Det laterale overflatearealet til prismet. Hallo! I denne publikasjonen vil vi analysere en gruppe problemer innen stereometri. La oss vurdere en kombinasjon av kropper - et prisme og en sylinder. For øyeblikket fullfører denne artikkelen hele serien med artikler knyttet til vurdering av typer oppgaver i stereometri.
Hvis det dukker opp nye i oppgavebanken, så vil det selvfølgelig komme tilføyelser til bloggen i fremtiden. Men det som allerede er der, er nok til at du lærer hvordan du løser alle problemene med et kort svar som en del av eksamen. Det vil være nok stoff i årene som kommer (matematikkprogrammet er statisk).
De presenterte oppgavene innebærer å beregne arealet til et prisme. Jeg bemerker at nedenfor vurderer vi et rett prisme (og følgelig en rett sylinder).
Uten å vite noen formler forstår vi at sideoverflaten til et prisme er alle sideflatene. Et rett prisme har rektangulære sideflater.
Arealet av sideoverflaten til et slikt prisme er lik summen av arealene til alle sideflatene (det vil si rektangler). Hvis vi snakker om et vanlig prisme som en sylinder er skrevet inn i, så er det klart at alle flatene til dette prismet er LIKE rektangler.
Formelt kan det laterale overflatearealet til et vanlig prisme reflekteres som følger:
27064. Et regulært firkantet prisme er omskrevet om en sylinder hvis basisradius og høyde er lik 1. Finn prismets sideoverflate.
Sideoverflaten til dette prismet består av fire rektangler med samme areal. Høyden på ansiktet er 1, kanten av bunnen av prismet er 2 (disse er to radier av sylinderen), derfor er arealet av sideflaten lik:
Sideoverflateareal:
73023. Finn sideoverflatearealet til et regulært trekantet prisme omskrevet rundt en sylinder hvis basisradius er √0,12 og høyden er 3.
Arealet av sideoverflaten til et gitt prisme er lik summen av arealene til de tre sideflatene (rektanglene). For å finne området på sideflaten, må du vite høyden og lengden på grunnkanten. Høyden er tre. La oss finne lengden på grunnkanten. Tenk på projeksjonen (ovenfra):
Vi har en vanlig trekant der en sirkel med radius √0,12 er skrevet inn. Fra høyre trekant AOC kan vi finne AC. Og så AD (AD=2AC). Per definisjon av tangent:
Dette betyr AD = 2AC = 1,2. Dermed er det laterale overflatearealet lik:
27066. Finn sideoverflatearealet til et regulært sekskantet prisme omskrevet rundt en sylinder hvis basisradius er √75 og høyden er 1.
Det nødvendige arealet er lik summen av arealene til alle sideflatene. Et vanlig sekskantet prisme har sideflater som er like rektangler.
For å finne området til et ansikt, må du vite høyden og lengden på grunnkanten. Høyden er kjent, den er lik 1.
La oss finne lengden på grunnkanten. Tenk på projeksjonen (ovenfra):
Vi har en regulær sekskant der en sirkel med radius √75 er skrevet inn.
Tenk på den rette trekanten ABO. Vi kjenner benet OB (dette er radiusen til sylinderen). Vi kan også bestemme vinkelen AOB, den er lik 300 (trekant AOC er likesidet, OB er en halveringslinje).
La oss bruke definisjonen av tangent i en rettvinklet trekant:
AC = 2AB, siden OB er medianen, det vil si at den deler AC i to, noe som betyr AC = 10.
Dermed er arealet av sideflaten 1∙10=10 og arealet av sideflaten er:
76485. Finn sideoverflatearealet til et vanlig trekantet prisme innskrevet i en sylinder hvis basisradius er 8√3 og høyden er 6.
Arealet av sideoverflaten til det spesifiserte prismet av tre like store flater (rektangler). For å finne arealet må du vite lengden på kanten av prismebunnen (vi vet høyden). Hvis vi vurderer projeksjonen (ovenfra), har vi en vanlig trekant innskrevet i en sirkel. Siden av denne trekanten uttrykkes i form av radius som:
Detaljer om dette forholdet. Så det blir likt
Da er arealet av sideflaten: 24∙6=144. Og det nødvendige området:
245354. Et regulært firkantet prisme er omskrevet rundt en sylinder hvis basisradius er 2. Sideoverflatearealet til prismet er 48. Finn høyden på sylinderen.
Generell informasjon om rett prisme
Sideoverflaten til et prisme (mer presist, sideoverflaten) kalles sum områder av sideflatene. Den totale overflaten av prismet er lik summen av sideflaten og arealene til basene.
Teorem 19.1. Sideoverflaten til et rett prisme er lik produktet av omkretsen av basen og høyden på prismet, dvs. lengden på sidekanten.
Bevis. Sideflatene til et rett prisme er rektangler. Basene til disse rektanglene er sidene av polygonet som ligger ved bunnen av prismet, og høydene er lik lengden på sidekantene. Det følger at sideoverflaten til prismet er lik
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
hvor a 1 og n er lengdene til grunnkantene, p er omkretsen av prismets basis, og I er lengden til sidekantene. Teoremet er bevist.
Praktisk oppgave
Problem (22) . I et skrånende prisme utføres det seksjon, vinkelrett på sideribbene og krysser alle sideribbene. Finn sideflaten til prismet hvis omkretsen av snittet er lik p og sidekantene er lik l.
Løsning. Planet til det tegnede snittet deler prismet i to deler (fig. 411). La oss utsette en av dem for parallell oversettelse, ved å kombinere prismebasene. I dette tilfellet får vi et rett prisme, hvis basis er tverrsnittet til det originale prismet, og sidekantene er lik l. Dette prismet har samme sideoverflate som det originale. Dermed er sideflaten til det opprinnelige prismet lik pl.
Oppsummering av det dekkede emnet
La oss nå prøve å oppsummere emnet vi dekket om prismer og huske hvilke egenskaper et prisme har.
Prismeegenskaper
For det første har et prisme alle sine baser som like polygoner;
For det andre, i et prisme er alle sideflatene parallellogrammer;
For det tredje, i en så mangefasettert figur som et prisme, er alle sidekanter like;
Det bør også huskes at polyedre som prismer kan være rette eller skråstilte.
Hvilket prisme kalles et rett prisme?
Hvis sidekanten til et prisme er plassert vinkelrett på planet til basen, kalles et slikt prisme et rett.
Det ville ikke være overflødig å huske at sideflatene til et rett prisme er rektangler.
Hvilken type prisme kalles skrå?
Men hvis sidekanten til et prisme ikke er plassert vinkelrett på planet til basen, kan vi trygt si at det er et skrånende prisme.
Hvilket prisme kalles riktig?
Hvis en regulær polygon ligger ved bunnen av et rett prisme, så er et slikt prisme regulært.
La oss nå huske egenskapene som et vanlig prisme har.
Egenskaper til et vanlig prisme
For det første tjener regelmessige polygoner alltid som basis for et regulært prisme;
For det andre, hvis vi tar for oss sideflatene til et vanlig prisme, er de alltid like rektangler;
For det tredje, hvis du sammenligner størrelsene på sideribbene, er de alltid like i et vanlig prisme.
For det fjerde er et korrekt prisme alltid rett;
For det femte, hvis sideflatene i et vanlig prisme har form av firkanter, kalles en slik figur vanligvis en semi-regelmessig polygon.
Prismetverrsnitt
La oss nå se på tverrsnittet av prismet:
Hjemmelekser
La oss nå prøve å konsolidere emnet vi har lært ved å løse problemer.
La oss tegne et skrånende trekantet prisme, avstanden mellom kantene vil være lik: 3 cm, 4 cm og 5 cm, og sideoverflaten til dette prismet vil være lik 60 cm2. Når du har disse parameterne, finn sidekanten til dette prismet.
Vet du at geometriske figurer hele tiden omgir oss, ikke bare i geometritimer, men også i hverdagen er det gjenstander som ligner en eller annen geometrisk figur.
Hvert hjem, skole eller arbeid har en datamaskin hvis systemenhet er formet som et rett prisme.
Hvis du tar opp en enkel blyant, vil du se at hoveddelen av blyanten er et prisme.
Når vi går langs den sentrale gaten i byen, ser vi at under føttene våre ligger en flis som har form av et sekskantet prisme.
A. V. Pogorelov, Geometri for klassetrinn 7-11, Lærebok for utdanningsinstitusjoner
Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå Unified State Exam i matematikk med 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!
Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.
All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.
Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.
Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
Definisjon 1. Prismatisk overflate
Teorem 1. På parallelle snitt av en prismatisk overflate
Definisjon 2. Vinkelrett snitt av en prismatisk overflate
Definisjon 3. Prisme
Definisjon 4. Prismehøyde
Definisjon 5. Høyre prisme
Teorem 2. Arealet av sideflaten til prismet
Parallelepiped:
Definisjon 6. Parallelepiped
Teorem 3. På skjæringspunktet mellom diagonalene til et parallellepiped
Definisjon 7. Høyre parallellepipedum
Definisjon 8. Rektangulær parallellepipedum
Definisjon 9. Målinger av et parallellepiped
Definisjon 10. Kube
Definisjon 11. Rhombohedron
Teorem 4. På diagonalene til et rektangulært parallellepiped
Teorem 5. Volum av et prisme
Teorem 6. Volum av et rett prisme
Teorem 7. Volum av et rektangulært parallellepiped
Prisme er et polyeder hvis to flater (baser) ligger i parallelle plan, og kantene som ikke ligger i disse flatene er parallelle med hverandre.
Andre ansikter enn basene kalles lateralt.
Sidene av sideflatene og basene kalles prismeribber, kalles endene av kantene toppunktene til prismet. Sideribber kanter som ikke hører til basene kalles. Foreningen av sideflater kalles sideoverflaten til prismet, og foreningen av alle ansikter kalles hele overflaten av prismet. Prismehøyde kalt perpendikulæren som faller fra punktet på den øvre basen til planet til den nedre basen eller lengden på denne perpendikulæren. 
Direkte prisme kalt et prisme hvis sideribber er vinkelrett på planene til basene. 
Riktig kalt et rett prisme (fig. 3), ved bunnen av dette ligger en regulær polygon.
Betegnelser:
l - sideribbe;
P - base omkrets;
S o - grunnareal;
H - høyde;
P^ - vinkelrett seksjon omkrets;
S b - sideoverflateareal;
V - volum;
S p er arealet av den totale overflaten av prismet.
|
V=SH |
*Det antas at hvert to påfølgende plan skjærer og at det siste planet skjærer det første
Teorem 1 . Deler av en prismatisk overflate etter plan parallelle med hverandre (men ikke parallelle med kantene) er like polygoner.
La ABCDE og A"B"C"D"E" være deler av en prismatisk overflate med to parallelle plan. For å være sikker på at disse to polygonene er like, er det nok å vise at trekantene ABC og A"B"C" er lik og har samme rotasjonsretning og at det samme gjelder for trekanter ABD og A"B"D", ABE og A"B"E". Men de tilsvarende sidene av disse trekantene er parallelle (for eksempel AC er parallell med AC) som skjæringslinjen til et visst plan med to parallelle plan; det følger at disse sidene er like (for eksempel AC er lik A"C"), som motsatte sider av et parallellogram, og at vinklene som dannes av disse sidene er like og har samme retning.
Definisjon 2 . En vinkelrett seksjon av en prismatisk overflate er en seksjon av denne overflaten med et plan vinkelrett på kantene. Basert på forrige teorem vil alle perpendikulære seksjoner av samme prismatiske overflate være like polygoner.
Definisjon 3
. Et prisme er et polyeder avgrenset av en prismatisk overflate og to plan parallelle med hverandre (men ikke parallelle med kantene på den prismatiske overflaten)
Ansiktene som ligger i disse siste planene kalles prismebaser; ansikter som tilhører den prismatiske overflaten - sideflater; kantene på den prismatiske overflaten - sideribber av prismet. I kraft av den forrige setningen er bunnen av prismet like polygoner. Alle sideflater av prismet - parallellogrammer; alle sideribber er like hverandre.
Selvfølgelig, hvis bunnen av prismet ABCDE og en av kantene AA" i størrelse og retning er gitt, så er det mulig å konstruere et prisme ved å tegne kantene BB", CC", ... like og parallelle med kanten AA" .
Definisjon 4 . Høyden på et prisme er avstanden mellom planene til dets baser (HH").
Definisjon 5
. Et prisme kalles rett hvis basene er vinkelrette deler av den prismatiske overflaten. I dette tilfellet er høyden på prismet selvfølgelig dens sideribbe; sidekantene vil være rektangler.
Prismer kan klassifiseres i henhold til antall sideflater lik antall sider av polygonen som fungerer som dens base. Dermed kan prismer være trekantede, firkantede, femkantede, etc.
Teorem 2
. Arealet av prismets sideoverflate er lik produktet av sidekanten og omkretsen av den vinkelrette seksjonen.
La ABCDEA"B"C"D"E" være et gitt prisme og abcde dets vinkelrette snitt, slik at segmentene ab, bc, .. er vinkelrett på sidekantene. Overflaten ABA"B" er et parallellogram; dets areal er lik produktet av basen AA " til en høyde som sammenfaller med ab; arealet av flaten ВСВ "С" er lik produktet av basen ВВ" med høyden bc, osv. Følgelig er sideflaten (dvs. summen av arealene til sideflatene) lik produktet av sidekanten, med andre ord, den totale lengden av segmentene AA", ВВ", .., for mengden ab+bc+cd+de+ea.