Først av alt må vi forstå konseptet med en vektor i seg selv. For å introdusere definisjonen av en geometrisk vektor, la oss huske hva et segment er. La oss introdusere følgende definisjon.
Definisjon 1
Et segment er en del av en rett linje som har to grenser i form av punkter.
Et segment kan ha 2 retninger. For å betegne retningen vil vi kalle en av grensene til segmentet for begynnelsen, og den andre grensen for slutten. Retningen er angitt fra begynnelsen til slutten av segmentet.
Definisjon 2
Vi vil kalle en vektor eller et rettet segment et segment der det er kjent hvilken av grensene til segmentet som anses som begynnelsen og hvilken som er slutten.
Betegnelse: Med to bokstaver: $\overline(AB)$ – (der $A$ er begynnelsen, og $B$ er slutten).
Med en liten bokstav: $\overline(a)$ (fig. 1).
La oss nå introdusere begrepet vektorlengder direkte.
Definisjon 3
Lengden på vektoren $\overline(a)$ vil være lengden på segmentet $a$.
Notasjon: $|\overline(a)|$
Begrepet vektorlengde er for eksempel assosiert med et slikt konsept som likheten mellom to vektorer.
Definisjon 4
Vi vil kalle to vektorer like hvis de tilfredsstiller to betingelser: 1. De er kodireksjonelle; 1. Lengdene deres er like (fig. 2).
For å definere vektorer, skriv inn et koordinatsystem og bestemme koordinatene for vektoren i det angitte systemet. Som vi vet, kan enhver vektor dekomponeres i formen $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, der $m$ og $n$ er reelle tall, og $\overline (i )$ og $\overline(j)$ er enhetsvektorer på henholdsvis $Ox$- og $Oy$-aksen.
Definisjon 5
Vi vil kalle ekspansjonskoeffisientene til vektoren $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinatene til denne vektoren i det introduserte koordinatsystemet. Matematisk:
$\overline(c)=(m,n)$
Hvordan finne lengden på en vektor?
For å utlede en formel for å beregne lengden på en vilkårlig vektor gitt dens koordinater, vurder følgende problem:
Eksempel 1
Gitt: vektor $\overline(α)$ med koordinater $(x,y)$. Finn: lengden på denne vektoren.
La oss introdusere et kartesisk koordinatsystem $xOy$ på flyet. Fra opprinnelsen til det introduserte koordinatsystemet setter vi til side $\overline(OA)=\overline(a)$. La oss konstruere projeksjoner $OA_1$ og $OA_2$ av den konstruerte vektoren på henholdsvis $Ox$ og $Oy$ aksene (fig. 3).
Vektoren $\overline(OA)$ vi har konstruert vil være radiusvektoren for punkt $A$, derfor vil den ha koordinater $(x,y)$, som betyr
$=x$, $[OA_2]=y$
Nå kan vi enkelt finne den nødvendige lengden ved å bruke Pythagoras setning, får vi
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Svar: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Konklusjon: For å finne lengden på en vektor hvis koordinater er gitt, er det nødvendig å finne roten til kvadratet av summen av disse koordinatene.
Eksempel på oppgaver
Eksempel 2
Finn avstanden mellom punktene $X$ og $Y$, som har følgende koordinater: henholdsvis $(-1.5)$ og $(7.3)$.
Hvilke som helst to punkter kan lett assosieres med konseptet med en vektor. Tenk for eksempel på vektoren $\overline(XY)$. Som vi allerede vet, kan koordinatene til en slik vektor finnes ved å trekke fra koordinatene sluttpunkt($Y$) de tilsvarende koordinatene til startpunktet ($X$). Det skjønner vi
Endelig fikk jeg tak i dette omfattende og etterlengtede temaet. analytisk geometri . Først litt om denne seksjonen høyere matematikk…. Nå husker du sikkert et skolegeometrikurs med mange teoremer, deres bevis, tegninger osv. Hva du skal skjule, et uelsket og ofte uklart emne for en betydelig andel av elevene. Analytisk geometri kan merkelig nok virke mer interessant og tilgjengelig. Hva betyr adjektivet "analytisk"? To klisjéaktige matematiske fraser dukker umiddelbart opp: "grafisk løsningsmetode" og " analytisk metode løsninger". Grafisk metode , selvfølgelig, er forbundet med konstruksjon av grafer og tegninger. Analytisk samme metode innebærer å løse problemer hovedsakelig gjennom algebraiske operasjoner. I denne forbindelse er algoritmen for å løse nesten alle problemer med analytisk geometri enkel og gjennomsiktig, den er ofte nok å bruke nøye nødvendige formler- og svaret er klart! Nei, selvfølgelig vil vi ikke være i stand til å gjøre dette uten tegninger i det hele tatt, og i tillegg, for en bedre forståelse av materialet, vil jeg prøve å sitere dem utover nødvendighet.
