Redaksjonen til NNN kom tilfeldigvis over et veldig interessant materiale presentert på bloggen til brukeren xtsarx, dedikert til elementer i teorien fraktaler og dens praktiske anvendelse. Som kjent spiller fraktal theria en viktig rolle i nanosystemenes fysikk og kjemi. Etter å ha bidratt til dette gode materialet, presentert på et språk som er tilgjengelig for et bredt spekter av lesere og støttet av en overflod av grafisk og til og med videomateriale, presenterer vi det for din oppmerksomhet. Vi håper at NNNs lesere vil finne dette materialet interessant.
Naturen er så mystisk at jo mer du studerer den, jo flere spørsmål dukker opp ... Nattelyn - blå "stråler" av forgrenede utslipp, frostmønstre på vinduet, snøflak, fjell, skyer, trebark - alt dette går utover det vanlige Euklidisk geometri. Vi kan ikke beskrive en stein eller grensene til en øy ved å bruke rette linjer, sirkler og trekanter. Og her kommer de oss til unnsetning fraktaler. Hva er disse kjente fremmede?
"Under et mikroskop oppdaget han det på loppen
En loppe som biter liv;
På den loppen er det en liten loppe,
En tann gjennomborer en loppe sint
Loppe, og så i det uendelige.» D. Swift.
Litt historie
Første ideer fraktal geometri oppsto på 1800-tallet. Cantor, ved å bruke en enkel rekursiv (gjentatt) prosedyre, gjorde linjen til en samling av usammenhengende punkter (det såkalte Cantor Dust). Han ville ta en linje og fjerne den sentrale tredjedelen og deretter gjenta det samme med de resterende delene.
Ris. 1. Peanokurve 1,2–5 iterasjoner.
Peano trakk en spesiell type linje. Peano gjorde følgende:: I det første trinnet tok han en rett linje og erstattet den med 9 segmenter 3 ganger kortere enn lengden på den opprinnelige linjen. Så gjorde han det samme med hvert segment av den resulterende linjen. Og så videre i det uendelige. Det unike er at det fyller hele flyet. Det er bevist at for hvert punkt på flyet kan man finne et punkt som tilhører Peano-linjen. Peanos kurve og Cantors støv gikk utover vanlige geometriske objekter. De hadde ikke en klar dimensjon. Cantors støv så ut til å være bygget på grunnlag av en endimensjonal rett linje, men besto av punkter (dimensjon 0). Og Peano-kurven ble bygget på grunnlag av en endimensjonal linje, og resultatet ble et plan. På mange andre områder av vitenskapen dukket det opp problemer hvis løsning førte til merkelige resultater lik de som er beskrevet ovenfor (Brownian motion, aksjekurser). Hver av oss kan gjøre denne prosedyren...
Far til fraktaler
Fram til 1900-tallet ble data om slike merkelige gjenstander samlet, uten noe forsøk på å systematisere dem. Det var helt til jeg tok dem på Benoit Mandelbrot – far til moderne fraktalgeometri og ordet fraktal.
Ris. 2. Benoit Mandelbrot.
Mens han jobbet som matematisk analytiker ved IBM, studerte han støy i elektroniske kretser som ikke kunne beskrives ved hjelp av statistikk. Gradvis sammenlignet fakta, kom han til oppdagelsen av en ny retning i matematikk - fraktal geometri.
Begrepet "fractal" ble introdusert av B. Mandelbrot i 1975. Ifølge Mandelbrot, fraktal(fra latin "fractus" - brøk, brutt, brutt) kalles struktur som består av deler som ligner helheten. Egenskapen til selvlikhet skiller fraktaler skarpt fra objekter med klassisk geometri. Begrep selvlikhet midler tilstedeværelsen av en fin, repeterende struktur, både på de minste skalaene til objektet og på makroskalaen.
Ris. 3. Mot definisjonen av begrepet "fraktal".
Eksempler på selvlikhet er: Koch, Levy, Minkowski-kurver, Sierpinski-trekant, Mengersvamp, Pythagoras tre, etc.
Fra et matematisk synspunkt, fraktal- dette er først og fremst sett med brøkdimensjon (mellomliggende, "ikke heltall"). Mens en jevn euklidisk linje fyller nøyaktig endimensjonalt rom, strekker en fraktalkurve seg utover grensene til endimensjonalt rom, og trer inn utenfor grensene inn i todimensjonalt rom. Dermed vil den fraktale dimensjonen til en Koch-kurve være mellom 1 og 2 Dette betyr først og fremst at for et fraktalt objekt er det umulig å måle lengden nøyaktig! Av disse geometriske fraktalene er den første veldig interessant og ganske berømt - Kochs snøfnugg.
Ris. 4. Mot definisjonen av begrepet "fraktal".
Den er bygget på grunnlag likesidet trekant. Hver linje er erstattet med 4 linjer, hver 1/3 av den opprinnelige lengden. Dermed øker lengden på kurven med en tredjedel for hver iterasjon. Og hvis vi gjør et uendelig antall iterasjoner, vil vi få en fraktal - et Koch snøfnugg med uendelig lengde. Det viser seg at vår uendelige kurve dekker et begrenset område. Prøv å gjøre det samme ved å bruke metoder og figurer fra euklidisk geometri.
Koch snøfnuggdimensjon(når et snøfnugg øker med 3 ganger, øker lengden med 4 ganger) D=log(4)/log(3)=1,2619.
Om selve fraktalen
Fraktaler finner flere og flere anvendelser innen vitenskap og teknologi. Hovedårsaken til dette er at de beskriver den virkelige verden noen ganger enda bedre enn tradisjonell fysikk eller matematikk. Du kan uendelig gi eksempler på fraktale gjenstander i naturen - disse er skyer, og snøflak, og fjell, og et lynglimt, og til slutt, blomkål. En fraktal som et naturlig objekt er en evig kontinuerlig bevegelse, nydannelse og utvikling.
Ris. 5. Fraktaler i økonomi.
I tillegg, fraktaler finner anvendelse i desentraliserte datanettverk Og "fraktale antenner" . De såkalte "brownske fraktalene" er veldig interessante og lovende for modellering av forskjellige stokastiske (ikke-deterministiske) "tilfeldige" prosesser. Når det gjelder nanoteknologi, spiller fraktaler også en viktig rolle , fordi på grunn av deres hierarkiske selvorganisering mange nanosystemer har en ikke-heltallsdimensjon, det vil si at de er fraktaler i sin geometriske, fysisk-kjemiske eller funksjonelle natur. For eksempel, Et slående eksempel på kjemiske fraktale systemer er molekylene til "dendrimerer" . I tillegg er fraktalitetsprinsippet (selvlignende, skaleringsstruktur) en refleksjon av systemets hierarkiske struktur og er derfor mer generell og universell enn standardtilnærminger for å beskrive strukturen og egenskapene til nanosystemer.
Ris. 6. "Dendrimer"-molekyler.
Ris. 7. Grafisk modell for kommunikasjon i arkitektur- og byggeprosessen. Det første nivået av interaksjon fra perspektivet til mikroprosesser.
Ris. 8. Grafisk modell for kommunikasjon i arkitektur- og byggeprosessen. Det andre nivået av interaksjon fra makroprosessers perspektiv (et fragment av modellen).
Ris. 9. Grafisk modell for kommunikasjon i arkitektur- og byggeprosessen. Det andre nivået av interaksjon fra makroprosessers perspektiv (hele modellen)
Ris. 10. Planutvikling av den grafiske modellen. Den første homeostatiske tilstanden.
Fotogalleri av vakre og uvanlige fraktaler
Ris. elleve.
Ris. 12.
Ris. 1. 3.
Ris. 14.
Ris. 15.
Ris. 16.
Ris. 17.
Ris. 18.
Ris. 19.
Ris. 20.
Ris. 21.
Ris. 22.
Ris. 23.
Ris. 24.
Ris. 25.
Ris. 26.
Ris. 27.
Ris. 28.
Ris. 29.
Ris. tretti.
Ris. 31.
Ris. 32.
Ris. 33.
Ris. 34.
Ris. 35.
Retting og redigering fullført Filippov Yu.P.
Fraktal
Fraktal (lat. fraktus- knust, brutt, brutt) er en geometrisk figur som har egenskapen til selvlikhet, det vil si sammensatt av flere deler, som hver er lik hele figuren I matematikk forstås fraktaler som sett med punkter i euklidisk rom som har en metrisk brøkdimensjon (i betydningen Minkowski eller Hausdorff), eller en metrisk dimensjon som er forskjellig fra den topologiske. Fractasm er en uavhengig eksakt vitenskap for å studere og komponere fraktaler.
Med andre ord, fraktaler er geometriske objekter med en brøkdimensjon. For eksempel er dimensjonen til en linje 1, arealet er 2 og volumet er 3. For en fraktal kan dimensjonsverdien være mellom 1 og 2 eller mellom 2 og 3. For eksempel den fraktale dimensjonen til en krøllet papirkulen er omtrent 2,5. I matematikk er det en spesiell kompleks formel for å beregne dimensjonen til fraktaler. Grenene til trakealrør, blader på trær, årer i hånden, en elv - disse er fraktaler. Enkelt sagt er en fraktal en geometrisk figur, hvor en viss del gjentas igjen og igjen, endres i størrelse - dette er prinsippet om selvlikhet. Fraktaler ligner på seg selv, de ligner seg selv på alle nivåer (dvs. i alle skalaer). Det finnes mange forskjellige typer fraktaler. I prinsippet kan det hevdes at alt som finnes i den virkelige verden er en fraktal, enten det er en sky eller et oksygenmolekyl.
Ordet "kaos" får en til å tenke på noe uforutsigbart, men faktisk er kaos ganske ryddig og adlyder visse lover. Målet med å studere kaos og fraktaler er å forutsi mønstre som ved første øyekast kan virke uforutsigbare og fullstendig kaotiske.
Pioneren innen dette kunnskapsfeltet var den fransk-amerikanske matematikeren, professor Benoit B. Mandelbrot. På midten av 1960-tallet utviklet han fraktal geometri, hvis formål var å analysere ødelagte, rynkete og uklare former. Mandelbrot-settet (vist på figuren) er den første assosiasjonen som oppstår hos en person når han hører ordet "fractal". Mandelbrot fastslo forresten at fraktaldimensjonen til den engelske kystlinjen er 1,25.
Fraktaler brukes i økende grad i vitenskapen. De beskriver den virkelige verden enda bedre enn tradisjonell fysikk eller matematikk. Brownsk bevegelse er for eksempel den tilfeldige og kaotiske bevegelsen av støvpartikler suspendert i vann. Denne typen bevegelse er kanskje det aspektet ved fraktal geometri som har mest praktisk bruk. Tilfeldig Brownsk bevegelse har en frekvensrespons som kan brukes til å forutsi fenomener som involverer store mengder data og statistikk. For eksempel spådde Mandelbrot endringer i ullpriser ved bruk av Brownsk bevegelse.
Ordet "fraktal" kan ikke bare brukes som et matematisk begrep. I pressen og populærvitenskapelig litteratur kan en fraktal kalles en figur som har en av følgende egenskaper:
Den har en ikke-triviell struktur i alle skalaer. Dette er i motsetning til vanlige figurer (som en sirkel, ellipse, graf av en jevn funksjon): hvis vi vurderer et lite fragment av en vanlig figur i en veldig stor skala, vil det se ut som et fragment av en rett linje. For en fraktal fører ikke økning av skalaen til en forenkling av strukturen på alle skalaer vil vi se et like komplekst bilde.
Er seg selv eller tilnærmet seg selv.
Den har en metrisk brøkdimensjon eller en metrisk dimensjon som overstiger den topologiske.
Den mest nyttige bruken av fraktaler i datateknologi er fraktal datakomprimering. Samtidig komprimeres bilder mye bedre enn det gjøres med konvensjonelle metoder – opptil 600:1. En annen fordel med fraktal komprimering er at når den forstørres, er det ingen pikseleringseffekt, noe som forverrer bildet dramatisk. Dessuten ser et fraktalt komprimert bilde ofte enda bedre ut etter forstørrelse enn før. Dataforskere vet også at fraktaler med uendelig kompleksitet og skjønnhet kan genereres ved hjelp av enkle formler. Filmindustrien bruker mye fraktal grafikkteknologi for å lage realistiske landskapselementer (skyer, steiner og skygger).
Studiet av turbulens i strømmer tilpasser seg veldig bra til fraktaler. Dette lar oss bedre forstå dynamikken i komplekse strømmer. Ved å bruke fraktaler kan du også simulere flammer. Porøse materialer er godt representert i fraktal form på grunn av det faktum at de har en veldig kompleks geometri. For å overføre data over avstander brukes antenner med fraktalformer, noe som reduserer størrelsen og vekten betraktelig. Fraktaler brukes til å beskrive krumningen til overflater. En ujevn overflate er preget av en kombinasjon av to forskjellige fraktaler.
Mange gjenstander i naturen har fraktale egenskaper, for eksempel kyster, skyer, trekroner, snøflak, sirkulasjonssystemet og alveolsystemet til mennesker eller dyr.
Fraktaler, spesielt på et fly, er populære på grunn av kombinasjonen av skjønnhet med den enkle konstruksjonen ved hjelp av en datamaskin.
De første eksemplene på selv-lignende sett med uvanlige egenskaper dukket opp på 1800-tallet (for eksempel Bolzano-funksjonen, Weierstrass-funksjonen, Cantor-settet). Begrepet "fractal" ble laget av Benoit Mandelbrot i 1975 og fikk stor popularitet med utgivelsen av boken hans "Fractal Geometry of Nature" i 1977.
Bildet til venstre viser et enkelt eksempel på Darer Pentagon-fraktalen, som ser ut som en haug med femkanter som er klemt sammen. Faktisk er den dannet ved å bruke en femkant som initiator og likebenede trekanter, der forholdet mellom den større siden og den mindre er nøyaktig lik det såkalte gylne snittet (1,618033989 eller 1/(2cos72°)) som en generator. Disse trekantene er kuttet fra midten av hver femkant, noe som resulterer i en form som ser ut som 5 små femkanter limt til en stor. 
Kaosteori sier at komplekse ikke-lineære systemer er arvelig uforutsigbare, men samtidig hevder den at måten å uttrykke slike uforutsigbare systemer på viser seg å være riktig ikke i eksakte likheter, men i representasjoner av systemets oppførsel - i grafer av merkelige attraktorer, som har form av fraktaler. Dermed viser kaosteorien, som mange tenker på som uforutsigbarhet, å være vitenskapen om forutsigbarhet selv i de mest ustabile systemene. Studiet av dynamiske systemer viser at enkle ligninger kan gi opphav til kaotisk atferd der systemet aldri går tilbake til en stabil tilstand og det ikke vises noe mønster. Ofte oppfører slike systemer seg ganske normalt opp til en viss verdi av en nøkkelparameter, for så å oppleve en overgang der det er to muligheter for videre utvikling, deretter fire, og til slutt et kaotisk sett med muligheter.
Skjemaer av prosesser som forekommer i tekniske objekter har en klart definert fraktalstruktur. Strukturen til et minimalt teknisk system (TS) innebærer forekomsten i TS av to typer prosesser - den viktigste og de støttende, og denne inndelingen er betinget og relativ. Enhver prosess kan være den viktigste i forhold til støtteprosessene, og enhver av støtteprosessene kan betraktes som den viktigste i forhold til "dens" støttende prosesser. Sirklene i diagrammet indikerer fysiske effekter som sikrer forekomsten av de prosessene som det ikke er nødvendig å spesielt lage "dine egne" kjøretøy for. Disse prosessene er et resultat av interaksjoner mellom stoffer, felt, stoffer og felt. For å være presis er en fysisk effekt et kjøretøy hvis driftsprinsipp vi ikke kan påvirke, og vi ikke ønsker eller har mulighet til å forstyrre utformingen. 
Flyten til hovedprosessen vist i diagrammet er sikret ved at det finnes tre støtteprosesser, som er de viktigste for TS-en som genererer dem. For å være rettferdig bemerker vi at for å fungere til og med en minimal TS, er tre prosesser tydeligvis ikke nok, dvs. Ordningen er veldig, veldig overdrevet.
Alt er langt fra så enkelt som vist i diagrammet. En prosess som er nyttig (trenger av en person) kan ikke utføres med hundre prosent effektivitet. Den forsvunne energien brukes på å skape skadelige prosesser - oppvarming, vibrasjon osv. Som et resultat oppstår skadelige paralleller med den fordelaktige prosessen. Det er ikke alltid mulig å erstatte en "dårlig" prosess med en "god", så det er nødvendig å organisere nye prosesser som tar sikte på å kompensere for konsekvenser som er skadelige for systemet. Et typisk eksempel er behovet for å bekjempe friksjon, som tvinger en til å organisere geniale smøreordninger, bruke dyre anti-friksjonsmaterialer eller bruke tid på smøring av komponenter og deler eller periodisk utskifting.
På grunn av den uunngåelige påvirkningen fra et foranderlig miljø, kan det være nødvendig å administrere en nyttig prosess. Kontroll kan utføres enten ved hjelp av automatiske enheter eller direkte av en person. Prosessdiagrammet er egentlig et sett med spesielle kommandoer, dvs. algoritme. Essensen (beskrivelsen) av hver kommando er helheten av en enkelt nyttig prosess, skadelige prosesser som følger med den, og et sett med nødvendige kontrollprosesser. I en slik algoritme er settet med støtteprosesser en vanlig subrutine – og her oppdager vi også en fraktal. R. Kollers metode ble opprettet for et kvart århundre siden og gjør det mulig å lage systemer med et ganske begrenset sett på kun 12 funksjonspar (prosesser).
Selvlignende sett med uvanlige egenskaper i matematikk
Siden slutten av 1800-tallet har det dukket opp eksempler på selvlignende objekter med egenskaper som er patologiske sett fra klassisk analyses synspunkt i matematikken. Disse inkluderer følgende:
Cantor-settet er et intetsteds tett utallig perfekt sett. Ved å modifisere prosedyren kan man også oppnå et intetsteds tett sett med positiv lengde.
Sierpinski-trekanten ("duken") og Sierpinski-teppet er analoger av Cantor-settet på flyet.
Mengers svamp er en analog av Cantor satt i tredimensjonalt rom;
eksempler på Weierstrass og Van der Waerden på en intetsteds differensierbar kontinuerlig funksjon.
Koch-kurve er en ikke-selv-skjærende kontinuerlig kurve med uendelig lengde som ikke har en tangent på noe punkt;
Peano-kurve er en kontinuerlig kurve som går gjennom alle punkter på kvadratet.
banen til en Brownsk partikkel er heller ingen steder differensierbar med sannsynlighet 1. Dens Hausdorff-dimensjon er to
Rekursiv prosedyre for å oppnå fraktale kurver
Konstruksjon av Koch-kurven
Det er en enkel rekursiv prosedyre for å få fraktale kurver på et plan. La oss definere en vilkårlig brutt linje med et begrenset antall lenker, kalt en generator. Deretter, la oss erstatte hvert segment i det med en generator (mer presist, en brutt linje som ligner på en generator). I den resulterende brutte linjen erstatter vi igjen hvert segment med en generator. Fortsetter vi til det uendelige, i grensen får vi en fraktalkurve. Figuren til høyre viser de fire første trinnene i denne prosedyren for Koch-kurven.
Eksempler på slike kurver er:
Dragon Curve,
Koch-kurve (Koch snøfnugg),
Lewy Curve,
Minkowski-kurve,
Hilbert kurve,
Ødelagt (kurve) av en drage (Harter-Haithway Fractal),
Peano-kurve.
Ved å bruke en lignende prosedyre oppnås det pytagoreiske treet.
Fraktaler som faste punkter for kompresjonskartlegging
Egenlikhetsegenskapen kan uttrykkes matematisk strengt som følger. La være kontraktive kartlegginger av flyet. Tenk på følgende kartlegging på settet av alle kompakte (lukkede og avgrensede) delmengder av planet:
Det kan vises at kartleggingen er en sammentrekningskartlegging på settet av compacta med Hausdorff-metrikken. Derfor, ved Banachs teorem, har denne kartleggingen et unikt fikspunkt. Dette faste punktet vil være fraktalen vår.
Den rekursive prosedyren for å oppnå fraktale kurver beskrevet ovenfor er et spesielt tilfelle av denne konstruksjonen. Alle tilordninger i den er likhetskartlegginger, og - antall generatorlenker.
For Sierpinski-trekanten og kartet er , , homoteter med sentre ved toppunktene til en vanlig trekant og koeffisient 1/2. Det er lett å se at Sierpinski-trekanten forvandles til seg selv når den vises.
I tilfellet hvor avbildningene er likhetstransformasjoner med koeffisienter, kan dimensjonen til fraktalen (under noen ytterligere tekniske forhold) beregnes som en løsning på ligningen. Dermed får vi for Sierpinski-trekanten 
.
Ved det samme Banach-teoremet, som starter med et hvilket som helst kompakt sett og bruker iterasjoner av kartet på det, får vi en sekvens av kompakte sett som konvergerer (i betydningen Hausdorff-metrikken) til fraktalen vår.
Fraktaler i kompleks dynamikk
Julia sett
Nok et Julia-sett
Fraktaler oppstår naturlig når man studerer ikke-lineære dynamiske systemer. Det mest studerte tilfellet er når et dynamisk system er definert ved iterasjoner av et polynom eller en holomorf funksjon av en kompleks variabel på planet. De første studiene på dette området går tilbake til begynnelsen av 1900-tallet og er knyttet til navnene på Fatou og Julia.
La F(z) - polynom, z 0 er et komplekst tall. Tenk på følgende sekvens: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …
Vi er interessert i oppførselen til denne sekvensen slik den pleier n til det uendelige. Denne sekvensen kan:
streve mot det uendelige,
strebe etter den endelige grensen
vise syklisk oppførsel i grensen, for eksempel: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …
oppføre seg kaotisk, det vil si ikke vise noen av de tre nevnte typene atferd.
Sett med verdier z 0, hvor sekvensen viser en bestemt type oppførsel, samt flere bifurkasjonspunkter mellom forskjellige typer, har ofte fraktale egenskaper.
Dermed er Julia-settet settet med bifurkasjonspunkter for polynomet F(z)=z 2 +c(eller annen lignende funksjon), det vil si disse verdiene z 0 som oppførselen til sekvensen ( z n) kan endre seg dramatisk med vilkårlig små endringer z 0 .
Et annet alternativ for å få fraktalsett er å introdusere en parameter i polynomet F(z) og vurdering av settet med de parameterverdiene som sekvensen ( z n) viser en viss atferd på en fast måte z 0 . Dermed er Mandelbrot-settet settet av alle , for hvilke ( z n) For F(z)=z 2 +c Og z 0 går ikke til uendelig.
Et annet kjent eksempel av denne typen er Newtons bassenger.
Det er populært å lage vakre grafiske bilder basert på kompleks dynamikk ved å fargelegge planpunkter avhengig av oppførselen til de tilsvarende dynamiske systemene. For å fullføre Mandelbrot-settet kan du for eksempel fargelegge punktene avhengig av aspirasjonshastigheten ( z n) til uendelig (definert for eksempel som det minste tallet n, hvorpå | z n| vil overstige en fast stor verdi EN.
Biomorfer er fraktaler bygget på grunnlag av kompleks dynamikk og minner om levende organismer.
Stokastiske fraktaler
Randomisert fraktal basert på Julia-sett
Naturlige gjenstander har ofte en fraktal form. Stokastiske (tilfeldige) fraktaler kan brukes til å modellere dem. Eksempler på stokastiske fraktaler:
bane av Brownsk bevegelse på flyet og i rommet;
grensen for banen til Brownsk bevegelse på et fly. I 2001 beviste Lawler, Schramm og Werner Mandelbrots hypotese om at dens dimensjon er 4/3.
Schramm-Löwner-evolusjoner er konformt invariante fraktale kurver som oppstår i kritiske todimensjonale modeller av statistisk mekanikk, for eksempel i Ising-modellen og perkolering.
ulike typer randomiserte fraktaler, det vil si fraktaler oppnådd ved bruk av en rekursiv prosedyre der en tilfeldig parameter introduseres i hvert trinn. Plasma er et eksempel på bruken av en slik fraktal i datagrafikk.
I naturen
Forfra av luftrøret og bronkiene
Bronkialt tre
Nettverk av blodårer
applikasjon
Naturvitenskap
I fysikk oppstår fraktaler naturlig ved modellering av ikke-lineære prosesser, som turbulent væskestrøm, komplekse diffusjons-adsorpsjonsprosesser, flammer, skyer osv. Fraktaler brukes ved modellering av porøse materialer, for eksempel i petrokjemi. I biologi brukes de til å modellere populasjoner og for å beskrive indre organsystemer (blodkarsystemet).
Radioteknikk
Fraktale antenner
Bruken av fraktal geometri i utformingen av antenneenheter ble først brukt av den amerikanske ingeniøren Nathan Cohen, som da bodde i Boston sentrum, hvor installasjon av eksterne antenner på bygninger var forbudt. Nathan klippet ut en Koch-kurveform fra aluminiumsfolie og limte den på et stykke papir, og festet den deretter til mottakeren. Cohen grunnla sitt eget selskap og startet serieproduksjonen deres.
Datavitenskap
Bildekomprimering
Hovedartikkel: Fraktal komprimeringsalgoritme
Fraktaltre
Det finnes algoritmer for bildekomprimering ved bruk av fraktaler. De er basert på ideen om at man i stedet for selve bildet kan lagre et komprimeringskart som dette bildet (eller et nært) er et fast punkt for. En av variantene av denne algoritmen ble brukt [ kilde ikke spesifisert 895 dager] av Microsoft da de publiserte leksikonet, men disse algoritmene ble ikke mye brukt.
Data-grafikk
Et annet fraktalt tre
Fraktaler er mye brukt i datagrafikk for å konstruere bilder av naturlige objekter, som trær, busker, fjelllandskap, havoverflater og så videre. Det er mange programmer som brukes til å generere fraktale bilder, se Fractal Generator (program).
Desentraliserte nettverk
IP-adressetildelingssystemet i Netsukuku-nettverket bruker prinsippet om fraktal informasjonskomprimering for å kompakt lagre informasjon om nettverksnoder. Hver node i Netsukuku-nettverket lagrer kun 4 KB med informasjon om tilstanden til nabonoder, mens enhver ny node kobles til fellesnettverket uten behov for sentral regulering av distribusjonen av IP-adresser, som for eksempel er typisk for Internett. Dermed garanterer prinsippet om fraktal informasjonskomprimering fullstendig desentralisert, og derfor den mest stabile driften av hele nettverket.
Matematikk,
hvis du ser riktig på det,
reflekterer ikke bare sannheten,
men også uforlignelig skjønnhet.
Bertrand Russell.
Du har selvfølgelig hørt om fraktaler. Du har helt sikkert sett disse fantastiske bildene fra Bryce3d som er mer ekte enn virkeligheten i seg selv. Fjell, skyer, trebark - alt dette går utover den vanlige euklidiske geometrien. Vi kan ikke beskrive en stein eller grensene til en øy ved å bruke rette linjer, sirkler og trekanter. Og her kommer fraktaler til unnsetning. Hva er disse kjente fremmede? Når dukket de opp?
Utseendehistorie.
De første ideene om fraktal geometri oppsto på 1800-tallet. Cantor, ved å bruke en enkel rekursiv (gjentatt) prosedyre, gjorde linjen til en samling av usammenhengende punkter (det såkalte Cantor Dust). Han ville ta en linje og fjerne den sentrale tredjedelen og deretter gjenta det samme med de resterende delene. Peano tegnet en spesiell type linje (figur nr. 1). For å tegne den brukte Peano følgende algoritme.
I det første trinnet tok han en rett linje og erstattet den med 9 segmenter 3 ganger kortere enn lengden på den opprinnelige linjen (del 1 og 2 i figur 1). Så gjorde han det samme med hvert segment av den resulterende linjen. Og så videre i det uendelige. Det unike er at det fyller hele flyet. Det er bevist at for hvert punkt på flyet kan man finne et punkt som tilhører Peano-linjen. Peanos kurve og Cantors støv gikk utover vanlige geometriske objekter. De hadde ikke en klar dimensjon. Cantors støv så ut til å være bygget på grunnlag av en endimensjonal rett linje, men besto av punkter (dimensjon 0). Og Peano-kurven ble bygget på grunnlag av en endimensjonal linje, og resultatet ble et plan. På mange andre områder av vitenskapen dukket det opp problemer hvis løsning førte til merkelige resultater lik de som er beskrevet ovenfor (Brownian motion, aksjekurser).
Far til fraktaler
Fram til 1900-tallet ble data om slike merkelige gjenstander samlet, uten noe forsøk på å systematisere dem. Det var helt til Benoit Mandelbrot, faren til moderne fraktalgeometri og ordet fraktal, tok opp dem. Mens han jobbet som matematisk analytiker ved IBM, studerte han støy i elektroniske kretser som ikke kunne beskrives ved hjelp av statistikk. Gradvis sammenlignet fakta, kom han til oppdagelsen av en ny retning i matematikk - fraktal geometri.
Hva er en fraktal? Mandelbrot hentet selv ordet fraktal fra det latinske ordet fractus, som betyr brutt (delt i deler). Og en av definisjonene på en fraktal er en geometrisk figur som består av deler og som kan deles inn i deler, som hver vil representere en mindre kopi av helheten (minst omtrentlig).
For å forestille oss en fraktal klarere, la oss vurdere et eksempel gitt i B. Mandelbrots bok "The Fractal Geometry of Nature", som har blitt en klassiker - "Hva er lengden på kysten av Storbritannia?" Svaret på dette spørsmålet er ikke så enkelt som det ser ut til. Alt avhenger av lengden på verktøyet vi skal bruke. Ved å måle fjæra ved hjelp av en kilometerlinjal vil vi få litt lengde. Imidlertid vil vi savne mange små bukter og halvøyer som er mye mindre i størrelse enn vår linje. Ved å redusere størrelsen på linjalen til for eksempel 1 meter, vil vi ta hensyn til disse detaljene i landskapet, og følgelig vil lengden på kysten bli større. La oss gå videre og måle lengden på kysten ved hjelp av en millimeterlinjal, vi vil ta hensyn til detaljer som er større enn en millimeter, lengden vil bli enda større. Som et resultat kan svaret på et så tilsynelatende enkelt spørsmål forvirre hvem som helst - lengden på kysten av Storbritannia er uendelig.
Litt om dimensjoner.
I vårt daglige liv møter vi hele tiden dimensjoner. Vi anslår lengden på veien (250 m), finner ut arealet til leiligheten (78 m2) og ser etter volumet til en ølflaske på klistremerket (0,33 dm3). Dette konseptet er ganske intuitivt, og det ser ut til at det ikke krever avklaring. Linjen har dimensjon 1. Dette betyr at ved å velge et referansepunkt, kan vi definere et hvilket som helst punkt på denne linjen ved å bruke 1 tall - positivt eller negativt. Dessuten gjelder dette alle linjer - sirkel, firkant, parabel osv.
Dimensjon 2 betyr at vi unikt kan definere et hvilket som helst punkt med to tall. Ikke tro at todimensjonal betyr flat. Overflaten til en kule er også todimensjonal (den kan defineres ved hjelp av to verdier - vinkler som bredde og lengdegrad).
Hvis vi ser på det fra et matematisk synspunkt, bestemmes dimensjonen som følger: for endimensjonale objekter fører dobling av deres lineære størrelse til en økning i størrelse (i dette tilfellet lengde) med en faktor på to (2) ^1).
For todimensjonale objekter resulterer dobling av lineære dimensjoner i en økning i størrelse (for eksempel arealet til et rektangel) med fire ganger (2^2).
For 3-dimensjonale objekter fører dobling av de lineære dimensjonene til en åttedobling i volum (2^3) og så videre.
Dermed kan dimensjonen D beregnes basert på avhengigheten av økningen i "størrelsen" til objektet S av økningen i de lineære dimensjonene L. D=log(S)/log(L). For linje D=log(2)/log(2)=1. For planet D=log(4)/log(2)=2. For volum D=log(8)/log(2)=3. Det kan være litt forvirrende, men generelt er det ikke komplisert og forståelig.
Hvorfor forteller jeg alt dette? Og for å forstå hvordan man skiller fraktaler fra for eksempel pølse. La oss prøve å beregne dimensjonen for Peano-kurven. Så vi har den opprinnelige linjen, som består av tre segmenter med lengde X, erstattet av 9 segmenter tre ganger kortere. Dermed, når minimumssegmentet øker med 3 ganger, øker lengden på hele linjen med 9 ganger og D=log(9)/log(3)=2 er et todimensjonalt objekt!!!
Så når dimensjonen til en figur hentet fra noen enkle objekter (segmenter) er større enn dimensjonen til disse objektene, har vi å gjøre med en fraktal.
Fraktaler er delt inn i grupper. De største gruppene er:
Geometriske fraktaler.
Det var her historien til fraktaler begynte. Denne typen fraktal oppnås gjennom enkle geometriske konstruksjoner. Vanligvis, når de konstruerer disse fraktalene, gjør de dette: de tar et "frø" - et aksiom - et sett med segmenter som fraktalen skal bygges på. Deretter brukes et sett med regler på dette "frøet", som forvandler det til en slags geometrisk figur. Deretter brukes det samme settet med regler igjen på hver del av denne figuren. For hvert trinn vil figuren bli mer og mer kompleks, og hvis vi utfører (i hvert fall i tankene våre) et uendelig antall transformasjoner, vil vi få en geometrisk fraktal.
Peano-kurven omtalt ovenfor er en geometrisk fraktal. Figuren nedenfor viser andre eksempler på geometriske fraktaler (fra venstre til høyre Kochs snøfnugg, Liszt, Sierpinski-triangel).
Snøfnugg Koch
Ark
Sierpinski trekant
Av disse geometriske fraktalene er den første, Koch-snøfnugget, veldig interessant og ganske kjent. Den er bygget på grunnlag av en likesidet trekant. Hver linje hvorav ___ er erstattet med 4 linjer hver 1/3 av lengden på originalen _/\_. Dermed øker lengden på kurven med en tredjedel for hver iterasjon. Og hvis vi gjør et uendelig antall iterasjoner, vil vi få en fraktal - et Koch snøfnugg med uendelig lengde. Det viser seg at vår uendelige kurve dekker et begrenset område. Prøv å gjøre det samme ved å bruke metoder og figurer fra euklidisk geometri.
Dimensjonen til et Koch snøfnugg (når et snøfnugg øker med 3 ganger, øker lengden med 4 ganger) D=log(4)/log(3)=1,2619...
De såkalte L-systemene er godt egnet for å konstruere geometriske fraktaler. Essensen av disse systemene er at det er et visst sett med systemsymboler, som hver angir en spesifikk handling og et sett med symboltransformasjonsregler. For eksempel beskrivelsen av Kochs snøfnugg ved bruk av L-Systems i Fractint-programmet
; Adrian Mariano fra The Fractal Geometry of Nature av Mandelbrot Koch1 ( ;sett rotasjonsvinkelen til 360/6=60 grader Vinkel 6 ; Første tegning for konstruksjon Aksiom F--F--F ; Tegnkonverteringsregel F=F+F--F+F )I denne beskrivelsen er de geometriske betydningene til symbolene som følger:
F betyr tegne en linje + vri med klokken - vri mot klokken
Den andre egenskapen til fraktaler er selvlikhet. Ta for eksempel Sierpinski-trekanten. For å konstruere den "skjærer" vi ut en trekant fra midten av en likesidet trekant. La oss gjenta samme prosedyre for de tre trekantene som er dannet (bortsett fra den sentrale) og så videre i det uendelige. Hvis vi nå tar noen av de resulterende trekantene og forstørrer den, vil vi få en nøyaktig kopi av helheten. I dette tilfellet har vi å gjøre med fullstendig selvlikhet.
La meg ta en reservasjon med en gang at de fleste fraktaltegningene i denne artikkelen ble hentet ved hjelp av Fractint-programmet. Hvis du er interessert i fraktaler, så er dette et must-ha-program for deg. Med dens hjelp kan du bygge hundrevis av forskjellige fraktaler, få omfattende informasjon om dem, og til og med lytte til hvordan fraktaler høres ut;).
Å si at programmet er bra er å si ingenting. Det er flott, bortsett fra én ting - den nyeste versjonen 20.0 er kun tilgjengelig i DOS-versjonen:(. Du finner dette programmet (siste versjon 20.0) på http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .
Legg igjen en kommentar
Kommentarer
Vel, for det første, et interessant eksempel fra Microsoft Excel Cellene A2 og B2 har de samme verdiene mellom 0 og 1. med en verdi på 0,5 er det ingen effekt.
Hei til alle som klarte å lage et program ved hjelp av et fratalt bilde. Hvem kan fortelle meg hvilken syklusmetode som er best for meg å bruke for å bygge en lysning av fraktale bregner med en 3d max-støtte med en dt-iterasjon på 100 000 på en stein med 2800 mH
Det er en kildekode med et program for å tegne Dragon-kurven, også en fraktal.
Artikkelen er kjempebra. Og Excel er sannsynligvis en koprosessorfeil (på de siste sifrene i lav rekkefølge)
Hei alle sammen! Mitt navn er, Ribenek Valeria, Ulyanovsk og i dag vil jeg legge ut flere av mine vitenskapelige artikler på LCI-nettstedet.
Min første vitenskapelige artikkel i denne bloggen vil bli viet til fraktaler. Jeg vil si med en gang at artiklene mine er designet for nesten alle målgrupper. De. Jeg håper de vil være av interesse for både skoleelever og elever.
Nylig lærte jeg om slike interessante objekter i den matematiske verden som fraktaler. Men de finnes ikke bare i matematikk. De omgir oss overalt. Fraktaler er naturlige. Jeg vil snakke om hva fraktaler er, om typene fraktaler, om eksempler på disse objektene og deres anvendelser i denne artikkelen. Til å begynne med vil jeg kort fortelle deg hva en fraktal er.
Fraktal(Latin fractus - knust, ødelagt, ødelagt) er en kompleks geometrisk figur som har egenskapen til selvlikhet, det vil si sammensatt av flere deler, som hver ligner hele figuren. I en bredere forstand forstås fraktaler som sett med punkter i det euklidiske rom som har en brøkdelt metrisk dimensjon (i betydningen Minkowski eller Hausdorff), eller en metrisk dimensjon som er forskjellig fra den topologiske. Som et eksempel vil jeg sette inn et bilde som viser fire forskjellige fraktaler.
Jeg skal fortelle deg litt om fraktalers historie. Konseptene fraktal og fraktal geometri, som dukket opp på slutten av 70-tallet, har blitt godt etablert blant matematikere og programmerere siden midten av 80-tallet. Ordet "fraktal" ble laget av Benoit Mandelbrot i 1975 for å referere til de uregelmessige, men selvliknende strukturene han var opptatt av. Fødselen av fraktal geometri er vanligvis assosiert med utgivelsen av Mandelbrots bok The Fractal Geometry of Nature i 1977. Arbeidene hans brukte de vitenskapelige resultatene til andre forskere som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Men først i vår tid har det vært mulig å kombinere deres arbeid i ett system.
Det er mange eksempler på fraktaler, fordi de som sagt omgir oss overalt. Etter min mening er til og med hele universet vårt en enorm fraktal. Tross alt gjentar alt i det, fra strukturen til atomet til selve universets struktur, hverandre nøyaktig. Men det finnes selvfølgelig mer spesifikke eksempler på fraktaler fra forskjellige områder. Fraktaler, for eksempel, er til stede i kompleks dynamikk. Der dukker de naturlig opp i studiet av ikke-lineær dynamiske systemer. Det mest studerte tilfellet er når det dynamiske systemet spesifiseres ved iterasjoner polynom eller holomorf funksjon av et kompleks av variabler på overflaten. Noen av de mest kjente fraktalene av denne typen er Julia-settet, Mandelbrot-settet og Newton-bassengene. Nedenfor, i rekkefølge, viser bildene hver av fraktalene ovenfor.
Et annet eksempel på fraktaler er fraktale kurver. Det er best å forklare hvordan man konstruerer en fraktal ved å bruke eksemplet med fraktale kurver. En av disse kurvene er det såkalte Koch Snowflake. Det er en enkel prosedyre for å få fraktale kurver på et plan. La oss definere en vilkårlig brutt linje med et begrenset antall lenker, kalt en generator. Deretter erstatter vi hvert segment i det med en generator (mer presist, en brutt linje som ligner på en generator). I den resulterende brutte linjen erstatter vi igjen hvert segment med en generator. Fortsetter vi til det uendelige, i grensen får vi en fraktalkurve. Nedenfor er Koch Snowflake (eller Curve).
Det er også et stort utvalg av fraktale kurver. De mest kjente av dem er den allerede nevnte Koch Snowflake, samt Levy-kurven, Minkowski-kurven, Dragon's brutte linje, Piano-kurven og Pythagorean-treet. Jeg tror du enkelt kan finne et bilde av disse fraktalene og deres historie på Wikipedia hvis du ønsker det.
Det tredje eksemplet eller typen fraktaler er stokastiske fraktaler. Slike fraktaler inkluderer banen til Brownsk bevegelse på et plan og i rommet, Schramm-Löwner-evolusjonen, forskjellige typer randomiserte fraktaler, det vil si fraktaler oppnådd ved bruk av en rekursiv prosedyre der en tilfeldig parameter introduseres i hvert trinn.
Det er også rent matematiske fraktaler. Disse er for eksempel Cantor-settet, Menger-svampen, Sierpinski-triangelet og andre.
Men kanskje de mest interessante fraktalene er naturlige. Naturlige fraktaler er gjenstander i naturen som har fraktale egenskaper. Og her er listen allerede stor. Jeg vil ikke liste opp alt, fordi det sannsynligvis er umulig å liste dem alle, men jeg skal fortelle deg om noen. For eksempel, i levende natur inkluderer slike fraktaler vårt sirkulasjonssystem og lunger. Og også kroner og blader av trær. Dette inkluderer også sjøstjerner, kråkeboller, koraller, havskjell og noen planter som kål eller brokkoli. Flere slike naturlige fraktaler fra levende natur er tydelig vist nedenfor.
Hvis vi vurderer livløs natur, så er det mye mer interessante eksempler der enn i levende natur. Lyn, snøflak, skyer, velkjent for alle, mønstre på vinduer på frostdager, krystaller, fjellkjeder - alt dette er eksempler på naturlige fraktaler fra livløs natur.
Vi så på eksempler og typer fraktaler. Når det gjelder bruken av fraktaler, brukes de i en rekke kunnskapsfelt. I fysikk oppstår fraktaler naturlig ved modellering av ikke-lineære prosesser, som turbulent væskestrøm, komplekse diffusjons-adsorpsjonsprosesser, flammer, skyer osv. Fraktaler brukes ved modellering av porøse materialer, for eksempel i petrokjemi. I biologi brukes de til å modellere populasjoner og for å beskrive indre organsystemer (blodkarsystemet). Etter opprettelsen av Koch-kurven ble det foreslått å bruke den til å beregne lengden på kystlinjen. Fraktaler brukes også aktivt innen radioteknikk, informasjonsvitenskap og datateknologi, telekommunikasjon og til og med økonomi. Og selvfølgelig brukes fraktal visjon aktivt i moderne kunst og arkitektur. Her er ett eksempel på fraktale mønstre:
Og så, med dette tenker jeg å fullføre historien min om et så uvanlig matematisk fenomen som en fraktal. I dag lærte vi om hva en fraktal er, hvordan den så ut, om typer og eksempler på fraktaler. Jeg snakket også om deres applikasjon og demonstrerte noen av fraktalene visuelt. Jeg håper du likte denne lille ekskursjonen til en verden av fantastiske og fascinerende fraktale objekter.
Fraktal eksempel
"Fractal" ble introdusert i bruk av matematikere for mindre enn et halvt århundre siden, og ble snart, sammen med synergetikk og attraktor, en av de "tre pilarene" i den unge Theory of Deterministic Chaos, og er i dag allerede anerkjent som en av grunnleggende elementer i universets struktur.
MED det latinske ordet fractus er oversatt som "ødelagt", ga moderne latinske språk det betydningen "revet". En fraktal er noe som er identisk med helheten/den større delen den er en del av, og som samtidig kopierer hver av sine bestanddeler. Dermed er "fraktalitet" den uendelige likheten mellom "alt" og dets komponenter, det vil si at det er selvlikhet på ethvert nivå. Hvert nivå i en fraktalgren kalles en "iterasjon" jo mer utviklet det beskrevne eller grafisk avbildede systemet er, jo flere fraktale iterasjoner ser observatøren. I dette tilfellet kalles punktet der delingen skjer (for eksempel en stamme i grener, en elv i to bekker, etc.) bifurkasjonspunktet.
Begrepet fraktus ble valgt av matematiker Benoit Mandelbrot i 1975 for å beskrive en vitenskapelig oppdagelse og ble populær noen år senere etter at han utviklet temaet for et bredere publikum i sin bok The Fractal Geometry of Nature.
I dag er fraktal viden kjent som de fantastiske mønstrene av såkalt "fractal art" skapt av dataprogrammer. Men ved hjelp av en datamaskin kan du generere ikke bare vakre abstrakte bilder, men også veldig troverdige naturlandskap - fjell, elver, skoger. Her er faktisk overgangspunktet mellom vitenskap og det virkelige liv, eller omvendt, hvis vi antar at det generelt er mulig å skille dem.
Faktum er det fraktalt prinsipp egnet ikke bare for å beskrive funn i de eksakte vitenskapene. Dette er for det første prinsippet om strukturen og utviklingen av naturen selv. Alt rundt oss er fraktaler! Den mest åpenbare gruppen av eksempler er elver med sideelver, venesystemet med kapillærer, lyn, frostmønstre, trær... Nylig har forskere, testing fraktal teori, har eksperimentelt verifisert at man, basert på diagrammet over ett tre, kan trekke konklusjoner om skogområdet hvor disse trærne vokser. Andre eksempler på fraktalgrupper: atom - molekyl - planetsystem - solsystem - galakser - univers... Minutt - time - dag - uke - måned - år - århundre... Selv et samfunn av mennesker organiserer seg etter prinsippene om fraktalitet: Jeg - familie - klan - nasjonalitet - nasjonaliteter - raser... Individ - gruppe - parti - stat. Ansatt - avdeling - avdeling - bedrift - bekymring... Selv de guddommelige pantheonene i forskjellige religioner er bygget på samme prinsipp, inkludert kristendommen: Gud Fader - Treenighet - helgener - kirke - troende, for ikke å nevne organiseringen av guddommelige pantheons av hedenske religioner.
Historie uttaler at selv-lignende sett først ble lagt merke til på 1800-tallet i vitenskapsmenns verk - Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, men sannheten er at allerede de hedenske slaverne etterlot oss bevis på at folk forsto individuell eksistens som en liten detalj i universets uendelighet. Dette er et folkekulturobjekt kalt en "edderkopp", studert av kunsthistorikere i Hviterussland og Ukraina. Det er en slags prototype av skulptur i moderne "mobil" stil (delene er i konstant bevegelse i forhold til hverandre). "Edderkoppen" er ofte laget av halm og består av små, mellomstore og store elementer av samme form, hengt fra hverandre slik at hver mindre del nøyaktig gjentar den større og hele strukturen som helhet. Denne designen ble hengt opp i hovedhjørnet av hjemmet, som om det betegner ens hjem som en del av hele verden.
Teorien om fraktalitet fungerer overalt i dag, inkludert i filosofien, som sier at i løpet av hvert liv, og ethvert liv som helhet er fraktal, er det "bifurkasjonspunkter" når utvikling kan ta forskjellige veier til høyere nivåer og et øyeblikk når en person "finner seg selv før et valg", er et ekte "bufurkasjonspunkt" i fraktalene i livet hans.
Teorien om deterministisk kaos sier at utviklingen av hver fraktal ikke er uendelig. Forskere tror at det i et visst øyeblikk kommer en grense utover hvilken veksten av iterasjoner stopper og fraktalen begynner å "innsnevres", gradvis når det opprinnelige enhetsmålet, og deretter går prosessen igjen i en sirkel - lik innånding og utånding, endringene morgen og natt, vinter og sommer i naturen.