จำนวนเชิงซ้อนเศษส่วน จำนวนเชิงซ้อน

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

สถาบันการศึกษาของรัฐ

การศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

"มหาวิทยาลัยการสอนของรัฐ VORONEZH"

ภาควิชา AGLEBRA และเรขาคณิต

จำนวนเชิงซ้อน

(งานที่เลือก)

งานวุฒิการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา

พิเศษ 050201.65 คณิตศาสตร์

(มีความพิเศษเพิ่มเติม 050202.65 วิทยาการคอมพิวเตอร์)

เสร็จสิ้นโดย: นักศึกษาชั้นปีที่ 5

กายภาพและคณิตศาสตร์

คณะ

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:

โวโรเนซ – 2008

1. บทนำ……………………………………………………...…………..…

2. จำนวนเชิงซ้อน (ปัญหาที่เลือก)

2.1. จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต….……...……….….

2.2. การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน…………..…

2.3. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

2.4. การประยุกต์ทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อนกับการแก้สมการระดับที่ 3 และ 4 ……..……………………………………………………………

2.5. จำนวนเชิงซ้อนและพารามิเตอร์…………………………………...….

3. บทสรุป……………………………………………………………………

4. รายการอ้างอิง………………….………………......

1. บทนำ

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน มีการใช้ทฤษฎีจำนวนโดยใช้ตัวอย่างเซตของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ ตรรกยะ เช่น บนเซตของจำนวนจริงซึ่งมีรูปภาพเต็มเส้นจำนวนทั้งหมด แต่แล้วในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จำนวนจริงมีจำนวนไม่เพียงพอ การแก้สมการกำลังสองด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเติมสต๊อกของจำนวนจริงด้วยความช่วยเหลือของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งรากที่สองของจำนวนลบก็สมเหตุสมผล

การเลือกหัวข้อ "จำนวนเชิงซ้อน" เป็นหัวข้อของงานคุณสมบัติขั้นสุดท้ายของฉันคือแนวคิดของจำนวนเชิงซ้อนจะขยายความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับระบบตัวเลขเกี่ยวกับการแก้ปัญหาในวงกว้างทั้งเนื้อหาเกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิตเกี่ยวกับการแก้พีชคณิต สมการทุกระดับและเกี่ยวกับการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์

วิทยานิพนธ์นี้จะศึกษาวิธีแก้ปัญหา 82 ข้อ

ส่วนแรกของส่วนหลัก “จำนวนเชิงซ้อน” กล่าวถึงการแก้ปัญหาจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต กำหนดการดำเนินการของการบวก ลบ คูณ หาร การดำเนินการผันคำกริยาสำหรับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต พลังของหน่วยจินตภาพ โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน และยังกำหนดกฎการแยกรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนด้วย

ในส่วนที่สอง ปัญหาในการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนในรูปของจุดหรือเวกเตอร์ของระนาบเชิงซ้อนได้รับการแก้ไขแล้ว

ส่วนที่สามจะตรวจสอบการดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ สูตรที่ใช้คือ Moivre และการแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน

ส่วนที่สี่อุทิศให้กับการแก้สมการขององศาที่ 3 และ 4

เมื่อแก้ไขปัญหาในส่วนสุดท้าย “จำนวนเชิงซ้อนและพารามิเตอร์” ข้อมูลที่ให้ไว้ในส่วนก่อนหน้าจะถูกใช้และรวมเข้าด้วยกัน ชุดปัญหาในบทนี้เน้นไปที่การกำหนดตระกูลของเส้นตรงในระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดโดยสมการ (อสมการ) ด้วยพารามิเตอร์ ในส่วนหนึ่งของแบบฝึกหัด คุณต้องแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ (เหนือฟิลด์ C) มีงานที่ตัวแปรที่ซับซ้อนตรงตามเงื่อนไขหลายประการพร้อมกัน คุณสมบัติพิเศษของการแก้ปัญหาในส่วนนี้คือการลดปัญหาหลายอย่างไปสู่การแก้สมการ (อสมการ, ระบบ) ของระดับที่สอง, ไม่ลงตัว, ตรีโกณมิติพร้อมพารามิเตอร์

คุณลักษณะของการนำเสนอเนื้อหาในแต่ละส่วนคือการแนะนำเบื้องต้นของรากฐานทางทฤษฎีและต่อมาการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในการแก้ปัญหา

ในตอนท้ายของวิทยานิพนธ์จะมีรายการเอกสารอ้างอิงที่ใช้ ส่วนใหญ่นำเสนอเนื้อหาทางทฤษฎีในรายละเอียดเพียงพอและในลักษณะที่เข้าถึงได้ อภิปรายการวิธีแก้ปัญหาบางอย่าง และมอบหมายงานภาคปฏิบัติเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษกับแหล่งข้อมูลเช่น:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. จำนวนเชิงซ้อนและการประยุกต์: หนังสือเรียน - เนื้อหาในตำราเรียนนำเสนอในรูปแบบการบรรยายและแบบฝึกหัดภาคปฏิบัติ

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. ปัญหาและทฤษฎีบทเฉพาะของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา เลขคณิตและพีชคณิต หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยโจทย์ 320 ข้อที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิต เลขคณิต และทฤษฎีจำนวน งานเหล่านี้แตกต่างอย่างมากจากงานมาตรฐานของโรงเรียน

2. จำนวนเชิงซ้อน (ปัญหาที่เลือก)

2.1. จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

การแก้ปัญหาต่างๆ ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์นั้นอยู่ที่การแก้สมการพีชคณิต เช่น สมการของแบบฟอร์ม

,

โดยที่ a0, a1, …, an เป็นจำนวนจริง ดังนั้นการศึกษาสมการพีชคณิตจึงเป็นประเด็นที่สำคัญที่สุดประเด็นหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่มีการแบ่งแยกเป็นลบไม่มีรากที่แท้จริง สมการที่ง่ายที่สุดคือสมการ

.

เพื่อให้สมการนี้มีคำตอบได้ จำเป็นต้องขยายเซตของจำนวนจริงโดยบวกรากของสมการลงไป

.

ให้เราแสดงถึงรากนี้ด้วย

- ดังนั้นตามคำนิยามหรือ

เพราะฉะนั้น,

- เรียกว่าหน่วยจินตภาพ ด้วยความช่วยเหลือและความช่วยเหลือของจำนวนจริงคู่หนึ่ง จึงมีการรวบรวมการแสดงออกของแบบฟอร์ม

ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนเนื่องจากมีทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

จำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นนิพจน์ของแบบฟอร์ม

และเป็นจำนวนจริงและเป็นสัญลักษณ์บางอย่างที่ตรงตามเงื่อนไข จำนวนนี้เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และจำนวนนั้นเป็นส่วนจินตภาพ สัญลักษณ์ ใช้เพื่อแสดงถึงพวกเขา

จำนวนเชิงซ้อนของแบบฟอร์ม

เป็นจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงมีเซตของจำนวนจริง

จำนวนเชิงซ้อนของแบบฟอร์ม

เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ จำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่อยู่ในรูปแบบ และกล่าวกันว่าเท่ากันหากส่วนจริงและจินตภาพของพวกมันเท่ากัน นั่นคือ ถ้าความเท่าเทียมกัน , .

สัญกรณ์พีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนช่วยให้ดำเนินการได้ตามกฎปกติของพีชคณิต

ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว

และเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว

ในการแก้ปัญหาจำนวนเชิงซ้อน คุณต้องเข้าใจคำจำกัดความพื้นฐานก่อน เป้าหมายหลักของบทความทบทวนนี้คือเพื่ออธิบายว่าจำนวนเชิงซ้อนคืออะไรและนำเสนอวิธีการแก้ไขปัญหาพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนจึงเรียกว่าจำนวนในรูปแบบ z = ก + ไบ, ที่ไหน ก, ข- จำนวนจริงซึ่งเรียกว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับและแสดงถึง ก = เรื่อง(z), b=ฉัน(z).
ฉันเรียกว่าหน่วยจินตภาพ ฉัน 2 = -1- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนจริงใดๆ ถือว่าซับซ้อนได้: ก = ก + 0iโดยที่ a มีจริง ถ้า ก = 0และ ข ≠ 0แล้วจำนวนนั้นมักจะเรียกว่าจินตภาพล้วนๆ

ตอนนี้ เรามาแนะนำการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนกันดีกว่า
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 = ก 1 + ข 1 ผมและ z 2 = ก 2 + ข 2 ผม.

ลองพิจารณาดู z = ก + ไบ.

เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะขยายเซตของจำนวนจริง ซึ่งจะขยายเซตของจำนวนตรรกยะ เป็นต้น ห่วงโซ่การลงทุนนี้สามารถเห็นได้ในรูป: N – ตัวเลขธรรมชาติ, Z – จำนวนเต็ม, Q – ตรรกยะ, R – จำนวนจริง, C – เชิงซ้อน

การแสดงจำนวนเชิงซ้อน

สัญกรณ์พีชคณิต

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน z = ก + ไบการเขียนจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบนี้เรียกว่า พีชคณิต- เราได้พูดถึงรูปแบบการบันทึกนี้โดยละเอียดแล้วในส่วนที่แล้ว การวาดภาพด้วยภาพต่อไปนี้ใช้ค่อนข้างบ่อย

แบบฟอร์มตรีโกณมิติ

จากรูปจะเห็นได้ว่าตัวเลขนั้น z = ก + ไบสามารถเขียนได้แตกต่างกัน เห็นได้ชัดว่า ก = rcos(φ), ข = rsin(φ), r=|z|, เพราะฉะนั้น z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน การแทนจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกว่า แบบฟอร์มตรีโกณมิติ- รูปแบบตรีโกณมิติของสัญกรณ์บางครั้งก็สะดวกมาก ตัวอย่างเช่น สะดวกที่จะใช้มันเพื่อเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นจำนวนเต็มยกกำลัง กล่าวคือ ถ้า z = rcos(φ) + rsin(φ)i, ที่ z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)iสูตรนี้มีชื่อว่า สูตรมูฟวร์.

แบบฟอร์มสาธิต

ลองพิจารณาดู z = rcos(φ) + rsin(φ)i- จำนวนเชิงซ้อนในรูปตรีโกณมิติให้เขียนอีกรูปหนึ่ง z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = ใหม่ iφความเสมอภาคสุดท้ายตามมาจากสูตรของออยเลอร์ ดังนั้นเราจึงได้รูปแบบใหม่ของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน: z = เรย์φ, ซึ่งถูกเรียกว่า บ่งชี้- สัญลักษณ์รูปแบบนี้ยังสะดวกมากในการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นกำลัง: z n = r n e ในφ, ที่นี่ nไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม แต่อาจเป็นจำนวนจริงใดก็ได้ สัญกรณ์รูปแบบนี้มักใช้ในการแก้ปัญหา

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตชั้นสูง

ลองจินตนาการว่าเรามีสมการกำลังสอง x 2 + x + 1 = 0 แน่นอนว่าการแบ่งแยกสมการนี้เป็นลบและไม่มีรากที่แท้จริง แต่ปรากฎว่าสมการนี้มีรากที่ซับซ้อนต่างกันสองราก ดังนั้น ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตที่สูงกว่าระบุว่าพหุนามใดๆ ของดีกรี n มีรากที่ซับซ้อนอย่างน้อยหนึ่งอัน จากนี้ไปพบว่าพหุนามใดๆ ของดีกรี n มีรากที่ซับซ้อน n พอดี โดยคำนึงถึงความหลากหลายด้วย ทฤษฎีบทนี้เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์และมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ข้อพิสูจน์ง่ายๆ ของทฤษฎีบทนี้คือว่าระดับ n ของเอกภาพมีรากที่แตกต่างกัน n ประการ

ประเภทงานหลัก

ในส่วนนี้จะกล่าวถึงประเภทหลักของปัญหาง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน ตามอัตภาพ ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ได้ดังต่อไปนี้

• การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับจำนวนเชิงซ้อน
• การค้นหารากของพหุนามในจำนวนเชิงซ้อน
• การยกจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นกำลัง
• การแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อน
• การใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อแก้ปัญหาอื่นๆ

ตอนนี้เรามาดูวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาเหล่านี้

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดที่มีจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎที่อธิบายไว้ในส่วนแรก แต่ถ้าจำนวนเชิงซ้อนแสดงในรูปแบบตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลัง ในกรณีนี้ คุณสามารถแปลงเป็นรูปแบบพีชคณิตและดำเนินการตามกฎที่ทราบได้

การค้นหารากของพหุนามมักจะมาจากการค้นหารากของสมการกำลังสอง สมมติว่าเรามีสมการกำลังสอง หากการแบ่งแยกของสมการไม่เป็นลบ รากของมันจะเป็นจำนวนจริงและสามารถพบได้ตามสูตรที่รู้จักกันดี หากการเลือกปฏิบัติเป็นลบนั่นคือ D = -1∙a 2, ที่ไหน กเป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง ดังนั้นค่าจำแนกสามารถแสดงเป็นได้ ด = (เอีย) 2, เพราะฉะนั้น √D = ผม|ก|จากนั้นคุณสามารถใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้วในการหารากของสมการกำลังสองได้

ตัวอย่าง- ลองกลับไปที่สมการกำลังสองที่กล่าวถึงข้างต้น x 2 + x + 1 = 0
จำแนก - ง = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
ตอนนี้เราสามารถค้นหารากได้อย่างง่ายดาย:

การยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้หลายวิธี หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตให้เป็นยกกำลังน้อย (2 หรือ 3) คุณสามารถทำได้โดยการคูณโดยตรง แต่ถ้ายกกำลังมากกว่า (ในปัญหา มักจะใหญ่กว่านี้มาก) คุณจำเป็นต้อง เขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลังและใช้วิธีการที่ทราบอยู่แล้ว

ตัวอย่าง- พิจารณา z = 1 + i แล้วยกกำลังสิบ
ลองเขียน z ในรูปแบบเลขชี้กำลัง: z = √2 e iπ/4
แล้ว z 10 = (√2 อี iπ/4) 10 = 32 อี 10iπ/4.
กลับไปสู่รูปแบบพีชคณิต: z 10 = -32i

การแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง ดังนั้นจึงดำเนินการในลักษณะเดียวกัน หากต้องการแยกราก มักใช้รูปแบบการเขียนเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง- มาหารากของเอกภาพระดับ 3 ทั้งหมดกัน ในการทำเช่นนี้ เราจะค้นหารากทั้งหมดของสมการ z 3 = 1 เราจะค้นหารากในรูปแบบเลขชี้กำลัง
ลองแทนลงในสมการ: r 3 e 3iφ = 1 หรือ r 3 e 3iφ = e 0
ดังนั้น: r = 1, 3φ = 0 + 2πk ดังนั้น φ = 2πk/3
จะได้รากที่แตกต่างกันที่ φ = 0, 2π/3, 4π/3
ดังนั้น 1, e i2π/3, e i4π/3 จึงเป็นราก
หรือในรูปแบบพีชคณิต:

ปัญหาประเภทสุดท้ายประกอบด้วยปัญหาที่หลากหลายมากและไม่มีวิธีการทั่วไปในการแก้ไขปัญหาเหล่านั้น ลองยกตัวอย่างง่ายๆ ของงานดังกล่าว:

หาจำนวนเงิน บาป(x) + บาป(2x) + บาป(2x) + … + บาป(nx).

แม้ว่าการกำหนดปัญหานี้จะไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน แต่ก็สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายด้วยความช่วยเหลือ เพื่อแก้ปัญหานี้ จะใช้การนำเสนอต่อไปนี้:


หากตอนนี้เราแทนค่านี้ลงในผลรวม ปัญหาก็จะลดลงจนกลายเป็นผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามปกติ

บทสรุป

จำนวนเชิงซ้อนมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ บทความทบทวนนี้ตรวจสอบการดำเนินการพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อน อธิบายปัญหามาตรฐานหลายประเภท และอธิบายวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาโดยย่อ เพื่อศึกษาความสามารถของจำนวนเชิงซ้อนโดยละเอียดยิ่งขึ้น ใช้วรรณกรรมเฉพาะทาง

วรรณกรรม

จำนวนเชิงซ้อนคือส่วนขยายขั้นต่ำของเซตของจำนวนจริงที่เราคุ้นเคย ความแตกต่างพื้นฐานคือองค์ประกอบปรากฏที่ให้ -1 เมื่อยกกำลังสอง เช่น ฉัน หรือ .

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ ประกอบด้วยสองส่วน: จริงและจินตนาการ:

ดังนั้นจึงชัดเจนว่าเซตของจำนวนจริงเกิดขึ้นพร้อมกับเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์

โมเดลที่นิยมมากที่สุดสำหรับเซตจำนวนเชิงซ้อนคือระนาบธรรมดา พิกัดแรกของแต่ละจุดจะเป็นส่วนจริงของมัน และพิกัดที่สองจะเป็นส่วนจินตภาพของมัน จากนั้นบทบาทของจำนวนเชิงซ้อนนั้นจะเป็นเวกเตอร์โดยมีจุดเริ่มต้นที่จุด (0,0)

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน

ที่จริงแล้ว หากเราคำนึงถึงแบบจำลองของเซตของจำนวนเชิงซ้อน จะเห็นได้ชัดว่าการบวก (การลบ) และการคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับการดำเนินการที่สอดคล้องกันกับเวกเตอร์ ยิ่งกว่านั้น เราหมายถึงผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ เพราะผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้ก็คือเวกเตอร์อีกครั้ง

1.1 การเพิ่ม

(อย่างที่คุณเห็น การดำเนินการนี้สอดคล้องกันทุกประการ)

1.2 การลบในทำนองเดียวกัน ผลิตขึ้นตามกฎต่อไปนี้:

2. การคูณ

3. กอง.

นิยามง่ายๆ ว่าเป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ

แบบฟอร์มตรีโกณมิติ

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z คือปริมาณต่อไปนี้:

,

แน่นอนว่า นี่เป็นเพียงโมดูลัส (ความยาว) ของเวกเตอร์ (a,b) อีกครั้ง

ส่วนใหญ่แล้วโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงเป็น ρ.

ปรากฎว่า

z = ρ(คอสφ+ไอซินφ).

ต่อไปนี้โดยตรงจากรูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน: สูตร :

สูตรสุดท้ายเรียกว่า สูตรมูฟวร์. สูตรที่ได้มาจากมันโดยตรง รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน:

จึงมีรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z

§ 1. จำนวนเชิงซ้อน: คำจำกัดความ การตีความทางเรขาคณิต การกระทำในรูปแบบพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง

คำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อน

ความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบพีชคณิตและตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

สูตรของออยเลอร์

§ 2. ฟังก์ชันทั้งหมด (พหุนาม) และคุณสมบัติพื้นฐาน การแก้สมการพีชคณิตบนเซตของจำนวนเชิงซ้อน

นิยามของสมการพีชคณิตระดับ th

คุณสมบัติพื้นฐานของพหุนาม

ตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตบนเซตจำนวนเชิงซ้อน

คำถามทดสอบตัวเอง

อภิธานศัพท์

§ 1. จำนวนเชิงซ้อน: คำจำกัดความ การตีความทางเรขาคณิต การกระทำในรูปแบบพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง

คำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อน ( บอกนิยามของจำนวนเชิงซ้อน)

จำนวนเชิงซ้อน z คือนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้:

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต (1)

โดยที่ x ย Î;

- จำนวนคอนจูเกตที่ซับซ้อน หมายเลข z ;

- หมายเลขตรงข้าม หมายเลข z ;

- ศูนย์ที่ซับซ้อน ;

– นี่คือวิธีการแสดงเซตของจำนวนเชิงซ้อน

1)z = 1 + ฉันÞ เรื่อง z= 1, ฉัน z = 1, = 1 – ฉัน, = –1 – ฉัน ;

2)z = –1 + ฉันÞ เรื่อง z= –1, ฉัน z = , = –1 – ฉัน, = –1 –ฉัน ;

3)z = 5 + 0ฉัน= 5 Þ เรื่อง z= 5 อิ่ม z = 0, = 5 – 0ฉัน = 5, = –5 – 0ฉัน = –5

Þ ถ้าฉันเป็น z= 0 แล้ว z = x- เบอร์จริง;

4)z = 0 + 3ฉัน = 3ฉันÞ เรื่อง z= 0 ฉัน z = 3, = 0 – 3ฉัน = –3ฉัน , = –0 – 3ฉัน = – 3ฉัน

Þ ถ้า Re z= 0 แล้ว z = ฉัน - จำนวนจินตภาพล้วนๆ.

ความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน (กำหนดความหมายของความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน)

1) ;

2) .

ความเท่าเทียมกันเชิงซ้อนหนึ่งค่านั้นเทียบเท่ากับระบบที่มีความเท่าเทียมกันจริงสองค่า ความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเหล่านี้ได้มาจากความเท่าเทียมกันเชิงซ้อนโดยการแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

1) ;

2) .

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ( การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?)

จำนวนเชิงซ้อน zแสดงด้วยจุด ( x , ย) บนระนาบเชิงซ้อนหรือเวกเตอร์รัศมีของจุดนี้

เข้าสู่ระบบ zในไตรมาสที่ 2 หมายความว่าจะใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นระนาบเชิงซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ( โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?)

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

.(2)

ในเชิงเรขาคณิต โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของเวกเตอร์ที่แทนตัวเลข zหรือรัศมีเชิงขั้วของจุด ( x , ย).

วาดตัวเลขต่อไปนี้บนระนาบเชิงซ้อนแล้วเขียนในรูปตรีโกณมิติ

1)z = 1 + ฉัน Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

นั่นคือสำหรับ z = 0 มันจะเป็น

, เจไม่ได้กำหนดไว้

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน (ให้คำจำกัดความและแสดงรายการคุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงซ้อน)

การบวก (การลบ) ของจำนวนเชิงซ้อน

z 1 ± z 2 = (x 1 + ฉัน 1) ± ( x 2 + ฉัน 2) = (x 1 ± x 2) + ฉัน (ย 1 ± ย 2),(5)

นั่นคือเมื่อบวก (ลบ) จำนวนเชิงซ้อน ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของพวกมันจะถูกบวก (ลบ)

1)(1 + ฉัน) + (2 – 3ฉัน) = 1 + ฉัน + 2 –3ฉัน = 3 – 2ฉัน ;

2)(1 + 2ฉัน) – (2 – 5ฉัน) = 1 + 2ฉัน – 2 + 5ฉัน = –1 + 7ฉัน .

คุณสมบัติพื้นฐานของการบวก

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

z 1∙z 2 = (x 1 + ฉัน 1)∙(x 2 + ฉัน 2) = x 1x 2 + x 1ฉัน 2 + ฉัน 1x 2 + ฉัน 2ย 1ย 2 = (6)

= (x 1x 2 – ย 1ย 2) + ฉัน (x 1ย 2 + ย 1x 2),

นั่นคือการคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตนั้นดำเนินการตามกฎของการคูณพีชคณิตของทวินามด้วยทวินาม ตามด้วยการแทนที่และลดจำนวนที่คล้ายกันในแง่จริงและจินตภาพ

1)(1 + ฉัน)∙(2 – 3ฉัน) = 2 – 3ฉัน + 2ฉัน – 3ฉัน 2 = 2 – 3ฉัน + 2ฉัน + 3 = 5 – ฉัน ;

2)(1 + 4ฉัน)∙(1 – 4ฉัน) = 1 – 42 ฉัน 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + ฉัน)2 = 22 + 4ฉัน + ฉัน 2 = 3 + 4ฉัน .

การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

z 1∙z 2 = ร 1(คอส เจ 1 + ฉันบาป เจ 1)× ร 2(คอส เจ 2 + ฉันบาป เจ 2) =

= ร 1ร 2(คอส เจ 1คอส เจ 2 + ฉันเพราะ เจ 1ซิน เจ 2 + ฉันบาป เจ 1คอส เจ 2 + ฉัน 2 บาป เจ 1ซิน เจ 2) =

= ร 1ร 2((เพราะ เจ 1คอส เจ 2 – บาป เจ 1ซิน เจ 2) + ฉัน(เพราะ เจ 1ซิน เจ 2 + บาป เจ 1คอส เจ 2))

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ นั่นคือเมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของมัน

คุณสมบัติพื้นฐานของการคูณ

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - การสับเปลี่ยน;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - การเชื่อมโยง;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - การกระจายตัวเกี่ยวกับการบวก;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

การหารจำนวนเชิงซ้อน

การหารคือการดำเนินการผกผันของการคูณ ดังนั้น

ถ้า z × z 2 = z 1 และ z 2 ¹ 0 จากนั้น .

เมื่อทำการหารในรูปแบบพีชคณิต ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วยคอนจูเกตเชิงซ้อนของตัวส่วน:

การหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต (7)

เมื่อทำการหารในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลจะถูกแบ่งออกและลบอาร์กิวเมนต์ออก:

การหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ (8)

2)
.

การยกจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นพลังธรรมชาติ

สะดวกกว่าในการยกกำลังในรูปแบบตรีโกณมิติ:

สูตรของ Moivre (9)

นั่นคือ เมื่อจำนวนเชิงซ้อนถูกยกขึ้นเป็นกำลังธรรมชาติ โมดูลัสของมันก็จะถูกยกขึ้นเป็นกำลังนี้ และอาร์กิวเมนต์จะคูณด้วยเลขชี้กำลัง

คำนวณ (1+ ฉัน)10.

หมายเหตุ

1. เมื่อดำเนินการคูณและเพิ่มกำลังธรรมชาติในรูปแบบตรีโกณมิติ สามารถรับค่ามุมที่เกินกว่าการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้งได้ แต่สามารถลดเป็นมุมหรือปล่อยจำนวนเต็มของการปฏิวัติได้เสมอโดยใช้คุณสมบัติความเป็นคาบของฟังก์ชัน และ

2. ความหมาย เรียกว่าค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

ในกรณีนี้ค่าของมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะแสดงด้วย ;

เห็นได้ชัดว่า , .

การแยกรากของดีกรีธรรมชาติออกจากจำนวนเชิงซ้อน

สูตรของออยเลอร์(16)

ซึ่งฟังก์ชันตรีโกณมิติและตัวแปรจริงแสดงผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (เลขชี้กำลัง) พร้อมด้วยเลขชี้กำลังจินตภาพล้วนๆ

§ 2. ฟังก์ชันทั้งหมด (พหุนาม) และคุณสมบัติพื้นฐาน การแก้สมการพีชคณิตบนเซตของจำนวนเชิงซ้อน

พหุนามสองตัวที่มีดีกรีเท่ากัน nจะเท่ากันเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันกับกำลังเท่ากันของตัวแปร x, นั่นคือ

การพิสูจน์

w Identity (3) ใช้ได้กับ "xО (หรือ "xО)

Þ ใช้ได้สำหรับ ; ทดแทน เราได้รับ หนึ่ง = พันล้าน .

ให้เราร่วมกันยกเลิกเงื่อนไขใน (3) หนึ่งและ พันล้านและหารทั้งสองส่วนด้วย x :

ตัวตนนี้ก็เป็นจริงสำหรับ " xรวมถึงเมื่อใด x = 0

Þสมมติ x= 0 เราได้ หนึ่ง – 1 = พันล้าน – 1.

ให้เราร่วมกันยกเลิกเงื่อนไขใน (3") หนึ่ง– 1 และ ก n– 1 แล้วหารทั้งสองข้างด้วย xเป็นผลให้เราได้รับ

การโต้แย้งต่อไปในทำนองเดียวกัน เราได้รับสิ่งนั้น หนึ่ง – 2 = พันล้าน –2, …, ก 0 = ข 0.

ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าความเท่าเทียมกันที่เท่ากันของพหุนาม 2-x แสดงถึงความบังเอิญของสัมประสิทธิ์ที่ระดับเดียวกัน x .

ข้อความสนทนานั้นชัดเจนอย่างถูกต้อง กล่าวคือ หากพหุนามสองตัวมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันแสดงว่าพวกมันเป็นฟังก์ชันที่เหมือนกันดังนั้นค่าของพวกมันจะตรงกันสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน คุณสมบัติ 1 ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว โวลต์

เมื่อทำการหารพหุนาม พีเอ็น (x) โดยความแตกต่าง ( x – เอ็กซ์ 0) ส่วนที่เหลือเท่ากับ พีเอ็น (x 0) นั่นคือ

ทฤษฎีบทของเบซูต์ (4)

ที่ไหน Qn – 1(x) - ส่วนจำนวนเต็มของการหารคือพหุนามของดีกรี ( n – 1).

การพิสูจน์

w ลองเขียนสูตรการหารด้วยเศษ:

พีเอ็น (x) = (x – เอ็กซ์ 0)∙Qn – 1(x) + ก ,

ที่ไหน Qn – 1(x) - พหุนามของดีกรี ( n – 1),

ก- ส่วนที่เหลือซึ่งเป็นตัวเลขเนื่องจากอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีสำหรับการหารพหุนามด้วยทวินาม "ในคอลัมน์"

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับ " xรวมถึงเมื่อใด x = เอ็กซ์ 0 Þ

พีเอ็น (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + ก Þ

ก = พีเอ็น (เอ็กซ์ 0) เป็นต้น โวลต์

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ ในการหารพหุนามด้วยทวินามโดยไม่มีเศษเหลือ

ถ้าเป็นจำนวน เอ็กซ์ 0 คือศูนย์ของพหุนาม จากนั้นพหุนามนี้จะถูกหารด้วยผลต่าง ( x – เอ็กซ์ 0) โดยไม่มีเศษ นั่นคือ

Þ .(5)

1) ตั้งแต่ ป 3(1) o 0

2) เพราะ ป 4(–2) º 0

3) เพราะ ป 2(–1/2) º 0

การแบ่งพหุนามออกเป็นทวินาม "ในคอลัมน์":

_

_

_

_

_

พหุนามทุกตัวของดีกรี n ³ 1 มีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว เป็นค่าจริงหรือเชิงซ้อน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรของเรา ดังนั้นเราจึงยอมรับทฤษฎีบทโดยไม่ต้องพิสูจน์

เรามาลองใช้ทฤษฎีบทนี้และทฤษฎีบทของเบซูต์กับพหุนามกันดีกว่า พีเอ็น (x).

หลังจาก n- เราได้รับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเหล่านี้หลายครั้ง

ที่ไหน ก 0 คือสัมประสิทธิ์ที่ x nวี พีเอ็น (x).

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต เรื่อง การสลายตัวของพหุนามให้เป็นตัวประกอบเชิงเส้น

พหุนามของดีกรีใดๆ บนเซตของจำนวนเชิงซ้อนสามารถแยกย่อยได้ nปัจจัยเชิงเส้น กล่าวคือ

การขยายตัวของพหุนามเป็นปัจจัยเชิงเส้น (6)

โดยที่ x1, x2, ... xn เป็นศูนย์ของพหุนาม

นอกจากนี้หาก เคตัวเลขจากชุด เอ็กซ์ 1, เอ็กซ์ 2, … xnตรงกันกับตัวเลข a จากนั้นในตัวคูณ (6) ในตัวคูณ ( x– ก) เค- แล้วเบอร์ x= a เรียกว่า k-พับศูนย์ของพหุนาม พีเอ็น ( x) - ถ้า เค= 1 แล้วจึงเรียกศูนย์ ศูนย์อย่างง่ายของพหุนาม พีเอ็น ( x) .

1)ป 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - ศูนย์ธรรมดา x 2 = 4 - สามศูนย์;

2)ป 4(x) = (x – ฉัน)4 ต x = ฉัน- ศูนย์หลายหลาก 4.

คุณสมบัติ 4 (ประมาณจำนวนรากของสมการพีชคณิต)

สมการพีชคณิตใดๆ Pn(x) = 0 ของดีกรี n มีราก n ตัวบนเซตของจำนวนเชิงซ้อนพอดี ถ้าเรานับแต่ละรากหลายครั้งตามจำนวนทวีคูณของมัน

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - สมการพีชคณิตของระดับที่สอง

Þ x 1.2 = 2 ± = 2 ± ฉัน- สองราก;

2)x 3 + 1 = 0 - สมการพีชคณิตของระดับที่สาม

Þ x 1,2,3 = - สามราก;

3)ป 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1 เพราะว่า ป 3(1) = 0.

หารพหุนาม ป 3(x) บน ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

สมการเดิม

ป 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - รูทแบบง่าย x 2 = –1 - รูทคู่

1) – รากคอนจูเกตที่ซับซ้อนที่จับคู่กัน

พหุนามใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงจะถูกแยกย่อยเป็นผลคูณของฟังก์ชันเชิงเส้นและกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง

การพิสูจน์

ปล่อยให้ x 0 = ก + สอง- ศูนย์ของพหุนาม พีเอ็น (x- ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามนี้เป็นจำนวนจริง ก็จะเป็นศูนย์ด้วย (ตามคุณสมบัติ 5)

ลองคำนวณผลคูณของทวินามกัน :

สมการพหุนามจำนวนเชิงซ้อน

ได้รับ ( x – ก)2 + ข 2 - ตรีโกณมิติกำลังสองพร้อมค่าสัมประสิทธิ์จริง

ดังนั้น คู่ทวินามใดๆ ที่มีรากคอนจูเกตเชิงซ้อนในสูตร (6) จะนำไปสู่ค่าสัมประสิทธิ์กำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนจริง โวลต์

1)ป 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)ป 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

ตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตบนเซตจำนวนเชิงซ้อน ( ยกตัวอย่างการแก้สมการพีชคณิตของเซตจำนวนเชิงซ้อน)

1. สมการพีชคณิตระดับแรก:

เป็นเพียงรูทธรรมดาเท่านั้น

2. สมการกำลังสอง:

, – มีสองรากเสมอ (ต่างกันหรือเท่ากัน)

1) .

3. สมการทวินามของระดับ:

, – มีรากที่แตกต่างกันเสมอ

,

คำตอบ: , .

4. แก้สมการลูกบาศก์

สมการของระดับที่สามมีสามราก (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) และคุณต้องนับแต่ละรากมากเท่าจำนวนทวีคูณ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการนี้เป็นจำนวนจริง รากเชิงซ้อนของสมการ (ถ้ามี) จะเป็นคอนจูเกตเชิงซ้อนคู่

โดยการเลือก เราจะพบรากแรกของสมการ เนื่องจาก .

ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ เราคำนวณส่วนนี้ "ในคอลัมน์":

_
_
_

ตอนนี้แทนพหุนามเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง เราจะได้:

.

เราพบว่ารากอื่นเป็นรากของสมการกำลังสอง:

คำตอบ: , .

5. สร้างสมการพีชคณิตระดับต่ำสุดด้วยสัมประสิทธิ์จริง หากรู้ว่าตัวเลข x 1 = 3 และ x 2 = 1 + ฉันเป็นรากของมันและ x 1 คือดับเบิ้ลรูท และ x 2 - เรียบง่าย

จำนวนก็เป็นรากของสมการด้วย เพราะว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการจะต้องเป็นจริง

โดยรวมแล้วสมการที่ต้องการมี 4 ราก: x 1, x 1,x 2, . ดังนั้นดีกรีของมันคือ 4 เราเขียนพหุนามของดีกรีที่ 4 ด้วยศูนย์ x

11. ศูนย์เชิงซ้อนคืออะไร?

13. กำหนดความหมายของความเท่าเทียมกันที่ซับซ้อน

15. โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

17. ข้อโต้แย้งของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

18. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

19. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

27. ให้คำจำกัดความและแสดงรายการคุณสมบัติหลักของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงซ้อน

28. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

29. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

31. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

32. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

34. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

35. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

61. ทำรายการคุณสมบัติหลักของพหุนาม

63. จงระบุคุณสมบัติเกี่ยวกับการหารพหุนามด้วยผลต่าง (x – x0)

65. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

66. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

67. ⌂ .

69. บอกทฤษฎีบท: ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต

70. ชื่อหรือความหมายของสูตรคืออะไร?

71. อธิบายความหมายของสัญกรณ์ในสูตรนี้:

75. บอกคุณสมบัติเกี่ยวกับจำนวนรากของสมการพีชคณิต

78. บอกคุณสมบัติเกี่ยวกับการสลายตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงให้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง

อภิธานศัพท์

ค่าศูนย์พับ k ของพหุนามคือ... (หน้า 18)

พหุนามพีชคณิตเรียกว่า... (หน้า 14)

สมการพีชคณิตระดับที่ n เรียกว่า... (หน้า 14)

รูปพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า... (หน้า 5)

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนคือ... (หน้า 4)

ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน z คือ... (หน้า 2)

จำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อนคือ... (หน้า 2)

ศูนย์เชิงซ้อนคือ... (หน้า 2)

จำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า... (หน้า 2)

รากของดีกรี n ของจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า... (หน้า 10)

รากของสมการคือ... (หน้า 14)

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามคือ... (หน้า 14)

หน่วยจินตภาพคือ... (หน้า 2)

ส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z คือ... (หน้า 2)

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า... (หน้า 4)

ค่าศูนย์ของฟังก์ชันเรียกว่า... (หน้า 14)

รูปเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า... (หน้า 11)

พหุนามเรียกว่า... (หน้า 14)

ค่าศูนย์อย่างง่ายของพหุนามเรียกว่า... (หน้า 18)

เลขตรงข้ามคือ... (หน้า 2)

ดีกรีของพหุนามคือ... (หน้า 14)

รูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า... (หน้า 5)

สูตรของ Moivre คือ... (หน้า 9)

สูตรของออยเลอร์คือ... (หน้า 13)

ฟังก์ชั่นทั้งหมดเรียกว่า... (หน้า 14)

จำนวนจินตภาพล้วนๆ คือ... (หน้า 2)

ให้เรานึกถึงข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนเป็นการแสดงออกถึงรูปร่าง ก + สอง, ที่ไหน ก, ขเป็นจำนวนจริง และ ฉัน- ที่เรียกว่า หน่วยจินตภาพซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่มีกำลังสองเท่ากับ –1 นั่นก็คือ ฉัน 2 = –1 ตัวเลข กเรียกว่า ส่วนที่แท้จริงและหมายเลข ข - ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อน z = ก + สอง- ถ้า ข= 0 จากนั้นแทน ก + 0ฉันพวกเขาเขียนง่ายๆ ก- จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงเป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อนจะเหมือนกับจำนวนจริง กล่าวคือ สามารถบวก ลบ คูณ และหารซึ่งกันและกันได้ การบวกและการลบเกิดขึ้นตามกฎ ( ก + สอง) ± ( ค + ดิ) = (ก ± ค) + (ข ± ง)ฉันและการคูณเป็นไปตามกฎ ( ก + สอง) · ( ค + ดิ) = (เครื่องปรับอากาศ – ข) + (โฆษณา + ก่อนคริสต์ศักราช)ฉัน(ในที่นี้ใช้แบบนั้น. ฉัน 2 = –1) หมายเลข = ก – สองเรียกว่า คอนจูเกตที่ซับซ้อนถึง z = ก + สอง- ความเท่าเทียมกัน z · = ก 2 + ข 2 ช่วยให้คุณเข้าใจวิธีหารจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งด้วยจำนวนเชิงซ้อนอีกตัว (ที่ไม่ใช่ศูนย์):

(ตัวอย่างเช่น, .)

จำนวนเชิงซ้อนมีการแสดงรูปทรงเรขาคณิตที่สะดวกและมองเห็นได้: ตัวเลข z = ก + สองสามารถแสดงด้วยเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( ก; ข) บนระนาบคาร์ทีเซียน (หรือซึ่งเกือบจะเหมือนกันคือจุด - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่มีพิกัดเหล่านี้) ในกรณีนี้ ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( ก; ข) เท่ากับ . ปริมาณนี้เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = ก + สองและเขียนแทนด้วย | z- เรียกว่ามุมที่เวกเตอร์นี้ทำกับทิศทางบวกของแกน x (นับทวนเข็มนาฬิกา) การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อน zและเขียนแทนด้วย Arg z- อาร์กิวเมนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ แต่ต้องบวกด้วยผลคูณของ 2 เท่านั้น π เรเดียน (หรือ 360° หากนับเป็นองศา) ท้ายที่สุดแล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าการหมุนด้วยมุมดังกล่าวรอบจุดกำเนิดจะไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ แต่ถ้าเป็นเวกเตอร์ความยาว รสร้างมุม φ โดยมีทิศทางบวกของแกน x ดังนั้นพิกัดจะเท่ากับ ( รเพราะ φ ; รบาป φ - จากที่นี่ปรากฎว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน: z = |z- · (cos(หาเรื่อง z) + ฉันบาป(หาเรื่อง z- การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบนี้มักจะสะดวก เนื่องจากจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิตินั้นง่ายมาก: z 1 · z 2 = |z 1 | - z 2 | · (cos(หาเรื่อง z 1 + หาเรื่อง z 2) + ฉันบาป(หาเรื่อง z 1 + หาเรื่อง z 2)) (เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัว โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์) จากนี้ไปตาม สูตรของ Moivre: z n = |z|n· (คอส( n· (หาเรื่อง z)) + ฉันบาป( n· (หาเรื่อง z- การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้ง่ายต่อการเรียนรู้วิธีแยกรากจากจำนวนเชิงซ้อนในระดับใดๆ ก็ตาม รากที่ n ของ z- นี่คือจำนวนเชิงซ้อน ว, อะไร ไม่ทราบ = z- มันชัดเจนว่า , และที่ไหน เคสามารถรับค่าใดๆ จากเซตได้ (0, 1, ..., n- 1) ซึ่งหมายความว่ามีอยู่เสมอ nราก nระดับของจำนวนเชิงซ้อน (บนระนาบจะอยู่ที่จุดยอดของเส้นปกติ n-gon)