Uundaji: Upande wa mraba wa pembetatu sawa na jumla miraba ya pande zake nyingine mbili minus mara mbili ya bidhaa ya pande hizi na cosine ya pembe kati yao.
Kwa pembetatu ya kiholela ABC na yake pande a,b na c (kinyume na wima zinazolingana) usawa huu unaweza kuandikwa kwa pande zingine mbili:
Nadharia ya cosine hutumiwa kutatua pembetatu katika hali mbili kuu:
1) Wakati pande mbili na pembe kati yao zimepewa, na unahitaji kupata upande wa mwisho: 
2) Wakati pande zote tatu za pembetatu zimepewa, na unahitaji kupata pembe zake: 
Wakati mwingine mwalimu wa hesabu anapendekeza kutumia nadharia ya cosine katika shida na pande mbili zilizopewa na pembe ambayo haipo kati yao. Katika kesi hii a) itabidi uamue mlinganyo wa quadratic na uchague urefu wa upande halisi kutoka kwa mizizi inayosababisha. b) hali hii sio ya kawaida kwa shida na Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, kwani sio kila wakati hufafanua kipekee pembetatu. Ikiwa pembe haina uongo kati ya pande, basi kwa kutumia dira na mtawala unaweza kujenga pembetatu mbili tofauti na vipengele vile.
Nadharia ya cosine wakati mwingine huitwa nadharia ya Pythagorean iliyopanuliwa au jumla ya nadharia ya Pythagorean, kwa sababu kwa pembe ya digrii 90, usawa hapo juu hutoa mavuno . Kama ujanibishaji wowote, ni ya ulimwengu wote na yenye ufanisi zaidi kuliko kesi fulani na inatumika zaidi hali halisi (kinyume na matatizo ya bandia GIA na Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, iliyoundwa kwa ajili ya programu ya daraja la 8).
Uthibitisho wote ninaojua unahusisha vekta na kuratibu. Katika kitabu cha maandishi cha Atanasyan, inafanywa kupitia kuratibu za pointi, na katika kitabu cha Pogorelov, dhana ya "bidhaa ya scalar ya vectors" hutumiwa. Wacha tutekeleze uthibitisho kulingana na Atanasyan. Inaonekana kwangu kuwa inafaa zaidi kwa mwalimu wa hesabu kufanya kazi naye, kwa kuwa ina utegemezi mdogo kwa mada za jirani. 
Wacha tuthibitishe usawa kwa upande A na pembe A. Ili kufanya hivyo, tunatanguliza mfumo wa kuratibu kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu (mhimili wa Ox umeelekezwa kando ya AC). Kisha Pointi B itapokea viwianishi B (cCosA;cSinA). Huu ndio ukweli pekee ambao ni ngumu kwa mwanafunzi dhaifu au wastani, ambayo mwalimu wa hisabati anayefanya kazi kutoka kwa kitabu cha kiada cha Atanasyan anapaswa kuzingatia tofauti. Mara nyingi ni ngumu kutokana na ukweli kwamba haijasaidiwa na idadi ya kutosha ya kazi katika programu na haitumiwi baada ya kujifunza theorem ya cosine. Katika kesi ya mpangilio fulani wa alama (wakati ni wa papo hapo), mwalimu wa hesabu anahitaji tu kurejelea ufafanuzi wa cosine na sine. angle ya papo hapo V pembetatu ya kulia x yenye pande zenye vitone.
Uthibitisho zaidi unategemea hesabu za aljebra na trigonometric. Kwao unahitaji kuongeza ujuzi wa formula umbali kati ya pointi mbili.
Tunatumia fomula fupi ya kuzidisha kwa mraba wa jumla:
Tunaiweka nje ya mabano:. Tunatumia msingi kitambulisho cha trigonometric na tunapata
na mwisho
Mkufunzi wa hesabu anaweza kumwonyesha mwanafunzi mdadisi uthibitisho adimu wa nadharia ya cosine. 
Tutatumia ndani pembetatu ABC urefu BH na uandike AB=AN+HB au c=bCosA+aCosB. Ikiwa angle B ni butu, basi AB = AN-NV na kuzingatia ukweli kwamba cosines pembe za karibu ziko kinyume, tunapata tena usawa c=bCosA+aCosB. Kwa hiyo, haitegemei aina ya pembetatu. Wacha tuandike fomula zinazofanana za a na b:
a=cCosB+bCosC na b=aCosC+cCosA. Kuzizidisha kwa a na b mtawalia na kutoa kutoka kwa jumla yao usawa c=bCosA+aCosB tunapata usawa.
Torema ya cosines inaruhusu sisi kuelezea mali ya diagonals ya parallelogram ambayo ni muhimu sana katika mazoezi: 
Jumla ya miraba ya diagonals ya parallelogram ni sawa na jumla ya miraba ya urefu wa pande zake. Ili kuthibitisha hili, inatosha kuandika theorem ya cosine kwa kila diagonal na kuongeza usawa unaotokana.
Mifano ya matatizo ambayo kwa njia moja au nyingine unaweza (au unahitaji) kutumia nadharia ya cosine:
1) Katika pembetatu yenye pande 2,3 na 4, pata urefu wa wastani unaotolewa kwa upande mrefu zaidi.
2) Katika pembetatu sawa, pata urefu wa sehemu mbili inayotolewa kwa upande mrefu zaidi.
3) Katika pembetatu ABC, sehemu inayounganisha midpoints AB na BC ni sawa na 3 dm, upande AB ni sawa na 7 dm, angle C ni sawa na . Tafuta jua.
4) Katikati ya duara iliyoandikwa kwa mstatili pembetatu ABC na pembe ya kulia C iko umbali kutoka kwa wima A na B. Weka miguu ya pembetatu.
Maandalizi kamili ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati hauwezekani bila kutatua shida kwenye nadharia ya cosine. KATIKA toleo la Mtihani wa Jimbo la Umoja inaweza kupatikana ama katika chumba B4 au katika C4. Hatua kwa hatua nitahamisha kwenye ukurasa kazi za kuvutia C4 kutoka kwa msingi wangu wa didactic na kutoka kwa mitihani ya majaribio. Wakufunzi, usisahau kuwa katika GIA, kama katika Mtihani wa Jimbo la Umoja, nadharia ya cosine inaweza kuonekana katika sehemu za kwanza na za pili za lahaja.
Kolpakov Alexander Nikolaevich,
mwalimu wa hesabu huko Moscow. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja
Sio watoto wote wa shule, na haswa watu wazima, wanajua kuwa nadharia ya cosine inahusiana moja kwa moja na nadharia ya Pythagorean. Kwa usahihi, mwisho ni kesi maalum ya zamani. Hatua hii, pamoja na njia mbili za kuthibitisha theorem ya cosine, itakusaidia kuwa zaidi mtu mwenye ujuzi. Kwa kuongezea, mazoezi ya kuelezea idadi kutoka kwa maneno ya mwanzo yanakua vizuri kufikiri kimantiki. Fomula ndefu ya nadharia inayosomwa itakulazimisha kufanya kazi kwa bidii na kuboresha.
Kuanzisha mazungumzo: kutambulisha nukuu
Nadharia hii imeundwa na kuthibitishwa kwa pembetatu ya kiholela. Kwa hiyo, inaweza kutumika daima, kwa hali yoyote, ikiwa pande mbili hutolewa, na katika baadhi ya matukio matatu, na angle, na si lazima kati yao. Chochote aina ya pembetatu, theorem itafanya kazi daima.
Na sasa juu ya uteuzi wa idadi katika misemo yote. Ni bora kukubaliana mara moja, ili usilazimike kuelezea mara kadhaa baadaye. Jedwali lifuatalo limeundwa kwa kusudi hili.
Uundaji na nukuu za hisabati
Kwa hivyo, theorem ya cosine imeundwa kwa njia ifuatayo:
Mraba wa upande wa pembetatu yoyote ni sawa na jumla ya miraba ya pande zake nyingine mbili ukiondoa mara mbili ya bidhaa ya pande hizi hizo na kosine ya pembe iliyo kati yao.
Bila shaka, ni muda mrefu, lakini ikiwa unaelewa kiini chake, itakuwa rahisi kukumbuka. Unaweza hata kufikiria kuchora pembetatu. Daima ni rahisi kukumbuka kwa macho.
Fomula ya nadharia hii itaonekana kama hii:
Muda mrefu kidogo, lakini kila kitu ni mantiki. Ikiwa unatazama kwa karibu zaidi, unaweza kuona kwamba barua zinarudiwa, ambayo inamaanisha kuwa si vigumu kukumbuka.
Uthibitisho wa kawaida wa nadharia
Kwa kuwa ni kweli kwa pembetatu zote, unaweza kuchagua aina yoyote ya hoja. Hebu iwe takwimu yenye pembe zote kali. Fikiria kiholela pembetatu ya papo hapo, ambayo angle yake C ni kubwa kuliko angle B. Kutoka kwenye vertex yenye pembe hii kubwa unahitaji kupunguza perpendicular upande wa pili. Urefu uliotolewa utagawanya pembetatu katika mbili za mstatili. Hii itahitajika kwa uthibitisho.
Upande huo utagawanywa katika sehemu mbili: x, y. Wanahitaji kuonyeshwa kupitia idadi inayojulikana. Sehemu inayoishia kwenye pembetatu yenye hypotenuse sawa na b itaonyeshwa kupitia nukuu:
x = b * cos A.
Nyingine itakuwa sawa na tofauti hii:
y = c - katika * cos A.
Sasa unahitaji kuandika nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu mbili za kulia zinazosababisha, ukichukua urefu kama thamani isiyojulikana. Fomula hizi zitaonekana kama hii:
n 2 = katika 2 - (katika * cos A) 2,
n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.
Katika usawa hizi kuna maneno yanayofanana kushoto. Hii ina maana kwamba pande zao za kulia pia zitakuwa sawa. Ni rahisi kuiandika. Sasa unahitaji kufungua mabano:
katika 2 - katika 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * katika * cos A - katika 2 * (cos A) 2.
Ukituma uhamisho na kutuma hapa masharti yanayofanana, basi itafanikiwa fomula ya kuanzia, ambayo imeandikwa baada ya uundaji, yaani, theorem ya cosine. Ushahidi umekamilika.
Uthibitisho wa theorem kwa kutumia vekta
Ni mfupi sana kuliko uliopita. Na ikiwa unajua mali ya vectors, basi theorem ya cosine ya pembetatu itathibitishwa kwa urahisi.
Ikiwa pande a, b, c zimeteuliwa na vekta BC, AC na AB, mtawaliwa, basi usawa unashikilia:
BC = AC - AB.
Sasa unahitaji kufanya hatua kadhaa. Ya kwanza ya haya ni kugawanya pande zote mbili za usawa:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Kisha usawa unahitaji kuandikwa tena kwa fomu ya scalar, kwa kuzingatia kwamba bidhaa za vekta ni sawa na cosine ya pembe kati yao na maadili yao ya scalar:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Kilichobaki ni kurudi kwenye nukuu ya zamani, na tena tunapata nadharia ya cosine:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.
Fomula za pande zingine na pembe zote
Ili kupata upande, unahitaji kuchukua mizizi ya mraba ya theorem ya cosine. Njia ya mraba ya moja ya pande zingine itaonekana kama hii:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Kuandika usemi wa mraba wa upande V, unahitaji kuchukua nafasi katika usawa uliopita Na juu V, na kinyume chake, na kuweka angle B chini ya cosine.
Kutoka kwa fomula ya msingi ya nadharia, tunaweza kuelezea thamani ya cosine ya pembe A:
cos A = (katika 2 + c 2 - a 2) / (2 katika * c).
Fomula za pembe zingine zinatokana sawa. Hii mazoezi mazuri, kwa hivyo unaweza kujaribu kuziandika mwenyewe.
Kwa kawaida, hakuna haja ya kukariri fomula hizi. Inatosha kuelewa nadharia na uwezo wa kupata misemo hii kutoka kwa nukuu yake kuu.
Njia ya asili ya theorem inafanya uwezekano wa kupata upande ikiwa pembe haipo kati ya mbili zinazojulikana. Kwa mfano, unahitaji kupata V, wakati maadili yanatolewa: a, c, A. Au haijulikani Na, lakini kuna maana a, b, A.
Katika hali hii, unahitaji kuhamisha masharti yote ya fomula kwa upande wa kushoto. Unapata usawa ufuatao:
с 2 - 2 * в * с * cos А + kwenye 2 - а 2 = 0.
Wacha tuiandike tena kwa fomu tofauti kidogo:
c 2 - (2 * katika * cos A) * c + (katika 2 - a 2) = 0.
Unaweza kuona equation ya quadratic kwa urahisi. Kuna idadi isiyojulikana ndani yake - Na, na wengine wote wanapewa. Kwa hiyo, inatosha kutatua kwa kutumia kibaguzi. Kwa njia hii upande usiojulikana utapatikana.
Fomula ya upande wa pili inapatikana vile vile:
katika 2 - (2 * c * cos A) * katika + (c 2 - a 2) = 0.
Kutoka kwa maneno mengine, fomula kama hizo pia ni rahisi kupata kwa kujitegemea.
Unawezaje kujua aina ya pembe bila kuhesabu cosine?
Ukiangalia kwa karibu fomula ya pembe ya cosine iliyopatikana hapo awali, utagundua yafuatayo:
- denominator ya sehemu ni daima nambari chanya, kwa sababu ina bidhaa za pande ambazo haziwezi kuwa mbaya;
- thamani ya pembe itategemea ishara ya nambari.
Pembe A itakuwa:
- papo hapo katika hali ambapo nambari ni kubwa kuliko sifuri;
- mjinga ikiwa usemi huu ni mbaya;
- moja kwa moja wakati ni sawa na sifuri.
Japo kuwa, hali ya mwisho inabadilisha nadharia ya cosine kuwa nadharia ya Pythagorean. Kwa sababu kwa pembe ya 90º cosine yake ni sawa na sifuri, na muhula wa mwisho hutoweka.
Kazi ya kwanza
Hali
Pembe butu ya pembetatu fulani kiholela ni 120º. Kuhusu pande ambazo ni mdogo, inajulikana kuwa mmoja wao ni 8 cm kubwa zaidi kuliko nyingine Urefu wa upande wa tatu unajulikana, ni cm 28. Inahitajika kupata mzunguko wa pembetatu.
Suluhisho
Kwanza unahitaji kuashiria moja ya pande na herufi "x". Katika kesi hii, nyingine itakuwa sawa na (x + 8). Kwa kuwa kuna misemo kwa pande zote tatu, tunaweza kutumia fomula iliyotolewa na theorem ya cosine:
28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
Katika meza za cosines unahitaji kupata thamani inayolingana na digrii 120. Hii itakuwa nambari 0.5 na ishara ya kuondoa. Sasa unahitaji kufungua mabano, kufuata sheria zote, na kuleta masharti sawa:
784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8);
784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Equation hii ya quadratic inatatuliwa kwa kutafuta kibaguzi, ambacho kitakuwa sawa na:
D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Kwa kuwa thamani yake ni kubwa kuliko sifuri, equation ina majibu mawili ya mizizi.
x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
Mzizi wa mwisho hauwezi kuwa jibu la tatizo, kwa sababu upande lazima uwe chanya.
Trigonometry hutumiwa sana sio tu katika sehemu ya algebra - mwanzo wa uchambuzi, lakini pia katika jiometri. Katika suala hili, ni busara kudhani kuwepo kwa nadharia na uthibitisho wao kuhusiana na kazi za trigonometric. Hakika, nadharia za cosines na sines hupata kuvutia sana, na muhimu zaidi, uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu.
Kutumia fomula hii, unaweza kupata pande zote za pembetatu:
Uthibitisho wa taarifa hiyo unatokana na nadharia ya Pythagorean: mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu.
Fikiria pembetatu ya kiholela ABC. Kutoka kwenye vertex C tunapunguza urefu h hadi msingi wa takwimu, saa kwa kesi hii Urefu wake sio muhimu kabisa. Sasa, ikiwa tunazingatia pembetatu ya kiholela ACB, basi tunaweza kuelezea kuratibu za nukta C kwa suala la trigonometric. cos kazi na dhambi.
Hebu tukumbuke ufafanuzi wa cosine na kuandika uwiano wa pande za pembetatu ACD: cos α = AD / AC | kuzidisha pande zote mbili za usawa kwa AC; AD = AC * cos α.
Tunachukua urefu wa AC kama b na kupata usemi wa uratibu wa kwanza wa nukta C:
x = b * cosα. Vile vile, tunapata thamani ya kuratibu C: y = b * dhambi α. Ifuatayo, tunatumia nadharia ya Pythagorean na kuelezea h lingine kwa pembetatu ACD na DCB:
Ni dhahiri kwamba semi zote mbili (1) na (2) ni sawa. Wacha tulinganishe pande za kulia na tuwasilishe zinazofanana:
Juu ya mazoezi formula hii hukuruhusu kupata urefu upande usiojulikana pembetatu kwa pembe zilizopewa. Theorem ya cosine ina matokeo matatu: kwa moja kwa moja, papo hapo na angle butu pembetatu.
Wacha tubadilishe dhamana ya cos $ \ alpha $ na $ \ $ \ $ \ $ \ $ \\ $ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\, kisha kwa pembe ya papo hapo ya pembetatu ABC, tunapata:
Ikiwa pembe itageuka kuwa sawa, basi 2bx itatoweka kutoka kwa usemi, kwani cos 90 ° = 0. Kwa mchoro, matokeo ya pili yanaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:
Katika kesi ya angle obtuse, ishara "-" mbele hoja mbili katika fomula itabadilika kuwa "+":
Kama inavyoonekana kutoka kwa maelezo, hakuna chochote ngumu katika uhusiano. Nadharia ya cosine si chochote zaidi ya tafsiri ya nadharia ya Pythagorean katika kiasi cha trigonometric.
Utumiaji wa nadharia ya vitendo
Zoezi 1. Imepewa pembetatu ya ABC, ambayo upande wake BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm, na cos α = ½. Unahitaji kupata urefu wa upande AB.
Ili kufanya hesabu kwa usahihi, unahitaji kuamua angle α. Ili kufanya hivyo, unapaswa kurejelea jedwali la maadili kazi za trigonometric, kulingana na ambayo arc cosine ni sawa na 1/2 kwa angle ya 60 °. Kwa msingi wa hii, tunatumia fomula ya safu ya kwanza ya nadharia:
Jukumu la 2. Kwa pembetatu ABC, pande zote zinajulikana: AB =4√2,BC=5,AC=7. Unahitaji kupata pembe zote za takwimu.
Katika kesi hii, huwezi kufanya bila kuchora kwa hali ya shida.
Kwa kuwa maadili ya pembe bado haijulikani, unapaswa kutumia fomula kamili kwa pembe ya papo hapo.
Kwa mlinganisho, si vigumu kuunda kanuni na kuhesabu maadili ya pembe nyingine:
Jumla ya pembe tatu za pembetatu inapaswa kuwa 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, kwa hiyo, suluhisho limepatikana.
Nadharia ya sines
Nadharia inasema kwamba pande zote za pembetatu ya kiholela ni sawia na sines za pembe tofauti. Mahusiano yameandikwa katika mfumo wa usawa mara tatu:
Uthibitisho wa classical wa taarifa hiyo unafanywa kwa kutumia mfano wa takwimu iliyoandikwa kwenye mduara.
Ili kuthibitisha ukweli wa taarifa kwa kutumia mfano wa pembetatu ABC katika takwimu, ni muhimu kuthibitisha ukweli kwamba 2R = BC / dhambi A. Kisha kuthibitisha kwamba pande nyingine pia kuhusiana na sines. pembe za kinyume, kama miduara ya 2R au D.
Ili kufanya hivyo, chora kipenyo cha mduara kutoka kwa vertex B. Kutoka kwa mali ya pembe iliyoandikwa kwenye mduara, ∠GCB ni mstari wa moja kwa moja, na ∠CGB ni sawa na ∠CAB au (π - ∠CAB). Katika kesi ya sine, hali ya mwisho si muhimu, kwani dhambi (π –α) = dhambi α. Kulingana na hitimisho hapo juu, inaweza kusemwa kuwa:
dhambi ∠CGB = BC/ BG au dhambi A = BC/2R,
Ikiwa tutazingatia pembe zingine za takwimu, tunapata formula iliyopanuliwa ya nadharia ya sines:
Kazi za kawaida za kufanya mazoezi ya nadharia ya sine hupungua hadi kupata upande au pembe isiyojulikana ya pembetatu.
Kama inavyoonekana kutoka kwa mifano, suluhisho kazi zinazofanana haina kusababisha ugumu na inajumuisha kufanya mahesabu ya hisabati.
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi inaturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.
Wakati wa kutatua shida za jiometri kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja na Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, mara nyingi hitaji linatokea, kujua pande mbili za pembetatu na pembe kati yao, kupata upande wa tatu. Au, ukijua pande zote za pembetatu, pata pembe zake. Ili kutatua matatizo haya utahitaji thamani ya theorem ya cosine kwa pembetatu. Katika nakala hii, mwalimu wa hisabati na fizikia anazungumza juu ya jinsi nadharia hii inavyoundwa, kuthibitishwa na kutumika katika mazoezi wakati wa kutatua shida.
Uundaji wa theorem ya cosine kwa pembetatu
Nadharia ya cosine ya pembetatu inahusiana na pande mbili za pembetatu na pembe kati yao na upande ulio kinyume na pembe hiyo. Kwa mfano, hebu tuonyeshe kwa herufi, na urefu wa pande za pembetatu ABC, amelala kwa mtiririko kinyume na pembe A, B Na C.
Kisha nadharia ya cosine ya pembetatu hii inaweza kuandikwa kama:
Katika takwimu, kwa urahisi wa majadiliano zaidi, pembe NA imeonyeshwa kwa pembe. Kwa maneno, hii inaweza kutayarishwa kama ifuatavyo: "Mraba wa upande wowote wa pembetatu ni sawa na jumla ya miraba ya pande zingine mbili ukiondoa mara mbili ya bidhaa ya pande hizi kwa cosine ya pembe kati yao."
Ni wazi kwamba ikiwa ungeonyesha upande mwingine wa pembetatu, kwa mfano, upande, basi katika formula utahitaji kuchukua cosine ya pembe. A, yaani, amelala kinyume na upande unaohitajika katika pembetatu, na upande wa kulia katika equation pande na itakuwa katika maeneo yao. Usemi wa mraba wa upande unapatikana vivyo hivyo:
Uthibitisho wa theorem ya cosine kwa pembetatu
Uthibitisho wa theorem ya cosine kwa pembetatu kawaida hufanywa kama ifuatavyo. Wanagawanya pembetatu ya awali katika pembetatu mbili za kulia na urefu, na kisha kucheza na pande za pembetatu zinazosababisha na theorem ya Pythagorean. Kama matokeo, baada ya mabadiliko ya muda mrefu ya kuchosha ninapata matokeo yaliyotarajiwa. Binafsi sipendi mbinu hii. Na si tu kwa sababu ya mahesabu magumu, lakini pia kwa sababu katika kesi hii tunapaswa kuzingatia tofauti wakati pembetatu ni butu. Kuna matatizo mengi sana.
Ninapendekeza kuthibitisha nadharia hii kwa kutumia dhana " bidhaa ya nukta vekta." Ninajihatarisha kwa uangalifu, nikijua kuwa watoto wengi wa shule wanapendelea kuepusha mada hii, wakiamini kuwa kwa njia fulani ni mbaya na ni bora kutoshughulika nayo. Lakini kusita kuchezea kando pembetatu nyembamba Bado inanishinda. Zaidi ya hayo, uthibitisho unaosababishwa unageuka kuwa wa kushangaza rahisi na wa kukumbukwa. Sasa utaona hii.
Wacha tubadilishe pande za pembetatu yetu na vekta zifuatazo:
Kwa kutumia theorem ya cosine kwa pembetatu ABC. Mraba wa upande ni sawa na jumla ya miraba ya pande minus mara mbili ya bidhaa ya pande hizi kwa cosine ya pembe kati yao:
Kwa kuwa, matokeo yake ni:
Maana,. Ni wazi kwamba hatuchukui suluhisho hasi, kwa sababu urefu wa sehemu ni nambari nzuri.
Pembe inayohitajika imeonyeshwa kwenye takwimu. Wacha tuandike tena nadharia ya cosine kwa pembetatu ABC. Kwa kuwa tumebakiza nukuu zote, fomula inayoonyesha nadharia ya cosine ya pembetatu hii itasalia kuwa sawa:
Wacha sasa tubadilishe katika fomula hii idadi yote iliyotolewa. Kama matokeo, tunapata usemi ufuatao:
Baada ya mahesabu na mabadiliko yote tunapata usemi rahisi ufuatao:
Saizi ya pembe ya papo hapo inapaswa kuwa nini ili cosine yake iwe sawa? Tunaangalia meza, ambayo inaweza kupatikana ndani, na tunapata jibu: .
Hivi ndivyo shida za jiometri hutatuliwa kwa kutumia theorem ya cosine kwa pembetatu. Ikiwa utachukua OGE au Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, basi hakika unahitaji kujua nyenzo hii. Shida zinazohusika zitakuwa karibu kwenye mtihani. Jizoeze kuyatatua mwenyewe. Kamilisha kazi zifuatazo:
- Katika pembetatu ABC upande AB sawa na 4 cm, upande B.C. sawa na 6 cm, pembe B sawa na 30 °. Tafuta upande A.C..
- Katika pembetatu ABC upande AB sawa na 10, upande B.C. sawa na 8, upande A.C. ni sawa na 9. Pata cosine ya pembe A.
Andika majibu na suluhisho zako kwenye maoni. Bahati nzuri kwako!
Nyenzo iliyoandaliwa na Sergey Valerievich