అంకగణిత పురోగతి. పురోగతి వ్యత్యాసం: నిర్వచనం

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

అంకగణిత పురోగతిప్రతి సంఖ్య అదే మొత్తంలో మునుపటి కంటే ఎక్కువ (లేదా తక్కువ) ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణి.

ఈ అంశం తరచుగా సంక్లిష్టంగా మరియు అపారమయినదిగా కనిపిస్తుంది. అక్షర సూచికలు nవ పదంపురోగతి, పురోగతి వ్యత్యాసాలు - ఇవన్నీ ఏదో ఒకవిధంగా గందరగోళంగా ఉన్నాయి, అవును... అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్ధాన్ని గుర్తించండి మరియు ప్రతిదీ వెంటనే మెరుగుపడుతుంది.)

అంకగణిత పురోగతి భావన.

అంకగణిత పురోగతి అనేది చాలా సులభమైన మరియు స్పష్టమైన భావన. మీకు ఏమైనా సందేహాలు ఉన్నాయా? ఫలించలేదు.) మీరే చూడండి.

నేను అసంపూర్తిగా ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణిని వ్రాస్తాను:

1, 2, 3, 4, 5, ...

మీరు ఈ సిరీస్‌ని పొడిగించగలరా? ఐదు తర్వాత ఏ సంఖ్యలు వస్తాయి? అందరూ... ఊ..., క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే 6, 7, 8, 9 మొదలైన సంఖ్యలు తర్వాతి వస్తాయని అందరూ గ్రహిస్తారు.

పనిని క్లిష్టతరం చేద్దాం. నేను మీకు అసంపూర్తిగా ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణిని ఇస్తున్నాను:

2, 5, 8, 11, 14, ...

మీరు నమూనాను పట్టుకోగలరు, సిరీస్‌ని విస్తరించగలరు మరియు పేరు పెట్టగలరు ఏడవవరుస సంఖ్య?

ఈ సంఖ్య 20 అని మీరు గ్రహించినట్లయితే, అభినందనలు! మీకు అనిపించడమే కాదు ప్రధానాంశాలుఅంకగణిత పురోగతి,కానీ వాటిని వ్యాపారంలో విజయవంతంగా ఉపయోగించారు! మీరు దాన్ని గుర్తించకపోతే, చదవండి.

ఇప్పుడు సంచలనాల నుండి గణితంలోకి కీలకమైన అంశాలను అనువదిద్దాం.)

మొదటి కీలక అంశం.

అంకగణిత పురోగతి సంఖ్యల శ్రేణితో వ్యవహరిస్తుంది.ఇది మొదట గందరగోళంగా ఉంది. మేము సమీకరణాలను పరిష్కరించడం, గ్రాఫ్‌లు గీయడం మరియు అన్నింటికి అలవాటు పడ్డాము... కానీ ఇక్కడ మేము సిరీస్‌ను పొడిగిస్తాము, సిరీస్ సంఖ్యను కనుగొనండి...

ఇట్స్ ఓకే. గణితం యొక్క కొత్త శాఖతో పురోగతి అనేది మొదటి పరిచయము. విభాగాన్ని "సిరీస్" అని పిలుస్తారు మరియు సంఖ్యలు మరియు వ్యక్తీకరణల శ్రేణితో ప్రత్యేకంగా పని చేస్తుంది. అలవాటు చేసుకోండి.)

రెండవ కీలక అంశం.

అంకగణిత పురోగతిలో, ఏ సంఖ్య అయినా మునుపటి దానికంటే భిన్నంగా ఉంటుంది అదే మొత్తంలో.

మొదటి ఉదాహరణలో, ఈ వ్యత్యాసం ఒకటి. మీరు ఏ సంఖ్య తీసుకున్నా, ఇది మునుపటి కంటే ఒకటి ఎక్కువ. రెండవది - మూడు. ఏదైనా సంఖ్య మునుపటి కంటే మూడు ఎక్కువ. వాస్తవానికి, ఈ క్షణం నమూనాను గ్రహించి, తదుపరి సంఖ్యలను లెక్కించడానికి మాకు అవకాశాన్ని ఇస్తుంది.

మూడవ కీలక అంశం.

ఈ క్షణం అద్భుతమైనది కాదు, అవును... కానీ ఇది చాలా చాలా ముఖ్యమైనది. ఇక్కడ అతను: ప్రతి పురోగతి సంఖ్యదాని స్థానంలో నిలుస్తుంది.మొదటి సంఖ్య ఉంది, ఏడవది, నలభై అయిదవది మొదలైనవి. మీరు వాటిని యాదృచ్ఛికంగా కలపినట్లయితే, నమూనా అదృశ్యమవుతుంది. అంకగణిత పురోగతి కూడా అదృశ్యమవుతుంది. మిగిలి ఉన్నది సంఖ్యల శ్రేణి మాత్రమే.

అది మొత్తం పాయింట్.

వాస్తవానికి, లో కొత్త అంశంకొత్త నిబంధనలు మరియు హోదాలు కనిపిస్తాయి. మీరు వాటిని తెలుసుకోవాలి. లేకపోతే, మీరు పనిని అర్థం చేసుకోలేరు. ఉదాహరణకు, మీరు ఇలాంటిదాన్ని నిర్ణయించుకోవాలి:

a 2 = 5, d = -2.5 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క మొదటి ఆరు పదాలను వ్రాయండి.

స్ఫూర్తిదాయకంగా ఉందా?) అక్షరాలు, కొన్ని సూచికలు... మరియు పని, మార్గం ద్వారా, సరళంగా ఉండకూడదు. మీరు నిబంధనలు మరియు హోదాల అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి. ఇప్పుడు మేము ఈ విషయంలో ప్రావీణ్యం పొందుతాము మరియు పనికి తిరిగి వస్తాము.

నిబంధనలు మరియు హోదాలు.

అంకగణిత పురోగతిసంఖ్యల శ్రేణి, దీనిలో ప్రతి సంఖ్య మునుపటి నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది అదే మొత్తంలో.

ఈ పరిమాణాన్ని అంటారు . ఈ భావనను మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం.

అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.

అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంఏదైనా ప్రోగ్రెస్షన్ నంబర్‌కి సంబంధించిన మొత్తం మరింతమునుపటిది.

ఒకటి ముఖ్యమైన పాయింట్. దయచేసి పదానికి శ్రద్ధ వహించండి "మరింత".గణితశాస్త్రపరంగా, దీని అర్థం ప్రతి పురోగతి సంఖ్య కలిపితేమునుపటి సంఖ్యకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం.

లెక్కించేందుకు, చెప్పండి రెండవసిరీస్ సంఖ్యలు, మీరు అవసరం ప్రధమసంఖ్య జోడించుఅంకగణిత పురోగతికి ఇదే తేడా. గణన కోసం ఐదవది- వ్యత్యాసం అవసరం జోడించుకు నాల్గవ,బాగా, మొదలైనవి

అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంబహుశా అనుకూల,అప్పుడు సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్య నిజమైనదిగా మారుతుంది మునుపటి కంటే ఎక్కువ.ఈ పురోగతి అంటారు పెరుగుతున్నాయి.ఉదాహరణకి:

8; 13; 18; 23; 28; .....

ఇక్కడ ప్రతి సంఖ్య పొందబడుతుంది కలిపితేసానుకూల సంఖ్య, మునుపటి దానికి +5.

తేడా ఉండవచ్చు ప్రతికూల,అప్పుడు సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్య ఉంటుంది మునుపటి కంటే తక్కువ.ఈ పురోగతిని అంటారు (మీరు నమ్మరు!) తగ్గుతోంది.

ఉదాహరణకి:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ఇక్కడ ప్రతి సంఖ్య కూడా పొందబడుతుంది కలిపితేమునుపటిదానికి, కానీ ఇప్పటికే ప్రతికూల సంఖ్య, -5.

మార్గం ద్వారా, పురోగతితో పని చేస్తున్నప్పుడు, దాని స్వభావాన్ని తక్షణమే గుర్తించడం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది - ఇది పెరుగుతోందా లేదా తగ్గిపోతుంది. నిర్ణయాన్ని నావిగేట్ చేయడానికి, మీ తప్పులను గుర్తించడానికి మరియు చాలా ఆలస్యం కాకముందే వాటిని సరిదిద్దడానికి ఇది చాలా సహాయపడుతుంది.

అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంసాధారణంగా అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది డి.

ఎలా కనుగొనాలి డి? చాలా సింపుల్. సిరీస్‌లోని ఏదైనా సంఖ్య నుండి తీసివేయడం అవసరం మునుపటిసంఖ్య. తీసివేయి. మార్గం ద్వారా, తీసివేత ఫలితాన్ని "తేడా" అంటారు.)

ఉదాహరణకు, నిర్వచిద్దాం, డిఅంకగణిత పురోగతిని పెంచడానికి:

2, 5, 8, 11, 14, ...

మనకు కావలసిన సిరీస్‌లోని ఏదైనా సంఖ్యను తీసుకుంటాము, ఉదాహరణకు, 11. మేము దాని నుండి తీసివేస్తాము మునుపటి సంఖ్య, ఆ. 8:

ఇది సరైన సమాధానం. ఈ అంకగణిత పురోగతికి, తేడా మూడు.

మీరు తీసుకోవచ్చు ఏదైనా పురోగతి సంఖ్య,ఎందుకంటే నిర్దిష్ట పురోగతి కోసం d-ఎప్పుడూ అదే.కనీసం ఎక్కడా వరుస ప్రారంభంలో, కనీసం మధ్యలో, కనీసం ఎక్కడైనా. మీరు మొదటి సంఖ్యను మాత్రమే తీసుకోలేరు. ఎందుకంటే మొదటి సంఖ్య మునుపటిది లేదు.)

మార్గం ద్వారా, అది తెలుసుకోవడం d=3, ఈ పురోగతి యొక్క ఏడవ సంఖ్యను కనుగొనడం చాలా సులభం. ఐదవ సంఖ్యకు 3ని జోడిద్దాం - మనకు ఆరవ వస్తుంది, అది 17 అవుతుంది. ఆరవ సంఖ్యకు మూడు కలుపుదాం, మనకు ఏడవ సంఖ్య వస్తుంది - ఇరవై.

నిర్వచించుకుందాం డిఅవరోహణ అంకగణిత పురోగతి కోసం:

8; 3; -2; -7; -12; .....

సంకేతాలతో సంబంధం లేకుండా, నిర్ణయించాలని నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను డిఏదైనా సంఖ్య నుండి అవసరం మునుపటిదాన్ని తీసివేయండి.ఏదైనా పురోగతి సంఖ్యను ఎంచుకోండి, ఉదాహరణకు -7. అతని మునుపటి సంఖ్య -2. అప్పుడు:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు: పూర్ణాంకం, భిన్నం, అహేతుకం, ఏదైనా సంఖ్య.

ఇతర నిబంధనలు మరియు హోదాలు.

సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్యను పిలుస్తారు అంకగణిత పురోగతిలో సభ్యుడు.

పురోగతి యొక్క ప్రతి సభ్యుడు దాని స్వంత సంఖ్యను కలిగి ఉంది.సంఖ్యలు ఎటువంటి ఉపాయాలు లేకుండా ఖచ్చితంగా క్రమంలో ఉన్నాయి. మొదటి, రెండవ, మూడవ, నాల్గవ, మొదలైనవి. ఉదాహరణకు, పురోగతిలో 2, 5, 8, 11, 14, ... రెండు మొదటి పదం, ఐదు రెండవది, పదకొండు నాల్గవది, బాగా, మీరు అర్థం చేసుకోండి...) దయచేసి స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోండి - సంఖ్యలు స్వయంగాఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, పూర్తిగా, భిన్నమైనది, ప్రతికూలమైనది, ఏమైనా కావచ్చు సంఖ్యల సంఖ్య- ఖచ్చితంగా క్రమంలో!

పురోగతిని ఎలా వ్రాయాలి సాధారణ వీక్షణ? ఏమి ఇబ్బంది లేదు! శ్రేణిలోని ప్రతి సంఖ్య అక్షరంగా వ్రాయబడుతుంది. అంకగణిత పురోగతిని సూచించడానికి, అక్షరం సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది a. సభ్యుని సంఖ్య దిగువ కుడి వైపున ఉన్న సూచిక ద్వారా సూచించబడుతుంది. మేము కామాలతో (లేదా సెమికోలన్లు) వేరు చేయబడిన పదాలను ఇలా వ్రాస్తాము:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ఇది మొదటి సంఖ్య, a 3- మూడవ, మొదలైనవి. ఫాన్సీ ఏమీ లేదు. ఈ శ్రేణిని క్లుప్తంగా ఇలా వ్రాయవచ్చు: (ఒక ఎన్).

పురోగతులు జరుగుతాయి పరిమిత మరియు అనంతం.

అల్టిమేట్పురోగతి పరిమిత సంఖ్యలో సభ్యులను కలిగి ఉంది. ఐదు, ముప్పై ఎనిమిది, ఏమైనా. కానీ అది పరిమిత సంఖ్య.

అనంతంపురోగతి - ఉంది అనంతమైన సంఖ్యసభ్యులు, మీరు ఊహించినట్లుగా.)

రాసుకోండి పరిమిత పురోగతిమీరు ఇలాంటి శ్రేణిని చూడవచ్చు, అన్ని నిబంధనలు మరియు చివరిలో ఒక చుక్క:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

లేదా ఇలా, చాలా మంది సభ్యులు ఉంటే:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

చిన్న ఎంట్రీలో మీరు సభ్యుల సంఖ్యను అదనంగా సూచించాలి. ఉదాహరణకు (ఇరవై మంది సభ్యులకు), ఇలా:

(a n), n = 20

ఈ పాఠంలోని ఉదాహరణలలో వలె, వరుస చివరిలో ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకారం ద్వారా అనంతమైన పురోగతిని గుర్తించవచ్చు.

ఇప్పుడు మీరు పనులను పరిష్కరించవచ్చు. పనులు సరళమైనవి, పూర్తిగా అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం కోసం.

అంకగణిత పురోగతిపై టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు.

పైన ఇవ్వబడిన పనిని వివరంగా చూద్దాం:

1. a 2 = 5, d = -2.5 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క మొదటి ఆరు పదాలను వ్రాయండి.

మేము పనిని బదిలీ చేస్తాము స్పష్టమైన భాష. అనంతమైన అంకగణిత పురోగతి ఇవ్వబడింది. ఈ పురోగతి యొక్క రెండవ సంఖ్య అంటారు: a 2 = 5.పురోగతి వ్యత్యాసం తెలుసు: d = -2.5.మేము ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి, మూడవ, నాల్గవ, ఐదవ మరియు ఆరవ పదాలను కనుగొనాలి.

స్పష్టత కోసం, నేను సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా ఒక శ్రేణిని వ్రాస్తాను. మొదటి ఆరు పదాలు, ఇక్కడ రెండవ పదం ఐదు:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = ఒక 2 + డి

వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం a 2 = 5మరియు d = -2.5. మైనస్ గురించి మర్చిపోవద్దు!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

మూడో టర్మ్ రెండోసారి కంటే తక్కువ అని తేలింది. అంతా తార్కికమే. సంఖ్య మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే ప్రతికూలవిలువ, అంటే సంఖ్య మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. పురోగతి తగ్గుతోంది. సరే, దానిని పరిగణలోకి తీసుకుందాం.) మేము మా సిరీస్ యొక్క నాల్గవ పదాన్ని లెక్కించాము:

ఒక 4 = a 3 + డి

ఒక 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ఒక 5 = ఒక 4 + డి

ఒక 5=0+(-2,5)= - 2,5

ఒక 6 = ఒక 5 + డి

ఒక 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

కాబట్టి, మూడవ నుండి ఆరవ వరకు నిబంధనలు లెక్కించబడ్డాయి. ఫలితం క్రింది సిరీస్:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

ఇది మొదటి పదాన్ని కనుగొనడానికి మిగిలి ఉంది a 1ద్వారా ప్రసిద్ధ రెండవ. ఇది ఇతర దిశలో, ఎడమ వైపున ఒక అడుగు.) కాబట్టి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం డికు చేర్చకూడదు ఒక 2, ఎ తీసుకెళ్లండి:

a 1 = ఒక 2 - డి

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

అంతే. అసైన్‌మెంట్ సమాధానం:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, మేము ఈ పనిని పరిష్కరించామని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను పునరావృతంమార్గం. ఈ భయానక పదంకేవలం పురోగతి యొక్క సభ్యుని కోసం శోధించడం అని అర్థం మునుపటి (ప్రక్కనే) సంఖ్య ప్రకారం.మేము దిగువ పురోగతితో పని చేయడానికి ఇతర మార్గాలను పరిశీలిస్తాము.

ఈ సాధారణ పని నుండి ఒక ముఖ్యమైన ముగింపును తీసుకోవచ్చు.

గుర్తుంచుకో:

మనకు కనీసం ఒక పదం మరియు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం తెలిస్తే, ఈ పురోగతి యొక్క ఏదైనా పదాన్ని మనం కనుగొనవచ్చు.

నీకు గుర్తుందా? ఈ సాధారణ ముగింపు చాలా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది పాఠశాల కోర్సుఈ అంశంపై. పనులన్నీ చుట్టూ తిరుగుతాయి మూడు ప్రధానపారామితులు: అంకగణిత పురోగతి సభ్యుడు, పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం, పురోగతి యొక్క సభ్యుని సంఖ్య.అన్నీ.

వాస్తవానికి, అన్ని మునుపటి బీజగణితాలు రద్దు చేయబడవు.) అసమానతలు, సమీకరణాలు మరియు ఇతర విషయాలు పురోగతికి జోడించబడ్డాయి. కానీ పురోగతిని బట్టి- ప్రతిదీ మూడు పారామితుల చుట్టూ తిరుగుతుంది.

ఉదాహరణగా, ఈ అంశంపై కొన్ని జనాదరణ పొందిన పనులను చూద్దాం.

2. n=5, d = 0.4, మరియు a 1 = 3.6 అయితే పరిమిత అంకగణిత పురోగతిని శ్రేణిగా వ్రాయండి.

ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. ఇప్పటికే అన్నీ ఇచ్చారు. మీరు అంకగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యులను ఎలా లెక్కించాలో గుర్తుంచుకోవాలి, వాటిని లెక్కించండి మరియు వాటిని వ్రాయండి. విధి పరిస్థితులలో పదాలను కోల్పోకుండా ఉండటం మంచిది: “చివరి” మరియు “ n=5". కాబట్టి మీరు ముఖం పూర్తిగా నీలం రంగులోకి వచ్చే వరకు లెక్కించకూడదు.) ఈ పురోగతిలో కేవలం 5 (ఐదుగురు) సభ్యులు మాత్రమే ఉన్నారు:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

ఒక 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

ఒక 5 = ఒక 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

సమాధానం వ్రాయడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

మరొక పని:

3. సంఖ్య 7 అంకగణిత పురోగతి (a n)లో సభ్యుడిగా ఉంటుందో లేదో నిర్ణయించండి a 1 = 4.1; d = 1.2.

అయ్యో... ఎవరికి తెలుసు? ఏదో గుర్తించడం ఎలా?

ఎలా-ఎలా... ప్రోగ్రెస్షన్‌ని సిరీస్‌ రూపంలో రాసి అక్కడ ఏడు ఉంటుందో లేదో చూడాలి! మేము లెక్కిస్తాము:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

ఒక 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ఇప్పుడు మనం కేవలం ఏడుగురం మాత్రమేనని స్పష్టంగా కనిపిస్తోంది జారిపోయింది 6.5 మరియు 7.7 మధ్య! ఏడు మా సంఖ్యల శ్రేణిలోకి రాలేదు మరియు అందువల్ల, ఏడు ఇచ్చిన పురోగతిలో సభ్యులుగా ఉండరు.

సమాధానం: లేదు.

దీని ఆధారంగా ఇక్కడ ఒక సమస్య ఉంది నిజమైన ఎంపిక GIA:

4. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:

...; 15; X; 9; 6; ...

ముగింపు మరియు ప్రారంభం లేకుండా వ్రాసిన సిరీస్ ఇక్కడ ఉంది. సభ్యుల సంఖ్య లేదు, తేడా లేదు డి. ఇట్స్ ఓకే. సమస్యను పరిష్కరించడానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్ధాన్ని అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది. చూద్దాం మరియు ఏది సాధ్యమో చూద్దాం తెలుసుకొనుటకుఈ సిరీస్ నుండి? మూడు ప్రధాన పారామితులు ఏమిటి?

సభ్యుల సంఖ్య? ఇక్కడ ఒక్క సంఖ్య కూడా లేదు.

కానీ మూడు సంఖ్యలు ఉన్నాయి మరియు - శ్రద్ధ! - పదం "స్థిరమైన"పరిస్థితిలో. సంఖ్యలు ఖాళీలు లేకుండా ఖచ్చితంగా క్రమంలో ఉన్నాయని దీని అర్థం. ఈ వరుసలో ఇద్దరు ఉన్నారా? పొరుగు తెలిసిన సంఖ్యలు? అవును నా దగ్గర వుంది! ఇవి 9 మరియు 6. కాబట్టి, మనం అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించవచ్చు! ఆరు నుండి తీసివేయండి మునుపటిసంఖ్య, అనగా. తొమ్మిది:

కేవలం చిన్నవిషయాలు మాత్రమే మిగిలి ఉన్నాయి. Xకి మునుపటి సంఖ్య ఏది? పదిహేను. దీనర్థం X ను సులభంగా చేర్చడం ద్వారా సులభంగా కనుగొనవచ్చు. అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని 15కి జోడించండి:

అంతే. సమాధానం: x=12

ఈ క్రింది సమస్యలను మనమే పరిష్కరిస్తాము. గమనిక: ఈ సమస్యలు ఫార్ములాలపై ఆధారపడి లేవు. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్థాన్ని పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడానికి.) మేము కేవలం సంఖ్యలు మరియు అక్షరాల శ్రేణిని వ్రాస్తాము, దానిని చూసి గుర్తించండి.

5. 5 = -3 అయితే అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి సానుకూల పదాన్ని కనుగొనండి; d = 1.1.

6. సంఖ్య 5.5 అనేది అంకగణిత పురోగతి (a n)లో ఒక సభ్యుని అని తెలుసు, ఇక్కడ a 1 = 1.6; d = 1.3. ఈ సభ్యుని సంఖ్య nని నిర్ణయించండి.

7. అంకగణిత పురోగతిలో a 2 = 4; a 5 = 15.1. 3ని కనుగొనండి.

8. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:

...; 15.6; X; 3.4; ...

x అక్షరం ద్వారా సూచించబడిన పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనండి.

9. రైలు స్టేషన్ నుండి కదలడం ప్రారంభించింది, నిమిషానికి 30 మీటర్ల వేగంతో ఏకరీతిగా పెరుగుతుంది. ఐదు నిమిషాల్లో రైలు వేగం ఎంత? కిమీ/గంటలో మీ సమాధానం ఇవ్వండి.

10. అంకగణిత పురోగతిలో a 2 = 5; a 6 = -5. 1ని కనుగొనండి.

సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నాయి): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

అంతా పనిచేసింది? అద్భుతం! మీరు మరిన్ని కోసం అంకగణిత పురోగతిని నేర్చుకోవచ్చు ఉన్నతమైన స్థానం, క్రింది పాఠాలలో.

అంతా ఫలించలేదా? ఏమి ఇబ్బంది లేదు. ప్రత్యేక విభాగం 555లో, ఈ సమస్యలన్నీ ఒక్కొక్కటిగా క్రమబద్ధీకరించబడతాయి.) మరియు, వాస్తవానికి, ఒక సాధారణ ఆచరణాత్మక సాంకేతికత వివరించబడింది, ఇది వెంటనే అటువంటి పనులకు పరిష్కారాన్ని స్పష్టంగా, స్పష్టంగా, ఒక చూపులో హైలైట్ చేస్తుంది!

మార్గం ద్వారా, రైలు పజిల్‌లో ప్రజలు తరచుగా పొరపాట్లు చేసే రెండు సమస్యలు ఉన్నాయి. ఒకటి పూర్తిగా పురోగతికి సంబంధించినది మరియు రెండవది గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో ఏవైనా సమస్యలకు సాధారణం. ఇది ఒకదాని నుండి మరొకదానికి కొలతల అనువాదం. ఈ సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో చూపిస్తుంది.

ఈ పాఠంలో మనం చూసాము ప్రాథమిక అర్థంఅంకగణిత పురోగతి మరియు దాని ప్రధాన పారామితులు. ఈ అంశంపై దాదాపు అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఇది సరిపోతుంది. జోడించు డిసంఖ్యలకు, సిరీస్ రాయండి, ప్రతిదీ పరిష్కరించబడుతుంది.

ఫింగర్ సొల్యూషన్ ఈ పాఠంలోని ఉదాహరణలలో వలె, వరుసగా చాలా చిన్న ముక్కలకు బాగా పని చేస్తుంది. సిరీస్ పొడవుగా ఉంటే, లెక్కలు మరింత క్లిష్టంగా మారతాయి. ఉదాహరణకు, ప్రశ్నలో సమస్య 9లో ఉంటే, మేము భర్తీ చేస్తాము "ఐదు నిమిషాలు"పై "ముప్పై ఐదు నిమిషాలు"సమస్య మరింత తీవ్రమవుతుంది.)

మరియు సారాంశంలో సరళమైన, కానీ లెక్కల పరంగా అసంబద్ధమైన పనులు కూడా ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు:

అంకగణిత పురోగతి (a n) ఇవ్వబడింది. 1 =3 మరియు d=1/6 అయితే 121ని కనుగొనండి.

కాబట్టి ఏమిటి, మనం 1/6 అనేక, చాలా సార్లు జోడించబోతున్నారా?! మిమ్మల్ని మీరు చంపుకోగలరా!?

మీరు చెయ్యగలరు.) మీకు తెలియకపోతే సాధారణ సూత్రందీని ద్వారా నిర్ణయించుకోవాలి ఇలాంటి పనులుఒక నిమిషంలో సాధ్యం. ఈ ఫార్ములా తదుపరి పాఠంలో ఉంటుంది. మరియు ఈ సమస్య అక్కడ పరిష్కరించబడుతుంది. ఒక్క నిమిషంలో.)

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

అవును, అవును: అంకగణిత పురోగతి మీ కోసం బొమ్మ కాదు :)

సరే, మిత్రులారా, మీరు ఈ వచనాన్ని చదువుతున్నట్లయితే, అంకగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటో మీకు ఇంకా తెలియదని అంతర్గత టోపీ-సాక్ష్యం నాకు చెబుతుంది, కానీ మీరు నిజంగా (లేదు, అలాంటిది: SOOOOO!) తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు. అందువల్ల, నేను మిమ్మల్ని సుదీర్ఘ పరిచయాలతో హింసించను మరియు నేరుగా పాయింట్‌కి వస్తాను.

మొదట, కొన్ని ఉదాహరణలు. అనేక సెట్ల సంఖ్యలను చూద్దాం:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ఈ సెట్‌లన్నింటికీ ఉమ్మడిగా ఏమి ఉంది? మొదటి చూపులో, ఏమీ లేదు. కానీ నిజానికి ఏదో ఉంది. అవి: ప్రతి తదుపరి మూలకంఅదే సంఖ్య ద్వారా మునుపటి నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.

మీరే తీర్పు చెప్పండి. మొదటి సెట్ కేవలం వరుస సంఖ్యలు, ప్రతి తదుపరిది మునుపటి కంటే ఒకటి ఎక్కువ. రెండవ సందర్భంలో, సిరీస్ మధ్య వ్యత్యాసం నిలబడి సంఖ్యలుఇప్పటికే ఐదుకి సమానం, కానీ ఈ వ్యత్యాసం ఇప్పటికీ స్థిరంగా ఉంది. మూడవ సందర్భంలో, పూర్తిగా మూలాలు ఉన్నాయి. అయితే, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, మరియు $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, అనగా. మరియు ఈ సందర్భంలో, ప్రతి తదుపరి మూలకం కేవలం $\sqrt(2)$ పెరుగుతుంది (మరియు ఈ సంఖ్య అహేతుకం అని భయపడవద్దు).

కాబట్టి: అటువంటి అన్ని క్రమాలను అంకగణిత పురోగతి అంటారు. ఖచ్చితమైన నిర్వచనం ఇద్దాం:

నిర్వచనం. సంఖ్యల శ్రేణిలో ప్రతి తదుపరిది మునుపటి దాని నుండి సరిగ్గా అదే మొత్తంలో భిన్నంగా ఉండే సంఖ్యలను అంకగణిత పురోగతి అంటారు. సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉండే మొత్తాన్ని ప్రోగ్రెస్షన్ డిఫరెన్స్ అంటారు మరియు చాలా తరచుగా $d$ అక్షరంతో సూచిస్తారు.

సంజ్ఞామానం: $\left(((a)_(n)) \right)$ అనేది పురోగతి కూడా, $d$ అనేది దాని తేడా.

మరియు కేవలం కొన్ని ముఖ్యమైన గమనికలు. మొదట, పురోగతి మాత్రమే పరిగణించబడుతుంది ఆదేశించారుసంఖ్యల క్రమం: అవి వ్రాసిన క్రమంలో ఖచ్చితంగా చదవడానికి అనుమతించబడతాయి - మరియు మరేమీ కాదు. సంఖ్యలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం లేదా మార్పిడి చేయడం సాధ్యం కాదు.

రెండవది, క్రమం కూడా పరిమితమైనది లేదా అనంతం కావచ్చు. ఉదాహరణకు, సెట్ (1; 2; 3) స్పష్టంగా పరిమిత అంకగణిత పురోగతి. కానీ మీరు ఆత్మలో ఏదైనా వ్రాస్తే (1; 2; 3; 4; ...) - ఇది ఇప్పటికే ఉంది అంతులేని పురోగతి. నాలుగింటి తర్వాత ఎలిప్సిస్ ఇంకా కొన్ని సంఖ్యలు రాబోతున్నాయని సూచించినట్లు తెలుస్తోంది. అనంతమైన అనేక, ఉదాహరణకు :)

పురోగతి పెరుగుతుందని లేదా తగ్గుతుందని కూడా నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను. మేము ఇప్పటికే పెరుగుతున్న వాటిని చూశాము - అదే సెట్ (1; 2; 3; 4; ...). తగ్గుతున్న పురోగతికి ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

అలాగె అలాగె: చివరి ఉదాహరణచాలా క్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు. కానీ మిగిలినవి, నేను అనుకుంటున్నాను, మీరు అర్థం చేసుకున్నారు. కాబట్టి, మేము కొత్త నిర్వచనాలను పరిచయం చేస్తున్నాము:

నిర్వచనం. అంకగణిత పురోగతిని అంటారు:

1. ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే పెరుగుతుంది;
2. దీనికి విరుద్ధంగా, ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటే తగ్గుతుంది.

అదనంగా, "స్టేషనరీ" సీక్వెన్సులు అని పిలవబడేవి ఉన్నాయి - అవి ఒకే పునరావృత సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, (3; 3; 3; ...).

ఒక ప్రశ్న మాత్రమే మిగిలి ఉంది: పెరుగుతున్న పురోగతిని తగ్గుతున్న దాని నుండి ఎలా వేరు చేయాలి? అదృష్టవశాత్తూ, ఇక్కడ ప్రతిదీ $d$ సంఖ్య యొక్క గుర్తుపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది, అనగా. పురోగతి తేడాలు:

1. $d \gt 0$ అయితే, పురోగతి పెరుగుతుంది;
2. $d \lt 0$ అయితే, పురోగతి స్పష్టంగా తగ్గుతోంది;
3. చివరగా, $d=0$ అనే సందర్భం ఉంది - ఈ సందర్భంలో మొత్తం పురోగతి ఒకే విధమైన సంఖ్యల స్థిర శ్రేణికి తగ్గించబడుతుంది: (1; 1; 1; 1; ...), మొదలైనవి.

పైన ఇవ్వబడిన మూడు తగ్గుతున్న పురోగతికి $d$ వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఇది చేయుటకు, ఏదైనా రెండు ప్రక్కనే ఉన్న మూలకాలను (ఉదాహరణకు, మొదటి మరియు రెండవది) తీసుకొని, కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్య నుండి ఎడమ వైపున ఉన్న సంఖ్యను తీసివేయడం సరిపోతుంది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

మేము చూడగలిగినట్లుగా, మూడు సందర్భాల్లోనూ వ్యత్యాసం వాస్తవానికి ప్రతికూలంగా మారింది. మరియు ఇప్పుడు మేము నిర్వచనాలను ఎక్కువ లేదా తక్కువ కనుగొన్నాము, పురోగతి ఎలా వివరించబడింది మరియు అవి ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయో గుర్తించడానికి ఇది సమయం.

పురోగతి నిబంధనలు మరియు పునరావృత సూత్రం

మా సీక్వెన్స్‌ల మూలకాలను మార్చుకోలేము కాబట్టి, వాటిని లెక్కించవచ్చు:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \కుడి\)\]

ఈ సెట్ యొక్క వ్యక్తిగత మూలకాలను పురోగతి సభ్యులు అంటారు. అవి సంఖ్య ద్వారా సూచించబడతాయి: మొదటి సభ్యుడు, రెండవ సభ్యుడు, మొదలైనవి.

అదనంగా, మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, పురోగతి యొక్క పొరుగు నిబంధనలు ఫార్ములా ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

సంక్షిప్తంగా, పురోగతి యొక్క $n$వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు $n-1$వ పదం మరియు వ్యత్యాసం $d$ తెలుసుకోవాలి. ఈ సూత్రాన్ని పునరావృతం అంటారు, ఎందుకంటే దాని సహాయంతో మీరు మునుపటి (మరియు వాస్తవానికి, అన్ని మునుపటి వాటిని) తెలుసుకోవడం ద్వారా మాత్రమే ఏదైనా సంఖ్యను కనుగొనవచ్చు. ఇది చాలా అసౌకర్యంగా ఉంది, కాబట్టి ఏదైనా గణనలను మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసానికి తగ్గించే మరింత మోసపూరిత సూత్రం ఉంది:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఈ ఫార్ములాను చూసి ఉండవచ్చు. వారు దానిని అన్ని రకాల రిఫరెన్స్ పుస్తకాలు మరియు పరిష్కార పుస్తకాలలో ఇవ్వడానికి ఇష్టపడతారు. మరియు ఏదైనా తెలివైన గణిత పాఠ్య పుస్తకంలో ఇది మొదటిది.

అయితే, మీరు కొంచెం ప్రాక్టీస్ చేయమని నేను సూచిస్తున్నాను.

టాస్క్ నం. 1. $(a)_(1))=8,d=-5$ అయితే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలను $\left((((a)_(n)) \right)$ వ్రాయండి.

పరిష్కారం. కాబట్టి, మొదటి పదం $((a)_(1))=8$ మరియు పురోగతి $d=-5$ తేడా మాకు తెలుసు. ఇప్పుడే ఇచ్చిన ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తాము మరియు $n=1$, $n=2$ మరియు $n=3$లను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సమాధానం: (8; 3; -2)

అంతే! దయచేసి గమనించండి: మా పురోగతి తగ్గుతోంది.

వాస్తవానికి, $n=1$ని భర్తీ చేయడం సాధ్యపడలేదు - మొదటి పదం ఇప్పటికే మాకు తెలుసు. అయితే, ఐక్యతను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మొదటి టర్మ్‌కు కూడా మా ఫార్ములా పనిచేస్తుందని మేము ఒప్పించాము. ఇతర సందర్భాల్లో, ప్రతిదీ సామాన్యమైన అంకగణితానికి వచ్చింది.

పని సంఖ్య 2. దాని ఏడవ పదం −40 మరియు దాని పదిహేడవ పదం −50కి సమానం అయితే అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలను వ్రాయండి.

పరిష్కారం. సమస్య పరిస్థితిని తెలిసిన పదాలలో వ్రాస్దాం:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\ఎడమ\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ end(align) \కుడి.\]

ఈ అవసరాలు ఏకకాలంలో తీర్చబడాలి కాబట్టి నేను సిస్టమ్ గుర్తును ఉంచాను. ఇప్పుడు మనం రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేస్తే (మనకు సిస్టమ్ ఉన్నందున దీన్ని చేయడానికి మాకు హక్కు ఉంది), మనకు ఇది లభిస్తుంది:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ప్రగతి వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడం ఎంత సులభం! సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణాలలో కనుగొనబడిన సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. ఉదాహరణకు, మొదటిదానిలో:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \ఎండ్(మ్యాట్రిక్స్)\]

ఇప్పుడు, మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని తెలుసుకోవడం, రెండవ మరియు మూడవ పదాలను కనుగొనడం మిగిలి ఉంది:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సిద్ధంగా ఉంది! సమస్య పరిష్కారమైంది.

సమాధానం: (−34; -35; -36)

మేము కనుగొన్న పురోగతి యొక్క ఆసక్తికరమైన లక్షణాన్ని గమనించండి: మేము $n$th మరియు $m$th నిబంధనలను తీసుకొని వాటిని ఒకదానికొకటి తీసివేస్తే, మేము $n-m$ సంఖ్యతో గుణించబడిన పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని పొందుతాము:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

మీరు ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవలసిన ఒక సాధారణ కానీ చాలా ఉపయోగకరమైన ఆస్తి - దాని సహాయంతో మీరు అనేక పురోగతి సమస్యల పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా వేగవంతం చేయవచ్చు. ఇక్కడ ప్రకాశవంతమైన అనిఉదాహరణ:

పని సంఖ్య 3. అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఐదవ పదం 8.4 మరియు దాని పదవ పదం 14.4. ఈ పురోగతి యొక్క పదిహేనవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, మరియు మేము $((a)_(15))$ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది వాటిని గమనించాము:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ఎ)_(10))-((ఎ)_(5))=5డి. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కానీ షరతు ప్రకారం $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, కాబట్టి $5d=6$, దీని నుండి మనకు:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సమాధానం: 20.4

అంతే! మేము సమీకరణాల వ్యవస్థలను సృష్టించాల్సిన అవసరం లేదు మరియు మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు - ప్రతిదీ కేవలం రెండు పంక్తులలో పరిష్కరించబడింది.

ఇప్పుడు మరొక రకమైన సమస్యను చూద్దాం - పురోగతి యొక్క ప్రతికూల మరియు సానుకూల పదాల కోసం శోధించడం. పురోగతి పెరిగితే, మరియు దాని మొదటి పదం ప్రతికూలంగా ఉంటే, ముందుగానే లేదా తరువాత సానుకూల పదాలు దానిలో కనిపిస్తాయి అనేది రహస్యం కాదు. మరియు వైస్ వెర్సా: తగ్గుతున్న పురోగతి యొక్క నిబంధనలు ముందుగానే లేదా తరువాత ప్రతికూలంగా మారతాయి.

అదే సమయంలో, మూలకాల ద్వారా క్రమంగా వెళ్లడం ద్వారా ఈ క్షణాన్ని "హెడ్-ఆన్" కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమస్యలు సూత్రాలు తెలియకుండానే, లెక్కలు అనేక కాగితపు షీట్లను తీసుకునే విధంగా వ్రాయబడతాయి-మేము సమాధానం కనుగొన్నప్పుడు మనం నిద్రపోతాము. అందువల్ల, ఈ సమస్యలను వేగంగా పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

పని సంఖ్య 4. అంకగణిత పురోగతిలో ఎన్ని ప్రతికూల పదాలు ఉన్నాయి -38.5; -35.8; ...?

పరిష్కారం. కాబట్టి, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, ఇక్కడ నుండి మేము వెంటనే వ్యత్యాసాన్ని కనుగొంటాము:

వ్యత్యాసం సానుకూలంగా ఉందని గమనించండి, కాబట్టి పురోగతి పెరుగుతుంది. మొదటి పదం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి నిజానికి ఏదో ఒక సమయంలో మనం సానుకూల సంఖ్యలపై పొరపాట్లు చేస్తాము. ఇది ఎప్పుడు జరుగుతుందనేది ఒక్కటే ప్రశ్న.

నిబంధనల ప్రతికూలత ఎంతకాలం (అంటే సహజ సంఖ్య $n$ వరకు) ఉందో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ కుడి. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

చివరి పంక్తికి కొంత వివరణ అవసరం. కాబట్టి $n \lt 15\frac(7)(27)$ అని మాకు తెలుసు. మరోవైపు, మేము సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంక విలువలతో మాత్రమే సంతృప్తి చెందాము (అంతేకాకుండా: $n\in \mathbb(N)$), కాబట్టి అతిపెద్ద అనుమతించదగిన సంఖ్య ఖచ్చితంగా $n=15$, మరియు ఎటువంటి సందర్భంలోనూ 16 .

పని సంఖ్య 5. అంకగణిత పురోగతిలో $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. మొదటి సంఖ్యను కనుగొనండి సానుకూల పదంఈ పురోగతి.

ఇది మునుపటి సమస్య వలెనే ఉంటుంది, కానీ మాకు $((a)_(1))$ తెలియదు. కానీ పొరుగు నిబంధనలు తెలిసినవి: $((a)_(5))$ మరియు $((a)_(6))$, కాబట్టి మనం పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

అదనంగా, ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి మరియు తేడా ద్వారా ఐదవ పదాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇప్పుడు మేము సారూప్యతతో ముందుకు వెళ్తాము మునుపటి పని. మన క్రమంలో సానుకూల సంఖ్యలు ఏ సమయంలో కనిపిస్తాయో తెలుసుకుందాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కనిష్ట పూర్ణాంకం పరిష్కారంఈ అసమానత సంఖ్య 56.

దయచేసి గమనించండి: in చివరి పనిఇది అన్ని వచ్చింది కఠినమైన అసమానత, కాబట్టి ఎంపిక $n=55$ మాకు సరిపోదు.

ఇప్పుడు మనం సాధారణ సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నాము, మరింత క్లిష్టమైన వాటికి వెళ్దాం. కానీ మొదట, అంకగణిత పురోగతి యొక్క మరొక ఉపయోగకరమైన ఆస్తిని అధ్యయనం చేద్దాం, ఇది భవిష్యత్తులో మాకు చాలా సమయాన్ని మరియు అసమాన కణాలను ఆదా చేస్తుంది :)

అంకగణిత సగటు మరియు సమాన ఇండెంటేషన్లు

పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలను పరిశీలిద్దాం $\left(((a)_(n)) \right)$. వాటిని నంబర్ లైన్‌లో గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

సంఖ్య రేఖపై అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు

నేను ప్రత్యేకంగా ఏకపక్ష నిబంధనలను గుర్తు పెట్టాను $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, మరియు కొన్ని $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, మొదలైనవి. ఎందుకంటే నేను ఇప్పుడు మీకు చెప్పే నియమం ఏదైనా "విభాగాలు" కోసం అదే పని చేస్తుంది.

మరియు నియమం చాలా సులభం. గుర్తుంచుకుందాం పునరావృత సూత్రంమరియు గుర్తించబడిన సభ్యులందరి కోసం దీన్ని వ్రాయండి:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అయితే, ఈ సమానత్వాన్ని వేరే విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

బాగా, కాబట్టి ఏమిటి? మరియు $((a)_(n-1))$ మరియు $((a)_(n+1))$ అనే పదాలు $((a)_(n)) $ నుండి ఒకే దూరంలో ఉన్నాయి. . మరియు ఈ దూరం $d$కి సమానం. $((a)_(n-2))$ మరియు $((a)_(n+2))$ నిబంధనల గురించి కూడా అదే చెప్పవచ్చు - అవి $((a)_(n) నుండి కూడా తీసివేయబడతాయి )$ అదే దూరం వద్ద $2d$కి సమానం. మేము ప్రకటన అనంతంగా కొనసాగించవచ్చు, కానీ అర్థం చిత్రం ద్వారా బాగా వివరించబడింది

పురోగతి యొక్క నిబంధనలు కేంద్రం నుండి అదే దూరంలో ఉన్నాయి

దీని అర్థం మనకు ఏమిటి? దీని అర్థం పొరుగు సంఖ్యలు తెలిసినట్లయితే $((a)_(n))$ని కనుగొనవచ్చు:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

మేము ఒక అద్భుతమైన ప్రకటనను పొందాము: అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం దాని పొరుగు పదాల అంకగణిత సగటుకు సమానం! అంతేకాకుండా: మేము మా $((a)_(n))$ నుండి ఎడమకు మరియు కుడికి ఒక అడుగు ద్వారా కాకుండా $k$ దశల ద్వారా వెనక్కి తగ్గవచ్చు - మరియు సూత్రం ఇప్పటికీ సరైనదే:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ఆ. మనకు $((a)_(100))$ మరియు $((a)_(200))$ తెలిస్తే మనం కొన్ని $((a)_(150))$ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు, ఎందుకంటే $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. మొదటి చూపులో, ఈ వాస్తవం మనకు ఉపయోగకరంగా ఏమీ ఇవ్వలేదని అనిపించవచ్చు. అయితే, ఆచరణలో, అనేక సమస్యలు అంకగణిత సగటును ఉపయోగించడానికి ప్రత్యేకంగా రూపొందించబడ్డాయి. ఒకసారి చూడు:

పని సంఖ్య 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ మరియు $14+4((x)^(2))$ అనే సంఖ్యలు వరుసగా ఉండే $x$ యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనండి ఒక అంకగణిత పురోగతి (సూచించిన క్రమంలో).

పరిష్కారం. ఎందుకంటే పేర్కొన్న సంఖ్యలుపురోగమనంలో సభ్యులు, వారికి అంకగణిత సగటు యొక్క పరిస్థితి సంతృప్తికరంగా ఉంది: కేంద్ర మూలకం $x+1$ పొరుగు మూలకాల పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & (((x)^(2))+x-6=0. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇది క్లాసిక్ గా మారింది వర్గ సమీకరణం. దీని మూలాలు: $x=2$ మరియు $x=-3$ సమాధానాలు.

సమాధానం: −3; 2.

పని సంఖ్య 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ సంఖ్యలు అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి (ఆ క్రమంలో) $$ విలువలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మళ్ళీ వ్యక్తం చేద్దాం సగటు సభ్యుడుపొరుగు పదాల అంకగణిత సగటు ద్వారా:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \ కుడి.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మళ్లీ చతుర్భుజ సమీకరణం. మరియు మళ్లీ రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: $x=6$ మరియు $x=1$.

సమాధానం: 1; 6.

సమస్యను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో మీరు కొన్ని క్రూరమైన సంఖ్యలతో ముందుకు వస్తే, లేదా కనుగొన్న సమాధానాల ఖచ్చితత్వం గురించి మీకు పూర్తిగా తెలియకపోతే, తనిఖీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే అద్భుతమైన టెక్నిక్ ఉంది: మేము సమస్యను సరిగ్గా పరిష్కరించామా?

సమస్య నం. 6లో మనం సమాధానాలు −3 మరియు 2 అందుకున్నామని చెప్పండి. ఈ సమాధానాలు సరైనవని మనం ఎలా తనిఖీ చేయవచ్చు? వాటిని అసలు స్థితికి చేర్చి, ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం. మా వద్ద మూడు సంఖ్యలు ($-6(()^(2))$, $+1$ మరియు $14+4(()^(2))$) ఉన్నాయని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, అవి తప్పనిసరిగా అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి. $x=-3$ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

మాకు −54 సంఖ్యలు వచ్చాయి; -2; 52తో విభేదించే 50 నిస్సందేహంగా అంకగణిత పురోగతి. $x=2$కి ఇదే జరుగుతుంది:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

మళ్లీ ఒక పురోగతి, కానీ 27 తేడాతో. ఆ విధంగా, సమస్య సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది. కోరుకునే వారు రెండవ సమస్యను స్వయంగా తనిఖీ చేయవచ్చు, కానీ నేను వెంటనే చెబుతాను: అక్కడ కూడా ప్రతిదీ సరైనది.

సాధారణంగా, చివరి సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, మేము మరొకదానిని చూశాము ఆసక్తికరమైన వాస్తవం, ఇది కూడా గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం ఉంది:

మూడు సంఖ్యలు ఉంటే రెండవది మధ్యలో ఉంటుంది మొదటి అంకగణితంమరియు చివరగా, ఈ సంఖ్యలు అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

భవిష్యత్తులో, ఈ ప్రకటనను అర్థం చేసుకోవడం వల్ల మనం అక్షరాలా "డిజైన్" చేయవచ్చు అవసరమైన పురోగతులు, సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ఆధారంగా. కానీ మేము అలాంటి "నిర్మాణంలో" నిమగ్నమవ్వడానికి ముందు, మనం మరొక వాస్తవానికి శ్రద్ధ వహించాలి, ఇది ఇప్పటికే చర్చించబడిన దాని నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది.

గ్రూపింగ్ మరియు సమ్మింగ్ ఎలిమెంట్స్

మళ్ళీ సంఖ్య అక్షానికి తిరిగి వెళ్దాం. పురోగతి యొక్క అనేక మంది సభ్యులను అక్కడ గమనించండి, వాటి మధ్య, బహుశా. ఇతర సభ్యులకు చాలా విలువైనది:

సంఖ్య రేఖపై 6 మూలకాలు గుర్తించబడ్డాయి

“ఎడమ తోక”ని $((a)_(n))$ మరియు $d$ ద్వారా మరియు “కుడి తోక” $((a)_(k))$ మరియు $d$ ద్వారా వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఇది చాలా సులభం:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇప్పుడు కింది మొత్తాలు సమానంగా ఉన్నాయని గమనించండి:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ఎస్. \end(align)\]

సరళంగా చెప్పాలంటే, మేము పురోగతి యొక్క రెండు మూలకాలను ప్రారంభంగా పరిగణించినట్లయితే, మొత్తంగా $S$ కొంత సంఖ్యకు సమానం, ఆపై ఈ మూలకాల నుండి అడుగు పెట్టడం ప్రారంభించండి ఎదురుగా(ఒకరికొకరు లేదా వైస్ వెర్సా దూరంగా తరలించడానికి), అప్పుడు మనం పొరపాట్లు చేసే మూలకాల మొత్తాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి$S$. ఇది చాలా స్పష్టంగా గ్రాఫికల్‌గా సూచించబడుతుంది:

సమాన ఇండెంటేషన్లు సమాన మొత్తాలను ఇస్తాయి

అవగాహన ఈ నిజంమరింత ప్రాథమికంగా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ఉన్నతమైన స్థానంమేము పైన పరిగణించిన వాటి కంటే ఇబ్బందులు. ఉదాహరణకు, ఇవి:

పని సంఖ్య 8. మొదటి పదం 66, మరియు రెండవ మరియు పన్నెండవ పదాల లబ్ధం సాధ్యమైనంత చిన్నదిగా ఉండే అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం. మనకు తెలిసిన ప్రతిదాన్ని వ్రాసుకుందాం:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

కాబట్టి, $d$ పురోగతి తేడా మాకు తెలియదు. వాస్తవానికి, మొత్తం పరిష్కారం వ్యత్యాసం చుట్టూ నిర్మించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఉత్పత్తి $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

ట్యాంక్‌లో ఉన్నవారికి: నేను దానిని బయటకు తీశాను సాధారణ గుణకంరెండవ బ్రాకెట్ నుండి 11. ఈ విధంగా, కావలసిన ఉత్పత్తి $d$ వేరియబుల్‌కు సంబంధించి క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్. కాబట్టి, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ అనే ఫంక్షన్‌ని పరిగణించండి - దాని గ్రాఫ్ బ్రాంచ్‌లతో కూడిన పారాబొలాగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మేము బ్రాకెట్లను విస్తరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అత్యధిక పదం యొక్క గుణకం 11 - ఇది సానుకూల సంఖ్య, కాబట్టి మేము నిజంగా శాఖలతో కూడిన పారాబొలాతో వ్యవహరిస్తున్నాము:

షెడ్యూల్ క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్- పారాబొలా

గమనిక: కనీస విలువఈ పారాబొలా $((d)_(0))$ని అబ్సిస్సాతో దాని శీర్షం వద్ద తీసుకుంటుంది. వాస్తవానికి, మేము ఈ అబ్సిస్సాను ప్రామాణిక స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ అనే ఫార్ములా ఉంది), కానీ ఇది గమనించడం చాలా సహేతుకంగా ఉంటుంది. కావలసిన శీర్షం పారాబొలా యొక్క అక్షం సమరూపతపై ఉంటుంది, కనుక $((d)_(0))$ పాయింట్ $f\left(d \right)=0$ సమీకరణం యొక్క మూలాల నుండి సమానంగా ఉంటుంది.

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అందుకే బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నేను ప్రత్యేకంగా ఆతురుతలో లేను: వాటి అసలు రూపంలో, మూలాలను కనుగొనడం చాలా సులభం. కాబట్టి, అబ్సిస్సా సగటుకు సమానం అంకగణిత సంఖ్యలు−66 మరియు −6:

\[((డి)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

కనుగొనబడిన సంఖ్య మనకు ఏమి ఇస్తుంది? దానితో, అవసరమైన ఉత్పత్తి పడుతుంది అతి చిన్న విలువ(మార్గం ద్వారా, మేము ఎప్పుడూ $((y)_(\min ))$ని లెక్కించలేదు - ఇది మాకు అవసరం లేదు). అదే సమయంలో, ఈ సంఖ్య అసలు పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం, అనగా. మేము సమాధానం కనుగొన్నాము :)

సమాధానం: −36

పని సంఖ్య 9. $-\frac(1)(2)$ మరియు $-\frac(1)(6)$ల మధ్య మూడు సంఖ్యలను చొప్పించండి, తద్వారా ఈ సంఖ్యలతో కలిసి అవి అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

పరిష్కారం. ముఖ్యంగా, మేము ఇప్పటికే తెలిసిన మొదటి మరియు చివరి సంఖ్యతో ఐదు సంఖ్యల క్రమాన్ని తయారు చేయాలి. $x$, $y$ మరియు $z$ వేరియబుల్స్ ద్వారా తప్పిపోయిన సంఖ్యలను సూచిస్తాము:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ అనేది మా క్రమం యొక్క “మధ్యం” అని గమనించండి - ఇది $x$ మరియు $z$ సంఖ్యల నుండి మరియు $-\frac(1)(2)$ మరియు $-\frac సంఖ్యల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది. (1)( 6)$. మరియు $x$ మరియు $z$ సంఖ్యల నుండి మనం ఉన్నట్లయితే ఈ క్షణంమేము $y$ని పొందలేము, అప్పుడు పురోగతి ముగింపులతో పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంటుంది. అంకగణిత సగటును గుర్తుంచుకోండి:

ఇప్పుడు, $y$ తెలుసుకోవడం, మేము మిగిలిన సంఖ్యలను కనుగొంటాము. మేము ఇప్పుడే కనుగొన్న $-\frac(1)(2)$ మరియు $y=-\frac(1)(3)$ సంఖ్యల మధ్య $x$ ఉంటుందని గమనించండి. అందుకే

సారూప్య తర్కాన్ని ఉపయోగించి, మేము మిగిలిన సంఖ్యను కనుగొంటాము:

సిద్ధంగా ఉంది! మేము మూడు సంఖ్యలను కనుగొన్నాము. అసలు సంఖ్యల మధ్య వాటిని చొప్పించాల్సిన క్రమంలో వాటిని సమాధానంలో వ్రాస్దాం.

సమాధానం: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

టాస్క్ నం. 10. 2 మరియు 42 సంఖ్యల మధ్య, చొప్పించిన సంఖ్యలలో మొదటి, రెండవ మరియు చివరి మొత్తం 56 అని మీకు తెలిస్తే, ఈ సంఖ్యలతో కలిసి, ఒక అంకగణిత పురోగతిని రూపొందించే అనేక సంఖ్యలను చొప్పించండి.

పరిష్కారం. ఇంకా ఎక్కువ కష్టమైన పని, అయితే, ఇది మునుపటి వాటి వలె అదే పథకం ప్రకారం పరిష్కరించబడుతుంది - అంకగణిత సగటు ద్వారా. సమస్య ఏమిటంటే, ఎన్ని సంఖ్యలను చొప్పించాలో ఖచ్చితంగా తెలియదు. కాబట్టి, ప్రతిదానిని చొప్పించిన తర్వాత ఖచ్చితంగా $n$ సంఖ్యలు ఉంటాయని మరియు వాటిలో మొదటిది 2 మరియు చివరిది 42 అని ఖచ్చితంగా ఊహించుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, అవసరమైన అంకగణిత పురోగతిని రూపంలో సూచించవచ్చు:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \కుడి\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

అయితే, $((a)_(2))$ మరియు $((a)_(n-1))$ అనే సంఖ్యలు 2 మరియు 42 సంఖ్యల నుండి అంచుల నుండి ఒకదానికొకటి ఒకదానికొకటి పొందాయని గమనించండి, అనగా. క్రమం మధ్యలోకి. మరియు దీని అర్థం

\[((ఎ)_(2))+((ఎ)_(n-1))=2+42=44\]

కానీ పైన వ్రాసిన వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ఎ)_(3))=56; \\ & ((ఎ)_(3))=56-44=12. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

$((a)_(3))$ మరియు $((a)_(1))$ తెలుసుకోవడం ద్వారా, మేము పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మిగిలిన నిబంధనలను కనుగొనడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ఎ)_(2))=2+5=7; \\ & ((ఎ)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఈ విధంగా, ఇప్పటికే 9వ దశలో మనం క్రమం యొక్క ఎడమ చివరన చేరుకుంటాము - సంఖ్య 42. మొత్తంగా, 7 సంఖ్యలను మాత్రమే చొప్పించవలసి వచ్చింది: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

సమాధానం: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

పురోగతితో పద సమస్యలు

ముగింపులో, నేను సాపేక్షంగా కొన్నింటిని పరిగణించాలనుకుంటున్నాను సాధారణ పనులు. బాగా, చాలా సులభం: పాఠశాలలో గణితాన్ని అభ్యసించే మరియు పైన వ్రాసిన వాటిని చదవని చాలా మంది విద్యార్థులకు, ఈ సమస్యలు కఠినంగా అనిపించవచ్చు. అయినప్పటికీ, ఇవి OGE మరియు గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో కనిపించే సమస్యలు, కాబట్టి మీరు వాటితో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

టాస్క్ నం. 11. ఈ బృందం జనవరిలో 62 భాగాలను ఉత్పత్తి చేసింది మరియు ప్రతి తదుపరి నెలలో వారు మునుపటి నెలలో కంటే 14 ఎక్కువ భాగాలను ఉత్పత్తి చేసారు. నవంబర్‌లో టీమ్ ఎన్ని భాగాలను నిర్మించింది?

పరిష్కారం. సహజంగానే, నెలవారీగా జాబితా చేయబడిన భాగాల సంఖ్య పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతిని సూచిస్తుంది. అంతేకాకుండా:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

నవంబర్ సంవత్సరంలో 11వ నెల, కాబట్టి మనం $((a)_(11))$ని కనుగొనాలి:

\[((ఎ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

అందుకోసం నవంబర్‌లో 202 పార్ట్‌లు నిర్మించనున్నారు.

టాస్క్ నం. 12. బుక్‌బైండింగ్ వర్క్‌షాప్ జనవరిలో 216 పుస్తకాలను బైండింగ్ చేసింది మరియు ప్రతి తదుపరి నెలలో ఇది మునుపటి నెల కంటే 4 పుస్తకాలను బైండ్ చేసింది. డిసెంబర్‌లో వర్క్‌షాప్ బైండ్ చేసిన పుస్తకాలు ఎన్ని?

పరిష్కారం. ఒకే:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

డిసెంబర్ సంవత్సరంలో చివరి, 12వ నెల, కాబట్టి మేము $((a)_(12))$ కోసం వెతుకుతున్నాము:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ఇదీ సమాధానం - డిసెంబర్‌లో 260 పుస్తకాలు బైండ్‌ అవుతాయి.

సరే, మీరు ఇంతవరకు చదివి ఉంటే, నేను మిమ్మల్ని అభినందించడానికి తొందరపడుతున్నాను: మీరు అంకగణిత పురోగతిలో “యంగ్ ఫైటర్ కోర్సు” విజయవంతంగా పూర్తి చేసారు. మీరు తదుపరి పాఠానికి సురక్షితంగా వెళ్లవచ్చు, ఇక్కడ మేము పురోగతి యొక్క మొత్తానికి సూత్రాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము, అలాగే ముఖ్యమైనవి మరియు చాలా ముఖ్యమైనవి ఉపయోగకరమైన పరిణామాలుఆమె నుండి.

భావన సంఖ్య క్రమంప్రతి సహజ సంఖ్యకు కొన్నింటికి అనురూప్యతను సూచిస్తుంది వాస్తవ విలువ. అటువంటి సంఖ్యల శ్రేణి ఏకపక్షంగా లేదా కలిగి ఉండవచ్చు కొన్ని లక్షణాలు- పురోగతి. IN తరువాతి కేసుసీక్వెన్స్ యొక్క ప్రతి తదుపరి మూలకం (సభ్యుడు) మునుపటిదాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు.

అంకగణిత పురోగతి - క్రమం సంఖ్యా విలువలు, దాని పొరుగు సభ్యులు ఒకరికొకరు భిన్నంగా ఉంటారు అదే సంఖ్య (సారూప్య ఆస్తిసిరీస్‌లోని అన్ని అంశాలు, 2వ నుండి ప్రారంభమవుతాయి). ఈ సంఖ్య- మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనల మధ్య వ్యత్యాసం స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు దీనిని పురోగతి వ్యత్యాసం అంటారు.

పురోగతి వ్యత్యాసం: నిర్వచనం

j విలువలు A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j సమితికి చెందినవి ఉండే క్రమాన్ని పరిగణించండి సహజ సంఖ్యలు N. అంకగణిత పురోగతి, దాని నిర్వచనం ప్రకారం, a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. విలువ d అనేది ఈ పురోగతికి కావలసిన వ్యత్యాసం.

d = a(j) – a(j-1).

హైలైట్:

• పెరుగుతున్న పురోగతి, ఈ సందర్భంలో d > 0. ఉదాహరణ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• పురోగతిని తగ్గించడం, అప్పుడు డి< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

తేడా పురోగతి మరియు దాని ఏకపక్ష అంశాలు

పురోగతి యొక్క 2 ఏకపక్ష నిబంధనలు తెలిసినట్లయితే (i-th, k-th), అప్పుడు ఇచ్చిన శ్రేణికి వ్యత్యాసం సంబంధం ఆధారంగా నిర్ణయించబడుతుంది:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, అంటే d = (a(i) – a(k))/(i-k).

పురోగతి మరియు దాని మొదటి పదం యొక్క వ్యత్యాసం

సీక్వెన్స్ ఎలిమెంట్ సంఖ్య తెలిసిన సందర్భాల్లో మాత్రమే తెలియని విలువను గుర్తించడంలో ఈ వ్యక్తీకరణ సహాయపడుతుంది.

పురోగతి వ్యత్యాసం మరియు దాని మొత్తం

పురోగతి యొక్క మొత్తం దాని నిబంధనల మొత్తం. లెక్కించేందుకు మొత్తం విలువదాని మొదటి j మూలకాలలో, తగిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, కానీ నుండి a(j) = a(1) + d(j – 1), తర్వాత S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.