Det nyåpnede kurset om geometri later som det ikke er teoretisk komplett, det er fokusert på å løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelesninger ta med kun det som fra mitt ståsted er viktig i praksis. Hvis du trenger mer fullstendig hjelp til en underseksjon, anbefaler jeg følgende ganske tilgjengelig litteratur:
1) En ting som, uten spøk, flere generasjoner er kjent med: Skolebok i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skolegarderobshengeren har allerede gått gjennom 20 (!) opptrykk, som selvfølgelig ikke er grensen.
2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur for videregående skole, du vil trenge første bind. Sjelden oppståtte oppgaver kan falle ut av synet mitt, og opplæringen vil gi uvurderlig hjelp.
Begge bøkene kan lastes ned gratis online. I tillegg kan du bruke mitt arkiv med ferdige løsninger, som finnes på siden Last ned eksempler i høyere matematikk.
Blant verktøyene foreslår jeg igjen min egen utvikling - Software pakke i analytisk geometri, noe som i stor grad vil forenkle livet og spare mye tid.
Det forutsettes at leseren er kjent med det grunnleggende geometriske konsepter og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallellogram, parallellepiped, terning, etc. Det er tilrådelig å huske noen teoremer, i det minste Pythagoras teorem, hei til repeatere)
Og nå vil vi vurdere sekvensielt: konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Jeg anbefaler å lese videre den viktigste artikkelen Punktprodukt av vektorer, og også Vektor og blandet produkt av vektorer. Det vil ikke være overflødig lokalt problem– Inndeling av et segment i et gitt forhold. Basert på informasjonen ovenfor, kan du mestre ligning av en linje i et plan Med enkleste eksempler på løsninger, som vil tillate lære å løse geometriproblemer. Følgende artikler er også nyttige: Ligning av et plan i rommet, Ligninger av en linje i rommet, Grunnleggende problemer på en rett linje og et plan, andre deler av analytisk geometri. Naturligvis vil standardoppgaver bli vurdert underveis.
Vektor konsept. Gratis vektor
La oss først gjenta skoledefinisjonen av en vektor. Vektor kalt regissert et segment der begynnelsen og slutten er indikert:
I i dette tilfellet begynnelsen av segmentet er punktet, slutten av segmentet er punktet. Selve vektoren er betegnet med . Retning er viktig, hvis du flytter pilen til den andre enden av segmentet, får du en vektor, og dette er det allerede helt annen vektor. Konseptet vektor er beleilig identifisert med bevegelse fysisk kropp: Enig, å gå inn dørene til instituttet eller forlate dørene til instituttet er helt andre ting.
Det er praktisk å vurdere individuelle punkter på et fly eller rom som den såkalte null vektor. For en slik vektor faller slutten og begynnelsen sammen.
!!! Merk: Her og videre kan du anta at vektorene ligger i samme plan eller du kan anta at de befinner seg i rommet - essensen av materialet som presenteres er gyldig for både planet og rommet.
Betegnelser: Mange la umiddelbart merke til pinnen uten en pil i betegnelsen og sa, det er også en pil øverst! Riktignok kan du skrive det med en pil: , men det er også mulig oppføringen som jeg vil bruke i fremtiden. Hvorfor? Tilsynelatende utviklet denne vanen seg av praktiske årsaker, skytterne mine på skolen og universitetet viste seg å være for ulik størrelse og raggete. I pedagogisk litteratur noen ganger bryr de seg ikke med kileskrift i det hele tatt, men fremhever bokstavene med fet skrift: , som antyder at det er en vektor.
Det var stilistikk, og nå om måter å skrive vektorer på:
1) Vektorer kan skrives med to store latinske bokstaver: 
og så videre. I dette tilfellet den første bokstaven Nødvendigvis angir startpunktet til vektoren, og den andre bokstaven angir endepunktet til vektoren.
2) Vektorer er også skrevet med små latinske bokstaver:
Spesielt for korthets skyld kan vektoren vår redesignes til liten latinsk bokstav.
Lengde eller modul en vektor som ikke er null kalles lengden på segmentet. Lengden på nullvektoren er null. Logisk.
Lengden på vektoren er indikert med modultegnet: ,
Vi vil lære å finne lengden på en vektor (eller vi vil gjenta den, avhengig av hvem) litt senere.
De var grunnleggende informasjon om vektor, kjent for alle skoleelever. I analytisk geometri, den såkalte gratis vektor.
For å si det enkelt - vektoren kan plottes fra et hvilket som helst punkt:
Vi er vant til å kalle slike vektorer like (definisjonen av like vektorer vil bli gitt nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er de SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løpet av å løse problemer, kan du "feste" denne eller den vektoren til et hvilket som helst punkt på planet eller rommet du trenger. Dette er en veldig kul funksjon! Se for deg en vektor med vilkårlig lengde og retning - den kan "klones" uendelig antall tider og når som helst i rommet, faktisk eksisterer den OVERALT. Det er en student som sier: Hver foreleser bryr seg om vektoren. Tross alt er det ikke bare et vittig rim, alt er matematisk riktig - vektoren kan også festes der. Men ikke skynd deg å glede deg, det er studentene selv som ofte lider =)
Så, gratis vektor- Dette en haug med identiske regisserte segmenter. Skoledefinisjon vektor gitt i begynnelsen av avsnittet: "Et rettet segment kalles en vektor..." innebærer spesifikk et rettet segment hentet fra et gitt sett, som er knyttet til et spesifikt punkt i planet eller rommet.
Det skal bemerkes at fra et fysikksynspunkt er konseptet med en fri vektor i generell sak er feil, og brukspunktet for vektoren betyr noe. Faktisk, et direkte slag av samme kraft på nesen eller pannen, nok til å utvikle mitt dumme eksempel, medfører forskjellige konsekvenser. Derimot, ufri vektorer finnes også i løpet av vyshmat (ikke gå dit :)).
Handlinger med vektorer. Kollinearitet av vektorer
I skolekurs geometri, en rekke handlinger og regler med vektorer vurderes: addisjon etter trekantregelen, addisjon etter parallellogramregelen, vektordifferanseregel, multiplikasjon av en vektor med et tall, skalarprodukt av vektorer osv. Som et utgangspunkt, la oss gjenta to regler som er spesielt relevante for å løse problemer med analytisk geometri.
Regelen for å legge til vektorer ved hjelp av trekantregelen
Vurder to vilkårlige ikke-null vektorer og: 
Du må finne summen av disse vektorene. På grunn av det faktum at alle vektorer anses som frie, vil vi sette vektoren til side fra slutt vektor: 
Summen av vektorer er vektoren. For en bedre forståelse av regelen, er det lurt å inkludere fysisk mening: la noen kropp bevege seg langs en vektor, og deretter langs en vektor. Da er summen av vektorer vektoren til den resulterende banen med begynnelsen ved avgangspunktet og slutten ved ankomstpunktet. En lignende regel er formulert for summen av et hvilket som helst antall vektorer. Som de sier, kan kroppen gå sin vei veldig magert langs en sikksakk, eller kanskje på autopilot - langs den resulterende vektoren av summen.
Forresten, hvis vektoren er utsatt fra startet vektor, så får vi ekvivalenten parallellogramregel tillegg av vektorer.
Først om kollinearitet av vektorer. De to vektorene kalles kollineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Grovt sett snakker vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem brukes alltid adjektivet "collinear".
Se for deg to kollineære vektorer. Hvis pilene til disse vektorene er rettet i samme retning, kalles slike vektorer co-regissert. Hvis pilene peker mot forskjellige sider, da vil vektorene være motsatte retninger.
Betegnelser: kollinearitet av vektorer skrives med det vanlige parallellitetssymbolet: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-directed) eller (vektorer er motsatt rettet).
Arbeidet en ikke-null vektor på et tall er en vektor hvis lengde er lik , og vektorene og er co-rettet mot og motsatt rettet mot.
Regelen for å multiplisere en vektor med et tall er lettere å forstå ved hjelp av et bilde: 
La oss se på det mer detaljert:
1 retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så vektoren endrer retning til det motsatte.
2) Lengde. Hvis multiplikatoren er inneholdt i eller , så lengden på vektoren avtar. Så lengden på vektoren er halvparten av lengden på vektoren. Hvis modulo multiplikatoren mer enn en, deretter vektorlengden øker i tide.
3) Vær oppmerksom på at alle vektorer er kollineære, mens en vektor uttrykkes gjennom en annen, for eksempel . Det motsatte er også sant: hvis en vektor kan uttrykkes gjennom en annen, så er slike vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi multipliserer en vektor med et tall, får vi kollineær(i forhold til originalen) vektor.
4) Vektorene er co-dirigert. Vektorer og er også co-regissert. Enhver vektor i den første gruppen er motsatt rettet med hensyn til enhver vektor i den andre gruppen.
Hvilke vektorer er like?
To vektorer er like hvis de er i samme retning og har samme lengde . Merk at kodireksjonalitet innebærer kollinearitet av vektorer. Definisjonen ville være unøyaktig (overflødig) hvis vi sa: "To vektorer er like hvis de er kollineære, kodireksjonelle og har samme lengde."
