วิธีแก้สมการด้านล่างคือ: วิธีการลดลำดับของสมการ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2 มีรูปแบบ:

ผลเฉลยทั่วไปของสมการคือกลุ่มของฟังก์ชันซึ่งขึ้นอยู่กับค่าคงที่ใดๆ สองตัว และ: (หรือ - อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2) ปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2 (1.1) ประกอบด้วยการหาคำตอบเฉพาะของสมการที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น: สำหรับ: , . ควรสังเกตว่ากราฟของการแก้สมการลำดับที่ 2 สามารถตัดกันได้ ต่างจากกราฟของการแก้สมการลำดับที่ 1 อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาคอชีสำหรับสมการอันดับสอง (1.1) ภายใต้สมมติฐานที่ค่อนข้างกว้างสำหรับฟังก์ชันที่รวมอยู่ในสมการนั้นมีลักษณะเฉพาะ กล่าวคือ คำตอบสองข้อใดๆ ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นเหมือนกันจะตรงกันที่จุดตัดของช่วงคำจำกัดความ

เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะได้คำตอบทั่วไปหรือแก้ปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 ในเชิงวิเคราะห์ อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี เป็นไปได้ที่จะลดลำดับของสมการลงโดยการแทนที่หลายๆ แบบ ลองดูกรณีเหล่านี้

1. สมการที่ไม่มีตัวแปรอิสระอย่างชัดเจน

ปล่อยให้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 มีรูปแบบ: เช่น เห็นได้ชัดว่าไม่มีตัวแปรอิสระในสมการ (1.1) นี่ทำให้เราสามารถนำมันเป็นอาร์กิวเมนต์ใหม่ และรับอนุพันธ์อันดับ 1 เป็นฟังก์ชันใหม่ แล้ว.

ดังนั้น สมการลำดับที่ 2 สำหรับฟังก์ชันที่ไม่ได้มีอยู่อย่างชัดเจนจึงลดลงเหลือสมการลำดับที่ 1 สำหรับฟังก์ชัน เมื่อรวมสมการนี้ เราจะได้อินทิกรัลทั่วไป หรือ และนี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 1 สำหรับฟังก์ชัน ในการแก้มัน เราได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ที่กำหนดเองสองตัว:

ตัวอย่างที่ 1. แก้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด: , .

เนื่องจากไม่มีข้อโต้แย้งที่ชัดเจนในสมการดั้งเดิม เราจะถือว่า a เป็นตัวแปรอิสระตัวใหม่และ - สำหรับ จากนั้นสมการจะใช้รูปแบบต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชัน: .

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก: มันจะติดตามที่ไหนเช่น -

เนื่องจาก for และ จากนั้นแทนเงื่อนไขตั้งต้นเป็นความเท่าเทียมกันสุดท้าย เราจึงได้ค่านั้น และ ซึ่งเทียบเท่ากัน ด้วยเหตุนี้ สำหรับฟังก์ชันนี้ เรามีสมการที่มีตัวแปรที่แยกได้ ซึ่งแก้โจทย์ที่เราได้รับ เมื่อใช้เงื่อนไขเริ่มต้น เราจะได้สิ่งนั้น ดังนั้น อินทิกรัลบางส่วนของสมการที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นจะมีรูปแบบดังนี้

2. สมการที่ไม่มีฟังก์ชันที่ต้องการอย่างชัดเจน

ปล่อยให้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 มีรูปแบบ: เช่น สมการไม่ได้รวมฟังก์ชันที่ต้องการไว้อย่างชัดเจน ในกรณีนี้ จะมีการแนะนำคำสั่ง จากนั้นสมการลำดับที่ 2 ของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นสมการลำดับที่ 1 ของฟังก์ชัน เมื่อรวมเข้าด้วยกันแล้วเราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 1 สำหรับฟังก์ชัน: การแก้สมการสุดท้าย เราได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด ขึ้นอยู่กับค่าคงที่สองค่า:

ดังนั้นจึงมีความปรารถนาตามธรรมชาติที่จะลดสมการลำดับที่สูงกว่าสมการลำดับแรกให้เป็นสมการลำดับที่ต่ำกว่า ในบางกรณีสามารถทำได้ มาดูพวกเขากันดีกว่า

1. สมการของรูปแบบ y (n) =f(x) แก้ได้โดยปริพันธ์ตามลำดับ n ครั้ง
, ,… .
ตัวอย่าง. แก้สมการ xy""=1 ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ y"=ln|x| + C 1 และเมื่อรวมเข้าด้วยกันอีกครั้ง ในที่สุดเราก็ได้ y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. ในสมการที่อยู่ในรูปแบบ F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (กล่าวคือ ไม่มีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นอย่างชัดเจน) ลำดับจะลดลงโดยใช้การเปลี่ยนตัวแปร y (k) = z(x) จากนั้น y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) แล้วเราจะได้สมการ F(x,z,z",..,z (n - k)) ของลำดับ n-k วิธีแก้คือฟังก์ชัน z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) หรือเมื่อจำได้ว่า z คืออะไร เราจะได้สมการ y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 , …, C n - k) พิจารณาในกรณีประเภทที่ 1
ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ x 2 y"" = (y") 2. ทำการแทนที่ y"=z(x) . จากนั้น y""=z"(x) เมื่อแทนสมการเดิม เราจะได้ x 2 z"=z 2 เมื่อแยกตัวแปรเราจะได้ บูรณาการเรามี หรือซึ่งก็เหมือนกัน . ความสัมพันธ์สุดท้ายเขียนอยู่ในรูปแบบ จากที่ไหน . บูรณาการในที่สุดเราก็ได้
ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ x 3 y"" +x 2 y"=1 เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร: y"=z; ย""=z"
x 3 z"+x 2 z=1 เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 หรือ u"x 2 -xu+xu=1 หรือ u"x^2=1. จาก: u"=1/x 2 หรือ du/ dx=1/x 2 หรือ u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
เนื่องจาก z=u/x ดังนั้น z = -1/x 2 +c 1 /x เนื่องจาก y"=z ดังนั้น dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2 คำตอบ: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. สมการถัดไปที่สามารถลดตามลำดับได้คือสมการที่อยู่ในรูปแบบ F(y,y",y"",…,y (n))=0 ซึ่งไม่มีตัวแปรอิสระอยู่อย่างชัดเจน ลำดับของ สมการลดลงโดยการแทนที่ตัวแปร y" =p(y) โดยที่ p คือฟังก์ชันใหม่ที่ต้องการขึ้นอยู่กับ y แล้ว
= และอื่นๆ โดยการเหนี่ยวนำ เราได้ y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)) เมื่อแทนสมการดั้งเดิมแล้ว เราจะลดลำดับลงหนึ่ง

ตัวอย่าง. แก้สมการ (y") 2 +2yy""=0 เราทำการแทนที่แบบมาตรฐาน y"=p(y) จากนั้น y″=p′·p เราแทนเข้าไปในสมการได้ การแยกตัวแปรสำหรับ p≠0 เราได้รับ หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน . แล้วหรือ. เมื่อรวมความเสมอภาคสุดท้ายเข้าด้วยกัน ในที่สุดเราก็ได้ เมื่อแยกตัวแปร เราอาจสูญเสียวิธีแก้ปัญหา y=C ซึ่งได้มาสำหรับ p=0 หรือสิ่งที่เหมือนกันสำหรับ y"=0 แต่มีอยู่ในค่าที่ได้รับข้างต้น

4. บางครั้งอาจเป็นไปได้ที่จะสังเกตเห็นคุณลักษณะที่ช่วยให้คุณลดลำดับของสมการลงในลักษณะที่แตกต่างจากที่กล่าวไว้ข้างต้น มาแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.
1. หากทั้งสองข้างของสมการ yy"""=y′y″ หารด้วย yy″ เราจะได้สมการที่สามารถเขียนใหม่ได้เป็น (lny″)′=(lny)′ จากความสัมพันธ์ครั้งล่าสุดจะตามมาว่า lny″=lny +lnC หรือซึ่งเหมือนกัน y″=Cy ผลลัพธ์คือสมการที่มีลำดับความสำคัญต่ำกว่าและเป็นประเภทที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้
2. ในทำนองเดียวกัน สำหรับสมการ yy″=y′(y′+1) เรามี หรือ (ln(y"+1))" = (lny)" จากความสัมพันธ์ครั้งล่าสุดจะได้ว่า ln(y"+ 1) = lny + lnC 1 หรือ y"=C 1 y-1 เมื่อแยกตัวแปรและอินทิเกรต เราจะได้ ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
ตัดสินใจ สมการที่สามารถลดลงตามลำดับได้สามารถใช้บริการพิเศษได้

วิธีหนึ่งในการรวม DE ลำดับที่สูงกว่าคือวิธีการลดลำดับ สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแทนที่ตัวแปร (การทดแทน) DE นี้จะลดลงเป็นสมการที่มีลำดับที่ต่ำกว่า

ให้เราพิจารณาสมการสามประเภทที่อนุญาตให้มีการลดลำดับ

I. ให้สมการได้รับ

ลำดับสามารถลดลงได้โดยการแนะนำฟังก์ชันใหม่ p(x) โดยตั้งค่า y " =p(x) จากนั้น y "" =p " (x) และเราจะได้ลำดับแรก DE: p " =ƒ(x) เมื่อแก้ไขได้แล้วนั่นคือ นั่นคือเมื่อพบฟังก์ชัน p = p (x) เราจะแก้สมการ y " = p (x) ขอให้เราได้คำตอบทั่วไปของสมการที่กำหนด (3.6)

ในทางปฏิบัติ พวกมันทำหน้าที่แตกต่างออกไป: ลำดับจะลดลงโดยตรงโดยการรวมสมการตามลำดับ

เพราะ สมการ (3.6) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ dy " =ƒ(x) dx จากนั้นเมื่อรวมสมการ y "" =ƒ(x) เราจะได้: y " = หรือ y " =j1 (x) + с 1 . นอกจากนี้ เมื่อรวมสมการผลลัพธ์สำหรับ x เราจะพบ: - คำตอบทั่วไปของสมการนี้ จากนั้นเมื่อรวมมันเข้าด้วยกันอย่างต่อเนื่อง n ครั้ง เราจะพบคำตอบทั่วไปของสมการ:

ตัวอย่างที่ 3.1 แก้สมการ

วิธีแก้ปัญหา: เราได้รับการรวมสมการนี้อย่างต่อเนื่องสี่ครั้ง

ให้สมการได้รับ

ให้เราแสดงว่า y " =р โดยที่ р=р(х) เป็นฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จัก จากนั้น y "" =p " และสมการ (3.7) จะอยู่ในรูปแบบ p " =ƒ(х;р) ให้ р=j (х;с 1) คือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 ที่เป็นผลลัพธ์ เมื่อแทนที่ฟังก์ชัน p ด้วย y " เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์: y " =j(х;с 1) พอรวมสมการสุดท้าย (.3.7) ก็จะได้รูปแบบ

กรณีพิเศษของสมการ (3.7) คือสมการ

ซึ่งไม่มีฟังก์ชันที่ต้องการอย่างชัดเจน ดังนั้นลำดับจึงสามารถลดลงได้ k หน่วยโดยตั้งค่า y (k) = p (x) จากนั้น y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) และสมการ (3.9) จะอยู่ในรูปแบบ F(x;p;p " ;... ;p (n-κ) ) )=0. กรณีพิเศษของสมการ (3.9) คือสมการ

การใช้การแทนที่ y (n-1) =p(x), y (n) =p " สมการนี้ลดเหลือ DE ลำดับแรก

ตัวอย่างที่ 3.2 แก้สมการ

วิธีแก้ไข: เราถือว่า y"=p โดยที่ แล้ว นี่คือสมการที่แยกออกจากกัน: เมื่ออินทิเกรตเราจะได้ กลับไปที่ตัวแปรเดิม เราจะได้ y"=c 1 x,

- การแก้สมการทั่วไป

III. พิจารณาสมการ

ซึ่งไม่มีตัวแปรอิสระ x อย่างชัดเจน

เพื่อลดลำดับของสมการ เราขอแนะนำฟังก์ชันใหม่ p=p(y) ขึ้นอยู่กับตัวแปร y โดยตั้งค่า y"=p เราแยกความแตกต่างระหว่างความเท่าเทียมกันนี้ด้วยความเคารพต่อ x โดยคำนึงถึงว่า p =p(y (เอ็กซ์)):

เช่น. ตอนนี้สมการ (3.10) จะถูกเขียนในรูปแบบ

ให้ p=j(y;c 1) เป็นคำตอบทั่วไปของ DE ลำดับแรกนี้ แทนที่ฟังก์ชัน p(y) ด้วย y" เราจะได้ y"=j(y;с 1) - DE พร้อมตัวแปรที่แยกได้ เมื่อรวมเข้าด้วยกัน เราจะพบอินทิกรัลทั่วไปของสมการ (3.10):

กรณีพิเศษของสมการ (3.10) คือสมการเชิงอนุพันธ์

สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การทดแทนที่คล้ายกัน: y " =p(y)

เราทำเช่นเดียวกันเมื่อแก้สมการ F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0 สามารถลดลำดับลงได้หนึ่งโดยการตั้งค่า y"=p โดยที่ p=p(y ). ใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราพบ จากนั้นเราก็พบ

p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y หรือ p=c 1 ey+y แทนที่ p ด้วย y "เราจะได้: y"=c 1 -e y +y การแทนที่ y"=2 และ y=2 ลงในความเท่าเทียมกันนี้ เราจะพบด้วย 1:

2=ค 1 อี 2 +2, ค 1 =0

เรามี y"=y ดังนั้น y=c 2 e x เราพบ c 2 จากเงื่อนไขเริ่มต้น: 2=c 2 e°, c 2 =2 ดังนั้น y=2e x จึงเป็นคำตอบเฉพาะของข้อนี้