పెద్ద సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల క్రమంలో ఉదాహరణలు. భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగించడం

పాఠం కంటెంట్

వంటి హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది

భిన్నాల జోడింపులో రెండు రకాలు ఉన్నాయి:

1. వంటి హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది

ముందుగా, వంటి హారంతో భిన్నాల జోడింపును నేర్చుకుందాం. ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించాలి మరియు హారం మారకుండా ఉంచాలి. ఉదాహరణకు, భిన్నాలు మరియు . న్యూమరేటర్లను జోడించి, హారం మారకుండా ఉంచండి:

నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకు పిజ్జాని జోడిస్తే, మీకు పిజ్జా లభిస్తుంది:

ఉదాహరణ 2.భిన్నాలను జోడించండి మరియు .

సమాధానం తేలింది కాదు సరైన భిన్నం. పని ముగింపు వచ్చినప్పుడు, సరికాని భిన్నాలను వదిలించుకోవడం ఆచారం. సరికాని భిన్నాన్ని వదిలించుకోవడానికి, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోవాలి. మా విషయంలో మొత్తం భాగంతేలికగా నిలుస్తుంది - రెండిటిని రెండిటితో భాగిస్తే ఒకటి సమానం:

రెండు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జా గురించి మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకి మరింత పిజ్జాని జోడిస్తే, మీకు ఒక మొత్తం పిజ్జా లభిస్తుంది:

ఉదాహరణ 3. భిన్నాలను జోడించండి మరియు .

మళ్ళీ, మేము న్యూమరేటర్లను జోడిస్తాము మరియు హారం మారకుండా వదిలివేస్తాము:

మూడు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకు మరింత పిజ్జాను జోడిస్తే, మీరు పిజ్జా పొందుతారు:

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

ఈ ఉదాహరణ మునుపటి వాటి వలె సరిగ్గా అదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది. న్యూమరేటర్లు తప్పనిసరిగా జోడించబడాలి మరియు హారం మారకుండా ఉంచాలి:

డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జాలకు పిజ్జాలను జోడించి, మరిన్ని పిజ్జాలను జోడిస్తే, మీరు 1 మొత్తం పిజ్జా మరియు మరిన్ని పిజ్జాలను పొందుతారు.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడంలో సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. కింది నియమాలను అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది:

1. అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించాలి మరియు హారం మారకుండా ఉంచాలి;

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది

ఇప్పుడు వివిధ హారంలతో భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో తెలుసుకుందాం. భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు, భిన్నాల యొక్క హారం ఒకేలా ఉండాలి. కానీ అవి ఎప్పుడూ ఒకేలా ఉండవు.

ఉదాహరణకు, భిన్నాలు ఉన్నందున వాటిని జోడించవచ్చు అదే హారం.

కానీ భిన్నాలు వెంటనే జోడించబడవు, ఎందుకంటే ఈ భిన్నాలు వివిధ హారం. అటువంటి సందర్భాలలో, భిన్నాలను తప్పనిసరిగా అదే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.

భిన్నాలను ఒకే హారంకు తగ్గించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. ఈ రోజు మనం వాటిలో ఒకదాన్ని మాత్రమే పరిశీలిస్తాము, ఎందుకంటే ఇతర పద్ధతులు అనుభవశూన్యుడుకి సంక్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు.

ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, మొదట రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCM శోధించబడుతుంది. LCM మొదటి అదనపు కారకాన్ని పొందేందుకు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది. వారు రెండవ భిన్నంతో అదే విధంగా చేస్తారు - LCM రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు రెండవ అదనపు కారకం పొందబడుతుంది.

భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలు వాటి అదనపు కారకాలతో గుణించబడతాయి. ఈ చర్యల ఫలితంగా, భిన్నమైన హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారతాయి. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు.

ఉదాహరణ 1. భిన్నాలను జత చేద్దాం మరియు

అన్నింటిలో మొదటిది, రెండు భిన్నాల యొక్క హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని మేము కనుగొంటాము. మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 6

LCM (2 మరియు 3) = 6

ఇప్పుడు భిన్నాలు మరియు . ముందుగా, మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించి, మొదటి అదనపు కారకాన్ని పొందండి. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 6ని 3తో భాగిస్తే మనకు 2 వస్తుంది.

ఫలిత సంఖ్య 2 మొదటి అదనపు గుణకం. మేము దానిని మొదటి భిన్నానికి వ్రాస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, భిన్నంపై చిన్న వాలుగా ఉండే గీతను తయారు చేసి, దాని పైన కనిపించే అదనపు కారకాన్ని వ్రాయండి:

మేము రెండవ భిన్నంతో అదే చేస్తాము. మేము LCMని రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించి, రెండవ అదనపు కారకాన్ని పొందుతాము. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. 6ని 2తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది.

ఫలిత సంఖ్య 3 రెండవ అదనపు గుణకం. మేము దానిని రెండవ భాగానికి వ్రాస్తాము. మళ్ళీ, మేము రెండవ భిన్నం మీద చిన్న వాలుగా ఉండే గీతను తయారు చేస్తాము మరియు దాని పైన కనిపించే అదనపు కారకాన్ని వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మేము అదనంగా ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉన్నాము. భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:

మేము ఏమి వచ్చామో జాగ్రత్తగా చూడండి. వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను చివరి వరకు తీసుకుందాం:

ఇది ఉదాహరణను పూర్తి చేస్తుంది. ఇది జోడించడానికి మారుతుంది.

డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జాకు పిజ్జాని జోడిస్తే, మీరు ఒక మొత్తం పిజ్జా మరియు మరొక పిజ్జాలో ఆరవ వంతు పొందుతారు:

భిన్నాలను ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించడం కూడా చిత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్ణించవచ్చు. భిన్నాలను తగ్గించడం మరియు ఒక సాధారణ హారం, మేము భిన్నాలను పొందాము మరియు . ఈ రెండు భిన్నాలు ఒకే పిజ్జా ముక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి. ఒకే తేడా ఏమిటంటే, ఈసారి అవి సమాన వాటాలుగా విభజించబడతాయి (అదే హారంకు తగ్గించబడుతుంది).

మొదటి డ్రాయింగ్ భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది (ఆరులో నాలుగు ముక్కలు), మరియు రెండవ డ్రాయింగ్ భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది (ఆరులో మూడు ముక్కలు). ఈ ముక్కలను జోడించడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది (ఆరులో ఏడు ముక్కలు). ఈ భిన్నం సరికాదు, కాబట్టి మేము దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేసాము. ఫలితంగా, మేము (ఒక మొత్తం పిజ్జా మరియు మరొక ఆరవ పిజ్జా) పొందాము.

మేము వివరించినట్లు దయచేసి గమనించండి ఈ ఉదాహరణచాలా వివరంగా. IN విద్యా సంస్థలుఅంత వివరంగా రాయడం ఆచారం కాదు. మీరు రెండు హారంల యొక్క LCMని మరియు వాటికి అదనపు కారకాలను త్వరగా కనుగొనగలగాలి, అలాగే కనుగొనబడిన అదనపు కారకాలను మీ న్యూమరేటర్‌లు మరియు హారం ద్వారా త్వరగా గుణించాలి. మేము పాఠశాలలో ఉన్నట్లయితే, ఈ ఉదాహరణను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవలసి ఉంటుంది:

కానీ కూడా ఉంది వెనుక వైపుపతకాలు. మీరు గణితాన్ని అధ్యయనం చేసే మొదటి దశలలో వివరణాత్మక గమనికలను తీసుకోకపోతే, ఆ విధమైన ప్రశ్నలు కనిపించడం ప్రారంభిస్తాయి. “ఆ సంఖ్య ఎక్కడ నుండి వస్తుంది?”, “భిన్నాలు అకస్మాత్తుగా పూర్తిగా భిన్నమైన భిన్నాలుగా ఎందుకు మారతాయి? «.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడాన్ని సులభతరం చేయడానికి, మీరు క్రింది దశల వారీ సూచనలను ఉపయోగించవచ్చు:

1. భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి;
2. ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించండి మరియు ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని పొందండి;
3. భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి;
4. ఒకే హారం ఉన్న భిన్నాలను జోడించండి;
5. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి;

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి .

పైన ఇచ్చిన సూచనలను ఉపయోగించుకుందాం.

దశ 1. భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి

రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి. భిన్నాల హారం సంఖ్యలు 2, 3 మరియు 4

దశ 2. ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించి, ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని పొందండి

మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. 12ని 2తో భాగించండి, మనకు 6 వస్తుంది. మనకు మొదటి అదనపు కారకం 6 వచ్చింది. మేము దానిని మొదటి భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మనం LCMని రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో విభజిస్తాము. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 12ని 3తో భాగించండి, మనకు 4 వస్తుంది. మనకు రెండవ అదనపు కారకం 4 వస్తుంది. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మనం LCMని మూడవ భిన్నం యొక్క హారంతో విభజిస్తాము. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మూడవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. 12ని 4తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది. మనకు మూడవ అదనపు కారకం 3 వస్తుంది. మేము దానిని మూడవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

దశ 3. భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి

మేము న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణిస్తాము:

దశ 4. అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించండి

వేర్వేరు హారం కలిగిన భిన్నాలు ఒకే (సాధారణ) హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. ఈ భిన్నాలను జోడించడమే మిగిలి ఉంది. దీన్ని జోడించండి:

అదనంగా ఒక లైన్‌లో సరిపోలేదు, కాబట్టి మేము మిగిలిన ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను తదుపరి పంక్తికి తరలించాము. ఇది గణితంలో అనుమతించబడుతుంది. వ్యక్తీకరణ ఒక పంక్తిలో సరిపోనప్పుడు, అది తదుపరి పంక్తికి తరలించబడుతుంది మరియు మొదటి పంక్తి చివరిలో మరియు కొత్త పంక్తి ప్రారంభంలో సమాన గుర్తు (=) ఉంచడం అవసరం. రెండవ పంక్తిలోని సమాన గుర్తు ఇది మొదటి పంక్తిలో ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క కొనసాగింపు అని సూచిస్తుంది.

దశ 5. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి

మా సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలింది. మేము దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి. మేము హైలైట్ చేస్తాము:

మాకు సమాధానం వచ్చింది

వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం

భిన్నాల వ్యవకలనంలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి:

1. వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం

ముందుగా, హారం వంటి వాటితో భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో నేర్చుకుందాం. ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. ఒక భిన్నం నుండి మరొక భాగాన్ని తీసివేయడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవం నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి, కానీ హారంను అలాగే వదిలివేయండి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి. ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు హారం మారకుండా వదిలివేయాలి. ఇలా చేద్దాం:

నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాలను కట్ చేస్తే, మీకు పిజ్జాలు లభిస్తాయి:

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.

మళ్ళీ, మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి, రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేసి, హారం మారకుండా ఉంచండి:

మూడు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాలను కట్ చేస్తే, మీకు పిజ్జాలు లభిస్తాయి:

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

ఈ ఉదాహరణ మునుపటి వాటి వలె సరిగ్గా అదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది. మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి మీరు మిగిలిన భిన్నాల సంఖ్యలను తీసివేయాలి:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అదే హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడంలో సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. కింది నియమాలను అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది:

1. ఒక భిన్నం నుండి మరొక భాగాన్ని తీసివేయడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవం నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు హారం మారకుండా వదిలివేయాలి;
2. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం

ఉదాహరణకు, భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగి ఉన్నందున మీరు భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయవచ్చు. కానీ మీరు భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయలేరు, ఎందుకంటే ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, భిన్నాలను తప్పనిసరిగా అదే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మనం ఉపయోగించిన అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సాధారణ హారం కనుగొనబడింది. అన్నింటిలో మొదటిది, రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి. అప్పుడు LCM మొదటి భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు మొదటి అదనపు కారకం పొందబడుతుంది, ఇది మొదటి భిన్నం పైన వ్రాయబడుతుంది. అదేవిధంగా, LCM రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు రెండవ అదనపు కారకం పొందబడుతుంది, ఇది రెండవ భిన్నం పైన వ్రాయబడుతుంది.

అప్పుడు భిన్నాలు వాటి అదనపు కారకాలతో గుణించబడతాయి. ఈ ఆపరేషన్ల ఫలితంగా, భిన్నమైన హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మార్చబడతాయి. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు.

ఉదాహరణ 1.వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.

మొదట మనం రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొంటాము. మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 12

LCM (3 మరియు 4) = 12

ఇప్పుడు భిన్నాలకు తిరిగి వెళ్దాం మరియు

మొదటి భిన్నం కోసం అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 12ని 3తో భాగిస్తే మనకు 4 వస్తుంది. మొదటి భిన్నం పైన నాలుగు వ్రాయండి:

మేము రెండవ భిన్నంతో అదే చేస్తాము. రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. 12ని 4తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది. రెండవ భిన్నం మీద మూడు రాయండి:

ఇప్పుడు మేము వ్యవకలనం కోసం సిద్ధంగా ఉన్నాము. భిన్నాలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:

వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను చివరి వరకు తీసుకుందాం:

మాకు సమాధానం వచ్చింది

డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాని కట్ చేస్తే, మీకు పిజ్జా లభిస్తుంది

ఈ వివరణాత్మక సంస్కరణపరిష్కారాలు. మేము పాఠశాలలో ఉన్నట్లయితే, మేము ఈ ఉదాహరణను చిన్నదిగా పరిష్కరించవలసి ఉంటుంది. అటువంటి పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:

భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం కూడా చిత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్ణించవచ్చు. ఈ భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం ద్వారా, మేము భిన్నాలను పొందాము మరియు . ఈ భిన్నాలు ఒకే పిజ్జా ముక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి, కానీ ఈసారి అవి సమాన షేర్‌లుగా విభజించబడతాయి (అదే హారంకు తగ్గించబడింది):

మొదటి చిత్రం ఒక భిన్నాన్ని చూపుతుంది (పన్నెండులో ఎనిమిది ముక్కలు), మరియు రెండవ చిత్రం ఒక భిన్నాన్ని చూపుతుంది (పన్నెండులో మూడు ముక్కలు). ఎనిమిది ముక్కల నుండి మూడు ముక్కలను కత్తిరించడం ద్వారా, మేము పన్నెండులో ఐదు ముక్కలు పొందుతాము. భిన్నం ఈ ఐదు ముక్కలను వివరిస్తుంది.

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి ముందుగా మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.

ఈ భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి.

భిన్నాల హారం సంఖ్యలు 10, 3 మరియు 5. ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 30

LCM(10, 3, 5) = 30

ఇప్పుడు మేము ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను కనుగొంటాము. దీన్ని చేయడానికి, ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించండి.

మొదటి భిన్నం కోసం అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 10. 30ని 10తో భాగిస్తే, మనకు మొదటి అదనపు కారకం 3 వస్తుంది. మేము దానిని మొదటి భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మనం రెండవ భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొన్నాము. రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 30ని 3తో భాగించండి, మనకు రెండవ అదనపు కారకం 10 వస్తుంది. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు మనం మూడవ భాగానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొన్నాము. మూడవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు మూడవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 5. 30ని 5తో భాగిస్తే, మనకు మూడవ అదనపు కారకం 6 వస్తుంది. మేము దానిని మూడవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:

ఇప్పుడు వ్యవకలనం కోసం ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉంది. భిన్నాలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:

వేర్వేరు హారం కలిగిన భిన్నాలు ఒకే (సాధారణ) హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను పూర్తి చేద్దాం.

ఉదాహరణ యొక్క కొనసాగింపు ఒక లైన్‌లో సరిపోదు, కాబట్టి మేము కొనసాగింపును తదుపరి పంక్తికి తరలిస్తాము. కొత్త లైన్‌లో సమాన గుర్తు (=) గురించి మర్చిపోవద్దు:

సమాధానం సాధారణ భిన్నం అని తేలింది, మరియు ప్రతిదీ మాకు సరిపోయేలా అనిపిస్తుంది, కానీ ఇది చాలా గజిబిజిగా మరియు అగ్లీగా ఉంది. మేము దానిని సరళంగా చేయాలి. ఏమి చేయవచ్చు? మీరు ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు.

భిన్నాన్ని తగ్గించడానికి, మీరు దాని లవం మరియు హారం 20 మరియు 30 సంఖ్యల (GCD) ద్వారా విభజించాలి.

కాబట్టి, మేము 20 మరియు 30 సంఖ్యల gcdని కనుగొంటాము:

ఇప్పుడు మేము మా ఉదాహరణకి తిరిగి వస్తాము మరియు భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కనుగొన్న gcd ద్వారా భాగిస్తాము, అంటే 10 ద్వారా

మాకు సమాధానం వచ్చింది

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించడం

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క లవంను ఆ సంఖ్యతో గుణించాలి మరియు హారంను అలాగే వదిలివేయాలి.

ఉదాహరణ 1. ఒక భిన్నాన్ని సంఖ్య 1తో గుణించండి.

భిన్నం యొక్క సంఖ్యను సంఖ్య 1తో గుణించండి

రికార్డింగ్ సగం 1 సమయం తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు ఒకసారి పిజ్జా తీసుకుంటే, మీకు పిజ్జా లభిస్తుంది

గుణకారం మరియు కారకం మార్చుకుంటే, ఉత్పత్తి మారదని గుణకార నియమాల నుండి మనకు తెలుసు. వ్యక్తీకరణ ఇలా వ్రాసినట్లయితే, ఉత్పత్తి ఇప్పటికీ సమానంగా ఉంటుంది. మళ్ళీ, పూర్తి సంఖ్య మరియు భిన్నాన్ని గుణించడం కోసం నియమం పనిచేస్తుంది:

ఈ సంజ్ఞామానం ఒకదానిలో సగం తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, 1 మొత్తం పిజ్జా ఉంటే మరియు అందులో సగం తీసుకుంటే, అప్పుడు మనకు పిజ్జా ఉంటుంది:

ఉదాహరణ 2. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

భిన్నం యొక్క సంఖ్యను 4తో గుణించండి

సమాధానం సరికాని భిన్నం. దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేద్దాం:

వ్యక్తీకరణ రెండు వంతులు 4 సార్లు తీసుకోవడం అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు 4 పిజ్జాలు తీసుకుంటే, మీకు రెండు మొత్తం పిజ్జాలు లభిస్తాయి

మరియు మనం గుణకారాన్ని మరియు గుణకాన్ని మార్చుకుంటే, మనకు వ్యక్తీకరణ వస్తుంది . ఇది కూడా 2కి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ వ్యక్తీకరణ నాలుగు మొత్తం పిజ్జాల నుండి రెండు పిజ్జాలను తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు:

భిన్నాలను గుణించడం

భిన్నాలను గుణించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలు మరియు హారంలను గుణించాలి. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి.

ఉదాహరణ 1.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.

మాకు సమాధానం వచ్చింది. తగ్గించుకోవడం మంచిది ఇచ్చిన భిన్నం. భిన్నాన్ని 2 ద్వారా తగ్గించవచ్చు. అప్పుడు తుది నిర్ణయంకింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

హాఫ్ పిజ్జా నుండి పిజ్జా తీసుకున్నట్లుగా వ్యక్తీకరణ అర్థం చేసుకోవచ్చు. మన దగ్గర సగం పిజ్జా ఉందనుకుందాం:

ఈ సగం నుండి మూడింట రెండు వంతులు ఎలా తీసుకోవాలి? మొదట మీరు ఈ సగం మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించాలి:

మరియు ఈ మూడు ముక్కల నుండి రెండు తీసుకోండి:

మేము పిజ్జా తయారు చేస్తాము. మూడు భాగాలుగా విభజించినప్పుడు పిజ్జా ఎలా ఉంటుందో గుర్తుంచుకోండి:

ఈ పిజ్జా యొక్క ఒక ముక్క మరియు మేము తీసుకున్న రెండు ముక్కలు ఒకే కొలతలు కలిగి ఉంటాయి:

వేరే పదాల్లో, మేము మాట్లాడుతున్నాముదాదాపు అదే సైజు పిజ్జా. కాబట్టి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ

ఉదాహరణ 2. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

మొదటి భిన్నం యొక్క సంఖ్యను రెండవ భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి:

సమాధానం సరికాని భిన్నం. దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేద్దాం:

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

మొదటి భిన్నం యొక్క సంఖ్యను రెండవ భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి:

సమాధానం సాధారణ భిన్నం అని తేలింది, అయితే దాన్ని కుదిస్తే బాగుంటుంది. ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించడానికి, మీరు ఈ భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను అతిపెద్దదితో విభజించాలి సాధారణ విభజన(GCD) సంఖ్యలు 105 మరియు 450.

కాబట్టి, 105 మరియు 450 సంఖ్యల gcdని కనుగొనండి:

ఇప్పుడు మనం ఇప్పుడు కనుగొన్న gcd ద్వారా మన సమాధానం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను భాగిస్తాము, అంటే 15 ద్వారా

పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం వలె సూచిస్తుంది

ఏదైనా పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం వలె సూచించవచ్చు. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 5ని ఇలా సూచించవచ్చు. ఇది ఐదు యొక్క అర్ధాన్ని మార్చదు, ఎందుకంటే వ్యక్తీకరణ అంటే "ఐదు సంఖ్యను ఒకటిగా విభజించడం" మరియు ఇది మనకు తెలిసినట్లుగా, ఐదుకి సమానం:

పరస్పర సంఖ్యలు

ఇప్పుడు మనం చాలా పరిచయం చేస్తాము ఆసక్తికరమైన అంశంగణితంలో. దీనిని "రివర్స్ నంబర్స్" అంటారు.

నిర్వచనం. సంఖ్యకు రివర్స్a గుణించినప్పుడు ఒక సంఖ్యa ఒకటి ఇస్తుంది.

వేరియబుల్‌కు బదులుగా ఈ నిర్వచనంలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం aసంఖ్య 5 మరియు నిర్వచనాన్ని చదవడానికి ప్రయత్నించండి:

సంఖ్యకు రివర్స్ 5 గుణించినప్పుడు ఒక సంఖ్య 5 ఒకటి ఇస్తుంది.

5తో గుణించినప్పుడు ఒకటి ఇచ్చే సంఖ్యను కనుగొనడం సాధ్యమేనా? ఇది సాధ్యమేనని తేలింది. ఐదింటిని భిన్నం గా ఊహించుకుందాం:

అప్పుడు ఈ భిన్నాన్ని స్వయంగా గుణించండి, కేవలం న్యూమరేటర్ మరియు హారం మార్చుకోండి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, భిన్నాన్ని స్వయంగా గుణిద్దాం, తలక్రిందులుగా మాత్రమే:

దీని ఫలితంగా ఏమి జరుగుతుంది? మేము ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడం కొనసాగిస్తే, మనకు ఒకటి లభిస్తుంది:

దీనర్థం సంఖ్య 5 యొక్క విలోమం సంఖ్య , ఎందుకంటే మీరు 5ని గుణించినప్పుడు మీకు ఒకటి వస్తుంది.

ఏదైనా ఇతర పూర్ణాంకం కోసం కూడా ఒక సంఖ్య యొక్క రెసిప్రొకల్ కనుగొనవచ్చు.

మీరు ఏదైనా ఇతర భిన్నం యొక్క పరస్పరతను కూడా కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, దాన్ని తిరగండి.

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగించడం

మన దగ్గర సగం పిజ్జా ఉందనుకుందాం:

దానిని రెండింటి మధ్య సమానంగా విభజిద్దాము. ప్రతి వ్యక్తికి ఎంత పిజ్జా లభిస్తుంది?

సగం పిజ్జాను విభజించిన తర్వాత, రెండు సమానమైన ముక్కలు లభించినట్లు చూడవచ్చు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి పిజ్జాగా ఉంటుంది. కాబట్టి ప్రతి ఒక్కరూ పిజ్జా పొందుతారు.

భిన్నాల విభజన పరస్పరం ఉపయోగించి చేయబడుతుంది. పరస్పర సంఖ్యలువిభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు భిన్నాన్ని భాగహారం యొక్క విలోమంతో గుణించాలి.

ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము మా పిజ్జా యొక్క సగం విభజనను రెండు భాగాలుగా వ్రాస్తాము.

కాబట్టి, మీరు భిన్నాన్ని సంఖ్య 2 ద్వారా విభజించాలి. ఇక్కడ డివిడెండ్ భిన్నం మరియు భాగహారం సంఖ్య 2.

ఒక భిన్నాన్ని సంఖ్య 2తో భాగించాలంటే, మీరు ఈ భిన్నాన్ని డివైజర్ 2 యొక్క రెసిప్రోకల్‌తో గుణించాలి. 2 యొక్క రెసిప్రోకల్ డివైజర్ 2. భిన్నం. కాబట్టి మీరు గుణించాలి

విభాగం 1 సహజ సంఖ్యలు మరియు వాటితో చర్యలు. జ్యామితీయ గణాంకాలు మరియు పరిమాణాలు

§ 15. సహజ సంఖ్యలతో అన్ని కార్యకలాపాలకు ఉదాహరణలు మరియు సమస్యలు

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించేటప్పుడు, మీరు చర్యల క్రమం గురించి మరచిపోకూడదు.

చర్యల క్రమం క్రింది నియమాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

1. కుండలీకరణాలు ఉన్న వ్యక్తీకరణలలో, కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణల విలువలు ముందుగా మూల్యాంకనం చేయబడతాయి.

2. కుండలీకరణాలు లేని వ్యక్తీకరణలలో, ఘాతాంకం మొదట నిర్వహించబడుతుంది, తరువాత గుణకారం మరియు భాగహారం, ఎడమ నుండి కుడికి, ఆపై కూడిక మరియు తీసివేత.

ఉదాహరణ 1. లెక్కించు: 8 ∙ (27 + 13) - 144: 2.

పరిష్కారాలు.

1) 27 + 13 = 40;

2) 8 ∙ 40 = 320;

3) 144: 2 = 72;

4) 320 - 72 = 248.

ఉదాహరణ 2. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి (x2 - y: 13) ∙145, x = 12 అయితే, y = 91.

పరిష్కారాలు. x = 12, y = 91 అయితే, అప్పుడు (x2 - y: 13) ∙ 145 = (122 - 91: 13) ∙ 145 = (144 - 7) ∙ 145 = 137 ∙ 145 = 19,865.

తగిన చోట చర్య లక్షణాలను ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, 438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 వ్యక్తీకరణ విలువను ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించవచ్చు:

438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 = (438 - 338) ∙ 39 = 100 ∙ 39 = 3900.

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను లెక్కించేటప్పుడు చర్యల క్రమాన్ని నిర్ణయించడానికి ఏ నియమాలు ఉపయోగించబడతాయి?

మొదటి స్థాయి

522. కౌంట్ (మౌఖికంగా):

1) 42 + 38 - 7; 2) 24 ∙ 10: 2;

3) 27 - 30: 5; 4) 42: 6 + 35: 7;

5) 8 (23 - 19); 6) (12 + 18) : (12 - 7).

సగటు స్థాయి

523. లెక్కించు:

1) 426 ∙ 205 - 57 816: 72;

2) (362 195 + 86 309) : 56;

3) 2001: 69 + 58 884: 84;

4) 42 275: (7005 - 6910).

524. లెక్కించు:

1) 535 ∙ 207 - 32 832: 76;

2) 1088: 68 + 57 442: 77;

3) (158 992 + 38 894) : 39;

4) 249 747: (4905 - 1896).

525. 5 గంటల్లో, ఓడ 175 కి.మీ ప్రయాణించింది, రైలు 3 గంటల్లో 315 కి.మీ. ఓడ వేగం కంటే రైలు వేగం ఎన్ని రెట్లు ఎక్కువ?

526. 5 గంటల్లో, ఒక సరుకు రవాణా రైలు 280 కి.మీ, మరియు ఫాస్ట్ రైలు 3 గంటల్లో 255 కి.మీ. సరుకు రవాణా రైలు కంటే వేగవంతమైన రైలు వేగం ఎంత ఎక్కువ?

527. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1) 78 ∙ x + 3217, x = 52 అయితే;

2) a: 36 + a: 39, a = 468 అయితే;

3) x ∙ 37 - c: 25, x = 15 అయితే, y = 2525.

528. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1) 17 392 + 15 300: మరియు, అయితే a = 25, 36;

2) m ∙ 155 - t ∙ 113, m = 17 అయితే, t = 22.

529. 5 పెన్నులు మరియు 3 కోసం సాధారణ నోట్బుక్లుచెల్లించారు

16 UAH 70 కోపెక్‌లు ఒక పెన్ 2 UAH ఖరీదు చేస్తే నోట్‌బుక్ ధర ఎంత? 50 కోపెక్స్?

530. మూడు బాక్సుల యాపిల్స్ మరియు రెండు బాక్సుల అరటిపండ్లు కలిపి 144 కిలోల బరువు ఉన్నాయి. ఒక పెట్టె అరటిపండ్లు 24 కిలోల బరువు ఉంటే ఆపిల్ బాక్స్ బరువు ఎంత?

531. అన్నయ్య 12 బుట్టల చెర్రీలు, తమ్ముడు 9 బుట్టలు సేకరించాడు. మొత్తం 105 కిలోల చెర్రీలను సేకరించారు. అన్ని బుట్టల బరువు ఒకేలా ఉంటే ప్రతి సోదరుడు ఎన్ని కిలోల చెర్రీస్ తీసుకున్నాడు?

532. 27 ప్యాక్‌లు స్క్వేర్డ్ నోట్‌బుక్‌లు మరియు 25 ప్యాక్‌ల లైన్‌డ్ నోట్‌బుక్‌లు స్టోర్‌కు పంపిణీ చేయబడ్డాయి - మొత్తం 2600 ముక్కలు. అన్ని ప్యాక్‌లలో ఒకే సంఖ్యలో నోట్‌బుక్‌లు ఉంటే బోనులో ఎన్ని నోట్‌బుక్‌లు తీసుకువచ్చారు మరియు ఒక లైన్‌లో ఎన్ని?

533. ఒక కంప్యూటర్-నియంత్రిత యంత్రం నిమిషానికి 12 భాగాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది మరియు రెండవది మరో 3 భాగాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. రెండు యంత్రాలు ఏకకాలంలో ఆన్ చేసినప్పుడు, ఎన్ని నిమిషాల్లో 945 భాగాలను ఉత్పత్తి చేస్తాయి?

తగినంత స్థాయి

534. 830 కిలోల యాపిల్స్ సేకరించారు. వారిది a కిలోగ్రాములు ఇచ్చారు కిండర్ గార్టెన్, మరియు మిగిలినవి 30 బుట్టలుగా సమానంగా విభజించబడ్డాయి. ఒక్కో బుట్టలో ఎన్ని కిలోలు ఉన్నాయి? గిడ్డంగులు సాహిత్య వ్యక్తీకరణమరియు ఉంటే దాని విలువను లెక్కించండి a = 110.

535. అనుకూలమైన మార్గంలో లెక్కించండి:

1) 742 + 39 + 58; 2) 973 + 115 - 273;

3) 832 - 15 - 32; 4) 2 ∙ 115 ∙ 50;

5) 29 ∙ 19 + 71 ∙ 19; 6) 192 ∙ 37 – 92 ∙ 37.

536. టెలివిజన్ రిపేర్ షాప్ 12 రోజుల్లో 180 టెలివిజన్లను రిపేర్ చేయాలని ప్లాన్ చేసింది, కానీ ప్రతిరోజు వారు అనుకున్నదానికంటే 3 ఎక్కువ టెలివిజన్లను రిపేరు చేశారు. ఎన్ని రోజుల్లో పని పూర్తయింది?

538. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1) (21 000 - 308 ∙ 29) : 4 + 14 147: 47;

2) 548 ∙ 307 - 8904: (33 ∙ 507 - 16 647);

3) (562 + 1833: 47) ∙ 56 - 46 ∙ 305;

4) 1789 ∙ (1677: 43 - 888: 24)∙500.

539. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1) (42 + 9095: 85) ∙ (7344: 36 - 154);

2) 637 ∙ 408 - 54 036: (44 ∙ 209 - 9117);

3) (830 - 17 466: 82) ∙ 65 + 57 ∙ 804;

4) 197 ∙ (588: 49 + 728: 56) ∙ 40.

540. మూడు దుకాణాలకు 1506 కిలోల వెన్నను పంపిణీ చేశారు. మొదటి దుకాణం 152 కిలోలు, రెండవది - 183 కిలోలు, మరియు మూడవది - 211 కిలోలు విక్రయించిన తరువాత, అన్ని దుకాణాలలో ఒకే మొత్తంలో వెన్న మిగిలి ఉంది. ఒక్కో దుకాణానికి ఎన్ని కిలోల వెన్న తీసుకొచ్చారు?

541. A మరియు B నగరాల నుండి , వాటి మధ్య దూరం 110 కి.మీ. ఇద్దరు సైక్లిస్టులు ఒకే సమయంలో ఒకరికొకరు ప్రయాణించారు. వాటిలో ఒకదాని వేగం గంటకు 15 కిమీ, మరొకటి 3 కిమీ/గం తక్కువ. 4 గంటల్లో సైక్లిస్టులు కలుస్తారా?

542. హైస్కూల్ విద్యార్థులు ఇవాన్ మరియు వాసిలీ వేసవిలో పొలంలో పనిచేశారు. ఇవాన్ 16 రోజులు రోజుకు 4 గంటలు పనిచేశాడు మరియు వాసిలీ 18 రోజులు ప్రతిరోజూ 3 గంటలు పనిచేశాడు. అబ్బాయిలు కలిసి 944 UAH సంపాదించారు. తెలివైన ప్రశ్నలను అడగండి మరియు వాటికి సమాధానం ఇవ్వండి.

543. ఇద్దరు కార్మికులు, వారిలో ఒకరు రోజుకు 12 రోజులు, 8 గంటలు, మరియు మరొకరు 8 రోజులు, 7 గంటలు, కలిసి 1368 భాగాలను తయారు చేశారు. కార్మికులు అదే కలిగి ఉంటే వారి కార్మిక ఉత్పాదకతను కనుగొనండి. ప్రతి కార్మికుడు ఎన్ని భాగాలను తయారు చేశాడు?

544. సహజ సంఖ్యలతో మొత్తం నాలుగు కార్యకలాపాలతో కూడిన సమస్యను కంపోజ్ చేయండి మరియు పరిష్కరించండి.

ఉన్నతమైన స్థానం

545. సమీకరణాల కోసం మూలాలను కనుగొనండి:

1) x - x = x ∙ x; 2) m: m = m ∙ m.

546. సమీకరణాల కోసం మూలాలను కనుగొనండి:

1) x: 8 = x ∙ 4; 2) y: 9 = లో: 11.

547. 7 అంకెలలో మాత్రమే వ్రాయబడిన ఉత్పత్తిని పొందడానికి ఏ సంఖ్యను 259 259తో గుణించాలి?

548. 3 అంకెలలో మాత్రమే వ్రాయబడిన ఉత్పత్తిని పొందడానికి ఏ సంఖ్యను 37,037తో గుణించాలి?

పునరావృతం చేయడానికి వ్యాయామాలు

549. సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

1) 4x - 2x + 7 = 19; 2) 8x + 3x - 5 = 39.

550. నగరానికి వెళ్లడానికి, ఒక రైతు బస్సులో 3 గంటలు ప్రయాణించాడు, దీని వేగం గంటకు కిమీ, మరియు ట్రక్కులో 2 గంటలు, దీని వేగంబి కిమీ/గం అతను మోటార్ సైకిల్‌పై తిరుగు ప్రయాణాన్ని 4 గంటల్లో కవర్ చేశాడు. మోటార్‌సైకిల్ వేగాన్ని కనుగొనండి. అక్షర వ్యక్తీకరణను వ్రాసి, a = 40 అయితే దాని విలువను లెక్కించండి, b = 32.

మరియు వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించేటప్పుడు, చర్యలు ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో నిర్వహించబడతాయి, ఇతర మాటలలో, మీరు గమనించాలి చర్యల క్రమం.

ఈ ఆర్టికల్లో, మొదట ఏ చర్యలు చేయాలి మరియు వాటి తర్వాత ఏవి చేయాలి అని మేము కనుగొంటాము. చాలా వరకు ప్రారంభిద్దాం సాధారణ కేసులు, ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో ప్లస్, మైనస్, గుణకారం మరియు భాగహారం సంకేతాలతో అనుసంధానించబడిన సంఖ్యలు లేదా వేరియబుల్‌లు మాత్రమే ఉన్నప్పుడు. తరువాత, బ్రాకెట్లతో వ్యక్తీకరణలలో ఏ చర్యల క్రమాన్ని అనుసరించాలో మేము వివరిస్తాము. చివరగా, అధికారాలు, మూలాలు మరియు ఇతర విధులను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలలో చర్యలు ఏ క్రమంలో నిర్వహించబడతాయో చూద్దాం.

పేజీ నావిగేషన్.

మొదట గుణకారం మరియు భాగహారం, తర్వాత కూడిక మరియు తీసివేత

పాఠశాల కింది వాటిని ఇస్తుంది కుండలీకరణాలు లేకుండా వ్యక్తీకరణలలో చర్యలు నిర్వహించబడే క్రమాన్ని నిర్ణయించే నియమం:

• చర్యలు ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో నిర్వహించబడతాయి,
• అంతేకాకుండా, గుణకారం మరియు భాగహారం మొదట నిర్వహిస్తారు, ఆపై కూడిక మరియు తీసివేత.

పేర్కొన్న నియమం చాలా సహజంగా గ్రహించబడింది. ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో చర్యలను చేయడం మాకు ఎడమ నుండి కుడికి రికార్డులను ఉంచడం ఆచారం అని వివరించబడింది. మరియు కూడిక మరియు వ్యవకలనానికి ముందు గుణకారం మరియు భాగహారం నిర్వహించబడుతుందనే వాస్తవం ఈ చర్యలు తీసుకునే అర్థం ద్వారా వివరించబడింది.

ఈ నియమం ఎలా వర్తిస్తుంది అనేదానికి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం. ఉదాహరణల కోసం మేము సరళమైనదాన్ని తీసుకుంటాము సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు, గణనల ద్వారా పరధ్యానంలో ఉండకూడదు, కానీ చర్యల క్రమంలో ప్రత్యేకంగా దృష్టి పెట్టాలి.

ఉదాహరణ.

7−3+6 దశలను అనుసరించండి.

పరిష్కారం.

అసలు వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలు లేవు మరియు ఇది గుణకారం లేదా భాగహారాన్ని కలిగి ఉండదు. అందువల్ల, మేము అన్ని చర్యలను ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో చేయాలి, అనగా, మొదట మనం 7 నుండి 3ని తీసివేస్తాము, మనకు 4 వస్తుంది, ఆ తర్వాత 4 యొక్క ఫలిత వ్యత్యాసానికి 6ని జోడిస్తే, మనకు 10 వస్తుంది.

క్లుప్తంగా, పరిష్కారాన్ని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: 7−3+6=4+6=10.

సమాధానం:

7−3+6=10 .

ఉదాహరణ.

6:2·8:3 వ్యక్తీకరణలో చర్యల క్రమాన్ని సూచించండి.

పరిష్కారం.

సమస్య యొక్క ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, కుండలీకరణాలు లేకుండా వ్యక్తీకరణలలో చర్యల అమలు క్రమాన్ని సూచించే నియమాన్ని ఆశ్రయిద్దాం. అసలు వ్యక్తీకరణ గుణకారం మరియు విభజన యొక్క కార్యకలాపాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది మరియు నియమం ప్రకారం, అవి ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో నిర్వహించబడాలి.

సమాధానం:

మొదట్లో మేము 6ని 2తో భాగిస్తాము, ఈ గుణకాన్ని 8తో గుణించి, చివరికి ఫలితాన్ని 3తో భాగిస్తాము.

ఉదాహరణ.

17−5·6:3−2+4:2 వ్యక్తీకరణ విలువను లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

మొదట, అసలు వ్యక్తీకరణలోని చర్యలను ఏ క్రమంలో నిర్వహించాలో నిర్ణయిస్తాము. ఇది గుణకారం మరియు భాగహారం మరియు కూడిక మరియు తీసివేత రెండింటినీ కలిగి ఉంటుంది. మొదట, ఎడమ నుండి కుడికి, మీరు గుణకారం మరియు విభజన చేయాలి. కాబట్టి మనం 5ని 6తో గుణిస్తే, మనకు 30 వస్తుంది, ఈ సంఖ్యను 3తో భాగిస్తే, మనకు 10 వస్తుంది. ఇప్పుడు మనం 4ని 2తో విభజిస్తాము, మనకు 2 వస్తుంది. మేము కనుగొన్న విలువ 10ని 5·6:3కి బదులుగా ఒరిజినల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో భర్తీ చేస్తాము మరియు 4:2కి బదులుగా - 2 విలువను కలిగి ఉన్నాము 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

ఫలిత వ్యక్తీకరణ ఇకపై గుణకారం మరియు విభజనను కలిగి ఉండదు, కాబట్టి ఇది ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో మిగిలిన చర్యలను నిర్వహించడానికి మిగిలి ఉంది: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

సమాధానం:

17−5·6:3−2+4:2=7.

మొదట, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించేటప్పుడు చర్యలు నిర్వహించబడే క్రమాన్ని గందరగోళానికి గురిచేయకుండా ఉండటానికి, అవి ప్రదర్శించిన క్రమానికి అనుగుణంగా ఉండే చర్య సంకేతాల పైన సంఖ్యలను ఉంచడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. మునుపటి ఉదాహరణ కోసం ఇది ఇలా ఉంటుంది: .

అదే ఆపరేషన్ క్రమం - మొదటి గుణకారం మరియు భాగహారం, తర్వాత కూడిక మరియు వ్యవకలనం - అక్షరాల వ్యక్తీకరణలతో పనిచేసేటప్పుడు అనుసరించాలి.

మొదటి మరియు రెండవ దశల చర్యలు

కొన్ని గణిత పాఠ్యపుస్తకాలలో విభజన ఉంది అంకగణిత కార్యకలాపాలుమొదటి మరియు రెండవ దశల చర్యల కోసం. దీన్ని గుర్తించండి.

నిర్వచనం.

మొదటి దశ యొక్క చర్యలుకూడిక మరియు తీసివేత అంటారు, మరియు గుణకారం మరియు భాగహారం అంటారు రెండవ దశ చర్యలు.

ఈ నిబంధనలలో, నుండి నియమం మునుపటి పేరా, ఇది చర్యలను నిర్వహించే క్రమాన్ని నిర్ణయిస్తుంది, ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది: వ్యక్తీకరణ కుండలీకరణాలను కలిగి ఉండకపోతే, ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో, రెండవ దశ (గుణకారం మరియు విభజన) యొక్క చర్యలు మొదట నిర్వహించబడతాయి, ఆపై మొదటి దశ యొక్క చర్యలు (అదనపు మరియు తీసివేత).

కుండలీకరణాలతో వ్యక్తీకరణలలో అంకగణిత కార్యకలాపాల క్రమం

వ్యక్తీకరణలు తరచుగా కుండలీకరణాలను కలిగి ఉంటాయి, ఇది చర్యలను ఏ క్రమంలో నిర్వహించాలి. ఈ విషయంలో కుండలీకరణాలతో వ్యక్తీకరణలలో చర్యల అమలు క్రమాన్ని పేర్కొనే నియమం, ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది: మొదట, బ్రాకెట్లలోని చర్యలు నిర్వహిస్తారు, అయితే గుణకారం మరియు విభజన కూడా ఎడమ నుండి కుడికి, ఆపై కూడిక మరియు తీసివేత క్రమంలో నిర్వహిస్తారు.

కాబట్టి, బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణలు అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క భాగాలుగా పరిగణించబడతాయి మరియు అవి ఇప్పటికే మనకు తెలిసిన చర్యల క్రమాన్ని కలిగి ఉంటాయి. మరింత స్పష్టత కోసం ఉదాహరణల పరిష్కారాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఈ దశలను అనుసరించండి 5+(7−2·3)·(6−4):2.

పరిష్కారం.

వ్యక్తీకరణ కుండలీకరణాలను కలిగి ఉంది, కాబట్టి ముందుగా ఈ కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణలలోని చర్యలను చేద్దాం. వ్యక్తీకరణ 7−2·3తో ప్రారంభిద్దాం. అందులో మీరు మొదట గుణకారం చేయాలి, ఆపై వ్యవకలనం, మనకు 7−2·3=7−6=1 ఉంటుంది. బ్రాకెట్లు 6−4లో రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం. ఇక్కడ ఒకే ఒక చర్య ఉంది - వ్యవకలనం, మేము దానిని 6−4 = 2 చేస్తాము.

మేము పొందిన విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేస్తాము: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. ఫలిత వ్యక్తీకరణలో, మేము మొదట ఎడమ నుండి కుడికి గుణకారం మరియు భాగహారం చేస్తాము, ఆపై వ్యవకలనం, మనకు 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 వస్తుంది. ఈ సమయంలో, అన్ని చర్యలు పూర్తయ్యాయి, మేము వాటి అమలు యొక్క క్రింది క్రమానికి కట్టుబడి ఉన్నాము: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

రాసుకుందాం చిన్న పరిష్కారం: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

సమాధానం:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

ఒక వ్యక్తీకరణ కుండలీకరణాల్లో కుండలీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది. దీని గురించి భయపడాల్సిన అవసరం లేదు; బ్రాకెట్‌లతో వ్యక్తీకరణలలో చర్యలను నిర్వహించడానికి మీరు పేర్కొన్న నియమాన్ని స్థిరంగా వర్తింపజేయాలి. ఉదాహరణకి పరిష్కారం చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ.

4+(3+1+4·(2+3)) వ్యక్తీకరణలో కార్యకలాపాలను నిర్వహించండి.

పరిష్కారం.

ఇది బ్రాకెట్‌లతో కూడిన వ్యక్తీకరణ, అంటే చర్యల అమలు తప్పనిసరిగా బ్రాకెట్‌లలోని వ్యక్తీకరణతో ప్రారంభం కావాలి, అంటే 3+1+4·(2+3) . ఈ వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలు కూడా ఉన్నాయి, కాబట్టి మీరు ముందుగా వాటిలోని చర్యలను చేయాలి. ఇలా చేద్దాం: 2+3=5. దొరికిన విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు 3+1+4·5 వస్తుంది. ఈ వ్యక్తీకరణలో, మేము మొదట గుణకారం చేస్తాము, ఆపై అదనంగా, మనకు 3+1+4·5=3+1+20=24 ఉంటుంది. ప్రారంభ విలువ, ఈ విలువను భర్తీ చేసిన తర్వాత, ఫారమ్ 4+24 తీసుకుంటుంది మరియు చర్యలను పూర్తి చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది: 4+24=28.

సమాధానం:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

సాధారణంగా, ఒక వ్యక్తీకరణ కుండలీకరణాల్లో కుండలీకరణాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు, అంతర్గత కుండలీకరణాలతో ప్రారంభించి బయటి వాటికి వెళ్లే చర్యలను చేయడం తరచుగా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, మనం వ్యక్తీకరణ (4+(4+(4−6:2))−1)−1లో చర్యలను నిర్వహించాలని అనుకుందాం. ముందుగా, మేము 4−6:2=4-3=1 నుండి లోపలి బ్రాకెట్లలో చర్యలను చేస్తాము, దీని తర్వాత అసలు వ్యక్తీకరణ (4+(4+1)-1)-1 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. మేము మళ్ళీ లోపలి బ్రాకెట్లలో చర్యను చేస్తాము, 4+1=5 నుండి, మేము క్రింది వ్యక్తీకరణ (4+5−1)−1 వద్దకు చేరుకుంటాము. మళ్ళీ మేము బ్రాకెట్లలో చర్యలను చేస్తాము: 4+5−1=8, మరియు మేము 8−1 వ్యత్యాసానికి చేరుకుంటాము, ఇది 7కి సమానం.

113. 1) రెండు అరలలో 84 పుస్తకాలు ఉన్నాయి (Fig. 6); మీరు ఒక షెల్ఫ్ నుండి 12 పుస్తకాలను తీసివేస్తే, రెండు అరలలో సమాన సంఖ్యలో పుస్తకాలు ఉంటాయి. ఒక్కో షెల్ఫ్‌లో ఎన్ని పుస్తకాలు ఉన్నాయి?

2) (ఓరల్.) భూభాగం 1800 చదరపు మీటర్లు. m ఇద్దరు డెవలపర్‌ల మధ్య విభజించబడింది, తద్వారా ఒకరు 100 చ.మీ. ఇతర కంటే m తక్కువ. ప్రతి డెవలపర్‌కు ఎంత భూమి వచ్చిందో నిర్ణయించండి.

114. 1) ఒక సంఖ్య మరొకదాని కంటే 113 ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు వాటి మొత్తం 337. ఈ సంఖ్యలను కనుగొనండి.

2) ఒక సంఖ్య మరొకదాని కంటే 244 తక్కువగా ఉంటుంది మరియు వాటి మొత్తం 566. ఈ సంఖ్యలను కనుగొనండి.

115. 1) రెండు సంఖ్యల మొత్తం 987, మరియు వాటి వ్యత్యాసం 333. ఈ సంఖ్యలను కనుగొనండి.

2) రెండు సంఖ్యలను జోడించినప్పుడు, ఫలితం 824, మరియు పెద్ద సంఖ్య నుండి చిన్న సంఖ్యను తీసివేసినప్పుడు, ఫలితం 198. ఈ సంఖ్యలను కనుగొనండి.

సమస్య 113 యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి, సమస్యల పరిస్థితులను గ్రాఫికల్‌గా వర్ణించండి 116 మరియు 117 మరియు వాటిని మౌఖికంగా పరిష్కరించండి.

116. 1) ఒక షెల్ఫ్‌లో 80 పుస్తకాలు మరియు మరో అరలో 100 ఉన్నాయి.రెండు అరలలో సమాన సంఖ్యలు ఉండేలా ఎన్ని పుస్తకాలను రెండవ షెల్ఫ్ నుండి మొదటిదానికి తరలించాలి?

2) ఒక అమ్మాయికి 90 కాయలు, మరొకటి 60. మొదటి అమ్మాయి రెండో అమ్మాయికి అదే సంఖ్యలో కాయలు ఉండేలా ఎన్ని కాయలు ఇవ్వాలి?

117. 1) ఇద్దరు అబ్బాయిలకు 300 మార్కులు; వారిలో ఒకరు మిగతా 30 మార్కులు వేస్తే అబ్బాయిలిద్దరికీ ఒకే మార్కులు వస్తాయి. ప్రతి అబ్బాయికి ఎన్ని స్టాంపులు ఉన్నాయి?

2) 86 మంది పయినీర్లు రెండు బస్సుల్లో శిబిరానికి వెళ్లారు. ఎక్కిన తర్వాత, మేము మొదటి బస్సు నుండి రెండవ బస్సుకు ఇద్దరిని బదిలీ చేయాలి, తద్వారా ప్రతి బస్సులో సమాన సంఖ్యలో ప్రయాణికులు ఉంటారు. ఒక్కో బస్సులో మొదట ఎంత మంది ఉన్నారు?

118. 1) రోజులో గడిచిన భాగం 3 గంటల 30 నిమిషాలు అయితే ఇప్పుడు సమయం ఎంత. మిగిలిన వాటి కంటే ఎక్కువ?

2) రోజులో గత భాగం 6 గంటలకు ఉంటే ఇప్పుడు సమయం ఎంత. 20 నిమిషాల. మిగిలిన వాటి కంటే తక్కువ?

119. 1) రెండు కార్లు రెండు ప్రదేశాల నుండి ఒకదానికొకటి ఏకకాలంలో బయలుదేరాయి, వాటి మధ్య దూరం 400 కిమీ, మరియు 4 గంటల తర్వాత కలుసుకుంది. వాటిలో ఒకటి మరొకదాని కంటే గంటకు 12 కిమీ వేగంగా ప్రయాణిస్తున్నట్లయితే ప్రతి కారు వేగాన్ని నిర్ణయించండి.

2) రెండు వాహనాలు 21 టన్నుల కార్గోను రవాణా చేశాయి, ఒక్కొక్కటి 6 ట్రిప్పులు. మొదటిది ప్రతిసారీ రెండవదాని కంటే 500 కిలోల తక్కువ రవాణా చేస్తే ప్రతి వాహనం యొక్క వాహక సామర్థ్యాన్ని నిర్ణయించండి.

120. 1) నదీ ప్రవాహం వెంట కయాక్‌లో కదులుతూ, అథ్లెట్ ఒక గంటలో 13 కి.మీ 200 మీ, మరియు నది ప్రవాహానికి వ్యతిరేకంగా అతను గంటలో 8 కి.మీ 800 మీ. మాత్రమే ప్రయాణించాడు. నది ప్రవాహ వేగం మరియు వేగాన్ని కనుగొనండి. నిశ్చల నీటిలో కాయక్. (గ్రాఫికల్‌గా గీయండి.)

2) ఒకదానికొకటి 6 కిమీ 700 మీ దూరంలో ఉన్న ఇద్దరు స్కీయర్లు ఒకదానికొకటి మరియు 20 నిమిషాల తర్వాత ఏకకాలంలో బయటకు వెళ్లారు. కలిశారు. వారు ఒక దిశలో బయటకు వెళ్ళినప్పుడు, 20 నిమిషాల తర్వాత. రెండవ స్కీయర్ మొదటిదాని కంటే 300 మీ వెనుకబడి ఉంది. ప్రతి స్కీయర్ వేగాన్ని కనుగొనండి.

121. 1) పక్కనే ఉన్న రెండు ప్లాట్లు దీర్ఘచతురస్రాకార ఆకారంఅదే వెడల్పు 72 మీ, మరియు రెండు విభాగాల పొడవు మొత్తం 240 మీ. మొదటి విభాగం వైశాల్యం 28 మరియు 80 చదరపు మీటర్లు. m మరింత ప్రాంతంరెండవ. ప్రతి ప్లాట్ విస్తీర్ణం ఎంత?

2) రెండు ప్రక్కనే ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార ప్లాట్‌లు 56 మీటర్ల వెడల్పును కలిగి ఉంటాయి మరియు ఈ ప్లాట్‌ల విస్తీర్ణాల మొత్తం 140 ఎ. వాటిలో ఒకదాని పొడవు మరొకదాని పొడవు కంటే 70 మీటర్లు ఎక్కువగా ఉంటే ప్రతి ప్లాట్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

122. 1) లెనిన్గ్రాడ్లో వేసవి కాలం (జూన్ 22) రోజున 13:00 గంటలకు. 40 నిమి. రాత్రి కంటే ఎక్కువ. ఈ రోజు సూర్యాస్తమయం 2 గంటల 37 నిమిషాలకు ఉదయిస్తే దానిని నిర్ణయించండి.

2) మాస్కోలో, శీతాకాలపు అయనాంతం (డిసెంబర్ 23) రోజున, రోజు 10 గంటలకు. రాత్రి కంటే చిన్నది. సూర్యోదయం 15:00 గంటలకు అస్తమిస్తే ఆ క్షణాన్ని నిర్ణయించండి. 58 నిమి.

123. 1) కార్మికుల గ్రామంలో మూడేళ్లలో 1,648 చదరపు మీటర్లు నిర్మించారు. m నివాస స్థలం. రెండవ సంవత్సరంలో, 136 చదరపు మీటర్లు నిర్మించబడ్డాయి. m మొదటి కంటే ఎక్కువ, మరియు మూడవ సంవత్సరంలో మొదటి రెండు సంవత్సరాలలో కలిసి నిర్మించబడింది. ఎన్ని చదరపు మీటర్లుప్రతి సంవత్సరం నివసించే స్థలం నిర్మించబడింది?

2) మూడు సంవత్సరాలలో, రాష్ట్ర వ్యవసాయ క్షేత్రం 4,850 హెక్టార్ల కన్న భూమిని దున్నింది. మొదటి సంవత్సరం కంటే రెండవ సంవత్సరం 225 హెక్టార్లు ఎక్కువగా, మూడవ సంవత్సరం మొదటి మరియు రెండవ సంవత్సరాలలో కలిపి దున్నడం జరిగింది. ప్రతి సంవత్సరం ఎన్ని హెక్టార్ల కన్య భూమిని దున్నుతారు?

124. 1) పాఠశాల విద్యార్థుల బృందం మూడు రోజుల్లో సైకిళ్లపై 228 కి.మీ. మొదటి రోజు అదే దూరం రెండో రోజు ప్రయాణించగా, రెండో రోజు కంటే మూడో రోజు 12 కి.మీ ఎక్కువ ప్రయాణించారు. పాఠశాల విద్యార్థులు ప్రతిరోజూ ఎంత దూరం ప్రయాణించారు? వారు మొదటి రోజు 9 గంటలు మరియు రెండవ రోజు 8 గంటలు రోడ్డుపై ఉన్నట్లయితే, ప్రతి రోజు వారి కదలిక వేగాన్ని కనుగొనండి. మరియు మూడవది - 7 గంటలు.

2) బంగాళదుంపలు, దుంపలు మరియు క్యారెట్లు భోజనాల గదికి తీసుకురాబడ్డాయి - మొత్తం 3 టన్నుల 360 ​​కిలోలు. క్యారెట్లు మరియు దుంపలు సమాన పరిమాణంలో ఉన్నాయి మరియు క్యారెట్ కంటే 1 టన్ను 200 కిలోల ఎక్కువ బంగాళదుంపలు ఉన్నాయి. మీరు భోజనాల గదికి ఎన్ని బంగాళదుంపలు, క్యారెట్లు మరియు దుంపలు తీసుకువచ్చారు? రోజూ 128 కిలోల బంగాళాదుంపలు, 36 కిలోల దుంపలు మరియు 24 కిలోల క్యారెట్లను తీసుకుంటే బంగాళాదుంపలు, క్యారెట్లు మరియు దుంపలను ఉపయోగించడానికి ఎన్ని రోజులు పడుతుంది?

125. 1) మూడు పాఠశాలలు మొత్తం 37 టన్నుల 690 కిలోల చిత్తు ఇనుమును సేకరించాయి. మొదటి పాఠశాల రెండవదాని కంటే 1 టన్ను 80 కిలోలు మరియు మూడవదాని కంటే 3 టన్ను 920 కిలోలు ఎక్కువ సేకరించింది. సగటు ధర 8 రూబిళ్లుగా సెట్ చేయబడితే, ప్రతి పాఠశాల స్క్రాప్ కోసం ఎంత డబ్బు పొందుతుంది. 1 టి కోసం?

2) మూడు పయనీర్ డిటాచ్‌మెంట్‌లు కలిసి 5 టన్నుల 380 కిలోల వ్యర్థ కాగితాన్ని సేకరించారు. మొదటి డిటాచ్‌మెంట్ మూడవది కంటే 960 కిలోలు తక్కువ, రెండవ డిటాచ్‌మెంట్ మూడవది కంటే 530 కిలోలు తక్కువ సేకరించింది. 1 టన్ను 20 రూబిళ్లు ఖరీదు చేస్తే ప్రతి స్క్వాడ్ ఎంత వ్యర్థ కాగితాన్ని సేకరించింది?

126. 1) రెండు ప్యాక్‌లు కలిసి 270 నోట్‌బుక్‌లను కలిగి ఉంటాయి (Fig. 7). వాటిలో ఒకటి మరొకదాని కంటే 4 రెట్లు ఎక్కువ అని మీకు తెలిస్తే, ఒక్కో ప్యాక్‌లో ఎన్ని నోట్‌బుక్‌లు ఉన్నాయి?

చిత్రాన్ని చూడండి మరియు సమస్యను పరిష్కరించడానికి దాన్ని ఉపయోగించండి.

2) పుస్తకాలు మూడు అరలలో అమర్చబడి ఉంటాయి, తద్వారా రెండవ షెల్ఫ్‌లో మొదటిదాని కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ పుస్తకాలు ఉన్నాయి మరియు మూడవదానిలో రెండవదాని కంటే మూడు రెట్లు ఎక్కువ ఉన్నాయి. మూడు అరలలో 171 పుస్తకాలు ఉన్నాయని తెలిస్తే ఒక్కో షెల్ఫ్‌లో ఎన్ని పుస్తకాలు ఉన్నాయో గుర్తించండి. (మునుపటి సమస్య యొక్క ఉదాహరణను అనుసరించి సమస్య స్థితిని గ్రాఫికల్‌గా గీయండి.)

127. 1) ఫ్రేమ్‌తో పెయింటింగ్ ధర 19 రూబిళ్లు. 80 కోపెక్స్, మరియు పెయింటింగ్ ఫ్రేమ్ కంటే 10 రెట్లు ఎక్కువ ఖరీదైనది. పెయింటింగ్ ఖర్చు ఎంత మరియు ఫ్రేమ్ ధర ఎంత?

2) గ్లాస్ హోల్డర్తో ఒక గాజు ధర 2 రూబిళ్లు. 52 kopecks, మరియు ఒక గాజు ఒక గాజు హోల్డర్ కంటే 6 రెట్లు తక్కువ ధర. గాజు ధర ఎంత మరియు కోస్టర్ ధర ఎంత?

128. 1) నిబంధనలలో ఒకటి మరొకదాని కంటే 7 రెట్లు పెద్దది మరియు వాటి మొత్తం 144. ప్రతి పదాన్ని కనుగొనండి.

2) రెండు సంఖ్యల మొత్తం 729, మరియు మొదటి పదం రెండవదాని కంటే 8 రెట్లు తక్కువ. ప్రతి పదాన్ని కనుగొనండి.

129. 1) మైన్యూఎండ్ సబ్‌ట్రాహెండ్ కంటే నాలుగు రెట్లు ఎక్కువ, మరియు తేడా 12,738. మైన్‌ఎండ్ మరియు సబ్‌ట్రాహెండ్‌ను కనుగొనండి.

2) సబ్‌ట్రాహెండ్ మైన్యూఎండ్ కంటే ఆరు రెట్లు తక్కువ, మరియు తేడా 10,385. మైనుఎండ్ మరియు సబ్‌ట్రాహెండ్‌ను కనుగొనండి.

130. 1) రోజులో గత భాగం మిగిలిన భాగం కంటే 3 రెట్లు తక్కువగా ఉంటే ఇప్పుడు సమయం ఎంత?

2) రోజులో మిగిలిన భాగం గతం కంటే 2 రెట్లు తక్కువగా ఉంటే ఇప్పుడు సమయం ఎంత?

131. 1) 100 కిలోమీటర్ల హైకింగ్ యాత్ర చేస్తున్నప్పుడు, మార్గదర్శకులు పెద్ద స్టాప్ చేసారు. విరామం తర్వాత, వారు మరో 10 కిమీ నడిచారు, ఆపై వారు కవర్ చేసిన దానికంటే 3 రెట్లు ఎక్కువ వెళ్ళవలసి వచ్చింది. ప్రయాణం ప్రారంభం నుండి ఎంత దూరంలో పెద్ద స్టాప్ చేయబడింది?

2) బారెల్‌లో 180 లీటర్ల నీరు ఉంది. మొదట, అమ్మాయిలు టమోటాలు నీరు కారిపోయింది, ఆపై దోసకాయలు నీరు త్రాగుటకు లేక 60 లీటర్ల గడిపాడు, ఆపై మిగిలిన కూరగాయలు కోసం వదిలి నీరు టమోటాలు మరియు దోసకాయలు నీరు తీసుకున్న కంటే 3 రెట్లు తక్కువ. టమోటాలకు నీరు పెట్టడానికి ఎంత నీరు పట్టింది?

132. 1) అథ్లెట్ జావెలిన్‌ను 5 సార్లు లేదా 48 మీ, ఫిరంగిని నెట్టడం కంటే ఎక్కువ విసిరాడు. ఈటె ఎన్ని మీటర్లు ఎగిరింది, ఫిరంగి బంతి ఎన్ని మీటర్లు ఎగిరింది? (సమస్య పరిస్థితిని గ్రాఫికల్‌గా గీయండి.)

2) అథ్లెట్ యొక్క లాంగ్ జంప్ అతని హైజంప్ కంటే 450 సెం.మీ లేదా 4 రెట్లు ఎక్కువ. పొడవైన మరియు ఎత్తైన జంప్‌ల పరిమాణాన్ని నిర్ణయించండి.

133. 1) పాఠశాల తోట ఆక్రమించిన దీర్ఘచతురస్రాకార ప్లాట్ యొక్క వెడల్పు పొడవు కంటే 120 మీ తక్కువ. పాఠశాల విద్యార్థులు ఉద్యానవనం పక్కనే ఉన్న బంజరు భూములను తొలగించారు. దీని తరువాత, తోట యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పు ఒక్కొక్కటి 40 మీటర్లు పెరిగింది మరియు పొడవు రెండు రెట్లు వెడల్పుగా మారింది. ఒక్కో చెట్టుకు 50 చదరపు మీటర్లు కేటాయిస్తే తోటలో ఇంతకు ముందు ఎన్ని పండ్ల చెట్లు ఉన్నాయి, మళ్లీ ఎన్ని నాటారు? m?

2) చిత్తడి ప్రక్కనే ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంతం యొక్క పొడవు వెడల్పు కంటే 70 మీటర్లు ఎక్కువ. పారుదల పని తరువాత, పొడవు మరియు వెడల్పు 20 మీటర్లు పెరిగింది, ఆపై సైట్ యొక్క పొడవు రెండు రెట్లు వెడల్పుగా మారింది. ప్లాట్ యొక్క మునుపటి ప్రాంతాన్ని కనుగొని, అది ఎంత పెరిగిందో తెలుసుకోండి.

134. 1) స్టేషన్ సైడింగ్‌లపై ఒకే రకమైన కార్ల రెండు రైళ్లు ఉన్నాయి. ఒక రైలులో మరొకదాని కంటే 12 ఎక్కువ కార్లు ఉన్నాయి; ఒక్కో రైలు నుండి 6 కార్లను అన్‌హుక్ చేసినప్పుడు, ఒక రైలు పొడవు మరో రైలు పొడవు కంటే 4 రెట్లు ఎక్కువ. ఒక్కో రైలులో ఎన్ని క్యారేజీలు ఉన్నాయి? (సమస్య పరిస్థితిని గ్రాఫికల్‌గా గీయండి.)

2) ఒక వైర్ ముక్క మరొకదాని కంటే 54 మీ పొడవు ఉంటుంది. ప్రతి ముక్క నుండి 12 మీటర్లు కత్తిరించిన తర్వాత, రెండవ భాగం మొదటిదానికంటే 4 రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. ప్రతి వైర్ ముక్క పొడవును కనుగొనండి.

135. 1) ప్రదర్శనను సందర్శించినప్పుడు, పిల్లలకు 78 టిక్కెట్లు మరియు పెద్దలకు 16 టిక్కెట్లు కొనుగోలు చేయబడ్డాయి మరియు ప్రతిదానికీ 12 రూబిళ్లు చెల్లించబడ్డాయి. 60 కోపెక్‌లు పిల్లల టిక్కెట్ పెద్దవారి టిక్కెట్ కంటే 3 రెట్లు తక్కువ ధరలో ఉంటే టిక్కెట్ల ధరను నిర్ణయించండి.

2) స్టోర్ నగదు డెస్క్ వద్ద ఐదు-రూబుల్ మరియు పది-రూబుల్ క్రెడిట్ టిక్కెట్లు ఉన్నాయి, మొత్తం 1,050 రూబిళ్లు. ఐదు-రూబుల్ నోట్ల కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ పది-రూబుల్ నోట్లు ఉంటే నగదు రిజిస్టర్‌లో రెండు డినామినేషన్లకు చెందిన ఎన్ని నోట్లు ఉన్నాయి?

136. 1) మొదటి ఎక్స్‌కవేటర్ గంటకు 60 క్యూబిక్ మీటర్లను తొలగిస్తుంది. రెండవదాని కంటే ఎక్కువ భూమి. రెండు ఎక్స్‌కవేటర్లు కలిసి 10,320 క్యూబిక్ మీటర్లను తొలగించాయి. m భూమి, మరియు మొదటిది 20 గంటలు, మరియు రెండవది 18 గంటలు పనిచేసింది. ఎన్ని క్యూబిక్ మీటర్లుగంటకు ఒక్కో ఎక్స్‌కవేటర్‌ని బయటకు తీస్తారా?

2) 8 కిలోల ఒలిచిన గింజలలో 6 కిలోల వెన్నతో సమానమైన కొవ్వు ఉంటుంది మరియు 1 కిలోల వెన్నలో 1 కిలోల కంటే ఎక్కువ 200 గ్రా కొవ్వు ఉంటుంది. 1 కిలోల వెన్న మరియు 1 కిలోల గింజలలో ఎంత కొవ్వు ఉంటుంది?

137 *. 1) కోసం పర్యాటక యాత్ర 46 మంది పాఠశాల పిల్లలు ప్రదర్శించారు, ఆరు సీట్లు మరియు నాలుగు సీట్లు పడవలు సిద్ధం చేయబడ్డాయి. పర్యాటకులందరినీ 10 బోట్లలో బస చేస్తే వీటిలో ఎన్ని మరియు ఇతర బోట్లు ఉన్నాయి ఉచిత సీట్లువదిలి లేదు? (Fig. 8.)

2) వర్క్‌షాప్‌లో, 560 కాగితాల నుండి రెండు రకాల 60 నోట్‌బుక్‌లు తయారు చేయబడ్డాయి, ఒక రకమైన నోట్‌బుక్‌ల కోసం 8 షీట్‌లు మరియు మరొక రకం నోట్‌బుక్‌ల కోసం 12 షీట్‌లు ఉపయోగించబడ్డాయి. రెండు రకాల నోట్‌బుక్‌లు ఎన్ని విడివిడిగా తయారు చేయబడ్డాయి?

138 *. 1) రెండున్నర హెక్టార్ల విస్తీర్ణంలో ఒక సామూహిక ఉద్యానవనం 250 చదరపు మీటర్ల విస్తీర్ణంలో 70 ప్లాట్లుగా విభజించబడింది. మీ మరియు 400 చ.మీ. m. సామూహిక తోటలో వీటిలో ఎన్ని మరియు ఇతర ప్లాట్లు ఉన్నాయి?

2) (ప్రాచీన చైనీస్ సమస్య.) ఒక బోనులో తెలియని సంఖ్యలో నెమళ్లు మరియు కుందేళ్ళు ఉన్నాయి. బోనులో 35 తలలు, 94 కాళ్లు ఉన్నాయని మాత్రమే మనకు తెలుసు. నెమళ్ల సంఖ్య మరియు కుందేళ్ల సంఖ్యను కనుగొనండి.

139 *. 1) టికెట్ ఆఫీసు 10 రూబిళ్లు ధర వద్ద అదే పాయింట్ ప్రయాణం కోసం సాఫ్ట్ మరియు హార్డ్ క్యారేజీలు కోసం 400 టిక్కెట్లు విక్రయించింది. 45 కోపెక్‌లు మరియు 7 రబ్. 05 kop. మొత్తం 400 టిక్కెట్ల ధర 3,160 రూబిళ్లు అయితే, వీటిలో ఎన్ని మరియు ఇతర టిక్కెట్లు విడిగా విక్రయించబడ్డాయి?

2) క్యాషియర్‌కు ఒక్కొక్కటి 20 కోపెక్‌ల 50 నాణేలు ఉన్నాయి. మరియు 15 kopecks ప్రతి, మొత్తం 9 రూబిళ్లు. క్యాషియర్ వద్ద ఎన్ని 20 కోపెక్ నాణేలు ఉన్నాయో నిర్ణయించండి. మరియు 15 కోపెక్‌లకు ఎంత.

140. 1) పేర్కొన్న పరిమాణాల తప్పిపోయిన విలువలను లెక్కించండి:

2) ఒక పాదచారి ఒక గంటలో 4 కి.మీ ప్రయాణిస్తాడు, ఒక స్కీయర్ 9 కి.మీ ప్రయాణిస్తాడు మరియు సైక్లిస్ట్ 12 కి.మీ ప్రయాణిస్తాడు. ప్రతి ఒక్కరు 4 గంటల్లో ఎంత దూరం నడవగలరు లేదా డ్రైవ్ చేయగలరు? ప్రతి ఒక్కరు 180 కి.మీ నడవడానికి లేదా డ్రైవ్ చేయడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది? (విశ్రాంతి సమయం పరిగణనలోకి తీసుకోబడదు.)

141. 1) తొమ్మిది కార్లతో కూడిన ఎలక్ట్రిక్ రైలు 12 సెకన్లలో పరిశీలకుడి దగ్గరకు వెళ్లింది. ఒక్కో కారు 16 మీటర్ల పొడవు ఉంటే రైలు ఎంత వేగంగా వెళుతోంది?

2) రైలు కదులుతున్నప్పుడు పట్టాల కీళ్ల వద్ద ఉన్న గ్యాప్ వల్ల చక్రాలు తడతాయి. ప్రయాణీకులు ఒక నిమిషంలో 80 దెబ్బలు కొట్టారు. రైలు పొడవు 9 మీ అయితే, రైలు వేగం గంటకు కిలోమీటర్లలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది?

142. 1) 90 మీటర్ల పొడవున్న స్కేటింగ్ రింక్ యొక్క వ్యతిరేక చివరల నుండి, ఇద్దరు అబ్బాయిలు ఒకరి వైపు ఒకరు పరుగెత్తుతున్నారు (Fig. 9, a). వారు ఒకే సమయంలో పరుగెత్తడం ప్రారంభించినట్లయితే మరియు మొదటి అబ్బాయి 9 పరుగులు చేస్తే ఎన్ని సెకన్ల తర్వాత వారు కలుసుకుంటారు. సెకనుకు m, మరియు రెండవది 6 మీ?

2) మొదటి సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, మొదటి బాలుడు ఒకే స్థలం నుండి మరియు ఒకే దిశలో ఏకకాలంలో పరిగెత్తితే రెండవదాని కంటే 30 మీటర్లు ముందుకు రావడానికి ఎన్ని సెకన్లు పడుతుందో తెలుసుకోండి (Fig. 9, b )

143. 1) గంటకు 50 కి.మీ వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న ప్యాసింజర్ రైలు కండక్టర్, గంటకు 40 కి.మీ వేగంతో ఎదురుగా వస్తున్న సరుకు రవాణా రైలు 10 సెకన్లలో తనను దాటి వెళ్లడాన్ని గమనించాడు. సరుకు రవాణా రైలు పొడవును నిర్ణయించండి.

2) ఏకకాలంలో ప్రారంభమైన ఇద్దరు మెట్రో ప్రయాణీకులు - ఒకరు అవరోహణ మరియు మరొకరు కదులుతున్న సబ్‌వే మెట్ల మీదుగా, 30 సెకన్ల తర్వాత కలుసుకున్నారు. దాని వేగం సెకనుకు 1 మీ అయితే మెట్ల బయటి భాగం యొక్క పొడవును నిర్ణయించండి.

144. 1) రెండు నగరాల నుండి రెండు విమానాలు ఒకదానికొకటి ఏకకాలంలో బయలుదేరాయి, వీటి మధ్య దూరం 2400 కిమీ, మరియు 4 గంటల తర్వాత కలుసుకుంది. మొదటి విమానం వేగం గంటకు 350 కిమీ అయితే రెండవ విమానం వేగాన్ని నిర్ణయించండి.

2) రెండు స్తంభాల నుండి, దీని మధ్య దూరం 660 కిమీ, రెండు స్టీమ్‌షిప్‌లు ఒకదానికొకటి ఏకకాలంలో బయలుదేరాయి. మొదటి స్టీమ్‌షిప్ నిమిషానికి సగటున 250 మీ. 8 గంటల తర్వాత రెండవ స్టీమర్ వేగాన్ని నిర్ణయించండి. ఉద్యమం ప్రారంభమైన తర్వాత, ఓడల మధ్య 396 కి.మీ.

145. 1) రెండు కార్లు మాస్కో మరియు కాలినిన్ నుండి లెనిన్‌గ్రాడ్‌కు ఒకే రహదారిలో ఒకే సమయంలో బయలుదేరాయి. మాస్కో నుండి - ప్రయాణీకుల కార్లు, మరియు కాలినిన్ నుండి - కార్గో. సరుకు కదులుతోంది సగటు వేగంగంటకు 40 కి.మీ. ప్రయాణీకుల కారు 8 గంటల తర్వాత ట్రక్కును పట్టుకుంటే దాని వేగాన్ని నిర్ణయించండి మరియు మాస్కో నుండి కాలినిన్‌కు దూరం 168 కి.మీ.

పరిష్కారాన్ని సంఖ్యా ఫార్ములాగా వ్రాయండి.

2) A మరియు B పాయింట్ల నుండి, దీని మధ్య దూరం 8 కిమీ ఉంటుంది, ఒక పాదచారి అదే సమయంలో మరియు అదే దిశలో గంటకు 5 కిమీ వేగంతో బయలుదేరాడు మరియు ఒక బస్సు బయలుదేరింది. 12 నిమిషాల తర్వాత బస్సు వేగాన్ని నిర్ణయించండి. అతను పాదచారిని పట్టుకున్నాడు.

146. 1) 8 గంటలకు. ఉదయం, పయినీర్ల బృందం నగరం నుండి రాష్ట్ర వ్యవసాయ క్షేత్రానికి కాలినడకన బయలుదేరింది, గంటకు 4 కిమీ 800 మీ, మరియు 11 గంటలకు. వారిని అనుసరించి, పయినీర్ల గుంపు గంటకు 12 కి.మీ వేగంతో సైకిళ్లపై బయలుదేరింది. రెండు సమూహాలు ఒకే సమయంలో రాష్ట్ర వ్యవసాయ క్షేత్రానికి వచ్చినట్లయితే నగరం నుండి రాష్ట్ర వ్యవసాయ క్షేత్రానికి దూరాన్ని నిర్ణయించండి.

2) 9 గంటలకు. ఒక ప్యాసింజర్ రైలు గంటకు 40 కిమీ వేగంతో మరియు 11 గంటలకు ఒక నగరం నుండి మరొక నగరానికి బయలుదేరింది. అతని వెనుక గంటకు 58 కి.మీ వేగంతో వేగంగా రైలు వచ్చింది. ట్రాఫిక్ భద్రత కోసం రైళ్ల మధ్య దూరం 8 కి.మీ కంటే తక్కువ ఉండకూడదనుకుంటే, ఎక్స్‌ప్రెస్ రైలును పాస్ చేయడానికి ప్యాసింజర్ రైలు ఏ సమయంలో ఆపాలి?

147. 1) ఒక బస్సు గంటకు 30 కి.మీ వేగంతో మరియు 15 నిమిషాల తర్వాత పాయింట్ A నుండి బయలుదేరింది. పాయింట్ B నుండి బయలుదేరిన ఒక పాదచారిని పట్టుకున్నాడు, అదే సమయంలో బస్సు పాయింట్ A నుండి బయలుదేరింది. పాదచారి గంటకు 6 కి.మీ వేగంతో నడుస్తున్నాడు. పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి.

2) మధ్యాహ్నం, స్టీమర్ గంటకు 16 కి.మీ వేగంతో పీర్ నుండి బయలుదేరింది. 3 గంటల తర్వాత, ఒక స్టీమర్ అదే పీర్ నుండి అదే దిశలో బయలుదేరింది, అది 12 గంటల తర్వాత. బయలుదేరిన తర్వాత, నేను మొదటి స్టీమర్‌ని పట్టుకున్నాను. రెండవ స్టీమర్ వేగాన్ని నిర్ణయించండి,

148. 1) (పాత సమస్య.) ఒక కుక్క 150 అడుగుల దూరంలో కుందేలును వెంబడిస్తోంది. కుందేలు 7 అడుగులు దూకిన ప్రతిసారీ ఆమె 9 అడుగులు దూకుతుంది. కుందేలును పట్టుకోవడానికి కుక్క ఎన్ని జంప్‌లు చేయాలి?

2) కుక్క దాని నుండి 120 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న నక్కను వెంబడించింది, నక్క నిమిషానికి 320 మీటర్లు మరియు కుక్క 350 మీటర్లు పరుగెత్తితే నక్కను పట్టుకోవడానికి కుక్క ఎంత సమయం పడుతుంది?

149. 1) 1 m 2 dm చుట్టుకొలత ఉన్న చక్రం నిర్దిష్ట దూరం వద్ద 900 సార్లు తిరుగుతుంది. 8 dm చుట్టుకొలత ఉన్న చక్రం అదే దూరం వద్ద ఎన్ని సార్లు తిరుగుతుంది? మొదటి కంటే ఎక్కువ?

పరిష్కారాన్ని సంఖ్యా ఫార్ములాగా వ్రాయండి.

2) 720 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న ముందు చక్రం వెనుక చక్రం కంటే 40 విప్లవాలు ఎక్కువగా మారింది. వెనుక చక్రం చుట్టుకొలత 2 మీ అయితే ముందు చక్రం చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

150. 1) సామూహిక వ్యవసాయ క్షేత్రం నుండి స్టేషన్‌కు దూరం 6 కిమీ, ఒక పాదచారి ఒక గంటలో ప్రయాణిస్తాడు మరియు సైక్లిస్ట్ 30 నిమిషాలలో ప్రయాణిస్తాడు. ఒక సైక్లిస్ట్ సామూహిక వ్యవసాయ క్షేత్రాన్ని విడిచిపెట్టి, అదే సమయంలో ఒక పాదచారి స్టేషన్ నుండి బయలుదేరినట్లయితే, సామూహిక వ్యవసాయ క్షేత్రం నుండి ఎంత దూరంలో మరియు ఉద్యమం ప్రారంభమైన తర్వాత వారు ఎంతకాలం కలుస్తారు?

2) రెండు రైళ్లు ఒకే సమయంలో రెండు నగరాల నుండి ఒకదానికొకటి బయలుదేరాయి మరియు 18 గంటల తర్వాత కలుసుకున్నాయి. రైళ్ల వేగం గంటకు 10 కి.మీ, నగరాల మధ్య దూరం 1620 కి.మీ అని తెలుసుకుని వాటి వేగాన్ని నిర్ణయించండి.

151. 1) వద్ద రెండు రైళ్లు బయలుదేరాయి వివిధ సమయంరెండు స్టేషన్ల నుండి ఒకదానికొకటి వైపు, వీటి మధ్య దూరం 794 కి.మీ. మొదటి రైలు గంటకు 52 కి.మీ, రెండవది గంటకు 42 కి.మీ. 416 కి.మీ ప్రయాణించిన తర్వాత, మొదటి రైలు రెండవదాన్ని కలుసుకుంది. ఒక రైలు మరో రైలు ఎన్ని గంటల ముందు బయలుదేరింది?

2) ఒక రైలు A నగరం నుండి గంటకు సగటున 50 కి.మీ వేగంతో B నగరం వైపు వెళుతుంది. 12 గంటల్లో. ఒక విమానం అదే నగరం యొక్క ఎయిర్‌ఫీల్డ్ నుండి బయలుదేరింది, అది రైలు వేగం కంటే 7 రెట్లు ఎక్కువ వేగంతో అదే దిశలో ప్రయాణించింది మరియు A నుండి B వరకు సరిగ్గా సగం వరకు దానిని పట్టుకుంది. A నుండి B వరకు ఉన్న దూరాన్ని నిర్ణయించండి .

152. రెండు స్పీడ్ స్కేటర్లు స్పోర్ట్స్ సర్క్యులర్ ట్రాక్ వెంట కదులుతున్నాయి, దీని పొడవు 720 మీ. మొదటి వేగం సెకనుకు 10 మీ, మరియు రెండవది సెకనుకు 8 మీ. వారు స్పోర్ట్స్ ట్రాక్‌పై ఒకే సమయంలో మరియు అదే స్థలం నుండి కదలడం ప్రారంభించారు. మొదటి స్కేటర్ అదే దిశలో కదులితే ఏ వ్యవధిలో రెండో స్కేటర్ అధిగమిస్తుంది? వారు తరలిస్తే ఏ సమయ వ్యవధిలో కలుస్తారు వ్యతిరేక దిశలు?

153. 1) పాఠశాలలో పాఠాలు 8 గంటలకు ప్రారంభమవుతాయి. 30 నిమి. ఉదయం. ఒక్కో పాఠం 45 నిమిషాలు ఉంటుంది. రెండవ మరియు మూడవ మరియు మూడవ మరియు నాల్గవ పాఠాల మధ్య మార్పులు ఒక్కొక్కటి 20 నిమిషాలు మరియు మిగిలినవి ఒక్కొక్కటి 10 నిమిషాలు. ప్రతి 6 పాఠాల ప్రారంభ మరియు ముగింపు సమయాన్ని నిర్ణయించండి.

2) మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు తరగతులు ప్రారంభమైతే అదే సమస్యను పరిష్కరించండి.

154. 1) విద్యా సంవత్సరంపాఠశాలల్లో ఇది నాలుగు త్రైమాసికాలుగా విభజించబడింది: I త్రైమాసికం - సెప్టెంబర్ 1 నుండి నవంబర్ 6 వరకు కలుపుకొని, II త్రైమాసికం - నవంబర్ 9 నుండి డిసెంబర్ 29 వరకు, III త్రైమాసికం - జనవరి 11 నుండి మార్చి 24 వరకు, IV - ఏప్రిల్ 3 నుండి మే 30 వరకు. ప్రతి త్రైమాసిక వ్యవధిని నిర్ణయించండి.

2) ఎంత పూర్తి సంవత్సరాలు, మీరు పుట్టినప్పటి నుండి నెలలు మరియు రోజులు గడిచిపోయాయా?

155. 1) మొదటి సోవియట్ కృత్రిమ ఉపగ్రహంభూమి అక్టోబరు 4, 1957న ప్రయోగించబడింది మరియు జనవరి 3, 1958న ఉనికిలో లేదు. మొట్టమొదటి సోవియట్ కృత్రిమ భూమి ఉపగ్రహం ఎంతకాలం విమానంలో ఉంది?

2) రెండవ సోవియట్ కృత్రిమ భూమి ఉపగ్రహం నవంబర్ 3, 1957న ప్రయోగించబడింది మరియు ఏప్రిల్ 14, 1958న ఉనికిలో లేదు. రెండవ సోవియట్ కృత్రిమ భూమి ఉపగ్రహం ఎంతకాలం విమానంలో ఉంది?

156. 1) మే 7, 1895న, A.S. పోపోవ్ ప్రపంచంలోని మొట్టమొదటి రేడియో రిసీవర్‌ను ప్రదర్శించాడు. 332 సంవత్సరాల 8 రోజుల ముందు, ఇవాన్ ఫెడోరోవ్ రష్యాలో మొదటి పుస్తకాలను ముద్రించడం ప్రారంభించాడు. ఇవాన్ ఫెడోరోవ్ పుస్తకాలను ప్రచురించడం ఎప్పుడు ప్రారంభించాడు?

2) మొదటిది ప్రపంచవ్యాప్తంగా పర్యటన, ఇది రష్యన్ నావికులు క్రుజెన్‌షెర్న్ మరియు లిస్యాన్స్కీచే నిర్వహించబడింది, ఆగష్టు 7, 1803 న ప్రారంభమైంది. నావికులు 3 సంవత్సరాల మరియు 14 రోజులు సముద్రయానంలో ఉన్నారు. వారు ఎప్పుడు ఇంటికి తిరిగి వచ్చారు?

157. 1) గొప్ప రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు N.I. లోబాచెవ్స్కీ నవంబర్ 20, 1792 న జన్మించాడు మరియు ఫిబ్రవరి 12, 1856 న మరణించాడు. N.I. లోబాచెవ్స్కీ ఎంతకాలం జీవించాడు?

2) గొప్ప రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు P. L. చెబిషెవ్ మే 26, 1821న జన్మించాడు మరియు డిసెంబర్ 8, 1894న మరణించాడు. II L. చెబిషెవ్ ఎంతకాలం జీవించాడు?

158. 1) సమాంతర పైప్ ఆకారంలో ఉన్న బార్న్ ఎండుగడ్డితో నిండి ఉంటుంది. బార్న్ యొక్క పొడవు 8 మీ, వెడల్పు 6 మీ, ఎత్తు 6 మీ. బార్న్‌లోని ఎండుగడ్డి బరువు 10 క్యూబిక్ మీటర్లు ఉంటే నిర్ణయించండి. మీ ఎండుగడ్డి బరువు 6 సి.

2) కట్టెల లాగ్‌ను రవాణా చేయడానికి ఎన్ని మూడు-టన్నుల వాహనాలు అవసరమవుతాయి, దీని పొడవు 6 మీ, వెడల్పు 2 మీ మరియు ఎత్తు 3 మీ, అయితే 2 క్యూబిక్ మీటర్లు. మీ కట్టెల బరువు 1 టన్ను?

159. 1) పొడవు తరగతి గది 8 మీ, వెడల్పు 6 మీ, మరియు ఎత్తు 3 మీ 50 సెం.మీ. తరగతి గది వాల్యూమ్ (క్యూబిక్ కెపాసిటీ)ని కనుగొనండి.

2) పొడవు వ్యాయామశాల 25 మీ, వెడల్పు 16 మీ, మరియు ఎత్తు 5 మీ 50 సెం.మీ. స్పోర్ట్స్ హాల్ యొక్క క్యూబిక్ సామర్థ్యాన్ని కనుగొనండి.

160. 1) సీలింగ్ పొడవు 11 మీ మరియు వెడల్పు పొడవు కంటే 5 మీ తక్కువ. షీట్ యొక్క వెడల్పు 1 మీ 5 డిఎమ్ మరియు పొడవు 2 మీ అయితే పైకప్పును కవర్ చేయడానికి డ్రై ప్లాస్టర్ యొక్క ఎన్ని షీట్లు అవసరం?

2) రెండు గదులు ఒకే ప్రాంతాన్ని కలిగి ఉంటాయి, కానీ వేర్వేరు పొడవులు మరియు వెడల్పులు. మొదటి గది పొడవు 12 మీ మరియు వెడల్పు 6 మీ. రెండవ గది పొడవు మొదటి గది పొడవు కంటే 3 మీటర్లు తక్కువగా ఉంటే దాని వెడల్పును నిర్ణయించండి.

161. 1) 18 మీటర్ల వెడల్పు మరియు 576 చ.మీ విస్తీర్ణం కలిగిన దీర్ఘచతురస్రాకార భూమి. m తప్పనిసరిగా 6 వరుసలలో వైర్తో కంచె వేయాలి. ఎంత వైర్ అవసరం?

2) దీర్ఘచతురస్రాకార గాజు షీట్ నుండి, దీని పొడవు 24 సెం.మీ మరియు వెడల్పు 22 సెం.మీ ఉంటుంది, మీరు 8 సెం.మీ x 6 సెం.మీ కొలిచే దీర్ఘచతురస్రాకార పలకలను కత్తిరించాలి. అత్యధిక సంఖ్యమీరు కొన్ని రికార్డులను పొందగలరా? (డ్రాయింగ్‌పై ద్రావణాన్ని గీయండి, నోట్‌బుక్‌లోని ఒక సెల్‌ను 1 సెం.మీ.గా తీసుకుని.)

162. 1) ఇవ్వబడిన ప్రతి మూడు ఉదాహరణలలో, పేర్కొన్న పరిమాణం యొక్క తప్పిపోయిన విలువను లెక్కించండి:

2) విద్యార్థి 8 రోజుల్లో సగం పుస్తకాన్ని చదివాడు, రోజూ 12 పేజీలు చదవండి. ఆ తరువాత, పుస్తకాన్ని సమయానికి చదవడానికి, అతను ప్రతిరోజూ మరో 4 పేజీలు చదవడం ప్రారంభించాడు. విద్యార్థి పుస్తకాన్ని ఎన్ని రోజులకు అందుకున్నాడు?

163. 1) లైబ్రరీకి 1,800 పుస్తకాలు బైండ్ చేయాలి. ఆర్డర్‌ను స్వతంత్రంగా పూర్తి చేయడానికి ఒక్కొక్కటి మూడు వర్క్‌షాప్‌లు చేపట్టాయి: మొదటిది 20 రోజులలో, రెండవది 30 రోజులలో మరియు మూడవది 60 రోజులలో. పుస్తకాల బైండింగ్‌ను వీలైనంత త్వరగా పూర్తి చేయడానికి, మేము ఆర్డర్‌ను మూడు వర్క్‌షాప్‌లకు ఒకేసారి బదిలీ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నాము. వర్క్‌షాప్‌లు తమ పనిని ఏకకాలంలో ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేస్తాయి?

2) హోల్డ్ నుండి నీటిని పంప్ చేయడానికి, రెండు పంపులు వ్యవస్థాపించబడ్డాయి: మొదటిది నిమిషానికి 20 బకెట్లు, మరియు రెండవది నిమిషానికి 30 బకెట్లు. మొదట, మొదటి పంపు ఒంటరిగా పనిచేసింది మరియు 30 నిమిషాల తర్వాత. రెండవ పంపు కూడా పనిచేయడం ప్రారంభించింది, ఆ తర్వాత రెండు పంపులు 1 గంట 30 నిమిషాల తర్వాత మొత్తం నీటిని బయటకు పంపుతాయి. రెండు పంపులు మొదటి నుంచీ నడుస్తుంటే హోల్డ్‌లో ఎంత నీరు ఉంది మరియు మొత్తం నీటిని బయటకు పంపడానికి ఎంత సమయం పట్టేది?

164. 1) జిల్లా పొడవులో మూడు హైవేలను మరమ్మతులు చేయాలని ప్రణాళిక వేసింది: మొదటి 80 కి.మీ, రెండవది 98 కి.మీ మరియు మూడవది 112 కి.మీ. 1 కిమీ మరమ్మత్తు ఖర్చు ఒకేలా ఉంటే మరియు మొదటి రహదారిని మరమ్మతు చేయడానికి 2,160 రూబిళ్లు కేటాయించబడితే ప్రతి రహదారిని మరమ్మతు చేయడానికి అయ్యే ఖర్చును నిర్ణయించండి. రెండవది మరమ్మత్తు ఖర్చు కంటే తక్కువ.

2) మార్గదర్శకుల బృందం నగరంలోని వీధుల్లో చెట్లను నాటారు. ఒక వీధిలో చెట్ల కోసం 20 ఒకేలా గుంతలు తవ్వాలి, మరొకటి 15 మరియు మూడవది 35. మొదటి వీధిలో మార్గదర్శకులు 1 గంట 30 నిమిషాలు పని చేస్తే అన్ని రంధ్రాలు త్రవ్వడానికి ఎన్ని గంటలు పట్టింది? మూడవది కంటే తక్కువ?

165. 1) ఆరు గంటల్లో. పని, మొదటి విద్యార్థి రెండవదాని కంటే 4 భాగాలు ఎక్కువ చేసాడు, మరియు మాస్టర్ మొదటి విద్యార్థి కంటే 36 భాగాలు మరియు రెండవదాని కంటే మూడు రెట్లు ఎక్కువ చేసాడు. మాస్టర్ మరియు ప్రతి విద్యార్థి ఒక భాగాన్ని తయారు చేయడానికి ఎన్ని నిమిషాలు గడిపారు?

2) 4 గంటల 30 నిమిషాలలో. మొదటి విద్యార్థి రెండవదాని కంటే మూడు భాగాలను తక్కువగా చేసాడు, మరియు మాస్టర్ మొదటి విద్యార్థి కంటే మూడు రెట్లు ఎక్కువ భాగాలు మరియు రెండవదాని కంటే 27 భాగాలు ఎక్కువ చేసాడు. మాస్టర్ మరియు ప్రతి విద్యార్థి ఒక భాగాన్ని తయారు చేయడానికి ఎన్ని నిమిషాలు గడిపారు?

166. 1) దీర్ఘచతురస్రాకార భూమి యొక్క వెడల్పు దాని పొడవు కంటే 80 మీ తక్కువ. దాని చుట్టూ ఉన్న కంచె పొడవు 800 మీ అయితే ప్లాట్ యొక్క ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించండి.

2) దీర్ఘచతురస్రాకార భూమి 200 మీటర్ల పొడవుతో కంచెతో కప్పబడి ఉంటుంది మరియు దాని పొడవు దాని వెడల్పు కంటే 20 మీటర్లు ఎక్కువగా ఉంటుంది. ప్లాట్లు రెండు భాగాలుగా విభజించబడ్డాయి, అందులో ఒకటి 200 చ.మీ. m మరొకదాని కంటే ఎక్కువ. ప్రతి భాగం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.

167. 1) ధాతువు తవ్వకానికి సంబంధించిన షిఫ్ట్ అసైన్‌మెంట్‌ను బృందం 4 రెట్లు అధిగమించి 24 టన్నుల ఉత్పత్తి చేసింది మరిన్ని పనులు. బృందం ఒక్కో షిఫ్ట్‌కి ఎన్ని టన్నుల ఖనిజాన్ని ఉత్పత్తి చేసింది మరియు షిఫ్ట్ అసైన్‌మెంట్ ఏమిటి?

2) కాంస్య 41 భాగాలు రాగి, 8 భాగాలు టిన్ మరియు 1 భాగం జింక్ కలిగి ఉంటుంది. టిన్ కంటే 1 కిలోల 484 గ్రా తక్కువ జింక్ ఉన్న కాంస్య ముక్క ఎంత బరువు ఉంటుంది?

168. 1) రెండు కార్లు 2 రోజుల్లో 96 టన్నుల వివిధ వస్తువులను ఒక గిడ్డంగి నుండి దుకాణానికి రవాణా చేశాయి మరియు మొదటి రోజు రెండవ రోజు కంటే 12 టన్నులు ఎక్కువ రవాణా చేయబడ్డాయి. మొదటి కారు 9 ట్రిప్పులు చేసిన రోజు, రెండవది 12; రెండవ రోజు, మొదటి కారు 3 ట్రిప్పులు, రెండవది 12 ట్రిప్పులు చేసింది.

2) వర్క్‌షాప్ 1,980 రూబిళ్లు విలువైన రెండు ముక్కలను అందుకుంది. మొదటి ముక్కలోని పదార్థం యొక్క ధర 39 రూబిళ్లు. మీటరుకు, మరియు రెండవ 40 రూబిళ్లు. మీటరుకు రెండవ ముక్క ధర 420 రూబిళ్లు అయితే, ప్రతి ముక్కలో ఎన్ని మీటర్ల పదార్థం ఉంది. మొదటిదాని కంటే ఖరీదైనదా?

169. 1) మోటారుసైకిలిస్ట్ గంటకు 30 కి.మీ వేగంతో రెండు పాయింట్ల మధ్య 600 కి.మీల దూరాన్ని అధిగమించవలసి ఉంటుంది, కానీ అతను రోడ్డుపై 4 గంటలు ఆలస్యం చేయవలసి వచ్చింది. సమయానికి తన గమ్యస్థానానికి చేరుకోవడానికి, అతను ఆగిన తర్వాత తన వేగాన్ని రెట్టింపు చేయాల్సి వచ్చింది. ఉద్యమం ప్రారంభం నుండి ఎంత దూరంలో ఆలస్యం జరిగింది?

2) పయినీర్, వారపత్రికను అందుకున్నాడు, తదుపరి సంచికను స్వీకరించే సమయానికి దానిని చదవగలిగాడు. అతను గ్రామంలో ఉన్న సమయంలో, అతను 6 సంచికలను సేకరించాడు మరియు తిరిగి వచ్చిన తరువాత అతను ఒక వారంలో 3 సంచికలు చదవాలని నిర్ణయించుకున్నాడు. అందుకున్న పత్రికలన్నీ ఎన్ని వారాల్లో చదవబడతాయి?

170. 1) తండ్రి నా కొడుకు కంటే పెద్ద 24 సంవత్సరాలు. కొడుకు వయసు ఎంత?.. 3 ఏళ్లలో తండ్రి కంటే 5 రెట్లు చిన్నవాడవుతాడు.

2) కొడుకు ఇప్పుడు 14 సంవత్సరాలు, మరియు ఐదు సంవత్సరాల క్రితం అతను తన తండ్రి కంటే 5 రెట్లు చిన్నవాడు. ఎన్ని లో సమయం ఇచ్చారుమీ నాన్న వయస్సు ఎంత?

171. 1) విహార యాత్రికులు రెండు రోజుల్లో 156 రూబిళ్లు ఖర్చు చేశారు. రెండవ రోజు వారు మొదటిదాని కంటే 2 రెట్లు ఎక్కువ ఖర్చు చేశారు మరియు మరో 6 రూబిళ్లు. పర్యాటకులు రోజుకు ఎన్ని రూబిళ్లు ఖర్చు చేశారు?

2) 350 మిమీ పొడవు గల స్టీల్ స్ట్రిప్ నుండి 2 పెద్ద మరియు 4 చిన్న ముక్కలు కత్తిరించబడ్డాయి, దాని తర్వాత 22 మిమీ ముక్క మిగిలిపోయింది. పెద్ద వర్క్‌పీస్ చిన్నదాని కంటే 2 రెట్లు ఎక్కువ ఉంటే వర్క్‌పీస్‌ల కొలతలు నిర్ణయించండి.

172. 1) బేస్‌లో 180 టన్నుల కూరగాయలు ఉన్నాయి, ఇది 20 క్యాంటీన్‌లకు సరఫరా చేయబడింది. మూడు వారాల తర్వాత, ఈ స్థావరానికి మరో 15 క్యాంటీన్లు జోడించబడ్డాయి. ఒక్కో క్యాంటీన్‌లో వారానికి సగటున 900 కిలోల కూరగాయలు తీసుకుంటే కూరగాయల సరఫరాను వినియోగించుకోవడానికి ఎన్ని వారాలు పట్టింది?

2) మెట్రో లాబీ యొక్క గోడలను పాలరాయితో కప్పినప్పుడు, మొదటి బృందం 14 చదరపు మీటర్లను ఇన్స్టాల్ చేసింది. m, మరియు రెండవది 12 చదరపు. ప్రతి షిఫ్ట్‌కు m స్లాబ్‌లు. లాబీ యొక్క కొలతలు: 24 మీ x 8 మీ x 4 మీ. గోడలలో 2 మీ x 3 మీ కొలిచే నాలుగు మార్గాలు ఉన్నాయి. రెండవ బృందం మొదటి బృందం కంటే 2 రోజులు ముందుగా పని చేయడం ప్రారంభించినట్లయితే ఎన్ని రోజుల్లో పని పూర్తవుతుంది?

173. 1) రెండు నగరాల నుండి, దీని మధ్య దూరం 484 కి.మీ., ఒక సైక్లిస్ట్ మరియు ఒక మోటార్ సైకిలిస్ట్ ఒకదానికొకటి ఏకకాలంలో బయలుదేరారు. 4 గంటల తర్వాత, వాటి మధ్య దూరం 292 కి.మీ. సైక్లిస్ట్ యొక్క వేగం సైక్లిస్ట్ యొక్క వేగం కంటే 3 రెట్లు ఉంటే సైక్లిస్ట్ మరియు మోటర్ సైక్లిస్ట్ యొక్క వేగాన్ని నిర్ణయించండి.

2) రెండు నగరాలు ఒకదానికొకటి 900 కి.మీ దూరంలో ఉన్నాయి. ఒక రైలు ఒక నగరం నుండి బయలుదేరింది, మరియు ఒక విమానం మరొక నగరం నుండి అదే సమయంలో రైలు మరియు అదే దిశలో బయలుదేరింది మరియు 3 గంటల తర్వాత అది రైలును పట్టుకుంది. రైలు వేగం విమానం వేగం కంటే 7 రెట్లు తక్కువగా ఉంటే రైలు మరియు విమానం వేగాన్ని నిర్ణయించండి.

174. 1) చాలా మంది విద్యార్థులు పుస్తకాల కొనుగోలు కోసం 50 కోపెక్‌లను అందించారు, అయితే సేకరించిన మొత్తం విలువ 1 రూబుల్ అని తేలింది. 50 కోపెక్‌లు పుస్తకాల ధర కంటే తక్కువ. ప్రతి విద్యార్థి 10 కోపెక్‌లను జోడించినప్పుడు, సేకరించిన మొత్తం డబ్బు పుస్తకాల ధర కంటే 70 కోపెక్‌లను మించిపోయింది. ఎంత మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు మరియు పుస్తకాల ధర ఎంత?

2) పర్యటన కోసం చెల్లించడానికి, ప్రతి విహార యాత్రికుడు 1 రూబుల్ అందించారు. 20 కోపెక్స్, కానీ 1 రూబుల్ లేదు అని తేలింది. ప్రతి పాల్గొనేవారు మరో 10 కోపెక్‌లను అందించినప్పుడు, 1 రూబుల్ అదనంగా మిగిలిపోయింది. విహారయాత్రలో ఎంత మంది పాల్గొన్నారు మరియు యాత్రకు ఎంత ఖర్చవుతుంది?

175. 1) వర్క్‌షాప్‌లో 61 మీటర్ల ఫాబ్రిక్‌ని ఉపయోగించి 8 ఒకేలాంటి కోట్లు మరియు అనేక సారూప్య సూట్‌లను కుట్టారు. ప్రతి కోటు కోసం, 3 మీ 25 సెం.మీ పదార్థం ఖర్చు చేయబడింది, మరియు ప్రతి సూట్ కోసం, కోటు కంటే 25 సెం.మీ. వర్క్‌షాప్ ఎన్ని సూట్‌లను తయారు చేసింది?

2) సమస్య యొక్క స్థితిని మార్చండి: తెలిసిన సూట్‌ల సంఖ్యను పరిగణించండి, అన్ని ఇతర సంఖ్యలను మార్చకుండా ఉంచండి మరియు వర్క్‌షాప్ ఎన్ని కోట్లు కుట్టించబడిందో కనుగొనండి. కొత్త పని కోసం పరిస్థితులను సృష్టించండి.

3) కంపోజ్ చేయండి కొత్త పని, మొదటి రెండు మాదిరిగానే, కోటు మరియు సూట్‌ను కుట్టడానికి వినియోగించే మెటీరియల్ మొత్తాన్ని ఉపయోగించడం. మిగిలిన సంఖ్యలను మార్చండి.

176. పట్టిక కుందేళ్ళ కోసం వేసవి మరియు శరదృతువు-శీతాకాలపు ఫీడ్ ప్రమాణాలను (రోజుకు గ్రాములలో) చూపుతుంది.

50 యువ జంతువుల తలలను పెంచడానికి ఎన్ని రకాల ఫీడ్‌లు అవసరమో లెక్కించండి: వేసవి, శరదృతువు మరియు శీతాకాలంలో. ఫీడ్ ధరను తెలుసుకోండి మరియు ఖర్చులను లెక్కించండి.

177. 1) డ్రా బార్ చార్ట్, చివరిగా తరగతిలో విద్యార్థులు అందుకున్న A, B, C మరియు సంతృప్తికరంగా లేని గ్రేడ్‌ల సంఖ్యను లెక్కించడం పరీక్ష పనిఅంకగణితంలో.

గమనిక. రేఖాచిత్రాన్ని నిర్మించేటప్పుడు, ప్రతి నిలువు వరుసకు వెడల్పులో రెండు సెల్‌లను తీసుకోండి మరియు విద్యార్థులు పొందే ప్రతి మార్కుకు ఎత్తులో ఒక సెల్ తీసుకోండి.

2) మీ తరగతిలో ఎంత మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు? వారిలో ఎంతమంది పయినీర్లు ఉన్నారు? రేఖాచిత్రం గీయండి.

178. ప్రయోగశాల పని"భూమిపై సరళ రేఖను గీయడం."

తరగతి ప్రతి ఒక్కరికి 3 వ్యక్తుల లింక్‌లుగా విభజించబడింది (మొదటిది పెద్దది, రెండవది మరియు మూడవది తీసుకువచ్చి మైలురాళ్లను సెట్ చేస్తారు).

అవసరమైన సాధనాలు: 6-8 మైలురాళ్ళు.

పని పురోగతి: 1) మైలురాళ్లతో గుర్తు ముగింపు బిందువులు A మరియు B (Fig. 10),

2) A మరియు B మైలురాళ్ల మధ్య ఇంటర్మీడియట్ మైలురాళ్లను ఇన్‌స్టాల్ చేయండి, తద్వారా అవి ఒక సరళ రేఖను ఏర్పరుస్తాయి.