సాధారణ భిన్నాల ఉదాహరణలను తీసివేయడం. వంటి హారంతో భిన్నాలను ఎలా జోడించాలి

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం అనే సమస్యను ఎనిమిదవ తరగతిలో పాఠశాల సబ్జెక్ట్ ఆల్జీబ్రాలో కనుగొనబడింది మరియు ఇది కొన్నిసార్లు పిల్లలకు అర్థం చేసుకోవడంలో ఇబ్బందులను కలిగిస్తుంది. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడానికి, క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

భిన్నాలను తీసివేసే విధానం అదనంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది ఆపరేషన్ సూత్రాన్ని పూర్తిగా కాపీ చేస్తుంది.

మొదట, మేము రెండు హారం యొక్క గుణకం అయిన అతి చిన్న సంఖ్యను గణిస్తాము.

రెండవది, మేము ప్రతి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణిస్తాము, అది హారంను ఇచ్చిన కనీస సాధారణ హారంకు తగ్గించడానికి అనుమతిస్తుంది.

మూడవదిగా, వ్యవకలన ప్రక్రియ కూడా జరుగుతుంది, చివరికి హారం నకిలీ చేయబడినప్పుడు మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క లవం మొదటి నుండి తీసివేయబడుతుంది.

ఉదాహరణ: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 మొత్తం 1/6

మొదట మీరు వాటిని ఒకే హారంలోకి తీసుకురావాలి, ఆపై తీసివేయండి. ఉదాహరణకు, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. లేదా, మరింత కష్టం, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. భిన్నాలు సాధారణ హారంకు ఎలా తగ్గించబడతాయో మీరు వివరించాల్సిన అవసరం ఉందా?

వివిధ హారంలతో సాధారణ భిన్నాలను జోడించడం లేదా తీసివేయడం వంటి కార్యకలాపాలను చేస్తున్నప్పుడు, ఒక సాధారణ నియమం వర్తిస్తుంది - ఈ భిన్నాల యొక్క హారం ఒక సంఖ్యకు తగ్గించబడుతుంది మరియు ఆపరేషన్ లవంలోని సంఖ్యలతో నిర్వహించబడుతుంది. అంటే, భిన్నాలు ఒక సాధారణ హారం పొందుతాయి మరియు ఒకటిగా మిళితం చేయబడినట్లు అనిపిస్తుంది. ఏకపక్ష భిన్నాల కోసం ఒక సాధారణ హారం కనుగొనడం సాధారణంగా ప్రతి భిన్నాన్ని ఇతర భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించడం వరకు వస్తుంది. కానీ సరళమైన సందర్భాల్లో, భిన్నాల హారంలను ఒకే సంఖ్యకు తీసుకువచ్చే కారకాలను మీరు వెంటనే కనుగొనవచ్చు.

భిన్నాలను తీసివేయడానికి ఉదాహరణ: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

చాలా మంది పెద్దలు ఇప్పటికే మర్చిపోయారు విభిన్న హారంతో భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలి, కానీ ఈ చర్య ప్రాథమిక గణితానికి సంబంధించినది.

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడానికి, మీరు వాటిని ఒక సాధారణ హారంకి తీసుకురావాలి, అంటే, హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొని, ఆపై తక్కువ సాధారణ గుణకం మరియు హారం యొక్క నిష్పత్తికి సమానమైన అదనపు కారకాలతో న్యూమరేటర్‌లను గుణించాలి.

భిన్న సంకేతాలు భద్రపరచబడ్డాయి. భిన్నాలు ఒకే హారంలను కలిగి ఉంటే, మీరు తీసివేయవచ్చు, ఆపై వీలైతే, భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు.

ఎలెనా, మీరు మీ పాఠశాల గణిత కోర్సును పునరావృతం చేయాలని నిర్ణయించుకున్నారా?)))

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడానికి, వాటిని మొదట అదే హారంకు తగ్గించి, ఆపై తీసివేయాలి. సరళమైన ఎంపిక: మొదటి భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా రెండవ భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను గుణించండి. మేము ఒకే హారంతో రెండు భిన్నాలను పొందుతాము. ఇప్పుడు మనం మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేస్తాము మరియు వాటికి ఒకే హారం ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, మూడు-ఐదవ వంతులు రెండు ఏడవలను తీసివేస్తే ఇరవై ఒక్క ముప్పై-ఐదవ వంతులు పది ముప్పై-ఐదవ వంతులను తీసివేస్తే మరియు ఇది పదకొండు ముప్పై-ఐదవ వంతులకు సమానం.

హారం పెద్ద సంఖ్యలో ఉంటే, మీరు వాటి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు, అనగా. ఒక సంఖ్య మరియు మరొక హారం ద్వారా భాగించబడుతుంది. మరియు రెండు భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకురండి (కనీసం సాధారణ గుణకం)

విభిన్న హారంలతో భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలి అనేది చాలా సులభమైన పని - మేము భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువస్తాము మరియు ఆపై లవంలోని వ్యవకలనాన్ని చేస్తాము.

ఈ భిన్నాల పక్కన పూర్ణాంకాలు ఉన్నప్పుడు చాలా మంది ఇబ్బందులు ఎదుర్కొంటారు, కాబట్టి నేను ఈ క్రింది ఉదాహరణతో దీన్ని ఎలా చేయాలో చూపించాలనుకుంటున్నాను:

మొత్తం భాగాలు మరియు విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం

మొదట మేము మొత్తం భాగాలను 8-5 = 3 తీసివేస్తాము (మూడు మొదటి భిన్నానికి సమీపంలో ఉంటాయి);

మేము భిన్నాలను సాధారణ హారం 6కి తీసుకువస్తాము (మొదటి భిన్నం యొక్క లవం రెండవదాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, మేము వ్యవకలనం చేస్తాము మరియు దానిని మొత్తం భాగానికి పక్కన వ్రాస్తాము, మా విషయంలో మేము ముందుకు వెళ్తాము);

మేము మొత్తం భాగం 3ని 2 మరియు 1గా విడదీస్తాము;

మేము 1 ను భిన్నం 6/6గా వ్రాస్తాము;

మేము సాధారణ హారం 6 క్రింద 6/6+3/6-4/6 వ్రాసి, న్యూమరేటర్‌లో ఆపరేషన్లు చేస్తాము;

2 5/6 కనుగొనబడిన ఫలితాన్ని వ్రాయండి.

భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగి ఉంటే తీసివేయబడతాయని గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం. అందువల్ల, మనకు భిన్నమైన హారంతో భిన్నాలు ఉన్నప్పుడు, వాటిని సాధారణ హారంకి తీసుకురావాలి, ఇది చేయడం కష్టం కాదు. మేము కేవలం ప్రతి భిన్నం యొక్క లవంను కారకం చేయాలి మరియు తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించాలి, ఇది సున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు. ఫలితంగా వచ్చే అదనపు కారకాల ద్వారా న్యూమరేటర్లను గుణించడం కూడా మర్చిపోవద్దు, అయితే ఇక్కడ సౌలభ్యం కోసం ఒక ఉదాహరణ:



మీరు హారంలా కాకుండా భిన్నాలను తీసివేయాలనుకుంటే, మీరు మొదట రెండు భిన్నాల కోసం ఉమ్మడి హారంని కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ఆపై మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి రెండవదాన్ని తీసివేయండి. కొత్త అర్థంతో కొత్త భిన్నం లభిస్తుంది.

3వ తరగతి గణితం కోర్సు నుండి నాకు గుర్తున్నంత వరకు, విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడానికి, మీరు మొదట సాధారణ హారంను లెక్కించి దానికి తగ్గించాలి, ఆపై ఒకదానికొకటి సంఖ్యలను తీసివేయండి మరియు హారం అలాగే ఉంటుంది.

హారంలా కాకుండా భిన్నాలను తీసివేయడానికి, మేము ముందుగా ఆ భిన్నాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ హారంని కనుగొనాలి.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:



పెద్ద సంఖ్య 25ని చిన్న 20తో భాగించండి. ఇది భాగించబడదు. దీనర్థం మనం హారం 25ని అటువంటి సంఖ్యతో గుణిస్తాము, ఫలితంగా వచ్చే మొత్తాన్ని 20తో భాగించవచ్చు. ఈ సంఖ్య 4. 25x4=100 అవుతుంది. 100:20=5. అందువల్ల మేము అతి తక్కువ సాధారణ హారం - 100ని కనుగొన్నాము.

ఇప్పుడు మనం ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొనాలి. దీన్ని చేయడానికి, కొత్త హారంను పాత దానితో విభజించండి.

9ని 4తో గుణించండి = 36. 7ని 5 = 35తో గుణించండి.

ఒక సాధారణ హారం కలిగి, మేము ఉదాహరణలో చూపిన విధంగా వ్యవకలనాన్ని నిర్వహిస్తాము మరియు ఫలితాన్ని పొందుతాము.

ఈ పాఠం వివిధ హారంతో బీజగణిత భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కవర్ చేస్తుంది. వేర్వేరు హారంతో సాధారణ భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మరియు తీసివేయాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు. దీన్ని చేయడానికి, భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి. బీజగణిత భిన్నాలు అదే నియమాలను అనుసరిస్తాయని తేలింది. అదే సమయంలో, బీజగణిత భిన్నాలను సాధారణ హారంకు ఎలా తగ్గించాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం అనేది 8వ తరగతి కోర్సులో అత్యంత ముఖ్యమైన మరియు కష్టమైన అంశాలలో ఒకటి. అంతేకాదు, భవిష్యత్తులో మీరు చదివే ఆల్జీబ్రా కోర్సులోని అనేక అంశాలలో ఈ అంశం కనిపిస్తుంది. పాఠంలో భాగంగా, మేము వివిధ హారంలతో బీజగణిత భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాలను అధ్యయనం చేస్తాము మరియు అనేక సాధారణ ఉదాహరణలను కూడా విశ్లేషిస్తాము.

సాధారణ భిన్నాల కోసం సరళమైన ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1.భిన్నాలను జోడించండి: .

పరిష్కారం:

భిన్నాలను జోడించే నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి. ప్రారంభించడానికి, భిన్నాలు తప్పనిసరిగా సాధారణ హారంకు తగ్గించబడాలి. సాధారణ భిన్నాలకు సాధారణ హారం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం(LCM) అసలైన హారం.

నిర్వచనం

రెండు సంఖ్యల ద్వారా విభజించబడే అతి చిన్న సహజ సంఖ్య మరియు .

LCMని కనుగొనడానికి, మీరు డినామినేటర్లను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణించాలి, ఆపై రెండు హారంల విస్తరణలో చేర్చబడిన అన్ని ప్రధాన కారకాలను ఎంచుకోండి.

; . అప్పుడు సంఖ్యల LCM తప్పనిసరిగా రెండు రెండు మరియు రెండు మూడులను కలిగి ఉండాలి: .

సాధారణ హారంను కనుగొన్న తర్వాత, మీరు ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొనాలి (వాస్తవానికి, సంబంధిత భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా సాధారణ హారంను విభజించండి).

ప్రతి భిన్నం ఫలితంగా అదనపు కారకం ద్వారా గుణించబడుతుంది. మేము మునుపటి పాఠాలలో జోడించడం మరియు తీసివేయడం నేర్చుకున్న అదే హారంతో భిన్నాలను పొందుతాము.

మాకు దొరికింది: .

సమాధానం:.

ఇప్పుడు మనం వివిధ హారంలతో బీజగణిత భిన్నాల జోడింపును పరిశీలిద్దాం. ముందుగా, సంఖ్యల హారం ఉన్న భిన్నాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2.భిన్నాలను జోడించండి: .

పరిష్కారం:

పరిష్కార అల్గోరిథం మునుపటి ఉదాహరణకి ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉంటుంది. ఈ భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారం కనుగొనడం సులభం: మరియు వాటిలో ప్రతిదానికి అదనపు కారకాలు.

.

సమాధానం:.

కాబట్టి, సూత్రీకరించండి వివిధ హారంతో బీజగణిత భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం అల్గోరిథం:

1. భిన్నాల యొక్క అత్యల్ప సాధారణ హారం కనుగొనండి.

2. ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను కనుగొనండి (ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా సాధారణ హారంను విభజించడం ద్వారా).

3. సంబంధిత అదనపు కారకాల ద్వారా న్యూమరేటర్లను గుణించండి.

4. వంటి హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాలను ఉపయోగించి భిన్నాలను జోడించండి లేదా తీసివేయండి.

ఇప్పుడు మనం భిన్నాలతో ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం, దీని హారం అక్షర వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 3.భిన్నాలను జోడించండి: .

పరిష్కారం:

రెండు హారంలోని అక్షరాల వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా ఉన్నందున, మీరు సంఖ్యల కోసం ఒక సాధారణ హారంని కనుగొనాలి. చివరి సాధారణ హారం ఇలా కనిపిస్తుంది: . కాబట్టి, ఈ ఉదాహరణకి పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:

సమాధానం:.

ఉదాహరణ 4.భిన్నాలను తీసివేయండి: .

