Geometri er en av de mest komplekse og forvirrende vitenskapene. I den viser det seg svært sjelden at det som virker åpenbart ved første øyekast, er riktig. Halvsektorer, høyder, medianer, projeksjoner, tangenter - et stort antall virkelig vanskelige termer, som er veldig enkle å forvirre.
Faktisk, med riktig ønske, kan du forstå en teori om enhver kompleksitet. Når det gjelder halveringslinjer, medianer og høyder, må du forstå at de ikke er unike for trekanter. Ved første øyekast dette enkle linjer, men hver av dem har sine egne egenskaper og funksjoner, kunnskap om noe som i stor grad forenkler løsningen geometriske problemer. Så, hva er halveringslinjen til en trekant?
Definisjon
Selve begrepet "bisektor" kommer fra kombinasjonen latinske ord"to" og "kutt", "kutt", som allerede indirekte indikerer egenskapene. Vanligvis, når barn blir introdusert for denne strålen, får de en kort setning som de skal huske: "Missektoren er en rotte som løper rundt hjørnene og deler hjørnet i to." Naturligvis er en slik forklaring ikke egnet for eldre skolebarn, dessuten blir de vanligvis ikke spurt om kull, men om geometrisk figur. Så halveringslinjen til en trekant er strålen som forbinder trekantens toppunkt til motsatt side, mens du deler vinkelen i to like deler. Punktet på motsatt side som halveringslinjen kommer for vilkårlig trekant velges tilfeldig.
Grunnleggende funksjoner og egenskaper
Denne bjelken har få grunnleggende egenskaper. For det første, fordi halveringslinjen til en trekant halverer vinkelen, vil ethvert punkt som ligger på den være på lik avstand fra sidene som danner toppen. For det andre, i hver trekant kan du tegne tre halveringslinjer, i henhold til antall tilgjengelige vinkler (derfor vil det allerede være fire av dem i samme firkant, og så videre). Punktet der alle tre strålene skjærer hverandre er sentrum av sirkelen som er innskrevet i trekanten.
Egenskaper blir mer komplekse
La oss komplisere teorien litt. En annen interessant egenskap: halveringslinjen til en vinkel i en trekant deler den motsatte siden i segmenter, hvor forholdet er lik forholdet mellom sidene som danner toppunktet. Ved første øyekast er dette komplisert, men faktisk er alt enkelt: i den foreslåtte figuren, RL: LQ = PR: PK. Forresten, denne egenskapen ble kalt "Bisector Theorem" og dukket først opp i verkene til den gamle greske matematikeren Euclid. Det ble husket i en av de russiske lærebøkene først i det første kvartalet av det syttende århundre.
Det er litt mer komplisert. I en firkant skjærer halveringslinjen av en likebenet trekant. Denne figuren viser alle like vinkler for median AF.
Og i firkanter og trapeser er halveringslinjene til ensidige vinkler vinkelrett på hverandre. På den viste tegningen er vinkel APB 90 grader.
I en likebenet trekant
Halveringslinjen til en likebenet trekant er en mye mer nyttig stråle. Det er samtidig ikke bare en deler av en vinkel i to, men også en median og en høyde.
Medianen er et segment som kommer fra et hjørne og faller på midten av motsatt side, og deler det dermed i like deler. Høyde er en vinkelrett som går ned fra et toppunkt til den motsatte siden, det er med dens hjelp at ethvert problem kan reduseres til et enkelt og primitivt Pythagoras teorem. I denne situasjonen er halveringslinjen til trekanten lik roten av forskjellen mellom kvadratet på hypotenusen og det andre benet. Forresten, denne egenskapen oppstår oftest i geometriske problemer.
For å konsolidere: i denne trekanten er halveringslinjen FB medianen (AB = BC) og høyden (vinklene FBC og FBA er 90 grader).
I disposisjon
Så hva trenger du å huske? Halveringslinjen til en trekant er strålen som halverer toppunktet. I skjæringspunktet mellom tre stråler er sentrum av en sirkel innskrevet i gitt trekant(den eneste ulempen med denne egenskapen er at den ikke har praktisk verdi og tjener kun for kompetent utførelse av tegningen). Den deler også den motsatte siden i segmenter, hvor forholdet er lik forholdet mellom sidene som denne strålen passerte. I en firkant blir egenskapene litt mer kompliserte, men riktignok dukker de praktisk talt aldri opp i problemer skolenivå, så de blir vanligvis ikke berørt i programmet.
Halvlinjen til en likebenet trekant er den ultimate drømmen til ethvert skolebarn. Det er både en median (det vil si at den deler motsatt side i to) og en høyde (vinkelrett på den siden). Å løse problemer med en slik halveringslinje reduseres til Pythagoras teorem.
Kunnskap grunnleggende funksjoner halveringslinje, så vel som dens grunnleggende egenskaper, er nødvendig for å løse geometriske problemer av både gjennomsnitt og høy level vanskeligheter. Faktisk finnes denne strålen bare i planimetri, så det kan ikke sies at å huske informasjon om den vil tillate deg å takle alle typer oppgaver.
Halvlederen til en trekant er segmentet som deler trekantens vinkel i to like vinkler. For eksempel, hvis vinkelen til en trekant er 120 0, vil vi ved å tegne en halveringslinje konstruere to vinkler på 60 0 hver.
Og siden det er tre vinkler i en trekant, kan tre halveringslinjer tegnes. De har alle ett grensepunkt. Dette punktet er sentrum av sirkelen innskrevet i trekanten. På en annen måte kalles dette skjæringspunktet midten av trekanten.
Når to halveringslinjer av indre og utvendig hjørne, vinkelen er 90 0. En ytre vinkel i en trekant er vinkelen ved siden av den indre vinkelen til en trekant.
Ris. 1. En trekant som inneholder 3 halveringslinjer
Halveringslinjen deler seg motsatt side i to segmenter som er koblet til sidene:
$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$
Halveringspunktene er like langt fra sidene av vinkelen, som betyr at de er i samme avstand fra sidene av vinkelen. Det vil si at hvis vi fra et hvilket som helst punkt av halveringslinjen slipper perpendikulære til hver av sidene av trekantens vinkel, så vil disse perpendikulærene være like.
Hvis du tegner en median, halveringslinje og høyde fra ett toppunkt, vil medianen være det lengste segmentet, og høyden vil være det korteste.
Noen egenskaper til halveringslinjen
I visse typer trekanter, halveringslinjen har spesielle egenskaper. Dette gjelder først og fremst en likebenet trekant. Denne figuren har to identiske sider, og den tredje kalles basen.
Hvis du tegner en halveringslinje fra toppunktet til en vinkel i en likebenet trekant til basen, vil den ha egenskapene til både høyde og median. Følgelig faller lengden på halveringslinjen sammen med lengden på medianen og høyden.
Definisjoner:
- Høyde- en vinkelrett trukket fra toppunktet i en trekant til motsatt side.
- Median– et segment som forbinder toppunktet til en trekant og midten av motsatt side.
Ris. 2. Halvledd i en likebenet trekant
Dette gjelder også likesidet trekant, det vil si en trekant der alle tre sidene er like.
Eksempel oppgave
I trekant ABC: BR er en halveringslinje, med AB = 6 cm, BC = 4 cm, og RC = 2 cm. Trekk fra lengden på den tredje siden.
Ris. 3. Halvledd i en trekant
Løsning:
Halveringslinjen deler siden av trekanten i en viss proporsjon. La oss bruke denne andelen og uttrykke AR. Da vil vi finne lengden på den tredje siden som summen av segmentene som denne siden ble delt inn i med halveringslinjen.
- $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
- $RC=(6\over(4))*2=3 cm$
Da er hele segmentet AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 cm.
Totalt mottatte vurderinger: 107.
Gjennomsnittlig nivå
Halvledd av en trekant. Detaljert teori med eksempler (2019)
Halvlinje for en trekant og dens egenskaper
Vet du hva midtpunktet i et segment er? Selvfølgelig gjør du det. Hva med midten av sirkelen? Samme. Hva er midtpunktet i en vinkel? Du kan si at dette ikke skjer. Men hvorfor kan et segment deles i to, men en vinkel ikke? Det er fullt mulig - bare ikke en prikk, men... linje.
Husker du vitsen: en halveringslinje er en rotte som løper rundt hjørnene og deler hjørnet i to. Så den virkelige definisjonen av en halveringslinje er veldig lik denne vitsen:
Halvledd av en trekant- dette er halveringslinjen til en vinkel i en trekant som forbinder toppunktet til denne vinkelen med et punkt på motsatt side.
En gang i tiden oppdaget gamle astronomer og matematikere mye interessante egenskaper halveringslinjer. Denne kunnskapen har i stor grad forenklet folks liv. Det har blitt enklere å bygge, telle avstander, til og med justere avfyringen av kanoner... Kunnskap om disse egenskapene vil hjelpe oss med å løse noen GIA- og Unified State Examination-oppgaver!
Den første kunnskapen som vil hjelpe med dette er halveringslinje for en likebenet trekant.
Husker du forresten alle disse begrepene? Husker du hvordan de skiller seg fra hverandre? Nei? Ikke skummelt. La oss finne ut av det nå.
Så, bunnen av en likebenet trekant- dette er siden som ikke er lik noen annen. Se på bildet, hvilken side tror du det er? Det stemmer - dette er siden.
Medianen er en linje trukket fra toppen av en trekant og deler den motsatte siden (det er det igjen) i to.
Legg merke til at vi ikke sier "Median av en likebenet trekant." Vet du hvorfor? Fordi en median trukket fra et toppunkt i en trekant, halverer den motsatte siden i en hvilken som helst trekant.
Vel, høyden er en linje trukket fra toppen og vinkelrett på basen. La du merke til det? Vi snakker igjen om en hvilken som helst trekant, ikke bare en likebenet. Høyden i ENHVER trekant er alltid vinkelrett på basen.
Så, har du funnet ut av det? Nesten. For å forstå enda bedre og for alltid huske hva en halveringslinje, median og høyde er, må du sammenligne dem med hverandre og forstå hvordan de er like og hvordan de skiller seg fra hverandre. Samtidig, for å huske bedre, er det bedre å beskrive alt " menneskelig språk" Da vil du enkelt operere på matematikkspråket, men først forstår du ikke dette språket, og du må forstå alt på ditt eget språk.
Så hvordan er de like? Halveringslinjen, medianen og høyden - de "kommer alle ut" fra toppen av trekanten og hviler på motsatt side og "gjør noe" enten med vinkelen de kommer ut fra, eller med motsatt side. Jeg tror det er enkelt, ikke sant?
Hvordan er de forskjellige?
- Halveringslinjen deler vinkelen den kommer ut fra i to.
- Medianen deler motsatt side i to.
- Høyden er alltid vinkelrett på motsatt side.
Det er det. Det er lett å forstå. Og når du først forstår, kan du huske.
Nå neste spørsmål. Hvorfor i tilfelle likebent trekant Er halveringslinjen både medianen og høyden?
Du kan bare se på figuren og forsikre deg om at medianen deler seg i to absolutt lik trekant. Det er alt! Men matematikere liker ikke å tro sine egne øyne. De må bevise alt. Skremmende ord? Ikke noe sånt - det er enkelt! Se: begge har like sider, og de har generelt en felles side og. (- halveringslinje!) Og så viser det seg at to trekanter har to like sider og vinkelen mellom dem. Vi husker det første tegnet på likhet i trekanter (hvis du ikke husker det, se i emnet) og konkluderer med at, og derfor = og.
Dette er allerede bra - det betyr at det viste seg å være medianen.
Men hva er det?
La oss se på bildet - . Og vi fikk det. Så også! Endelig, hurra! Og.
Syntes du dette beviset var litt tungt? Se på bildet - to identiske trekanter snakke for seg selv.
Husk i alle fall godt:
Nå er det vanskeligere: vi teller vinkel mellom halveringslinjer i en hvilken som helst trekant! Ikke vær redd, det er ikke så vanskelig. Se på bildet:
La oss telle det. Husker du det summen av vinklene til en trekant er?
La oss bruke dette fantastiske faktum.
På den ene siden, fra:
Det er.
La oss nå se på:
Men halveringslinjer, halveringslinjer!
La oss huske om:
Nå gjennom bokstavene
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
Er det ikke overraskende? Det viste seg at vinkelen mellom halveringslinjene til to vinkler avhenger bare av den tredje vinkelen!
Vel, vi så på to halveringslinjer. Hva om det er tre av dem??!! Vil de alle krysse hverandre på ett tidspunkt?
Eller blir det slik?
Hvordan tror du? Så matematikere tenkte og tenkte og beviste:
Er ikke det flott?
Vil du vite hvorfor dette skjer?
Så...to rette trekanter: og. De har:
- Generell hypotenuse.
- (fordi det er en halveringslinje!)
Dette betyr - ved vinkel og hypotenusa. Derfor er de tilsvarende bena til disse trekantene like! Det er.
Vi beviste at punktet er like (eller like) langt fra sidene av vinkelen. Punkt 1 er behandlet. La oss nå gå videre til punkt 2.
Hvorfor er 2 sant?
Og la oss koble sammen prikkene og.
Dette betyr at den ligger på halveringslinjen!
Det er alt!
Hvordan kan alt dette brukes når man løser problemer? For eksempel, i problemer er det ofte følgende setning: "En sirkel berører sidene av en vinkel ...". Vel, du må finne noe.
Da skjønner du det fort
Og du kan bruke likestilling.
3. Tre halveringslinjer i en trekant skjærer hverandre i ett punkt
Fra egenskapen til en halveringslinje å være sted punkter like langt fra sidene av vinkelen, følger følgende utsagn:
Hvordan kommer det ut? Men se: to halveringslinjer vil definitivt krysse hverandre, ikke sant?
Og den tredje halveringslinjen kan gå slik:
Men i virkeligheten er alt mye bedre!
La oss se på skjæringspunktet mellom to halveringslinjer. La oss kalle det .
Hva brukte vi her begge gangene? Ja paragraf 1, selvfølgelig! Hvis et punkt ligger på en halveringslinje, er det like langt fra sidene av vinkelen.
Og slik ble det.
Men se nøye på disse to likhetene! Tross alt følger det av dem at og derfor .
Og nå skal det spille inn punkt 2: hvis avstandene til sidene av en vinkel er like, så ligger punktet på halveringslinjen...hvilken vinkel? Se på bildet igjen:
og er avstandene til sidene av vinkelen, og de er like, noe som betyr at punktet ligger på halveringslinjen til vinkelen. Den tredje halveringslinjen gikk gjennom samme punkt! Alle tre halveringslinjer krysser hverandre på ett punkt! Og som en ekstra gave -
Radier innskrevet sirkler.
(For å være sikker, se på et annet emne).
Vel, nå vil du aldri glemme:
Skjæringspunktet mellom halveringslinjene til en trekant er sentrum av sirkelen som er innskrevet i den.
La oss gå videre til neste eiendom... Wow, halveringslinjen har mange egenskaper, ikke sant? Og det er flott, fordi flere eiendommer, jo flere verktøy for å løse halveringsoppgaver.
4. Halvleder og parallellitet, halveringslinjer av tilstøtende vinkler
Det faktum at halveringslinjen deler vinkelen i to, fører i noen tilfeller til helt uventede resultater. For eksempel,
Sak 1
Flott, ikke sant? La oss forstå hvorfor det er slik.
På den ene siden tegner vi en halveringslinje!
Men på den annen side er det vinkler som ligger på tvers (husk tema).
Og nå viser det seg at; kast ut midten: ! - likebent!
Tilfelle 2
Se for deg en trekant (eller se på bildet)
La oss fortsette siden utover poenget. Nå har vi to vinkler:
- - innvendig hjørne
- - det ytre hjørnet er utenfor, ikke sant?
Så nå ville noen tegne ikke en, men to halveringslinjer på en gang: både for og for. Hva vil skje?
Vil det ordne seg? rektangulært!
Overraskende nok er dette akkurat tilfelle.
La oss finne ut av det.
Hva tror du beløpet er?
Selvfølgelig, - tross alt lager de alle sammen en slik vinkel at det viser seg å være en rett linje.
Husk nå at og er halveringslinjer og se at innenfor vinkelen er det nøyaktig halv fra summen av alle fire vinklene: og - - det vil si nøyaktig. Du kan også skrive det som en ligning:
Så utrolig, men sant:
Vinkelen mellom halveringslinjen til de indre og ytre vinklene til en trekant er lik.
Tilfelle 3
Ser du at alt er det samme her som for de indre og ytre hjørnene?
Eller la oss tenke igjen hvorfor dette skjer?
Igjen, som for tilstøtende hjørner,
(som korresponderende med parallelle baser).
Og igjen gjør de opp nøyaktig halvparten fra summen
Konklusjon: Hvis oppgaven inneholder halveringslinjer ved siden av vinkler eller halveringslinjer aktuell vinkler av et parallellogram eller trapes, så i denne oppgaven sikkert deltar høyre trekant, og kanskje til og med et helt rektangel.
5. Halvledd og motsatt side
Det viser seg at halveringslinjen til en vinkel i en trekant deler den motsatte siden ikke bare på en eller annen måte, men på en spesiell og veldig interessant måte:
Det er:
Et utrolig faktum, ikke sant?
Nå skal vi bevise dette faktum, men gjør deg klar: det vil være litt vanskeligere enn før.
Igjen - utgang til "space" - ytterligere formasjon!
La oss gå rett.
For hva? Vi får se nå.
La oss fortsette halveringslinjen til den skjærer linjen.
Er dette et kjent bilde? Ja, ja, ja, akkurat det samme som i punkt 4, tilfelle 1 - det viser seg at (- halveringslinje)
Ligger på tvers
Så det også.
La oss nå se på trekantene og.
Hva kan du si om dem?
De er like. Vel, ja, vinklene deres er like vertikale. Altså i to hjørner.
Nå har vi rett til å skrive forholdet til de aktuelle partene.
Og nå i kort notasjon:
Åh! Minner meg om noe, ikke sant? Var det ikke dette vi ønsket å bevise? Ja, ja, akkurat det!
Du ser hvor flott "romvandringen" viste seg å være - konstruksjonen av en ekstra rett linje - uten den ville ingenting ha skjedd! Og så har vi bevist det
Nå kan du trygt bruke den! La oss se på en annen egenskap til halveringslinjene til vinklene til en trekant - ikke vær redd, nå er den vanskeligste delen over - det blir lettere.
Det skjønner vi
Teorem 1:
Teorem 2:
Teorem 3:
Teorem 4:
Teorem 5:
Teorem 6: