Katika makala hii tutazungumza juu ya mistari inayofanana, kutoa ufafanuzi, na kuelezea ishara na masharti ya usawa. Kwa uwazi nyenzo za kinadharia Tutatumia vielelezo na suluhisho kwa mifano ya kawaida.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Ufafanuzi 1
Mistari sambamba kwenye ndege- mistari miwili iliyonyooka kwenye ndege ambayo haina pointi za kawaida.
Ufafanuzi 2
Mistari sambamba ndani nafasi tatu-dimensional - mistari miwili ya moja kwa moja katika nafasi ya tatu-dimensional, amelala katika ndege moja na bila pointi za kawaida.
Ni muhimu kutambua kwamba ili kuamua mistari inayofanana katika nafasi, ufafanuzi "umelazwa katika ndege moja" ni muhimu sana: mistari miwili katika nafasi ya tatu-dimensional ambayo haina pointi za kawaida na hailala kwenye ndege moja hailingani. , lakini kukatiza.
Ili kuonyesha mistari inayofanana, ni kawaida kutumia ishara ∥. Hiyo ni, ikiwa mistari iliyotolewa a na b ni sambamba, sharti hili linapaswa kuandikwa kwa ufupi kama ifuatavyo: a ‖ b. Usambamba wa maneno wa mistari umeonyeshwa kwa njia ifuatayo: mistari a na b ni sambamba, au mstari a ni sambamba na mstari b, au mstari b ni sambamba na mstari a.
Hebu tutengeneze kauli inayocheza jukumu muhimu katika mada inayosomwa.
Axiom
Kupitia hatua isiyo ya mstari fulani kunapita mstari wa moja kwa moja tu sambamba na uliopewa. Taarifa hii haiwezi kuthibitishwa kwa misingi ya axioms inayojulikana ya planimetry.
Iwapo tunazungumzia kuhusu nafasi, nadharia ni kweli:
Nadharia 1
Kupitia hatua yoyote katika nafasi ambayo si ya mstari fulani, kutakuwa na mstari mmoja wa moja kwa moja sambamba na uliopewa.
Nadharia hii ni rahisi kuthibitisha kwa misingi ya axiom hapo juu (mpango wa jiometri kwa darasa la 10 - 11).
Kuna ishara ya usawa hali ya kutosha, wakati ambapo usawa wa mistari umehakikishiwa. Kwa maneno mengine, utimilifu wa sharti hili unatosha kuthibitisha ukweli wa usambamba.
Hasa, kuna hali muhimu na za kutosha kwa usawa wa mistari kwenye ndege na katika nafasi. Hebu tueleze: muhimu inamaanisha hali ambayo utimilifu wake ni muhimu kwa mistari inayofanana; ikiwa haijatimizwa, mistari haiwiani.
Kwa muhtasari, hali ya lazima na ya kutosha kwa usawa wa mistari ni hali ambayo uzingatiaji ni muhimu na wa kutosha kwa mistari kuwa sambamba na kila mmoja. Kwa upande mmoja, hii ni ishara ya usawa, kwa upande mwingine, ni mali ya asili katika mistari sambamba.
Kabla ya kutoa uundaji halisi wa hali ya lazima na ya kutosha, hebu tukumbuke dhana chache za ziada.
Ufafanuzi 3
Mstari wa Secant– mstari wa moja kwa moja unaokatiza kila moja ya mistari miwili iliyopewa isiyo sanjari.
Kupitia mistari miwili ya moja kwa moja, njia ya kuvuka inaunda pembe nane ambazo hazijatengenezwa. Ili kuunda hali ya lazima na ya kutosha, tutatumia aina kama hizi za pembe zilizovuka, zinazolingana na za upande mmoja. Wacha tuwaonyeshe katika mfano:
Nadharia 2
Ikiwa mistari miwili kwenye ndege imeunganishwa na njia ya kuvuka, basi ili mistari iliyopewa iwe sambamba ni muhimu na ya kutosha kwamba pembe za kuingiliana ni sawa, au pembe zinazofanana ni sawa, au jumla ya pembe za upande mmoja ni sawa. 180 digrii.
Wacha tuonyeshe kwa picha hali ya lazima na ya kutosha ya usawa wa mistari kwenye ndege:
Uthibitisho wa hali hizi upo katika mpango wa jiometri kwa darasa la 7 - 9.
Kwa ujumla, masharti haya pia yanahusu nafasi ya pande tatu, mradi mistari miwili na secant ni ya ndege moja.
Hebu tuonyeshe nadharia chache zaidi ambazo mara nyingi hutumiwa kuthibitisha ukweli kwamba mistari ni sambamba.
Nadharia 3
Kwenye ndege, mistari miwili inayofanana na ya tatu ni sawa kwa kila mmoja. Kipengele hiki kinathibitishwa kwa msingi wa axiom ya usawa iliyoonyeshwa hapo juu.
Nadharia 4
Katika nafasi tatu-dimensional, mistari miwili sambamba na ya tatu ni sambamba kwa kila mmoja.
Uthibitisho wa ishara unasomwa katika mtaala wa jiometri ya daraja la 10.
Wacha tutoe mfano wa nadharia hizi:
Hebu tuonyeshe jozi moja zaidi ya nadharia zinazothibitisha ulinganifu wa mistari.
Nadharia 5
Kwenye ndege, mistari miwili ya perpendicular kwa theluthi ni sawa kwa kila mmoja.
Wacha tuunda kitu sawa kwa nafasi ya pande tatu.
Nadharia 6
Katika nafasi tatu-dimensional, mistari miwili perpendicular kwa theluthi ni sambamba kwa kila mmoja.
Hebu tuonyeshe:
Nadharia zote hapo juu, ishara na masharti hufanya iwezekanavyo kudhibitisha usawa wa mistari kwa kutumia njia za jiometri. Hiyo ni, ili kuthibitisha usawa wa mistari, mtu anaweza kuonyesha kwamba pembe zinazofanana ni sawa, au kuonyesha ukweli kwamba mistari miwili iliyotolewa ni perpendicular kwa tatu, nk. Lakini kumbuka kuwa mara nyingi ni rahisi zaidi kutumia njia ya kuratibu ili kuthibitisha usawa wa mistari kwenye ndege au katika nafasi ya tatu-dimensional.
Usambamba wa mistari katika mfumo wa kuratibu wa mstatili
Katika kupewa mfumo wa mstatili kuratibu, mstari wa moja kwa moja imedhamiriwa na equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya moja ya aina zinazowezekana. Vivyo hivyo, mstari wa moja kwa moja unaofafanuliwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi ya tatu-dimensional inalingana na milinganyo fulani ya mstari wa moja kwa moja katika nafasi.
Hebu tuandike masharti muhimu na ya kutosha kwa usawa wa mistari katika mfumo wa kuratibu wa mstatili kulingana na aina ya equation inayoelezea mistari iliyotolewa.
Wacha tuanze na hali ya usawa wa mistari kwenye ndege. Inategemea ufafanuzi wa vector ya mwelekeo wa mstari na vector ya kawaida ya mstari kwenye ndege.
Nadharia 7
Ili mistari miwili isiyo ya sanjari iwe sambamba kwenye ndege, ni muhimu na ya kutosha kwamba vekta za mwelekeo wa mistari uliyopewa ni collinear, au vekta za kawaida za mistari iliyopewa ni collinear, au vekta ya mwelekeo wa mstari mmoja ni sawa. vector ya kawaida ya mstari mwingine.
Inakuwa dhahiri kwamba hali ya usawa wa mistari kwenye ndege inategemea hali ya collinearity ya vectors au hali ya perpendicularity ya vectors mbili. Hiyo ni, ikiwa a → = (a x , a y) na b → = (b x , b y) ni vekta za mwelekeo wa mistari a na b ;
na n b → = (n b x , n b y) ni vekta za kawaida za mistari a na b, kisha tunaandika hali ya juu ya lazima na ya kutosha kama ifuatavyo: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y au n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y au a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0, ambapo t ni idadi fulani halisi. Kuratibu za miongozo au vectors moja kwa moja imedhamiriwa na equations iliyotolewa ya mistari ya moja kwa moja. Hebu tuangalie mifano kuu.
- Moja kwa moja a katika mfumo wa kuratibu wa mstatili hufafanuliwa mlingano wa jumla mstari wa moja kwa moja: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; mstari wa moja kwa moja b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Kisha veta za kawaida za mistari iliyotolewa zitakuwa na kuratibu (A 1, B 1) na (A 2, B 2), kwa mtiririko huo. Tunaandika hali ya usawa kama ifuatavyo:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Mstari a unaelezewa na equation ya mstari na mteremko wa fomu y = k 1 x + b 1 . Mstari ulionyooka b - y = k 2 x + b 2. Kisha veta za kawaida za mistari iliyopewa zitakuwa na kuratibu (k 1, - 1) na (k 2, - 1), mtawaliwa, na tutaandika hali ya usawa kama ifuatavyo:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Kwa hivyo, ikiwa mistari inayofanana kwenye ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili hutolewa na equations na coefficients angular, basi. miteremko mistari iliyopewa itakuwa sawa. Na kauli iliyo kinyume ni kweli: ikiwa mistari isiyo ya sanjari kwenye ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili imedhamiriwa na milinganyo ya mstari na mgawo wa angular unaofanana, basi mistari hii iliyotolewa ni sawa.
- Mistari a na b katika mfumo wa kuratibu wa mstatili hubainishwa na milinganyo ya kisheria ya mstari kwenye ndege: x - x 1 a x = y - y 1 a y na x - x 2 b x = y - y 2 b y au kwa milinganyo ya parametric ya mstari kwenye ndege: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y na x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Kisha veta za mwelekeo wa mistari iliyopewa itakuwa: a x, y na b x, b y, mtawaliwa, na tutaandika hali ya usawa kama ifuatavyo:
a x = t b x a y = t b y
Hebu tuangalie mifano.
Mfano 1
Mistari miwili imetolewa: 2 x - 3 y + 1 = 0 na x 1 2 + y 5 = 1. Inahitajika kuamua ikiwa zinafanana.
Suluhisho
Wacha tuandike equation ya mstari wa moja kwa moja katika sehemu katika mfumo wa equation ya jumla:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Tunaona kwamba n a → = (2, - 3) ni vector ya kawaida ya mstari 2 x - 3 y + 1 = 0, na n b → = 2, 1 5 ni vector ya kawaida ya mstari x 1 2 + y 5 = 1.
Vectors kusababisha si collinear, kwa sababu hakuna thamani kama hiyo ya tat ambayo usawa utakuwa kweli:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Kwa hivyo, hali ya lazima na ya kutosha kwa usawa wa mistari kwenye ndege haijaridhika, ambayo inamaanisha kuwa mistari iliyopewa sio sawa.
Jibu: mistari iliyotolewa si sambamba.
Mfano 2
Mistari y = 2 x + 1 na x 1 = y - 4 2 imetolewa. Je, ziko sambamba?
Suluhisho
Wacha tubadilishe equation ya kisheria ya mstari wa moja kwa moja x 1 = y - 4 2 kuwa equation ya mstari wa moja kwa moja na mteremko:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Tunaona kwamba equations ya mistari y = 2 x + 1 na y = 2 x + 4 si sawa (kama ingekuwa vinginevyo, mistari ingekuwa sanjari) na coefficients angular ya mistari ni sawa, ambayo ina maana mistari iliyopewa ni sambamba.
Hebu jaribu kutatua tatizo tofauti. Kwanza, hebu tuangalie ikiwa mistari iliyotolewa inalingana. Tunatumia hatua yoyote kwenye mstari y = 2 x + 1, kwa mfano, (0, 1), kuratibu za hatua hii hazifanani na equation ya mstari x 1 = y - 4 2, ambayo ina maana kwamba mistari hufanya. si sanjari.
Hatua inayofuata ni kuamua ikiwa hali ya usawa wa mistari iliyotolewa imeridhika.
Vector ya kawaida ya mstari y = 2 x + 1 ni vector n a → = (2, - 1) , na vector ya mwelekeo wa mstari wa pili uliopewa ni b → = (1, 2) . Bidhaa ya Scalar ya vekta hizi ni sawa na sifuri:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Kwa hivyo, vectors ni perpendicular: hii inatuonyesha utimilifu wa hali muhimu na ya kutosha kwa usawa wa mistari ya awali. Wale. mistari iliyotolewa ni sambamba.
Jibu: mistari hii ni sambamba.
Ili kuthibitisha usawa wa mistari katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa nafasi tatu-dimensional, hali ifuatayo ya lazima na ya kutosha hutumiwa.
Nadharia 8
Kwa mistari miwili isiyo ya sanjari katika nafasi ya pande tatu kuwa sambamba, ni muhimu na ya kutosha kwamba vekta za mwelekeo wa mistari hii ziwe collinear.
Wale. katika kupewa milinganyo ya mistari ya moja kwa moja katika nafasi tatu-dimensional, jibu la swali: ni sawa au la, hupatikana kwa kuamua kuratibu za vectors ya mwelekeo wa mistari iliyopewa moja kwa moja, pamoja na kuangalia hali ya collinearity yao. Kwa maneno mengine, ikiwa a → = (a x , a y , a z) na b → = (b x , b y , b z) ni vekta za mwelekeo wa mistari iliyonyooka a na b, mtawaliwa, basi ili wawe sambamba, kuwepo kwa vile nambari halisi t ili usawa ushike:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Mfano 3
Mistari x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 na x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ hutolewa. Inahitajika kudhibitisha usawa wa mistari hii.
Suluhisho
Masharti ya shida yanatolewa milinganyo ya kisheria mstari mmoja wa moja kwa moja katika nafasi na equations parametric mstari mwingine katika nafasi. Mwongozo wa vekta a → na b → mistari iliyotolewa ina viwianishi: (1, 0, - 3) na (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, kisha a → = 1 2 · b → .
Kwa hiyo, hali ya lazima na ya kutosha kwa usawa wa mistari katika nafasi imeridhika.
Jibu: ulinganifu wa mistari iliyotolewa imethibitishwa.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Ukurasa wa 1 kati ya 2
Swali 1. Thibitisha kuwa mistari miwili inayofanana na ya tatu inalingana.
Jibu. Nadharia 4.1. Mistari miwili sambamba na ya tatu ni sambamba.
Ushahidi. Acha mistari a na b ilingane na mstari c. Hebu tufikiri kwamba a na b hazifanani (Mchoro 69). Kisha haziingiliani wakati fulani C. Hii ina maana kwamba mistari miwili inapita kwenye nukta C sambamba na mstari c. Lakini hii haiwezekani, kwa kuwa kwa njia ya hatua isiyo ya uongo kwenye mstari fulani, inawezekana kuteka angalau mstari mmoja wa moja kwa moja sambamba na uliyopewa. Nadharia imethibitishwa.
Swali la 2. Eleza ni pembe gani zinazoitwa pembe za ndani za upande mmoja. Ni pembe gani zinazoitwa zile za ndani za uwongo?
Jibu. Jozi za pembe ambazo huundwa wakati mistari AB na CD zinapokutana na secant AC zina majina maalum.
Ikiwa pointi B na D ziko katika nusu ya ndege sawa na mstari wa moja kwa moja wa AC, basi pembe za BAC na DCA huitwa pembe za ndani za upande mmoja (Mchoro 71, a).
Ikiwa pointi B na D ziko katika ndege tofauti za nusu kuhusiana na mstari wa moja kwa moja wa AC, basi pembe za BAC na DCA huitwa pembe za ndani za kuvuka (Mchoro 71, b).
Mchele. 71
Swali la 3. Thibitisha kwamba ikiwa pembe za ndani za jozi moja ni sawa, basi pembe za ndani za jozi nyingine pia ni sawa, na jumla ya pembe za ndani za kila jozi ni 180 °.
Jibu. AC secant huunda kwa mistari ya moja kwa moja AB na CD jozi mbili za pembe za ndani za upande mmoja na jozi mbili za pembe za ndani zinazolala. Pembe za ndani za jozi moja, kwa mfano angle 1 na kona 2, ziko karibu na pembe za ndani za jozi nyingine: angle 3 na angle 4 (Mchoro 72).
Mchele. 72
Kwa hiyo, ikiwa pembe za ndani za jozi moja ni sawa, basi pembe za ndani za jozi nyingine pia ni sawa.
Jozi ya pembe za ndani za kuvuka, kwa mfano angle 1 na angle 2, na jozi ya pembe za ndani za upande mmoja, kwa mfano angle 2 na angle 3, zina pembe moja kwa pamoja - angle 2, na pembe nyingine mbili ziko karibu. : pembe 1 na pembe 3.
Kwa hivyo, ikiwa pembe za njia za ndani ni sawa, basi jumla pembe za ndani sawa na 180 °. Na kinyume chake: ikiwa jumla ya pembe za ndani za kuingiliana ni sawa na 180 °, basi pembe za ndani zinazoingiliana ni sawa. Q.E.D.
Swali la 4. Thibitisha jaribio kwa mistari inayolingana.
Jibu. Nadharia 4.2 (jaribio la mistari inayofanana). Ikiwa pembe za ndani za msalaba ni sawa au jumla ya pembe za ndani za upande mmoja ni sawa na 180 °, basi mistari ni sambamba.
Ushahidi. Hebu mistari ya moja kwa moja a na b itengeneze pembe sawa za ndani za crosswise na secant AB (Mchoro 73, a). Hebu sema kwamba mistari a na b si sambamba, ambayo ina maana kwamba wanaingiliana kwa wakati fulani C (Mchoro 73, b).
Mchele. 73
Secant AB inagawanya ndege katika nusu-ndege mbili. Mmoja wao ana uhakika C. Hebu tujenge pembetatu BAC 1, sawa na pembetatu ABC, na kipeo C 1 katika nusu-ndege nyingine. Kwa hali, pembe za ndani za usawa a, b na secant AB ni sawa. Tangu pembe zinazolingana pembetatu ABC na BAC 1 iliyo na vipeo A na B ni sawa, basi zinapatana na pembe za ndani zilizovuka. Hii ina maana kwamba mstari AC 1 unapatana na mstari a, na mstari BC 1 unapatana na mstari b. Inabadilika kuwa mistari miwili tofauti a na b hupitia alama C na C 1. Na hii haiwezekani. Hii ina maana kwamba mistari a na b ni sambamba.
Ikiwa mistari a na b na AB inayovuka ina jumla ya pembe za ndani za upande mmoja sawa na 180 °, basi, kama tunavyojua, pembe za ndani zilizolala ni sawa. Hii inamaanisha, kulingana na kile kilichothibitishwa hapo juu, mistari a na b inalingana. Nadharia imethibitishwa.
Swali la 5. Eleza ni pembe gani zinazoitwa pembe zinazolingana. Thibitisha kwamba ikiwa pembe za ndani za msalaba ni sawa, basi pembe zinazofanana pia ni sawa, na kinyume chake.
Jibu. Ikiwa kwa jozi ya pembe za ndani za kuvuka pembe moja inabadilishwa na moja ya wima, basi tunapata jozi ya pembe ambazo huitwa pembe zinazofanana za mistari hii na transversal. Ambayo ndiyo ilihitaji kuelezewa.
Kutoka kwa usawa wa pembe za mambo ya ndani amelala crosswise ifuatavyo usawa wa pembe zinazofanana, na kinyume chake. Wacha tuseme tunayo mistari miwili inayofanana (kwa kuwa kwa hali, pembe za ndani zilizokaa kila mmoja ni sawa) na mpito, ambayo huunda pembe 1, 2, 3. Pembe 1 na 2 ni sawa na pembe za ndani zilizolala kila mmoja. Na pembe 2 na 3 ni sawa na wima. Tunapata: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 na \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Kwa mali ya transitivity ya ishara sawa inafuata kwamba \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Taarifa ya mazungumzo inaweza kuthibitishwa kwa njia sawa.
Kutoka kwa hili tunapata ishara kwamba mistari ya moja kwa moja inafanana kwenye pembe zinazofanana. Yaani: mistari iliyonyooka ni sambamba ikiwa pembe zinazolingana ni sawa. Q.E.D.
Swali la 6. Thibitisha kuwa kupitia hatua ambayo haijalala kwenye mstari fulani unaweza kuchora mstari sambamba nayo. Je, ni mistari mingapi inayolingana na mstari fulani inaweza kuchorwa kupitia sehemu ambayo haiko kwenye mstari huu?
Jibu. Tatizo (8). Kwa kuzingatia mstari AB na nukta C ambayo haiko kwenye mstari huu. Thibitisha kuwa kupitia nukta C unaweza kuchora mstari sambamba na mstari AB.
Suluhisho. Line AC inagawanya ndege katika nusu-ndege mbili (Mchoro 75). Point B iko katika moja wapo. Hebu tuongeze angle ACD kutoka kwa mstari wa nusu CA hadi ndege nyingine ya nusu, sawa na angle CAB. Kisha mistari AB na CD itakuwa sambamba. Kwa kweli, kwa mistari hii na AC ya secant, pembe za ndani za BAC na DCA ziko kinyume. Na kwa kuwa ni sawa, mistari AB na CD ni sambamba. Q.E.D.
Kulinganisha taarifa ya Tatizo 8 na Axiom IX (sifa kuu ya mistari sambamba), tunafika katika hitimisho muhimu: kupitia hatua isiyo ya uongo kwenye mstari uliopewa, unaweza kuchora mstari sambamba na hilo, na moja tu.
Swali la 7. Thibitisha kwamba ikiwa mistari miwili imeunganishwa na mstari wa tatu, basi pembe za mambo ya ndani zinazoingiliana ni sawa, na jumla ya mambo ya ndani pembe za upande mmoja ni 180 °.
Jibu. Nadharia 4.3(mazungumzo ya Theorem 4.2). Ikiwa mistari miwili inayofanana inaingiliana na mstari wa tatu, basi pembe za ndani zinazoingiliana ni sawa, na jumla ya pembe za ndani za upande mmoja ni 180 °.
Ushahidi. Acha a na b ziwe mistari sambamba na c iwe mstari unaozikatiza kwa pointi A na B. Wacha tuchore mstari kutoka 1 hadi hatua A ili pembe za ndani zinazoundwa na c transversal na mistari 1 na b ziwe sawa. (Mchoro 76).
Kulingana na kanuni ya ulinganifu wa mistari, mistari a 1 na b ni sambamba. Na kwa kuwa mstari mmoja tu hupitia nukta A, sambamba na mstari b, kisha mstari a unaambatana na mstari wa 1.
Hii ina maana kwamba pembe za ndani za njia panda zinazoundwa na kivuka na
mistari sambamba a na b ni sawa. Nadharia imethibitishwa.
Swali la 8. Thibitisha kuwa mistari miwili ya perpendicular hadi ya tatu inalingana. Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari miwili sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine.
Jibu. Kutoka kwa Nadharia 4.2 inafuata kwamba mistari miwili perpendicular hadi ya tatu ni sambamba.
Tuseme kwamba mistari yoyote miwili ni ya kawaida kwa mstari wa tatu. Hii ina maana kwamba mistari hii inaingiliana na mstari wa tatu kwa pembe sawa na 90 °.
Kutoka kwa mali ya pembe zinazoundwa wakati mistari inayofanana inaingiliana na transversal, inafuata kwamba ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine.
Swali la 9. Thibitisha kuwa jumla ya pembe za pembetatu ni 180 °.
Jibu. Nadharia 4.4. Jumla ya pembe za pembetatu ni 180 °.
Ushahidi. Wacha ABC iwe pembetatu iliyotolewa. Hebu tuchore mstari kupitia kipeo B sambamba na mstari wa AC. Wacha tuweke alama D juu yake ili alama A na D zilala pamoja pande tofauti kutoka kwa mstari wa moja kwa moja BC (Kielelezo 78).
Angles DBC na ACB zinalingana kama zile zinazoingiliana za ndani zinazoundwa na BC ya mvuka na yenye mistari sambamba AC na BD. Kwa hiyo, jumla ya pembe za pembetatu kwenye wima B na C ni sawa na ABD ya pembe.
Na jumla ya yote pembe tatu ya pembetatu ni sawa na jumla ya pembe ABD na BAC. Kwa kuwa hizi ni pembe za mambo ya ndani za upande mmoja kwa AC na BD sambamba na secant AB, jumla yao ni 180°. Nadharia imethibitishwa.
Swali la 10. Thibitisha kuwa pembetatu yoyote ina angalau pembe mbili za papo hapo.
Jibu. Hakika, hebu tufikiri kwamba pembetatu ina pembe moja tu ya papo hapo au hakuna kabisa pembe kali. Kisha pembetatu hii ina pembe mbili, ambayo kila mmoja ni angalau 90 °. Jumla ya pembe hizi mbili sio chini ya 180 °. Lakini hii haiwezekani, kwa kuwa jumla ya pembe zote za pembetatu ni 180 °. Q.E.D.
Mali ya mistari sambamba
Mistari sambamba
Kwa msaada wa somo hili la video, unaweza kusoma kwa uhuru mada "Sifa za mistari inayofanana." Wakati huo utakuwa na mistari inayofanana, fikiria mali zao, na pia uunda moja ya axioms muhimu zaidi ya jiometri.
Ufafanuzi:
Mistari miwili kwenye ndege inaitwa sambamba, ikiwa haziingiliani (Mchoro 1). Imeteuliwa kama ifuatavyo:.
Mchele. 1
Kupitia hatua isiyolala kwenye mstari fulani, mstari mmoja tu unaofanana na mstari uliopewa hupita (Mchoro 2) .
Mchele. 2
Matokeo1:
Ikiwa mstari unaingilia moja ya mistari inayofanana, basi pia huingilia nyingine.
Mchele. 3
Imetolewa:
.
Thibitisha:.
Uthibitisho:
Tutathibitisha kwa kupingana. Hebu kujifanya hivyo Na haiingiliani na mstari b(Mchoro 4).
Mchele. 4
Kisha: (kwa sharti), (kwa kudhania). Hiyo ni, kupitia hatua M kuna mistari miwili iliyonyooka ( A Na c), sambamba na mstari b. Na hii inapingana na axiom. Hii ina maana dhana yetu si sahihi. Kisha moja kwa moja c itavuka mstari b.
Nambari ya 2:
Ikiwa mistari miwili ni sawa na mstari wa tatu, basi ni sambamba(Kielelezo 5) .
Mchele. 5
Imetolewa:.
Thibitisha:.
Uthibitisho:
Tutathibitisha kwa kupingana. Wacha tufikirie kuwa mistari iliyonyooka a Na b kukatiza kwa wakati fulani M(Mchoro 6).
Mchele. 6
Kwa hivyo, tunapata ukinzani na axiom: kupitia hatua M mistari miwili hupita kwa wakati mmoja sambamba na mstari wa tatu.
Kwa hiyo, dhana yetu si sahihi. Kisha.
Nadharia ya 1:
Ikiwa mistari miwili imeunganishwa na transversal, basi pembe za kuingiliana ni sawa(Mchoro 7).
Mchele. 7
Imetolewa:.
Thibitisha:.
Uthibitisho:
Tutathibitisha kwa kupingana. Wacha tujifanye kuwa:.
Kisha kutoka kwa boriti MN unaweza kuweka kando kona pekee ∠ PMN, ambayo itakuwa sawa ∠ 2 ( Mchele. 7). Lakini basi ∠ PMN Na ∠ 2 - uongo crosswise na sawa. Kisha moja kwa moja P.M. Na b- sambamba. Kisha kupitia hatua M Kuna mistari miwili iliyonyooka sambamba na ya tatu. Yaani:
Tunapata ukinzani na axiom. Hii ina maana dhana yetu si sahihi. Hiyo ni: .
Matokeo:
Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari sambamba, basi pia ni perpendicular kwa pili.
Mchele. 8
Imetolewa:
Thibitisha:
Uthibitisho:
1. Na misalaba A, na kwa hiyo huingilia mstari sambamba nayo, yaani b. Kisha Na- secant jamaa na A Na b.
2. kwa sababu wamelala kinyume. Kisha. Hiyo ni .
Nadharia ya 2:
Ikiwa mistari miwili inayofanana imeunganishwa na mpito, basi pembe zinazofanana ni sawa.
Mchele. 9
Imetolewa:- kidogo.
Thibitisha:(Mchoro 9).
Uthibitisho:
Ikiwa , basi kutoka kwa nadharia ya awali inafuata kwamba pembe za msalaba ni sawa. Hiyo ni .
Kisha, kwa mali ya pembe za wima,.
Hii ina maana kwamba hili ndilo lililohitaji kuthibitishwa.
Ishara za usawa wa mistari miwili
Nadharia 1. Iwapo, mistari miwili inapopishana na sekunde:
pembe zilizovuka ni sawa, au
pembe zinazolingana ni sawa, au
jumla ya pembe za upande mmoja ni 180 °, basi
mistari ni sambamba(Mchoro 1).
Ushahidi. Tunajiwekea kikomo kwa kuthibitisha kesi 1.
Acha mistari inayokatiza a na b iwe ya kuvuka na pembe AB ziwe sawa. Kwa mfano, ∠ 4 = ∠ 6. Hebu tuthibitishe kwamba || b.
Tuseme kwamba mistari a na b haiwiani. Kisha huingiliana kwa wakati fulani M na, kwa hiyo, moja ya pembe 4 au 6 itakuwa pembe ya nje ya pembetatu ABM. Kwa uhakika, acha ∠ 4 iwe pembe ya nje ya pembetatu ABM, na ∠ 6 ya ndani. Kutoka kwa nadharia kuhusu pembe ya nje pembetatu inafuata kwamba ∠ 4 ni kubwa kuliko ∠ 6, na hii inapingana na hali, ambayo ina maana kwamba mistari a na 6 haiwezi kuingiliana, kwa hiyo zinafanana.
Muhimu 1. Mistari miwili tofauti katika ndege perpendicular kwa mstari huo ni sambamba(Mchoro 2).
Maoni. Njia ambayo tumethibitisha kisa cha 1 cha Nadharia ya 1 inaitwa njia ya uthibitisho kwa kupingana au kupunguza kwa upuuzi. Njia hii ilipata jina lake la kwanza kwa sababu mwanzoni mwa hoja dhana hufanywa ambayo ni kinyume (kinyume) na kile kinachohitaji kuthibitishwa. Inaitwa kuongoza kwa upuuzi kutokana na ukweli kwamba, kufikiri juu ya msingi wa dhana iliyofanywa, tunakuja kwenye hitimisho la upuuzi (kwa upuuzi). Kupokea hitimisho kama hilo hutulazimisha kukataa dhana iliyofanywa mwanzoni na kukubali ile iliyohitaji kuthibitishwa.
Jukumu la 1. Tengeneza mstari unaopita hatua hii M na sambamba na mstari uliopeanwa a, bila kupita sehemu ya M.
Suluhisho. Tunatoa mstari wa moja kwa moja p kupitia hatua ya M perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja a (Mchoro 3).
Kisha tunatoa mstari b kupitia hatua M perpendicular kwa mstari p. Mstari b ni sambamba na mstari a kulingana na mfululizo wa Nadharia ya 1.
Hitimisho muhimu linafuata kutoka kwa shida inayozingatiwa:
kupitia hatua isiyolala kwenye mstari uliopewa, inawezekana kila wakati kuteka mstari sambamba na uliyopewa.
Sifa kuu ya mistari inayofanana ni kama ifuatavyo.
Axiom ya mistari inayofanana. Kupitia hatua fulani ambayo haiko kwenye mstari fulani, kuna mstari mmoja tu unaofanana na uliopewa.
Wacha tuzingatie sifa zingine za mistari inayofanana inayofuata kutoka kwa axiom hii.
1) Ikiwa mstari unaingilia moja ya mistari miwili inayofanana, basi pia huingiliana na nyingine (Mchoro 4).
2) Ikiwa mistari miwili tofauti ni sawa na mstari wa tatu, basi ni sawa (Mchoro 5).
Nadharia ifuatayo pia ni kweli.
Nadharia ya 2. Ikiwa mistari miwili inayofanana imekatizwa na kivuka, basi:
pembe za msalaba ni sawa;
pembe zinazofanana ni sawa;
jumla ya pembe za upande mmoja ni 180 °.
Muhimu 2. Ikiwa mstari ni perpendicular kwa moja ya mistari miwili sambamba, basi pia ni perpendicular kwa nyingine.(tazama Mchoro 2).
Maoni. Nadharia ya 2 inaitwa kinyume cha Nadharia 1. Hitimisho la Nadharia 1 ni hali ya Nadharia 2. Na hali ya Nadharia 1 ni hitimisho la Nadharia 2. Sio kila nadharia ina kinyume, yaani ikiwa nadharia hii ni kweli, basi nadharia ya mazungumzo inaweza isiwe kweli.
Hebu tueleze hili kwa kutumia mfano wa nadharia kuhusu pembe za wima. Nadharia hii inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: ikiwa pembe mbili ni wima, basi ni sawa. Nadharia ya kubadilishana itakuwa: ikiwa pembe mbili ni sawa, basi ni wima. Na hii, bila shaka, si kweli. Mbili pembe sawa sio lazima iwe wima hata kidogo.
Mfano 1. Mistari miwili sambamba huvukwa na theluthi. Inajulikana kuwa tofauti kati ya pembe mbili za ndani za upande mmoja ni 30 °. Tafuta pembe hizi.
Suluhisho. Hebu Mchoro wa 6 ukidhi hali hiyo.
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa yako habari za kibinafsi wakati wowote unawasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.