Następnego wieczoru recepcjonista Gilbert stanął przed znacznie trudniejszym problemem. Podobnie jak poprzedniego dnia, w hotelu panował tłok, gdy podjechała nieskończenie długa limuzyna, wysiadając z nieskończonej liczby nowych gości. Ale Gilbert wcale się tym nie zawstydził i tylko radośnie zacierał ręce na myśl o nieskończonej liczbie rachunków, jakie będą płacić nowo przybyli. Gilbert poprosił o przeprowadzkę wszystkich, którzy już zakwaterowali się w hotelu, zachowując następującą zasadę: lokator pierwszego pokoju - do drugiego pokoju, lokator drugiego pokoju - do czwartego pokoju itd., czyli Gilbert zapytał każdemu gościowi możliwość przeniesienia się do nowego pokoju z podwójnym dużym „adresem”. Wszyscy, którzy mieszkali w hotelu przed przybyciem nowych gości, pozostali w hotelu, ale jednocześnie zwolniła się nieskończona liczba pokoi (wszystkich, których „adresy” były dziwne), w których pomysłowa recepcjonistka zakwaterowała nowych gości. Ten przykład pokazuje, że podwójna nieskończoność jest również równa nieskończoności.

Być może hotel Hilberta podsunie komuś pomysł, że wszystkie nieskończoności są jednakowo duże, równe sobie i że każdą inną nieskończoność można wcisnąć w pokoje tego samego nieskończonego hotelu, jak zrobił to pomysłowy portier. Ale w rzeczywistości niektóre nieskończoności są większe niż inne. Na przykład każda próba znalezienia pary dla każdej liczby wymiernej z liczbą niewymierną, tak aby ani jedna liczba niewymierna nie pozostała bez pary wymiernej, z pewnością zakończy się niepowodzeniem. Rzeczywiście, można udowodnić, że nieskończony zbiór ir liczby wymierne jest większa od nieskończonego zbioru liczb wymiernych. Matematycy musieli stworzyć cały system zapisów i nazw o nieskończonej skali nieskończoności, a manipulowanie tymi pojęciami jest jednym z najbardziej palących problemów naszych czasów.

Chociaż nieskończoność liczby liczb pierwszych na zawsze zniweczyła nadzieje na szybki dowód Wielkie twierdzenie Farm, tak duży zapas liczb pierwszych przydał się np. w takich dziedzinach jak szpiegostwo czy badania życia owadów. Zanim powrócimy do historii poszukiwań dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata, warto zrobić małą dygresję i zapoznać się z poprawnym i niepoprawnym użyciem liczb pierwszych.

* * *

Teoria liczb pierwszych to jedna z niewielu dziedzin czystej matematyki, która ma bezpośrednie zastosowanie w świecie rzeczywistym, a mianowicie kryptografia. Kryptografia zajmuje się kodowaniem tajnych wiadomości w taki sposób, że tylko odbiorca może je rozszyfrować, a osoba podsłuchująca nie jest w stanie ich rozszyfrować. Proces kodowania wymaga użycia klucza szyfrującego, a odszyfrowanie tradycyjnie wymaga dostarczenia tego klucza odbiorcy. W tej procedurze kluczem jest najsłabsze ogniwo w łańcuchu bezpieczeństwa. Po pierwsze, odbiorca i nadawca muszą uzgodnić szczegóły klucza, a wymiana informacji na tym etapie wiąże się z pewnym ryzykiem. Jeśli wróg zdoła przechwycić klucz podczas wymiany informacji, będzie mógł odszyfrować wszystkie kolejne wiadomości. Po drugie, aby zachować bezpieczeństwo, klucze muszą być regularnie zmieniane, a za każdym razem, gdy zmieniany jest klucz, istnieje ryzyko, że przeciwnik przechwyci nowy klucz.

Kluczowy problem polega na tym, że zastosowanie klucza w jednym kierunku szyfruje wiadomość, ale zastosowanie tego samego klucza w przeciwnym kierunku odszyfrowuje wiadomość - odszyfrowanie jest tak proste, jak szyfrowanie. Ale z doświadczenia wiemy, że obecnie jest wiele sytuacji, w których odszyfrowanie jest znacznie trudniejsze niż zaszyfrowanie: przygotowanie jajecznicy jest nieporównywalnie łatwiejsze niż przywrócenie jajecznicy do stanu pierwotnego poprzez oddzielenie białek od żółtek.

W latach 70. XX wieku poszukiwania rozpoczęli Whitfield Diffie i Martin Hellman proces matematyczny co byłoby łatwe do zrealizowania w jednym kierunku, ale niezwykle trudne do zrealizowania w przeciwnym kierunku. Taki proces zapewniłby idealny klucz. Na przykład mógłbym mieć swoje własny klucz na dwie części i mógłbym opublikować część szyfrującą w miejscu publicznym. Potem każdy mógł wysyłać mi zaszyfrowane wiadomości, ale część klucza do odszyfrowania byłaby znana tylko mnie. I chociaż część szyfrująca klucza byłaby dostępna dla każdego, nie miałaby ona nic wspólnego z częścią deszyfrującą.

W 1977 roku Ronald Rivest, Adi Shamir i Leonard Adleman – grupa matematyków i informatyków z MIT Instytut Technologii- odkrył, że liczby pierwsze są idealną podstawą procesu łatwego szyfrowania i trudnego deszyfrowania. Aby stworzyć własny klucz, mógłbym wziąć dwie ogromne liczby pierwsze, każda zawierająca do 80 cyfr, i pomnożyć jedną liczbę przez drugą, aby otrzymać jeszcze większą liczbę złożoną. Do zakodowania wiadomości wystarczy znajomość dużej liczby złożonej, natomiast do odszyfrowania wiadomości konieczna jest znajomość dwóch oryginalnych liczb pierwszych, które pomnożyliśmy, czyli czynników pierwszych liczby złożonej. Mogę sobie pozwolić na opublikowanie dużej liczby złożonej – połowy klucza szyfrującego i zachować w tajemnicy dwa czynniki pierwsze – połowę klucza deszyfrującego. Bardzo ważne jest, że chociaż wszyscy znają dużą liczbę złożoną, niezwykle trudno jest ją rozłożyć na dwa czynniki pierwsze.

Spójrzmy na prostszy przykład. Załóżmy, że wybrałem i przekazałem wszystkim numer złożony 589, który umożliwia każdemu wysyłanie mi zaszyfrowanych wiadomości. Zachowałbym w tajemnicy dwa czynniki pierwsze liczby 589, aby nikt poza mną nie mógł rozszyfrować wiadomości. Gdyby ktoś potrafił znaleźć dwa czynniki pierwsze liczby 589, wówczas taka osoba również byłaby w stanie rozszyfrować wiadomości kierowane do mnie. Ale niezależnie od tego, jak mała jest liczba 589, znalezienie jej czynników pierwszych nie jest takie łatwe. W tym przypadku na komputerze stacjonarnym w ciągu kilku minut udałoby się odkryć, że czynniki pierwsze liczby 589 to 31 i 19 (31 19 = 589), więc mój klucz nie mógł szczególnie długo gwarantować bezpieczeństwa korespondencji .

Ale gdyby liczba złożona, którą zamieściłem, zawierała więcej niż sto cyfr, znalezienie czynników pierwszych byłoby zadaniem prawie niemożliwym. Nawet gdyby do rozłożenia ogromnej liczby złożonej (klucza szyfrującego) na dwa czynniki pierwsze (klucz deszyfrujący) użyto najpotężniejszych komputerów na świecie, znalezienie tych czynników zajęłoby jeszcze kilka lat. Dlatego, aby pokrzyżować podstępne plany zagranicznych szpiegów, wystarczy mi tylko coroczna zmiana klucza. Raz do roku podaję do wiadomości publicznej moją nową, gigantyczną liczbę złożoną, a wtedy każdy, kto będzie chciał spróbować szczęścia i rozszyfrować moje wiadomości, będzie zmuszony zacząć od nowa, rozkładając opublikowaną liczbę na dwa czynniki pierwsze.

* * *

Liczby pierwsze występują także w świecie przyrody. Okresowe cykady, znane jako Magicicada septendecim, mają najdłuższy cykl życiowy spośród wszystkich owadów. Ich życie zaczyna się pod ziemią, gdzie larwy cierpliwie wysysają soki z korzeni drzew. I dopiero po 17 latach oczekiwania dorosłe cykady wyłaniają się z ziemi, gromadzą się w ogromne roje i przez jakiś czas wypełniają wszystko dookoła. W ciągu kilku tygodni łączą się w pary, składają jaja, a następnie umierają.

Pytanie, które nie daje spokoju biologom, brzmi: dlaczego cykl życiowy cykad jest tak długi? Czy to robi jakąś różnicę koło życiaże jego czas trwania wyraża się w prostej liczbie lat? Inny gatunek, Magicicada tredecim, roi się co 13 lat. Sugeruje to, że długość cyklu życiowego, wyrażona prostą liczbą lat, daje gatunkowi pewne korzyści ewolucyjne.

Panie Leblanc

Na początku XIX wieku Ostatnie Twierdzenie Fermata zyskało dobrą reputację najtrudniejszego problemu w teorii liczb. Po przełomie Eulera nie było najmniejszego postępu, dopóki sensacyjna wypowiedź młodej Francuzki nie wzbudziła nowych nadziei. Wznowiono poszukiwania dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata nowa siła. Sophie Germain żyła w epoce szowinizmu i uprzedzeń i aby móc studiować matematykę, musiała przyjąć pseudonim, pracować w strasznych warunkach i tworzyć w intelektualnej izolacji.

Przez stulecia matematykę uważano za zajęcie niekobiece, ale pomimo dyskryminacji było kilka matematyczek, które sprzeciwiały się ustalonym zwyczajom i praktykom i zapisały swoje nazwiska w annałach matematyki. Pierwszą kobietą, która odcisnęła swoje piętno na historii matematyki, była Theano (VI w. p.n.e.), która studiowała u Pitagorasa, stała się jedną z jego najbliższych naśladowców i wyszła za niego za mąż. Pitagoras jest czasami nazywany „filozofem feministycznym”, ponieważ zachęcał kobiety do nauki. Theano była tylko jedną z dwudziestu ośmiu sióstr w bractwie pitagorejskim.

W późniejszych czasach zwolennicy i naśladowcy Sokratesa i Platona nadal zapraszali kobiety do swoich szkół, ale dopiero w IV wieku naszej ery. mi. matematyczka założyła własną wpływową szkołę. Hypatia, córka profesora matematyki Akademii Aleksandryjskiej, zasłynęła w całym znanym wówczas świecie dzięki swoim debatom i umiejętności rozwiązywania różne zadania. Matematycy, którzy od wielu miesięcy zastanawiali się nad rozwiązaniem jakiegoś problemu, zwrócili się do Hypatii z prośbą o pomoc, a ona rzadko zawodziła swoich fanów. Matematyka i proces logicznego dowodu całkowicie ją pochłonęły, a zapytana, dlaczego nie wyszła za mąż, Hypatia odpowiedziała, że ​​jest zaręczona Prawdą. To była bezgraniczna wiara Hypatii umysł ludzki stała się przyczyną jej śmierci, gdy Cyryl, patriarcha Aleksandrii, zaczął prześladować filozofów, przyrodników i matematyków, których nazywał heretykami. Historyk Edward Gibbon pozostawił żywy opis wydarzeń, które miały miejsce po tym, jak Cyryl spiskował przeciwko Hypatii i sprowadził przeciwko niej tłum.

„Tego pamiętnego dnia, w świętym okresie Wielkiego Postu, Hypatia została wyciągnięta z rydwanu, w którym jechała, rozebrana do naga, zawleczona do kościoła i nieludzko pocięta na kawałki rękami Piotra Czytelnika i tłumu dzikich i bezlitosnych fanatycy; jej ciało oderwano od kości ostrymi muszlami ostryg, a jej drżące członki spalono na stosie”.

Po śmierci Hypatii rozpoczął się okres stagnacji w matematyce. Druga kobieta, która sprawiła, że ​​mówiono o sobie jako o matematyczce, pojawiła się dopiero po renesansie. Maria Agnesi urodziła się w Mediolanie w 1718 r. Podobnie jak Hypatia była córką matematyka. Agnesi została uznana za jedną z najlepszych matematyków w Europie. Była szczególnie znana ze swoich prac na temat stycznych do krzywych. We Włoszech krzywe nazywano „versiera” (od łac. „skręcić”), ale to samo słowo uznano za skrót słowa „avversiera” – „żona diabła”. Krzywe badane przez Agnesi (versiera Agnesi) zostały błędnie przełożone na język angielski jako „czarownica Agnesi”, a z czasem tak samo zaczęto nazywać Marię Agnesi.

Chociaż matematycy w całej Europie docenili matematyczny talent Agnesi, wielu z nich instytucje akademickie, w szczególności Akademia Francuska, odmówiły zapewnienia jej stanowiska umożliwiającego jej prowadzenie badań. Polityka wykluczania kobiet ze stanowisk akademickich była kontynuowana w XX wieku, kiedy Emmy Noether, którą Einstein określił jako „najważniejszego twórczego geniusza matematycznego, jaki pojawił się od czasu pojawienia się wyższego szkolnictwa dla kobiet”, odmówiono prawa do wykładania na Uniwersytecie w Getyndze. Większość profesorów rozumowała w ten sposób: „Jak można pozwolić kobiecie zostać prywatnym adiunktem? Przecież jeśli zostanie prywatną dozentką, to z czasem może zostać profesorem i członkiem senatu uczelni... Co pomyślą nasi żołnierze, kiedy wrócą na uczelnię i dowiedzą się, że będą musieli uczyć się u stóp kobiety? David Gilbert, przyjaciel i mentor Emmy Noether, odpowiedział na to: „Panowie! Nie rozumiem, dlaczego płeć kandydatki uniemożliwia jej przyjęcie w charakterze prywatnego dozentu. Przecież senat uczelni to nie męska łaźnia”.

Później zapytano Edmunda Landau, kolegę Noether, czy Noether była rzeczywiście wielką kobietą-matematyczką, na co odpowiedział: „Mogę przysiąc, że jest wielką matematyczką, ale nie mogę przysiąc, że jest kobietą”.

Oprócz tego, że Emmy Noether, podobnie jak matematyczki minionych stuleci, doświadczyła dyskryminacji, łączyło ją z nimi znacznie więcej: na przykład była córką matematyka. Ogólnie rzecz biorąc, wielu matematyków pochodziło z rodzin matematycznych, co zrodziło bezpodstawne pogłoski o specjalnym genie matematycznym, ale wśród matematyczek odsetek osób z rodzin matematycznych jest szczególnie wysoki. Wyjaśnieniem wydaje się to, że nawet najbardziej uzdolnione kobiety nie zdecydowałyby się na studiowanie matematyki i nie otrzymały wsparcia w realizacji swoich zamiarów, gdyby ich rodzina nie była zaangażowana w naukę. Podobnie jak Hypatia, Agnesi i większość innych matematyczek, Noether była niezamężna. Tak powszechny celibat wśród matematyczek tłumaczy się faktem, że wybór przez kobietę zawodu matematycznego spotkał się z dezaprobatą społeczeństwa i tylko nieliczni mężczyźni odważyli się zaproponować małżeństwo kobietom o tak „wątpliwej” reputacji. Wyjątek od główna zasada została wielką matematyczką z Rosji Sofią Wasiliewną Kowalewską. Zawarła fikcyjne małżeństwo z paleontologiem Władimirem Onufriewiczem Kowalewskim. Dla obojga małżeństwo było wybawieniem, pozwalającym uciec od trosk rodziny i skupić się na czymś badania naukowe. Jeśli chodzi o Kowalewską, znacznie wygodniej było jej podróżować samotnie pod przebraniem szanowanej zamężnej damy.

Ze wszystkich kraje europejskie najbardziej nie do pogodzenia stanowisko wobec wykształcone kobiety została okupowana przez Francję, która oświadczyła, że ​​matematyka jest zajęciem nieodpowiednim dla kobiet i wykraczającym poza ich możliwości zdolności umysłowe! I chociaż dominowały salony Paryża matematyczny świat W XVIII i XIX wieku tylko jednej kobiecie udało się wyrwać z okowów francuskiej opinii publicznej i ugruntować swoją reputację głównego specjalisty w dziedzinie teorii liczb. Sophie Germain zrewolucjonizowała wysiłki mające na celu udowodnienie Ostatniego Twierdzenia Fermata i wniosła wkład znacznie przekraczający wszystko, co osiągnęli jej poprzednicy płci męskiej.

Sophie Germain urodziła się 1 kwietnia 1776 roku w rodzinie kupca Ambroise Francois Germain. Oprócz pasji do matematyki, na jej życie duży wpływ miały burze i przeciwności Wielkiego rewolucja Francuska. W tym samym roku, w którym odkryła swoją miłość do liczb, ludzie szturmem zdobyli Bastylię, a gdy ona studiowała rachunek różniczkowy, padł cień panowania terroru. Chociaż ojciec Sophie był dość bogaty człowiek Germainowie nie należeli do arystokracji.

Dziewczęta znajdujące się na tym samym szczeblu drabiny społecznej co Sophie nie były szczególnie zachęcane do studiowania matematyki, ale oczekiwano od nich wystarczającej wiedzy na ten temat, aby móc prowadzić pogawędkę, jeśli dotyczy ona jakiegokolwiek zagadnienia matematycznego. W tym celu napisano cykl podręczników zapoznających ich z najnowszymi osiągnięciami matematyki i nauk przyrodniczych. I tak Francesco Algarotti napisał podręcznik „Filozofia sir Izaaka Newtona wyjaśniona dla dobra kobiet”. Ponieważ Algarotti był przekonany, że kobiety mogą interesować się jedynie powieściami, starał się przedstawić odkrycia Newtona w formie dialogu markizy flirtującej ze swoim rozmówcą. Przykładowo rozmówczyni objaśnia markizowi prawo powszechnego ciążenia, w odpowiedzi markiza wyraża własną interpretację tego podstawowego prawa fizyki: „Nie mogę oprzeć się wrażeniu, że... ta sama zależność, odwrotna proporcjonalność do kwadratu z odległości... obserwuje się w miłości. Na przykład, jeśli kochankowie nie widzą się przez osiem dni, miłość staje się sześćdziesiąt cztery razy słabsza niż w dniu rozstania”.

Nic dziwnego, że zainteresowanie nauką Sophie Germain nie zrodziło się pod wpływem książek tak walecznego gatunku. Wydarzenie, które odmieniło całe jej życie, miało miejsce w dniu, gdy przeglądając książki w bibliotece ojca, przypadkowo natknęła się na „Historię matematyki” Jeana Etienne’a Montucla. Jej uwagę przykuł rozdział, w którym Montucla opowiada o życiu Archimedesa. Lista odkryć Archimedesa przedstawiona przez Montucla niewątpliwie wzbudziła zainteresowanie, ale wyobraźnię Zofii szczególnie poruszył epizod, w którym omawiano śmierć Archimedesa.

Według legendy Archimedes całe życie spędził w Syrakuzach, gdzie w stosunkowo spokojnym otoczeniu studiował matematykę. Kiedy jednak miał już grubo ponad siedemdziesiątkę, spokój został zakłócony przez najazd armii rzymskiej. Według legendy to właśnie podczas tego najazdu Archimedes pogrążył się głęboko w kontemplacji figura geometryczna wyryty w piasku nie usłyszał skierowanego do niego pytania rzymskiego żołnierza i przebity włócznią zmarł.

Germaine argumentował, że jeśli problem geometryczny może kogoś tak przytłoczyć, że doprowadzi do jego śmierci, wtedy matematyka musi być najbardziej niesamowitym przedmiotem na świecie. Sophie natychmiast zaczęła samodzielnie studiować podstawy teorii liczb i rachunku różniczkowego i wkrótce nie spała do późna, czytając dzieła Eulera i Newtona. Nagłe zainteresowanie tak „niekobiecym” przedmiotem, jak matematyka, zaniepokoiło rodziców Sophie. Przyjaciel rodziny, hrabia Guglielmo Libri-Carucci dalla Sommaya, powiedział, że ojciec Sophie zabrał jej świece, ubrania i piecyk, który ogrzewał jej pokój, aby uniemożliwić jej naukę matematyki. Kilka lat później w Wielkiej Brytanii ojciec młodej matematyk Mary Somerville również zabrał świece swojej córce, oświadczając: „To musi się skończyć, jeśli nie chcemy oglądać Marii w kaftanie bezpieczeństwa”.

Ale w odpowiedzi Sophie Germaine założyła tajny magazyn świec i chroniła się przed zimnem, owijając się w prześcieradła. Według Libri-Carucci zimowe noce były tak mroźne, że atrament zamarzał w kałamarzu, ale Sophie mimo wszystko kontynuowała naukę matematyki. Niektórzy, którzy znali ją w młodości, twierdzili, że była nieśmiała i niezdarna, ale była zdeterminowana, a w końcu rodzice ustąpili i dali Sophie błogosławieństwo na studiowanie matematyki. Germaine nigdy nie wyszła za mąż, a badania Sophie przez całą jej karierę finansował jej ojciec. Długie lata Germaine swoje badania prowadziła zupełnie sama, gdyż w rodzinie nie było matematyków, którzy mogliby ją wprowadzić w najnowsze idee, a nauczyciele Sophie nie traktowali jej poważnie.

Germaine nabrała coraz większej pewności w swoje umiejętności i przeszła od rozwiązywania problemów na zajęciach do zgłębiania wcześniej niezbadanych obszarów matematyki. Ale najważniejsze dla naszej historii jest to, że Sophie zainteresowała się teorią liczb i oczywiście nie mogła nie usłyszeć o Wielkim Twierdzeniu Fermata. Germaine pracowała nad swoim dowodem przez kilka lat i w końcu osiągnęła etap, w którym myślała, że ​​może przejść dalej pożądany cel. Uzyskane wyniki zaistniała pilnie, aby omówić uzyskane wyniki z kolegą, specjalistą w dziedzinie teorii liczb, i Germaine postanowiła zwrócić się do największego specjalisty w dziedzinie teorii liczb – niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa.

Gauss jest powszechnie uznawany za najwybitniejszego matematyka, jaki kiedykolwiek żył. TEN. Bell nazwał Fermata „księciem amatorów”, a Gaussa „księciem matematyków”. Germaine po raz pierwszy naprawdę doceniła talent Gaussa, gdy zetknęła się z jego arcydziełem „Dochodzenia arytmetyczne” – najważniejszym i niezwykle obszernym traktatem napisanym od czasów Elementów Euklidesa. Prace Gaussa wywarły wpływ na wszystkie dziedziny matematyki, ale, co dziwne, nigdy nie opublikował on niczego na temat Wielkiego Twierdzenia Fermata. W jednym liście Gauss wyraził nawet pogardę dla problemu Fermata. Przyjaciel Gaussa, niemiecki astronom Heinrich Olbers, napisał do niego list, w którym stanowczo doradzał mu wzięcie udziału w konkursie o Nagrodę Akademii Paryskiej za rozwiązanie problemu Fermata: „Wydaje mi się, drogi Gaussa, że ​​powinieneś się tym zainteresować. ” Dwa tygodnie później Gauss odpowiedział: „Jestem bardzo zobowiązany usłyszeć wieści dotyczące Nagrody Paryskiej. Przyznaję jednak, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jako odrębne twierdzenie mało mnie interesuje, gdyż mógłbym podać wiele takich twierdzeń, których nie da się ani udowodnić, ani obalić. Gauss miał prawo do swojej opinii, jednak Fermat wyraźnie stwierdził, że dowód istnieje, a nawet kolejne nieudane próby znalezienia dowodu dały początek nowym i oryginalne metody, takie jak dowód metodą nieskończonego spadku i wykorzystaniem liczb urojonych. Być może Gauss również próbował znaleźć dowód i mu się to nie udało, a jego odpowiedź udzielona Olbersowi jest jedynie odmianą stwierdzenia „winogrona są zielone”. Jednak sukces osiągnięty przez Germaine, o którym Gauss dowiedział się z jej listów, wywarł na nim tak silne wrażenie, że Gauss chwilowo zapomniał o swojej pogardzie dla Ostatniego Twierdzenia Fermata.

Siedemdziesiąt pięć lat wcześniej Euler opublikował swój dowód N=3 i od tego czasu wszyscy matematycy na próżno próbowali udowodnić Ostatnie Twierdzenie Fermata w innych szczególnych przypadkach. Germaine wybrała jednak nową strategię i w listach do Gaussa nakreśliła tzw ogólne podejście do problemu Fermata. Innymi słowy, jej bezpośrednim celem nie było udowodnienie pojedynczego przypadku – Germaine postanowiła powiedzieć coś o wielu konkretnych przypadkach naraz. W listach do Gaussa stwierdziła ogólny postęp obliczenia skupiały się na liczbach pierwszych P typ prywatny: taki, że liczby wynoszą 2 P+1 - również proste. Zestawiona przez Germaine'a lista takich liczb pierwszych obejmuje liczbę 5, gdyż 11 = 2,5 + 1 jest również liczbą pierwszą, ale liczba 13 nie jest w niej zawarta, ponieważ 27 = 2,13 + 1 nie jest liczbą pierwszą.

W szczególności Germaine, stosując eleganckie rozumowanie, udowodnił, że jeśli równanie x rz + y n = z n ma rozwiązania dla takich prostych Nże 2 N W takim razie +1 jest także liczbą pierwszą x, y, Lub z Akcje N.

W 1825 roku metodę Sophie Germain z powodzeniem zastosowali Gustav Lejeune Dirichlet i Adrien Marie Legendre. Tych naukowców dzieliło całe pokolenie. Legendre był siedemdziesięcioletnim mężczyzną, który przeżył burze polityczne Wielkiej Rewolucji Francuskiej. Za odmowę poparcia kandydata rządu Instytut Narodowy został pozbawiony emerytury i zanim przyczynił się do dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata, Legendre był w ogromnej potrzebie. Dirichlet był młodym i ambitnym teoretykiem liczb, miał zaledwie dwadzieścia lat. Zarówno Legendre, jak i Dirichlet niezależnie od siebie zdołali udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata dla N=5 i obydwoje oparli swoje dowody na rozumowaniu Sophie Germain i to jej zawdzięczali swój sukces.

Kolejnego przełomu dokonał czternaście lat później Francuz Gabriel Lamé. Dokonał kilku genialnych ulepszeń w metodzie Germaina i udowodnił Ostatnie Twierdzenie Fermata z wartością pierwszą N=7. Germaine pokazał teoretykom liczb, jak wyeliminować całą grupę przypadków o wartościach pierwszych N, a teraz, dzięki połączonym wysiłkom jej kolegów, kontynuowali udowadnianie twierdzenia dla jednej prostej wartości N po kolejnym. Praca Germaine nad Ostatnim Twierdzeniem Fermata była jej największym osiągnięciem w matematyce, choć nie została od razu doceniona. Kiedy Germaine po raz pierwszy napisała do Gaussa, nie miała jeszcze trzydziestu lat i choć jej nazwisko stało się sławne w Paryżu, obawiała się, że wielki matematyk nie potraktuje poważnie listu od kobiety. Aby się chronić, Germaine ponownie schroniła się pod pseudonimem, podpisując list nazwiskiem Monsieur Leblanc.

Sophie nie kryła szacunku dla Gaussa. Oto zdanie z jej listu: „Niestety głębia mojego intelektu jest mniejsza od nienasyconego apetytu i zdaję sobie sprawę z szaleństwa mojego postępowania, gdy odważę się niepokoić genialnego człowieka, bez mający najmniejsze prawo do jego uwagi, z wyjątkiem podziwu, który nieuchronnie ogarnia wszystkich jego czytelników.” Gauss, nieświadomy tego, kim naprawdę jest jego korespondent, próbował uspokoić „Monsieur Leblanc”. W odpowiedzi Gaussa napisano: „Jestem zachwycony, że arytmetyka znalazła coś takiego zdolny przyjaciel».

Wyniki uzyskane przez Germaine’a mogłyby na zawsze pozostać błędnie przypisywane panu Leblancowi, gdyby nie cesarzowi Napoleonowi. W 1806 roku Napoleon zdobył Prusy, a armia francuska szturmowała jedną stolicę Niemiec po drugiej. Germaine zaczęła się obawiać, że jej drugi wielki bohater, Gauss, może podzielić los Archimedesa. Sophie napisała do swojego przyjaciela, generała Josepha Marie Pernety’ego, który dowodził nacierającymi oddziałami. W liście prosiła generała o zapewnienie Gaussa bezpieczeństwa. Generał podjął odpowiednie kroki, zaopiekował się niemieckim matematykiem i wyjaśnił mu, że zawdzięcza życie Mademoiselle Germaine. Gauss wyraził swoją wdzięczność, ale był zaskoczony, ponieważ nigdy nie słyszał o Sophie Germaine.

Gra została przegrana. W kolejnym liście do Gaussa Germaine niechętnie ją ujawniła prawdziwe imię. Wcale nie zły za oszustwo, Gauss odpowiedział jej z zachwytem: „Jak mam opisać zachwyt i zdumienie, jakie mnie ogarnęły na widok tego, jak mój wielce szanowny korespondent, pan Leblanc, przeszedł metamorfozę, zamieniając się w cudowną osobę, ustawiając tak genialny przykład, że aż trudno w to uwierzyć. Upodobanie do nauk abstrakcyjnych w ogóle, a przede wszystkim do tajemnic liczb, jest niezwykle rzadkie i nie jest to zaskakujące: uwodzicielski urok tej subtelna nauka otwarta tylko dla tych, którzy mają odwagę zagłębić się w nią. Kiedy jednak przedstawiciel tej płci, który zgodnie z naszymi zwyczajami i przesądami musi napotykać nieskończenie większe trudności niż mężczyźni w zapoznawaniu się z drażliwymi dociekaniami, zdoła pomyślnie pokonać wszystkie te przeszkody i przeniknąć do ich najciemniejszych zakątków, wówczas niewątpliwie posiada szlachetną odwagę, zupełnie niezwykłe talenty i najwyższy talent. Nic nie mogło mnie przekonać w tak pochlebny i niewątpliwy sposób, że atrakcyjne aspekty tej nauki, która wzbogaciła moje życie tak wieloma radościami, nie są wytworem fantazji, jak oddanie, z jakim ją zaszczyciłeś.

Korespondencja z Carlem Gaussem, która stała się źródłem inspiracji dla twórczości Sophie Germaine, została nagle zakończona w 1808 roku. Gauss został mianowany profesorem astronomii na Uniwersytecie w Getyndze, jego zainteresowania przesunęły się z teorii liczb na matematykę stosowaną i przestał odpowiadać na listy Germaine'a. Pozbawiona wsparcia takiego mentora Germaine straciła wiarę w swoje umiejętności i po roku porzuciła studia z czystej matematyki. Chociaż nie była w stanie posunąć się dalej w udowadnianiu Ostatniego Twierdzenia Fermata, stała się bardzo produktywna w dziedzinie fizyki - dyscyplina naukowa, w którym mogłaby ponownie osiągnąć znaczącą pozycję, gdyby nie uprzedzenia establishmentu. Najwyższym osiągnięciem Sophie Germain w fizyce było „Pamiętnik o wibracjach płytek sprężystych” - genialne dzieło pełne nowych pomysłów, które położyły podwaliny pod współczesną teorię sprężystości. Za tę pracę i pracę nad Ostatnim Twierdzeniem Fermata została odznaczona medalem Institut de France i została pierwszą kobietą, która uczęszczała na wykłady w Akademii Nauk, nie będąc żoną członka Akademii. Pod koniec życia Sophie Germaine odnowiła kontakt z Carlem Gaussem, który przekonał Uniwersytet w Getyndze do przyznania jej honorowego wyróżnienia stopień naukowy. Niestety Sophie Germaine zmarła na raka piersi, zanim uniwersytet mógł ją uhonorować tak, jak na to zasługiwała.

„Biorąc to wszystko pod uwagę, można stwierdzić, że Sophie Germain wydaje się posiadać najgłębszą inteligencję ze wszystkich kobiet, jakie kiedykolwiek wydała na świat Francja. Może się to wydawać dziwne, ale kiedy urzędnik przyszedł wystawić akt zgonu tego słynnego kolegi i pracownika najsłynniejszego członka Akademia Francuska Nauki ścisłe, w rubryce „zawód” określił ją jako „samotną kobietę bez zawodu”, a nie „matematyczkę”. Ale to nie wszystko. Podczas budowy Wieży Eiffla inżynierowie zwrócili szczególną uwagę na elastyczność zastosowanych materiałów, a na tej gigantycznej konstrukcji wpisano nazwiska siedemdziesięciu dwóch naukowców, którzy wnieśli szczególnie znaczący wkład w rozwój teorii sprężystości. Ale na próżno szukalibyśmy na tej liście nazwiska genialnej córki Francji, której badania w dużej mierze przyczyniły się do rozwoju teorii sprężystości metali – Sophie Germain. Czy została wykluczona z tej listy z tego samego powodu, dla którego Maria Agnesi nie otrzymała członkostwa Akademii Francuskiej – ponieważ była kobietą? Najwyraźniej tak właśnie było. Jeśli jednak tak jest rzeczywiście, to tym większa wstyd dla tych, którzy ponoszą odpowiedzialność za tak rażącą niewdzięczność wobec człowieka, który tak wielkie zasługi dla nauki poniósł – człowieka, który zapewnił sobie należne mu miejsce w sali sław. (AJ Mozans, 1913.)

Zapieczętowane koperty

W ślad za postępem prac Sophie Germain Francuska Akademia Nauk ustanowiła szereg nagród, w tym złoty medal i 3000 franków, dla matematyka, któremu w końcu udało się rozwikłać zagadkę Ostatniego Twierdzenia Fermata. Ten, któremu uda się udowodnić twierdzenie, otrzyma nie tylko zasłużoną sławę, ale także znaczną nagrodę materialną. Na salonach Paryża roiło się od plotek o tym, jaką strategię wybrał ten czy inny kandydat i kiedy zostaną ogłoszone wyniki konkursu. Wreszcie 1 marca 1847 roku Akademia zebrała się na najbardziej dramatycznym ze swoich posiedzeń.

Protokół spotkania szczegółowo opisuje, w jaki sposób Gabriel Lamé, który siedem lat wcześniej udowodnił Ostatnie Twierdzenie Fermata N=7, stanął na podium przed najsłynniejszymi matematykami XIX wieku i oświadczył, że jest o krok od udowodnienia Ostatniego Twierdzenia Fermata dla przypadku ogólnego. Lame przyznał, że jego dowód nie jest jeszcze kompletny, ale przedstawił zarys Ogólny zarys swojej metody i nie bez przyjemności zapowiedział, że za kilka tygodni opublikuje kompletny dowód w czasopiśmie wydawanym przez Akademię.

Publiczność zamarła z zachwytu, ale gdy tylko Lame zszedł z podium, o słowa poprosił kolejny z najlepszych paryskich matematyków, Augustin Louis Cauchy. Zwracając się do członków Akademii, Cauchy powiedział, że od dłuższego czasu pracuje nad dowodem Ostatniego Twierdzenia Fermata, opartym mniej więcej na tych samych pomysłach co Lamé, a wkrótce zamierza także opublikować kompletny dowód.

Zarówno Cauchy, jak i Lamé uznali, że czas jest najważniejszy. Pierwsza osoba, która przedstawi kompletny dowód, zdobędzie najbardziej prestiżową i cenną nagrodę matematyczną. Chociaż ani Lamé, ani Cauchy nie mieli pełnych dowodów, obaj rywale chętnie poparli swoje twierdzenia i trzy tygodnie później obaj przesłali Akademii zapieczętowane koperty. Taki był ówczesny zwyczaj. Pozwoliło to matematykom potwierdzić swój priorytet bez ujawniania szczegółów swojej pracy. Jeżeli później powstał spór co do oryginalności pomysłów, w zapieczętowanej kopercie znajdowały się rozstrzygające dowody niezbędne do ustalenia pierwszeństwa.

W kwietniu, kiedy Cauchy i Lamé w końcu opublikowali w „Proceedings of the Academy” pewne szczegóły swoich zeznań, napięcie wzrosło. Cała społeczność matematyczna desperacko chciała zobaczyć pełny dowód, a wielu matematyków potajemnie miało nadzieję, że konkurs wygra Lamé, a nie Cauchy. Według wszelkich relacji Cauchy był zarozumiałym stworzeniem i fanatykiem religijnym. Co więcej, był bardzo niepopularny wśród swoich kolegów. W Akademii tolerowano go jedynie ze względu na błyskotliwy umysł.

Wreszcie 24 maja wydano oświadczenie, które położyło kres wszelkim spekulacjom. To nie Cauchy ani Lamé przemawiali do Akademii, ale Joseph Liouville. Zszokował szanowną publiczność, czytając list niemieckiego matematyka Ernsta Kummera. Kummer był uznanym znawcą teorii liczb, jednak jego żarliwy patriotyzm, podsycany szczerą nienawiścią do Napoleona, przez wiele lat nie pozwalał mu poświęcić się prawdziwemu powołaniu. Kiedy Kummer był jeszcze dzieckiem, armia francuska najechała jego rodzinne miasto Sorau, niosąc ze sobą epidemię tyfusu plamistego. Ojciec Kummera był lekarzem miejskim i kilka tygodni później choroba go zabrała. Zszokowany tym, co się wydarzyło, Kummer poprzysiągł zrobić wszystko, co w jego mocy, aby uwolnić swoją ojczyznę od nowej inwazji wroga – a po ukończeniu studiów skierował swój intelekt na rozwiązanie problemu konstruowania trajektorii kul armatnich. Później wykładał prawa balistyczne w Berlińskiej Szkole Wojskowej.

Równolegle z Kariera wojskowa Kummer aktywnie angażował się w badania z zakresu czystej matematyki i miał pełną świadomość tego, co działo się w Akademii Francuskiej. Kummer uważnie przeczytał publikacje w Proceedings of the Academy i przeanalizował kilka szczegółów, które Cauchy i Lama ryzykowali ujawnieniem. Stało się dla niego jasne, że obaj Francuzi zmierzają w ten sam logiczny ślepy zaułek – i swoje przemyślenia przedstawił w liście do Liouville’a.

Według Kummera głównym problemem było to, że dowody Cauchy'ego i Lamé opierały się na wykorzystaniu właściwości liczb całkowitych znanej jako unikalna faktoryzacja. Ta właściwość oznacza, że ​​jest tylko jedna możliwa kombinacja liczby pierwsze, których iloczyn daje daną liczbę całkowitą. Na przykład jedyną kombinacją liczb pierwszych, których iloczyn jest równy 18, jest:

18 = 2,3,3.

Podobnie liczby 35, 180 i 106260 można jednoznacznie rozłożyć na liczby pierwsze, a ich rozkłady mają postać

35 = 5 7, 180 = 2 2 3 3 5, 106260 = 2 2 3 5 7 11 23.

Wyjątkowość faktoryzacji odkryto w IV wieku p.n.e. mi. Euklidesa, który w IX Księdze swoich Elementów udowodnił, że jest to prawdą dla wszystkich liczb naturalnych. Niezbędna jest wyjątkowość faktoryzacji pierwszej dla wszystkich liczb naturalnych ważny element dowody wielu różnych twierdzeń i jest obecnie nazywane podstawowym twierdzeniem arytmetyki.

Na pierwszy rzut oka nie powinno być powodu, dla którego Cauchy i Lamé nie mogliby wykorzystać w swoim rozumowaniu wyjątkowości faktoryzacji, tak jak zrobiło to setki matematyków przed nimi. Jednak oba dowody przedstawione Akademii wykorzystywały liczby urojone. Kummer zwrócił uwagę Liouville'a, że ​​chociaż twierdzenie o unikalnym faktoryzacji obowiązuje dla liczb całkowitych, niekoniecznie jest prawdziwe, jeśli używane są liczby urojone. Według Kummera tak Fatalna pomyłka.

Na przykład, jeśli ograniczymy się do liczb całkowitych, wówczas liczba 12 podlega unikalnemu rozkładowi na 2,2,3. Jeśli jednak w dowodzie dopuścimy liczby urojone, liczbę 12 można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:

12 = (1 + w.–11)·(1 + w.–11).

Tutaj 1 + v–11 - Liczba zespolona, który jest kombinacją liczby rzeczywistej i urojonej. Chociaż mnożenie liczb zespolonych odbywa się przez więcej skomplikowane zasady Zamiast mnożyć liczby rzeczywiste, istnienie liczb zespolonych stwarza dodatkowe sposoby rozkładu na czynniki liczby 12. Oto inny sposób rozłożenia liczby 12:

12 = (2 + w–8)·(2 + w–8).

Dlatego przy użyciu liczb urojonych w dowodzie mówimy o nie o jednoznaczność rozkładu, ale o wybór jednego z wariantów faktoryzacji.

Zatem utrata jednoznaczności faktoryzacji spowodowała poważne uszkodzenia dowodów Cauchy'ego i Lamé, ale nie zniszczyła ich całkowicie. Dowód miał wykazać nieistnienie rozwiązań całkowitych równania x rz + y n = z n, Gdzie N- dowolna liczba całkowita większa od 2. Jak już wspomnieliśmy w tym rozdziale, w rzeczywistości Ostatnie Twierdzenie Fermata wystarczy udowodnić jedynie dla proste wartości N. Kummer pokazał, że stosując dodatkowe triki można przywrócić jednoznaczność faktoryzacji dla pewnych wartości N. Na przykład problem jednoznaczności rozkładu można obejść dla wszystkich liczb pierwszych nieprzekraczających N= 31 (łącznie z samą wartością N= 31). Ale kiedy N= 37 pozbycie się trudności nie jest takie proste. Wśród innych liczb mniejszych niż 100 szczególnie trudne jest udowodnienie Ostatniego Twierdzenia Fermata N= 59 i N= 67. Te tzw. nieregularne liczby pierwsze, rozproszone wśród pozostałych liczb, stały się przeszkodą na drodze do pełnego dowodu.

Kummer zauważył, że nie są znane żadne metody matematyczne, które pozwoliłyby za jednym zamachem uwzględnić wszystkie nieregularne liczby pierwsze. Wierzył jednak, że starannie dopasowując istniejące metody do każdej nieregularnej liczby pierwszej z osobna, będzie w stanie uporać się z nimi „jedna po drugiej”. Opracowanie takich niestandardowych metod byłoby powolne i niezwykle trudne, a co gorsza, liczba nieregularnych liczb pierwszych byłaby nieograniczona. Rozpatrywanie nieregularnych liczb pierwszych przez całą światową społeczność matematyczną trwało aż do końca stuleci.

List Kummera wywarł na Lame’u oszałamiające wrażenie. Przeocz unikalne założenie faktoryzacji! W najlepszym wypadku można to nazwać nadmiernym optymizmem, w najgorszym – niewybaczalną głupotą. Lame zdał sobie sprawę, że gdyby nie starał się zachować szczegółów swojej pracy w tajemnicy, byłby w stanie wykryć tę lukę znacznie wcześniej. W liście do swojego kolegi Dirichleta w Berlinie przyznał: „Gdybyś tylko był w Paryżu albo ja w Berlinie, to wszystko nigdy by się nie wydarzyło”. Jeśli Lamé poczuł się upokorzony, Cauchy nie chciał przyznać się do porażki. Jego zdaniem, w porównaniu z dowodem Lamé, jego własny dowód w mniejszym stopniu opierał się na jednoznaczności faktoryzacji i dopóki analiza Kummera nie zostanie w pełni zweryfikowana, istnieje możliwość, że gdzieś do rozumowania niemieckiego matematyka wkradł się błąd. Przez kilka tygodni Cauchy publikował artykuł za artykułem na temat dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata, ale pod koniec lata on także zamilkł.

Kummer wykazał, że kompletny dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata przekracza możliwości istniejących podejść matematycznych. Był to genialny przykład logiki, a jednocześnie potworny cios dla całego pokolenia matematyków, którzy liczyli na to, że uda im się rozwiązać najtrudniejszy problem matematyczny świata.

Podsumowanie podsumował Cauchy, który w 1857 r. w przedstawionym Akademii raporcie końcowym w sprawie nagrody przyznanej za dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata napisał: „Sprawozdanie z konkursu o nagrodę w naukach matematycznych. Konkurs zaplanowano na rok 1853, a następnie przedłużono do roku 1856. Sekretarzowi przedstawiono jedenaście wspomnień. W żadnym z nich postawione pytanie nie zostało rozwiązane. Tak więc, mimo że było ono wielokrotnie zadawane, pozostaje pytanie, gdzie pan Kummer je zostawił. Jednakże nauki matematyczne zostały nagrodzone pracą włożoną przez geometrów w próbę rozwiązania tej kwestii, zwłaszcza przez pana Kummera, a członkowie Komisji uważają, że Akademia podjęłaby wystarczającą i pożyteczną decyzję, gdyby wycofawszy się na pytanie konkursowe przyznało panu Kummerowi medal za doskonałe badania liczb zespolonych składających się z pierwiastków z jedności i liczb całkowitych.”

* * *

Przez ponad dwa stulecia wszelkie próby ponownego odkrycia dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata kończyły się niepowodzeniem. W młodzieńcze lata Andrew Wiles studiował dzieła Eulera, Germaine'a, Cauchy'ego, Lamé i wreszcie Kummera. Wiles miał nadzieję, że będzie mógł uczyć się na błędach swoich wielkich poprzedników, ale zanim został studentem Uniwersytetu Oksfordzkiego, na jego drodze stanął ten sam kamienny mur, który stanął mu na drodze Kummer.

Niektórzy współcześni Wilesowi zaczęli podejrzewać, że problem Fermata może być nierozwiązywalny. Możliwe, że Fermat się mylił, więc powodem, dla którego nikt nie był w stanie zrekonstruować dowodu Fermata, jest po prostu to, że taki dowód nigdy nie istniał. Wiles inspirował się faktem, że w przeszłości, po uporczywych wysiłkach przez stulecia, nadawał pewne znaczenia N W końcu odkryto dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata. W niektórych z tych przypadków udane pomysły, które rozwiązały problem, nie opierały się na nowych osiągnięciach w matematyce; wręcz przeciwnie, był to dowód, który można było odkryć dawno temu.

Jednym z przykładów problemu, który przez dziesięciolecia uparcie opierał się rozwiązaniu, jest hipoteza punktowa. Dotyczy kilku punktów, z których każdy jest połączony z innymi punktami liniami prostymi, jak pokazano na ryc. 13. Hipoteza głosi, że nie da się narysować takiego diagramu, aby na każdej prostej leżały co najmniej trzy punkty (nie uwzględniamy diagramu, w którym wszystkie punkty leżą na tej samej prostej). Eksperymentując z kilkoma diagramami, możemy sprawdzić, czy hipoteza punktowa wydaje się poprawna. Na ryc. 13 A pięć punktów łączy sześć linii prostych. Na czterech z tych prostych nie ma trzech punktów, stąd jasne jest, że taki układ punktów nie spełnia warunku zadania, zgodnie z którym każda prosta ma trzy punkty.

A) B)

Ryż. 13. Na tych diagramach każdy punkt jest połączony z pozostałymi punktami liniami prostymi. Czy można zbudować diagram, w którym każda prosta przechodzi przez co najmniej trzy punkty?

Dodając jeden punkt i jedną przechodzącą przez niego linię, zmniejszyliśmy liczbę prostych niezawierających trzech punktów do trzech. Jednak dalsza redukcja diagramu do warunków hipotezy (takie przegrupowanie diagramu, w wyniku którego na każdej prostej powstałyby trzy punkty) jest najwyraźniej niemożliwa. Nie oznacza to oczywiście, że taki diagram nie istnieje.

Pokolenia matematyków próbowały znaleźć dowód na pozornie prostą hipotezę dotyczącą punktów – bezskutecznie. Hipoteza ta jest tym bardziej irytująca, że ​​kiedy w końcu znaleziono rozwiązanie, okazało się, że wymaga jedynie minimalnej znajomości matematyki i jednego niezwykłego zwrotu w rozumowaniu. Postęp dowodu przedstawiono w Załączniku 6.

Jest całkiem możliwe, że matematycy dysponowali już wszystkimi metodami potrzebnymi do udowodnienia Ostatniego Twierdzenia Fermata, a jedynym brakującym składnikiem był jakiś genialny trik. Wiles nie zamierzał się poddać: jego dziecięce marzenie o udowodnieniu Ostatniego Twierdzenia Fermata przerodziło się w głęboką i poważną pasję. Dowiedziawszy się wszystkiego, co trzeba było wiedzieć o matematyce XIX wieku, Wiles zdecydował się przyjąć metody XX-wieczne.

Uwagi:

Przypomniałem sobie tutaj zdanie Titchmarsha: „Niedawno spotkałem człowieka, który powiedział mi, że nawet nie wierzy w istnienie minus jeden, ponieważ implikuje to istnienie pierwiastek kwadratowy z tego.” :) - E.G.A.

Dam ci ilustrację przedstawiającą nowego klienta wprowadzającego się do hotelu Gilberta. Pochodzi z książki „Proofs from THE BOOK”, opublikowanej przez wydawnictwo Springer w 1998 r. i ponownie opublikowanej w 2001 r. Autorzy: Martin Aigner i Gunter M. Ziegler. Mały cytat z przedmowy autorów do tej książki: „Paul Erdos lubił mówić o Księdze, w której Bóg utrzymuje Perfekcyjny dowody twierdzeń matematycznych, kierując się stwierdzeniem G. H. Hardy’ego, że nie ma stałego miejsca na brzydką matematykę. Erdos powiedział także, że nie musisz wierzyć w Boga, ale jako matematyk powinieneś wierzyć w Księgę. Nie mamy definicji ani charakterystyki tego, co stanowi dowód z Księgi: oferujemy tutaj jedynie wybrane przez nas przykłady, mając nadzieję, że nasi czytelnicy podzielą nasz entuzjazm wobec genialnych pomysłów, mądrych spostrzeżeń i wspaniałych obserwacji. Mamy także nadzieję, że naszym czytelnikom będzie się to podobało pomimo niedoskonałości naszej ekspozycji. Na wybór w dużym stopniu wpływa sam Paul Erdos.” Ta ilustracja otwiera rozdział „Zbiory, funkcje i hipoteza kontinuum.” – E.G.A.

Hmm... Czytałem gdzieś, że zapłacił życiem, krzycząc: „Uważaj! Nie depcz po moich rysunkach!”, ale rzymski żołnierz, do którego był skierowany ten okrzyk, nie zwrócił uwagi na fakt, że przed nim stał nieuzbrojony starzec. :(A we wspomnianej wcześniej książce „Dowody z KSIĄŻKI” rozdział „Teoria liczb” poprzedza rysunek, na którym nie ma włóczni. Najwyraźniej artysta również nie znał szczegółów śmierci Archimedesa. - E.G.A.

Wielka sprawa

Kiedyś w noworocznym biuletynie o tym, jak wznosić toasty, mimochodem wspomniałem, że pod koniec XX wieku miało miejsce jedno wielkie wydarzenie, którego wielu nie zauważyło – tzw. Ostatnie twierdzenie Fermata. W tej sprawie wśród otrzymanych listów znalazłam dwie odpowiedzi od dziewcząt (jedną z nich, o ile pamiętam, była uczennica dziewiątej klasy Vika z Zelenogradu), które były tym faktem zaskoczone.

I byłem zaskoczony, jak żywo dziewczyny interesowały się problemami współczesnej matematyki. Dlatego myślę, że nie tylko dziewczęta, ale także chłopcy w każdym wieku – od licealistów po emerytów, będą również zainteresowani poznaniem historii Wielkiego Twierdzenia.

Dowód twierdzenia Fermata jest wielkim wydarzeniem. I ponieważ Nie ma zwyczaju żartować ze słowem „świetny”, ale wydaje mi się, że każdy szanujący się mówca (a wszyscy nim jesteśmy, kiedy mówimy) jest po prostu zobowiązany znać historię twierdzenia.

Jeśli tak się stanie, że nie kochasz matematyki tak bardzo jak ja, przejrzyj niektóre szczegóły. Rozumiejąc, że nie wszyscy czytelnicy naszego biuletynu są zainteresowani wędrówką po matematycznej dżungli, starałem się nie podawać żadnych wzorów (poza równaniem samego twierdzenia Fermata) i maksymalnie upraszczać ujęcie niektórych konkretnych zagadnień.

Jak Fermat narobił bałaganu

Francuski prawnik i pracujący na pół etatu wielki matematyk XVII wieku Pierre Fermat (1601-1665) wysunął jedno interesujące stwierdzenie z dziedziny teorii liczb, które później stało się znane jako Wielkie (lub Wielkie) Twierdzenie Fermata. Jest to jedno z najbardziej znanych i fenomenalnych twierdzeń matematycznych. Prawdopodobnie podekscytowanie wokół niej nie byłoby tak silne, gdyby w księdze Diofantosa z Aleksandrii (III wiek) „Arytmetyka”, którą Fermat często studiował, robiąc notatki na szerokich marginesach i którą jego syn Samuel życzliwie zachował dla potomności, wielki matematyk nie odkrył w przybliżeniu następującej notatki:

„Mam bardzo zaskakujące dowody, ale są zbyt duże, aby zmieścić się na marginesach”.

To właśnie to nagranie było powodem późniejszego kolosalnego zamieszania wokół twierdzenia.

Tak więc słynny naukowiec oświadczył, że udowodnił swoje twierdzenie. Zadajmy sobie pytanie: czy naprawdę to udowodnił, czy po prostu skłamał? A może istnieją inne wersje wyjaśniające pojawienie się na marginesie tej notatki, która nie pozwoliła spać spokojnie wielu matematykom kolejnych pokoleń?

Historia Wielkiego Twierdzenia jest równie fascynująca jak podróż w czasie. W 1636 roku Fermat stwierdził, że równanie w postaci Xn+Yn=Zn nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych z wykładnikiem n>2. W rzeczywistości jest to Ostatnie Twierdzenie Fermata. W tej pozornie prostej matematycznej formule Wszechświat skrywał niesamowitą złożoność.

Trochę to dziwne, że z jakiegoś powodu twierdzenie to pojawiło się późno, gdyż sytuacja napięła się już od dłuższego czasu, gdyż jego szczególny przypadek z n=2 - kolejny znany wzór matematyczny- twierdzenie Pitagorasa powstało dwadzieścia dwa wieki wcześniej. W przeciwieństwie do twierdzenia Fermata, twierdzenie Pitagorasa ma nieskończony zbiór rozwiązania całkowite na przykład takie Trójkąty Pitagorasa: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Syndrom Wielkiego Twierdzenia

Kto nie próbował udowodnić twierdzenia Fermata? Każdy świeżo upieczony student uważał za swój obowiązek zastosowanie się do Wielkiego Twierdzenia, lecz nikt nie był w stanie tego udowodnić. Na początku to nie działało przez sto lat. Potem kolejna setka. Wśród matematyków zaczął narastać syndrom masy: „Jak to możliwe? Fermat to udowodnił, ale co, ja nie mogę?” i część z nich zwariowała na tej podstawie w pełnym tego słowa znaczeniu.

Nieważne, ile razy twierdzenie było testowane, zawsze okazywało się prawdziwe. Znałem zapalonego programistę, który miał obsesję na punkcie obalenia Wielkiego Twierdzenia, próbując znaleźć przynajmniej jedno rozwiązanie, przeszukując liczby całkowite przy użyciu szybkiego komputera (wówczas częściej nazywanego komputerem mainframe). Wierzył w powodzenie swojego przedsięwzięcia i uwielbiał powtarzać: „Jeszcze trochę, a wybuchnie sensacja!” Myślę, że w różne miejsca Nasza planeta miała znaczną liczbę tego typu odważnych poszukiwaczy. Oczywiście nie znalazł jednego rozwiązania. I żaden komputer, nawet z bajeczną szybkością, nie byłby w stanie zweryfikować tego twierdzenia, ponieważ wszystkie zmienne tego równania (w tym wykładniki) mogą rosnąć do nieskończoności.

Najbardziej wirtuoz i płodny matematyk XVIII wieku, Leonard Euler, którego archiwum akt zostało przeszukane przez ludzkość od prawie całe stulecie, udowodnił twierdzenie Fermata dla potęg 3 i 4 (a raczej powtórzył zaginione dowody samego Pierre'a Fermata); jego zwolennik w teorii liczb, Legendre – dla potęg 5; Dirichlet - dla stopnia 7. Ale ogólnie twierdzenie pozostało niepotwierdzone.

Na początku XX wieku (1907) zamożny niemiecki amator matematyki Wolfskehl zapisał sto tysięcy marek temu, kto przedstawi kompletny dowód twierdzenia Fermata. Zaczęło się podekscytowanie. Wydziały matematyki wypełnione były tysiącami dowodów, ale wszystkie, jak można się domyślić, zawierały błędy. Mówią, że na niektórych uniwersytetach w Niemczech, które otrzymały dużą liczbę „dowodów” twierdzenia Fermata, przygotowano formularze o mniej więcej następującej treści:

Droga __________________________!

W dowodzie twierdzenia Fermata na ____ stronie w ____ wierszu na górze
we wzorze wykryto następujący błąd:__________________________:,

Które zostały wysłane do pechowych kandydatów do nagrody.

W tym czasie wśród matematyków pojawił się na wpół pogardliwy przydomek – rolnik. Tak nazywano każdego pewnego siebie nowicjusza, któremu brakowało wiedzy, ale miał więcej niż wystarczające ambicje, aby pospiesznie spróbować swoich sił w udowodnieniu Wielkiego Twierdzenia, a następnie, niezauważalnie własne błędy klepnąc się dumnie w pierś, głośno oświadcza: „Ja pierwszy udowodniłem twierdzenie Fermata!” Każdy rolnik, nawet jeśli był dziesięciotysięczny, uważał się za pierwszego – to było zabawne. Prosty wygląd Wielkie Twierdzenie tak bardzo przypominało Fermistom łatwą zdobycz, że wcale nie wstydzili się, że nawet Euler i Gauss nie byli w stanie sobie z nią poradzić.

(Fermatyści, co dziwne, istnieją do dziś. Chociaż jeden z nich nie sądził, że udowodnił twierdzenie, podobnie jak klasyczny fermatysta, do niedawna podejmował próby - nie chciał mi uwierzyć, gdy mu powiedziałem, że twierdzenie Fermata zostało już udowodnione udowodniony).

Być może najpotężniejsi matematycy w zaciszu swoich biur także próbowali ostrożnie podejść do tej niemożliwej sztangi, ale nie mówili tego na głos, aby nie zostać napiętnowani jako rolnicy i tym samym nie naruszyć ich wysokiego autorytetu.

Do tego czasu pojawił się dowód twierdzenia o wykładniku n

PODSTAWOWE TWIERDZENIE ALGEBRA Twierdzenie, że każdy wielomian stopnia n (n>0): f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, gdzie a0 / 0, nad ciałem liczb zespolonych ma przynajmniej jeden pierwiastek z1 , więc f(z1)=0. Z O.T.A. a z twierdzenia Bezouta wynika, że ​​wielomian f(z) ma dokładnie n pierwiastków w dziedzinie liczb zespolonych (uwzględniając ich krotności). Rzeczywiście, zgodnie z twierdzeniem Bezouta, f(z) jest podzielne przez z – z1 (bez reszty), tj. f(z) = f1(z)(z – z1), a stąd wielomian f1(z) stopnia (n – 1) według O.T.A. ma również root z2 itp. Ostatecznie dojdziemy do wniosku, że f(z) ma dokładnie n pierwiastków: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). OTA tak zwane, ponieważ główna treść algebry w XVII-XVIII wieku. sprowadzało się do rozwiązywania równań.

OTA po raz pierwszy udowodniono w XVII w. przez francuskiego matematyka Girarda, a rygorystyczny dowód przedstawił w 1799 r. niemiecki matematyk Gauss. TWIERDZENIE BEZOUTA Twierdzenie o reszcie z dzielenia dowolnego wielomianu przez dwumian liniowy ma następującą formułę: reszta z dzielenia dowolnego wielomianu f(x) przez dwumian x – a wynosi f(a ). T.B. nazwana na cześć XVIII-wiecznego francuskiego matematyka, który jako pierwszy ją sformułował i udowodnił. Bezu. Od T.B. wynikają z tego następujące konsekwencje: 1) jeśli wielomian f(x) jest podzielny (bez reszty) przez x – a, to liczba a jest pierwiastkiem z f(x); 2) jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu f(x), to f(x) jest podzielna (bez reszty) przez dwumian x – a; 3) jeżeli wielomian f(x) ma co najmniej jeden pierwiastek, to wielomian ten ma dokładnie tyle pierwiastków, ile jest stopnia tego wielomianu (uwzględnia się krotność pierwiastków). TWIERDZENIE CHEVY Jeżeli proste łączące wierzchołki trójkąta ABC z punktem O leżącym w płaszczyźnie trójkąta przecinają odpowiednio przeciwległe boki (lub ich przedłużenia) w punktach A' B' C', to zachodzi równość: (* ) W tym przypadku stosunek odcinków uważa się za dodatni, jeśli odcinki te mają ten sam kierunek, a za ujemny – w przeciwnym wypadku.

T.Ch. można zapisać także w postaci: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, gdzie (ABC’) jest prostą relacją trzy punkty A, B i C”. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne: jeżeli punkty C', A', B' leżą odpowiednio na bokach AB, BC i CA trójkąta lub ich przedłużeniach tak, że zachodzi równość (*), to proste AA', BB' i CC' przecinają się w tym samym punkcie lub równolegle (przecinają się w niewłaściwym punkcie). Linie AA', BB' i CC', przecinające się w jednym punkcie i przechodzące przez wierzchołki trójkąta, nazywane są liniami Chevy lub Chevyans.

T.Ch. ma charakter projekcyjny. T.Ch. jest metrycznie dualny do twierdzenia Menelaosa.

T.Ch. nazwany na cześć włoskiego geometry Giovanniego Cevy, który to udowodnił (1678). TWIERDZENIE COSINUSA 1. T.K. trygonometria płaska - stwierdzenie, że w dowolnym trójkącie kwadrat któregokolwiek z jego boków jest równy sumie kwadratów jego dwóch pozostałych boków bez podwajania iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, gdzie a, b, c to długości boków trójkąta, a C to kąt między bokami a i b. T.K. często używane przy rozwiązywaniu problemów elementarna geometria i trygonometria 2. T.K. dla boku trójkąta sferycznego: cosinus jednego boku trójkąta sferycznego jest równy iloczynowi cosinusów jego dwóch pozostałych boków plus iloczyn sinusów tych samych boków przez cosinus kąta między nimi: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. dla kąta trójkąta sferycznego: cosinus kąta trójkąta sferycznego jest równy iloczynowi cosinusów pozostałych dwóch kątów, przyjętych z przeciwnym znakiem, plus iloczyn sinusów pozostałych dwóch kątów przez cosinus boku przeciwnego do pierwszego kąta: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. TWIERDZENIE EULERA 1. T.E. w teorii porównań stwierdza, że ​​jeśli (a, m)=1, to gdzie f(m) jest funkcją Eulera (liczbą liczb całkowitych liczby dodatnie względnie pierwsze do m i nieprzekraczające m). 2. TE o wielościanach stwierdza, że ​​dla dowolnego wielościanu rodzaju zerowego obowiązuje wzór: B + G – P = 2, gdzie B to liczba wierzchołków, G to liczba ścian, P to liczba krawędzi wielościanu.

Jednak dopiero Kartezjusz jako pierwszy zauważył taką zależność.

Dlatego też T.E. w przypadku wielościanów historycznie bardziej poprawne jest nazwanie twierdzenia Kartezjusza-Eulera.

Liczba B + G – P nazywana jest charakterystyką Eulera wielościanu.

TE dotyczy również grafów zamkniętych. Twierdzenie Talesa Jedno z twierdzeń geometrii elementarnej o odcinkach proporcjonalnych. T.F. stwierdza, że ​​jeśli na jednym z boków kąta od jego wierzchołka ułożone zostaną kolejno równe odcinki i przez końce tych odcinków poprowadzone zostaną równoległe linie przecinające drugi bok kąta, to równe odcinki zostaną również ułożone na drugim boku stronę kąta.

Szczególny przypadek T.F. wyraża pewne właściwości linii środkowej trójkąta. Ostatnie twierdzenie Fermata Stwierdzenie P. Fermata, że ​​równanie xn + yn = zn (gdzie n jest liczbą całkowitą większą niż dwa) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich, Pomimo stwierdzenia P. Fermata, że ​​udało mu się znaleźć niesamowity dowód B.F.T który nie przytacza ze względu na brak miejsca (uwagę tę zapisał P. Fermat na marginesie książki Diofantusa), do niedawna (połowa lat 90.) W.T.F. ogólnie rzecz biorąc, nie zostało to udowodnione. MAŁE TWIERDZENIE FERMY Szczególny przypadek twierdzenia Eulera, gdy moduł m=p jest liczbą pierwszą.

M.T.F. sformułować następująco: jeśli p jest liczbą pierwszą, to ap=a(mod p). W przypadku, gdy a nie jest podzielne przez p, z M.T.F. następująco: ap-1=1(mod p). M.T.F. odkrył francuski naukowiec Pierre Fermat. NIERÓWNOŚĆ HÖLDERA Dla sum skończonych ma postać: , lub w postaci całkowej: , gdzie p > 1 oraz. NG często używane w analizie matematycznej.

NG jest uogólnieniem nierówności Cauchy’ego w forma algebraiczna i nierówności Bunyakovsky'ego w formie całkowej, w których N.G. odwraca się przy p = 2. FORMUŁA CARDANO Wzór wyrażający pierwiastki równania sześciennego: x3+px+q=0 (*) poprzez jego współczynniki. Każde równanie sześcienne sprowadza się do postaci (*). jest napisane tak: . Dowolnie wybierając wartość pierwszego pierwiastka sześciennego, należy wybrać wartość drugiego rodnika (od trzy możliwe), co w iloczynie z wybraną wartością pierwszego rodnika daje (-p/3). W ten sposób otrzymujemy wszystkie trzy pierwiastki równania (*). Nadal nie jest jasne, kto jest właścicielem F.K.: G. Cardano, N. Tartaglie czy S. Ferro. F.K. sięga XVI wieku. NIERÓWNOŚĆ CAUCHY'EGO Nierówność, która zachodzi dla sum skończonych; bardzo ważne i najczęściej stosowane w różnych dziedzinach matematyki i fizyka matematyczna nierówność.

Po raz pierwszy został założony przez Cauchy'ego w 1821 r. Integralny analog N.K.: został założony przez rosyjskiego matematyka V.Ya. Buniakowski. Twierdzenie Menelusa Jeżeli prosta przecina boki trójkąta ABC lub ich przedłużenia w punktach C', A' i B', to obowiązuje następująca zależność: (*) Stosunek odcinków przyjmuje się jako dodatni, jeśli prosta przecina bok trójkąta i ujemną, jeśli linia przecina przedłużenie boku.

Prawdziwe jest również wyrażenie odwrotne: jeśli spełniona jest równość (*), gdzie A, B, C są wierzchołkami trójkąta, a A’, B’, C’ leżą na tej samej prostej.

T.M. można sformułować w formie kryterium położenia trzech punktów A', B' i C' na jednej prostej: aby 3 punkty A', B' i C' leżały na tej samej prostej, konieczne i wystarczające jest, aby była spełniona zależność (*), gdzie A, B, C są wierzchołkami trójkąta, a A', B', C' należą odpowiednio do prostych BC, AC i AB. T.M. została udowodniona przez starożytnego greckiego naukowca Menelaosa (I wiek p.n.e.) dla trójkąta kulistego i najwyraźniej była znana Euklidesowi (III wiek p.n.e.). T.M. jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego twierdzenia Carnota. NIERÓWNOŚĆ MINKOWSKIEGO Nierówność p-tej potęgi liczb, mająca postać: , gdzie liczba całkowita p>1 oraz ak i bk są liczbami nieujemnymi.

N.M. jest uogólnieniem dobrze znanej „nierówności trójkąta”, która stwierdza, że ​​długość jednego boku trójkąta nie jest większa niż suma długości jego dwóch pozostałych boków; dla przestrzeni n-wymiarowej odległość pomiędzy punktami x=(x1, x2, …, xn) i y=(y1, y2, …, yn) wyznaczana jest przez liczbę N.M. została założona przez niemieckiego matematyka G. Minkowskiego w 1896 roku. WZORY MOHLWEIDEA Wzory trygonometrii płaskiej wyrażające następującą zależność pomiędzy bokami (ich długościami) a kątami trójkąta: ; , gdzie a, b, c to boki, a A, B, C to kąty trójkąta.

FM nazwana na cześć niemieckiego matematyka K. Molweide'a, który ich użył, chociaż wzory te były znane także innym matematykom DWÓCHMIAN NEWTONA Nazwa wzoru wyrażającego nieujemną moc całkowitą dwumianu a + b jako sumę potęg jego warunki.

B.N. ma postać: , gdzie Cnk są współczynnikami dwumianowymi, równa liczbie kombinacje n elementów przez k, tj. Lub. Jeśli napiszemy współczynniki dwumianu dla różnych n=0, 1, 2, … w kolejnych wierszach, dotrzemy do trójkąta Pascala. W przypadku dowolnej liczby rzeczywistej (a nie tylko nieujemnej liczby całkowitej) B.N. jest uogólniane na szereg dwumianowy, a w przypadku zwiększania liczby wyrazów od dwóch do większej liczby - na twierdzenie o wielomianach Twierdzenie o wielomianach Uogólnienie wzoru dwumianowego Newtona dla przypadku zwiększania sumy k wyrazów (k> 2) do nieujemnej potęgi całkowitej n: , gdzie sumowanie po prawej stronie rozciąga się na wszystkie możliwe zbiory nieujemnych liczb całkowitych a1, a2, …, ak, sumując się do n. Współczynniki A(n)a1, a2, …,ak nazywane są wielomianami i wyrażane są w następujący sposób: Gdy k=2, współczynniki wielomianu stają się współczynnikami dwumianu.

TWIERDZENIE POLKE'EGO Sformułowane następująco: trzy odcinki o dowolnej długości leżące w tej samej płaszczyźnie i wychodzące z wspólny punkt pod dowolnymi kątami względem siebie, można przyjąć jako projekcja równoległa przestrzenny układ ortogonalny i, j, k (|i| = |j| =|k|). Twierdzenie sformułował bez dowodu niemiecki geometr K. Polke (1860), a następnie uogólnił je niemiecki matematyk G. Schwarz, podając jego elementarny dowód.

Twierdzenie Polke-Schwartza można sformułować w następujący sposób: każdy niezdegenerowany czworobok z jego przekątnymi można uznać za rzut równoległy czworościanu podobnego do dowolnego danego.

T.P. ma ogromne znaczenie praktyczne (każdy czworobok z jego przekątnymi można traktować na przykład jako obraz czworościanu foremnego) i jest jednym z głównych twierdzeń aksonometrii Twierdzenie Ptolemeusza Twierdzenie geometrii elementarnej ustalające relację między bokami i przekątne czworoboku wpisanego w okrąg: dowolne wypukły czworobok, wpisany w okrąg, iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów jego przeciwnych boków, tj. zachodzi równość: AC*BD = AB*CD + BC*AD Itd. nazwany na cześć starożytnego greckiego naukowca Klaudiusza Ptolemeusza, który udowodnił to twierdzenie.

T.P. stosowany przy rozwiązywaniu problemów geometrii elementarnej, przy dowodzeniu szczególnego przypadku twierdzenia o dodawaniu sinusów FORMUŁA SIMPSONA Wzór na obliczanie objętości ciał za pomocą dwóch podstawy równoległe: , gdzie Qн to powierzchnia dolnej podstawy, Qв to powierzchnia górnej podstawy, Qс to powierzchnia środkowej części ciała. Przez średni przekrój ciała rozumie się tutaj figurę otrzymaną z przecięcia ciała z płaszczyzną, równolegle do płaszczyzn podstaw i znajdują się w równej odległości od tych płaszczyzn.

h oznacza wysokość ciała. Od F.S. jako szczególnego przypadku otrzymujemy wiele słynne formuły objętości ciał badanych w szkole ( ścięta piramida, cylinder, kula itp.). Twierdzenie o sinusach Twierdzenie trygonometrii płaskiej ustalające związek pomiędzy bokami a, b, c dowolnego trójkąta a sinusami kątów przeciwległych do tych boków: , gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.

Do trygonometrii sferycznej T.S. analitycznie wyrażone w następujący sposób: . TWIERDZENIE STEWARTA jest następujące: jeśli A, B, C są trzema wierzchołkami trójkąta, a D jest dowolnym punktem na boku BC, to zachodzi zależność: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T. Z. nazwany na cześć angielskiego matematyka M. Stewarta, który to udowodnił i opublikował w pracy „Some General Theorems” (1746, Edynburg). Twierdzenie to przekazał Stewartowi jego nauczyciel R. Simson, który opublikował je dopiero w 1749 roku. T.S. służy do znajdowania środkowych i dwusiecznych trójkątów.

TWIERDZENIE O STYCZNYCH (WZÓR REGIOMONTANA) Wzór trygonometrii płaskiej ustalający związek między długościami dwóch boków trójkąta a stycznymi sumy połówek i różnicy połówek przeciwległych kątów. ma postać: , gdzie a, b są bokami trójkąta, A, B są odpowiednio kątami przeciwnymi do tych boków. T.T. zwana także formułą Regiomontanus na cześć niemieckiego astronoma i matematyka Johannesa Mullera (po łacinie Regiomontanus), który ustalił tę formułę. J. Müllera nazywano „Königsbergerem”: po niemiecku König to król, Berg to góra, a po łacinie „król” i „góra” dopełniacz– regis i montis.

Stąd „Regiomontan” to zlatynizowane nazwisko I. Mullera. " Słownik terminy matematyczne”, O.V. FORMUŁY I TWIERDZENIA Manturowa O VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.

Co zrobimy z otrzymanym materiałem:

Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:

Widzieliśmy już, że jeśli ciąg liczbowy ma granicę, to elementy tego ciągu zbliżają się do niej możliwie najbliżej. Nawet w bardzo małej odległości zawsze można znaleźć dwa elementy, których odległość będzie jeszcze mniejsza. Nazywa się to ciągiem podstawowym lub ciągiem Cauchy'ego. Czy można powiedzieć, że ten ciąg ma granicę? Jeśli jest utworzony

Jeśli weźmiemy kwadrat o boku równym jedności, możemy łatwo obliczyć jego przekątną korzystając z twierdzenia Pitagorasa: $d^2=1^2+1^2=2$, czyli wartość przekątnej będzie równa do $\sqrt 2$. Mamy teraz dwie liczby, 1 i $\sqrt 2$, reprezentowane przez dwa odcinki. Nie będziemy jednak w stanie nawiązać między nimi relacji, tak jak to robiliśmy wcześniej. Niemożliwe

Określenie, gdzie znajduje się punkt P – wewnątrz czy na zewnątrz pewnej figury – jest czasem bardzo proste, jak na przykład w przypadku figury pokazanej na rysunku: Jednakże w przypadku figur bardziej skomplikowanych, jak ta pokazana poniżej, jest to trudniejsze. . Aby to zrobić, musisz narysować linię ołówkiem. Jednak szukając odpowiedzi na tego typu pytania, możemy posłużyć się jednym prostym,

Zwykle formułuje się ją w następujący sposób: każdą liczbę naturalną inną niż 1 można jednoznacznie przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych lub w ten sposób: każdą liczbę naturalną można jednoznacznie przedstawić jako iloczyn potęg różnych liczb pierwszych. Ostatni rozkład jest często nazywany kanonicznym, chociaż nie zawsze wymagającym. Dzieje się tak, aby czynniki pierwsze wchodziły w to rozwinięcie w porządku rosnącym.

Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu problemów z resztami potęg i chociaż jest to całkowicie poważne twierdzenie z teorii liczb i nie jest objęte programem nauczania, jego dowód można przeprowadzić na normalnym poziomie szkolnym. Można to przeprowadzić na różne sposoby, a jeden z najprostszych dowodów opiera się na wzorze dwumianu, czyli dwumianu Newtona, który

Często w literaturze metodologicznej można spotkać się z rozumieniem dowodu pośredniego jako dowodu przez sprzeczność. W rzeczywistości jest to bardzo wąska interpretacja tego pojęcia. Metoda dowodu przez sprzeczność jest jedną z najbardziej znanych pośrednich metod dowodu, ale nie jest jedyną. Inne pośrednie metody dowodowe, choć często stosowane na poziomie intuicyjnym, są rzadko realizowane

Często nauczyciele, używając iloczynu skalarnego wektorów, niemal natychmiast udowadniają twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinus. To z pewnością kuszące. Jednak komentarz jest wymagany. W tradycyjnym ujęciu rozdzielność iloczynu skalarnego wektorów dowodzi się później niż twierdzenie Pitagorasa, ponieważ to drugie jest użyte w tym dowodzie, przynajmniej pośrednio. Możliwe są warianty tego dowodu. W szkolnych podręcznikach do geometrii, np

W czerwcu tego roku przedwcześnie zmarł Dmitry Germanovich Von Der Flaass (1962–2010), wybitny matematyk i nauczyciel, bystry i czarujący człowiek. Nasi czytelnicy zetknęli się z tym nazwiskiem nie raz – magazyn „Kvant” często publikował jego problemy. Dmitrij Germanowicz z powodzeniem pracował w wielkiej nauce, ale to była tylko część jego działalności. Drugie było olimpiady matematyczne dzieci w wieku szkolnym: pracował w jury Ogólnounijnego i Olimpiady Ogólnorosyjskie, a w ostatnich latach - międzynarodowe. Prowadził wykłady na różnych obozach i szkołach matematycznych, był jednym z trenerów naszej drużyny na Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej.

Zwracamy uwagę na nagranie (z niewielkimi skrótami i zachowaniem stylu autorskiego) wykładu D. Von Der Flaassa w Wszechrosyjskim centrum dziecięce„Orlik” w 2009 roku.

Był taki starożytny sofista Gorgiasz. Zasłynął ze sformułowania trzech twierdzeń. Pierwsze twierdzenie brzmi następująco: nic na świecie nie istnieje. Twierdzenie drugie: a jeśli coś istnieje, to jest ono niepoznawalne dla ludzi. Twierdzenie trzecie: jeśli coś mimo wszystko da się poznać, to nie da się tego przekazać bliźniemu.

Innymi słowy, nie ma nic, a jeśli coś jest, to nie będziemy o tym nic wiedzieć, a nawet jeśli się czegoś dowiemy, to nie będziemy mogli nikomu powiedzieć.

I te cztery twierdzenia są, ściśle rzecz biorąc, głównymi problemami współczesnej matematyki.

Pierwsze twierdzenie Gorgiasza

Zacznijmy od pierwszego – nic na świecie nie istnieje, czyli – przetłumaczona na język matematyki – matematyka robi coś niepojętego. W pewnym sensie jest to prawdą. Przecież obiekty matematyczne nie istnieją na świecie. Najprostsza rzecz, od której wszystko się zaczyna i z której matematycy korzystają cały czas, to liczby całkowite. Wszyscy wiemy, czym są liczby naturalne – są to 1, 2, 3, 4 i tak dalej. A fakt, że wszyscy rozumiemy znaczenie słów „i tak dalej”, jest wielka tajemnica. Ponieważ „i tak dalej” oznacza, że ​​jest „nieskończenie wiele” liczb. W naszym świecie nie ma miejsca na nieskończoną ilość czegoś. Ale wszyscy jesteśmy pewni, że kiedy myślimy o liczbach naturalnych, wszyscy myślimy o tym samym. Jeśli po mojej 7 nastąpi 8, to po Twojej 7 nastąpi 8. Jeśli moja 19 jest liczbą pierwszą, to Twoja 19 będzie liczbą pierwszą. Dlatego? Wydaje się, że ten przedmiot nie istnieje na świecie, a jednak wiemy o nim i wszyscy wiemy o tym samym. Nie jest to oczywiście zagadka matematyczna, jest to zagadka filozoficzna i niech filozofowie ją omawiają. Nam wystarczy to, że na szczęście mamy jeszcze o tym pojęcie obiekty matematyczne i to samo dotyczy każdego, kto zaczyna o nich myśleć. I dlatego matematyka jest możliwa. Ale duży problem filozoficzny pozostaje.

Jeśli, jak to jest w zwyczaju wśród matematyków, pomyślisz o tym poważnie, to znaczy spróbujesz pomyśleć o tym jakoś ściśle, to pojawią się problemy, o których teraz powiem. Powstały w pamięci ludzkości całkiem niedawno, dosłownie w ciągu ostatnich stu lat.

W matematyce jest dużo więcej oprócz liczb naturalnych. Istnieje nasza płaszczyzna euklidesowa, na której rysujemy wszelkiego rodzaju trójkąty, kąty i udowadniamy twierdzenia na ich temat. Są liczby rzeczywiste, są liczby zespolone, są funkcje, jest coś jeszcze straszniejszego... Gdzieś na przełomie XIX i XX w. wykonano mnóstwo pracy (choć zaczęło się oczywiście trochę wcześniej) ludzie zdali sobie sprawę, że całą różnorodność obiektów matematycznych można w zasadzie sprowadzić do jednego pojęcia - pojęcia zbioru. Oczywiście, jeśli mamy intuicyjne pojęcie o tym, czym jest zbiór i czym jest „i tak dalej”, możemy w zasadzie skonstruować całą matematykę.

Co to jest zestaw? Cóż, to po prostu mnóstwo czegoś. Pytanie brzmi - co można zrobić z zestawami? Jeśli mamy jakiś zestaw, to co to znaczy, że go mamy? Oznacza to, że o dowolny element naszego świata, świata obiektów matematycznych, możemy zapytać, czy znajduje się on w tym zbiorze, czy nie, i uzyskać odpowiedź. Odpowiedź jest jasna, całkowicie niezależna od naszej woli. To pierwsza, podstawowa rzecz, którą możesz zrobić ze zbiorami - dowiedzieć się, czy element należy do zbioru, czy nie.

Oczywiście nadal musimy jakoś sami skonstruować te zestawy. Aby w końcu z nich powstało całe bogactwo obiektów matematycznych. Jak można je zbudować? Możemy, powiedzmy, skonstruować zbiór pusty: Ø. Pierwszy, najprostszy. Co o nim wiemy? Że niezależnie od tego, jaki element zapytamy, czy należy do tego zbioru, czy nie, odpowiedź zawsze będzie brzmiała – nie, nie należy. I przez to pusty zbiór jest już jednoznacznie zdefiniowany. Wszystkie pytania na ten temat otrzymują natychmiastową odpowiedź. Brawo!

Teraz mamy już sam ten pusty zestaw. I możemy skonstruować zbiór, który nie zawiera nic poza zbiorem pustym: (Ř). Powtórzę jeszcze raz: co to znaczy, że mamy ten zestaw? Oznacza to, że możemy zapytać o dowolny element, czy należy do tego zbioru, czy nie. A jeśli ten element jest zbiorem pustym, to odpowiedź będzie brzmiała „tak”. A jeśli ten element jest jakikolwiek inny, odpowiedź będzie brzmiała „nie”. Zatem ten zestaw jest również dany.

Tutaj wszystko się zaczyna. Istnieje kilka bardziej intuicyjnych operacji, z których możesz skorzystać. Jeżeli mamy dwa komplety to możemy je połączyć. Można powiedzieć, że teraz będzie zbiór, w którym będą elementy z tego czy innego zbioru. Ponownie odpowiedź na pytanie, czy element należy do zbioru wynikowego, czy nie, jest jednoznaczna. Oznacza to, że możemy zbudować unię. I tak dalej.

W pewnym momencie musimy osobno zadeklarować, że przecież mamy jakiś zbiór, w którym znajduje się nieskończenie wiele elementów. Skoro wiemy, że istnieją liczby naturalne, wierzymy, że istnieje zbiór nieskończony. Ogłaszamy, że zbiór liczb naturalnych jest dla nas również dostępny. Gdy tylko pojawi się nieskończony zbiór, możesz wpaść w różnego rodzaju kłopoty i zdefiniować, co chcesz. Można zdefiniować liczby całkowite. Liczba całkowita to zero lub liczba naturalna, ze znakiem minus lub bez. Wszystko to (może nie tak oczywiste, jak mówię) można zrobić w języku teorii mnogości.

Można zdefiniować liczby wymierne. Co to jest liczba wymierna? Jest to para dwóch liczb - licznika i (niezerowego) mianownika. Musisz tylko ustalić, jak je dodać, jak je pomnożyć między sobą. I jakie są warunki, gdy takie pary są uważane za tę samą liczbę wymierną.

Co to jest liczba rzeczywista? Tutaj ciekawy krok. Można na przykład powiedzieć, że jest nieskończony dziesiętny. To byłaby bardzo dobra definicja. Co to znaczy - nieskończony ułamek dziesiętny? Oznacza to, że mamy jakiś nieskończony ciąg liczb, czyli po prostu dla każdej liczby naturalnej wiemy, jaka liczba stoi w tym miejscu naszej liczby rzeczywistej. Wszystkie takie ciągi tworzą liczby rzeczywiste. Ponownie możemy określić, jak je dodać, jak je pomnożyć i tak dalej.

Nawiasem mówiąc, nie w ten sposób matematycy wolą definiować liczby rzeczywiste, ale w jaki sposób. Weźmy wszystkie liczby wymierne - już je mamy. Załóżmy teraz, że liczba rzeczywista to zbiór liczb wymiernych, które są od niej ściśle mniejsze. To bardzo trudna definicja. W rzeczywistości jest bardzo podobny do poprzedniego. Na przykład, jeśli mamy liczbę rzeczywistą 3,1415926... (następuje nieskończony łańcuch liczb, których nie znam na pamięć), to jakie na przykład liczby wymierne będą od niej mniejsze? Odetnijmy ułamek do drugiego miejsca po przecinku. Otrzymujemy liczbę 3,14, jest ona mniejsza niż nasza. Odetnijmy ułamek czwarty miejsca po przecinku - otrzymamy 3,1415, kolejną liczbę wymierną mniejszą od naszej. Oczywiste jest, że jeśli znamy wszystkie liczby wymierne mniejsze niż nasza liczba, to liczba ta jest jednoznacznie zdefiniowana. Możesz sobie wyraźnie wyobrazić obraz taki jak na rysunku 1. Linia prosta to wszystkie liczby rzeczywiste, wśród nich jest gdzieś nasza niewiadoma, a na lewo od niej znajduje się wiele, wiele liczb wymiernych, które są od niej mniejsze. Wszystkie inne racjonalne będą odpowiednio większe od niego. Intuicyjnie jest jasne, że pomiędzy tymi dwoma zbiorami liczb wymiernych istnieje pojedyncza przerwa, którą nazwiemy liczbą rzeczywistą. To jest przykład tego, jak cała matematyka, zaczynając od pojęcia zbioru, stopniowo się rozwija.

Dlaczego jest to konieczne? Oczywiste jest, że w praktyce oczywiście nikt tego nie używa. Kiedy matematyk bada, powiedzmy, funkcje zmiennej zespolonej, nie za każdym razem pamięta, że ​​liczba zespolona to para liczb rzeczywistych, że liczba realna to nieskończony zbiór liczb wymiernych, że wymierna to para liczb całkowitych i tak NA. Działa już z w pełni uformowanymi obiektami. Ale w zasadzie wszystko da się opisać aż do podstaw. Będzie bardzo długi i nieczytelny, ale mimo to w zasadzie jest to możliwe.

Co dalej robią matematycy? Dowodzą odmiennych właściwości tych obiektów. Aby coś udowodnić, trzeba już coś wiedzieć, jakieś początkowe właściwości wszystkich tych obiektów. Co więcej, matematycy powinni być całkowicie zgodni co do tego, od których właściwości początkowych należy zacząć. Tak, aby każdy wynik uzyskany przez jednego matematyka był akceptowany przez wszystkich pozostałych.

Można zapisać kilka takich początkowych właściwości – nazywamy je aksjomatami – a następnie wykorzystać je do udowodnienia wszystkich innych właściwości coraz bardziej złożonych obiektów matematycznych. Ale teraz w przypadku liczb naturalnych zaczynają się trudności. Istnieją aksjomaty i intuicyjnie czujemy, że są prawdziwe, ale okazuje się, że istnieją twierdzenia dotyczące liczb naturalnych, których nie można wyprowadzić z tych aksjomatów, a które mimo to są prawdziwe. Powiedzmy, że liczby naturalne spełniają pewną właściwość, ale nie można jej uzyskać z tych aksjomatów, które są akceptowane jako podstawowe.

Od razu pojawia się pytanie: skąd w takim razie wiemy, że ta własność jest prawdziwa dla liczb naturalnych? A co jeśli nie możemy tego przyjąć i udowodnić w ten sposób? Trudne pytanie. Okazuje się, że jest coś takiego. Jeśli poprzestaniesz tylko na aksjomatach liczb naturalnych, to w zasadzie o wielu rzeczach nie da się nawet rozmawiać. Nie można na przykład mówić o dowolnych, nieskończonych podzbiorach liczb naturalnych. Ludzie jednak mają pojęcie, o co chodzi i w zasadzie intuicyjnie rozumieją, jakie właściwości definiują te podzbiory. Dlatego o niektórych właściwościach liczb naturalnych, których nie można wywnioskować z aksjomatów, ludzie mogą wiedzieć, że są one prawdziwe. I tak matematyk Kurt Gödel najwyraźniej jako pierwszy pokazał wprost pewną właściwość liczb naturalnych, która jest intuicyjnie prawdziwa (to znaczy matematycy nie sprzeciwiają się temu, że jest to prawda), ale jednocześnie jest to których nie da się wyprowadzić z przyjętych wówczas aksjomatów liczb naturalnych.

Częściowo, a właściwie bardzo dużo w dużej mierze(wystarczający dla większości dziedzin matematyki), problem ten został rozwiązany poprzez staranne sprowadzenie wszystkiego do zbiorów i wypisanie pewnego zbioru aksjomatów teorii mnogości, które są intuicyjnie oczywiste, a poprawność tych aksjomatów przez matematyków w ogóle nie jest kwestionowana .

Powiedzmy aksjomat zjednoczenia. Jeśli mamy zbiór jakichś zbiorów, to możemy powiedzieć: utwórzmy zbiór, który będzie zawierał wszystkie elementy tych zbiorów z tego zbioru. Nie ma żadnych uzasadnionych zastrzeżeń co do istnienia takiego zestawu. Są też bardziej przebiegłe aksjomaty, z którymi jest trochę więcej problemów. Przyjrzymy się teraz trzem trudnym aksjomatom teorii mnogości, co do których w zasadzie mogą pojawić się wątpliwości.

Na przykład istnieje taki aksjomat. Załóżmy, że mamy zbiór jakichś elementów i załóżmy, że dla każdego z nich możemy jednoznacznie określić wartość pewnej funkcji na tym elemencie. Aksjomat mówi, że możemy zastosować tę funkcję do każdego elementu tego zbioru, a to, co wyjdzie, ponownie utworzy zbiór (ryc. 2). Najprostszy przykład: funkcja konwertująca x na x 2, wiemy jak ją obliczyć. Powiedzmy, że jeśli mamy jakiś zbiór liczb naturalnych, to możemy każdą z nich podnieść do kwadratu. Wynikiem będzie znowu jakiś zbiór liczb naturalnych. To intuicyjnie oczywisty aksjomat, prawda? Problem jednak w tym, że funkcje te można zdefiniować w bardzo złożony sposób, zbiory mogą być bardzo duże. Jest też taka sytuacja: wiemy, jak udowodnić, że nasza funkcja jest jednoznacznie zdefiniowana, ale potrafimy liczyć konkretne znaczenie ta funkcja dla każdego elementu zbioru jest niezwykle trudna lub wręcz nieskończenie trudna. Choć wiemy, że na pewno istnieje jakaś odpowiedź i jest ona jednoznaczna. Uważa się, że nawet w tak złożonych sytuacjach aksjomat ten nadal ma zastosowanie i właśnie w tej bardzo ogólnej formie służy jako jedno ze źródeł problemów w teorii mnogości.

Drugi aksjomat, który z jednej strony jest oczywisty, ale z drugiej stwarza problemy, to aksjomat brania wszystkich podzbiorów danego zbioru. Mówi, że jeśli mamy jakiś zbiór, to mamy też zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów danego zbioru. Dla zbiorów skończonych jest to oczywiście oczywiste. Jeśli mamy skończony zbiór N elementów, to będzie miał tylko 2 podzbiory N. W zasadzie możemy nawet je wszystkie spisać, jeśli nie jesteśmy bardzo leniwi. Nie mamy też problemów z najprostszym zbiorem nieskończonym. Spójrz: weźmy zbiór liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i tak dalej. Dlaczego jest dla nas oczywiste, że istnieje rodzina wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych? Ponieważ wiemy, jakie to elementy. Jak można sobie wyobrazić podzbiór liczb naturalnych? Wpiszmy jedynki dla elementów, które bierzemy, zera dla tych, których nie bierzemy i tak dalej. Można sobie wyobrazić, że jest to nieskończony ułamek binarny (ryc. 3). Po niewielkich korektach (takich jak fakt, że niektóre liczby można przedstawić za pomocą dwóch różnych nieskończonych ułamków binarnych), okazuje się, że liczby rzeczywiste są w przybliżeniu takie same, jak podzbiory liczb naturalnych. A skoro intuicyjnie wiemy, że z liczbami rzeczywistymi wszystko jest w porządku, one istnieją, można je wizualnie przedstawić w postaci linii ciągłej, to w tym miejscu wszystko jest w porządku z naszym aksjomatem o zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru.

Jeśli się nad tym głębiej zastanowić, staje się to trochę przerażające. Niemniej jednak matematycy uważają, że ten aksjomat jest zawsze prawdziwy: jeśli mamy zbiór, to istnieje zbiór wszystkich jego podzbiorów. W przeciwnym razie wykonanie niektórych konstrukcji byłoby bardzo trudne.

I jeszcze jeden aksjomat, z którym było najwięcej problemów, bo na początku w niego nie wierzyli. Być może słyszałeś nawet jego nazwę – aksjomat wyboru. Można to wyrazić na wiele różnych sposobów, niektóre bardzo złożone, inne bardzo proste. Powiem ci teraz najlepsze sposób wizualny sformułować aksjomat wyboru, w którym będzie naprawdę oczywiste, że jest on prawdziwy. Miejmy zestaw kilku zestawów. Mogą się wprawdzie przecinać, ale to nie ma znaczenia – dla uproszczenia niech się jeszcze nie krzyżują. Następnie możemy skonstruować iloczyn wszystkich tych zbiorów. Co to znaczy? Elementami tej pracy będą właśnie te rzeczy – z każdego weźmiemy po jednym elemencie i z nich wszystkich ułożymy jeden zestaw (ryc. 4). Każdy sposób wybrania jednego elementu ze zbioru daje element iloczynu tych zbiorów.

Oczywiście, jeśli wśród tych zbiorów znajdzie się pusty, z którego nie ma już nic do wyboru, to iloczyn wszystkich z nich również będzie pusty. A aksjomat wyboru stwierdza taki zupełnie oczywisty fakt - jeśli wszystkie te zbiory nie będą puste, to iloczyn również będzie niepusty. Czy zgadzasz się, że fakt jest oczywisty? I to najwyraźniej ostatecznie posłużyło jako jeden z najmocniejszych argumentów na rzecz twierdzenia, że ​​aksjomat wyboru jest rzeczywiście prawdziwy. W innych sformułowaniach aksjomat wyboru nie brzmi tak oczywisto jak w tym.

Obserwacje tego, jak matematycy udowadniają swoje twierdzenia, próbując przełożyć całą matematykę na język teorii mnogości, pokazały, że w wielu miejscach matematycy, nawet tego nie zauważając, posługują się tym aksjomatem. Gdy tylko to zauważono, od razu stało się jasne, że trzeba to wydzielić w osobne zdanie – skoro go używamy, to trzeba to skądś wziąć. Albo musimy to udowodnić, albo musimy oświadczyć, że jest to podstawowy, oczywisty fakt, który traktujemy jako aksjomat i który dopuszczamy do użycia. Okazało się, że jest to fakt rzeczywiście podstawowy, że nie da się tego udowodnić na podstawie samych wszystkich innych faktów, nie da się też tego obalić, a zatem jeśli już mamy to przyjąć, to przyjąć to jako aksjomat. I oczywiście trzeba to zaakceptować, bo w tej formie jest to naprawdę oczywiste.

To tu powstały duże problemy, bo gdy tylko ten fakt został wyraźnie sformułowany i powiedziano „wykorzystamy”, matematycy natychmiast rzucili się do jego wykorzystania i wykorzystując go, udowodnili dużą liczbę całkowicie intuicyjnie nieoczywistych twierdzeń. A nawet, co więcej, stwierdzenia, które intuicyjnie wydają się błędne.

Oto ten jasny przykład takie stwierdzenie, które zostało udowodnione za pomocą aksjomatu wyboru: możesz wziąć piłkę, podzielić ją na kilka części i dodać z tych części dwie dokładnie takie same kule. Co oznacza tutaj „podzielić na kilka części”, powiedzmy 7? Oznacza to, że dla każdego punktu mówimy, do którego z tych siedmiu elementów należy. Ale to nie jest jak przecięcie piłki nożem – może to być znacznie trudniejsze. Oto na przykład trudny do wyobrażenia, ale łatwy do wyjaśnienia sposób przecięcia piłki na dwie części. Weźmy w jednej części wszystkie punkty, które mają wszystkie współrzędne wymierne, a w drugiej - wszystkie punkty, które mają współrzędne niewymierne. Dla każdego punktu wiemy, na którą z części wpadła, czyli jest to prawny podział piłki na dwie części. Ale bardzo trudno sobie to jasno wyobrazić. Każdy z tych kawałków, jeśli spojrzeć na to z daleka, będzie wyglądał jak cała kula. Chociaż jeden z tych kawałków będzie w rzeczywistości bardzo mały, a drugi będzie bardzo duży. Udowodnili więc za pomocą aksjomatu wyboru, że kulę można podzielić na 7 części, a następnie te kawałki można trochę przesunąć (czyli przesunąć w przestrzeni, bez jakiegokolwiek zniekształcania, bez zginania) i odłożyć z powrotem ponownie połączyć tak, aby otrzymać dwie kule, dokładnie takie same, jak ta, która była na samym początku. To stwierdzenie, choć udowodnione, brzmi w jakiś sposób dziko. Ale potem w końcu zrozumieli, że lepiej pogodzić się z takimi konsekwencjami aksjomatu wyboru, niż całkowicie go porzucić. Nie ma innego wyjścia: albo porzucimy aksjomat wyboru, a wtedy w ogóle nie będziemy mogli go nigdzie zastosować, a wiele ważnych, pięknych i intuicyjnych wyników matematycznych okaże się nie do udowodnienia. Albo to weźmiemy - wyniki stają się łatwe do udowodnienia, ale jednocześnie dostajemy takich dziwaków. Ale ludzie przyzwyczajają się do wielu rzeczy i przyzwyczaili się też do tych dziwaków. Ogólnie rzecz biorąc, wydaje się, że obecnie nie ma problemów z aksjomatem wyboru.

Okazuje się, że mamy zbiór aksjomatów teorii mnogości, mamy naszą matematykę. I mniej więcej wydaje się, że wszystko, co ludzie potrafią zrobić w matematyce, da się wyrazić w języku teorii mnogości. Ale tutaj pojawia się ten sam problem, który Gödel odkrył w arytmetyce. Jeśli mamy pewien dość bogaty zbiór aksjomatów opisujących nasz świat zbiorów (który jest światem całej matematyki), z pewnością będą istnieć twierdzenia, o których nie możemy się dowiedzieć, czy są prawdziwe, czy nie. Twierdzenia, których nie możemy udowodnić na podstawie tych aksjomatów i których nie możemy obalić. Teoria mnogości bardzo się rozwija i teraz jest najbliżej tego problemu: często mamy do czynienia z sytuacją, w której jakieś pytania brzmią całkiem naturalnie, chcemy uzyskać na nie odpowiedź, ale udowodniono, że nigdy nie poznamy odpowiedzieć, ponieważ zarówno tej odpowiedzi, jak i żadnej innej odpowiedzi nie można wywnioskować z aksjomatów.

Co robić? W teorii mnogości próbują w jakiś sposób z tym walczyć, a mianowicie próbują wymyślić nowe aksjomaty, które z jakiegoś powodu nadal można dodać. Chociaż, wydawałoby się, wszystko, co jest intuicyjnie oczywiste dla ludzkości, zostało już zredukowane do aksjomatów teorii mnogości, które powstały na początku XX wieku. A teraz okazuje się, że nadal chcesz czegoś innego. Matematycy dalej ćwiczą swoją intuicję, tak że niektóre nowe stwierdzenia nagle z jakiegoś powodu wydają się intuicyjnie oczywiste dla wszystkich matematyków, a następnie można je przyjąć jako nowe aksjomaty w nadziei, że z ich pomocą uda się uzyskać odpowiedzi na niektóre z tych pytań.

Oczywiście nie mogę ci powiedzieć, jak to wszystko się dzieje, są to niezwykle złożone twierdzenia i trzeba bardzo głęboko zagłębić się w teorię mnogości, po pierwsze, aby zrozumieć, co one stwierdzają, a po drugie, aby zrozumieć, że twierdzenia te mogą rzeczywiście można je uznać za intuicyjnie oczywiste i przyjąć jako aksjomaty. Tym właśnie zajmuje się obecnie jedna z najbardziej tajemniczych dziedzin matematyki – teoria mnogości.

Drugie twierdzenie Gorgiasza

Drugie twierdzenie Gorgiasza brzmi tak: jeśli coś istnieje, jest to niepoznawalne dla ludzi. Teraz pokażę kilka przykładów stwierdzeń, które mieszczą się w tej kategorii.

Z teorią mnogości był problem, czy w ogóle mamy prawo zadawać takie pytania: „czy aksjomat wyboru jest prawdziwy?” Jeśli chcemy po prostu zajmować się matematyką bez wchodzenia w sprzeczności, to w zasadzie możemy zarówno zaakceptować aksjomat wyboru, jak i zaakceptować, że nie jest on prawdziwy. W obu przypadkach będziemy mogli rozwijać matematykę, uzyskując pewne wyniki w jednym przypadku, inne w innym, ale nigdy nie dojdziemy do sprzeczności.

Ale teraz sytuacja jest inna. Najwyraźniej istnieją wyniki, na które odpowiedź w sposób oczywisty istnieje i jest jasno określona, ​​ale ludzkość może nigdy się o tym nie dowiedzieć. Najprostszym przykładem jest tzw. (3 N+ 1) to problem, o którym teraz powiem. Weźmy dowolną liczbę naturalną. Jeśli jest równa, podziel ją na pół. A jeśli jest nieparzysta, pomnóż ją przez 3 i dodaj 1. To samo robimy z otrzymaną liczbą i tak dalej. Na przykład, jeśli zaczniemy od trzech, otrzymamy

Jeśli zaczniemy od siedmiu, proces potrwa nieco dłużej. Już zaczynając od kilku małych liczb, łańcuch ten może okazać się dość długi, ale cały czas zakończy się na jedynce. Istnieje hipoteza, że ​​niezależnie od tego, od jakiej liczby zaczniemy, jeśli zbudujemy taki łańcuch, zawsze dojdziemy do 1. To właśnie (3 N+ 1)-problem - czy ta hipoteza jest poprawna?

Wydaje mi się, że wszyscy współcześni matematycy uważają, że to prawda. A niektórzy z najbardziej lekkomyślnych nawet próbują to udowodnić. Ale nikomu nic nie wyszło. I nie pojawiało się przez wiele dziesięcioleci. Jest to zatem jedno z atrakcyjnych wyzwań. Poważni matematycy oczywiście traktują to z pogardą – po prostu traktują to jako zabawną łamigłówkę. Nie wiadomo, co tam będzie i kto musi wiedzieć, co tam będzie. Ale mniej poważnych matematyków nadal interesuje, czy hipoteza jest prawdziwa, czy nie. I dopóki nie zostanie to udowodnione, tutaj może się wydarzyć absolutnie wszystko. Po pierwsze oczywiste jest, że na to pytanie istnieje jasna odpowiedź: tak lub nie. Albo jest prawdą, że zaczynając od dowolnej liczby naturalnej, będziemy przesuwać się w stronę jedynki, albo nie jest to prawdą. Intuicyjnie jest jasne, że odpowiedź nie zależy tutaj od żadnego wyboru aksjomatów ani od jakiejkolwiek woli człowieka. Zakłada się zatem, że ludzkość nigdy nie pozna odpowiedzi na to pytanie.

Oczywiście, jeśli ktoś udowodni tę hipotezę, wówczas poznamy odpowiedź. Ale co to znaczy udowadniać? Oznacza to, że wyjaśni nam powody, dla których jakakolwiek liczba naturalna zbiega się do 1, a powody te będą dla nas jasne.

Może się zdarzyć, że ktoś udowodni, że jakaś liczba siedemdziesięciotrzycyfrowa ma dokładnie takie właściwości, że rozpoczynając od niej ten łańcuch, na pewno otrzymamy tyle, ile nam się podoba duże liczby. Albo udowodni, że ten łańcuch zapętli się gdzie indziej. Ponownie byłby to powód, dla którego hipoteza jest błędna.

Ale na przykład mam taki straszny koszmar: co jeśli to stwierdzenie jest prawdziwe, ale bez powodu? To prawda, ale nie ma żadnego powodu do tego stwierdzenia, aby jedna osoba mogła zrozumieć i wyjaśnić drugą. Wtedy nigdy nie poznamy odpowiedzi. Ponieważ pozostaje tylko przejrzeć wszystkie liczby naturalne i przetestować hipotezę dla każdej z nich. A to oczywiście jest poza naszymi możliwościami. Prawo zachowania energii nie pozwala na wykonanie nieskończonej liczby operacji w skończonym czasie. Albo skończoność prędkości światła. Ogólnie rzecz biorąc, prawa fizyczne nie pozwalają nam wykonać nieskończonej liczby operacji w skończonym czasie i poznać wynik.

Wiele nierozwiązanych problemów dotyczy właśnie tego obszaru, tj. w zasadzie naprawdę chcą zostać rozwiązane. Część z nich prawdopodobnie podejmie decyzję. Zapewne wszyscy słyszeliście nazwę „hipoteza Riemanna”. Być może niektórzy z Was nawet niejasno rozumieją, co mówi ta hipoteza. Osobiście rozumiem to bardzo niejasno. Ale przynajmniej w przypadku hipotezy Riemanna jest mniej więcej jasne, że jest ona poprawna. Wierzą w to wszyscy matematycy i mam nadzieję, że w najbliższej przyszłości zostanie to udowodnione. Są też twierdzenia, których nikt nie może jeszcze udowodnić ani obalić, a nawet w przypadku hipotezy nie ma pewności, która z dwóch odpowiedzi jest poprawna. Możliwe, że ludzkość w zasadzie nigdy nie otrzyma odpowiedzi na niektóre z tych pytań.

Trzecie twierdzenie Gorgiasza

Trzecie twierdzenie głosi, że jeśli coś jest poznawalne, nie można tego przenieść na sąsiada. Są to właśnie najpilniejsze problemy współczesnej matematyki i być może najbardziej przesadzone. Osoba coś udowodniła, ale nie jest w stanie przekazać tego dowodu innej osobie. Lub przekonaj inną osobę, że naprawdę to udowodnił. Zdarza się. Pierwszym przykładem z tego obszaru i najbardziej znanym opinii publicznej jest problem czterech kolorów. Ale to nie jest najtrudniejsza sytuacja, jaka się tutaj pojawia. Opowiem teraz trochę o problemie czterech kolorów, a potem pokażę bardziej szalone sytuacje.

Na czym polega problem czterech kolorów? To jest pytanie z teorii grafów. Graf to po prostu wierzchołki, które można połączyć krawędziami. Jeśli uda nam się narysować te wierzchołki na płaszczyźnie i połączyć je krawędziami tak, aby krawędzie się ze sobą nie przecinały, otrzymamy graf, który nazywamy planarnym. Co to jest kolorowanie grafów? Malujemy jego blaty na różne kolory. Jeśli zrobiliśmy to w ten sposób, że wierzchołki sąsiadujące z krawędzią mają zawsze różne kolory, to kolorowanie nazywamy regularnym. Chciałbym poprawnie pokolorować wykres, używając jak najmniejszej liczby różnych kolorów. Przykładowo na rysunku 5 mamy trzy wierzchołki, które są połączone parami – co oznacza, że ​​nie ma ucieczki, te wierzchołki na pewno będą miały trzy różne kolory. Ale ogólnie do pomalowania tego wykresu wystarczą cztery kolory (a trzech brakuje, możesz sprawdzić).

Od stu lat pojawia się problem: czy prawdą jest, że każdy wykres, który można narysować na płaszczyźnie, można pokolorować czterema kolorami? Niektórzy wierzyli i próbowali udowodnić, że cztery kolory zawsze wystarczą, inni nie wierzyli i próbowali podać przykład, kiedy cztery kolory nie wystarczą. Był też ten problem: problem jest bardzo łatwy do sformułowania. Dlatego wielu ludzi, nawet niezbyt poważnych matematyków, rzuciło się na to i zaczęło próbować to udowodnić. I przedstawili ogromną ilość rzekomych dowodów lub rzekomych obaleń. Wysłali ich do matematyków i krzyczeli w gazetach: „Hurra! Udowodniłem problem czterech kolorów! - a nawet publikował książki z błędnymi dowodami. Jednym słowem było mnóstwo hałasu.

Ostatecznie udowodnili to K. Appel i W. Haken. Teraz z grubsza opiszę Ci schemat dowodu. A jednocześnie zobaczymy, dlaczego dowód ten jest nieprzekazywalny innym. Ludzie zaczęli od poważnego zbadania struktury grafów planarnych. Zaprezentowali listę kilkudziesięciu konfiguracji i udowodnili, że każdy graf planarny koniecznie zawiera jedną z tych konfiguracji. To jest pierwsza połowa dowodu. A druga połowa dowodu jest taka, że ​​dla każdej z tych konfiguracji możemy sprawdzić, że jeśli jest na naszym wykresie, to można ją pokolorować na cztery kolory.

Dokładniej, dalszy dowód przebiega przez sprzeczność. Załóżmy, że naszego wykresu nie można pokolorować czterema kolorami. Z pierwszej połowy wiemy, że ma jakąś konfigurację z listy. Następnie dla każdej z tych konfiguracji przeprowadza się następujące rozumowanie. Załóżmy, że nasz graf zawiera tę konfigurację. Wyrzućmy to. Przez indukcję to, co pozostaje, maluje się w czterech kolorach. I sprawdzamy, czy niezależnie od tego jak pokolorujemy pozostałe cztery kolory, uda nam się skompletować właśnie tę konfigurację.

Najprostszym przykładem konfiguracji, którą można przemalować, jest wierzchołek połączony tylko z trzema innymi. Jasne jest, że jeśli nasz graf ma taki wierzchołek, to kolorowanie możemy pozostawić na koniec. Pokolorujmy wszystko inne, a następnie zobaczmy, do jakich kolorów jest dołączony ten wierzchołek i wybierzmy czwarty. W przypadku innych konfiguracji rozumowanie jest podobne, ale bardziej złożone.

Jak to wszystko zostało zrobione? Nie da się sprawdzić, czy każda z tak dużej liczby konfiguracji jest zawsze wykonywana ręcznie – zajmuje to zbyt dużo czasu. I tę kontrolę powierzono komputerowi. A on, po przejrzeniu dużej liczby przypadków, naprawdę potwierdził, że tak jest. Wynik był dowodem na problem czterech kolorów.

Tak to pierwotnie wyglądało. Ludzka część rozumowania, spisana w grubej księdze i dołączona do niej, zawierała zwroty, że ostateczne sprawdzenie, czy wszystko się pokolorowało, powierzono komputerowi, a nawet tekst program komputerowy cytowane. Program ten wszystko obliczył i wszystko sprawdził - rzeczywiście wszystko jest w porządku, a to oznacza, że ​​twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione.

Od razu zrobiło się głośno o tym, czy można wierzyć takim dowodom. Mimo wszystko większość dowody przeprowadził komputer, a nie osoba. „A co, jeśli komputer się pomylił?” - powiedzieli tacy ograniczeni ludzie.

I naprawdę zaczęły się problemy z tym dowodem, ale okazało się, że nie dotyczą one części komputerowej, ale ludzkiej. W dowodzie wykryto błędy. Oczywiste jest, że tekst o takiej długości, zawierający skomplikowane wyszukiwania, może oczywiście zawierać błędy. Błędy te znaleziono, ale na szczęście zostały poprawione.

Pozostała część komputerowa, która od tego czasu była testowana na więcej niż jednym komputerze, nawet przepisując programy, po prostu przeprowadzając to samo wyszukiwanie. Przecież jeśli zostanie powiedziane, co dokładnie należy powtórzyć, to każdy może napisać własny program i sprawdzić, czy wynik będzie taki, jak powinien. I wydaje mi się, że np. wykorzystanie w dowodzie tak dużych wyszukiwań komputerowych nie stanowi problemu. Dlaczego? Ale z tego samego powodu, który pojawił się już na przykładzie problemu czterech kolorów - że zaufanie do dowodów komputerowych jest znacznie większe, a nie mniejsze, niż do dowodów ludzkich. Krzyczeli, że komputer to maszyna, ale co jeśli się gdzieś zepsuje, zabłądzi, coś źle obliczy... Ale tak być nie może. Bo jeśli komputer przypadkowo się gdzieś zawiesił i wystąpił błąd - przypadkowo zastąpiono zero jedynką - nie doprowadzi to do nieprawidłowego wyniku. Nie doprowadzi to do żadnego rezultatu, po prostu program w końcu się zepsuje. Jaką typową operację wykonuje komputer? Pobrali taki a taki numer z takiego a takiego rejestru i przenieśli nad nim kontrolę w takie a takie miejsce. Naturalnie, jeśli w tej liczbie nastąpi zmiana choćby jednego bitu, kontrola zostanie przeniesiona w nieznane miejsce, tam zostaną zapisane jakieś polecenia, które już wkrótce po prostu wszystko zniszczą.

Oczywiście przy pisaniu programu komputerowego może wystąpić błąd, ale jest to błąd ludzki. Osoba może przeczytać program i sprawdzić, czy jest on poprawny, czy nie. Można także przeczytać cudzy dowód i sprawdzić, czy jest on poprawny, czy nie. Ale człowiek jest o wiele bardziej podatny na popełnianie błędów niż komputer. Jeśli czytasz wystarczająco długi dowód innej osoby i jest w nim błąd, istnieje duża szansa, że ​​go nie zauważysz. Dlaczego? Po pierwsze dlatego, że skoro sam autor dowodu popełnił ten błąd, to znaczy, że jest on psychologicznie uzasadniony. Czyli zrobił to nie bez powodu, przez przypadek – w zasadzie jest to miejsce, gdzie typowy człowiek może popełnić taki błąd. Oznacza to, że możesz popełnić ten sam błąd, czytając ten fragment i odpowiednio go nie zauważając. Dlatego weryfikacja przez człowieka, dowód przez człowieka, jest znacznie mniej niezawodną metodą weryfikacji niż sprawdzanie wyniku programu komputerowego poprzez ponowne uruchomienie go na innej maszynie. To drugie praktycznie gwarantuje, że wszystko będzie w porządku, a to pierwsze, że będzie szczęśliwie.

I ten problem – znalezienie błędu w pisanym przez ludzi tekście matematycznym – staje się coraz trudniejszy, a czasem wręcz niemożliwy – to poważny problem współczesnej matematyki. Musimy z tym walczyć. Jak – teraz nikt nie wie. Ale problem jest duży i pojawił się na serio właśnie teraz – jest na to kilka przykładów. Tutaj jest może mniej znany, ale jeden z najnowocześniejszych. To stara hipoteza Keplera. Mówi o wkładaniu piłek przestrzeń trójwymiarowa.

Przyjrzyjmy się najpierw, co dzieje się w przestrzeni dwuwymiarowej, czyli na płaszczyźnie. Miejmy identyczne kręgi. Jaki jest najgęstszy sposób narysowania ich na płaszczyźnie, aby się nie przecinały? Jest odpowiedź - musisz umieścić środki okręgów w węzłach sześciokątnej siatki. To stwierdzenie nie jest całkowicie trywialne, ale jest łatwe.

A w przestrzeni trójwymiarowej, jak ciasno upakować kulki? Najpierw układamy kulki na płaszczyźnie, jak pokazano na rysunku 6. Następnie kładziemy na wierzch kolejną podobną warstwę, dociskając ją do końca, jak pokazano na rysunku 7. Następnie kładziemy na wierzch kolejną podobną warstwę i tak dalej. Intuicyjnie oczywiste jest, że jest to najgęstszy sposób upakowania kulek w przestrzeni trójwymiarowej. Kepler argumentował (i wydaje się, że był pierwszym, który to sformułował), że to upakowanie musi być najgęstszym upakowaniem w przestrzeni trójwymiarowej.

Stało się to w XVII wieku i od tego czasu hipoteza ta jest aktualna. Na początku XXI wieku pojawił się jej dowód. I każdy z Was może to zdobyć i przeczytać. To jest w otwarty dostęp jest w Internecie. To jest artykuł liczący dwieście kilka stron. Został napisany przez jedną osobę i zawiera zarówno rozumowanie czysto matematyczne, jak i obliczenia komputerowe.

Po pierwsze, autor wykorzystuje rozumowanie matematyczne, aby zredukować problem do testowania skończonej liczby przypadków. Potem, czasami przy użyciu komputera, jest to skończone, ale bardzo duża liczba sprawdza skrzynki, wszystko pasuje i - hurra! - Hipoteza Keplera została udowodniona. I tu jest problem z tym artykułem – nikt nie może go przeczytać. Bo jest ciężka, bo w niektórych miejscach nie do końca wiadomo, czy to naprawdę kompletna przesada, bo po prostu nudno się to czyta. Dwieście stron nudnych obliczeń. Człowiek nie jest w stanie tego przeczytać.

Ogólnie rzecz biorąc, wszyscy uważają, że ten artykuł zawiera dowód tego twierdzenia. Ale z drugiej strony nikt tego jeszcze rzetelnie nie zweryfikował, w szczególności artykuł ten nie został opublikowany w żadnym recenzowanym czasopiśmie, tj. żaden szanujący się matematyk nie jest gotowy podpisać się pod stwierdzeniem, że „tak, wszystko się zgadza, a hipoteza Keplera została udowodniona.”

I nie jest to jedyna sytuacja, zdarza się to także w innych obszarach matematyki. Całkiem niedawno natknąłem się na listę nierozwiązanych problemów w teorii mnogości, teorii modeli, w różne obszary. A co do jednej hipotezy pojawiają się komentarze typu: rzekomo została obalona w takim a takim artykule, ale nikt w to nie wierzy.

Taka jest sytuacja. Osoba udowodniła stwierdzenie, ale nie jest w stanie przekazać go innemu, powiedzieć innemu.

Najstraszniejszym przykładem jest oczywiście klasyfikacja skończonych grup prostych. Nie będę formułował dokładnie co to jest, jakie są grupy, jakie są grupy skończone, jeśli chcesz, możesz dowiedzieć się sam. Wszystkie grupy skończone są w pewnym sensie złożone z prostych bloków, zwanych grupami prostymi, których nie można już rozłożyć na mniejsze bloki. Tych skończonych grup prostych jest nieskończenie wiele. Ich pełna lista wygląda następująco: jest to siedemnaście niekończących się serii, do których na końcu dodano 26 oddzielne grupy, które zostały zbudowane w jakiś odrębny sposób i nie wchodzą w skład żadnej serii. Stwierdzono, że ta lista zawiera wszystkie skończone grupy proste. Problem jest strasznie potrzebny w matematyce. Dlatego w latach 70., kiedy pojawiły się szczególne pomysły i nadzieje na jego rozwiązanie, kilkuset matematyków z różnych krajów, z różnych instytutów zaatakowało ten problem, każdy zajmując się swoim zadaniem. Byli, że tak powiem, architekci tego projektu, którzy z grubsza wyobrażali sobie, jak to wszystko zostanie później zebrane w jeden dowód. Oczywiste jest, że ludzie się spieszyli i rywalizowali. W rezultacie ich teksty zajęły łącznie około 10 000 stron czasopism i tylko tyle zostało opublikowane. Są też artykuły, które istniały albo jako przeddruki, albo jako kopie maszynowe. Sam kiedyś czytałem jeden taki artykuł; nigdy nie został on opublikowany, chociaż zawiera zauważalny fragment owego kompletnego dowodu. I te 10 000 stron jest rozrzuconych po różnych czasopismach różni ludzie, o różnym stopniu zrozumiałości, a dla zwykłego matematyka, który nie jest z tym związany i nie jest jednym z architektów tej teorii, nie tylko nie da się przeczytać wszystkich 10 000 stron, ale także bardzo trudno jest zrozumieć strukturę sam dowód. Co więcej, niektórzy z tych architektów od tego czasu po prostu umarli.

Ogłosili, że klasyfikacja została zakończona, choć dowód istniał jedynie w formie tekstu, którego nikt nie mógł przeczytać, co doprowadziło do następujących problemów. Nowi matematycy byli mniej skłonni do zagłębiania się w teorię grup skończonych. Coraz mniej osób to robi. I może się zdarzyć, że za 50 lat nie będzie na Ziemi osoby, która będzie w stanie cokolwiek zrozumieć z tego dowodu. Będą legendy: nasi wielcy przodkowie byli w stanie udowodnić, że na tej liście znajdują się wszystkie skończone grupy proste i że nie ma innych, ale teraz ta wiedza została utracona. Całkiem realna sytuacja. Ale na szczęście nie tylko ja uważam tę sytuację za realistyczną, więc z nią walczą i słyszałem, że zorganizowali nawet specjalny projekt „Filozoficzne i problemy matematyczne związane z dowodem klasyfikacji skończonych grup prostych.” Są ludzie, którzy próbują sprowadzić ten dowód do czytelnej formy i może kiedyś rzeczywiście się to uda. Są ludzie, którzy próbują wymyślić, co zrobić z tymi wszystkimi trudnościami. Ludzkość pamięta o tym zadaniu, a to oznacza, że ​​w końcu sobie z nim poradzi. Niemniej jednak może się zdarzyć, że pojawią się inne, równie złożone twierdzenia, które można udowodnić, ale których dowodu nikt nie jest w stanie przeczytać, nikt nie jest w stanie nikomu powiedzieć.

Twierdzenie czwarte

Cóż, teraz czwarte twierdzenie, o którym trochę ci opowiem, może być nawet najstraszniejsze - „nawet jeśli ci powie, nikt nie będzie zainteresowany”. Pewien fragment tego problemu został już usłyszany. Ludzie nie są już zainteresowani badaniem skończonych grup. Coraz mniej osób to robi, a masa wiedzy, która została zachowana w formie tekstów, nie jest już nikomu potrzebna, nikt nie wie, jak ją odczytać. Jest to także problem zagrażający wielu dziedzinom matematyki.

Oczywiste jest, że niektóre dziedziny matematyki przynoszą szczęście. Na przykład ta sama teoria grafów i kombinatoryka. Aby na poważnie zacząć je robić, trzeba wiedzieć bardzo niewiele. Nauczyłeś się trochę, rozwiązałeś problemy olimpijskie, jeden krok - i stajesz przed nierozwiązanym problemem. Jest się czym zająć – hurra, bierzmy się za to, jest ciekawie, będziemy nad tym pracować. Są jednak dziedziny matematyki, w których nawet aby poczuć, że jest to naprawdę piękna dziedzina i że chce się ją studiować, trzeba się wiele nauczyć. A jednocześnie dowiesz się po drodze wielu innych pięknych rzeczy. Ale nie powinniście rozpraszać się tymi pięknościami napotkanymi po drodze, a w końcu dotrzecie tam, w samą dzicz, już tam widzicie piękno, a nawet wtedy, wiele się nauczywszy, będziecie mogli studiować ten obszar matematyka. I ta trudność jest problemem dla takich obszarów. Aby dziedzina matematyki mogła się rozwijać, należy ją praktykować. Wystarczająca liczba osób powinna być tym na tyle zainteresowana, aby pokonać wszystkie trudności, dotrzeć tam i dalej to robić. A teraz matematyka osiąga taki poziom złożoności, że dla wielu dziedzin staje się to głównym problemem.

Nie wiem, jak ludzkość poradzi sobie z tymi wszystkimi problemami, ale ciekawie będzie to zobaczyć.

Właściwie to wszystko.