เด็กนักเรียนทุกคนรู้ดีว่าด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเสมอ เท่ากับผลรวมขาแต่ละข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คำสั่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดของตรีโกณมิติและคณิตศาสตร์โดยทั่วไป เรามาดูกันดีกว่า

แนวคิดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะพิจารณาทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขาที่กำลังยกกำลังสอง เราควรพิจารณาแนวคิดและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ทฤษฎีบทนั้นเป็นจริง

สามเหลี่ยม - รูปแบนมีสามมุมและมีสามด้าน สามเหลี่ยมมุมฉากตามชื่อของมันนั้นมีมุมฉากหนึ่งมุมนั่นคือมุมนี้เท่ากับ 90 o

จาก คุณสมบัติทั่วไปสำหรับรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด เป็นที่รู้กันว่าผลรวมของมุมทั้งสามของรูปนี้คือ 180 o ซึ่งหมายความว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของมุมสองมุมที่ไม่ใช่มุมฉากคือ 180 o - 90 o = 90 o ข้อเท็จจริงสุดท้ายหมายความว่ามุมใดๆ ในนั้น สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งไม่ตรงจะน้อยกว่า 90 o เสมอ

ด้านที่เป็นปฏิปักษ์ มุมฉากมักเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกสองด้านเป็นขาของสามเหลี่ยม จะเท่ากันหรือต่างกันก็ได้ จากวิชาตรีโกณมิติ เรารู้ว่ายิ่งมุมของด้านของสามเหลี่ยมอยู่มากเท่าใด ความยาวของด้านนั้นก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก (อยู่ตรงข้ามมุม 90 o) จะมากกว่าขาใดๆ เสมอ (อยู่ตรงข้ามมุมดังกล่าว)< 90 o).

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้ระบุว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละด้านจะถูกยกกำลังสองก่อนหน้านี้ ในการเขียนสูตรนี้ทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากโดยด้าน a, b และ c เป็นสองขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามลำดับ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทซึ่งกำหนดเป็นกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้: c 2 = a 2 + b 2 จากที่นี่จะได้สูตรอื่นๆ ที่สำคัญสำหรับการฝึกปฏิบัติ: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) และ c = √(a 2 + b 2)

โปรดทราบว่าในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมด้านเท่านั่นคือ a = b สูตร: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละด้านเป็นรูปยกกำลังสอง เขียนตามหลักคณิตศาสตร์ได้ดังนี้ c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 ซึ่งหมายถึง ความเท่าเทียมกัน: c = a√2

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งระบุว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละขาถูกยกกำลังสอง เป็นที่รู้จักกันมานานแล้วก่อนที่ปราชญ์ชาวกรีกผู้โด่งดังจะให้ความสนใจกับทฤษฎีนี้ ปาปิริมากมาย อียิปต์โบราณเช่นเดียวกับแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนยืนยันว่าชนชาติเหล่านี้ใช้คุณสมบัติที่ระบุไว้ของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่างเช่นหนึ่งในคนแรก ปิรามิดอียิปต์พีระมิดแห่งคาเฟร ซึ่งก่อสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 26 ก่อนคริสต์ศักราช (2,000 ปีก่อนคริสตศักราช พีทาโกรัส) สร้างขึ้นจากความรู้เรื่องอัตราส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3x4x5

เหตุใดทฤษฎีบทจึงมีชื่อเป็นภาษากรีก? คำตอบนั้นง่ายมาก: ปีทาโกรัสเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ทางคณิตศาสตร์ ในการอยู่รอดของชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์ แหล่งที่เป็นลายลักษณ์อักษรมันพูดถึงการใช้งานเท่านั้น แต่ไม่ได้ให้หลักฐานทางคณิตศาสตร์ใดๆ

เชื่อกันว่าพีทาโกรัสพิสูจน์ทฤษฎีบทที่เป็นปัญหาโดยใช้สมบัติต่างๆ สามเหลี่ยมที่คล้ายกันซึ่งเขาได้มาจากการวาดส่วนสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากมุม 90 o ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ลองพิจารณาดู งานง่ายๆ: จำเป็นต้องกำหนดความยาวของบันไดเอียง L หากทราบว่ามีความสูง H = 3 เมตรและระยะห่างจากผนังที่บันไดวางถึงเท้าคือ P = 2.5 เมตร

ใน ในกรณีนี้ H และ P คือขา และ L คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจากความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เราจึงได้: L 2 = H 2 + P 2 โดยที่ L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3.905 เมตร หรือ 3 ม. และ 90, 5 ซม.

สิ่งหนึ่งที่คุณมั่นใจได้ร้อยเปอร์เซ็นต์ก็คือเมื่อถูกถามว่าทำไม เท่ากับกำลังสองด้านตรงข้ามมุมฉาก ผู้ใหญ่คนใดจะตอบอย่างกล้าหาญ: "ผลรวมของกำลังสองของขา" ทฤษฎีบทนี้ฝังแน่นอยู่ในจิตใจของทุกคน ผู้มีการศึกษาแต่สิ่งที่คุณต้องทำคือขอให้ใครสักคนพิสูจน์ และอาจเกิดปัญหาได้ ดังนั้นเรามาจำและพิจารณากัน วิธีทางที่แตกต่างการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ประวัติโดยย่อ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นที่คุ้นเคยของเกือบทุกคน แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างชีวประวัติของบุคคลที่นำมันมาสู่โลกจึงไม่ได้รับความนิยมมากนัก สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ ดังนั้น ก่อนที่จะสำรวจวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส คุณต้องมาทำความรู้จักกับบุคลิกภาพของเขาโดยย่อ

พีทาโกรัส - นักปรัชญานักคณิตศาสตร์นักคิดที่มีพื้นเพมาจาก วันนี้ เป็นเรื่องยากมากที่จะแยกแยะชีวประวัติของเขาจากตำนานที่พัฒนาขึ้นในความทรงจำของชายผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ แต่ดังต่อไปนี้จากผลงานของผู้ติดตามของเขา Pythagoras of Samos เกิดบนเกาะ Samos พ่อของเขาเป็นคนตัดหินธรรมดา แต่แม่ของเขามาจากตระกูลขุนนาง

เมื่อพิจารณาจากตำนานแล้ว การกำเนิดของพีธากอรัสนั้นถูกทำนายโดยผู้หญิงชื่อไพเธียซึ่งมีชื่อว่าเด็กชายเพื่อเป็นเกียรติแก่ ตามคำทำนายของเธอ เด็กชายที่เกิดควรจะนำผลประโยชน์และดีมาสู่มนุษยชาติมากมาย ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาทำ

กำเนิดของทฤษฎีบท

ในวัยเด็ก พีทาโกรัสย้ายไปอียิปต์เพื่อพบกับปราชญ์ชาวอียิปต์ที่มีชื่อเสียงที่นั่น หลังจากพบปะกับพวกเขาแล้ว เขาก็ได้รับอนุญาตให้ศึกษา ซึ่งเขาได้เรียนรู้ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ทั้งหมดของปรัชญา คณิตศาสตร์ และการแพทย์ของอียิปต์

อาจเป็นที่อียิปต์ว่าพีทาโกรัสได้รับแรงบันดาลใจจากความสง่างามและความงามของปิรามิดและสร้างขึ้นเอง ทฤษฎีที่ยิ่งใหญ่- นี่อาจทำให้ผู้อ่านตกใจแต่ นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่พวกเขาเชื่อว่าพีทาโกรัสไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเขา แต่เขาเพียงถ่ายทอดความรู้ของเขาให้กับผู้ติดตามของเขาเท่านั้น ซึ่งต่อมาได้เสร็จสิ้นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว

อาจเป็นไปได้ว่าทุกวันนี้ไม่มีใครรู้จักวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เพียงวิธีเดียว แต่มีหลายวิธีในคราวเดียว วันนี้เราทำได้เพียงเดาได้ว่าชาวกรีกโบราณคำนวณอย่างไร ดังนั้นเราจะมาดูวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ก่อนที่คุณจะเริ่มคำนวณ คุณต้องหาทฤษฎีที่คุณต้องการพิสูจน์เสียก่อน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นดังนี้: “ในรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมหนึ่งเป็น 90° ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก”

มีทั้งหมด 15 วิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นี่เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมากดังนั้นเราจะให้ความสนใจกับจำนวนที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

วิธีที่หนึ่ง

ก่อนอื่น มากำหนดสิ่งที่เราได้รับมากันก่อน ข้อมูลเหล่านี้จะนำไปใช้กับวิธีอื่นๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ดังนั้นจึงควรจดจำสัญลักษณ์ทั้งหมดที่มีอยู่ทันที

สมมติว่าเราได้รับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ c วิธีการพิสูจน์วิธีแรกนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าคุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเพิ่มส่วนที่เท่ากับขา b เข้ากับขาที่มีความยาว a และในทางกลับกัน นี่ควรจะเป็นสอง ด้านที่เท่ากันสี่เหลี่ยม. สิ่งที่เหลืออยู่คือการวาดเส้นขนานสองเส้นแล้วสี่เหลี่ยมก็พร้อม

ภายในรูปที่ได้คุณจะต้องวาดสี่เหลี่ยมอีกอันที่มีด้านข้าง เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากสามเหลี่ยมเดิม ในการทำเช่นนี้จากจุดยอดасและсвคุณต้องวาดสองอัน ขนานกับส่วนเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้ด้านทั้งสามของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนึ่งในนั้นคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากดั้งเดิม สิ่งที่เหลืออยู่คือการวาดส่วนที่สี่

จากรูปที่ได้ เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกคือ (a + b) 2 หากคุณมองเข้าไปในรูป คุณจะเห็นว่านอกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในแล้ว ยังมีสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสี่รูปอีกด้วย พื้นที่แต่ละแห่งคือ 0.5av.

ดังนั้น พื้นที่จึงเท่ากับ: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

ดังนั้น (a + b) 2 = 2ab + c 2

ดังนั้น c 2 =a 2 +b 2

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีที่สอง: สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สูตรในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ได้มาจากข้อความในส่วนเรขาคณิตเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โดยระบุว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม 90°

ข้อมูลเริ่มต้นยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นเรามาเริ่มด้วยการพิสูจน์กันดีกว่า ให้เราวาดส่วน CD ตั้งฉากกับด้าน AB จากข้อความข้างต้น ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:

เอซี=√AB*โฆษณา, SV=√AB*DV.

ในการตอบคำถามว่าจะพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างไร การพิสูจน์จะต้องเสร็จสิ้นโดยการยกกำลังสองของอสมการทั้งสอง

เอซี 2 = AB * AD และ CB 2 = AB * DV

ตอนนี้เราต้องบวกผลลัพธ์ความไม่เท่าเทียมกันเข้าด้วยกัน

เอซี 2 + CB 2 = AB * (AD * DV) โดยที่ AD + DV = AB

ปรากฎว่า:

เอซี 2 + CB 2 =AB*AB

และดังนั้นจึง:

เอซี 2 + CB 2 = เอบี 2

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการต่างๆ ในการแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางที่หลากหลายในการแก้ไขปัญหานี้ อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกนี้เป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุด

วิธีการคำนวณอื่น

คำอธิบายวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจไม่มีความหมายใดๆ จนกว่าคุณจะเริ่มฝึกฝนด้วยตนเอง เทคนิคหลายอย่างไม่เพียงเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการสร้างตัวเลขใหม่จากสามเหลี่ยมดั้งเดิมด้วย

ในกรณีนี้ จำเป็นต้องสร้าง VSD สามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันจากด้าน BC ดังนั้น ตอนนี้จึงมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขาร่วม BC

เมื่อรู้ว่าบริเวณนั้น ตัวเลขที่คล้ายกันมีอัตราส่วนเป็นกำลังสองของมิติเชิงเส้นที่คล้ายกัน ดังนั้น:

S avs * c 2 - S avd * ใน 2 = S avd * a 2 - S กับ * a 2

S avs *(จาก 2 - ถึง 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

จาก 2 - ถึง 2 = a 2

ค 2 =ก 2 +ข 2

เนื่องจากวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับเกรด 8 มีวิธีต่างๆ มากมาย ตัวเลือกนี้จึงไม่ค่อยเหมาะสม คุณสามารถใช้วิธีต่อไปนี้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รีวิว

ตามที่นักประวัติศาสตร์กล่าวไว้ วิธีนี้ถูกใช้ครั้งแรกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทกลับเข้ามา กรีกโบราณ- เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดเนื่องจากไม่ต้องการการคำนวณใดๆ ทั้งสิ้น หากคุณวาดภาพอย่างถูกต้องก็จะมองเห็นหลักฐานของข้อความที่ว่า a 2 + b 2 = c 2 ได้ชัดเจน

เงื่อนไขสำหรับ วิธีนี้จะแตกต่างจากครั้งก่อนเล็กน้อย เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท สมมติว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมเอบีซี- หน้าจั่ว

เราใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ววาดทั้งสามด้าน นอกจากนี้จำเป็นต้องวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นในช่องสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ ข้างในนั้นคุณจะได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่อัน

คุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขา AB และ CB แล้ววาดเส้นตรงแนวทแยงหนึ่งเส้นในแต่ละอัน เราลากเส้นแรกจากจุดยอด A เส้นที่สองจาก C

ตอนนี้คุณต้องดูภาพวาดผลลัพธ์อย่างรอบคอบ เนื่องจากบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC มีสามเหลี่ยมสี่รูปเท่ากับสามเหลี่ยมดั้งเดิม และด้านข้างมีสองรูป ซึ่งบ่งบอกถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้

อย่างไรก็ตาม ต้องขอบคุณวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ วลีที่มีชื่อเสียง: “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง”

พิสูจน์โดยเจ. การ์ฟิลด์

เจมส์ การ์ฟิลด์เป็นประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา นอกเหนือจากการสร้างชื่อเสียงให้กับประวัติศาสตร์ในฐานะผู้ปกครองของสหรัฐอเมริกาแล้ว เขายังเป็นผู้ที่มีความสามารถพิเศษอีกด้วย

ในช่วงเริ่มต้นอาชีพของเขาเขาเป็นครูประจำใน โรงเรียนของรัฐแต่ไม่นานก็กลายเป็นผู้อำนวยการสูงสุดคนหนึ่ง สถาบันการศึกษา- ความปรารถนาที่จะพัฒนาตนเองทำให้เขาเสนอได้ ทฤษฎีใหม่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทและตัวอย่างการแก้ปัญหามีดังนี้

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันบนกระดาษแผ่นหนึ่งเพื่อให้ขาของหนึ่งในนั้นต่อจากอันที่สอง จุดยอดของสามเหลี่ยมเหล่านี้จำเป็นต้องเชื่อมต่อกันจนกลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูในที่สุด

ดังที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง

S=ก+ข/2 * (ก+ข)

หากเราพิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูที่เกิดขึ้นเป็นรูปที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสามรูป ก็จะสามารถหาพื้นที่ได้ดังนี้:

S=av/2 *2 + วิ 2 /2

ตอนนี้เราต้องทำให้สำนวนดั้งเดิมทั้งสองเท่ากัน

2ab/2 + ค/2=(ก+ข) 2 /2

ค 2 =ก 2 +ข 2

สามารถเขียนได้มากกว่าหนึ่งเล่มเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์มัน อุปกรณ์ช่วยสอน- แต่มีประเด็นใดบ้างที่ความรู้นี้ไม่สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้?

การประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ

น่าเสียดายที่ในยุคปัจจุบัน โปรแกรมของโรงเรียนทฤษฎีบทนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อใช้เฉพาะใน ปัญหาทางเรขาคณิต- ผู้สำเร็จการศึกษาจะออกจากโรงเรียนในไม่ช้าโดยไม่รู้ว่าจะนำความรู้และทักษะไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

ที่จริงแล้ว ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในตัวคุณ ชีวิตประจำวันทุกคนสามารถ และไม่ใช่แค่ใน กิจกรรมระดับมืออาชีพแต่ยังรวมถึงงานบ้านทั่วไปด้วย ลองพิจารณาหลายกรณีที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์อาจมีความจำเป็นอย่างยิ่ง

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทกับดาราศาสตร์

ดูเหมือนว่าดาวและสามเหลี่ยมบนกระดาษจะเชื่อมโยงกันได้อย่างไร ที่จริงแล้วดาราศาสตร์ก็คือ สาขาวิทยาศาสตร์ซึ่งใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างกว้างขวาง

เช่น พิจารณาความเคลื่อนไหว ลำแสงในที่ว่าง. เป็นที่รู้กันว่าแสงเคลื่อนที่ทั้งสองทิศทางจาก ความเร็วเท่ากัน- ลองเรียกวิถี AB ที่รังสีแสงเคลื่อนที่ไป ล. และลองเรียกครึ่งหนึ่งของเวลาที่ต้องใช้แสงเพื่อเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ที- และความเร็วของลำแสง - ค. ปรากฎว่า: ค*t=ล

หากคุณดูรังสีเดียวกันนี้จากระนาบอื่น เช่น จากเรือโดยสารอวกาศที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ดังนั้นเมื่อสังเกตวัตถุในลักษณะนี้ ความเร็วของพวกมันจะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้ แม้แต่องค์ประกอบที่อยู่นิ่งก็จะเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ในทิศทางตรงกันข้าม

สมมติว่าการ์ตูนไลเนอร์แล่นไปทางขวา จากนั้นจุด A และ B ซึ่งลำแสงวิ่งอยู่ระหว่างนั้นจะเริ่มเคลื่อนไปทางซ้าย นอกจากนี้เมื่อลำแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B จุด A จะมีเวลาเคลื่อนที่และด้วยเหตุนี้แสงจึงจะมาถึงที่แล้ว จุดใหม่ C. หากต้องการค้นหาระยะทางครึ่งหนึ่งที่จุด A เคลื่อนที่ คุณต้องคูณความเร็วของสายการบินด้วยครึ่งหนึ่งของระยะเวลาการเดินทางของลำแสง (t")

และเพื่อหาว่ารังสีแสงสามารถเดินทางได้ไกลแค่ไหนในช่วงเวลานี้ คุณต้องทำเครื่องหมายครึ่งหนึ่งของเส้นทางด้วยตัวอักษร s ใหม่ และรับนิพจน์ต่อไปนี้:

ถ้าเราจินตนาการว่าจุดของแสง C และ B รวมถึงเส้นอวกาศคือจุดยอด สามเหลี่ยมหน้าจั่วจากนั้นส่วนจากจุด A ถึงเส้นไลเนอร์จะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณจึงสามารถหาระยะทางที่รังสีแสงเดินทางได้

แน่นอนว่าตัวอย่างนี้ไม่ใช่ตัวอย่างที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่โชคดีพอที่จะลองใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้น ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้แบบธรรมดาๆ กัน

ระยะการส่งสัญญาณมือถือ

ชีวิตสมัยใหม่ไม่สามารถจินตนาการได้อีกต่อไปหากไม่มีสมาร์ทโฟน แต่จะมีประโยชน์มากแค่ไหนหากไม่สามารถเชื่อมต่อสมาชิกผ่านการสื่อสารเคลื่อนที่ได้!

คุณภาพของการสื่อสารเคลื่อนที่โดยตรงขึ้นอยู่กับความสูงของเสาอากาศของผู้ให้บริการโทรศัพท์มือถือ ในการคำนวณว่าโทรศัพท์สามารถรับสัญญาณได้ไกลแค่ไหนจากเสาสัญญาณมือถือ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้

สมมติว่าคุณต้องหาความสูงโดยประมาณของหอคอยที่อยู่นิ่งเพื่อที่จะสามารถกระจายสัญญาณภายในรัศมี 200 กิโลเมตร

AB (ความสูงของหอคอย) = x;

BC (รัศมีการส่งสัญญาณ) = 200 กม.;

ระบบปฏิบัติการ (รัศมี โลก) = 6380 กม.;

OB=OA+ABOB=r+x

เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพบว่า ความสูงขั้นต่ำหอคอยควรมีความยาว 2.3 กิโลเมตร

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวัน

น่าแปลกที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์แม้ในชีวิตประจำวัน เช่น การกำหนดความสูงของตู้เสื้อผ้า เป็นต้น เมื่อมองแวบแรกไม่จำเป็นต้องใช้สิ่งนี้ การคำนวณที่ซับซ้อนเพราะคุณสามารถวัดโดยใช้เทปวัดได้ง่ายๆ แต่หลายคนสงสัยว่าเหตุใดปัญหาบางอย่างจึงเกิดขึ้นในระหว่างกระบวนการประกอบ หากการวัดทั้งหมดทำมากกว่าความแม่นยำ

ความจริงก็คือตู้เสื้อผ้าประกอบในแนวนอนแล้วยกและติดตั้งชิดผนังเท่านั้น ดังนั้นในระหว่างขั้นตอนการยกโครงสร้าง ด้านข้างของตู้จะต้องเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระทั้งตามความสูงและแนวทแยงของห้อง

สมมติว่ามีตู้เสื้อผ้าที่มีความลึก 800 มม. ระยะห่างจากพื้นถึงเพดาน - 2,600 มม. ผู้ผลิตเฟอร์นิเจอร์ที่มีประสบการณ์จะบอกว่าความสูงของตู้ควรน้อยกว่าความสูงของห้อง 126 มม. แต่ทำไมถึง 126 มม. ล่ะ? ลองดูตัวอย่าง

ด้วยขนาดตู้ที่เหมาะสมที่สุด เรามาตรวจสอบการทำงานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน:

เอซี =√AB 2 +√BC 2

AC = √2474 2 +800 2 =2600 มม. - ทุกอย่างลงตัว

สมมติว่าความสูงของตู้ไม่ใช่ 2474 มม. แต่เป็น 2505 มม. แล้ว:

เอซี=√2505 2 +√800 2 =2629 มม.

ดังนั้นตู้นี้ไม่เหมาะกับการติดตั้งในห้องนี้ เนื่องจากการยกขึ้นในแนวตั้งอาจทำให้ร่างกายได้รับความเสียหายได้

บางที เมื่อพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยนักวิทยาศาสตร์หลายๆ คนแล้ว เราก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทดังกล่าวเป็นมากกว่าความจริง ตอนนี้คุณสามารถใช้ข้อมูลที่ได้รับในชีวิตประจำวันของคุณและมั่นใจได้เลยว่าการคำนวณทั้งหมดจะไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังถูกต้องอีกด้วย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่วางอยู่บนขา ( กและ ข) เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ( ค).

สูตรทางเรขาคณิต:

ทฤษฎีบทถูกกำหนดไว้แต่เดิมดังนี้:

สูตรพีชคณิต:

นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมด้วย คและความยาวของขาทะลุ กและ ข :

ก 2 + ข 2 = ค 2

สูตรทั้งสองของทฤษฎีบทนั้นเทียบเท่ากัน แต่สูตรที่สองนั้นเป็นสูตรพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องการแนวคิดเรื่องพื้นที่ กล่าวคือ ข้อความที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเลยเกี่ยวกับพื้นที่ และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส:

การพิสูจน์

บน ช่วงเวลานี้วี วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์มีการบันทึกข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ไว้ 367 ข้อ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนที่น่าประทับใจเช่นนี้ ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอนว่าตามแนวคิดแล้วทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นคลาสจำนวนน้อยได้ สิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด: การพิสูจน์โดยวิธีพื้นที่, การพิสูจน์ตามความเป็นจริงและแปลกใหม่ (เช่น การใช้ สมการเชิงอนุพันธ์).

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งสร้างขึ้นจากสัจพจน์โดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูป

อนุญาต เอบีซีมีสามเหลี่ยมมุมฉากกับมุมฉาก ค- ลองวาดความสูงจาก คและแสดงฐานด้วย ชม- สามเหลี่ยม เอซีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีตรงสองมุม สามเหลี่ยมเช่นเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี- โดยการแนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

สิ่งที่เทียบเท่า

เมื่อบวกกันแล้วเราก็จะได้

การพิสูจน์โดยใช้วิธีพื้นที่

โดยมีหลักฐานดังต่อไปนี้ทั้งๆ ความเรียบง่ายที่เห็นได้ชัดไม่ใช่เรื่องง่ายเลย พวกเขาทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ การพิสูจน์ที่ยากขึ้นทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั่นเอง

พิสูจน์ผ่านการเสริมสมมูล

1. ลองจัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันเท่ากันดังแสดงในรูปที่ 1
2. สี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง คเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
3. พื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันในด้านหนึ่งกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และอีกด้านหนึ่งคือผลรวม สี่สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านในสองอัน

Q.E.D.

การพิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

หลักฐานที่หรูหราโดยใช้การเรียงสับเปลี่ยน

ตัวอย่างของข้อพิสูจน์ประการหนึ่งแสดงไว้ในภาพวาดด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากถูกจัดเรียงใหม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างอยู่บนขา

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

การวาดภาพเพื่อพิสูจน์ของ Euclid

ภาพประกอบหลักฐานของ Euclid

แนวคิดในการพิสูจน์ของ Euclid มีดังนี้ ลองพิสูจน์ว่าครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา และจากนั้นพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมใหญ่และสี่เหลี่ยมเล็กสองอันมีค่าเท่ากัน

ลองดูภาพวาดทางด้านซ้าย บนนั้นเราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากและดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ซึ่งตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสี่เหลี่ยมสองอัน - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาที่สอดคล้องกันทุกประการ

ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราจะใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากัน สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนดเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้ตามมาว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดงในรูป) ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม AHJK

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ DECA สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมตามคุณสมบัติข้างต้น) ความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจน สามเหลี่ยมจะเท่ากันทั้งสองด้านและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นพิสูจน์ได้ง่ายโดยวิธีการเคลื่อนที่: เราหมุนสามเหลี่ยม CAK 90° ทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองใน คำถามจะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°)

เหตุผลสำหรับความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยม BHJI นั้นคล้ายกันโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นประกอบด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา แนวคิดเบื้องหลังข้อพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นเพิ่มเติมจากภาพเคลื่อนไหวด้านบน

หลักฐานของเลโอนาร์โด ดา วินชี

หลักฐานของเลโอนาร์โด ดา วินชี

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนที่

ลองพิจารณาการวาดภาพตามที่เห็นได้จากความสมมาตรซึ่งเป็นส่วน คฉันตัดสี่เหลี่ยม กบีชมเจ เป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยม กบีคและ เจชมฉันเท่ากันในการก่อสร้าง) เมื่อใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา คกเจฉัน และ ชดีกบี - ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของร่างที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ในทางกลับกัน จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์เป็นหน้าที่ของผู้อ่าน

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

การพิสูจน์โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้มักมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อดัง Hardy ซึ่งอาศัยอยู่ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

ดูภาพวาดที่แสดงในภาพและสังเกตการเปลี่ยนแปลงด้านข้าง กเราสามารถเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับการเพิ่มขึ้นทีละน้อยได้ กับและ ก(ใช้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม):

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

เราพบว่าใช้วิธีการแยกตัวแปร

มากกว่า การแสดงออกทั่วไปเพื่อเปลี่ยนด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่ขาทั้งสองข้างเพิ่มขึ้น

การบูรณาการ สมการที่กำหนดและใช้ เงื่อนไขเริ่มต้น, เราได้รับ

ค 2 = ก 2 + ข 2 + ค่าคงที่

เราจึงได้คำตอบที่ต้องการ

ค 2 = ก 2 + ข 2 .

ง่ายขนาดไหนมาดูกัน. การพึ่งพากำลังสองปรากฏในสูตรสุดท้ายด้วย สัดส่วนเชิงเส้นระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมกับส่วนที่เพิ่มขึ้น ในขณะที่ผลรวมสัมพันธ์กับส่วนที่เพิ่มขึ้นอย่างอิสระจากการเพิ่มขึ้นของขาต่างๆ

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่านี้ได้หากเราถือว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่มีส่วนเพิ่มขึ้น (ในกรณีนี้คือขาข้างหนึ่ง ข- จากนั้นสำหรับค่าคงที่อินทิเกรตที่เราได้รับ

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

• ถ้าแทนที่จะสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราสร้างรูปอื่นๆ ที่คล้ายกันที่ด้านข้าง ดังนั้นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสต่อไปนี้จะเป็นจริง: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของพื้นที่ของรูปที่คล้ายกันซึ่งสร้างไว้ด้านข้างจะเท่ากับพื้นที่ของรูปที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
  • ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างไว้ด้านข้างจะเท่ากับพื้นที่ สามเหลี่ยมปกติ, สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ผลรวมของพื้นที่ครึ่งวงกลมที่สร้างบนขา (ตามเส้นผ่านศูนย์กลาง) เท่ากับพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างนี้ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวง และเรียกว่า ลูนูลาฮิปโปเครติก

เรื่องราว

ชูเป่ย 500–200 ปีก่อนคริสตกาล ด้านซ้ายเป็นคำจารึก: ผลรวมของกำลังสองของความยาวของความสูงและฐานคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

หนังสือจีนโบราณ ฉูเป่ย พูดถึง สามเหลี่ยมพีทาโกรัสด้านที่ 3, 4 และ 5: ในหนังสือเล่มเดียวกัน มีการเสนอภาพวาดที่ตรงกับหนึ่งในภาพวาดเรขาคณิตฮินดูของบาชารา

คันทอร์ (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3² + 4² = 5² ชาวอียิปต์ทราบอยู่แล้วเมื่อประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในสมัยกษัตริย์อาเมเนมฮัตที่ 1 (อ้างอิงจากปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำกล่าวของคันทอร์ ฮาร์พีโดแนปต์หรือ "เครื่องดึงเชือก" ได้สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5

มันง่ายมากที่จะทำซ้ำวิธีการก่อสร้าง ลองใช้เชือกยาว 12 ม. แล้วผูกแถบสีไว้ที่ระยะ 3 ม. จากปลายด้านหนึ่งและ 4 เมตรจากอีกด้านหนึ่ง มุมฉากจะอยู่ระหว่างด้านยาว 3 ถึง 4 เมตร ชาวฮาร์เปโดเนปเชียนอาจแย้งว่าวิธีการก่อสร้างของพวกเขาจะฟุ่มเฟือยหากมีใครใช้ เช่น ไม้สี่เหลี่ยม ซึ่งช่างไม้ทุกคนใช้ แท้จริงแล้วภาพวาดของอียิปต์เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งพบเครื่องมือดังกล่าวเช่นภาพวาดที่แสดงถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการของช่างไม้

มีคนรู้มากกว่านี้เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งย้อนหลังไปถึงสมัยฮัมมูราบีนั่นคือถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล e. ให้การคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยประมาณ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในเมโสโปเตเมียพวกเขาสามารถคำนวณด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างน้อยก็ในบางกรณี ในอีกด้านหนึ่ง จากระดับความรู้ในปัจจุบันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอียิปต์และบาบิโลน และในอีกด้านหนึ่ง จากการศึกษาเชิงวิพากษ์เกี่ยวกับแหล่งที่มาของกรีก Van der Waerden (นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) ได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:

วรรณกรรม

ในภาษารัสเซีย

• สโกเพตส์ ซี.เอ.เพชรประดับทางเรขาคณิต ม., 1990
• เอเลนสกี้ ชช.ตามรอยพีทาโกรัส ม., 1961
• ฟาน เดอร์ แวร์เดน บี.แอล.วิทยาศาสตร์ตื่นตัว. คณิตศาสตร์ของอียิปต์โบราณ บาบิโลน และกรีซ ม., 1959
• เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ม., 1982
• W. Litzman “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” M. , 1960
  • เว็บไซต์เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก เนื้อหาที่นำมาจากหนังสือของ V. Litzmann จำนวนมากภาพวาดจะถูกนำเสนอในรูปแบบของไฟล์กราฟิกแยกต่างหาก
• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทของพีทาโกรัสมีสามบทจากหนังสือของ D.V. Anosov “ดูคณิตศาสตร์และบางสิ่งบางอย่างจากมัน”
• เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์ G. Glaser นักวิชาการของ Russian Academy of Education, Moscow

