เราจะเริ่มศึกษาวิชาตรีโกณมิติด้วย สามเหลี่ยมมุมฉาก- ลองนิยามว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร รวมถึงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย มุมแหลม- นี่คือพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ให้เรานึกถึงสิ่งนั้น มุมฉากเป็นมุมเท่ากับ 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือหักมุมครึ่งทาง

มุมเฉียบ- น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน- มากกว่า 90 องศา ในความสัมพันธ์กับมุมดังกล่าว "ป้าน" ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นคำทางคณิตศาสตร์ :-)

ลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มุมขวามักจะเขียนแทนด้วย โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน มีเพียงขนาดเล็กเท่านั้น ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุม A จึงถูกกำหนดไว้

มุมถูกระบุด้วยค่าที่สอดคล้องกัน อักษรกรีก.

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้าม มุมฉาก.

ขา- ด้านที่วางตรงข้ามมุมแหลม

ขาที่วางตรงข้ามกับมุมเรียกว่า ตรงข้าม(สัมพันธ์กับมุม) ขาอีกข้างหนึ่งซึ่งวางอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของมุมนั้นเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วน ขาตรงข้ามถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน:

คำจำกัดความอื่น (เทียบเท่า): ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมต่อโคไซน์:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้าม (หรือซึ่งเท่ากันคืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์):

สังเกตความสัมพันธ์พื้นฐานของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ด้านล่าง พวกเขาจะเป็นประโยชน์สำหรับเราเมื่อแก้ไขปัญหา

มาพิสูจน์กันหน่อย

โอเค เราได้ให้คำจำกัดความและเขียนสูตรไปแล้ว แต่ทำไมเรายังต้องการไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์?

เรารู้ว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ.

เรารู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายสามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ปรากฎว่าเมื่อรู้สองมุมในรูปสามเหลี่ยม คุณจะพบมุมที่สามได้ เมื่อรู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว คุณจะพบด้านที่สามได้ ซึ่งหมายความว่ามุมต่างๆ มีอัตราส่วนของตัวเอง และด้านข้างก็มีอัตราส่วนของตัวเอง แต่คุณควรทำอย่างไรหากคุณรู้มุมหนึ่ง (ยกเว้นมุมฉาก) และด้านใดด้านหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่คุณจำเป็นต้องหาด้านอื่นๆ

นี่คือสิ่งที่ผู้คนในอดีตพบเจอเมื่อทำแผนที่พื้นที่และท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถวัดทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมโดยตรงได้เสมอไป

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันมุมตรีโกณมิติ- ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายและ มุมสามเหลี่ยม. รู้มุมก็หาได้หมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติตามตารางพิเศษ และเมื่อรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่งแล้ว คุณจะพบส่วนที่เหลือ

นอกจากนี้เรายังจะวาดตารางค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จากถึง

โปรดสังเกตขีดกลางสีแดงสองอันในตาราง ที่ค่ามุมที่เหมาะสม ไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ลองดูปัญหาตรีโกณมิติหลายประการจาก FIPI Task Bank

1. ในรูปสามเหลี่ยม มุมคือ , . หา .

ปัญหาจะได้รับการแก้ไขภายในสี่วินาที

เพราะว่า , .

2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมคือ , , . หา .

ลองหามันโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

บ่อยครั้งในปัญหาจะมีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมและหรือที่มีมุมและ จำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขาด้วยใจ!

สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามกับมุมที่ เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและเป็นหน้าจั่ว ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดใหญ่กว่าขาเป็นเท่า

เราดูปัญหาในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ การค้นหา ฝ่ายที่ไม่รู้จักหรือมุม แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ใน ตัวเลือกการสอบ Unified Stateในทางคณิตศาสตร์ มีปัญหามากมายที่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมปรากฏขึ้น ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป

ไซนัสมุมแหลม α ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วน ตรงข้ามขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก
แสดงไว้ดังนี้: sin α

โคไซน์มุมแหลม α ของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันถูกกำหนดไว้ดังนี้: cos α

แทนเจนต์มุมแหลม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน
มันถูกกำหนดไว้ดังนี้: tg α

โคแทนเจนต์มุมแหลม α คืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม
มันถูกกำหนดไว้ดังนี้: ctg α

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมจะขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

กฎ:

ขั้นพื้นฐาน อัตลักษณ์ตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

(α - มุมแหลมตรงข้ามกับขา ข และติดกับขา ก - ด้านข้าง กับ – ด้านตรงข้ามมุมฉาก β – มุมเฉียบพลันที่สอง)

ข บาป α = - ค	บาป 2 α + cos 2 α = 1
ก คอส α = - ค	1 1 + ตาล 2 α = -- คอส 2 α
ข ตาล α = - ก	1 1 + cotg 2 α = -- บาป 2 α
ก CTG α = - ข	1 1 1 + -- = -- ตาล 2 α บาป 2 α
บาป α ทีจี α = -- cos α

เมื่อมุมแหลมเพิ่มขึ้นบาป α และตาล α เพิ่มขึ้นและcos α ลดลง

สำหรับมุมแหลมใดๆ α:

บาป (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = บาป α

ตัวอย่าง-คำอธิบาย:

ปล่อยให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
เอบี = 6,
พ.ศ. = 3,
มุม A = 30°

ลองหาไซน์ของมุม A และโคไซน์ของมุม B กัน

สารละลาย .

