Ukurasa wa 2

Pembetatu za kulia zinazoundwa kwa mtiririko huo na alama O, (a b) / 2, t na 0, (a) / 2, t, zinafanana.

Pembetatu ya kulia na miguu 5 na 12 cm, inazunguka karibu na mhimili wa nje, ambayo ni sambamba na mguu mkubwa na nafasi ya 3 cm kutoka humo.

Pembetatu ya kulia yenye miguu sm 15 na sm 20 huzunguka pembezoni mwa hypotenuse inayotolewa kupitia kipeo cha pembe kubwa ya papo hapo.

Pembetatu za kulia zinafanana ikiwa kila moja ina pembe ya papo hapo sawa.

Pembetatu za kulia zinafanana ikiwa pande za moja ni sawia na pande za nyingine.

Pembetatu ya kulia inaweza kuwa na pande, ambayo kila moja ni nambari kamili. Seti ya maadili matatu kamili kwa pande za pembetatu ya kulia inaitwa Pythagorean mara tatu. Pande hizi tatu lazima zikidhi uhusiano ufuatao: jumla ya miraba ya miguu miwili ni sawa na mraba wa hypotenuse. Tumia kiota chenye kiota mara tatu kwa kitanzi ambacho huzunguka kwa urahisi uwezekano wote. Huu ni mfano wa hesabu ya nguvu ya kikatili. Kwa wengi, haileti kuridhika kwa uzuri. Lakini kuna sababu nyingi kwa nini njia hizi ni muhimu. Kwanza, na nguvu teknolojia ya kompyuta kukua kwa kasi hiyo isiyo ya kawaida, masuluhisho ambayo yangehitaji miaka au hata karne za wakati wa kompyuta kwa kutumia teknolojia zilizotumiwa miaka michache iliyopita sasa yanaweza kupatikana kwa saa, dakika, au hata sekunde. Mizunguko ya kisasa ya microprocessor inaweza kusindika shughuli zaidi ya milioni 100 kwa sekunde. Na katika miaka ya 90, kwa uwezekano wote, nyaya za microprocessor zinazoweza kusindika shughuli za bilioni kwa pili zinapaswa kuonekana. Pili, kama utajifunza katika kozi za juu za sayansi ya kompyuta, kuna idadi kubwa kazi za kuvutia, ambayo hakuna mbinu za algorithmic zinazojulikana zaidi ya suluhu za nguvu za kinyama.

Pembetatu ya kulia ambayo pande zake ni 12 cm na 16 cm huzunguka hypotenuse.

Pembetatu za kulia na pande zilizopimwa kwa nambari nzima.

Pembetatu ya kulia yenye miguu 8 cm na 15 cm huzunguka mguu mkubwa.

Pembetatu ya kulia yenye eneo S na angle ya papo hapo a huzunguka mhimili ulio na hypotenuse.

Pembetatu ya kulia yenye eneo S na pembe ya papo hapo A huzunguka mhimili kupitia kipeo pembe ya kulia sambamba na hypotenuse.

Pembetatu ya kulia yenye mguu A na pembe tofauti ya 30 huzunguka hypotenuse.

Pembetatu ya kulia husogea kwenye ndege ili vipeo vya pembe zake za papo hapo ziteleze pamoja na mistari miwili iliyonyooka kwa pande zote mbili. Je, ni umbo gani linaloundwa na vipeo vya pembe ya kulia ya pembetatu hii?

Kama inavyojulikana; wakati hatua inapozunguka mhimili, inasonga kwenye ndege, perpendicular kwa mhimili mzunguko na kuelezea mduara. Ili kutumia njia ya kuzunguka ili kubadilisha mchoro, tunaona mambo manne yafuatayo (Mchoro 5.8):

mhimili wa mzunguko (MN);

ndege ya mzunguko wa uhakika(PL. S ni perpendicular (MN));

kituo cha mzunguko;

eneo la mzunguko (R; R= |OA|).

Mistari iliyonyooka, ya pembeni au sambamba na ndege za makadirio, kwa kawaida hutumiwa kama mhimili wa mzunguko. Wacha tuzingatie mzunguko wa shoka, perpendicular kwa ndege makadirio.

Mzunguko wa pointi A katika kuchora kuhusiana na mhimili MN, perpendicular kwa ndege N, inavyoonyeshwa katika Mchoro 5.9. Ndege ya mzunguko S sambamba na H ndege na inaonyeshwa ijayo kwenye makadirio ya mbele S v. Makadirio ya mlalo o kituo cha mzunguko o sanjari na makadirio tp mhimili, na makadirio ya mlalo oa radius ya mzunguko OA ni saizi yake ya asili. Zungusha pointi A katika Mchoro 5.9 imetengenezwa na pembe f kinyume cha saa ili katika nafasi mpya pointi zenye makadirio. a1", a1 radius ya mzunguko ilikuwa sambamba na ndegeV Wakati wa kuzungusha nukta mhimili wima makadirio yake ya mlalo husogea kuzunguka duara, na makadirio yake ya mbele yanasogea sambamba na mhimili wa x na perpendicular kwa mhimili wa mzunguko.

Ikiwa hatua imezungushwa karibu na mhimili wa perpendicular kwa ndege ya V, basi makadirio yake ya mbele yatasonga kando ya mduara, na makadirio yake ya usawa yataenda sambamba na mhimili wa x.

Mzunguko wa hatua karibu na mstari unaojitokeza hutumiwa kutatua matatizo fulani, kwa mfano, wakati wa kuamua ukubwa wa asili wa sehemu ya mstari. Kwa hili (Mchoro 5.10), mhimili wa mzunguko na makadirio ni wa kutosha tp, tp chagua ili ipite kupitia moja ya pointi kali sehemu, kwa mfano nukta iliyo na makadirio b", b. Kisha wakati wa kugeuza hatua A kwa pembe f kwa nafasi A1 (OA1 || eneo la V, oa, || mhimili x) sehemu ya AB huhamia kwenye nafasi A1B, sambamba na ndege V na kwa hivyo inakadiriwa juu yake katika saizi ya maisha. Wakati huo huo, angle ya mwelekeo wa sehemu itaonyeshwa kwa ukubwa kamili AB kwa ndege H.

Mzunguko (mzunguko) wa uhakika na makadirio b", b kuhusiana na mhimili wenye makadirio tp, tp, perpendicular kwa ndege V, inavyoonyeshwa katika Mchoro 5.11. Wakati wa kuzungusha uhakika KATIKA kuhamia kwenye ndege ya mzunguko T (Th) kuweka na makadirio b1",b1 ili radius ya mzunguko OB ikawa sambamba na ndege H (o"b" || mhimili x).

Utumiaji wa njia ya kuzunguka bila kuashiria kwenye kuchora shoka za kuzunguka kwa ndege za makadirio.Ikiwa unazunguka takwimu ya kijiometri karibu na mhimili unaoelekea kwa ndege ya makadirio, basi makadirio kwenye ndege hii hayabadilika ama kwa kuonekana au kwa ukubwa (tu nafasi ya makadirio kuhusiana na mhimili wa makadirio hubadilika). Makadirio ya uhakika takwimu ya kijiometri kwenye ndege inayofanana na mhimili wa kuzunguka, songa kwa mistari iliyonyooka, sambamba na mhimili makadirio (isipokuwa makadirio ya pointi ziko kwenye mhimili wa mzunguko), na makadirio kwa ujumla hubadilika katika sura na ukubwa. Kwa hiyo, unaweza kutumia njia ya mzunguko bila kutaja picha ya mhimili wa mzunguko. Katika hilo

kesi, bila kubadilisha saizi na sura ya moja ya makadirio ya picha ya kijiometri, songa makadirio haya kwa nafasi inayohitajika, na kisha ujenge makadirio mengine kama ilivyoonyeshwa hapo juu.

Mchoro 5.12 unaonyesha matumizi ya njia ya kuzungusha bila kubainisha shoka ili kubainisha ukubwa asilia wa pembetatu. ABC, iliyotolewa na makadirio a"b"c", abc. Ili kufanya hivyo, mizunguko miwili ya ndege ilifanyika msimamo wa jumla, ambayo pembetatu iko ili baada ya mzunguko wa kwanza ndege hii inakuwa perpendicular kwa ndege V, na baada ya pili - sambamba na ndege ya H Mzunguko wa kwanza karibu na mhimili perpendicular kwa ndege ya H, bila kuonyesha msimamo wake, unafanywa kwa kutumia mstari wa usawa na makadirio. s"1", s-1 katika ndege ya pembetatu. Katika kesi hii, makadirio ya usawa ac kuzungushwa ili ilingane na mwelekeo wa makadirio. Makadirio ya usawa ya pembetatu huhifadhi kuonekana na ukubwa wake, nafasi yake tu inabadilika. Pointi A, B na C kwa mzunguko kama huo husogea kwa ndege sambamba na makadirio ya ndege ya H a1", c1, b1" a"a1", b"b1" na c"c1". Makadirio ya mbele ya pembetatu katika nafasi mpya ni sehemu a1"b1"c1".

Mzunguko wa pili, kuleta pembetatu kwa nafasi inayofanana na ndege ya H, inafanywa karibu na mhimili wa mzunguko perpendicular kwa ndege ya H (nafasi ya mhimili pia haijaonyeshwa). Makadirio ya mbele wakati wa mzunguko wa pili huhifadhi mwonekano na ukubwa uliopatikana baada ya mzunguko wa kwanza. Pointi A1, D1 na C1 tembea kwa ndege sambamba na ndege V Makadirio a 2, b 2, c 2 ziko kwenye mistari ya mlalo mawasiliano a,a 2, blb2, c1c2. Makadirio a2b2c 2 inawakilisha ukubwa halisi wa pembetatu iliyotolewa.

Wakati wa kufanya mizunguko inayozingatiwa karibu na axes perpendicular kwa ndege za makadirio, axes hizi hazionyeshwa, lakini zinaweza kupatikana kwa urahisi. Kwa mfano, ikiwa unachora sehemu aa1, b1b2 na kuchora perpendiculars kupitia midpoints yao, basi hatua ya makutano inayotokana ya hizi perpendiculars itakuwa makadirio ya usawa ya mhimili wa mzunguko perpendicular kwa H ndege.

Kutumia njia ya mzunguko bila kutaja shoka kwa kiasi fulani hurahisisha ujenzi hakuna mwingiliano wa moja

makadirio kwenye mwingine, lakini mchoro unachukua eneo kubwa. (Kesi inayozingatiwa ya mzunguko bila kuonyesha shoka za mzunguko ni kesi maalum ya njia ya harakati ya ndege-sambamba.)

Mbinu ya kuzunguka kwa mistari iliyonyooka sambamba na ndege za makadirio.Ukubwa wa maisha sura ya gorofa inaweza kuamua kwa kuzunguka kwa mhimili unaofanana na ndege ya makadirio, na kuleta takwimu katika nafasi inayofanana na ndege ya makadirio na mzunguko mmoja.

Mchoro 5.13 unaonyesha ufafanuzi wa ukubwa wa pembetatu yenye makadirio a"b"c", abc mzunguko kuzunguka mlalo.Aidha, pointi zote za pembetatu(isipokuwa kwa wale wanaolala kwenye mhimili wa mzunguko)zunguka mhimili katika miduara katika ndege perpendicular kwa mhimili.Ikiwa pembetatu inachukua nafasi inayofanana na ndege ya makadirio, radii ya kuzunguka kwa pointi zake itageuka kuwa sawa na ndege hii, i.e. itaonyeshwa kwenye ndege. N ukubwa halisi.

Mhimili mlalo na makadirio huchukuliwa kama mhimili wa mzunguko c"1", c-1.

Pointi C kwenye mhimili wa mzunguko inabaki bila kusonga. Ili kuonyesha makadirio ya usawa ya pembetatu baada ya kuzunguka, unahitaji kupata nafasi ya makadirio ya vipeo vingine viwili. Vipeo vilivyo na makadirio a", a na b", b pembetatu ya kusonga

ziko kwenye ndege P na Q harakati za pointi hizi. Makadirio ya mlalo O kituo cha mzunguko wa kilele A ni sehemu ya makutano ya makadirio ya mlalo s-1 mhimili wa mzunguko wenye makadirio ya mlalo P h. Makadirio yake ya mbele yamewekwa alama juu yake o". Sehemu oa - usawa, o"a" - makadirio ya mbele ya radius ya mzunguko wa uhakika A. Ukubwa wa maisha oA radius ya mzunguko wa uhakika A imedhamiriwa na njia iliyojadiliwa katika 2.3 (tazama Mchoro 2.9), yaani, kwa kujenga pembetatu sahihi. Kwa urefu oa na aA = o"2" pembetatu imejengwa oaA, hypotenuse yake ni sawa na radius ya mzunguko wa uhakika A.

Kutoka kwa makadirio o katikati ya mzunguko wa uhakika A katika mwelekeo wa kufuatilia Ph ya ndege ya harakati zake tunapanga thamani ya asili ya radius ya mzunguko. Kuashiria makadirio ya mlalo a, pointi A, kuzungushwa kwa nafasi ya pembetatu sambamba na ndege N. Makadirio ya mlalo ya bt point KATIKA katika nafasi iliyozungushwa tunaipata kama sehemu ya makutano ya makadirio ya mlalo 1-at na trace Q h . Makadirio ya mlalo a1cb1 inaelezea thamani ya asili ya A AC, tangu baada ya kuzunguka ndege ya pembetatu ni sambamba na ndege N. Makadirio ya mbele ya pembetatu iliyozungushwa sanjari na makadirio ya mbele ya mlalo 1"s", yaani, ni sehemu ya mstari wa moja kwa moja.

Ikiwa unataka kuzungusha picha ya kijiometri bapa kwa nafasi inayolingana na ndege V, kisha mbele huchaguliwa kama mhimili wa mzunguko.

Inazungusha ndege kuzunguka eneo lake hadi ilingane na makadirio yanayolingana(kesi hii pia inaitwa njia ya mchanganyiko). Ikiwa ndege inazungushwa karibu na ufuatiliaji wake mpaka inafanana na ndege ya makadirio ambayo ufuatiliaji huu unapatikana, basi picha za kijiometri zilizo kwenye ndege zitaonyeshwa bila kuvuruga. Njia hii ni kesi maalum ya kuzunguka kwa usawa au mbele, kwani athari ya usawa ya ndege inaweza kuzingatiwa kama "sifuri" ya usawa ya ndege iliyo na usawa, na sehemu ya mbele kama "sifuri" ya mbele.

Mchoro 5.14 unaonyesha uwakilishi wa kuona wa mzunguko wa ndege ya nafasi ya jumla R karibu na wimbo mlalo P h mbali na ndege V kuelekea mtazamaji hadi ilingane na ndege N. Katika nafasi ya usawa wa ndege P na ndege

H mstari wa moja kwa moja P Uq inawakilisha athari R na, pamoja na ndege N. Fuatilia Ph jinsi mhimili wa mzunguko haubadilishi msimamo wake. Nukta Px makutano ya nyimbo pia haibadili msimamo wake. Ili kujenga msimamo wa pamoja P L , alama ya P v inatosha kupata hoja moja zaidi, kwa mfano uhakika N, ufuatiliaji huu (isipokuwa kwa uhakika P x) katika nafasi iliyoambatana na ndege N.

Pointi N inaelezea arc katika ndege Q, perpendicular kwa mhimili wa mzunguko. Kituo KUHUSU safu hii ni sehemu ya makutano ya ndege Q yenye alama ya P h. Point N 0 kwenye ndege ya H ni sehemu ya makutano ya radius ya arc ILIYOWASHWA kwenye ndege ya Q yenye alama ya Q h. Kuchora mstari wa moja kwa moja kupitia P x na N 0, tunapata P U0. Sehemu ya P X N haibadili urefu wake wakati ndege inazunguka; hivyo uhakika N 0 inaweza kupatikana kwa kuvuka Qh na arc iliyoelezwa kwenye ndege H, kutoka sehemu ya P x yenye radius P X N.

Ili kutekeleza ujenzi unaojadiliwa katika kuchora (Mchoro 5.15) kwenye ufuatiliaji R na sehemu ya kiholela imechaguliwa N (inaendana na makadirio yake P"). Kupitia makadirio yake ya usawa P mstari wa moja kwa moja ulichorwa Kwa, perpendicular kwa mhimili wa mzunguko - kufuatilia P h. Hoja inapatikana kwenye mstari huu N 0, yaani uhakika N baada ya kuunganishwa na ndege N. Anapatikana kwa mbali P X N 0 = P x p" kutoka kwa uhakika P x au kwa mbali kwenye 0 kutoka kwa uhakika o, sawa na radius ya mzunguko wa uhakika N. Urefu wa kipenyo kwenye N 0 = on hufafanuliwa, kwa mfano, kama hypotenuse ya pembetatu ya kulia yenye miguu on na nN (nN=nn"). Mstari wa moja kwa moja P U0, kupita pointi P x na N 0, - nafasi ya pamoja ya wimbo R i.

Msimamo wa pamoja wa hatua ya C0 ulijengwa sawa C. Radi ya mzunguko оС hupatikana kama hypotenuse ya mstatili

pembetatu kwa mguu mmoja os, mguu mwingine сС=с"1. Chaguo la pili la ujenzi linafanywa kwa kutumia ndege ya usawa P yenye makadirio c"2", c -2. Kutumia radius ya arc R x 2" nafasi ya pamoja imepatikana 2o hatua 2 kwenye mstari Pv0, na katika nafasi ya pamoja 20С0 mstari wa usawa hutolewa kupitia hatua 2 0 sambamba na njia ya Ph.

Ikiwa ni muhimu kuunganisha ndege na ndege ya mbele ya makadirio, basi ndege inapaswa kuzungushwa karibu na ufuatiliaji wake wa mbele.

§ 24. Miili ya mzunguko.

Silinda, koni na koni iliyokatwa.

1. Mraba na upande A huzunguka pembeni hadi kwenye mlalo unaochorwa kupitia mwisho wake. Kuamua kiasi na uso wa mwili unaosababisha.

2. Mraba na upande A huzunguka mhimili wa nje, ambao ni sambamba na upande wake na kutengwa kutoka humo kwa urefu wa upande. Inahitajika: 1) kuamua kiasi na uso wa mwili unaosababisha; 2) kuamua kwa uwiano gani kiasi kilichoundwa na mzunguko wa mraba kitagawanywa na uso ambao diagonal yake itaelezea.

3. Pembetatu ya equilateral huzunguka pembeni ya pembeni inayochorwa kupitia mwisho wake. Je! nyuso zilizoelezewa na pande za pembetatu zinahusianaje?

4. Pembetatu ya equilateral huzunguka kwanza kuzunguka upande na kisha kuzunguka sambamba na upande uliochorwa kupitia kipeo. Mara ya pili, kiasi na uso unaosababishwa ni mara mbili zaidi kuliko mara ya kwanza. Thibitisha.

5. Pembetatu ya usawa na upande A huzunguka mhimili wa nje, ambao ni sambamba na upande na uko mbali nayo; sawa na apothem pembetatu. Kuamua kiasi na uso wa mwili unaosababisha.

6. Moja ya pande A ya pembetatu ya equilateral hupanuliwa kwa urefu sawa na hiyo, na perpendicular yake hutolewa kupitia mwisho wa ugani. Amua kiasi na eneo la uso la mwili ambalo litapatikana ikiwa unazunguka pembetatu kuzunguka hii perpendicular.

7. Urefu wa pembetatu ya equilateral hupanuliwa zaidi ya vertex yake hadi urefu wake, na perpendicular yake hutolewa kupitia mwisho wa ugani. Kwa upande A kuamua kiasi na eneo la uso la mwili linaloundwa kwa kuzungusha pembetatu kuzunguka hii perpendicular.

8. Pande za mraba hutumika kama pande pembetatu za usawa iliyojengwa nje, na takwimu inayotokana inazunguka mstari wa moja kwa moja unaounganisha wima za nje za hizo mbili pembetatu kinyume. Upande wa mraba ni A . Kuamua kiasi na uso wa mwili unaosababisha.

9. Kwa upande A ya hexagon ya kawaida, kuamua kiasi na uso wa miili inayoundwa na mzunguko wake: 1) karibu na kipenyo; 2) karibu na apothem.

10. Kwa upande A ya hexagon ya kawaida, tambua kiasi na eneo la uso la mwili linaloundwa na mzunguko wake kuzunguka kando.

11. A huzunguka mhimili unaopita kwenye kipeo chake chenye kipenyo hadi kwenye kipenyo kinachochorwa kwenye kipeo hiki. Amua kiasi na eneo la uso wa mwili wa mzunguko.

12. Hexagons ya kawaida na upande A huzunguka mhimili wa nje, ambao ni sambamba na upande na kutengwa kutoka humo kwa urefu wa apothem. Kuamua kiasi na uso wa mwili unaosababisha.

13. Pembetatu ya kulia iliyo na miguu 5 cm na 12 cm inazunguka mhimili wa nje, ambao ni sawa na mguu mkubwa na umewekwa kwa umbali wa cm 3 kutoka kwake.

14. Pembetatu ya kulia yenye miguu sm 15 na sm 20 huzunguka pembezoni mwa hypotenuse inayotolewa kupitia kipeo cha pembe kubwa ya papo hapo. Amua kiasi na eneo la uso wa mwili wa mzunguko.

15. Pembetatu yenye pande 9 cm, 10 cm na 17 cm huzunguka kwenye urefu unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe yake ndogo. Kuamua kiasi na uso wa mwili unaosababisha.

16. Pembetatu yenye pande 8 cm na 5 cm iliyofunga pembe ya 60 ° inazungushwa karibu na mhimili unaopita kupitia vertex ya angle hii perpendicular kwa ndogo ya pande zake. Amua kiasi na eneo la uso wa mwili wa mzunguko.

17. Kiasi kinachoundwa kwa kuzungusha parallelogramu mfululizo kuzunguka pande mbili zinazokaribiana ni sawia na pande hizi. Thibitisha.

18. Rombusi ambayo eneo lake ni Q huzunguka kando yake. Kuamua uso wa mwili unaosababisha.

19. 1) Almasi yenye ubavu A na huzunguka kwa pembe ya papo hapo ya 60 ° kuzunguka mhimili unaotolewa kupitia kipeo cha pembe hii kwa upande. Amua kiasi na eneo la uso wa mwili wa mzunguko.

2) Kazi sawa kwa angle ya 45 °.

20. Isosceles trapezoid, ambao angle ya papo hapo ni 45 ° na upande ni sawa na msingi mdogo, huzunguka kando. Pamoja na urefu wake A kuamua kiasi na uso wa mwili wa mapinduzi.

21. Trapezoid imeandikwa katika semicircle ya radius R ili msingi wake wa chini ni kipenyo cha mduara huu, na upande wake hupunguza arc ya 30 °. Amua kiasi na eneo la uso la mwili linaloundwa kwa kuzungusha trapezoid hii karibu na radius perpendicular kwa msingi wake.

22. AB ni kipenyo cha semicircle iliyotolewa ya radius R; BC-arc yenye 60 °. Chord AC na CD tangent hutolewa, ambapo D ni hatua kwenye upanuzi wa kipenyo cha AB. Amua kiasi na eneo la uso wa mwili uliopatikana kwa kuzungusha pembetatu ACD kuzunguka mhimili AD.

Mpira na sehemu zake.

23. Kwenye semicircle ya radius R kutoka mwisho wa kipenyo chake AB, arc ya IUD ya 60 ° imewekwa, na hatua C imeunganishwa na A. Tambua kiasi na uso wa mwili unaoundwa ikiwa kielelezo kimefungwa na kipenyo cha AB, chord AC na safu ya IUD huzungushwa karibu na AB.

24. Kwenye semicircle ya radius R kutoka mwisho wa kipenyo chake AB, arc IUD ya 45 ° imewekwa kutoka kwa uhakika C, kuingiliana na kuendelea kwa kipenyo AB kwa uhakika D. Takwimu, imefungwa na mistari ya moja kwa moja; BD na CD na arc IUD, huzunguka BD. Kuamua kiasi na uso wa mwili unaosababisha.

25. O - katikati ya safu ya AMC ya radius R; B-kumweka juu ya upanuzi wa radius OA; BC-tangent kwa arc AMC; CD - perpendicular kwa radius OA. Takwimu huzunguka karibu na mhimili wa OB. Amua umbali wa OD ikiwa uso unaoundwa na mzunguko wa arc AMC hutenganisha kiasi kilichoundwa na mzunguko wa OCB ya pembetatu kuzunguka mhimili OB.

26. AMC, CND na DPB ni theluthi zinazofuatana za nusu duara yenye kipenyo cha AB na katikati O. Mfumo wa uendeshaji wa radii na OD na chords AC na AD huchorwa, na takwimu huzunguka kipenyo cha AB. Thibitisha kuwa takwimu ACND na OCND zitaelezea kiasi sawa, kila moja ikijumuisha nusu ya ujazo wa tufe.

27. Sehemu ya mviringo inazunguka kipenyo sambamba na chord. Kuthibitisha kwamba kiasi kusababisha sawa na kiasi mpira wenye kipenyo sawa na chord sehemu.

28. 1) AOB - quadrant na kituo cha O na radius R; AMC - arc yenye 60 °; AD ni tangent, na D ni hatua ya makutano yake na upanuzi wa radius OS. Kielelezo, kilichofungwa na makundi AD na CD na arc AMC, huzunguka kwenye radius OB. Kuamua kiasi na uso wa mwili unaosababisha.

2) Tatizo sawa kwa safu ya AMC sawa na 45 °.

Nadharia za Gylden.

29. Angalia nadharia zote za Gylden kwa kesi za mzunguko:

1) mstatili karibu na moja ya pande zake;

2) rhombus na upande A na urefu h kuzunguka moja ya pande zake;

3) pembetatu ya kawaida na upande A karibu na mhimili unaopita kwenye sambamba ya juu na msingi;

4) pembetatu ya kulia karibu na moja ya miguu;

5) pembetatu ya kulia karibu na hypotenuse.

30. Sehemu ya msalaba pete ya chuma- mraba na upande A = 4 cm; kipenyo cha wastani cha pete d = 80 cm na mvuto maalum yake 8.6. Tafuta uzito wa pete.

31. Boya la kuokoa maisha, sehemu ya msalaba ambayo ni duara, inaweza kuzingatiwa kama mwili unaotokana na mzunguko wa duara kuzunguka mhimili fulani. Kipenyo cha sehemu d = 12 cm; kipenyo cha nje cha lifebuoy D = 75 cm.

32. Hifadhi ya locomotive ina sura ya semiring katika mpango (Mchoro 44), kipenyo cha ndani ambacho ni 20 m; upana wa nusu ya pete 9 m; V sehemu ya msalaba depo ina aina ya ABCD ya trapezoid ya mstatili, pande sambamba ambayo ni sawa na 4.25 m na 6.5 m Tafuta kiasi cha bohari.

33. Pande za pembetatu ni 9 cm, 10 cm na 17 cm Pembetatu inazunguka urefu wake mkubwa. Kuamua kiasi cha uso wa mwili wa mzunguko.

34. Thibitisha kwamba kiasi kilichopatikana kwa kuzungusha pembetatu kuzunguka msingi na kuzunguka mstari sambamba na msingi unaopita kwenye kipeo cha pembetatu ziko katika uwiano wa 1:2.

Koni. Frustum

Uso wa conical ni uso unaoundwa na mistari yote iliyonyooka inayopitia kila ncha ya curve fulani na sehemu iliyo nje ya mkunjo (Mchoro 32).

Curve hii inaitwa mwongozo , moja kwa moja - kutengeneza , nukta - juu uso wa conical.

Sawa mviringo uso conical ni uso unaoundwa na mistari yote iliyonyooka inayopitia kila nukta ya duara fulani na ncha kwenye mstari wa moja kwa moja ambao ni sawa na ndege ya duara na hupita katikati yake. Katika kile kinachofuata tutaita uso huu kwa ufupi uso wa conical (Mchoro 33).

Koni (moja kwa moja koni ya mviringo ) inaitwa mwili wa kijiometri, mdogo na uso wa conical na ndege ambayo ni sawa na ndege ya mzunguko wa mwongozo (Mchoro 34).

Mchele. 32 Mtini. 33 Mtini. 34

Koni inaweza kuzingatiwa kama mwili unaopatikana kwa kuzungusha pembetatu ya kulia kuzunguka mhimili ulio na moja ya miguu ya pembetatu.

Mduara unaofunga koni unaitwa yake msingi . Vertex ya uso wa conical inaitwa juu koni Sehemu inayounganisha vertex ya koni na katikati ya msingi wake inaitwa urefu koni Makundi kutengeneza uso wa conical, zinaitwa kutengeneza koni Mhimili ya koni ni mstari wa moja kwa moja unaopita juu ya koni na katikati ya msingi wake. Sehemu ya Axial inayoitwa sehemu inayopita kwenye mhimili wa koni. Maendeleo ya uso wa upande ya koni ni sekta ambayo radius sawa na urefu jenereta ya koni, na urefu wa arc ya sekta ni sawa na mzunguko wa msingi wa koni.

Njia sahihi za koni ni:

Wapi R- radius ya msingi;

H- urefu;

l- urefu wa jenereta;

S msingi- eneo la msingi;

S upande

S kamili

V- kiasi cha koni.

Koni iliyokatwa inayoitwa sehemu ya koni iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya kukata sambamba na msingi wa koni (Mchoro 35).

Koni iliyokatwa inaweza kuzingatiwa kama mwili unaopatikana kwa kuzungusha trapezoid ya mstatili kuzunguka mhimili ulio na upande trapezoid perpendicular kwa besi.

Miduara miwili inayofunga koni inaitwa yake sababu . Urefu ya koni iliyopunguzwa ni umbali kati ya besi zake. Sehemu zinazounda uso wa conical wa koni iliyokatwa huitwa kutengeneza . Mstari wa moja kwa moja unaopita katikati ya besi huitwa mhimili koni iliyopunguzwa. Sehemu ya Axial inayoitwa sehemu inayopita kwenye mhimili wa koni iliyokatwa.

Kwa koni iliyopunguzwa fomula sahihi ni:

(8)

Wapi R- radius ya msingi wa chini;

r- radius ya msingi wa juu;

H- urefu, l - urefu wa jenereta;

S upande- eneo la uso wa upande;

S kamili- mraba uso kamili;

V- kiasi cha koni iliyokatwa.

Mfano 1. Sehemu ya msalaba ya koni sambamba na msingi hugawanya urefu kwa uwiano wa 1: 3, kuhesabu kutoka juu. Pata eneo la uso wa koni iliyokatwa ikiwa radius ya msingi na urefu wa koni ni 9 cm na 12 cm.

Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Kielelezo 36).

Ili kuhesabu eneo la uso wa pembeni wa koni iliyokatwa, tunatumia formula (8). Hebu tupate radii ya besi Kuhusu 1 A Na Kuhusu 1 V na kutengeneza AB.

Hebu tuzingatie pembetatu zinazofanana SO2B Na Kwa hivyo 1 A, mgawo wa kufanana, basi

Kutoka hapa

Tangu wakati huo

Sehemu ya uso ya koni iliyokatwa ni sawa na:

Jibu: .

Mfano 2. Robo ya duara ya radius imefungwa kwenye uso wa conical. Pata radius ya msingi na urefu wa koni.

Suluhisho. Roboduara ya mduara ni maendeleo ya uso wa pembeni wa koni. Hebu kuashiria r- radius ya msingi wake; H - urefu. Wacha tuhesabu eneo la uso wa upande kwa kutumia formula: . Ni sawa na eneo la mduara wa robo:. Tunapata equation na mbili zisizojulikana r Na l(kutengeneza koni). KATIKA kwa kesi hii jenereta ni sawa na radius ya mzunguko wa robo R, ambayo inamaanisha tunapata equation ifuatayo: , kutoka ambapo Kujua radius ya msingi na jenereta, tunapata urefu wa koni:

Jibu: 2 cm,.

Mfano 3. Trapezoid ya mstatili na angle ya papo hapo ya 45 O, msingi mdogo wa 3 cm na upande unaoelekea sawa na , huzunguka pande zote perpendicular kwa besi. Pata kiasi cha mwili unaosababishwa wa mapinduzi.

Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Kielelezo 37).

Kama matokeo ya mzunguko, tunapata koni iliyopunguzwa ili kupata kiasi chake, tunahesabu radius msingi mkubwa na urefu. Katika trapeze O 1 O 2 AB tutafanya AC^O 1 B. B tunayo: hii ina maana kwamba pembetatu hii ni isosceles A.C.=B.C.= 3 cm.

Jibu:

Mfano 4. Pembetatu yenye pande 13 cm, 37 cm na 40 cm huzunguka mhimili wa nje ambao ni sambamba. upande mkubwa na iko umbali wa cm 3 kutoka kwake (mhimili iko kwenye ndege ya pembetatu). Pata eneo la uso wa mwili unaosababishwa wa mapinduzi.

Suluhisho . Hebu tufanye kuchora (Kielelezo 38).

Uso wa mwili unaotokana na mapinduzi una nyuso za pembeni za koni mbili zilizokatwa na uso wa nyuma wa silinda. Ili kuhesabu maeneo haya, ni muhimu kujua radii ya besi za mbegu na silinda ( KUWA Na O.C.), kutengeneza mbegu ( B.C. Na A.C.) na urefu wa silinda ( AB) Kinachojulikana pekee ni CO. huu ni umbali kutoka upande wa pembetatu hadi mhimili wa mzunguko. Tutapata DC. Mraba pembetatu ABC kwa upande mmoja ni sawa na bidhaa ya nusu ya upande AB na urefu unaotolewa kwake DC, kwa upande mwingine, tukijua pande zote za pembetatu, tunahesabu eneo lake kwa kutumia formula ya Heron.

Wakati wa kusoma nyenzo za mada, lazima ujifunze:

· aina za vyombo vya mapinduzi;

· ufafanuzi wa miili ya mzunguko;

· ufafanuzi wa vipengele vya miili ya mapinduzi;

· dhana ya maendeleo ya silinda na koni;

· uamuzi na hesabu ya uso wa upande na wa jumla wa silinda na koni;

· ufafanuzi wa ndege ya tangent kwa nyanja na mali zake;

· dhana ya eneo la uso wa nyanja;

· ufafanuzi wa polihedroni iliyoandikwa katika tufe na kuelezewa kuizunguka.

Katika mchakato wa kutatua shida, ustadi ufuatao unajaribiwa:

· kuonyesha miili ya mzunguko;

· kuhesabu vipengele vya miili ya mzunguko;

· kuonyesha sehemu za miili;

· kuhesabu maeneo ya nyuso za kando na za jumla za silinda na koni;

· kutunga mlinganyo wa tufe.

Maswali ya mtihani wa kinadharia

Chaguo 1

1. Dhana uso wa cylindrical na vipengele vyake. Tengeneza ufafanuzi wa silinda na vipengele vyake.

2. Pata fomula ya kukokotoa eneo la uso wa tufe.

3. Pata uwiano wa eneo la uso wa kando na sehemu ya axial ya koni.

Chaguo la 2

1. Dhana ya uso wa conical. Tengeneza ufafanuzi wa koni na vipengele vyake.

2. Kuamua nafasi ya katikati ya nyanja iliyoelezwa karibu na sahihi piramidi ya quadrangular. Thibitisha kauli yako.

3. Pata uwiano wa maeneo ya uso wa kando na sehemu ya axial ya silinda.

Chaguo la 3

1. Tengeneza ufafanuzi koni iliyopunguzwa na vipengele vyake.

2. Kuamua nafasi ya katikati ya nyanja iliyoandikwa katika piramidi ya kawaida ya triangular. Thibitisha kauli yako.

3. Thibitisha kuwa uso wa jumla wa koni ya usawa ni sawa katika eneo la uso wa mpira na kipenyo cha urefu wa koni.

Chaguo la 4

1. Tengeneza ufafanuzi wa nyanja na mpira. Andika milinganyo ya duara ya kipenyo R yenye kituo katika ncha O(0; 0; 0) na kwa uhakika A(x0; y0; z0).

2. Pata fomula ya kukokotoa uso wa upande wa koni.

3. Thibitisha kuwa jumla ya eneo la silinda ni sawa na eneo la uso la upande wa silinda nyingine ya radius sawa, ambayo urefu wake ni sawa na jumla ya radius na urefu wa silinda hii.

Kazi ya kujitegemea 17

Chaguo 1

1. Eneo sehemu ya axial silinda ni sawa na 16. Pata eneo la sehemu ya msalaba wa silinda hii, ambayo ni sambamba na mhimili na iko mbali kutoka kwayo; sawa na nusu radius ya msingi wa silinda.

2. Semicircle imevingirwa kwenye uso wa conical. Pata pembe kati ya jenereta na urefu wa koni.

3. Radi ya mipira miwili ni 16 na 20 dm, umbali kati ya vituo vyao ni 25 dm. Pata mduara ambao nyuso zao huingiliana.

Chaguo la 2

1. Radi ya msingi wa silinda ni 26 cm, na kutengeneza 4.8 dm. Je, ni umbali gani kutoka kwa mhimili wa silinda sehemu inapaswa kuchorwa sambamba na mhimili na kutengenezwa kama mraba?

2. Radi ya sekta ni 3 m, angle yake ni 120 °. Sekta hiyo imevingirwa kwenye uso wa conical. Pata radius ya msingi wa koni.

3. Ulalo wa rhombus ni 30 na 40 cm Uso wa spherical unagusa pande zote za rhombus. Pata umbali kutoka katikati ya mpira hadi ndege ya rhombus ikiwa radius ya mpira ni 13 cm.

Chaguo la 3

1. Radi ya msingi wa silinda ni 12 cm Pata umbali kati ya sehemu ya axial na sehemu yenye eneo la nusu.

2. Pembe ya maendeleo ya uso wa upande wa koni ni 120 °. Jenereta ya koni ni 15 cm Kuhesabu kipenyo cha msingi wa koni.

3. Rhombus huwekwa kwenye mpira ambao radius ni 10 cm ili kila upande wake, sawa na cm 12.5, kugusa mpira. Ndege ya rhombus iko umbali wa cm 8 kutoka katikati ya mpira.

Chaguo la 4

1. Sehemu mbili za perpendicular pande zote zinatolewa kwa njia ya jenereta ya silinda, maeneo ambayo ni 60 na 80 dm. Pata eneo la sehemu ya axial.

2. Radi ya msingi wa koni ni 12 cm, na kutengeneza 40 cm Kuhesabu angle ya maendeleo ya koni hii.

3. Pande za pembetatu ni 10 dm, 10 dm na 12 dm. Pata umbali kutoka kwa ndege ya pembetatu hadi katikati ya tangent ya mpira hadi pande za pembetatu. Radi ya mpira ni 5 dm.

Kazi ya kujitegemea 18

Chaguo 1

1. Ulalo wa sehemu ya axial ya silinda ni 25% kubwa kuliko kipenyo cha msingi wake. Pata eneo la jumla la silinda ikiwa umbali kati ya vituo vyake ni 15 cm.

2. Maendeleo ya uso wa upande wa silinda - mraba na upande wa 4 dm. Pata kiasi cha silinda.

3. Ulalo wa sehemu ya axial ya koni iliyopunguzwa ni perpendicular pande zote, urefu wa koni ni H, kutengeneza l. Tafuta uso wa upande koni

4. Radi ya msingi wa koni ni 12 cm, na kutengeneza 40 cm Pata angle ya maendeleo ya uso wa upande wa koni.

5. Jenereta ya koni iliyopunguzwa ni 10 cm, tofauti katika besi ni 6 cm, eneo la msalaba wa axial ni 112 cm2. Pata uso wa upande wa koni.

6. Sambamba ambayo pande zake ni 21 cm na 89 cm na ambayo diagonal ni 100 cm inazunguka kuzunguka upande mdogo. Pata kiasi cha mwili wa mapinduzi.

7. Pembetatu ya kulia yenye miguu 16 na 12 cm huzunguka hypotenuse. Tafuta kiasi na eneo la kuzunguka.

Chaguo la 2

1. Uso wa upande wa silinda ni nusu ya uso wake wote. Pata uso wa jumla wa silinda ikiwa diagonal ya sehemu ya axial ni 10 ndani.

2. Uso wa jumla wa silinda ni 500 p cm2, kipenyo cha msingi wake ni 20 cm Pata kiasi cha silinda.

3. Jenereta ya koni iliyokatwa inahusiana na urefu wake kama 41:40. Radi ya besi ni 24 na 6 cm Pata uso wa upande wa koni.

4. Pembe ya maendeleo ya uso wa upande wa koni ni 120 °. Jenereta ya koni ni 15 cm Pata uso wa jumla wa koni.

5. Pata urefu wa koni iliyopunguzwa ikiwa uso wake wa upande ni sawa na jumla ya maeneo ya besi, na radii ya besi ni R na r.

6. Trapezoid ya isosceles yenye besi ya cm 12 na 18 na angle ya papo hapo ya 60 ° huzunguka msingi mdogo. Pata uso na kiasi cha mwili wa mzunguko.

7. Pembetatu ambayo pande zake mbili ni 5 cm na 8 cm huzunguka pembe ya 60 ° kuzunguka upande mrefu zaidi. Pata uso na kiasi cha mwili wa mzunguko.

Kazi ya kujitegemea 19

Chaguo 1

1. Pembetatu ya kulia yenye pande 16 na 12 cm huzunguka hypotenuse. Pata uso wa mwili wa mapinduzi.

2. Radi ya besi za ukanda wa spherical ni 63 na 39 cm, urefu wake ni 36 cm Pata uso wa ukanda wa spherical.

3. Urefu ni sahihi piramidi ya pembe tatu h. Mbavu za pembeni ni za pande zote. Tafuta kipenyo cha duara iliyozungushwa.

4. Katika triangular ya kawaida piramidi iliyopunguzwa urefu wa cm 17, radii ya miduara iliyozunguka misingi ya 5 na 12 cm.

5. Mraba wenye upande sawa na a huzunguka perpendicular kwa diagonal inayotolewa kupitia mwisho wake. Pata uso wa mwili unaosababisha.

Chaguo la 2

1. Pembetatu ambayo pande zake mbili ni 5 na 8 cm huzunguka pembe ya 60 ° kuzunguka upande mrefu zaidi. Pata uso wa mwili wa mapinduzi.

2. Uso kamili sehemu ya mpira ni sawa na S. Amua urefu wa sehemu ikiwa kipenyo cha mpira ni sawa na R.

3. Msingi wa piramidi ni pembetatu ya kawaida, ambayo upande wake ni 3 dm. Moja ya mbavu za upande ni 2 dm na perpendicular kwa msingi. Tafuta kipenyo cha duara iliyozungushwa.

4. Pande za besi za piramidi ya kawaida ya quadrangular truncated ni 7 na 1 dm. Ukingo wa upande umeelekezwa kwa msingi kwa pembe ya 45 ° Pata radius ya nyanja iliyozunguka.

5. Heksagoni ya kawaida yenye upande a huzunguka mhimili wa nje, ambao ni sambamba na upande na kutengwa kutoka humo kwa urefu wa apothem. Pata uso wa mwili unaosababisha.

Kazi ya kujitegemea 20

Chaguo 1

1. Makali ya upande wa piramidi ya kawaida ya triangular ni sawa na b na huunda pembe a na ndege ya msingi. Silinda ya equilateral imeandikwa kwenye piramidi ili ndege ya msingi iko kwenye ndege ya msingi wa piramidi. Pata kiasi cha silinda.

2. Msingi wa piramidi ni pembetatu ya kawaida. Makali ya upande mmoja ni perpendicular kwa ndege ya msingi na sawa na l, na nyingine mbili huunda pembe na ndege ya msingi. Prism moja kwa moja imeandikwa kwenye piramidi, wima tatu ambazo ziko kwenye kingo za piramidi, na zingine tatu ziko kwenye msingi wa piramidi, ulalo wa uso wa nyuma wa prism uko na ndege ya msingi. Ð b. Tafuta urefu wa prism.

3. Katika prism ya kawaida ya quadrangular, eneo la uso wa upande ni sawa na q. Pata eneo la sehemu ya diagonal.

4. Ndege perpendicular kwa kipenyo cha mpira huigawanya katika sehemu za 3 na 9 cm ni sehemu gani za kiasi cha mpira kilichogawanywa?

Chaguo la 2

1. Pembe kwenye kilele cha sehemu ya axial ya koni ni 2b. Mzunguko wa msingi ni c. Amua eneo la uso wa nyuma wa koni.

2. Diagonals ya sehemu ya axial ya koni iliyopunguzwa imegawanywa na hatua ya makutano kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa msingi mkubwa. Pembe kati ya diagonal inakabiliwa na msingi ni sawa na a. Ulalo ni sawa na l. Pata kiasi cha koni.

3. Makali ya pembeni ya parallelepiped ya kulia ni 5 cm, pande za msingi ni 6 na 8 cm, moja ya diagonals ya msingi ni 12 cm Pata diagonals ya parallelepiped.

4. Ni sehemu gani ya kiasi cha mpira ni kiasi cha sehemu ya spherical yenye urefu wa mara 0.1 ya kipenyo cha mpira?

Chaguo la 3

1. Jenereta ya koni ni sawa na l na inaelekea kwenye ndege ya msingi kwa pembe a. Amua jumla ya eneo la mchemraba ulioandikwa.

2. Mraba umeandikwa chini ya koni, upande a. Ndege inayopitia moja ya pande za mraba huu na vertex ya koni, wakati wa kuingiliana na uso wa koni, huunda. pembetatu ya isosceles yenye pembe ya kilele sawa na a. Pata kiasi cha koni.

3. Upande wa msingi ni sahihi prism ya quadrangular 15 cm, na urefu ni 20 cm Tafuta umbali mfupi kutoka upande wa msingi hadi diagonal ya prism ambayo haiingilii.

4. Mbili mpira sawa iliyopangwa ili katikati ya moja iko juu ya uso wa nyingine. Je, ujazo wa sehemu ya jumla ya tufe unahusiana vipi na ujazo wa tufe yote?

Chaguo la 4

1. Mbegu ya pembetatu ya kulia yenye kingo sawa. Tafuta kiasi cha prism ikiwa radius ya msingi wa koni ni sawa na R.

2. Kiasi cha koni ni sawa na V. Piramidi imeandikwa kwenye koni, chini ya ambayo iko pembetatu ya isosceles na angle a kati ya pande zote. Tafuta kiasi cha piramidi.

3. B parallelepiped kulia makali ya upande ni 1 m, pande za msingi ni 23 dm na 11 dm, diagonals ya msingi ni katika uwiano wa 2: 3. Pata maeneo ya sehemu za diagonal.

4. Kwa upande wa msingi a na ubavu wa pembeni b kupata jumla ya uso wa prism ya kawaida ya hexagonal.