Teorem. Volumet av en pyramide er lik produktet av arealet av basen og en tredjedel av høyden.
Først beviser vi dette teoremet for en trekantet pyramide, og deretter for en polygonal.
1) Med utgangspunkt i den trekantede pyramiden SABC (Fig. 102) skal vi konstruere et prisme SABCDE, hvis høyde er lik pyramidens høyde, og den ene sidekanten faller sammen med kanten SB. La oss bevise at volumet til pyramiden er en tredjedel av volumet til dette prismet. La oss skille denne pyramiden fra prismet. Det som da vil gjenstå er den firkantede pyramiden SADEC (som vises separat for tydelighetens skyld). La oss tegne et skjæreplan i det gjennom toppunktet S og diagonalen til basen DC. De resulterende to trekantede pyramidene har et felles toppunkt S og like baser DEC og DAC, liggende i samme plan; Dette betyr at i henhold til pyramide-lemmaet som er bevist ovenfor, er disse like store. La oss sammenligne en av dem, nemlig SDEC, med denne pyramiden. Basen til SDEC-pyramiden kan tas som \(\Delta\)SDE; da vil toppen være i punkt C og høyden vil være lik høyden på den gitte pyramiden. Siden \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, så er pyramidene SDEC og SABC i henhold til samme lemma like store.
Vi delte ABCDES-prismet inn i tre like store pyramider: SABC, SDEC og SDAC. (Selvsagt kan ethvert trekantet prisme utsettes for en slik deling. Dette er en av de viktige egenskapene til et trekantet prisme.) Dermed utgjør summen av volumene til tre pyramider like store som dette volumet til prismet; derfor,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
hvor H er høyden på pyramiden.
2) Gjennom noen toppunkt E (fig. 103) av basen til den polygonale pyramiden SABCDE tegner vi diagonalene EB og EC.
Deretter trekker vi skjæreplan gjennom kanten SE og hver av disse diagonalene. Deretter vil den polygonale pyramiden deles inn i flere trekantede, som har en høyde som er felles med den gitte pyramiden. Betegner områdene til basene til trekantede pyramider med b 1 , b 2 , b 3 og høyde gjennom H, vil vi ha:
SABCDE-volum = 1/3 b 1 H + 1/3 b 2H + 1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3 =
= (areal ABCDE) H / 3 .
Konsekvens. Hvis V, B og H betyr tall som i de tilsvarende enhetene uttrykker volumet, grunnflaten og høyden til en hvilken som helst pyramide,
Teorem. Volumet av en avkortet pyramide er lik summen av volumene til tre pyramider som har samme høyde som høyden til den avkortede pyramiden, og basene: den ene er den nedre basen av denne pyramiden, den andre er den øvre basen, og arealet av bunnen av den tredje pyramiden er lik det geometriske gjennomsnittet av områdene til øvre og nedre baser.
La arealene til basene til den avkortede pyramiden (fig. 104) være B og b, høyde H og volum V (en avkortet pyramide kan være trekantet eller polygonal - det spiller ingen rolle).
Det kreves for å bevise det
V = 1/3 BH + 1/3 b H+1/3H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
hvor √B b er det geometriske gjennomsnittet mellom B og b.
For å bevise dette, la oss plassere en liten pyramide på en mindre base som komplementerer denne avkortede pyramiden til en komplett. Deretter kan vi betrakte volumet til den avkortede pyramiden V som forskjellen mellom to volumer - den fulle pyramiden og den øvre ekstra.
Etter å ha angitt høyden på tilleggspyramiden med bokstaven X, vi finner det
V = 1/3 V (H+ X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - b)X].
For å finne høyden X La oss bruke teoremet fra , som vi kan skrive ligningen etter:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
For å forenkle denne ligningen tar vi den aritmetiske kvadratroten av begge sider:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Fra denne ligningen (som kan betraktes som en proporsjon) får vi:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
og derfor
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Ved å erstatte dette uttrykket med formelen vi utledet for volum V, finner vi:
$$ V = \frac(1)(3)\venstre $$
Siden B - b= (√B + √ b) (√B - √ b), deretter ved å redusere brøken med differansen √B - √ b vi får:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
dvs. vi får formelen som måtte bevises.
Andre materialerHovedkarakteristikken til enhver geometrisk figur i rommet er volumet. I denne artikkelen skal vi se på hva en pyramide med en trekant ved bunnen er, og vi skal også vise hvordan man finner volumet til en trekantet pyramide – vanlig full og avkortet.
Hva er dette - en trekantet pyramide?
Alle har hørt om de gamle egyptiske pyramidene, men de er vanlige firkantede, ikke trekantede. La oss forklare hvordan du får en trekantet pyramide.
La oss ta en vilkårlig trekant og koble alle dens toppunkter med et enkelt punkt plassert utenfor planet til denne trekanten. Den resulterende figuren vil bli kalt en trekantet pyramide. Det er vist i figuren nedenfor.
Som du kan se, er den aktuelle figuren dannet av fire trekanter, som generelt er forskjellige. Hver trekant er sidene av pyramiden eller dens ansikt. Denne pyramiden kalles ofte et tetraeder, det vil si en tetraedrisk tredimensjonal figur.
I tillegg til sidene har pyramiden også kanter (det er 6 av dem) og hjørner (av 4).
med trekantet base
En figur som er oppnådd ved å bruke en vilkårlig trekant og et punkt i rommet vil være en uregelmessig skråstilt pyramide i det generelle tilfellet. Forestill deg nå at den opprinnelige trekanten har identiske sider, og et punkt i rommet er plassert nøyaktig over dets geometriske sentrum i en avstand h fra trekantens plan. Pyramiden konstruert ved hjelp av disse innledende dataene vil være riktig.
Det er klart at antallet kanter, sider og toppunkter i en vanlig trekantet pyramide vil være det samme som for en pyramide bygget av en vilkårlig trekant.
Den riktige figuren har imidlertid noen karakteristiske trekk:
- dens høyde trukket fra toppunktet vil nøyaktig skjære basen ved det geometriske senteret (skjæringspunktet mellom medianene);
- sideoverflaten til en slik pyramide er dannet av tre identiske trekanter, som er likebenede eller likesidede.
En vanlig trekantet pyramide er ikke bare et rent teoretisk geometrisk objekt. Noen strukturer i naturen har sin form, for eksempel diamantkrystallgitteret, hvor et karbonatom er koblet til fire av de samme atomene med kovalente bindinger, eller et metanmolekyl, hvor toppene i pyramiden dannes av hydrogenatomer.
trekantet pyramide
Du kan bestemme volumet til absolutt en hvilken som helst pyramide med en vilkårlig n-gon ved basen ved å bruke følgende uttrykk:
Her betegner symbolet S o arealet av basen, h er høyden på figuren tegnet til den markerte basen fra toppen av pyramiden.
Siden arealet av en vilkårlig trekant er lik halvparten av produktet av lengden på siden a og apotemet h a falt på denne siden, kan formelen for volumet til en trekantet pyramide skrives i følgende form:
V = 1/6 × a × h a × h
For den generelle typen er det ikke en lett oppgave å bestemme høyden. For å løse det er den enkleste måten å bruke formelen for avstanden mellom et punkt (toppunkt) og et plan (trekantbase), representert ved en generell ligning.
For den riktige har den et spesifikt utseende. Arealet av basen (av en likesidet trekant) for den er lik:
Ved å erstatte det med det generelle uttrykket for V, får vi:
V = √3/12 × a 2 × t
Et spesielt tilfelle er situasjonen når alle sider av et tetraeder viser seg å være identiske likesidede trekanter. I dette tilfellet kan volumet bare bestemmes basert på kunnskap om parameteren til kanten a. Det tilsvarende uttrykket ser slik ut:
Avkuttet pyramide
Hvis den øvre delen som inneholder toppunktet er avskåret fra en vanlig trekantet pyramide, får du en avkortet figur. I motsetning til den originale, vil den bestå av to likesidede trekantede baser og tre likebenede trapeser.
Bildet nedenfor viser hvordan en vanlig avkortet trekantet pyramide laget av papir ser ut.
For å bestemme volumet til en avkortet trekantet pyramide, må du kjenne dens tre lineære egenskaper: hver av sidene av basene og høyden på figuren, lik avstanden mellom den øvre og nedre basen. Den tilsvarende formelen for volum er skrevet som følger:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Her er h høyden på figuren, A og a er lengdene på sidene til henholdsvis de store (nedre) og små (øvre) likesidede trekantene.
Løsningen på problemet
For å gjøre informasjonen i artikkelen tydeligere for leseren, vil vi vise med et tydelig eksempel hvordan man bruker noen av de skrevne formlene.
La volumet til den trekantede pyramiden være 15 cm 3 . Det er kjent at tallet stemmer. Du bør finne apotemet a b på sidekanten hvis du vet at høyden på pyramiden er 4 cm.
Siden volumet og høyden på figuren er kjent, kan du bruke passende formel for å beregne lengden på siden av basen. Vi har:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Den beregnede lengden på apotemet til figuren viste seg å være større enn høyden, noe som er sant for enhver type pyramide.
Teorem.
Volumet av pyramiden er lik en tredjedel av produktet av arealet av basen og høyden.
Bevis:
Først beviser vi teoremet for en trekantet pyramide, deretter for en vilkårlig.1. Tenk på en trekantet pyramideOABCmed volum V, grunnflateS og høyde h. La oss tegne aksen oh (OM2- høyde), vurder seksjonenA1 B1 C1pyramide med et plan vinkelrett på aksenÅhog derfor parallelt med basens plan. La oss betegne medX abscissepunkt M1 skjæring av dette planet med x-aksen, og gjennomS(x)- tverrsnittsareal. La oss uttrykke S(x) gjennom S, h Og X. Legg merke til at trekanter A1 I1 MED1 Og ABC-er er like. Faktisk A1 I1 II AB, altså trekant OA 1 I 1 ligner på trekant OAB. MED derfor, EN1 I1 : ENB= OA 1: OA .
Rette trekanter OA 1 I 1 og OAV er også like (de har en felles spiss vinkel med toppunktet O). Derfor, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Dermed EN 1 I 1 : A B = x: h.På samme måte er det bevist atB1 C1:Sol = X: h Og A1 C1:AC = X: h.Så, trekantA1 B1 C1 Og ABClik med likhetskoeffisient X: h.Derfor, S(x): S = (x: h)², eller S(x) = S x²/ h².
La oss nå bruke den grunnleggende formelen for å beregne volumene av kropper veden= 0, b =h vi får
Dermed er volumet til den opprinnelige pyramiden 1/3Sh. Teoremet er bevist.
Konsekvens:
Volum V av en avkortet pyramide hvis høyde er h og hvis grunnflate er S og S1 , beregnes av formelen
h - høyden på pyramiden
Stoppe - området av den øvre basen
S lavere - området av den nedre basen
En pyramide er et polyeder med en polygon ved bunnen. Alle flater danner på sin side trekanter som konvergerer i ett toppunkt. Pyramider er trekantede, firkantede og så videre. For å finne ut hvilken pyramide som er foran deg, er det nok å telle antall vinkler ved basen. Definisjonen av "høyden på en pyramide" finnes veldig ofte i geometriproblemer i skolens læreplan. I denne artikkelen skal vi prøve å se på ulike måter å finne den på.
Deler av pyramiden
Hver pyramide består av følgende elementer:
- sideflater, som har tre hjørner og konvergerer på toppen;
- apotemet representerer høyden som går ned fra toppen;
- toppen av pyramiden er et punkt som forbinder sideribbene, men ligger ikke i basens plan;
- basen er en polygon som toppunktet ikke ligger på;
- høyden på en pyramide er et segment som skjærer toppen av pyramiden og danner en rett vinkel med basen.
Hvordan finne høyden på en pyramide hvis volumet er kjent
Gjennom formelen V = (S*h)/3 (i formelen er V volumet, S er arealet av basen, h er høyden på pyramiden) finner vi at h = (3*V)/ S. For å konsolidere materialet, la oss umiddelbart løse problemet. Den trekantede basen er 50 cm 2 , mens volumet er 125 cm 3 . Høyden på den trekantede pyramiden er ukjent, og det er det vi trenger å finne. Alt er enkelt her: vi setter inn dataene i formelen vår. Vi får h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Hvordan finne høyden på en pyramide hvis lengden på diagonalen og dens kanter er kjent
Som vi husker, danner høyden på pyramiden en rett vinkel med basen. Dette betyr at høyden, kanten og halvparten av diagonalen til sammen danner Mange husker selvfølgelig Pythagoras teorem. Når du kjenner to dimensjoner, vil det ikke være vanskelig å finne den tredje mengden. La oss huske det velkjente teoremet a² = b² + c², hvor a er hypotenusen, og i vårt tilfelle kanten av pyramiden; b - det første benet eller halvparten av diagonalen og c - henholdsvis det andre benet, eller høyden på pyramiden. Fra denne formelen c² = a² - b².
Nå er problemet: i en vanlig pyramide er diagonalen 20 cm, når lengden på kanten er 30 cm. Du må finne høyden. Vi løser: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Derfor c = √ 500 = omtrent 22,4.
Hvordan finne høyden på en avkortet pyramide
Det er en polygon med et tverrsnitt parallelt med bunnen. Høyden på en avkortet pyramide er segmentet som forbinder de to basene. Høyden kan finnes for en vanlig pyramide hvis lengden på diagonalene til begge basene, samt kanten på pyramiden, er kjent. La diagonalen til den større basen være d1, mens diagonalen til den mindre basen er d2, og kanten har lengde l. For å finne høyden kan du senke høydene fra de to øverste motsatte punktene i diagrammet til basen. Vi ser at vi har to rette trekanter; det gjenstår bare å finne lengden på bena deres. For å gjøre dette trekker du den minste fra den større diagonalen og deler på 2. Så vi finner ett ben: a = (d1-d2)/2. Deretter, ifølge Pythagoras teorem, er alt vi trenger å gjøre å finne det andre benet, som er høyden på pyramiden.
La oss nå se på hele denne greia i praksis. Vi har en oppgave foran oss. En avkortet pyramide har en firkant i bunnen, diagonallengden på den større bunnen er 10 cm, mens den minste er 6 cm, og kanten er 4 cm. Du må finne høyden. Først finner vi ett ben: a = (10-6)/2 = 2 cm. Ett ben er lik 2 cm, og hypotenusen er 4 cm. Det viser seg at det andre benet eller høyden vil være lik 16- 4 = 12, det vil si h = √12 = ca 3,5 cm.
Pyramide kalt et polyeder, hvis basis er en vilkårlig polygon, og alle flater er trekanter med et felles toppunkt, som er toppen av pyramiden.
En pyramide er en tredimensjonal figur. Derfor er det ganske ofte nødvendig å finne ikke bare området, men også volumet. Formelen for volumet til en pyramide er veldig enkel:
der S er arealet av basen, og h er høyden på pyramiden.
Høyde pyramiden kalles en rett linje som går ned fra toppen til basen i rett vinkel. Følgelig, for å finne volumet til en pyramide, er det nødvendig å bestemme hvilken polygon som ligger ved basen, beregne arealet, finne ut høyden på pyramiden og finne volumet. La oss vurdere et eksempel på beregning av volumet til en pyramide.
Problem: gitt en vanlig firkantet pyramide. 
Sidene av basen er a = 3 cm, alle sidekanter er b = 4 cm Finn volumet til pyramiden.
Husk først at for å beregne volumet trenger du høyden på pyramiden. Vi kan finne det ved å bruke Pythagoras teorem. For å gjøre dette trenger vi lengden på diagonalen, eller rettere sagt, halvparten av den. Når vi så kjenner to av sidene i en rettvinklet trekant, kan vi finne høyden. Finn først diagonalen: 
La oss erstatte verdiene i formelen: 
Vi finner høyden h ved å bruke d og kant b: 
La oss nå finne