1) ขั้นแรก เราหาค่าของมุม B ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายที่นี่: เนื่องจากในสามเหลี่ยมมุมฉากผลรวมของมุมแหลมคือ 90° จากนั้นมุม B = 60°:

บี = 90° – 30° = 60°

2) มาคำนวณบาป A กันดีกว่า เรารู้ไซน์นั้น เท่ากับอัตราส่วนด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม A ด้านตรงข้ามคือด้าน BC ดังนั้น:

พ.ศ. 3 1
บาป A = -- = - = -
เอบี 6 2

3) ทีนี้ มาคำนวณ cos B กัน เรารู้ว่าโคไซน์เท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก สำหรับมุม B ขาที่อยู่ติดกันจะเป็นด้านเดียวกัน BC ซึ่งหมายความว่าเราต้องหาร BC ด้วย AB อีกครั้งนั่นคือดำเนินการแบบเดียวกับเมื่อคำนวณไซน์ของมุม A:

พ.ศ. 3 1
เพราะ B = -- = - = -
เอบี 6 2

ผลลัพธ์คือ:
บาป A = cos B = 1/2

บาป30º = cos 60º = 1/2

จากนี้ไปในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีไซน์ของมุมแหลมหนึ่งมุม เท่ากับโคไซน์อีกมุมแหลม - และในทางกลับกัน นี่คือความหมายของสูตรทั้งสองของเรา:
บาป (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = บาป α

มาตรวจสอบเรื่องนี้อีกครั้ง:

1) ให้ α = 60° เมื่อแทนค่า α ลงในสูตรไซน์ เราจะได้:
บาป (90° – 60°) = cos 60°
บาป30º = cos 60º

2) ให้ α = 30° เมื่อแทนค่า α ลงในสูตรโคไซน์ เราจะได้:
cos (90° – 30°) = บาป 30°
เพราะ 60° = บาป 30°

(สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับตรีโกณมิติ โปรดดูส่วนพีชคณิต)

ตรีโกณมิติ - ส่วน วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ซึ่งสำรวจฟังก์ชันตรีโกณมิติและการนำไปใช้ในเรขาคณิต การพัฒนาตรีโกณมิติเริ่มขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ในช่วงยุคกลาง ผลงานที่สำคัญนักวิทยาศาสตร์จากตะวันออกกลางและอินเดียมีส่วนในการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้

บทความนี้มีไว้เพื่อ แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความของตรีโกณมิติ โดยจะกล่าวถึงคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ความหมายของพวกเขาได้รับการอธิบายและแสดงไว้ในบริบทของเรขาคณิต

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ในตอนแรก คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็นมุมจะแสดงเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ไซน์ของมุม (sin α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนี้ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุม (cos α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

มุมแทนเจนต์ (t g α) - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์มุม (c t g α) - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม

คำจำกัดความเหล่านี้ให้ไว้สำหรับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก!

เรามายกตัวอย่างกัน

ใน สามเหลี่ยมเอบีซีที่มุมขวา C ไซน์ของมุม A จะเท่ากับอัตราส่วนของขา BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

คำจำกัดความของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จากความยาวที่ทราบของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!

ช่วงของค่าของไซน์และโคไซน์คือตั้งแต่ -1 ถึง 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งไซน์และโคไซน์รับค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1 ช่วงของค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือเส้นจำนวนทั้งหมด นั่นคือฟังก์ชันเหล่านี้สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นใช้กับมุมแหลม ในวิชาตรีโกณมิติ มีการใช้แนวคิดเรื่องมุมการหมุน ซึ่งต่างจากมุมเฉียบพลัน ซึ่งไม่จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศาหรือเรเดียนจะแสดงด้วยจำนวนจริงตั้งแต่ - ∞ ถึง + ∞ .

ในบริบทนี้ เราสามารถนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมขนาดใดก็ได้ ลองจินตนาการถึงวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

จุดเริ่มต้น A ที่มีพิกัด (1, 0) จะหมุนรอบจุดศูนย์กลาง วงกลมหน่วยไปที่มุมหนึ่ง α แล้วไปที่จุด A 1 . คำจำกัดความได้รับในแง่ของพิกัดของจุด A 1 (x, y)

ไซน์ (บาป) ของมุมการหมุน

ไซน์ของมุมการหมุน α คือพิกัดของจุด A 1 (x, y) บาป α = y

โคไซน์ (cos) ของมุมการหมุน

โคไซน์ของมุมการหมุน α คือค่าแอบซิสซาของจุด A 1 (x, y) คอส α = x

แทนเจนต์ (tg) ของมุมการหมุน

แทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 (x, y) ต่อการตัดทอนของมัน เสื้อ ก α = y x

โคแทนเจนต์ (ctg) ของมุมการหมุน

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 (x, y) ต่อพิกัด c t g α = x y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ นี่เป็นตรรกะ เนื่องจากสามารถกำหนดจุดหักมุมและพิกัดของจุดหลังการหมุนได้ทุกมุม สถานการณ์แตกต่างกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เมื่อจุดหลังการหมุนไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) และ (0, - 1) ในกรณีเช่นนี้ นิพจน์สำหรับแทนเจนต์ t g α = y x นั้นไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากประกอบด้วยการหารด้วยศูนย์ สถานการณ์คล้ายกับโคแทนเจนต์ ข้อแตกต่างก็คือโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีที่พิกัดของจุดไปที่ศูนย์

สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ α

แทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

โคแทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เมื่อตัดสินใจ ตัวอย่างการปฏิบัติอย่าพูดว่า "ไซน์ของมุมการหมุน α" คำว่า "มุมการหมุน" ถูกตัดออกไป หมายความว่าสิ่งที่กำลังพูดคุยกันนั้นชัดเจนอยู่แล้วจากบริบท

ตัวเลข

แล้วคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของตัวเลข ไม่ใช่มุมการหมุนล่ะ?

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของจำนวน

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน ทีคือจำนวนที่เท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ตามลำดับ ทีเรเดียน.

ตัวอย่างเช่น ไซน์ของเลข 10 π เท่ากับไซน์ของมุมการหมุนของ 10 π rad

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข เรามาดูกันดีกว่า

ใครก็ได้ เบอร์จริง ทีจุดบนวงกลมหน่วยสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้

จุดเริ่มต้นบนวงกลมคือจุด A ที่มีพิกัด (1, 0)

จำนวนบวก ที

จำนวนลบ ทีสอดคล้องกับจุดที่จุดเริ่มต้นจะไปถ้ามันเคลื่อนที่รอบวงกลมทวนเข็มนาฬิกาและ จะไปตามทางที

ตอนนี้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขกับจุดบนวงกลมได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว เราจะมาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ไซน์ (บาป) ของ t

ไซน์ของจำนวน ที- พิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยที่ตรงกับตัวเลข ที บาป t = y

โคไซน์ (cos) ของ t

โคไซน์ของจำนวน ที- การแยกจุดของวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที เพราะ เสื้อ = x

แทนเจนต์ (tg) ของ t

แทนเจนต์ของตัวเลข ที- อัตราส่วนของพิกัดต่อจุดขาดของจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที t g t = y x = sin t เพราะ t

คำจำกัดความล่าสุดเป็นไปตามและไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ จุดบนวงกลม ตรงกับจำนวน ทีเกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่จุดเริ่มต้นไปหลังจากเลี้ยวเป็นมุม ทีเรเดียน.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

แต่ละค่าของมุม α สอดคล้องกัน ค่าเฉพาะไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ เช่นเดียวกับทุกมุม α นอกเหนือจาก α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ที่แน่นอน โคแทนเจนต์ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ถูกกำหนดให้กับ α ทั้งหมด ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

เราสามารถพูดได้ว่า sin α, cos α, t g α, c t g α เป็นฟังก์ชันของมุมอัลฟา หรือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดถึงฟังก์ชันของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ได้ อาร์กิวเมนต์ตัวเลข- ทุกจำนวนจริง ทีสอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์หรือโคไซน์ของตัวเลข ที- จำนวนทั้งหมดที่ไม่ใช่ π 2 + π · k, k ∈ Z สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในทำนองเดียวกันถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น π · k, k ∈ Z

ฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

โดยปกติแล้วจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติใด (อาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์ตัวเลข)

กลับไปที่คำจำกัดความที่ให้ไว้ที่จุดเริ่มต้นและมุมอัลฟ่าซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา คำจำกัดความตรีโกณมิติไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์มีความสอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ คำจำกัดความทางเรขาคณิตโดยกำหนดโดยใช้อัตราส่วนของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มาแสดงกันเถอะ

ใช้วงกลมหนึ่งหน่วยโดยให้จุดศูนย์กลางเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด ลองหมุนจุดเริ่มต้น A (1, 0) เป็นมุมสูงถึง 90 องศาแล้ววาดตั้งฉากกับแกน abscissa จากจุดผลลัพธ์ A 1 (x, y) ในผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A 1 O H เท่ากับมุมเลี้ยวαความยาวของขา O H เท่ากับจุดขาดของจุด A 1 (x, y) ความยาวของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมจะเท่ากับพิกัดของจุด A 1 (x, y) และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย

ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุม α เท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

บาป α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

ซึ่งหมายความว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านอัตราส่วนกว้างยาวจะเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α โดยที่อัลฟ่าจะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน ความสอดคล้องของคำจำกัดความสามารถแสดงสำหรับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ได้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในบทความนี้ เราจะแสดงวิธีให้ คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมและจำนวนในวิชาตรีโกณมิติ- ที่นี่เราจะพูดถึงสัญลักษณ์ ยกตัวอย่างรายการ และให้ภาพประกอบแบบกราฟิก โดยสรุป ให้เราวาดเส้นขนานระหว่างคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในตรีโกณมิติและเรขาคณิต

การนำทางหน้า

คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

เรามาดูกันว่าแนวคิดของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เกิดขึ้นได้อย่างไร หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. ในบทเรียนเรขาคณิต จะให้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และต่อมามีการศึกษาตรีโกณมิติซึ่งพูดถึงไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนและจำนวน ให้เรานำเสนอคำจำกัดความทั้งหมดนี้ ยกตัวอย่าง และแสดงความคิดเห็นที่จำเป็น

มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากหลักสูตรเรขาคณิต เรารู้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พวกมันถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เราให้สูตรของพวกเขา

คำนิยาม.

ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำนิยาม.

โคไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก– นี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก- นี่คืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม

นอกจากนี้ยังมีการแนะนำการกำหนดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย - sin, cos, tg และ ctg ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น หาก ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C ดังนั้นไซน์ของมุมแหลม A จะเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้าม BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB นั่นคือ sin∠A=BC/AB

คำจำกัดความเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมจากความยาวที่ทราบของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมทั้งจาก ค่านิยมที่ทราบหาความยาวของด้านอื่นๆ โดยใช้ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ และความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากเรารู้ว่าในสามเหลี่ยมมุมฉาก AC ขาเท่ากับ 3 และด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เท่ากับ 7 เราก็สามารถคำนวณค่าโคไซน์ของมุมแหลม A ตามคำจำกัดความ: cos∠A=AC/ เอบี=3/7.

มุมการหมุน

ในวิชาตรีโกณมิติ พวกเขาเริ่มมองมุมให้กว้างขึ้น - พวกเขาแนะนำแนวคิดเรื่องมุมการหมุน ขนาดของมุมการหมุน ไม่เหมือนมุมแหลม ไม่จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศา (และหน่วยเรเดียน) สามารถแสดงด้วยจำนวนจริงใดๆ ตั้งแต่ −∞ ถึง +∞

ในแง่นี้ คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ไม่ได้กำหนดเป็นมุมแหลม แต่เป็นมุมที่มีขนาดตามอำเภอใจ - มุมการหมุน พวกมันจะได้รับผ่านพิกัด x และ y ของจุด A 1 ซึ่งจุดเริ่มต้นที่เรียกว่า A(1, 0) ไปตามการหมุนของมันด้วยมุม α รอบจุด O - จุดเริ่มต้นของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม และศูนย์กลางของวงกลมหน่วย

คำนิยาม.

ไซน์ของมุมการหมุนα คือลำดับของจุด A 1 นั่นคือ sinα=y

คำนิยาม.

โคไซน์ของมุมการหมุนα เรียกว่า abscissa ของจุด A 1 นั่นคือ cosα=x

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของมุมการหมุนα คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 ต่อจุดหักล้างของมัน นั่นคือ tanα=y/x

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของมุมการหมุนα คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 ต่อพิกัด ซึ่งก็คือ ctgα=x/y

ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ใดๆ เนื่องจากเราสามารถหาค่าแอบซิสซาและพิกัดของจุดได้เสมอ ซึ่งได้มาจากการหมุนจุดเริ่มต้นด้วยมุม α แต่แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ แทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ซึ่งจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) หรือ (0, −1) และสิ่งนี้เกิดขึ้นที่มุม 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k ราด) อันที่จริง ที่มุมการหมุนเช่นนั้น นิพจน์ tgα=y/x ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากนิพจน์มีการหารด้วยศูนย์ สำหรับโคแทนเจนต์นั้น ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับมุม α ซึ่งจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีพิกัดเป็นศูนย์ (1, 0) หรือ (−1, 0) และสิ่งนี้เกิดขึ้นสำหรับมุม 180° k, k ∈Z (π·เค ราด).

ดังนั้น ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ แทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดสำหรับทุกมุมยกเว้น 180° ·k , k∈Z (π·k ราด)

คำจำกัดความรวมถึงการกำหนดที่เราทราบอยู่แล้วว่า sin, cos, tg และ ctg และยังใช้เพื่อกำหนดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน (บางครั้งคุณสามารถค้นหาการกำหนด tan และ cotที่สอดคล้องกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์) . ดังนั้นไซน์ของมุมการหมุน 30 องศาสามารถเขียนได้เป็น sin30° รายการ tg(−24°17′) และ ctgα สอดคล้องกับแทนเจนต์ของมุมการหมุน −24 องศา 17 นาที และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α . โปรดจำไว้ว่าเมื่อเขียนหน่วยวัดเรเดียนของมุม มักจะละเว้นการกำหนด "rad" ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของมุมการหมุนของสามไพราด มักจะเขียนแทน cos3·π

โดยสรุปประเด็นนี้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน วลี "มุมการหมุน" หรือคำว่า "การหมุน" มักถูกมองข้ามไป นั่นคือแทนที่จะใช้วลี "ไซน์ของมุมอัลฟาการหมุน" มักใช้วลี "ไซน์ของมุมอัลฟา" หรือที่สั้นกว่านั้นคือ "ไซน์อัลฟา" เช่นเดียวกับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

นอกจากนี้เรายังจะกล่าวอีกว่าคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา เราจะพิสูจน์เรื่องนี้

ตัวเลข

คำนิยาม.

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวนเสื้อ คือตัวเลข เท่ากับไซน์, โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนในหน่วย t เรเดียน ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของเลข 8 π ตามนิยามคือตัวเลข เท่ากับโคไซน์มุม 8·π rad และโคไซน์ของมุมคือ 8 π rad เท่ากับหนึ่งดังนั้น โคไซน์ของจำนวน 8·π เท่ากับ 1

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจริง t แต่ละจำนวนสัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้น ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดและไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้ ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติมนี้

ให้เราแสดงวิธีการโต้ตอบระหว่างจำนวนจริงและจุดบนวงกลม:

• หมายเลข 0 ถูกกำหนดให้เป็นจุดเริ่มต้น A(1, 0);
• จำนวนบวก t สัมพันธ์กับจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่เราจะไปได้หากเราเคลื่อนที่ไปตามวงกลมจากจุดเริ่มต้นในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาและ เดินไปตามเส้นทางกันเถอะความยาวเสื้อ;
• จำนวนลบ t สัมพันธ์กับจุดของวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเราจะไปถึงได้หากเราเคลื่อนไปตามวงกลมจากจุดเริ่มต้นในทิศทางตามเข็มนาฬิกาแล้วเดินไปในเส้นทางที่มีความยาว |t| -

ตอนนี้เรามาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน t สมมติว่าตัวเลข t ตรงกับจุดบนวงกลม A 1 (x, y) (เช่น ตัวเลข &pi/2; ตรงกับจุด A 1 (0, 1))

คำนิยาม.

ไซน์ของจำนวน t คือลำดับของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ตรงกับเลข t นั่นคือ sint=y

คำนิยาม.

โคไซน์ของจำนวน t เรียกว่าจุดหักของจุดในวงกลมหน่วยซึ่งตรงกับเลข t นั่นคือ cost=x

คำนิยาม.

แทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของพิกัดต่อจุดหักล้างของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับตัวเลข t นั่นคือ tgt=y/x ในอีกสูตรหนึ่งที่เทียบเท่ากัน ค่าแทนเจนต์ของตัวเลข t คืออัตราส่วนของไซน์ของจำนวนนี้ต่อโคไซน์ ซึ่งก็คือ tgt=sint/cost

คำนิยาม.

โคแทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของ abscissa ต่อพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข t นั่นคือ ctgt=x/y อีกสูตรหนึ่งคือ ค่าแทนเจนต์ของจำนวน t คืออัตราส่วนของโคไซน์ของจำนวน t ต่อไซน์ของจำนวน t: ctgt=cost/sint

ที่นี่เราทราบว่าคำจำกัดความที่เพิ่งให้นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ อันที่จริงจุดบนวงกลมหน่วยที่ตรงกับตัวเลข t เกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่ได้จากการหมุนจุดเริ่มต้นเป็นมุม t เรเดียน

มันยังคุ้มค่าที่จะชี้แจงประเด็นนี้ สมมุติว่าเรามีค่า sin3 เราจะเข้าใจได้อย่างไรว่าเรากำลังพูดถึงไซน์ของเลข 3 หรือไซน์ของมุมการหมุนของ 3 เรเดียน? ซึ่งมักจะชัดเจนจากบริบทใน มิฉะนั้นนี่ไม่น่าจะมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข

ตามข้อมูลใน ย่อหน้าก่อนหน้าคำจำกัดความ แต่ละมุมของการหมุน α สอดคล้องกับที่กำหนดไว้อย่างดี ค่าบาปα เช่นเดียวกับค่าของcosα นอกจากนี้ มุมการหมุนทั้งหมดที่ไม่ใช่ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) จะสอดคล้องกับค่า tgα และค่าอื่นที่ไม่ใช่ 180°k, k∈Z (πk rad ) – ค่า ของctgα ดังนั้น sinα, cosα, tanα และ ctgα จึงเป็นฟังก์ชันของมุม α กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม

เราสามารถพูดในทำนองเดียวกันเกี่ยวกับฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข แท้จริงแล้ว จำนวนจริง t แต่ละตัวสอดคล้องกับค่า Sin และราคาต้นทุนที่เฉพาะเจาะจงมาก นอกจากนี้ ตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ π/2+π·k, k∈Z จะสอดคล้องกับค่า tgt และตัวเลข π·k, k∈Z - ค่า ctgt

เรียกว่าฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน.

มักจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข มิฉะนั้น เราสามารถมองตัวแปรอิสระว่าเป็นทั้งการวัดมุม (อาร์กิวเมนต์เชิงมุม) และอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลข

อย่างไรก็ตามที่โรงเรียนพวกเขาเรียนหนังสือเป็นหลัก ฟังก์ชันตัวเลขนั่นคือ ฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ เช่น ค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน เป็นตัวเลข ดังนั้นหาก เรากำลังพูดถึงโดยเฉพาะเกี่ยวกับฟังก์ชัน ขอแนะนำให้พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข

ความสัมพันธ์ระหว่างคำจำกัดความจากเรขาคณิตและตรีโกณมิติ

หากเราพิจารณามุมการหมุน α อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา ดังนั้น คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนในบริบทของตรีโกณมิติจะสอดคล้องกับคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของ มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งกำหนดไว้ในหลักสูตรเรขาคณิต เรามาพิสูจน์เรื่องนี้กัน

ให้เราพรรณนาวงกลมหน่วยในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy ลองทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้น A(1, 0) . ลองหมุนเป็นมุม α ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา เราจะได้จุด A 1 (x, y) ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉาก A 1 H จากจุด A 1 ไปยังแกน Ox

เห็นได้ง่ายว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม A 1 OH เท่ากับมุมการหมุน α ความยาวของขา OH ที่อยู่ติดกับมุมนี้จะเท่ากับจุดหักมุมของจุด A 1 นั่นคือ |OH |=x ความยาวของขา A 1 H ตรงข้ามกับมุมเท่ากับพิกัดของจุด A 1 นั่นคือ |A 1 H|=y และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก OA 1 เท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย จากนั้น ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุมแหลม α ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก A 1 OH เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= ปี/1=ปี และตามคำจำกัดความจากตรีโกณมิติ ไซน์ของมุมการหมุน α เท่ากับพิกัดของจุด A 1 นั่นคือ sinα=y นี่แสดงให้เห็นว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α เมื่อ α อยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมเฉียบพลัน α นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α

บรรณานุกรม.

1. เรขาคณิต. เกรด 7-9: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ล. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ฯลฯ] - ฉบับที่ 20 อ.: การศึกษา, 2553. - 384 น.: ป่วย. - ไอ 978-5-09-023915-8.
2. โปโกเรลอฟ เอ.วี.เรขาคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 7-9 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A.V. Pogorelov - ฉบับที่ 2 - อ.: การศึกษา, 2544. - 224 หน้า: ป่วย. - ISBN 5-09-010803-X.
3. พีชคณิตและ ฟังก์ชั่นเบื้องต้น : บทช่วยสอนสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 มัธยม/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; เรียบเรียงโดยแพทย์สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ O. N. Golovin - ฉบับที่ 4 อ.: การศึกษา, 2512.
4. พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
5. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
6. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1: บทช่วยสอนสำหรับ สถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - ฉบับที่ 4, เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 424 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00792-0.
7. พีชคณิตและเริ่มต้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - I.: การศึกษา, 2010.- 368 หน้า: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ระดับเฉลี่ย

สามเหลี่ยมมุมฉาก. คู่มือภาพประกอบฉบับสมบูรณ์ (2019)

สามเหลี่ยมมุมฉาก. ระดับแรก

ในปัญหา มุมขวาไม่จำเป็นเลย - ซ้ายล่าง ดังนั้นคุณต้องเรียนรู้ที่จะจดจำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปแบบนี้

และในเรื่องนี้

และในเรื่องนี้

สามเหลี่ยมมุมฉากมีประโยชน์อย่างไร? เอ่อ...ก่อนอื่นเลยมีความพิเศษ ชื่อที่สวยงามสำหรับฝ่ายของเขา

ให้ความสนใจกับการวาดภาพ!

จำไว้และอย่าสับสน: มีสองขา และมีเพียงด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวเท่านั้น(หนึ่งเดียวไม่ซ้ำใครและยาวที่สุด)!

