Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Poniższe dwa przykłady mogą niektórym wydawać się skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.
Przykład 2
Znajdź pochodną funkcji
Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W przypadku wątpliwości przypominam przydatną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.
1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że suma jest najgłębszym osadzeniem.
2) Następnie musisz obliczyć logarytm:
4) Następnie sześcian cosinus:
5) W piątym kroku różnica:
6) I wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy: 
Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej 
są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:
Wygląda na to, że nie ma błędów:
1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.
2) Oblicz pochodną różnicy korzystając z reguły 
3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).
4) Weź pochodną cosinusa.
6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.
Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.
Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji
Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu
Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?
Przykład 4
Znajdź pochodną funkcji 
Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.
W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów 
dwa razy
Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? 
- to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:
Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:
Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.
Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:
Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.
Przykład 5
Znajdź pochodną funkcji
To jest przykład rozwiązania niezależnego; w przykładzie jest ono rozwiązywane pierwszą metodą.
Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.
Przykład 6
Znajdź pochodną funkcji 
Można tu przejść na kilka sposobów:
Lub tak:
Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu 
, biorąc za cały licznik:
W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć?
Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się trzypiętrowej struktury ułamka:
Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.
Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:
Przykład 7
Znajdź pochodną funkcji
Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm
Jeśli G(X) I F(ty) – różniczkowalne funkcje ich argumentów odpowiednio w punktach X I ty= G(X), wówczas funkcja zespolona jest również różniczkowalna w punkcie X i można go znaleźć ze wzoru
Typowym błędem przy rozwiązywaniu problemów pochodnych jest mechaniczne przenoszenie zasad różniczkowania funkcji prostych na funkcje złożone. Nauczmy się unikać tego błędu.
Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji
Błędne rozwiązanie: oblicz logarytm naturalny każdego wyrazu w nawiasach i znajdź sumę pochodnych:
Prawidłowe rozwiązanie: ponownie ustalamy, gdzie jest „jabłko”, a gdzie „mięso mielone”. Tutaj logarytm naturalny wyrażenia w nawiasach to „jabłko”, czyli funkcja nad argumentem pośrednim ty, a wyrażenie w nawiasie to „mięso mielone”, czyli argument pośredni ty przez zmienną niezależną X.
Następnie (używając wzoru 14 z tabeli instrumentów pochodnych)
W wielu rzeczywistych problemach wyrażenie z logarytmem może być nieco bardziej skomplikowane, dlatego jest lekcja
Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji
Błędne rozwiązanie:
Prawidłowe rozwiązanie. Po raz kolejny ustalamy, gdzie jest „jabłko”, a gdzie „mięso mielone”. Tutaj cosinus wyrażenia w nawiasach (wzór 7 w tabeli pochodnych) to „jabłko”, jest przygotowywany w trybie 1, który dotyczy tylko niego, a wyrażenie w nawiasach (pochodna stopnia to liczba 3 w tabeli pochodnych) to „mięso mielone”, jest przygotowywane w trybie 2, który dotyczy tylko niego. I jak zawsze łączymy dwie pochodne ze znakiem iloczynu. Wynik:
Pochodna złożonej funkcji logarytmicznej jest częstym zadaniem w testach, dlatego zdecydowanie zalecamy zapoznanie się z lekcją „Pochodna funkcji logarytmicznej”.
Pierwsze przykłady dotyczyły funkcji złożonych, w których argumentem pośrednim zmiennej niezależnej była funkcja prosta. Jednak w zadaniach praktycznych często konieczne jest znalezienie pochodnej funkcji złożonej, gdy argument pośredni albo sam jest funkcją złożoną, albo zawiera taką funkcję. Co zrobić w takich przypadkach? Znajdź pochodne takich funkcji, korzystając z tabel i reguł różniczkowania. Kiedy zostanie znaleziona pochodna argumentu pośredniego, wystarczy ją podstawić we właściwym miejscu we wzorze. Poniżej znajdują się dwa przykłady, jak to się robi.
Ponadto warto wiedzieć, co następuje. Jeśli złożoną funkcję można przedstawić jako łańcuch trzech funkcji
wówczas jej pochodną należy znaleźć jako iloczyn pochodnych każdej z tych funkcji:
Wiele zadań domowych może wymagać otwarcia przewodników w nowych oknach. Działania z mocami i korzeniami I Operacje na ułamkach .
Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej, nie zapominając, że w otrzymanym iloczynie pochodnych występuje argument pośredni w odniesieniu do zmiennej niezależnej X nie zmienia:
Przygotowujemy drugi czynnik iloczynu i stosujemy zasadę różniczkowania sumy:
Drugi wyraz to pierwiastek, tzw
W ten sposób odkryliśmy, że argument pośredni, którym jest suma, zawiera funkcję złożoną jako jeden z terminów: podnoszenie do potęgi jest funkcją złożoną, a to, co jest podnoszone do potęgi, jest argumentem pośrednim w odniesieniu do niezależnej zmienny X.
Dlatego ponownie stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
Stopień pierwszego czynnika przekształcamy na pierwiastek, a różniczkując drugi czynnik nie zapominamy, że pochodna stałej jest równa zeru:
Teraz możemy znaleźć pochodną argumentu pośredniego potrzebną do obliczenia pochodnej funkcji zespolonej wymaganej w opisie problemu y:
Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji
Najpierw korzystamy z reguły różniczkowania sumy:
Otrzymaliśmy sumę pochodnych dwóch funkcji zespolonych. Znajdźmy pierwszy:
W tym przypadku podniesienie sinusa do potęgi jest funkcją złożoną, a sam sinus jest pośrednim argumentem na rzecz zmiennej niezależnej X. Dlatego po drodze skorzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej wyjmując czynnik z nawiasów :
Teraz znajdujemy drugi wyraz pochodnych funkcji y:
Tutaj podniesienie cosinusa do potęgi jest funkcją złożoną F, a sam cosinus jest argumentem pośrednim zmiennej niezależnej X. Skorzystajmy jeszcze raz z reguły różniczkowania funkcji zespolonej:
Wynikiem jest wymagana pochodna:
Tabela pochodnych niektórych funkcji złożonych
Dla funkcji złożonych, bazując na zasadzie różniczkowania funkcji zespolonej, wzór na pochodną funkcji prostej przyjmuje inną postać.
| 1. Pochodna złożonej funkcji potęgowej, gdzie ty X |  |
| 2. Pochodna pierwiastka wyrażenia | |
| 3. Pochodna funkcji wykładniczej |  |
| 4. Szczególny przypadek funkcji wykładniczej | |
| 5. Pochodna funkcji logarytmicznej o dowolnej podstawie dodatniej A |  |
| 6. Pochodna złożonej funkcji logarytmicznej, gdzie ty– różniczkowalna funkcja argumentu X | |
| 7. Pochodna sinusa |  |
| 8. Pochodna cosinusa |  |
| 9. Pochodna tangensa |  |
| 10. Pochodna kotangensu |  |
| 11. Pochodna arcsine |  |
| 12. Pochodna arckosinusa |  |
| 13. Pochodna arcustangens |  |
| 14. Pochodna cotangensu łukowego |  |
Nazywanie funkcji typu złożonego terminem „funkcja złożona” nie jest całkowicie poprawne. Na przykład wygląda bardzo imponująco, ale ta funkcja nie jest skomplikowana, w przeciwieństwie do.
W tym artykule zrozumiemy pojęcie funkcji złożonej, nauczymy się ją identyfikować jako część funkcji elementarnych, podamy wzór na znalezienie jej pochodnej i szczegółowo rozważymy rozwiązanie typowych przykładów.
Rozwiązując przykłady, będziemy stale korzystać z tabeli pochodnych i reguł różniczkowania, więc miej je przed oczami.
Funkcja złożona jest funkcją, której argument jest również funkcją.
Z naszego punktu widzenia ta definicja jest najbardziej zrozumiała. Konwencjonalnie można to oznaczyć jako f(g(x)). Oznacza to, że g(x) jest jak argument funkcji f(g(x)).
Na przykład, niech f będzie funkcją arcus tangens, a g(x) = lnx będzie funkcją logarytmu naturalnego, wówczas funkcją zespoloną f(g(x)) będzie arctan(lnx) . Inny przykład: f jest funkcją podniesienia do czwartej potęgi i 
jest zatem całą funkcją wymierną (patrz ). 
.
Z kolei g(x) może być również funkcją zespoloną. Na przykład, 
. Konwencjonalnie takie wyrażenie można oznaczyć jako 
. Tutaj f jest funkcją sinus, jest funkcją pierwiastka kwadratowego, 
- ułamkowa funkcja wymierna. Logiczne jest założenie, że stopień zagnieżdżenia funkcji może być dowolną skończoną liczbą naturalną.
Często można usłyszeć złożoną funkcję tzw skład funkcji.
Wzór na znalezienie pochodnej funkcji zespolonej.
Przykład.
Znajdź pochodną funkcji zespolonej.
Rozwiązanie.
W tym przykładzie f jest funkcją kwadratową, a g(x) = 2x+1 jest funkcją liniową.
Oto szczegółowe rozwiązanie wykorzystujące wzór na pochodną funkcji zespolonej: 
Znajdźmy tę pochodną, najpierw upraszczając postać pierwotnej funkcji.
Stąd,
Jak widać, wyniki są takie same.
Staraj się nie mylić, która funkcja to f, a która g(x).
Zilustrujmy to przykładem, aby zwrócić Twoją uwagę.
Przykład.
Znajdź pochodne funkcji złożonych i .
Rozwiązanie.
W pierwszym przypadku f jest funkcją kwadratową, a g(x) jest funkcją sinusową, więc
.
W drugim przypadku f jest funkcją sinusową i jest funkcją potęgową. Dlatego mamy wzór na iloczyn funkcji złożonej
Wzór na pochodną funkcji ma postać 
Przykład.
Funkcja różniczkująca 
.
Rozwiązanie.
W tym przykładzie funkcję złożoną można konwencjonalnie zapisać jako 
, gdzie to odpowiednio funkcja sinus, trzecia funkcja potęgi, funkcja logarytmu podstawy e, funkcja arcus tangens i funkcja liniowa.
Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej 
Teraz znajdujemy
Zestawmy otrzymane wyniki pośrednie: 
Nie ma nic strasznego, przeanalizuj złożone funkcje, takie jak zagnieżdżanie lalek.
I na tym mógłby być koniec artykułu, gdyby nie jedna rzecz…
Wskazane jest, aby jasno zrozumieć, kiedy zastosować zasady różniczkowania i tabelę pochodnych, a kiedy zastosować wzór na pochodną funkcji zespolonej.
ZACHOWAJ TERAZ SZCZEGÓLNĄ OSTROŻNOŚĆ. Porozmawiamy o różnicy między funkcjami złożonymi a funkcjami złożonymi. Twój sukces w znalezieniu instrumentów pochodnych będzie zależał od tego, jak bardzo widzisz tę różnicę.
Zacznijmy od prostych przykładów. Funkcjonować 
można uznać za złożone: g(x) = tanx , 
. Dlatego możesz od razu zastosować wzór na pochodną funkcji zespolonej 
A oto funkcja 
Nie można tego już nazwać skomplikowanym.
Ta funkcja jest sumą trzech funkcji, 3tgx i 1. Chociaż - jest funkcją zespoloną: - funkcją potęgową (parabola kwadratowa), a f jest funkcją styczną. Dlatego najpierw stosujemy wzór na różniczkowanie sumy: 
Pozostaje znaleźć pochodną funkcji zespolonej: 
Dlatego .
Mamy nadzieję, że rozumiesz sedno.
Jeśli spojrzymy szerzej, można argumentować, że funkcje typu złożonego mogą być częścią funkcji złożonych, a funkcje złożone mogą być składnikami funkcji typu złożonego.
Jako przykład przeanalizujmy funkcję na jej części składowe 
.
Po pierwsze, jest to funkcja złożona, którą można przedstawić jako , gdzie f jest funkcją logarytmu przy podstawie 3, a g(x) jest sumą dwóch funkcji 
I 
. To jest, 
.
Po drugie, zajmijmy się funkcją h(x) . Reprezentuje związek z 
.
Jest to suma dwóch funkcji i 
, Gdzie 
- funkcja złożona o współczynniku numerycznym 3. - funkcja sześcienna, - funkcja cosinus, - funkcja liniowa.
Jest to suma dwóch funkcji i , gdzie 
- funkcja zespolona, - funkcja wykładnicza, - funkcja potęgowa.
Zatem, .
Trzeci, przejdź do , który jest iloczynem funkcji złożonej 
i cała funkcja wymierna
Funkcja kwadratowa jest funkcją logarytmu o podstawie e.
Stąd, .
Podsumujmy: 
Teraz struktura funkcji jest jasna i stało się jasne, jakie wzory i w jakiej kolejności należy stosować przy jej różniczkowaniu.
W części poświęconej różniczkowaniu funkcji (znalezieniu pochodnej) możesz zapoznać się z rozwiązaniami podobnych problemów.
Pochodna
Obliczanie pochodnej funkcji matematycznej (różniczkowania) jest bardzo częstym problemem przy rozwiązywaniu matematyki wyższej. W przypadku prostych (elementarnych) funkcji matematycznych jest to dość prosta sprawa, gdyż tablice pochodnych funkcji elementarnych są już dawno opracowane i są łatwo dostępne. Jednak znalezienie pochodnej złożonej funkcji matematycznej nie jest zadaniem trywialnym i często wymaga znacznego wysiłku i czasu.
Znajdź instrument pochodny online
Dzięki naszemu serwisowi online pozbędziesz się bezsensownych, długich obliczeń i znajdź instrument pochodny w Internecie w jednej chwili. Ponadto, korzystając z naszej usługi znajdującej się na stronie internetowej www.strona, możesz obliczyć pochodna internetowa zarówno z funkcji elementarnej, jak i bardzo złożonej, która nie ma rozwiązania analitycznego. Główne zalety naszej witryny w porównaniu z innymi to: 1) nie ma ścisłych wymagań dotyczących metody wprowadzania funkcji matematycznej do obliczania pochodnej (na przykład wpisując funkcję sinus x, można ją wprowadzić jako sin x lub sin (x) lub grzech[x] itp. d.); 2) obliczanie instrumentów pochodnych online następuje natychmiastowo w trybie online i absolutnie za darmo; 3) pozwalamy znaleźć pochodną funkcji jakiekolwiek zamówienie, zmiana rzędu pochodnej jest bardzo łatwa i zrozumiała; 4) umożliwiamy znalezienie w Internecie pochodnej niemal każdej funkcji matematycznej, nawet bardzo złożonej, której nie da się rozwiązać innymi usługami. Udzielona odpowiedź jest zawsze dokładna i nie może zawierać błędów.
Korzystanie z naszego serwera pozwoli Ci: 1) obliczyć dla Ciebie pochodną online, eliminując czasochłonne i żmudne obliczenia, podczas których mógłbyś popełnić błąd lub literówkę; 2) jeśli samodzielnie obliczysz pochodną funkcji matematycznej, dajemy Ci możliwość porównania uzyskanego wyniku z obliczeniami naszego serwisu i upewnienia się, że rozwiązanie jest prawidłowe lub znajdziemy błąd, który się wkradł; 3) skorzystaj z naszego serwisu zamiast korzystać z tablic pochodnych prostych funkcji, gdzie często znalezienie żądanej funkcji zajmuje dużo czasu.
Wszystko, co musisz zrobić, to znajdź instrument pochodny w Internecie- jest korzystanie z naszego serwisu
Funkcje typu złożonego nie zawsze pasują do definicji funkcji złożonej. Jeśli istnieje funkcja w postaci y = sin x - (2 - 3) · a r do t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, to nie można jej uważać za złożoną, w przeciwieństwie do y = sin 2 x.
W artykule zostanie przedstawione pojęcie funkcji zespolonej oraz jej identyfikacja. Pracujmy ze wzorami na znalezienie pochodnej z przykładami rozwiązań w podsumowaniu. Zastosowanie tabeli pochodnych i zasad różniczkowania znacznie skraca czas znajdowania pochodnej.
Podstawowe definicje
Definicja 1Funkcja złożona to taka, której argument jest również funkcją.
Oznacza się to w ten sposób: f (g (x)). Mamy, że funkcja g (x) jest uważana za argument f (g (x)).
Definicja 2
Jeśli istnieje funkcja f i jest to funkcja cotangens, to g(x) = ln x jest funkcją logarytmu naturalnego. Stwierdzamy, że funkcja zespolona f (g (x)) zostanie zapisana jako arctg(lnx). Lub funkcję f, która jest funkcją podniesioną do czwartej potęgi, gdzie g (x) = x 2 + 2 x - 3 uważa się za całą funkcję wymierną, otrzymujemy, że f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .
Oczywiście g(x) może być złożone. Z przykładu y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 widać, że wartość g ma pierwiastek sześcienny ułamka. Wyrażenie to można oznaczyć jako y = f (f 1 (f 2 (x))). Skąd mamy, że f jest funkcją sinusową, a f 1 jest funkcją znajdującą się pod pierwiastkiem kwadratowym, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 jest ułamkową funkcją wymierną.
Definicja 3
Stopień zagnieżdżenia jest określany przez dowolną liczbę naturalną i zapisywany jako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .
Definicja 4
Pojęcie złożenia funkcji odnosi się do liczby funkcji zagnieżdżonych zgodnie z warunkami problemu. Aby rozwiązać, użyj wzoru na znalezienie pochodnej funkcji zespolonej formy
(f (g (x))) " = fa " (g (x)) g " (x)
Przykłady
Przykład 1Znajdź pochodną funkcji zespolonej postaci y = (2 x + 1) 2.
Rozwiązanie
Warunek pokazuje, że f jest funkcją kwadratową, a g(x) = 2 x + 1 uważa się za funkcję liniową.
Zastosujmy wzór na pochodną dla funkcji zespolonej i napiszmy:
fa " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; sol " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) sol " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4
Należy znaleźć pochodną z uproszczoną pierwotną postacią funkcji. Otrzymujemy:
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
Stąd mamy to
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4
Wyniki były takie same.
Rozwiązując problemy tego typu, ważne jest, aby zrozumieć, gdzie będzie zlokalizowana funkcja postaci f i g (x).
Przykład 2
Powinieneś znaleźć pochodne funkcji zespolonych postaci y = sin 2 x i y = sin x 2.
Rozwiązanie
Pierwszy zapis funkcji mówi, że f jest funkcją podnoszącą kwadrat, a g(x) jest funkcją sinus. Wtedy to zrozumiemy
y " = (grzech 2 x) " = 2 grzech 2 - 1 x (grzech x) " = 2 grzech x cos x
Drugi zapis pokazuje, że f jest funkcją sinusową, a g(x) = x 2 oznacza funkcję potęgową. Wynika z tego, że iloczyn funkcji zespolonej zapisujemy jako
y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)
Wzór na pochodną y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) zostanie zapisany jako y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)
Przykład 3
Znajdź pochodną funkcji y = sin (ln 3 a r do t g (2 x)).
Rozwiązanie
Ten przykład pokazuje trudność zapisu i określenia lokalizacji funkcji. Następnie y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) oznaczają, gdzie f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) jest funkcją sinus, funkcją podnoszenia do 3 stopnia, funkcja logarytmiczna i podstawa e, arcus tangens i funkcja liniowa.
Ze wzoru na definicję funkcji zespolonej mamy to
y " = fa " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)
Dostajemy to, co musimy znaleźć
- f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jako pochodna sinusa zgodnie z tabelą pochodnych, a następnie f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 za r do t sol (2 x)) .
- f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako pochodna funkcji potęgowej, a następnie f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 za r do t sol (2 x) = 3 ln 2 za r do t sol (2 x) .
- f 2 " (f 3 (f 4 (x))) jako pochodna logarytmiczna, następnie f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 za r do t sol (2 x) .
- f 3 " (f 4 (x)) jako pochodna arcustangens, następnie f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
- Znajdując pochodną f 4 (x) = 2 x, usuń 2 ze znaku pochodnej, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku równym 1, a następnie f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .
Łączymy wyniki pośrednie i otrzymujemy to
y " = fa " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) fa 3 " (f 4 (x)) fa 4 " (x) = = cos (ln 3 za r do t sol (2 x)) 3 ln 2 za r do t g (2 x) 1 za r do t sol (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 sałata (ln 3 za r do t sol (2 x)) ln 2 za r do t sol (2 x) za r do t sol (2 x) (1 + 4 x 2)
Analiza takich funkcji przypomina gniazdowanie lalek. Reguły różnicowania nie zawsze mogą być stosowane bezpośrednio przy użyciu tabeli pochodnych. Często trzeba użyć wzoru do znalezienia pochodnych funkcji złożonych.
Istnieją pewne różnice między złożonym wyglądem a złożonymi funkcjami. Dzięki wyraźnej umiejętności rozróżnienia, znalezienie instrumentów pochodnych będzie szczególnie łatwe.
Przykład 4
Warto rozważyć podanie takiego przykładu. Jeżeli istnieje funkcja w postaci y = t g 2 x + 3 t g x + 1, to można ją uznać za złożoną funkcję w postaci g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Oczywiście konieczne jest skorzystanie ze wzoru na pochodną złożoną:
fa " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · sol 2 - 1 (x) + 3 sol " (x) + 0 = 2 sol (x) + 3 1 sol 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t sol x + 3 ; sol " (x) = (t g x) " = 1 sałata 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = fa " (g (x)) sol " (x) = (2 t sol x + 3 ) · 1 sałata 2 x = 2 t sol x + 3 sałata 2 x
Funkcja w postaci y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nie jest uważana za złożoną, ponieważ ma sumę t g x 2, 3 t g x i 1. Jednakże t g x 2 uważa się za funkcję zespoloną, wtedy otrzymujemy funkcję potęgową w postaci g (x) = x 2 i f, która jest funkcją styczną. Aby to zrobić, różnicuj według kwoty. Rozumiemy to
y " = (t sol x 2 + 3 t g x + 1) " = (t sol x 2) " + (3 t sol x) " + 1 " = = (t sol x 2) " + 3 (t sol x) " + 0 = (t sol x 2) " + 3 razy 2x
Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji zespolonej (t g x 2)”:
fa " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 sałata 2 g (x) = 1 sałata 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)
Otrzymujemy, że y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 sałata 2 x = 2 x sałata 2 (x 2) + 3 sałata 2 x
Funkcje typu złożonego mogą być zawarte w funkcjach złożonych, a same funkcje złożone mogą być składnikami funkcji typu złożonego.
Przykład 5
Rozważmy na przykład funkcję złożoną w postaci y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)
Funkcję tę można przedstawić jako y = f (g (x)), gdzie wartość f jest funkcją logarytmu o podstawie 3, a g (x) uważa się za sumę dwóch funkcji w postaci h (x) = x 2 + 3 sałata 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Oczywiście y = f (h (x) + k (x)).
Rozważmy funkcję h(x). To jest stosunek l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 do m (x) = e x 2 + 3 3
Mamy, że l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) jest sumą dwóch funkcji n (x) = x 2 + 7 i p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , gdzie p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) jest funkcją zespoloną o współczynniku liczbowym 3, a p 1 jest funkcją sześcianu, p 2 przez funkcję cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 przez funkcję liniową.
Ustaliliśmy, że m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) jest sumą dwóch funkcji q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3, gdzie q (x) = q 1 (q 2 (x)) jest funkcją zespoloną, q 1 jest funkcją wykładniczą, q 2 (x) = x 2 jest funkcją potęgi.
To pokazuje, że h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
Przechodząc do wyrażenia w postaci k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), widać wyraźnie, że funkcja jest przedstawiona w postaci zespolonej s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) z wymierną liczbą całkowitą t (x) = x 2 + 1, gdzie s 1 jest funkcją kwadratową, a s 2 (x) = ln x jest logarytmiczną z podstawa tj.
Wynika z tego, że wyrażenie będzie miało postać k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).
Wtedy to zrozumiemy
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fa n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
Na podstawie struktur funkcji stało się jasne, jak i jakich formuł należy użyć, aby uprościć wyrażenie podczas jego różnicowania. Aby zapoznać się z takimi problemami i koncepcją ich rozwiązania, należy przejść do punktu różniczkowania funkcji, czyli znalezienia jej pochodnej.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter