ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน
ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ค่าน้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดในบรรดาค่าทั้งหมด
ฟังก์ชันสามารถมีค่าที่ใหญ่ที่สุดได้เพียงค่าเดียวและค่าน้อยที่สุดเพียงค่าเดียวเท่านั้น หรืออาจไม่มีค่าเลยก็ได้ การค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้:
1) หากในช่วงเวลาหนึ่ง (จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) ฟังก์ชัน y=f(x) มีความต่อเนื่องและมีเพียงหนึ่งจุดสุดขั้ว และหากนี่คือค่าสูงสุด (ต่ำสุด) มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน ในช่วงเวลานี้
2) หากฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในบางเซ็กเมนต์ ก็จำเป็นต้องมีค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์นี้ ถึงค่าเหล่านี้ที่จุดปลายสุดซึ่งอยู่ภายในส่วนหรือที่ขอบเขตของส่วนนี้
หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ ขอแนะนำให้ใช้โครงร่างต่อไปนี้:
1. ค้นหาอนุพันธ์
2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันที่มี =0 หรือไม่มีอยู่
3. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์แล้วเลือกค่า f max ที่ใหญ่ที่สุดและค่า f max ที่เล็กที่สุด
เมื่อตัดสินใจ ปัญหาที่ประยุกต์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเพิ่มประสิทธิภาพ สำคัญมีภารกิจในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด (สูงสุดทั่วโลกและต่ำสุดทั่วโลก) ของฟังก์ชันในช่วง X ในการแก้ปัญหาดังกล่าวเราควรเลือกตัวแปรอิสระตามเงื่อนไขและแสดงค่าภายใต้การศึกษาผ่าน ตัวแปรนี้ จากนั้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดที่ต้องการของฟังก์ชันผลลัพธ์ ในกรณีนี้ ช่วงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระซึ่งอาจมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ถูกกำหนดจากเงื่อนไขของปัญหาด้วย
ตัวอย่าง.อ่างเก็บน้ำที่มีรูปร่างเหมือนฝาเปิด เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันด้วยก้นสี่เหลี่ยมคุณต้องดีบุกด้านใน ขนาดของถังควรมีขนาดเท่าใดหากความจุ 108 ลิตร? น้ำเพื่อให้ต้นทุนในการกักเก็บน้อยที่สุด?
สารละลาย.ค่าใช้จ่ายในการเคลือบถังด้วยดีบุกจะน้อยที่สุดหากพื้นที่ผิวของถังมีน้อยตามความจุที่กำหนด ให้เราแสดงด้วย dm ด้านข้างของฐาน b dm ความสูงของถัง แล้วพื้นที่ S ของพื้นผิวจะเท่ากับ
และ
ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ผิวของอ่างเก็บน้ำ S (ฟังก์ชัน) และด้านข้างของฐาน a (อาร์กิวเมนต์) ให้เราตรวจสอบฟังก์ชัน S สำหรับส่วนปลายสุด ลองหาอนุพันธ์ตัวแรก จัดให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการผลลัพธ์:
ดังนั้น a = 6 (a) > 0 สำหรับ a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
ตัวอย่าง- ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา
สารละลาย: ฟังก์ชั่นที่ระบุต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์สำหรับและสำหรับ มาคำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้:
.
ค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากัน ดังนั้น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at
คำถามทดสอบตัวเอง
1. กำหนดกฎของโลปิตาลสำหรับการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม รายการ ประเภทต่างๆความไม่แน่นอนที่สามารถใช้กฎของโลปิตาลได้
2. กำหนดสัญญาณของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน
3. กำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน
4. กำหนด สภาพที่จำเป็นการดำรงอยู่ของสุดขั้ว
5. ค่าใดของอาร์กิวเมนต์ (จุดใด) ที่เรียกว่าวิกฤต? จะหาจุดเหล่านี้ได้อย่างไร?
6. อะไรคือสัญญาณที่เพียงพอของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว? เขียนโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขั้วโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1
7. สรุปโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขีดโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง
8. กำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง
9. จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชันเรียกว่าอะไร? ระบุวิธีการหาจุดเหล่านี้
10. กำหนดสัญญาณที่จำเป็นและเพียงพอของความนูนและความเว้าของเส้นโค้งบน สำหรับ ส่วนนี้.
11. กำหนดเส้นกำกับของเส้นโค้ง วิธีค้นหาแนวตั้ง แนวนอน และ เส้นกำกับเฉียงฟังก์ชั่นกราฟิก?
12. โครงร่าง โครงการทั่วไปค้นคว้าฟังก์ชันและวาดกราฟของมัน
13. กำหนดกฎสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด
และเพื่อแก้ปัญหานี้คุณจะต้องมีความรู้ขั้นต่ำในหัวข้อนี้ อันต่อไปก็จบ ปีการศึกษาทุกคนอยากไปเที่ยวพักผ่อนและเพื่อให้ช่วงเวลานี้ใกล้ชิดยิ่งขึ้นฉันจะเข้าประเด็นทันที:
เริ่มจากพื้นที่กันก่อน พื้นที่ที่อ้างถึงในสภาพคือ จำกัด ปิด ชุดของจุดบนเครื่องบิน ตัวอย่างเช่น เซตของจุดที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมทั้งหมดด้วย (ถ้าจาก เส้นขอบ“แทงออก” อย่างน้อยหนึ่งจุดแล้วจะไม่ปิดภาคอีกต่อไป)- ในทางปฏิบัติ ยังมีพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยม วงกลม และใหญ่กว่าเล็กน้อยอีกด้วย รูปร่างที่ซับซ้อน- ควรสังเกตว่าในทางทฤษฎี การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด ข้อจำกัด ความแตกแยก ขอบเขต ฯลฯแต่ฉันคิดว่าทุกคนตระหนักถึงแนวคิดเหล่านี้ในระดับสัญชาตญาณ และตอนนี้ไม่ต้องการอะไรอีกแล้ว
พื้นที่ราบจะแสดงด้วยตัวอักษรมาตรฐาน และตามกฎแล้วจะถูกระบุเชิงวิเคราะห์ - ด้วยสมการหลายประการ (ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรง)- ความไม่เท่าเทียมกันน้อยลง คำฟุ่มเฟือยทั่วไป: “พื้นที่ปิด ล้อมรอบด้วยเส้น ».
เป็นส่วนสำคัญภารกิจที่เป็นปัญหาคือการสร้างพื้นที่ในรูปวาด วิธีการทำเช่นนี้? คุณต้องวาดเส้นที่แสดงทั้งหมด (in ในกรณีนี้ 3 ตรง) และวิเคราะห์สิ่งที่เกิดขึ้น พื้นที่ที่ค้นหามักจะแรเงาเล็กน้อย และมีเส้นขอบกำกับด้วยเส้นหนา:
สามารถกำหนดพื้นที่เดียวกันได้ อสมการเชิงเส้น: ซึ่งด้วยเหตุผลบางประการมักเขียนเป็นรายการแจกแจงมากกว่า ระบบ.
เนื่องจากเขตแดนเป็นของภูมิภาค แน่นอนว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด หละหลวม.
และตอนนี้สาระสำคัญของงาน ลองนึกภาพว่าแกนออกมาตรงเข้าหาคุณจากจุดกำเนิด พิจารณาฟังก์ชันนั้น อย่างต่อเนื่อง ในแต่ละจุดพื้นที่ กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงถึงบางส่วน พื้นผิวและความสุขเล็กๆ น้อยๆ ก็คือการแก้ปัญหาในปัจจุบันโดยไม่จำเป็นต้องรู้ว่าพื้นผิวนี้เป็นอย่างไร มันสามารถอยู่ในตำแหน่งที่สูงขึ้น, ต่ำลง, ตัดกับระนาบ - ทั้งหมดนี้ไม่สำคัญ และที่สำคัญดังต่อไปนี้ตาม ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส, อย่างต่อเนื่องวี จำกัดปิดพื้นที่ที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุด (“สูงสุด”)และอย่างน้อยที่สุด ("ต่ำสุด")คุณค่าที่จำเป็นต้องค้นหา บรรลุถึงคุณค่าดังกล่าว หรือวี จุดคงที่, ที่เป็นของภูมิภาคดี , หรือณ จุดที่อยู่บริเวณขอบบริเวณนี้ สิ่งนี้นำไปสู่อัลกอริธึมโซลูชันที่เรียบง่ายและโปร่งใส:
ตัวอย่างที่ 1
ในจำนวนจำกัด พื้นที่ปิด
สารละลาย: ก่อนอื่น คุณต้องพรรณนาพื้นที่ในภาพวาด น่าเสียดายที่เป็นเรื่องยากในทางเทคนิคสำหรับฉันที่จะสร้างแบบจำลองเชิงโต้ตอบของปัญหา ดังนั้นฉันจะนำเสนอภาพประกอบขั้นสุดท้ายทันที ซึ่งจะแสดงประเด็นที่ “น่าสงสัย” ทั้งหมดที่พบในระหว่างการวิจัย โดยปกติแล้วจะมีการระบุไว้ตามลำดับเมื่อมีการค้นพบ:
จากคำนำ การตัดสินใจสามารถแบ่งออกเป็นสองประเด็นได้อย่างสะดวก:
I) ค้นหาจุดคงที่ นี่เป็นการกระทำมาตรฐานที่เราทำซ้ำๆ ในชั้นเรียน เกี่ยวกับสุดขั้วของตัวแปรหลายตัว:
พบจุดคงที่ เป็นของพื้นที่: (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด)ซึ่งหมายความว่าเราควรคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด:
- เช่นเดียวกับในบทความ ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์, ผลลัพธ์ที่สำคัญฉันจะเน้น เป็นตัวหนา- สะดวกในการติดตามพวกเขาในสมุดบันทึกด้วยดินสอ
ใส่ใจกับความสุขครั้งที่สองของเรา - ไม่มีประโยชน์ที่จะตรวจสอบ สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว- ทำไม แม้ว่า ณ จุดที่ฟังก์ชันไปถึง เช่น ขั้นต่ำในท้องถิ่นแล้วนี่ไม่ได้หมายความว่าค่าผลลัพธ์จะเป็น น้อยที่สุดทั่วทั้งภูมิภาค (ดูตอนต้นบทเรียน เกี่ยวกับความสุดขั้วที่ไม่มีเงื่อนไข) .
จะทำอย่างไรถ้าจุดหยุดนิ่งไม่อยู่ในพื้นที่? แทบไม่มีอะไรเลย! ควรสังเกตและไปยังจุดถัดไป
II) เราสำรวจขอบเขตของภูมิภาค
เนื่องจากเส้นขอบประกอบด้วยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม จึงสะดวกในการแบ่งการศึกษาออกเป็น 3 ส่วนย่อย แต่อย่าทำเลยจะดีกว่า จากมุมมองของฉัน การพิจารณาส่วนต่างๆ ขนานกันก่อนจะเป็นประโยชน์มากกว่า แกนประสานงานและก่อนอื่นคือพวกที่นอนอยู่บนขวานเอง เพื่อเข้าใจลำดับและตรรกะของการกระทำทั้งหมด ให้ลองศึกษาตอนจบของ "ในลมหายใจเดียว":
1) มาจัดการกับด้านล่างของสามเหลี่ยมกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่โดยตรงในฟังก์ชัน:
หรือคุณสามารถทำเช่นนี้:
ในทางเรขาคณิตนี่หมายความว่า พิกัดเครื่องบิน (ซึ่งได้รับจากสมการด้วย)"แกะสลัก" ออกจาก พื้นผิวพาราโบลา "เชิงพื้นที่" ซึ่งส่วนบนสุดตกอยู่ภายใต้ความสงสัยทันที มาหาคำตอบกัน เธออยู่ที่ไหน:
– ค่าผลลัพธ์ที่ได้ “ตกลง” ลงในพื้นที่ และอาจกลายเป็นว่า ณ จุดนั้นก็ได้ (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด)ฟังก์ชั่นถึงจุดสูงสุดหรือ ค่าต่ำสุดทั่วทั้งภูมิภาค ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เรามาคำนวณกัน:
แน่นอนว่า "ผู้สมัคร" คนอื่นๆ ก็คือจุดสิ้นสุดของกลุ่มนี้ ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดต่างๆ (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด):
โดยวิธีการนี้ คุณสามารถตรวจสอบขนาดเล็กด้วยวาจาโดยใช้เวอร์ชัน "ถอดออก":
2) เพื่อการวิจัย ด้านขวาเราแทนที่สามเหลี่ยมเป็นฟังก์ชันและ "วางสิ่งต่าง ๆ ตามลำดับ":
ที่นี่เราจะทำการตรวจสอบคร่าวๆ ทันที โดย "ส่งเสียง" ส่วนที่ประมวลผลแล้วของเซ็กเมนต์:
, ยอดเยี่ยม.
สถานการณ์ทางเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กัน จุดก่อนหน้า:
– ค่าผลลัพธ์ยัง “เข้ามาอยู่ในขอบเขตที่เราสนใจ” ซึ่งหมายความว่าเราต้องคำนวณว่าฟังก์ชัน ณ จุดที่ปรากฏนั้นเท่ากับเท่าใด:
เรามาตรวจสอบส่วนที่สองของส่วนกัน:
การใช้ฟังก์ชัน เรามาทำการตรวจสอบการควบคุมกัน:
3) ทุกคนคงเดาได้ว่าจะสำรวจด้านที่เหลืออย่างไร เราแทนที่มันลงในฟังก์ชันและดำเนินการลดความซับซ้อน:
จุดสิ้นสุดของส่วน มีการวิจัยมาแล้ว แต่ในร่าง เรายังตรวจสอบว่าเราพบฟังก์ชันถูกต้องหรือไม่ :
– ตรงกับผลลัพธ์ของย่อหน้าย่อยที่ 1
– ตรงกับผลลัพธ์ของย่อหน้าย่อยที่ 2
ยังคงต้องดูว่ามีอะไรน่าสนใจในกลุ่มนี้หรือไม่:
- มี! เมื่อแทนเส้นตรงลงในสมการ เราจะได้พิกัดของ "ความน่าสนใจ" นี้:
เราทำเครื่องหมายจุดบนภาพวาดและค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:
มาตรวจสอบการคำนวณโดยใช้เวอร์ชัน "งบประมาณ" กัน :
, คำสั่ง.
และขั้นตอนสุดท้าย: เราพิจารณาตัวเลข "ตัวหนา" ทั้งหมดอย่างรอบคอบ ฉันขอแนะนำให้ผู้เริ่มต้นสร้างรายการเดียว:
ซึ่งเราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด คำตอบมาเขียนในรูปแบบของปัญหาการหากัน ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์:
ในกรณีที่ฉันจะแสดงความคิดเห็นอีกครั้ง ความหมายทางเรขาคณิตผลลัพธ์:
- นี่คือที่สุด จุดสูงสุดพื้นผิวในพื้นที่ ;
- นี่คือที่สุด จุดต่ำพื้นผิวในพื้นที่
ในงานวิเคราะห์ เราได้ระบุจุด “น่าสงสัย” 7 จุด แต่จำนวนจุดนั้นแตกต่างกันไปในแต่ละงาน สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม "ชุดการวิจัย" ขั้นต่ำประกอบด้วย สามแต้ม- สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อมีการระบุฟังก์ชัน เป็นต้น เครื่องบิน– เป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีจุดที่อยู่นิ่ง และฟังก์ชันสามารถเข้าถึงค่าสูงสุด/ต่ำสุดได้เฉพาะที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเท่านั้น แต่มีตัวอย่างที่คล้ายกันเพียงหนึ่งหรือสองตัวอย่าง โดยปกติแล้วคุณจะต้องจัดการกับตัวอย่างบางส่วนด้วย พื้นผิวลำดับที่ 2.
หากคุณพยายามแก้ไขงานดังกล่าวสักหน่อย สามเหลี่ยมก็อาจทำให้หัวคุณหมุนได้ และนั่นคือเหตุผลที่ฉันเตรียมไว้สำหรับคุณ ตัวอย่างที่ผิดปกติจนกลายเป็นสี่เหลี่ยม :))
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในพื้นที่ปิดที่มีเส้นกั้น
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิดที่จำกัด
เอาใจใส่เป็นพิเศษให้ความสนใจกับลำดับเหตุผลและเทคนิคในการศึกษาขอบเขตของภูมิภาคตลอดจนห่วงโซ่การตรวจสอบระดับกลางซึ่งเกือบจะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณได้เกือบทั้งหมด โดยทั่วไป คุณสามารถแก้ปัญหาได้ตามที่คุณต้องการ แต่ในปัญหาบางอย่าง เช่น ในตัวอย่างที่ 2 มีโอกาสที่จะทำให้ชีวิตของคุณยากขึ้นทุกครั้ง ตัวอย่างโดยประมาณจบงานเมื่อสิ้นสุดบทเรียน
มาจัดระบบอัลกอริธึมการแก้ปัญหากัน ไม่อย่างนั้นด้วยความขยันของฉันในฐานะแมงมุม มันก็หายไปจากความคิดเห็นอันยาวเหยียดของตัวอย่างที่ 1:
– ในขั้นตอนแรก เราสร้างพื้นที่ แนะนำให้แรเงาและเน้นเส้นขอบด้วยเส้นหนา ในระหว่างการแก้ปัญหา จุดที่ต้องทำเครื่องหมายบนภาพวาดจะปรากฏขึ้น
– ค้นหาจุดคงที่และคำนวณค่าของฟังก์ชัน เฉพาะในนั้นเท่านั้นที่เป็นของภูมิภาค เราเน้นค่าผลลัพธ์ในข้อความ (เช่น วงกลมด้วยดินสอ) หากจุดที่อยู่นิ่งไม่ได้เป็นของภูมิภาค เราจะทำเครื่องหมายข้อเท็จจริงนี้ด้วยไอคอนหรือด้วยวาจา ถ้า จุดคงที่ไม่เลยจากนั้นเราก็สรุปเป็นลายลักษณ์อักษรว่าขาดไป จุดนี้ยังไงก็ข้ามไม่ได้!
– เรากำลังสำรวจชายแดนของภูมิภาค ประการแรก การทำความเข้าใจเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัดจะเป็นประโยชน์ (ถ้ามีเลย)- นอกจากนี้เรายังเน้นค่าฟังก์ชันที่คำนวณ ณ จุดที่น่าสงสัย มีการกล่าวมากมายข้างต้นเกี่ยวกับเทคนิคการแก้ปัญหา และอย่างอื่นจะกล่าวถึงด้านล่าง - อ่าน อ่านซ้ำ เจาะลึก!
– จากตัวเลขที่เลือก ให้เลือกค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดแล้วให้คำตอบ บางครั้งมันเกิดขึ้นที่ฟังก์ชันถึงค่าดังกล่าวหลายจุดพร้อมกัน - ในกรณีนี้ จุดทั้งหมดเหล่านี้ควรจะสะท้อนให้เห็นในคำตอบ ยกตัวอย่างว่า และปรากฎว่านี่คือค่าที่น้อยที่สุด จากนั้นเราจะเขียนลงไปว่า
ตัวอย่างสุดท้ายมีไว้สำหรับผู้อื่นโดยเฉพาะ ความคิดที่เป็นประโยชน์ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ ดังนี้
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิด .
ฉันยังคงรักษาสูตรของผู้เขียน ซึ่งให้ภูมิภาคนี้อยู่ในรูปของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เงื่อนไขนี้สามารถเขียนโดยระบบที่เทียบเท่ากันหรือในรูปแบบดั้งเดิมสำหรับปัญหานี้:
ฉันเตือนคุณว่าด้วย ไม่เชิงเส้นเราพบความไม่เท่าเทียมกันใน และหากคุณไม่เข้าใจความหมายทางเรขาคณิตของสัญกรณ์ โปรดอย่ารอช้าและชี้แจงสถานการณ์ในขณะนี้ ;-)
สารละลายเช่นเคย เริ่มต้นด้วยการสร้างพื้นที่ที่แสดงถึง "พื้นรองเท้า" แบบหนึ่ง:
อืม บางครั้งคุณต้องเคี้ยวไม่เพียงแต่หินแกรนิตแห่งวิทยาศาสตร์เท่านั้น...
I) ค้นหาจุดคงที่:
ระบบคือความฝันของคนงี่เง่า :)
จุดที่อยู่นิ่งเป็นของภูมิภาค กล่าวคือ อยู่บนขอบเขต
ไม่เป็นไร... บทเรียนผ่านไปด้วยดี - การดื่มชาที่ถูกต้องหมายถึงอะไร =)
II) เราสำรวจขอบเขตของภูมิภาค เพื่อเป็นการไม่ให้เสียเวลา เรามาเริ่มกันที่แกน x:
1) ถ้า แล้ว
มาดูกันว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ใด:
– ชื่นชมช่วงเวลาดังกล่าว – คุณได้ “ตี” ทันทีจนถึงจุดที่ทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้ว แต่เราก็ยังไม่ลืมที่จะตรวจสอบ:
มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์:
2) ค ด้านล่างลองหา "จุดต่ำสุด" "ในการนั่งครั้งเดียว" - เราแทนที่มันลงในฟังก์ชันโดยไม่มีคอมเพล็กซ์ใด ๆ และเราจะสนใจเฉพาะในส่วนนี้เท่านั้น:
ควบคุม:
สิ่งนี้นำความตื่นเต้นมาสู่การขับขี่ที่น่าเบื่อหน่ายไปตามทางที่มีปุ่มนูน มาหาจุดวิกฤติกัน:
มาตัดสินใจกัน สมการกำลังสองคุณจำอะไรอีกเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ไหม? ...อย่างไรก็ตาม จำไว้ แน่นอน ไม่เช่นนั้นคุณจะไม่อ่านบรรทัดเหล่านี้ =) หากในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้มีการคำนวณใน ทศนิยม(ซึ่งหายากมาก) คนปกติก็รอเราอยู่ที่นี่ เศษส่วนทั่วไป- เราค้นหาราก "X" และใช้สมการเพื่อกำหนดพิกัด "เกม" ที่สอดคล้องกันของคะแนน "ผู้สมัคร":
ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดที่พบ:
ตรวจสอบฟังก์ชั่นด้วยตัวเอง
ตอนนี้เราศึกษาถ้วยรางวัลที่ได้รับอย่างระมัดระวังและจดบันทึก คำตอบ:
เหล่านี้คือ "ผู้สมัคร" เหล่านี้คือ "ผู้สมัคร"!
วิธีแก้ไขด้วยตนเอง:
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาที่เล็กที่สุดและ มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่น ในพื้นที่ปิด
รายการที่มีเครื่องหมายปีกกาจะอ่านได้ดังนี้: “ชุดของจุดเช่นนั้น”
บางครั้งเข้า ตัวอย่างที่คล้ายกันใช้ วิธีตัวคูณลากรองจ์แต่ไม่น่าจะมีความจำเป็นที่จะต้องใช้มันจริงๆ ตัวอย่างเช่นหากให้ฟังก์ชันที่มีพื้นที่ "de" เท่ากันหลังจากแทนที่เข้าไปแล้ว - ด้วยอนุพันธ์จากไม่มีปัญหา; ยิ่งไปกว่านั้น ทุกอย่างถูกวาดเป็น "บรรทัดเดียว" (มีเครื่องหมาย) โดยไม่จำเป็นต้องพิจารณาครึ่งวงกลมบนและล่างแยกกัน แต่แน่นอนว่ายังมีอีกมาก กรณีที่ซับซ้อนโดยที่ไม่มีฟังก์ชันลากรองจ์ (โดยที่ เป็นสมการเดียวกันของวงกลม)มันยากที่จะผ่านไป เช่นเดียวกับที่มันยากที่จะผ่านไปโดยไม่ได้พักผ่อนให้เพียงพอ!
ขอให้ทุกคนมีช่วงเวลาที่ดี แล้วพบกันใหม่ในฤดูกาลหน้า!
แนวทางแก้ไขและคำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2: สารละลาย: ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:
กระบวนการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์นั้นชวนให้นึกถึงการบินที่น่าสนใจรอบวัตถุ (กราฟฟังก์ชัน) ในเฮลิคอปเตอร์ ยิงที่จุดใดจุดหนึ่งจากปืนใหญ่ระยะไกลและเลือกจุดที่พิเศษมาก จากจุดเหล่านี้เพื่อควบคุมช็อต คะแนนจะถูกเลือกด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งและตาม กฎบางอย่าง- ตามกฎเกณฑ์อะไร? เราจะพูดถึงเรื่องนี้ต่อไป
ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] ก็มาถึงส่วนนี้แล้ว น้อยที่สุด และ ค่าสูงสุด - สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งใน จุดสุดขั้วหรือที่ส่วนท้ายของส่วน ดังนั้นจึงต้องหา. น้อยที่สุด และ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ต่อเนื่องตามช่วงเวลา [ ก, ข] คุณต้องคำนวณค่าของมันทั้งหมด จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของส่วน จากนั้นเลือกส่วนที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดจากส่วนเหล่านั้น
ตัวอย่างเช่น คุณต้องการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ฉ(x) บนส่วน [ ก, ข- ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาจุดวิกฤติทั้งหมดที่วางอยู่บน [ ก, ข] .
จุดวิกฤติ เรียกว่าจุดที่ ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้และเธอ อนุพันธ์เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จากนั้นควรคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติ และสุดท้าย เราควรเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ( ฉ(ก) และ ฉ(ข- ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเหล่านี้จะเป็น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] .
ปัญหาในการค้นหา ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด .
เรามองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วนนั้น [-1, 2] .
สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และรับจุดวิกฤติสองจุด: และ . หากต้องการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าที่ส่วนท้ายของส่วนและ ณ จุดนั้นเนื่องจากจุดนั้นไม่ได้อยู่ในส่วน [-1, 2]. ค่าฟังก์ชันเหล่านี้คือ: , , . สืบต่อจากนี้ไปว่า ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด(แสดงด้วยสีแดงบนกราฟด้านล่าง) เท่ากับ -7 ทำได้ที่ด้านขวาสุดของส่วน - ที่จุด และ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด(บนกราฟยังเป็นสีแดง) เท่ากับ 9 - ที่จุดวิกฤติ
ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งและช่วงเวลานี้ไม่ใช่เซ็กเมนต์ (แต่คือ ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลา ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและเซ็กเมนต์: จุดขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา แต่ จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์จะรวมอยู่ในเซ็กเมนต์) จากนั้นในบรรดาค่าของฟังก์ชันอาจไม่มีค่าน้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แสดงในรูปด้านล่างจะต่อเนื่องกันที่ ]-∞, +∞[ และไม่มีค่าที่มากที่สุด
อย่างไรก็ตาม สำหรับช่วงเวลาใดๆ (ปิด เปิด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องต่อไปนี้จะเป็นจริง
ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วนนั้น [-1, 3] .
สารละลาย. เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เป็นอนุพันธ์ของผลหาร:
.
เราเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่งแก่เรา: มันอยู่ในส่วน [-1, 3] ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:
ลองเปรียบเทียบค่าเหล่านี้กัน สรุป: เท่ากับ -5/13 ณ จุดและ มูลค่าสูงสุดเท่ากับ 1 ที่จุด
เรายังคงมองหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันด้วยกัน
มีครูบางคนในหัวข้อการหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน อย่ายกตัวอย่างให้นักเรียนแก้โจทย์ที่ซับซ้อนกว่าที่เพิ่งพูดถึงไป นั่นก็คือค่าที่ฟังก์ชันเป็นพหุนามหรือ a เศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนาม แต่เราจะไม่ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงตัวอย่างดังกล่าวเนื่องจากในหมู่ครูมีคนที่ชอบบังคับให้นักเรียนคิดให้ครบถ้วน (ตารางอนุพันธ์) ดังนั้นจะใช้ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติ
ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วนนั้น .
สารละลาย. เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้เป็น อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ :
เราถือเอาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ ซึ่งให้จุดวิกฤติจุดหนึ่ง: มันอยู่ในส่วน ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:
ผลลัพธ์ของการกระทำทั้งหมด: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้วเท่ากับ 0 ณ จุด และ ณ จุด และ มูลค่าสูงสุด, เท่ากัน จ² ณ จุดนั้น
ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วนนั้น .
สารละลาย. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:
เราถือเอาอนุพันธ์เป็นศูนย์:
จุดวิกฤติเพียงจุดเดียวที่เป็นของกลุ่ม ในการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด เราจะค้นหาค่าที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดวิกฤติที่พบ:
บทสรุป: ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดแล้ว, เท่ากับ , ณ จุด และ มูลค่าสูงสุดเท่ากัน ณ จุดนั้น
ในปัญหาสุดขั้วที่ใช้ ตามกฎแล้วการค้นหาค่าที่เล็กที่สุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันจะลดลงเพื่อค้นหาค่าต่ำสุด (สูงสุด) แต่ไม่ใช่ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดที่น่าสนใจในทางปฏิบัติมากกว่า แต่เป็นคุณค่าของการโต้แย้งที่พวกเขาบรรลุผล เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นแล้ว ความยากลำบากเพิ่มเติม- การรวบรวมฟังก์ชันที่บรรยายปรากฏการณ์หรือกระบวนการที่กำลังพิจารณา
ตัวอย่างที่ 8อ่างเก็บน้ำที่มีความจุ 4 มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย ฐานสี่เหลี่ยมและเปิดที่ด้านบนคุณต้องเอาดีบุกออก ขนาดของถังจึงควรเป็นเท่าใด จำนวนน้อยที่สุดวัสดุ?
สารละลาย. อนุญาต x- ด้านฐาน ชม.- ความสูงของถัง ส- พื้นที่ผิวไม่มีสิ่งปกคลุม วี- ปริมาณของมัน พื้นที่ผิวของถังแสดงโดยสูตรเช่น เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เพื่อแสดงออก สเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า จากที่ไหน . แทนที่นิพจน์ที่พบ ชม.ลงในสูตรสำหรับ ส:
ลองตรวจสอบฟังก์ชันนี้จนถึงจุดสุดขั้วกัน มันถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ใน ]0, +∞[ และ
.
เราถืออนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ () และค้นหาจุดวิกฤติ นอกจากนี้ เมื่อไม่มีอนุพันธ์อยู่ แต่ค่านี้ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้ นี่เป็นจุดวิกฤติเพียงจุดเดียว ลองตรวจสอบดูว่ามีสุดขั้วหรือไม่โดยใช้เครื่องหมายเพียงพออันที่สอง ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน เมื่ออนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ () ซึ่งหมายความว่าเมื่อฟังก์ชันถึงจุดต่ำสุดแล้ว - ตั้งแต่นี้เป็นต้นมา ค่าต่ำสุดคือค่าสูงสุดเพียงค่าเดียวของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุด- ดังนั้นด้านข้างของฐานถังควรเป็น 2 ม. และความสูงควรเป็น .
ตัวอย่างที่ 9จากจุด กตั้งอยู่บนเส้นทางรถไฟถึงจุดนั้น กับซึ่งอยู่ห่างจากที่นั่น ลจะต้องขนส่งสินค้า ค่าใช้จ่ายในการขนส่งหน่วยน้ำหนักต่อหน่วยระยะทางโดยทางรถไฟเท่ากับ และทางทางหลวงเท่ากับ ถึงจุดไหน มเส้น ทางรถไฟควรสร้างทางหลวงเพื่อขนส่งสินค้า กวี กับประหยัดที่สุด (มาตรา เอบีทางรถไฟถือว่าตรง)?
อัลกอริธึมมาตรฐานสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวหลังจากค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันแล้ว จะต้องกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ตามช่วงเวลา จากนั้นจึงคำนวณค่าที่จุดสูงสุด (หรือต่ำสุด) ที่พบ และที่ขอบเขตของช่วงเวลา ขึ้นอยู่กับคำถามที่อยู่ในเงื่อนไข
ฉันแนะนำให้คุณทำสิ่งที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ทำไม ฉันเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้
ฉันแนะนำให้แก้ไขปัญหาดังกล่าว ดังต่อไปนี้:
1. ค้นหาอนุพันธ์
2. ค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์
3. พิจารณาว่าอันไหนเป็นของพวกเขา ช่วงเวลานี้.
4. เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ขอบเขตของช่วงเวลาและจุดของขั้นตอนที่ 3
5. เราได้ข้อสรุป (ตอบคำถามที่ถูกวาง)
ในขณะที่แก้ตัวอย่างที่นำเสนอนั้น ไม่ได้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียด สมการกำลังสองคุณต้องสามารถทำเช่นนี้ได้ พวกเขาควรรู้ด้วย
ลองดูตัวอย่าง:
77422. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y=x 3 –3x+4 บนเซ็กเมนต์ [–2;0]
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:
จุด x = –1 อยู่ในช่วงที่ระบุในเงื่อนไข
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด –2, –1 และ 0:
ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือ 6
คำตอบ: 6
77425. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x 2 + 2 บนเซ็กเมนต์
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:
จุด x = 2 เป็นของช่วงที่ระบุในเงื่อนไข
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 1, 2 และ 4:
ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ –2
คำตอบ: –2
77426. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 6x 2 บนเซ็กเมนต์ [–3;3]
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:
ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีจุด x = 0
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด –3, 0 และ 3:
ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ 0
คำตอบ: 0
77429. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 2x 2 + x +3 บนเซกเมนต์
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
3x 2 – 4x + 1 = 0
เราได้ราก: x 1 = 1 x 1 = 1/3
ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีเพียง x = 1
มาหาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 1 และ 4:
เราพบว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ 3
คำตอบ: 3
77430. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 + 2x 2 + x + 3 บนเซ็กเมนต์ [– 4; –1]
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์แล้วแก้สมการกำลังสอง:
3x 2 + 4x + 1 = 0
มารับรากกันเถอะ:
ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขประกอบด้วยราก x = –1
เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด –4, –1, –1/3 และ 1:
เราพบว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ 3
คำตอบ: 3
77433. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – x 2 – 40x +3 บนเซ็กเมนต์
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
มาหาศูนย์ของอนุพันธ์แล้วแก้สมการกำลังสอง:
3x 2 – 2x – 40 = 0
มารับรากกันเถอะ:
ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีราก x = 4
ค้นหาค่าฟังก์ชันที่จุดที่ 0 และ 4:
เราพบว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ –109
คำตอบ: –109
ลองพิจารณาวิธีกำหนดค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดโดยไม่มีอนุพันธ์ วิธีนี้สามารถใช้ได้หากคุณมี ปัญหาใหญ่- หลักการนั้นง่าย - เราแทนที่ค่าจำนวนเต็มทั้งหมดจากช่วงเวลาลงในฟังก์ชัน (ความจริงก็คือในต้นแบบดังกล่าวทั้งหมดคำตอบคือจำนวนเต็ม)
77437. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=7+12x–x 3 บนเซ็กเมนต์ [–2;2]
คะแนนทดแทนจาก –2 ถึง 2: ดูโซลูชัน
77434. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 บนเซ็กเมนต์ [–2;0]
นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!
ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh
ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก
บ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน ตอนนี้เราจะบอกวิธีการทำเช่นนี้
วิธีค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน: คำแนะนำ
- เพื่อคำนวณค่าที่น้อยที่สุด ฟังก์ชั่นต่อเนื่องในส่วนที่กำหนด คุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมนี้:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
- ค้นหาจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์รวมถึงจุดวิกฤตทั้งหมดในส่วนที่กำหนด จากนั้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ นั่นคือ แก้สมการโดยที่ x เท่ากับศูนย์ ค้นหาว่าค่าใดมีค่าน้อยที่สุด
- พิจารณาว่าฟังก์ชันมีค่าเท่าใด จุดสิ้นสุด- กำหนดค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้
- เปรียบเทียบข้อมูลที่ได้รับกับค่าต่ำสุด จำนวนผลลัพธ์ที่น้อยกว่าจะเป็นค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน
โปรดทราบว่าหากไม่มีฟังก์ชันในส่วนใดส่วนหนึ่ง จุดที่เล็กที่สุดซึ่งหมายความว่าในส่วนที่กำหนดจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง ดังนั้น ควรคำนวณค่าที่น้อยที่สุดบนเซกเมนต์จำกัดของฟังก์ชัน
ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันจะคำนวณตามอัลกอริทึมที่ระบุ ในแต่ละจุดของอัลกอริทึม คุณจะต้องแก้โจทย์ง่ายๆ สมการเชิงเส้นมีรากเดียว แก้สมการโดยใช้รูปภาพเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด
จะหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซกเมนต์ที่เปิดเพียงครึ่งเดียวได้อย่างไร? ในช่วงครึ่งเปิดหรือเปิดของฟังก์ชัน ควรหาค่าที่น้อยที่สุดดังนี้ ที่จุดสิ้นสุดของค่าฟังก์ชัน ให้คำนวณขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้แก้สมการที่กำหนดจุดมีแนวโน้มโดยค่า a+0 และ b+0 โดยที่ a และ b เป็นชื่อ จุดวิกฤติ.
ตอนนี้คุณรู้วิธีหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันแล้ว สิ่งสำคัญคือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้องแม่นยำและไม่มีข้อผิดพลาด