Side 2

De rette trekantene dannet av punktene O, (a b) / 2, t og 0, (a a) / 2, t, er faktisk like.  

Høyre trekant med ben 5 og 12 cm, roterer den rundt en ytre akse, som er parallell med det større benet og med en avstand på 3 cm fra det.  

En rettvinklet trekant med ben 15 cm og 20 cm roterer rundt en vinkelrett på hypotenusen trukket gjennom toppunktet til den større spisse vinkelen.  

Rettvinklede trekanter er like hvis de hver har lik spiss vinkel.  

Rettvinklede trekanter er like hvis sidene til den ene er proporsjonale med sidene til den andre.  

En rettvinklet trekant kan ha sider, som hver er et heltall. Settet med tre heltallsverdier for sidene i en rettvinklet trekant kalles Pythagoras trippel. Disse tre sidene må tilfredsstille følgende forhold: summen av kvadratene til de to bena er lik kvadratet på hypotenusen. Bruk en trippel-nestet for-løkke som ganske enkelt går gjennom alle mulighetene. Dette er et eksempel på råkraftberegning. For mange gir det ikke estetisk tilfredsstillelse. Men det er mange grunner til at disse metodene er viktige. For det første med makt datateknologi Ettersom de vokser i en så ekstraordinær hastighet, kan løsninger som ville ha krevd år eller til og med århundrer med datamaskintid ved bruk av teknologier brukt for bare noen få år siden nå oppnås på timer, minutter eller til og med sekunder. Moderne mikroprosessorkretser kan behandle mer enn 100 millioner operasjoner per sekund. Og på 90-tallet skulle det etter all sannsynlighet dukke opp mikroprosessorkretser som er i stand til å behandle en milliard operasjoner per sekund. For det andre, som du vil lære fra avanserte informatikkkurs, er det stort antall interessante oppgaver, som det ikke finnes andre kjente algoritmiske tilnærminger enn brute force-løsninger for.  

En rettvinklet trekant hvis sider er 12 cm og 16 cm roterer rundt hypotenusen.  

Rettvinklede trekanter med sider målt i hele tall.  

En rettvinklet trekant med ben 8 cm og 15 cm roterer rundt det større benet.  

Rettvinklet trekant med areal S og spiss vinkel a roterer rundt en akse som inneholder hypotenusen.  

En rettvinklet trekant med areal S og spiss vinkel a roterer rundt en akse gjennom toppunktet rett vinkel parallelt med hypotenusen.  

En rettvinklet trekant med ben a og en motsatt vinkel på 30 roterer rundt hypotenusen.  

En rettvinklet trekant beveger seg i et plan slik at toppunktene til de spisse vinklene glir langs to innbyrdes vinkelrette rette linjer. Hvilken form dannes av toppunktene i den rette vinkelen til denne trekanten?  

Som kjent; når et punkt roterer rundt en akse, beveger det seg i et plan, vinkelrett på aksen rotasjon og beskriver en sirkel. For å bruke rotasjonsmetoden for å transformere tegningen, legger vi merke til følgende fire elementer (fig. 5.8):

rotasjonsakse (MN);

punktrotasjonsplan(pl. S er vinkelrett (MN));

rotasjonssenter;

rotasjonsradius (R; R= |OA|).

Rette linjer, vinkelrett eller parallelle med projeksjonsplanene, brukes vanligvis som rotasjonsaksen. La oss vurdere rotasjon rundt aksene, vinkelrett på flyene projeksjoner.

Rotasjon av punkt A på tegningen i forhold til aksen MN, vinkelrett på planet N, vist i figur 5.9. Rotasjonsplan S parallelt med H-planet og er avbildet neste gang på frontalprojeksjonen S v. Horisontal projeksjon o rotasjonssenter o sammenfaller med projeksjonen tp aksen og den horisontale projeksjonen oa rotasjonsradius OA er dens naturlige størrelse. Roter et punkt EN i figur 5.9 er laget av vinkelen f mot klokken slik at punktene med fremspring i den nye posisjonen a1", a1 rotasjonsradiusen var parallell med planetV Når du roterer et punkt rundt vertikal akse dens horisontale projeksjon beveger seg langs en sirkel, og frontprojeksjonen beveger seg parallelt med x-aksen og vinkelrett på rotasjonsaksen.

Hvis et punkt roteres rundt en akse vinkelrett på V-planet, vil frontprojeksjonen bevege seg rundt sirkelen, og dens horisontale projeksjon vil bevege seg parallelt med x-aksen.

Rotasjon av et punkt rundt en utstikkende linje brukes til å løse noen problemer, for eksempel når man skal bestemme den naturlige størrelsen til et linjestykke. Til dette (fig. 5.10) er en rotasjonsakse med fremspring tilstrekkelig tp, tp velg slik at den går gjennom en av ekstreme punkter segment, for eksempel et punkt med projeksjoner b", b. Så når man snur poenget EN ved vinkel f til posisjon A1 (OA1 || område V, oa, || x-akse) segment AB flytter til posisjon A1B, parallelt med flyet V og projiseres derfor på den i naturlig størrelse. Samtidig vil helningsvinkelen til segmentet projiseres i full størrelse AB til fly H.

Rotasjon (rotasjon) av et punkt med projeksjoner b", b i forhold til aksen med projeksjoner tp, tp, vinkelrett på planet V, vist i figur 5.11. Når du roterer punktet I beveget seg i rotasjonsplanet T (Th) til posisjon med fremspring b1", b1 slik at rotasjonsradius OB ble parallell med flyet H (o"b" || x-akse).

Anvendelse av rotasjonsmetoden uten å angi på tegningen rotasjonsaksene vinkelrett på projeksjonsplanene.Hvis du roterer en geometrisk figur rundt en akse vinkelrett på projeksjonsplanet, endres ikke projeksjonen på dette planet verken i utseende eller størrelse (bare posisjonen til projeksjonen i forhold til projeksjonsaksen endres). Punktprojeksjoner geometrisk figur på et plan parallelt med rotasjonsaksen, beveg deg i rette linjer, parallelt med aksen projeksjoner (med unntak av projeksjoner av punkter plassert på rotasjonsaksen), og projeksjonen som helhet endres i form og størrelse. Derfor kan du bruke rotasjonsmetoden uten å spesifisere bildet av rotasjonsaksen. I det

uten å endre størrelsen og formen til en av projeksjonene til det geometriske bildet, flytt denne projeksjonen til ønsket posisjon, og bygg deretter en annen projeksjon som angitt ovenfor.

Figur 5.12 viser bruken av rotasjonsmetoden uten å spesifisere akser for å bestemme den naturlige størrelsen til en trekant ABC, gitt av anslag a"b"c", abc. For å gjøre dette ble to rotasjoner av flyet utført generell stilling, hvor trekanten er plassert slik at dette planet etter den første rotasjonen blir vinkelrett på planet V, og etter det andre - parallelt med H-planet Den første rotasjonen rundt en akse vinkelrett på H-planet, uten å angi posisjonen, utføres ved hjelp av en horisontal linje med projeksjoner. s"1", s-1 i trekantens plan. I dette tilfellet den horisontale projeksjonen ac roteres slik at den passer med projeksjonsretningen. Den horisontale projeksjonen av en trekant beholder utseendet og størrelsen, bare posisjonen endres. Poeng A, B og C med en slik rotasjon beveger de seg i plan parallelt med H-planet a1", c1, b1" a"a1", b"b1" og c"c1". Den frontale projeksjonen av trekanten i den nye posisjonen er segmentet a1"b1"c1".

Den andre rotasjonen, som bringer trekanten til en posisjon parallelt med H-planet, gjøres rundt rotasjonsaksen vinkelrett på H-planet (posisjonen til aksen er heller ikke angitt). Frontprojeksjonen under den andre rotasjonen beholder utseendet og størrelsen som ble oppnådd etter den første rotasjonen. Poeng A1, D1 og C1 bevege seg i plan parallelt med planet V-projeksjoner a 2, b 2, c 2 er plassert på horisontale linjer kommunikasjon a,a 2, blb2, c1c2. Projeksjon a2b2c 2 representerer den faktiske størrelsen på en gitt trekant.

Når du utfører de betraktede rotasjonene rundt akser vinkelrett på projeksjonsplanene, er disse aksene ikke indikert, men de kan lett finnes. For eksempel hvis du tegner segmenter aa1, b1b2 og tegn perpendikulære gjennom deres midtpunkter, så vil det resulterende skjæringspunktet for disse perpendikulære være den horisontale projeksjonen av rotasjonsaksen vinkelrett på H-planet.

Å bruke rotasjonsmetoden uten å spesifisere akser forenkler konstruksjonen noe

projeksjon på en annen, men tegningen opptar stort område. (Det betraktede tilfellet med rotasjon uten å vise rotasjonsaksene er et spesialtilfelle av metoden for planparallell bevegelse.)

En metode for rotasjon rundt rette linjer parallelt med projeksjonsplan.Livsstørrelse flat figur kan bestemmes ved rotasjon rundt en akse parallelt med projeksjonsplanet, og bringe figuren til en posisjon parallelt med projeksjonsplanet med en rotasjon.

Figur 5.13 viser definisjonen av størrelsen på en trekant med projeksjoner a"b"c", abc rotasjon rundt horisontalen.Dessuten alle punkter i trekanten(bortsett fra de som ligger på rotasjonsaksen)rotere rundt en akse i sirkler i plan vinkelrett på aksen.Hvis trekanten tar en posisjon parallelt med projeksjonsplanet, vil rotasjonsradiene til punktene vise seg å være parallelle med dette planet, dvs. de vil bli projisert på planet N ekte størrelse.

Den horisontale aksen med projeksjoner tas som rotasjonsaksen c"1", c-1.

Punkt C på rotasjonsaksen forblir ubevegelig. For å skildre den horisontale projeksjonen av en trekant etter rotasjon, må du finne posisjonen til projeksjonene til de to andre hjørnene. Topper med anslag a", a og b", b bevegelig trekant

er i fly P og Q bevegelser av disse punktene. Horisontal projeksjon O rotasjonssenter av apex EN er skjæringspunktet for den horisontale projeksjonen s-1 rotasjonsakse med horisontal projeksjon P h. Frontprojeksjonen er merket på den o". Segmenter oa - horisontal, o"a" - frontal projeksjon av punktets rotasjonsradius EN. Livsstørrelse oA rotasjonsradius for et punkt EN bestemt ved metoden omtalt i 2.3 (se fig. 2.9), dvs. ved å konstruere en rettvinklet trekant. Etter lengde oa og aA = o"2" en trekant bygges oaA, hypotenusen er lik punktets rotasjonsradius EN.

Fra projeksjonen o punktets rotasjonssenter EN i retning av sporet Ph av bevegelsesplanet plotter vi den naturlige verdien av rotasjonsradiusen. Markering av den horisontale projeksjonen a, punkt A, rotert til en trekantposisjon parallelt med planet N. Horisontal projeksjon av bt-punkt I i en rotert posisjon finner vi det som skjæringspunktet for den horisontale projeksjonen 1-at med spor Q h . Horisontal projeksjon a1cb1 uttrykker naturverdien til A AC, siden etter rotasjon er trekantens plan parallelt med planet N. Frontprojeksjonen av den roterte trekanten faller sammen med frontprojeksjonen av horisontalen 1"s", dvs. det er et rett linjesegment.

Hvis du vil rotere et flatt geometrisk bilde til en posisjon parallelt med planet V, da velges fronten som rotasjonsakse.

Rotere et plan rundt sporet til det er på linje med det tilsvarende projeksjonsplanet(dette tilfellet kalles også kombinasjonsmetoden). Hvis planet roteres rundt sporet til det er på linje med projeksjonsplanet som dette sporet befinner seg i, vil de geometriske bildene som befinner seg i planet bli avbildet uten forvrengning. Denne metoden er et spesielt tilfelle av rotasjon rundt horisontalt eller frontalt, siden det horisontale sporet av planet kan betraktes som "null" horisontalt av horisontalplanet, og frontalsporet som "null" frontalt.

Figur 5.14 viser en visuell representasjon av rotasjonen av et generelt posisjonsplan R rundt det horisontale sporet P h vekk fra flyet V mot betrakteren til den er på linje med planet N. I planjusteringsposisjonen P med fly

H rett linje P Uq representerer et spor R og, kombinert med fly N. Trace Ph hvordan rotasjonsaksen ikke endrer posisjon. Punktum Px skjæringspunktet mellom sporene endrer heller ikke sin posisjon. Å konstruere en kombinert stilling P L , et spor P v det er nok å finne ett punkt til, for eksempel punktet N, dette sporet (bortsett fra punktet P x) i en posisjon på linje med planet N.

Punkt N beskriver en bue i et plan Q, vinkelrett på rotasjonsaksen. Senter OM denne buen er skjæringspunktet for planet Q med spor P h . Punkt N 0 på H-planet er skjæringspunktet for bueradiusen PÅ i Q-planet med spor Q h. Ved å trekke en rett linje gjennom P x og N 0 får vi P U0. Seksjon P X N endrer ikke lengden når flyet roterer; så pek N 0 kan fås ved å krysse Q h med en bue beskrevet i et plan H, fra punkt P x med radius P X N.

For å utføre konstruksjonene omtalt på tegningen (fig. 5.15) på sporet R og vilkårlig punkt valgt N (det faller sammen med projeksjonen P"). Gjennom sin horisontale projeksjon P en direkte linje ble trukket Av, vinkelrett på rotasjonsaksen - spor P h. Et punkt er funnet på denne linjen N 0, dvs. punkt N etter innretting med flyet N. Hun er funnet i det fjerne P X N 0 = P x p" fra punkt P x eller på avstand oN 0 fra punkt o, lik punktets rotasjonsradius N. Radiuslengde påN 0 = påN definert for eksempel som hypotenusen til en rettvinklet trekant med ben på og nN (nN=nn"). Direkte linje P U0, passerer gjennom punkter P x og N 0, - kombinert sporposisjon R i.

Den kombinerte posisjonen til C0-punktet ble konstruert på samme måte C. Rotasjonsradius оС funnet som hypotenusen til en rektangulær

trekant med ett ben os, det andre benet сС=с"1. Det andre konstruksjonsalternativet er laget ved hjelp av horisontalplanet P med fremspring c"2", c -2. Bruke en bueradius R x 2" kombinert stilling funnet 2o punkt 2 på linje Pv0, og i kombinert stilling 20С0 den horisontale linjen trekkes gjennom punktet 2 0 parallelt med Ph.

Hvis det er nødvendig å justere planet med frontplanet av projeksjoner, bør flyet roteres rundt frontsporet.

§ 24. Rotasjonsorganer.

Sylinder, kjegle og avkortet kjegle.

1. Firkantet med side EN roterer rundt en vinkelrett på diagonalen trukket gjennom enden. Bestem volumet og overflaten til den resulterende kroppen.

2. Firkantet med side EN roterer rundt en ytre akse, som er parallell med siden og adskilt fra den med lengden på siden. Påkrevd: 1) bestemme volumet og overflaten til den resulterende kroppen; 2) bestem i hvilket forhold volumet dannet ved rotasjonen av kvadratet vil bli delt på overflaten som diagonalen vil beskrive.

3. En likesidet trekant roterer rundt en vinkelrett på en side trukket gjennom enden. Hvordan er overflatene beskrevet av sidene i en trekant relatert til hverandre?

4. En likesidet trekant roterer først rundt en side og deretter rundt en parallell til siden som er trukket gjennom toppunktet. Den andre gangen er det resulterende volumet og overflaten dobbelt så stor som den første gangen. Bevise.

5. Likesidet trekant med side EN roterer rundt en ytre akse, som er parallell med siden og er fjern fra den, lik apotem triangel. Bestem volumet og overflaten til den resulterende kroppen.

6. En av sidene EN av en likesidet trekant forlenges til en lengde lik den, og en vinkelrett på den trekkes gjennom enden av forlengelsen. Bestem volumet og overflatearealet til kroppen som vil oppnås hvis du roterer trekanten rundt denne vinkelrett.

7. Høyden til en likesidet trekant strekker seg utover toppunktet til lengden, og en vinkelrett på den trekkes gjennom enden av forlengelsen. På siden EN Bestem volumet og overflatearealet til kroppen dannet ved å rotere trekanten rundt denne vinkelrett.

8. Sidene av firkanten fungerer som sidene likesidede trekanter bygget utenfor, og den resulterende figuren roterer rundt en rett linje som forbinder de ytre toppunktene til de to motsatte trekanter. Siden av plassen er EN . Bestem volumet og overflaten til den resulterende kroppen.

9. På siden EN av en vanlig sekskant, bestem volumet og overflaten til kroppene dannet av dens rotasjon: 1) rundt diameteren; 2) rundt apotemet.

10. På siden EN av en vanlig sekskant, bestemme volumet og overflatearealet til kroppen dannet av dens rotasjon rundt siden.

11. EN roterer rundt en akse som går gjennom toppunktet vinkelrett på radiusen trukket til dette toppunktet. Bestem volumet og overflatearealet til et rotasjonslegeme.

12. Vanlig sekskant med siden EN roterer rundt en ytre akse, som er parallell med siden og adskilt fra den med lengden på apotem. Bestem volumet og overflaten til den resulterende kroppen.

13. En rettvinklet trekant med ben 5 cm og 12 cm roterer rundt en ytre akse, som er parallell med det større benet og med en avstand på 3 cm fra det.

14. En rettvinklet trekant med ben 15 cm og 20 cm roterer rundt en vinkelrett på hypotenusen trukket gjennom toppunktet til den større spisse vinkelen. Bestem volumet og overflatearealet til et rotasjonslegeme.

15. En trekant med sidene 9 cm, 10 cm og 17 cm roterer rundt en høyde trukket fra toppunktet til dens mindre vinkel. Bestem volumet og overflaten til den resulterende kroppen.

16. En trekant med sider på 8 cm og 5 cm som omslutter en vinkel på 60°, roteres rundt en akse som går gjennom toppunktet til denne vinkelen vinkelrett på den minste siden. Bestem volumet og overflatearealet til et rotasjonslegeme.

17. Volumene som dannes ved å rotere et parallellogram suksessivt rundt to tilstøtende sider er omvendt proporsjonale med disse sidene. Bevise.

18. En rombe hvis område er Q roterer rundt siden. Bestem overflaten til den resulterende kroppen.

19. 1) Diamant med side EN og roterer i en spiss vinkel på 60° rundt en akse trukket gjennom toppunktet til denne vinkelen vinkelrett på siden. Bestem volumet og overflatearealet til et rotasjonslegeme.

2) Samme oppgave for en vinkel på 45°.

20. Likebenet trapes, hvis spisse vinkel er 45° og siden er lik den mindre basen, roterer rundt siden. Langs dens lengde EN bestemme volumet og overflaten til et rotasjonslegeme.

21. En trapes er innskrevet i en halvsirkel med radius R, slik at dens nedre base er diameteren til denne sirkelen, og dens side dekker en bue på 30°. Bestem volumet og overflatearealet til kroppen dannet ved å rotere denne trapesen rundt en radius vinkelrett på basen.

22. AB er diameteren til en gitt halvsirkel med radius R; BC-bue som inneholder 60°. En akkord AC og en tangent CD er tegnet, der D er et punkt på forlengelsen av diameteren AB. Bestem volumet og overflatearealet til kroppen oppnådd ved å rotere trekanten ACD rundt aksen AD.

Ball og dens deler.

23. På en halvsirkel med radius R fra enden av dens diameter AB, er en bue av IUD på 60° lagt ut, og punktet C er forbundet med A. Bestem volumet og overflaten til legemet som dannes hvis en figur avgrenset av diameteren AB, akkorden AC og buen til IUD roteres rundt AB.

24. På en halvsirkel med radius R fra enden av dens diameter AB, er en bue-IUD på 45° trukket ut fra punktet C, som skjærer fortsettelsen av diameteren AB i punktet D. Figuren, avgrenset av rette linjer; BD og CD og lysbuespiralen, roterer rundt BD. Bestem volumet og overflaten til den resulterende kroppen.

25. O - sentrum av AMC-buen med radius R; B-punkt på utvidelse av radius OA; BC-tangens til lysbue AMC; CD - vinkelrett på radius OA. Figuren roterer rundt OB-aksen. Bestem avstanden OD hvis overflaten dannet ved rotasjonen av buen AMC halverer volumet som dannes ved rotasjonen av trekanten OCB rundt aksen OB.

26. AMC, CND og DPB er suksessive tredjedeler av en halvsirkel med diameter AB og senter O. Radiene OS og OD og akkordene AC og AD er tegnet, og figuren roterer rundt diameteren AB. Bevis at figurene ACND og OCND vil beskrive like volumer, som hver utgjør halve volumet av kulen.

27. Det sirkulære segmentet roterer rundt en diameter parallelt med akkorden. Bevis at det resulterende volumet lik volum en ball med diameter lik akkorden segmentet.

28. 1) AOB - kvadrant med senter O og radius R; AMC - lysbue som inneholder 60°; AD er en tangent, og D er skjæringspunktet med utvidelsen av radius OS. Figuren, avgrenset av segmentene AD og CD og bue AMC, roterer rundt radius OB. Bestem volumet og overflaten til den resulterende kroppen.

2) Samme problem for AMC-buen lik 45°.

Gyldens teoremer.

29. Sjekk begge Gyldens teoremer for rotasjonstilfeller:

1) et rektangel rundt en av sidene;

2) rombe med side EN og høyde h rundt en av sidene;

3) vanlig trekant med side EN rundt en akse som går gjennom toppen parallelt med basen;

4) en rettvinklet trekant rundt ett av bena;

5) en rettvinklet trekant rundt hypotenusen.

30. Tverrsnitt jernring- firkantet med side EN = 4 cm; gjennomsnittlig ringdiameter d = 80 cm og egenvekt det er 8,6. Finn vekten på ringen.

31. En livbøye, hvis tverrsnitt er en sirkel, kan betraktes som et legeme som er et resultat av rotasjonen av en sirkel rundt en bestemt akse. Snittdiameter d =12 cm; ytre diameter på livbøyen D = 75 cm Beregn livbøyens overflate og dens volum.

32. Lokomotivdepotet har form som en semiring i plan (fig. 44), hvis innvendige diameter er 20 m; halv ringbredde 9 m; V tverrsnitt depotet har form av en rektangulær trapes ABCD, parallelle sider som er lik 4,25 m og 6,5 m Finn volumet til depotet.

33. Sidene av trekanten er 9 cm, 10 cm og 17 cm. Trekanten roterer rundt sin større høyde. Bestem volumet av overflaten til et rotasjonslegeme.

34. Bevis at volumene oppnådd ved å rotere en trekant rundt basen og rundt en linje parallelt med basen som går gjennom trekantens toppunkt, er i forholdet 1:2.

Kjegle. Frustum

Konisk overflate er overflaten som dannes av alle rette linjer som går gjennom hvert punkt i en gitt kurve og et punkt utenfor kurven (fig. 32).

Denne kurven kalles guide , rett - å danne , punktum - topp konisk overflate.

Rett sirkulær konisk overflate er overflaten som dannes av alle rette linjer som går gjennom hvert punkt i en gitt sirkel og et punkt på en rett linje som er vinkelrett på sirkelplanet og går gjennom sentrum. I det følgende vil vi kort kalle denne overflaten konisk overflate (Fig. 33).

Kjegle (direkte sirkulær kjegle ) er kalt geometrisk kropp, begrenset av en konisk overflate og et plan som er parallelt med ledesirkelens plan (fig. 34).

Ris. 32 Fig. 33 Fig. 34

En kjegle kan betraktes som en kropp oppnådd ved å rotere en rettvinklet trekant rundt en akse som inneholder en av trekantens ben.

Sirkelen som omslutter en kjegle kalles dens basis . Toppunktet til en konisk overflate kalles topp Kjegle Segmentet som forbinder toppunktet til en kjegle med midten av basen kalles høyde Kjegle Segmenter dannes konisk overflate, er kalt å danne Kjegle Akser av en kjegle er en rett linje som går gjennom toppen av kjeglen og midten av basen. Aksialt snitt kalt seksjonen som går gjennom kjeglens akse. Sideoverflateutvikling av en kjegle er en sektor hvis radius lik lengde generatrise av kjeglen, og lengden på buen til sektoren er lik omkretsen av kjeglens base.

De riktige formlene for en kjegle er:

Hvor R– basisradius;

H- høyde;

l– lengden på generatrisen;

S base– basisareal;

S-siden

S full

V– volum av kjeglen.

Avkuttet kjegle kalt den delen av kjeglen som er innelukket mellom bunnen og skjæreplanet parallelt med bunnen av kjeglen (fig. 35).

En avkortet kjegle kan betraktes som en kropp oppnådd ved å rotere en rektangulær trapes rundt en akse som inneholder side trapes vinkelrett på basene.

De to sirklene som omslutter en kjegle kalles dens grunner . Høyde av en avkortet kjegle er avstanden mellom dens baser. Segmentene som danner den koniske overflaten til en avkortet kjegle kalles å danne . En rett linje som går gjennom midten av basene kalles akser avkuttet kjegle. Aksialt snitt kalt seksjonen som går gjennom aksen til en avkortet kjegle.

For en avkortet kjegle er de riktige formlene:

(8)

Hvor R- radius av den nedre basen;

r- radius av den øvre basen;

H– høyde, l – lengden på generatrisen;

S-siden– sideoverflateareal;

S full- torget full overflate;

V– volum av en avkortet kjegle.

Eksempel 1. Tverrsnittet av kjeglen parallelt med basen deler høyden i forholdet 1:3, regnet fra toppen. Finn det laterale overflatearealet til en avkortet kjegle hvis radiusen til basen og høyden på kjeglen er 9 cm og 12 cm.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 36).

For å beregne arealet av sideoverflaten til en avkortet kjegle bruker vi formel (8). La oss finne radiene til basene Omtrent 1 A Og Omtrent 1 V og forming AB.

La oss vurdere lignende trekanter SO2B Og SO 1 A, likhetskoeffisient, altså

Herfra

Siden da

Det laterale overflatearealet til en avkortet kjegle er lik:

Svar: .

Eksempel 2. En kvart sirkel med radius er foldet til en konisk overflate. Finn radiusen til basen og høyden på kjeglen.

Løsning. Kvadranten til sirkelen er utviklingen av kjeglens sideflate. La oss betegne r- radius av basen, H – høyde. La oss beregne sideoverflatearealet ved å bruke formelen: . Det er lik arealet av en kvart sirkel: . Vi får en ligning med to ukjente r Og l(danner en kjegle). I i dette tilfellet generatoren er lik radiusen til kvartsirkelen R, som betyr at vi får følgende ligning: , hvorfra Når vi kjenner radiusen til basen og generatoren, finner vi høyden på kjeglen:

Svar: 2 cm,.

Eksempel 3. Rektangulær trapes med en spiss vinkel på 45 O, en mindre base på 3 cm og en skrå side lik , roterer rundt siden vinkelrett på basene. Finn volumet til det resulterende revolusjonslegemet.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 37).

Som et resultat av rotasjon får vi en avkortet kjegle for å finne volumet, vi beregner radiusen større base og høyde. I trapesen O 1 O 2 AB vi skal gjennomføre AC^O 1 B. B har vi: dette betyr at denne trekanten er likebenet A.C.=B.C.= 3 cm.

Svar:

Eksempel 4. En trekant med sidene 13 cm, 37 cm og 40 cm roterer rundt en ytre akse som er parallell større side og ligger i en avstand på 3 cm fra den (aksen er plassert i trekantens plan). Finn overflaten til den resulterende revolusjonskroppen.

Løsning . La oss lage en tegning (fig. 38).

Overflaten til det resulterende revolusjonslegemet består av sideflatene til to avkortede kjegler og sideflaten til en sylinder. For å beregne disse arealene, er det nødvendig å kjenne radiene til basene til kjeglene og sylinderen ( VÆRE Og O.C.), danner kjegler ( B.C. Og A.C.) og sylinderhøyde ( AB). Det eneste ukjente er CO. dette er avstanden fra siden av trekanten til rotasjonsaksen. Vi finner DC. Torget trekant ABC på den ene siden er lik produktet av halve siden AB og høyden trukket til den DC, på den annen side, når vi kjenner alle sidene av trekanten, beregner vi arealet ved hjelp av Herons formel.

Når du studerer emnematerialet, må du lære:

· typer rotasjonsorganer;

· definisjoner av rotasjonsorganer;

· definisjon av elementer i rotasjonsorganer;

· konsepter for utvikling av en sylinder og en kjegle;

· bestemmelse og beregning av side- og totalflaten til sylinderen og kjeglen;

· definisjon av tangentplanet til sfæren og dens egenskaper;

· begrepet overflateareal av en kule;

· definisjon av et polyeder innskrevet i en kule og beskrevet rundt det.

I prosessen med å løse problemer testes følgende ferdigheter:

· skildre revolusjonskropper;

· beregne elementer av revolusjonslegemer;

· skildre deler av kropper;

· beregne arealene til side- og totalflatene til sylinderen og kjeglen;

· komponere ligningen til en kule.

Teoretiske testspørsmål

valg 1

1. Konsept sylindrisk overflate og dens elementer. Formuler definisjonen av en sylinder og dens elementer.

2. Utled en formel for å beregne overflatearealet til en kule.

3. Finn forholdet mellom det laterale overflatearealet og det aksiale snittet av kjeglen.

Alternativ 2

1. Konseptet med en konisk overflate. Formuler definisjonen av en kjegle og dens elementer.

2. Bestem posisjonen til midten av kulen beskrevet rundt den riktige firkantet pyramide. Bevis utsagnet ditt.

3. Finn forholdet mellom arealene på sideflaten og sylinderens aksiale seksjon.

Alternativ 3

1. Formuler en definisjon avkuttet kjegle og dens elementer.

2. Bestem posisjonen til midten av kulen innskrevet i en vanlig trekantet pyramide. Bevis utsagnet ditt.

3. Bevis at den totale overflaten av en likesidet kjegle er lik overflaten til en ball med en diameter som høyden på kjeglen.

Alternativ 4

1. Formuler definisjonene av en kule og en ball. Skriv ned likningene til en kule med radius R med sentrum i punktet O(0; 0; 0) og i punktet A(x0; y0; z0).

2. Utled en formel for å beregne sideflaten til en kjegle.

3. Bevis at det totale overflatearealet til en sylinder er lik sideoverflatearealet til en annen sylinder med samme radius, hvis høyde er lik summen av radiusen og høyden til denne sylinderen.

Selvstendig arbeid 17

valg 1

1. Område aksialt snitt sylinder er lik 16. Finn tverrsnittsarealet til denne sylinderen, som er parallell med aksen og plassert i avstand fra den, lik halvparten radius av bunnen av sylinderen.

2. Halvsirkelen rulles inn i en konisk overflate. Finn vinkelen mellom generatrisen og høyden på kjeglen.

3. Radiene til to kuler er 16 og 20 dm, avstanden mellom sentrene deres er 25 dm. Finn omkretsen som overflatene deres krysser.

Alternativ 2

1. Radien til sylinderens base er 26 cm, og danner 4,8 dm. I hvilken avstand fra sylinderaksen skal et snitt trekkes parallelt med aksen og formes som en firkant?

2. Radiusen til sektoren er 3 m, dens vinkel er 120°. Sektoren rulles inn i en konisk overflate. Finn radiusen til kjeglens base.

3. Diagonalene til romben er 30 og 40 cm. Den sfæriske overflaten berører alle sider av romben. Finn avstanden fra midten av kulen til rombens plan hvis kulens radius er 13 cm.

Alternativ 3

1. Radien til sylinderens bunn er 12 cm Finn avstanden mellom aksialsnittet og snittet med halve arealet.

2. Utviklingsvinkelen til kjeglens sideflate er 120°. Generatrisen til kjeglen er 15 cm. Beregn diameteren til kjeglens bunn.

3. En rombe plasseres på en kule hvis radius er 10 cm slik at hver side av den, lik 12,5 cm, berører ballen. Rombens plan er 8 cm unna midten av ballen Finn området til romben.

Alternativ 4

1. To innbyrdes vinkelrette seksjoner trekkes gjennom generatrisen til sylinderen, hvis arealer er 60 og 80 dm. Finn det aksiale tverrsnittsarealet.

2. Radien til kjeglens base er 12 cm, og danner 40 cm. Beregn utviklingsvinkelen til denne kjeglen.

3. Sidene i trekanten er 10 dm, 10 dm og 12 dm. Finn avstanden fra trekantens plan til midten av ballen som tangerer sidene i trekanten. Kulens radius er 5 dm.

Selvstendig arbeid 18

valg 1

1. Diagonalen til sylinderens aksiale seksjon er 25 % større enn diameteren på basen. Finn det totale overflatearealet til sylinderen hvis avstanden mellom sentrene er 15 cm.

2. Utvikling av sylinderens sideflate - en firkant med en side på 4 dm. Finn volumet til sylinderen.

3. Diagonalene til den aksiale seksjonen av en avkortet kjegle er gjensidig vinkelrett, høyden på kjeglen er H, og danner l. Finne sideflate Kjegle

4. Radien til kjeglens base er 12 cm, og danner 40 cm Finn utviklingsvinkelen til kjeglens sideflate.

5. Generatrisen til en avkortet kjegle er 10 cm, forskjellen i baser er 6 cm, det aksiale tverrsnittsarealet er 112 cm2. Finn sideflaten til kjeglen.

6. Et parallellogram hvis sider er 21 cm og 89 cm og hvis diagonal er 100 cm, roterer rundt den mindre siden. Finn volumet til revolusjonslegemet.

7. En rettvinklet trekant med ben 16 og 12 cm roterer rundt hypotenusen. Finn volumet og området for rotasjon.

Alternativ 2

1. Sylinderens sideflate er halvparten av dens totale overflate. Finn den totale overflaten til sylinderen hvis diagonalen til den aksiale seksjonen er 10 tommer.

2. Sylinderens totale overflate er 500 p cm2, diameteren på basen er 20 cm Finn volumet til sylinderen.

3. Generatrisen til en avkortet kjegle er relatert til dens høyde som 41:40. Radiene til basene er 24 og 6 cm Finn sideflaten til kjeglen.

4. Utviklingsvinkelen til kjeglens sideflate er 120°. Generatrisen til kjeglen er 15 cm Finn den totale overflaten til kjeglen.

5. Finn høyden til en avkortet kjegle hvis sideflaten er lik summen av arealene til basene, og radiene til basene er R og r.

6. En likebenet trapes med baser på 12 og 18 cm og en spiss vinkel på 60° roterer rundt en mindre base. Finn overflaten og volumet til revolusjonslegemet.

7. En trekant hvis to sider er 5 cm og 8 cm omslutter en vinkel på 60°, roterer rundt den lengste siden. Finn overflaten og volumet til revolusjonslegemet.

Selvstendig arbeid 19

valg 1

1. En rettvinklet trekant med sidene 16 og 12 cm roterer rundt hypotenusen. Finn overflaten til revolusjonslegemet.

2. Radiene til basene til det sfæriske beltet er 63 og 39 cm, dets høyde er 36 cm Finn overflaten til det sfæriske beltet.

3. Høyden er riktig trekantet pyramide h. Sideribbene er innbyrdes vinkelrette. Finn radiusen til den omskrevne kulen.

4. I en vanlig trekant avkortet pyramide høyde 17 cm, radius av sirkler omskrevet rundt basene 5 og 12 cm Finn radiusen til den omskrevne kulen.

5. En firkant med side lik a roterer rundt en vinkelrett på diagonalen trukket gjennom enden. Finn overflaten til den resulterende kroppen.

Alternativ 2

1. En trekant hvis to sider er 5 og 8 cm omslutter en vinkel på 60° roterer rundt den lengste siden. Finn overflaten til revolusjonslegemet.

2. Full overflate ballsegment er lik S. Bestem høyden på segmentet hvis radiusen til ballen er lik R.

3. Basen til pyramiden er vanlig trekant, hvis side er 3 dm. En av sideribbene er 2 dm og vinkelrett på basen. Finn radiusen til den omskrevne kulen.

4. Sidene av basene til en vanlig firkantet avkortet pyramide er 7 og 1 dm. Sidekanten skråner mot basen i en vinkel på 45° Finn radiusen til den omskrevne kulen.

5. En vanlig sekskant med side a roterer rundt en ytre akse, som er parallell med siden og adskilt fra den med lengden på apotem. Finn overflaten til den resulterende kroppen.

Selvstendig arbeid 20

valg 1

1. Sidekanten til en vanlig trekantet pyramide er lik b og danner en vinkel a med grunnplanet. En likesidet sylinder er skrevet inn i en pyramide slik at planet til bunnen ligger i bunnplanet til pyramiden. Finn volumet til sylinderen.

2. Basen til pyramiden er en vanlig trekant. Den ene sidekanten er vinkelrett på grunnplanet og lik l, og de to andre danner en vinkel a med grunnplanet. Et rett prisme er innskrevet i pyramiden, hvorav tre toppunkter ligger på sidekantene av pyramiden, og de tre andre ligger på bunnen av pyramiden, diagonalen til sideflaten til prismet er med planet til basen Ð b. Finn høyden på prismet.

3. I et vanlig firkantet prisme er arealet av sideflaten lik q. Finn arealet av diagonalsnittet.

4. Et plan vinkelrett på kulens diameter deler den inn i deler på 3 og 9 cm. Hvilke deler er kulens volum delt inn i?

Alternativ 2

1. Vinkelen ved toppen av den aksiale delen av kjeglen er 2b. Omkretsen av basen er ca. Bestem arealet av kjeglens sideoverflate.

2. Diagonalene til den aksiale seksjonen av en avkortet kjegle er delt med skjæringspunktet i forholdet 2: 1, regnet fra den store basen. Vinkelen mellom diagonalene som vender mot basen er lik a. Diagonalen er lik l. Finn volumet til kjeglen.

3. Sidekanten på et høyre parallellepiped er 5 cm, sidene på basen er 6 og 8 cm, en av diagonalene på basen er 12 cm Finn diagonalene til parallellepipedet.

4. Hvilken del av volumet til kulen er volumet til et sfærisk segment med en høyde på 0,1 ganger kulens diameter?

Alternativ 3

1. Kjeglens generatrise er lik l og skråstilt til basens plan i en vinkel a. Bestem det totale overflatearealet til den påskrevne kuben.

2. En firkant er innskrevet ved bunnen av kjeglen, side a. Flyet som går gjennom en av sidene av denne firkanten og toppen av kjeglen, når det krysser kjeglens overflate, dannes likebent trekant med en spissvinkel lik a. Finn volumet til kjeglen.

3. Siden av basen er riktig firkantet prisme 15 cm, og høyden er 20 cm Finn den korteste avstanden fra siden av basen til diagonalen til prismet som ikke skjærer det.

4. To lik ball arrangert slik at midten av den ene ligger på overflaten av den andre. Hvordan forholder volumet av den totale delen av kulene seg til volumet av hele kulen?

Alternativ 4

1. Et rett trekantet prisme med like kanter. Finn volumet til prismet hvis radiusen til kjeglens basis er lik R.

2. Volumet til en kjegle er lik V. En pyramide er innskrevet i kjeglen, ved bunnen av denne ligger en likebenet trekant med en vinkel a mellom sidene. Finn volumet til pyramiden.

3. B høyre parallellepipedum sidekanten er 1 m, sidene av basen er 23 dm og 11 dm, diagonalene til basen er i forholdet 2: 3. Finn arealene til diagonalsnittene.

4. På grunnsiden a og sideribbe b finn den totale overflaten til et regulært sekskantet prisme.