ఈ అంశంలో మేము పైన జాబితా చేయబడిన అహేతుకతతో పరిమితుల యొక్క మూడు సమూహాలను పరిశీలిస్తాము. $\frac(0)(0)$ ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితిని కలిగి ఉన్న పరిమితులతో ప్రారంభిద్దాం.

అనిశ్చితి బహిర్గతం $\frac(0)(0)$.

పరిష్కార రేఖాచిత్రం ప్రామాణిక ఉదాహరణలుఈ రకం సాధారణంగా రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది:

• అని పిలవబడే "సంయోగం" వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణించడం ద్వారా అనిశ్చితికి కారణమైన అహేతుకతను మేము తొలగిస్తాము;
• అవసరమైతే, లవం లేదా హారం (లేదా రెండూ)లో వ్యక్తీకరణను కారకం చేయండి;
• మేము అనిశ్చితికి దారితీసే కారకాలను తగ్గిస్తాము మరియు పరిమితి యొక్క కావలసిన విలువను గణిస్తాము.

పైన ఉపయోగించిన "సంయోగ వ్యక్తీకరణ" అనే పదం ఉదాహరణలలో వివరంగా వివరించబడుతుంది. ప్రస్తుతానికి దానిపై వివరంగా నివసించడానికి ఎటువంటి కారణం లేదు. సాధారణంగా, మీరు సంయోగ వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించకుండా ఇతర మార్గంలో వెళ్ళవచ్చు. కొన్నిసార్లు బాగా ఎంచుకున్న భర్తీ అహేతుకతను తొలగించగలదు. ప్రమాణంలో ఇటువంటి ఉదాహరణలు చాలా అరుదు పరీక్షలు, కాబట్టి, పునఃస్థాపన ఉపయోగం కోసం, మేము ఒక ఉదాహరణ సంఖ్య 6 ను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము (ఈ అంశం యొక్క రెండవ భాగాన్ని చూడండి).

మాకు అనేక సూత్రాలు అవసరం, నేను క్రింద వ్రాస్తాను:

\begin(సమీకరణం) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(సమీకరణం) \begin(సమీకరణం) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(సమీకరణం) \ ప్రారంభం(సమీకరణం) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(సమీకరణం) \ప్రారంభం (సమీకరణం) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(సమీకరణం)

అదనంగా, చతుర్భుజ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పాఠకులకు సూత్రాలు తెలుసునని మేము అనుకుంటాము. $x_1$ మరియు $x_2$ మూలాలు అయితే చతుర్భుజ త్రికోణము$ax^2+bx+c$, ఆ తర్వాత దీనిని కారకం చేయవచ్చు క్రింది సూత్రం:

\begin(సమీకరణం) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(సమీకరణం)

పరిష్కరించడానికి సూత్రాలు (1)-(5) సరిపోతాయి ప్రామాణిక పనులు, దానికి మనం ఇప్పుడు తిరుగుతాము.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1

$\lim_(x\ to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ని కనుగొనండి.

నుండి $\lim_(x\ to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ మరియు $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, ఆపై ఇచ్చిన పరిమితిలో మేము $\frac(0)(0)$ ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితిని కలిగి ఉన్నాము. $\sqrt(7-x)-2$ వ్యత్యాసం ఈ అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయకుండా నిరోధిస్తుంది. అటువంటి అహేతుకతలను వదిలించుకోవడానికి, "సంయోగ వ్యక్తీకరణ" అని పిలవబడే గుణకారం ఉపయోగించబడుతుంది. అటువంటి గుణకారం ఎలా పనిచేస్తుందో ఇప్పుడు చూద్దాం. $\sqrt(7-x)-2$ని $\sqrt(7-x)+2$తో గుణించండి:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి, పేర్కొన్న ఫార్ములా యొక్క కుడి వైపున $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ని ప్రత్యామ్నాయంగా వర్తింపజేయండి:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మీరు న్యూమరేటర్‌ను $\sqrt(7-x)+2$తో గుణిస్తే, లవంలోని మూలం (అంటే, అహేతుకత) అదృశ్యమవుతుంది. ఈ వ్యక్తీకరణ $\sqrt(7-x)+2$ అవుతుంది సంయోగంవ్యక్తీకరణకు $\sqrt(7-x)-2$. అయినప్పటికీ, మేము కేవలం $\sqrt(7-x)+2$తో న్యూమరేటర్‌ని గుణించలేము, ఎందుకంటే ఇది $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ భిన్నాన్ని మారుస్తుంది. పరిమితి కింద. మీరు ఒకే సమయంలో న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ గుణించాలి:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

ఇప్పుడు $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ అని గుర్తుంచుకోండి మరియు బ్రాకెట్‌లను తెరవండి. మరియు కుండలీకరణాలను తెరిచిన తర్వాత మరియు చిన్న రూపాంతరం $3-x=-(x-3)$, మేము భిన్నాన్ని $x-3$ తగ్గిస్తాము:

$$ \lim_(x\ to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\ to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

$\frac(0)(0)$ అనిశ్చితి అదృశ్యమైంది. ఇప్పుడు మీరు సులభంగా సమాధానాన్ని పొందవచ్చు ఈ ఉదాహరణ:

$$ \lim_(x\ to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

సంయోగ వ్యక్తీకరణ దాని నిర్మాణాన్ని మార్చగలదని నేను గమనించాను, అది ఏ విధమైన అహేతుకతను తీసివేయాలి. ఉదాహరణలలో సంఖ్య. 4 మరియు సంఖ్య. 5 (ఈ అంశం యొక్క రెండవ భాగాన్ని చూడండి) వేరొక రకమైన సంయోగ వ్యక్తీకరణ ఉపయోగించబడుతుంది.

సమాధానం: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

ఉదాహరణ సంఖ్య 2

$\lim_(x\ to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ని కనుగొనండి.

నుండి $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ మరియు $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, అప్పుడు మనం $\frac(0)(0)$ ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితితో వ్యవహరిస్తున్నారు. ఈ భిన్నం యొక్క హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ జోడిస్తాము వ్యక్తీకరణ $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ హారంతో సంయోగం:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\ఎడమ|\frac(0 )(0)\కుడి|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

మళ్ళీ, ఉదాహరణ సంఖ్య 1 వలె, మీరు విస్తరించడానికి కుండలీకరణాలను ఉపయోగించాలి. పేర్కొన్న ఫార్ములా యొక్క కుడి వైపున $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము హారం కోసం క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:

$$ \ఎడమ(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\కుడి)\ఎడమ(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ కుడి)=\\ =\ఎడమ(\sqrt(x^2+5)\కుడి)^2-\ఎడమ(\sqrt(7x^2-19)\కుడి)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

మన పరిమితికి తిరిగి వెళ్దాం:

$$ \lim_(x\ to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

ఉదాహరణ సంఖ్య. 1లో, సంయోగ వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణకారం చేసిన వెంటనే, భిన్నం తగ్గించబడింది. ఇక్కడ, తగ్గింపుకు ముందు, మీరు $3x^2-5x-2$ మరియు $x^2-4$ అనే వ్యక్తీకరణలను కారకం చేయాలి, ఆపై మాత్రమే తగ్గింపుకు వెళ్లండి. $3x^2-5x-2$ అనే వ్యక్తీకరణను కారకం చేయడానికి మీరు ఉపయోగించాలి. ముందుగా నిర్ణయించుకుందాం వర్గ సమీకరణం$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(సమలేఖనం చేయబడింది) $$

$x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము వీటిని కలిగి ఉంటాము:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\కుడి)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

ఇప్పుడు $x^2-4$ వ్యక్తీకరణను కారకం చేయడానికి సమయం ఆసన్నమైంది. దానిలో $a=x$, $b=2$ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

పొందిన ఫలితాలను ఉపయోగించుకుందాం. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ మరియు $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, అప్పుడు:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

బ్రాకెట్ ద్వారా తగ్గించడం $x-2$ మనకు లభిస్తుంది:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

అన్నీ! అనిశ్చితి తొలగిపోయింది. మరో అడుగు మరియు మేము సమాధానానికి వచ్చాము:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

సమాధానం: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

కింది ఉదాహరణలో, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ అహేతుకతలు ఉండే సందర్భాన్ని పరిగణించండి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 3

$\lim_(x\ to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9ని కనుగొనండి ))$.