Fra synspunktet til konseptet med en fri vektor, like vektorer– dette er den samme vektoren, som allerede ble diskutert i forrige avsnitt.
Vektorkoordinater på flyet og i verdensrommet
Det første punktet er å vurdere vektorer på planet. La oss representere det kartesiske rektangulært system koordinater og fra opprinnelsen til koordinater vi utsetter enkelt vektorer og:
Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelrett. Jeg anbefaler at du sakte venne deg til begrepene: i stedet for parallellitet og perpendikularitet bruker vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.
Betegnelse: Ortogonaliteten til vektorer skrives med det vanlige perpendikularitetssymbolet, for eksempel: .
Vektorene som vurderes kalles koordinatvektorer eller orts. Disse vektorene dannes basis på overflaten. Hva et grunnlag er, tror jeg, er intuitivt klart for mange, flere detaljert informasjon finner du i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer Med enkle ord definerer grunnlaget og opprinnelsen til koordinatene hele systemet - dette er et slags grunnlag som et fullt og rikt geometrisk liv koker på.
Noen ganger kalles det konstruerte grunnlaget ortonormal basis av planet: "orto" - fordi koordinatvektorene er ortogonale, betyr adjektivet "normalisert" enhet, dvs. lengdene på basisvektorene er lik én.
Betegnelse: grunnlaget er vanligvis skrevet i parentes, innenfor hvilke i streng rekkefølge basisvektorer er listet opp, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt omorganisere.
Noen plan vektor den eneste måten uttrykt som: 
, Hvor - tall som kalles vektorkoordinater V på dette grunnlaget. Og selve uttrykket 
kalt vektor nedbrytningpå grunnlag .
Middag servert:
La oss starte med den første bokstaven i alfabetet: . Tegningen viser tydelig at når en vektor dekomponeres til en basis, brukes de som nettopp er diskutert:
1) regelen for å multiplisere en vektor med et tall: og ;
2) addisjon av vektorer etter trekantregelen: .
Plot nå vektoren mentalt fra et hvilket som helst annet punkt på flyet. Det er ganske åpenbart at hans forfall vil «følge ham nådeløst». Her er det, vektorens frihet - vektoren "bærer alt med seg selv." Denne egenskapen er selvfølgelig sann for enhver vektor. Det er morsomt at selve basisvektorene (gratis) ikke trenger å være plottet fra origo, den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre, og den andre øverst til høyre, og ingenting vil endre seg! Riktignok trenger du ikke å gjøre dette, siden læreren også vil vise originalitet og trekke deg en "kreditt" på et uventet sted.
Vektorer illustrerer nøyaktig regelen for å multiplisere en vektor med et tall, vektoren er samrettet med grunnvektoren, vektoren er rettet motsatt av grunnvektoren. For disse vektorene er en av koordinatene lik null, du kan omhyggelig skrive den slik:
Og basisvektorene er forresten slik: (faktisk uttrykkes de gjennom seg selv).
Og endelig: , . Forresten, hva er vektorsubtraksjon, og hvorfor snakket jeg ikke om subtraksjonsregelen? Et sted i lineær algebra, Jeg husker ikke hvor, jeg la merke til at subtraksjon er spesielt tilfelle addisjon. Dermed kan utvidelsene til vektorene "de" og "e" lett skrives som en sum: , 
. Omorganiser begrepene og se på tegningen hvor godt den gode gamle addisjonen av vektorer etter trekantregelen fungerer i disse situasjonene.
Den vurderte dekomponeringen av skjemaet 
noen ganger kalt vektordekomponering i ort-systemet(dvs. i et system av enhetsvektorer). Men dette er ikke den eneste måten å skrive en vektor på, det er vanlig neste alternativ:
Eller med likhetstegn:
Selve basisvektorene er skrevet som følger: og
Det vil si at koordinatene til vektoren er angitt i parentes. I praktiske problemer Alle tre opptaksalternativene brukes.
Jeg tvilte på om jeg skulle snakke, men jeg sier det likevel: vektorkoordinater kan ikke omorganiseres. Strengt på første plass vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren, strengt tatt på andreplass vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren. Faktisk, og er to forskjellige vektorer.
Vi fant ut koordinatene på flyet. La oss nå se på vektorer i tredimensjonalt rom, nesten alt er likt her! Det vil bare legge til en koordinat til. Det er vanskelig å lage tredimensjonale tegninger, så jeg vil begrense meg til én vektor, som jeg for enkelhets skyld setter til side fra opprinnelsen: 
Noen vektor tredimensjonalt rom Kan den eneste måten
ekspandere over ortonormal basis: 
, hvor er koordinatene til vektoren (tallet) i dette grunnlaget.
Eksempel fra bildet: 
. La oss se hvordan vektorreglene fungerer her. Først multipliserer du vektoren med et tall: (rød pil), (grønn pil) og (bringebærpil). For det andre, her er et eksempel på å legge til flere, i dette tilfellet tre, vektorer: . Sumvektoren starter kl Utgangspunktet avgang (begynnelsen av vektoren) og ender opp ved det endelige ankomstpunktet (slutten av vektoren).
Alle vektorer av tredimensjonalt rom er naturligvis også frie for å mentalt sette vektoren til side fra et hvilket som helst annet punkt, og du vil forstå at dens nedbrytning "vil forbli med den."
I likhet med den flate saken, i tillegg til å skrive 
versjoner med braketter er mye brukt: enten .
Hvis utvidelsen mangler en (eller to) koordinatvektorer, så settes nuller i stedet. Eksempler:
vektor (omhyggelig 
) - la oss skrive ;
vektor (omhyggelig 
) - la oss skrive ;
vektor (omhyggelig 
) - la oss skrive .
Basisvektorene er skrevet på følgende måte:
Det er nok alt minimum teoretisk kunnskap, nødvendig for å løse problemer med analytisk geometri. Det kan være mange begreper og definisjoner, så jeg anbefaler at dummies leser og forstår på nytt denne informasjonen en gang til. Og det vil være nyttig for enhver leser å referere til grunnleggende leksjon Til bedre absorpsjon materiale. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektornedbrytning - disse og andre konsepter vil ofte bli brukt i fremtiden. Jeg vil merke meg at nettstedets materialer ikke er nok til å bestå en teoretisk test eller et kollokvium i geometri, siden jeg krypterer nøye alle teoremer (og uten bevis) - til skade for vitenskapelig stil presentasjon, men et pluss for din forståelse av emnet. For å motta detaljert teoretisk informasjon, vennligst bøy deg for professor Atanasyan.
Og vi går videre til den praktiske delen:
De enkleste problemene med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater
Det er sterkt tilrådelig å lære hvordan du løser oppgavene som vil bli vurdert helautomatisk, og formlene huske, ikke engang spesifikt huske, de vil huske seg selv =) Dette er veldig viktig, fordi i det enkleste elementære eksempler andre problemer med analytisk geometri er basert, og det vil være irriterende å bruke Ekstra tid for å spise bønder. Det er ikke nødvendig å feste de øverste knappene på skjorten din, mange ting er kjent for deg fra skolen.
Presentasjonen av materialet vil følge et parallelt forløp – både for flyet og for rommet. Av den grunn at alle formlene... vil du se selv.
Hvordan finne en vektor fra to punkter?
Hvis to punkter på planet og er gitt, har vektoren følgende koordinater: 
Hvis to punkter i rommet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:
Det er, fra koordinatene til enden av vektoren du må trekke fra de tilsvarende koordinatene begynnelsen av vektoren.
Trening: For de samme punktene, skriv ned formlene for å finne koordinatene til vektoren. Formler på slutten av leksjonen.
Eksempel 1
Gitt to punkter av flyet og . Finn vektorkoordinater
Løsning: i henhold til passende formel:
Alternativt kan følgende oppføring brukes:
Esteter avgjør dette:
Personlig er jeg vant til den første versjonen av innspillingen.
Svar:
I henhold til betingelsen var det ikke nødvendig å konstruere en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for å avklare noen punkter for dummies, vil jeg ikke være lat: 
Du må definitivt forstå forskjellen mellom punktkoordinater og vektorkoordinater:
Punktkoordinater– dette er vanlige koordinater i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror alle vet hvordan man plotter punkter på et koordinatplan fra 5.-6. klasse. Hvert punkt har en streng plass på flyet, og de kan ikke flyttes hvor som helst.
Koordinatene til vektoren– dette er dens utvidelse i henhold til grunnlaget, i dette tilfellet. Enhver vektor er gratis, så om nødvendig kan vi enkelt flytte den bort fra et annet punkt i planet. Det er interessant at for vektorer trenger du ikke å bygge akser eller et rektangulært koordinatsystem i det hele tatt, du trenger bare en basis, i dette tilfellet en ortonormal basis av planet.
Registreringene av koordinater til punkter og koordinater til vektorer ser ut til å være like: , og betydningen av koordinater absolutt annerledes, og du bør være godt klar over denne forskjellen. Denne forskjellen gjelder selvfølgelig også plass.
Mine damer og herrer, la oss fylle hendene våre:
Eksempel 2
a) Poeng og gis. Finn vektorer og .
b) Poeng gis 
Og . Finn vektorer og .
c) Poeng og gis. Finn vektorer og .
d) Poeng gis. Finn vektorer 
.
