ผลรวมของกำลังสองของขาทั้งสองเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก วิธีใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตยุคลิดที่สร้างความสัมพันธ์

ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เชื่อกันว่าได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งได้รับการตั้งชื่อตามนั้น

การกำหนดเรขาคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทถูกกำหนดไว้แต่เดิมดังนี้:

ใน สามเหลี่ยมมุมฉากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

สร้างขึ้นบนขา

สูตรพีชคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึงกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมความยาวขาสี่เหลี่ยม

นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมด้วย คและความยาวของขาทะลุ กและ ข:

ทั้งสองสูตร ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเทียบเท่ากัน แต่สูตรที่สองนั้นมีความพื้นฐานมากกว่าไม่ใช่เลย

ต้องใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ นั่นคือคำสั่งที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับพื้นที่และ

โดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส

ถ้ากำลังสองของด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

สามเหลี่ยมมุมฉาก.

หรืออีกนัยหนึ่ง:

สำหรับทุก ๆ สาม ตัวเลขบวก ก, ขและ ค, ดังนั้น

มีสามเหลี่ยมมุมฉากมีขา กและ ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่า

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

บน ช่วงเวลานี้วี วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์มีการบันทึกข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ไว้ 367 ข้อ น่าจะเป็นทฤษฎีบท

พีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมากมายมหาศาล ความหลากหลายดังกล่าว

สามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอนว่าตามแนวคิดแล้วทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นคลาสจำนวนเล็กน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดของพวกเขา:

การพิสูจน์ วิธีการพื้นที่, ความจริงและ หลักฐานที่แปลกใหม่(ตัวอย่างเช่น,

โดยใช้ สมการเชิงอนุพันธ์ ).

1. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดที่สร้างขึ้น

โดยตรงจากสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูป

อนุญาต เอบีซีมีสามเหลี่ยมมุมฉากกับมุมฉาก ค- ลองวาดความสูงจาก คและแสดงถึง

รากฐานของมันผ่านทาง ชม.

สามเหลี่ยม เอซีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบี C ที่มุมทั้งสอง สามเหลี่ยมเช่นเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี.

โดยการแนะนำสัญกรณ์:

เราได้รับ:

,

ซึ่งสอดคล้องกับ -

พับ ก 2 และ ข 2 เราได้รับ:

หรือ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

2. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้วิธีพื้นที่

โดยมีหลักฐานดังต่อไปนี้ทั้งๆ ความเรียบง่ายที่เห็นได้ชัดไม่ใช่เรื่องง่ายเลย ทั้งหมด

ใช้คุณสมบัติของพื้นที่ซึ่งหลักฐานนั้น การพิสูจน์ที่ยากขึ้นทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั่นเอง

• พิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

ลองจัดเรียงสี่เหลี่ยมสี่อันที่เท่ากัน

สามเหลี่ยมดังแสดงในรูป

ด้านขวา.

สี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง ค- สี่เหลี่ยม,

ตั้งแต่ผลรวมของทั้งสอง มุมที่คมชัด 90°, ก

มุมที่กางออก - 180°

พื้นที่ของร่างทั้งหมดเท่ากันในด้านหนึ่ง

พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ( ก+ข) และในทางกลับกัน จำนวนเงิน สี่สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมและ

Q.E.D.

3. การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยวิธีขั้นต่ำ

​

ดูภาพวาดที่แสดงในภาพและ

ดูการเปลี่ยนแปลงด้านข้างกเราทำได้

เขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นอนันต์

เล็ก เพิ่มขึ้นด้านข้างกับและ ก(ใช้ความเหมือน.

สามเหลี่ยม):

เมื่อใช้วิธีการแยกตัวแปร เราจะพบว่า:

มากกว่า การแสดงออกทั่วไปเปลี่ยนด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่ขาทั้งสองข้างเพิ่มขึ้น:

การบูรณาการ สมการที่กำหนดและใช้ เงื่อนไขเริ่มต้น, เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบที่ต้องการ:

ง่ายขนาดไหนมาดูกัน. การพึ่งพากำลังสองปรากฏในสูตรสุดท้ายเนื่องจากเส้นตรง

สัดส่วนระหว่างด้านของสามเหลี่ยมกับการเพิ่มขึ้น ในขณะที่ผลรวมสัมพันธ์กับความเป็นอิสระ

มีส่วนช่วยในการเพิ่มขาต่างๆ

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่านี้ได้หากเราถือว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่มีการเพิ่มขึ้น

(วี ในกรณีนี้ขา ข- จากนั้นสำหรับค่าคงที่การรวมเข้าที่เราได้รับ:

ศักยภาพในการสร้างสรรค์มักมาจาก มนุษยศาสตร์โดยธรรมชาติแล้วปล่อยให้การวิเคราะห์เป็นวิทยาศาสตร์ แนวทางปฏิบัติและภาษาแห้งของสูตรและตัวเลข คณิตศาสตร์ถึง วิชาด้านมนุษยธรรมคุณไม่สามารถเกี่ยวข้องได้ แต่หากปราศจากความคิดสร้างสรรค์ คุณจะไปไม่ถึง "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" อีกต่อไป ผู้คนก็รู้เรื่องนี้ดี เป็นเวลานาน- ตั้งแต่สมัยพีทาโกรัส เป็นต้น

น่าเสียดายที่ตำราเรียนของโรงเรียนมักไม่ได้อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญไม่เพียงแต่ต้องยัดเยียดทฤษฎีบท สัจพจน์ และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและรู้สึกถึงหลักการพื้นฐานของมัน และในเวลาเดียวกันพยายามปลดปล่อยจิตใจของคุณจากความคิดโบราณและความจริงเบื้องต้น - เฉพาะในเงื่อนไขเช่นนี้เท่านั้นที่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่จะเกิดขึ้นทั้งหมด

การค้นพบดังกล่าวรวมถึงสิ่งที่เรารู้ในปัจจุบันว่าเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่สามารถทำได้ แต่ยังน่าตื่นเต้นอีกด้วย และการผจญภัยครั้งนี้ไม่เพียงเหมาะสำหรับเด็กเนิร์ดแว่นตาหนาเท่านั้น แต่ยังเหมาะสำหรับทุกคนที่มีจิตใจเข้มแข็งและจิตวิญญาณที่แข็งแกร่งอีกด้วย

จากประวัติความเป็นมาของปัญหา

พูดอย่างเคร่งครัด แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แต่พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้ค้นพบทฤษฎีบทนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากและคุณสมบัติพิเศษของมันได้รับการศึกษามานานแล้ว มีมุมมองสองขั้วเกี่ยวกับปัญหานี้ ตามเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่ค้นพบข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สมบูรณ์ อีกประการหนึ่งหลักฐานไม่ได้เป็นของผู้ประพันธ์ของพีทาโกรัส

วันนี้คุณไม่สามารถตรวจสอบได้อีกต่อไปว่าใครถูกและใครผิด สิ่งที่ทราบก็คือข้อพิสูจน์ของพีทาโกรัส (หากเคยมีอยู่จริง) ก็ไม่รอด อย่างไรก็ตาม มีข้อเสนอแนะว่าหลักฐานที่มีชื่อเสียงจาก Euclid's Elements อาจเป็นของ Pythagoras และ Euclid บันทึกไว้เท่านั้น

เป็นที่ทราบกันดีในปัจจุบันว่าปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากพบได้ในแหล่งที่มาของอียิปต์ตั้งแต่สมัยฟาโรห์อาเมเนมฮัตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนตั้งแต่รัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี ในตำราอินเดียโบราณ "Sulva Sutra" และงานของจีนโบราณ " โจวปี้ ซวนจิน”

อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสครอบครองจิตใจของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ สิ่งนี้ได้รับการยืนยันด้วยหลักฐานต่าง ๆ ประมาณ 367 ชิ้นที่มีอยู่ในปัจจุบัน ในข้อนี้ไม่มีทฤษฎีบทอื่นใดสามารถแข่งขันกับทฤษฎีบทนี้ได้ ในบรรดานักเขียนบทพิสูจน์ที่มีชื่อเสียง เราสามารถระลึกถึง Leonardo da Vinci และ James Garfield ประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกาได้ ทั้งหมดนี้พูดถึงความสำคัญอย่างยิ่งยวดของทฤษฎีบทนี้สำหรับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่ได้มาจากทฤษฎีบทนี้หรือมีความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทนี้ในทางใดทางหนึ่ง

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ใน หนังสือเรียนของโรงเรียนพวกเขาให้การพิสูจน์พีชคณิตเป็นหลัก แต่แก่นแท้ของทฤษฎีบทนี้อยู่ที่เรขาคณิต ดังนั้นก่อนอื่นเรามาพิจารณาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้ก่อน

หลักฐานที่ 1

หากต้องการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ง่ายที่สุด คุณต้องตั้งค่าก่อน เงื่อนไขในอุดมคติ: ให้สามเหลี่ยมไม่ใช่แค่สี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีหน้าจั่วด้วย มีเหตุผลให้เชื่อได้ว่าสามเหลี่ยมชนิดนี้เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์โบราณพิจารณาในตอนแรก

คำแถลง “สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน”สามารถแสดงด้วยภาพวาดต่อไปนี้:

ดูสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC: บนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม 4 รูปซึ่งเท่ากับ ABC ดั้งเดิม และด้าน AB และ BC ก็มีการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมา แต่ละอันมีสามเหลี่ยมสองอันที่คล้ายกัน

อย่างไรก็ตาม ภาพวาดนี้เป็นพื้นฐานของเรื่องตลกและการ์ตูนมากมายที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่มีชื่อเสียงที่สุดน่าจะเป็น “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง”:

หลักฐานที่ 2

วิธีการนี้เป็นการผสมผสานพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน และถือได้ว่าเป็นอีกวิธีหนึ่งของการพิสูจน์ Bhaskari นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณ

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง ก ข และค(รูปที่ 1) จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันโดยให้ด้านเท่ากับผลรวมของความยาวของขาทั้งสองข้าง - (ก+ข)- ในแต่ละช่อง ให้ก่อสร้างดังรูปที่ 2 และ 3

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ให้สร้างสามเหลี่ยมสี่อันเหมือนกับในรูปที่ 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือสี่เหลี่ยมสองอัน: อันหนึ่งมีด้าน a, อันที่สองมีด้าน ข.

ในจตุรัสที่สอง มีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่อันที่สร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่ง เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เราสร้างด้วยด้าน c ในรูปที่ 3 สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ด้วยการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมในรูป 2 ตามสูตร และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ในรูปที่ 3 โดยการลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่มีขนาดเท่ากันที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้าน (ก+ข).

การเขียนทั้งหมดนี้เรามี: ก 2 +ข 2 =(ก+ข) 2 – 2ab- เปิดวงเล็บ คำนวณพีชคณิตที่จำเป็นทั้งหมด แล้วรับสิ่งนั้น ก 2 +ข 2 = ก 2 +ข 2- ในกรณีนี้ พื้นที่ที่ถูกจารึกไว้ในรูปที่ 3 สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดั้งเดิม ส=ค 2- เหล่านั้น. ก 2 +ข 2 =ค 2– คุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว

หลักฐานที่ 3

การพิสูจน์ของอินเดียโบราณนั้นอธิบายไว้ในศตวรรษที่ 12 ในบทความเรื่อง "มงกุฎแห่งความรู้" (“สิทธันตะ ชิโรมานี”) และเป็นข้อโต้แย้งหลักที่ผู้เขียนใช้คำอุทธรณ์ที่ส่งถึงความสามารถทางคณิตศาสตร์และทักษะการสังเกตของนักเรียนและผู้ติดตาม: “ ดู!"

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียด:

ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันตามที่ระบุในภาพวาด ให้เราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่หรือที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ- เรียกขาของสามเหลี่ยมกันดีกว่า กและ ข- ตามรูปวาด ด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านในคือ (ก-ข).

ใช้สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ส=ค 2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอก และในเวลาเดียวกันก็คำนวณค่าเดียวกันโดยบวกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านในและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสี่รูป: (ก-ข) 2 2+4*1\2*ก*ข.

คุณสามารถใช้ทั้งสองตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์เหมือนกัน และนี่ให้สิทธิ์คุณเขียนลงไป ค 2 =(ก-ข) 2 +4*1\2*ก*ข- จากผลของการแก้ปัญหา คุณจะได้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค 2 =ก 2 +ข 2- ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐาน 4

หลักฐานจีนโบราณที่น่าสงสัยนี้ถูกเรียกว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว" - เนื่องจากรูปร่างที่เหมือนเก้าอี้ซึ่งเป็นผลมาจากการก่อสร้างทั้งหมด:

ใช้ภาพวาดที่เราได้เห็นแล้วในรูปที่ 3 ในการพิสูจน์ครั้งที่สอง และจัตุรัสด้านในที่มีด้าน c ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับหลักฐานอินเดียโบราณที่ให้ไว้ข้างต้น

หากคุณตัดสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวสองอันออกจากภาพวาดในรูปที่ 1 ให้ย้ายไปที่ ฝั่งตรงข้ามติดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c และด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมไลแลค คุณจะได้ร่างที่เรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" (รูปที่ 2) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถทำแบบเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมได้ คุณจะต้องแน่ใจว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" นั้นประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอัน: อันเล็กที่มีด้านข้าง ขและใหญ่มีด้านข้าง ก.

โครงสร้างเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวจีนโบราณและพวกเราติดตามพวกเขาได้ข้อสรุปว่า ค 2 =ก 2 +ข 2.

หลักฐานที่ 5

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาคำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้เรขาคณิต เรียกว่าวิธีการ์ฟิลด์

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี- เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + เอบี 2.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ทำขาต่อ เครื่องปรับอากาศและสร้างส่วน ซีดีซึ่งเท่ากับขา เอบี- ลดแนวตั้งฉากลง ค.ศส่วนของเส้น ส.อ- เซ็กเมนต์ ส.อและ เครื่องปรับอากาศมีความเท่าเทียมกัน เชื่อมต่อจุดต่างๆ อีและ ใน, และ อีและ กับและรับภาพวาดตามภาพด้านล่าง:

เพื่อพิสูจน์หอคอยเราใช้วิธีที่เราได้ลองไปแล้วอีกครั้ง: เราค้นหาพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ในสองวิธีและแบ่งนิพจน์ให้กันและกัน

ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เตียงสามารถทำได้โดยการบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสามที่ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมนั้น และหนึ่งในนั้น อีอาร์ยู, ไม่ใช่แค่สี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีหน้าจั่วอีกด้วย อย่าลืมสิ่งนั้นด้วย เอบี=ซีดี, เอซี=อีดีและ พ.ศ.=SE– สิ่งนี้จะทำให้เราสามารถลดความซับซ้อนในการบันทึกและไม่โอเวอร์โหลด ดังนั้น, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

ขณะเดียวกันก็เป็นที่ชัดเจนว่า เตียง- นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร: ส เอเบด =(DE+AB)*1/2AD- สำหรับการคำนวณของเรา การแสดงกลุ่มจะสะดวกและชัดเจนยิ่งขึ้น ค.ศเป็นผลรวมของส่วนต่างๆ เครื่องปรับอากาศและ ซีดี.

มาเขียนทั้งสองวิธีในการคำนวณพื้นที่ของร่างโดยใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างพวกเขา: AB*เอซี+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(เอซี+ซีดี)- เราใช้ความเท่าเทียมกันของเซกเมนต์ที่เราทราบอยู่แล้วและอธิบายไว้ข้างต้น เพื่อลดความซับซ้อนของด้านขวาของสัญกรณ์: AB*เอซี+1/2บีซี 2 =1/2(เอบี+เอซี) 2- ตอนนี้เรามาเปิดวงเล็บและแปลงความเท่าเทียมกัน: AB*เอซี+1/2บีซี 2 =1/2เอซี 2 +2*1/2(เอบี*เอซี)+1/2เอบี 2- เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเสร็จแล้ว เราก็ได้สิ่งที่เราต้องการ: ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + เอบี 2- เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังห่างไกลจากความสมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน, สมการเชิงอนุพันธ์, สามมิติ ฯลฯ และแม้แต่นักฟิสิกส์: ตัวอย่างเช่นหากของเหลวถูกเทลงในปริมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมคล้ายกับที่แสดงในภาพวาด ด้วยการเทของเหลว คุณสามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของพื้นที่และทฤษฎีบทได้

คำไม่กี่คำเกี่ยวกับแฝดพีทาโกรัส

ประเด็นนี้มีน้อยหรือไม่มีการศึกษาเลยในหลักสูตรของโรงเรียน ในขณะเดียวกันเขาก็น่าสนใจมากและมี ความสำคัญอย่างยิ่งในเรขาคณิต เลขสามเท่าของพีทาโกรัสใช้ในการแก้โจทย์หลายอย่าง ปัญหาทางคณิตศาสตร์- การทำความเข้าใจสิ่งเหล่านี้อาจเป็นประโยชน์กับคุณในการศึกษาต่อ

แล้วแฝดพีทาโกรัสคืออะไร? นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเรียกมันว่า จำนวนเต็มรวบรวมเป็นสามผลรวมของกำลังสองของสองซึ่งเท่ากับจำนวนที่สามในตาราง

ทริปเปิลพีทาโกรัสสามารถเป็น:

• ดั้งเดิม (ทั้งสามตัวเลขค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ);
• ไม่ใช่แบบดั้งเดิม (ถ้าแต่ละหมายเลขของ Triple คูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้ Triple ใหม่ซึ่งไม่ใช่แบบดั้งเดิม)

แม้กระทั่งก่อนยุคของเรา ชาวอียิปต์โบราณหลงใหลในความคลุ้มคลั่งในเรื่องจำนวนแฝดพีทาโกรัส: ในปัญหาพวกเขาถือว่าสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5 หน่วย อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านเท่ากับตัวเลขจากสามเหลี่ยมพีทาโกรัสจะเป็นสี่เหลี่ยมตามค่าเริ่มต้น

ตัวอย่างของแฝดพีทาโกรัส: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50) ฯลฯ

การประยุกต์ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง ดาราศาสตร์ และแม้แต่วรรณคดีด้วย

ประการแรกเกี่ยวกับการก่อสร้าง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหา ระดับที่แตกต่างกันความยากลำบาก ตัวอย่างเช่น ดูที่หน้าต่างแบบโรมาเนสก์:

ให้เราแสดงความกว้างของหน้าต่างเป็น ขจากนั้นรัศมีของครึ่งวงกลมหลักสามารถเขียนแทนได้ว่าเป็น รและแสดงออกผ่าน ข: R=ข/2- รัศมีของครึ่งวงกลมเล็กๆ ก็สามารถแสดงผ่านได้เช่นกัน ข: r=b/4- ในปัญหานี้ เราสนใจรัศมีของวงกลมด้านในของหน้าต่าง (เรียกอีกอย่างว่า พี).

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์ในการคำนวณเท่านั้น ร- ในการทำเช่นนี้ เราใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งระบุด้วยเส้นประในรูป ด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยสองรัศมี: b/4+พี- ขาข้างหนึ่งแสดงถึงรัศมี ข/4, อื่น b/2-p- เราเขียนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2- ต่อไปเราจะเปิดวงเล็บแล้วรับ ข 2 /16+ บีพี/2+พี 2 =ข 2 /16+ข 2 /4-bp+p 2- ลองแปลงนิพจน์นี้เป็น บีพี/2=บี 2 /4-bp- แล้วเราก็หารพจน์ทั้งหมดด้วย ขเรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันเพื่อรับ 3/2*พี=ข/4- และในที่สุดเราก็พบว่า พี=ข/6- ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

เมื่อใช้ทฤษฎีบท คุณสามารถคำนวณความยาวของจันทันสำหรับหลังคาหน้าจั่วได้ พิจารณาว่าต้องใช้เสาสัญญาณโทรศัพท์มือถือสูงแค่ไหนเพื่อให้สัญญาณไปถึงระดับหนึ่ง การตั้งถิ่นฐาน- และแม้กระทั่งติดตั้งต้นคริสต์มาสอย่างยั่งยืนในจัตุรัสกลางเมือง อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่อยู่บนหน้าหนังสือเรียนเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในชีวิตจริงอีกด้วย

ในวรรณคดี ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักเขียนมาตั้งแต่สมัยโบราณและยังคงเป็นเช่นนั้นในยุคของเรา ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 ได้รับแรงบันดาลใจให้เขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่ดับไปในเร็ววัน
แต่เมื่อส่องแสงแล้ว ก็ไม่น่าจะสลายไป
และเช่นเดียวกับเมื่อหลายพันปีก่อน
มันจะไม่ทำให้เกิดข้อสงสัยหรือข้อพิพาท

ฉลาดที่สุดเมื่อสัมผัสดวงตาของคุณ
แสงแห่งความจริง ขอบคุณพระเจ้า
และวัวร้อยตัวถูกฆ่าโกหก -
ของขวัญตอบแทนจากพีทาโกรัสผู้โชคดี

ตั้งแต่นั้นมาวัวก็คำรามอย่างสิ้นหวัง:
ทำให้ชนเผ่าวัวตื่นตระหนกตลอดไป
เหตุการณ์ที่กล่าวถึงที่นี่

ดูเหมือนว่าเวลานั้นกำลังจะมาถึงแล้ว
และพวกเขาจะเสียสละอีกครั้ง
ทฤษฎีบทที่ดีบางอย่าง

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 Evgeny Veltistov นักเขียนชาวโซเวียตได้อุทิศทั้งบทในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหนังสือของเขาเรื่อง The Adventures of Electronics และอีกครึ่งบทของเรื่องราวเกี่ยวกับโลกสองมิติที่อาจดำรงอยู่ได้หากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและแม้แต่ศาสนาสำหรับโลกใบเดียว การใช้ชีวิตที่นั่นจะง่ายกว่ามาก แต่ก็น่าเบื่อกว่ามากด้วย เช่น ไม่มีใครเข้าใจความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ผู้เขียนผ่านปากของครูคณิตศาสตร์ Taratar กล่าวว่า "สิ่งสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์คือการเคลื่อนไหวของความคิด แนวคิดใหม่ ๆ" มันเป็นการหลีกหนีจากความคิดที่สร้างสรรค์อย่างแม่นยำซึ่งก่อให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีข้อพิสูจน์ที่หลากหลายมากมาย ช่วยให้คุณก้าวข้ามขอบเขตของสิ่งที่คุ้นเคยและมองสิ่งที่คุ้นเคยในรูปแบบใหม่

บทสรุป

บทความนี้ออกแบบมาเพื่อช่วยให้คุณมองข้ามไปได้ หลักสูตรของโรงเรียนในคณิตศาสตร์และเรียนรู้ไม่เพียง แต่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ให้ไว้ในหนังสือเรียน "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) และ "เรขาคณิต 7-11" (A.V. Pogorelov) แต่และวิธีการพิสูจน์ที่น่าสนใจอื่น ๆ ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และยังดูตัวอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างไร

ประการแรก ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณมีสิทธิ์ได้รับข้อมูลเพิ่มเติม คะแนนสูงในบทเรียนคณิตศาสตร์ - ข้อมูลเกี่ยวกับวิชาจาก แหล่งข้อมูลเพิ่มเติมได้รับการชื่นชมอย่างสูงเสมอ

ประการที่สอง เราต้องการช่วยให้คุณเข้าใจถึงวิธีการทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ที่น่าสนใจ- ตรวจสอบให้แน่ใจ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงว่ามีสถานที่สำหรับความคิดสร้างสรรค์อยู่เสมอ เราหวังว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้คุณ การค้นหาที่เป็นอิสระและการค้นพบอันน่าตื่นเต้นทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ

บอกเราในความคิดเห็นหากคุณพบหลักฐานที่นำเสนอในบทความที่น่าสนใจ คุณพบว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์ในการศึกษาของคุณหรือไม่? เขียนถึงเราว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ - เรายินดีที่จะหารือทั้งหมดนี้กับคุณ

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

เด็กนักเรียนทุกคนรู้ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของขาเสมอ ซึ่งแต่ละด้านจะเป็นกำลังสอง คำสั่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดของตรีโกณมิติและคณิตศาสตร์โดยทั่วไป เรามาดูกันดีกว่า

แนวคิดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะพิจารณาทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขาที่กำลังยกกำลังสอง เราควรพิจารณาแนวคิดและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ทฤษฎีบทนั้นเป็นจริง

สามเหลี่ยม - รูปแบนมีสามมุมและมีสามด้าน สามเหลี่ยมมุมฉากตามชื่อของมันนั้นมีมุมฉากหนึ่งมุมนั่นคือมุมนี้เท่ากับ 90 o

จาก คุณสมบัติทั่วไปสำหรับรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด เป็นที่รู้กันว่าผลรวมของมุมทั้งสามของรูปนี้คือ 180 o ซึ่งหมายความว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของมุมสองมุมที่ไม่ใช่มุมฉากคือ 180 o - 90 o = 90 o ข้อเท็จจริงสุดท้ายหมายความว่ามุมใดๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่ถูกต้องจะน้อยกว่า 90 o เสมอ

ด้านที่เป็นปฏิปักษ์ มุมฉากมักเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกสองด้านเป็นขาของสามเหลี่ยม จะเท่ากันหรือต่างกันก็ได้ จากวิชาตรีโกณมิติ เรารู้ว่ายิ่งมุมของด้านของสามเหลี่ยมอยู่มากเท่าใด ความยาวของด้านนั้นก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก (อยู่ตรงข้ามมุม 90 o) จะมากกว่าขาใดๆ เสมอ (อยู่ตรงข้ามมุมดังกล่าว)< 90 o).

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้ระบุว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละด้านจะถูกยกกำลังสองก่อนหน้านี้ ในการเขียนสูตรนี้ทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากโดยด้าน a, b และ c เป็นสองขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามลำดับ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทซึ่งกำหนดเป็นกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้: c 2 = a 2 + b 2 จากที่นี่จะได้สูตรอื่นๆ ที่สำคัญสำหรับการฝึกปฏิบัติ: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) และ c = √(a 2 + b 2)

โปรดทราบว่าในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยมด้านเท่านั่นคือ a = b สูตร: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละด้านเป็นรูปกำลังสอง เขียนตามหลักคณิตศาสตร์ได้ดังนี้ c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 ซึ่งหมายถึง ความเท่าเทียมกัน: c = a√2

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งระบุว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละขาถูกยกกำลังสอง เป็นที่รู้จักกันมานานแล้วก่อนที่ปราชญ์ชาวกรีกผู้โด่งดังจะให้ความสนใจกับทฤษฎีนี้ ปาปิริมากมาย อียิปต์โบราณเช่นเดียวกับแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนยืนยันว่าชนชาติเหล่านี้ใช้คุณสมบัติที่ระบุไว้ของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่างเช่นหนึ่งในคนแรก ปิรามิดอียิปต์ปิรามิดแห่งคาเฟร ซึ่งก่อสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 26 ก่อนคริสต์ศักราช (2,000 ปีก่อนคริสตศักราช พีทาโกรัส) สร้างขึ้นจากความรู้เรื่องอัตราส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3x4x5

เหตุใดทฤษฎีบทจึงมีชื่อเป็นภาษากรีก? คำตอบนั้นง่ายมาก: พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ทางคณิตศาสตร์ ในการอยู่รอดของชาวบาบิโลนและอียิปต์ แหล่งเขียนมันพูดถึงการใช้งานเท่านั้น แต่ไม่ได้ให้หลักฐานทางคณิตศาสตร์ใดๆ

เชื่อกันว่าพีทาโกรัสพิสูจน์ทฤษฎีบทที่เป็นปัญหาโดยใช้สมบัติต่างๆ สามเหลี่ยมที่คล้ายกันซึ่งเขาได้มาจากการวาดส่วนสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากมุม 90 o ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ลองพิจารณาดู งานง่ายๆ: จำเป็นต้องกำหนดความยาวของบันไดเอียง L หากทราบว่ามีความสูง H = 3 เมตรและระยะห่างจากผนังที่บันไดวางถึงเท้าคือ P = 2.5 เมตร

ในกรณีนี้ H และ P คือขา และ L คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจากความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เราจึงได้: L 2 = H 2 + P 2 โดยที่ L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3.905 เมตร หรือ 3 ม. และ 90, 5 ซม.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ไม่มีวันลืม กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขาของมัน กล่าวอีกนัยหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน

แสดงถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมด้วย c และความยาวของขาด้วย a และ b:

ด้านตรงข้ามมุมฉาก- นี่คือด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉาก นอกจากนี้ในสามเหลี่ยมนี้ยังมีสองอันด้วย ขา.

ในกรณีนี้ ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก และขาคือด้านที่สร้างมุมที่กำหนด

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ว่า กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา.

นั่นคือ AB = AC + BC

ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน หากความเท่าเทียมกันนี้คงอยู่ในรูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมนี้ก็จะเป็นมุมฉาก

คุณสมบัตินี้ช่วยแก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้หลายอย่าง

มีสูตรที่แตกต่างกันเล็กน้อยของทฤษฎีบทนี้: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา...จากโรงเรียนด้วยใจจริง นี่เป็นหนึ่งในกฎเหล่านั้นที่จะจดจำตลอดไป)))

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

นี่ถูกต้องแล้ว กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา แน่นอนว่าสิ่งนี้สอนเราและทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ก็ไม่ต้องสงสัยเลย เป็นเรื่องดีที่จะจดจำสิ่งที่สอนไว้เมื่อนานมาแล้ว

ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากนี้ ถ้ามันเท่ากับหนึ่งเมตร ตารางของมันคือหนึ่ง ตารางเมตร- และตัวอย่างเช่น ถ้ามันเท่ากับ 39.37 นิ้ว แล้วสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็เท่ากับ 1,550 ตารางนิ้ว ก็ทำอะไรไม่ได้

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (โดยย่อหน้าที่ง่ายที่สุดในตำราเรียนเรขาคณิต)

ใช่ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา นี่ดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่เราได้รับการสอนที่โรงเรียน ผ่านไปกี่ปีแล้วเรายังจำทฤษฎีบทอันเป็นที่รักนี้ได้ ฉันคงจะทำงานหนักและพิสูจน์มันเหมือนในหลักสูตรของโรงเรียน

พวกเขายังกล่าวอีกว่ากางเกงพีทาโกรัสสัมผัสตัวน้อยมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง

ครูบอกเราว่าถ้าหลับแล้วเกิดไฟไหม้ต้องรู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส))) เท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม (ขา)

คุณสามารถจดจำสิ่งนี้ได้หรือคุณสามารถเข้าใจได้ทันทีว่าทำไมจึงเป็นเช่นนี้

ขั้นแรก ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขาเท่ากันแล้ววางไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมใหญ่จะเท่ากับพื้นที่สี่ สามเหลี่ยมที่เหมือนกันข้างในนั้น

มาคำนวณทุกอย่างอย่างรวดเร็วแล้วได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ



หากขาไม่เท่ากันทุกอย่างก็ค่อนข้างง่าย:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่เท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เหมือนกันสี่รูปบวกกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ตรงกลาง



ไม่ว่าใครจะพูดอะไร เราก็จะได้รับความเสมอภาคเสมอ

ผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีที่มีชื่อเสียงที่สุดในเรขาคณิต:

ทฤษฎีบทนี้เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งก็คือมุมหนึ่งที่มีมุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ 90 องศา ด้านของมุมฉากเรียกว่าขา และด้านเฉียงเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น หากคุณวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามอันโดยมีฐานอยู่ที่แต่ละด้านของสามเหลี่ยม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองใกล้กับขาจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใกล้กับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่วางอยู่บนขา ( กและ ข) เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ( ค).

สูตรทางเรขาคณิต:

ทฤษฎีบทถูกกำหนดไว้แต่เดิมดังนี้:

สูตรพีชคณิต:

นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมด้วย คและความยาวของขาทะลุ กและ ข :

ก 2 + ข 2 = ค 2

สูตรทั้งสองของทฤษฎีบทนั้นเทียบเท่ากัน แต่สูตรที่สองนั้นเป็นสูตรพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องการแนวคิดเรื่องพื้นที่ นั่นคือ ข้อความที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับพื้นที่ และวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส:

การพิสูจน์

ในขณะนี้ มีการบันทึกข้อพิสูจน์ 367 ข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้ไว้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนที่น่าประทับใจเช่นนี้ ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอนว่าตามแนวคิดแล้วทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นคลาสจำนวนเล็กน้อยได้ สิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด: การพิสูจน์โดยวิธีพื้นที่, การพิสูจน์ตามสัจพจน์และแปลกใหม่ (เช่น การใช้สมการเชิงอนุพันธ์)

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งสร้างขึ้นจากสัจพจน์โดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูป

อนุญาต เอบีซีมีสามเหลี่ยมมุมฉากกับมุมฉาก ค- ลองวาดความสูงจาก คและแสดงฐานด้วย ชม- สามเหลี่ยม เอซีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีตรงสองมุม สามเหลี่ยมเช่นเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี- โดยการแนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

สิ่งที่เทียบเท่า

เมื่อบวกกันแล้วเราก็จะได้

การพิสูจน์โดยใช้วิธีพื้นที่

ข้อพิสูจน์ด้านล่าง แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกมันทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเสียอีก

พิสูจน์ผ่านการเสริมสมมูล

1. ลองจัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันเท่ากันดังแสดงในรูปที่ 1
2. สี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง คเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
3. ด้านหนึ่งมีพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และอีกด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและสองรูปภายใน สี่เหลี่ยม

Q.E.D.

การพิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

หลักฐานที่หรูหราโดยใช้การเรียงสับเปลี่ยน

ตัวอย่างของข้อพิสูจน์ประการหนึ่งแสดงไว้ในภาพวาดด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะถูกจัดเรียงใหม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างอยู่บนขา

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

การวาดภาพเพื่อพิสูจน์ของ Euclid

ภาพประกอบหลักฐานของ Euclid

แนวคิดในการพิสูจน์ของ Euclid มีดังนี้ ลองพิสูจน์ว่าครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา และจากนั้นพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมใหญ่และสี่เหลี่ยมเล็กสองอันมีค่าเท่ากัน

ลองดูภาพวาดทางด้านซ้าย บนนั้นเราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากและดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ซึ่งตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสี่เหลี่ยมสองอัน - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาที่สอดคล้องกันทุกประการ

ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราจะใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากัน สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนดเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้ตามมาว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดงในรูป) ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม AHJK

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ DECA สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามคุณสมบัติข้างต้น) ความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจน สามเหลี่ยมจะเท่ากันทั้งสองด้านและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นพิสูจน์ได้ง่ายโดยวิธีการเคลื่อนที่: เราหมุนสามเหลี่ยม CAK 90° ทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองใน คำถามจะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°)

เหตุผลสำหรับความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยม BHJI นั้นคล้ายกันโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นประกอบด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา แนวคิดเบื้องหลังข้อพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นเพิ่มเติมจากภาพเคลื่อนไหวด้านบน

หลักฐานของเลโอนาร์โด ดา วินชี

หลักฐานของเลโอนาร์โด ดา วินชี

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนที่

ลองพิจารณาการวาดภาพตามที่เห็นได้จากความสมมาตรซึ่งเป็นส่วน คฉันตัดสี่เหลี่ยม กบีชมเจ เป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยม กบีคและ เจชมฉันเท่ากันในการก่อสร้าง) เมื่อใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา คกเจฉัน และ ชดีกบี - ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของร่างที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ในทางกลับกัน จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์เป็นหน้าที่ของผู้อ่าน

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

การพิสูจน์โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้มักมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อดัง Hardy ซึ่งอาศัยอยู่ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

ดูภาพวาดที่แสดงในภาพและสังเกตการเปลี่ยนแปลงด้านข้าง กเราสามารถเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับการเพิ่มขึ้นทีละน้อยได้ กับและ ก(ใช้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม):

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

เราพบว่าใช้วิธีการแยกตัวแปร

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนแปลงด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่เพิ่มขึ้นทั้งสองด้าน

เราได้รับการรวมสมการนี้และการใช้เงื่อนไขเริ่มต้น

ค 2 = ก 2 + ข 2 + ค่าคงที่

เราจึงได้คำตอบที่ต้องการ

ค 2 = ก 2 + ข 2 .