เราได้พูดคุยกันถึงชื่อแล้ว ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด: ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้เป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก พีทาโกรัสพิสูจน์มันอย่างสมบูรณ์ กาลเวลาและตั้งแต่นั้นมาเธอก็ได้นำผลประโยชน์มากมายมาสู่ผู้ที่รู้จักเธอ และสิ่งที่ดีที่สุดก็คือมันเรียบง่าย

ดังนั้น, ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

คุณจำเรื่องตลกได้ไหม: “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกด้าน!”?

ลองวาดกางเกงพีทาโกรัสแบบเดียวกันนี้แล้วดู

มันดูไม่เหมือนกางเกงขาสั้นเหรอ? แล้วด้านไหนและเท่ากันตรงไหน? ทำไมเรื่องตลกจึงมาจากไหน? และเรื่องตลกนี้เชื่อมโยงอย่างแม่นยำกับทฤษฎีบทของพีทาโกรัส หรืออย่างแม่นยำมากขึ้นกับวิธีที่พีทาโกรัสกำหนดทฤษฎีบทของเขาเอง และเขากำหนดไว้ดังนี้:

“ซำ พื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขามีค่าเท่ากับ พื้นที่สี่เหลี่ยมสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"

มันฟังดูแตกต่างออกไปเล็กน้อยจริงๆเหรอ? ดังนั้น เมื่อพีทาโกรัสวาดประโยคของทฤษฎีบทของเขา นี่คือภาพที่ออกมาเป๊ะๆ

ในภาพนี้ ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ และเพื่อให้เด็ก ๆ จำได้ดีขึ้นว่าผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก มีคนฉลาดคิดเรื่องตลกเกี่ยวกับกางเกงพีทาโกรัสขึ้นมา

เหตุใดเราจึงกำหนดทฤษฎีบทพีทาโกรัสขึ้นมา?

พีทาโกรัสทนทุกข์และพูดคุยเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมหรือไม่?

เห็นไหมว่าในสมัยโบราณไม่มี... พีชคณิต! ไม่มีป้ายบอกทางและอื่นๆ ไม่มีจารึก คุณนึกภาพออกไหมว่าการที่นักเรียนโบราณผู้น่าสงสารจำทุกอย่างด้วยคำพูดได้แย่แค่ไหน??! และเราก็ดีใจที่เรามีสูตรง่ายๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทำซ้ำอีกครั้งเพื่อให้จดจำได้ดีขึ้น:

ตอนนี้มันควรจะง่าย:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมขาสี่เหลี่ยม

มีการพูดคุยถึงทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว หากคุณสนใจว่าวิธีนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างไร โปรดอ่านทฤษฎีในระดับต่อไปนี้ และตอนนี้เรามาดูกันต่อ... ป่าที่มืด... ตรีโกณมิติ! ถึงคำที่น่ากลัว ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ที่จริงแล้วทุกสิ่งไม่ได้น่ากลัวเลย แน่นอนว่าควรดูคำจำกัดความ "ของจริง" ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในบทความ แต่ฉันไม่อยากทำจริงๆ ใช่ไหม? เราชื่นชมยินดี: ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถกรอกสิ่งง่ายๆ ต่อไปนี้:

ทำไมทุกอย่างถึงอยู่แค่หัวมุม? มุมไหนคะ? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ว่าข้อความที่ 1 - 4 เขียนด้วยคำพูดอย่างไร ดูเข้าใจและจำ!

1.
จริงๆแล้วมันฟังดูเหมือนนี้:

แล้วมุมล่ะ? มีขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนั่นคือขาตรงข้าม (สำหรับมุม) หรือไม่? มีแน่นอน! นี่คือขา!

แล้วมุมล่ะ? ดูอย่างระมัดระวัง. ขาไหนอยู่ติดกับมุม? แน่นอนว่าขา ซึ่งหมายความว่าสำหรับมุมที่ขาอยู่ติดกันและ

ตอนนี้ให้ความสนใจ! ดูสิ่งที่เราได้รับ:

มาดูกันว่ามันเจ๋งแค่ไหน:

ทีนี้มาดูแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กันดีกว่า

ตอนนี้ฉันจะเขียนสิ่งนี้ออกมาเป็นคำพูดได้อย่างไร? ขาสัมพันธ์กับมุมคืออะไร? ตรงกันข้าม - มัน "อยู่" ตรงข้ามกับมุม แล้วขาล่ะ? ติดกับหัวมุม. แล้วเราได้อะไร?

ดูว่าตัวเศษและส่วนสลับตำแหน่งอย่างไร?

และตอนนี้ได้เตะมุมอีกครั้งและทำการแลกเปลี่ยน:

สรุป

มาเขียนทุกสิ่งที่เราได้เรียนรู้มาโดยย่อ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คุณจำได้ดีว่าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร? ถ้าไม่ดีมากลองดูที่ภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าคุณเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาหลายครั้งแล้ว แต่คุณเคยสงสัยหรือไม่ว่าทำไมทฤษฎีบทดังกล่าวถึงเป็นจริง? ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร? เรามาทำเหมือนชาวกรีกโบราณกันดีกว่า มาวาดรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านกัน

มาดูกันว่าเราแบ่งด้านข้างของมันออกเป็นความยาวอย่างชาญฉลาดแค่ไหนและ!

ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

อย่างไรก็ตามที่นี่เราสังเกตเห็นอย่างอื่น แต่คุณเองก็ดูภาพวาดและคิดว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น

พื้นที่เท่ากับเท่าไร? สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่กว่า- ขวา, . แล้วพื้นที่ที่เล็กกว่าล่ะ? แน่นอน, . พื้นที่ทั้งสี่มุมที่เหลืออยู่ ลองนึกภาพว่าเราพาพวกมันทีละสองตัวแล้วพิงกันด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก เกิดอะไรขึ้น สี่เหลี่ยมสองอัน ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของ "รอยตัด" เท่ากัน

มารวบรวมทั้งหมดเข้าด้วยกันตอนนี้

มาแปลงกัน:

ดังนั้นเราจึงไปเยี่ยมชมพีทาโกรัส - เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในวิธีโบราณ

สามเหลี่ยมมุมฉากและตรีโกณมิติ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะเป็นดังนี้:

ไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม

และทั้งหมดนี้อีกครั้งในรูปแบบแท็บเล็ต:

มันสบายมาก!

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. ทั้งสองด้าน

ครั้งที่สอง โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

สาม. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

IV. ตามแนวขาและมุมแหลม

ก)

ข)

ความสนใจ! สิ่งสำคัญมากที่นี่คือขามีความ "เหมาะสม" ตัวอย่างเช่น หากเป็นไปตามนี้:

สามเหลี่ยมจึงไม่เท่ากันแม้ว่าพวกมันจะมีมุมแหลมเหมือนกันมุมเดียวก็ตาม

จำเป็นต้อง ในรูปสามเหลี่ยมทั้งสองขาอยู่ติดกัน หรือทั้งสองข้างอยู่ตรงข้ามกัน.

คุณสังเกตไหมว่าสัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากแตกต่างจากสัญญาณปกติของสามเหลี่ยมอย่างไร? ดูหัวข้อ "และให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม "ธรรมดา" องค์ประกอบสามอย่างจะต้องเท่ากัน: สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา สองมุมและด้านระหว่างพวกเขา หรือสามด้าน แต่เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก องค์ประกอบที่สอดคล้องกันเพียงสององค์ประกอบก็เพียงพอแล้ว เยี่ยมมากใช่มั้ย?

สถานการณ์จะใกล้เคียงกันโดยมีสัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. ตามมุมแหลม

ครั้งที่สอง ทั้งสองด้าน

สาม. โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

แทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด

ลองวาดเส้นทแยงมุมแล้วพิจารณาจุด - จุดตัดของเส้นทแยงมุม คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม?

และอะไรต่อจากนี้?

มันเลยกลายเป็นว่า

1. - ค่ามัธยฐาน:

จำข้อเท็จจริงข้อนี้ไว้! ช่วยได้มาก!

สิ่งที่น่าแปลกใจยิ่งกว่านั้นคือสิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน

จะได้ประโยชน์อะไรจากการที่ค่ามัธยฐานที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก? เรามาดูรูปกันดีกว่า

ดูอย่างระมัดระวัง. เรามี: นั่นคือระยะทางจากจุดถึงจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมกลายเป็นว่าเท่ากัน แต่มีเพียงจุดเดียวในสามเหลี่ยม ซึ่งมีระยะห่างจากจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของวงกลม แล้วเกิดอะไรขึ้น?

มาเริ่มกันที่ "นอกจาก..." กันก่อน

มาดูกันและ.

แต่ สามเหลี่ยมที่คล้ายกันทุกมุมเท่ากัน!

เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับและ

ทีนี้มาวาดมันด้วยกัน:

จะได้ประโยชน์อะไรจากความคล้ายคลึงกัน “สามเท่า” นี้?

ตัวอย่างเช่น - สองสูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ให้เราเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้อง:

ในการหาความสูง เราก็แก้สัดส่วนแล้วได้ สูตรแรก "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

ลองใช้ความคล้ายคลึงกัน: .

จะเกิดอะไรขึ้นตอนนี้?

เราแก้สัดส่วนอีกครั้งและรับสูตรที่สอง:

คุณต้องจำทั้งสองสูตรนี้ให้ดีและใช้อันที่สะดวกกว่า มาเขียนมันลงไปอีกครั้ง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ทั้งสองด้าน:
• โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ
• ตามแนวขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน: หรือ
• ตามแนวขาและมุมแหลมตรงข้าม: หรือ
• โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: หรือ

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• มุมเฉียบพลัน: หรือ
• จากสัดส่วนของขาทั้งสองข้าง:
• จากสัดส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

• ไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด:
• โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม:

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก: หรือ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ผ่านทางขา: