Kapittel IV. Rette linjer og plan i rommet. Polyeder

Problemer for kapittel IV

4.1. Hvor mange plan i rommet kan tegnes: a) gjennom et punkt; b) i to ulike punkter; c) gjennom tre forskjellige punkter som ikke ligger på samme linje; d) gjennom tre forskjellige punkter; d) gjennom fire punkter?

4.2. Hvor mange plan i rommet kan tegnes: a) gjennom én rett linje; b) gjennom to kryssende linjer; c) gjennom to vilkårlige linjer?

4.3. Hvor mange plan i rommet kan tegnes: a) gjennom en rett linje og et punkt; b) gjennom to kryssende linjer og et punkt?

4.4. Det er fire punkter i rommet, ingen tre av dem tilhører samme linje. En rett linje trekkes gjennom hvert par gitte punkter. Hvor mange av disse linjene kan holdes?

4.5. Det er fire punkter i rommet, ingen tre av dem tilhører samme linje. Gjennom hvert tredje av disse punktene tegnes et plan. Hvor mange slike fly kan tegnes?

4.6. Er påstanden sann: hvis en rett linje l 1 skjærer linjen l 2 og rett l 2 skjærer linjen l 3, deretter rett l 1 skjærer linjen l 3 ?

4.7. Er påstanden sann: hvis rett l 1 , l 2 krysset og rett l 2 , l 3 krysset da l 1 og l 3 interavl?

4.8. Hvor mange par kryssende kanter, det vil si kanter som ligger på kryssende linjer, er det i en trekantet pyramide?

4.9. Hvor mange par parallelle og kryssende kanter er det i et parallellepiped?

4.10. Bevis at det bare er ett plan som går gjennom to parallelle linjer.

4.11. Hvordan konstruere en rett linje som skjærer:

a) med hver av to kryssende linjer;

b) med hver av to parallelle linjer?

4.12. Hvor mange plan er parallelle med en linje? l, kan vi tegne gjennom et gitt punkt A utenfor denne linjen?

4.13. Rett l parallelt med flyet R. Hvor mange linjer er parallelle med linjen l, kan tegnes i flyet R? Hvordan er det gjensidig ordning alle disse rette linjene?

4.14. Det er kjent at rett l parallelt med linjen T, som er parallell med planet R. Blir det en direkte l parallelt med flyet R?

4.15. La rett l Og T parallelle, og ett plan trekkes gjennom hver av dem. Bevis at hvis disse planene skjærer hverandre, så er skjæringslinjen deres parallell med linjene l Og T.

4.16. Bevis at hvis et plan skjærer en av to parallelle linjer, så skjærer det også den andre.

4.17. Bevis at hvis en linje skjærer et av de parallelle planene, så skjærer den også det andre.

4.18. Bevis at hvis flyet R 1 parallelt med planet R 2, a R 2 parallelt med planet R 3 da R 1 parallell R 3. (Eiendom av transitivitet.)

4.19. Bevis at segmentene av parallelle linjer inneholdt mellom parallelle plan, har like lange.

4.20. Konstruer et fly som går gjennom denne linjen l, parallelt med linjen T(rett l Og T interavl).

4.21. Gitt en kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Finn vinkelen mellom linjene: a) AD og BB 1 b) AD og A 1 D 1) c) AC og B 1 D 1 d) AC og A 1 D 1.

4.22. Bevis at hvis to linjer er vinkelrette på ett plan, så er disse linjene parallelle.

4.23. Bevis at hvis to plan er vinkelrett på en linje, så er disse planene parallelle.

4.24. Segmentene AB og BC er sider av kvadratet ABCD. Planene er tegnet gjennom rette linjer henholdsvis AB og BC. R 1 og R 2. Rett l- skjæringslinje for fly R 1 og R 2, og l _|_ (AB). Bevis at (AB) _|_ R 2 .

4,25. Punkt O er sentrum av et kvadrat med en side T. Segmentet OM er vinkelrett på kvadratets plan, |OM| = m / 2. Finn avstanden fra punkt M til toppen av firkanten.

4,26. Finn avstanden fra punkt M til flyet likesidet trekant, hvis siden av denne trekanten er 3 √3 cm, og avstanden fra punktet til hver av trekantens hjørner er 5 cm.

4,27. Finn settet med alle punkter i rommet like langt fra tre gitte punkter.

4,28. I en likebenet rettvinklet trekant ABC er bena like EN se fra toppen rett vinkel C trukket til flyet /\ ABC er vinkelrett på CD, og
| CD | = 2 EN cm Finn avstanden fra punkt D til hypotenusen AB.

4,29. Ben høyre trekant ABC er lik 4 cm og 3 cm En vinkelrett tegnes gjennom toppunktet til den rette vinkelen C i trekanten P til fly ABC. Finn avstanden fra punkt M n til hypotenusen til en trekant, hvis | MS | = 2,6 cm.

4.30. Hvis flatene til en dihedrisk vinkel fungerer som en fortsettelse av flatene til en annen, kalles slike dihedriske vinkler vertikale. Bevis at vertikale dihedrale vinkler er kongruente.

4,31. Fra punktet M i sirkelen tegnes en vinkelrett MA til planet til sirkelen som er avgrenset av denne sirkelen. Diameteren MB er trukket fra punkt M; [BC] - vilkårlig akkord. Punkt A er koblet til punkt B og C. Bestem typen trekant ABC.

4,32. Bevis at hvis flyene R Og q vinkelrett og rett 1 R vinkelrett på en rett linje T = sq, Det 1 _|_ q.

4,33. La tre parvis kryssende plan gis p, q, r. Bevis at hvis
r _|_ r Og q _|_ r, deretter rett T = sq vinkelrett på planet r.

4,34. Bevis at hvis et plan er vinkelrett på ett av to parallelle plan, så er det også vinkelrett på det andre planet.

4,35. Et halvplan som har en kant av en dihedral vinkel og deler den i to kongruente deler kalles halveringslinje. Bevis at halveringslinjen halvplan av to tilstøtende hjørner vinkelrett på hverandre.

4,36. På modellen av kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, angir projeksjonene av følgende figurer på planet til flaten AA 1 B 1 B: , , , , /\ Fra 1 NE, /\ ACD, kvadrat BB 1 C 1 C.

4,37. Gitt en kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . a) Finn projeksjonen av punktet M på flateplanet ABCD, AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B. b) Finn projeksjonen av punktet N = [СD 1 ] på planet til de indikerte flatene.

4,38. Hva er projeksjonene til to linjer l 1 og l 2 per fly R, Hvis:

a) rett l 1 og l 2 krysser hverandre;

b) rett l 1 og l 2 er krysset;

c) rett l 1 og l 2 er parallelle. Vurder alle mulige tilfeller.

4,39. Punktene A og B tilhører flyet R; kongruente segmenter AA 1 og BB 1 er vinkelrett på planet R og er plassert langs forskjellige sider fra henne. Finn vinklene til firkanten AA 1 BB 1 hvis |AA 1 | = |AB|.

4,40. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik T, dens størrelse spiss vinkel 60°. Finn arealet av projeksjonen av denne trekanten på et plan som danner en vinkel på 30° med trekantens plan.

4,41. Sidene av trekanten er 3,9 cm, 4,1 cm og 2,8 cm Finn arealet av dens projeksjon på et plan som danner en vinkel på 60° med trekantens plan.

4,42. Konstruer et snitt av kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 med et plan som går gjennom punktene M, N og K, hvis

M = A1, | ND 1 | = | ND |, | DK | == 2| KS |, N, K.

4,43. Konstruer en del av kuben ABCDA"B"C"D" med en kant EN plan som går gjennom midtpunktene til ribbene og [B "C"] og toppunktene A" og C. Finn tverrsnittsarealet.

4,44. Konstruer en del av kuben med et plan slik at det er en vanlig sekskant.

4,45. I tetraeder-MABC tegner du seksjoner gjennom midten av kanten [AB] parallelt med kantene: a) [AC] og ; b) [VS] og [SM]; c) [BC] og [AM].

4,46. Finn arealet av seksjonen tegnet gjennom midtpunktene til to tilstøtende sidekanter av en vanlig firkantet pyramide med side EN og høyde h vinkelrett på bunnen av pyramiden.

4,47. Finnes det en trihedrisk vinkel hvis planvinkler er lik: a) 120°, 97°, 33°;
b) 120°, 120°, 130°; c) 108°, 92°, 160°; d) 157°, 82°, 64°.

4,48. I triedral vinkel to planvinkler på 45°, og dihedral vinkel mellom dem - 90°. Finn den tredje planvinkelen.

4,49. Base sider høyre parallellepipedum lik 3√2 cm og 14 cm, vinkelen mellom dem er 135°, sideribbe 12 cm Finn diagonalene til parallellepipedet.

4,50. Diagonal riktig firkantet prisme lik 9 cm; den totale overflaten til prismet er 144 cm 2. Finn siden av basen og sidekanten til prismet.

4,51. Full overflate rektangulært parallellepipedum lik 352 cm 2. Finn målene hvis de er i forholdet 1:2:3.

4,52. Kanten på kuben er lik EN. Finn tverrsnittsarealet til kuben ved et plan som går gjennom endene av kantene som kommer ut fra ett toppunkt.

4,53. Kanten på kuben er lik EN. Finn lengden på segmentet som forbinder midtpunktene til to kryssende kanter.

4,54. I en vanlig firkantet pyramide MABCD er siden av basen EN, pyramidens apotem er 3/2 EN. Finn høyden på pyramiden.

4,55. Finn høyden på en vanlig firkantet pyramide hvis sidekanten er lik T, og planvinkelen ved toppunktet er β.

4,56. Gitt en pyramide, hvis høyde er 16 m, og grunnflaten er 512 m 2. Finn pyramidens tverrsnittsareal ved et plan trukket parallelt med basen i en avstand på 5 m fra toppen.

4,57. Finn sidekanten til en vanlig firkantet pyramide hvis side av basen er 14 cm og arealet er diagonalt snitt 14 cm 2.

4,58. En rombe med diagonaler på 12 cm og 16 cm fungerer som bunnen av pyramiden. Høyden på pyramiden passerer gjennom skjæringspunktet mellom diagonalene og er lik 6,4 cm full overflate pyramider.

4,59. Høyden på en vanlig firkantet pyramide er 28 cm, og sidekanten
36 cm Finn siden av basen.

4,60. Bevis at sidekanten er regelmessig trekantet pyramide vinkelrett på motsatt kant av basen.

4,61. Bevis det sideflate vanlig pyramide lik arealet av basen delt på cosinus av vinkelen mellom planet til sideflaten og planet til basen.

4.62 To regulære polyedre har like kanter, og overflatearealene er i forholdet √3 : 6. Bestem disse polyedre.

4,63. Hvis vi utpeker en kant vanlig polyeder gjennom EN, da er overflatearealet S = 5 en 2 √3. Definer et polyeder.

4,64. Finn den dihedrale vinkelen mellom flatene til et vanlig tetraeder.

4,65. Finn den dihedriske vinkelen mellom tilstøtende flater av et vanlig oktaeder.

4,66. Punktene M, A, B og C tilhører ikke samme plan; (MA) _|_ (BC),
(MB) _|_ (AC). Bevis at (MC) _|_ (AB).

4,67. Krefter virker på punkt A F 1 , F 2 , F 3, og | F 1] = 3 N, | F 2 | = 4 N og | F 3 | = 5 N. Størrelsen på vinkelen mellom kreftene F 1 og F 2 er lik 60°, og kraften F 3 er vinkelrett på hver av dem. Finn størrelsen på resultanten.

Geometritime i 10. klasse.

Emne: Parallellisme av linjer og plan

Mål: Systematisere elevenes kunnskap om temaet «Parallellisme av linjer og plan», utdype og konsolidere elevenes kunnskap ved problemløsning, utvikle elevenes romforståelse

Utstyr: datamaskiner (program " Åpen matematikk. Stereometry."), multimediabrett, test kompilert ved hjelp av et testskall.

I løpet av timene

I Kunngjøring av emnet og formålet med leksjonen.

Motivasjon for læringsaktiviteter.

MED I dag gjennomfører vi en geometritime om emnet "Parallellisme av linjer og plan" ved hjelp av datateknologi. Bruken av datamaskiner utvider mulighetene for læring, spesielt stereometri, ettersom det bidrar til utviklingen av elevenes romlige konsepter, bidrar til en klarere formasjon av geometriske konsepter og utvider den eksisterende beholdningen av geometriske bilder.

I tidligere leksjoner undersøkte vi hovedspørsmålene til emnet: parallellitet av linjer i rommet, parallellitet av en linje og et plan, parallellitet av fly. La oss gjenta disse spørsmålene.

II Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

Hvilke linjer i rommet kalles parallelle? (...ligg i samme plan og ikke krysse hverandre.)

Av interesse er direkte de som ikke har felles punkter og ikke parallell. Disse er?...krysser rette linjer. Definer skjeve linjer. (...linjer som ikke krysser hverandre og ikke ligger i samme plan.)

Formuler et tegn på parallellitet av linjer. (To linjer parallelle med en tredje linje er parallelle.)

I hvilket tilfelle kalles en rett linje og et plan parallelle? (...hvis de ikke krysser hverandre.)

Formuler et tegn på parallellitet mellom en linje og et plan. (Hvis rett, ikke som tilhører flyet, er parallell med en linje i dette planet, så er den parallell med selve planet.)

Når kalles to plan parallelle? (...hvis de ikke krysser hverandre.)

Formuler et tegn på parallellisme av fly. (Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to linjer i et annet plan, så er slike plan parallelle.)

III Arbeide med datamaskiner.

La oss ta en titt teoretisk materiale i programmet «Åpen matematikk. Stereometri." (Programbane: D\VCD\Stereometry)

Elevene gjennomgår teorien gitt i kapittel 2: Parallelisme i rommet

(2.1 Parallellisme av linjer

2.2 Parallellisme av en rett linje og et plan

2.2 Parallellisme av to plan)

Mens de jobber med programmet, møter elevene nye begreper som lemma, test av kryssende linjer, sporteorem, etc.

IV Arbeid i grupper.

En student blir stående ved hver datamaskin og jobber med testprogrammet. (På skrivebordet er det en snarvei test-w, Test 10. klasse, Åpen.) Testen sjekker og vurderer elevenes kunnskap om emnet i timen. Prøveoppgaver er vedlagt.

Resten av elevene sitter ved bordene og utfører muntlige løsninger på følgende oppgaver:

Hvor mange tilfeller er det av den relative plasseringen av to forskjellige linjer i rommet? (Tre)

Er det sant. Er to linjer skjeve hvis det ikke er et plan der begge linjene ligger? (Ja)

Hvor mange par kryssende kanter har en trekantet pyramide? (Tre)

Hvor mange par kryssende kanter gjør firkantet pyramide? (Åtte)

Gitt en linje a og et punkt A utenfor den. Hvor mange linjer som skjærer a kan trekkes gjennom punkt A? (uendelig mange)

Gitt et alfaplan og punkt A utenfor det. Hvor mange linjer parallelle med alfaplanet kan trekkes gjennom punkt A? (uendelig mange)

Gruppearbeidet er over. Testresultatene vises. Gutta går tilbake til datamaskinene og jobber med feilene som ble gjort under arbeid med tester.

V Problemløsning.

Arbeider med Open Mathematics-programmet. Stereometri."

Knapp: Problemer med løsninger.

Gitt skjærende linjer a, b og et punkt T. Tegn en linje gjennom punkt T skjærende linjer a og b.

I planimetri er følgende teorem sant: to linjer vinkelrett på en tredjedel er parallelle. Er dette teoremet gyldig i stereometri? (Nei)

Elevene løser problemer i fellesskap, ser løsningen på problemer på datamaskinen, jobber med tegningen: fjern fyllingen og gjenopprett den, roter tegningen inn ulike retninger, øke den og redusere den osv. Arbeid med en kubemodell. Finn par med kryssende, parallelle, kryssende linjer; kryssende og parallelle plan, etc.

Knapp: Oppgaver.

Elevene løser problemer selvstendig, skriver inn svaret og analyserer riktigheten.

VI Sammendrag.

Vi gjentok, systematiserte, utdypet vår kunnskap om temaet for leksjonen. Vi tok hensyn til problemer med kryssing av linjer. Dataprogram bidratt til å visualisere kombinasjonene geometriske former i verdensrommet.

Elevvurdering.

VII Hjemmelaget trening:

Fyll ut løsningen på de analyserte problemene i en notatbok.

applikasjon

Testoppgaver

Gitt to skjeve linjer a og b. Hvor mange plan går det gjennom a og parallelt med b?

• ingen

  bare en

  uendelig mange

  ingen eller en

Hvor mange fly er det som passerer gjennom disse tre forskjellige punktene i rommet?

• bare en

  uendelig mange

  en eller uendelig mange

  ingen eller en

  ingen, en eller uendelig mange

I rommet er det gitt en linje a og et punkt M utenfor a. Hvor mange plan går det gjennom M og parallelt med linjen a?

• en eller uendelig mange

  ingen

  uendelig mange

  ingen eller uendelig mange

  bare en

Gitt en plan alfa og en rett linje som ikke ligger i den. Hvor mange plan går det gjennom a og parallelt med alfa?

• uendelig mange

  ingen eller en

  en eller uendelig mange

  ingen

  bare en

I rommet er det gitt en linje a og et punkt M. Hvor mange linjer går det gjennom M og parallelt med linje a?

• uendelig mange

  ingen

  ingen eller en

  bare en

  en eller uendelig mange

Gitt et alfaplan og et punkt M utenfor alfa. Hvor mange plan går det gjennom M og parallelt med alfaplanet?

• ingen

  bare en

  ingen eller en

  ingen eller uendelig mange

  uendelig mange

Merk. Testoppgaver og svar på dem velges tilfeldig. Testen kan være tidsbegrenset.

Leksjonens mål:

pedagogisk:

• vurdere mulige tilfeller av relative posisjoner av linjer i rommet;
• utvikle ferdighetene til å lese og tegne tegninger, romlige konfigurasjoner, romlige figurer til oppgaver.

utvikle:

• utvikle elevenes romlige fantasi når de løser geometriske problemer, geometrisk tenkning, interesse for faget, kognitiv og kreativ aktivitet studenter, matematikk tale, minne, oppmerksomhet;
• utvikle selvstendighet i å mestre ny kunnskap.

pedagogisk:

• å innpode studentene en ansvarlig holdning til pedagogisk arbeid, viljesterke egenskaper;
• å danne en følelseskultur og en kommunikasjonskultur,
• utvikle en følelse av patriotisme og kjærlighet til hjembyen din.

Læringsmetoder:

• verbal,
• visuell,
• aktiv

Treningsformer:

kollektiv,

individuell

Læremidler: (inkludert tekniske læremidler)

• datamaskin,
• multimedia projektor,
• skjerm,
• Skriver,
• trykte medier ( Gi ut),
• kryssord.

Lærerens åpningstale.

Ved å bruke kunnskapen vi har lært fra planimetrikurset om linjers relative plassering på et plan, skal vi forsøke å løse spørsmålet om linjers relative posisjon i rommet.

Leksjonen ble hjulpet til å forberede av elevene Skotnikova Olga og Stefan Yulia, som ved å bruke et uavhengig søk etter fotografier av severdighetene i byen Khabarovsk, undersøkte ulike alternativer relative posisjoner av linjer i rommet.

De var ikke bare i stand til å vurdere ulike alternativer for den relative plasseringen av linjer i rommet, men også utført kreativt arbeid- laget en multimediapresentasjon.

Presentasjoner kreative rapporter med en kort forklaring og historisk bakgrunn av severdighetene i byen vår:

Til 150-årsjubileet for byen vår gjorde lysets mestere sitt beste og iscenesatte et storslått lasershow på vollen. Lysbilde nr. 2

Oppmerksomheten til mange gjester i Khabarovsk tiltrekkes av det monumentale monumentet reist på Komsomolskaya-plassen. Det tjueto meter lange monumentet foreviget minnet om heroisk bragd Fjernøstens røde garder og partisaner, som for alltid frigjorde regionen fra de hvite garde og utenlandske inntrengere. Monumentet ble åpnet i oktober 1956. Lysbilde nr. 3

Khabarovsk jernbanestasjon ble bygget i 1929 og ble i disse årene ansett som en av de største og vakre togstasjoner Langt øst. For øyeblikket er stasjonen rekonstruert, dens interiør er fullstendig endret og den har igjen fått utseendet til en russisk stasjon fra det 20. århundre. Lysbilde nr. 4

Konklusjon basert på lysbilder nr. 3 nr. 4. Lysbilde nr. 5

Khabarovsk-flyplassen har internasjonal status, er utstyrt med moderne utstyr, og den luftfartstekniske basen er i stand til å betjene alle typer fly, opp til Boeing 747.

Et bredt nettverk av vanlige ruter forbinder Khabarovsk med dusinvis av byer i Russland, CIS og langt i utlandet. Komfortable fly går fra Khabarovsk flyplasser og kommer tilbake på det mest passende tidspunktet for passasjerene.

Må tas riktige avgjørelser i en begrenset periode når du kontrollerer flyflyvninger avhengig av deres relative posisjon i luftrom og på flyplassen. Lysbilde nr. 6

Klippen - dette fantastiske stedet har blitt et av symbolene til Khabarovsk. Vi kan si at historien til byen begynte fra dette stedet.

I 1858 Kaptein Y.V Dyachenko landet her med sin avdeling og bestemte seg for å etablere leiren sin her. Senere ble det en militær bosetning, deretter landsbyen Khabarovsk, og nå er det den vakre byen Khabarovsk.

Bygningen har en stor balkong, som er et praktfullt observasjonsdekk, som lar deg se vollen, stranden og viddene til Amur-elven som strekker seg utover horisonten. Lysbilde nr. 7

Oppsummering av presentasjonene.

Hvordan evaluerer du den kreative forberedelsen til klassekameratene dine til timen?

La oss trekke en konklusjon Hvilke alternativer for den relative ordningen av linjer i rommet lærte vi i dag i klassen? Lysbilde nr. 8

Konsolidering.

Matematisk diktat fremfører elevene på egne ark av ferdige tegninger og legges ut til befaring til assisterende konsulenter, som kontrollerer og resultatet av kontrollen føres inn i et særskilt ark.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - CUB.

K, M, N - MIDT PÅ RIBBEN

HHVIS B 1 C 1, D 1 D, D 1 C 1,

P - STYRSPUNKT

DIAGONALE ANSIKT AA 1 B 1 B.

Bestem den relative plasseringen av linjene. Lysbilde nr. 9,10,11,12,13,14

Selv test. Lysbilde nr. 15

SABC - TETRAHEDRON.

K, M, N, P - MIDTER AV RIBBNE

HHVIS SA, SC, AB, BC.

Lysbilde nr. 16, 1, 18, 19, 20

Selv test. Lysbilde nr. 21

Etter å ha fullført matematisk diktat - en kort muntlig forklaring med begrunnelse for alle oppgaver.

Testen gjennomføres av studenter i henhold til utdelingsarkene og sendes også inn for testing til assisterende konsulenter, som sjekker og testresultatene føres inn på et eget ark

Hvor mange tilfeller er det av den relative plasseringen av to forskjellige linjer i rommet?

Teksten gir en definisjon av skjeve linjer. Er følgende definisjon riktig: "To linjer sies å krysse hverandre hvis det ikke er noe plan der begge disse linjene ligger."

c) det er umulig å svare entydig

Hvor mange par kryssende kanter har en trekantet pyramide?

Hvor mange par kryssende kanter har en firkantet pyramide?

Gitt en linje a og et punkt A utenfor den. Hvor mange linjer som skjærer a kan trekkes gjennom punkt A?

b) mange

For at to rette linjer ikke skal krysse hverandre (det er nødvendig eller tilstrekkelig) at de krysser hverandre.

For at to linjer skal være parallelle (det er nødvendig eller tilstrekkelig) at de ligger i samme plan.

Selvstendig arbeid med alternativer

1 alternativ

Gitt skjærende linjer a, b og et punkt T. Tegn en linje gjennom punkt T skjærende linjer a og b.

Alternativ 2

Linjene a og b krysses. Tegn en linje som skjærer b og parallelt med linje a.

Rekordark for resultatene av matematisk diktering og testing

Fullt navn	Matematisk diktat									Test							Sm/r
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7

Hjemmelekser.

Lag en kreativ rapport om den relative plasseringen av linjer og plan i rommet.

Oppsummering.

Kryssord. Lysbilde nr. 22,23

FOR UNGDOM OG SKOLEBARN «TRINN INN I FREMTIDEN»

CHELYABINSK HOVEDKOORDINERINGSSENTER

"INTELLECTUALS OF THE XXI CENTURY"

PYRAMIDE OG KRYSSINGSLINJER

Kreativt arbeid ved X VII Chelyabinsk

Urban vitenskapelig og praktisk konferanse ung

forskere og intellektuelle "Step inn i fremtiden"

(avsnitt 3.1)

Chelyabinsk, lyceum nr. 000, klasse 10.

Vitenskapelig rådgiver:

matematikklærer,

Lyceum nr. 000.

Chelyabinsk - 2009

Introduksjon

Det største og mest mystiske av de syv underverkene eldgamle verden er Giza-pyramidekomplekset i Egypt, det mest imponerende er Keopspyramiden. Forskere og teologer har studert den store pyramiden i mange århundrer, og undret seg over storheten til det gigantiske arbeidet med dens skapelse. Pyramiden ble bygget mellom 10490 Og 10390 år f.Kr. Cheops-pyramiden omtales som den mest perfekte strukturen i verden - standarden på vekter og mål. Om hva som er i henne geometrisk form informasjon om universets struktur er kodet, solsystemet og mann.

Ordet pyramide kommer fra gresk "pyramis" etymologisk relatert til "fest" - "Brann", betegner en symbolsk representasjon av den ene guddommelige flammen, livet til alle skapninger. Innviede fra fortiden anså pyramiden for å være det ideelle symbolet på den hemmelige læren. Firkantet base pyramide står for Z jord, dens fire sider er de fire elementene av materie eller substans, fra kombinasjonen som materiell natur er skapt. Trekantede sider orientert mot de fire kardinalretningene, og symboliserer motsetningene varme og kulde (sør og nord), lys og mørke (øst og vest). De tre hovedkamrene i pyramiden tilsvarer menneskets hjerne, hjerte og reproduksjonssystem, så vel som til hans tre hovedenergisentre. Hovedhensikt Den store pyramiden var nøye gjemt.

Det viste seg at energien til pyramideformen "kan gjøre" mye: pulverkaffe, etter å ha stått over pyramiden, får en naturlig smak; billige viner forbedrer smaken betydelig; vann får egenskaper for å fremme helbredelse, toner kroppen, reduserer betennelsesreaksjonen etter bitt, brannsår og fungerer som en naturlig bistandå forbedre fordøyelsen; kjøtt, fisk, egg, grønnsaker, frukt er mumifisert, men ødelegges ikke; melk surner ikke i lang tid; ost mugner ikke...

Er pyramiden så universell? La oss prøve å bruke denne fantastiske figuren til å løse skoleproblemer.

Vi satte i oppgave å finne forhold der det er lett å bestemme avstanden mellom kryssende linjer.

Mål arbeid– finn en metode der du kan måle avstanden mellom kryssende linjer og sjekk denne metoden for å løse praktiske problemer.

Studieobjekt i dette arbeidet er kryssende rette linjer.

Forskningsmetode– konstruere en modell som hjelper til med å bestemme plasseringen av kryssende linjer i rommet.

Metode definerer studieemne: Forholdet mellom stereometriske objekter.

I løpet av studien ble det funnet forhold hvorunder problemet ble løst på en rasjonell måte, og det ble formulert en algoritme for å bruke pyramidemetoden til å løse spesifikke problemer. I prosessen med arbeidet studert eksisterende metoder om dette emnet, og designet også en praktisk og rasjonell måte løsninger på dette problemet. Enkle konsepter

1.1 Kryss av linjer

I stereometritimene i tiende klasse ble vi kjent med å krysse linjer.

I samme lærebok leser vi om avstanden mellom parallelle plan og i avsnitt 3 om avstanden mellom kryssende rette linjer.

Ved å bruke disse materialene begynte vi å løse praktiske problemer. Løsningene på problemene var tungvinte og vanskelige å se på tegningene. Derfor dette emnet Jeg bestemte meg for å slå det opp i oppslagsverk og andre manualer.

1.2 Metoder for å bestemme avstandene mellom kryssende linjer

Magasinet "Matematikk for skolebarn" publiserte i år (nr. 1, 2008) en artikkel "Om avstand generelt og avstanden mellom kryssende linjer spesielt," som beskriver alt i detalj. kjente metoder konstruere en felles vinkelrett på to kryssende linjer. blir vurdert spesifikke oppgaver. I den vitenskapelige, teoretiske og metodiske «Mathematics at School» (nr. 1, 2008) ble det publisert en artikkel «Om noen metoder for å beregne avstanden mellom kryssende linjer».

Det er verdt å merke seg at oppgaven med å konstruere en felles perpendikulær på to skjeve linjer krever mye møysommelig arbeid. Samtidig, når man finner avstanden mellom kryssende linjer, er det ikke nødvendig å konstruere deres felles perpendikulær! Ofte er det nok bare å se (tegne) et mer passende segment, hvis lengde vil være den nødvendige avstanden. I dette tilfellet er det tilrådelig å stole på en av følgende utsagn.

1. Avstanden mellom kryssende linjer er lik avstanden mellom parallelle plan som går gjennom disse linjene.

2. Avstanden mellom kryssende linjer er lik avstanden fra en av dem til et plan parallelt med det som går gjennom den andre linjen.

3. Avstand 1 mellom kryssende linjer som inneholder henholdsvis segmentene AB og CB, kan beregnes ved hjelp av formelen

hvor er vinkelen mellom rette linjer AB og CD, og ​​er volumet til den trekantede pyramiden ABCD (fig. 1)

Tilnærminger basert på anvendelsen av de to første påstandene, som er rent geometriske, krever at den som bestemmer har gode romlig fantasi. Imidlertid er den andre tilnærmingen noen ganger mer fordelaktig å implementere i koordinat-vektorform. I referanse bøker møter generell ligning fly - i et rektangulært koordinatsystem, så kan du bruke det som er kjent i kurset analytisk geometri formel for avstand fra punkt M() til planet definert av denne ligningen:

Etter å ha studert materialet begynte jeg å konstruere objektet som ble undersøkt, ved å bruke stereometriske modeller tilgjengelig i matematikkklasserommet.

Som et resultat fant jeg en rasjonell måte å løse problemet på.

2. Teoretisk del.

Metoden jeg har utviklet for å finne avstand og vinkel mellom kryssende rette linjer, som konvensjonelt kalles «Pyramidemetoden», gjør det mulig å løse problemet raskt og rasjonelt.

Hvorfor "pyramidemetoden"? Faktum er at når du løser problemer ved hjelp av denne metoden, bygges en pyramide PABCD, og ​​meningen med en slik konstruksjon er uttalelsen: "Avstanden mellom kryssende linjer er lik avstanden fra punktet, som er projeksjonen av en av de to gitte kryssende linjene på et plan vinkelrett på det, til ortogonal projeksjon en annen rett linje til samme plan."

I magasinet «Mathematics at School» (nr. 6, 1986) brukte han utsagnet ovenfor og ga eksempler på problemløsning, men konstruksjonsmetoden skiller seg fra «pyramidemetoden». Hele byggesekvensen består av fem trinn:

1. La en rett linje og kryssende og vilkårlig poeng P tilhører linjen.

2. Tegn en vinkelrett RA på den rette linjen. La RA tilhøre flyet.

3. La oss tegne en vinkelrett MN fra punktet M, som hører til linjen, til planet. La linjen PN, som hører til planet, skjære linjen i punkt B. La oss tegne perpendikulære BC og AD til planet slik at BC = AD, og ​​punktene C og D tilhører samme halvplan og punkt C hører til til linjen. Etter dette kan det hevdes at firkanten ABCD er et rektangel, og derfor parallell (PCD) basert på parallelliteten til linjen og planet.

4. Problemet ble redusert til å finne avstanden fra den rette linjen til PCD-planet parallelt med den. En linje er vinkelrett på (PAD) basert på vinkelrett på linjen og planet; planene (ABC) og (PAD) er vinkelrette basert på vinkelrettheten til planene. Linje CD er vinkelrett (PAD) siden linjer CD også er parallelle. Planene (PAD) og (PCD) er perpendikulære basert på perpendikulæriteten til planene. La oss tegne en vinkelrett AK på skjæringslinjen PD vinkelrette plan PAD og PCD. Dette betyr at AK vil stå vinkelrett på planet (ROS). Så segment AK, som er høyden til den rettvinklede trekanten PAD lik avstanden mellom kryssende linjer og .

5. Tegning KL, punktet L hører til linjen og LF KA, punktet F tilhører linjen, får vi at LE er en felles vinkelrett på to skjeve linjer og . Hvis de kryssende linjene skjærer hverandre i rett vinkel (sammenfaller med PD eller PD tilhører), så er oppgaven betydelig forenklet, noe som ofte finnes i mange øvelser. Forresten, ikke alle oppgaver krever å ta punkt M. ovenfor spesifisert metode ganske enkelt, men ved hjelp av denne tilnærmingen løses nesten alle problemer med å finne avstanden mellom kryssende linjer og konstruere en felles vinkelrett på dem umiddelbart. Vinkelen mellom kryssende linjer og kan finnes som vinkel PCD fra den rettvinklede trekanten PDC.

1. Praktisk del. Bygge en pyramide. Beregne avstanden mellom kryssende linjer

3.1 Oppgave 1. Hver kant av et vanlig trekantet prisme er lik EN. Bestem avstanden mellom siden av basen og diagonalen på sideflaten som skjærer den.

Løsning.

РВSPCS - riktig trekantet prisme. La oss finne avstanden mellom BS og RS. Vi vil gjennomføre:

b) AD BC, AD= BC, punkt A BC.

c) AK PD; TIL . Fra det som tidligere er bevist, vil segmentet AK være lik nødvendig avstand. Ved å bruke arealmetoden på den høyre trekantede PAD får vi:

AK= AR *AD:PD = EN .

3.2. Oppgave 2. Kanten på et vanlig tetraeder er EN. Finn avstanden mellom to kanter av et tetraeder som skjærer hverandre.

CPQR - vanlig tetraeder. CO - høyden til tetraederet. Vi skal se etter avstanden mellom PC og RQ.

La oss utføre RA RQ. Punkt A RQ. Siden skjevlinjene PC og RQ skjærer hverandre under det rette snittet (etter teoremet om tre perpendikulære), er problemet forenklet (sammenfaller med PD)). AK er høyden på den høyre trekanten PAD og vil være den nødvendige avstanden, men det er selvfølgelig lettere å finne AK som høyden likebent trekant RAS (AS=AR)

3.3. Oppgave 3. Kanten på kuben er lik a. Finn den korteste avstanden mellom diagonalen til kuben og diagonalen til bunnen av kuben som skjærer den.

Løsning: - kube. Vi vil se etter avstanden mellom PM og RQ. I følge det tidligere beviste utsagnet vil segmentet AK, som er høyden på den rettvinklede trekanten PAD, være lik den nødvendige avstanden:

3.4. Oppgave 4. Finn avstanden mellom de kryssende diagonalene til tilstøtende flater av kuben.