Sehemu ya koni kwa namna ya duaradufu. Sehemu ya koni ya mviringo ya kulia

Wakati uso wa conical umegawanywa na ndege, curves ya utaratibu wa pili hupatikana - mduara, duaradufu, parabola na hyperbola. Katika hali ya mara kwa mara, katika eneo fulani la ndege ya kukata na inapopita kwenye vertex ya koni (S∈γ), mduara na duaradufu hupungua katika hatua au jenereta moja au mbili za koni huanguka kwenye sehemu.

Inatoa - mduara wakati ndege ya kukata ni perpendicular kwa mhimili wake na inapita nyuso zote zinazozalisha.

Inatoa - duaradufu wakati ndege ya kukata sio perpendicular kwa mhimili wake na inapita nyuso zote zinazozalisha.

Wacha tutengeneze mviringo ω ndege α , kuchukua nafasi ya jumla.

Kutatua tatizo sehemu ya msalaba ya koni ya mviringo ya kulia ndege hurahisishwa sana ikiwa ndege ya kukata inachukua nafasi ya kukadiria.

Kutumia njia ya kubadilisha ndege za makadirio, tunatafsiri ndege α kutoka kwa nafasi ya jumla hadi maalum - inayoonyesha mbele. Kwenye ndege ya mbele ya makadirio V 1 wacha tujenge alama ya ndege α na makadirio ya uso wa koni ω ndege inatoa duaradufu, kwa kuwa ndege ya kukata inaingiliana na jenereta zote za koni. Duaradufu inakadiriwa kwenye ndege ya makadirio kama curve ya mpangilio wa pili.
Juu ya ufuatiliaji wa ndege α V kuchukua hatua ya kiholela 3" tunapima umbali wake kutoka kwa ndege ya makadirio H na kuiweka chini kando ya mstari wa mawasiliano tayari kwenye ndege V 1, kupata uhakika 3" 1 . Njia itapita ndani yake αV 1. Mstari wa sehemu ya koni ω - pointi A" 1, E" 1 sanjari hapa na athari ya ndege. Ifuatayo, tutaunda ndege ya kukata msaidizi γ3, kuchora kwenye ndege ya mbele ya makadirio. V 1 njia yake γ 3V 1. Ndege ya msaidizi inayoingilia uso wa conical ω itatoa mduara, na kuingiliana na ndege α itatoa mstari mlalo h3. Kwa upande wake, mstari wa moja kwa moja unaoingiliana na mduara unatoa pointi zinazohitajika C` na K` makutano ya ndege α na uso wa conical ω . Makadirio ya mbele ya pointi zinazohitajika C na K" jenga kama pointi za ndege ya kukata α .

Ili kupata uhakika E(E`, E") mistari ya sehemu, chora ndege inayoonyesha mlalo kupitia sehemu ya juu ya koni γ 2 H, ambayo itaingilia ndege α katika mstari ulionyooka 1-2(1`-2`, 1"-2") . Makutano 1"-2" na mstari wa mawasiliano inatoa uhakika E"- hatua ya juu ya mstari wa sehemu.

Ili kupata uhakika unaoonyesha kikomo cha mwonekano wa makadirio ya mbele ya mstari wa sehemu, chora ndege inayoonyesha mlalo kupitia sehemu ya juu ya koni. γ 5 H na upate makadirio ya mlalo F` hatua inayotakiwa. Pia, ndege γ 5 H itaingilia ndege α mbele f(f`, f"). Makutano f" na mstari wa mawasiliano inatoa uhakika F". Tunaunganisha pointi zilizopatikana kwenye makadirio ya usawa na curve laini, kuashiria hatua ya kushoto ya G juu yake - moja ya pointi za sifa za mstari wa makutano.
Kisha, tunajenga makadirio G kwenye ndege za mbele za makadirio ya V1 na V. Tunaunganisha pointi zote zilizojengwa za mstari wa sehemu kwenye ndege ya mbele ya makadirio V na mstari wa laini.

Inatoa - parabola wakati ndege ya kukata ni sawa na jenereta moja ya koni.

Wakati wa kuunda makadirio ya curves - sehemu za conic, ni muhimu kukumbuka nadharia: makadirio ya orthogonal ya sehemu ya gorofa ya koni ya mapinduzi kwenye ndege inayoelekea kwenye mhimili wake ni curve ya utaratibu wa pili na moja ya malengo yake ina orthogonal. makadirio ya kipeo cha koni kwenye ndege hii.

Hebu fikiria ujenzi wa makadirio ya sehemu wakati wa kukata ndege α sambamba na jenereta moja ya koni (SD).

Sehemu ya msalaba itasababisha parabola na vertex yake kwa uhakika A(A`, A"). Kulingana na nadharia, vertex ya koni S inakadiriwa kuzingatia S`. Kulingana na inayojulikana =R S` kuamua nafasi ya directrix ya parabola. Baadaye, vidokezo vya curve vinapangwa kwa kutumia equation p=R.

Kujenga makadirio ya sehemu wakati wa kukata ndege α sambamba na jenereta moja ya koni, yafuatayo yanaweza kufanywa:

Kwa usaidizi wa ndege za usaidizi zilizopangwa kwa usawa zinazopita juu ya koni γ 1 H Na γ 2 H.

Kwanza, makadirio ya mbele ya pointi yanatambuliwa F", G"- kwenye makutano ya jenereta S"1", S"2" na ufuatiliaji wa ndege ya kukata α V. Katika makutano ya mistari ya mawasiliano na γ 1 H Na γ 2 H kuamuliwa F`, G`.

Pointi zingine za mstari wa sehemu zinaweza kufafanuliwa sawa, kwa mfano D", E" Na D`, E`.

Kutumia ndege za makadirio ya mbele ⊥ mhimili wa koni γ 3 V Na γ 4 V.

Makadirio ya sehemu ya ndege msaidizi na koni kwenye ndege H, kutakuwa na miduara. Mistari ya makutano ya ndege za msaidizi na ndege ya kukata α kutakuwa na mistari iliyonyooka ya mbele.

Inatoa - hyperbola wakati ndege ya kukata ni sawa na jenereta mbili za koni.

Taasisi ya Elimu ya Manispaa

Shule ya Sekondari nambari 4

Sehemu za Conic

Imekamilika

Spiridonov Anton

mwanafunzi wa darasa la 11A

Imechaguliwa

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Utangulizi

Dhana ya sehemu za conic

Aina za sehemu za conic

Jifunze

Ujenzi wa sehemu za conic

Mbinu ya uchambuzi

Maombi

Bibliografia

Utangulizi.

Kusudi: kusoma sehemu za conic.

Malengo: jifunze kutofautisha kati ya aina za sehemu za conic, jenga sehemu za kinetic na utumie mbinu ya uchambuzi.

Sehemu za conic zilipendekezwa kwanza kutumiwa na geometer ya kale ya Kigiriki Menaechmus, ambaye aliishi katika karne ya 4 KK, wakati wa kutatua tatizo la mchemraba mara mbili. Kazi hii inahusishwa na hadithi ifuatayo.

Siku moja, ugonjwa wa tauni ulizuka kwenye kisiwa cha Delos. Wakazi wa kisiwa hicho waligeukia ukumbi huo, ambao walisema kwamba ili kuzuia janga hilo ni muhimu kuongeza madhabahu ya dhahabu mara mbili, ambayo ilikuwa na sura ya mchemraba na ilikuwa katika hekalu la Apollo huko Athene. Wenyeji wa kisiwa hicho walitengeneza madhabahu mpya, ambayo mbavu zake zilikuwa kubwa mara mbili kuliko mbavu za ile iliyotangulia. Hata hivyo, tauni haikukoma. Wakazi waliokasirika walisikia kutoka kwa oracle kwamba hawakuelewa maagizo yake - sio kando ya mchemraba ambayo inahitajika kuongezeka mara mbili, lakini kiasi chake, ambayo ni, kingo za mchemraba zilipaswa mara mbili. Kwa upande wa aljebra ya kijiometri, ambayo ilitumiwa na wanahisabati wa Kigiriki, tatizo lilimaanisha: ukipewa sehemu a, pata sehemu x na y hivi kwamba a: x = x: y = y: 2a. Kisha urefu wa sehemu x utakuwa sawa na .

Sehemu iliyopewa inaweza kuzingatiwa kama mfumo wa milinganyo:

Lakini x 2 =ay na y 2 =2ax ni milinganyo ya parabolas. Kwa hiyo, ili kutatua tatizo, mtu lazima apate pointi zao za makutano. Ikiwa tunazingatia kwamba equation ya hyperbola xy=2a 2 pia inaweza kupatikana kutoka kwa mfumo, basi tatizo sawa linaweza kutatuliwa kwa kutafuta pointi za makutano ya parabola na hyperbola.

Ili kupata sehemu za koni, Menaechmus aliingilia koni - papo hapo, mstatili au buti - na ndege iliyo sawa na moja ya jenereta. Kwa koni yenye pembe ya papo hapo, sehemu ya ndege inayoelekea kwenye jenereta yake ina sura ya duaradufu. Koni butu inatoa hyperbola, na koni ya mstatili inatoa parabola.

Hapa ndipo majina ya curves yanatoka, ambayo yaliletwa na Apollonius wa Perga, aliyeishi katika karne ya 3 KK: duaradufu (έλλείψίς), ambayo inamaanisha dosari, upungufu (wa pembe ya koni hadi mstari ulionyooka) ; hyperbola (ύπέρβωλη) - kuzidisha, preponderance (ya pembe ya koni juu ya mstari wa moja kwa moja); parabola (παραβολη) - makadirio, usawa (wa pembe ya koni kwa pembe ya kulia). Baadaye Wagiriki waliona kwamba curves zote tatu zinaweza kupatikana kwenye koni moja kwa kubadilisha mwelekeo wa ndege ya kukata. Katika kesi hii, unapaswa kuchukua koni yenye cavities mbili na kufikiri kwamba wao kupanua kwa infinity (Mchoro 1).

Ikiwa tunachora sehemu ya koni ya mviringo perpendicular kwa mhimili wake, na kisha kuzungusha ndege ya kukata, na kuacha sehemu moja ya makutano yake na koni iliyosimama, tutaona jinsi mduara utakavyonyoosha kwanza, na kugeuka kuwa duaradufu. Kisha vertex ya pili ya duaradufu itaenda kwa infinity, na badala ya duaradufu utapata parabola, na kisha ndege pia itaingiliana na cavity ya pili ya koni na utapata hyperbola.

Dhana ya sehemu za conic.

Sehemu za conic ni curves za ndege ambazo hupatikana kwa kuingiliana na koni ya mviringo ya kulia na ndege ambayo haipiti kupitia vertex yake. Kutoka kwa mtazamo wa jiometri ya uchambuzi, sehemu ya conic ni eneo la pointi zinazokidhi equation ya pili. Isipokuwa kesi zilizoharibika zilizojadiliwa katika sehemu ya mwisho, sehemu za conic ni ellipses, hyperbolas au parabolas (Mchoro 2).

Wakati pembetatu ya kulia inazungushwa juu ya moja ya miguu yake, hypotenuse na vipanuzi vyake huelezea uso wa conical unaoitwa uso wa koni ya mviringo ya kulia, ambayo inaweza kuzingatiwa kama mfululizo wa mistari inayopita kupitia vertex na kuitwa jenereta, jenereta zote. kupumzika kwenye mduara sawa, unaoitwa kuzalisha. Kila moja ya jenereta inawakilisha hypotenuse ya pembetatu inayozunguka (katika nafasi yake inayojulikana), iliyopanuliwa kwa pande zote mbili hadi infinity. Kwa hivyo, kila jenereta inaenea pande zote mbili za vertex, kama matokeo ambayo uso una mashimo mawili: huungana kwa hatua moja kwenye vertex ya kawaida. Ikiwa uso huo umeingiliwa na ndege, basi sehemu hiyo itazalisha curve, ambayo inaitwa sehemu ya conic. Inaweza kuwa ya aina tatu:

1) ikiwa ndege inaingilia uso wa conical pamoja na jenereta zote, basi cavity moja tu hutenganishwa na curve iliyofungwa inayoitwa ellipse inapatikana katika sehemu hiyo;

2) ikiwa ndege ya kukata inaingiliana na cavities zote mbili, basi curve hupatikana ambayo ina matawi mawili na inaitwa hyperbola;

3) ikiwa ndege ya kukata ni sawa na moja ya jenereta, basi parabola hupatikana.

Ikiwa ndege ya kukata ni sawa na mzunguko wa kuzalisha, basi mduara unapatikana, ambayo inaweza kuchukuliwa kuwa kesi maalum ya ellipse. Ndege ya kukata inaweza kuingilia uso wa conical tu kwenye vertex moja, kisha sehemu hutoa uhakika, kama kesi maalum ya ellipse.

Ikiwa ndege inayopita kwenye vertex inapita kwenye mashimo yote mawili, basi sehemu hiyo hutoa jozi ya mistari inayoingiliana, inayozingatiwa kama kesi maalum ya hyperbola.

Ikiwa vertex iko mbali sana, basi uso wa conical hubadilika kuwa silinda, na sehemu yake kwa ndege inayofanana na jenereta inatoa jozi ya mistari inayofanana kama kesi maalum ya parabola. Sehemu za conic zinaonyeshwa na hesabu za mpangilio wa 2, fomu ya jumla ambayo ni

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

na huitwa curve za mpangilio wa 2.

Aina za sehemu za conic.

Sehemu za conic zinaweza kuwa za aina tatu:

1) ndege ya kukata inaingiliana na jenereta zote za koni kwenye pointi za moja ya cavity yake; mstari wa makutano ni mviringo wa mviringo uliofungwa - ellipse; mduara kama kesi maalum ya duaradufu hupatikana wakati ndege ya kukata ni perpendicular kwa mhimili wa koni.

2) Ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; katika sehemu ya msalaba, matokeo yake ni Curve wazi ambayo huenda kwa infinity - parabola, amelazwa kabisa juu ya cavity moja.

3) Ndege ya kukata huingilia mashimo yote mawili ya koni; mstari wa makutano - hyperbola - ina sehemu mbili za wazi zinazofanana hadi infinity (matawi ya hyperbola) yaliyo kwenye cavities zote mbili za koni.

Jifunze.

Katika hali ambapo sehemu ya conic ina kituo cha ulinganifu (katikati), i.e. ni duaradufu au hyperbola, equation yake inaweza kupunguzwa (kwa kuhamisha asili ya kuratibu katikati) hadi fomu:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Uchunguzi zaidi wa sehemu kama hizi (zinazoitwa za kati) zinaonyesha kuwa milinganyo yao inaweza kupunguzwa kwa fomu rahisi zaidi:

Shoka 2 + Wu 2 = C,

ikiwa tunachagua maelekezo kuu kwa maelekezo ya axes ya kuratibu - maelekezo ya axes kuu (axes ya ulinganifu) ya sehemu za conic. Ikiwa A na B wana ishara sawa (sanjari na ishara ya C), basi equation inafafanua duaradufu; ikiwa A na B ni za ishara tofauti, basi ni hyperbole.

Equation ya parabola haiwezi kupunguzwa kwa fomu (Ax 2 + By 2 = C). Na chaguo sahihi la mhimili wa kuratibu (mhimili mmoja wa kuratibu ndio mhimili pekee wa ulinganifu wa parabola, nyingine ni mstari wa moja kwa moja wa moja kwa moja kwa hiyo, kupita kwenye vertex ya parabola), equation yake inaweza kupunguzwa kwa fomu:

UJENZI WA SEHEMU ZA CONIC.

Wanasayansi wa kale wa Ugiriki walisoma sehemu za koni kama makutano ya ndege na koni. Ilibainika kuwa duaradufu inaweza kufafanuliwa kama locus ya pointi, jumla ya umbali kutoka kwa pointi mbili zilizotolewa ni mara kwa mara; parabola - kama locus ya pointi equidistant kutoka kwa uhakika fulani na mstari wa moja kwa moja uliopewa; hyperbola - kama eneo la pointi, tofauti katika umbali kutoka kwa pointi mbili zilizopewa ni mara kwa mara.

Ufafanuzi huu wa sehemu za koni kama mikondo ya ndege pia zinapendekeza njia ya kuziunda kwa kutumia kamba iliyonyoshwa.

Ellipse. Ikiwa mwisho wa thread ya urefu uliopewa umewekwa kwa pointi F 1 na F 2 (Mchoro 3), basi curve iliyoelezwa na hatua ya penseli inayoteleza kando ya uzi uliowekwa vizuri ina sura ya duaradufu. Pointi F 1 na F 2 huitwa mwelekeo wa duaradufu, na sehemu V 1 V 2 na v 1 v 2 kati ya sehemu za makutano ya duaradufu na shoka za kuratibu - shoka kuu na ndogo. Ikiwa pointi F 1 na F 2 zinapatana, basi ellipse inageuka kuwa mduara (Mchoro 3).

Hyperbola. Wakati wa kuunda hyperbola, hatua P, ncha ya penseli, imewekwa kwenye uzi ambao huteleza kwa uhuru kwenye vigingi vilivyowekwa kwenye sehemu F 1 na F 2, kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4, a, umbali huchaguliwa ili sehemu ya PF 2. ni ndefu kuliko sehemu ya PF 1 kwa thamani isiyobadilika chini ya umbali F 1 F 2 . Katika kesi hii, mwisho mmoja wa uzi hupita chini ya kigingi F 1, na ncha zote mbili za uzi hupita juu ya kigingi F 2. (Hatua ya penseli haipaswi kuteleza kando ya uzi, kwa hivyo lazima ihifadhiwe kwa kutengeneza kitanzi kidogo kwenye uzi na kusambaza uhakika kupitia hiyo.) Tunachora tawi moja la hyperbola (PV 1 Q), hakikisha kwamba thread inabakia taut wakati wote, na, kuunganisha ncha zote mbili za thread chini ya hatua ya zamani F 2, na wakati hatua P ni chini ya sehemu F 1 F 2, kushikilia thread kwa ncha zote mbili na kwa uangalifu ikitoa. Tunatoa tawi la pili la hyperbola kwa kubadilisha kwanza pini F 1 na F 2 (Mchoro 4).

Matawi ya hyperbola hukaribia mistari miwili iliyonyooka ambayo huingilia kati ya matawi. Mistari hii iliyonyooka, inayoitwa asymptotes ya hyperbola, imeundwa kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4, b. Kona

coefficients ya mistari hii ni sawa na wapi sehemu ya bisector ya angle kati ya asymptotes, perpendicular kwa sehemu F 2 F 1; sehemu ya v 1 v 2 inaitwa mhimili wa conjugate wa hyperbola, na sehemu ya V 1 V 2 ni mhimili wake wa kupita. Kwa hivyo, asymptotes ni diagonals ya mstatili na pande kupita pointi nne v 1, v 2, V 1, V 2 sambamba na axes. Ili kuunda mstatili huu, unahitaji kutaja eneo la pointi v 1 na v 2. Ziko kwa umbali sawa, sawa

kutoka sehemu ya makutano ya shoka za O. Fomula hii inachukua ujenzi wa pembetatu ya kulia na miguu Ov 1 na V 2 O na hypotenuse F 2 O.

Ikiwa asymptotes ya hyperbola ni pande zote mbili, basi hyperbola inaitwa equilateral. Hyperbola mbili ambazo zina asymptoti za kawaida, lakini zikiwa na mihimili ya kuvuka iliyopangwa upya na ya kuunganisha, huitwa miunganisho ya pande zote.

Parabola. Malengo ya duaradufu na hyperbola yalijulikana kwa Apollonius, lakini lengo la parabola inaonekana lilianzishwa kwanza na Pappus (nusu ya pili ya karne ya 3), ambaye alifafanua curve hii kama eneo la pointi sawa na pointi fulani (lengo) na mstari wa moja kwa moja uliopewa, unaoitwa mwalimu mkuu. Ujenzi wa parabola kwa kutumia thread ya mvutano, kulingana na ufafanuzi wa Pappus, ilipendekezwa na Isidore wa Miletus (karne ya VI) (Mchoro 5).

Wacha tuweke mtawala ili makali yake yapatane na directrix, na ambatisha mguu wa AC wa pembetatu ya kuchora ABC kwa makali haya. Wacha tufunge ncha moja ya uzi wa urefu wa AB kwenye kipeo B cha pembetatu, na nyingine kwenye lengo la parabola F. Baada ya kuvuta uzi kwa ncha ya penseli, bonyeza ncha kwenye sehemu ya kutofautisha P hadi mguu wa bure AB wa pembetatu ya kuchora. Wakati pembetatu inaposonga kando ya mtawala, hatua P itaelezea safu ya parabola kwa kuzingatia F na directrix, kwa kuwa urefu wa jumla wa thread ni sawa na AB, kipande cha thread iko karibu na mguu wa bure wa pembetatu, na. kwa hivyo kipande kilichobaki cha uzi PF lazima kiwe sawa na sehemu iliyobaki ya mguu AB, hiyo ni PA. Hatua ya makutano ya V ya parabola na mhimili inaitwa vertex ya parabola, mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia F na V ni mhimili wa parabola. Ikiwa mstari wa moja kwa moja hutolewa kwa kuzingatia, perpendicular kwa mhimili, basi sehemu ya mstari huu wa moja kwa moja iliyokatwa na parabola inaitwa parameter ya msingi. Kwa duaradufu na hyperbola, parameta ya msingi imedhamiriwa vile vile.

NJIA YA UCHAMBUZI

ambapo si coefficients zote A, B na C ni sawa na sufuri. Kwa kutumia tafsiri sambamba na mzunguko wa axes, equation (1) inaweza kupunguzwa kwa fomu

shoka 2 + kwa 2 + c = 0

Equation ya kwanza inapatikana kutoka kwa equation (1) kwa B 2> AC, ya pili - kwa B 2 = AC. Sehemu za conic ambazo equations zimepunguzwa kwa fomu ya kwanza huitwa kati. Sehemu za koni zinazofafanuliwa kwa milinganyo ya aina ya pili yenye q > 0 huitwa zisizo za kati. Ndani ya makundi haya mawili, kuna aina tisa tofauti za sehemu za conic kulingana na ishara za coefficients.

1) Ikiwa coefficients a, b na c zina ishara sawa, basi hakuna pointi halisi ambazo viwianishi vinaweza kutosheleza equation. Sehemu kama hiyo ya koni inaitwa duaradufu ya kufikiria (au duara la kufikiria ikiwa a = b).

2) Ikiwa a na b wana ishara sawa, na c ina ishara kinyume, basi sehemu ya conic ni duaradufu; wakati a = b - duara.

3) Ikiwa a na b wana ishara tofauti, basi sehemu ya conic ni hyperbola.

4) Ikiwa a na b wana ishara tofauti na c = 0, basi sehemu ya conic ina mistari miwili ya kuingiliana.

5) Ikiwa a na b wana ishara sawa na c = 0, basi kuna hatua moja tu ya kweli kwenye curve ambayo inakidhi equation, na sehemu ya conic ni mistari miwili ya kufikirika inayoingiliana. Katika kesi hii, tunazungumza pia juu ya duaradufu iliyopunguzwa kwa uhakika au, ikiwa a = b, mduara uliowekwa kwa uhakika.

6) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients nyingine zina ishara tofauti, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayofanana.

7) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients iliyobaki ina ishara sawa, basi hakuna pointi moja halisi ambayo inakidhi equation. Katika kesi hii, wanasema kwamba sehemu ya conic ina mistari miwili ya kufikiria inayofanana.

8) Ikiwa c = 0, na ama a au b pia ni sifuri, basi sehemu ya conic ina mistari miwili halisi ya sanjari. (Mlinganyo haufafanui sehemu yoyote ya koni kwa = b = 0, kwani katika kesi hii mlinganyo wa asili (1) sio wa digrii ya pili.)

9) Milinganyo ya aina ya pili inafafanua parabola ikiwa p na q ni tofauti na sifuri. Ikiwa p > 0 na q = 0, tunapata curve kutoka hatua ya 8. Ikiwa p = 0, basi equation haifafanui sehemu yoyote ya conic, kwani equation ya awali (1) sio ya shahada ya pili.

Maombi

Sehemu za conic mara nyingi hupatikana katika asili na teknolojia. Kwa mfano, mizunguko ya sayari zinazozunguka Jua ina umbo la duaradufu. Mduara ni kesi maalum ya duaradufu ambayo mhimili mkuu ni sawa na mdogo. Kioo cha mfano kina sifa ambayo miale yote ya matukio sambamba na mhimili wake huungana katika hatua moja (lengo). Hii inatumika katika darubini nyingi zinazoakisi zinazotumia vioo vya kimfano, na vile vile katika antena za rada na maikrofoni maalum zilizo na viakisi vya kimfano. Mwale wa miale sambamba hutoka kwenye chanzo cha mwanga kilichowekwa kwenye sehemu ya kuangazia kimfano. Ndiyo maana vioo vya kimfano hutumiwa katika mwangaza wa nguvu za juu na taa za gari. Hyperbola ni grafu ya mahusiano mengi muhimu ya kimwili, kama vile sheria ya Boyle (inayohusiana na shinikizo na kiasi cha gesi bora) na sheria ya Ohm, ambayo inafafanua mkondo wa umeme kama kazi ya kupinga kwa voltage ya mara kwa mara.

Maombi

Bibliografia.

1. Alekseev. Nadharia ya Abeli katika shida na suluhisho. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa mwaka wa 1 wa vyuo vya fizikia na hisabati vya taasisi za ufundishaji. Moscow "Mwangaza" 1974

3. Vereshchagin N.K., A.Shen. Mihadhara juu ya mantiki ya hisabati na nadharia ya algorithms. 1999

4. Gelfand I.M. Mihadhara kuhusu aljebra ya mstari. 1998.

5. Gladky A.V. Utangulizi wa mantiki ya kisasa. 2001

6. M.E. Kazaryan. Kozi ya jiometri tofauti (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Jiometri ya Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V.. Matatizo katika planimetry 2001

9. Sheinman O.K.. Misingi ya nadharia ya uwakilishi. 2004

BAJETI YA SERIKALI

TAASISI YA ELIMU YA UTAALAM

MIJI YA MOSCOW

"CHUO CHA POLISI"

Muhtasari wa taaluma ya Hisabati

Juu ya mada: "Sehemu za Conic na matumizi yao katika teknolojia"

Imetekelezwa

Cadet ya kikosi cha 15

Alekseeva A.I.

Mwalimu

Zaitseva O.N.

Moscow

2016

Maudhui:

Utangulizi

1. Dhana ya sehemu za koni ………………………………………………………

2. Aina za sehemu za koni ……………………………………………….7

3. Utafiti……………………………………………………………..8.

4. Sifa za sehemu za koni…. ……………………………………….9

5. Ujenzi wa sehemu za koni …………………………………….10

6. Mbinu ya uchanganuzi ……………………………………………………………14

7. Maombi…………………………………………………………….16.

8. Katika koni ………………………………………………………..17

Orodha ya fasihi iliyotumika

Utangulizi

Hapa ndipo majina ya curves yalitoka, ambayo yalianzishwa na Apollonius wa Perga, aliyeishi katika karne ya 3 KK: ellipse, ambayo ina maana ya kasoro, upungufu (pembe ya koni kwa mstari wa moja kwa moja); hyperbole - kuzidisha, ubora (wa pembe ya koni juu ya mstari wa moja kwa moja); parabola - makadirio, usawa (wa pembe ya koni kwa pembe ya kulia). Baadaye Wagiriki waliona kwamba curves zote tatu zinaweza kupatikana kwenye koni moja kwa kubadilisha mwelekeo wa ndege ya kukata. Katika kesi hii, unapaswa kuchukua koni inayojumuisha mashimo mawili na ufikirie kuwa yanaenea hadi usio na mwisho (Mchoro 1)

Kwa muda mrefu, sehemu za conic hazikupata matumizi hadi wanaastronomia na wanafizikia walipopendezwa sana nazo. Ilibadilika kuwa mistari hii hupatikana katika asili (mfano wa hii ni trajectories ya miili ya mbinguni) na graphically kuelezea taratibu nyingi za kimwili (hyperbole ni kiongozi hapa: hebu tukumbuke sheria ya Ohm na sheria ya Boyle-Marriott), bila kutaja. matumizi yao katika mechanics na optics. Katika mazoezi, mara nyingi katika uhandisi na ujenzi, mtu anapaswa kukabiliana na ellipse na parabola.

Mtini.1

mchoro

Dhana ya sehemu za conic

Mtini.2

1) ikiwa ndege inaingilia uso wa conical pamoja na jenereta zote, basi cavity moja tu hutenganishwa na curve iliyofungwa inayoitwa ellipse inapatikana katika sehemu hiyo;

2) ikiwa ndege ya kukata inaingiliana na cavities zote mbili, basi curve hupatikana ambayo ina matawi mawili na inaitwa hyperbola;

3) ikiwa ndege ya kukata ni sawa na moja ya jenereta, basi parabola hupatikana.

Ikiwa ndege inayopita kwenye vertex inaingiliana na ndege zote mbili, basi sehemu hiyo hutoa jozi ya mistari inayoingiliana, inayozingatiwa kama kesi maalum ya hyperbola.

Shoka 2 +Whoo+C + Dx + Ey + F= 0 na huitwa curves za mpangilio wa 2.
(sehemu ya koni)

Aina za conical sehemu .

Sehemu za conic zinaweza kuwa za aina tatu:

2) Ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; katika sehemu ya msalaba, matokeo yake ni Curve wazi ambayo huenda kwa infinity - parabola, amelazwa kabisa juu ya cavity moja.

(Mchoro 1) parabola (Mchoro 2) duaradufu (Mchoro 3) hyperbola

Jifunze

Katika hali ambapo sehemu ya conic ina kituo cha ulinganifu (katikati), i.e. ni duaradufu au hyperbola, equation yake inaweza kupunguzwa (kwa kuhamisha asili ya kuratibu katikati) hadi fomu:

a 11 x 2 +2xy+a 22 y 2 =a 33 .

Uchunguzi zaidi wa sehemu kama hizi (zinazoitwa za kati) zinaonyesha kuwa milinganyo yao inaweza kupunguzwa kwa fomu rahisi zaidi:

Oh 2 + Wu 2 = C,

Punguza mlinganyo wa parabola kwa fomu (Ah 2 + Wu 2 = C) haiwezekani. Na chaguo sahihi la mhimili wa kuratibu (mhimili mmoja wa kuratibu ndio mhimili pekee wa ulinganifu wa parabola, nyingine ni mstari wa moja kwa moja wa moja kwa moja kwa hiyo, kupita kwenye vertex ya parabola), equation yake inaweza kupunguzwa kwa fomu:

y 2 = 2px.

MALI ZA SEHEMU ZA CONIC

Ufafanuzi wa Pappus. Kuanzisha lengo la parabola kulimpa Pappus wazo la kutoa ufafanuzi mbadala wa sehemu za conic kwa ujumla. Hebu F iwe hatua fulani (lengo), na L iwe mstari wa moja kwa moja uliopewa (directrix) usiopitia F, na DF na DL umbali kutoka kwa hatua ya kusonga P hadi kuzingatia F na directrix L, kwa mtiririko huo. Kisha, kama Papp alivyoonyesha, sehemu za koni hufafanuliwa kama eneo la pointi P ambapo uwiano DF:DL ni wa kudumu usio hasi. Uwiano huu unaitwa eccentricity e ya sehemu ya conic. Wakati e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hyperbole; wakati e = 1 - parabola. Ikiwa F iko kwenye L, basi loci ina aina ya mistari (halisi au ya kufikiria), ambayo ni sehemu za koni zilizoharibika. Ulinganifu wa kuvutia wa duaradufu na hyperbola unapendekeza kwamba kila moja ya mikondo hii ina mikondo miwili na foci mbili, na hali hii ilimfanya Kepler mnamo 1604 kuwa na wazo kwamba parabola pia ina mwelekeo wa pili na mwelekeo wa pili - hatua kwa infinity na moja kwa moja. . Kwa njia hiyo hiyo, mduara unaweza kuzingatiwa kama duaradufu, foci ambayo inaambatana na kituo, na miongozo iko kwa infinity. Eccentricity e katika kesi hii ni sifuri.

Mali. Sifa za sehemu za conic hazipunguki kabisa, na yoyote kati yao inaweza kuchukuliwa kama kufafanua. Mahali muhimu katika Mkusanyiko wa Hisabati wa Pappus, Jiometri ya Descartes (1637) na Principia ya Newton (1687) inachukuliwa na tatizo la eneo la kijiometri la pointi zinazohusiana na mistari minne ya moja kwa moja. Ikiwa mistari minne L inatolewa kwenye ndege 1 , L 2 , L 3 na L4 (mbili kati ya hizo zinaweza sanjari) na uhakika P ni kwamba bidhaa ya umbali kutoka P hadi L. 1 na L 2 sawia na bidhaa ya umbali kutoka P hadi L 3 na L 4 , basi eneo la pointi P ni sehemu ya conic.

UJENZI WA SEHEMU ZA CONIC

Ufafanuzi huu wa sehemu za koni kama mikondo ya ndege pia zinapendekeza njia ya kuziunda kwa kutumia kamba iliyonyoshwa.

Ellipse. Ikiwa ncha za uzi wa urefu fulani zimewekwa kwa alama F 1 na F 2 (Mchoro 3), kisha curve iliyoelezewa na hatua ya penseli inayoteleza kwenye uzi uliowekwa vizuri ina sura ya duaradufu. F pointi 1 na F2 huitwa foci ya duaradufu, na sehemu V 1 V 2 na v 1 v 2 kati ya pointi za makutano ya duaradufu na shoka za kuratibu - shoka kuu na ndogo. Ikiwa pointi F 1 na F 2 sanjari, basi duaradufu hugeuka kuwa mduara (Mchoro 3).

Mtini.3

Hyperbola. Wakati wa kuunda hyperbola, hatua P, ncha ya penseli, imewekwa kwenye uzi ambao huteleza kwa uhuru kwenye vigingi vilivyowekwa kwenye sehemu F. 1 na F 2 , kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4, a, umbali huchaguliwa ili sehemu ya PF 2 muda mrefu kuliko sehemu ya PF 1 kwa thamani isiyobadilika chini ya umbali F 1 F 2 . Katika kesi hii, mwisho mmoja wa nyuzi hupita chini ya pini F 1 , na ncha zote mbili za uzi hupita juu ya pini F 2 . (Sehemu ya penseli haipaswi kuteleza kwenye uzi, kwa hivyo lazima ihifadhiwe kwa kutengeneza kitanzi kidogo kwenye uzi na kunyoosha sehemu hiyo kupitia hiyo.) Tawi moja la hyperbola (PV). 1 Q) tunachora, kuhakikisha kuwa uzi unabaki kuwa laini wakati wote, na kwa kuvuta ncha zote mbili za uzi chini ya hatua ya zamani F. 2 , na wakati pointi P iko chini ya sehemu F 1 F 2 , kushikilia thread katika ncha zote mbili na kuifungua kwa uangalifu. Tunachora tawi la pili la hyperbola kwa kubadilisha kwanza pini F 1 na F 2 (Mchoro 4).

Mtini.4

Matawi ya hyperbola hukaribia mistari miwili iliyonyooka ambayo huingilia kati ya matawi. Mistari hii inaitwa asymptotes ya hyperbola. Coefficients ya angular ya mistari hii ni sawa na ambapo ni sehemu ya sehemu mbili ya pembe kati ya asymptotes, perpendicular kwa sehemu F. 2 F 1 ; sehemu v 1 v 2 inaitwa mhimili wa kuunganisha wa hyperbola, na sehemu ya V 1 V 2 - mhimili wake wa kuvuka. Kwa hivyo, asymptotes ni diagonal ya mstatili na pande zinazopita kupitia pointi nne v. 1 ,v 2 , V 1 , V 2 sambamba na shoka. Ili kuunda mstatili huu, unahitaji kutaja eneo la alama v 1 na v 2 . Ziko kwa umbali sawa, sawa na hatua ya makutano ya shoka O. Fomula hii inachukua ujenzi wa pembetatu ya kulia na miguu Ov. 1 na V 2 O na hypotenuse F 2 O.

Parabola. Malengo ya duaradufu na hyperbola yalijulikana kwa Apollonius, lakini lengo la parabola inaonekana lilianzishwa kwanza na Pappus (nusu ya pili ya karne ya 3), ambaye alifafanua curve hii kama eneo la pointi sawa na pointi fulani (lengo) na mstari wa moja kwa moja uliopewa, unaoitwa mwalimu mkuu. Ujenzi wa parabola kwa kutumia thread ya mvutano, kulingana na ufafanuzi wa Pappus, ilipendekezwa na Isidore wa Miletus (karne ya VI) (Mchoro 5).

Mtini.5

NJIA YA UCHAMBUZI

Uainishaji wa algebra. Katika istilahi za aljebra, sehemu za koni zinaweza kufafanuliwa kuwa mikondo ya ndege ambayo viwianishi vyake katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian vinakidhi mlingano wa shahada ya pili. Kwa maneno mengine, mlinganyo wa sehemu zote za koni inaweza kuandikwa kwa umbo la jumla ambapo si coefficients zote A, B na C ni sawa na sufuri. Kwa kutumia tafsiri sambamba na mzunguko wa axes, equation (1) inaweza kupunguzwa kwa fomu

shoka 2 +kwa 2 + c = 0

px 2 +q y = 0.

Mlinganyo wa kwanza unapatikana kutoka kwa mlinganyo (1) wa B2 > AC, wa pili - kwa B 2 = AC. Sehemu za conic ambazo equations zimepunguzwa kwa fomu ya kwanza huitwa kati. Sehemu za koni zinazofafanuliwa na milinganyo ya aina ya pili na q > 0 huitwa zisizo za kati. Ndani ya makundi haya mawili, kuna aina tisa tofauti za sehemu za conic kulingana na ishara za coefficients.

2) Ikiwa a na b wana ishara sawa, na c ina ishara kinyume, basi sehemu ya conic ni duaradufu; wakati a = b - duara.

3) Ikiwa a na b wana ishara tofauti, basi sehemu ya conic ni hyperbola.

4) Ikiwa a na b wana ishara tofauti na c = 0, basi sehemu ya conic ina mistari miwili ya kuingiliana.

6) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients nyingine zina ishara tofauti, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayofanana.

Maombi

Miili yote katika Mfumo wa Jua huzunguka Jua kwa duaradufu. Miili ya mbinguni inayoingia kwenye Mfumo wa Jua kutoka kwa mifumo mingine ya nyota huzunguka Jua katika obiti ya hyperbolic na, ikiwa harakati zao haziathiriwa sana na sayari za Mfumo wa Jua, huondoka katika obiti sawa. Satelaiti zake za bandia na satelaiti yake ya asili, Mwezi, husogea katika duaradufu kuzunguka Dunia, na meli za angani zinazorushwa kwa sayari nyingine husogea baada ya injini kumaliza kufanya kazi pamoja na parabolas au hyperbolas (kulingana na kasi) hadi mvuto wa sayari zingine au Jua. inakuwa kulinganishwa na mvuto (Mchoro 3).

Kando ya koni

Mviringo na kesi yake maalum - mduara, parabola na hyperbola ni rahisi kupata kwa majaribio. Kwa mfano, koni ya ice cream itafaa kabisa kwa jukumu la koni. Chora kiakili moja ya jenereta zake na ukate pembe kwa pembe tofauti kwake. Kazi ni kufanya majaribio manne tu na kupata sehemu zote zinazowezekana za conic kwenye vipande. Ni rahisi zaidi kufanya majaribio na tochi: kulingana na nafasi yake katika nafasi, koni ya mwanga itatoa matangazo ya maumbo tofauti kwenye ukuta wa chumba. Mpaka wa kila doa ni moja ya sehemu za conic. Kwa kugeuza tochi kwenye ndege ya wima, utaona jinsi Curve moja inachukua nafasi ya nyingine: mduara umewekwa kwenye duaradufu, kisha inageuka kuwa parabola, na hii, kwa upande wake, kuwa hyperbola.

Mwanahisabati hutatua tatizo sawa kinadharia kwa kulinganisha pembe mbili: α - kati ya mhimili wa koni na jenereta na β - kati ya ndege ya kukata na mhimili wa koni. Na hapa ndio matokeo: kwa α< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β ni tawi la hyperbola. Ikiwa tutazingatia jenereta kuwa mistari iliyonyooka na sio sehemu, ambayo ni, kuzingatia takwimu isiyo na kikomo ya koni mbili zilizo na vertex ya kawaida, itakuwa wazi kuwa duaradufu ni curve iliyofungwa, parabola ina tawi moja lisilo na mwisho, na hyperbola inajumuisha mbili.

Sehemu rahisi zaidi ya conic - mduara - inaweza kuchorwa kwa kutumia thread na msumari. Inatosha kuunganisha mwisho mmoja wa thread kwenye msumari uliowekwa kwenye karatasi, na nyingine kwa penseli na kuivuta kwa ukali. Baada ya kufanya zamu kamili, penseli itaelezea mduara. Au unaweza kutumia dira: kwa kubadilisha ufumbuzi wake, unaweza kuteka kwa urahisi familia nzima ya miduara.

ORODHA YA MAREJEO ILIYOTUMIKA

1.Vereshchagin N.K., A.Shen. Mihadhara juu ya mantiki ya hisabati na nadharia ya algorithms. 1999

2. Prasolov V.V.. Jiometri ya Lobachevsky 2004

4. Prasolov V.V.. Jiometri ya Lobachevsky 2004

Taasisi ya Elimu ya Manispaa

Shule ya Sekondari nambari 4

Imekamilika

Spiridonov Anton

mwanafunzi wa darasa la 11A

Imechaguliwa

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Utangulizi

Dhana ya sehemu za conic

Aina za sehemu za conic

Jifunze

Ujenzi wa sehemu za conic

Mbinu ya uchambuzi

Maombi

Bibliografia

Utangulizi.

Kusudi: kusoma sehemu za conic.

Malengo: jifunze kutofautisha kati ya aina za sehemu za conic, jenga sehemu za kinetic na utumie mbinu ya uchambuzi.

Sehemu iliyopewa inaweza kuzingatiwa kama mfumo wa milinganyo:

na huitwa curve za mpangilio wa 2.

Aina za sehemu za conic.

Sehemu za conic zinaweza kuwa za aina tatu:

2) Ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; katika sehemu ya msalaba, matokeo yake ni Curve wazi ambayo huenda kwa infinity - parabola, amelazwa kabisa juu ya cavity moja.

Jifunze.

Katika hali ambapo sehemu ya conic ina kituo cha ulinganifu (katikati), i.e. ni duaradufu au hyperbola, equation yake inaweza kupunguzwa (kwa kuhamisha asili ya kuratibu katikati) hadi fomu:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Uchunguzi zaidi wa sehemu kama hizi (zinazoitwa za kati) zinaonyesha kuwa milinganyo yao inaweza kupunguzwa kwa fomu rahisi zaidi:

Shoka 2 + Wu 2 = C,

UJENZI WA SEHEMU ZA CONIC.

Ufafanuzi huu wa sehemu za koni kama mikondo ya ndege pia zinapendekeza njia ya kuziunda kwa kutumia kamba iliyonyoshwa.

Ellipse. Ikiwa ncha za uzi wa urefu fulani zimewekwa kwa pointi F 1 na F 2 (Mchoro 3), kisha curve iliyoelezewa na hatua ya penseli inayoteleza kwenye uzi uliowekwa vizuri ina sura ya duaradufu. Pointi F 1 na F 2 huitwa foci ya duaradufu, na sehemu V 1 V 2 na v 1 v 2 kati ya pointi za makutano ya duaradufu na shoka za kuratibu - shoka kuu na ndogo. Ikiwa pointi F 1 na F 2 sanjari, kisha duaradufu hugeuka kuwa mduara (Mchoro 3).

Hyperbola. Wakati wa kujenga hyperbola, uhakika P, ncha ya penseli, imewekwa kwenye uzi unaoteleza kwa uhuru kwenye vigingi vilivyowekwa kwenye sehemu. F 1 na F 2, kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4, a, umbali huchaguliwa ili sehemu PF 2 ni ndefu kuliko sehemu PF 1 kwa kiwango maalum chini ya umbali F 1 F 2. Katika kesi hii, mwisho mmoja wa thread hupita chini ya kigingi F 1, na ncha zote mbili za uzi hupita juu ya kigingi F 2. (Ncha ya penseli haipaswi kuteleza kwenye uzi, kwa hivyo lazima ihifadhiwe kwa kutengeneza kitanzi kidogo kwenye uzi na kunyoosha hatua kupitia hiyo.) Tawi moja la hyperbola ( PV 1 Q) tunachora, kuhakikisha kuwa uzi unabaki kuwa laini wakati wote, na kwa kuvuta ncha zote mbili za uzi chini nyuma ya uhakika. F 2 na wakati uhakika P itakuwa chini ya sehemu F 1 F 2, ukishikilia uzi kwenye ncha zote mbili na uiachilie kwa uangalifu. Tunachora tawi la pili la hyperbola kwa kubadilisha kwanza vigingi F 1 na F 2 (Mchoro 4).

Matawi ya hyperbola hukaribia mistari miwili iliyonyooka ambayo huingilia kati ya matawi. Mistari hii, inayoitwa dalili za hyperbola, zimejengwa kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 4,b. Kona

coefficients ya mistari hii ni sawa na ambapo ni sehemu ya bisekta ya pembe kati ya asymptotes perpendicular kwa sehemu. F 2 F 1; sehemu ya mstari v 1 v 2 inaitwa mhimili wa conjugate wa hyperbola, na sehemu V 1 V 2 - mhimili wake wa kuvuka. Kwa hivyo, asymptotes ni diagonals ya mstatili na pande kupita pointi nne v 1 , v 2 , V 1 , V 2 sambamba na shoka. Ili kujenga mstatili huu, unahitaji kutaja eneo la pointi v 1 na v 2. Ziko kwa umbali sawa, sawa

kutoka mahali pa makutano ya shoka O. Njia hii inahusisha ujenzi wa pembetatu ya kulia na miguu Ov 1 na V 2 O na hypotenuse F 2 O.

Ikiwa asymptotes ya hyperbola ni pande zote za perpendicular, basi hyperbola inaitwa usawa. Hyperbola mbili ambazo zina asymptoti za kawaida, lakini zikiwa na shoka zinazopita na kuunganishwa zikiwa zimepangwa upya, huitwa. kuungana.

Parabola. Ujanja wa ellipse na hyperbola ulijulikana kwa Apollonius, lakini kuzingatia parabola, inavyoonekana, ilianzishwa kwanza na Pappus (nusu ya pili ya karne ya 3), ambaye alifafanua curve hii kama eneo la kijiometri la pointi zinazolingana na sehemu fulani (lengo) na mstari uliotolewa, unaoitwa. mwalimu mkuu. Ujenzi wa parabola kwa kutumia thread ya mvutano, kulingana na ufafanuzi wa Pappus, ilipendekezwa na Isidore wa Miletus (karne ya VI) (Mchoro 5).

Wacha tuweke mtawala ili makali yake sanjari na directrix, na ambatisha mguu kwa makali haya. A.C. kuchora pembetatu ABC. Tunafunga mwisho mmoja wa thread na urefu AB juu B pembetatu na nyingine kwenye lengo la parabola F. Kutumia ncha ya penseli ili kunyoosha thread, bonyeza ncha kwenye sehemu ya kutofautiana P kwa mguu wa bure AB kuchora pembetatu. Wakati pembetatu inasonga pamoja na mtawala, hatua P itaelezea safu ya parabola kwa kuzingatia F na directrix, kwa kuwa urefu wa jumla wa thread ni AB, kipande cha thread ni karibu na mguu wa bure wa pembetatu, na kwa hiyo kipande kilichobaki cha thread PF lazima iwe sawa na sehemu iliyobaki ya mguu AB, hiyo ni PA. Sehemu ya makutano V parabola yenye mhimili inaitwa kipeo cha parabola, mstari ulionyooka kupita F Na V, - mhimili wa parabola. Ikiwa mstari wa moja kwa moja hutolewa kwa kuzingatia, perpendicular kwa mhimili, basi sehemu ya mstari huu wa moja kwa moja iliyokatwa na parabola inaitwa. kigezo cha kuzingatia. Kwa duaradufu na hyperbola, parameta ya msingi imedhamiriwa vile vile.

NJIA YA UCHAMBUZI

ambapo si coefficients zote A, B na C ni sawa na sufuri. Kwa kutumia tafsiri sambamba na mzunguko wa axes, equation (1) inaweza kupunguzwa kwa fomu

shoka 2 + kwa 2 + c = 0

2) Ikiwa a na b wana ishara sawa, na c ina ishara kinyume, basi sehemu ya conic ni duaradufu; wakati a = b - duara.

3) Ikiwa a na b wana ishara tofauti, basi sehemu ya conic ni hyperbola.

4) Ikiwa a na b wana ishara tofauti na c = 0, basi sehemu ya conic ina mistari miwili ya kuingiliana.

6) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients nyingine zina ishara tofauti, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayofanana.

Maombi

Bibliografia.

1. Alekseev. Nadharia ya Abeli katika shida na suluhisho. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P.. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa mwaka wa 1 wa vyuo vya fizikia na hisabati vya taasisi za ufundishaji. Moscow "Mwangaza" 1974

3. Vereshchagin N.K., A.Shen. Mihadhara juu ya mantiki ya hisabati na nadharia ya algorithms. 1999

4. Gelfand I.M. Mihadhara kuhusu aljebra ya mstari. 1998.

5. Gladky A.V. Utangulizi wa mantiki ya kisasa. 2001

6. M.E. Kazaryan. Kozi ya jiometri tofauti (2001-2002).

7. Prasolov V.V.. Jiometri ya Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V.. Matatizo katika planimetry 2001

9. Sheinman O.K.. Misingi ya nadharia ya uwakilishi. 2004

(cm.) (mwongozo wake ni duara) kwa ndege ambazo hazipiti kwenye kipeo chake.
Ikiwa ndege ya kukata hailingani na jenereta yoyote ya uso wa conical, basi sehemu ya conic ni duaradufu, hasa mduara (Mchoro 107). Ikiwa ndege ya kukata ni sawa na moja tu ya jenereta ya uso wa conical, basi sehemu ya conic ni parabola (Mchoro 108). Ikiwa ndege ya secant ni sawa na jenereta mbili za uso wa conical, basi sehemu ya conic ni hyperbola (Mchoro 109).
Katika kesi ya duaradufu na parabola, ndege ya kukata huingiliana na cavity moja tu ya uso wa conical, na katika kesi ya hyperbola, ndege ya kukata huingiliana na cavities zote za uso wa conical.
Sehemu za koni huitwa vinginevyo curves za mpangilio wa 2. Sehemu za conic tayari zilisomwa na wanahisabati wa Ugiriki ya kale (kwa mfano, Menaechmus katika karne ya 4 KK ilitatua tatizo la (tazama) kwa kutumia sehemu za conic). Utafiti kamili zaidi wa sehemu za conic ulifanywa na Apollonius wa Perga (karne ya III KK).

Sehemu za conic hutumiwa katika teknolojia, kwa mfano, katika gia za mviringo, katika mitambo ya utafutaji (vioo vya parabolic), nk Sayari za mfumo wa jua huhamia kwenye ellipses, comets huenda katika parabolas na hyperbolas.
Utafiti wa sehemu za conic kwa kutumia nyanja zilizoandikwa kwenye uso wa conical ulifanyika na geometer ya Ubelgiji J. Dandelin (karne ya 19).

Equation ya sehemu ya conic katika kuratibu za polar ina fomu:

ambapo r ni vector ya radius focal (Kielelezo 110, F ni lengo sahihi la sehemu ya conic);

p - parameter ya kuzingatia;
e - eccentricity;
φ - pembe ya polar.

Ikiwa e 1, basi equation hii huamua (tazama); katika kesi hii, kwa pembe φ tofauti kutoka φ 0 hadi 2π - φ 0 (ambapo 2 φ 0 ni pembe kati ya asymptotes tan φ 0 = b / a), tunapata tawi la haki la hyperbola, na kwa pembe φ kutofautiana. kutoka - φ 0 hadi φ 0, tunapata tawi la kushoto la hyperbola.

Jina la sehemu za conic (ellipse, parabola na hyperbola) hufafanuliwa na jiografia za zamani kwa njia yao ya kutatua shida zinazojitokeza katika kutatua hesabu za mstari au za quadratic - njia ya kutumia maeneo, au njia ya kimfano, ambayo pia huitwa njia ya algebra ya kijiometri.

Hebu AB = 2a - kipenyo cha duaradufu (Mchoro 111), AE = 2p, CF - perpendicular kwa AB; basi mraba uliojengwa kwenye CD utakuwa sawa na eneo la mstatili (AF):

Kuweka AC=x, CB=2a - x, CD=y, tunapata:

Vile vile kwa hyperbola tutakuwa na:

Katika kesi ya duaradufu, fomula ina ishara ya kuondoa, i.e. eneo la mstatili (CE) hutumiwa na shida (Kigiriki ελλειψιζ - hasara). Katika kesi ya hyperbola, formula ina ishara ya kuongeza, i.e. eneo la mstatili (CE) hutumiwa kwa ziada (Kigiriki υπερβολη - ziada, ziada).
Ikiwa kuna usawa rahisi kati ya eneo la mraba na eneo la mstatili (CE) (hakuna minus au plus katika formula - wala ziada au upungufu), i.e. y² = 2pх, basi Curve (sehemu ya conic) inaitwa parabola (παραβολη - maeneo ya kiambatisho, kusawazisha).

Wizara ya Elimu ya Shirikisho la Urusi

Chuo Kikuu cha Ualimu cha Jimbo la Kaluga

Wao. K.E. Tsiolkovsky

"Sehemu za Conic"

1. Kazi za Apollonius

2. "Sehemu za Conic" na Apollonius.

2.1 Utoaji wa mlingano wa curve kwa sehemu ya koni ya mstatili ya mapinduzi

2.2 Kutokezwa kwa mlingano wa parabola

2.3 Utoaji wa mlingano wa duaradufu na hyperbola

2.4 Tofauti ya sehemu za conic

2.5 Utafiti zaidi wa sehemu za conic katika kazi za Apollonius

2.6 Maendeleo zaidi ya nadharia ya sehemu za koni

3. Hitimisho

4. Marejeleo

Kazi za Apollonius

Apollonius alizaliwa huko Pergae huko Asia Ndogo. Siku kuu ya shughuli zake ni karibu 210. BC. Wakati huu aliishi Alexandria, ambapo alihamia akiwa kijana na alisoma chini ya uongozi wa wanahisabati wa shule ya Euclid. Apollonius alikua maarufu kama jiota na mnajimu. Alikufa karibu 170. BC e.

Katika hisabati, Apollonius anajulikana zaidi kwa Sehemu zake za Conic, ambamo alitoa ufafanuzi kamili wa nadharia, na akatengeneza njia za uchambuzi na makadirio. Apollonius aliandika risala "Kwenye Uingizaji", iliyowekwa kwa uainishaji wa shida ambazo zinaweza kutatuliwa kwa kutumia viingilio. Shida kama hizo zinaweza kutatuliwa na dira na mtawala (matatizo ya ndege), kwa msaada wa sehemu za conic (matatizo thabiti) na kwa msaada wa curves zingine (linear). Kutambua tatizo fulani ni la darasa gani kunaweza kuashiria mwanzo wa uainishaji wao wa aljebra. Nia ya Apollonius katika matatizo ya aljebra pia ilijidhihirisha katika kazi yake nyingine, "On Disordered Irrationalities," ambamo aliendelea na uainishaji wa Euclid.

Kazi za kijiometri za Apollonius ni: kazi "Kwenye Mistari ya Spiral", ambayo yeye huzingatia ond juu ya uso wa silinda, "On Touch", ambapo shida maarufu ya Apollonius inachambuliwa: "Kwa kuzingatia mambo matatu, ambayo kila moja. inaweza kuwa hatua, mstari wa moja kwa moja au mduara; inahitajika kuchora mduara ambao unaweza kupita katika kila moja ya pointi zilizotolewa na kugusa kila moja ya mistari au miduara iliyotolewa."

Kutoka kwa kazi "Maeneo ya Jiometri ya Ndege" tunaweza kuhitimisha kwamba Apollonius alizingatia mabadiliko ya ndege kwenye yenyewe, ambayo hubadilisha mistari ya moja kwa moja na miduara kuwa mistari na miduara moja kwa moja. Kesi maalum ya mabadiliko haya ni mabadiliko ya kufanana na ubadilishaji wa hatua fulani.

Baadhi ya kazi za Apollonius zilipotea na hazijaishi hadi leo.

"Sehemu za Conic" na Apollonius

Sehemu za Conic zina vitabu nane. Nne za kwanza, ambazo, kwa mujibu wa mwandishi, zimeweka vipengele vya nadharia, zimetufikia kwa Kigiriki, tatu zinazofuata zimo katika tafsiri ya Kiarabu ya Thabit ibn Korra, cha mwisho - kitabu cha nane - kimepotea. Kuna ujenzi wa maandishi yake, mali ya Kiingereza mwanaastronomia E. Halley (XVIII karne).

Miingo ya mpangilio wa pili ilizingatiwa kwa mara ya kwanza kuhusiana na tatizo la kuzidisha mchemraba mara mbili; Menaechmus aliziwasilisha kama sehemu tambarare za koni za mapinduzi za mstatili, zenye pembe mnene na zenye pembe kali. Uwakilishi huu wa sterometriki ulihakikisha kuwepo na mwendelezo wa mikunjo inayohusika. Kisha Menaechmus aliendelea na kupatikana kwa mali ya msingi ya planimetric ya sehemu hiyo, ambayo watu wa kale waliiita dalili (equation ya curve).

Utoaji wa mlinganyo wa curve kwa sehemu ya koni ya mstatili ya mapinduzi

Hebu OAB iwe sehemu ya koni hii kwa ndege inayopitia mhimili OL, na basi PLK iwe ufuatiliaji wa ndege perpendicular kwa jenereta ya koni hii (Mchoro 1). Kisha KM 2 = AK KB, kwani AMB ni nusu duara. Lakini AK=PP′=√2LP 2, na KB=√2KP 2, hivyo KM 2 =2LP KP.

Mchele. 1

Hebu tuashiria KM kwa y, KP kwa p, kisha tupate

Hii ni equation, au dalili, ya curve, ambayo imeandikwa kwa kutumia alama za alfabeti, na watu wa kale waliandika kwa fomu ya matusi-kijiometri: mraba kwenye nusu-chord KM katika kila hatua ni sawa na PKSR ya mstatili, iliyojengwa juu yake. sehemu ya PK ya mhimili kwa vertex (x) na kwenye sehemu ya mara kwa mara ya PR (Mchoro 2).

Mchele. 2

Vile vile, equation ilitolewa kwa sehemu za cones za papo hapo-angled na obtuse-angled, i.e. duaradufu na hyperbola:

= na =, (2)

ambapo 2a ndio mhimili mkuu wa duaradufu au mhimili halisi wa hyperbola,

na p ni thabiti.

Katika kesi wakati р=а, milinganyo (2) inachukua fomu

y 2 =x(2a-x) na y 2 =x(2a+x) (3)

ya kwanza ambayo ni equation ya mduara wa radius a, na pili ni equation ya hyperbola equilateral. Duaradufu na haipabola (2) zinaweza kupatikana kutoka kwa duara na haipabola (3) kwa kubana kwa mhimili wa abscissa katika uwiano √p/a.

Apollonius kwanza kabisa anatoa ufafanuzi wa jumla zaidi. Kwanza, anachukua koni ya mviringo ya kiholela; pili, anachunguza mashimo yake yote mawili (ambayo inampa fursa ya kusoma matawi yote mawili ya hyperbola); hatimaye, huchota sehemu na ndege iko kwenye pembe yoyote kwa jenereta.

Katika lugha ya kawaida ya jiometri ya uchambuzi, tunaweza kusema kwamba kabla ya Apollonius, sehemu za conic zilizingatiwa kuhusiana na mfumo wa kuratibu wa mstatili, na moja ya shoka inayoambatana na kipenyo kikuu, na ya pili kupita kwa njia yake kupitia vertex. curve; Apollonius kuhusiana curves kwa kipenyo chochote cha tangent inayotolewa kwenye moja ya mwisho wake, i.e. kwa mfumo fulani wa kuratibu oblique.

Baada ya ufafanuzi wa sterometriki, Apollonius pia hutoa derivation ya dalili - equations ya curves. Wakati huo huo, anaainisha curves zinazosababisha kulingana na aina ya equation inayofafanua, i.e. Msingi ni tabia ya mtazamo wa jiometri ya uchambuzi.

Utoaji wa mlinganyo wa parabola

Hebu BAC iwe sehemu ya koni ya duara kwa ndege inayopita kwenye mhimili (Mchoro 3), na iache GHD ya ndege itolewe ili DE iwe sawa na BC na GH ni sambamba na AB (GH inaweza kuchaguliwa kuwa sambamba. kwa AC). Wacha tupate equation ya curve ya DGE iliyopatikana katika sehemu hiyo.

Mchele. 3

Acha K iwe kigezo cha kiholela kwenye curve hii. Hebu tuchore KL sambamba na DE na MN sambamba na BC. Ndege inayopitia KL na MN itakuwa sambamba na ndege ya msingi na, kama Apollonius alikuwa amethibitisha hapo awali, itavuka koni kwenye duara. Kwa hiyo KL 2 =ML LN.

Sehemu ya GL ni umbali wa kutofautiana wa makadirio ya uhakika D kutoka kwa vertex, masharti ni mara kwa mara. Apollonius anachagua sehemu ya GF kama hiyo

Kisha KL 2 =GF LG. Hii ni dalili - equation ya sehemu ya msalaba.

Ikiwa tunaashiria KL=y, LG=x, GF=2p, basi tunapata equation katika fomu ya kawaida: y 2 =2px.

Katika Apollonius, equation pia imeandikwa kwa maneno - kwa Kigiriki: ikiwa GH ni moja ya kipenyo cha parabola, na KL ni semichord conjugate kwa kipenyo hiki, basi Apollonius anaweka GR = 2p perpendicular kwa GH. Kisha inaelezwa kuwa katika kila hatua ya mraba iliyojengwa kwenye LK (Mchoro 4) lazima iwe sawa na mstatili GRSL, i.e. GL GR.

Jina "parabola" linatokana na jina la Apollonius παραβολή (maombi), kwa kuwa tatizo la kujenga uhakika kwenye curve hii limepunguzwa kwa tatizo la maombi (kabla ya Apollonius, parabola iliitwa sehemu ya koni ya mstatili ya mapinduzi).

Mchele. 4

Utoaji wa equation ya duaradufu na hyperbola

Vile vile, Apollonius hupata equation ya duaradufu na hyperbola.

Kwa hivyo, kwa duaradufu inathibitishwa kuwa LK 2 = pl. GLL′G′ (Mchoro 5), ambapo GH = 2a ni kipenyo fulani cha duaradufu, LK ni semichord conjugate yake, GR = 2p ni mara kwa mara, na GR ni perpendicular kwa GH. Ili kuendelea na aina ya nukuu inayofahamika zaidi, kumbuka hilo

Mchele. 5

Kwa hivyo, shida ya kuunda alama za duaradufu imepunguzwa kwa shida ya programu iliyo na shida ("tatizo la elliptic"), ambayo inaelezea jina "ellipse" (έλλειψις - hasara). Jina hili lilianzishwa na Apollonius; mbele yake, duaradufu iliitwa sehemu ya koni ya mapinduzi yenye pembe kali.

Vile vile kwa hyperbola (Mchoro 6) tunapata equation

LK 2 = mraba GLL′G′, yaani. , au.

Kwa hivyo, shida ya kuunda alama za hyperbola hupunguzwa hadi shida ya maombi na ziada ("tatizo la hyperbolic"), ambalo linaelezea jina "hyperbola" (ύπερβολή - ziada). Jina hili pia lilianzishwa na Apollonius; kabla yake, hyperbola iliitwa sehemu ya koni ya mapinduzi.

Sehemu iliyojengwa GR = 2p, iliyowekwa perpendicular kwa kipenyo GH, iliitwa "upande wa moja kwa moja" na Apollonius.

Mchele. 6

Kwa sasa, thamani p inaitwa kigezo cha sehemu ya kisheria (katika kesi ya duaradufu na hyperbola yenye nusu-shoka a na b, p=b 2 /a, na kipengele cha mgandamizo √p/a, kubadilisha mduara. au hyperbola equilateral kuwa duaradufu au hyperbola, ni sawa na b/a) .

Uainishaji wa Apollonius wa sehemu za koni ulikuwa kimsingi wa algebra.

Tofauti ya sehemu za conic

Apollonius alielewa vizuri (na hii ilimleta karibu na jiota za Enzi Mpya) kwamba uainishaji kama huo ni halali ikiwa tu aina ya equation haibadilika wakati curve inapewa kipenyo chake kingine na chords zake za kuunganisha.

Katika kitabu cha kwanza anachunguza suala hili. Ili kufanya hivyo, ilikuwa ni lazima kuamua mwelekeo wa chords zinazohusiana na kipenyo chochote. Kwa uamuzi wa sterometriki, maelekezo ya kuunganisha hupatikana moja kwa moja. Hata hivyo, ili kutatua tatizo lililotolewa na Apollonius, ufafanuzi wa kujitegemea wa sterometry unahitajika. Apollonius anafanya hivi: anathibitisha kwamba mstari uliochorwa kupitia hatua A ya sehemu ya kisheria sambamba na mwelekeo wa chords conjugate kwa kipenyo kupita A ni tangent. Baada ya hapo, yeye hujenga tangent kwa parabola, duaraduara, duara na hyperbola.

Acha P iwe hatua fulani kwenye parabola na AA′ iwe mojawapo ya vipenyo (Mchoro 7). Apollonius inathibitisha kwamba tangent PR itakata sehemu ya AR=AQ kutoka kwa kiendelezi cha kipenyo ikiwa PL ni chord changanishi hadi AA′. Kwa hyperbola, duaradufu na duara, anapata uhusiano (Mchoro 8, kwa duaradufu)

Mchele. 7

RA:RA′=QA:QA′.

Apollonius basi hubadilisha equation ya duaradufu na hyperbola ili asili ya kuratibu iwe katikati ya curve, na equation ya parabola ili asili ya kuratibu sanjari na kipeo cha curve hii.

Kwa hivyo, hapa shoka za kuratibu ni vipenyo viwili vya kuunganisha. Baada ya hayo, anaonyesha kuwa umbo la equation haibadiliki ikiwa kipenyo chochote cha curve na tangent inayotolewa kwenye moja ya ncha zake inachukuliwa kama shoka mpya.

Mchele. 8

Katika kitabu cha kwanza, Apollonius anazingatia anuwai ya mifumo ya kuratibu kulingana na parameta moja, kwani mifumo hii ya kuratibu imedhamiriwa na hatua moja ya curve - mwisho wa kipenyo, na inathibitisha kutofautiana kwa equations ya duaradufu, hyperbola na parabola. kwa kuzingatia mabadiliko ya mifumo inayolingana ya kuratibu.

Mwishoni mwa kitabu cha kwanza, Apollonius inaonyesha kwamba inawezekana kuchagua kipenyo ambacho ni perpendicular kwa chords zinazohusiana nayo. Kisha curve inayozingatiwa inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya koni yoyote ya kuzunguka-anglia, au ya papo hapo, au ya mstatili kwa ndege inayoelekea kwenye jenereta. Hii inathibitisha utambulisho wa mikondo iliyoletwa na Apollonius na sehemu za kisheria ambazo zilizingatiwa kabla yake.

Wazo kuu la kitabu cha kwanza ni kuchukua kama msingi wa uainishaji wa curves mali ya hesabu zao za algebra, na haswa zile ambazo zinabaki kuwa tofauti chini ya mabadiliko yanayokubalika ya kuratibu. Tu katika karne ya 19. Wazo hili lilieleweka kikamilifu wakati Klein, katika Mpango wa Erlangen, alipoanzisha mtazamo mpya wa jiometri kama sayansi ya kutofautiana kwa makundi fulani ya mabadiliko ya ndege au nafasi.

Utafiti zaidi wa sehemu za conic katika kazi za Apollonius

Katika vitabu vitatu vilivyofuata, Apollonius anaendeleza nadharia ya sehemu za conic: anafafanua mali ya msingi ya kipenyo cha conjugate ya asymptotes, hupata equation ya hyperbola kwa heshima na asymptotes (xy = const) na huanzisha mali ya msingi ya foci ya. duaradufu na hyperbola. Hapa, kwa mara ya kwanza, miti na polar kwa heshima ya sehemu za conic zinaonekana: ikiwa kutoka kwa uhakika inawezekana kuteka tangents mbili kwa sehemu ya conic, basi mstari wa moja kwa moja unaounganisha pointi za tangency inaitwa polar ya hatua iliyotolewa. , na uhakika ni nguzo ya mstari huu ulionyooka. Ikiwa unasonga nguzo kwenye mstari wa moja kwa moja unaovuka sehemu hiyo, basi polar itazunguka karibu na nguzo ya mstari huu wa moja kwa moja, lakini ikiwa unasonga nguzo kwenye mstari wa moja kwa moja ambao hauingiliani na sehemu hiyo, basi polar pia itazunguka pande zote. hatua fulani, na katika kesi hii hatua ambayo polar inazunguka, na mstari wa moja kwa moja , pamoja na ambayo pole inakwenda, pia inaitwa pole na polar. Katika kitabu cha nne, Apollonius anazingatia swali la idadi ya pointi za makutano ya sehemu mbili za conic.

Katika kitabu cha tano, Apollonius anafafanua kanuni zote kwa sehemu ya conic (perpendiculars kwa tangent, kurejeshwa kwenye hatua ya tangency). Kitabu cha sita kinasoma sehemu zinazofanana.

Kitabu cha saba kina nadharia maarufu za Apollonius:

a) jumla ya mraba kwenye kipenyo cha conjugate ya duaradufu ni sawa na jumla ya mraba kwenye shoka kuu;

b) tofauti ya mraba kwenye vipenyo viwili vya conjugate ya hyperbola ni sawa na tofauti ya mraba kwenye shoka kuu;

c) parallelogram iliyojengwa kwa vipenyo viwili vya conjugate ya duaradufu au hyperbola ina eneo la mara kwa mara.

Maendeleo zaidi ya nadharia ya sehemu za conic

Katika nyakati za zamani, njia za kusoma curves iliyoundwa na Apollonius hazijatengenezwa, ingawa hadi mwanzoni mwa karne ya 5. AD kazi zake zilisomwa na kutolewa maoni. Kuhusu sehemu zenyewe, zilitumiwa na Archimedes kutatua na kusoma equation ya ujazo. Kwa madhumuni sawa, sehemu za conic zilitumiwa na geometers za kale na wanasayansi kutoka nchi za Kiislamu.

Kwa muda mrefu hawakupokea maombi yoyote katika sayansi ya asili ya hisabati, isipokuwa kwa utafiti wa kutafakari kwa mwanga kutoka kwa vioo vya parabolic. Tu katika karne ya 17. Kulikuwa na ufufuo wa mawazo ya Apollonius: Fermat na Descartes walitafsiri mbinu yake katika lugha ya aljebra mpya, wakianzisha jiometri ya uchanganuzi, na Newton alitumia mbinu hizi kuelezea na kujifunza curve za utaratibu wa tatu. Lakini hata mapema, nadharia ya sehemu za conic ilipata matumizi makubwa zaidi katika mechanics ya miili ya duniani na ya mbinguni: Kepler alianzisha kwamba sayari za mfumo wetu wa jua huhamia kwenye ellipses, kwenye mojawapo ya foci ambayo Jua iko; Galileo alionyesha kwamba jiwe lililotupwa huruka angani kwa parabola. Hatimaye, katika miaka ya 80 ya karne ya 17. Newton aliunda "Kanuni za Hisabati za Falsafa ya Asili" moja kwa moja kulingana na kazi za Apollonius.

Hitimisho

Sehemu za koni za Apollonius ni mfano wa nadharia ya hisabati iliyoundwa muda mrefu kabla ya kuhitajika. Katika pindi hii, A. Einstein aliandika hivi: “Mbali na kustaajabishwa na mtu huyu wa ajabu (tunazungumza juu ya Kepler), kuna hisia nyingine ya kusifiwa na kustaajabia, lakini inayohusiana na si mwanadamu, bali upatano wa ajabu wa asili, ambao hauhusiani na mwanadamu. yanahusiana na sheria rahisi. Pamoja na mstari wa moja kwa moja na mduara, walijumuisha ellipse na hyperbola. Tunaona haya ya mwisho yakitekelezwa katika mizunguko ya miili ya anga, angalau kwa makadirio mazuri.

Bibliografia:

1. Njia na labyrinths. Insha juu ya historia ya hisabati. Daan - Dalmedico A., Peiffer J. Trans. kutoka Kifaransa - M.: Mir, 1986.

2. Historia ya hisabati kutoka nyakati za kale hadi mwanzoni mwa karne ya 19. Yushkevich A.P. - M.: Nauka, 1970.

Nilitembelea "Kitabu cha Kale" kipya kilichofunguliwa mnamo 2 Sovetskaya. Maoni ni mazuri sana: duka la ulimwengu wote, hadithi nyingi za uwongo, uteuzi mzuri wa fasihi ya kiufundi na kisayansi. Kwa kuwa mchakato wa kupanga bado haujakamilishwa, sio fasihi zote za kiufundi zimeonyeshwa (kujazwa tena kwa kiasi kikubwa kunaahidiwa katika siku zijazo) na iko katika mkanganyiko fulani. Matibabu ya wateja ni "haberdashery zaidi"; wanakualika uje tena na kukuuliza uwaambie marafiki zako kuhusu duka jipya.
Ninatimiza ombi langu la mwisho:

Kwa kawaida, haikuwezekana kuondoka bila kununua kitabu:

L. Karpinsky, profesa katika Chuo Kikuu cha Michigan, G. Benedict, profesa katika Chuo Kikuu cha Texas, J. Kalgun, profesa katika Chuo Kikuu cha Texas
Hisabati umoja
Tafsiri iliyoidhinishwa kutoka kwa Kiingereza yenye maelezo na mabadiliko ya Prof. D. A. Kryzhanovsky
Sehemu ya Kisayansi na Kiufundi ya Baraza la Kitaaluma la Jimbo imeidhinishwa kama mwongozo kwa shule za ufundi na vyuo vya ufundi; ilipendekeza kama mwongozo kwa walimu
M.-L.: Nyumba ya Uchapishaji ya Jimbo, 1926. XVI, 596 p.
(Miongozo na miongozo kwa shule za ufundi na vyuo)

Kutoka kwa utangulizi wa mfasiri:

Kati ya fasihi kubwa ya hisabati ya kielimu kutoka nchi tofauti, kazi ya pamoja ya maprofesa watatu wa Amerika, "Unified Hisabati," inajitokeza kwa chaguo lake la asili la nyenzo na, haswa, kwa usindikaji na njia za uwasilishaji. Tabia kuu ya waandishi ni kuunganisha nyenzo zote zilizowasilishwa, kwa kuunganisha sehemu zake za kibinafsi, kwa ujumla - inapatana kabisa na kanuni za shule yetu. Ikiwa hisabati, kama somo la kufundishia shuleni, lazima iunganishwe kwa karibu na usomaji wa maumbile na jamii na mahitaji ya maisha, basi hakuwezi kuwa na mgawanyiko wa kielimu katika taaluma na sura zinazojitegemea. Fizikia, teknolojia, na uchumi hazibadilishi matatizo yao kwa makundi ambayo makusanyo ya matatizo ya hisabati kawaida hugawanywa. Kwa hiyo, mapema mwanafunzi anajifunza kuchanganya mbinu na matokeo ya matawi mbalimbali ya hisabati, bora zaidi. Na kwa hili, njia ya uhakika ni kuanzisha njia hii ya mchanganyiko katika mchakato sana wa kusoma hisabati.
Kipengele kingine bainifu cha kitabu hiki, kilichounganishwa kimaumbile na mwelekeo wake wa jumla uliotajwa hapo juu, ni utajiri uliokithiri na anuwai ya nyenzo zinazotumika (zilizochukuliwa kutoka kwa fizikia, unajimu, teknolojia, sanaa, biolojia, takwimu, hesabu za kibiashara, n.k.) zote mbili kwenye maandishi. na katika kazi - pia inafaa kikamilifu mahitaji ya shule yetu. Nyenzo hii imetawanyika kwa mkono wa ukarimu katika sura zote na, hasa, inajaza kabisa sura za XXII, XXVI ("mwendo wa oscillatory") na XXVII ("sheria za ukuaji wa kikaboni"). Katika sura hii ya mwisho (XXVII), umakini maalum unatolewa kwa riwaya ya mada "curve ya uponyaji wa jeraha" - matokeo ya uchunguzi wa hospitali wakati wa vita vya mwisho. Shukrani kwa wingi huu wa mifano na matatizo, "Hesabu Iliyounganishwa" inaweza kuwa mwongozo muhimu kwa taasisi hizo za elimu ambazo nadharia inafundishwa kwa kutumia miongozo mingine.
Faida zisizo na shaka za "Hesabu Iliyounganishwa" pia ni pamoja na "maelezo ya kihistoria" mengi, yenye kuvutia.

Dibaji ya Profesa L. Karpinsky kwa tafsiri ya Kirusi:

Wazo kuu la "Hisabati Iliyounganishwa" sio sana kupotoka kutoka kwa hisabati ya jadi, urithi wetu mkuu wa zamani, lakini kuonyesha ni nini jukumu muhimu na la kweli la hisabati katika ulimwengu wa kisasa. Kujua kwamba parabola ina mali kama hayo na ya ajabu ya kijiometri ilitosha kwa Wagiriki. Mwanafunzi wa kisasa anahitaji kuonyesha muunganisho wa kuvutia na milinganyo ya msingi ya algebra, na haswa na urushaji wa projectile, na aina mbalimbali za miundo ya madaraja, yenye umbo la kumbi za tamasha na hata na viangaza vya gari. Utumizi wa vitendo sio mzuri sana kuliko ule wa kinadharia tu.
Ulimwengu wa kisasa unahitaji kazi ya kiakili sio chini ya ulimwengu wa zamani, lakini inahitaji akili kuwasiliana na ukweli. Katika hisabati hii inaweza kufanywa huku tukihifadhi mafanikio mengi ya hapo awali.
Kusoma kitabu kama hiki ni raha sana. Mifano mingi iliyotolewa ndani yake tayari ina thamani karibu ya kihistoria. Kwa kuongezea, sehemu zingine, bila ufahamu ambao miaka themanini hadi tisini iliyopita haikuwezekana kwa wanahisabati na wahandisi, sasa wamekufa, na kugundua kwao kunavutia sana. Maoni mengine hupokelewa kwa tabasamu la huzuni, haswa wakati wa kufikiria juu ya wanafunzi wa sasa.

Katika miaka ya hivi karibuni matumizi makubwa ya mashine za kukokotoa, kufanya kuzidisha na mgawanyiko wa tarakimu kumi na tano na hata ishirini, kwa sehemu imebadilisha meza za logarithmic katika ofisi za makampuni makubwa ya bima, na pia, kwa kiasi fulani, katika uchunguzi.
KUTOKA SURA YA VII: KAZI ZA TRIGONOMETRIC

§ 10. Asili ya kazi tangent na cotangent.- Katika astronomia ya uchunguzi, angle ya mwelekeo wa jua na miili mingine ya mbinguni kwenye upeo wa macho ina jukumu muhimu. Uwiano wa urefu wa kivuli kinachotupwa na kitu fulani cha wima kwa urefu wa kitu chenyewe hutoa cotangent ya pembe ya mwelekeo wa jua. Kazi hii ya pembe ilionekana mbele ya tanjent katika maandishi ya mwanaastronomia wa Kiarabu Al-Battani, katika karne ya 10 baada ya Kristo, na iliitwa kivuli, na baadaye kivuli cha moja kwa moja au kivuli cha pili. Kazi ya tangent, ambayo inawakilisha uwiano wa urefu wa kivuli kilichopigwa kwenye ukuta wa wima na fimbo perpendicular kwa ukuta hadi urefu wa fimbo yenyewe, baadaye iliitwa kivuli cha kwanza. Waarabu walikubali urefu wa fimbo kama vipande 12.

KUTOKA SURA YA XIX: PARABOLA

§ 1. Ufafanuzi.- Tumefafanua duaradufu (Sura ya XVIII, § 3) kama eneo la sehemu ambayo inasogea kwa njia ambayo umbali wake kutoka kwa uhakika uliowekwa, umakini, uko katika uwiano thabiti wa chini ya 1 hadi umbali wake kutoka mstari fasta, directrix. Ikiwa uwiano huu wa mara kwa mara ni 1, basi curve iliyoelezwa na hatua ya kusonga inaitwa parabola. Ikiwa uwiano huu, kuwa mara kwa mara, unazidi 1, basi curve inaitwa hyperbola.

Hali: ,saa, duaradufu imebainishwa.
Hali: parabola inafafanuliwa.
Hali: , saa, hyperbola inafafanuliwa.
[NA. 345–346.]

KUTOKA SURA YA XXI: TANGENTS NA KAWAIDA HADI MIPIGO YA AWAMU YA PILI

§ 2. Mlinganyo wa shahada ya pili ya fomu ya jumla unaonyesha sehemu ya koni.- Ikiwa koni ya mviringo ya moja kwa moja inatolewa, basi inaweza kuonyeshwa, kwa kutumia mbinu za kijiometri za jiometri ya Euclidean, kwamba sehemu ya uso wa koni na ndege yoyote inawakilisha moja ya curves zilizotajwa hapo juu; kwa mfano, ndege inayofanana na msingi wa koni inatoa mduara katika sehemu ya msalaba, au hatua ya mduara (mduara wa radius ya sifuri) ikiwa inapita kupitia vertex.
Kwa koni sisi hapa tunamaanisha uso mzima wa conical unaoundwa na jenereta za koni, zilizopanuliwa kwa muda usiojulikana katika pande zote mbili kutoka kwa hatua ya makutano yao.
Ndege inayofanana na kipengele kimoja tu cha kuzalisha (jenereta ya koni) huingilia koni kando ya parabola, au kwa mistari miwili inayofanana, ikiwa ndege ya kukata wakati huo huo inapitia moja ya jenereta na kugusa msingi wa mviringo wa koni.
Ndege inayokatiza kwa umbali mdogo jenereta zote za koni hutoa duaradufu katika sehemu ya msalaba; mwisho hugeuka kuwa hatua ya duaradufu wakati ndege inapita kupitia vertex ya koni.
Ndege ambayo inafanana kwa wakati mmoja na jenereta zozote mbili za koni hukata mwisho pamoja na hyperbola, lakini ikiwa ndege inapita kupitia vertex, basi hyperbola huharibika na kuwa jozi ya mistari iliyonyooka.
§ 3. Maelezo ya kihistoria juu ya sehemu za conic.- Sifa za kimsingi za sehemu za koni ziligunduliwa na wanahisabati wa Uigiriki karibu miaka elfu mbili kabla ya uvumbuzi wa jiometri ya uchanganuzi na wanahisabati wa Ufaransa wa karne ya kumi na saba Descartes na Fermat. Risala kuhusu sehemu za koni iliandikwa na Euclid (karibu 320 KK), lakini ilipitwa kwa uhakika na risala iliyoandikwa karne moja baadaye. Apollonius wa Pergamon(c. 250 KK); nakala hii ya mwisho ilikuwa na sifa nyingi za kimsingi ambazo tumesoma.
Sifa za parabola zinazohusiana moja kwa moja na mwelekeo na directrix hazijumuishwa katika vitabu nane (sura) vilivyoandikwa na Apollonius kwenye sehemu za conic; pia hakutumia directrix katika kesi ya sehemu za kati (yaani, curves kuwa katikati ya ulinganifu - duaradufu na hyperbola). Alianzisha dhana hizi ndani yake Mikusanyiko ya Hisabati Pappus wa Alexandria(c. 300 AD), labda mwanahisabati wa mwisho wa Kigiriki muhimu.
Wanahisabati wa Ugiriki wa kale walipendezwa na mikunjo hii kutoka kwa mtazamo wa kijiometri. Hawakujua kwamba njia za sayari ni sehemu za conic; Pia hawakujua matumizi yoyote ya vitendo ya curves hizi. Hata hivyo, ni kwa sababu tu jiomita za Kigiriki zilichunguza sifa za mikunjo hiyo ndipo Johannes Kepler na Isaac Newton waliweza kuanzisha sheria za mwendo wa sayari katika ulimwengu tunamoishi. Wanasayansi waliotajwa, pamoja na Nicolaus Copernicus, ambaye alirejesha nadharia ya heliocentric ya dunia, walikuwa wataalam wa kina katika jiometri safi ya Wagiriki; nadharia zao mpya zilijengwa moja kwa moja kwa msingi wa jiometri hii safi.
[NA. 374–376.]

KUTOKA SURA YA XXII: MATUMIZI YA SEHEMU ZA CONIC

§ 1. Maneno ya jumla.- Matumizi mengi ya sehemu za koni - duara, duaradufu, parabola na hyperbola - tayari yameonyeshwa kwa sehemu katika shida zinazoambatana na utafiti wa kila moja ya curve hizi. Utumizi kama huu wa kina na tofauti wa curve hizi ni kwa sababu ya sifa zao za tangential na sifa zingine za kijiometri. Ukweli kwamba sifa rahisi za kijiometri ni za mikunjo ambayo inaonyeshwa na milinganyo ya aljebra yenye vigeu viwili vya digrii ya kwanza na ya pili inaonekana kuashiria kuwepo kwa maelewano fulani katika ulimwengu wa aljebra na jiometri.

§ 2. Sheria za ulimwengu.- Mnamo 1529, mwanaastronomia wa Kipolishi na mwanahisabati Copernicus (1473 - 1543) aligundua tena na kuthibitisha ukweli, ambao tayari unajulikana kwa Wagiriki wa kale, kwamba jua linawakilisha katikati ya ulimwengu tunamoishi; aliamini kwamba sayari huzunguka jua katika mizunguko ya duara.
Karibu karne moja baada ya hayo, mwanaastronomia mkuu wa Ujerumani Kepler (1571 - 1630) alianzisha sheria zifuatazo za ulimwengu:
1. Mizunguko ya sayari ni duaradufu, huku jua likiwa kwenye mojawapo ya vielelezo.
2. Vekta ya radius inayounganisha jua na sayari inayotembea inaelezea maeneo sawa katika vipindi sawa vya muda (kwa kila sayari tofauti).
3. Mraba wa wakati wa mapinduzi kamili ya kila sayari ni sawa na mchemraba wa umbali wake wa wastani kutoka jua, i.e.
,
wapi na ni vipindi vya obiti vya sayari mbili, na ni kipenyo cha obiti zao.
Kepler aliweza kufanya uvumbuzi wake tu shukrani kwa kazi ya watangulizi wake wote, haswa wanahisabati wa Uigiriki ambao walifanya uchunguzi kamili wa mali ya sehemu za conic, na vile vile Dane Tycho Brahe (1546 - 1601), ambaye uchunguzi wake wa uangalifu ulitolewa. data muhimu ya ukweli juu ya mwendo wa sayari.
Newton (1642 - 1727) alikamilisha kazi ya kuweka kanuni za sheria za mwendo katika ulimwengu unaotuzunguka, akionyesha kuwa mvuto wa pande zote wa miili yoyote miwili ni sawia na mraba wa umbali kati yao na sawia moja kwa moja na raia wao. Zaidi ya hayo, Newton alionyesha kwamba dhana hii inaongoza kwa mwendo wa mviringo katika kesi ya jua na sayari yoyote.
Njia za comets zinazoonekana mara moja tu ndani ya mfumo wa jua ni, kama inavyojulikana, parabolas au, labda, hyperbolas, eccentricity ambayo ni karibu na 1.
[NA. 391–392.]

§ 6. Matumizi ya sehemu za conic katika usanifu na ujenzi wa daraja.- Kinachojulikana "Uwiano wa Dhahabu" bila shaka hutoa kielelezo kizuri cha kuwepo kwa uhusiano wa karibu kati ya uzuri wa fomu na mahusiano ya namba.

Kulingana na utambuzi wa umoja wa watu wenye uwezo katika suala hili, vipimo vya mstatili ni vya kuridhisha zaidi kutoka kwa mtazamo wa kisanii katika kesi wakati upande mrefu wa mstatili unahusiana na upande mfupi takriban kwa njia sawa na fupi. upande unahusiana na tofauti kati ya pande zote mbili. Kwa maneno mengine, ikiwa msingi wa mstatili umepewa, basi tutapata urefu unaohitajika - kwa maana ya uzuri mkubwa zaidi wa fomu - kwa kutumia "uwiano wa dhahabu", i.e. kugawa sehemu iliyopewa kwa uwiano uliokithiri na wastani. . Kwa hivyo, kwa mfano, na msingi sawa na 40, urefu umedhamiriwa kutoka kwa equation:
;
hii inasababisha mlingano wa quadratic kuhusiana na. Inashangaza kwamba kwa kukata kutoka kwa mstatili unaosababisha mraba uliojengwa kwa upande mfupi wa mstatili, tunapata mstatili sawa na wa awali; mstatili sawa utapatikana ikiwa mraba huongezwa kwa moja ya awali, iliyojengwa kwa upande mrefu wa mstatili wa awali.
Tayari tumekumbana na mifano ya muunganisho ambao inaonekana upo kati ya usahili wa fomu na usahili wa mlingano wa aljebra unaolingana. Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja unawakilishwa na mlinganyo rahisi zaidi wa aljebra wenye vigezo viwili, yaani mlingano wa shahada ya kwanza; mduara, curve rahisi zaidi katika suala la kubuni, inawakilishwa na equation ya quadratic ya aina rahisi hasa; Aina zingine zote za milinganyo ya quadratic katika vigeu viwili hulingana na tabaka tatu tu zaidi za mikunjo, yaani duaradufu, parabolas na hyperbolas. Hisia ya kuridhika ya kisanii tuliyopewa na fomu ya safu hizi za mpangilio wa pili - sehemu za conic - inathibitishwa na matumizi makubwa ambayo fomu hizi hupata kati ya wasanii wa zamani na wapya.
Wakati wa kujenga matao, iligundua kuwa uzuri wa fomu ya kijiometri unahusiana sana na unyenyekevu wa usawa wa algebraic. Parabola na duaradufu hutumiwa sana katika miundo ya arched, si tu kwa sababu ya uzuri wa fomu yao, lakini pia kwa sababu ya kukabiliana na hali ya mitambo kwa matatizo na uharibifu unaosababishwa na uzito wa miundo hii. Mtaalamu mmoja anayejulikana * katika suala la ujenzi wa madaraja anasema kwamba “matao yanapaswa kuwa na miindo mikamilifu,” akionya dhidi ya utumizi wa zile zinazoitwa duaradufu “za uwongo”.

Ukweli kwamba duaradufu na parabola hupatikana mara kwa mara katika madaraja mengi makubwa zaidi ulimwenguni unaonyesha jinsi nadharia inayohusisha uzuri wa umbo na matao ya duaradufu na kimfano inakubalika.
Katika Daraja kubwa la Hell-Gate huko New York, tao kuu linawakilisha parabola ya kawaida ya kijiometri (ona Tatizo la 11, Sura ya XIX, § 11). Katika Daraja la London, sehemu kuu ya muundo ina matao matano ya duaradufu. Hata hyperbole, ingawa mara chache sana, hupata matumizi katika ujenzi wa daraja. Ikumbukwe kwamba - kwa sehemu kutokana na urahisi zaidi wa kuchora - matao ya mviringo (semicircular) yanaenea zaidi, pamoja na makadirio ya duaradufu au parabola, iliyojengwa kwa kutumia arcs kadhaa za mviringo na vituo tofauti.
Katika matumizi ya arc ya kimfano katika ujenzi wa madaraja na slabs za paa, angalau aina nne tofauti zinaweza kujulikana. Aina ya kwanza inawakilishwa na madaraja ya kusimamishwa (mnyororo) na nyaya zinazoteleza kwenye curve ya kimfano. Aina ya pili inajumuisha kesi wakati juu ya arch ya parabolic iko chini ya barabara. Katika madaraja ya aina ya tatu, arch ya kimfano huvuka barabara. Mwishowe, miundo ambayo arch ya kimfano iko kabisa juu ya njia, kama ilivyo kwa dari, ni ya aina ya nne.
Mviringo, au mara nyingi chini ya kimfano, arcs hutumiwa katika muundo wa ukumbi wa michezo kubwa na kumbi zingine.
Matao ya kimfano na duaradufu pia hutumiwa, ingawa sio mara nyingi kama yale ya mviringo na yenye umbo la farasi, wakati wa kuunda mifereji ya maji. Wakati mwingine hata duaradufu kamili za kawaida za kijiometri hutumiwa (tazama Tatizo la 6 hapa chini).
1. Tatua equation ya quadratic ya aya ya mwisho na uangalie suluhisho kwa kupanga curve.
2. Je, ni upana gani wa mstatili ambao urefu wake ni 40, ikiwa urefu huu unapatikana kutokana na "uwiano wa dhahabu" wa upana unaofanana na sura nzuri zaidi ya mstatili?
3. Daraja la Pittsburgh, Amerika, lina tao la kimfano, lenye urefu wa mita 108 na kupanda kwa mita 13.5. Chora parabola hii. Kwa kuzingatia kwamba machapisho ya wima yanatenganishwa na paneli za urefu wa mita 6 na kupanda mita 4.5 juu ya juu ya upinde, pata urefu wao ni nini.
4. Tao ndogo zinazoongoza kwenye daraja yenyewe, iliyoelezwa katika tatizo la awali, inaonekana kuwa na sura ya elliptical. Upana wao ni mita 8.4, na urefu wa matao wenyewe ni karibu mita 2.4. Chora.
5. Katika kukimbia moja, vault ya parabolic ni mita 1.8 kwa upana na mita 1.2 juu. Jenga pointi kumi za upinde huu.
6. Moja ya maji taka huko Chicago, iliyojengwa mwaka wa 1910, ni duaradufu ya wima katika sehemu ya msalaba, na vipimo vya mita 3.6 × 4.2. Chora umbo la sehemu hii.
7. Chora upinde wa elliptical na parabolic, kila moja ikiwa na urefu wa mita 30 na urefu wa mita 9. Walinganishe na kila mmoja.
8. Kwa kutumia kiwango, jenga safu ya kimfano ya Daraja la Kusimamishwa la Williamsborg (Mchoro 153), na urefu wa mita 488 na kugeuka kwa mita 55. Andika equation yake kwa njia rahisi zaidi, ukichagua shoka ipasavyo. Je, urefu wa nguzo nne, kutoka kwa kebo hadi tangent kwenye vertex ya parabola?
*G.H. Tyrrell, Ubunifu wa Daraja la Kisanaa, Chicago, 1912.

[NA. 399–403.]

KUTOKA SURA YA XXVI: MWENDO WA Mtetemo
Katika hali nyingi, inageuka kuwa rahisi kutumia wakati wa mzunguko kamili kwa nyuzi za kawaida kwa namna ya nambari kamili ya vitengo, na thamani ya kitengo inategemea thamani ya kipindi. Katika kesi ya mzunguko na muda wa dakika moja, kitengo cha mhimili wa abscissa kinaweza kuchukuliwa kama sekunde 10, na kitengo sawa cha mhimili wa kuratibu kama urefu wa radius. Curve inayosababishwa inatofautiana kidogo sana na sinusoid na vitengo sawa vya urefu kwenye shoka zote mbili za kuratibu. Pointi za juu na za chini kabisa hutokea kwenye abscissas 15 na 45. Muda: 0, 5, 7.5, 10, 15, 20 na sekunde 30 zinahusiana na pembe za 0, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 ° na 180. °.

Wanafizikia na wahandisi kwa kawaida hutumia mbinu ifuatayo ya picha kuchora mikunjo ya sine inayotokea mara kwa mara. Kwanza, chora mduara na kituo kwenye asili, ambayo kipenyo chake ni sawa na amplitude inayotaka. Pembe kati ya axes imegawanywa katika nusu na kisha tena na tena kwa nusu (mara nyingi kama unavyotaka). Sehemu ya urefu unaofaa ili kuonyesha mzunguko kamili imewekwa kwenye mhimili mlalo na kugawanywa katika sehemu nyingi (kawaida 16) sawa na mduara unavyogawanywa na shoka na vipande viwili.
[NA. 466-467.]

KUTOKA SURA YA XXVII: SHERIA ZA UKUAJI
§ 5. Mviringo wa maendeleo ya uponyaji wa jeraha.- Inayohusiana kwa karibu na fomula zinazoelezea sheria ya ukuaji wa kikaboni na sheria ya "kupungua kwa kikaboni" ni sheria iliyogunduliwa hivi majuzi ambayo inahusiana, kialjebra katika umbo la mlingano na kielelezo katika umbo la curve, eneo la uso wa . jeraha lililo na muda ulioonyeshwa kwa siku, ambalo limetokea tangu jeraha kuwa tasa au aseptic. Wakati hali ya aseptic imepatikana, shukrani kwa kuosha na kuosha na ufumbuzi wa antiseptic, basi kwa misingi ya uchunguzi mbili, kwa kawaida hufanywa siku 4 baada ya nyingine, kinachojulikana kama "index ya kibinafsi" huhesabiwa; index hii, pamoja na vipimo viwili vya eneo la jeraha, inaruhusu daktari kuamua maendeleo ya kawaida ya kupunguzwa kwa uso wa jeraha kwa mtu fulani. Mtaro wa jeraha huchorwa kwa uangalifu kwenye karatasi ya uwazi na kisha eneo lake hupimwa kwa kutumia kifaa cha hesabu kinachoitwa planimeter.

Wakati wa uchunguzi, ulioonyeshwa kwa siku, umepangwa kando ya mhimili wa x, na eneo la jeraha limepangwa kama kuratibu. Baada ya kila uchunguzi na hesabu ya eneo hilo, hatua iliyopatikana inapangwa kwenye mfumo huo wa axes ambayo curve bora au ya kinabii (curve ya utabiri) inajengwa. Mikondo miwili bora kama hii, pamoja na mikunjo halisi inayozingatiwa, inaonyeshwa kwenye michoro yetu.
Ikiwa eneo lililoangaliwa ni kubwa zaidi kuliko eneo lililoamuliwa na curve inayofaa, hii ni dalili kwamba bado kuna maambukizi kwenye jeraha. Kesi kama hiyo imewasilishwa kwenye mchoro wa pili. Jambo lifuatalo la kustaajabisha sana na ambalo bado halijaelezewa mara nyingi huzingatiwa: ikiwa uso wa jeraha huponya haraka zaidi kuliko inavyoonyesha curve bora, basi vidonda vya sekondari vinakua, ambavyo vinarudisha curve kwa kawaida. Mchoro wetu wa kwanza ni wa aina hii.

Utumiaji huu wa hisabati kwa dawa unatokana kwa kiasi kikubwa na Dk. Alexis Carrel katika Taasisi ya Utafiti wa Matibabu ya Rockefeller. Aliona kuwa kadiri eneo la jeraha lilivyokuwa kubwa, ndivyo lilivyopona haraka, na kwamba kasi ya uponyaji ilionekana kuwa sawia na eneo la jeraha. Lakini mgawo wa uwiano huu sio sawa kwa maadili yote ya eneo la jeraha, vinginevyo kutakuwa na equation ya fomu.
,
Ambapo inaashiria eneo la jeraha kwa sasa wakati inakuwa tasa na wakati uchunguzi uliorekodiwa kwenye mchoro unapoanza.
Katika hali halisi (kuchora curves bora) fomula zifuatazo hutumiwa, iliyopendekezwa na Dk. Lecomte du Nouilly(Nooyi alionyesha kuwa kuna thamani ya kawaida ya mgawo kulingana na umri wa mtu binafsi na saizi ya jeraha, na kwamba faharisi ya kibinafsi, iliyoamuliwa kutoka kwa uchunguzi mbili, bila shaka inaonyesha ukweli unaohusiana na hali ya jumla ya afya ya mtu. *.
[NA. 486–489.]

Taasisi ya Elimu ya Manispaa

Shule ya Sekondari nambari 4

Sehemu za Conic

Imekamilika

Spiridonov Anton

mwanafunzi wa darasa la 11A

Imechaguliwa

Korobeynikova A. T.

Tobolsk - 2006

Utangulizi

Dhana ya sehemu za conic

Aina za sehemu za conic

Jifunze

Ujenzi wa sehemu za conic

Mbinu ya uchambuzi

Maombi

Bibliografia

Utangulizi.

Kusudi: kusoma sehemu za conic.

Malengo: jifunze kutofautisha kati ya aina za sehemu za conic, jenga sehemu za kinetic na utumie mbinu ya uchambuzi.

Sehemu iliyopewa inaweza kuzingatiwa kama mfumo wa milinganyo:

Dhana ya sehemu za conic.

Wakati pembetatu ya kulia inazungushwa juu ya moja ya miguu yake, hypotenuse na vipanuzi vyake huelezea uso wa conical unaoitwa uso wa koni ya mviringo ya kulia, ambayo inaweza kuzingatiwa kama mfululizo wa mistari inayopita kupitia vertex na kuitwa jenereta, jenereta zote. kupumzika kwenye mduara sawa, unaoitwa kuzalisha. Kila moja ya jenereta ni pembetatu inayozunguka (katika nafasi yake inayojulikana), iliyopanuliwa kwa pande zote mbili hadi infinity. Kwa hivyo, kila jenereta inaenea pande zote mbili za vertex, kama matokeo ambayo uso una mashimo mawili: huungana kwa hatua moja kwenye vertex ya kawaida. Ikiwa uso huo umeingiliwa na ndege, basi sehemu hiyo itazalisha curve, ambayo inaitwa sehemu ya conic. Inaweza kuwa ya aina tatu:

1) ikiwa ndege inaingilia uso wa conical pamoja na jenereta zote, basi cavity moja tu hutenganishwa na curve iliyofungwa inayoitwa ellipse inapatikana katika sehemu hiyo;

2) ikiwa ndege ya kukata inaingiliana na cavities zote mbili, basi curve hupatikana ambayo ina matawi mawili na inaitwa hyperbola;

3) ikiwa ndege ya kukata ni sawa na moja ya jenereta, basi parabola hupatikana.

Ikiwa ndege inayopita kwenye vertex inaingiliana na mashimo yote mawili, basi sehemu hiyo hutoa jozi ya mistari inayoingiliana, inayozingatiwa kama kesi maalum.

Ikiwa vertex iko mbali sana, basi uso wa conical hubadilika kuwa silinda, na sehemu yake kwa ndege inayofanana na jenereta inatoa jozi ya mistari inayofanana kama kesi maalum. Sehemu za conic zinaonyeshwa na hesabu za mpangilio wa 2, fomu ya jumla ambayo ni

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

na huitwa curve za mpangilio wa 2.

Aina za sehemu za conic.

Sehemu za conic zinaweza kuwa za aina tatu:

1) ndege ya kukata inaingiliana na jenereta zote za koni kwenye pointi za moja ya cavity yake; mstari wa makutano ni mviringo wa mviringo uliofungwa -; mduara kama kesi maalum ya duaradufu hupatikana wakati ndege ya kukata ni perpendicular kwa mhimili wa koni.

2) Ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; katika sehemu ya msalaba, matokeo yake ni Curve wazi ambayo huenda kwa infinity - parabola, amelazwa kabisa juu ya cavity moja.

Jifunze.

Katika hali ambapo sehemu ya conic ina kituo cha ulinganifu (katikati), i.e. ni duaradufu au hyperbola, equation yake inaweza kupunguzwa (kwa kuhamisha asili ya kuratibu katikati) hadi fomu:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Uchunguzi zaidi wa sehemu kama hizi (zinazoitwa za kati) zinaonyesha kuwa milinganyo yao inaweza kupunguzwa kwa fomu rahisi zaidi:

Shoka 2 + Wu 2 = C,

UJENZI WA SEHEMU ZA CONIC.

Ufafanuzi huu wa sehemu za koni kama mikondo ya ndege pia zinapendekeza njia ya kuziunda kwa kutumia kamba iliyonyoshwa.

kutoka sehemu ya makutano ya shoka za O. Fomula hii inachukua ujenzi wa pembetatu ya kulia na miguu Ov 1 na V 2 O na hypotenuse F 2 O.

NJIA YA UCHAMBUZI

ambapo si coefficients zote A, B na C ni sawa na sufuri. Kwa kutumia tafsiri sambamba na mzunguko wa axes, equation (1) inaweza kupunguzwa kwa fomu

shoka 2 + kwa 2 + c = 0

2) Ikiwa a na b wana ishara sawa, na c ina ishara kinyume, basi sehemu ya conic ni duaradufu; wakati a = b - duara.

3) Ikiwa a na b wana ishara tofauti, basi sehemu ya conic ni hyperbola.

4) Ikiwa a na b wana ishara tofauti na c = 0, basi sehemu ya conic ina mistari miwili ya kuingiliana.

6) Ikiwa a au b ni sawa na sifuri, na coefficients nyingine zina ishara tofauti, basi sehemu ya conic ina mistari miwili inayofanana.

SEHEMU ZA CONIC

- mikondo ya ndege ambayo hupatikana kwa kukatiza koni ya duara ya kulia na ndege ambayo haipiti kwenye kipeo chake. Kutoka kwa mtazamo wa jiometri ya uchambuzi, sehemu ya conic ni eneo la pointi zinazokidhi equation ya pili. Isipokuwa katika hali duni, sehemu za koni ni ellipses, hyperbolas, au parabolas.

Mvumbuzi wa sehemu za koni anadaiwa kuwa Menaechmus (karne ya 4 KK), mwanafunzi wa Plato na mwalimu wa Alexander the Great. Menaechmus alitumia parabola na hyperbola equilateral kutatua tatizo la kuongeza mchemraba mara mbili. Mikataba juu ya sehemu zilizoandikwa na Aristaeus na Euclid mwishoni mwa karne ya 4. BC, zilipotea, lakini nyenzo kutoka kwao zilijumuishwa katika Sehemu maarufu za Conic za Apollonius wa Perga (c. 260-170 BC), ambazo zimeishi hadi leo. Apollonius aliacha hitaji la kwamba ndege ya siri ya jenereta ya koni iwe ya pembeni na, kwa kutofautiana pembe ya mwelekeo wake, ilipata sehemu zote za conic kutoka kwa koni moja ya mviringo, moja kwa moja au iliyoelekezwa. Pia tunadaiwa majina ya kisasa ya curves kwa Apollonius - duaradufu, parabola na hyperbola. Katika ujenzi wake, Apollonius alitumia koni ya mviringo yenye karatasi mbili, kwa hiyo kwa mara ya kwanza ikawa wazi kuwa hyperbola ni curve yenye matawi mawili. Tangu wakati wa Apollonius, sehemu za conic zimegawanywa katika aina tatu kulingana na mwelekeo wa ndege ya kukata kwa jenereta ya koni. Mviringo huundwa wakati ndege ya kukata inaingiliana na jenereta zote za koni kwa pointi katika moja ya cavity yake; parabola - wakati ndege ya kukata ni sawa na moja ya ndege ya tangent ya koni; hyperbola - wakati ndege ya kukata inapita kwenye cavities zote mbili za koni.

Malengo ya duaradufu na hyperbola yalijulikana kwa Apollonius, lakini lengo la parabola inaonekana lilianzishwa kwanza na Pappus (nusu ya 2 ya karne ya 3), ambaye alifafanua curve hii kama eneo la pointi sawa kutoka kwa pointi fulani (lengo) na mstari wa moja kwa moja uliopewa, unaoitwa mkurugenzi. Ujenzi wa parabola kwa kutumia uzi ulionyoshwa, kulingana na ufafanuzi wa Pappus, ulipendekezwa na Isidore wa Miletus (karne ya 6).

Kuanzisha lengo la parabola kulimpa Pappus wazo la kutoa ufafanuzi mbadala wa sehemu za conic kwa ujumla. Hebu F iwe hatua fulani (lengo), na L iwe mstari wa moja kwa moja uliopewa (directrix) usiopitia F, na DF na DL umbali kutoka kwa hatua ya kusonga P hadi kuzingatia F na directrix L, kwa mtiririko huo. Kisha, kama Papp alivyoonyesha, sehemu za koni hufafanuliwa kama eneo la pointi P ambapo uwiano wa DF/DL ni wa kudumu usio hasi. Uwiano huu unaitwa eccentricity e ya sehemu ya conic. Wakati e< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - hyperbole; wakati e = 1 - parabola. Ikiwa F iko kwenye L, basi loci ina aina ya mistari (halisi au ya kufikiria), ambayo ni sehemu za koni zilizoharibika. Ulinganifu wa kuvutia wa duaradufu na hyperbola unapendekeza kwamba kila moja ya mikondo hii ina mikondo miwili na foci mbili, na hali hii ilimfanya Kepler mnamo 1604 kuwa na wazo kwamba parabola pia ina mwelekeo wa pili na mwelekeo wa pili - hatua kwa infinity na moja kwa moja. . Kwa njia hiyo hiyo, mduara unaweza kuzingatiwa kama duaradufu, foci ambayo inaambatana na kituo, na miongozo iko kwa infinity. Eccentricity e katika kesi hii ni sifuri.

FASIHI
Van der Waerden B.L. Sayansi ya Kuamsha. M., 1959 Alexandrov P.S. Mihadhara juu ya jiometri ya uchambuzi. M., 1968