నుండి $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ మరియు $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, అప్పుడు మనకు $ ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితి ఉంటుంది \frac (0)(0)$. లో నుండి ఈ విషయంలోమూలాలు హారం మరియు న్యూమరేటర్ రెండింటిలోనూ ఉన్నందున, అనిశ్చితిని వదిలించుకోవడానికి మీరు ఒకేసారి రెండు బ్రాకెట్లతో గుణించాలి. ముందుగా, $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ అనే వ్యక్తీకరణకు న్యూమరేటర్‌తో సంయోగం చేయండి. మరియు రెండవది, వ్యక్తీకరణకు $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ హారంతో సంయోగం.

$$ \lim_(x\ to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\ఎడమ|\frac(0)(0)\కుడి|=\\ =\lim_(x\ to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))(\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(సమలేఖనం చేయబడింది) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

వ్యక్తీకరణ $x^2-8x+15$ కోసం మనకు లభిస్తుంది:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(సమలేఖనం చేయబడింది)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

ఫలితంగా వచ్చే విస్తరణలు $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ మరియు $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ని పరిమితిలోకి భర్తీ చేయడం పరిశీలనలో, కలిగి ఉంటుంది:

$$ \lim_(x\ to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\ to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

సమాధానం: $\lim_(x\ to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

తరువాతి (రెండవ) భాగంలో, సంయోగ వ్యక్తీకరణకు భిన్నమైన రూపాన్ని కలిగి ఉన్న రెండు ఉదాహరణలను మేము పరిశీలిస్తాము. మునుపటి పనులు. గుర్తుంచుకోవలసిన ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, సంయోగ వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించడం యొక్క ఉద్దేశ్యం అనిశ్చితికి కారణమయ్యే అహేతుకతను వదిలించుకోవడమే.

టోకరేవ్ కిరిల్

పని మీరు సేకరించేందుకు తెలుసుకోవడానికి సహాయపడుతుంది వర్గమూలంకాలిక్యులేటర్ మరియు చతురస్రాల పట్టికను ఉపయోగించకుండా ఏ సంఖ్య నుండి అయినా మరియు భిన్నం యొక్క హారం అహేతుకం నుండి విముక్తి పొందండి.

భిన్నం యొక్క హారం యొక్క అహేతుకత నుండి మిమ్మల్ని మీరు విడిపించుకోవడం

అహేతుకతను తొలగించే వ్యక్తీకరణ ద్వారా భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం పద్ధతి యొక్క సారాంశం (చదరపు మరియు క్యూబ్ మూలాలు) హారం నుండి మరియు దానిని సులభతరం చేస్తుంది. దీని తరువాత, భిన్నాలను తగ్గించడం సులభం సాధారణ హారంమరియు చివరకు అసలు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

ఇచ్చిన అంకెకు ఉజ్జాయింపుతో వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడం.

మనం సహజ సంఖ్య 17358122 యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించవలసి ఉందని అనుకుందాం, మరియు మూలాన్ని సంగ్రహించవచ్చని తెలిసింది. ఫలితాన్ని కనుగొనడానికి, కొన్నిసార్లు పనిలో వివరించిన నియమాన్ని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

డౌన్‌లోడ్:

ప్రివ్యూ:

ప్రివ్యూను ఉపయోగించడానికి, ఖాతాను సృష్టించండి ( ఖాతా) Google మరియు లాగిన్ చేయండి: https://accounts.google.com

ప్రివ్యూ:

ప్రెజెంటేషన్ ప్రివ్యూలను ఉపయోగించడానికి, Google ఖాతాను సృష్టించండి మరియు దానికి లాగిన్ చేయండి: https://accounts.google.com

స్లయిడ్ శీర్షికలు:

రాడికల్. భిన్నం యొక్క హారం యొక్క అహేతుకత నుండి మిమ్మల్ని మీరు విడిపించుకోవడం. నిర్దిష్ట స్థాయి ఖచ్చితత్వంతో వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించండి. మునిసిపల్ ఎడ్యుకేషనల్ ఇన్స్టిట్యూషన్ సెకండరీ స్కూల్ నం. 7, సాల్స్క్ కిరిల్ టోకరేవ్ యొక్క 9B తరగతి విద్యార్థి

ప్రాథమిక ప్రశ్న: కాలిక్యులేటర్ మరియు స్క్వేర్‌ల పట్టిక లేకుండా, నిర్దిష్ట స్థాయి ఖచ్చితత్వంతో ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడం సాధ్యమేనా?

లక్ష్యాలు మరియు లక్ష్యాలు: అధ్యయనం చేయని రాడికల్‌లతో వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించే సందర్భాలను పరిగణించండి పాఠశాల కోర్సుగణితం, కానీ ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షకు అవసరం.

రూట్ యొక్క చరిత్ర మూల సంకేతం చిన్న అక్షరం నుండి వచ్చింది లాటిన్ అక్షరం r (ప్రారంభంలో లాటిన్ పదంరాడిక్స్ - రూట్), సూపర్‌స్క్రిప్ట్‌తో కలిసిపోయింది. పాత రోజుల్లో, ప్రస్తుత బ్రాకెటింగ్‌కు బదులుగా వ్యక్తీకరణను అండర్‌లైన్ చేయడం ఉపయోగించబడింది, కాబట్టి సవరించబడింది పురాతన మార్గంవంటి ఏదో రికార్డులు. ఈ హోదా మొదట ఉపయోగించబడింది జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు 1525లో థామస్ రుడాల్ఫ్.

భిన్నం యొక్క హారం యొక్క అహేతుకత నుండి విముక్తి అనేది ఒక వ్యక్తీకరణ ద్వారా భిన్నాన్ని గుణించడం మరియు విభజించడం, ఇది హారం నుండి అహేతుకతను (చదరపు మరియు క్యూబ్ మూలాలు) తొలగించి దానిని సులభతరం చేస్తుంది. దీని తరువాత, భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం మరియు చివరకు అసలు వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయడం సులభం. భిన్నం యొక్క హారంలో అహేతుకత నుండి విడుదల కోసం అల్గోరిథం: 1. భిన్నం యొక్క హారంను కారకాలుగా విభజించండి. 2. హారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటే లేదా కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు లవం మరియు హారం గుణించాలి. హారం రూపంలో ఉంటే లేదా ఈ రకమైన కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం వరుసగా లేదా దానితో గుణించాలి. సంఖ్యలను సంయోగాలు అంటారు. 3. భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను మార్చండి, వీలైతే, ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించండి.

ఎ) బి) సి) డి) = - భిన్నం యొక్క హారంలో అహేతుకత నుండి విముక్తి.

ఒక నిర్దిష్ట అంకెకు అంచనాతో ఒక చతురస్ర మూలాన్ని సంగ్రహించడం. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 8226 6 8226 పద్ధతి సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఇచ్చిన సంఖ్యరెండు పదాల మొత్తంలో కుళ్ళిపోతుంది: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, వీటిలో మొదటిది ఖచ్చితమైన చతురస్రం. అప్పుడు మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము. బీజగణిత మార్గం:

ఒక నిర్దిష్ట అంకెకు అంచనాతో ఒక చతురస్ర మూలాన్ని సంగ్రహించడం. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6, 6 0 3

సూచనలు 1. విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రవేశించే వారి కోసం గణితంలో సమస్యల సేకరణ, M.I. స్కనవిచే సవరించబడింది. V. K. ఎగెరెవ్, B. A. కోర్డెంస్కీ, V. V. జైట్సేవ్, “ONICS 21వ శతాబ్దం”, 2003 2. బీజగణితం మరియు ప్రాథమిక విధులు. R. A. కల్నిన్, “సైన్స్”, 1973 3. గణితం. రిఫరెన్స్ మెటీరియల్స్. V. A. గుసేవ్, A. G. మోర్డ్కోవిచ్, పబ్లిషింగ్ హౌస్ "ప్రోస్వేష్చెనియే", 1990. 4. గణితం మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుల గురించి పాఠశాల పిల్లలు. M.M. లిమాన్ సంకలనం, జ్ఞానోదయం, 1981.

అహేతుక వ్యక్తీకరణ యొక్క పరివర్తనలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, భిన్నం యొక్క హారంలో అహేతుకతను ఎలా వదిలించుకోవాలి అనేది చాలా ముఖ్యమైన ప్రశ్న. ఈ చర్యను వివరించడమే ఈ వ్యాసం యొక్క ఉద్దేశ్యం నిర్దిష్ట ఉదాహరణలుపనులు. మొదటి పేరాలో మేము ఈ పరివర్తన యొక్క ప్రాథమిక నియమాలను పరిశీలిస్తాము మరియు రెండవది - సాధారణ ఉదాహరణలువివరణాత్మక వివరణలతో.

Yandex.RTB R-A-339285-1

హారంలో అహేతుకత నుండి విముక్తి భావన

అటువంటి పరివర్తన యొక్క అర్థం ఏమిటో వివరించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, కింది నిబంధనలను గుర్తుంచుకోండి.

మూలం యొక్క సంకేతం అని కూడా పిలువబడే ఒక రాడికల్ ఉంటే, భిన్నం యొక్క హారంలో అహేతుకత గురించి మాట్లాడవచ్చు. ఈ గుర్తును ఉపయోగించి వ్రాసిన సంఖ్యలు తరచుగా అహేతుకంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణలు 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. అహేతుక హారం ఉన్న భిన్నాలు అక్కడ మూల సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి వివిధ స్థాయిలలో(స్క్వేర్, క్యూబిక్, మొదలైనవి), ఉదాహరణకు, 3 4 3, 1 x + x y 4 + y. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి మరియు తదుపరి గణనలను సులభతరం చేయడానికి మీరు అహేతుకతను వదిలించుకోవాలి. ప్రాథమిక నిర్వచనాన్ని రూపొందిద్దాం:

నిర్వచనం 1

భిన్నం యొక్క హారంలో అహేతుకత నుండి మిమ్మల్ని మీరు విడిపించుకోండి- అంటే దానిని మార్చడం, దానిని ఒకేలా మార్చడం సమాన భిన్నం, దీని హారం మూలాలు లేదా శక్తులను కలిగి ఉండదు.

అటువంటి చర్యను విముక్తి లేదా అహేతుకతను వదిలించుకోవడం అని పిలుస్తారు, కానీ అర్థం అలాగే ఉంటుంది. కాబట్టి, 1 2 నుండి 2 2కి మార్పు, అనగా. హారంలో మూల గుర్తు లేకుండా సమాన విలువ కలిగిన భిన్నానికి మరియు మనకు అవసరమైన చర్య అవుతుంది. మరొక ఉదాహరణను ఇద్దాం: మనకు x x - y భిన్నం ఉంది. చేద్దాం అవసరమైన పరివర్తనలుమరియు మేము హారంలోని అహేతుకత నుండి విముక్తి పొందిన ఒకేలా సమానమైన భిన్నం x · x + y x - y ను పొందుతాము.

నిర్వచనాన్ని రూపొందించిన తర్వాత, అటువంటి పరివర్తన కోసం చేయవలసిన చర్యల క్రమాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి మేము నేరుగా కొనసాగవచ్చు.

భిన్నం యొక్క హారంలో అహేతుకతను వదిలించుకోవడానికి ప్రాథమిక దశలు

మూలాలను వదిలించుకోవడానికి మీరు రెండు చేయాలి వరుస మార్పిడిభిన్నాలు: భిన్నం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యతో గుణించి, ఆపై ఫలిత హారం మార్చండి. ప్రధాన కేసులను పరిశీలిద్దాం.

చాలా వరకు సాధారణ కేసుమీరు హారంను మార్చడం ద్వారా పొందవచ్చు. ఉదాహరణకు, మేము హారంతో భిన్నాన్ని తీసుకోవచ్చు, మూలానికి సమానం 9 లో 9ని లెక్కించిన తరువాత, మేము హారంలో 3ని వ్రాస్తాము మరియు తద్వారా అహేతుకతను వదిలించుకుంటాము.

ఏది ఏమైనప్పటికీ, చాలా తరచుగా, ముందుగా న్యూమరేటర్ మరియు హారంను ఒక సంఖ్యతో గుణించడం అవసరం, అది హారంను కావలసిన రూపానికి (మూలాలు లేకుండా) తీసుకురావడానికి అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి, మనం 1 x + 1ని x + 1తో గుణిస్తే, మనకు భిన్నం x + 1 x + 1 x + 1 వస్తుంది మరియు దాని హారంలోని వ్యక్తీకరణను x + 1తో భర్తీ చేయవచ్చు. కాబట్టి మేము 1 x + 1 ను x + 1 x + 1 గా మార్చాము, అహేతుకతను వదిలించుకున్నాము.

కొన్నిసార్లు మీరు చేయవలసిన పరివర్తనలు చాలా నిర్దిష్టంగా ఉంటాయి. కొన్ని దృష్టాంత ఉదాహరణలను చూద్దాం.

వ్యక్తీకరణను భిన్నం యొక్క హారంకు ఎలా మార్చాలి

మేము చెప్పినట్లుగా, దీన్ని చేయడానికి సులభమైన మార్గం హారంను మార్చడం.

ఉదాహరణ 1

పరిస్థితి: 1 2 · 18 + 50 భిన్నాన్ని హారంలోని అహేతుకత నుండి విడిపించండి.

పరిష్కారం

ముందుగా, బ్రాకెట్లను తెరిచి, 1 2 18 + 2 50 అనే వ్యక్తీకరణను పొందండి. మూలాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము 1 2 18 + 2 50 వ్యక్తీకరణకు వెళ్తాము. మేము రెండు వ్యక్తీకరణల విలువలను మూలాల క్రింద లెక్కిస్తాము మరియు 1 36 + 100 పొందుతాము. ఇక్కడ మీరు ఇప్పటికే మూలాలను సేకరించవచ్చు. ఫలితంగా, మేము 1 16కి సమానమైన 1 6 + 10 భిన్నాన్ని పొందాము. పరివర్తన ఇక్కడ పూర్తి చేయవచ్చు.

వ్యాఖ్య లేకుండా మొత్తం పరిష్కారం యొక్క పురోగతిని వ్రాస్దాం:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

సమాధానం: 1 2 18 + 50 = 1 16.

ఉదాహరణ 2

పరిస్థితి:భిన్నం 7 - x (x + 1) 2 ఇవ్వబడింది. హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకోండి.

పరిష్కారం

గతంలో పరివర్తనపై వ్యాసంలో అహేతుక వ్యక్తీకరణలుమూలాల లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము ఏదైనా A మరియు n కోసం కూడా A n n అనే వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయవచ్చు | ఎ | వేరియబుల్స్ యొక్క మొత్తం అనుమతించదగిన విలువల పరిధిలో. కాబట్టి, మన విషయంలో మనం దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. ఈ విధంగా మనం హారంలోని అహేతుకత నుండి విముక్తి పొందాము.

సమాధానం: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

మూలాధారంతో గుణించడం ద్వారా అహేతుకతను వదిలించుకోవడం

భిన్నం యొక్క హారం రూపం A యొక్క వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉంటే మరియు A అనే ​​వ్యక్తీకరణకు మూలాల సంకేతాలు లేకుంటే, అసలు భిన్నం యొక్క రెండు వైపులా A ద్వారా గుణించడం ద్వారా మనం అహేతుకత నుండి విముక్తి పొందవచ్చు. ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిలో A 0కి మారదు అనే వాస్తవం ద్వారా ఈ చర్య యొక్క అవకాశం నిర్ణయించబడుతుంది. గుణకారం తర్వాత, హారం A · A రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉంటుంది, ఇది మూలాలను తొలగించడం సులభం: A · A = A 2 = A. ఆచరణలో ఈ పద్ధతిని సరిగ్గా ఎలా ఉపయోగించాలో చూద్దాం.

ఉదాహరణ 3

పరిస్థితి:ఇచ్చిన భిన్నాలు x 3 మరియు - 1 x 2 + y - 4. వారి హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకోండి.

పరిష్కారం

మొదటి భిన్నాన్ని 3 యొక్క రెండవ మూలంతో గుణిద్దాం. మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

రెండవ సందర్భంలో, మనం x 2 + y - 4 ద్వారా గుణించాలి మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను హారంలో మార్చాలి:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

సమాధానం: x 3 = x · 3 3 మరియు - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

అసలు భిన్నం యొక్క హారం A n m లేదా A m n (సహజమైన m మరియు n లకు లోబడి) యొక్క వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉన్నట్లయితే, ఫలిత వ్యక్తీకరణను A n n k లేదా A n k n (సహజానికి లోబడి) మార్చగలిగే కారకాన్ని మనం ఎంచుకోవాలి. k) . దీని తరువాత, అహేతుకతను వదిలించుకోవడం సులభం అవుతుంది. ఈ ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 4

పరిస్థితి:ఇచ్చిన భిన్నాలు 7 6 3 5 మరియు x x 2 + 1 4 15. హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకోండి.

పరిష్కారం

మనం ఐదుతో భాగించగల సహజ సంఖ్యను తీసుకోవాలి మరియు అది మూడు కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఘాతాంకం 6 5కి సమానం కావాలంటే, మనం 6 2 5తో గుణించాలి. కాబట్టి, మనం అసలు భిన్నంలోని రెండు భాగాలను 6 2 5తో గుణించాలి:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

రెండవ సందర్భంలో, మనకు 15 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య అవసరం, అది శేషం లేకుండా 4 ద్వారా భాగించబడుతుంది. మేము 16 తీసుకుంటాము. హారంలో అటువంటి ఘాతాంకాన్ని పొందడానికి, మనం x 2 + 1 4ని కారకంగా తీసుకోవాలి. ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ ఏ సందర్భంలో అయినా 0 కాదని స్పష్టం చేద్దాం. మేము లెక్కిస్తాము:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 = 4 4 4 x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

సమాధానం: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 మరియు x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

సంయోగ వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణించడం ద్వారా అహేతుకతను వదిలించుకోవడం

అసలు భిన్నం యొక్క హారం a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b అనే వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉన్నప్పుడు క్రింది పద్ధతి ఆ సందర్భాలలో అనుకూలంగా ఉంటుంది. అటువంటి సందర్భాలలో, మనం సంయోగ వ్యక్తీకరణను కారకంగా తీసుకోవాలి. ఈ భావన యొక్క అర్థాన్ని వివరిద్దాం.

మొదటి వ్యక్తీకరణకు a + b సంయోగం a - b, రెండవది a - b – a + b. a + b – a - b కోసం, a - b – a + b కోసం, a + b – a - b కోసం, మరియు a - b – a + b కోసం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంయోగ వ్యక్తీకరణ అనేది రెండవ పదానికి ముందు వ్యతిరేక సంకేతం కనిపించే వ్యక్తీకరణ.

అది ఖచ్చితంగా ఏమిటో చూద్దాం ఈ పద్ధతి. మనకు a - b · a + b రూపంలోని ఉత్పత్తి ఉందని అనుకుందాం. ఇది a - b · a + b = a 2 - b 2 చతురస్రాల వ్యత్యాసంతో భర్తీ చేయబడుతుంది, దాని తర్వాత మేము రాడికల్స్ లేని a - b అనే వ్యక్తీకరణకు వెళ్తాము. ఆ విధంగా, సంయోగ వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణించడం ద్వారా భిన్నం యొక్క హారంలోని అహేతుకత నుండి మనం విముక్తి పొందాము. కొన్ని ఉదాహరణలను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 5

పరిస్థితి: 3 7 - 3 మరియు x - 5 - 2 వ్యక్తీకరణలలోని అహేతుకతను వదిలించుకోండి.

పరిష్కారం

మొదటి సందర్భంలో, మేము 7 + 3కి సమానమైన సంయోగ వ్యక్తీకరణను తీసుకుంటాము. ఇప్పుడు మేము దాని ద్వారా అసలు భిన్నం యొక్క రెండు భాగాలను గుణిస్తాము:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

రెండవ సందర్భంలో, మనకు వ్యక్తీకరణ అవసరం - 5 + 2, ఇది వ్యక్తీకరణ యొక్క సంయోగం - 5 - 2. దాని ద్వారా లవం మరియు హారం గుణించండి మరియు పొందండి:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

గుణించే ముందు పరివర్తన చేయడం కూడా సాధ్యమే: మేము మొదట హారం నుండి మైనస్‌ను తీసివేస్తే, లెక్కించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

సమాధానం: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 మరియు x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

ఈ వ్యక్తీకరణకు ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిలో ఏదైనా వేరియబుల్స్ కోసం గుణకారం ఫలితంగా పొందిన వ్యక్తీకరణ 0కి మారదు అనే వాస్తవాన్ని దృష్టిలో ఉంచుకోవడం ముఖ్యం.

ఉదాహరణ 6

పరిస్థితి:భిన్నం x x + 4 ఇవ్వబడింది. హారంలో అహేతుక వ్యక్తీకరణలు ఉండకుండా దాన్ని మార్చండి.

పరిష్కారం

వేరియబుల్ x కోసం ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. ఇది x ≥ 0 మరియు x + 4 ≠ 0 షరతుల ద్వారా నిర్వచించబడింది. వాటి నుండి మనం కోరుకున్న ప్రాంతం x ≥ 0 సెట్ అని నిర్ధారించవచ్చు.

హారం యొక్క సంయోగం x - 4 . దానితో మనం ఎప్పుడు గుణించాలి? x - 4 ≠ 0 అయితే మాత్రమే. ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిలో, ఇది షరతు x≠16కి సమానంగా ఉంటుంది. ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

x 16కి సమానం అయితే, మనకు లభిస్తుంది:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

కాబట్టి, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 16 మినహా, ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధికి చెందిన x యొక్క అన్ని విలువలకు. x = 16 వద్ద మనకు x x + 4 = 2 వస్తుంది.

సమాధానం: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

ఘనాల సూత్రాల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించి హారంలో అహేతుకతతో భిన్నాలను మార్చడం

IN మునుపటి పేరామేము సంయోగ వ్యక్తీకరణల ద్వారా గుణించాము, తద్వారా మేము స్క్వేర్స్ ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. కొన్నిసార్లు, హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకోవడానికి, ఇతర సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించడం ఉపయోగపడుతుంది, ఉదాహరణకు, ఘనాల వ్యత్యాసం a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + a b + b 2). అసలు భిన్నం యొక్క హారం A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 రూపం యొక్క మూడవ-డిగ్రీ మూలాలతో వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటే ఈ ఫార్ములా ఉపయోగించడానికి సౌకర్యంగా ఉంటుంది. మొదలైనవి దీన్ని వర్తింపజేయడానికి, మేము భిన్నం యొక్క హారంను మొత్తం A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 లేదా A 3 - B 3 యొక్క పాక్షిక చతురస్రంతో గుణించాలి. మొత్తం సూత్రాన్ని అదే విధంగా అన్వయించవచ్చు a 3 + b 3 = (a) (a 2 - a b + b 2).

ఉదాహరణ 7

పరిస్థితి: 1 7 3 - 2 3 మరియు 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 భిన్నాలను మార్చండి, తద్వారా హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకోండి.

పరిష్కారం

మొదటి భిన్నం కోసం, మేము రెండు భాగాలను మొత్తం 7 3 మరియు 2 3 యొక్క పాక్షిక చతురస్రంతో గుణించే పద్ధతిని ఉపయోగించాలి, ఎందుకంటే మేము ఘనాల ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించి మార్చవచ్చు:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

రెండవ భిన్నంలో మేము హారంను 2 2 - 2 x 3 + x 3 2గా సూచిస్తాము. ఈ వ్యక్తీకరణ 2 మరియు x 3 వ్యత్యాసం యొక్క అసంపూర్ణ చతురస్రాన్ని చూపుతుంది, అంటే మనం భిన్నంలోని రెండు భాగాలను మొత్తం 2 + x 3తో గుణించవచ్చు మరియు ఘనాల మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, షరతు 2 + x 3 ≠ 0 తప్పనిసరిగా కలుసుకోవాలి, ఇది x 3 ≠ - 2 మరియు x ≠ − 8కి సమానం:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

భిన్నంలో 8ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు విలువను కనుగొనండి:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

సారాంశం చేద్దాం. అసలు భిన్నం (సెట్ R) యొక్క విలువల పరిధిలో చేర్చబడిన అన్ని x కోసం, - 8 మినహా, మనకు 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x లభిస్తుంది. x = 8 అయితే, 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

సమాధానం: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

విభిన్న మార్పిడి పద్ధతుల యొక్క స్థిరమైన అప్లికేషన్

తరచుగా ఆచరణలో మరిన్ని ఉన్నాయి సంక్లిష్ట ఉదాహరణలు, కేవలం ఒక పద్ధతిని ఉపయోగించి హారంలోని అహేతుకత నుండి మనల్ని మనం విడిపించుకోలేనప్పుడు. వాటి కోసం, మీరు అనేక పరివర్తనలను వరుసగా నిర్వహించాలి లేదా ఎంచుకోవాలి ప్రామాణికం కాని పరిష్కారాలు. అలాంటి ఒక సమస్యను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ ఎన్

పరిస్థితి:హారంలోని మూలాల సంకేతాలను వదిలించుకోవడానికి 5 7 4 - 2 4ని మార్చండి.

పరిష్కారం

అసలైన భిన్నం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని విలువతో 7 4 + 2 4 సంయోగ వ్యక్తీకరణతో గుణిద్దాం. మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

ఇప్పుడు అదే పద్ధతిని మళ్లీ ఉపయోగిస్తాము:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

సమాధానం: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

సూచనలు

మీరు వదిలించుకోవడానికి ముందు అహేతుకతవి హారం, దాని రకాన్ని అనుసరిస్తుంది మరియు దీనిని బట్టి, పరిష్కారాన్ని కొనసాగించండి. మరియు ఏదైనా అహేతుకత సాధారణ ఉనికి నుండి అనుసరిస్తున్నప్పటికీ, వాటి వివిధ కలయికలు మరియు డిగ్రీలు ఊహించబడతాయి వివిధ అల్గోరిథంలు.

లైన్ క్రింద ఉనికి భిన్నాలురూట్ పాక్షిక శక్తి m/n రూపంలో, n>mతో ఈ వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది: a/√(b^m/n).

దీన్ని వదిలించుకోండి అహేతుకతగుణకాన్ని నమోదు చేయడం ద్వారా కూడా, ఈసారి మరింత క్లిష్టంగా ఉంటుంది: b^(n-m)/n, i.e. మూలం యొక్క ఘాతాంకం నుండి, మీకు దాని సంకేతం క్రింద వ్యక్తీకరణ యొక్క డిగ్రీ అవసరం. అప్పుడు లోపలికి హారంమాత్రమే :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b మిగిలి ఉంటుంది ఉదాహరణ 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5) / 4 = 5 √(16^1/5)/4.

వర్గమూలాల మొత్తం రెండు భాగాలను గుణించండి భిన్నాలుఇదే తేడాతో. అప్పుడు మూలాల యొక్క అహేతుక జోడింపు నుండి హారం మూల సంకేతం కింద /గా మార్చబడుతుంది:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c).ఉదాహరణ 3: 9/(√ 13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.

క్యూబ్ మూలాల మొత్తం/వ్యత్యాసం హారంమొత్తం, మరియు తదనుగుణంగా మూలాల వ్యత్యాసం కోసం మొత్తం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గము: a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c ) ∛b² ∓ ∛(b c ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c).ఉదాహరణ 4: 7/(∛5 + ∛27) ∛4 - ∛20 + ∛16) /9.

సమస్య స్క్వేర్ మరియు , రెండింటినీ కలిగి ఉంటే, పరిష్కారాన్ని రెండు దశలుగా విభజించండి: హారం నుండి వర్గమూలాన్ని వరుసగా పొందండి, ఆపై క్యూబిక్ రూట్. ఇది మీకు ఇప్పటికే తెలిసిన పద్ధతులను ఉపయోగించి చేయబడుతుంది: మొదటి దశలో మీరు మూలాల వ్యత్యాసం / మొత్తం యొక్క గుణకాన్ని ఎంచుకోవాలి, రెండవది - మొత్తం / వ్యత్యాసం యొక్క అసంపూర్ణ స్క్వేర్.

అంశంపై వీడియో

మూలాలు:

• భిన్నాలలో అహేతుకతను ఎలా వదిలించుకోవాలి

చిట్కా 2: హారంలోని అహేతుకతను ఎలా వదిలించుకోవాలి

సరైన ప్రవేశం పాక్షిక సంఖ్యదింట్లో ఉండదు అహేతుకతవి హారం. అటువంటి రికార్డింగ్ దృష్టి ద్వారా గ్రహించడం సులభం, కాబట్టి ఎప్పుడు అహేతుకతవి హారందాన్ని వదిలించుకోవడమే తెలివైన పని. ఈ సందర్భంలో, అహేతుకత ఒక న్యూమరేటర్ కావచ్చు.

సూచనలు

ప్రారంభించడానికి, మేము సరళమైనదాన్ని పరిగణించవచ్చు - 1/sqrt(2). రెండు యొక్క వర్గమూలం ఒక సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను దాని హారంతో గుణించాలి. ఇది అందిస్తుంది హారం. నిజానికి, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. ఒకదానికొకటి ఒకేలా ఉండే రెండు వర్గమూలాలను గుణించడం వలన చివరికి ప్రతి మూలాల క్రింద ఉన్న వాటిని ఇస్తుంది: ఈ సందర్భంలో, రెండు. ఫలితంగా: 1/ sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. ఈ అల్గోరిథం భిన్నాలకు కూడా వర్తిస్తుంది, in హారందీని మూలం హేతుబద్ధ సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో న్యూమరేటర్ మరియు హారం తప్పనిసరిగా ఉన్న మూలంతో గుణించాలి హారం.ఉదాహరణ: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

ఒకవేళ మీరు సరిగ్గా అదే విధంగా వ్యవహరించాలి హారంఇది కనుగొనబడిన మూలం కాదు, కానీ, క్యూబిక్ లేదా మరేదైనా డిగ్రీని చెప్పండి. రూట్ ఇన్ హారంమీరు సరిగ్గా అదే మూలంతో గుణించాలి మరియు లవంను అదే మూలంతో గుణించాలి. అప్పుడు మూలం న్యూమరేటర్‌లోకి వెళుతుంది.

మరిన్ని సందర్భాల్లో, లో హారంఒక అనిష్ప సంఖ్య మరియు లేదా రెండు అనిష్ప సంఖ్యల మొత్తం ఉంటుంది. రెండు వర్గమూలాల మొత్తం (తేడా) విషయంలో లేదా వర్గమూలం మరియు హేతుబద్ధ సంఖ్యబాగా ఉపయోగించుకోవచ్చు బాగా తెలిసిన ఫార్ములా(x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). ఇది వదిలించుకోవడానికి మీకు సహాయం చేస్తుంది హారం. లోపల ఉంటే హారంవ్యత్యాసం, అప్పుడు మీరు లవం మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యల మొత్తంతో గుణించాలి, మొత్తం అయితే - అప్పుడు తేడాతో. ఈ గుణించిన మొత్తం లేదా వ్యత్యాసాన్ని వ్యక్తీకరణకు సంయోగం అంటారు హారం.దీని ప్రభావం ఉదాహరణలో స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = ( sqrt(2) -1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

లోపల ఉంటే హారంమూలం ఉన్న మొత్తం (తేడా) ఉంది ఎక్కువ మేరకు, అప్పుడు పరిస్థితి nontrivial మరియు వదిలించుకోవటం అవుతుంది అహేతుకతవి హారంఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు

మూలాలు:

• 2019లో హారంలోని మూలాన్ని వదిలించుకోండి

చిట్కా 3: భిన్నం యొక్క హారంలో అహేతుకత నుండి మిమ్మల్ని మీరు ఎలా విడిపించుకోవాలి

ఒక భిన్నం పంక్తి ఎగువన ఉన్న లవం మరియు దిగువన విభజించబడిన హారం కలిగి ఉంటుంది. అకరణీయ సంఖ్య అనేది రూపంలో సూచించబడని సంఖ్య భిన్నాలున్యూమరేటర్‌లో పూర్ణాంకం మరియు సహజ సంఖ్యతో హారం. ఇటువంటి సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు, రెండు లేదా pi వర్గమూలం. సాధారణంగా వారు మాట్లాడేటప్పుడు అహేతుకతవి హారం, మూలం సూచించబడింది.

సూచనలు

వదిలించుకోవటం హారం ద్వారా గుణించడం. అందువలన ఇది గణానికి బదిలీ చేయబడుతుంది. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు, విలువ భిన్నాలుమారదు. మొత్తం హారం రూట్ అయితే ఈ ఎంపికను ఉపయోగించండి.

హారం ద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారం గుణించండి సరైన సంఖ్యసార్లు, రూట్ ఆధారంగా. మూలం చతురస్రంగా ఉంటే, ఒకసారి.

న్యూమరేటర్ మరియు హారంను గుణించండి భిన్నాలుహారంకు, అంటే, √(x+2). అసలు ఉదాహరణ (56-y)/√(x+2) ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2))గా మారుతుంది. ఫలితం ((56-y)*√(x+2))/(x+2). ఇప్పుడు రూట్ న్యూమరేటర్‌లో ఉంది మరియు ఇన్ హారంనం అహేతుకత.

మూలాల మొత్తంతో హారంను గుణించండి. విలువను పొందడానికి న్యూమరేటర్‌ను దానితో గుణించండి భిన్నాలుమారలేదు. భిన్నం ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) )

పై ఆస్తి (x+y)*(x-y)=x²-y² ప్రయోజనాన్ని పొందండి మరియు హారం నుండి విముక్తి పొందండి అహేతుకత. ఫలితం ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). ఇప్పుడు మూలం న్యూమరేటర్‌లో ఉంది మరియు హారం తొలగిపోయింది అహేతుకత.

IN కష్టమైన కేసులుఈ రెండు ఎంపికలను పునరావృతం చేయండి, అవసరమైన విధంగా వర్తించండి. వదిలించుకోవటం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదని దయచేసి గమనించండి అహేతుకతవి హారం.

మూలాలు:

బీజగణిత భిన్నం అనేది A/B రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ, ఇక్కడ A మరియు B అక్షరాలు ఏదైనా సంఖ్య లేదా సాహిత్య వ్యక్తీకరణలు. తరచుగా న్యూమరేటర్ మరియు హారం బీజగణిత భిన్నాలుఒక గజిబిజిగా రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అయితే అటువంటి భిన్నాలతో కార్యకలాపాలు సాధారణమైన వాటితో చర్యల వలె అదే నియమాల ప్రకారం నిర్వహించబడాలి, ఇక్కడ లవం మరియు హారం పూర్ణాంకాలు. సానుకూల సంఖ్యలు.

సూచనలు

ఇస్తే భిన్నాలు, వాటిని మార్చండి (ఒక భిన్నం దీనిలో లవం హారం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది): హారం మొత్తం భాగంతో గుణించి, న్యూమరేటర్‌ను జోడించండి. కాబట్టి 2 1/3 సంఖ్య 7/3గా మారుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, 3ని 2తో గుణించి, ఒకదాన్ని జోడించండి.

మీరు భిన్నాన్ని సరికాని భిన్నానికి మార్చవలసి వస్తే, దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యలు ఉన్నన్ని సున్నాలతో ఒక దశాంశ బిందువు లేకుండా సంఖ్యలుగా ఊహించుకోండి. ఉదాహరణకు, 2.5 సంఖ్యను 25/10గా (కుదిస్తే, మీకు 5/2 వస్తుంది), మరియు 3.61 సంఖ్యను 361/100గా ఊహించండి. మిశ్రమ లేదా దశాంశ వాటి కంటే క్రమరహితమైన వాటితో పనిచేయడం చాలా సులభం.

మీరు ఒక భిన్నం నుండి మరొక భాగాన్ని తీసివేయవలసి ఉంటే, మరియు వారు కలిగి ఉంటారు వివిధ హారం, భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకురండి. దీన్ని చేయడానికి, రెండు హారంల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్ (LCM) లేదా రెండు కంటే ఎక్కువ భిన్నాలు ఉన్నట్లయితే అనేక సంఖ్యను కనుగొనండి. LCM అనేది అందించబడిన అన్ని భిన్నాల హారంలుగా విభజించబడే సంఖ్య. ఉదాహరణకు, 2 మరియు 5 కోసం ఈ సంఖ్య 10.

సమాన గుర్తు తర్వాత, స్వైప్ చేయండి క్షితిజ సమాంతర రేఖమరియు ఈ సంఖ్యను (NOC) హారంలో వ్రాయండి. ప్రతి పదానికి అదనపు కారకాలను జోడించండి - LCMని పొందడానికి న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ గుణించాలి. అదనపు కారకాల ద్వారా న్యూమరేటర్లను వరుసగా గుణించండి, కూడిక లేదా వ్యవకలనం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్వహిస్తుంది.

ఫలితాన్ని లెక్కించండి, అవసరమైతే దాన్ని తగ్గించండి లేదా మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి. ఉదాహరణకు, మీరు ⅓ మరియు ¼ జోడించాలి. రెండు భిన్నాలకు LCM 12. అప్పుడు మొదటి భిన్నానికి అదనపు కారకం 4, రెండవది - 3. మొత్తం: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.

గుణకారం కోసం ఇచ్చినట్లయితే, న్యూమరేటర్లను గుణించండి (ఇది ఫలితం యొక్క లవం అవుతుంది) మరియు హారం (ఇది ఫలితం యొక్క హారం అవుతుంది). ఈ సందర్భంలో, వాటిని సాధారణ హారంకు తగ్గించాల్సిన అవసరం లేదు.

అవసరమైన విధంగా న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కారకం చేయండి. ఉదాహరణకు, బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోండి లేదా సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించండి, తద్వారా మీరు అవసరమైతే, gcd ద్వారా లవం మరియు హారంను తగ్గించవచ్చు - చిన్నది సాధారణ విభజన.

గమనిక

సంఖ్యలతో సంఖ్యలను, ఒకే రకమైన అక్షరాలతో ఒకే రకమైన అక్షరాలను జోడించండి. ఉదాహరణకు, మీరు 3a మరియు 4bలను జోడించలేరు, అంటే వాటి మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం న్యూమరేటర్‌లో ఉంటుంది - 3a±4b.

మూలాలు:

• భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం

రోజువారీ జీవితంలో మనం చాలా తరచుగా ఎదుర్కొంటాము పూర్ణాంకాలు: 1, 2, 3, 4, మొదలైనవి. (5 కిలోల బంగాళదుంపలు), మరియు పాక్షిక, పూర్ణాంకం కాని సంఖ్యలు (5.4 కిలోల ఉల్లిపాయలు). వాటిలో చాలా వరకు ప్రదర్శించబడ్డాయి రూపందశాంశ భిన్నాలు. కానీ దశాంశసమర్పించు రూపం భిన్నాలుతగినంత సాధారణ.

సూచనలు

ఉదాహరణకు, "0.12" సంఖ్య ఇవ్వబడింది. ఈ భిన్నం కాకపోతే మరియు దానిని ఉన్నట్లుగా ఊహించుకుంటే, అది ఇలా ఉంటుంది: 12/100 ("పన్నెండు"). లో వందను వదిలించుకోవడానికి, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ వాటి సంఖ్యలను విభజించే సంఖ్యతో విభజించాలి. ఈ సంఖ్య 4. అప్పుడు, న్యూమరేటర్ మరియు హారం విభజించడం, మేము సంఖ్యను పొందుతాము: 3/25.

మేము మరింత రోజువారీ ఉత్పత్తిని పరిగణించినట్లయితే, దాని బరువు 0.478 కిలోలు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అని ధర ట్యాగ్పై తరచుగా స్పష్టంగా ఉంటుంది. ఈ సంఖ్యను ఊహించడం కూడా సులభం. రూపం భిన్నాలు:
478/1000 = 239/500. ఈ భిన్నం చాలా అసహ్యంగా ఉంది మరియు అది సాధ్యమైతే, ఈ దశాంశ భిన్నాన్ని మరింత తగ్గించవచ్చు. మరియు అన్నీ ఒకే పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాయి: న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ విభజించే సంఖ్యను ఎంచుకోవడం. ఈ సంఖ్య అతిపెద్దది సాధారణ అంశం. కారకం “అతిపెద్దది” ఎందుకంటే లవం మరియు హారం రెండింటినీ 2 ద్వారా రెండుసార్లు విభజించడం కంటే 4 (మొదటి ఉదాహరణలో వలె) వెంటనే విభజించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

మీ అభ్యర్థన మేరకు!

5. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

6 . వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి:

17. f(x)=6x 2 +8x+5, F(-1)=3. F(-2)ని కనుగొనండి.

F(-1) = 3 అని తెలుసుకుని, Cని కనుగొందాం.

3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + సి;

3 = -2 + 4 - 5 + సి;

అందువలన, యాంటీడెరివేటివ్ F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. F(-2)ని కనుగొందాం.

F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకోండి

పరిష్కారం భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను అదే విషయంతో గుణించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సున్నాకి సమానంసంఖ్య. భిన్నం యొక్క హారంలోని రాడికల్ సంకేతాలను వదిలించుకోవడానికి, వారు సాధారణంగా సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగిస్తారు. అన్నింటికంటే, రెండు రాడికల్‌ల వ్యత్యాసం వాటి మొత్తంతో గుణించబడితే, అప్పుడు మనకు మూలాల చతురస్రాల తేడా వస్తుంది, అనగా. మీరు రాడికల్ సంకేతాలు లేకుండా వ్యక్తీకరణను పొందుతారు.

21. వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి:

ఈ ఉదాహరణను రెండు విధాలుగా పరిష్కరిద్దాం. 1) రెండు వ్యక్తీకరణల మొత్తం యొక్క స్క్వేర్ రూపంలో రెండవ కారకం యొక్క రాడికల్ వ్యక్తీకరణను ఊహించుకుందాం, అనగా. రూపంలో (a + b) 2 . ఇది అంకగణిత వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడానికి అనుమతిస్తుంది.

2) మొదటి కారకాన్ని వర్గీకరిద్దాం మరియు రెండవ కారకం యొక్క అంకగణిత వర్గమూలం యొక్క సంకేతం క్రింద ఉంచండి.

మీకు అనుకూలమైన రీతిలో నిర్ణయించుకోండి!

22. కనుగొనండి (x 1 ∙y 1 +x 2 ∙y 2), ఇక్కడ (x n; y n) సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు:

అంకగణిత వర్గమూలం నుండి మాత్రమే తీసుకోవచ్చు కాబట్టి ప్రతికూల సంఖ్య, ఆ ఆమోదయోగ్యమైన విలువలువేరియబుల్ వద్దఅసమానతను సంతృప్తిపరిచే అన్ని సంఖ్యలు y≥0. సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలోని ఉత్పత్తికి సమానం కాబట్టి ప్రతికూల సంఖ్య, అప్పుడు కింది షరతు సంతృప్తి చెందాలి: x<0 . వ్యక్తం చేద్దాం Xమొదటి సమీకరణం నుండి మరియు దాని విలువను రెండవ సమీకరణంలోకి మార్చండి. కోసం ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం వద్ద, ఆపై విలువలను కనుగొనండి X, గతంలో పొందిన విలువలకు అనుగుణంగా వద్ద.

23. అసమానతను పరిష్కరించండి: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.

ప్రధాన త్రికోణమితి గుర్తింపు ప్రకారం: sin 2 x+cos 2 x=1, ఆపై ఈ అసమానతను 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx రూపంలో ప్రదర్శించి, ప్రధానమైన దాన్ని వర్తింపజేయడం త్రికోణమితి గుర్తింపు, మనకు లభిస్తుంది: 6sin 2 x+ 1>5sinx. అసమానతలను పరిష్కరించడం:

6sin 2 x-5sinx+1 >0. భర్తీ చేద్దాం: sinx=y మరియు చతుర్భుజ అసమానతను పొందండి:

6y 2 -5y+1>0. విస్తరించడం ద్వారా ఇంటర్వెల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ అసమానతను పరిష్కరిద్దాం ఎడమ వైపుగుణకాల ద్వారా. దీన్ని చేయడానికి, మేము పూర్తి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొంటాము:

6y 2 -5y+1=0. వివక్షత D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. అప్పుడు మనకు y 1 మరియు y 2 లభిస్తాయి:

24. నేరుగా ప్రిజం బేస్ వద్ద ఉంది సాధారణ త్రిభుజం, దీని వైశాల్యం దాని వాల్యూమ్ 300 సెం.మీ 3 అయితే ప్రిజం యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.

మాకు సరైనది ఇవ్వండి త్రిభుజాకార ప్రిజం ABCA 1 B 1 C 1, ఇది సరైన Δ ABC ఆధారంగా, దాని ప్రాంతం మనకు తెలుసు. ప్రాంతం సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం సమబాహు త్రిభుజం, మేము మా వైపు కనుగొంటాము త్రిభుజం ABC. స్ట్రెయిట్ ప్రిజం యొక్క వాల్యూమ్ V=S ప్రధాన సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది కాబట్టి. ∙ H, మరియు మనకు కూడా తెలుసు, అప్పుడు మనం H - ప్రిజం యొక్క ఎత్తును కనుగొనవచ్చు. ప్రిజం యొక్క పార్శ్వ అంచు ప్రిజం యొక్క ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది: AA 1 =H. బేస్ వైపు మరియు ప్రిజం యొక్క సైడ్ ఎడ్జ్ పొడవు తెలుసుకోవడం, మీరు ఫార్ములా ఉపయోగించి దాని పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనవచ్చు: S వైపు. = పి ప్రాథమిక ∙ హెచ్.

25. స్కూల్ క్విజ్‌లో 20 ప్రశ్నలు వచ్చాయి. ప్రతి సరైన సమాధానానికి, పాల్గొనేవారికి 12 పాయింట్లు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు ప్రతి తప్పు సమాధానానికి 10 పాయింట్లు తీసివేయబడ్డాయి. పాల్గొనేవారిలో ఒకరు అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానమిచ్చి 86 పాయింట్లు సాధించినట్లయితే ఎన్ని సరైన సమాధానాలు ఇచ్చారు?

పాల్గొనేవారిని x సరైన సమాధానాలు ఇవ్వనివ్వండి. అప్పుడు అతనికి (20) తప్పుడు సమాధానాలు ఉన్నాయి. ప్రతి సరైన సమాధానానికి అతనికి 12 పాయింట్లు ఇవ్వబడిందని మరియు ప్రతి తప్పు సమాధానానికి 10 పాయింట్లు తీసివేయబడిందని మరియు అదే సమయంలో అతను 86 పాయింట్లు సాధించాడని తెలుసుకుని, మేము సమీకరణాన్ని సృష్టిస్తాము:

12x-10·(20లు)=86;

12x-200+10x=86;

22x=286 ⇒ x=286:22 ⇒ x=13. పాల్గొనేవారు 13 సరైన సమాధానాలు ఇచ్చారు.

UNTలో గణిత పరీక్షకు మీరు 25 సరైన సమాధానాలు ఇవ్వాలని కోరుకుంటున్నాను!

24. కుడివైపున చతుర్భుజ పిరమిడ్ఎత్తు 3, పక్క పక్కటెముక 6. పిరమిడ్ చుట్టూ ఉన్న గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.

పాయింట్ O 1 మరియు వ్యాసార్థం MO 1 వద్ద మధ్యలో ఉన్న బంతి గురించి వివరించబడనివ్వండి సాధారణ పిరమిడ్ MABCD ఎత్తు MO=3 మరియు పక్క అంచు MA=6. బంతి MO 1 యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనడం అవసరం. ΔMAM 1ని పరిగణించండి, దీనిలో వైపు MM 1 బంతి యొక్క వ్యాసం. అప్పుడు ∠MAM 1 =90°. MA వైపు మరియు హైపోటెన్యూస్‌పై ఈ వైపు MO యొక్క ప్రొజెక్షన్ తెలిస్తే, MM 1 హైపోటెన్యూస్‌ని కనుగొనండి. గుర్తుందా? శీర్షం నుండి తీయబడిన ఎత్తు లంబ కోణంహైపోటెన్యూస్‌కు సగటు ఉంటుంది అనుపాత విలువహైపోటెన్యూస్‌పై కాళ్ల అంచనాల మధ్య, మరియు ప్రతి కాలు మొత్తం హైపోటెన్యూస్ మరియు హైపోటెన్యూస్‌పై ఈ లెగ్ ప్రొజెక్షన్ మధ్య సగటు అనుపాత విలువ.ఈ పనిలో, నియమం యొక్క అండర్లైన్ భాగం మాత్రమే మాకు ఉపయోగపడుతుంది.

మేము సమానత్వాన్ని వ్రాస్తాము: MA 2 =MO∙MM 1. మేము మా డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: 6 2 =3∙MM 1. అందువల్ల MM 1 =36:3=12. మేము బంతి యొక్క వ్యాసాన్ని కనుగొన్నాము, కాబట్టి, MO 1 = 6 యొక్క వ్యాసార్థం.

25. పెట్యా కొలియా కంటే పెద్దవాడు, అతను మిషా కంటే పెద్దవాడు, మాషా కోల్య కంటే పెద్దవాడు, మరియు దశ పెట్యా కంటే చిన్నవాడు, కానీ మాషా కంటే పెద్దవాడు. మూడవ పెద్దవాడు ఎవరు?

అనుకుందాం: పాత అంటే ఎక్కువ. పెట్యా మిషా కంటే పెద్దవాడు అయిన కోల్య కంటే పెద్దవాడుదీన్ని ఇలా వ్రాద్దాం: పెట్యా>కోల్యా>మిషా. దశ పెట్యా కంటే చిన్నది, కానీ మాషా కంటే పెద్దదిదీన్ని ఇలా వ్రాద్దాం: మాషా<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>దశ>మాషా. ఎందుకంటే మాషా కోల్య కంటే పెద్దవాడు,అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: పెట్యా> దశ> మాషా> కొల్యా. మరియు చివరగా: పెట్యా> దశ> మాషా> కొల్యా> మిషా. అందువలన, మూడవ పురాతన మాషా.

మీరు UNT కోసం విజయవంతంగా సిద్ధం కావాలని కోరుకుంటున్నాను!