సూత్రం యొక్క ప్రధాన సారాంశం ఏమిటి?
ఈ ఫార్ములా మిమ్మల్ని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది ఏదైనా అతని నంబర్ ద్వారా " n" .
అయితే, మీరు మొదటి పదాన్ని కూడా తెలుసుకోవాలి a 1మరియు పురోగతి వ్యత్యాసం డి, అలాగే, ఈ పారామితులు లేకుండా మీరు నిర్దిష్ట పురోగతిని వ్రాయలేరు.
ఈ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోవడం (లేదా క్రిబ్ చేయడం) సరిపోదు. మీరు దాని సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి మరియు వివిధ సమస్యలలో సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి. మరియు సరైన సమయంలో మరచిపోకూడదు, అవును...) ఎలా మర్చిపోవద్దు- నాకు తెలియదు. మరియు ఇక్కడ ఎలా గుర్తుంచుకోవాలిఅవసరమైతే, నేను ఖచ్చితంగా మీకు సలహా ఇస్తాను. పాఠాన్ని చివరి వరకు పూర్తి చేసిన వారికి.)
కాబట్టి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం యొక్క సూత్రాన్ని చూద్దాం.
సాధారణంగా ఫార్ములా అంటే ఏమిటి? మార్గం ద్వారా, మీరు దీన్ని చదవకుంటే ఒకసారి చూడండి. అక్కడ ప్రతిదీ సులభం. అది ఏమిటో గుర్తించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది nవ పదం.
సాధారణంగా పురోగతిని సంఖ్యల శ్రేణిగా వ్రాయవచ్చు:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని సూచిస్తుంది, a 3- మూడవ సభ్యుడు, ఒక 4- నాల్గవ, మరియు మొదలైనవి. ఐదవ టర్మ్‌పై మాకు ఆసక్తి ఉంటే, మేము పని చేస్తున్నామని చెప్పండి ఒక 5, నూట ఇరవై అయితే - సం ఒక 120.
మేము దానిని సాధారణ పరంగా ఎలా నిర్వచించవచ్చు? ఏదైనాఒక అంకగణిత పురోగతి యొక్క పదం, తో ఏదైనాసంఖ్య? చాలా సింపుల్! ఇలా:
ఒక ఎన్
అది ఏమిటి అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం. n అక్షరం అన్ని సభ్యుల సంఖ్యలను ఒకేసారి దాచిపెడుతుంది: 1, 2, 3, 4, మరియు మొదలైనవి.
మరియు అలాంటి రికార్డు మనకు ఏమి ఇస్తుంది? ఒక్కసారి ఆలోచించండి, సంఖ్యకు బదులుగా వారు ఒక లేఖ రాశారు ...
ఈ సంజ్ఞామానం మాకు అంకగణిత పురోగతితో పని చేయడానికి శక్తివంతమైన సాధనాన్ని అందిస్తుంది. సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించడం ఒక ఎన్, మేము త్వరగా కనుగొనవచ్చు ఏదైనాసభ్యుడు ఏదైనాఅంకగణిత పురోగతి. మరియు ఇతర పురోగతి సమస్యల సమూహాన్ని పరిష్కరించండి. మీరు మీ కోసం మరింత చూస్తారు.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం సూత్రంలో:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదం;
n- సభ్యుల సంఖ్య.
ఫార్ములా ఏదైనా పురోగతి యొక్క కీలక పారామితులను కలుపుతుంది: ఒక n; a 1 ; డిమరియు n. అన్ని పురోగతి సమస్యలు ఈ పారామితుల చుట్టూ తిరుగుతాయి.
nవ పదం సూత్రాన్ని నిర్దిష్ట పురోగతిని వ్రాయడానికి కూడా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, సమస్య పురోగతి పరిస్థితిని బట్టి నిర్దేశించబడిందని చెప్పవచ్చు:
a n = 5 + (n-1) 2.
అలాంటి సమస్య అంతంతమాత్రంగానే ఉంటుంది... సిరీస్‌గానీ, తేడాగానీ ఉండదు... కానీ, ఫార్ములాతో కండిషన్‌ను పోల్చి చూస్తే, ఈ పురోగతిలో అర్థం చేసుకోవడం సులభం. a 1 =5, మరియు d=2.
మరియు అది మరింత ఘోరంగా ఉంటుంది!) మనం అదే పరిస్థితిని తీసుకుంటే: a n = 5 + (n-1) 2,అవును, కుండలీకరణాలను తెరిచి, ఇలాంటి వాటిని తీసుకురావాలా? మేము కొత్త సూత్రాన్ని పొందుతాము:
a n = 3 + 2n.
ఈ కేవలం సాధారణ కాదు, కానీ ఒక నిర్దిష్ట పురోగతి కోసం. ఇక్కడే ఆపద పొంచి ఉంది. కొంతమంది మొదటి పదం మూడు అని అనుకుంటారు. వాస్తవానికి మొదటి టర్మ్ ఐదు అయినప్పటికీ... కొంచెం తక్కువ మేము అటువంటి సవరించిన ఫార్ములాతో పని చేస్తాము.
పురోగతి సమస్యలలో మరొక సంజ్ఞామానం ఉంది - a n+1. ఇది, మీరు ఊహించినట్లుగా, పురోగతి యొక్క “n ప్లస్ మొదటి” పదం. దీని అర్థం సరళమైనది మరియు ప్రమాదకరం కాదు.) ఇది పురోగమనం యొక్క సభ్యుడు, దీని సంఖ్య n కంటే ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఏదైనా సమస్యలో మనం తీసుకుంటాము ఒక ఎన్ఐదవ టర్మ్ అప్పుడు a n+1ఆరో సభ్యుడిగా ఉంటారు. మొదలైనవి
చాలా తరచుగా హోదా a n+1పునరావృత సూత్రాలలో కనుగొనబడింది. ఈ భయానక పదానికి భయపడవద్దు!) ఇది అంకగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యుని వ్యక్తీకరించడానికి ఒక మార్గం మాత్రమే మునుపటి ద్వారా.పునరావృత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, ఈ రూపంలో మనకు అంకగణిత పురోగతిని అందించామని అనుకుందాం:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
నాల్గవ - మూడవ ద్వారా, ఐదవ - నాల్గవ ద్వారా, మరియు అందువలన న. ఇరవయ్యవ పదాన్ని మనం వెంటనే ఎలా లెక్కించగలం? ఒక 20? కానీ మార్గం లేదు!) మేము 19వ పదాన్ని కనుగొనే వరకు, మేము 20ని లెక్కించలేము. ఇది పునరావృత సూత్రం మరియు nవ పదం యొక్క ఫార్ములా మధ్య ప్రాథమిక వ్యత్యాసం. ద్వారా మాత్రమే పునరావృత పనులు మునుపటిపదం, మరియు nవ పదం యొక్క సూత్రం ద్వారా ప్రధమమరియు అనుమతిస్తుంది వెంటనేఏదైనా సభ్యుని సంఖ్య ద్వారా కనుగొనండి. మొత్తం సంఖ్యల శ్రేణిని క్రమంలో లెక్కించకుండా.
అంకగణిత పురోగతిలో, పునరావృత సూత్రాన్ని సాధారణమైనదిగా మార్చడం సులభం. ఒక జత వరుస పదాలను లెక్కించండి, వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి d,అవసరమైతే, మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి a 1, సూత్రాన్ని దాని సాధారణ రూపంలో వ్రాసి, దానితో పని చేయండి. స్టేట్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్‌లో ఇటువంటి పనులు తరచుగా ఎదురవుతాయి.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం ఫార్ములా యొక్క అప్లికేషన్.
మొదట, ఫార్ములా యొక్క ప్రత్యక్ష అనువర్తనాన్ని చూద్దాం. మునుపటి పాఠం ముగింపులో ఒక సమస్య ఉంది:
అంకగణిత పురోగతి (a n) ఇవ్వబడింది. 1 =3 మరియు d=1/6 అయితే 121ని కనుగొనండి.
ఈ సమస్య ఎటువంటి సూత్రాలు లేకుండా కేవలం అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్థం ఆధారంగా పరిష్కరించబడుతుంది. జోడించు మరియు జోడించు... ఒక గంట లేదా రెండు.)
మరియు సూత్రం ప్రకారం, పరిష్కారం ఒక నిమిషం కంటే తక్కువ సమయం పడుతుంది. మీరు సమయం చేసుకోవచ్చు.) నిర్ణయించుకుందాం.
షరతులు సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం మొత్తం డేటాను అందిస్తాయి: a 1 =3, d=1/6.ఏది సమానమో గుర్తించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది n.ఏమి ఇబ్బంది లేదు! మనం కనుక్కోవాలి ఒక 121. కాబట్టి మేము వ్రాస్తాము:
దయచేసి శ్రద్ధ వహించండి! సూచికకు బదులుగా nఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య కనిపించింది: 121. ఇది చాలా తార్కికమైనది.) మేము అంకగణిత పురోగతి సభ్యునిపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము సంఖ్య నూట ఇరవై ఒకటి.ఇది మాది అవుతుంది n.ఇదీ అర్థం n= 121 మేము బ్రాకెట్లలో ఫార్ములాలో మరింత ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. మేము అన్ని సంఖ్యలను ఫార్ములాలో భర్తీ చేస్తాము మరియు గణిస్తాము:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
అంతే. ఐదు వందల పదవ పదం మరియు వెయ్యి మరియు మూడవ పదం ఏదైనా ఒకదానిని త్వరగా కనుగొనవచ్చు. మేము బదులుగా ఉంచాము nఅక్షరం యొక్క సూచికలో కావలసిన సంఖ్య " ఒక"మరియు బ్రాకెట్లలో, మరియు మేము లెక్కిస్తాము.
నేను మీకు విషయాన్ని గుర్తు చేస్తాను: ఈ ఫార్ములా మిమ్మల్ని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది ఏదైనాఅంకగణిత పురోగతి పదం అతని నంబర్ ద్వారా " n" .
సమస్యను మరింత చాకచక్యంగా పరిష్కరిద్దాం. మనం ఈ క్రింది సమస్యను పరిశీలిద్దాం:
17 =-2 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి; d=-0.5.
మీకు ఏవైనా ఇబ్బందులు ఉంటే, మొదటి అడుగు నేను మీకు చెప్తాను. అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం సూత్రాన్ని వ్రాయండి!అవును అవును. మీ నోట్‌బుక్‌లో మీ చేతులతో వ్రాయండి:
| a n = a 1 + (n-1)d |
మరియు ఇప్పుడు, ఫార్ములా యొక్క అక్షరాలను చూస్తే, మనకు ఏ డేటా ఉంది మరియు ఏమి లేదు అని మేము అర్థం చేసుకున్నాము? అందుబాటులో ఉంది d=-0.5,పదిహేడవ సభ్యుడు ఉన్నాడు... అంతేనా? మీరు అంతే అనుకుంటే, మీరు సమస్యను పరిష్కరించలేరు, అవును...
మా దగ్గర ఇంకా నంబర్ ఉంది n! పరిస్థితిలో a 17 =-2దాచబడింది రెండు పారామితులు.ఇది పదిహేడవ పదం యొక్క విలువ (-2) మరియు దాని సంఖ్య (17) రెండూ. ఆ. n=17.ఈ "చిన్న వస్తువు" తరచుగా తల దాటి జారిపోతుంది, మరియు అది లేకుండా, ("చిన్న వస్తువు" లేకుండా, తల కాదు!) సమస్య పరిష్కరించబడదు. అయినప్పటికీ ... మరియు తల లేకుండా కూడా.)
ఇప్పుడు మనం మూర్ఖంగా మా డేటాను సూత్రంలోకి మార్చవచ్చు:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
ఆ అవును, ఒక 17అది -2 అని మాకు తెలుసు. సరే, ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
ప్రాథమికంగా అంతే. ఇది సూత్రం నుండి అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి మరియు దానిని లెక్కించడానికి మిగిలి ఉంది. సమాధానం ఇలా ఉంటుంది: a 1 = 6.
ఈ టెక్నిక్ - ఒక సూత్రాన్ని వ్రాసి, తెలిసిన డేటాను భర్తీ చేయడం - సాధారణ పనులలో గొప్ప సహాయం. సరే, అయితే, మీరు తప్పనిసరిగా ఒక ఫార్ములా నుండి వేరియబుల్‌ని వ్యక్తపరచగలగాలి, కానీ ఏమి చేయాలి!? ఈ నైపుణ్యం లేకుండా, గణితాన్ని అస్సలు అధ్యయనం చేయలేరు...
మరొక ప్రసిద్ధ పజిల్:
ఒక 1 =2 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి; a 15 =12.
ఏం చేస్తున్నాం? మీరు ఆశ్చర్యపోతారు, మేము సూత్రాన్ని వ్రాస్తున్నాము!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
మనకు తెలిసిన వాటిని పరిశీలిద్దాం: a 1 =2; a 15 =12; మరియు (నేను ప్రత్యేకంగా హైలైట్ చేస్తాను!) n=15. దీన్ని ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి సంకోచించకండి:
12=2 + (15-1)డి
మేము అంకగణితాన్ని చేస్తాము.)
12=2 + 14డి
డి=10/14 = 5/7
ఇది సరైన సమాధానం.
కాబట్టి, కోసం పనులు a n, a 1మరియు డినిర్ణయించుకుంది. సంఖ్యను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకోవడమే మిగిలి ఉంది:
సంఖ్య 99 అంకగణిత పురోగతి (a n), ఇక్కడ ఒక 1 =12; d=3. ఈ సభ్యుని సంఖ్యను కనుగొనండి.
మేము nవ పదం యొక్క సూత్రంలో మనకు తెలిసిన పరిమాణాలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
a n = 12 + (n-1) 3
మొదటి చూపులో, ఇక్కడ రెండు తెలియని పరిమాణాలు ఉన్నాయి: a n మరియు n.కానీ ఒక ఎన్- ఇది ఒక సంఖ్యతో పురోగతిలో కొంత సభ్యుడు n... మరియు ఈ పురోగతి సభ్యుడు మాకు తెలుసు! ఇది 99. దాని నంబర్ మాకు తెలియదు. n,కాబట్టి ఈ సంఖ్యను మీరు కనుగొనవలసి ఉంటుంది. మేము ఫార్ములాలో పురోగతి 99 పదాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
99 = 12 + (n-1) 3
మేము సూత్రం నుండి వ్యక్తపరుస్తాము n, మేము అనుకుంటున్నాము. మేము సమాధానం పొందుతాము: n=30.
మరియు ఇప్పుడు అదే అంశంపై సమస్య, కానీ మరింత సృజనాత్మకంగా ఉంది):
117 సంఖ్య అంకగణిత పురోగతి (a n)లో సభ్యునిగా ఉందో లేదో నిర్ణయించండి:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
మళ్ళీ ఫార్ములా రాద్దాం. ఏమిటి, పారామితులు లేవా? మ్... మనకు కళ్ళు ఎందుకు ఇవ్వబడ్డాయి?) మేము పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని చూస్తామా? మేము చూసాము. ఇది -3.6. మీరు సురక్షితంగా వ్రాయవచ్చు: a 1 = -3.6.తేడా డిమీరు సిరీస్ నుండి చెప్పగలరా? అంకగణిత పురోగతి యొక్క తేడా ఏమిటో మీకు తెలిస్తే ఇది సులభం:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
కాబట్టి, మేము సరళమైన పని చేసాము. ఇది తెలియని సంఖ్యతో వ్యవహరించడానికి మిగిలి ఉంది nమరియు అపారమయిన సంఖ్య 117. మునుపటి సమస్యలో, కనీసం ఇది ఇచ్చిన పురోగతి యొక్క పదం అని తెలిసింది. కానీ ఇక్కడ మనకు కూడా తెలియదు... ఏం చేయాలో!? సరే, ఎలా ఉండాలి, ఎలా ఉండాలి... మీ సృజనాత్మక సామర్థ్యాలను ఆన్ చేయండి!)
మేము అనుకుందాం 117, అన్నింటికంటే, మా పురోగతిలో సభ్యుడు. తెలియని నంబర్‌తో n. మరియు, మునుపటి సమస్యలో వలె, ఈ సంఖ్యను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఆ. మేము సూత్రాన్ని వ్రాస్తాము (అవును, అవును!)) మరియు మా సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
మళ్ళీ మేము సూత్రం నుండి వ్యక్తపరుస్తాముn, మేము లెక్కించి పొందుతాము:
అయ్యో! సంఖ్య తేలింది భిన్నమైన!నూట ఒకటిన్నర. మరియు పురోగతిలో పాక్షిక సంఖ్యలు కాకపోవచ్చు.మనం ఏ తీర్మానం చేయవచ్చు? అవును! సంఖ్య 117 కాదుమా పురోగతి సభ్యుడు. ఇది వంద మరియు మొదటి మరియు నూట మరియు రెండవ పదాల మధ్య ఎక్కడో ఉంది. సంఖ్య సహజంగా మారినట్లయితే, అనగా. ధనాత్మక పూర్ణాంకం, అప్పుడు సంఖ్య కనుగొనబడిన సంఖ్యతో పురోగతిలో సభ్యునిగా ఉంటుంది. మరియు మా విషయంలో, సమస్యకు సమాధానం ఇలా ఉంటుంది: నం.
GIA యొక్క నిజమైన వెర్షన్ ఆధారంగా టాస్క్:
అంకగణిత పురోగతి పరిస్థితి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:
a n = -4 + 6.8n
పురోగతి యొక్క మొదటి మరియు పదవ నిబంధనలను కనుగొనండి.
ఇక్కడ పురోగతి అసాధారణ రీతిలో సెట్ చేయబడింది. ఒకరకమైన ఫార్ములా... ఇది జరుగుతుంది.) అయితే, ఈ ఫార్ములా (నేను పైన వ్రాసినట్లు) - అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదానికి కూడా సూత్రం!ఆమె కూడా అనుమతిస్తుంది పురోగతి యొక్క ఏదైనా సభ్యుడిని దాని సంఖ్య ద్వారా కనుగొనండి.
మేము మొదటి సభ్యుని కోసం వెతుకుతున్నాము. ఆలోచించే వాడు. మొదటి పదం మైనస్ ఫోర్ అని తప్పుగా భావించబడింది!) ఎందుకంటే సమస్యలోని సూత్రం సవరించబడింది. దానిలోని అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదం దాచబడింది.ఫర్వాలేదు, మేము ఇప్పుడు దానిని కనుగొంటాము.)
మునుపటి సమస్యల మాదిరిగానే, మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము n=1ఈ సూత్రంలోకి:
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
ఇక్కడ! మొదటి పదం 2.8, -4 కాదు!
మేము అదే విధంగా పదవ పదం కోసం చూస్తాము:
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
అంతే.
మరియు ఇప్పుడు, ఈ పంక్తులను చదివిన వారికి, వాగ్దానం చేసిన బోనస్.)
స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ లేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ యొక్క క్లిష్ట పోరాట పరిస్థితిలో, మీరు అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం ఉపయోగకరమైన సూత్రాన్ని మర్చిపోయారని అనుకుందాం. నాకు ఏదో గుర్తుంది, కానీ ఏదో ఒకవిధంగా అనిశ్చితంగా... లేదా nఅక్కడ, లేదా n+1, లేదా n-1...ఎలా ఉండాలి!?
ప్రశాంతత! ఈ ఫార్ములా పొందడం సులభం. ఇది చాలా కఠినమైనది కాదు, కానీ విశ్వాసం మరియు సరైన నిర్ణయం కోసం ఇది ఖచ్చితంగా సరిపోతుంది!) ఒక ముగింపు చేయడానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రాథమిక అర్థాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి మరియు కొన్ని నిమిషాల సమయాన్ని కలిగి ఉంటే సరిపోతుంది. మీరు కేవలం ఒక చిత్రాన్ని గీయాలి. స్పష్టత కోసం.
ఒక సంఖ్య రేఖను గీయండి మరియు దానిపై మొదటిదాన్ని గుర్తించండి. రెండవ, మూడవ, మొదలైనవి. సభ్యులు. మరియు మేము తేడాను గమనించాము డిసభ్యుల మధ్య. ఇలా:
మేము చిత్రాన్ని చూసి ఆలోచిస్తాము: రెండవ పదం దేనికి సమానం? రెండవ ఒకటి డి:
a 2 =a 1 + 1 డి
మూడవ పదం ఏమిటి? మూడవదిపదం మొదటి పదం ప్లస్ సమానం రెండు డి.
a 3 =a 1 + 2 డి
మీకు అర్థమైందా? నేను బోల్డ్‌లో కొన్ని పదాలను హైలైట్ చేయడం ఏమీ కాదు. సరే, మరో అడుగు).
నాల్గవ పదం ఏమిటి? నాల్గవదిపదం మొదటి పదం ప్లస్ సమానం మూడు డి.
a 4 =a 1 + 3 డి
ఇది ఖాళీల సంఖ్య అని గ్రహించాల్సిన సమయం, అనగా. డి, ఎల్లప్పుడూ మీరు వెతుకుతున్న సభ్యుల సంఖ్య కంటే ఒకటి తక్కువ n. అంటే, సంఖ్యకు n, ఖాళీల సంఖ్యరెడీ n-1.కాబట్టి, ఫార్ములా (వైవిధ్యాలు లేకుండా!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
సాధారణంగా, గణితంలో అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడంలో దృశ్య చిత్రాలు చాలా సహాయకారిగా ఉంటాయి. చిత్రాలను నిర్లక్ష్యం చేయవద్దు. కానీ చిత్రాన్ని గీయడం కష్టమైతే, అప్పుడు... ఒక ఫార్ములా మాత్రమే!) అదనంగా, n వ పదం యొక్క సూత్రం గణిత శాస్త్రం యొక్క మొత్తం శక్తివంతమైన ఆర్సెనల్‌ను పరిష్కారానికి కనెక్ట్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది - సమీకరణాలు, అసమానతలు, వ్యవస్థలు మొదలైనవి. మీరు సమీకరణంలో చిత్రాన్ని చొప్పించలేరు...
స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం పనులు.
వేడెక్కడానికి:
1. అంకగణిత పురోగతిలో (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3ని కనుగొనండి.
సూచన: చిత్రం ప్రకారం, సమస్య 20 సెకన్లలో పరిష్కరించబడుతుంది ... ఫార్ములా ప్రకారం, ఇది మరింత క్లిష్టంగా మారుతుంది. కానీ ఫార్ములా మాస్టరింగ్ కోసం, ఇది మరింత ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.) విభాగం 555లో, ఈ సమస్య చిత్రం మరియు ఫార్ములా రెండింటినీ ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. తేడా అనుభూతి!)
మరియు ఇది ఇకపై వేడెక్కడం కాదు.)
2. అంకగణిత పురోగతిలో (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. ఒక 3ని కనుగొనండి.
ఏమిటి, మీరు చిత్రాన్ని గీయకూడదనుకుంటున్నారా?) అయితే! ఫార్ములా ప్రకారం బెటర్, అవును...
3. అంకగణిత పురోగతి పరిస్థితి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. ఈ పురోగతి యొక్క నూట ఇరవై ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి.
ఈ పనిలో, పురోగమనం పునరావృత పద్ధతిలో పేర్కొనబడింది. కానీ నూట ఇరవై ఐదవ టర్మ్‌కు లెక్కిస్తే... అందరూ అలాంటి ఘనత సాధించలేరు.) అయితే nth term ఫార్ములా ప్రతి ఒక్కరి శక్తిలో ఉంటుంది!
4. అంకగణిత పురోగతి (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
పురోగతి యొక్క చిన్న సానుకూల పదం సంఖ్యను కనుగొనండి.
5. టాస్క్ 4 యొక్క షరతుల ప్రకారం, పురోగతి యొక్క చిన్న సానుకూల మరియు అతిపెద్ద ప్రతికూల నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
6. పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఐదవ మరియు పన్నెండవ పదాల ఉత్పత్తి -2.5కి సమానం మరియు మూడవ మరియు పదకొండవ పదాల మొత్తం సున్నాకి సమానం. 14ని కనుగొనండి.
సులభమైన పని కాదు, అవును...) "వేలు చిట్కా" పద్ధతి ఇక్కడ పని చేయదు. మీరు సూత్రాలను వ్రాయాలి మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించాలి.
సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నాయి):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
జరిగిందా? బాగుంది!)
ప్రతిదీ పని చేయలేదా? జరుగుతుంది. మార్గం ద్వారా, చివరి పనిలో ఒక సూక్ష్మమైన పాయింట్ ఉంది. సమస్యను చదివేటప్పుడు జాగ్రత్త అవసరం. మరియు తర్కం.
ఈ సమస్యలన్నింటికీ పరిష్కారం సెక్షన్ 555లో వివరంగా చర్చించబడింది. మరియు నాల్గవది కోసం ఫాంటసీ యొక్క మూలకం, మరియు ఆరవది కోసం సూక్ష్మమైన పాయింట్ మరియు nవ పదం యొక్క సూత్రానికి సంబంధించిన ఏవైనా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ విధానాలు - ప్రతిదీ వివరించబడింది. నేను సిఫార్సు చేస్తాను.
మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...
మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)
మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)
మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.
ఉదాహరణకు, క్రమం \(2\); \(5\); \(8\); \(పదకొండు\); \(14\)... ఒక అంకగణిత పురోగతి, ఎందుకంటే ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి దాని నుండి మూడు తేడా ఉంటుంది (మూడు జోడించడం ద్వారా మునుపటి నుండి పొందవచ్చు):
ఈ పురోగతిలో, తేడా \(d\) సానుకూలంగా ఉంటుంది (\(3\)కి సమానం), అందువల్ల ప్రతి తదుపరి పదం మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఇటువంటి పురోగతులు అంటారు పెరుగుతున్నాయి.
అయితే, \(d\) కూడా ప్రతికూల సంఖ్య కావచ్చు. ఉదాహరణకి, అంకగణిత పురోగతిలో \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... పురోగతి వ్యత్యాసం \(d\) మైనస్ ఆరుకి సమానం.
మరియు ఈ సందర్భంలో, ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే చిన్నదిగా ఉంటుంది. ఈ పురోగతులు అంటారు తగ్గుతోంది.
అంకగణిత పురోగతి సంజ్ఞామానం
పురోగతి చిన్న లాటిన్ అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.
పురోగతిని ఏర్పరిచే సంఖ్యలను అంటారు సభ్యులు(లేదా అంశాలు).
అవి అదే అక్షరంతో అంకగణిత పురోగతిగా సూచించబడతాయి, కానీ క్రమంలో మూలకం సంఖ్యకు సమానమైన సంఖ్యా సూచికతో ఉంటాయి.
ఉదాహరణకు, అంకగణిత పురోగతి \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) మూలకాలు \(a_1=2\) ఉంటాయి; \(a_2=5\); \(a_3=8\) మరియు మొదలైనవి.
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పురోగతి కోసం \(a_n = \ఎడమ\(2; 5; 8; 11; 14...\కుడి\)\)
అంకగణిత పురోగతి సమస్యలను పరిష్కరించడం
సూత్రప్రాయంగా, దాదాపు ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి సమస్యను (OGEలో అందించిన వాటితో సహా) పరిష్కరించడానికి పైన అందించిన సమాచారం ఇప్పటికే సరిపోతుంది.
ఉదాహరణ (OGE).
అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది \(b_1=7; d=4\). \(b_5\)ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
సమాధానం: \(b_5=23\)
ఉదాహరణ (OGE).
అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలు ఇవ్వబడ్డాయి: \(62; 49; 36...\) ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ప్రతికూల పదం యొక్క విలువను కనుగొనండి..
పరిష్కారం:
|
మనకు సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి అంశాలు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు ఇది అంకగణిత పురోగతి అని తెలుసు. అంటే, ప్రతి మూలకం దాని పొరుగు నుండి ఒకే సంఖ్యలో భిన్నంగా ఉంటుంది. తదుపరి మూలకం నుండి మునుపటి దాన్ని తీసివేయడం ద్వారా ఏది కనుగొనండి: \(d=49-62=-13\). |
|
|
ఇప్పుడు మనం మన పురోగతిని మనకు అవసరమైన (మొదటి ప్రతికూల) మూలకానికి పునరుద్ధరించవచ్చు. |
|
|
సిద్ధంగా ఉంది. మీరు సమాధానం వ్రాయగలరు. |
సమాధానం: \(-3\)
ఉదాహరణ (OGE).
అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస మూలకాలు అందించబడ్డాయి: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) అక్షరం ద్వారా నిర్దేశించబడిన మూలకం విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
|
|
\(x\)ని కనుగొనడానికి, తదుపరి మూలకం మునుపటి దాని నుండి ఎంత భిన్నంగా ఉందో మనం తెలుసుకోవాలి, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పురోగతి వ్యత్యాసం. తెలిసిన రెండు పొరుగు మూలకాల నుండి దానిని కనుగొనండి: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
మరియు ఇప్పుడు మనం వెతుకుతున్న దాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
సిద్ధంగా ఉంది. మీరు సమాధానం వ్రాయగలరు. |
సమాధానం: \(7,5\).
ఉదాహరణ (OGE).
అంకగణిత పురోగతి క్రింది పరిస్థితుల ద్వారా నిర్వచించబడింది: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ఆరు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
|
మేము పురోగతి యొక్క మొదటి ఆరు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనాలి. కానీ వాటి అర్థాలు మనకు తెలియవు; మనకు మొదటి మూలకం మాత్రమే ఇవ్వబడింది. కాబట్టి, మేము మొదట మనకు అందించిన వాటిని ఉపయోగించి విలువలను ఒక్కొక్కటిగా లెక్కిస్తాము: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
అవసరమైన మొత్తం కనుగొనబడింది. |
సమాధానం: \(S_6=9\).
ఉదాహరణ (OGE).
అంకగణిత పురోగతిలో \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ఈ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
సమాధానం: \(d=7\).
అంకగణిత పురోగతికి ముఖ్యమైన సూత్రాలు
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అంకగణిత పురోగతిపై చాలా సమస్యలను ప్రధాన విషయం అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు - అంకగణిత పురోగతి సంఖ్యల గొలుసు, మరియు ఈ గొలుసులోని ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి సంఖ్యకు అదే సంఖ్యను జోడించడం ద్వారా పొందబడుతుంది (ది పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం).
అయితే, కొన్నిసార్లు "హెడ్-ఆన్" నిర్ణయించడం చాలా అసౌకర్యంగా ఉన్నప్పుడు పరిస్థితులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి ఉదాహరణలో మనం ఐదవ మూలకం \(b_5\) కాకుండా మూడు వందల ఎనభై ఆరవ \(b_(386)\)ని కనుగొనవలసి ఉంటుందని ఊహించండి. మేము నాలుగు \(385\) సార్లు జోడించాలా? లేదా చివరి ఉదాహరణలో మీరు మొదటి డెబ్బై-మూడు మూలకాల మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుందని ఊహించండి. మీరు లెక్కించి విసిగిపోతారు ...
అందువల్ల, అటువంటి సందర్భాలలో వారు "హెడ్-ఆన్" విషయాలను పరిష్కరించరు, కానీ అంకగణిత పురోగతి కోసం రూపొందించిన ప్రత్యేక సూత్రాలను ఉపయోగిస్తారు. మరియు ప్రధానమైనవి ప్రోగ్రెస్షన్ యొక్క nవ పదానికి సూత్రం మరియు \(n\) మొదటి పదాల మొత్తానికి సూత్రం.
\(n\)వ పదం యొక్క ఫార్ములా: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ఇక్కడ \(a_1\) అనేది పురోగతి యొక్క మొదటి పదం;
\(n\) – అవసరమైన మూలకం సంఖ్య;
\(a_n\) – సంఖ్య \(n\)తో పురోగతి యొక్క పదం.
ఈ ఫార్ములా మూడు వందల లేదా మిలియన్ల మూలకాన్ని కూడా త్వరగా కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది, మొదటి మరియు పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని మాత్రమే తెలుసుకుంటుంది.
ఉదాహరణ.
అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). కనుగొను \(b_(246)\).
పరిష్కారం:
సమాధానం: \(b_(246)=1850\).
మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములా: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ఇక్కడ
\(a_n\) – చివరిగా సంగ్రహించిన పదం;
ఉదాహరణ (OGE).
అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది \(a_n=3.4n-0.6\). ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి \(25\) నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
మొదటి ఇరవై ఐదు పదాల మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి, మొదటి మరియు ఇరవై ఐదవ పదాల విలువను మనం తెలుసుకోవాలి. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
ఇప్పుడు ఇరవై ఐదవ పదాన్ని \(n\)కి బదులుగా ఇరవై ఐదుని భర్తీ చేసి చూద్దాం. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
బాగా, ఇప్పుడు మనం అవసరమైన మొత్తాన్ని సులభంగా లెక్కించవచ్చు. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది. |
సమాధానం: \(S_(25)=1090\).
మొదటి నిబంధనల మొత్తం \(n\) కోసం, మీరు మరొక సూత్రాన్ని పొందవచ్చు: మీరు కేవలం \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)కి బదులుగా \(a_n=a_1+(n-1)d\) సూత్రాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మాకు దొరికింది:
మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములా: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ఇక్కడ
\(S_n\) – \(n\) మొదటి మూలకాల యొక్క అవసరమైన మొత్తం;
\(a_1\) – మొదటి సంగ్రహ పదం;
\(d\) - పురోగతి వ్యత్యాసం;
\(n\) – మొత్తం మూలకాల సంఖ్య.
ఉదాహరణ.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి \(33\)-మాజీ నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
పరిష్కారం:
సమాధానం: \(S_(33)=-231\).
మరింత సంక్లిష్టమైన అంకగణిత పురోగతి సమస్యలు
ఇప్పుడు మీరు దాదాపు ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన మొత్తం సమాచారాన్ని కలిగి ఉన్నారు. మీరు సూత్రాలను వర్తింపజేయడమే కాకుండా, కొంచెం ఆలోచించాల్సిన సమస్యలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా అంశాన్ని పూర్తి చేద్దాం (గణితంలో ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ☺)
ఉదాహరణ (OGE).
పురోగతి యొక్క అన్ని ప్రతికూల నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
పరిష్కారం:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
పని మునుపటి మాదిరిగానే ఉంటుంది. మేము అదే విషయాన్ని పరిష్కరించడం ప్రారంభిస్తాము: మొదట మేము \(d\)ని కనుగొంటాము. |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
ఇప్పుడు నేను మొత్తానికి ఫార్ములాలో \(d\)ని ప్రత్యామ్నాయం చేయాలనుకుంటున్నాను... మరియు ఇక్కడ ఒక చిన్న సూక్ష్మభేదం ఉద్భవించింది - మాకు \(n\) తెలియదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఎన్ని నిబంధనలను జోడించాలో మాకు తెలియదు. ఎలా కనుక్కోవాలి? ఆలోచిద్దాం. మేము మొదటి సానుకూల మూలకాన్ని చేరుకున్నప్పుడు మూలకాలను జోడించడం ఆపివేస్తాము. అంటే, మీరు ఈ మూలకం యొక్క సంఖ్యను కనుగొనాలి. ఎలా? అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా మూలకాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రాన్ని వ్రాస్దాం: మన కేసు కోసం \(a_n=a_1+(n-1)d\). |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
సున్నా కంటే ఎక్కువ కావడానికి మనకు \(a_n\) అవసరం. ఇది ఏమి జరుగుతుందో \(n\) వద్ద తెలుసుకుందాం. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపులా \(0.3\) ద్వారా విభజిస్తాము. |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
మేము సంకేతాలను మార్చడం మర్చిపోకుండా, మైనస్ ఒకటి బదిలీ చేస్తాము |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
లెక్క తీసుకుందాం... |
|
|
\(n>65,333...\) |
...మరియు మొదటి సానుకూల మూలకం \(66\) సంఖ్యను కలిగి ఉంటుందని తేలింది. దీని ప్రకారం, చివరి ప్రతికూలత \(n=65\) కలిగి ఉంటుంది. ఒకవేళ, దీనిని తనిఖీ చేద్దాం. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
కాబట్టి మనం మొదటి \(65\) మూలకాలను జోడించాలి. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది. |
సమాధానం: \(S_(65)=-630.5\).
ఉదాహరణ (OGE).
అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)వ నుండి \(42\) మూలకం కలుపుకొని మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
ఈ సమస్యలో మీరు మూలకాల మొత్తాన్ని కూడా కనుగొనవలసి ఉంటుంది, అయితే మొదటి నుండి కాకుండా \(26\)వ నుండి ప్రారంభించండి. అటువంటి సందర్భానికి మన దగ్గర ఫార్ములా లేదు. ఎలా నిర్ణయించుకోవాలి? |
|
|
మా పురోగతి కోసం \(a_1=-33\), మరియు తేడా \(d=4\) (అన్నింటికంటే, మేము తదుపరిదాన్ని కనుగొనడానికి మునుపటి మూలకంకి నలుగురిని జోడిస్తాము). దీన్ని తెలుసుకున్నప్పుడు, మేము మొదటి \(42\)-y మూలకాల మొత్తాన్ని కనుగొంటాము. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
ఇప్పుడు మొదటి \(25\) మూలకాల మొత్తం. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
చివరకు, మేము సమాధానాన్ని లెక్కిస్తాము. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
సమాధానం: \(S=1683\).
అంకగణిత పురోగతి కోసం, వాటి తక్కువ ఆచరణాత్మక ఉపయోగం కారణంగా మేము ఈ వ్యాసంలో పరిగణించని అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. అయితే, మీరు వాటిని సులభంగా కనుగొనవచ్చు.
శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)
అంకగణిత పురోగతి అనేది సంఖ్యల శ్రేణి, దీనిలో ప్రతి సంఖ్య మునుపటి కంటే అదే మొత్తంలో ఎక్కువ (లేదా తక్కువ) ఉంటుంది.
ఈ అంశం తరచుగా సంక్లిష్టంగా మరియు అపారమయినదిగా కనిపిస్తుంది. అక్షరాల సూచికలు, పురోగతి యొక్క n వ పదం, పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం - ఇవన్నీ ఏదో ఒకవిధంగా గందరగోళంగా ఉన్నాయి, అవును... అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్ధాన్ని గుర్తించండి మరియు ప్రతిదీ వెంటనే మెరుగుపడుతుంది.)
అంకగణిత పురోగతి భావన.
అంకగణిత పురోగతి అనేది చాలా సులభమైన మరియు స్పష్టమైన భావన. మీకు ఏమైనా సందేహాలు ఉన్నాయా? ఫలించలేదు.) మీరే చూడండి.
నేను అసంపూర్తిగా ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణిని వ్రాస్తాను:
1, 2, 3, 4, 5, ...
మీరు ఈ సిరీస్‌ని పొడిగించగలరా? ఐదు తర్వాత ఏ సంఖ్యలు వస్తాయి? అందరూ... ఊ..., క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే 6, 7, 8, 9 మొదలైన సంఖ్యలు తర్వాతి వస్తాయని అందరూ గ్రహిస్తారు.
పనిని క్లిష్టతరం చేద్దాం. నేను మీకు అసంపూర్తిగా ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణిని ఇస్తున్నాను:
2, 5, 8, 11, 14, ...
మీరు నమూనాను పట్టుకోగలరు, సిరీస్‌ని విస్తరించగలరు మరియు పేరు పెట్టగలరు ఏడవవరుస సంఖ్య?
ఈ సంఖ్య 20 అని మీరు గ్రహించినట్లయితే, అభినందనలు! మీకు అనిపించడమే కాదు అంకగణిత పురోగతి యొక్క ముఖ్య అంశాలు,కానీ వాటిని వ్యాపారంలో విజయవంతంగా ఉపయోగించారు! మీరు దాన్ని గుర్తించకపోతే, చదవండి.
ఇప్పుడు సంచలనాల నుండి గణితంలోకి కీలకమైన అంశాలను అనువదిద్దాం.)
మొదటి కీలక అంశం.
అంకగణిత పురోగతి సంఖ్యల శ్రేణితో వ్యవహరిస్తుంది.ఇది మొదట గందరగోళంగా ఉంది. మేము సమీకరణాలను పరిష్కరించడం, గ్రాఫ్‌లు గీయడం మరియు అన్నింటికి అలవాటు పడ్డాము... కానీ ఇక్కడ మేము సిరీస్‌ను పొడిగిస్తాము, సిరీస్ సంఖ్యను కనుగొనండి...
ఇట్స్ ఓకే. గణితం యొక్క కొత్త శాఖతో పురోగతి అనేది మొదటి పరిచయము. విభాగాన్ని "సిరీస్" అని పిలుస్తారు మరియు సంఖ్యలు మరియు వ్యక్తీకరణల శ్రేణితో ప్రత్యేకంగా పని చేస్తుంది. అలవాటు చేసుకోండి.)
రెండవ కీలక అంశం.
అంకగణిత పురోగతిలో, ఏ సంఖ్య అయినా మునుపటి దానికంటే భిన్నంగా ఉంటుంది అదే మొత్తంలో.
మొదటి ఉదాహరణలో, ఈ వ్యత్యాసం ఒకటి. మీరు ఏ సంఖ్య తీసుకున్నా, ఇది మునుపటి కంటే ఒకటి ఎక్కువ. రెండవది - మూడు. ఏదైనా సంఖ్య మునుపటి కంటే మూడు ఎక్కువ. వాస్తవానికి, ఈ క్షణం నమూనాను గ్రహించి, తదుపరి సంఖ్యలను లెక్కించడానికి మాకు అవకాశాన్ని ఇస్తుంది.
మూడవ కీలక అంశం.
ఈ క్షణం అద్భుతమైనది కాదు, అవును... కానీ ఇది చాలా చాలా ముఖ్యమైనది. ఇక్కడ అతను: ప్రతి పురోగతి సంఖ్య దాని స్థానంలో ఉంది.మొదటి సంఖ్య ఉంది, ఏడవది, నలభై అయిదవది మొదలైనవి. మీరు వాటిని యాదృచ్ఛికంగా కలపినట్లయితే, నమూనా అదృశ్యమవుతుంది. అంకగణిత పురోగతి కూడా అదృశ్యమవుతుంది. కేవలం సంఖ్యల శ్రేణి మాత్రమే మిగిలి ఉంది.
అది మొత్తం పాయింట్.
వాస్తవానికి, కొత్త అంశంలో కొత్త నిబంధనలు మరియు హోదాలు కనిపిస్తాయి. మీరు వాటిని తెలుసుకోవాలి. లేకపోతే, మీరు పనిని అర్థం చేసుకోలేరు. ఉదాహరణకు, మీరు ఇలాంటిదాన్ని నిర్ణయించుకోవాలి:
a 2 = 5, d = -2.5 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క మొదటి ఆరు పదాలను వ్రాయండి.
స్ఫూర్తిదాయకంగా ఉందా?) అక్షరాలు, కొన్ని సూచికలు... మరియు పని, మార్గం ద్వారా, సరళంగా ఉండకూడదు. మీరు నిబంధనలు మరియు హోదాల అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి. ఇప్పుడు మేము ఈ విషయంలో ప్రావీణ్యం పొందుతాము మరియు పనికి తిరిగి వస్తాము.
నిబంధనలు మరియు హోదాలు.
అంకగణిత పురోగతిసంఖ్యల శ్రేణి, దీనిలో ప్రతి సంఖ్య మునుపటి నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది అదే మొత్తంలో.
ఈ పరిమాణాన్ని అంటారు . ఈ భావనను మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం.
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంఏదైనా ప్రోగ్రెస్షన్ నంబర్‌కి సంబంధించిన మొత్తం మరింతమునుపటిది.
ఒక ముఖ్యమైన అంశం. దయచేసి పదానికి శ్రద్ధ వహించండి "మరింత".గణితశాస్త్రపరంగా, దీని అర్థం ప్రతి పురోగతి సంఖ్య కలిపితేమునుపటి సంఖ్యకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం.
లెక్కించేందుకు, చెప్పండి రెండవసిరీస్ సంఖ్యలు, మీరు అవసరం ప్రధమసంఖ్య జోడించుఅంకగణిత పురోగతికి ఇదే తేడా. గణన కోసం ఐదవది- వ్యత్యాసం అవసరం జోడించుకు నాల్గవ,బాగా, మొదలైనవి
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంబహుశా అనుకూల,అప్పుడు సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్య నిజమైనదిగా మారుతుంది మునుపటి కంటే ఎక్కువ.ఈ పురోగతి అంటారు పెరుగుతున్నాయి.ఉదాహరణకి:
8; 13; 18; 23; 28; .....
ఇక్కడ ప్రతి సంఖ్య పొందబడుతుంది కలిపితేసానుకూల సంఖ్య, మునుపటి దానికి +5.
తేడా ఉండవచ్చు ప్రతికూల,అప్పుడు సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్య ఉంటుంది మునుపటి కంటే తక్కువ.ఈ పురోగతిని అంటారు (మీరు నమ్మరు!) తగ్గుతోంది.
ఉదాహరణకి:
8; 3; -2; -7; -12; .....
ఇక్కడ ప్రతి సంఖ్య కూడా పొందబడుతుంది కలిపితేమునుపటిదానికి, కానీ ఇప్పటికే ప్రతికూల సంఖ్య, -5.
మార్గం ద్వారా, పురోగతితో పని చేస్తున్నప్పుడు, దాని స్వభావాన్ని తక్షణమే గుర్తించడం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది - ఇది పెరుగుతోందా లేదా తగ్గిపోతుంది. నిర్ణయాన్ని నావిగేట్ చేయడానికి, మీ తప్పులను గుర్తించడానికి మరియు చాలా ఆలస్యం కాకముందే వాటిని సరిదిద్దడానికి ఇది చాలా సహాయపడుతుంది.
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసంసాధారణంగా అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది డి.
ఎలా కనుగొనాలి డి? చాలా సింపుల్. సిరీస్‌లోని ఏదైనా సంఖ్య నుండి తీసివేయడం అవసరం మునుపటిసంఖ్య. తీసివేయి. మార్గం ద్వారా, తీసివేత ఫలితాన్ని "తేడా" అంటారు.)
ఉదాహరణకు, నిర్వచిద్దాం, డిఅంకగణిత పురోగతిని పెంచడానికి:
2, 5, 8, 11, 14, ...
మనకు కావలసిన సిరీస్‌లోని ఏదైనా సంఖ్యను తీసుకుంటాము, ఉదాహరణకు, 11. మేము దాని నుండి తీసివేస్తాము మునుపటి సంఖ్యఆ. 8:
ఇది సరైన సమాధానం. ఈ అంకగణిత పురోగతికి, తేడా మూడు.
మీరు తీసుకోవచ్చు ఏదైనా పురోగతి సంఖ్య,ఎందుకంటే నిర్దిష్ట పురోగతి కోసం d-ఎప్పుడూ అదే.కనీసం ఎక్కడా వరుస ప్రారంభంలో, కనీసం మధ్యలో, కనీసం ఎక్కడైనా. మీరు మొదటి సంఖ్యను మాత్రమే తీసుకోలేరు. ఎందుకంటే మొదటి సంఖ్య మునుపటిది లేదు.)
మార్గం ద్వారా, అది తెలుసుకోవడం d=3, ఈ పురోగతి యొక్క ఏడవ సంఖ్యను కనుగొనడం చాలా సులభం. ఐదవ సంఖ్యకు 3ని జోడిద్దాం - మనకు ఆరవ వస్తుంది, అది 17 అవుతుంది. ఆరవ సంఖ్యకు మూడు కలుపుదాం, మనకు ఏడవ సంఖ్య వస్తుంది - ఇరవై.
నిర్వచించుకుందాం డిఅవరోహణ అంకగణిత పురోగతి కోసం:
8; 3; -2; -7; -12; .....
సంకేతాలతో సంబంధం లేకుండా, నిర్ణయించాలని నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను డిఏదైనా సంఖ్య నుండి అవసరం మునుపటిదాన్ని తీసివేయండి.ఏదైనా పురోగతి సంఖ్యను ఎంచుకోండి, ఉదాహరణకు -7. అతని మునుపటి సంఖ్య -2. అప్పుడు:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు: పూర్ణాంకం, భిన్నం, అహేతుకం, ఏదైనా సంఖ్య.
ఇతర నిబంధనలు మరియు హోదాలు.
సిరీస్‌లోని ప్రతి సంఖ్యను పిలుస్తారు అంకగణిత పురోగతిలో సభ్యుడు.
పురోగతి యొక్క ప్రతి సభ్యుడు దాని స్వంత సంఖ్యను కలిగి ఉంది.సంఖ్యలు ఎటువంటి ఉపాయాలు లేకుండా ఖచ్చితంగా క్రమంలో ఉన్నాయి. మొదటి, రెండవ, మూడవ, నాల్గవ, మొదలైనవి. ఉదాహరణకు, పురోగతిలో 2, 5, 8, 11, 14, ... రెండు మొదటి పదం, ఐదు రెండవది, పదకొండు నాల్గవది, బాగా, మీరు అర్థం చేసుకున్నారు...) దయచేసి స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోండి - సంఖ్యలు స్వయంగాఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, పూర్తిగా, భిన్నమైనది, ప్రతికూలమైనది, ఏమైనా కావచ్చు సంఖ్యల సంఖ్య- ఖచ్చితంగా క్రమంలో!
సాధారణ రూపంలో పురోగతిని ఎలా వ్రాయాలి? ఏమి ఇబ్బంది లేదు! శ్రేణిలోని ప్రతి సంఖ్య అక్షరంగా వ్రాయబడుతుంది. అంకగణిత పురోగతిని సూచించడానికి, అక్షరం సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది a. సభ్యుని సంఖ్య దిగువ కుడి వైపున ఉన్న సూచిక ద్వారా సూచించబడుతుంది. మేము కామాలతో (లేదా సెమికోలన్లు) వేరు చేయబడిన పదాలను ఇలా వ్రాస్తాము:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- ఇది మొదటి సంఖ్య, a 3- మూడవ, మొదలైనవి. ఫాన్సీ ఏమీ లేదు. ఈ శ్రేణిని క్లుప్తంగా ఇలా వ్రాయవచ్చు: (ఒక ఎన్).
పురోగతులు జరుగుతాయి పరిమిత మరియు అనంతం.
అల్టిమేట్పురోగతి పరిమిత సంఖ్యలో సభ్యులను కలిగి ఉంది. ఐదు, ముప్పై ఎనిమిది, ఏమైనా. కానీ అది పరిమిత సంఖ్య.
అనంతంపురోగతి - మీరు ఊహించినట్లుగా, అనంతమైన సభ్యులను కలిగి ఉంది.)
మీరు ఇలాంటి సిరీస్ ద్వారా తుది పురోగతిని వ్రాయవచ్చు, అన్ని నిబంధనలు మరియు చివర చుక్క:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
లేదా ఇలా, చాలా మంది సభ్యులు ఉంటే:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
చిన్న ఎంట్రీలో మీరు సభ్యుల సంఖ్యను అదనంగా సూచించాలి. ఉదాహరణకు (ఇరవై మంది సభ్యులకు), ఇలా:
(a n), n = 20
ఈ పాఠంలోని ఉదాహరణలలో వలె, వరుస చివరిలో ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకారం ద్వారా అనంతమైన పురోగతిని గుర్తించవచ్చు.
ఇప్పుడు మీరు పనులను పరిష్కరించవచ్చు. పనులు సరళమైనవి, పూర్తిగా అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడం కోసం.
అంకగణిత పురోగతిపై టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు.
పైన ఇవ్వబడిన పనిని వివరంగా చూద్దాం:
1. a 2 = 5, d = -2.5 అయితే, అంకగణిత పురోగతి (a n) యొక్క మొదటి ఆరు పదాలను వ్రాయండి.
మేము పనిని అర్థమయ్యే భాషలోకి అనువదిస్తాము. అనంతమైన అంకగణిత పురోగతి ఇవ్వబడింది. ఈ పురోగతి యొక్క రెండవ సంఖ్య అంటారు: a 2 = 5.పురోగతి వ్యత్యాసం తెలుసు: d = -2.5.మేము ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి, మూడవ, నాల్గవ, ఐదవ మరియు ఆరవ పదాలను కనుగొనాలి.
స్పష్టత కోసం, సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా నేను ఒక శ్రేణిని వ్రాస్తాను. మొదటి ఆరు పదాలు, ఇక్కడ రెండవ పదం ఐదు:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = ఒక 2 + డి
వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం a 2 = 5మరియు d = -2.5. మైనస్ గురించి మర్చిపోవద్దు!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
మూడో టర్మ్ రెండోసారి కంటే తక్కువ అని తేలింది. అంతా తార్కికమే. సంఖ్య మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే ప్రతికూలవిలువ, అంటే సంఖ్య మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. పురోగతి తగ్గుతోంది. సరే, దానిని పరిగణలోకి తీసుకుందాం.) మేము మా సిరీస్ యొక్క నాల్గవ పదాన్ని లెక్కించాము:
ఒక 4 = a 3 + డి
ఒక 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
ఒక 5 = ఒక 4 + డి
ఒక 5=0+(-2,5)= - 2,5
ఒక 6 = ఒక 5 + డి
ఒక 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
కాబట్టి, మూడవ నుండి ఆరవ వరకు నిబంధనలు లెక్కించబడ్డాయి. ఫలితం క్రింది సిరీస్:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
ఇది మొదటి పదాన్ని కనుగొనడానికి మిగిలి ఉంది a 1బాగా తెలిసిన రెండవ ప్రకారం. ఇది ఇతర దిశలో, ఎడమ వైపున ఒక అడుగు.) కాబట్టి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం డికు చేర్చకూడదు ఒక 2, ఎ తీసుకెళ్లండి:
a 1 = ఒక 2 - డి
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
అంతే. అసైన్‌మెంట్ సమాధానం:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, మేము ఈ పనిని పరిష్కరించామని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను పునరావృతంమార్గం. ఈ భయంకరమైన పదం అంటే పురోగతి యొక్క సభ్యుని కోసం శోధన మాత్రమే మునుపటి (ప్రక్కనే) సంఖ్య ప్రకారం.మేము దిగువ పురోగతితో పని చేయడానికి ఇతర మార్గాలను పరిశీలిస్తాము.
ఈ సాధారణ పని నుండి ఒక ముఖ్యమైన ముగింపును తీసుకోవచ్చు.
గుర్తుంచుకో:
మనకు కనీసం ఒక పదం మరియు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం తెలిస్తే, ఈ పురోగతి యొక్క ఏదైనా పదాన్ని మనం కనుగొనవచ్చు.
నీకు గుర్తుందా? ఈ సాధారణ ముగింపు ఈ అంశంపై పాఠశాల కోర్సు యొక్క చాలా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అన్ని పనులు మూడు ప్రధాన పారామితుల చుట్టూ తిరుగుతాయి: అంకగణిత పురోగతి సభ్యుడు, పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం, పురోగతి యొక్క సభ్యుని సంఖ్య.అన్నీ.
వాస్తవానికి, అన్ని మునుపటి బీజగణితాలు రద్దు చేయబడవు.) అసమానతలు, సమీకరణాలు మరియు ఇతర విషయాలు పురోగతికి జోడించబడ్డాయి. కానీ పురోగతిని బట్టి- ప్రతిదీ మూడు పారామితుల చుట్టూ తిరుగుతుంది.
ఉదాహరణగా, ఈ అంశంపై కొన్ని జనాదరణ పొందిన పనులను చూద్దాం.
2. n=5, d = 0.4, మరియు a 1 = 3.6 అయితే పరిమిత అంకగణిత పురోగతిని శ్రేణిగా వ్రాయండి.
ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. ఇప్పటికే అన్నీ ఇచ్చారు. మీరు అంకగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యులను ఎలా లెక్కించాలో గుర్తుంచుకోవాలి, వాటిని లెక్కించాలి మరియు వాటిని వ్రాయాలి. విధి పరిస్థితులలో పదాలను కోల్పోకుండా ఉండటం మంచిది: “చివరి” మరియు “ n=5". కాబట్టి మీరు ముఖం పూర్తిగా నీలం రంగులోకి వచ్చే వరకు లెక్కించకూడదు.) ఈ పురోగతిలో కేవలం 5 (ఐదుగురు) సభ్యులు మాత్రమే ఉన్నారు:
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
ఒక 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
ఒక 5 = ఒక 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
సమాధానం వ్రాయడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
మరొక పని:
3. సంఖ్య 7 అంకగణిత పురోగతి (a n)లో సభ్యుడిగా ఉంటుందో లేదో నిర్ణయించండి a 1 = 4.1; d = 1.2.
మ్... ఎవరికి తెలుసు? ఏదో గుర్తించడం ఎలా?
ఎలా-ఎలా... ప్రోగ్రెస్షన్‌ని సిరీస్ రూపంలో రాసి అక్కడ ఏడు ఉంటుందో లేదో చూడాలి! మేము లెక్కిస్తాము:
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
ఒక 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
ఇప్పుడు మనం కేవలం ఏడుగురం మాత్రమేనని స్పష్టంగా కనిపిస్తోంది జారిపోయింది 6.5 మరియు 7.7 మధ్య! ఏడు మా సంఖ్యల శ్రేణిలోకి రాలేదు మరియు అందువల్ల, ఏడు ఇచ్చిన పురోగతిలో సభ్యులుగా ఉండరు.
సమాధానం: లేదు.
మరియు ఇక్కడ GIA యొక్క నిజమైన వెర్షన్ ఆధారంగా ఒక సమస్య ఉంది:
4. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:
...; 15; X; 9; 6; ...
ముగింపు మరియు ప్రారంభం లేకుండా వ్రాసిన సిరీస్ ఇక్కడ ఉంది. సభ్యుల సంఖ్య లేదు, తేడా లేదు డి. ఇట్స్ ఓకే. సమస్యను పరిష్కరించడానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్ధాన్ని అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది. చూద్దాం మరియు ఏది సాధ్యమో చూద్దాం తెలుసుకొనుటకుఈ సిరీస్ నుండి? మూడు ప్రధాన పారామితులు ఏమిటి?
సభ్యుల సంఖ్యలు? ఇక్కడ ఒక్క సంఖ్య కూడా లేదు.
కానీ మూడు సంఖ్యలు ఉన్నాయి మరియు - శ్రద్ధ! - పదం "స్థిరమైన"పరిస్థితిలో. సంఖ్యలు ఖాళీలు లేకుండా ఖచ్చితంగా క్రమంలో ఉన్నాయని దీని అర్థం. ఈ వరుసలో ఇద్దరు ఉన్నారా? పొరుగుతెలిసిన సంఖ్యలు? అవును నా దగ్గర వుంది! ఇవి 9 మరియు 6. కాబట్టి, మనం అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించవచ్చు! ఆరు నుండి తీసివేయండి మునుపటిసంఖ్య, అనగా. తొమ్మిది:
కేవలం చిన్నవిషయాలు మాత్రమే మిగిలి ఉన్నాయి. Xకి మునుపటి సంఖ్య ఏది? పదిహేను. దీనర్థం X ను సులభంగా చేర్చడం ద్వారా సులభంగా కనుగొనవచ్చు. అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని 15కి జోడించండి:
అంతే. సమాధానం: x=12
ఈ క్రింది సమస్యలను మనమే పరిష్కరిస్తాము. గమనిక: ఈ సమస్యలు ఫార్ములాలపై ఆధారపడి లేవు. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అర్థాన్ని పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడానికి.) మేము కేవలం సంఖ్యలు మరియు అక్షరాల శ్రేణిని వ్రాస్తాము, దానిని చూసి గుర్తించండి.
5. 5 = -3 అయితే అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి సానుకూల పదాన్ని కనుగొనండి; d = 1.1.
6. సంఖ్య 5.5 అనేది అంకగణిత పురోగతి (a n)లో ఒక సభ్యుని అని తెలుసు, ఇక్కడ a 1 = 1.6; d = 1.3. ఈ సభ్యుని సంఖ్య nని నిర్ణయించండి.
7. అంకగణిత పురోగతిలో a 2 = 4; a 5 = 15.1. 3ని కనుగొనండి.
8. అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:
...; 15.6; X; 3.4; ...
x అక్షరం ద్వారా సూచించబడిన పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనండి.
9. రైలు స్టేషన్ నుండి కదలడం ప్రారంభించింది, నిమిషానికి 30 మీటర్ల వేగంతో ఏకరీతిగా పెరుగుతుంది. ఐదు నిమిషాల్లో రైలు వేగం ఎంత? కిమీ/గంటలో మీ సమాధానం ఇవ్వండి.
10. అంకగణిత పురోగతిలో a 2 = 5; a 6 = -5. 1ని కనుగొనండి.
సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నాయి): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
అంతా పనిచేసింది? అద్భుతం! మీరు క్రింది పాఠాలలో అధిక స్థాయిలో అంకగణిత పురోగతిని నేర్చుకోవచ్చు.
అంతా ఫలించలేదా? ఏమి ఇబ్బంది లేదు. ప్రత్యేక విభాగం 555లో, ఈ సమస్యలన్నీ ఒక్కొక్కటిగా క్రమబద్ధీకరించబడతాయి.) మరియు, వాస్తవానికి, ఒక సాధారణ ఆచరణాత్మక సాంకేతికత వివరించబడింది, ఇది వెంటనే అటువంటి పనులకు పరిష్కారాన్ని స్పష్టంగా, స్పష్టంగా, ఒక చూపులో హైలైట్ చేస్తుంది!
మార్గం ద్వారా, రైలు పజిల్‌లో ప్రజలు తరచుగా పొరపాట్లు చేసే రెండు సమస్యలు ఉన్నాయి. ఒకటి పూర్తిగా పురోగతికి సంబంధించినది మరియు రెండవది గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో ఏవైనా సమస్యలకు సాధారణం. ఇది ఒకదాని నుండి మరొకదానికి కొలతల అనువాదం. ఈ సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో చూపిస్తుంది.
ఈ పాఠంలో మేము అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రాథమిక అర్థాన్ని మరియు దాని ప్రధాన పారామితులను పరిశీలించాము. ఈ అంశంపై దాదాపు అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఇది సరిపోతుంది. జోడించు డిసంఖ్యలకు, సిరీస్ రాయండి, ప్రతిదీ పరిష్కరించబడుతుంది.
ఫింగర్ సొల్యూషన్ ఈ పాఠంలోని ఉదాహరణలలో వలె, వరుసగా చాలా చిన్న ముక్కలకు బాగా పని చేస్తుంది. సిరీస్ పొడవుగా ఉంటే, లెక్కలు మరింత క్లిష్టంగా మారతాయి. ఉదాహరణకు, ప్రశ్నలో సమస్య 9లో ఉంటే మనం భర్తీ చేస్తాము "ఐదు నిమిషాలు"పై "ముప్పై ఐదు నిమిషాలు"సమస్య మరింత తీవ్రమవుతుంది.)
మరియు సారాంశంలో సరళమైన, కానీ లెక్కల పరంగా అసంబద్ధమైన పనులు కూడా ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు:
అంకగణిత పురోగతి (a n) ఇవ్వబడింది. 1 =3 మరియు d=1/6 అయితే 121ని కనుగొనండి.
కాబట్టి ఏమిటి, మనం 1/6 అనేక, చాలా సార్లు జోడించబోతున్నారా?! మిమ్మల్ని మీరు చంపుకోగలరా!?
మీరు చేయగలరు.) మీకు ఒక సాధారణ సూత్రం తెలియకపోతే, మీరు అలాంటి పనులను ఒక నిమిషంలో పరిష్కరించవచ్చు. ఈ ఫార్ములా తదుపరి పాఠంలో ఉంటుంది. మరియు ఈ సమస్య అక్కడ పరిష్కరించబడుతుంది. ఒక్క నిమిషంలో.)
మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...
మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)
మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)
మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.
లేదా అంకగణితం అనేది ఒక రకమైన ఆర్డర్ చేయబడిన సంఖ్యా క్రమం, దీని లక్షణాలు పాఠశాల బీజగణితంలో అధ్యయనం చేయబడతాయి. ఈ వ్యాసం అంకగణిత పురోగతి మొత్తాన్ని ఎలా కనుగొనాలి అనే ప్రశ్నను వివరంగా చర్చిస్తుంది.
ఇది ఎలాంటి పురోగతి?
ప్రశ్నకు వెళ్లే ముందు (అంకగణిత పురోగతి మొత్తాన్ని ఎలా కనుగొనాలి), మనం దేని గురించి మాట్లాడుతున్నామో అర్థం చేసుకోవడం విలువ.
ప్రతి మునుపటి సంఖ్య నుండి కొంత విలువను జోడించడం (తీసివేయడం) ద్వారా పొందిన వాస్తవ సంఖ్యల క్రమాన్ని బీజగణిత (అంకగణిత) పురోగతి అంటారు. ఈ నిర్వచనం, గణిత భాషలోకి అనువదించబడినప్పుడు, రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
ఇక్కడ i అనేది అడ్డు వరుస a i యొక్క మూలకం యొక్క క్రమ సంఖ్య. అందువలన, కేవలం ఒక ప్రారంభ సంఖ్య తెలుసుకోవడం, మీరు సులభంగా మొత్తం సిరీస్ పునరుద్ధరించవచ్చు. ఫార్ములాలోని పరామితి dని పురోగతి వ్యత్యాసం అంటారు.
పరిశీలనలో ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణికి క్రింది సమానత్వం ఉందని సులభంగా చూపవచ్చు:
a n = a 1 + d * (n - 1).
అంటే, nవ మూలకం యొక్క విలువను క్రమంలో కనుగొనడానికి, మీరు తేడా dని మొదటి మూలకం a 1 n-1 సార్లు జోడించాలి.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తం ఏమిటి: సూత్రం
సూచించిన మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఇవ్వడానికి ముందు, ఒక సాధారణ ప్రత్యేక కేసును పరిగణనలోకి తీసుకోవడం విలువ. 1 నుండి 10 వరకు సహజ సంఖ్యల పురోగతిని బట్టి, మీరు వాటి మొత్తాన్ని కనుగొనాలి. పురోగతి (10)లో కొన్ని పదాలు ఉన్నందున, సమస్యను శీఘ్రంగా పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది, అంటే అన్ని మూలకాలను క్రమంలో సమీకరించండి.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
ఇది ఒక ఆసక్తికరమైన విషయాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం విలువైనదే: ప్రతి పదం తదుపరి దాని నుండి అదే విలువ d = 1 ద్వారా భిన్నంగా ఉంటుంది కాబట్టి, మొదటిదానిని పదోతో, రెండవది తొమ్మిదవదానితో మరియు మొదలైన వాటితో జతవైపు సమ్మషన్ ఒకే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది. నిజంగా:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఈ మొత్తాలలో 5 మాత్రమే ఉన్నాయి, అంటే, సిరీస్ యొక్క మూలకాల సంఖ్య కంటే సరిగ్గా రెండు రెట్లు తక్కువ. అప్పుడు మొత్తాల సంఖ్యను (5) ప్రతి మొత్తం (11) ఫలితంతో గుణిస్తే, మీరు మొదటి ఉదాహరణలో పొందిన ఫలితానికి చేరుకుంటారు.
మేము ఈ వాదనలను సాధారణీకరించినట్లయితే, మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను వ్రాయవచ్చు:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
ఈ వ్యక్తీకరణ వరుసలోని అన్ని మూలకాలను సంకలనం చేయడం అస్సలు అవసరం లేదని చూపిస్తుంది; మొదటి a 1 మరియు చివరి a n విలువను అలాగే n పదాల మొత్తం సంఖ్యను తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది.
తన పాఠశాల ఉపాధ్యాయుడు ఇచ్చిన సమస్యకు పరిష్కారం కోసం వెతుకుతున్నప్పుడు గౌస్ ఈ సమానత్వం గురించి మొదట ఆలోచించాడని నమ్ముతారు: మొదటి 100 పూర్ణాంకాల మొత్తం.
m నుండి n వరకు మూలకాల మొత్తం: సూత్రం
మునుపటి పేరాలో ఇచ్చిన ఫార్ములా అంకగణిత పురోగతి (మొదటి మూలకాలు) మొత్తాన్ని ఎలా కనుగొనాలి అనే ప్రశ్నకు సమాధానమిస్తుంది, అయితే తరచుగా సమస్యలలో పురోగతి మధ్యలో సంఖ్యల శ్రేణిని సంకలనం చేయడం అవసరం. ఇది ఎలా చెయ్యాలి?
కింది ఉదాహరణను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి సులభమైన మార్గం: m-th నుండి n-th వరకు ఉన్న నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనడం అవసరం. సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు ఇచ్చిన విభాగాన్ని m నుండి n వరకు కొత్త సంఖ్యల శ్రేణి రూపంలో ప్రదర్శించాలి. ఈ ప్రాతినిధ్యంలో, mth పదం a m మొదటిది మరియు a n సంఖ్య n-(m-1)గా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మొత్తానికి ప్రామాణిక సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తే, కింది వ్యక్తీకరణ పొందబడుతుంది:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
సూత్రాలను ఉపయోగించే ఉదాహరణ
అంకగణిత పురోగతి మొత్తాన్ని ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకోవడం, పై సూత్రాలను ఉపయోగించడం యొక్క సాధారణ ఉదాహరణను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం విలువ.
దిగువన ఒక సంఖ్యా శ్రేణి ఉంది, మీరు దాని నిబంధనల మొత్తాన్ని 5వ తేదీ నుండి ప్రారంభించి 12వ తేదీతో ముగియాలి:
ఇచ్చిన సంఖ్యలు d వ్యత్యాసం 3కి సమానం అని సూచిస్తున్నాయి. nవ మూలకం కోసం వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించి, మీరు పురోగతి యొక్క 5వ మరియు 12వ నిబంధనల విలువలను కనుగొనవచ్చు. ఇది మారుతుంది:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
పరిశీలనలో ఉన్న బీజగణిత పురోగతి యొక్క చివర్లలోని సంఖ్యల విలువలను తెలుసుకోవడం, అలాగే అవి సిరీస్‌లోని ఏ సంఖ్యలను ఆక్రమించాయో తెలుసుకోవడం, మీరు మునుపటి పేరాలో పొందిన మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. ఇది మారుతుంది:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
ఈ విలువను భిన్నంగా పొందవచ్చని గమనించాలి: మొదట ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి 12 మూలకాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి, ఆపై అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి 4 మూలకాల మొత్తాన్ని లెక్కించండి, ఆపై మొదటి మొత్తం నుండి రెండవదాన్ని తీసివేయండి.
మేము నిర్ణయించడం ప్రారంభించే ముందు అంకగణిత పురోగతి సమస్యలు, సంఖ్యా శ్రేణి అంటే ఏమిటో పరిశీలిద్దాం, ఎందుకంటే అంకగణిత పురోగతి సంఖ్యా శ్రేణి యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.
సంఖ్యా శ్రేణి అనేది ఒక సంఖ్యా సమితి, ప్రతి మూలకం దాని స్వంత క్రమ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సెట్ యొక్క మూలకాలను సీక్వెన్స్ సభ్యులు అంటారు. సీక్వెన్స్ ఎలిమెంట్ యొక్క క్రమ సంఖ్య సూచిక ద్వారా సూచించబడుతుంది:
క్రమం యొక్క మొదటి మూలకం;
క్రమం యొక్క ఐదవ మూలకం;
- క్రమం యొక్క “nవ” మూలకం, అనగా. n సంఖ్య వద్ద "క్యూలో నిలబడి" మూలకం.
సీక్వెన్స్ ఎలిమెంట్ యొక్క విలువ మరియు దాని క్రమ సంఖ్య మధ్య సంబంధం ఉంది. కాబట్టి, మేము క్రమాన్ని ఒక ఫంక్షన్‌గా పరిగణించవచ్చు, దీని వాదన క్రమం యొక్క మూలకం యొక్క ఆర్డినల్ సంఖ్య. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనం చెప్పగలం క్రమం సహజ వాదన యొక్క విధి:
క్రమాన్ని మూడు విధాలుగా సెట్ చేయవచ్చు:
1 . పట్టికను ఉపయోగించి క్రమాన్ని పేర్కొనవచ్చు.ఈ సందర్భంలో, మేము సీక్వెన్స్ యొక్క ప్రతి సభ్యుని విలువను సెట్ చేస్తాము.
ఉదాహరణకు, ఎవరైనా వ్యక్తిగత సమయ నిర్వహణను చేపట్టాలని నిర్ణయించుకున్నారు మరియు ప్రారంభించడానికి, అతను వారంలో VKontakteలో ఎంత సమయం గడుపుతాడో లెక్కించండి. పట్టికలో సమయాన్ని రికార్డ్ చేయడం ద్వారా, అతను ఏడు అంశాలతో కూడిన క్రమాన్ని అందుకుంటాడు:
పట్టిక యొక్క మొదటి పంక్తి వారంలోని రోజు సంఖ్యను సూచిస్తుంది, రెండవది - నిమిషాల్లో సమయం. మేము చూస్తాము, అంటే సోమవారం ఎవరైనా VKontakte లో 125 నిమిషాలు, అంటే గురువారం - 248 నిమిషాలు మరియు, అంటే శుక్రవారం 15 మాత్రమే గడిపారు.
2 . nవ పదం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి క్రమాన్ని పేర్కొనవచ్చు.
ఈ సందర్భంలో, దాని సంఖ్యపై సీక్వెన్స్ ఎలిమెంట్ యొక్క విలువ యొక్క ఆధారపడటం నేరుగా ఫార్ములా రూపంలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది.
ఉదాహరణకు, అయితే, అప్పుడు
ఇచ్చిన సంఖ్యతో సీక్వెన్స్ ఎలిమెంట్ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మేము మూలకం సంఖ్యను nవ పదం యొక్క సూత్రంలోకి మారుస్తాము.
ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువ తెలిస్తే, ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనవలసి వస్తే మనం అదే పని చేస్తాము. మేము ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువను ఫంక్షన్ సమీకరణంలోకి మారుస్తాము:
ఒకవేళ, ఉదాహరణకు, 
, ఆ
ఒక క్రమంలో, ఏకపక్ష సంఖ్యా విధి వలె కాకుండా, ఆర్గ్యుమెంట్ అనేది సహజ సంఖ్య మాత్రమే అని నేను మరోసారి గమనించాలి.
3 . మునుపటి సభ్యుల విలువపై సీక్వెన్స్ సభ్య సంఖ్య n యొక్క విలువ యొక్క ఆధారపడటాన్ని వ్యక్తీకరించే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి క్రమాన్ని పేర్కొనవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, దాని విలువను కనుగొనడానికి సీక్వెన్స్ సభ్యుని సంఖ్యను మాత్రమే తెలుసుకోవడం సరిపోదు. మేము క్రమంలో మొదటి సభ్యుడు లేదా మొదటి కొన్ని సభ్యులను పేర్కొనాలి.
ఉదాహరణకు, క్రమాన్ని పరిగణించండి 
, 
మేము సీక్వెన్స్ సభ్యుల విలువలను కనుగొనవచ్చు క్రమంలో, మూడవది నుండి ప్రారంభమవుతుంది:
అంటే, ప్రతిసారీ, క్రమం యొక్క nవ పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మేము మునుపటి రెండింటికి తిరిగి వస్తాము. క్రమాన్ని పేర్కొనే ఈ పద్ధతిని అంటారు పునరావృతం, లాటిన్ పదం నుండి పునరావృతం- తిరిగి రా.
ఇప్పుడు మనం అంకగణిత పురోగతిని నిర్వచించవచ్చు. అంకగణిత పురోగతి అనేది సంఖ్యా క్రమం యొక్క సాధారణ ప్రత్యేక సందర్భం.
అంకగణిత పురోగతి ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, దానిలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవది నుండి ప్రారంభించి, అదే సంఖ్యకు జోడించిన మునుపటి దానికి సమానం.
నంబర్ అంటారు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం. అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది.
శీర్షిక="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} పెరుగుతున్నాయి.
ఉదాహరణకు, 2; 5; 8; పదకొండు;...
ఒకవేళ , అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం మునుపటి దాని కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు పురోగతి తగ్గుతోంది.
ఉదాహరణకు, 2; -1; -4; -7;...
అయితే, పురోగతి యొక్క అన్ని నిబంధనలు ఒకే సంఖ్యకు సమానం మరియు పురోగతి స్థిరమైన.
ఉదాహరణకు, 2;2;2;2;...
అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రధాన లక్షణం:
చిత్రాన్ని చూద్దాం.
మనం చూస్తాం
, మరియు అదే సమయంలో
ఈ రెండు సమానతలను జోడిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
.
సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా 2 ద్వారా విభజించండి:
కాబట్టి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, రెండు పొరుగువారి అంకగణిత సగటుకు సమానం:
అంతేకాక, నుండి
, మరియు అదే సమయంలో
, ఆ
, ఇందుమూలంగా
శీర్షిక="k>l)తో ప్రారంభమయ్యే అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
వ పదం యొక్క ఫార్ములా.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు క్రింది సంబంధాలను సంతృప్తిపరుస్తాయని మేము చూస్తాము:
మరియు చివరకు
మాకు వచ్చింది nవ పదం యొక్క సూత్రం.
ముఖ్యమైనది!అంకగణిత పురోగతికి సంబంధించిన ఏదైనా సభ్యుని ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు మరియు. మొదటి పదం మరియు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని తెలుసుకోవడం, మీరు దాని నిబంధనలలో దేనినైనా కనుగొనవచ్చు.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క n పదాల మొత్తం.
ఏకపక్ష అంకగణిత పురోగతిలో, విపరీతమైన వాటి నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పదాల మొత్తాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి:
n నిబంధనలతో అంకగణిత పురోగతిని పరిగణించండి. ఈ పురోగతి యొక్క n నిబంధనల మొత్తం సమానంగా ఉండనివ్వండి.
పురోగతి యొక్క నిబంధనలను ముందుగా సంఖ్యల ఆరోహణ క్రమంలో, ఆపై అవరోహణ క్రమంలో ఏర్పాటు చేద్దాం:
జంటగా చేర్చుదాం:
ప్రతి బ్రాకెట్‌లోని మొత్తం , జతల సంఖ్య n.
మాకు దొరికింది:
కాబట్టి, సూత్రాలను ఉపయోగించి అంకగణిత పురోగతి యొక్క n నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనవచ్చు:
పరిగణలోకి తీసుకుందాం అంకగణిత పురోగతి సమస్యలను పరిష్కరించడం.
1 . ఈ క్రమం nవ పదం యొక్క సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది: . ఈ క్రమం ఒక అంకగణిత పురోగతి అని నిరూపించండి.
క్రమం యొక్క రెండు ప్రక్కనే ఉన్న పదాల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకే సంఖ్యకు సమానమని నిరూపిద్దాం.
సీక్వెన్స్‌లోని ఇద్దరు ప్రక్కనే ఉన్న సభ్యుల మధ్య వ్యత్యాసం వారి సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉండదని మరియు స్థిరంగా ఉంటుందని మేము కనుగొన్నాము. కాబట్టి, నిర్వచనం ప్రకారం, ఈ క్రమం ఒక అంకగణిత పురోగతి.
2 . అంకగణిత పురోగతి -31; -27;...
ఎ) పురోగతి యొక్క 31 నిబంధనలను కనుగొనండి.
బి) ఈ పురోగతిలో 41 సంఖ్య చేర్చబడిందో లేదో నిర్ణయించండి.
ఎ)మేము దానిని చూస్తాము;
మన పురోగతి కోసం nth term కోసం సూత్రాన్ని వ్రాసుకుందాం.
సాధారణంగా 
మా విషయంలో 
, అందుకే 