Kanskje det er nok. Dette er eksempler på uavhengig avgjørelse, prøv å ikke forsømme dem, det vil lønne seg ;-). Det er ikke nødvendig å lage tegninger. Løsninger og svar på slutten av leksjonen.
Hva er viktig når man løser analytiske geometriproblemer? Det er viktig å være EKSTREMT FORSIKTIG for å unngå å gjøre den mesterlige feilen "to pluss to er lik null". Jeg beklager med en gang hvis jeg har gjort en feil et sted =)
Hvordan finne lengden på et segment?
Lengden, som allerede nevnt, er indikert med modultegnet.
Hvis to punkter på planet er gitt og , kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen
Hvis to punkter i rommet og er gitt, kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen
Merk: Formlene forblir korrekte hvis de tilsvarende koordinatene byttes: og , men det første alternativet er mer standard
Eksempel 3
Løsning: i henhold til passende formel:
Svar: 
For klarhetens skyld vil jeg lage en tegning 
Linjestykke - dette er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den hvor som helst. I tillegg, hvis du tegner i målestokk: 1 enhet. = 1 cm (to notatbokceller), så kan det resulterende svaret kontrolleres med en vanlig linjal ved direkte å måle lengden på segmentet.
Ja, løsningen er kort, men det er et par flere i den viktige poeng som jeg ønsker å presisere:
For det første setter vi i svaret dimensjonen: "enheter". Tilstanden sier ikke HVA det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil en matematisk korrekt løsning være den generelle formuleringen: "enheter" - forkortet som "enheter."
For det andre, la oss gjenta skolemateriell, som ikke bare er nyttig for problemet som vurderes:
Følg med på viktig teknisk teknikk
– fjerne multiplikatoren fra under roten. Som et resultat av beregningene har vi et resultat og god matematisk stil innebærer å fjerne faktoren fra under roten (hvis mulig). Mer detaljert ser prosessen slik ut: 
. Å la svaret være slik det er, ville selvsagt ikke være en feil – men det ville absolutt være en mangel og et tungtveiende argument for å krangle fra lærerens side.
Her er andre vanlige tilfeller: 
Ofte er det nok ved roten stort antall, For eksempel . Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Ved hjelp av kalkulatoren sjekker vi om tallet er delelig med 4: . Ja, det var helt delt, slik: 
. Eller kanskje tallet kan deles på 4 igjen? . Dermed: 
. Det siste sifferet i tallet er oddetall, så å dele med 4 for tredje gang vil åpenbart ikke fungere. La oss prøve å dele på ni: . Som et resultat:
Klar.
Konklusjon: hvis vi under roten får et tall som ikke kan trekkes ut som en helhet, så prøver vi å fjerne faktoren fra under roten - ved hjelp av en kalkulator sjekker vi om tallet er delelig med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.
Under avgjørelsen ulike oppgaver røtter er vanlige, prøv alltid å trekke ut faktorer fra under roten for å unngå lavere karakter og unødvendige problemer med å sluttføre løsningene dine basert på lærerens kommentarer.
La oss også gjenta kvadratrøtter og andre krefter: 
Regler for handlinger med grader i generelt syn finnes i skole lærebok i algebra, men jeg tror fra eksemplene gitt, alt eller nesten alt er allerede klart.
Oppgave for uavhengig løsning med et segment i rommet:
Eksempel 4
Poeng og gis. Finn lengden på segmentet.
Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.
Hvordan finne lengden på en vektor?
Hvis en planvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen.
Hvis en romvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen 
.
Først av alt må vi forstå konseptet med en vektor i seg selv. For å introdusere definisjonen av en geometrisk vektor, la oss huske hva et segment er. La oss introdusere følgende definisjon.
Definisjon 1
Et segment er en del av en rett linje som har to grenser i form av punkter.
Et segment kan ha 2 retninger. For å betegne retningen vil vi kalle en av grensene til segmentet for begynnelsen, og den andre grensen for slutten. Retningen er angitt fra begynnelsen til slutten av segmentet.
Definisjon 2
Vi vil kalle en vektor eller et rettet segment et segment der det er kjent hvilken av grensene til segmentet som anses som begynnelsen og hvilken som er slutten.
Betegnelse: Med to bokstaver: $\overline(AB)$ – (der $A$ er begynnelsen, og $B$ er slutten).
Med en liten bokstav: $\overline(a)$ (fig. 1).
La oss nå introdusere begrepet vektorlengder direkte.
Definisjon 3
Lengden på vektoren $\overline(a)$ vil være lengden på segmentet $a$.
Notasjon: $|\overline(a)|$
Begrepet vektorlengde er for eksempel assosiert med et slikt konsept som likheten mellom to vektorer.
Definisjon 4
Vi vil kalle to vektorer like hvis de tilfredsstiller to betingelser: 1. De er kodireksjonelle; 1. Lengdene deres er like (fig. 2).
For å definere vektorer, skriv inn et koordinatsystem og bestemme koordinatene for vektoren i det angitte systemet. Som vi vet, kan enhver vektor dekomponeres i formen $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, der $m$ og $n$ er reelle tall, og $\overline (i )$ og $\overline(j)$ er enhetsvektorer på henholdsvis $Ox$- og $Oy$-aksen.
Definisjon 5
Vi vil kalle ekspansjonskoeffisientene til vektoren $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinatene til denne vektoren i det introduserte koordinatsystemet. Matematisk:
$\overline(c)=(m,n)$
Hvordan finne lengden på en vektor?
For å utlede en formel for å beregne lengden på en vilkårlig vektor gitt dens koordinater, vurder følgende problem:
Eksempel 1
Gitt: vektor $\overline(α)$ med koordinater $(x,y)$. Finn: lengden på denne vektoren.
La oss introdusere et kartesisk koordinatsystem $xOy$ på flyet. Fra opprinnelsen til det introduserte koordinatsystemet setter vi til side $\overline(OA)=\overline(a)$. La oss konstruere projeksjoner $OA_1$ og $OA_2$ av den konstruerte vektoren på henholdsvis $Ox$ og $Oy$ aksene (fig. 3).
Vektoren $\overline(OA)$ vi har konstruert vil være radiusvektoren for punkt $A$, derfor vil den ha koordinater $(x,y)$, som betyr
$=x$, $[OA_2]=y$
Nå kan vi enkelt finne den nødvendige lengden ved å bruke Pythagoras setning, får vi
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Svar: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Konklusjon: For å finne lengden på en vektor hvis koordinater er gitt, er det nødvendig å finne roten til kvadratet av summen av disse koordinatene.
Eksempel på oppgaver
Eksempel 2
Finn avstanden mellom punktene $X$ og $Y$, som har følgende koordinater: henholdsvis $(-1.5)$ og $(7.3)$.
Hvilke som helst to punkter kan lett assosieres med konseptet med en vektor. Tenk for eksempel på vektoren $\overline(XY)$. Som vi allerede vet, kan koordinatene til en slik vektor finnes ved å trekke de tilsvarende koordinatene til startpunktet ($X$) fra koordinatene til sluttpunktet ($Y$). Det skjønner vi
Summen av vektorer. Vektorlengde. kjære venner, som en del av ryggeksamentypene er det en gruppe problemer med vektorer. Oppgavene er ganske bred rekkevidde(Det er viktig å vite teoretisk grunnlag). De fleste løses muntlig. Spørsmålene er knyttet til å finne lengden på en vektor, summen (forskjellen) av vektorer og skalarproduktet. Det er også mange oppgaver der det er nødvendig å utføre handlinger med vektorkoordinater.
Teorien rundt temaet vektorer er ikke komplisert, og den må forstås godt. I denne artikkelen vil vi analysere problemer knyttet til å finne lengden på en vektor, samt summen (forskjellen) av vektorer. Noen teoretiske poeng:
Vektor konsept
En vektor er et rettet segment.
Alle vektorer som har samme retning og er like lange er like.
*Alle fire vektorer presentert ovenfor er like!
Det vil si hvis vi bruker parallell overføring flytte vektoren gitt til oss, vil vi alltid få en vektor lik den opprinnelige. Dermed kan det være et uendelig antall like vektorer.
Vektornotasjon
Vektoren kan betegnes med latin med store bokstaver, For eksempel:
Med denne formen for notasjon skrives først bokstaven som angir begynnelsen av vektoren, deretter bokstaven som angir slutten på vektoren.
En annen vektor er merket med én bokstav latinske alfabetet(hovedstad):
Betegnelse uten piler er også mulig:
Summen av to vektorer AB og BC vil være vektoren AC.
Det skrives som AB + BC = AC.
Denne regelen kalles - trekantregel.
Det vil si, hvis vi har to vektorer – la oss kalle dem konvensjonelt (1) og (2), og slutten av vektor (1) faller sammen med begynnelsen av vektor (2), så vil summen av disse vektorene være en vektor hvis begynnelsen sammenfaller med begynnelsen av vektor (1), og slutten sammenfaller med slutten av vektor (2).
Konklusjon: hvis vi har to vektorer på et plan, kan vi alltid finne summen deres. Ved å bruke parallell oversettelse kan du flytte hvilken som helst av disse vektorene og koble begynnelsen til slutten av en annen. For eksempel:
La oss flytte vektoren b, eller med andre ord, la oss konstruere en lik en:
Hvordan finner man summen av flere vektorer? Etter samme prinsipp:
* * *
Parallelogramregel
Denne regelen er en konsekvens av ovenstående.
For vektorer med felles begynnelse summen deres er representert av diagonalen til et parallellogram konstruert på disse vektorene.
La oss konstruere en vektor lik vektoren b slik at begynnelsen faller sammen med slutten av vektoren en, og vi kan bygge en vektor som vil være summen deres:
Litt mer viktig informasjon nødvendig for å løse problemer.
En vektor som er lik den opprinnelige, men motsatt rettet, er også betegnet, men har motsatt fortegn:
Denne informasjonen er ekstremt nyttig for å løse problemer som involverer å finne forskjellen mellom vektorer. Som du kan se, er vektorforskjellen den samme summen i modifisert form.
La to vektorer gis, finn forskjellen deres:
Vi bygde en vektor motsatt vektor b, og fant forskjellen.
Vektorkoordinater
For å finne koordinatene til en vektor, må du trekke de tilsvarende koordinatene til begynnelsen fra sluttkoordinatene:
Det vil si at vektorkoordinatene er et tallpar.
Hvis
Og koordinatene til vektorene ser slik ut:
Da er c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2
Hvis
Da c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2
Vektormodul
Modulen til en vektor er dens lengde, bestemt av formelen:
Formel for å bestemme lengden på en vektor hvis koordinatene til begynnelsen og slutten er kjent:
La oss vurdere oppgavene:
De to sidene av rektangel ABCD er lik 6 og 8. Diagonalene skjærer hverandre i punktet O. Finn lengden på forskjellen mellom vektorene AO og BO.
La oss finne vektoren som vil være resultatet av AO–VO:
AO –VO =AO +(–VO )=AB
Det vil si forskjellen mellom vektorene AO og VO vil være en vektor AB. Og lengden er åtte.
Diagonaler av en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren AB + AD.
La oss finne en vektor som vil være summen av vektorene AD og AB BC lik vektoren A.D. Så AB +AD =AB +BC =AC
AC er lengden på diagonalen til romben AC, det er lik 16.Diagonalene til rombe ABCD skjærer hverandre i punktet O og er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren AO + BO.
La oss finne en vektor som vil være summen av vektorene AO og VO VO er lik vektoren OD, som betyr
AD er lengden på siden av romben. Problemet kommer ned til å finne hypotenusen i høyre trekant AOD. La oss beregne bena:
I følge Pythagoras teorem:
Diagonalene til romben ABCD skjærer hverandre i punkt O og er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren AO – BO.
La oss finne vektoren som vil være resultatet av AO–VO:
AB er lengden på en side av en rombe. Problemet kommer ned til å finne hypotenusen AB i den rette trekanten AOB. La oss beregne bena:
I følge Pythagoras teorem:
Sidene er riktige trekant ABC er lik 3.
Finn lengden på vektoren AB –AC.
La oss finne resultatet av vektorforskjellen:
CB er lik tre, siden betingelsen sier at trekanten er likesidet og sidene er lik 3.27663. Finn lengden på vektoren a (6;8).
27664. Finn kvadratet på lengden til vektoren AB.
Abscissen og ordinataksen kalles koordinater vektor. Vektorkoordinater er vanligvis angitt i skjemaet (x, y), og selve vektoren som: =(x, y).
Formel for å bestemme vektorkoordinater for todimensjonale problemer.
Når todimensjonalt problem vektor med kjente koordinatene til punktene A(x 1;y 1) Og B(x 2 ; y 2 ) kan beregnes:
= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Formel for å bestemme vektorkoordinater for romlige problemer.
Når romlig problem vektor med kjente koordinatene til punktene EN (x 1; y 1;z 1 ) og B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) kan beregnes ved hjelp av formelen:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Koordinatene er gitt omfattende beskrivelse vektor, siden det er mulig å konstruere selve vektoren ved hjelp av koordinatene. Kjenne til koordinatene er det lett å beregne og vektorlengde. (Eiendom 3 nedenfor).
Egenskaper til vektorkoordinater.
1. Eventuelle like vektorer V enhetlig system koordinater har like koordinater.
2. Koordinater kollineære vektorer proporsjonal. Forutsatt at ingen av vektorene er null.
3. Kvadrat for lengden til en hvilken som helst vektor lik summen kvadrat det koordinater.
4. Under operasjonen vektor multiplikasjon på ekte nummer hver av dens koordinater multipliseres med dette tallet.
5. Når vi legger til vektorer, beregner vi summen av de tilsvarende vektorkoordinater.
6. Skalært produkt to vektorer er lik summen av produktene av deres tilsvarende koordinater.