แยกรากของระดับที่สอดคล้องกันจากตัวเลขที่กำหนด การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน

เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของจำนวนเชิงซ้อนออกมาอย่างชัดเจนเนื่องจากมีค่าจำนวนหนึ่งเท่ากับกำลังของมัน

จำนวนเชิงซ้อนจะถูกยกกำลังเป็นรูปตรีโกณมิติ ซึ่งสูตรของมอยวาร์ดใช้ได้:

\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

ในทำนองเดียวกัน สูตรนี้ใช้ในการคำนวณรากที่ k ของจำนวนเชิงซ้อน (ไม่เท่ากับศูนย์):

\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\right), \forall k>1, \forall n \in N \)

ถ้าจำนวนเชิงซ้อนไม่เป็นศูนย์ รากของดีกรี k จะยังคงมีอยู่เสมอ และสามารถแทนค่าเหล่านั้นในระนาบเชิงซ้อนได้ โดยจะเป็นจุดยอดของ k-gon ที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมี \(\r ^(\frac(1) (k))\)

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งาน

ค้นหารากที่สามของตัวเลข \(\z=-1\)

สารละลาย.

ก่อนอื่น เราแสดงตัวเลข \(\z=-1\) ในรูปแบบตรีโกณมิติ ส่วนที่แท้จริงของตัวเลข \(\ z=-1 \) คือตัวเลข \(\ z=-1 \) ส่วนจินตภาพคือ \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ z= 0 \) ในการค้นหารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน คุณจำเป็นต้องค้นหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมัน

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน \(\z\) คือตัวเลข:

\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )

อาร์กิวเมนต์คำนวณโดยใช้สูตร:

\(\ \varphi=\arg z=\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg) \frac(y)(x)=\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg) \frac(0)(-1)=\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg) 0=\pi \)

ดังนั้น รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนคือ: \(\z=1(\cos \pi+i \sin \pi)\)

จากนั้นรูตที่ 3 จะมีลักษณะดังนี้:

\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0.1, 2\ )

\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2)\)

สำหรับ \(\n=1\) เราได้รับ:

\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

สำหรับ \(\n=2\) เราได้รับ:

\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

คำตอบ

\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

งาน

เพื่อแยกรากที่ 2 ของตัวเลข \(\z=1-\sqrt(3)i\)

สารละลาย.

ขั้นแรก เราจะแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z=1-\sqrt(3) i \) คือจำนวน \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) ส่วนจินตภาพ \(\ y=\ ชื่อผู้ดำเนินการ(Im) z =-\sqrt(3) \) ในการค้นหารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน คุณจำเป็นต้องค้นหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมัน

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน \(\r\) คือตัวเลข:

\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2\)

การโต้แย้ง:

\(\ \varphi=\arg z=\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg) \frac(y)(x)=\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)

ดังนั้น รูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนคือ:

\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)

เมื่อใช้สูตรในการแยกรากระดับที่ 2 เราจะได้:

\(\ z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ right)\right)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\right)^(\frac(1)(2))= \)

\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\right)\right), n=0,1 \)

สำหรับ \(\ \mathrm(n)=0 \) เราได้รับ:

\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\right)\right)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

สำหรับ \(\ \mathrm(n)=1 \) เราได้รับ:

\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\right)\right)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

คำตอบ

\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ

สูตรมูฟวร์

ให้ z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) และ z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2)

รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนนั้นสะดวกต่อการใช้งานในการดำเนินการคูณ การหาร การยกกำลังจำนวนเต็ม และการแยกรากของระดับ n

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + ฉันบาป( 1 +  2))

เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ เมื่อแบ่งโมดูลจะถูกแบ่งออกและข้อโต้แย้งจะถูกลบออก

ข้อพิสูจน์ของกฎในการคูณจำนวนเชิงซ้อนคือกฎสำหรับการบวกจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง

z = r(cos  + ฉันบาป )

z n = r n (cos n + isin n)

อัตราส่วนนี้เรียกว่า สูตรมูฟวร์

ตัวอย่างที่ 8.1 ค้นหาผลคูณและผลหารของตัวเลข:

และ

สารละลาย

ซี 1 ∙z 2
∙

=

;

ตัวอย่างที่ 8.2 เขียนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ

∙
–i) 7 .

สารละลาย

มาแสดงกันเถอะ
และ z 2 =
-ฉัน.

ร 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = หาเรื่อง z 1 = อาร์คแทน ;

ซี 1 =
;

ร 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = หาเรื่อง z 2 = อาร์คแทน
;

ซี 2 = 2
;

ซี 1 5 = (
) 5
-

ซี 2 7 = 2 7
ซี = (
=

2 9

) 5 ·2 7

§ 9 การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อนคำนิยาม. รากnยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
z (แสดงว่า
= 0.

) เป็นจำนวนเชิงซ้อน w โดยที่ w n = z ถ้า z = 0 แล้ว

ให้ z  0, z = r(cos + isin) ให้เราแสดงว่า w = (cos + sin) จากนั้นเราเขียนสมการ w n = z ในรูปแบบต่อไปนี้

 n (cos(n·) + ไอซิน(n·)) = r(cos + ไอซิน)

 =

ดังนั้น  n = r
·
.

ดังนั้น wk =

ในบรรดาค่าเหล่านี้มีค่าที่แตกต่างกัน n ประการ

ดังนั้น k = 0, 1, 2, …, n – 1
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของเอ็นกอนปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี

โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (รูปที่ 12)

รูปที่ 12ตัวอย่างที่ 9.1
.

สารละลาย.

ค้นหาค่าทั้งหมด

ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน
ว เค =

โดยที่ k = 0, 1, 2, 3
.

w 0 =
.

วิ 1 =
.

วิ 2 =
.

วิ 3 =
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในรัศมีวงกลม

โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (รูปที่ 13)

รูปที่ 13 รูปที่ 14ตัวอย่างที่ 9.1
.

สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 9.2

ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน
z = – 64 = 64(cos +isin);

โดยที่ k = 0, 1, 2, 3
โดยที่ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
;

วิ 1 =
-

วิ 1 =
วิ 3 =
.

ส 4 =

-

ส 5 =

มาแสดงกันเถอะ
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี 2 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (0; 0) - รูปที่ 14
§ 10 รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์ .