పరిష్కారం:

మీరు ఒక సాధారణ హారంను ఎన్నుకునేటప్పుడు "మోసం" చేయలేకపోతే (మీరు దానిని కారకం చేయలేరు లేదా సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించలేరు), అప్పుడు మీరు రెండు భిన్నాల హారం యొక్క ఉత్పత్తిని సాధారణ హారంగా తీసుకోవాలి.

సమాధానం:.

సాధారణంగా, అటువంటి ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఒక సాధారణ హారంను కనుగొనడం చాలా కష్టమైన పని.

మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 5.సరళీకృతం: .

పరిష్కారం:

ఒక సాధారణ హారం కనుగొనబడినప్పుడు, మీరు మొదట అసలైన భిన్నాల యొక్క హారం (సాధారణ హారంను సులభతరం చేయడానికి) కారకం చేయడానికి ప్రయత్నించాలి.

ఈ ప్రత్యేక సందర్భంలో:

అప్పుడు సాధారణ హారం గుర్తించడం సులభం: .

మేము అదనపు కారకాలను నిర్ణయిస్తాము మరియు ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరిస్తాము:

సమాధానం:.

ఇప్పుడు విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాలను ఏర్పాటు చేద్దాం.

ఉదాహరణ 6.సరళీకృతం: .

పరిష్కారం:

సమాధానం:.

ఉదాహరణ 7.సరళీకృతం: .

పరిష్కారం:

.

సమాధానం:.

ఇప్పుడు మనం ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం, దీనిలో రెండు కాదు, మూడు భిన్నాలు జోడించబడ్డాయి (అన్నింటికంటే, పెద్ద సంఖ్యలో భిన్నాలకు కూడిక మరియు తీసివేత నియమాలు అలాగే ఉంటాయి).

ఉదాహరణ 8.సరళీకృతం: .

మీ పిల్లవాడు పాఠశాల నుండి హోంవర్క్ తెచ్చుకున్నాడా మరియు దానిని ఎలా పరిష్కరించాలో మీకు తెలియదా? అప్పుడు ఈ చిన్న పాఠం మీ కోసం!

దశాంశాలను ఎలా జోడించాలి

కాలమ్‌లో దశాంశ భిన్నాలను జోడించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. దశాంశాలను జోడించడానికి, మీరు ఒక సాధారణ నియమాన్ని అనుసరించాలి:

• స్థలం తప్పనిసరిగా స్థలం కింద ఉండాలి, కామా కింద కామా ఉండాలి.

మీరు ఉదాహరణలో చూడగలిగినట్లుగా, మొత్తం యూనిట్లు ఒకదానికొకటి క్రింద ఉన్నాయి, పదవ మరియు వందల అంకెలు ఒకదానికొకటి క్రింద ఉన్నాయి. ఇప్పుడు మేము కామాను విస్మరించి సంఖ్యలను జోడిస్తాము. కామాతో ఏమి చేయాలి? కామా పూర్ణాంక వర్గంలో ఉన్న స్థానానికి తరలించబడింది.

సమాన హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది

సాధారణ హారంతో అదనంగా చేయడానికి, మీరు హారం మారకుండా ఉంచాలి, న్యూమరేటర్ల మొత్తాన్ని కనుగొని, మొత్తం మొత్తంగా ఉండే భిన్నాన్ని పొందాలి.

సాధారణ బహుళ పద్ధతిని ఉపయోగించి విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడం

మీరు శ్రద్ధ వహించాల్సిన మొదటి విషయం హారం. ఒకదానితో మరొకటి భాగించబడినా, లేదా అవి ప్రధాన సంఖ్యలైనా హారం భిన్నంగా ఉంటాయి. మొదట మనం దానిని ఒక సాధారణ హారంకి తీసుకురావాలి; దీన్ని చేయడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి మనం 2 హారంతో భాగించబడే అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM)ని కనుగొనాలి. a మరియు b - LCM (a;b) యొక్క చిన్న గుణింతాన్ని సూచించడానికి. ఈ ఉదాహరణలో LCM (3;4)=12. మేము తనిఖీ చేస్తాము: 12: 3=4; 12:4=3.
• మేము కారకాలను గుణించి, ఫలిత సంఖ్యలను జోడిస్తాము, మనకు 13/12 లభిస్తుంది - సరికాని భిన్నం.

• సరికాని భిన్నాన్ని సరియైనదిగా మార్చడానికి, లవణాన్ని హారంతో భాగించండి, మనకు పూర్ణాంకం 1, మిగిలిన 1 న్యూమరేటర్ మరియు 12 హారం.

క్రాస్-క్రాస్ మల్టిప్లికేషన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి భిన్నాలను జోడించడం

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, "క్రాస్ టు క్రాస్" సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మరొక పద్ధతి ఉంది. హారంలను సమం చేయడానికి ఇది హామీ ఇవ్వబడిన మార్గం; దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఒక భిన్నం యొక్క హారంతో మరియు వైస్ వెర్సాతో న్యూమరేటర్లను గుణించాలి. మీరు భిన్నాలను నేర్చుకునే ప్రారంభ దశలో ఉన్నట్లయితే, విభిన్న హారంలతో భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు సరైన ఫలితాన్ని పొందడానికి ఈ పద్ధతి సరళమైన మరియు అత్యంత ఖచ్చితమైన మార్గం.

న్యూమరేటర్ మరియు హారం కనుగొనండి.ఒక భిన్నం రెండు సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది: రేఖకు పైన ఉన్న సంఖ్యను న్యూమరేటర్ అని పిలుస్తారు మరియు రేఖకు దిగువన ఉన్న సంఖ్యను హారం అంటారు. హారం మొత్తం విభజించబడిన మొత్తం భాగాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు లవం అనేది అటువంటి భాగాల సంఖ్య.

• ఉదాహరణకు, భిన్నం ½లో న్యూమరేటర్ 1 మరియు హారం 2.

హారం నిర్ణయించండి.రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాలు సాధారణ హారం కలిగి ఉంటే, అటువంటి భిన్నాలు రేఖ క్రింద ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి, అంటే, ఈ సందర్భంలో, నిర్దిష్ట మొత్తం ఒకే సంఖ్యలో భాగాలుగా విభజించబడింది. ఒక సాధారణ హారంతో భిన్నాలను జోడించడం చాలా సులభం, ఎందుకంటే మొత్తం భిన్నం యొక్క హారం జోడించబడే భిన్నాల వలెనే ఉంటుంది. ఉదాహరణకి:

• 3/5 మరియు 2/5 భిన్నాలు 5 యొక్క సాధారణ హారం కలిగి ఉంటాయి.
• 3/8, 5/8, 17/8 భిన్నాలు 8 యొక్క సాధారణ హారం కలిగి ఉంటాయి.

సంఖ్యలను నిర్ణయించండి.సాధారణ హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, వాటి సంఖ్యలను జోడించి, జోడించబడుతున్న భిన్నాల హారం పైన ఫలితాన్ని రాయండి.

• 3/5 మరియు 2/5 భిన్నాలు 3 మరియు 2 సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.
• 3/8, 5/8, 17/8 భిన్నాలు 3, 5, 17 సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.

సంఖ్యలను జోడించండి.సమస్య 3/5 + 2/5లో, 3 + 2 = 5 సంఖ్యలను జోడించండి. సమస్య 3/8 + 5/8 + 17/8లో, 3 + 5 + 17 = 25 సంఖ్యలను జోడించండి.

మొత్తం భిన్నాన్ని వ్రాయండి.సాధారణ హారంతో భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు, అది మారదు - సంఖ్యలు మాత్రమే జోడించబడతాయి.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

అవసరమైతే భిన్నాన్ని మార్చండి.కొన్నిసార్లు భిన్నాన్ని భిన్నం లేదా దశాంశంగా కాకుండా పూర్తి సంఖ్యగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, భిన్నం 5/5 సులభంగా 1కి మార్చబడుతుంది, ఎందుకంటే ఏదైనా భిన్నం దాని హారంతో సమానంగా ఉంటుంది 1. మూడు భాగాలుగా కత్తిరించిన పైని ఊహించుకోండి. మీరు మూడు భాగాలు తింటే, మీరు మొత్తం (ఒక) పైరు తిన్నట్టే.

• ఏదైనా భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చవచ్చు; దీన్ని చేయడానికి, లవంను హారం ద్వారా విభజించండి. ఉదాహరణకు, భిన్నం 5/8 ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: 5 ÷ 8 = 0.625.

వీలైతే, భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి.సరళీకృత భిన్నం అనేది లవం మరియు హారం సాధారణ కారకాలు లేని భిన్నం.

• ఉదాహరణకు, భిన్నం 3/6ని పరిగణించండి. ఇక్కడ న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ 3కి సమానమైన ఉమ్మడి భాగహారాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అనగా, లవం మరియు హారం పూర్తిగా 3చే భాగించబడతాయి. కాబట్టి, 3/6 భిన్నాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .

అవసరమైతే, సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నానికి (మిశ్రమ సంఖ్య) మార్చండి.సరికాని భిన్నం దాని హారం కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, 25/8 (సరైన భిన్నం దాని హారం కంటే తక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది). ఒక సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నంగా మార్చవచ్చు, ఇందులో పూర్ణాంకం భాగం (అంటే పూర్ణ సంఖ్య) మరియు భిన్న భాగం (అంటే సరైన భిన్నం) ఉంటాయి. 25/8 వంటి సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

• సరికాని భిన్నం యొక్క లవంను దాని హారంతో భాగించండి; పాక్షిక కోషెంట్ (మొత్తం సమాధానం) రాయండి. మా ఉదాహరణలో: 25 ÷ 8 = 3 మరియు కొంత మిగిలినవి. ఈ సందర్భంలో, మొత్తం సమాధానం మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క మొత్తం భాగం.
• మిగిలిన వాటిని కనుగొనండి. మా ఉదాహరణలో: 8 x 3 = 24; అసలైన లవం నుండి ఫలిత ఫలితాన్ని తీసివేయండి: 25 - 24 = 1, అంటే, శేషం 1. ఈ సందర్భంలో, శేషం మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగం యొక్క లవం.
• మిశ్రమ భిన్నాన్ని వ్రాయండి. హారం మారదు (అనగా, ఇది సరికాని భిన్నం యొక్క హారంతో సమానం), కాబట్టి 25/8 = 3 1/8.

భిన్నాలతో చర్యలు.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

కాబట్టి, భిన్నాలు ఏమిటి, భిన్నాల రకాలు, రూపాంతరాలు - మేము గుర్తుంచుకున్నాము. ప్రధాన అంశానికి వద్దాం.

మీరు భిన్నాలతో ఏమి చేయవచ్చు?అవును, ప్రతిదీ సాధారణ సంఖ్యలతో సమానంగా ఉంటుంది. కలపండి, తీసివేయండి, గుణించండి, విభజించండి.

ఈ చర్యలన్నీ దశాంశభిన్నాలతో పని చేయడం పూర్ణ సంఖ్యలతో పనిచేయడం కంటే భిన్నంగా లేదు. అసలైన, దశాంశ వాటిని గురించి మంచి ఏమిటి. ఒకే విషయం ఏమిటంటే మీరు కామాను సరిగ్గా ఉంచాలి.

మిశ్రమ సంఖ్యలు, నేను ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, చాలా చర్యలకు తక్కువ ఉపయోగం. వాటిని ఇంకా సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చాలి.

కానీ చర్యలు సాధారణ భిన్నాలువారు మరింత చాకచక్యంగా ఉంటారు. మరియు చాలా ముఖ్యమైనది! నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: అక్షరాలు, సైన్స్, తెలియనివి మరియు మొదలైన వాటితో పాక్షిక వ్యక్తీకరణలతో కూడిన అన్ని చర్యలు సాధారణ భిన్నాలతో కూడిన చర్యల నుండి భిన్నంగా లేవు! సాధారణ భిన్నాలతో కూడిన కార్యకలాపాలు అన్ని బీజగణితాలకు ఆధారం. ఈ కారణంగానే ఈ అంకగణితాన్ని మనం ఇక్కడ చాలా వివరంగా విశ్లేషిస్తాము.

భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం.

ప్రతి ఒక్కరూ ఒకే హారంతో భిన్నాలను జోడించవచ్చు (తీసివేయవచ్చు) (నేను నిజంగా ఆశిస్తున్నాను!). సరే, పూర్తిగా మతిమరుపు ఉన్నవారికి నేను గుర్తు చేస్తాను: జోడించేటప్పుడు (తీసివేసేటప్పుడు), హారం మారదు. ఫలితం యొక్క న్యూమరేటర్‌ను ఇవ్వడానికి న్యూమరేటర్‌లు జోడించబడతాయి (తీసివేయబడతాయి). రకం:

సంక్షిప్తంగా, సాధారణ పరంగా:

హారం భిన్నంగా ఉంటే? అప్పుడు, ఒక భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగించి (ఇక్కడ అది మళ్లీ ఉపయోగపడుతుంది!), మేము హారంలను ఒకే విధంగా చేస్తాము! ఉదాహరణకి:

ఇక్కడ మనం భిన్నం 2/5 నుండి భిన్నం 4/10 చేయవలసి వచ్చింది. హారం ఒకే విధంగా ఉండేలా ఏకైక ప్రయోజనం కోసం. 2/5 మరియు 4/10 అని నేను గమనించాలి అదే భిన్నం! 2/5 మాత్రమే మాకు అసౌకర్యంగా ఉన్నాయి మరియు 4/10 నిజంగా ఓకే.

మార్గం ద్వారా, ఏదైనా గణిత సమస్యలను పరిష్కరించే సారాంశం ఇది. మేము నుండి ఉన్నప్పుడు అసౌకర్యంగామేము వ్యక్తీకరణలు చేస్తాము అదే విషయం, కానీ పరిష్కరించడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

మరొక ఉదాహరణ:

పరిస్థితి ఇలాగే ఉంది. ఇక్కడ మనం 16 నుండి 48ని చేస్తాము. సాధారణ గుణకారం 3 ద్వారా. ఇది స్పష్టంగా ఉంది. కానీ మేము ఇలాంటివి చూశాము:

ఎలా ఉండాలి?! ఏడింటికి తొమ్మిదో వంతు చేయడం కష్టమే! కానీ మేము తెలివైనవాళ్ళం, మాకు నియమాలు తెలుసు! రూపాంతరం చెందుదాం ప్రతిభిన్నం కాబట్టి హారం ఒకేలా ఉంటుంది. దీనిని "సాధారణ హారంకి తగ్గించండి" అని పిలుస్తారు:

వావ్! 63 గురించి నాకు ఎలా తెలుసు? చాలా సింపుల్! 63 అనేది ఒకే సమయంలో 7 మరియు 9తో భాగించబడే సంఖ్య. హారంలను గుణించడం ద్వారా అటువంటి సంఖ్యను ఎల్లప్పుడూ పొందవచ్చు. ఉదాహరణకు, మనం ఒక సంఖ్యను 7తో గుణిస్తే, ఫలితం ఖచ్చితంగా 7తో భాగించబడుతుంది!

మీరు అనేక భిన్నాలను జోడించడం (తీసివేయడం) అవసరమైతే, దశల వారీగా జంటగా చేయవలసిన అవసరం లేదు. మీరు అన్ని భిన్నాలకు సాధారణమైన హారంని కనుగొని, ప్రతి భిన్నాన్ని ఇదే హారంకి తగ్గించాలి. ఉదాహరణకి:

మరియు ఉమ్మడి హారం ఏమిటి? మీరు, వాస్తవానికి, 2, 4, 8 మరియు 16ని గుణించవచ్చు. మేము 1024ని పొందుతాము. పీడకల. 16 సంఖ్యను 2, 4 మరియు 8తో సంపూర్ణంగా భాగించవచ్చని అంచనా వేయడం సులభం. కాబట్టి, ఈ సంఖ్యల నుండి 16ని పొందడం సులభం. ఈ సంఖ్య సాధారణ హారం అవుతుంది. 1/2ని 8/16గా, 3/4ని 12/16గా మారుద్దాం.

మార్గం ద్వారా, మీరు 1024 ను సాధారణ హారంగా తీసుకుంటే, ప్రతిదీ పని చేస్తుంది, చివరికి ప్రతిదీ తగ్గించబడుతుంది. కానీ ప్రతి ఒక్కరూ ఈ ముగింపుకు రాలేరు, ఎందుకంటే లెక్కలు ...

ఉదాహరణను మీరే పూర్తి చేయండి. సంవర్గమానం కాదు... 29/16 ఉండాలి.

కాబట్టి, భిన్నాల కూడిక (వ్యవకలనం) స్పష్టంగా ఉంది, నేను ఆశిస్తున్నాను? వాస్తవానికి, అదనపు మల్టిప్లైయర్‌లతో సంక్షిప్త సంస్కరణలో పని చేయడం సులభం. కానీ ఈ ఆనందం తక్కువ తరగతుల్లో నిజాయితీగా పనిచేసిన వారికి అందుబాటులో ఉంది. మరియు ఏదీ మర్చిపోలేదు.

ఇప్పుడు మేము అదే చర్యలను చేస్తాము, కానీ భిన్నాలతో కాదు, కానీ పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు. ఇక్కడ కొత్త రేక్ కనుగొనబడుతుంది, అవును...

కాబట్టి, మనం రెండు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను జోడించాలి:

మేము హారం అదే చేయాలి. మరియు సహాయంతో మాత్రమే గుణకారం! భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి నిర్దేశిస్తుంది. కాబట్టి, నేను హారంలో మొదటి భిన్నంలో Xకి ఒకదాన్ని జోడించలేను. (అది బాగుంటుంది!). కానీ మీరు హారంలను గుణిస్తే, మీరు చూస్తారు, ప్రతిదీ కలిసి పెరుగుతుంది! కాబట్టి మేము భిన్నం యొక్క రేఖను వ్రాస్తాము, ఎగువన ఖాళీ స్థలాన్ని వదిలివేస్తాము, ఆపై దానిని జోడించి, మర్చిపోకుండా ఉండటానికి క్రింద ఉన్న హారం యొక్క ఉత్పత్తిని వ్రాస్తాము:

మరియు, వాస్తవానికి, మేము కుడి వైపున ఏదైనా గుణించము, మేము కుండలీకరణాలను తెరవము! ఇప్పుడు, కుడి వైపున ఉన్న సాధారణ హారంను చూస్తే, మేము గ్రహించాము: మొదటి భిన్నంలో x(x+1) హారం పొందడానికి, మీరు ఈ భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం (x+1) ద్వారా గుణించాలి. . మరియు రెండవ భిన్నంలో - x వరకు. మీరు పొందేది ఇదే:

గమనిక! ఇక్కడ కుండలీకరణాలు ఉన్నాయి! చాలామంది అడుగులు వేసే రేక్ ఇది. అయితే కుండలీకరణాలు కాదు, కానీ వారి లేకపోవడం. మనం గుణించడం వల్ల కుండలీకరణాలు కనిపిస్తాయి అన్నిన్యూమరేటర్ మరియు అన్నిహారం! మరియు వారి వ్యక్తిగత ముక్కలు కాదు ...

కుడి వైపున ఉన్న న్యూమరేటర్‌లో మేము న్యూమరేటర్ల మొత్తాన్ని వ్రాస్తాము, ప్రతిదీ సంఖ్యా భిన్నాలలో వలె ఉంటుంది, ఆపై మేము కుడి వైపున ఉన్న లవంలోని బ్రాకెట్‌లను తెరుస్తాము, అనగా. మేము అన్నింటినీ గుణిస్తాము మరియు ఇలాంటి వాటిని ఇస్తాము. హారంలోని కుండలీకరణాలను తెరవడం లేదా ఏదైనా గుణించడం అవసరం లేదు! సాధారణంగా, హారంలో (ఏదైనా) ఉత్పత్తి ఎల్లప్పుడూ మరింత ఆహ్లాదకరంగా ఉంటుంది! మాకు దొరికింది:

కాబట్టి మాకు సమాధానం వచ్చింది. ప్రక్రియ పొడవుగా మరియు కష్టంగా అనిపిస్తుంది, కానీ ఇది అభ్యాసంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించిన తర్వాత, దాన్ని అలవాటు చేసుకోండి, ప్రతిదీ సులభం అవుతుంది. నిర్ణీత సమయంలో భిన్నాలపై పట్టు సాధించిన వారు ఈ ఆపరేషన్లన్నీ ఒక ఎడమ చేతితో స్వయంచాలకంగా చేస్తారు!

మరియు మరొక గమనిక. చాలా మంది భిన్నాలతో తెలివిగా వ్యవహరిస్తారు, కానీ ఉదాహరణలతో చిక్కుకుపోతారు మొత్తంసంఖ్యలు. ఇలా: 2 + 1/2 + 3/4= ? రెండు ముక్కలను ఎక్కడ కట్టుకోవాలి? మీరు దీన్ని ఎక్కడైనా కట్టుకోవలసిన అవసరం లేదు, మీరు రెండింటిలో ఒక భాగాన్ని తయారు చేయాలి. ఇది సులభం కాదు, కానీ చాలా సులభం! 2=2/1. ఇలా. ఏదైనా పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం వలె వ్రాయవచ్చు. న్యూమరేటర్ అనేది సంఖ్య, హారం ఒకటి. 7 7/1, 3 3/1 మరియు మొదలైనవి. అక్షరాల విషయంలోనూ అంతే. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, మొదలైనవి. ఆపై మేము అన్ని నిబంధనల ప్రకారం ఈ భిన్నాలతో పని చేస్తాము.

బాగా, భిన్నాల కూడిక మరియు వ్యవకలనం యొక్క జ్ఞానం రిఫ్రెష్ చేయబడింది. భిన్నాలను ఒక రకం నుండి మరొక రకంకి మార్చడం పునరావృతమైంది. మీరు కూడా తనిఖీ చేయవచ్చు. మనం కొంచెం పరిష్కరించుకుందాం?)

లెక్కించు:

సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నాయి):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

భిన్నాల గుణకారం/విభజన - తదుపరి పాఠంలో. భిన్నాలతో అన్ని కార్యకలాపాలకు టాస్క్‌లు కూడా ఉన్నాయి.

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.