สัญญาณของวงกลมตรีโกณมิติ วิธีจำคะแนนบนวงกลมหน่วย

พูดง่ายๆ ก็คือผักที่ปรุงในน้ำตามสูตรพิเศษ ฉันจะพิจารณาองค์ประกอบเริ่มต้นสองอย่าง (สลัดผักและน้ำ) และผลลัพธ์ที่ได้คือ Borscht ในเชิงเรขาคณิต อาจมองเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยด้านหนึ่งเป็นตัวแทนของผักกาดหอม และอีกด้านเป็นตัวแทนของน้ำ ผลรวมของทั้งสองด้านนี้จะบ่งบอกถึง Borscht เส้นทแยงมุมและพื้นที่ของสี่เหลี่ยม "บอร์ช" นั้นเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ และไม่เคยใช้ในสูตรบอร์ชท์

ผักกาดหอมและน้ำกลายเป็น Borscht จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร ผลรวมของส่วนของเส้นตรงสองเส้นจะกลายเป็นตรีโกณมิติได้อย่างไร เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น

คุณจะไม่พบอะไรเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้นในตำราคณิตศาสตร์ แต่หากไม่มีพวกเขาก็ไม่สามารถมีคณิตศาสตร์ได้ กฎของคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับกฎของธรรมชาติ ทำงานไม่ว่าเราจะรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมันหรือไม่ก็ตาม

ฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้นเป็นกฎการบวกดูว่าพีชคณิตเปลี่ยนเป็นเรขาคณิตและเรขาคณิตกลายเป็นตรีโกณมิติได้อย่างไร

เป็นไปได้ไหมที่จะทำโดยไม่มีฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น? เป็นไปได้เพราะนักคณิตศาสตร์ยังคงจัดการได้หากไม่มีพวกมัน เคล็ดลับของนักคณิตศาสตร์ก็คือ พวกเขามักจะบอกเราเฉพาะปัญหาที่พวกเขารู้วิธีแก้เท่านั้น และไม่เคยพูดถึงปัญหาที่พวกเขาแก้ไม่ได้ ดู. ถ้าเรารู้ผลลัพธ์ของการบวกและเทอมหนึ่ง เราจะใช้การลบเพื่อค้นหาอีกเทอมหนึ่ง ทั้งหมด. เราไม่รู้ปัญหาอื่น ๆ และเราไม่รู้ว่าจะแก้ไขอย่างไร เราควรทำอย่างไรถ้าเรารู้แต่ผลบวกแต่ไม่รู้ทั้งสองพจน์? ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ของการบวกจะต้องแบ่งออกเป็นสองเทอมโดยใช้ฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น ต่อไป เราเลือกเองว่าเทอมหนึ่งสามารถเป็นค่าใดได้ และฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้นจะแสดงให้เห็นว่าเทอมที่สองควรเป็นค่าใด เพื่อให้ผลลัพธ์ของการบวกตรงกับที่เราต้องการ คู่เงื่อนไขดังกล่าวอาจมีจำนวนอนันต์ ในชีวิตประจำวันเราเข้ากันได้ดีโดยไม่สลายผลรวม การลบก็เพียงพอแล้วสำหรับเรา แต่ในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับกฎแห่งธรรมชาติ การแยกย่อยผลรวมเป็นส่วนประกอบจะมีประโยชน์มาก

กฎการบวกอีกข้อหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบพูดถึง (กลเม็ดอีกอย่างหนึ่ง) กำหนดให้คำต่างๆ ต้องมีหน่วยการวัดที่เหมือนกัน สำหรับสลัด น้ำ และบอร์ชท์ อาจเป็นหน่วยน้ำหนัก ปริมาตร ค่า หรือหน่วยวัด

รูปนี้แสดงความแตกต่างสองระดับสำหรับคณิตศาสตร์ ระดับแรกคือความแตกต่างในด้านตัวเลขซึ่งระบุไว้ ก, ข, ค. นี่คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ ระดับที่สองคือความแตกต่างในด้านหน่วยวัดซึ่งแสดงในวงเล็บเหลี่ยมและระบุด้วยตัวอักษร ยู. นี่คือสิ่งที่นักฟิสิกส์ทำ เราสามารถเข้าใจระดับที่สาม - ความแตกต่างในพื้นที่ของวัตถุที่อธิบายได้ วัตถุที่แตกต่างกันสามารถมีหน่วยวัดที่เหมือนกันจำนวนเท่ากันได้ สิ่งนี้สำคัญแค่ไหน เราสามารถเห็นได้จากตัวอย่างของตรีโกณมิติบอร์ชท์ หากเราเพิ่มตัวห้อยให้กับการกำหนดหน่วยเดียวกันสำหรับวัตถุที่แตกต่างกัน เราสามารถบอกได้อย่างชัดเจนว่าปริมาณทางคณิตศาสตร์ใดที่อธิบายวัตถุเฉพาะ และการเปลี่ยนแปลงตามเวลาหรือเนื่องจากการกระทำของเรา จดหมาย วฉันจะกำหนดน้ำด้วยตัวอักษร สฉันจะกำหนดสลัดด้วยตัวอักษร บี- บอร์ช นี่คือลักษณะของฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้นของ Borscht

หากเรานำน้ำส่วนหนึ่งและสลัดบางส่วนมารวมกันก็จะกลายเป็น Borscht ส่วนหนึ่ง ฉันขอแนะนำให้คุณพักสมองจาก Borscht สักหน่อยแล้วนึกถึงวัยเด็กอันห่างไกลของคุณ จำได้ไหมว่าเราถูกสอนให้เอากระต่ายและเป็ดมารวมกันได้อย่างไร จำเป็นต้องค้นหาว่ามีสัตว์กี่ตัว ตอนนั้นเราถูกสอนให้ทำอะไร? เราได้รับการสอนให้แยกหน่วยการวัดออกจากตัวเลขแล้วบวกตัวเลข ใช่ คุณสามารถเพิ่มหมายเลขใดหมายเลขหนึ่งลงในหมายเลขอื่นได้ นี่เป็นเส้นทางตรงสู่ออทิสติกของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ - เราทำอย่างไม่อาจเข้าใจได้ว่าทำไม เข้าใจไม่ได้ว่าทำไม และเข้าใจได้แย่มากว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความเป็นจริงอย่างไร เนื่องจากความแตกต่างสามระดับ นักคณิตศาสตร์จึงดำเนินการด้วยระดับเดียวเท่านั้น การเรียนรู้วิธีย้ายจากหน่วยการวัดหนึ่งไปยังอีกหน่วยหนึ่งจะถูกต้องกว่า

กระต่าย เป็ด และสัตว์เล็กๆ สามารถนับเป็นชิ้นๆ ได้ หน่วยวัดทั่วไปหนึ่งหน่วยสำหรับวัตถุต่างๆ ช่วยให้เราสามารถรวมพวกมันเข้าด้วยกันได้ นี่เป็นปัญหาสำหรับเด็ก ลองดูปัญหาที่คล้ายกันสำหรับผู้ใหญ่ คุณจะได้อะไรเมื่อเพิ่มกระต่ายและเงิน? มีวิธีแก้ไขที่เป็นไปได้สองวิธีที่นี่

ตัวเลือกแรก. เรากำหนดมูลค่าตลาดของกระต่ายและเพิ่มเข้าไปในจำนวนเงินที่มีอยู่ เราได้มูลค่ารวมของความมั่งคั่งของเราในรูปของตัวเงิน

ตัวเลือกที่สอง. คุณสามารถเพิ่มจำนวนกระต่ายเข้ากับจำนวนธนบัตรที่เรามีได้ เราจะได้รับจำนวนสังหาริมทรัพย์เป็นชิ้นๆ

อย่างที่คุณเห็น กฎการเพิ่มเดียวกันช่วยให้คุณได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราอยากรู้อย่างแน่นอน

แต่กลับไปที่ Borscht ของเรากันดีกว่า ตอนนี้เราสามารถเห็นสิ่งที่จะเกิดขึ้นกับค่ามุมที่แตกต่างกันของฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น

มุมเป็นศูนย์ เรามีสลัดแต่ไม่มีน้ำ เราไม่สามารถปรุง Borscht ได้ ปริมาณ Borscht ก็เป็นศูนย์เช่นกัน นี่ไม่ได้หมายความว่าศูนย์ Borscht เท่ากับศูนย์น้ำเลย สามารถมี Borscht เป็นศูนย์ได้โดยมีสลัดเป็นศูนย์ (มุมขวา)

สำหรับฉันเป็นการส่วนตัว นี่คือข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์หลักที่ยืนยันว่า ศูนย์จะไม่เปลี่ยนตัวเลขเมื่อเพิ่ม สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการบวกนั้นเป็นไปไม่ได้หากมีเพียงเทอมเดียวและเทอมที่สองหายไป คุณสามารถรู้สึกเกี่ยวกับสิ่งนี้ได้ตามที่คุณต้องการ แต่จำไว้ว่า การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่มีศูนย์นั้นถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์เอง ดังนั้นจงละทิ้งตรรกะของคุณและยัดเยียดคำจำกัดความที่นักคณิตศาสตร์คิดค้นขึ้นอย่างโง่เขลา: "การหารด้วยศูนย์เป็นไปไม่ได้" "จำนวนใด ๆ คูณด้วย ศูนย์เท่ากับศูนย์”, “เกินจุดเจาะศูนย์” และเรื่องไร้สาระอื่นๆ ก็เพียงพอที่จะจำไว้เมื่อศูนย์ไม่ใช่ตัวเลข และคุณจะไม่มีคำถามอีกต่อไปว่าศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ เพราะคำถามดังกล่าวสูญเสียความหมายทั้งหมด: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขจะถือเป็นตัวเลขได้อย่างไร ? มันเหมือนกับการถามว่าสีที่มองไม่เห็นควรจำแนกเป็นสีอะไร การเพิ่มศูนย์ให้กับตัวเลขจะเหมือนกับการทาสีด้วยสีที่ไม่มีอยู่ตรงนั้น เราโบกแปรงแห้งและบอกทุกคนว่า "เราทาสี" แต่ฉันพูดนอกเรื่องเล็กน้อย

มุมนั้นมากกว่าศูนย์แต่น้อยกว่าสี่สิบห้าองศา ผักกาดหอมเรามีเยอะแต่น้ำไม่พอ เป็นผลให้เราได้ Borscht ที่หนา

มุมคือสี่สิบห้าองศา เรามีน้ำและสลัดในปริมาณเท่ากัน นี่คือ Borscht ที่สมบูรณ์แบบ (ขออภัย เชฟ มันเป็นแค่คณิตศาสตร์)

มุมนั้นมากกว่าสี่สิบห้าองศา แต่น้อยกว่าเก้าสิบองศา เรามีน้ำเยอะและสลัดน้อย คุณจะได้รับบอร์ชท์เหลว

มุมฉาก. เรามีน้ำ สิ่งที่เหลืออยู่ของสลัดคือความทรงจำ ในขณะที่เรายังคงวัดมุมจากเส้นที่เคยทำเครื่องหมายไว้บนสลัด เราไม่สามารถปรุง Borscht ได้ จำนวน Borscht เป็นศูนย์ ในกรณีนี้ให้ถือและดื่มน้ำในขณะที่คุณมี)))

ที่นี่. บางอย่างเช่นนี้ ฉันสามารถเล่าเรื่องอื่น ๆ ที่นี่ที่เหมาะเกินสมควรได้ที่นี่

เพื่อนสองคนมีส่วนแบ่งในธุรกิจร่วมกัน หลังจากฆ่าหนึ่งในนั้น ทุกอย่างก็ไปที่อีกอันหนึ่ง

การเกิดขึ้นของคณิตศาสตร์บนโลกของเรา

เรื่องราวทั้งหมดนี้บอกเล่าในภาษาคณิตศาสตร์โดยใช้ฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้น คราวหน้า ฉันจะแสดงให้คุณเห็นตำแหน่งที่แท้จริงของฟังก์ชันเหล่านี้ในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ในระหว่างนี้ ลองกลับไปที่ตรีโกณมิติบอร์ชท์แล้วพิจารณาเส้นโครงกัน

วันเสาร์ที่ 26 ตุลาคม 2019

ฉันดูวิดีโอที่น่าสนใจเกี่ยวกับ ซีรี่ย์เกรียน หนึ่งลบหนึ่งบวกหนึ่งลบหนึ่ง - นัมเบอร์ไฟล์. นักคณิตศาสตร์โกหก พวกเขาไม่ได้ตรวจสอบความเท่าเทียมกันในระหว่างการให้เหตุผล

สิ่งนี้สะท้อนความคิดของฉันเกี่ยวกับ

มาดูสัญญาณที่นักคณิตศาสตร์กำลังหลอกเรากันดีกว่า ที่จุดเริ่มต้นของข้อโต้แย้ง นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าผลรวมของลำดับขึ้นอยู่กับว่าลำดับนั้นมีองค์ประกอบเป็นเลขคู่หรือไม่ นี่คือข้อเท็จจริงที่ได้รับการจัดตั้งขึ้นอย่างมีวัตถุประสงค์ จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป?

จากนั้น นักคณิตศาสตร์จะลบลำดับออกจากความสามัคคี สิ่งนี้นำไปสู่อะไร? สิ่งนี้นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงจำนวนองค์ประกอบของลำดับ - เลขคู่เปลี่ยนเป็นเลขคี่ เลขคี่เปลี่ยนเป็นเลขคู่ ท้ายที่สุด เราได้เพิ่มองค์ประกอบหนึ่งรายการลงในลำดับ แม้จะมีความคล้ายคลึงภายนอกทั้งหมด แต่ลำดับก่อนการแปลงก็ไม่เท่ากับลำดับหลังการแปลง แม้ว่าเรากำลังพูดถึงลำดับอนันต์ เราต้องจำไว้ว่าลำดับอนันต์ที่มีองค์ประกอบเป็นเลขคี่ไม่เท่ากับลำดับอนันต์ที่มีองค์ประกอบเป็นเลขคู่

ด้วยการใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างสองลำดับที่มีจำนวนองค์ประกอบต่างกัน นักคณิตศาสตร์อ้างว่าผลรวมของลำดับไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนขององค์ประกอบในลำดับ ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่เป็นที่ยอมรับ การให้เหตุผลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลรวมของลำดับอนันต์นั้นเป็นเท็จ เนื่องจากมันขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันที่เป็นเท็จ

หากคุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์ในระหว่างการพิสูจน์ให้ใส่วงเล็บจัดเรียงองค์ประกอบของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ใหม่เพิ่มหรือลบบางสิ่งระวังให้มากมีแนวโน้มว่าพวกเขากำลังพยายามหลอกลวงคุณ เช่นเดียวกับนักมายากลการ์ด นักคณิตศาสตร์ใช้การแสดงออกหลายอย่างเพื่อเบี่ยงเบนความสนใจของคุณ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดในที่สุด หากคุณไม่สามารถทำซ้ำกลอุบายไพ่โดยไม่ทราบความลับของการหลอกลวงดังนั้นในคณิตศาสตร์ทุกอย่างจะง่ายกว่ามาก: คุณไม่สงสัยอะไรเกี่ยวกับการหลอกลวงเลยด้วยซ้ำ แต่การยักย้ายทั้งหมดด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ช่วยให้คุณโน้มน้าวผู้อื่นถึงความถูกต้องของ ผลลัพธ์ที่ได้ก็เหมือนกับตอนที่พวกเขาเชื่อคุณ

คำถามจากผู้ฟัง: อนันต์ (เป็นจำนวนองค์ประกอบในลำดับ S) เป็นเลขคู่หรือคี่? คุณจะเปลี่ยนความเท่าเทียมกันของสิ่งที่ไม่มีความเท่าเทียมกันได้อย่างไร?

อนันต์มีไว้สำหรับนักคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับอาณาจักรแห่งสวรรค์สำหรับนักบวช - ไม่มีใครเคยไปที่นั่น แต่ทุกคนรู้แน่ชัดว่าทุกอย่างทำงานอย่างไรที่นั่น))) ฉันเห็นด้วย หลังจากความตายคุณจะไม่แยแสอย่างแน่นอนไม่ว่าคุณจะมีชีวิตอยู่เป็นเลขคู่หรือคี่ ของวัน แต่... เพิ่มเพียงหนึ่งวันในการเริ่มต้นชีวิตของคุณ เราจะได้คนที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: นามสกุล ชื่อ และนามสกุลของเขาเหมือนกันทุกประการ มีเพียงวันเดือนปีเกิดเท่านั้นที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - เขาเป็น เกิดก่อนคุณหนึ่งวัน

ตอนนี้เรามาถึงประเด็นแล้ว))) สมมติว่าลำดับอันจำกัดที่มีความเท่าเทียมกันจะสูญเสียความเท่าเทียมกันนี้เมื่อไปถึงอนันต์ จากนั้นส่วนจำกัดใดๆ ของลำดับอนันต์จะต้องสูญเสียความเท่าเทียมกัน เราไม่เห็นสิ่งนี้ ความจริงที่ว่าเราไม่สามารถบอกได้อย่างแน่ชัดว่าลำดับอนันต์มีองค์ประกอบเป็นจำนวนคู่หรือคี่ไม่ได้หมายความว่าความเท่าเทียมกันนั้นหายไป ความเท่าเทียมกันหากมีอยู่ไม่สามารถหายไปอย่างไร้ร่องรอยเหมือนในแขนเสื้อของมีคม มีการเปรียบเทียบที่ดีมากสำหรับกรณีนี้

คุณเคยถามนกกาเหว่านั่งอยู่บนนาฬิกาว่าเข็มนาฬิกาหมุนไปในทิศทางใด? สำหรับเธอ ลูกศรจะหมุนในทิศทางตรงกันข้ามกับที่เราเรียกว่า "ตามเข็มนาฬิกา" ถึงแม้จะฟังดูขัดแย้งกันก็ตาม ทิศทางของการหมุนนั้นขึ้นอยู่กับว่าเราสังเกตการหมุนจากด้านใดเท่านั้น ดังนั้นเราจึงมีล้อเดียวที่หมุนได้ เราไม่สามารถบอกได้ว่าการหมุนเกิดขึ้นในทิศทางใด เนื่องจากเราสามารถสังเกตได้จากทั้งด้านหนึ่งของระนาบการหมุนและจากอีกด้านหนึ่ง เราสามารถเป็นพยานถึงความจริงที่ว่ามีการหมุนเวียนเท่านั้น ความคล้ายคลึงที่สมบูรณ์กับความเท่าเทียมกันของลำดับอนันต์ ส.

ทีนี้ลองเพิ่มล้อหมุนอันที่สอง โดยระนาบการหมุนจะขนานกับระนาบการหมุนของล้อหมุนอันแรก เรายังบอกไม่ได้แน่ชัดว่าล้อเหล่านี้หมุนไปในทิศทางใด แต่เราสามารถบอกได้อย่างแน่ชัดว่าล้อทั้งสองหมุนไปในทิศทางเดียวกันหรือไปในทิศทางตรงกันข้าม การเปรียบเทียบลำดับอนันต์สองลำดับ สและ 1-สฉันแสดงด้วยความช่วยเหลือของคณิตศาสตร์ว่าลำดับเหล่านี้มีความเท่าเทียมกันและการใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างลำดับเหล่านั้นถือเป็นความผิดพลาด โดยส่วนตัวแล้วฉันเชื่อคณิตศาสตร์ฉันไม่ไว้ใจนักคณิตศาสตร์))) อย่างไรก็ตามเพื่อให้เข้าใจเรขาคณิตของการเปลี่ยนแปลงของลำดับอนันต์อย่างถ่องแท้จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดนี้ "พร้อมกัน". สิ่งนี้จะต้องถูกวาด

วันพุธที่ 7 สิงหาคม 2019

เมื่อจบการสนทนา เราต้องพิจารณาเซตอนันต์ ประเด็นก็คือแนวคิดเรื่อง "อนันต์" ส่งผลต่อนักคณิตศาสตร์เหมือนกับงูเหลือมที่หดตัวส่งผลต่อกระต่าย ความสยดสยองอันสั่นสะท้านของความไม่มีที่สิ้นสุดทำให้นักคณิตศาสตร์ขาดสามัญสำนึก นี่คือตัวอย่าง:

แหล่งที่มาดั้งเดิมตั้งอยู่ อัลฟ่าย่อมาจากจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ข้างต้นบ่งบอกว่าหากคุณเพิ่มตัวเลขหรืออนันต์เข้ากับอนันต์ จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์ก็จะอนันต์เหมือนเดิม หากเราใช้เซตอนันต์ของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้:

เพื่อพิสูจน์อย่างชัดเจนว่าถูกต้อง นักคณิตศาสตร์จึงคิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้วฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นเหมือนหมอผีเต้นรำกับแทมบูรีน โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดเดือดลงไปที่ความจริงที่ว่าห้องบางห้องว่างและมีแขกใหม่เข้ามา หรือผู้เยี่ยมชมบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (เหมือนมนุษย์มาก) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวแฟนตาซีเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันมีพื้นฐานมาจากอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดต้องใช้เวลาไม่สิ้นสุด หลังจากที่เราออกจากห้องแรกสำหรับแขกแล้ว ผู้มาเยี่ยมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอนว่าปัจจัยด้านเวลาสามารถถูกมองข้ามอย่างโง่เขลาได้ แต่จะอยู่ในหมวดหมู่ของ "ไม่มีกฎหมายเขียนไว้สำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: ปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

“โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” คืออะไร? โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือโรงแรมที่มีเตียงว่างจำนวนเท่าใดก็ได้เสมอ ไม่ว่าจะมีคนอยู่กี่ห้องก็ตาม หากทุกห้องในทางเดิน "ผู้เยี่ยมชม" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดถูกครอบครอง ก็จะมีทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกห้องที่มีห้อง "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนอนันต์ ยิ่งไปกว่านั้น “โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” ยังมีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนไม่สิ้นสุดในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยเทพเจ้าจำนวนอนันต์ นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถหลีกหนีจากปัญหาซ้ำซากในชีวิตประจำวันได้: พระเจ้า - อัลลอฮ์ - พุทธะมีเพียงองค์เดียวเสมอมีโรงแรมเพียงแห่งเดียวมีทางเดินเพียงแห่งเดียว นักคณิตศาสตร์จึงพยายามสลับเลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่ามีความเป็นไปได้ที่จะ "ยัดเยียดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้"

ฉันจะแสดงตรรกะของการใช้เหตุผลให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ก่อนอื่นคุณต้องตอบคำถามง่ายๆ: มีจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งหรือหลายชุด? ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาเอง ตัวเลขไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติเก่งเรื่องการนับ แต่ด้วยเหตุนี้ เธอจึงใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ฉันจะบอกคุณว่าธรรมชาติคิดอย่างไรอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมา เราก็จะเป็นผู้ตัดสินใจว่าจำนวนธรรมชาติมีกี่ชุด ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือกตามความเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง “ให้เราได้รับ” ตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวซึ่งวางอยู่อย่างสงบบนชั้นวาง เรานำชุดนี้มาจากชั้นวาง เพียงเท่านี้ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่นเหลืออยู่บนชั้นวางแล้วและไม่มีที่ไหนที่จะหยิบมันไปได้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งรายการในชุดนี้ได้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถเอาอันหนึ่งจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วและส่งคืนไปที่ชั้นวาง หลังจากนั้นเราก็สามารถนำอันหนึ่งจากชั้นวางมาเพิ่มเข้ากับสิ่งที่เราเหลือ ผลก็คือ เราจะได้เซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนกิจวัตรทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันเขียนการกระทำในรูปแบบพีชคณิตและสัญลักษณ์ทฤษฎีเซต พร้อมรายการองค์ประกอบของเซตโดยละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีจำนวนธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าเซตของจำนวนธรรมชาติจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อมีการลบออกและเพิ่มหน่วยเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์หลายชุดบนชั้นวางของเรา ฉันเน้นย้ำ - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกในทางปฏิบัติก็ตาม ลองเอาหนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำจำนวนหนึ่งจากชุดของจำนวนธรรมชาติอีกชุดหนึ่งมาบวกเข้ากับชุดที่เราได้มาแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้ด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มหนึ่งเข้าไปในเซตอนันต์ ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ด้วย แต่จะไม่เหมือนกับเซตเดิม หากคุณเพิ่มเซตอนันต์อีกเซตให้กับเซตอนันต์หนึ่งเซต ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกของสองเซตแรก

เซตของจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับแบบเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณบวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัด นี่จะเป็นเส้นอื่นไม่เท่ากับเส้นเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉันได้ - มันเป็นธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณเคยประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ลองคิดดูว่าคุณกำลังเดินตามแนวทางการใช้เหตุผลผิดๆ ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่นเหยียบย่ำอยู่หรือไม่ ท้ายที่สุดแล้ว การศึกษาคณิตศาสตร์ ประการแรก ก่อให้เกิดทัศนคติแบบเหมารวมของการคิดที่มั่นคงในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตของเรา (หรือในทางกลับกัน กีดกันเราจากการคิดอย่างอิสระ)

pozg.ru

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้อยู่และเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์แห่งบาบิโลนนั้นไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงชุดเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหนและมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด เป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะมองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันหรือไม่? จากการถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อย ฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้เป็นการส่วนตัว:

พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่นั้นไม่ได้มีลักษณะเป็นองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มันมีภาษาและแบบแผนที่แตกต่างจากภาษาและแบบแผนของคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ ชื่อเดียวกันในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกันได้ ฉันต้องการอุทิศสิ่งพิมพ์ทั้งชุดให้กับข้อผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แล้วพบกันใหม่เร็วๆ นี้

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องป้อนหน่วยการวัดใหม่ที่มีอยู่ในองค์ประกอบบางส่วนของชุดที่เลือก ลองดูตัวอย่าง

ขอให้เรามีมากมาย กประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" ให้เราแสดงองค์ประกอบของชุดนี้ด้วยตัวอักษร กตัวห้อยที่มีตัวเลขจะระบุหมายเลขซีเรียลของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัด "เพศ" ใหม่และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ข. เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงเพิ่มแต่ละองค์ประกอบของชุด กขึ้นอยู่กับเพศ ข. โปรดสังเกตว่าตอนนี้กลุ่ม "คน" ของเรากลายเป็นกลุ่ม "คนที่มีลักษณะทางเพศ" แล้ว หลังจากนั้นเราก็สามารถแบ่งลักษณะทางเพศออกเป็นเพศชายได้ บีเอ็มและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่ว่าจะเป็นชายหรือหญิงก็ตาม ถ้าคนมี เราก็คูณมันด้วย 1 หากไม่มีเครื่องหมาย เราก็คูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราก็ได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยของผู้ชาย บีมและกลุ่มย่อยของผู้หญิง บว. นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันโดยประมาณเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ได้บอกรายละเอียดให้เราทราบ แต่ให้ผลลัพธ์ที่ครบถ้วนแก่เรา - “ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและส่วนหนึ่งของผู้หญิง” โดยปกติแล้ว คุณอาจมีคำถาม: คณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้ในการแปลงที่อธิบายไว้ข้างต้นอย่างถูกต้องเพียงใด ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าโดยพื้นฐานแล้ว การแปลงทำอย่างถูกต้อง เพียงรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตแบบบูลีน และสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

สำหรับซูเปอร์เซ็ต คุณสามารถรวมสองชุดให้เป็นซูเปอร์เซ็ตเดียวได้โดยการเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของทั้งสองชุดนี้

ดังที่คุณเห็น หน่วยวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นมรดกตกทอดจากอดีต สัญญาณที่บ่งบอกว่าทุกอย่างไม่เป็นไปตามทฤษฎีเซตก็คือนักคณิตศาสตร์มีภาษาและสัญลักษณ์ของตนเองขึ้นมาสำหรับทฤษฎีเซต นักคณิตศาสตร์ก็ทำตัวเหมือนหมอผีที่ครั้งหนึ่งเคยทำ มีเพียงหมอผีเท่านั้นที่รู้วิธีใช้ “ความรู้” ของตน “อย่างถูกต้อง” พวกเขาสอนเรา "ความรู้" นี้