เป็นภาษาอังกฤษ

• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ WolframMathWorld
• Cut-The-Knot หัวข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ข้อพิสูจน์ประมาณ 70 ข้อและข้อมูลเพิ่มเติมที่ครอบคลุม (ภาษาอังกฤษ)

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ชะตากรรมของทฤษฎีบทและปัญหาอื่น ๆ นั้นแปลกประหลาด... ตัวอย่างเช่นจะอธิบายได้อย่างไรว่าความสนใจเป็นพิเศษในส่วนของนักคณิตศาสตร์และผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์ต่อทฤษฎีบทพีทาโกรัส? ทำไมหลายคนถึงยังไม่พอใจ? หลักฐานที่ทราบแต่พวกเขาพบหลักฐานเหล่านั้นเอง โดยนำหลักฐานจำนวนมากมาหลายร้อยตลอดยี่สิบห้าศตวรรษที่ค่อนข้างจะคาดเดาได้?
เมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความแปลกประหลาดเริ่มต้นด้วยชื่อของมัน เชื่อกันว่าไม่ใช่พีทาโกรัสที่เป็นคนคิดค้นสิ่งนี้ขึ้นเป็นครั้งแรก ถือว่ายังเป็นที่น่าสงสัยว่าเขาให้หลักฐานมาด้วย ถ้าพีทาโกรัส - ใบหน้าที่แท้จริง(บางคนถึงกับสงสัย!) จากนั้นเขาก็น่าจะมีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 6-5 พ.ศ จ. ตัวเขาเองไม่ได้เขียนอะไรเลยเรียกตัวเองว่าเป็นนักปรัชญาซึ่งในความเข้าใจของเขาหมายถึง "มุ่งมั่นเพื่อปัญญา" และก่อตั้งสหภาพพีทาโกรัสซึ่งสมาชิกศึกษาดนตรี ยิมนาสติก คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และดาราศาสตร์ เห็นได้ชัดว่าเขายังเป็นนักพูดที่ยอดเยี่ยมด้วยตามหลักฐานตามตำนานต่อไปนี้เกี่ยวกับการที่เขาอยู่ในเมือง Croton: “ การปรากฏตัวครั้งแรกของ Pythagoras ต่อหน้าผู้คนใน Croton เริ่มต้นด้วยคำพูดต่อชายหนุ่มซึ่งเขาเป็นเช่นนั้น เข้มงวด แต่ในขณะเดียวกันก็สรุปหน้าที่ของชายหนุ่มได้อย่างน่าทึ่งและผู้เฒ่าในเมืองก็ขออย่าทิ้งพวกเขาไปโดยไม่ได้รับคำแนะนำ ในสุนทรพจน์ครั้งที่สองนี้ พระองค์ทรงชี้ให้เห็นถึงความถูกต้องตามกฎหมายและความบริสุทธิ์ของศีลธรรมเป็นรากฐานของครอบครัว ในอีกสองช่วงถัดมาพระองค์ทรงปราศรัยกับเด็กและสตรี ผลที่ตามมา คำพูดสุดท้ายซึ่งเขาประณามความฟุ่มเฟือยเป็นพิเศษ นั่นคือชุดอันล้ำค่าหลายพันชิ้นถูกส่งไปยังวิหารแห่งเฮรา เพราะไม่มีผู้หญิงสักคนเดียวกล้าปรากฏตัวในชุดเหล่านั้นบนถนนอีกต่อไป...” อย่างไรก็ตาม แม้ในศตวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช กล่าวคือ . 700 ปีต่อมา พวกเขามีชีวิตและทำงานค่อนข้างดี คนจริงนักวิทยาศาสตร์ที่ไม่ธรรมดาซึ่งได้รับอิทธิพลอย่างชัดเจนจากพันธมิตรพีทาโกรัสและผู้ที่มีความเคารพอย่างมากต่อสิ่งที่พีทาโกรัสสร้างขึ้นตามตำนาน
ไม่ต้องสงสัยเลยว่าความสนใจในทฤษฎีบทนี้เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีบทนี้เข้าข่ายทฤษฎีบทใดทฤษฎีหนึ่งด้วย สถานที่กลางและความพึงพอใจของผู้เขียนหลักฐานซึ่งเอาชนะความยากลำบากที่กวีชาวโรมัน ควินตุส ฮอเรซ ฟลัคคัส ซึ่งมีชีวิตอยู่ก่อนยุคของเรา กล่าวอย่างดีว่า “เป็นการยากที่จะแสดงข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดี”
ในตอนแรก ทฤษฎีบทได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก:
.
สูตรพีชคณิต:
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา
นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมด้วย c และความยาวของขาด้วย a และ b: a 2 + b 2 =c 2 สูตรทั้งสองของทฤษฎีบทนั้นเทียบเท่ากัน แต่สูตรที่สองนั้นเป็นสูตรพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องการแนวคิดเรื่องพื้นที่ กล่าวคือ ข้อความที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเลยเกี่ยวกับพื้นที่ และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส สำหรับทุก ๆ สาม ตัวเลขบวก a, b และ c เช่นนั้น
a 2 + b 2 = c 2 มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

การพิสูจน์

ปัจจุบันมีการบันทึกไว้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนที่น่าประทับใจเช่นนี้ ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น
แน่นอนว่าตามแนวคิดแล้วทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นคลาสจำนวนน้อยได้ สิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด: การพิสูจน์โดยวิธีพื้นที่, การพิสูจน์ตามสัจพจน์และแปลกใหม่ (เช่น การใช้สมการเชิงอนุพันธ์)

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งสร้างขึ้นจากสัจพจน์โดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูป
ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C วาดระดับความสูงจาก C และเขียนแทนฐานด้วย H สามเหลี่ยม ACH คล้ายกับสามเหลี่ยม ABC ที่มุมสองมุม
ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม CBH ก็คล้ายกับ ABC โดยการแนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

สิ่งที่เทียบเท่า

เมื่อบวกกันแล้วเราก็จะได้

หรือ

การพิสูจน์โดยใช้วิธีพื้นที่

ข้อพิสูจน์ด้านล่าง แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกมันทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเสียอีก

พิสูจน์ผ่านการเสริมสมมูล

1. วางสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันเท่ากันดังแสดงในรูป
2. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้าน c คือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
3. ด้านหนึ่งมีพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และอีกด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและ จัตุรัสด้านใน



Q.E.D.

การพิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่างของข้อพิสูจน์ประการหนึ่งแสดงไว้ในภาพวาดด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากถูกจัดเรียงใหม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างอยู่บนขา

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

แนวคิดในการพิสูจน์ของ Euclid มีดังนี้ ลองพิสูจน์ว่าครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา และจากนั้นพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมใหญ่และสี่เหลี่ยมเล็กสองอันมีค่าเท่ากัน ลองดูภาพวาดทางด้านซ้าย บนนั้นเราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากและดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ซึ่งตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสี่เหลี่ยมสองอัน - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาที่สอดคล้องกันทุกประการ ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราจะใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากัน สี่เหลี่ยมที่กำหนดมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้ตามมาว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดงในรูป) ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม AHJK ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ DECA สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมตามคุณสมบัติข้างต้น) ความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจน สามเหลี่ยมจะเท่ากันทั้งสองด้านและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นพิสูจน์ได้ง่ายโดยวิธีการเคลื่อนที่: เราหมุนสามเหลี่ยม CAK 90° ทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองใน คำถามจะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°) เหตุผลสำหรับความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยม BHJI นั้นคล้ายกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นประกอบด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา

หลักฐานของเลโอนาร์โด ดา วินชี

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนที่

ลองพิจารณาภาพวาดดังที่เห็นได้จากความสมมาตร ส่วน CI จะตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABHJ ออกเป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (เนื่องจาก สามเหลี่ยมเอบีซีและ JHI มีความเท่าเทียมกันในการก่อสร้าง) เมื่อใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา CAJI และ GDAB ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของร่างที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ในทางกลับกัน จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์เป็นหน้าที่ของผู้อ่าน

ระดับเฉลี่ย

สามเหลี่ยมมุมฉาก. คู่มือภาพประกอบฉบับสมบูรณ์ (2019)

สามเหลี่ยมมุมฉาก. ระดับแรก

ในปัญหา มุมขวาไม่จำเป็นเลย - ซ้ายล่าง ดังนั้นคุณต้องเรียนรู้ที่จะจดจำสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปแบบนี้

และในเรื่องนี้

และในเรื่องนี้

สามเหลี่ยมมุมฉากมีประโยชน์อย่างไร? เอ่อ...ก่อนอื่นเลยมีความพิเศษ ชื่อที่สวยงามสำหรับฝ่ายของเขา

ให้ความสนใจกับการวาดภาพ!

จำไว้และอย่าสับสน: มีสองขา และมีเพียงด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวเท่านั้น(หนึ่งเดียวไม่ซ้ำใครและยาวที่สุด)!

เราได้พูดคุยกันถึงชื่อแล้ว ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด: ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้เป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก พีทาโกรัสพิสูจน์มันอย่างสมบูรณ์ กาลเวลาและตั้งแต่นั้นมาเธอก็ได้นำประโยชน์มากมายมาสู่ผู้ที่รู้จักเธอ และสิ่งที่ดีที่สุดก็คือมันเรียบง่าย

ดังนั้น, ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

คุณจำเรื่องตลกได้ไหม: “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกด้าน!”?

ลองวาดกางเกงพีทาโกรัสแบบเดียวกันนี้แล้วดู

มันดูไม่เหมือนกางเกงขาสั้นเหรอ? แล้วด้านไหนและเท่ากันตรงไหน? ทำไมเรื่องตลกจึงมาจากไหน? และเรื่องตลกนี้เชื่อมโยงอย่างแม่นยำกับทฤษฎีบทของพีทาโกรัส หรืออย่างแม่นยำมากขึ้นกับวิธีที่พีทาโกรัสกำหนดทฤษฎีบทของเขาเอง และเขากำหนดไว้ดังนี้:

“ซำ พื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขามีค่าเท่ากับ พื้นที่สี่เหลี่ยมสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"

มันฟังดูแตกต่างออกไปเล็กน้อยจริงๆเหรอ? ดังนั้น เมื่อพีทาโกรัสวาดประโยคของทฤษฎีบทของเขา นี่คือภาพที่ออกมาอย่างแน่นอน

ในภาพนี้ ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ และเพื่อให้เด็ก ๆ จำได้ดีขึ้นว่าผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก มีคนฉลาดคิดเรื่องตลกเกี่ยวกับกางเกงพีทาโกรัสขึ้นมา

เหตุใดเราจึงกำหนดทฤษฎีบทพีทาโกรัสขึ้นมา?

พีทาโกรัสทนทุกข์และพูดคุยเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมหรือไม่?

เห็นไหมว่าในสมัยโบราณไม่มี... พีชคณิต! ไม่มีป้ายบอกทางและอื่นๆ ไม่มีจารึก คุณนึกภาพออกไหมว่าการที่นักเรียนโบราณผู้น่าสงสารจำทุกอย่างด้วยคำพูดได้แย่แค่ไหน??! และเราก็ดีใจที่เรามีสูตรง่ายๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทำซ้ำอีกครั้งเพื่อให้จดจำได้ดีขึ้น:

ตอนนี้มันควรจะง่าย:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

มีการพูดคุยถึงทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว หากคุณสนใจว่าวิธีนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างไร โปรดอ่านทฤษฎีในระดับต่อไปนี้ และตอนนี้เรามาดูกันต่อ... ป่าที่มืด... ตรีโกณมิติ! ถึงคำที่น่ากลัว ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ที่จริงแล้วทุกสิ่งไม่ได้น่ากลัวเลย แน่นอนว่าควรดูคำจำกัดความ "ของจริง" ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในบทความ แต่ฉันไม่อยากทำจริงๆ ใช่ไหม? เราชื่นชมยินดี: ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถกรอกสิ่งง่ายๆ ต่อไปนี้:

ทำไมทุกอย่างถึงอยู่แค่หัวมุม? มุมไหนคะ? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ว่าข้อความที่ 1 - 4 เขียนด้วยคำพูดอย่างไร ดูเข้าใจและจำ!

1.
จริงๆแล้วมันฟังดูเหมือนนี้:

แล้วมุมล่ะ? มีขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนั่นคือขาตรงข้าม (สำหรับมุม) หรือไม่? มีแน่นอน! นี่คือขา!

แล้วมุมล่ะ? ดูอย่างระมัดระวัง. ขาไหนอยู่ติดกับมุม? แน่นอนว่าขา ซึ่งหมายความว่าสำหรับมุมที่ขาอยู่ติดกันและ

ตอนนี้ให้ความสนใจ! ดูสิ่งที่เราได้รับ:

มาดูกันว่ามันเจ๋งแค่ไหน:

ทีนี้มาดูแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กันดีกว่า

ตอนนี้ฉันจะเขียนสิ่งนี้ออกมาเป็นคำพูดได้อย่างไร? ขาสัมพันธ์กับมุมคืออะไร? ตรงกันข้าม - มัน "อยู่" ตรงข้ามกับมุม แล้วขาล่ะ? ติดกับหัวมุม. แล้วเราได้อะไร?

ดูว่าตัวเศษและส่วนสลับตำแหน่งอย่างไร?

และตอนนี้ได้เตะมุมอีกครั้งและทำการแลกเปลี่ยน:

สรุป

มาเขียนทุกสิ่งที่เราได้เรียนรู้มาโดยย่อ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คุณจำได้ดีว่าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร? ถ้าไม่ดีมากลองดูที่ภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

ค่อนข้างเป็นไปได้ที่คุณเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาหลายครั้งแล้ว แต่คุณเคยสงสัยหรือไม่ว่าทำไมทฤษฎีบทดังกล่าวถึงเป็นจริง? ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร? เรามาทำเหมือนชาวกรีกโบราณกันดีกว่า มาวาดรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านกัน

มาดูกันว่าเราแบ่งด้านข้างของมันออกเป็นความยาวอย่างชาญฉลาดแค่ไหนและ!

ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

อย่างไรก็ตามที่นี่เราสังเกตเห็นอย่างอื่น แต่คุณเองก็ดูภาพวาดและคิดว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น

พื้นที่เท่ากับเท่าไร? สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่กว่า- ขวา, . แล้วพื้นที่ที่เล็กกว่าล่ะ? แน่นอน, . พื้นที่ทั้งสี่มุมที่เหลืออยู่ ลองนึกภาพว่าเราพาพวกมันทีละสองตัวแล้วพิงกันด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก เกิดอะไรขึ้น สี่เหลี่ยมสองอัน ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของ "รอยตัด" เท่ากัน

มารวบรวมทั้งหมดเข้าด้วยกันตอนนี้

มาแปลงร่างกัน:

ดังนั้นเราจึงไปเยี่ยมชมพีทาโกรัส - เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในวิธีโบราณ

สามเหลี่ยมมุมฉากและตรีโกณมิติ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะเป็นดังนี้:

ไซนัส มุมแหลม เท่ากับอัตราส่วน ขาตรงข้ามถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วน ขาที่อยู่ติดกันถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม

และทั้งหมดนี้อีกครั้งในรูปแบบแท็บเล็ต:

มันสบายมาก!

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. ทั้งสองด้าน

ครั้งที่สอง โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

สาม. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

IV. ตามแนวขาและมุมแหลม

ก)

ข)

ความสนใจ! สิ่งสำคัญมากที่นี่คือขามีความ "เหมาะสม" ตัวอย่างเช่น หากเป็นไปตามนี้:

สามเหลี่ยมจึงไม่เท่ากันแม้ว่าพวกมันจะมีมุมแหลมเหมือนกันมุมเดียวก็ตาม

จำเป็นต้อง ในรูปสามเหลี่ยมทั้งสองขาอยู่ติดกัน หรือทั้งสองข้างอยู่ตรงข้ามกัน.

คุณสังเกตไหมว่าสัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากแตกต่างจากสัญญาณปกติของสามเหลี่ยมอย่างไร? ดูหัวข้อ "และให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม "ธรรมดา" องค์ประกอบสามอย่างจะต้องเท่ากัน: สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา สองมุมและด้านระหว่างพวกเขา หรือสามด้าน แต่เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก องค์ประกอบที่สอดคล้องกันเพียงสององค์ประกอบก็เพียงพอแล้ว เยี่ยมมากใช่มั้ย?

สถานการณ์จะใกล้เคียงกันโดยมีสัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. ตามมุมแหลม

ครั้งที่สอง ทั้งสองด้าน

สาม. โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

แทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด

ลองวาดเส้นทแยงมุมแล้วพิจารณาจุด - จุดตัดของเส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารู้อะไรบ้าง?

และอะไรต่อจากนี้?

มันเลยกลายเป็นว่า

1. - ค่ามัธยฐาน:

จำข้อเท็จจริงข้อนี้ไว้! ช่วยได้มาก!

สิ่งที่น่าแปลกใจยิ่งกว่านั้นคือสิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน

จะได้ประโยชน์อะไรจากการที่ค่ามัธยฐานที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก? เรามาดูรูปกันดีกว่า

ดูอย่างระมัดระวัง. เรามี: นั่นคือระยะทางจากจุดถึงจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมกลายเป็นว่าเท่ากัน แต่มีเพียงจุดเดียวในสามเหลี่ยม ซึ่งมีระยะห่างจากจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของวงกลม แล้วเกิดอะไรขึ้น?

มาเริ่มกันที่ "นอกจาก..." กันก่อน

มาดูกันและ.

แต่สามเหลี่ยมที่คล้ายกันก็มีมุมเท่ากันหมด!

เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับและ

ทีนี้มาวาดมันด้วยกัน:

จะได้ประโยชน์อะไรจากความคล้ายคลึงกัน "สามเท่า" นี้?

ตัวอย่างเช่น - สองสูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ให้เราเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้อง:

ในการหาความสูง เราก็แก้สัดส่วนแล้วได้ สูตรแรก "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

ลองใช้ความคล้ายคลึงกัน: .

จะเกิดอะไรขึ้นตอนนี้?

เราแก้สัดส่วนอีกครั้งและรับสูตรที่สอง:

คุณต้องจำทั้งสองสูตรนี้ให้ดีและใช้อันที่สะดวกกว่า มาเขียนมันลงไปอีกครั้ง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ทั้งสองด้าน:
• โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ
• ตามแนวขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน: หรือ
• ตามแนวขาและมุมแหลมตรงข้าม: หรือ
• โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: หรือ

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• มุมเฉียบพลัน: หรือ
• จากสัดส่วนของขาทั้งสองข้าง:
• จากสัดส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

• ไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด:
• โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม:

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก: หรือ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ผ่านทางขา: