పరిష్కరించేటప్పుడు విలువలు మరియు పరిమాణాలను సరిపోల్చండి ఆచరణాత్మక సమస్యలుపురాతన కాలం నుండి జరిగింది. అదే సమయంలో, సజాతీయ పరిమాణాలను పోల్చడం యొక్క ఫలితాలను సూచిస్తూ, ఎక్కువ మరియు తక్కువ, ఎక్కువ మరియు తక్కువ, తేలికైన మరియు భారీ, నిశ్శబ్దంగా మరియు బిగ్గరగా, చౌకైన మరియు ఖరీదైనవి మొదలైన పదాలు కనిపించాయి.
వస్తువులను లెక్కించడం, పరిమాణాలను కొలవడం మరియు పోల్చడం వంటి వాటికి సంబంధించి ఎక్కువ మరియు తక్కువ అనే భావనలు తలెత్తాయి. ఉదాహరణకు, ప్రాచీన గ్రీస్‌లోని గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ఏదైనా త్రిభుజం వైపు మిగిలిన రెండు భుజాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుందని మరియు పెద్ద వైపు త్రిభుజంలోని పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా ఉంటుందని తెలుసు. ఆర్కిమెడిస్, చుట్టుకొలతను లెక్కించేటప్పుడు, ఏదైనా వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత వ్యాసంలో ఏడవ వంతు కంటే తక్కువ, కానీ పది డెబ్బై రెట్లు ఎక్కువ వ్యాసంతో మూడు రెట్లు వ్యాసానికి సమానం అని నిర్ధారించాడు.
గుర్తులు > మరియు b ఉపయోగించి సంఖ్యలు మరియు పరిమాణాల మధ్య సంబంధాలను ప్రతీకాత్మకంగా వ్రాయండి. గుర్తులలో ఒకదానితో రెండు సంఖ్యలు అనుసంధానించబడిన రికార్డ్‌లు: > (కంటే ఎక్కువ), మీరు సంఖ్యాపరమైన అసమానతలను కూడా ఎదుర్కొన్నారు జూనియర్ తరగతులు. అసమానతలు నిజం కావచ్చు లేదా అవి తప్పు కావచ్చు అని మీకు తెలుసు. ఉదాహరణకు, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) అనేది సరైన సంఖ్యా అసమానత, 0.23 > 0.235 అనేది సరికాని సంఖ్యా అసమానత.
తెలియని వారితో కూడిన అసమానతలు తెలియని వాటి యొక్క కొన్ని విలువలకు నిజం మరియు మరికొన్నింటికి తప్పు కావచ్చు. ఉదాహరణకు, అసమానత 2x+1>5 x = 3కి నిజం, కానీ x = -3కి తప్పు. తెలియని వారితో అసమానత కోసం, మీరు విధిని సెట్ చేయవచ్చు: అసమానతను పరిష్కరించండి. ఆచరణలో అసమానతలను పరిష్కరించడంలో సమస్యలు ఎదురవుతాయి మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించే సమస్యల కంటే తక్కువ తరచుగా పరిష్కరించబడతాయి. ఉదాహరణకు, అనేక ఆర్థిక సమస్యలుసరళ అసమానతల వ్యవస్థల అధ్యయనం మరియు పరిష్కారానికి తగ్గించబడ్డాయి. గణితశాస్త్రంలోని అనేక శాఖలలో, సమీకరణాల కంటే అసమానతలు సర్వసాధారణం.
కొన్ని అసమానతలు మాత్రమే పనిచేస్తాయి సహాయక, ఒక నిర్దిష్ట వస్తువు యొక్క ఉనికిని నిరూపించడానికి లేదా నిరూపించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఉదాహరణకు, సమీకరణం యొక్క మూలం.
సంఖ్యా అసమానతలు
మీరు పూర్ణాంకాలను పోల్చగలరా? దశాంశాలు. పోలిక యొక్క నియమాలు మీకు తెలుసా? సాధారణ భిన్నాలుఒకే హారంతో కానీ వేర్వేరు సంఖ్యలతో; అదే న్యూమరేటర్లతో, కానీ వివిధ హారం. ఏదైనా రెండు సంఖ్యలను వాటి వ్యత్యాసం యొక్క చిహ్నాన్ని కనుగొనడం ద్వారా వాటిని ఎలా పోల్చాలో ఇక్కడ మీరు నేర్చుకుంటారు.
సంఖ్యలను పోల్చడం ఆచరణలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఒక ఆర్థికవేత్త ప్రణాళికాబద్ధమైన సూచికలను వాస్తవమైన వాటితో పోలుస్తాడు, వైద్యుడు రోగి యొక్క ఉష్ణోగ్రతను సాధారణంతో పోలుస్తాడు, టర్నర్ యంత్ర భాగాల కొలతలను ప్రమాణంతో పోలుస్తాడు. అటువంటి సందర్భాలలో, కొన్ని సంఖ్యలు పోల్చబడతాయి. సంఖ్యలను పోల్చడం వల్ల, సంఖ్యాపరమైన అసమానతలు తలెత్తుతాయి.
నిర్వచనం.సంఖ్య a మరింత సంఖ్య b, అయితే తేడా a-bఅనుకూల. సంఖ్య a తక్కువ సంఖ్య b, వ్యత్యాసం a-b ప్రతికూలంగా ఉంటే.
a b కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు వారు ఇలా వ్రాస్తారు: a > b; a b కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు వారు ఇలా వ్రాస్తారు: a ఆ విధంగా, అసమానత a > b అంటే a - b తేడా సానుకూలంగా ఉంటుంది, అనగా. a - b > 0. అసమానత a ఏదైనా రెండు సంఖ్యలకు a మరియు b నుండి తదుపరి మూడుసంబంధాలు a > b, a = b, a a మరియు b సంఖ్యలను పోల్చడం అంటే ఏ సంకేతాలలో >, = లేదా సిద్ధాంతం. a > b మరియు b > c అయితే, a > c.
సిద్ధాంతం.మీరు అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యను జోడిస్తే, అసమానత యొక్క చిహ్నం మారదు.
పర్యవసానం.ఈ పదం యొక్క చిహ్నాన్ని వ్యతిరేక పదానికి మార్చడం ద్వారా ఏదైనా పదం అసమానత యొక్క ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి తరలించబడుతుంది.
సిద్ధాంతం.అసమానత యొక్క రెండు వైపులా అదే గుణిస్తే సానుకూల సంఖ్య, అప్పుడు అసమానత సంకేతం మారదు. అసమానత యొక్క రెండు వైపులా అదే గుణిస్తే ప్రతికూల సంఖ్య, అప్పుడు అసమానత యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది.
పర్యవసానం.అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సానుకూల సంఖ్యతో విభజించబడితే, అసమానత యొక్క సంకేతం మారదు. అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఒకే ప్రతికూల సంఖ్యతో విభజించబడితే, అసమానత యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది.
నీకు అది తెలుసా సంఖ్యా సమానతలుమీరు పదం ద్వారా పదాన్ని జోడించవచ్చు మరియు గుణించవచ్చు. తరువాత, మీరు అసమానతలతో ఇలాంటి చర్యలను ఎలా నిర్వహించాలో నేర్చుకుంటారు. పదాల వారీగా అసమానతలను జోడించే మరియు గుణించే సామర్థ్యం తరచుగా ఆచరణలో ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ చర్యలు వ్యక్తీకరణల అర్థాలను మూల్యాంకనం చేయడం మరియు పోల్చడం వంటి సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడతాయి.
నిర్ణయించేటప్పుడు వివిధ పనులుతరచుగా మీరు అసమానతల యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను పదం వారీగా జోడించాలి లేదా గుణించాలి. అదే సమయంలో, అసమానతలు పెరుగుతాయని లేదా గుణించవచ్చని కొన్నిసార్లు చెప్పబడింది. ఉదాహరణకు, ఒక పర్యాటకుడు మొదటి రోజు 20 కిమీ కంటే ఎక్కువ, మరియు రెండవ రోజు 25 కిమీ కంటే ఎక్కువ నడిచినట్లయితే, రెండు రోజుల్లో అతను 45 కిమీ కంటే ఎక్కువ నడిచాడని మనం చెప్పగలం. అదే విధంగా, దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు 13 సెం.మీ కంటే తక్కువ మరియు వెడల్పు 5 సెం.మీ కంటే తక్కువగా ఉంటే, ఈ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం 65 సెం.మీ 2 కంటే తక్కువగా ఉంటుందని మనం చెప్పగలం.
ఈ ఉదాహరణలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, కిందివి ఉపయోగించబడ్డాయి: అసమానతల కూడిక మరియు గుణకారంపై సిద్ధాంతాలు:
సిద్ధాంతం.ఒకే గుర్తు యొక్క అసమానతలను జోడించినప్పుడు, అదే గుర్తు యొక్క అసమానత పొందబడుతుంది: a > b మరియు c > d అయితే, అప్పుడు a + c > b + d.
సిద్ధాంతం.ఒకే గుర్తు యొక్క అసమానతలను గుణించినప్పుడు, దీని ఎడమ మరియు కుడి వైపులా సానుకూలంగా ఉంటాయి, అదే గుర్తు యొక్క అసమానత పొందబడుతుంది: a >b, c > d మరియు a, b, c, d ధనాత్మక సంఖ్యలు అయితే, అప్పుడు ac > bd.
సంకేతంతో అసమానతలు > (కంటే ఎక్కువ) మరియు 1/2, 3/4 b, c కఠినమైన అసమానతల సంకేతాలతో పాటు > మరియు అదే విధంగా, అసమానత \(a \geq b \) అంటే సంఖ్య a b కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం, అనగా .మరియు తక్కువ కాదు b.
\(\geq \) గుర్తు లేదా \(\leq \) గుర్తు ఉన్న అసమానతలను నాన్-స్ట్రిక్ట్ అంటారు. ఉదాహరణకు, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) కఠినమైన అసమానతలు కాదు.
కఠినమైన అసమానతల యొక్క అన్ని లక్షణాలు కఠినమైన అసమానతలకు కూడా చెల్లుతాయి. అంతేకాకుండా, కఠినమైన అసమానతలకు సంకేతాలు > విరుద్ధంగా పరిగణించబడితే, సిరీస్‌ను పరిష్కరించడానికి మీకు తెలుసు దరఖాస్తు సమస్యలుమీరు సమీకరణం లేదా సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపంలో గణిత నమూనాను సృష్టించాలి. తదుపరి మీరు దానిని కనుగొంటారు గణిత నమూనాలుఅనేక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి తెలియని వారితో అసమానతలు ఉన్నాయి. మేము అసమానతను పరిష్కరించే భావనను పరిచయం చేస్తాము మరియు లేదో ఎలా తనిఖీ చేయాలో చూపుతాము ఇచ్చిన సంఖ్యనిర్దిష్ట అసమానతను పరిష్కరించడం.
రూపం యొక్క అసమానతలు
\(ax > b, \quad ax దీనిలో a మరియు b ఉంటాయి ఇచ్చిన సంఖ్యలు, మరియు x తెలియదు, అంటారు తెలియని ఒకదానితో సరళ అసమానతలు.
నిర్వచనం.ఒక తెలియని అసమానతకు పరిష్కారం తెలియని విలువ, ఈ అసమానత నిజమైన సంఖ్యా అసమానతగా మారుతుంది. అసమానతను పరిష్కరించడం అంటే దాని అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొనడం లేదా ఏదీ లేవని నిర్ధారించడం.
మీరు వాటిని సరళమైన సమీకరణాలకు తగ్గించడం ద్వారా సమీకరణాలను పరిష్కరించారు. అదేవిధంగా, అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, లక్షణాలను ఉపయోగించి, సాధారణ అసమానతల రూపంలో వాటిని తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తారు.
ఒక వేరియబుల్‌తో రెండవ డిగ్రీ అసమానతలను పరిష్కరించడం
రూపం యొక్క అసమానతలు
\(ax^2+bx+c >0 \) మరియు \(ax^2+bx+c ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, a, b మరియు c కొన్ని సంఖ్యలు మరియు \(a \neq 0 \), అని పిలుస్తారు ఒక వేరియబుల్‌తో రెండవ డిగ్రీ యొక్క అసమానతలు.
అసమానతలకు పరిష్కారం
\(ax^2+bx+c >0 \) లేదా \(ax^2+bx+c \(y= ax^2+bx+c \) ధనాత్మక లేదా ప్రతికూలంగా తీసుకునే విరామాలుగా పరిగణించవచ్చు విలువలు దీన్ని చేయడానికి, ఫంక్షన్ \(y= ax^2+bx+c \) యొక్క గ్రాఫ్ ఎలా ఉందో విశ్లేషించడానికి సరిపోతుంది సమన్వయ విమానం: పారాబొలా యొక్క శాఖలు ఎక్కడ నిర్దేశించబడతాయి - పైకి లేదా క్రిందికి, పారాబొలా x-అక్షాన్ని కలుస్తుందా మరియు అది జరిగినట్లయితే, ఏ పాయింట్ల వద్ద.
ఒక వేరియబుల్‌తో రెండవ డిగ్రీ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:
1) వివక్షను కనుగొనండి చతుర్భుజ త్రికోణము\(ax^2+bx+c\) మరియు ట్రినోమియల్‌కు మూలాలు ఉన్నాయో లేదో తెలుసుకోండి;
2) ట్రినోమియల్‌కు మూలాలు ఉన్నట్లయితే, వాటిని x-యాక్సిస్‌పై గుర్తించండి మరియు గుర్తించబడిన పాయింట్ల ద్వారా స్కీమాటిక్ పారాబొలాను గీయండి, వీటి శాఖలు పైకి > 0కి లేదా క్రిందికి 0కి లేదా దిగువన 3కి మళ్లించబడతాయి) x-అక్షంపై విరామాలను కనుగొనండి, దీని కోసం పాయింట్లు పారాబొలాలు x-అక్షం పైన (అవి అసమానతను పరిష్కరిస్తే \(ax^2+bx+c >0\)) లేదా x-అక్షం క్రింద (అవి పరిష్కరిస్తే అసమానత
\(ax^2+bx+c విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరించడం
ఫంక్షన్ పరిగణించండి
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ అన్ని సంఖ్యల సమితి. ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు సంఖ్యలు -2, 3, 5. అవి ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజిస్తాయి \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) మరియు \( (5; +\infty)\)
సూచించిన ప్రతి వ్యవధిలో ఈ ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతాలు ఏమిటో తెలుసుకుందాం.
వ్యక్తీకరణ (x + 2)(x - 3)(x - 5) అనేది మూడు కారకాల ఉత్పత్తి. పరిశీలనలో ఉన్న విరామాలలో ఈ కారకాల యొక్క ప్రతి సంకేతం పట్టికలో సూచించబడింది:
సాధారణంగా, ఫార్ములా ద్వారా ఫంక్షన్ ఇవ్వబడనివ్వండి
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, మరియు x 1, x 2, ..., x n అనేది ఒకదానికొకటి సమానంగా లేని సంఖ్యలు. x 1 , x 2 , ..., x n అనే సంఖ్యలు ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలతో విభజించబడిన ప్రతి వ్యవధిలో, ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది మరియు సున్నా గుండా వెళుతున్నప్పుడు దాని గుర్తు మారుతుంది.
రూపం యొక్క అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ఈ ఆస్తి ఉపయోగించబడుతుంది
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ఇక్కడ x 1, x 2, ..., x n ఒకదానికొకటి సమానంగా లేని సంఖ్యలు
పరిగణించబడిన పద్ధతి అసమానతలను పరిష్కరించడాన్ని విరామ పద్ధతి అంటారు.
ఇంటర్వెల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను ఇద్దాం.
అసమానతలను పరిష్కరించండి:
\(x(0.5-x)(x+4) సహజంగానే, f(x) = x(0.5-x)(x+4) అనే ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు \(x=0, \; x= \) frac(1)(2) , \; x=-4 \)మేము సంఖ్య అక్షం మీద ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలను ప్లాట్ చేస్తాము మరియు ప్రతి విరామంలో గుర్తును గణిస్తాము:
మేము ఫంక్షన్ సున్నా కంటే తక్కువగా లేదా సమానంగా ఉన్న ఆ విరామాలను ఎంచుకుంటాము మరియు సమాధానాన్ని వ్రాస్తాము.
సమాధానం:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
అసమానత≤, లేదా ≥తో కూడిన వ్యక్తీకరణ. ఉదాహరణకు, 3x - 5 అసమానతను పరిష్కరించడం అంటే అసమానత నిజమైన వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనడం. ఈ సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి అసమానతకు ఒక పరిష్కారం, మరియు అటువంటి అన్ని పరిష్కారాల సమితి దానిది అనేక పరిష్కారాలు. ఒకే విధమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న అసమానతలను అంటారు సమానమైన అసమానతలు.
సరళ అసమానతలు
అసమానతలను పరిష్కరించే సూత్రాలు సమీకరణాలను పరిష్కరించే సూత్రాలకు సమానంగా ఉంటాయి.అసమానతలను పరిష్కరించడానికి సూత్రాలు
ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యల కోసం a, b మరియు c:
అసమానతలను జోడించే సూత్రం: ఉంటే a అసమానతలకు గుణకార సూత్రం: ఒక 0 నిజమైతే, ac అయితే bc కూడా నిజం.
ఇలాంటి ప్రకటనలు a ≤ bకి కూడా వర్తిస్తాయి.
అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించబడినప్పుడు, అసమానత యొక్క సంకేతం తప్పనిసరిగా రివర్స్ చేయబడాలి.
మొదటి-స్థాయి అసమానతలు, ఉదాహరణకు 1 (క్రింద) వలె అంటారు సరళ అసమానతలు.
ఉదాహరణ 1కింది ప్రతి అసమానతలను పరిష్కరించండి. అప్పుడు పరిష్కారాల సమితిని గీయండి.
ఎ) 3x - 5 బి) 13 - 7x ≥ 10x - 4
పరిష్కారం
11/5 కంటే తక్కువ సంఖ్య ఏదైనా పరిష్కారం.
పరిష్కారాల సమితి (x|x
తనిఖీ చేయడానికి, మేము y 1 = 3x - 5 మరియు y 2 = 6 - 2x యొక్క గ్రాఫ్‌ని గీయవచ్చు. అప్పుడు x కోసం అని స్పష్టమవుతుంది 
పరిష్కార సమితి (x|x ≤ 1), లేదా (-∞, 1]. పరిష్కార సమితి యొక్క గ్రాఫ్ క్రింద చూపబడింది. 
డబుల్ అసమానతలు
రెండు అసమానతలు ఒక పదం ద్వారా అనుసంధానించబడినప్పుడు మరియు, లేదా, అప్పుడు అది ఏర్పడుతుంది డబుల్ అసమానత. డబుల్ అసమానత వంటిది
-3
మరియు 2x + 5 ≤ 7
అని పిలిచారు కనెక్ట్ చేయబడింది, ఎందుకంటే అది ఉపయోగిస్తుంది మరియు. ఎంట్రీ -3 అసమానతల కూడిక మరియు గుణకారం సూత్రాలను ఉపయోగించి డబుల్ అసమానతలను పరిష్కరించవచ్చు.
ఉదాహరణ 2పరిష్కరించండి -3 పరిష్కారంమన దగ్గర ఉంది
పరిష్కారాల సమితి (x|x ≤ -1 లేదా x > 3). మేము విరామం సంజ్ఞామానం మరియు చిహ్నాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని కూడా వ్రాయవచ్చు సంఘాలులేదా రెండు సెట్లతో సహా: (-∞ -1] (3, ∞). సొల్యూషన్ సెట్ యొక్క గ్రాఫ్ క్రింద చూపబడింది. 
తనిఖీ చేయడానికి, y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, మరియు y 3 = 1 ప్లాట్ చేద్దాం. (x|x ≤ -1 కోసం దీన్ని గమనించండి లేదా x > 3), y 1 ≤ y 2 లేదా y 1 > y 3 . 
సంపూర్ణ విలువతో అసమానతలు (మాడ్యులస్)
అసమానతలు కొన్నిసార్లు మాడ్యులీని కలిగి ఉంటాయి. వాటిని పరిష్కరించడానికి క్రింది లక్షణాలు ఉపయోగించబడతాయి.
ఒక > 0 మరియు బీజగణిత వ్యక్తీకరణ x:
|x| |x| > a అనేది x లేదా x > aకి సమానం.
|x|కి సారూప్య ప్రకటనలు ≤ a మరియు |x| ≥ a.
ఉదాహరణకి,
|x| |y| ≥ 1 y ≤ -1కి సమానం లేదా y ≥ 1;
మరియు |2x + 3| ≤ 4 అనేది -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4కి సమానం.
ఉదాహరణ 4కింది ప్రతి అసమానతలను పరిష్కరించండి. పరిష్కారాల సమితిని గ్రాఫ్ చేయండి.
ఎ) |3x + 2| బి) |5 - 2x| ≥ 1
పరిష్కారం
ఎ) |3x + 2|
బి) |5 - 2x| ≥ 1
పరిష్కారం సెట్ (x|x ≤ 2 లేదా x ≥ 3), లేదా (-∞, 2]. కింది ఉదాహరణ అటువంటి బ్రాకెట్‌ను ఉపయోగిస్తుంది.
సమాధానాన్ని వ్రాసుకుందాం: x ≥ -0,5 విరామాలలో:
x ∈ [-0.5; +∞)
చదువుతుంది: x మైనస్ 0.5 నుండి విరామానికి చెందినది, సహా,అనంతం వరకు.
అనంతం ఎప్పటికీ ఆన్ చేయబడదు. ఇది సంఖ్య కాదు, చిహ్నం. అందువల్ల, అటువంటి సంకేతాలలో, అనంతం ఎల్లప్పుడూ కుండలీకరణానికి ప్రక్కనే ఉంటుంది.
రికార్డింగ్ యొక్క ఈ రూపం అనేక ఖాళీలతో కూడిన సంక్లిష్ట సమాధానాల కోసం సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. కానీ - తుది సమాధానాల కోసం. ఇంటర్మీడియట్ ఫలితాల్లో, తదుపరి పరిష్కారం ఆశించిన చోట, రూపంలో సాధారణ ఫారమ్‌ను ఉపయోగించడం మంచిది సాధారణ అసమానత. మేము సంబంధిత అంశాలలో దీనితో వ్యవహరిస్తాము.
అసమానతలతో జనాదరణ పొందిన పనులు.
సరళ అసమానతలు చాలా సరళంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, పనులు తరచుగా మరింత కష్టతరం అవుతాయి. కాబట్టి ఆలోచించాల్సిన అవసరం వచ్చింది. ఇది, మీరు ఉపయోగించకపోతే, చాలా ఆహ్లాదకరమైనది కాదు.) కానీ ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. నేను అలాంటి పనులకు ఉదాహరణలు చూపిస్తాను. మీరు వాటిని నేర్చుకోవడం కోసం కాదు, ఇది అనవసరం. మరియు కలుసుకున్నప్పుడు భయపడకూడదు ఇలాంటి ఉదాహరణలు. కొంచెం ఆలోచించండి - మరియు ఇది చాలా సులభం!)
1. అసమానత 3x - 3కి ఏవైనా రెండు పరిష్కారాలను కనుగొనండి< 0
ఏమి చేయాలో స్పష్టంగా తెలియకపోతే, గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రధాన నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి:
మీకు ఏమి కావాలో మీకు తెలియకపోతే, మీరు చేయగలిగినంత చేయండి!)
X < 1
ఇంకా ఏంటి? ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు. వారు మమ్మల్ని ఏమి అడుగుతున్నారు? అసమానత్వానికి పరిష్కారంగా ఉండే రెండు నిర్దిష్ట సంఖ్యలను కనుగొనమని మేము కోరాము. ఆ. సమాధానానికి సరిపోతాయి. రెండు ఏదైనాసంఖ్యలు. అసలైన, ఇది గందరగోళంగా ఉంది.) 0 మరియు 0.5 జంట సరిపోతాయి. ఒక జంట -3 మరియు -8. అవును ఈ జంటలు అనంతమైన సెట్! ఏ సమాధానం సరైనది?!
నేను సమాధానం ఇస్తున్నాను: ప్రతిదీ! ఏదైనా జత సంఖ్యలు, ప్రతి ఒక్కటి ఒకటి కంటే తక్కువ, సరైన సమాధానం ఉంటుంది.మీకు ఏది కావాలో వ్రాయండి. ముందుకు వెళ్దాం.
2. అసమానతను పరిష్కరించండి:
4x - 3 ≠ 0
ఈ రూపంలో పనులు చాలా అరుదు. కానీ, సహాయక అసమానతలుగా, ODZని కనుగొనేటప్పుడు, ఉదాహరణకు, లేదా ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనేటప్పుడు, అవి అన్ని సమయాలలో జరుగుతాయి. అటువంటి సరళ అసమానత సాధారణ సరళ సమీకరణంగా పరిష్కరించబడుతుంది. "=" గుర్తు తప్ప ప్రతిచోటా మాత్రమే ( సమానం) గుర్తు పెట్టండి" ≠ " (సమానము కాదు) ఈ విధంగా మీరు సమాధానాన్ని చేరుకుంటారు అసమానత సంకేతం:
X ≠ 0,75
మరింత లో సంక్లిష్ట ఉదాహరణలు, పనులను భిన్నంగా చేయడం మంచిది. సమానత్వం నుండి అసమానతలను చేయండి. ఇలా:
4x - 3 = 0
బోధించిన విధంగా ప్రశాంతంగా పరిష్కరించండి మరియు సమాధానాన్ని పొందండి:
x = 0.75
ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, చివరిలో, చివరి సమాధానాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, మేము xని కనుగొన్నామని మర్చిపోవద్దు, అది ఇస్తుంది సమానత్వం.మరియు మనకు కావాలి - అసమానత.కాబట్టి, మనకు నిజంగా ఈ X అవసరం లేదు.) మరియు మనం దానిని సరైన గుర్తుతో వ్రాయాలి:
X ≠ 0,75
ఈ విధానంతో అది మారుతుంది తక్కువ తప్పులు. సమీకరణాలను స్వయంచాలకంగా పరిష్కరించే వారు. మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించని వారికి, అసమానతలు, వాస్తవానికి, ఎటువంటి ఉపయోగం లేదు...) జనాదరణ పొందిన పనికి మరొక ఉదాహరణ:
3. అసమానతకు అతిచిన్న పూర్ణాంక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి:
3(x - 1) < 5x + 9
మొదట మేము అసమానతను పరిష్కరిస్తాము. మేము బ్రాకెట్లను తెరుస్తాము, వాటిని తరలించాము, ఇలాంటి వాటిని తీసుకువస్తాము... మనకు లభిస్తుంది:
X > - 6
అది ఆ విధంగా పని చేయలేదా!? మీరు సంకేతాలను అనుసరించారా!? మరియు సభ్యుల సంకేతాల వెనుక మరియు అసమానత సంకేతం వెనుక ...
మళ్ళీ ఆలోచిద్దాం. మనం కనుక్కోవాలి నిర్దిష్ట సంఖ్య, సమాధానం మరియు పరిస్థితి రెండింటికీ అనుకూలం "చిన్న పూర్ణాంకం".అది మీకు వెంటనే తెలియకపోతే, మీరు ఏదైనా సంఖ్యను తీసుకొని దాన్ని గుర్తించవచ్చు. రెండు మైనస్ ఆరు? ఖచ్చితంగా! తగిన చిన్న సంఖ్య ఉందా? అయితే. ఉదాహరణకు, సున్నా -6 కంటే ఎక్కువ. మరియు ఇంకా తక్కువ? మనకు సాధ్యమైనంత చిన్న విషయం కావాలి! మైనస్ ఆరు కంటే మైనస్ మూడు ఎక్కువ! మీరు ఇప్పటికే నమూనాను పట్టుకోవచ్చు మరియు తెలివితక్కువగా సంఖ్యల ద్వారా వెళ్లడం ఆపవచ్చు, సరియైనదా?)
-6కి దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్యను తీసుకుందాం. ఉదాహరణకు, -5. సమాధానం నెరవేరింది, -5 > - 6. -5 కంటే తక్కువ కానీ -6 కంటే ఎక్కువ ఉన్న మరో సంఖ్యను కనుగొనడం సాధ్యమేనా? మీరు, ఉదాహరణకు, -5.5... ఆపు! మాకు చెప్పబడింది మొత్తంపరిష్కారం! రోల్ లేదు -5.5! మైనస్ ఆరు గురించి ఏమిటి? ఊహూ! అసమానత కఠినమైనది, మైనస్ 6 మైనస్ 6 కంటే తక్కువ కాదు!
కాబట్టి, సరైన సమాధానం -5.
నుండి విలువల ఎంపికతో ఆశిస్తున్నాము సాధారణ పరిష్కారంఅంతా సవ్యం. మరొక ఉదాహరణ:
4. అసమానతను పరిష్కరించండి:
7 < 3x+1 < 13
వావ్! ఈ వ్యక్తీకరణ అంటారు ట్రిపుల్ అసమానత.ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇది అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క సంక్షిప్త రూపం. అయితే ఇలాంటి ట్రిపుల్ అసమానతలను ఇంకా కొన్ని పనుల్లో పరిష్కరించాలి... ఎలాంటి వ్యవస్థలు లేకుండానే పరిష్కరించవచ్చు. అదే ఒకే విధమైన పరివర్తనల ప్రకారం.
మనం ఈ అసమానతను సరళీకరించాలి, స్వచ్ఛమైన Xకి తీసుకురావాలి. కానీ... దేనిని ఎక్కడికి తరలించాలి?! ఎడమ మరియు కుడికి కదలడం గుర్తుంచుకోవలసిన సమయం ఇది చిన్న రూపంమొదటి గుర్తింపు పరివర్తన.
ఎ పూర్తి రూపంఇలా వినిపిస్తుంది: సమీకరణం (అసమానత్వం) యొక్క రెండు వైపులా ఏదైనా సంఖ్య లేదా వ్యక్తీకరణను జోడించవచ్చు/వ్యవకలనం చేయవచ్చు.
ఇక్కడ మూడు భాగాలు ఉన్నాయి. అదే మేము ఉపయోగిస్తాము గుర్తింపు పరివర్తనలుమూడు భాగాలకు!
కాబట్టి, అసమానత యొక్క మధ్య భాగంలో ఉన్నదాన్ని వదిలించుకుందాం. మొత్తం మధ్య భాగం నుండి ఒకదాన్ని తీసివేద్దాం. అసమానత మారదు కాబట్టి, మేము మిగిలిన రెండు భాగాల నుండి ఒకదాన్ని తీసివేస్తాము. ఇలా:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
ఇది మంచిది, సరియైనదా?) మూడు భాగాలను మూడుగా విభజించడమే మిగిలి ఉంది:
2 < X < 4
అంతే. ఇదే సమాధానం. X అనేది రెండు (సహా కాదు) నుండి నాలుగు (సహా కాదు) వరకు ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు. ఈ సమాధానం విరామాలలో కూడా వ్రాయబడుతుంది; అటువంటి నమోదులు చతుర్భుజ అసమానతలలో ఉంటాయి. అక్కడ అవి సర్వసాధారణం.
పాఠం ముగింపులో నేను చాలా ముఖ్యమైన విషయాన్ని పునరావృతం చేస్తాను. సరళ అసమానతలను పరిష్కరించడంలో విజయం సరళ సమీకరణాలను మార్చగల మరియు సరళీకృతం చేయగల సామర్థ్యంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అదే సమయంలో ఉంటే అసమానత గుర్తు కోసం చూడండి,ఎటువంటి సమస్యలు ఉండవు. అదే నేను నిన్ను కోరుకుంటున్నాను. సమస్యలు లేవు.)
మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...
మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)
మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)
మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.
x + b సరళ అసమానతలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో ఇప్పుడు మీరు అర్థం చేసుకోవచ్చు<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).
వాటిని పరిష్కరించడానికి ప్రధాన మార్గం ఏమిటంటే, a≠0కి చేరుకోవడానికి వీలు కల్పించే సమానమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించడం ప్రాథమిక అసమానతలు x రకం
, ≥), p - ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య, ఇది కావలసిన పరిష్కారం, మరియు a=0 కోసం - రూపం యొక్క సంఖ్యా అసమానతలకు a
, ≥), దీని నుండి అసలు అసమానత యొక్క పరిష్కారం గురించి తీర్మానం చేయబడుతుంది. మేము మొదట దానిని విశ్లేషిస్తాము.
ఇతర దృక్కోణాల నుండి ఒక వేరియబుల్‌లో సరళ అసమానతలను పరిష్కరించడం కూడా బాధించదు. అందువల్ల, లీనియర్ అసమానతను గ్రాఫికల్‌గా మరియు ఇంటర్వెల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఎలా పరిష్కరించవచ్చో కూడా మేము చూపుతాము.
సమానమైన పరివర్తనలను ఉపయోగించడం
మనం సరళ అసమానత a x+bని పరిష్కరించాలి<0 (≤, >, ≥). సమానమైన అసమానత పరివర్తనలను ఉపయోగించి దీన్ని ఎలా చేయాలో చూపిద్దాం.
వేరియబుల్ x యొక్క కోఎఫీషియంట్ a సమానంగా ఉందా లేదా సున్నాకి సమానం కాదా అనే దానిపై ఆధారపడి విధానాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. వాటిని ఒక్కొక్కటిగా చూద్దాం. అంతేకాకుండా, పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, మేము మూడు-పాయింట్ స్కీమ్‌కు కట్టుబడి ఉంటాము: మొదట మేము ప్రక్రియ యొక్క సారాంశాన్ని ఇస్తాము, ఆపై మేము సరళ అసమానతను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గోరిథం ఇస్తాము మరియు చివరకు, మేము సాధారణ ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను ఇస్తాము.
దీనితో ప్రారంభిద్దాం సరళ అసమానతను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం a x+b<0 (≤, >, ≥) a≠0 కోసం.
- ముందుగా, సంఖ్య b అసమానత c యొక్క కుడి వైపుకు బదిలీ చేయబడుతుంది వ్యతిరేక చిహ్నం. ఇది సమానమైన అసమానత a xకి వెళ్ళడానికి అనుమతిస్తుంది<−b (≤, >, ≥).
- రెండవది, ఫలిత అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్య a ద్వారా విభజించబడింది. అంతేకాకుండా, a అనేది ధనాత్మక సంఖ్య అయితే, అసమానత సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది మరియు a ప్రతికూల సంఖ్య అయితే, అసమానత గుర్తు రివర్స్ అవుతుంది. ఫలితంగా అసలైన సరళ అసమానతతో సమానమైన ప్రాథమిక అసమానత మరియు ఇది సమాధానం.
ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ప్రకటించిన అల్గోరిథం యొక్క అనువర్తనాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. a≠0 కోసం సరళ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి దీన్ని ఎలా ఉపయోగించవచ్చో పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ.
అసమానత 3·x+12≤0ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
ఇచ్చిన సరళ అసమానత కోసం మనకు a=3 మరియు b=12 ఉంటాయి. సహజంగానే, వేరియబుల్ x కోసం a గుణకం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. పైన ఇచ్చిన సంబంధిత సొల్యూషన్ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగిస్తాము.
మొదట, మేము 12 అనే పదాన్ని అసమానత యొక్క కుడి వైపుకు తరలిస్తాము, దాని చిహ్నాన్ని మార్చడం మర్చిపోకుండా, అంటే −12 కుడి వైపున కనిపిస్తుంది. ఫలితంగా, మేము సమానమైన అసమానత 3·x≤−12కి చేరుకుంటాము.
మరియు, రెండవది, ఫలిత అసమానత యొక్క రెండు వైపులా మేము 3 ద్వారా విభజిస్తాము, 3 సానుకూల సంఖ్య కాబట్టి, మేము అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చము. మనకు (3 x):3≤(−12):3 ఉంది, ఇది x≤−4కి సమానం.
ఫలితంగా ఏర్పడే ప్రాథమిక అసమానత x≤−4 అసలైన సరళ అసమానతకు సమానం మరియు దాని కావలసిన పరిష్కారం.
కాబట్టి, సరళ అసమానత 3 x + 12≤0కి పరిష్కారం ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య మైనస్ నాలుగు కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది. సమాధానాన్ని అసమానత x≤−4కి అనుగుణంగా ఉండే సంఖ్యా విరామం రూపంలో కూడా వ్రాయవచ్చు, అంటే (-∞, -4] .
సరళ అసమానతలతో పని చేయడంలో నైపుణ్యాన్ని సంపాదించి, వాటి పరిష్కారాలను వివరణ లేకుండా క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, మొదట అసలు సరళ అసమానతను వ్రాసి, క్రింద - పరిష్కారం యొక్క ప్రతి దశలో పొందిన సమానమైన అసమానతలు:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .
సమాధానం:
x≤−4 లేదా (−∞, -4] .
ఉదాహరణ.
సరళ అసమానత −2.7·z>0కి అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.
పరిష్కారం.
ఇక్కడ వేరియబుల్ z కోసం గుణకం a −2.7కి సమానం. మరియు గుణకం b స్పష్టమైన రూపంలో లేదు, అంటే అది సున్నాకి సమానం. అందువల్ల, ఒక వేరియబుల్‌తో సరళ అసమానతను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం యొక్క మొదటి దశను నిర్వహించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే సున్నాను ఎడమ వైపు నుండి కుడికి తరలించడం అసలు అసమానత రూపాన్ని మార్చదు.
అసమానత యొక్క రెండు భుజాలను −2.7 ద్వారా విభజించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది, అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని వ్యతిరేక సంఖ్యకు మార్చడం మర్చిపోకుండా, −2.7 ప్రతికూల సంఖ్య. మన దగ్గర ఉంది (−2.7 z):(−2.7)<0:(−2,7) , ఆపై z<0 .
మరియు ఇప్పుడు క్లుప్తంగా:
−2.7·z>0 ;
z<0
.
సమాధానం:
z<0 или (−∞, 0) .
ఉదాహరణ.
అసమానతను పరిష్కరించండి 
.
పరిష్కారం.
−5కి సమానమైన వేరియబుల్ x కోసం కోఎఫీషియంట్ aతో మరియు భిన్నం -15/22కి అనుగుణంగా ఉండే గుణకం bతో మనం సరళ అసమానతను పరిష్కరించాలి. మేము బాగా తెలిసిన పథకం ప్రకారం కొనసాగుతాము: మొదట మేము వ్యతిరేక చిహ్నంతో కుడి వైపుకు −15/22ని బదిలీ చేస్తాము, ఆ తర్వాత అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ప్రతికూల సంఖ్య -5 ద్వారా అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని మారుస్తాము: 
కుడి వైపున చివరి పరివర్తన ఉపయోగిస్తుంది 
, తర్వాత అమలు చేయబడింది 
.
సమాధానం:
ఇప్పుడు a=0 ఉన్నప్పుడు కేసుకు వెళ్దాం. సరళ అసమానతను పరిష్కరించే సూత్రం a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.
ఇది దేనిపై ఆధారపడి ఉంది? చాలా సులభం: అసమానతకు పరిష్కారాన్ని నిర్ణయించడం. ఎలా? అవును, ఇక్కడ ఎలా ఉంది: అసలు రేఖీయ అసమానతలో వేరియబుల్ x యొక్క ఏ విలువను మనం భర్తీ చేసినా, మేము ఫారమ్ b యొక్క సంఖ్యా అసమానతను పొందుతాము<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.
పై ఆర్గ్యుమెంట్‌లను ఫారమ్‌లో రూపొందిద్దాం సరళ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :
- సంఖ్యా అసమానతను పరిగణించండి b<0 (≤, >, ≥) మరియు
- అది నిజమైతే, అసలు అసమానతకు పరిష్కారం ఏదైనా సంఖ్య;
- అది తప్పు అయితే, అసలు సరళ అసమానతకి పరిష్కారాలు లేవు.
ఇప్పుడు దీనిని ఉదాహరణలతో అర్థం చేసుకుందాం.
ఉదాహరణ.
అసమానత 0·x+7>0ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
వేరియబుల్ x యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం, సరళ అసమానత 0 x+7>0 సంఖ్యా అసమానత 7>0గా మారుతుంది. చివరి అసమానత నిజం, కాబట్టి, ఏదైనా సంఖ్య అసలు అసమానతకు పరిష్కారం.
సమాధానం:
పరిష్కారం ఏదైనా సంఖ్య లేదా (−∞, +∞) .
ఉదాహరణ.
సరళ అసమానత 0·x−12.7≥0కి పరిష్కారాలు ఉన్నాయా?
పరిష్కారం.
మీరు వేరియబుల్ xకి బదులుగా ఏదైనా సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, అసలు అసమానత సంఖ్యా అసమానత −12.7≥0గా మారుతుంది, ఇది తప్పు. దీని అర్థం సరళ అసమానత 0·x−12.7≥0కి ఒక్క సంఖ్య కూడా పరిష్కారం కాదు.
సమాధానం:
లేదు, అది లేదు.
ఈ విభాగాన్ని ముగించడానికి, మేము రెండు సరళ అసమానతలకు పరిష్కారాలను విశ్లేషిస్తాము, ఈ రెండింటి గుణకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి.
ఉదాహరణ.
సరళ అసమానతల్లో ఏది 0·x+0>0 మరియు 0·x+0≥0కి పరిష్కారాలు లేవు మరియు ఏది అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది?
పరిష్కారం.
మీరు వేరియబుల్ xకి బదులుగా ఏదైనా సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మొదటి అసమానత 0>0 మరియు రెండవది - 0≥0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. వాటిలో మొదటిది తప్పు, రెండవది సరైనది. పర్యవసానంగా, సరళ అసమానత 0·x+0>0కి పరిష్కారాలు లేవు మరియు అసమానత 0·x+0≥0కి అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి, అవి, దాని పరిష్కారం ఏదైనా సంఖ్య.
సమాధానం:
అసమానత 0 x+0>0కి పరిష్కారాలు లేవు మరియు అసమానత 0 x+0≥0 అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది.
విరామం పద్ధతి
సాధారణంగా, ఒక వేరియబుల్‌లో సరళ అసమానతలను పరిష్కరించే అంశం కంటే విరామాల పద్ధతిని పాఠశాల ఆల్జీబ్రా కోర్సులో అధ్యయనం చేస్తారు. కానీ విరామం పద్ధతి సరళమైన వాటితో సహా వివిధ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అందువలన, దానిపై నివసించుదాం.
వేరియబుల్ x కోసం సున్నా కాని గుణకంతో సరళ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించడం మంచిది అని వెంటనే గమనించండి. లేకపోతే, మునుపటి పేరా చివరిలో చర్చించిన పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానత యొక్క పరిష్కారం గురించి ముగింపును రూపొందించడం వేగంగా మరియు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
విరామం పద్ధతి సూచిస్తుంది
- అసమానత యొక్క ఎడమ వైపుకు సంబంధించిన ఫంక్షన్‌ను పరిచయం చేయడం, మా విషయంలో – సరళ ఫంక్షన్ y=a x+b,
- నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజించే దాని సున్నాలను కనుగొనడం,
- ఈ విరామాలలో ఫంక్షన్ విలువలను కలిగి ఉన్న సంకేతాలను నిర్ణయించడం, దీని ఆధారంగా సరళ అసమానత యొక్క పరిష్కారం గురించి ఒక తీర్మానం చేయబడుతుంది.
ఈ క్షణాలను సేకరిద్దాం అల్గోరిథం, సరళ అసమానతలను ఎలా పరిష్కరించాలో వెల్లడిస్తుంది a x+b<0 (≤, >, ≥) విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి a≠0 కోసం:
- y=a·x+b ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు కనుగొనబడ్డాయి, దీని కోసం a·x+b=0 పరిష్కరించబడుతుంది. తెలిసినట్లుగా, a≠0కి ఇది ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దానిని మనం x 0గా సూచిస్తాము.
- ఇది నిర్మించబడింది మరియు కోఆర్డినేట్ x 0తో ఒక పాయింట్ దానిపై చిత్రీకరించబడింది. అంతేకానీ నిర్ణయించుకున్నా కఠినమైన అసమానత(సంకేతంతో< или >), అప్పుడు ఈ పాయింట్ పంక్చుయేట్ చేయబడింది (ఖాళీ కేంద్రంతో), మరియు అది కఠినంగా లేకుంటే (≤ లేదా ≥ గుర్తుతో), అప్పుడు ఒక సాధారణ పాయింట్ ఉంచబడుతుంది. ఈ పాయింట్ కోఆర్డినేట్ లైన్‌ను రెండు విరామాలు (−∞, x 0) మరియు (x 0, +∞)గా విభజిస్తుంది.
- ఈ విరామాలలో y=a·x+b ఫంక్షన్ సంకేతాలు నిర్ణయించబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క విలువ విరామం (−∞, x 0)లో ఏ సమయంలోనైనా గణించబడుతుంది మరియు ఈ విలువ యొక్క సంకేతం విరామంలో కావలసిన గుర్తుగా ఉంటుంది (-∞, x 0). అదేవిధంగా, విరామంపై గుర్తు (x 0 , +∞) ఈ విరామంలో ఏ సమయంలోనైనా y=a·x+b ఫంక్షన్ విలువ యొక్క గుర్తుతో సమానంగా ఉంటుంది. కానీ మీరు ఈ లెక్కలు లేకుండా చేయవచ్చు మరియు గుణకం విలువ ఆధారంగా సంకేతాల గురించి తీర్మానాలు చేయవచ్చు a: a>0 అయితే, విరామాలలో (−∞, x 0) మరియు (x 0, +∞) ఉంటుంది సంకేతాలు - మరియు +, వరుసగా, మరియు ఒక >0 అయితే, + మరియు -.
- సంకేతాలతో అసమానతలు > లేదా ≥ పరిష్కరించబడుతున్నట్లయితే, ప్లస్ గుర్తుతో గ్యాప్‌పై హాచ్ ఉంచబడుతుంది మరియు సంకేతాలతో అసమానతలు పరిష్కరించబడుతున్నట్లయితే< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.
విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ అసమానతను పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ.
అసమానత −3·x+12>0ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
మేము ఇంటర్వెల్ పద్ధతిని విశ్లేషిస్తున్నాము కాబట్టి, మేము దానిని ఉపయోగిస్తాము. అల్గోరిథం ప్రకారం, మొదట మనం సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4 కనుగొంటాము. తరువాత, మేము ఒక కోఆర్డినేట్ లైన్‌ను గీసి దానిపై ఒక పాయింట్‌ను కోఆర్డినేట్ 4 తో గుర్తు చేస్తాము మరియు మేము కఠినమైన అసమానతను పరిష్కరిస్తున్నందున మేము ఈ పాయింట్‌ను పంక్చర్ చేస్తాము: 
ఇప్పుడు మేము విరామాలపై సంకేతాలను నిర్ణయిస్తాము. విరామం (−∞, 4)పై సంకేతాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు y=−3·x+12 ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించవచ్చు, ఉదాహరణకు, x=3 వద్ద. మనకు −3·3+12=3>0 ఉంది, అంటే ఈ విరామంలో + గుర్తు ఉంది. మరొక విరామం (4, +∞)లో గుర్తును నిర్ణయించడానికి, మీరు ఫంక్షన్ y=−3 x+12 విలువను లెక్కించవచ్చు, ఉదాహరణకు, పాయింట్ x=5 వద్ద. మనకు −3·5+12=−3 ఉంది<0
, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x
: так как он равен −3
, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4)
будет знак +, а на промежутке (4, +∞)
знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:
మేము > గుర్తుతో అసమానతను పరిష్కరిస్తున్నాము కాబట్టి, మేము + గుర్తుతో గ్యాప్ మీద షేడింగ్ గీస్తాము, డ్రాయింగ్ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది 
ఫలిత చిత్రం ఆధారంగా, మేము కోరుకున్న పరిష్కారం (−∞, 4) లేదా మరొక సంజ్ఞామానం x అని నిర్ధారించాము<4 .
సమాధానం:
(-∞, 4) లేదా x<4 .
గ్రాఫికల్ గా
ఒక వేరియబుల్‌లో సరళ అసమానతలను పరిష్కరించే రేఖాగణిత వివరణపై అవగాహన కలిగి ఉండటం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. దాన్ని పొందడానికి, ఒకే ఎడమవైపు ఉన్న నాలుగు సరళ అసమానతలను పరిశీలిద్దాం: 0.5 x−1<0
, 0,5·x−1≤0
, 0,5·x−1>0 మరియు 0.5 x−1≥0 , వాటి పరిష్కారాలు x<2
, x≤2
, x>2 మరియు x≥2, మరియు లీనియర్ ఫంక్షన్ y=0.5 x−1 యొక్క గ్రాఫ్‌ను కూడా గీయండి. 
అది గమనించడం సులభం
- అసమానతకు పరిష్కారం 0.5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
- అసమానత 0.5 x−1≤0కి పరిష్కారం y=0.5 x−1 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఆక్స్ అక్షం క్రింద లేదా దానితో సమానంగా ఉండే విరామాన్ని సూచిస్తుంది (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అబ్సిస్సా అక్షం పైన కాదు),
- అదేవిధంగా, అసమానత 0.5 x−1>0కి పరిష్కారం అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఆక్స్ అక్షం పైన ఉండే విరామం (గ్రాఫ్ యొక్క ఈ భాగం ఎరుపు రంగులో చూపబడింది),
- మరియు అసమానత 0.5·x−1≥0కి పరిష్కారం అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎక్కువగా ఉన్న లేదా అబ్సిస్సా అక్షంతో సమానంగా ఉండే విరామం.
అసమానతలను పరిష్కరించడానికి గ్రాఫికల్ పద్ధతి, ప్రత్యేకించి లీనియర్, మరియు అసమానత యొక్క ఎడమ వైపుకు సంబంధించిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అసమానత యొక్క కుడి వైపుకు సంబంధించిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు పైన, క్రింద, దిగువన లేదా పైన కాకుండా ఉండే విరామాలను కనుగొనడాన్ని సూచిస్తుంది. మన రేఖీయ అసమానత విషయంలో, ఎడమ వైపుకు సంబంధించిన ఫంక్షన్ y=a·x+b, మరియు కుడివైపు y=0, ఇది ఆక్స్ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది.
ఇచ్చిన సమాచారం ప్రకారం, సూత్రీకరించడం సులభం సరళ అసమానతలను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:
- y=a x+b ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నిర్మించబడింది (స్కీమాటిక్ గా సాధ్యం) మరియు
- అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
- అసమానతను x+b≤0 పరిష్కరించేటప్పుడు, గ్రాఫ్ తక్కువగా ఉన్న లేదా ఆక్స్ అక్షంతో సమానంగా ఉండే విరామం నిర్ణయించబడుతుంది,
- అసమానత a x+b>0ని పరిష్కరించేటప్పుడు, గ్రాఫ్ ఆక్స్ అక్షం పైన ఉన్న విరామం నిర్ణయించబడుతుంది,
- అసమానత a·x+b≥0ని పరిష్కరించేటప్పుడు, గ్రాఫ్ ఎక్కువగా ఉండే లేదా ఆక్స్ అక్షంతో ఏకీభవించే విరామం నిర్ణయించబడుతుంది.
ఉదాహరణ.
అసమానతను పరిష్కరించండి 
గ్రాఫికల్ గా.
పరిష్కారం.
లీనియర్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి 
. x యొక్క గుణకం ప్రతికూలంగా ఉన్నందున ఇది తగ్గుతున్న సరళ రేఖ. మనకు x-అక్షంతో దాని ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్ కూడా అవసరం, ఇది సమీకరణం యొక్క మూలం 
, ఇది సమానం. మా అవసరాల కోసం, మేము ఓయ్ అక్షాన్ని చిత్రించాల్సిన అవసరం లేదు. కాబట్టి మా స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్ ఇలా కనిపిస్తుంది 
మేము > గుర్తుతో అసమానతను పరిష్కరిస్తున్నందున, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఆక్స్ అక్షం పైన ఉన్న విరామంపై మాకు ఆసక్తి ఉంది. స్పష్టత కోసం, గ్రాఫ్ యొక్క ఈ భాగాన్ని ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేద్దాం మరియు ఈ భాగానికి సంబంధించిన విరామాన్ని సులభంగా నిర్ణయించడానికి, గ్రాఫ్ యొక్క ఎంచుకున్న భాగం ఉన్న కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క భాగాన్ని ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేద్దాం. క్రింద ఉన్న బొమ్మ: 
మనకు ఆసక్తి ఉన్న గ్యాప్ ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడిన ఆక్స్ అక్షం యొక్క భాగం. సహజంగానే ఇది ఓపెన్ నంబర్ బీమ్ 
. ఇది మేము వెతుకుతున్న పరిష్కారం. మేము అసమానతను సంకేతంతో కాకుండా ≥ అనే సంకేతంతో కాకుండా కఠినమైన అసమానత ≥తో పరిష్కరిస్తున్నట్లయితే, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఉన్నందున మనం సమాధానంలో జోడించాల్సి ఉంటుందని గమనించండి. ఆక్స్ అక్షం .y=0 x+7తో సమానంగా ఉంటుంది, ఇది y=7 వలె ఉంటుంది, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది, అక్షానికి సమాంతరంగాఎద్దు మరియు దాని పైన పడి ఉంది. కాబట్టి, అసమానత 0 x+7<=0
не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7
ниже оси абсцисс.
మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y=0·x+0, ఇది y=0 వలె ఉంటుంది, ఇది ఆక్స్ అక్షంతో సమానంగా ఉండే సరళ రేఖ. కాబట్టి, అసమానత 0·x+0≥0కి పరిష్కారం అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి.
సమాధానం:
రెండవ అసమానత, దాని పరిష్కారం ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య.
సరళంగా తగ్గించే అసమానతలు
భారీ సంఖ్యలో అసమానతలను సమానమైన రూపాంతరాలను ఉపయోగించి సమానమైన సరళ అసమానతలతో భర్తీ చేయవచ్చు, ఇతర మాటలలో, సరళ అసమానతకు తగ్గించబడుతుంది. ఇటువంటి అసమానతలు అంటారు సరళంగా తగ్గించే అసమానతలు.
పాఠశాలలో, దాదాపు ఏకకాలంలో సరళ అసమానతలను పరిష్కరించడంతోపాటు, సరళమైన వాటికి తగ్గించే సాధారణ అసమానతలు కూడా పరిగణించబడతాయి. అవి ప్రత్యేక కేసులు మొత్తం అసమానతలు, వాటి ఎడమ మరియు కుడి భాగాలలో లేదా సూచించే మొత్తం వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి సరళ ద్విపదలు, లేదా వాటి ద్వారా మార్చబడతాయి మరియు . స్పష్టత కోసం, మేము అటువంటి అసమానతలకు అనేక ఉదాహరణలను ఇస్తాము: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, 
.
పైన సూచించిన వాటితో సమానమైన అసమానతలు ఎల్లప్పుడూ సరళమైన వాటికి తగ్గించబడతాయి. కుండలీకరణాలను తెరవడం, సారూప్య పదాలను తీసుకురావడం, నిబంధనలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం మరియు అసమానత యొక్క ఒక వైపు నుండి మరొక వైపుకు వ్యతిరేక గుర్తుతో నిబంధనలను తరలించడం ద్వారా ఇది చేయవచ్చు.
ఉదాహరణకు, అసమానత 5−2 x>0ని లీనియర్‌కి తగ్గించడానికి, దాని ఎడమ వైపున ఉన్న నిబంధనలను తిరిగి అమర్చడానికి సరిపోతుంది, మనకు −2 x+5>0 ఉంటుంది. రెండవ అసమానత 7·(x−1)+3≤4·x−2+xని సరళంగా తగ్గించడానికి, మీకు కొద్దిగా అవసరం మరింత చర్య: ఎడమ వైపున మేము 7 x−7+3≤4 x−2+x బ్రాకెట్లను తెరుస్తాము, ఆ తర్వాత మేము 7 x−4≤5 x−2 రెండు భాగాలలో ఒకే విధమైన నిబంధనలను తీసుకువస్తాము, ఆపై మేము నిబంధనలను కుడి నుండి బదిలీ చేస్తాము ఎడమ వైపున 7·x−4−5·x+2≤0 , చివరగా, మేము ఎడమవైపు 2·x−2≤0లో సారూప్య పదాలను ప్రదర్శిస్తాము. ఇదే విధంగామరియు మూడవ అసమానతను సరళ అసమానతకి తగ్గించవచ్చు.
అటువంటి అసమానతలను ఎల్లప్పుడూ సరళమైన వాటికి తగ్గించవచ్చు అనే వాస్తవం కారణంగా, కొంతమంది రచయితలు వాటిని సరళంగా కూడా పిలుస్తారు. కానీ మేము ఇప్పటికీ వాటిని సరళంగా తగ్గించగలమని భావిస్తాము.
అటువంటి అసమానతలు సరళ అసమానతలతో ఎందుకు పరిగణించబడుతున్నాయో ఇప్పుడు స్పష్టమవుతుంది. మరియు వారి పరిష్కారం యొక్క సూత్రం ఖచ్చితంగా ఒకే విధంగా ఉంటుంది: ప్రదర్శన ద్వారా సమానమైన పరివర్తనలు, వాటిని కావలసిన పరిష్కారాలను సూచించే ప్రాథమిక అసమానతలకు తగ్గించవచ్చు.
ఈ రకమైన అసమానతను పరిష్కరించడానికి, మీరు మొదట దానిని సరళంగా తగ్గించవచ్చు, ఆపై ఈ సరళ అసమానతను పరిష్కరించవచ్చు. కానీ దీన్ని చేయడం మరింత హేతుబద్ధమైనది మరియు అనుకూలమైనది:
- బ్రాకెట్లను తెరిచిన తర్వాత, అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న వేరియబుల్‌తో అన్ని నిబంధనలను మరియు కుడి వైపున ఉన్న అన్ని సంఖ్యలను సేకరించండి,
- తర్వాత సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురండి,
- ఆపై ఫలిత అసమానత యొక్క రెండు వైపులా x యొక్క గుణకం ద్వారా విభజించండి (ఇది సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే). ఇది సమాధానం ఇస్తుంది.
ఉదాహరణ.
అసమానత 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
ముందుగా, బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం, ఫలితంగా మనం అసమానత 5 x + 15 + x ≤ 6 x - 18 + 1 కి వస్తాము. ఇప్పుడు ఇలాంటి నిబంధనలను ఇద్దాం: 6 x+15≤6 x−17 . తరువాత మేము నిబంధనలను తరలిస్తాము ఎడమ వైపు, మేము 6 x+15−6 x+17≤0ని పొందుతాము మరియు మళ్లీ మనం అదే విధమైన పదాలను తీసుకువస్తాము (ఇది మనల్ని సరళ అసమానత 0 x+32≤0కి దారి తీస్తుంది) మరియు మనకు 32≤0 ఉంటుంది. కాబట్టి మేము తప్పుకు వచ్చాము సంఖ్యా అసమానత, అసలు అసమానతకు పరిష్కారాలు లేవని మేము నిర్ధారించాము.
సమాధానం:
పరిష్కారాలు లేవు.
ముగింపులో, సరళ అసమానతలకు లేదా పైన పరిగణించిన రకానికి చెందిన అసమానతలకు తగ్గించబడే ఇతర అసమానతలు చాలా ఉన్నాయని మేము గమనించాము. ఉదాహరణకు, పరిష్కారం ఘాతాంక అసమానత 5 2 x−1 ≥1 సరళ అసమానత 2 x−1≥0 పరిష్కరించడానికి తగ్గిస్తుంది. కానీ సంబంధిత రకానికి చెందిన అసమానతలకు పరిష్కారాలను విశ్లేషించేటప్పుడు మేము దీని గురించి మాట్లాడుతాము.
గ్రంథ పట్టిక.
- బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2008. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- బీజగణితం: 9వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2009. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- మోర్డ్కోవిచ్ A. G.బీజగణితం. 8వ తరగతి. మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు పార్ట్ 1. విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం విద్యా సంస్థలు/ A. G. మోర్డ్కోవిచ్. - 11వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-01155-2.
- మోర్డ్కోవిచ్ A. G.బీజగణితం. 9వ తరగతి. 2 గంటల్లో. పార్ట్ 1. సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం / A. G. మోర్డ్కోవిచ్, P. V. సెమెనోవ్. - 13వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-01752-3.
- మోర్డ్కోవిచ్ A. G.బీజగణితం మరియు ప్రారంభం గణిత విశ్లేషణ. గ్రేడ్ 11. మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు పార్ట్ 1. సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం ( ప్రొఫైల్ స్థాయి) / A. G. మోర్డ్కోవిచ్, P. V. సెమెనోవ్. - 2వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-01027-2.