Vektorer kan representeres grafisk med rettede segmenter. Lengden er valgt på en bestemt skala for å indikere vektorstørrelse , og retningen til segmentet representerer vektor retning . For eksempel, hvis vi antar at 1 cm representerer 5 km/t, vil en nordøstlig vind med en hastighet på 15 km/t representeres av et retningssegment med lengde 3 cm, som vist på figuren.
Vektor på et fly er det et rettet segment. To vektorer lik hvis de har det samme størrelse Og retning.
Betrakt en vektor tegnet fra punkt A til punkt B. Punktet kalles Utgangspunktet vektor, og punkt B kalles endepunkt. Den symbolske notasjonen for denne vektoren er (lest som "vektor AB"). Vektorer er også representert med fete bokstaver som U, V og W. De fire vektorene i figuren til venstre har samme lengde og retning. Derfor representerer de lik vind; det er, 
I sammenheng med vektorer bruker vi = for å indikere at de er like.
Lengde, eller omfanget er uttrykt som ||. For å finne ut om vektorene er like, finner vi deres størrelser og retninger.
Eksempel 1 Vektorene u, , w er vist i figuren nedenfor. Bevis at u = = w. 
Løsning Først finner vi lengden på hver vektor ved å bruke avstandsformelen:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Herfra
|u| = | = |w|.
Vektorene u, , og w, som kan ses av figuren, ser ut til å ha samme retning, men vi vil sjekke helningen deres. Hvis linjene de er plassert på har samme helninger, har vektorene samme retning. Vi beregner bakkene: 
Siden u, , og w har like størrelser og samme retning,
u = = w.
Husk at like vektorer bare krever samme størrelse og samme retning, ikke samme plassering. Den øverste figuren viser et eksempel på vektorlikhet.
Anta at en person tar 4 skritt øst og deretter 3 skritt nord. Personen vil da være 5 skritt fra startpunktet i retningen vist til venstre. En vektor 4 enheter lang med retning til høyre representerer 4 trinn øst og en vektor 3 enheter lang med retning opp som representerer 3 trinn nord. Sum av disse to vektorene er det en vektor med 5 størrelsestrinn og i den viste retningen. Beløpet kalles også resulterende to vektorer.
Generelt kan to vektorer u og v som ikke er null adderes geometrisk ved å plassere startpunktet til vektoren v til endepunktet til vektoren u, og deretter finne en vektor som har samme startpunkt som vektoren u og vektoren. samme endepunkt som vektoren v som vist i figuren under. 
Summen er en vektor representert av et rettet segment fra punkt A i vektor u til endepunkt C til vektor v. Så hvis u = og v =, så
u + v = + =
Vi kan også beskrive vektoraddisjon som å plassere startpunktene til vektorene sammen, konstruere et parallellogram og finne diagonalen til parallellogrammet. (i figuren nedenfor.) Dette tillegget kalles noen ganger som parallellogramregel
tillegg av vektorer. Vektortilsetning er kommutativ. Som vist på figuren er begge vektorene u + v og v + u representert av samme retningslinjesegment. 
Hvis to krefter F 1 og F 2 virker på en gjenstand, resulterende kraft er summen av F 1 + F 2 av disse to separate kreftene. 
Eksempel To krefter på 15 newton og 25 newton virker på ett objekt vinkelrett på hverandre. Finn summen deres, eller den resulterende kraften, og vinkelen den danner med den største kraften.
Løsning La oss tegne problembetingelsen, i dette tilfellet et rektangel, ved å bruke v eller for å representere resultanten. For å finne verdien bruker vi Pythagoras teorem:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Her |v| angir lengden eller størrelsen på v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
For å finne retningen, merk at siden OAB er en rett vinkel,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Ved hjelp av en kalkulator finner vi θ, vinkelen som den største kraften lager med nettokraften:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Resultanten har en styrke på 29,2 og en vinkel på 31° med større kraft.
Piloter kan justere flyretningen hvis det er sidevind. Vinden og hastigheten til et fly kan representeres som vind.
Eksempel 3. Flyhastighet og retning. Flyet beveger seg langs en asimut på 100° med en hastighet på 190 km/t, mens vindhastigheten er 48 km/t og dens asimut er 220°. Finn den absolutte hastigheten til flyet og bevegelsesretningen, ta hensyn til vinden.
Løsning La oss lage en tegning først. Vinden er representert og flyets hastighetsvektor er . Den resulterende hastighetsvektoren er v, summen av de to vektorene. Vinkelen θ mellom v og kalles drivvinkel
.
