పుట 1

ఆక్సిడైజింగ్ ఏజెంట్ మరియు తగ్గించే ఏజెంట్ యొక్క రసాయన పరస్పర చర్యను ప్రతిబింబించే సమీకరణాలను గీయడం ప్రారంభ పదార్థాలు మరియు ప్రతిచర్య ఉత్పత్తుల సూత్రాలలో గుణకాలను నిర్ణయించడానికి వస్తుంది, దీని కూర్పు అనుభవం నుండి నిర్ణయించబడుతుంది.

ప్రమాణాల సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి సమీకరణాలను కంపైల్ చేయాలని సిఫార్సు చేయబడింది, తద్వారా ప్రతి సమీకరణంలో మూడు వేరియబుల్ పరిమాణాలు ab a2, a3 ఉంటాయి మరియు మిగిలిన పరిమాణాలు a4 మరియు i సమీకరణాలలో ఒక్కొక్కటిగా చేర్చబడతాయి.

సరళమైన వస్తువులకు మాత్రమే సమీకరణాలను గీయడం సాధ్యమవుతుంది. చాలా చమురు పరిశ్రమ వస్తువులను కలిగి ఉన్న మరింత క్లిష్టమైన వస్తువులు ఇప్పటికీ ప్రయోగాత్మకంగా అధ్యయనం చేయబడుతున్నాయి. స్వయంచాలక నియంత్రణ వ్యవస్థల అధ్యయనంలో ఉపయోగించే వస్తువు లక్షణాలు స్వీయ-స్థాయి, కెపాసిటెన్స్ మరియు ఆలస్యం.

మేము ఒక వాహక మాధ్యమం మరియు విద్యుద్వాహకము కోసం తేడా రూపంలో సమీకరణాలను కంపైల్ చేస్తాము, అలాగే దూరంపై ఫీల్డ్ విలువలలో మార్పు వరుసగా ఒకటి లేదా రెండు కోఆర్డినేట్ దిశలలో సంభవించే ఒక డైమెన్షనల్ మరియు రెండు డైమెన్షనల్ సమస్యల కోసం.

వర్చువల్ వైవిధ్యాల కోసం సమీకరణాల కూర్పు నాన్‌హోలోనమిక్ కనెక్షన్‌లను పరిగణనలోకి తీసుకునే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ప్రదర్శించబడుతుంది. ఎన్వలప్‌ను వివరించేటప్పుడు పారామీటర్‌తో హోలోనమిక్ కప్లింగ్ సమీకరణం ఆదర్శవంతమైన కలపడం అని చూపబడింది. రెండు స్వతంత్ర వేరియబుల్స్ కోసం కనెక్షన్ల వర్చువల్ వైవిధ్యం కోసం నియమాలు చర్చించబడ్డాయి.

సమీకరణాలను గీయడం ఈ రకమైన అనువాదంతో చాలా సాధారణం. తేలికపాటి సందర్భాల్లో, శబ్ద సూత్రీకరణ దాదాపు యాంత్రికంగా అనేక వరుస భాగాలుగా విచ్ఛిన్నమవుతుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి గణిత చిహ్నాలలో నేరుగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. మరింత క్లిష్టమైన సందర్భాల్లో, పరిస్థితి నేరుగా గణిత చిహ్నాలుగా అనువదించబడని భాగాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము శబ్ద సూత్రీకరణపై తక్కువ శ్రద్ధ వహించాలి మరియు ఈ సూత్రీకరణ యొక్క అర్థంపై దృష్టి పెట్టాలి. గణిత సంజ్ఞామానాన్ని కొనసాగించే ముందు, మేము ఈ కొత్త సూత్రీకరణను వ్రాయడానికి గణిత శాస్త్రాన్ని ఎల్లప్పుడూ దృష్టిలో ఉంచుకుని పరిస్థితులను విభిన్నంగా రూపొందించాల్సి ఉంటుంది.

అటువంటి రసాయన ప్రక్రియల కోసం సమీకరణాలను గీయడం వల్ల ఎటువంటి ఇబ్బందులు ఉండవు.

సాధారణ రూపంలో వైవిధ్య సమీకరణాల కూర్పు క్రింద చర్చించబడింది.

ట్విస్ట్ కోణాల Q కోసం సమీకరణాన్ని గీయడం మరియు దాని ఉత్పన్నాలను నిర్ణయించడం.

సరళమైన వస్తువులకు మాత్రమే సమీకరణాలను గీయడం సాధ్యమవుతుంది. చాలా చమురు పరిశ్రమ వస్తువులను కలిగి ఉన్న మరింత క్లిష్టమైన వస్తువులు ఇప్పటికీ ప్రయోగాత్మకంగా అధ్యయనం చేయబడుతున్నాయి. స్వయంచాలక నియంత్రణ వ్యవస్థల అధ్యయనంలో ఉపయోగించే వస్తువు లక్షణాలు స్వీయ-స్థాయి, కెపాసిటెన్స్ మరియు ఆలస్యం.

సమీకరణాలను విశ్లేషణాత్మకంగా గీయడం సాపేక్షంగా సాధారణ వస్తువులు, ప్రక్రియలు లేదా భౌతిక దృగ్విషయాలు తగినంతగా బాగా అధ్యయనం చేయబడిన వాటికి మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. సాధారణ సందర్భంలో, నియంత్రిత వస్తువుల యొక్క డైనమిక్ లక్షణాలు సమయానికి అవుట్‌పుట్ మరియు ఇన్‌పుట్ పరిమాణాల మధ్య ఆధారపడటాన్ని వ్యక్తీకరించే అవకలన సమీకరణాల ద్వారా వివరించబడతాయి. ఈ సమీకరణాలు వస్తువులలో తాత్కాలిక ప్రక్రియలను నిర్ణయించే భౌతిక చట్టాల ఆధారంగా సంకలనం చేయబడ్డాయి.

సమీకరణాలను గీయడం (6 - 58) మరియు A మరియు B కోసం వాటిని పరిష్కరించడం. A మరియు B సమీకరణాన్ని సరళంగా నమోదు చేస్తే ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక సాధారణ పద్ధతిని సూచించవచ్చు.

సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయడంతో కూడిన పద సమస్యలకు పరిష్కారాలుప్రాథమికంగా పాఠశాల విద్యార్థులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. 9 మరియు 10 తరగతుల పాఠ్యాంశాలు తెలియని వాటిని గుర్తించడం, సమీకరణాన్ని సృష్టించడం మరియు వాటిని పరిష్కరించడం వంటి అనేక రకాల సమస్యలను కలిగి ఉంటాయి. క్రింద సాధ్యమయ్యే సమస్యలు మరియు వాటి గణనల పద్దతిలో ఒక చిన్న భాగం మాత్రమే ఉంది.

ఉదాహరణ 1. మొదటి సైక్లిస్ట్ ప్రతి నిమిషానికి రెండవదాని కంటే 50 మీటర్లు తక్కువ ప్రయాణిస్తాడు, కాబట్టి అతను రెండవదాని కంటే 120 కి.మీ ప్రయాణంలో 2 గంటలు ఎక్కువగా గడుపుతాడు. రెండవ సైక్లిస్ట్ వేగాన్ని కనుగొనండి (గంటకు కిమీలో).
పరిష్కారం: పని చాలా మందికి కష్టం, కానీ వాస్తవానికి ప్రతిదీ సులభం.
"ఇది ప్రతి నిమిషానికి 50 మీటర్లు తక్కువ ప్రయాణిస్తుంది" అనే పదబంధం కింద దాచబడినది 50 m/min వేగం. మిగిలిన డేటా కిమీ మరియు గంటలలో ఉన్నందున, మేము 50 మీ/నిమిని కిమీ/గంకి మారుస్తాము.
50/1000*60=3000/1000=3 (కిమీ/గం).
రెండవ సైక్లిస్ట్ యొక్క వేగాన్ని V ద్వారా మరియు కదలిక సమయాన్ని t ద్వారా సూచిస్తాము.
కదలిక సమయానికి వేగాన్ని గుణించడం ద్వారా మనకు మార్గం లభిస్తుంది
V*t=120.
మొదటి సైక్లిస్ట్ నెమ్మదిగా నడుస్తుంది మరియు అందువల్ల ఎక్కువ సమయం పడుతుంది. మేము కదలిక యొక్క సంబంధిత సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము
(V-3)(t+2)=120.
మనకు రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంది.
మొదటి సమీకరణం నుండి మేము కదలిక సమయాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము మరియు దానిని రెండవదానికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము
t=120/V; (V-3)(120/V+2)=120.
V/2 ద్వారా గుణించడం మరియు సారూప్య పదాలను సమూహపరచిన తర్వాత, మేము క్రింది వర్గ సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు
V^2-3V-180=0.
మేము సమీకరణం యొక్క వివక్షను గణిస్తాము
D=9+4*180=729=27*27
మరియు మూలాలు
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
మేము రెండవదాన్ని తిరస్కరించాము; దానికి భౌతిక అర్ధం లేదు. కనుగొన్న విలువ V = 15 km/h రెండవ సైక్లిస్ట్ యొక్క వేగం.
సమాధానం: గంటకు 15 కి.మీ.

ఉదాహరణ 2. సముద్రపు నీటిలో బరువు ప్రకారం 5% ఉప్పు ఉంటుంది. ఉప్పు సాంద్రతను 70% తగ్గించడానికి 30 కిలోల సముద్రపు నీటిలో ఎంత మంచినీరు కలపాలి?
పరిష్కారం: 30 కిలోల సముద్రపు నీటిలో ఎంత ఉప్పు ఉందో కనుగొనండి
30*5/100=1.5 (కిలోలు).
కొత్త పరిష్కారంలో ఇది ఉంటుంది
(100%-70%) = 5%లో 30%, నిష్పత్తులను తయారు చేయండి
5% – 100%
X - 30%.
లెక్కలు చేపడుతోంది
X=5*30/100=150/100=1.5%.
అందువలన, 1.5 కిలోల ఉప్పు కొత్త ద్రావణంలో 1.5% కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. నిష్పత్తులను మళ్లీ కలుపుతోంది
1.5 - 1.5% Y - 100% .
సముద్రపు నీటి ద్రావణాన్ని కనుగొనడం
Y=1.5*100/1.5=100 (కిలోలు).
మంచినీటి పరిమాణాన్ని కనుగొనడానికి ఉప్పు నీటి ద్రవ్యరాశిని తీసివేయండి
100-30=70 (కిలోలు).
సమాధానం: 70 కిలోల మంచినీరు.

ఉదాహరణ 3. ద్విచక్రవాహనదారుడు అడ్డంకి వద్ద 24 నిమిషాల పాటు ఆలస్యమయ్యాడు. ఆ తర్వాత, తన వేగాన్ని గంటకు 10 కిలోమీటర్లు పెంచుకుంటూ, 80 కి.మీ. మోటారుసైకిలిస్ట్ వేగాన్ని తగ్గించే ముందు (గంటకు కిమీలో) నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం: వేగం కోసం సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయడంలో సమస్య. V ద్వారా మోటార్‌సైకిలిస్ట్ యొక్క ప్రారంభ వేగాన్ని మరియు అతను t ద్వారా ప్రయాణించాల్సిన సమయాన్ని సూచిస్తాము. రెండు తెలియనివి ఉన్నాయి, కాబట్టి 2 సమీకరణాలు కూడా ఉండాలి. షరతు ప్రకారం, ఈ సమయంలో అతను 80 కి.మీ.
V*t=80 (కిమీ) .
ఆలస్యమైంది అంటే సమయం 24 నిమిషాలు తగ్గింది. అటువంటి సమస్యలలో, సమయాన్ని గంటలు లేదా నిమిషాలుగా (పరిస్థితిని బట్టి) మార్చాలి మరియు తరువాత పరిష్కరించబడాలని కూడా గమనించాలి. మేము తక్కువ సమయం మరియు అధిక వేగాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని చలన సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము
(V+10)(t-24/60)=80.
సమయం మరియు వేగాన్ని నిర్ణయించడానికి రెండు సమీకరణాలు ఉన్నాయి. సమస్య వేగాన్ని అడుగుతుంది కాబట్టి, మేము మొదటి సమీకరణం నుండి సమయాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము మరియు దానిని రెండవదానికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము
t=80/V;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
మీరు అవసరమైన పరిమాణాలను నిర్ణయించగల సమస్యల కోసం సమీకరణాలను ఎలా సృష్టించాలో మీకు నేర్పించడం మా లక్ష్యం.
అందువల్ల, వివరాలలోకి వెళ్లకుండా, 60 * V ద్వారా గుణించడం మరియు 24 ద్వారా భాగించడం ద్వారా ఫలిత సమీకరణాన్ని క్రింది వర్గ సమీకరణానికి తగ్గించవచ్చు.
V^2+10*V-2000=0.
సమీకరణం యొక్క వివక్ష మరియు మూలాలను మీరే కనుగొనండి. మీరు విలువను పొందాలి
V=-50;
V=40.
మేము మొదటి విలువను విస్మరిస్తాము; దానికి భౌతిక అర్ధం లేదు. రెండవ V = 40 km/h అనేది మోటారుసైకిలిస్ట్ యొక్క కావలసిన వేగం.
సమాధానం: గంటకు 40 కి.మీ.

ఉదాహరణ 4. సరుకు రవాణా రైలు మార్గంలో 12 నిమిషాలు ఆలస్యమైంది, ఆపై, 112 కిలోమీటర్ల దూరంలో, అది కోల్పోయిన సమయాన్ని భర్తీ చేసింది, దాని వేగాన్ని గంటకు 10 కిమీ పెంచింది. రైలు ప్రారంభ వేగాన్ని కనుగొనండి (కిమీ/గంలో).
పరిష్కారం: మనకు తెలియని సమస్య రైలు V మరియు ప్రయాణ సమయం t.
సమీకరణ పథకం ప్రకారం సమస్య మునుపటిదానికి అనుగుణంగా ఉన్నందున, తెలియని వాటి కోసం మేము రెండు సమీకరణాలను వ్రాస్తాము
V*t=112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
సమీకరణాలను సరిగ్గా ఈ సంజ్ఞామానంలో వ్రాయాలి. ఇది మొదటి సమీకరణం నుండి సమయాన్ని సరళంగా వ్యక్తీకరించడానికి అనుమతిస్తుంది
t =112/V
మరియు, రెండవ దానికి ప్రత్యామ్నాయంగా, వేగం కోసం మాత్రమే సమీకరణాన్ని పొందండి
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
మీరు తప్పు సంజ్ఞామానాన్ని ఎంచుకుంటే, ఈ రకమైన తెలియని వాటి కోసం మీరు సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
ఇక్కడ t అనేది 10 km/h వేగాన్ని పెంచిన తర్వాత సమయానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది, కానీ అది పాయింట్ కాదు. ఇచ్చిన సమీకరణాలు కూడా సరైనవి, కానీ గణన కోణం నుండి సౌకర్యవంతంగా లేవు.
మొదటి రెండు సమీకరణాలు మరియు చివరి వాటిని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి మరియు సమీకరణాలను కంపోజ్ చేసేటప్పుడు రెండవ స్కీమ్‌ను నివారించాలని మీరు అర్థం చేసుకుంటారు. అందువల్ల, గణనల సంఖ్యను తగ్గించడానికి మీరు ఏ సంజ్ఞామానాన్ని నమోదు చేస్తారో జాగ్రత్తగా ఆలోచించండి.
ఫలితంగా సమీకరణం
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
చతురస్రాకార సమీకరణానికి తగ్గించండి (60*V/12 ద్వారా గుణించండి)
V^2+10*V-5600=0.
ఇంటర్మీడియట్ లెక్కల్లోకి వెళ్లకుండా, మూలాలు ఉంటాయి
V=-80;
V=70.
ఈ రకమైన సమస్యలలో మనం ఎల్లప్పుడూ విస్మరించాల్సిన ప్రతికూల మూలాన్ని (V=-80) పొందుతాము. రైలు వేగం గంటకు 70 కి.మీ.

ఉదాహరణ 5. 10 నిమిషాల తరువాత బస్ స్టేషన్ నుండి బయలుదేరిన తరువాత, బస్సు షెడ్యూల్ కంటే 16 కి.మీ / గం వేగంతో మొదటి స్టాప్‌కు వెళ్లి సమయానికి చేరుకుంది. బస్ స్టేషన్ నుండి మొదటి స్టాప్ వరకు దూరం 16 కిలోమీటర్లు అయితే షెడ్యూల్ ప్రకారం బస్సు ఎంత వేగం (కిమీ/గంటలో) ఉండాలి?
పరిష్కారం: తెలియనివి బస్సు వేగం V మరియు సమయం t.
మేము ఒక సమీకరణాన్ని సృష్టిస్తాము, ఆలస్యం సమయం గంటలలో కాకుండా నిమిషాల్లో పేర్కొనబడుతుందని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము
V * t = 16 - బస్సు యథావిధిగా ప్రయాణించాలి;
(V + 16) (t-10/60) = 16 అనేది బస్సు ఆలస్యంగా బయలుదేరడం వల్ల వచ్చే చలన సమీకరణం.
రెండు సమీకరణాలు మరియు రెండు తెలియనివి ఉన్నాయి.
మొదటి సమీకరణం నుండి సమయాన్ని వ్యక్తీకరించి, దానిని రెండవదానికి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం
t=16/V;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
ఫలితంగా వేగం కోసం సమీకరణం చతుర్భుజానికి తగ్గించబడింది (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు
V=32; V=-48.
బస్సు యొక్క అవసరమైన వేగం గంటకు 32 కి.మీ.
సమాధానం: గంటకు 32 కి.మీ.

ఉదాహరణ 6. కారు డ్రైవర్ 12 నిమిషాల పాటు టైర్ మార్చేందుకు ఆగాడు. ఆ తర్వాత గంటకు 15 కి.మీ వేగం పెంచడం ద్వారా 60 కిలోమీటర్ల సమయాన్ని సరిచేసుకున్నాడు. ఆపిన తర్వాత అతను ఎంత వేగంతో (కిమీ/గంలో) కదులుతున్నాడు?
పరిష్కారం: సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం మునుపటి ఉదాహరణలలో చాలాసార్లు ఇవ్వబడింది. మేము ప్రామాణికంగా వేగం మరియు సమయాన్ని V, t ద్వారా సూచిస్తాము.
సమీకరణాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, నిమిషాలను గంటలుగా మార్చాలని గుర్తుంచుకోండి. సమీకరణాల వ్యవస్థ ఇలా ఉంటుంది
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=60.
మీరు తదుపరి అవకతవకలను కూడా తెలుసుకోవాలి లేదా గుర్తుంచుకోవాలి.
t=60/V;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
ఈ సమీకరణాన్ని వర్గ సమీకరణంగా తగ్గించవచ్చు
V^2+15*V-4500=0.
వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, మేము ఈ క్రింది వేగ విలువలను పొందుతాము
V=60; V=-75.
వేగం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు, కాబట్టి సరైన సమాధానం V=60 km/h.

ఉదాహరణ 7. నిర్దిష్ట రెండు-అంకెల సంఖ్య దాని సంఖ్యల మొత్తం కంటే 4 రెట్లు మరియు 3 రెట్లు ఎక్కువ. ఈ సంఖ్యను కనుగొనండి.
పరిష్కారం: సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయడంలో సమస్యలలో సంఖ్యలతో సమస్యలు ముఖ్యమైన స్థానాన్ని ఆక్రమిస్తాయి మరియు వేగంతో చేసే పనుల కంటే పరిష్కారాలను రూపొందించడంలో తక్కువ ఆసక్తికరంగా ఉండవు. మీకు కావలసిందల్లా సమస్యను బాగా అర్థం చేసుకోవడం. సంఖ్యను ab ద్వారా సూచిస్తాము, అనగా, సంఖ్య 10 * a + bకి సమానం. పరిస్థితి ఆధారంగా, మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను సృష్టిస్తాము
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
తెలియని వారు మొదటి సమీకరణంలోకి సరళంగా ప్రవేశిస్తారు కాబట్టి, మేము దానిని వ్రాసి, తెలియని వాటిలో ఒకదానిని మరొకదాని ద్వారా వ్యక్తపరుస్తాము.
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0; b=2*a.
రెండవ సమీకరణంలో b = 2 * aని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి
10*a+2*a=3*a*2*a;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
అందువల్ల a=0; a=2 . మొదటి విలువను పరిగణనలోకి తీసుకోవడంలో అర్థం లేదు; a=2 అయితే, రెండవ అంకె b=2*a=2*2=4కి సమానం మరియు అవసరమైన సంఖ్య 24.
సమాధానం: సంఖ్య 24.

రసాయన సమీకరణాన్ని ఎలా సృష్టించాలో గురించి మాట్లాడుదాం, ఎందుకంటే అవి ఈ క్రమశిక్షణ యొక్క ప్రధాన అంశాలు. పరస్పర చర్యలు మరియు పదార్ధాల యొక్క అన్ని నమూనాల యొక్క లోతైన అవగాహనకు ధన్యవాదాలు, మీరు వాటిని నియంత్రించవచ్చు మరియు కార్యాచరణ యొక్క వివిధ రంగాలలో వాటిని వర్తింపజేయవచ్చు.

సైద్ధాంతిక లక్షణాలు

రసాయన సమీకరణాలను కంపైల్ చేయడం అనేది సెకండరీ పాఠశాలల్లోని ఎనిమిదవ తరగతిలో పరిగణించబడే ముఖ్యమైన మరియు బాధ్యతాయుతమైన దశ. ఈ దశకు ముందు ఏమి చేయాలి? ఉపాధ్యాయుడు తన విద్యార్థులకు రసాయన సమీకరణాన్ని ఎలా సృష్టించాలో చెప్పే ముందు, పాఠశాల పిల్లలకు "వాలెన్స్" అనే పదాన్ని పరిచయం చేయడం మరియు మూలకాల యొక్క ఆవర్తన పట్టికను ఉపయోగించి లోహాలు మరియు లోహాలు కాని వాటి కోసం ఈ విలువను నిర్ణయించడం నేర్పడం చాలా ముఖ్యం.

వాలెన్స్ ద్వారా బైనరీ సూత్రాల సంకలనం

వాలెన్సీ ద్వారా రసాయన సమీకరణాన్ని ఎలా సృష్టించాలో అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు మొదట వాలెన్స్ ఉపయోగించి రెండు మూలకాలతో కూడిన సమ్మేళనాల కోసం సూత్రాలను ఎలా సృష్టించాలో నేర్చుకోవాలి. మేము పనిని ఎదుర్కోవటానికి సహాయపడే అల్గోరిథంను ప్రతిపాదిస్తాము. ఉదాహరణకు, మీరు సోడియం ఆక్సైడ్ కోసం ఒక సూత్రాన్ని సృష్టించాలి.

మొదట, పేరులో చివరిగా పేర్కొన్న రసాయన మూలకం సూత్రంలో మొదటి స్థానంలో ఉండాలని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం చాలా ముఖ్యం. మా విషయంలో, సోడియం సూత్రంలో మొదట వ్రాయబడుతుంది, ఆక్సిజన్ రెండవది. ఆక్సైడ్లు బైనరీ సమ్మేళనాలు అని గుర్తుచేసుకుందాం, దీనిలో చివరి (రెండవ) మూలకం -2 (వాలెన్సీ 2) ఆక్సీకరణ స్థితితో ఆక్సిజన్ అయి ఉండాలి. తరువాత, ఆవర్తన పట్టికను ఉపయోగించి, ప్రతి రెండు మూలకాల యొక్క విలువను నిర్ణయించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి మేము కొన్ని నియమాలను ఉపయోగిస్తాము.

సోడియం సమూహం 1 యొక్క ప్రధాన ఉప సమూహంలో ఉన్న లోహం కాబట్టి, దాని విలువ స్థిరమైన విలువ, ఇది I కి సమానం.

ఆక్సిజన్ లోహం కానిది, ఎందుకంటే ఇది ఆక్సైడ్‌లో చివరిది; దాని వేలెన్సీని నిర్ణయించడానికి, మేము ఎనిమిది (సమూహాల సంఖ్య) (ఆక్సిజన్ ఉన్న సమూహం) నుండి 6ని తీసివేస్తాము, ఆక్సిజన్ యొక్క వేలెన్సీని మేము పొందుతాము. II.

కొన్ని వేలెన్స్‌ల మధ్య మనం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొంటాము, ఆపై వాటి సూచికలను పొందేందుకు ప్రతి మూలకాల యొక్క వాలెన్సీతో భాగించండి. మేము పూర్తయిన ఫార్ములా Na 2 Oని వ్రాస్తాము.

సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయడానికి సూచనలు

ఇప్పుడు రసాయన సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి అనే దాని గురించి మరింత వివరంగా మాట్లాడుదాం. మొదట, సైద్ధాంతిక అంశాలను చూద్దాం, ఆపై నిర్దిష్ట ఉదాహరణలకు వెళ్లండి. కాబట్టి, రసాయన సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయడం ఒక నిర్దిష్ట విధానాన్ని సూచిస్తుంది.

• 1వ దశ. ప్రతిపాదిత పనిని చదివిన తర్వాత, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఏ రసాయనాలు ఉండాలో మీరు గుర్తించాలి. అసలు భాగాల మధ్య “+” గుర్తు ఉంచబడుతుంది.
• 2వ దశ. సమాన గుర్తు తర్వాత, మీరు ప్రతిచర్య ఉత్పత్తి కోసం సూత్రాన్ని సృష్టించాలి. అటువంటి చర్యలను చేస్తున్నప్పుడు, మేము పైన చర్చించిన బైనరీ సమ్మేళనాల కోసం సూత్రాలను కంపోజ్ చేయడానికి మీకు అల్గోరిథం అవసరం.
• 3వ దశ. రసాయన పరస్పర చర్యకు ముందు మరియు తరువాత ప్రతి మూలకం యొక్క అణువుల సంఖ్యను మేము తనిఖీ చేస్తాము, అవసరమైతే, మేము సూత్రాల ముందు అదనపు గుణకాలను ఉంచుతాము.

దహన ప్రతిచర్యకు ఉదాహరణ

అల్గోరిథం ఉపయోగించి మెగ్నీషియం యొక్క దహన కోసం రసాయన సమీకరణాన్ని ఎలా సృష్టించాలో గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున మనం మెగ్నీషియం మరియు ఆక్సిజన్ మొత్తాన్ని వ్రాస్తాము. ఆక్సిజన్ ఒక డయాటోమిక్ అణువు అని మర్చిపోవద్దు, కాబట్టి దీనికి సూచిక 2 ఇవ్వాలి. సమాన సంకేతం తర్వాత, ప్రతిచర్య తర్వాత పొందిన ఉత్పత్తికి మేము సూత్రాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము. ఇందులో మెగ్నీషియం మొదట వ్రాయబడుతుంది మరియు ఫార్ములాలో ఆక్సిజన్ రెండవది వ్రాయబడుతుంది. తరువాత, రసాయన మూలకాల పట్టికను ఉపయోగించి, మేము వేలెన్సీలను నిర్ణయిస్తాము. సమూహం 2 (ప్రధాన ఉప సమూహం)లో ఉన్న మెగ్నీషియం స్థిరమైన వాలెన్సీ IIని కలిగి ఉంటుంది; ఆక్సిజన్ కోసం, 8 - 6ని తీసివేయడం ద్వారా మనకు వాలెన్సీ II కూడా వస్తుంది.

ప్రాసెస్ రికార్డ్ ఇలా కనిపిస్తుంది: Mg+O 2 =MgO.

పదార్థాల ద్రవ్యరాశి పరిరక్షణ చట్టానికి అనుగుణంగా సమీకరణం కోసం, గుణకాలను ఏర్పాటు చేయడం అవసరం. మొదట, ప్రక్రియ పూర్తయిన తర్వాత, ప్రతిచర్యకు ముందు ఆక్సిజన్ మొత్తాన్ని మేము తనిఖీ చేస్తాము. 2 ఆక్సిజన్ అణువులు ఉన్నాయి, కానీ ఒకటి మాత్రమే ఏర్పడినందున, మెగ్నీషియం ఆక్సైడ్ సూత్రానికి ముందు కుడి వైపున 2 యొక్క గుణకం జోడించబడాలి.తర్వాత, మేము ప్రక్రియకు ముందు మరియు తరువాత మెగ్నీషియం అణువుల సంఖ్యను గణిస్తాము. పరస్పర చర్య ఫలితంగా, 2 మెగ్నీషియం పొందబడింది, కాబట్టి, సాధారణ పదార్ధం మెగ్నీషియం ముందు ఎడమ వైపున, 2 యొక్క గుణకం కూడా అవసరం.

ప్రతిచర్య యొక్క చివరి రకం: 2Mg+O 2 =2MgO.

ప్రత్యామ్నాయ ప్రతిచర్యకు ఉదాహరణ

ఏదైనా రసాయన శాస్త్ర సారాంశం వివిధ రకాల పరస్పర చర్యల వివరణను కలిగి ఉంటుంది.

సమ్మేళనం వలె కాకుండా, ప్రత్యామ్నాయంలో సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా రెండు పదార్థాలు ఉంటాయి. మేము జింక్ మధ్య పరస్పర చర్య యొక్క ప్రతిచర్యను వ్రాయవలసి ఉందని అనుకుందాం మరియు మేము ప్రామాణిక రైటింగ్ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగిస్తాము. మొదట, ఎడమ వైపున మేము జింక్ మరియు హైడ్రోక్లోరిక్ యాసిడ్ మొత్తాన్ని మొత్తం ద్వారా వ్రాస్తాము మరియు కుడి వైపున ఫలిత ప్రతిచర్య ఉత్పత్తుల కోసం సూత్రాలను వ్రాస్తాము. జింక్ లోహాల ఎలెక్ట్రోకెమికల్ వోల్టేజ్ సిరీస్‌లో హైడ్రోజన్ కంటే ముందు ఉన్నందున, ఈ ప్రక్రియలో ఇది ఆమ్లం నుండి పరమాణు హైడ్రోజన్‌ను స్థానభ్రంశం చేస్తుంది మరియు జింక్ క్లోరైడ్‌ను ఏర్పరుస్తుంది. ఫలితంగా, మేము క్రింది ఎంట్రీని పొందుతాము: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2.

ఇప్పుడు మనం ప్రతి మూలకం యొక్క పరమాణువుల సంఖ్యను సమం చేయడానికి ముందుకు వెళ్తాము. క్లోరిన్ యొక్క ఎడమ వైపున ఒక అణువు ఉన్నందున, మరియు పరస్పర చర్య తర్వాత రెండు ఉన్నందున, హైడ్రోక్లోరిక్ ఆమ్లం యొక్క సూత్రం ముందు 2 కారకాన్ని ఉంచడం అవసరం.

ఫలితంగా, మేము పదార్థాల ద్రవ్యరాశి పరిరక్షణ చట్టానికి అనుగుణంగా సిద్ధంగా ఉన్న ప్రతిచర్య సమీకరణాన్ని పొందుతాము: Zn+2HCL=ZnCl 2 +H 2 .

ముగింపు

ఒక సాధారణ కెమిస్ట్రీ నోట్ తప్పనిసరిగా అనేక రసాయన పరివర్తనలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ శాస్త్రంలోని ఒక్క విభాగం కూడా పరివర్తనలు, రద్దు ప్రక్రియలు, బాష్పీభవనం యొక్క సాధారణ మౌఖిక వివరణకు పరిమితం కాదు; ప్రతిదీ తప్పనిసరిగా సమీకరణాల ద్వారా నిర్ధారించబడుతుంది. రసాయన శాస్త్రం యొక్క విశిష్టత ఏమిటంటే, వివిధ అకర్బన లేదా కర్బన పదార్థాల మధ్య జరిగే అన్ని ప్రక్రియలను గుణకాలు మరియు సూచికలను ఉపయోగించి వివరించవచ్చు.

కెమిస్ట్రీ ఇతర శాస్త్రాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది? రసాయన సమీకరణాలు సంభవించే పరివర్తనలను వివరించడానికి మాత్రమే కాకుండా, వాటి ఆధారంగా పరిమాణాత్మక గణనలను నిర్వహించడానికి కూడా సహాయపడతాయి, దీనికి ధన్యవాదాలు వివిధ పదార్థాల ప్రయోగశాల మరియు పారిశ్రామిక ఉత్పత్తిని నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది.

54. తెలియని వాటితో సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయడంలో సమస్యలు:

మేము సమస్య పరిష్కారానికి సమీకరణ పరిష్కార నైపుణ్యాలను వర్తింపజేయవచ్చు. దీన్ని ఎలా చేయాలో క్రింది ఉదాహరణలు మీకు చూపుతాయి.

టాస్క్ 1. ఇల్లు అమ్మకానికి వచ్చింది. ఒక కొనుగోలుదారు దాని విలువలో ¾కి సమానమైన డబ్బును కలిగి ఉన్నాడు మరియు మరొకరు దాని విలువలో 5/6కి సమానమైన మొత్తాన్ని కలిగి ఉన్నారు. వాటిని కలిపితే, వారికి 7,000 రూబిళ్లు మిగులుతాయి. ఇంటి ఖరీదు ఎంత?

ఇల్లు x రూబిళ్లు ఖర్చవుతుందని అనుకుందాం. అప్పుడు (సమస్య ప్రారంభానికి అనుగుణంగా) మొదటి కొనుగోలుదారు (x · ¾) రూబిళ్లు కలిగి ఉన్నారు. లేదా, అదే విషయం, 3x/4 రూబిళ్లు, మరియు రెండవది 5x/6 రూబిళ్లు. తదుపరి పదబంధం సమస్య యొక్క పరిస్థితి, అవి, "వాటిని కలిపితే, వారికి 7,000 రూబిళ్లు మిగులుతాయి." - పదాలలో వ్యక్తీకరించబడిన సమీకరణం: ఇప్పుడు దానిని పదాలలో కాకుండా గణిత చిహ్నాలలో వ్యక్తీకరించడం అవసరం. మొదట, ఇదే విధమైన పదబంధాన్ని సరళీకృత రూపంలో తీసుకుందాం: “మీరు a మరియు b సంఖ్యలను జోడిస్తే, ఫలితంగా వచ్చే మొత్తం c సంఖ్యకు వ్యతిరేకంగా m కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది” - ఈ పదబంధాన్ని ఇలా గణిత చిహ్నాలలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు: a + బి = సి + మీ.

మన సమస్యలోని సమీకరణాన్ని సరిగ్గా అదే విధంగా వ్రాయవచ్చు: మనం 3x/4 మరియు 5x/6 సంఖ్యలను జోడిస్తే, ఫలిత మొత్తం x సంఖ్య కంటే 7000 మిగులును ఇస్తుంది, లేదా
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.

ఫలిత సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయాలి: 1) సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సాధారణ హారం 12 ద్వారా గుణించాలి - మనకు లభిస్తుంది

9x + 10x = 12x + 84000

2) తెలియని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలించండి:

9x + 10x – 12x = 84000

ఇప్పుడు మనం సమస్యకు సమాధానం ఇవ్వగలము:

ఇంటి ఖర్చు 12,000 రూబిళ్లు.

టాస్క్ 2. సోమవారం 13 మంది విద్యార్థులు, మంగళవారం 5 మంది విద్యార్థులు తరగతికి గైర్హాజరయ్యారు. సోమవారం హాజరైన విద్యార్థుల సంఖ్యకు మంగళవారం హాజరైన విద్యార్థుల సంఖ్య నిష్పత్తి 7/9. ఈ తరగతిలో ఎంత మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు?

తరగతిలో మొత్తం x విద్యార్థులు ఉన్నారని అనుకుందాం. ఆ తర్వాత సోమవారం (x – 13) విద్యార్థులు, మంగళవారం (x – 5) విద్యార్థులు ఉన్నారు. "సోమవారం హాజరైన విద్యార్థుల సంఖ్య మరియు మంగళవారం హాజరైన సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తి 7/9" అనే పదబంధం పదాలలో వ్యక్తీకరించబడిన సమీకరణం మరియు గణిత చిహ్నాలలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

(x – 13) / (x – 5) = 7/9.

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

9(x – 13) = 7(x – 5) లేదా 9x – 117 = 7x – 35.

ఇక్కడ నుండి మనకు లభిస్తుంది: 2x = 82 మరియు x = 41.
కాబట్టి, ఈ తరగతిలో 41 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు.

టాస్క్ 3. న్యూమరేటర్ కంటే 3 ఎక్కువగా ఉండే భిన్నాన్ని కనుగొనండి మరియు మీరు దాని లవం మరియు హారం నుండి 1ని తీసివేస్తే 4/5 అవుతుంది.

ఈ పని మునుపటి వాటి నుండి కొంత భిన్నంగా ఉంటుంది. దీనికి “భిన్నాన్ని కనుగొనడం” అవసరం, కానీ 1వ మరియు 2వ సమస్యలలో వారు చేసిన విధంగా సమస్యను పరిష్కరించడం ప్రారంభించడం అసాధ్యం: అవసరమైన భిన్నం xకి సమానం అని అనుకుందాం. ఈ విధంగా ప్రారంభించడం అసాధ్యం ఎందుకంటే సమస్య న్యూమరేటర్‌తో విడిగా మరియు హారంతో విడిగా వ్యవహరిస్తుంది: మీరు న్యూమరేటర్ నుండి విడిగా మరియు హారం నుండి విడిగా 1ని తీసివేయాలి. అందువల్ల, భిన్నాన్ని దాని లవం మరియు దాని హారం రెండూ కనిపించే విధంగా పేర్కొనడం అవసరం. హారం న్యూమరేటర్ కంటే 3 ఎక్కువ అని చెప్పబడినందున, మనం x అక్షరం ద్వారా లవం లేదా హారం ద్వారా సూచించవచ్చు - అప్పుడు భిన్నంలోని ఇతర సభ్యునికి మరియు భిన్నం కోసం వ్యక్తీకరణను కనుగొనడం సులభం.

సమస్యకు పరిష్కారం ఇక్కడ ఉంది.

కావలసిన భిన్నం యొక్క లవం xకి సమానం అని అనుకుందాం. అప్పుడు దాని హారం x + 3, మరియు కావలసిన భిన్నం x/(x+3). "ఏది (అనగా, ఒక భిన్నం) 1 దాని లవం మరియు హారం నుండి తీసివేయబడినప్పుడు 4/5 అవుతుంది" అనే పదబంధం ఒక సమీకరణం మరియు గణితశాస్త్రంలో వ్రాయవచ్చు:
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 లేదా (x – 1) / (x + 2) = 4/5.

5(x – 1) = 4(x + 2); 5x – 5 = 4x + 8; 5x – 4x = 5 + 8; x = 13.

అప్పుడు భిన్నం యొక్క హారం 16 మరియు కావలసిన భిన్నం 13/16.

టాస్క్ 4. ఒక సోదరుడు మరొకరి కంటే 14 సంవత్సరాలు పెద్దవాడు, మరియు 6 సంవత్సరాలలో అతను 2 రెట్లు పెద్దవాడు. ప్రతి సోదరుడి వయస్సు ఎంత?

ఇక్కడ మీరు రెండు సమాధానాలు ఇవ్వాలి: తమ్ముడి వయస్సు ఎంత మరియు పెద్ద వయస్సు ఎంత, కానీ 1 తెలియని సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు, ఎందుకంటే అన్నయ్య తమ్ముడు కంటే 14 సంవత్సరాలు పెద్దవాడు అని చెప్పబడింది. ఒకటి. సమస్యను ఇలా పరిష్కరిద్దాం:

తమ్ముడికి x ఏళ్లు అని అనుకుందాం; అప్పుడు పెద్ద వయస్సు (x + 14) సంవత్సరాలు.

6 సంవత్సరాలలో, తమ్ముడికి (x + 6) సంవత్సరాలు, మరియు అన్నయ్యకు (x + 14 + 6) సంవత్సరాలు లేదా (x + 20) సంవత్సరాలు.

పెద్దవాడు అప్పుడు (6 సంవత్సరాలలో) చిన్నవాని కంటే 2 రెట్లు పెద్దవాడవుతాడని చెప్పబడింది, అనగా x + 20 సంఖ్య x + 6 కంటే 2 రెట్లు ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు దీనిని ఇలా వ్రాయవచ్చు

(x + 20) / (x + 6) = 2 లేదా x + 20 = 2 (x + 6) లేదా (x + 20) / 2 = x + 6.

అత్యంత సహజమైన సంజ్ఞామానం మొదటిది: ఒక సంఖ్య మరొకదాని కంటే ఎన్ని సార్లు ఎక్కువగా ఉందో తెలుసుకోవడానికి, మీరు విభజించాలి; సంఖ్య (x + 20) సంఖ్య (x + 6) కంటే ఎన్ని రెట్లు ఎక్కువగా ఉందో మనం కనుగొనాలి - దీని కోసం మనం (x + 20) (x + 6) ద్వారా విభజించి, సమాధానం చెప్పాలి “ రెండుసార్లు". కాబట్టి, ఈ విభజన నుండి మనకు సంఖ్య 2 లభిస్తుందని వ్రాస్తాము, అనగా (x + 20) / (x + 6) = 2.

రెండవ ఎంట్రీని ఈ క్రింది విధంగా వివరించవచ్చు: సంఖ్య (x + 20) తప్పనిసరిగా 2 రెట్లు సంఖ్య (x + 6) ఉండాలి అని మాకు చెప్పబడింది. ఈ సంఖ్యలను సమం చేయడానికి, వాటిలో చిన్నదానిని అంటే x + 6ని 2తో గుణించడం అవసరం. తర్వాత x + 20 = 2(x + 6).

అప్పుడు సంజ్ఞామానం క్రింది విధంగా వివరించబడింది: x + 20 మరియు x + 6 సంఖ్యలను సమం చేయడానికి, మీరు వాటిలో పెద్ద సంఖ్యను 2 రెట్లు తగ్గించాలి, ఆపై (x + 20) / 2 = x + 6.

మనం 1వ ఎంట్రీని తీసుకుంటే

(x + 20) / (x + 6) = 2

మరియు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా x + 6 ద్వారా గుణించండి, మనకు లభిస్తుంది

x + 20 = 2(x + 6)

అంటే రెండవ ప్రవేశం. 3వ ఎంట్రీ మొదలైన వాటి నుండి 2వ లేదా 1వ ఎంట్రీని పొందడం కూడా సులభం.

ఏదైనా సందర్భంలో, భిన్నాల నుండి సమీకరణాన్ని విడిపించిన తర్వాత, మనకు లభిస్తుంది

x + 20 = 2(x + 6)

మరియు సమీకరణాన్ని సులభంగా పరిష్కరించండి:

x + 20 = 2x + 12; 20 – 12 = 2x – x; 8 = x లేదా x = 8.

కాబట్టి, తమ్ముడు 8 సంవత్సరాలు, మరియు అన్నయ్య వయస్సు 8 + 14 = 22 సంవత్సరాలు.

టాస్క్ 5. మేము చక్కెర మరియు కాఫీని కొనుగోలు చేసాము, మొత్తం £28; ఒక పౌండ్ చక్కెర కోసం వారు 15 కోపెక్‌లు, మరియు ఒక పౌండ్ కాఫీ కోసం 80 కోపెక్‌లు చెల్లించారు, కానీ మొత్తం కొనుగోలు కోసం వారు 12 రూబిళ్లు చెల్లించారు. ఎంత పంచదార కొన్నారు, ఎంత కాఫీ కొన్నారు?

ఇక్కడ ఇబ్బంది ఏమిటంటే, సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో సంఖ్యలు కోపెక్స్‌లో లేదా రూబిళ్లలో ఇవ్వబడతాయి. ఇది ఏ యూనిట్లలో, రూబిళ్లు లేదా కోపెక్స్లో, నిర్ణయం తీసుకోబడుతుందో ముందుగానే ఏర్పాటు చేయాలి. రూబిళ్లలో సమస్యను పరిష్కరిద్దాం. అప్పుడు పరిష్కారం:

మీరు x పౌండ్ల చక్కెరను కొన్నారని అనుకుందాం. అప్పుడు మేము (28 – x) పౌండ్ల కాఫీ కొన్నాము.

చక్కెర కోసం వారు (15x) కోపెక్‌లు లేదా (3/20)x రూబిళ్లు (15 కోపెక్‌లు 3/20 రూబిళ్లు సమానం కాబట్టి), మరియు కాఫీ కోసం వారు 80(28 – x) కోపెక్‌లు చెల్లించారు. లేదా 4/5 (28 – x) రబ్. (80 kopecks = 4/5 రూబిళ్లు నుండి).
"వారు మొత్తం కొనుగోలు కోసం 12 రూబిళ్లు చెల్లించారు." వ్రాయవచ్చు:

3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12

[కోపెక్స్‌లో పరిష్కరిస్తే, సమీకరణం 15x + 80(28 – x) = 1200].

భిన్నాల నుండి సమీకరణాన్ని విడిపించుకుందాం, దీని కోసం మేము రెండు భాగాలను 20 ద్వారా గుణిస్తాము మరియు మనకు లభిస్తుంది:

3x + 16(28 – x) = 240

3x + 448 – 16x = 240

3x – 16x = 240 – 448

–13x = –208,

కాబట్టి, మేము 16 పౌండ్ల చక్కెర మరియు 12 పౌండ్ల కాఫీ (28 - 16 = 12) కొనుగోలు చేసాము.

విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.
దిశ వెక్టర్ నేరుగా ఉంటుంది. సాధారణ వెక్టర్

విమానంలో సరళ రేఖ అనేది ప్రాథమిక పాఠశాల నుండి మీకు తెలిసిన సరళమైన రేఖాగణిత బొమ్మలలో ఒకటి, మరియు ఈ రోజు మనం విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క పద్ధతులను ఉపయోగించి దానిని ఎలా ఎదుర్కోవాలో నేర్చుకుంటాము. పదార్థాన్ని నైపుణ్యం చేయడానికి, మీరు సరళ రేఖను నిర్మించగలగాలి; సరళ రేఖను ఏ సమీకరణం నిర్వచించాలో తెలుసు, ప్రత్యేకించి, కోఆర్డినేట్‌ల మూలం గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖలు. ఈ సమాచారాన్ని మాన్యువల్‌లో చూడవచ్చు ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు, నేను దీన్ని మథన్ కోసం సృష్టించాను, కానీ లీనియర్ ఫంక్షన్ గురించిన విభాగం చాలా విజయవంతమైంది మరియు వివరంగా ఉంది. కాబట్టి, ప్రియమైన టీపాట్‌లారా, ముందుగా అక్కడ వేడెక్కండి. అదనంగా, మీరు గురించి ప్రాథమిక జ్ఞానం కలిగి ఉండాలి వెక్టర్స్, లేకపోతే పదార్థం యొక్క అవగాహన అసంపూర్ణంగా ఉంటుంది.

ఈ పాఠంలో మీరు విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సృష్టించగల మార్గాలను మేము పరిశీలిస్తాము. ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలను విస్మరించవద్దని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను (ఇది చాలా సరళంగా అనిపించినప్పటికీ), నేను వారికి ప్రాథమిక మరియు ముఖ్యమైన వాస్తవాలు, ఉన్నత గణితంలో ఇతర విభాగాలతో సహా భవిష్యత్తులో అవసరమైన సాంకేతిక పద్ధతులను అందిస్తాను.

• కోణ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?
• ఎలా ?
• సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి దిశ వెక్టర్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?
• ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

మరియు మేము ప్రారంభిస్తాము:

వాలుతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

సరళ రేఖ సమీకరణం యొక్క ప్రసిద్ధ "పాఠశాల" రూపాన్ని అంటారు వాలుతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం. ఉదాహరణకు, సమీకరణం ద్వారా సరళ రేఖను అందించినట్లయితే, దాని వాలు: . ఈ గుణకం యొక్క రేఖాగణిత అర్ధాన్ని మరియు దాని విలువ రేఖ యొక్క స్థానాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుందో పరిశీలిద్దాం:

జ్యామితి కోర్సులో అది నిరూపించబడింది సరళ రేఖ యొక్క వాలు సమానంగా ఉంటుంది కోణం యొక్క టాంజెంట్సానుకూల అక్షం దిశ మధ్యమరియు ఈ లైన్: , మరియు కోణం అపసవ్య దిశలో “విప్పు”.

డ్రాయింగ్‌ను అస్తవ్యస్తం చేయకుండా ఉండటానికి, నేను రెండు సరళ రేఖల కోసం మాత్రమే కోణాలను గీసాను. "ఎరుపు" లైన్ మరియు దాని వాలును పరిశీలిద్దాం. పైన పేర్కొన్న ప్రకారం: ("ఆల్ఫా" కోణం ఆకుపచ్చ ఆర్క్ ద్వారా సూచించబడుతుంది). కోణ గుణకంతో "నీలం" సరళ రేఖకు, సమానత్వం నిజం ("బీటా" కోణం బ్రౌన్ ఆర్క్ ద్వారా సూచించబడుతుంది). మరియు కోణం యొక్క టాంజెంట్ తెలిసినట్లయితే, అవసరమైతే దానిని కనుగొనడం సులభం మరియు మూలలో కూడావిలోమ ఫంక్షన్ ఉపయోగించి - ఆర్క్టాంజెంట్. వారు చెప్పినట్లు, మీ చేతుల్లో ఒక త్రికోణమితి పట్టిక లేదా మైక్రోకాలిక్యులేటర్. ఈ విధంగా, కోణీయ గుణకం అబ్సిస్సా అక్షానికి సరళ రేఖ యొక్క వంపు స్థాయిని వర్ణిస్తుంది.

కింది కేసులు సాధ్యమే:

1) వాలు ప్రతికూలంగా ఉంటే: అప్పుడు లైన్, సుమారుగా చెప్పాలంటే, పై నుండి క్రిందికి వెళుతుంది. డ్రాయింగ్‌లోని "నీలం" మరియు "కోరిందకాయ" సరళ రేఖలు ఉదాహరణలు.

2) వాలు సానుకూలంగా ఉంటే: అప్పుడు లైన్ దిగువ నుండి పైకి వెళుతుంది. ఉదాహరణలు - డ్రాయింగ్‌లోని “నలుపు” మరియు “ఎరుపు” సరళ రేఖలు.

3) వాలు సున్నా అయితే: , అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది మరియు సంబంధిత సరళ రేఖ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఒక ఉదాహరణ "పసుపు" సరళ రేఖ.

4) అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే పంక్తుల కుటుంబానికి (డ్రాయింగ్‌లో అక్షం మినహా ఎటువంటి ఉదాహరణ లేదు), కోణీయ గుణకం ఉనికిలో లేదు (90 డిగ్రీల టాంజెంట్ నిర్వచించబడలేదు).

సంపూర్ణ విలువలో స్లోప్ కోఎఫీషియంట్ ఎంత ఎక్కువగా ఉంటే, సరళ రేఖ గ్రాఫ్ అంత నిటారుగా ఉంటుంది..

ఉదాహరణకు, రెండు సరళ రేఖలను పరిగణించండి. ఇక్కడ, కాబట్టి, సరళ రేఖకు ఏటవాలు ఉంటుంది. గుర్తును విస్మరించడానికి మాడ్యూల్ మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, మాకు మాత్రమే ఆసక్తి ఉంది సంపూర్ణ విలువలుకోణీయ గుణకాలు.

ప్రతిగా, సరళ రేఖ సరళ రేఖల కంటే నిటారుగా ఉంటుంది .

దీనికి విరుద్ధంగా: సంపూర్ణ విలువలో చిన్న వాలు గుణకం, సరళ రేఖ చదునుగా ఉంటుంది.

సరళ రేఖల కోసం అసమానత నిజం, కాబట్టి సరళ రేఖ చదునుగా ఉంటుంది. పిల్లల స్లయిడ్, తద్వారా మీరే గాయాలు మరియు గడ్డలు ఇవ్వకూడదు.

ఇది ఎందుకు అవసరం?

మీ వేదనను పొడిగించండి, పై వాస్తవాల పరిజ్ఞానం మీ తప్పులను, ప్రత్యేకించి, గ్రాఫ్‌లను నిర్మించేటప్పుడు లోపాలను వెంటనే చూడటానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది - డ్రాయింగ్ “స్పష్టంగా ఏదో తప్పు” అని తేలితే. ఇది మీరు మంచిది వెంటనేఉదాహరణకు, సరళ రేఖ చాలా నిటారుగా ఉంటుంది మరియు దిగువ నుండి పైకి వెళుతుంది మరియు సరళ రేఖ చాలా చదునుగా ఉంటుంది, అక్షానికి దగ్గరగా నొక్కి, పై నుండి క్రిందికి వెళుతుంది.

రేఖాగణిత సమస్యలలో, అనేక సరళ రేఖలు తరచుగా కనిపిస్తాయి, కాబట్టి వాటిని ఏదో ఒకవిధంగా నియమించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

హోదాలు: సరళ రేఖలు చిన్న లాటిన్ అక్షరాలలో సూచించబడ్డాయి: . సహజమైన సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లతో ఒకే అక్షరాన్ని ఉపయోగించి వాటిని నియమించడం ఒక ప్రసిద్ధ ఎంపిక. ఉదాహరణకు, మనం ఇప్పుడే చూసిన ఐదు లైన్లను సూచించవచ్చు .

ఏదైనా సరళ రేఖ రెండు పాయింట్ల ద్వారా ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడుతుంది కాబట్టి, దానిని ఈ పాయింట్ల ద్వారా సూచించవచ్చు: మొదలైనవి పాయింట్లు రేఖకు చెందినవని హోదా స్పష్టంగా సూచిస్తుంది.

ఇది కొద్దిగా వేడెక్కడానికి సమయం:

కోణ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

ఒక నిర్దిష్ట రేఖకు చెందిన పాయింట్ మరియు ఈ రేఖ యొక్క కోణీయ గుణకం తెలిసినట్లయితే, ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

ఉదాహరణ 1

పాయింట్ ఇచ్చిన రేఖకు చెందినదని తెలిస్తే, వాలుతో ఉన్న రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం: సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం . ఈ విషయంలో:

సమాధానం:

పరీక్షసరళంగా చేయబడుతుంది. మొదట, మేము ఫలిత సమీకరణాన్ని చూస్తాము మరియు మా వాలు స్థానంలో ఉందని నిర్ధారించుకోండి. రెండవది, పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలు ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి. వాటిని సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేద్దాం:

సరైన సమానత్వం పొందబడుతుంది, అంటే పాయింట్ ఫలిత సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

ముగింపు: సమీకరణం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి మరింత గమ్మత్తైన ఉదాహరణ:

ఉదాహరణ 2

అక్షం యొక్క సానుకూల దిశకు దాని వంపు కోణం , మరియు పాయింట్ ఈ సరళ రేఖకు చెందినదని తెలిస్తే సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

మీకు ఏవైనా ఇబ్బందులు ఉంటే, సైద్ధాంతిక విషయాలను మళ్లీ చదవండి. మరింత ఖచ్చితంగా, మరింత ఆచరణాత్మకంగా, నేను చాలా సాక్ష్యాలను దాటవేస్తాను.

చివరి గంట మోగింది, గ్రాడ్యుయేషన్ వేడుక ముగిసింది మరియు మా స్థానిక పాఠశాల యొక్క గేట్ల వెలుపల, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి మాకు వేచి ఉంది. జోకులు అయిపోయాయి... లేదా వారు ఇప్పుడే ప్రారంభిస్తున్నారు =)

మేము వ్యామోహపూర్వకంగా మా పెన్ను సుపరిచితం మరియు సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంతో పరిచయం చేస్తాము. ఎందుకంటే విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో ఇది ఖచ్చితంగా ఉపయోగించబడుతుంది:

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: , కొన్ని సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. అదే సమయంలో, గుణకాలు ఏకకాలంలోసమీకరణం దాని అర్థాన్ని కోల్పోతుంది కాబట్టి, సున్నాకి సమానం కాదు.

సూట్‌లో దుస్తులు ధరించి, వాలు కోఎఫీషియంట్‌తో సమీకరణాన్ని కట్టాలి. ముందుగా, అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలిద్దాం:

"X"తో ఉన్న పదాన్ని తప్పనిసరిగా మొదటి స్థానంలో ఉంచాలి:

సూత్రప్రాయంగా, సమీకరణం ఇప్పటికే రూపాన్ని కలిగి ఉంది , కానీ గణిత మర్యాద నియమాల ప్రకారం, మొదటి పదం యొక్క గుణకం (ఈ సందర్భంలో) సానుకూలంగా ఉండాలి. మారుతున్న సంకేతాలు:

ఈ సాంకేతిక లక్షణాన్ని గుర్తుంచుకోండి!మేము మొదటి గుణకం (చాలా తరచుగా) సానుకూలంగా చేస్తాము!

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం దాదాపు ఎల్లప్పుడూ సాధారణ రూపంలో ఇవ్వబడుతుంది. బాగా, అవసరమైతే, కోణీయ గుణకం (ఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్న సరళ రేఖలను మినహాయించి) తో "పాఠశాల" రూపానికి సులభంగా తగ్గించవచ్చు.

ఏమిటని మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుందాం చాలుసరళ రేఖను నిర్మించడం తెలుసా? రెండు పాయింట్లు. కానీ ఈ చిన్ననాటి సంఘటన గురించి మరింత, ఇప్పుడు బాణాల పాలనతో అంటుకుంది. ప్రతి సరళ రేఖకు చాలా నిర్దిష్టమైన వాలు ఉంటుంది, ఇది "అడాప్ట్" చేయడం సులభం. వెక్టర్.

రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే వెక్టర్‌ను ఆ రేఖకు దిశ వెక్టర్ అంటారు. ఏదైనా సరళ రేఖకు అనంతమైన దిశ వెక్టర్‌లు ఉన్నాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది మరియు అవన్నీ కోలినియర్‌గా ఉంటాయి (సహ-దిశాత్మక లేదా - ఇది పట్టింపు లేదు).

నేను దిశ వెక్టర్‌ను ఈ క్రింది విధంగా సూచిస్తాను: .

కానీ సరళ రేఖను నిర్మించడానికి ఒక వెక్టర్ సరిపోదు; వెక్టర్ ఉచితం మరియు విమానంలో ఏ బిందువుతోనూ ముడిపడి ఉండదు. అందువల్ల, లైన్‌కు చెందిన కొన్ని పాయింట్‌లను తెలుసుకోవడం అదనంగా అవసరం.

పాయింట్ మరియు డైరెక్షన్ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

ఒక రేఖకు చెందిన నిర్దిష్ట బిందువు మరియు ఈ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ తెలిసినట్లయితే, ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంకలనం చేయవచ్చు:

కొన్నిసార్లు అంటారు లైన్ యొక్క కానానికల్ సమీకరణం .

ఎప్పుడు ఏం చేయాలి అక్షాంశాలలో ఒకటిసున్నాకి సమానం, మేము దిగువ ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలలో అర్థం చేసుకుంటాము. మార్గం ద్వారా, దయచేసి గమనించండి - రెండూ ఒకేసారిసున్నా వెక్టర్ నిర్దిష్ట దిశను పేర్కొననందున కోఆర్డినేట్‌లు సున్నాకి సమానంగా ఉండవు.

ఉదాహరణ 3

ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి

పరిష్కారం: సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం. ఈ విషయంలో:

నిష్పత్తి యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి మేము భిన్నాలను తొలగిస్తాము:

మరియు మేము సమీకరణాన్ని దాని సాధారణ రూపానికి తీసుకువస్తాము:

సమాధానం:

నియమం ప్రకారం, అటువంటి ఉదాహరణలలో డ్రాయింగ్ చేయవలసిన అవసరం లేదు, కానీ అవగాహన కొరకు:

డ్రాయింగ్‌లో మనం ప్రారంభ స్థానం, అసలు దిశ వెక్టర్ (విమానంలోని ఏదైనా పాయింట్ నుండి ప్లాట్ చేయవచ్చు) మరియు నిర్మించిన సరళ రేఖను చూస్తాము. మార్గం ద్వారా, అనేక సందర్భాల్లో కోణీయ గుణకంతో సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి సరళ రేఖను నిర్మించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. మా సమీకరణాన్ని రూపంలోకి మార్చడం సులభం మరియు సరళ రేఖను నిర్మించడానికి మరొక పాయింట్‌ను సులభంగా ఎంచుకోండి.

పేరా ప్రారంభంలో గుర్తించినట్లుగా, ఒక సరళ రేఖకు అనంతమైన అనేక దిశల వెక్టర్‌లు ఉంటాయి మరియు అవన్నీ కోలినియర్‌గా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, నేను అలాంటి మూడు వెక్టర్లను గీసాను: . మనం ఏ దిశ వెక్టార్‌ని ఎంచుకున్నా, ఫలితం ఎల్లప్పుడూ ఒకే సరళ రేఖ సమీకరణంగా ఉంటుంది.

పాయింట్ మరియు డైరెక్షన్ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని సృష్టిద్దాం:

నిష్పత్తిని పరిష్కరించడం:

రెండు వైపులా –2 ద్వారా విభజించి, తెలిసిన సమీకరణాన్ని పొందండి:

ఆసక్తి ఉన్నవారు వెక్టర్లను అదే విధంగా పరీక్షించవచ్చు లేదా ఏదైనా ఇతర కొలినియర్ వెక్టర్.

ఇప్పుడు విలోమ సమస్యను పరిష్కరిద్దాం:

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి దిశ వెక్టర్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?

చాలా సులభం:

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సాధారణ సమీకరణం ద్వారా పంక్తి ఇవ్వబడితే, వెక్టర్ ఈ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్.

సరళ రేఖల దిశ వెక్టర్లను కనుగొనే ఉదాహరణలు:

ప్రకటన అనంతమైన సంఖ్య నుండి ఒక దిశ వెక్టార్‌ను మాత్రమే కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది, కానీ మాకు అంతకన్నా ఎక్కువ అవసరం లేదు. కొన్ని సందర్భాల్లో దిశ వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను తగ్గించడం మంచిది:

అందువలన, సమీకరణం అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖను నిర్దేశిస్తుంది మరియు ఫలిత దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సౌకర్యవంతంగా –2 ద్వారా విభజించబడతాయి, సరిగ్గా ఆధార వెక్టర్‌ను దిశ వెక్టర్‌గా పొందడం. లాజికల్.

అదేవిధంగా, సమీకరణం అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖను నిర్దేశిస్తుంది మరియు వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను 5 ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మేము యూనిట్ వెక్టర్‌ను దిశ వెక్టర్‌గా పొందుతాము.

ఇప్పుడు చేద్దాం తనిఖీ ఉదాహరణ 3. ఉదాహరణ పెరిగింది, కాబట్టి మేము పాయింట్ మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపైల్ చేసాము అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను

ముందుగా, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి మేము దాని దిశ వెక్టర్‌ను పునర్నిర్మిస్తాము: – అంతా బాగానే ఉంది, మేము అసలైన వెక్టార్‌ని అందుకున్నాము (కొన్ని సందర్భాల్లో ఫలితం అసలైనదానికి కొలినియర్ వెక్టర్ కావచ్చు మరియు సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల అనుపాతంలో ఇది సాధారణంగా గమనించడం సులభం).

రెండవది, పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు తప్పనిసరిగా సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి. మేము వాటిని సమీకరణంలో భర్తీ చేస్తాము:

సరైన సమానత్వం పొందబడింది, దాని గురించి మేము చాలా సంతోషిస్తున్నాము.

ముగింపు: పని సరిగ్గా పూర్తయింది.

ఉదాహరణ 4

ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. పరిష్కారం మరియు సమాధానం పాఠం చివరిలో ఉన్నాయి. ఇప్పుడే చర్చించిన అల్గోరిథం ఉపయోగించి తనిఖీ చేయడం చాలా మంచిది. డ్రాఫ్ట్‌ను ఎల్లప్పుడూ (వీలైతే) తనిఖీ చేయడానికి ప్రయత్నించండి. 100% నివారించగలిగే పొరపాట్లు చేయడం మూర్ఖత్వం.

దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లలో ఒకటి సున్నా అయిన సందర్భంలో, చాలా సరళంగా కొనసాగండి:

ఉదాహరణ 5

పరిష్కారం: కుడి వైపున ఉన్న హారం సున్నా అయినందున ఫార్ములా తగినది కాదు. నిష్క్రమణ ఉంది! నిష్పత్తి యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము ఫార్ములాను రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము మరియు మిగిలినవి లోతైన రూట్ వెంట చుట్టబడతాయి:

సమాధానం:

పరీక్ష:

1) లైన్ యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్‌ను పునరుద్ధరించండి:
- ఫలిత వెక్టార్ అసలు దిశ వెక్టర్‌కు కొలినియర్‌గా ఉంటుంది.

2) పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

సరైన సమానత్వం లభిస్తుంది

ముగింపు: పని సరిగ్గా పూర్తయింది

ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, ఏ సందర్భంలోనైనా పని చేసే యూనివర్సల్ వెర్షన్ ఉంటే ఫార్ములాతో ఎందుకు బాధపడాలి? రెండు కారణాలున్నాయి. మొదట, ఫార్ములా భిన్నం రూపంలో ఉంటుంది చాలా బాగా గుర్తుంచుకోవాలి. మరియు రెండవది, సార్వత్రిక సూత్రం యొక్క ప్రతికూలత గందరగోళానికి గురయ్యే ప్రమాదం గణనీయంగా పెరుగుతుందికోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు.

ఉదాహరణ 6

ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.

సర్వసాధారణమైన రెండు అంశాలకు తిరిగి వెళ్దాం:

రెండు పాయింట్లను ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

రెండు పాయింట్లు తెలిసినట్లయితే, ఈ పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఫార్ములా ఉపయోగించి కంపైల్ చేయవచ్చు:

వాస్తవానికి, ఇది ఒక రకమైన ఫార్ములా మరియు ఇక్కడ ఎందుకు ఉంది: రెండు పాయింట్లు తెలిసినట్లయితే, వెక్టర్ ఇచ్చిన రేఖకు దిశ వెక్టర్ అవుతుంది. పాఠం వద్ద డమ్మీస్ కోసం వెక్టర్స్మేము సరళమైన సమస్యను పరిగణించాము - రెండు పాయింట్ల నుండి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఎలా కనుగొనాలి. ఈ సమస్య ప్రకారం, దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు:

గమనిక : పాయింట్లను "మార్పిడి" చేయవచ్చు మరియు సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు . అటువంటి పరిష్కారం సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 7

రెండు పాయింట్లను ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి .

పరిష్కారం: మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

హారం కలపడం:

మరియు డెక్‌ను షఫుల్ చేయండి:

ఇప్పుడు భిన్న సంఖ్యలను వదిలించుకోవడానికి సమయం ఆసన్నమైంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు రెండు వైపులా 6 ద్వారా గుణించాలి:

బ్రాకెట్లను తెరిచి, సమీకరణాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

సమాధానం:

పరీక్షస్పష్టంగా ఉంది - ప్రారంభ బిందువుల అక్షాంశాలు ఫలిత సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి:

1) పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

నిజమైన సమానత్వం.

2) పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

నిజమైన సమానత్వం.

ముగింపు: లైన్ యొక్క సమీకరణం సరిగ్గా వ్రాయబడింది.

ఉంటే కనీసం ఒక్కటిపాయింట్ల సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు, లోపం కోసం చూడండి.

ఈ సందర్భంలో గ్రాఫికల్ ధృవీకరణ కష్టం అని గమనించాలి, ఎందుకంటే సరళ రేఖను నిర్మించి, పాయింట్లు దానికి చెందినవా అని చూడండి. , అంత సులభం కాదు.

నేను పరిష్కారం యొక్క మరికొన్ని సాంకేతిక అంశాలను గమనిస్తాను. బహుశా ఈ సమస్యలో అద్దం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది మరియు, అదే పాయింట్ల వద్ద ఒక సమీకరణం చేయండి:

తక్కువ భిన్నాలు. మీకు కావాలంటే, మీరు ముగింపు వరకు పరిష్కారాన్ని నిర్వహించవచ్చు, ఫలితం అదే సమీకరణంగా ఉండాలి.

రెండవ విషయం ఏమిటంటే, తుది సమాధానాన్ని పరిశీలించి, దానిని మరింత సరళీకృతం చేయవచ్చా? ఉదాహరణకు, మీరు సమీకరణాన్ని పొందినట్లయితే, దానిని రెండుగా తగ్గించడం మంచిది: - సమీకరణం అదే సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది. అయితే, ఇది ఇప్పటికే చర్చనీయాంశంగా మారింది పంక్తుల సాపేక్ష స్థానం.

సమాధానం అందుకున్న తరువాత ఉదాహరణ 7లో, సమీకరణం యొక్క అన్ని గుణకాలు 2, 3 లేదా 7 ద్వారా భాగించబడతాయో లేదో నేను తనిఖీ చేసాను. అయినప్పటికీ, చాలా తరచుగా ఇటువంటి తగ్గింపులు పరిష్కారం సమయంలో చేయబడతాయి.

ఉదాహరణ 8

పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖకు సమీకరణాన్ని వ్రాయండి .

ఇది స్వతంత్ర పరిష్కారానికి ఒక ఉదాహరణ, ఇది గణన పద్ధతులను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు సాధన చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

మునుపటి పేరా మాదిరిగానే: ఫార్ములాలో ఉంటే హారంలలో ఒకటి (దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్) సున్నా అవుతుంది, అప్పుడు మేము దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము . మళ్ళీ, ఆమె ఎంత ఇబ్బందికరంగా మరియు గందరగోళంగా కనిపిస్తుందో గమనించండి. ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలు ఇవ్వడంలో నాకు పెద్దగా అర్థం లేదు, ఎందుకంటే మేము ఇప్పటికే ఈ సమస్యను పరిష్కరించాము (నం. 5, 6 చూడండి).

ప్రత్యక్ష సాధారణ వెక్టర్ (సాధారణ వెక్టర్)

సాధారణమైనది ఏమిటి? సరళంగా చెప్పాలంటే, సాధారణం లంబంగా ఉంటుంది. అంటే, ఒక పంక్తి యొక్క సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది. సహజంగానే, ఏదైనా సరళ రేఖలో అనంతమైన వాటి సంఖ్య ఉంటుంది (అలాగే దిశ వెక్టర్స్), మరియు సరళ రేఖ యొక్క అన్ని సాధారణ వెక్టర్‌లు కొల్లినియర్‌గా ఉంటాయి (కోడైరెక్షనల్ లేదా కాకపోయినా, దీనికి తేడా లేదు).

గైడ్ వెక్టర్స్‌తో పోలిస్తే వాటితో వ్యవహరించడం మరింత సులభం అవుతుంది:

ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సాధారణ సమీకరణం ద్వారా పంక్తి ఇవ్వబడితే, వెక్టర్ ఈ రేఖ యొక్క సాధారణ వెక్టర్.

దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సమీకరణం నుండి జాగ్రత్తగా "బయటకు లాగవలసి ఉంటే", అప్పుడు సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు కేవలం "తొలగించబడతాయి".

సాధారణ వెక్టర్ ఎల్లప్పుడూ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్‌కు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటుంది. ఉపయోగించి ఈ వెక్టర్స్ యొక్క ఆర్తోగోనాలిటీని ధృవీకరిద్దాం డాట్ ఉత్పత్తి:

నేను దిశ వెక్టర్ కోసం అదే సమీకరణాలతో ఉదాహరణలను ఇస్తాను:

ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని నిర్మించడం సాధ్యమేనా? నేను నా గట్ లో భావిస్తున్నాను, అది సాధ్యమే. సాధారణ వెక్టర్ తెలిసినట్లయితే, సరళ రేఖ యొక్క దిశ స్పష్టంగా నిర్వచించబడుతుంది - ఇది 90 డిగ్రీల కోణంతో కూడిన “దృఢమైన నిర్మాణం”.

ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా వ్రాయాలి?

ఒక రేఖకు చెందిన నిర్దిష్ట బిందువు మరియు ఈ రేఖ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ తెలిసినట్లయితే, ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

ఇక్కడ ప్రతిదీ భిన్నాలు మరియు ఇతర ఆశ్చర్యాలు లేకుండా పని చేస్తుంది. ఇది మన సాధారణ వెక్టర్. అతనిని ప్రేమించు. మరియు గౌరవం =)

ఉదాహరణ 9

ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్‌ను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం పొందబడింది, తనిఖీ చేద్దాం:

1) సమీకరణం నుండి సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను "తీసివేయండి": - అవును, నిజానికి, అసలు వెక్టార్ పరిస్థితి నుండి పొందబడింది (లేదా కొల్లినియర్ వెక్టర్ పొందాలి).

2) పాయింట్ సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉందో లేదో చూద్దాం:

నిజమైన సమానత్వం.

సమీకరణం సరిగ్గా కంపోజ్ చేయబడిందని మేము ఒప్పించిన తర్వాత, మేము పని యొక్క రెండవ, సులభమైన భాగాన్ని పూర్తి చేస్తాము. మేము సరళ రేఖ యొక్క దర్శకత్వ వెక్టర్‌ను తీసుకుంటాము:

సమాధానం:

డ్రాయింగ్లో పరిస్థితి ఇలా కనిపిస్తుంది:

శిక్షణ ప్రయోజనాల కోసం, స్వతంత్రంగా పరిష్కరించడానికి ఇదే విధమైన పని:

ఉదాహరణ 10

ఒక పాయింట్ మరియు సాధారణ వెక్టర్ ఇచ్చిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్‌ను కనుగొనండి.

పాఠం యొక్క చివరి విభాగం తక్కువ సాధారణమైన, కానీ విమానంలో ఒక లైన్ యొక్క ముఖ్యమైన రకాల సమీకరణాలకు కూడా అంకితం చేయబడుతుంది.

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.
పారామెట్రిక్ రూపంలో లైన్ యొక్క సమీకరణం

విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ నాన్జీరో స్థిరాంకాలు ఉంటాయి. ఈ రూపంలో కొన్ని రకాల సమీకరణాలు సూచించబడవు, ఉదాహరణకు, ప్రత్యక్ష అనుపాతత (ఉచిత పదం సున్నాకి సమానం మరియు కుడి వైపున ఒకదానిని పొందడానికి మార్గం లేదు కాబట్టి).

ఇది అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, "సాంకేతిక" రకం సమీకరణం. పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని విభాగాలలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణంగా సూచించడం ఒక సాధారణ పని. ఇది ఎలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది? సెగ్మెంట్లలోని పంక్తి యొక్క సమీకరణం కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో లైన్ యొక్క ఖండన పాయింట్లను త్వరగా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఇది అధిక గణితంలో కొన్ని సమస్యలలో చాలా ముఖ్యమైనది.

అక్షంతో రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి. మేము "y"ని సున్నాకి రీసెట్ చేస్తాము మరియు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. కావలసిన పాయింట్ స్వయంచాలకంగా పొందబడుతుంది: .

అదే అక్షం - సరళ రేఖ ఆర్డినేట్ అక్షాన్ని కలుస్తున్న పాయింట్.