โดยสรุป ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการอย่างไร
สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว ต้องสังเกตอีกประเด็นหนึ่งที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือ จุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน
ฉันจะแสดงกระบวนการพร้อมตัวอย่างให้คุณดู เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในขณะเดียวกัน เราก็เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีธนูและไม่มีธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "พร้อมธนู" นี่คือวิธีที่หมอผีได้รับอาหารโดยผูกทฤษฎีเซตไว้กับความเป็นจริง

ตอนนี้เรามาทำเคล็ดลับเล็กน้อย เรามาลอง "แข็งด้วยสิวด้วยธนู" แล้วรวม "ทั้งก้อน" เหล่านี้ตามสี โดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย ตอนนี้คำถามสุดท้าย: ชุดผลลัพธ์ "มีธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดที่แตกต่างกันหรือไม่? หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดมันก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตไม่มีประโยชน์เลยเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "ของแข็งสีแดงมีสิวและธนู" การก่อตัวเกิดขึ้นในหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง) ความแข็งแกร่ง (ของแข็ง) ความหยาบ (สิว) การตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดหน่วยวัดเท่านั้นที่ช่วยให้เราอธิบายวัตถุจริงในภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ. นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันหมายถึงหน่วยการวัดที่แตกต่างกัน หน่วยการวัดที่แยกแยะ "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้นจะถูกเน้นในวงเล็บ หน่วยวัดที่ใช้สร้างเซตจะถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยการวัดเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีน หมอผีสามารถ "บรรลุผลแบบเดียวกันโดยสัญชาตญาณ" โดยโต้แย้งว่า "ชัดเจน" เพราะหน่วยการวัดไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

การใช้หน่วยวัดทำให้เป็นเรื่องง่ายมากที่จะแยกหนึ่งชุดหรือรวมหลายชุดเป็นซูเปอร์เซ็ตเดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า

วงกลมตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการด้วยไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

คำจำกัดความของคำนี้คืออะไร, วิธีสร้างวงกลมนี้, วิธีกำหนดหนึ่งในสี่ของตรีโกณมิติ, วิธีหามุมในวงกลมตรีโกณมิติที่สร้างขึ้น - เราจะพูดถึงเรื่องนี้และอีกมากมาย

วงกลมตรีโกณมิติ

รูปแบบตรีโกณมิติของวงกลมตัวเลขในคณิตศาสตร์คือวงกลมที่มีรัศมีเดียวโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระนาบพิกัด ตามกฎแล้ว มันถูกสร้างขึ้นโดยช่องว่างของสูตรสำหรับไซน์ที่มีโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์บนระบบพิกัด

จุดประสงค์ของทรงกลมที่มีพื้นที่ n มิติก็คือสามารถอธิบายฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ มันดูเรียบง่าย: วงกลมซึ่งภายในมีระบบพิกัดและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหลายรูปที่เกิดจากวงกลมนี้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปที่มีมุมใดมุมหนึ่งเป็น 90° มันถูกสร้างขึ้นโดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉากโดยมีความหมายทั้งหมดของตรีโกณมิติ ขาคือด้านสองด้านของสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับมุม 90° และด้านที่สามคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งจะยาวกว่าขาเสมอ

ไซน์คืออัตราส่วนของขาข้างหนึ่งต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คืออัตราส่วนของขาอีกข้างหนึ่ง และแทนเจนต์คืออัตราส่วนของสองขา ความสัมพันธ์เป็นสัญลักษณ์ของการแบ่งแยก แทนเจนต์ยังเป็นการหารมุมแหลมด้วยไซน์และโคไซน์อีกด้วย โคแทนเจนต์คืออัตราส่วนตรงข้ามของแทนเจนต์

สูตรสำหรับสองอัตราส่วนสุดท้ายมีดังนี้: tg(a) = sin(a) / cos(a) และ ctg(a) = cos(a) / sin(a)

การสร้างวงกลมหนึ่งหน่วย

การสร้างวงกลมหนึ่งหน่วยลงมาเพื่อวาดโดยมีรัศมีหน่วยอยู่ที่ศูนย์กลางของระบบพิกัด จากนั้นในการสร้างคุณจะต้องนับมุมและเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาไปรอบ ๆ วงกลมทั้งหมดโดยวางเส้นพิกัดที่สอดคล้องกับมุมเหล่านั้น

การก่อสร้างเริ่มต้นหลังจากวาดวงกลมแล้วกำหนดจุดกึ่งกลางโดยวางระบบพิกัด OX จุด O ที่ด้านบนของแกนพิกัดคือไซน์ และ X คือโคไซน์ ดังนั้นพวกเขาจึงเป็น Abscissa และบวช จากนั้นคุณต้องทำการวัด ∠ ดำเนินการเป็นองศาและเรเดียน

ง่ายต่อการแปลตัวบ่งชี้เหล่านี้ - วงกลมเต็มเท่ากับสองเรเดียนไพ มุมจากศูนย์ทวนเข็มนาฬิกาจะมีเครื่องหมาย + และ ∠ จาก 0 ตามเข็มนาฬิกาจะมีเครื่องหมาย - ค่าบวกและลบของไซน์และโคไซน์จะถูกทำซ้ำทุกการปฏิวัติของวงกลม

มุมบนวงกลมตรีโกณมิติ

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญทฤษฎีของวงกลมตรีโกณมิติ คุณต้องเข้าใจว่ามันนับ ∠ อย่างไร และวัดด้วยวิธีใด คำนวณได้ง่ายมาก

วงกลมถูกแบ่งตามระบบพิกัดออกเป็นสี่ส่วน แต่ละส่วนมีรูปทรง ∠ 90° ครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้คือ 45 องศา ดังนั้น วงกลมสองส่วนจึงเท่ากับ 180° และสามส่วนมี 360° จะใช้ข้อมูลนี้อย่างไร?

หากจำเป็นต้องแก้ปัญหาในการค้นหา ∠ พวกเขาจะหันไปใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสามเหลี่ยมและกฎพีทาโกรัสพื้นฐานที่เกี่ยวข้อง

มุมวัดเป็นเรเดียน:

จาก 0 ถึง 90° - ค่ามุมตั้งแต่ 0 ถึง ∏/2;
จาก 90 ถึง 180° — ค่ามุมจาก ∏/2 ถึง ∏;
จาก 180 ถึง 270° - จาก ∏ ถึง 3*∏/2;
ไตรมาสที่แล้ว จาก 270 0 ถึง 360 0 - ค่าตั้งแต่ 3*∏/2 ถึง 2*∏

หากต้องการทราบขนาดที่ต้องการ ให้แปลงเรเดียนเป็นองศาหรือกลับกัน คุณควรใช้สูตรโกง

การแปลงมุมจากองศาเป็นเรเดียน

มุมสามารถวัดได้เป็นองศาหรือเรเดียน จะต้องตระหนักถึงความเชื่อมโยงระหว่างความหมายทั้งสอง ความสัมพันธ์นี้แสดงเป็นตรีโกณมิติโดยใช้สูตรพิเศษ เมื่อเข้าใจความสัมพันธ์แล้ว คุณจะเรียนรู้วิธีควบคุมมุมอย่างรวดเร็วและย้ายจากองศาหนึ่งไปอีกเรเดียนด้านหลังได้

หากต้องการทราบว่าหนึ่งเรเดียนเท่ากับเท่าใด คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

1 ราด = 180 / ∏ = 180 / 3.1416 = 57.2956

สุดท้ายแล้ว 1 เรเดียนเท่ากับ 57° และมี 0.0175 เรเดียนใน 1 องศา:

1 องศา = (∏ /180) rad = 3.1416 / 180 ราด = 0.0175 ราด

โคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

โคไซน์ที่มีไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ - ฟังก์ชันของมุมอัลฟาตั้งแต่ 0 ถึง 360 องศา แต่ละฟังก์ชันมีค่าบวกหรือลบขึ้นอยู่กับขนาดของมุม พวกเขาเป็นสัญลักษณ์ของความสัมพันธ์กับสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นในวงกลม

เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับจตุภาคพิกัดซึ่งมีอาร์กิวเมนต์ตัวเลขอยู่เท่านั้น ครั้งสุดท้ายที่เราเรียนรู้ที่จะแปลงข้อโต้แย้งจากการวัดเรเดียนเป็นการวัดระดับ (ดูบทเรียน “ การวัดเรเดียนและองศาของมุม”) จากนั้นจึงกำหนดไตรมาสของพิกัดเดียวกันนี้ ทีนี้ ลองหาสัญลักษณ์ของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์กัน

ไซน์ของมุม α คือพิกัด (พิกัด y) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติที่เกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนด้วยมุม α

โคไซน์ของมุม α คือพิกัด x) ของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อรัศมีหมุนด้วยมุม α

แทนเจนต์ของมุม α คืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ หรือที่เหมือนกัน คืออัตราส่วนของพิกัด y กับพิกัด x

สัญกรณ์: sin α = y ; cos α = x ; ทีจี α = y : x .

คำจำกัดความทั้งหมดนี้คุ้นเคยกับคุณจากพีชคณิตระดับมัธยมปลาย อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้สนใจคำจำกัดความของตัวเอง แต่สนใจในผลที่ตามมาที่เกิดขึ้นกับวงกลมตรีโกณมิติ ลองดูสิ:

สีฟ้าบ่งบอกถึงทิศทางที่เป็นบวกของแกน OY (แกนพิกัด) สีแดงบ่งบอกถึงทิศทางที่เป็นบวกของแกน OX (แกน abscissa) บน "เรดาร์" นี้ สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

sin α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัด I หรือ II เนื่องจากตามคำจำกัดความแล้ว ไซน์เป็นพิกัด (พิกัด y) และพิกัด y จะเป็นค่าบวกอย่างแม่นยำในไตรมาสพิกัด I และ II
cos α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัดที่ 1 หรือ 4 เพราะมีเพียงพิกัด x (หรือที่รู้จักกันในชื่อ abscissa) เท่านั้นที่จะมากกว่าศูนย์
tan α > 0 ถ้ามุม α อยู่ในจตุภาคพิกัด I หรือ III สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความ: ท้ายที่สุดแล้ว tan α = y : x ดังนั้นจึงเป็นบวกเฉพาะในกรณีที่สัญญาณของ x และ y ตรงกันเท่านั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นในไตรมาสพิกัดแรก (ในที่นี้ x > 0, y > 0) และไตรมาสพิกัดที่สาม (x< 0, y < 0).

เพื่อความชัดเจน เราจะสังเกตเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละฟังก์ชัน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ บน "เรดาร์" ที่แยกจากกัน เราได้รับภาพต่อไปนี้:

โปรดทราบ: ในการสนทนาของฉัน ฉันไม่เคยพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สี่ - โคแทนเจนต์เลย ความจริงก็คือสัญญาณโคแทนเจนต์ตรงกับสัญญาณแทนเจนต์ - ไม่มีกฎพิเศษในนั้น

ตอนนี้ฉันเสนอให้พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกับปัญหา B11 จากการทดลองสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อวันที่ 27 กันยายน 2554 ท้ายที่สุดแล้ว วิธีที่ดีที่สุดในการทำความเข้าใจทฤษฎีคือการฝึกฝน แนะนำให้ฝึกเยอะๆ แน่นอนว่าเงื่อนไขของภารกิจมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย

งาน. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติและนิพจน์ (ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันเอง):

บาป(3π/4);

คอส(7π/6);

ทีจี(5π/3);

บาป (3π/4) cos (5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

บาป (5π/6) cos (7π/4);

สีแทน (3π/4) cos (5π/3);

กะรัต (4π/3) tg (π/6)

แผนปฏิบัติการมีดังนี้ ขั้นแรกเราจะแปลงมุมทั้งหมดจากหน่วยวัดเรเดียนเป็นองศา (π → 180°) จากนั้นดูว่าพิกัดไตรมาสใดที่มีตัวเลขผลลัพธ์อยู่ เมื่อรู้ไตรมาสแล้วเราสามารถค้นหาสัญญาณได้อย่างง่ายดาย - ตามกฎที่อธิบายไว้ เรามี:

บาป (3π/4) = บาป (3 · 180°/4) = บาป 135° เนื่องจาก 135° ∈ นี่คือมุมจากจตุภาคพิกัด II แต่ไซน์ในไตรมาสที่สองเป็นบวก ดังนั้นบาป (3π/4) > 0;
คอส (7π/6) = คอส (7 · 180°/6) = คอส 210° เพราะ 210° ∈ นี่คือมุมจากจตุภาคพิกัดที่สาม ซึ่งโคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos(7π/6)< 0;
ค่า tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300° ตั้งแต่ 300° ∈ เราอยู่ในควอเตอร์ที่ 4 โดยที่แทนเจนต์รับค่าลบ ดังนั้น สีแทน (5π/3)< 0;
บาป (3π/4) cos (5π/6) = บาป (3 180°/4) cos (5 180°/6) = บาป 135° cos 150° มาจัดการกับไซน์กันดีกว่า: เพราะว่า 135° ∈ นี่คือควอเตอร์ที่สองที่ไซน์เป็นบวก เช่น sin (3π/4) > 0 ตอนนี้เราทำงานกับโคไซน์: 150° ∈ - อีกครั้งในไตรมาสที่สอง โคไซน์ที่เป็นลบ ดังนั้น cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45° เราดูที่โคไซน์: 120° ∈ คือควอเตอร์ของพิกัด II ดังนั้น cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. อีกครั้งที่เราได้รับผลิตภัณฑ์ที่ปัจจัยมีสัญญาณที่แตกต่างกัน เนื่องจาก “ลบด้วยบวกให้ลบ” เรามี: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
บาป (5π/6) cos (7π/4) = บาป (5 180°/6) cos (7 180°/4) = บาป 150° cos 315° เราทำงานกับไซน์: ตั้งแต่ 150° ∈ เรากำลังพูดถึงควอเตอร์พิกัด II ซึ่งไซน์เป็นบวก ดังนั้น sin (5π/6) > 0 ในทำนองเดียวกัน 315° ∈ คือควอเตอร์พิกัด IV ซึ่งโคไซน์นั้นเป็นค่าบวก ดังนั้น cos (7π/4) > 0 เราได้ผลลัพธ์ของจำนวนบวกสองตัว - นิพจน์ดังกล่าวจะเป็นค่าบวกเสมอ เราสรุปได้ว่า: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300° แต่มุม 135° ∈ คือควอเตอร์ที่สอง นั่นคือ ทีจี(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. เนื่องจาก “ลบด้วยบวกให้เครื่องหมายลบ” เรามี: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
กะรัต (4π/3) กะรัต (π/6) = กะรัต (4 180°/3) กะรัต (180°/6) = กะรัต 240° กะ 30° เราดูที่อาร์กิวเมนต์โคแทนเจนต์: 240° ∈ คือควอเตอร์พิกัด III ดังนั้น ctg (4π/3) > 0 ในทำนองเดียวกัน สำหรับแทนเจนต์ที่เรามี: 30° ∈ คือควอเตอร์พิกัด I กล่าวคือ มุมที่ง่ายที่สุด ดังนั้น สีแทน (π/6) > 0 เรามีสำนวนเชิงบวกสองสำนวนเหมือนเดิม - ผลคูณของสำนวนนั้นก็จะเป็นบวกเช่นกัน ดังนั้น cot (4π/3) tg (π/6) > 0

สุดท้ายนี้ เรามาดูปัญหาที่ซับซ้อนกว่านี้กัน นอกจากการหาสัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว คุณจะต้องคำนวณเล็กๆ น้อยๆ ตรงนี้ด้วย เช่นเดียวกับที่ทำในโจทย์ปัญหาจริง B11 โดยหลักการแล้ว ปัญหาเหล่านี้เกือบจะเป็นปัญหาจริงที่ปรากฏในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

งาน. ค้นหา sin α ถ้า sin 2 α = 0.64 และ α ∈ [π/2; π].

เนื่องจากบาป 2 α = 0.64 เรามี: sin α = ±0.8 สิ่งที่เหลืออยู่คือการตัดสินใจ: บวกหรือลบ? โดยเงื่อนไข มุม α ∈ [π/2; π] คือควอเตอร์พิกัด II โดยที่ไซน์ทั้งหมดเป็นบวก ดังนั้น sin α = 0.8 - ความไม่แน่นอนพร้อมสัญญาณจะถูกกำจัด

งาน. ค้นหา cos α ถ้า cos 2 α = 0.04 และ α ∈ [π; 3π/2].

เราทำเช่นเดียวกันนั่นคือ หารากที่สอง: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2 ตามเงื่อนไข มุม α ∈ [π; 3π/2] กล่าวคือ เรากำลังพูดถึงไตรมาสพิกัดที่สาม โคไซน์ทั้งหมดเป็นลบ ดังนั้น cos α = −0.2

งาน. ค้นหา sin α ถ้า sin 2 α = 0.25 และ α ∈

เรามี: sin 2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5 เราดูมุมอีกครั้ง: α ∈ คือไตรมาสพิกัด IV ซึ่งดังที่เราทราบ ไซน์จะเป็นลบ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า: sin α = −0.5

งาน. ค้นหา tan α ถ้า tan 2 α = 9 และ α ∈

ทุกอย่างเหมือนกันหมด เฉพาะแทนเจนต์เท่านั้น แยกรากที่สอง: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3 แต่ตามเงื่อนไข มุม α ∈ คือควอเตอร์พิกัด I ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด รวมถึง แทนเจนต์ มีบวก ดังนั้น tan α = 3 แค่นั้นแหละ!

วงกลมตรีโกณมิติ วงกลมหน่วย. วงกลมตัวเลข. มันคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

เงื่อนไขบ่อยมาก วงกลมตรีโกณมิติ วงกลมหน่วย วงกลมตัวเลขนักเรียนไม่เข้าใจ และไร้ประโยชน์โดยสิ้นเชิง แนวคิดเหล่านี้เป็นผู้ช่วยที่ทรงพลังและเป็นสากลในทุกด้านของตรีโกณมิติ อันที่จริงนี่คือเอกสารโกงทางกฎหมาย! ฉันวาดวงกลมตรีโกณมิติแล้วเห็นคำตอบทันที! ยั่วยวน? ดังนั้นมาเรียนรู้กัน มันจะเป็นบาปหากไม่ใช้สิ่งนั้น นอกจากนี้ยังไม่ใช่เรื่องยากเลย

เพื่อที่จะทำงานกับวงกลมตรีโกณมิติได้สำเร็จ คุณต้องรู้เพียงสามสิ่งเท่านั้น

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ประเภทบทเรียน:การจัดระบบความรู้และการควบคุมระดับกลาง

อุปกรณ์:วงกลมตรีโกณมิติ แบบทดสอบ การ์ดงาน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:จัดระบบเนื้อหาทางทฤษฎีที่ศึกษาตามคำจำกัดความของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของมุม ตรวจสอบระดับของการได้มาซึ่งความรู้ในหัวข้อนี้และการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ

งาน:

สรุปและรวบรวมแนวคิดเรื่องไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม
สร้างความเข้าใจที่ครอบคลุมเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เพื่อส่งเสริมความปรารถนาและความจำเป็นของนักศึกษาในการเรียนวิชาตรีโกณมิติ ปลูกฝังวัฒนธรรมการสื่อสารความสามารถในการทำงานเป็นกลุ่มและความจำเป็นในการศึกษาด้วยตนเอง

“ผู้ใดทำและคิดเองตั้งแต่ยังเยาว์วัย
จากนั้นจะมีความน่าเชื่อถือมากขึ้น แข็งแกร่งขึ้น และฉลาดขึ้น

(วี. ชุคชิน)

ระหว่างชั้นเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ชั้นเรียนมีสามกลุ่ม แต่ละกลุ่มมีที่ปรึกษา
ครูประกาศหัวข้อ เป้าหมาย และวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง อัพเดทความรู้(งานหน้าชั้นเรียน)

1) ทำงานเป็นกลุ่มตามงาน:

1. กำหนดคำจำกัดความของมุมบาป

– sin α มีสัญญาณอะไรบ้างในแต่ละจตุภาคพิกัด?
– นิพจน์ sin α สมเหตุสมผลกับค่าใดและสามารถรับค่าใดได้บ้าง

2. กลุ่มที่สองเป็นคำถามเดียวกันสำหรับ cos α

3. กลุ่มที่สามเตรียมคำตอบสำหรับคำถามเดียวกัน tg α และ ctg α

ในเวลานี้ นักเรียนสามคนทำงานอย่างอิสระบนกระดานโดยใช้การ์ด (ตัวแทนของกลุ่มต่างๆ)

การ์ดหมายเลข 1

การปฏิบัติงาน
ใช้วงกลมหน่วยคำนวณค่าของ sin α, cos α และ tan α สำหรับมุม 50, 210 และ – 210

การ์ดหมายเลข 2

กำหนดสัญลักษณ์ของนิพจน์: tg 275; คอส 370; บาป 790; tg 4.1 และบาป 2

การ์ดหมายเลข 3

1) คำนวณ:
2) เปรียบเทียบ: cos 60 และ cos 2 30 – sin 2 30

2) ทางปาก:

ก) เสนอชุดตัวเลข: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. ในหมู่พวกเขามีสิ่งที่ซ้ำซ้อน ตัวเลขเหล่านี้สามารถแสดงคุณสมบัติของ sin α หรือ cos α ได้อย่างไร (บาป α หรือ cos α สามารถใช้ค่าเหล่านี้ได้)
b) สำนวนนี้สมเหตุสมผลหรือไม่: cos (–); บาป 2; จุด 3: CTG (– 5); ; ซีทีจี0;
cotg(–π) ทำไม
c) มีค่าต่ำสุดและสูงสุดของ sin หรือ cos, tg, ctg
ง) จริงหรือไม่?
1) α = 1,000 คือมุมของควอเตอร์ที่สอง
2) α = – 330 คือมุมของควอเตอร์ที่สี่
จ) ตัวเลขตรงกับจุดเดียวกันบนวงกลมหน่วย

3) ทำงานที่คณะกรรมการ

หมายเลข 567 (2; 4) – ค้นหาค่าของนิพจน์
ลำดับที่ 583 (1-3) กำหนดเครื่องหมายของสำนวน

การบ้าน:ตารางในสมุดบันทึก เลขที่ 567(1, 3) เลขที่ 578

สาม. การได้มาซึ่งความรู้เพิ่มเติม ตรีโกณมิติในฝ่ามือของคุณ

ครู:ปรากฎว่าค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมนั้น "อยู่" บนฝ่ามือของคุณ เอื้อมมือออกไป (มือข้างใดข้างหนึ่ง) แล้วกางนิ้วออกจากกันให้มากที่สุด (ดังในโปสเตอร์) นักเรียนคนหนึ่งได้รับเชิญ เราวัดมุมระหว่างนิ้วของเรา
ใช้รูปสามเหลี่ยมที่มีมุม 30, 45 และ 60 90 แล้วใช้จุดยอดของมุมนั้นกับเนินดวงจันทร์บนฝ่ามือของคุณ ภูเขาแห่งดวงจันทร์ตั้งอยู่ที่จุดตัดของส่วนขยายของนิ้วก้อยและนิ้วหัวแม่มือ เรารวมด้านหนึ่งเข้ากับนิ้วก้อยและอีกด้านหนึ่งด้วยนิ้วอีกข้างหนึ่ง
ปรากฎว่ามีมุมระหว่างนิ้วก้อยกับนิ้วหัวแม่มือ 90 องศา ระหว่างนิ้วก้อยกับนิ้วนาง 30 องศา ระหว่างนิ้วก้อยกับนิ้วกลาง 45 องศา และระหว่างนิ้วก้อยกับนิ้วชี้ 60 องศา และสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุกคน โดยไม่มีข้อยกเว้น.

นิ้วก้อยหมายเลข 0 - สอดคล้องกับ 0
ไม่มีชื่อหมายเลข 1 – ตรงกับ 30
ค่าเฉลี่ยหมายเลข 2 – สอดคล้องกับ 45
ดัชนีหมายเลข 3 - สอดคล้องกับ 60
ใหญ่หมายเลข 4 – ตรงกับ 90

ดังนั้นเราจึงมี 4 นิ้วในมือและจำสูตร:

หมายเลขนิ้ว	มุม	ความหมาย

นี่เป็นเพียงกฎช่วยในการจำ โดยทั่วไปแล้ว ค่าของ sin α หรือ cos α จะต้องทราบด้วยใจ แต่บางครั้งกฎนี้จะช่วยได้ในช่วงเวลาที่ยากลำบาก
ตั้งกฎสำหรับ cos (มุมไม่เปลี่ยนแปลง แต่นับจากนิ้วหัวแม่มือ) การหยุดทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับสัญญาณ sin α หรือ cos α

IV. การตรวจสอบความรู้และทักษะของคุณ

งานอิสระพร้อมคำติชม

นักเรียนแต่ละคนจะได้รับแบบทดสอบ (4 ตัวเลือก) และกระดาษคำตอบจะเหมือนกันสำหรับทุกคน

ทดสอบ

ตัวเลือกที่ 1

1) รัศมีจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับการหมุนมุม 50 ที่มุมใด
2) ค้นหาค่าของนิพจน์: 4cos 60 – 3sin 90
3) จำนวนใดที่น้อยกว่าศูนย์: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50

ตัวเลือกที่ 2

1) รัศมีจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับการหมุนมุม 10
2) ค้นหาค่าของนิพจน์: 4cos 90 – 6sin 30
3) จำนวนใดที่มากกว่าศูนย์: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240)

ตัวเลือกที่ 3

1) ค้นหาค่าของนิพจน์: 2ctg 45 – 3cos 90
2) จำนวนใดที่น้อยกว่าศูนย์: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140
3) มุมหนึ่งในสี่มุมใดคือมุม α ถ้า sin α > 0 จะได้ cos α< 0.

ตัวเลือกที่ 4

1) ค้นหาค่าของนิพจน์: tg 60 – 6ctg 90
2) จำนวนใดน้อยกว่าศูนย์: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250
3) มุมจตุภาคใดคือมุม α ถ้า ctg α< 0, cos α> 0.

ก 0	บี ซิน50	ใน 1	ช – 350	ดี – 1	อี คอส(– 140)
และ 3	ซี 310	และ คอส 140		ล 350	ม 2
เอ็น คอส 340	เกี่ยวกับ – 3	ป คอส 250	ร	กับ บาป 140	ต – 310
ยู – 2	เอฟ 2	เอ็กซ์ ทีจี 50	ช ทีจี 250	ยุ บาป 340	ฉัน 4

(คำสำคัญคือตรีโกณมิติ)

V. ข้อมูลจากประวัติตรีโกณมิติ

ครู:ตรีโกณมิติเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างสำคัญสำหรับชีวิตมนุษย์ ตรีโกณมิติรูปแบบสมัยใหม่มอบให้โดยนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 18 คือ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ชาวสวิสโดยกำเนิดซึ่งทำงานในรัสเซียเป็นเวลาหลายปีและเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เขาแนะนำคำจำกัดความที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งกำหนดและพิสูจน์สูตรที่รู้จักกันดีแล้วเราจะเรียนรู้ในภายหลัง ชีวิตของออยเลอร์น่าสนใจมากและฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับมันผ่านหนังสือ "Leonard Euler" ของ Yakovlev

(ข้อความจากพวกในหัวข้อนี้)

วี. สรุปบทเรียน

เกม "Tic Tac Toe"

มีนักเรียนที่กระตือรือร้นที่สุดสองคนเข้าร่วม พวกเขาได้รับการสนับสนุนจากกลุ่ม วิธีแก้ไขปัญหาของงานจะถูกเขียนลงในสมุดบันทึก

งาน

1) ค้นหาข้อผิดพลาด

ก) บาป 225 = – 1.1 c) บาป 115< О
b) cos 1,000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) แสดงมุมเป็นองศา
3) แสดงมุม 300 เป็นเรเดียน
4) ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดที่นิพจน์สามารถมีได้คืออะไร: 1+ sin α;
5) กำหนดสัญลักษณ์ของการแสดงออก: sin 260, cos 300
6) จุดนั้นอยู่ที่ไตรมาสใดของวงกลมตัวเลข?
7) กำหนดสัญญาณของการแสดงออก: cos 0.3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) คำนวณ:
9) เปรียบเทียบ: บาป 2 และบาป 350

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การสะท้อนบทเรียน

ครู:เราจะพบตรีโกณมิติได้ที่ไหน?
ในบทเรียนใดในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 และตอนนี้คุณใช้แนวคิดเรื่องบาป α, cos α; ทีจี α; ctg α และเพื่อจุดประสงค์อะไร?