Merk at COA-verdien = 100° - 40° = 60°. Da er verdien av CBA også lik 60° (motsatte vinkler på parallellogrammet er like). Siden summen av alle vinklene til et parallellogram er 360° og COB og OAB har samme størrelse, må hver være 120°. Av kosinus regel
i OAB har vi
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Deretter |v| tilsvarer 218 km/t. I følge sinusregel
, i samme trekant,
48
/sinθ = 218
/synd 120°,
eller
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
Deretter, θ = 11°, til nærmeste heltallsvinkel. Den absolutte hastigheten er 218 km/t, og bevegelsesretningen tatt i betraktning vinden: 100° - 11°, eller 89°.
Gitt en vektor w, kan vi finne to andre vektorer u og v hvis sum er w. Vektorene u og v kalles komponenter w og prosessen med å finne dem kalles nedbrytning , eller representasjonen av en vektor ved dens vektorkomponenter.
Når vi utvider en vektor, ser vi vanligvis etter vinkelrette komponenter. Svært ofte vil imidlertid en komponent være parallell med x-aksen og den andre vil være parallell med y-aksen. Derfor kalles de ofte horisontal
Og vertikal
vektorkomponenter. I figuren under er vektoren w = dekomponert som summen av u = og v =. 
Den horisontale komponenten til w er u og den vertikale komponenten er v.
Eksempel 4 Vektoren w har en styrke på 130 og en helning på 40° i forhold til horisontalen. Dekomponer vektoren i horisontale og vertikale komponenter.
Løsning Først skal vi tegne et bilde med horisontale og vertikale vektorer u og v hvis sum er w. 
Fra ABC finner vi |u| og |v|, ved å bruke definisjonene av cosinus og sinus:
cos40° = |u|/130, eller |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, eller |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Deretter er den horisontale komponenten av w 100 til høyre og den vertikale komponenten av w er 84 opp.
Grunnlaget for plass er et system av vektorer der alle andre vektorer i rommet kan representeres som en lineær kombinasjon av vektorer inkludert i grunnlaget.
I praksis gjennomføres dette ganske enkelt. Grunnlaget blir som regel kontrollert på et plan eller i rommet, og for dette må du finne determinanten til en andre, tredje ordens matrise sammensatt av vektorkoordinater. Nedenfor er skjematisk skrevet forhold som vektorer danner grunnlaget for
Til utvide vektor b til basisvektorer
e,e...,e[n] det er nødvendig å finne koeffisientene x, ..., x[n] der den lineære kombinasjonen av vektorer e,e...,e[n] er lik vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
For å gjøre dette, bør vektorligningen konverteres til et system av lineære ligninger og løsninger bør finnes. Dette er også ganske enkelt å implementere.
De funnet koeffisientene x, ..., x[n] kalles koordinatene til vektor b i basisen e,e...,e[n].
La oss gå videre til den praktiske siden av emnet.
Dekomponering av en vektor til basisvektorer
Oppgave 1. Sjekk om vektorene a1, a2 danner et grunnlag på planet
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Løsning: Vi komponerer en determinant fra koordinatene til vektorene og beregner den
Determinanten er ikke null, derfor vektorene er lineært uavhengige, noe som betyr at de danner en basis.
2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Løsning: Vi beregner determinanten som består av vektorer 
Determinanten er lik 13 (ikke lik null) - av dette følger det at vektorene a1, a2 er en basis på planet.
---=================---
La oss se på typiske eksempler fra MAUP-programmet i faget "Høyre matematikk".
Oppgave 2. Vis at vektorene a1, a2, a3 danner grunnlaget for et tredimensjonalt vektorrom, og utvid vektoren b i henhold til dette grunnlaget (bruk Cramers metode når du løser et system med lineære algebraiske ligninger).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Løsning: Vurder først systemet med vektorer a1, a2, a3 og kontroller determinanten til matrise A
bygget på vektorer som ikke er null. Matrisen inneholder ett nullelement, så det er mer hensiktsmessig å beregne determinanten som en tidsplan i første kolonne eller tredje rad. 
Som et resultat av beregningene fant vi at determinanten er forskjellig fra null, derfor vektorene a1, a2, a3 er lineært uavhengige.
Per definisjon danner vektorer et grunnlag i R3. La oss skrive ned tidsplanen til vektor b basert på 
Vektorer er like når deres tilsvarende koordinater er like.
