้งหมดที่อยู่ในโคลงสั้น ๆ

• ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ)ตัวอย่างประกอบด้วยตัวอักษรทั้งหมดที่อยู่ในโคลงสั้น ๆ

• “...ต้นนี้เป็นต้นสน

• และชะตากรรมของต้นสนก็ชัดเจน..."

• ตัวอักษรแบ่งออกเป็นสามส่วนที่เหมือนกัน: หมายเลข 1 จาก "a" ถึง "th" หมายเลข 2 จาก "k" ถึง "u" หมายเลข 3 จาก "f" ถึง "z"

• 1). ค้นหาความถี่หลายหลากและ (เปอร์เซ็นต์) ของส่วนที่ 3

• 2).จัดทำตารางการกระจายความถี่ของส่วนต่างๆ

• 3).ระบุบริเวณที่มีความถี่สูงสุด

• 4) สร้างฮิสโตแกรมความถี่ด้วยการแจกแจงที่เลือกออกเป็นส่วนๆ

• สารละลาย.ก่อนอื่น เราทราบว่าหากตัวอักษรรัสเซียมี 33 ตัวอักษร ส่วนที่เหมือนกันสามส่วนก็คือส่วนของตัวอักษร 11 ตัว จำนวนตัวอักษรในโคลงสั้น ๆ: n = 30

• ตารางการแจกแจงความถี่และหลายหลาก:

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง.นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 จำนวน 60 คนได้รับการทดสอบความเร็วในการอ่าน (จำนวนคำต่อนาทีในการอ่าน) ข้อมูลที่ได้รับถูกแบ่งออกเป็นห้าส่วน: หมายเลข 1- (91;100); ลำดับที่ 2 (101;110); ลำดับที่ 3 (111;120); หมายเลข 4 (121;130); ลำดับที่ 5 (131;140) ผลลัพธ์ที่ได้คือฮิสโตแกรมของการคูณ (ดูรูป) การประมาณค่าโดยประมาณ: พิสัย โหมด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง อธิบายว่าเหตุใดคำตอบจึงเป็นเพียงการประมาณเท่านั้น

ช่วง A = 140-91 = 49

• ช่วง A = 140-91 = 49

• แฟชั่น.

• ค่าเฉลี่ย.

• ค่าที่ได้รับเป็นเพียงค่าโดยประมาณเนื่องจากแทนที่จะเป็นค่าจริง การคำนวณใช้ค่าตามเงื่อนไข - ขอบเขตและจุดกึ่งกลางของช่วงเวลาบางส่วน นั่นคือค่าที่ไม่ได้สังเกตจากการทดลอง แต่เรายอมรับเพื่อความสะดวก ของการนำเสนอข้อมูล

• คำตอบ: 49; 125,5; 117,17.

• เอ.จี. มอร์ดโควิช, พี.วี. เซเมนอฟ กิจกรรม ความน่าจะเป็น การประมวลผลข้อมูลทางสถิติ: เพิ่มเติม ย่อหน้าสำหรับวิชาพีชคณิตเกรด 7 – 9 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov ฉบับที่ 4 – อ.: Mnemosyne, 2549.-112 น.

• มาคารีเชฟ ยู.เอ็น. พีชคณิต: องค์ประกอบของสถิติและเชิงผสมผสานและทฤษฎีความน่าจะเป็น: หนังสือเรียน คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7-9 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / Yu.N. Makarychev, N.G. แก้ไขโดย S. A. Telyakovsky - ฉบับที่ 2 – อ.: การศึกษา, 2547.-78 น.

• M.V. Tkacheva, N.E. เฟโดโรวา องค์ประกอบของสถิติและความน่าจะเป็น: หนังสือเรียนสำหรับการศึกษาทั่วไป ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7-9 สถาบัน – อ.: การศึกษา, 2547.-112 น.

การจัดเรียงใหม่ สูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน

พีชคณิตจาก n องค์ประกอบ

ให้ชุด เอ็กซ์ประกอบด้วย n องค์ประกอบ

คำนิยาม. ตำแหน่งที่ไม่มีการซ้ำซ้อนจากn องค์ประกอบของชุดเอ็กซ์ โดย n เรียกว่า การเรียงสับเปลี่ยนจาก n องค์ประกอบ

โปรดทราบว่าการเรียงสับเปลี่ยนใดๆ จะรวมองค์ประกอบทั้งหมดของชุดด้วยเอ็กซ์ และเพียงครั้งเดียว นั่นคือการเรียงสับเปลี่ยนจะแตกต่างจากกันตามลำดับองค์ประกอบเท่านั้นและสามารถได้รับจากกันโดยการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบ (จึงเป็นที่มาของชื่อ)

จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดจากn องค์ประกอบต่างๆ จะถูกระบุด้วยสัญลักษณ์ .

เนื่องจากการเรียงสับเปลี่ยนคือ กรณีพิเศษตำแหน่งที่ไม่มีการซ้ำซ้อนที่ แล้วสูตรการหาตัวเลข เราได้รับจากสูตร (2) แทนที่ลงไป :

ดังนั้น,

(3)

ตัวอย่าง. หนังสือ 5 เล่มสามารถวางบนชั้นวางได้กี่วิธี?

สารละลาย. มีหลายวิธีในการวางหนังสือบนชั้นวาง เนื่องจากองค์ประกอบทั้งห้ามีการเรียงสับเปลี่ยนต่างกัน:วิธี

ความคิดเห็น ไม่จำเป็นต้องจำสูตร (1)-(3): ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎผลคูณ หากนักเรียนมีปัญหาในการสร้างแบบจำลองปัญหาแบบผสมผสาน จะเป็นการดีกว่าที่จะจำกัดชุดสูตรและกฎเกณฑ์ที่ใช้ให้แคบลง (เพื่อให้มีโอกาสผิดพลาดน้อยลง) จริงอยู่ ปัญหาที่ใช้การเรียงสับเปลี่ยนและสูตร (3) มักจะแก้ไขได้โดยไม่มีปัญหาใดๆ

งาน

1. F. สามารถต่อคิวที่ห้องขายตั๋วได้กี่วิธี: 1) 3 คน; 2) 5 คน?

สารละลาย.

ตัวเลือกต่างๆการจัดคน n คนในคิวจะแตกต่างกันเฉพาะตามลำดับที่จัดคนเท่านั้น กล่าวคือ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n รายการที่แตกต่างกัน

สามคนต่อคิวได้ P3 = 3! = 6 วิธีที่แตกต่างกัน

คำตอบ: 1) 6 วิธี; 2) 120 วิธี

2. ต. คน 4 คนสามารถนั่งบนม้านั่งสี่ที่นั่งได้กี่วิธี?

สารละลาย.

จำนวนคนเท่ากับจำนวนที่นั่งบนม้านั่ง ดังนั้นจำนวนตัวเลือกตำแหน่งจึงเท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของ 4 องค์ประกอบ: P4 = 4! = 24.

คุณสามารถให้เหตุผลได้ตามกฎผลิตภัณฑ์: สำหรับคนแรกคุณสามารถเลือกสถานที่ใดก็ได้จาก 4 แห่ง สำหรับสถานที่ที่สอง - แห่งใดแห่งหนึ่งจาก 3 แห่งที่เหลือ สำหรับบุคคลที่สาม - แห่งใดแห่งหนึ่งจาก 2 แห่งที่เหลือ สถานที่สุดท้ายจะยึดครองสถานที่ที่เหลืออยู่ 1 แห่ง ; มีทุกอย่าง = 24 วิธีในการนั่งคน 4 คนบนม้านั่งสี่ที่นั่ง

คำตอบ: 24 วิธี

3. M. ที่ Vova’s เพื่อรับประทานอาหารกลางวัน - หลักสูตรที่หนึ่ง สอง สามและเค้ก เขาจะเริ่มต้นด้วยเค้กอย่างแน่นอนและกินที่เหลือตามลำดับแบบสุ่ม ค้นหาหมายเลข ตัวเลือกที่เป็นไปได้อาหารกลางวัน.

M-ปัญหาจากตำราเรียน คู่มือโดย A.G. Mordkovich

ที-เอ็ด เอส.เอ.เตลยาคอฟสกี้

F- M.V. Tkacheva

สารละลาย.

หลังจากเค้กเสร็จแล้ว Vova สามารถเลือกอาหารจานใดก็ได้จากสามจาน จากนั้นเลือกสองจาน และปิดท้ายด้วยส่วนที่เหลือ จำนวนตัวเลือกอาหารกลางวันที่เป็นไปได้ทั้งหมด: =6.

คำตอบ: 6.

4. F. สามารถแต่งวลีที่ถูกต้อง (จากมุมมองของภาษารัสเซีย) ได้กี่วลีโดยการเปลี่ยนลำดับของคำในประโยค: 1) “ ฉันไปเดินเล่น”; 2) “แมวกำลังเดินอยู่ในสนาม”?

สารละลาย.

ในประโยคที่สอง คำบุพบท “in” จะต้องปรากฏหน้าคำนาม “yard” เสมอ ดังนั้นเมื่อนับคู่ “ในบ้าน” เป็นคำเดียว คุณจะพบจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของทั้งสาม คำที่มีเงื่อนไข: P3 = 3! = 6 ดังนั้น ในกรณีนี้ คุณจึงสร้างประโยคที่ถูกต้องได้ 6 ประโยค

คำตอบ: 1) 6; 2) 6.

5. คุณสามารถใช้ตัวอักษร K, L, M, H เพื่อกำหนดจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้กี่วิธี?

สารละลาย.

เราจะถือว่าจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีหมายเลขกำกับไว้ โดยแต่ละจุดจะมีจำนวนคงที่ จากนั้นปัญหาก็อยู่ที่การนับจำนวนวิธีต่างๆ ในการจัดเรียงตัวอักษร 4 ตัวบน 4 ตำแหน่ง (จุดยอด) กล่าวคือ การนับจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกัน: P4 = 4! =24 วิธี

คำตอบ: 24 วิธี

6. F. เพื่อนสี่คนซื้อตั๋วภาพยนตร์: สำหรับที่นั่งที่ 1 และ 2 ในแถวแรกและสำหรับที่นั่งที่ 1 และ 2 ในแถวที่สอง เพื่อนๆ สามารถนั่ง 4 ที่นั่งในโรงหนังได้กี่วิธี?

สารละลาย.

เพื่อนสี่คนรับได้ 4 คน สถานที่ที่แตกต่างกันป4 = 4! = 24 วิธีที่แตกต่างกัน

คำตอบ: 24 วิธี

7. ต. ผู้จัดส่งจะต้องจัดส่งพัสดุถึง 7 สถาบันที่แตกต่างกัน เขาสามารถเลือกได้กี่เส้นทาง?

สารละลาย.

ควรเข้าใจเส้นทางว่าเป็นลำดับที่ผู้จัดส่งไปเยี่ยมชมสถาบัน ลองนับสถาบันตั้งแต่ 1 ถึง 7 จากนั้นเส้นทางจะแสดงเป็นลำดับของตัวเลข 7 ตัว ลำดับที่อาจเปลี่ยนแปลงได้ จำนวนเส้นทางเท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของ 7 องค์ประกอบ: P7= 7! = 5,040.

ตอบ 5,040 เส้นทาง

8. ต. มีกี่สำนวนที่เหมือนกัน เท่ากับสินค้า abcde ซึ่งได้จากการจัดเรียงตัวประกอบใหม่

สารละลาย.

ให้เป็นผลคูณของปัจจัย 5 ประการ abcde ซึ่งลำดับของปัจจัยสามารถเปลี่ยนแปลงได้ (เมื่อมีการจัดเรียงปัจจัยใหม่ ผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลง)

มีทั้งหมด P5 = 5! = 120 วิธีในการจัดเรียงตัวคูณทั้งห้า เราถือว่าหนึ่งในนั้น (abcde) เป็นต้นฉบับ ส่วนอีก 119 สำนวนที่เหลือจะเท่ากันกับสำนวนนี้

คำตอบ: 119 สำนวน

9. T. Olga จำได้ว่าหมายเลขโทรศัพท์ของเพื่อนของเธอลงท้ายด้วยหมายเลข 5, 7, 8 แต่เธอลืมว่าหมายเลขเหล่านี้ปรากฏตามลำดับใด ระบุตัวเลือกจำนวนมากที่สุดที่เธอจะต้องผ่านเพื่อให้เพื่อนของเธอผ่าน

สารละลาย.

เลขท้ายสามตัว หมายเลขโทรศัพท์สามารถอยู่ในหนึ่งใน P3 =3! =6 คำสั่งที่เป็นไปได้ ซึ่งมีเพียงคำสั่งเดียวเท่านั้นที่ถูกต้อง Olga สามารถพิมพ์ตัวเลือกที่ถูกต้องได้ทันที เธอสามารถพิมพ์ตัวเลือกที่สามได้ ฯลฯ จำนวนมากที่สุดเธอจะต้องกดตัวเลือกถ้า ตัวเลือกที่ถูกต้องจะเป็นคนสุดท้ายนั่นคือที่หก

คำตอบ: 6 ตัวเลือก

10. ต. จากตัวเลขสามารถสร้างตัวเลขหกหลัก (โดยไม่ต้องตัวเลขซ้ำ) ได้กี่ตัว: ก) 1,2, 5, 6, 7, 8; ข) 0, 2, 5, 6, 7, 8? สารละลาย.

ก) ให้ตัวเลข 6 หลัก: 1, 2, 5, 6, 7, 8 จากนั้นคุณสามารถสร้างตัวเลขหกหลักที่แตกต่างกันได้โดยการจัดเรียงตัวเลขเหล่านี้ใหม่เท่านั้น จำนวนตัวเลขหกหลักที่แตกต่างกันมีค่าเท่ากับ P6 = 6! = 720.

b) ให้ตัวเลข 6 หลัก: 0, 2, 5, 6, 7, 8 จากนั้นคุณต้องสร้างตัวเลขหกหลักต่างๆ ความแตกต่างจาก งานก่อนหน้าคือว่าศูนย์ไม่สามารถมาก่อนได้

คุณสามารถใช้กฎผลคูณได้โดยตรง: คุณสามารถเลือกตัวเลข 5 หลักใดก็ได้ (ยกเว้นศูนย์) เป็นอันดับแรก อันดับที่สอง - ตัวเลขที่เหลือ 5 หลักใด ๆ (4 คือ "ไม่เป็นศูนย์" และตอนนี้เรานับเป็นศูนย์) อันดับที่สาม - ตัวเลข 4 หลักใด ๆ ที่เหลือหลังจากสองตัวเลือกแรก ฯลฯ จำนวนตัวเลือกทั้งหมดคือ: = 600.

คุณสามารถใช้วิธีการกำจัดตัวเลือกที่ไม่จำเป็นได้ สามารถจัดเรียงใหม่ได้ 6 หลัก P6 = 6! = 720 วิธีที่แตกต่างกัน ในบรรดาวิธีการเหล่านี้จะมีวิธีที่สถานที่แรกเป็นศูนย์ซึ่งเป็นที่ยอมรับไม่ได้ มานับจำนวนตัวเลือกที่ไม่ถูกต้องเหล่านี้กัน หากมีศูนย์อยู่ในตำแหน่งแรก (คงที่) แล้วห้าตำแหน่งถัดไปสามารถมีตัวเลข "ไม่เป็นศูนย์" 2, 5, 6, 7, 8 ตามลำดับใดก็ได้ วางได้ 5 ตำแหน่ง เท่ากับ P5 = 5! = 120 นั่นคือจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของตัวเลขที่เริ่มต้นจากศูนย์คือ 120 จำนวนที่ต้องการของตัวเลขหกหลักที่แตกต่างกันในกรณีนี้คือ: P6 - P5 = 720 - 120 = 600

คำตอบ: ก) 720; ข) 600 หมายเลข

11. ต. จำนวนตัวเลขสี่หลัก (โดยไม่ต้องตัวเลขซ้ำ) ที่ประกอบด้วยตัวเลข 3, 5, 7, 9 เป็นตัวเลขที่: ก) ขึ้นต้นด้วยตัวเลข 3;

b) มีจำนวนทวีคูณของ 15?

สารละลาย.

ก) จากตัวเลข 3, 5, 7, 9 เราสร้างตัวเลขสี่หลักโดยขึ้นต้นด้วยหมายเลข 3

เราแก้ไขหมายเลข 3 เป็นอันดับแรก จากนั้นในสามที่เหลือสามารถวางหมายเลข 5, 7 9 ในลำดับใดก็ได้ในลำดับใดก็ได้ จำนวนตัวเลือกทั้งหมดสำหรับตำแหน่งจะเท่ากับ P 3 = 3!=6. จะมีตัวเลขสี่หลักที่แตกต่างกันมากมายที่ประกอบด้วยให้ตัวเลขและเริ่มต้นด้วยหมายเลข 3

b) โปรดทราบว่าผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ 3 + 5 + 7 + 9 = 24 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น จำนวนสี่หลักใดๆ ที่ประกอบด้วยตัวเลขเหล่านี้จะหารด้วย 3 ลงตัว เพื่อให้ตัวเลขบางส่วนเหล่านี้หารลงตัว ภายในวันที่ 15 ต้องลงท้ายด้วยเลข 5

เราแก้ไขหมายเลข 5 บน สถานที่สุดท้าย- ตัวเลข 3 หลักที่เหลือสามารถวางไว้สามตำแหน่งหน้า 5 Рз = 3! = 6 วิธีที่แตกต่างกัน จะมีตัวเลขสี่หลักที่แตกต่างกันมากมายที่ประกอบด้วยตัวเลขเหล่านี้ซึ่งหารด้วย 15 ลงตัว

คำตอบ: ก) 6 หมายเลข; ข) 6 หมายเลข

12. ต. หาผลรวมของตัวเลขสี่หลักทั้งหมดที่สร้างได้จากเลข 1, 3, 5, 7 (ไม่ต้องทำซ้ำ)

สารละลาย.

ตัวเลขสี่หลักแต่ละตัวประกอบด้วยตัวเลข 1, 3, 5, 7 (ไม่มีการซ้ำกัน) มีผลรวมของตัวเลขเท่ากับ 1 + 3 + 5 + 7 = 16

จากตัวเลขเหล่านี้คุณสามารถสร้าง P4 = 4 ได้! = 24 ตัวเลขที่แตกต่างกันต่างกันเพียงลำดับตัวเลขเท่านั้น ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับ

16 = 384.

คำตอบ: 384.

13. ต. เด็กชายเจ็ดคนซึ่งรวมถึง Oleg และ Igor ยืนเรียงกันเป็นแถว ค้นหาหมายเลข การรวมกันที่เป็นไปได้, ถ้า:

ก) โอเล็กควรอยู่ท้ายแถว

b) Oleg ควรอยู่ที่ต้นแถว และ Igor ควรอยู่ที่ท้ายแถว

c) Oleg และ Igor ควรยืนเคียงข้างกัน
สารละลาย.

ก) มีเด็กชายเพียง 7 คนใน 7 แห่ง แต่มีองค์ประกอบหนึ่งที่ได้รับการแก้ไขและไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้ (Oleg อยู่ที่ท้ายแถว) จำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้จะเท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของเด็กชาย 6 คนที่ยืนอยู่ข้างหน้า Oleg: P6=6!=720

คู่รักชอบ องค์ประกอบเดียวจัดเรียงใหม่ด้วยองค์ประกอบอีกห้าองค์ประกอบ จำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้จะเป็น P6 = 6! = 720.

ตอนนี้ให้ Oleg และ Igor ยืนเคียงข้างกันตามคำสั่ง IO จากนั้นเราจะได้ P6 = 6 อีกอัน! = 720 ชุดค่าผสมอื่นๆ

จำนวนชุดค่าผสมทั้งหมดที่ Oleg และ Igor ยืนติดกัน (ตามลำดับใดก็ได้) คือ 720 + 720 = 1,440

คำตอบ: ก) 720; ข) 120; ค) 1,440 ชุดค่าผสม

14.เอ็มอีเลฟเว่น นักเตะ เข้าแถวก่อนเริ่มการแข่งขัน คนแรกเป็นกัปตัน คนที่สองเป็นผู้รักษาประตู และที่เหลือ สุ่ม- วิธีการก่อสร้างมีกี่วิธี?

สารละลาย.

หลังจากกัปตันและผู้รักษาประตู ผู้เล่นคนที่สามสามารถเลือกสถานที่ที่เหลือ 9 แห่ง สถานที่ถัดไปจาก 8 เป็นต้น จำนวนวิธีการก่อสร้างทั้งหมดโดยใช้กฎผลคูณเท่ากับ:

1 = 362,880 หรือ P 9 = 9! = 362,880.

คำตอบ: 362,880.

15. M. จุดยอดของลูกบาศก์สามารถกำหนดด้วยตัวอักษร A, B, C, D, E, F, G, K ได้กี่วิธี?

สารละลาย.

สำหรับจุดยอดแรก คุณสามารถเลือกตัวอักษรใดก็ได้จาก 8 ตัว สำหรับตัวที่สอง - ตัวอักษรใดก็ได้จาก 7 ตัวที่เหลือ เป็นต้น จำนวนวิธีทั้งหมดตามกฎผลคูณคือ=40 320 หรือ P8 = 8!

คำตอบ: 40,320.

16. ต. ตารางวันจันทร์มีหกบทเรียน: พีชคณิต เรขาคณิต ชีววิทยา ประวัติศาสตร์ พลศึกษา เคมี คุณสามารถสร้างตารางบทเรียนสำหรับวันนี้เพื่อให้บทเรียนคณิตศาสตร์ 2 บทเรียนอยู่ติดกันได้กี่วิธี

สารละลาย.

มีทั้งหมด 6 บทเรียน โดยบทเรียนคณิตศาสตร์ 2 บทเรียนควรอยู่ติดกัน

เรา "ติด" สององค์ประกอบ (พีชคณิตและเรขาคณิต) ก่อนตามลำดับ AG จากนั้นจึงเรียงลำดับ GA สำหรับแต่ละตัวเลือก "การติดกาว" เราจะได้ P5 = 5! = 120 ตัวเลือกกำหนดการ จำนวนวิธีทั้งหมดในการสร้างกำหนดการคือ 120 (AG) +120 (GA) = 240

คำตอบ: 240 วิธี

17. ต. มีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรของคำว่า "กรวย" กี่ตัวโดยที่ตัวอักษร K, O, N อยู่ติดกัน?

สารละลาย.

ให้ตัวอักษร 5 ตัว โดย 3 ตัวต้องอยู่ติดกัน ตัวอักษรสามตัว K, O, N สามารถยืนถัดจากหนึ่งใน P3 = 3! = 6 วิธี สำหรับแต่ละวิธีในการ "ติดกาว" ตัวอักษร K, O, N เราจะได้ P3 = 3! = 6 วิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร "ติดกาว", U, S. จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรของคำว่า "กรวย" ทั้งหมดซึ่งมีตัวอักษร K, O, N อยู่ติดกันคือ 6 6 = 36 การเรียงสับเปลี่ยน - แอนนาแกรม

คำตอบ: 36 แอนนาแกรม

18. ต. เด็กชาย 5 คนและเด็กผู้หญิง 5 คนสามารถใช้ที่นั่งตั้งแต่ 1 ถึง 10 ที่นั่งในแถวเดียวกันในโรงละครได้กี่วิธี? พวกเขาสามารถทำเช่นนี้ได้กี่วิธีถ้าเด็กผู้ชายนั่งในที่นั่งเลขคี่และเด็กผู้หญิงในที่นั่งเลขคู่?

สารละลาย.

การจัดเรียงของเด็กผู้ชายแต่ละแบบสามารถใช้ร่วมกับการจัดเรียงของเด็กผู้หญิงแต่ละแบบได้ ดังนั้นตามกฎผลิตภัณฑ์ จำนวนทั้งหมดมี 120 วิธีในการนั่งเด็กในกรณีนี้ 20= 14400.

คำตอบ: 3,628,800 วิธี; 14,400 วิธี

19. ต. เด็กชายห้าคนและเด็กหญิงสี่คนต้องการนั่งบนม้านั่งเก้าที่นั่ง เพื่อให้เด็กผู้หญิงแต่ละคนนั่งอยู่ระหว่างเด็กชายสองคน พวกเขาสามารถทำได้กี่วิธี?

สารละลาย.

ตามเงื่อนไขของงาน เด็กชายและเด็กหญิงต้องสลับกัน กล่าวคือ เด็กผู้หญิงสามารถนั่งได้เฉพาะที่ที่เป็นเลขคู่ และเด็กผู้ชายสามารถนั่งได้เฉพาะที่เป็นเลขคี่เท่านั้น ดังนั้น เด็กผู้หญิงสามารถเปลี่ยนสถานที่กับผู้หญิงเท่านั้น และเด็กผู้ชายสามารถเปลี่ยนสถานที่กับเด็กผู้ชายเท่านั้น เด็กผู้หญิงสี่คนสามารถนั่งในสี่ตำแหน่งคู่ได้ P4 = 4! = 24 วิธี และเด็กชายห้าคนอยู่ในห้าตำแหน่งคี่ P5 = 5! = 120 วิธี

วิธีวางเด็กหญิงแต่ละวิธีสามารถรวมกับวิธีวางเด็กชายแต่ละวิธี ดังนั้น ตามกฎผลคูณ จำนวนวิธีทั้งหมดจะเท่ากับ: P420 = 2,880 วิธี

คำตอบ: 2,880 วิธี

20. F. แยกตัวประกอบตัวเลข 30 และ 210 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้กี่วิธี: 1) 30; 2) 210?

สารละลาย.

ลองแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

30 = 2 ; 210 = 2 .

เขียนเลข 30 เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะได้

ร 3 = 3! = 6 ในรูปแบบที่แตกต่างกัน(การจัดเรียงปัจจัยใหม่)

เขียนเลข 210 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้
ตัวคูณร 4 = 4! = 24 วิธีที่แตกต่างกัน

คำตอบ: 1) 6 วิธี; 2) 24 วิธี

21. F. สามารถเขียนตัวเลข 1, 2, 3, 5 โดยใช้ตัวเลข 1, 2, 3, 5 ได้กี่จำนวน

สารละลาย.

ตัวเลขที่จะเป็นเลขคู่จะต้องลงท้ายด้วยเลขคู่ เช่น 2. แก้สองตัวนี้ไว้ตำแหน่งสุดท้าย โดยตัวเลขสามหลักที่เหลือจะต้องปรากฏข้างหน้าตามลำดับใดก็ได้ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของ 3 หลักคือ P3 = 3! = 6; ดังนั้นจะมีตัวเลขสี่หลักที่แตกต่างกัน 6 ตัว (หมายเลข 2 จะถูกเพิ่มลงในการเรียงสับเปลี่ยนของสามหลักแต่ละครั้ง)

คำตอบ: 6 หมายเลข

22. F. ตัวเลข 5 หลักคี่แต่ไม่มีหลักเหมือนกันสามารถเขียนโดยใช้หลัก 1,2, 4, 6, 8 ได้จำนวนเท่าใด

สารละลาย.

หากต้องการให้จำนวนที่ประกอบขึ้นเป็นเลขคี่ จะต้องลงท้ายด้วยเลขคี่ เช่น หนึ่ง ตัวเลข 4 หลักที่เหลือสามารถจัดเรียงใหม่ได้โดยวางการจัดเรียงใหม่ก่อนตัวเครื่อง

จำนวนรวมของตัวเลขห้าหลักคี่เท่ากับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน: P4 = 4! =24.

23. F. สามารถเขียนตัวเลขหกหลักที่แตกต่างกันซึ่งมีตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันได้จำนวนเท่าใดโดยใช้ตัวเลข 1 2 3, 4, 5, 6 ถ้า: 1) ตัวเลขต้องขึ้นต้นด้วย 56; 2) ตัวเลข 5 และ 6 ควรอยู่ติดกันหรือไม่?

สารละลาย.

เราแก้ไขตัวเลขสองหลัก 5 และ 6 ที่จุดเริ่มต้นของตัวเลขและเพิ่มการเรียงสับเปลี่ยนต่าง ๆ จากตัวเลขที่เหลือ 4 หลัก จำนวนตัวเลขหกหลักที่แตกต่างกันจะเท่ากับ: P4 = 4! = 24.

จำนวนรวมของตัวเลขหกหลักที่แตกต่างกันซึ่งมีตัวเลข 5 และ 6 อยู่ติดกัน (เรียงลำดับอย่างไรก็ได้) คือ 120 + 120 = 240 หมายเลข (ตัวเลือก 56 และ 65 เข้ากันไม่ได้และไม่สามารถรับรู้พร้อมกันได้ เราใช้กฎผลรวมเชิงรวมกัน)

คำตอบ: 1) วันที่ 24; 2) 240 หมายเลข

24. F. ตัวเลข 1,2,3,4 สามารถสร้างตัวเลขสี่หลักที่แตกต่างกันแต่ไม่มีหลักเหมือนกันได้กี่จำนวน?

สารละลาย.

เลขคู่ต้องลงท้ายด้วยเลขคู่ เราแก้ไขหมายเลข 2 ในตำแหน่งสุดท้ายจากนั้น 3 หมายเลขก่อนหน้าสามารถจัดเรียงใหม่ได้ P3 = 3! = 6 วิธีที่แตกต่างกัน เราได้ตัวเลข 6 ตัวโดยมี 2 ตัวต่อท้าย เราแก้ไขหมายเลข 4 ในตำแหน่งสุดท้าย เราได้ P3 = 3! = 6 การเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของสามหลักก่อนหน้าและตัวเลข 6 ตัวที่ลงท้ายด้วย 4

จำนวนรวมของตัวเลขสี่หลักคู่จะเป็น 6 + 6 = 12 จำนวนที่แตกต่างกัน

คำตอบ: 12 หมายเลข

ความคิดเห็น เราค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมดโดยใช้กฎผลรวมเชิงรวมกัน (6 ตัวเลือกสำหรับตัวเลขที่ลงท้ายด้วยสอง, 6 ตัวเลือกสำหรับตัวเลขที่ลงท้ายด้วยสี่; วิธีการสร้างตัวเลขด้วยสองและสี่ที่ท้ายนั้นไม่เกิดร่วมกัน, เข้ากันไม่ได้, ดังนั้นจำนวนตัวเลือกทั้งหมดจึงเท่ากับผลรวมของจำนวนตัวเลือกที่มี 2 ตัวต่อท้ายและจำนวนตัวเลือกที่มี 4 ตัวต่อท้าย) รายการ 6 + 6 = 12 สะท้อนถึงเหตุผลของการกระทำของเราได้ดีกว่ารายการ P.

25. F. เขียนเลข 1) 12 เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะได้กี่วิธี? 2) 24; 3) 120?

สารละลาย.

ลักษณะเฉพาะของปัญหานี้ก็คือในการขยายตัวของตัวเลขแต่ละตัวเหล่านี้จะมีปัจจัยที่เหมือนกันและซ้ำกัน เมื่อสร้างการเรียงสับเปลี่ยนที่ต่างกันจากปัจจัยต่างๆ เราจะไม่ได้รับการเรียงสับเปลี่ยนใหม่ถ้าเราสลับตัวประกอบสองตัวที่เหมือนกัน

1) หมายเลข 12 แบ่งออกเป็นสาม ปัจจัยสำคัญซึ่งสองรายการเหมือนกัน: 12 = .

หากปัจจัยทั้งหมดแตกต่างกัน ก็สามารถจัดเรียงใหม่ในผลคูณ P3 = 3! = 6 วิธีที่แตกต่างกัน ในการแสดงรายการวิธีการเหล่านี้เราจะ "แยกแยะ" สองสองตามเงื่อนไขและเน้นหนึ่งในนั้น: 12 = 2.

ดังนั้นการสลายตัวของผู้อยู่อาศัยได้ 6 รูปแบบต่อไปนี้:

แต่ในความเป็นจริงแล้ว การขีดเส้นใต้ตัวเลขไม่มีความหมายในคณิตศาสตร์ ดังนั้นผลลัพธ์ของการเรียงสับเปลี่ยน 6 รูปแบบในรูปแบบธรรมดาจึงมีลักษณะดังนี้:

กล่าวคือ ที่จริงแล้วเราไม่ได้มี 6 แต่มีการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกัน 3 แบบ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนลดลงครึ่งหนึ่งเนื่องจากเราไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงการเรียงสับเปลี่ยนของสองค่าซึ่งกันและกัน

ลองแทน P x กัน จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบทั้งสามที่ต้องการรวมถึงองค์ประกอบที่เหมือนกันสองรายการ จากนั้นผลลัพธ์ที่เราได้รับสามารถเขียนได้ดังนี้: Рз = Рเอ็กซ์ แต่ 2 คือจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันของสององค์ประกอบ นั่นคือ 2 == 2! = P 2 ดังนั้น P3 = P x P 2 ดังนั้น P x = - (นี่คือสูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนด้วยการซ้ำ)

เราสามารถให้เหตุผลแตกต่างออกไปได้ โดยขึ้นอยู่กับกฎผลคูณเชิงรวมกันเท่านั้น

หากต้องการสร้างผลคูณของปัจจัย 3 ประการ ขั้นแรกให้เลือกสถานที่สำหรับปัจจัย 3 ซึ่งสามารถทำได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสามวิธี หลังจากนี้ เราจะเติมช่องว่างทั้งสองที่เหลือด้วยสองช่อง สามารถทำได้ 1 วิธี ตามกฎผลคูณ จำนวนวิธีทั้งหมดคือ: 3-1 = 3, Р x =20.

วิธีที่สอง. เมื่อเขียนผลคูณของปัจจัยห้าประการ ขั้นแรกเราเลือกสถานที่สำหรับห้า (5 วิธี) จากนั้นสำหรับสาม (4 วิธี) และเติม 3 สถานที่ที่เหลือด้วยสอง (1 วิธี) ตามกฎผลคูณ 5 4 1 = 20

คำตอบ: 1) 3; 2) 4; 3) 20.

26. F. 6 เซลล์สามารถระบายสีได้กี่วิธีเพื่อให้ 3 เซลล์เป็นสีแดง และอีก 3 เซลล์ที่เหลือทาสี (แต่ละเซลล์มีสีของตัวเอง) เป็นสีขาว สีดำ หรือสีเขียว

สารละลาย.

การเรียงสับเปลี่ยนของ 6 องค์ประกอบ โดยที่ทั้งสามองค์ประกอบเหมือนกัน:

มิฉะนั้น: หากต้องการทาสีขาวคุณสามารถเลือกหนึ่งใน 6 เซลล์, สีดำ - จาก 5, สีเขียว - จาก 4; เซลล์ที่เหลืออีกสามเซลล์ทาสีแดง จำนวนวิธีทั้งหมด: 6 5 4 1 = 120

คำตอบ: 120 วิธี

27.ต. คนเดินเท้าต้องเดินไปทางเหนือหนึ่งช่วงตึกและทางตะวันตกสามช่วงตึก เขียนเส้นทางเดินเท้าที่เป็นไปได้ทั้งหมด= 4.

คำตอบ: 4 เส้นทาง

28. ม. ก) ที่ประตูสำนักงานสี่แห่งที่เหมือนกันจำเป็นต้องแขวนป้ายที่มีชื่อของรองผู้อำนวยการสี่คน สามารถทำได้กี่วิธี?

b) ในชั้นเรียน 9 “A” ในวันพุธ มี 5 บทเรียน: พีชคณิต เรขาคณิต พลศึกษา ภาษารัสเซีย ภาษาอังกฤษ- คุณสามารถสร้างตัวเลือกกำหนดการสำหรับวันนี้ได้กี่ตัวเลือก

ค) โจรสี่คนสามารถกระจายไปทีละคนในทั้งสี่ทิศทางได้กี่วิธี?

ง) ผู้ช่วยจะต้องส่งสำเนาคำสั่งของนายพลจำนวนห้าชุดให้กับกองทหารห้ากอง เขาสามารถเลือกเส้นทางการจัดส่งสำหรับสำเนาคำสั่งซื้อได้กี่วิธี?

สารละลาย.

ก) จานแรก สามารถเลือกตู้ได้ 4 ตู้
สำหรับวินาที - หนึ่งในสามที่เหลือ สำหรับครั้งที่สาม - หนึ่งในสองที่เหลือ สำหรับครั้งที่สี่ - เหลืออีกหนึ่งอัน ตามกฎ
ผลิตภัณฑ์ จำนวนวิธีทั้งหมดคือ: 4 3 2 1 = 24 หรือ P4 = 4! = 24.= 120 หรือ P5 = 5! = 120.

คำตอบ: ก) 24; ข) 120; ค) 24; ง) 120.

วรรณกรรม

อาฟานาซีเยฟ วี.วี. ทฤษฎีความน่าจะเป็นในตัวอย่างและปัญหา Yaroslavl: Yaroslavl State Pedagogical University, 1994

บาฟริน ไอ. ไอ. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาวิชาเคมีและคณิตศาสตร์เฉพาะทางของมหาวิทยาลัยการสอน - ฉบับที่ 2 ปรับปรุง - อ.: การศึกษา, 2536.

Bunimovich E. A. , Bulychev V. A. ความน่าจะเป็นและสถิติ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-9: คู่มือการศึกษาทั่วไป สถาบันการศึกษา, - ม.: อีแร้ง, 2548.

Vilenkin N. Ya. และคนอื่น ๆ พีชคณิตและ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 10: บทช่วยสอนสำหรับนักเรียนโรงเรียนและชั้นเรียนด้วย การศึกษาเชิงลึกคณิตศาสตร์. - อ.: การศึกษา, 2535.

Vilenkin N. Ya. และคนอื่น ๆ พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนในโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก - อ.: Prosveshchenie, 1990

เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน: เกรด 9-10 คู่มือสำหรับครู. - ม.: การศึกษา 2526.

Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. คณิตศาสตร์ 9: พีชคณิต ฟังก์ชั่น การวิเคราะห์ข้อมูล - อ.: อีแร้ง, 2000.

Kolyagin และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เกรด 11 คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน - 2545 - ฉบับที่ 4 - หน้า 43,44,46

Lyupshkas V.S. วิชาเลือกในวิชาคณิตศาสตร์: ทฤษฎีความน่าจะเป็น: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 9-11.

มาคารีเชฟ ยู.เอ็น., มินดยุก เอ็น.จี. องค์ประกอบของสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนเกรด 7-9 - ม.: Prosveshchenie, 2548

Mordkovich A.G., Semenov P.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10: หนังสือเรียนสำหรับ สถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) – ม.: Mnemosyne, 2005.

Tkacheva M.V., Fedorova N.E. องค์ประกอบของสถิติและความน่าจะเป็น: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนเกรด 7-9 - ม.: Prosveshchenie, 2548