ตามที่เห็นได้ง่าย การพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายปรากฏขึ้นเนื่องจาก สัดส่วนเชิงเส้นระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมกับการเพิ่มขึ้น ในขณะที่ผลรวมสัมพันธ์กับการมีส่วนร่วมที่เป็นอิสระจากการเพิ่มขึ้นของขาต่างๆ

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่านี้ได้หากเราถือว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่มีส่วนเพิ่มขึ้น (ในกรณีนี้คือขาข้างหนึ่ง ข- จากนั้นสำหรับค่าคงที่อินทิเกรตที่เราได้รับ

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

• ถ้าแทนที่จะสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราสร้างรูปอื่นๆ ที่คล้ายกันที่ด้านข้าง ดังนั้นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสต่อไปนี้จะเป็นจริง: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของพื้นที่คือ ตัวเลขที่คล้ายกันสร้างบนขาเท่ากับพื้นที่ของร่างสร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
  • ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างไว้ด้านข้างเท่ากับพื้นที่ สามเหลี่ยมปกติ, สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ผลรวมของพื้นที่ครึ่งวงกลมที่สร้างบนขา (ตามเส้นผ่านศูนย์กลาง) เท่ากับพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างนี้ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวง และเรียกว่า ลูนูลาฮิปโปเครติก

เรื่องราว

ชูเป่ย 500–200 ปีก่อนคริสตกาล ด้านซ้ายเป็นคำจารึก: ผลรวมของกำลังสองของความยาวของความสูงและฐานคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

หนังสือจีนโบราณ ฉูเป่ย พูดถึง สามเหลี่ยมพีทาโกรัสด้านที่ 3, 4 และ 5: ในหนังสือเล่มเดียวกัน มีการเสนอภาพวาดที่ตรงกับหนึ่งในภาพวาดเรขาคณิตฮินดูของบาชารา

คันทอร์ (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3² + 4² = 5² ชาวอียิปต์ทราบอยู่แล้วเมื่อประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในสมัยกษัตริย์อาเมเนมเฮตที่ 1 (อ้างอิงจากปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำกล่าวของคันทอร์ ฮาร์พีโดแนปต์หรือ "เครื่องดึงเชือก" ได้สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5

มันง่ายมากที่จะทำซ้ำวิธีการก่อสร้าง ลองใช้เชือกยาว 12 ม. แล้วผูกแถบสีไว้ที่ระยะ 3 ม. จากปลายด้านหนึ่งและ 4 เมตรจากอีกด้านหนึ่ง มุมฉากจะอยู่ระหว่างด้านยาว 3 ถึง 4 เมตร ชาวฮาร์เปโดเนปเชียนอาจแย้งว่าวิธีการก่อสร้างของพวกเขากลายเป็นสิ่งฟุ่มเฟือยหากมีใครใช้ เช่น ไม้สี่เหลี่ยม ซึ่งช่างไม้ทุกคนใช้ แท้จริงแล้วภาพวาดของอียิปต์เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งพบเครื่องมือดังกล่าวเช่นภาพวาดที่แสดงถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการของช่างไม้

มีคนรู้มากกว่านี้เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งย้อนหลังไปถึงสมัยฮัมมูราบีนั่นคือถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล e. ให้การคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยประมาณ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในเมโสโปเตเมียพวกเขาสามารถคำนวณด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างน้อยก็ในบางกรณี ในอีกด้านหนึ่ง จากระดับความรู้ในปัจจุบันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอียิปต์และบาบิโลน และในอีกด้านหนึ่ง จากการศึกษาเชิงวิพากษ์เกี่ยวกับแหล่งที่มาของกรีก Van der Waerden (นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) ได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:

วรรณกรรม

ในภาษารัสเซีย

• สโกเพตส์ ซี.เอ.เพชรประดับทางเรขาคณิต ม., 1990
• เอเลนสกี้ ชช.ตามรอยพีทาโกรัส ม., 1961
• ฟาน เดอร์ แวร์เดน บี.แอล.วิทยาศาสตร์ตื่นตัว. คณิตศาสตร์ของอียิปต์โบราณ บาบิโลน และกรีซ ม., 1959
• เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ม., 1982
• W. Litzman “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” M. , 1960
  • เว็บไซต์เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก เนื้อหาที่นำมาจากหนังสือของ V. Litzmann จำนวนมากภาพวาดจะถูกนำเสนอในรูปแบบของไฟล์กราฟิกแยกต่างหาก
• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทของพีทาโกรัสมีสามบทจากหนังสือของ D.V. Anosov “ดูคณิตศาสตร์และบางสิ่งบางอย่างจากมัน”
• เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์ G. Glaser นักวิชาการของ Russian Academy of Education, Moscow

เป็นภาษาอังกฤษ

• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ WolframMathWorld
• Cut-The-Knot หัวข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ข้อพิสูจน์ประมาณ 70 ข้อและข้อมูลเพิ่มเติมที่ครอบคลุม (ภาษาอังกฤษ)

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.