Derfor får vi fra vektorligningen et system med lineære ligninger 
La oss løse SLAE Cramers metode. For å gjøre dette skriver vi ligningssystemet i skjemaet
Hoveddeterminanten til en SLAE er alltid lik determinanten sammensatt av basisvektorer
Derfor telles det i praksis ikke to ganger. For å finne hjelpedeterminanter setter vi en kolonne med frie termer i stedet for hver kolonne i hoveddeterminanten. Determinanter beregnes ved hjelp av trekantregelen 
La oss erstatte de funnet determinantene i Cramers formel 
Så utvidelsen av vektoren b når det gjelder basis har formen b=-4a1+3a2-a3. Koordinatene til vektor b i basisen a1, a2, a3 vil være (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Løsning: Vi sjekker vektorene for et grunnlag - vi komponerer en determinant fra koordinatene til vektorene og beregner den 
Determinanten er derfor ikke lik null vektorer danner et grunnlag i rommet. Det gjenstår å finne tidsplanen til vektor b gjennom dette grunnlaget. For å gjøre dette skriver vi vektorligningen 
og transformere til et system av lineære ligninger 
Vi skriver matriseligningen
Deretter finner vi hjelpedeterminanter for Cramers formler 
Vi bruker Cramers formler 
Så en gitt vektor b har et skjema gjennom to basisvektorer b=-2a1+5a3, og dens koordinater i basisen er lik b(-2,0, 5).
Testoppgaver
Oppgave 1 - 10. Vektorer er gitt. Vis at vektorer danner et grunnlag for tredimensjonalt rom og finn koordinatene til vektoren i dette grunnlaget:
Gitt vektorer ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Vis at vektorene danner grunnlaget for tredimensjonalt rom og finn koordinatene til vektoren X i dette grunnlaget.
Denne oppgaven består av to deler. Først må du sjekke om vektorene danner et grunnlag. Vektorer danner et grunnlag hvis determinanten som er sammensatt av koordinatene til disse vektorene ikke er null, ellers er ikke vektorene grunnleggende og vektoren X kan ikke utvides over dette grunnlaget.
La oss beregne determinanten til matrisen:
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Determinanten til matrisen er ∆ =37
Siden determinanten ikke er null, danner vektorene en basis, derfor kan vektoren X utvides over denne basisen. De. det er tall α 1, α 2, α 3 slik at likheten gjelder:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
La oss skrive denne likheten i koordinatform:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Ved å bruke egenskapene til vektorer får vi følgende likhet:
(3;0;1) = (3α 1 ; 1α 1 ; 6α 1 ;) + (-2α 2 ; 2α 2 ; -3α 2 ;) + (-4α 3 ; 5α 3 ; -1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ; 1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ; 6α 1 -3α 2 -1α 3)
Ved egenskapen til vektorlikhet har vi:
3a1 -2a2 -4a3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6a1-3a2-1a3 = 1
Vi løser det resulterende ligningssystemet Gaussisk metode eller Cramers metode.
X = ε 1 + 2ε 2 - ε 3
Løsningen ble mottatt og behandlet ved hjelp av tjenesten:
Vektorkoordinater i grunnlaget
Sammen med dette problemet løser de også:
Løse matriseligninger
Cramer metode
Gauss metode
Invers matrise ved bruk av Jordano-Gauss-metoden
Invers matrise via algebraiske komplementer
Online matrisemultiplikasjon
Standard definisjon: "En vektor er et rettet segment." Dette er vanligvis omfanget av en kandidats kunnskap om vektorer. Hvem trenger noen "retningssegmenter"?
Men egentlig, hva er vektorer og hva er de for?
Værmelding. "Vind nordvest, hastighet 18 meter per sekund." Enig, både vindretningen (hvor den blåser fra) og størrelsen (det vil si den absolutte verdien) av hastigheten har betydning.
Mengder som ikke har noen retning kalles skalar. Masse, arbeid, elektrisk ladning er ikke rettet noe sted. De er bare preget av en numerisk verdi - "hvor mange kilo" eller "hvor mange joule".
Fysiske størrelser som ikke bare har en absolutt verdi, men også en retning kalles vektorstørrelser.
Hastighet, kraft, akselerasjon - vektorer. For dem er «hvor mye» viktig og «hvor» viktig. For eksempel akselerasjon på grunn av tyngdekraften 
rettet mot jordens overflate, og dens størrelse er 9,8 m/s 2. Impuls, elektrisk feltstyrke, magnetfeltinduksjon er også vektorstørrelser.
Du husker at fysiske mengder er angitt med bokstaver, latin eller gresk. Pilen over bokstaven indikerer at mengden er vektor:
Her er et annet eksempel.
En bil beveger seg fra A til B. Sluttresultatet er dens bevegelse fra punkt A til punkt B, det vil si bevegelse av en vektor.
Nå er det klart hvorfor en vektor er et rettet segment. Vær oppmerksom på at enden av vektoren er der pilen er. Vektorlengde kalles lengden på dette segmentet. Indikert med: eller
Til nå har vi jobbet med skalære størrelser, etter reglene for aritmetikk og elementær algebra. Vektorer er et nytt konsept. Dette er en annen klasse av matematiske objekter. De har sine egne regler.
En gang i tiden visste vi ikke engang noe om tall. Mitt bekjentskap med dem begynte på barneskolen. Det viste seg at tall kan sammenlignes med hverandre, adderes, trekkes fra, multipliseres og divideres. Vi lærte at det er et tall én og et tall null.
Nå er vi introdusert til vektorer.
Konseptene "mer" og "mindre" for vektorer eksisterer ikke - tross alt kan retningene deres være forskjellige. Bare vektorlengder kan sammenlignes.
Men det er et likhetsbegrep for vektorer.
Lik vektorer som har samme lengde og samme retning kalles. Dette betyr at vektoren kan overføres parallelt med seg selv til et hvilket som helst punkt i planet.
Enkelt er en vektor med lengde 1. Null er en vektor hvis lengde er null, det vil si at begynnelsen faller sammen med slutten.
Det er mest praktisk å jobbe med vektorer i et rektangulært koordinatsystem - det samme som vi tegner grafer for funksjoner i. Hvert punkt i koordinatsystemet tilsvarer to tall - dets x- og y-koordinater, abscisse og ordinat.
Vektoren er også spesifisert av to koordinater:
Her er koordinatene til vektoren skrevet i parentes - i x og y.
De finnes ganske enkelt: koordinaten til slutten av vektoren minus koordinaten til begynnelsen.
Hvis vektorkoordinatene er gitt, blir lengden funnet av formelen
Vektor tillegg
Det er to måter å legge til vektorer på.
1 . Parallelogramregel. For å legge til vektorene og plasserer vi opprinnelsen til begge på samme punkt. Vi bygger opp til et parallellogram og fra samme punkt tegner vi en diagonal av parallellogrammet. Dette vil være summen av vektorene og .
Husker du fabelen om svanen, sjøkreps og gjedde? De prøvde veldig hardt, men de flyttet aldri vogna. Tross alt var vektorsummen av kreftene de påførte vogna lik null.
2. Den andre måten å legge til vektorer på er trekantregelen. La oss ta de samme vektorene og . Vi legger til begynnelsen av den andre til slutten av den første vektoren. La oss nå koble begynnelsen av den første og slutten av den andre. Dette er summen av vektorene og .
Ved å bruke samme regel kan du legge til flere vektorer. Vi arrangerer dem etter hverandre, og kobler deretter begynnelsen av den første til slutten av den siste.
Tenk deg at du går fra punkt A til punkt B, fra B til C, fra C til D, deretter til E og til F. Sluttresultatet av disse handlingene er bevegelse fra A til F.
Når du legger til vektorer, får vi:
Vektor subtraksjon
Vektoren er rettet motsatt av vektoren. Lengdene på vektorene og er like.
Nå er det klart hva vektorsubtraksjon er. Vektorforskjellen og er summen av vektoren og vektoren.
Multiplisere en vektor med et tall
Når en vektor multipliseres med tallet k, oppnås en vektor hvis lengde er k ganger forskjellig fra lengden . Det er codirectional med vektoren hvis k er større enn null, og motsatt hvis k er mindre enn null.
Punktprodukt av vektorer
Vektorer kan multipliseres ikke bare med tall, men også med hverandre.
Skalarproduktet av vektorer er produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.
Vær oppmerksom på at vi multipliserte to vektorer, og resultatet ble en skalar, det vil si et tall. For eksempel, i fysikk er mekanisk arbeid lik skalarproduktet av to vektorer - kraft og forskyvning:
Hvis vektorene er vinkelrette, er deres skalarprodukt null.
Og dette er hvordan skalarproduktet uttrykkes gjennom koordinatene til vektorene og:
Fra formelen for skalarproduktet kan du finne vinkelen mellom vektorene:
Denne formelen er spesielt praktisk i stereometri. For eksempel, i oppgave 14 av Profile Unified State-eksamen i matematikk, må du finne vinkelen mellom kryssende linjer eller mellom en rett linje og et plan. Ofte vektormetode oppgave 14 løses flere ganger raskere enn den klassiske.
I læreplanen for skolematematikk undervises det kun i skalarproduktet av vektorer.
Det viser seg at det i tillegg til skalarproduktet også finnes et vektorprodukt, når resultatet av å multiplisere to vektorer er en vektor. Hvem leier Unified State eksamen i fysikk, vet hva Lorentz-styrken og Ampere-styrken er. Formlene for å finne disse kreftene inkluderer vektorprodukter.
Vektorer er et veldig nyttig matematisk verktøy. Du vil se dette i ditt første år.
