จำนวนตรรกยะหมายถึงอะไร? ลบก่อนจำนวนตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะ

มากมาย จำนวนตรรกยะถูกกำหนดไว้และสามารถเขียนได้ดังนี้:

ปรากฎว่า รายการที่แตกต่างกันสามารถแทนเศษส่วนเดียวกันได้ เช่น และ , (เศษส่วนทั้งหมดที่หาได้จากกันด้วยการคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกัน จำนวนธรรมชาติแทนจำนวนตรรกยะเดียวกัน) เนื่องจากโดยการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด เราก็จะได้ค่าจำนวนตรรกยะที่ลดไม่ได้เพียงตัวเดียว เราจึงสามารถพูดถึงเซตของเศษส่วนเหล่านั้นว่าเป็นเซตได้ ลดไม่ได้เศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นจำนวนเฉพาะและ ตัวส่วนตามธรรมชาติ:

นี่คือตัวหารร่วมมากของตัวเลข และ

เซตของจำนวนตรรกยะคือการสรุปโดยธรรมชาติของเซตของจำนวนเต็ม มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าจำนวนตรรกยะมีตัวส่วน มันก็จะเป็นจำนวนเต็ม เซตของจำนวนตรรกยะตั้งอยู่ทุกจุดอย่างหนาแน่นบนแกนตัวเลข: ระหว่างจำนวนตรรกยะที่ต่างกันสองตัวใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งตัว (และด้วยเหตุนี้ ชุดอนันต์จำนวนตรรกยะ) อย่างไรก็ตาม ปรากฎว่าชุดของจำนวนตรรกยะมีภาวะเชิงการนับที่สามารถนับได้ (นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมดสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้) โปรดทราบว่าชาวกรีกโบราณเชื่อมั่นในการมีอยู่ของตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ (ตัวอย่างเช่น พวกเขาพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเท่ากับ 2)

คำศัพท์เฉพาะทาง

คำนิยามที่เป็นทางการ

อย่างเป็นทางการ จำนวนตรรกยะถูกกำหนดให้เป็นเซตของคลาสที่เทียบเท่าของคู่ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ที่เทียบเท่าถ้า ในกรณีนี้ การดำเนินการของการบวกและการคูณจะถูกกำหนดไว้ ดังต่อไปนี้:

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

เศษส่วนแท้ เศษส่วนเกิน และเศษส่วนคละ

ถูกต้อง เศษส่วนที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วนเรียกว่าเศษส่วน เศษส่วนแท้แสดงถึงจำนวนตรรกยะแบบโมดูโลที่น้อยกว่าหนึ่ง เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเรียกว่า ผิดและแทนจำนวนตรรกยะที่มากกว่าหรือ เท่ากับหนึ่งโมดูโล่

เศษส่วนเกินสามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเต็มและ เศษส่วนที่เหมาะสม, เรียกว่า เศษส่วนผสม - ตัวอย่างเช่น, . สัญกรณ์ที่คล้ายกัน (ไม่มีเครื่องหมายบวก) แม้ว่าจะใช้ในเลขคณิตเบื้องต้น แต่ก็หลีกเลี่ยงอย่างเคร่งครัด วรรณคดีคณิตศาสตร์เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับการกำหนด เศษส่วนผสมด้วยสัญลักษณ์สำหรับผลคูณของจำนวนเต็มและเศษส่วน

ความสูงของการยิง

ความสูง เศษส่วนทั่วไป คือผลรวมของโมดูลัสของทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ ความสูงของจำนวนตรรกยะ คือผลรวมของโมดูลัสของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามัญที่ลดไม่ได้ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนนี้

เช่น ความสูงของเศษส่วนคือ ความสูงของจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องกันจะเท่ากับ เนื่องจากเศษส่วนสามารถลดลงได้

ความคิดเห็น

ภาคเรียน เศษส่วน (เศษส่วน)บางครั้ง [ ระบุ] ใช้เป็นคำพ้องความหมายสำหรับคำนี้ จำนวนตรรกยะและบางครั้งก็เป็นคำพ้องสำหรับตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ใน กรณีหลังเศษส่วนและจำนวนตรรกยะคือ สิ่งต่าง ๆเนื่องจากจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจึงเป็นเพียง กรณีพิเศษเศษส่วน

คุณสมบัติ

คุณสมบัติพื้นฐาน

เซตของจำนวนตรรกยะเป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานสิบหกประการ ซึ่งสามารถหาได้ง่ายจากคุณสมบัติของจำนวนเต็ม

ความเป็นระเบียบเรียบร้อยสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ มีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขเหล่านี้ได้เพียงหนึ่งหรือเพียงหนึ่งในสามเท่านั้น: “”, “” หรือ “” กฎนี้เรียกว่า กฎการสั่งซื้อและมีสูตรดังนี้ จำนวนบวกสองตัว และมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็มสองตัว และ ; จำนวนที่ไม่เป็นจำนวนบวกสองตัวและมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนสองตัว ตัวเลขที่ไม่เป็นลบและ ; ถ้าจู่ๆ มันก็ไม่เป็นลบ แต่ - เป็นลบ งั้น .
การบวกเศษส่วน
การดำเนินการเพิ่มเติม กฎการรวม จำนวนตัวเลข และ และ เขียนแทนด้วย และเรียกกระบวนการค้นหาตัวเลขดังกล่าว ผลรวม- กฎการรวมมี มุมมองถัดไป: .
การดำเนินการคูณสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ จะมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการคูณซึ่งทำให้มันสอดคล้องกับจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง ในกรณีนี้จะเรียกหมายเลขนั้นเอง งานตัวเลข และ และ เขียนแทนด้วย และกระบวนการค้นหาตัวเลขดังกล่าวก็เรียกว่า การคูณ- กฎการคูณมีรูปแบบดังนี้: .
การผ่านของความสัมพันธ์ลำดับสำหรับจำนวนตรรกยะสามเท่าใดๆ ถ้าน้อยกว่าก็น้อยกว่า และถ้าเท่ากันก็เท่ากับ
การสับเปลี่ยนของการบวกการเปลี่ยนตำแหน่งของเงื่อนไขที่เป็นตรรกยะจะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง
ความเชื่อมโยงของการบวกลำดับการเพิ่มจำนวนตรรกยะสามจำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์
การมีอยู่ของศูนย์มีเลขตรรกยะ 0 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกตัวเมื่อบวกเข้าด้วยกัน
การมีอยู่ของจำนวนตรงข้ามกันจำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะตรงกันข้าม ซึ่งเมื่อบวกกันจะได้ 0
การสับเปลี่ยนของการคูณการเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยเชิงตรรกศาสตร์ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง
ความสัมพันธ์ของการคูณลำดับการคูณจำนวนตรรกยะสามจำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์
ความพร้อมของหน่วยมีเลขตรรกยะ 1 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกตัวไว้เมื่อคูณ
การปรากฏตัวของตัวเลขซึ่งกันและกันจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน ซึ่งเมื่อคูณด้วยจะได้ 1
การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวกการดำเนินการคูณจะประสานกับการดำเนินการบวกผ่านกฎการกระจาย:
การเชื่อมต่อความสัมพันธ์ของคำสั่งกับการดำเนินการของการบวกไปทางซ้ายและขวา ความไม่เท่าเทียมกันอย่างมีเหตุผลคุณสามารถเพิ่มจำนวนตรรกยะเดียวกันได้
ความเชื่อมโยงระหว่างความสัมพันธ์ลำดับและการดำเนินการคูณด้านซ้ายและขวาของอสมการเชิงตรรกศาสตร์สามารถคูณด้วยจำนวนตรรกยะบวกอันเดียวกันได้
สัจพจน์ของอาร์คิมีดีสไม่ว่าจำนวนตรรกยะจะเป็นจำนวนใดก็ตาม คุณสามารถใช้หน่วยหลายๆ หน่วยที่ผลรวมเกินได้

คุณสมบัติเพิ่มเติม

คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะไม่ได้ถูกระบุว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐาน เพราะโดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถพิสูจน์ได้จากคุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดหรือโดยตรงจากคำจำกัดความของคุณสมบัติบางอย่าง วัตถุทางคณิตศาสตร์- เช่น คุณสมบัติเพิ่มเติมมากมาย สมควรที่จะแสดงรายการเพียงไม่กี่รายการที่นี่

ความสามารถในการนับของชุด

ในการประมาณจำนวนจำนวนตรรกยะ คุณต้องค้นหาภาวะเชิงการนับของเซตเหล่านั้น เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าเซตของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะให้อัลกอริธึมที่แจกแจงจำนวนตรรกยะ เช่น สร้างเส้นเบี่ยงระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะและจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างของโครงสร้างดังกล่าวคืออัลกอริธึมง่ายๆ ดังต่อไปนี้ ตารางเศษส่วนธรรมดาที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะถูกรวบรวม ในแต่ละแถวในแต่ละคอลัมน์ซึ่งมีเศษส่วนอยู่ เพื่อความชัดเจน จะถือว่าแถวและคอลัมน์ของตารางนี้มีหมายเลขกำกับโดยเริ่มจากหนึ่ง เซลล์ตารางถูกกำหนด โดยที่คือจำนวนแถวของตารางที่มีเซลล์ตั้งอยู่ และเป็นหมายเลขคอลัมน์

ตารางผลลัพธ์จะถูกสำรวจโดยใช้ "งู" ตามอัลกอริทึมที่เป็นทางการต่อไปนี้

กฎเหล่านี้จะถูกค้นหาจากบนลงล่าง และเลือกตำแหน่งถัดไปตามนัดแรก

ในกระบวนการของการข้ามผ่าน จำนวนตรรกยะใหม่แต่ละตัวจะเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่ง นั่นคือเศษส่วนถูกกำหนดให้เป็นเลข 1 เศษส่วนถูกกำหนดให้เป็นเลข 2 เป็นต้น ควรสังเกตว่าเท่านั้น เศษส่วนที่ลดไม่ได้. สัญญาณอย่างเป็นทางการการลดไม่ได้คือความเท่าเทียมกันของตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนต่อหนึ่ง

ตามอัลกอริทึมนี้ เราสามารถระบุจำนวนตรรกยะบวกทั้งหมดได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนตรรกยะบวกสามารถนับได้ เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างเส้นโครงระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะบวกและลบ โดยเพียงกำหนดจำนวนตรรกยะที่ตรงข้ามกันให้กับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว ที่. เซตของจำนวนตรรกยะลบก็สามารถนับได้เช่นกัน สหภาพของพวกมันยังนับได้ด้วยคุณสมบัติของเซตที่นับได้ เซตของจำนวนตรรกยะยังนับได้ว่าเป็นการรวมกันของเซตที่นับได้กับเซตที่มีจำกัดอีกด้วย

แน่นอนว่ายังมีวิธีอื่นในการแจกแจงจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้โครงสร้าง เช่น ต้นไม้ Kalkin-Wilf, ต้นไม้ Stern-Broko หรือซีรีส์ Farey

ข้อความเกี่ยวกับการนับได้ของชุดจำนวนตรรกยะอาจทำให้เกิดความสับสน เนื่องจากเมื่อดูเผินๆ ดูเหมือนว่าจะครอบคลุมมากกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติมาก อันที่จริง มันไม่เป็นเช่นนั้น และมีจำนวนธรรมชาติเพียงพอที่จะระบุจำนวนตรรกยะทั้งหมดได้

ขาดจำนวนตรรกยะ

ดูเพิ่มเติม


	จำนวนเต็ม

จำนวนตรรกยะ

ตัวเลขจริง จำนวนเชิงซ้อน ควอเทอร์เนียน

หมายเหตุ

วรรณกรรม

ไอ. กุชนีร์. คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับเด็กนักเรียน - เคียฟ: ASTARTA, 1998. - 520 น.
ป.ล. อเล็กซานดรอฟ ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีเซตและโทโพโลยีทั่วไป - ม.: บทที่. เอ็ด ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สว่าง เอ็ด "วิทยาศาสตร์", 2520
I.L. Khmelnitsky. ทฤษฎีระบบพีชคณิตเบื้องต้น

เด็กนักเรียนโตและนักเรียนคณิตศาสตร์อาจจะตอบคำถามนี้ได้อย่างง่ายดาย แต่สำหรับผู้ที่อยู่ห่างไกลจากอาชีพนี้ก็จะยากขึ้น จริงๆแล้วมันคืออะไร?

สาระสำคัญและการกำหนด

จำนวนตรรกยะหมายถึงจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนสามัญได้ ค่าบวก ค่าลบ และศูนย์ก็รวมอยู่ในชุดนี้ด้วย ตัวเศษของเศษส่วนต้องเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนต้องเป็น

ชุดคณิตศาสตร์นี้แสดงเป็น Q และเรียกว่า "ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ" ประกอบด้วยจำนวนเต็มและจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ซึ่งแสดงตามลำดับเป็น Z และ N ชุด Q นั้นรวมอยู่ในชุด R ซึ่งเป็นตัวอักษรนี้ที่แสดงถึงสิ่งที่เรียกว่าจำนวนจริงหรือ

ผลงาน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว จำนวนตรรกยะคือชุดที่รวมค่าจำนวนเต็มและเศษส่วนทั้งหมด สามารถนำเสนอได้ใน รูปแบบที่แตกต่างกัน- ประการแรก ในรูปเศษส่วนสามัญ: 5/7, 1/5, 11/15 เป็นต้น แน่นอนว่าจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่คล้ายกัน: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 เป็นต้น ประการที่สอง การเป็นตัวแทนอีกประเภทหนึ่งคือ ทศนิยมโดยมีเศษส่วนจำกัด: 0.01, -15.001006 เป็นต้น นี่อาจเป็นรูปแบบหนึ่งที่พบบ่อยที่สุด

แต่ก็มีหนึ่งในสามด้วย - เศษส่วนเป็นระยะ- ประเภทนี้ไม่ธรรมดามากแต่ยังคงใช้อยู่ เช่น เศษส่วน 10/3 สามารถเขียนเป็น 3.33333... หรือ 3,(3) ในกรณีนี้ การแสดงที่แตกต่างกันจะถือเป็นตัวเลขที่ใกล้เคียงกัน เศษส่วนที่เท่ากันก็จะเรียกว่าเศษส่วนเท่ากัน เช่น 3/5 และ 6/10 ดูเหมือนว่าจะชัดเจนว่าจำนวนตรรกยะคืออะไร แต่ทำไมคำนี้ถึงใช้เรียกพวกเขา?

ที่มาของชื่อ

คำว่า "เหตุผล" ในภาษารัสเซียสมัยใหม่ กรณีทั่วไปมีความหมายแตกต่างออกไปเล็กน้อย มันเหมือนกับ "สมเหตุสมผล" "คิดออก" มากกว่า แต่ เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ใกล้กับ อย่างแท้จริงในภาษาละติน "อัตราส่วน" คือ "อัตราส่วน", "เศษส่วน" หรือ "การหาร" ดังนั้นชื่อจึงรวบรวมสาระสำคัญของจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตามความหมายที่สอง

ไม่ไกลจากความจริง

การกระทำกับพวกเขา

เมื่อตัดสินใจ ปัญหาทางคณิตศาสตร์เราเจอจำนวนตรรกยะอยู่ตลอดเวลาโดยที่เราไม่รู้ตัว และพวกเขาก็ใกล้จะถึงแล้ว คุณสมบัติที่น่าสนใจ- ทั้งหมดเป็นไปตามคำจำกัดความของชุดหรือจากการกระทำ

ประการแรก จำนวนตรรกยะมีคุณสมบัติความสัมพันธ์ลำดับ ซึ่งหมายความว่าสามารถมีความสัมพันธ์ได้เพียงความสัมพันธ์เดียวระหว่างตัวเลขสองตัว - ทั้งสองจำนวนมีค่าเท่ากัน หรือค่าหนึ่งมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าอีกค่าหนึ่ง นั่นคือ:

หรือ ก = ข ;หรือ ก > ข,หรือ ก< b.

นอกจากนี้ การผ่านของความสัมพันธ์ยังตามมาจากคุณสมบัตินี้ด้วย นั่นก็คือถ้า กมากกว่า ข, ขมากกว่า ค, ที่ กมากกว่า ค- ในภาษาคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้:

(ก > ข) ^ (ข > ค) => (ก > ค)

ประการที่สอง มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนตรรกยะ นั่นคือ การบวก การลบ การหาร และแน่นอนว่าเป็นการคูณ ในเวลาเดียวกัน ในกระบวนการเปลี่ยนแปลง ยังสามารถระบุคุณสมบัติจำนวนหนึ่งได้

a + b = b + a (การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของเงื่อนไขการสับเปลี่ยน);
0 + ก = ก + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (การเชื่อมโยง);
ก + (-ก) = 0;
AB = บริติชแอร์เวย์;
(ab)c = a(bc) (การกระจาย);
ก x 1 = 1 x ก = ก;
a x (1 / a) = 1 (ในกรณีนี้ a ไม่เท่ากับ 0)
(ก + ข)ค = เอซี + ab;
(ก > ข) ^ (ค > 0) => (เอซี > บีซี)

เมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับตัวเลขธรรมดาและไม่ใช่จำนวนเต็ม การดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้อาจทำให้เกิดปัญหาบางประการได้ ดังนั้นการบวกและการลบจะทำได้ก็ต่อเมื่อตัวส่วนเท่ากันเท่านั้น หากต่างกันในตอนแรก คุณควรหาค่าร่วมโดยการคูณเศษส่วนทั้งหมดด้วยตัวเลขที่กำหนด การเปรียบเทียบมักเป็นไปได้เฉพาะเมื่อตรงตามเงื่อนไขนี้เท่านั้น

การหารและการคูณเศษส่วนสามัญจะดำเนินการตามความเพียงพอ กฎง่ายๆ- นำไปสู่ ตัวส่วนร่วมไม่จำเป็น. ตัวเศษและตัวส่วนจะถูกคูณแยกกัน และหากเป็นไปได้ในกระบวนการดำเนินการ เศษส่วนควรจะลดลงและทำให้ง่ายขึ้นมากที่สุด

ในส่วนของการแบ่งนั้นการกระทำนี้จะคล้ายกับอันแรกด้วย ความแตกต่างเล็กน้อย- สำหรับเศษส่วนที่สอง คุณควรหาค่าผกผัน นั่นคือ

"พลิก" มันไป ดังนั้นตัวเศษของเศษส่วนแรกจะต้องคูณกับตัวส่วนของส่วนที่สองและในทางกลับกัน

สุดท้าย คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของจำนวนตรรกยะเรียกว่าสัจพจน์ของอาร์คิมิดีส บ่อยครั้งในวรรณกรรมมักพบชื่อ "หลักการ" ด้วย มันใช้ได้สำหรับทั้งชุด ตัวเลขจริงแต่ไม่ใช่ทุกที่ ดังนั้น หลักการนี้จึงใช้ไม่ได้กับประชากรบางกลุ่ม ฟังก์ชันตรรกยะ- โดยพื้นฐานแล้ว สัจพจน์นี้หมายความว่าเมื่อมีปริมาณ a และ b อยู่สองปริมาณ คุณสามารถเอา a มากพอที่จะเกิน b ได้ตลอดเวลา

ขอบเขตการใช้งาน

ดังนั้น สำหรับผู้ที่ได้เรียนรู้หรือจำได้ว่าจำนวนตรรกยะคืออะไร จะเห็นได้ชัดว่ามีการใช้ตัวเลขเหล่านี้ทุกที่ ทั้งในการบัญชี เศรษฐศาสตร์ สถิติ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาศาสตร์อื่นๆ โดยธรรมชาติแล้วพวกเขาก็มีที่ทางคณิตศาสตร์ด้วย โดยที่เราไม่รู้เสมอไปว่าเรากำลังเผชิญกับพวกมัน เราใช้จำนวนตรรกยะอยู่ตลอดเวลา ยังเป็นเด็กเล็ก หัดนับสิ่งของ หั่นแอปเปิ้ลเป็นชิ้นๆ หรือทำอะไรอย่างอื่น ขั้นตอนง่ายๆ, พบกับพวกเขา. พวกเขาล้อมรอบเราอย่างแท้จริง แต่ยังไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาบางอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นตัวอย่าง เราสามารถเข้าใจถึงความจำเป็นในการแนะนำแนวคิดนี้

หัวข้อเรื่องจำนวนตรรกยะค่อนข้างครอบคลุม คุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ไม่รู้จบและเขียนผลงานทั้งหมดทุกครั้งที่รู้สึกประหลาดใจกับฟีเจอร์ใหม่ ๆ

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในอนาคต ในบทเรียนนี้ เราจะเจาะลึกหัวข้อจำนวนตรรกยะให้ลึกลงไปอีกเล็กน้อยแล้วดึงออกมา ข้อมูลที่จำเป็นและเดินหน้าต่อไป

เนื้อหาบทเรียน

จำนวนตรรกยะคืออะไร

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ ก—นี่คือตัวเศษของเศษส่วน ขเป็นตัวส่วนของเศษส่วน นอกจากนี้ ขต้องไม่เป็นศูนย์เพราะไม่อนุญาตให้หารด้วยศูนย์

จำนวนตรรกยะประกอบด้วยหมวดหมู่ของตัวเลขต่อไปนี้:

จำนวนเต็ม (เช่น −2, −1, 0 1, 2 เป็นต้น)

เศษส่วนทศนิยม (เช่น 0.2 เป็นต้น)

เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด (เช่น 0, (3) เป็นต้น)

ตัวเลขแต่ละตัวในหมวดหมู่นี้สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้

ตัวอย่างที่ 1จำนวนเต็ม 2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าเลข 2 ไม่เพียงแต่ใช้กับจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังใช้กับจำนวนตรรกยะด้วย

ตัวอย่างที่ 2จำนวนคละสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้จากการแปลงจำนวนคละเป็น เศษส่วนเกิน

วิธี หมายเลขผสมหมายถึงจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 3ทศนิยม 0.2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้มาจากการแปลงเศษส่วนทศนิยม 0.2 เป็นเศษส่วนร่วม หากคุณมีปัญหาในตอนนี้ ให้ทำซ้ำหัวข้อนี้

เนื่องจากเศษส่วนทศนิยม 0.2 สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ จึงหมายความว่าเศษส่วนนั้นเป็นของจำนวนตรรกยะด้วย

ตัวอย่างที่ 4เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด 0, (3) สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เศษส่วนนี้ได้มาจากการแปลงเศษส่วนคาบบริสุทธิ์ให้เป็นเศษส่วนสามัญ หากคุณมีปัญหาในตอนนี้ ให้ทำซ้ำหัวข้อนี้

เนื่องจากเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด 0, (3) สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ จึงหมายความว่าเศษส่วนนั้นเป็นของจำนวนตรรกยะด้วย

ในอนาคต เราจะเรียกตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนต่อหนึ่งวลีได้มากขึ้น - จำนวนตรรกยะ.

จำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด

เราดูเส้นพิกัดเมื่อเราศึกษา ตัวเลขติดลบ- จำไว้ว่านี่คือเส้นตรงที่มีหลายจุดอยู่ ดูเหมือนว่านี้:

รูปนี้แสดงส่วนเล็กๆ ของเส้นพิกัดตั้งแต่ −5 ถึง 5

การทำเครื่องหมายจำนวนเต็มในรูปแบบ 2, 0, −3 บนเส้นพิกัดนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ตัวเลขอื่นๆ จะน่าสนใจกว่ามาก เช่น เศษส่วนธรรมดา ตัวเลขคละ ทศนิยม ฯลฯ ตัวเลขเหล่านี้อยู่ระหว่างจำนวนเต็มและมีตัวเลขเหล่านี้มากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่น ลองทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด หมายเลขนี้อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่งพอดี

ลองทำความเข้าใจว่าทำไมเศษส่วนจึงอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ระหว่างจำนวนเต็มจะมีตัวเลขอื่น ๆ อยู่ - เศษส่วนสามัญ, ทศนิยม, ตัวเลขคละ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น หากคุณเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 0 เป็น 1 คุณจะเห็นภาพต่อไปนี้

จะเห็นได้ว่าระหว่างจำนวนเต็ม 0 ถึง 1 มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ อยู่ ซึ่งเป็นเศษส่วนทศนิยมที่คุ้นเคย ที่นี่คุณจะเห็นเศษส่วนของเราซึ่งอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 0.5 การตรวจสอบตัวเลขนี้อย่างละเอียดจะช่วยตอบคำถามว่าเหตุใดเศษส่วนจึงอยู่ตรงจุดนั้น

เศษส่วนหมายถึงการหาร 1 ด้วย 2 และถ้าเราหาร 1 ด้วย 2 เราจะได้ 0.5

เศษส่วนทศนิยม 0.5 สามารถปลอมตัวเป็นเศษส่วนอื่นได้ จากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน เรารู้ว่าถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง

หากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนคูณด้วยตัวเลขใดๆ เช่น 4 เราก็จะได้เศษส่วนใหม่และเศษส่วนนี้ก็เท่ากับ 0.5 เช่นกัน

ซึ่งหมายความว่าบนเส้นพิกัด เศษส่วนสามารถวางในตำแหน่งเดียวกับตำแหน่งของเศษส่วนได้

ตัวอย่างที่ 2ลองทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนพิกัดกัน หมายเลขนี้อยู่ระหว่างหมายเลข 1 และ 2 พอดี

ค่าเศษส่วนคือ 1.5

หากเราเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 1 เป็น 2 เราจะเห็นภาพต่อไปนี้:

จะเห็นได้ว่าระหว่างจำนวนเต็ม 1 ถึง 2 มีจำนวนตรรกยะอื่นๆ อยู่ด้วย ซึ่งเป็นเศษส่วนทศนิยมที่คุ้นเคย ที่นี่คุณจะเห็นเศษส่วนของเราซึ่งอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 1.5

เราเพิ่มขึ้น บางส่วนบนเส้นพิกัดเพื่อดูตัวเลขที่เหลืออยู่ในส่วนนี้ เป็นผลให้เราค้นพบเศษส่วนทศนิยมที่มีหนึ่งหลักหลังจุดทศนิยม

แต่พวกเขาไม่ได้ ตัวเลขเอกพจน์นอนอยู่บนส่วนเหล่านี้ มีตัวเลขมากมายนับไม่ถ้วนอยู่บนเส้นพิกัด

เดาได้ไม่ยากว่าระหว่างเศษส่วนทศนิยมที่มีเลขหลักหลังจุดทศนิยมยังมีเศษส่วนทศนิยมอื่นๆ ที่มีเลข 2 หลักหลังจุดทศนิยม กล่าวอีกนัยหนึ่งหนึ่งในร้อยของเซ็กเมนต์

เช่น ลองมาดูตัวเลขที่อยู่ระหว่างเศษส่วนทศนิยม 0.1 กับ 0.2

อีกตัวอย่างหนึ่ง เศษส่วนทศนิยมที่มีตัวเลขสองหลักหลังจุดทศนิยมและอยู่ระหว่างศูนย์และจำนวนตรรกยะ 0.1 มีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างที่ 3ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด จำนวนตรรกยะนี้จะใกล้กับศูนย์มาก

ค่าของเศษส่วนคือ 0.02

หากเราเพิ่มส่วนจาก 0 เป็น 0.1 เราจะเห็นว่าจำนวนตรรกยะอยู่ที่ใด

จะเห็นได้ว่าจำนวนตรรกยะของเราอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 0.02

ตัวอย่างที่ 4ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะ 0 บนเส้นพิกัด (3)

จำนวนตรรกยะ 0, (3) เป็นเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด ของเขา เศษส่วนไม่สิ้นสุด มันไม่มีที่สิ้นสุด

และเนื่องจากตัวเลข 0,(3) มีส่วนที่เป็นเศษส่วนอนันต์ ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถหาตำแหน่งที่แน่นอนบนเส้นพิกัดซึ่งเป็นตำแหน่งของตัวเลขนี้ได้ เราสามารถระบุสถานที่นี้ได้ประมาณเท่านั้น

จำนวนตรรกยะ 0.33333... จะอยู่ใกล้กับเศษส่วนทศนิยมสามัญ 0.3 มาก

รูปนี้ไม่ได้แสดงตำแหน่งที่แน่นอนของเลข 0,(3) นี่เป็นเพียงภาพประกอบเพื่อแสดงให้เห็นว่าเศษส่วนคาบ 0.(3) สามารถเข้าใกล้เศษส่วนทศนิยมปกติ 0.3 ได้อย่างไร

ตัวอย่างที่ 5ให้เราทำเครื่องหมายจำนวนตรรกยะบนเส้นพิกัด จำนวนตรรกยะนี้จะอยู่ตรงกลางระหว่างเลข 2 และ 3

นี่คือ 2 (จำนวนเต็มสองจำนวน) และ (หนึ่งวินาที) เศษส่วนเรียกอีกอย่างว่า "ครึ่ง" ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายสองส่วนทั้งหมดและอีกครึ่งหนึ่งบนเส้นพิกัด

ถ้าเราแปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน เราจะได้เศษส่วนสามัญ เศษส่วนบนเส้นพิกัดนี้จะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วน

ค่าของเศษส่วนคือ 2.5

หากเราเพิ่มส่วนของเส้นพิกัดจาก 2 เป็น 3 เราจะเห็นภาพต่อไปนี้:

จะเห็นได้ว่าจำนวนตรรกยะของเราอยู่ในตำแหน่งเดียวกับเศษส่วนทศนิยม 2.5

ลบก่อนจำนวนตรรกยะ

ในบทเรียนที่แล้วเรียกว่า เราได้เรียนรู้วิธีหารจำนวนเต็มแล้ว ทั้งจำนวนบวกและลบสามารถทำหน้าที่เป็นเงินปันผลและตัวหารได้

ลองพิจารณานิพจน์ที่ง่ายที่สุด

(−6) : 2 = −3

ใน การแสดงออกนี้เงินปันผล (−6) เป็นจำนวนลบ

ตอนนี้ให้พิจารณานิพจน์ที่สอง

6: (−2) = −3

โดยที่ตัวหาร (−2) นั้นเป็นจำนวนลบอยู่แล้ว แต่ในทั้งสองกรณี เราได้คำตอบเดียวกันคือ -3

เมื่อพิจารณาว่าการหารใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ เราก็สามารถเขียนตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นเศษส่วนได้:

และเนื่องจากในทั้งสองกรณี ค่าของเศษส่วนจะเท่ากัน ค่าลบของตัวเศษหรือตัวส่วนจึงสามารถทำให้เป็นค่าร่วมได้โดยวางไว้หน้าเศษส่วน

ดังนั้น คุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างสำนวนต่างๆ และ และ เนื่องจากสำนวนเหล่านี้มีความหมายเหมือนกัน

ในอนาคต เมื่อทำงานกับเศษส่วน ถ้าเราเจอลบในตัวเศษหรือตัวส่วน เราจะทำให้ค่าลบนี้เป็นค่าร่วมโดยวางไว้หน้าเศษส่วน

จำนวนตรรกยะตรงข้าม

เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะจะมีจำนวนตรงข้ามกัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนตรรกยะ หมายเลขตรงข้ามเป็น . มันตั้งอยู่บนเส้นพิกัดอย่างสมมาตรกับตำแหน่งที่สัมพันธ์กับที่มาของพิกัด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขทั้งสองนี้มีระยะห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน

การแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

เรารู้ว่าในการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน เราต้องคูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษของเศษส่วน จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวเศษ เศษส่วนใหม่แต่ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม..

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน

คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกตัวเศษของเศษส่วน:

ลองคำนวณนิพจน์นี้:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

ผลลัพธ์หมายเลข 5 จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนใหม่ แต่ตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม:

เต็มที่ ขั้นตอนนี้เขียนดังนี้:

หากต้องการคืนจำนวนคละเดิม ให้เลือกทั้งส่วนในเศษส่วนก็เพียงพอแล้ว

แต่วิธีการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกินวิธีนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคละเป็นบวกเท่านั้น สำหรับจำนวนลบ วิธีนี้จะไม่ทำงาน

ลองพิจารณาเศษส่วนกัน. ลองเลือกส่วนทั้งหมดของเศษส่วนนี้. เราได้รับ

หากต้องการส่งกลับเศษส่วนเดิม คุณต้องแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน แต่ถ้าเราใช้กฎเก่า กล่าวคือ คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วบวกตัวเศษของเศษส่วนเข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ เราจะได้ข้อขัดแย้งดังต่อไปนี้:

เราได้รับเศษส่วน แต่เราควรจะได้รับเศษส่วน

เราสรุปได้ว่าจำนวนคละถูกแปลงเป็นเศษส่วนเกินอย่างไม่ถูกต้อง

หากต้องการแปลงจำนวนคละลบให้เป็นเศษส่วนเกินอย่างถูกต้อง คุณต้องคูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วน และจากจำนวนผลลัพธ์ ลบตัวเศษของเศษส่วน ในกรณีนี้ทุกอย่างจะเข้าที่สำหรับเรา

จำนวนคละที่เป็นลบจะตรงข้ามกับจำนวนคละ หากจำนวนบวกคละอยู่ทางด้านขวาและมีลักษณะเช่นนี้

ในบทความนี้เราจะเริ่มสำรวจ จำนวนตรรกยะ- ในที่นี้เราจะให้คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะ คำอธิบายที่จำเป็น และยกตัวอย่างจำนวนตรรกยะ หลังจากนี้เราจะเน้นไปที่วิธีการตรวจสอบว่า หมายเลขที่กำหนดมีเหตุผลหรือไม่

การนำทางหน้า

ความหมายและตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ

ในส่วนนี้เราจะให้คำจำกัดความหลายประการของจำนวนตรรกยะ แม้ว่าจะใช้ถ้อยคำต่างกัน แต่คำจำกัดความเหล่านี้ก็มีความหมายเหมือนกัน นั่นคือ จำนวนตรรกยะจะรวมจำนวนเต็มและเศษส่วนเข้าด้วยกัน เช่นเดียวกับที่จำนวนเต็มรวมจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม และเลขศูนย์เข้าด้วยกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนตรรกยะจะสรุปจำนวนเต็มและ ตัวเลขเศษส่วน.

เริ่มต้นด้วย คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะซึ่งรับรู้ได้อย่างเป็นธรรมชาติที่สุด

จากคำจำกัดความที่ระบุไว้ จะเป็นไปตามว่าจำนวนตรรกยะคือ:

จำนวนธรรมชาติใดๆ n จริงๆ แล้ว คุณสามารถแทนจำนวนธรรมชาติใดๆ ให้เป็นเศษส่วนธรรมดาได้ เช่น 3=3/1
จำนวนเต็มใดๆ โดยเฉพาะเลขศูนย์ ที่จริงแล้ว จำนวนเต็มใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนบวก เศษส่วนลบ หรือศูนย์ก็ได้ ตัวอย่างเช่น 26=26/1, .
เศษส่วนร่วมใดๆ (บวกหรือลบ) สิ่งนี้ได้รับการยืนยันโดยตรงจากคำจำกัดความของจำนวนตรรกยะที่กำหนด
จำนวนผสมใดๆ จริงๆ แล้ว คุณสามารถแทนจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกินได้เสมอ ตัวอย่างเช่นและ.
เศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเศษส่วนทศนิยมที่ระบุจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนสามัญ ตัวอย่างเช่น , และ 0,(3)=1/3

เป็นที่ชัดเจนว่าเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดใดๆ ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เนื่องจากไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมได้

ตอนนี้เราสามารถให้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ- ตัวเลข 4, 903, 100,321 เป็นจำนวนตรรกยะเพราะเป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม 58, −72, 0, −833,333,333 ก็เป็นตัวอย่างของจำนวนตรรกยะเช่นกัน เศษส่วนร่วม 4/9, 99/3 ก็เป็นตัวอย่างของจำนวนตรรกยะเช่นกัน จำนวนตรรกยะก็เป็นตัวเลขเช่นกัน

จากตัวอย่างข้างต้น เห็นได้ชัดว่ามีทั้งจำนวนตรรกยะบวกและลบ และจำนวนตรรกยะ 0 ไม่ใช่ทั้งบวกและลบ

คำจำกัดความข้างต้นของจำนวนตรรกยะสามารถกำหนดได้ในรูปแบบที่กระชับมากขึ้น

คำนิยาม.

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วน z/n โดยที่ z เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

ให้เราพิสูจน์ว่าคำจำกัดความของจำนวนตรรกยะนี้เทียบเท่ากับ คำจำกัดความก่อนหน้า- เรารู้ว่าเราสามารถถือว่าเส้นเศษส่วนเป็นสัญลักษณ์ของการหาร จากนั้นจากคุณสมบัติของการหารจำนวนเต็มและกฎสำหรับการหารจำนวนเต็ม ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะตามมา และ นั่นแหละคือข้อพิสูจน์

เรามายกตัวอย่างจำนวนตรรกยะตามกัน คำจำกัดความนี้- ตัวเลข −5, 0, 3 และเป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากสามารถเขียนเป็นเศษส่วนโดยมีตัวเศษจำนวนเต็มและตัวส่วนตามธรรมชาติของรูป และ ตามลำดับ

คำจำกัดความของจำนวนตรรกยะสามารถให้ไว้ในสูตรต่อไปนี้

คำนิยาม.

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะจำกัดหรืออนันต์ได้

คำจำกัดความนี้ยังเทียบเท่ากับคำจำกัดความแรก เนื่องจากเศษส่วนสามัญทุกตัวสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรือเป็นช่วง และในทางกลับกัน และจำนวนเต็มใดๆ ก็สามารถเชื่อมโยงกับเศษส่วนทศนิยมที่มีศูนย์อยู่หลังจุดทศนิยมได้

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 5, 0, −13 เป็นตัวอย่างของจำนวนตรรกยะเนื่องจากสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมต่อไปนี้ 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 และ −7, (18)

มาจบทฤษฎีของประเด็นนี้ด้วยข้อความต่อไปนี้:

จำนวนเต็มและเศษส่วน (บวกและลบ) ประกอบขึ้นเป็นชุดของจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้โดยมีตัวเศษจำนวนเต็มและตัวส่วนตามธรรมชาติ และแต่ละเศษส่วนดังกล่าวแทนจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง
จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์ได้ และแต่ละเศษส่วนดังกล่าวแทนจำนวนตรรกยะ

จำนวนนี้เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่?

ใน ย่อหน้าก่อนหน้าเราได้เรียนรู้ว่าจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม เศษส่วนใดๆ จำนวนคละ ทศนิยมจำกัด และทศนิยมเป็นคาบใดๆ ล้วนเป็นจำนวนตรรกยะ ความรู้นี้ช่วยให้เรา "รับรู้" จำนวนตรรกยะจากชุดตัวเลขที่เขียนได้

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าให้ตัวเลขในรูปของ some หรือ as ฯลฯ จะตอบคำถามว่าจำนวนนี้เป็นตรรกยะได้อย่างไร? ในหลายกรณีมันเป็นการยากที่จะตอบ ให้เราระบุทิศทางของความคิดบางอย่าง

หากระบุหมายเลขไว้ในแบบฟอร์ม นิพจน์เชิงตัวเลขซึ่งมีเพียงจำนวนตรรกยะและเครื่องหมายเท่านั้น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์(+, −, · และ:) ดังนั้นค่าของนิพจน์นี้จึงเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้ตามมาจากวิธีการกำหนดการดำเนินการด้วยจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น หลังจากดำเนินการทั้งหมดในนิพจน์แล้ว เราจะได้จำนวนตรรกยะ 18

บางครั้งหลังจากทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและอื่นๆ อีกมากมาย ประเภทที่ซับซ้อนทำให้สามารถระบุได้ว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

เดินหน้าต่อไป จำนวน 2 เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติใดๆ นั้นเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วตัวเลขล่ะ? มันมีเหตุผลไหม? ปรากฎว่าไม่ มันไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่เป็นจำนวนอตรรกยะ (การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้โดยความขัดแย้งมีระบุไว้ในหนังสือเรียนพีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ซึ่งระบุไว้ด้านล่างในรายการข้อมูลอ้างอิง) มันยังได้รับการพิสูจน์แล้วว่า รากที่สองของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนตรรกยะเฉพาะในกรณีที่รากมีจำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนธรรมชาติบางตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น และ เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก 81 = 9 2 และ 1 024 = 32 2 และเป็นตัวเลข และ ไม่เป็นตรรกยะ เนื่องจากตัวเลข 7 และ 199 ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ กำลังสองที่สมบูรณ์แบบตัวเลขธรรมชาติ

จำนวนเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่? ใน ในกรณีนี้จะเห็นได้ง่ายว่าจำนวนนี้จึงเป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนเป็นเหตุผลหรือไม่? ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ารากที่ k ของจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากคือกำลัง k ของจำนวนเต็มบางจำนวน ดังนั้นจึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มยกกำลังที่ 5 คือ 121

วิธีการขัดแย้งกันทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าลอการิทึมของตัวเลขบางตัวไม่ใช่จำนวนตรรกยะด้วยเหตุผลบางประการ ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิสูจน์ว่า - ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

สมมุติสิ่งที่ตรงกันข้าม นั่นคือ สมมุติว่าเป็นจำนวนตรรกยะและสามารถเขียนเป็นเศษส่วนธรรมดา m/n ได้ จากนั้นเราให้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: . ความเสมอภาคสุดท้ายเป็นไปไม่ได้เนื่องจากมีทางด้านซ้าย ไม่ เลขคู่ 5 n และทางด้านขวาคือเลขคู่ 2 ม. ดังนั้นสมมุติฐานของเราจึงไม่ถูกต้อง จึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

โดยสรุปเป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อพิจารณาถึงเหตุผลหรือความไร้เหตุผลของตัวเลขเราควรละเว้นจากการสรุปอย่างกะทันหัน

ตัวอย่างเช่น คุณไม่ควรยืนยันทันทีว่าผลคูณของจำนวนอตรรกยะ π และ e เป็นจำนวนอตรรกยะ นี่เป็นสิ่งที่ "ดูเหมือนชัดเจน" แต่ไม่ได้รับการพิสูจน์ สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถาม: “เหตุใดผลิตภัณฑ์จึงเป็นจำนวนตรรกยะ” และทำไมจะไม่ได้ เพราะคุณสามารถยกตัวอย่างจำนวนอตรรกยะได้ ซึ่งผลคูณนั้นให้จำนวนตรรกยะ: .

ยังไม่ทราบว่าตัวเลขและตัวเลขอื่นๆ อีกมากมายมีเหตุผลหรือไม่ ยกตัวอย่างก็มี ตัวเลขอตรรกยะ, ระดับที่ไม่ลงตัวซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ เพื่อเป็นตัวอย่าง เราจะนำเสนอระดับของรูปแบบ ฐานของระดับนี้และเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่ และ 3 เป็นจำนวนตรรกยะ

อ้างอิง.

คณิตศาสตร์.ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [น. ใช่แล้ว Vilenkin และคนอื่น ๆ ] - ฉบับที่ 22, ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00897-2.
พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ตัวเลขธรรมชาติ

คำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนเต็ม ตัวเลขบวก- จำนวนธรรมชาติใช้ในการนับวัตถุและเพื่อวัตถุประสงค์อื่นๆ อีกมากมาย นี่คือตัวเลข:

นี่คือชุดตัวเลขตามธรรมชาติ
ศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่? ไม่ 0 ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ
จำนวนธรรมชาติมีกี่จำนวน? มีจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนอนันต์
จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดคืออะไร? หนึ่งคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด
จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร? ไม่สามารถระบุได้ เนื่องจากมีจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนอนันต์

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การบวกจำนวนธรรมชาติ a และ b:

ผลคูณของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นผลคูณของจำนวนธรรมชาติ a และ b:

c เป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ

ผลต่างของจำนวนธรรมชาติ ไม่มีจำนวนธรรมชาติเสมอไป ถ้าค่า minuend มากกว่าค่า subtrahend ผลต่างของจำนวนธรรมชาติจะเป็นจำนวนธรรมชาติ ไม่เช่นนั้นจะไม่เป็นเช่นนั้น

ผลหารของจำนวนธรรมชาติไม่ใช่จำนวนธรรมชาติเสมอไป ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ a และ b

โดยที่ c เป็นจำนวนธรรมชาติ หมายความว่า a หารด้วย b ลงตัว ในตัวอย่างนี้ a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหาร

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนธรรมชาติที่จำนวนแรกหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนหารด้วยหนึ่งและตัวมันเองได้

จำนวนธรรมชาติเฉพาะนั้นหารด้วยตัวมันเองและตัวเดียวเท่านั้น ในที่นี้เราหมายถึงการแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ตัวอย่างหมายเลข 2; 3; 5; 7 หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น. พวกนี้เป็นจำนวนธรรมชาติธรรมดา

หนึ่งไม่ถือเป็นจำนวนเฉพาะ

เบอร์นั้น มากกว่าหนึ่งและที่ไม่ง่ายเรียกว่าคอมโพสิต ตัวอย่าง ตัวเลขประกอบ:

หนึ่งไม่ถือเป็นจำนวนประกอบ

เซตของจำนวนธรรมชาติคือหนึ่ง หมายเลขเฉพาะและตัวเลขประกอบ

เซตของจำนวนธรรมชาติจะแสดงแทน อักษรละตินเอ็น.

คุณสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติ:

สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก

ทรัพย์สินสมาคมส่วนที่เพิ่มเข้าไป

(ก + ข) + ค = ก + (ข + ค);

สมบัติการสับเปลี่ยนของการคูณ

สมบัติการเชื่อมโยงของการคูณ

(ab) ค = ก (bc);

สมบัติการกระจายของการคูณ

ก (b + c) = ab + ac;

จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติ ศูนย์ และสิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติ

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนธรรมชาติคือจำนวนเต็มลบ เช่น

1; -2; -3; -4;...

เซตของจำนวนเต็มแสดงด้วยตัวอักษรละติน Z

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือจำนวนเต็มและเศษส่วน

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนเป็นคาบได้ ตัวอย่าง:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

จากตัวอย่างจะเห็นชัดเจนว่าจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นเศษส่วนเป็นคาบและมีจุดเป็นศูนย์

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วน m/n โดยที่ m จำนวนเต็ม,nจำนวนธรรมชาติ ลองจินตนาการถึงเลข 3 (6) จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ว่าเป็นเศษส่วนดังกล่าว